01 Conduccion Transitoria

8/18/2019 01 Conduccion Transitoria

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2. Conducción Unidimesional Transitoria

Ingeniería Térmica y de Fluidos

Ingeniería Industrial (2º Ciclo) 44

2.ECUACIÓN DE CONDUCCIÓN TRANSITORIAADIMENSIONAL

• DIFUSIVIDAD TÉRMICA

α

ρ ⋅

≅

k

Cp

Velocidad de CONDUCCIONVelocidad de ALMACENAMIENTO

• SOLUCIÓN PARA EL CAMPO DE TEMPERATURA

T x C xn n nn

( , exp( cos( )t) t)⋅ − ⋅=

∞

∑

α λ λ

2

1

T f x∞

( , , ,t, T h, k, , T L)0 α ¡Muchas variables!

x = 0 x = L

T0

h

T∞

∂

∂ α

∂

∂

2

2 1Tx Tt⋅

t T

kT

x

x L kT

xh (T

x

x L

= =

= − =

= − =

=

=

∞

0

0 0

0

0

T (Uniforme)

x

- T

∂

∂

∂

∂

)


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• VARIABLES ADIMENSIONALES

Χ =

x

L θ =−

−

∞

∞

T T

T T0

• ECUACIÓN ADIMENSIONAL

t

θ

∂

∂ θ

∂

α

2

2

2

Χ

=

( )L

• CONDICIONES DE CONTORNO E INICIAL

t

hLk

= =

= =

= = − ⋅

0

0 0

1

1

θ

∂ θ

∂Χ

∂ θ

∂Χ

θ

Χ

Χ

• SOLUCIÓN

Fo =α t

L2 (Número de Fourier)

Bi hLk

(Número de Biot)

Foδ δ⋅ − ⋅=

∞

∑

Dn n nn

exp( ) cos( )21

Χ

D f Bi

f Bin

n

=

=

⇒

( )

( )θ =

f( , , )Bi Fo Sólo tres variables


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3. SIGNIFICADO FÍSICO DE LOS NÚMEROSADIMENSIONALES

Bi =hLk

LkA

hA1

Re

Re

sistencia

sistencia

a la CONDUCCION

a la CONVECCION

• Bi > 1 El problema está dominado por las condicionesinteriores. ( h POCO IMPORTANTE).DOMINA CONDUCCIÓN.

Fo t

L

2= =

α

τ

tL

t

( )2

0

TIEMPO

TIEMPO CARACTERISTICO

• Fo t> >>1 0( ) REGIMEN PERMANENTE

• Fo t<


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Fo

k

L

Lt

=

ρ

Cp

Intensidad

Intensidad

de la conduccion

del almacenamiento en un volumen dado

• Fo >> 1 Conducción más importante que almacenamiento

• Fo


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4. RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN POR ELMÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES

Separación de variables:

T(x, t) ⋅E x t( ) ( ) E sólo depende de xΓ sólo depende de t

Introduciendo en la ecuación:

x t

2

1 12 2E

E⋅ = ⋅ = −

∂ αΓ

∂Γ

∂

λ conλ > 0

Obtenemos dos ecuaciones diferenciales ( I ) y ( II ) :

( I )

∂

∂ λ

∂

∂

∂

∂

2

2

2

0

0 0

E

x E

x

x L kEx

hE

=

= =

= − =

Ex

(Problema de Autovalores)

• Autovalores λ : soluciones de la ecuación λ λn nLh

ktg =

• Autovectores E(x) = A xn ncosλ


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( II ) ∂Γ

∂

αλ

t =

2 0 exp( t( ) )t n n⋅ −α λ2

T t) t)( , exp( cos( )x C xn n n⋅ − ⋅λ λ

2

(Falta por verificar la condición inicial)

En general, para t = 0 )x(F0),x(T =

• Puesto que Cn es constante, esta igualdad no se verificará ano ser que F x( ) sea un coseno.

• Como el sistema es lineal, una combinación lineal de losautovectores también es solución del mismo:

F x C xn

n n( ) cos( )⋅=

∞

∑

1λ

Multiplicando por cosλnx , e integrando entre 0 y L:

C dxn nL

NF x x⋅

1

0

( ) cos( )

N dx∫

cos ( )20

λn

L

x es la INTEGRAL DE NORMALIZACIÓN.

En definitiva:

F x C xn n( ) cos exp( )⋅ ⋅ − ⋅α λ

n

2

0

1

T t) dx) cos( t)n( , ( ( ) cos ) exp(x N F x xn n

L

n= ⋅ ⋅ ⋅ −

∫

=

∞12

01λ λ α λ


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• Si F x( ) = cte. ( p. e. iT ) :

∑

∞

=

λ

λ

λ

=

1n

2nn

n

n

i

t)exp()xcos(L

LsenN1

Tt),x(T

Para otras condiciones de contorno habrá distintosautovalores, autovectores y N.

En forma adimensional:

θ δ δ

−

−

= −

∞

=

∞

∑

T T

T TD Bi

i

n nn

( )exp( )21

Fo cos nΧ

δ λ

δ δ

n n

n n

L

Bi

= ⋅

=tg (AUTOVALORES)

Para Fo > 0.3 el

∑

puede aproximarse por su primer término:

θ δ δ−

D Bi Fo1 12

1( )exp( )cos( )


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5. INFLUENCIA DEL NÚMERO DE Bi ENEL CAMPO DE TEMPERATURAS

∂ θ

∂

∂θ

∂

2

2Χ

=

Fo

Fo

Bi

= =

= =

= = −

0 1

0 0

1

θ

∂θ

∂

∂θ

∂

θ

Χ

Χ

Χ

Χ

• Si Fo > 0. 3 la solución es:

θ δ δ−D Bi Fo1 12

1( )exp( )cos( ) D Bi f t1( ) ( )

En Χ = 1

∂θ

∂

θ

∂θ

∂

θ

Χ

Χ Χ

Χ

= −

= −

⇒ = =

Bi

Bi

0

0

1 cte.

Todas las pendientesse cortan en un mismopunto, a una distancia

Χ

0 deΧ =

1


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•

La resistencia a la CONDUCCIÓN es despreciable.

Bi Bi⇒ = → ∞

0

10 Resiste la CONVECCIÓN.

Se da con:

k

h

L

>>


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6. GRÁFICOS DE HEISLER Y GRÖBER

Estudiamos la variación de la temperatura con el tiempo en

Χ =

0 .Χ = = −0 1 1

2

0δD Bi F( )exp( )

ÁBACO DE HEISLER

Tomando logaritmos en la expresión anterior:

ln ln ( ) δ−D Bi Fo1 12

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

F0

θ

θ

( )=

0

HAZ DE RECTAS. UNAPARA CADA Bi

lnθ

Fo

Bi2

Bi2Bi3Bi4

EN ESTA ZONA LASOLUCIÓN NO ES VÁLIDA

( Fo < 0. 3 )

• NOS DA LA TEMPERATURA

EN X = 0.

• ENTRAMOS CON EL TIEMPO( Fo ) Y EL Bi.

• HAY UN GRÁFICO PARA LAPLACA, OTRO PARA ELCILINDRO Y OTRO PARA LAESFERA.


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ÁBACO CORRECTOR DE HEISLER

La θ es un coseno. Si se conoce el origen podemos calcular el

resto. Esto nos permitirá hallar la temperatura en cada punto apartir de la temperatura de origen, y esto en cualquier tiempo( Fo ).

θ δ δ

θ θ δ

θ

θ

δ

( ) ( ) cos( )exp( )

( ) ( ) ( )exp( )

( )( )

cos( )Χ

Χ

Χ

Χ

−

= = = −

⇒ =

D Bi Fo

D Bi Fo1 1 1

2

1 1

2 10 0 0

SÓLO NECESITAMOS CONOCER δ 1

1/ Bi

EVITA CALCULARδ 1 .

δ 1= f ( Bi)


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ÁBACO DE GRÖBER

Conocido el CAMPO DE TEMPERATURAS podemos calcular el

FLUJO DE CALOR.

La CANTIDAD DE CALOR MÁXIMA que se puede transferir es:

Q C AL T Tmax p − ∞( )0

• La CANTIDAD DE CALOR TRANSFERIDA entre t1 y t2 es:

Q C A T t T t dxt t pL

1 2 1 20

→

= − =( ) ( )

− − −

=C A T T t dx T T t dxpLL

0 2 0 1

00

( ) ( )

= −

→

Q Qt t0 02 1

_ t = 0 t = 0

t 2

t 1 T ∞

T t0 0( )

t1

t2 = __

Qt t1 2 Q t0 2Q t0 1


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• La CANTIDAD DE CALOR transferida en un tiempo t es:

Q C A T T t dxt pL

0 0

0

→

= − =( )

− − =

∞

C A T T T t T dxpL

00

( )

− ⋅ −

−

−

=

∞

∞

∫

C A T T LT t TT T

dxpL

0

00

( )

− ⋅ −

−

−

=

∞

∞

∫

C AL T T L

T t T

T T dxp

L

0001

1 ( )

Q Qt max0 1= −( )

θ : Temperatura media adimensional. No la conocemos, perose puede graficar:

θ = f Bi Fo( , )

F01

F02

QQmax

Bi

Q0-t2 /Qmax

Q0-t1 /Qmax


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7. SISTEMAS DE CAPACIDAD

• Vamos a solucionar problemas que tratados directamente

son iterativos.• En un sistema de capacidad: Bi → 0

• Cuando F0 > 0.3 teníamos como solución:

θ δ δ( , , ) ( ) exp( ) cos( )x Bi Fo D Bi Fo⋅ − ⋅1 12

1Χ

D Bi11

1

1

2( )

sencos

=

δ

δ

Representemos la segunda fórmula :

• Cuando Bi → 0 la pendiente deδ

Bi → ∞

δ δ1 1Bi gcot

δ1 δ 2 δ3

δ

Bi

δ

cotgδ


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Por tanto: δ1 0

δ

δ

δ

δ

1

1

1

1

1

1

1

sen

cos

cos( )

→

→

→

⇒

x

D Bi1 1( ) →


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)Fo,Bi(1)Foexp(11

2)Fo,Bi,( 21 θ

Si δ δ1 1

⇒Bi gcot θ( , )Bi Fo = −exp( cot )δ1 1

Bi g Fo

cotcos

sengδ

δ

δ δ

11

1 1

1= →

δ δ1 1 1cotg →

θ

( , ) exp( )Bi Fo Bi Fo− ⋅

La expresión anterior es válida para una placa plana cuando elBi tiende a 0.

• Si Bi→

0 vimos que los gradientes de temperatura en elsólido son despreciables. No usamos la Ley de Fourier.

• Planteamos el 1er Principio a un sólido sin ∇ T en el interior.

AT : ÁREA DE TRANSFERENCIA

SISTEMA DE CAPACIDAD

GENERALIZACIÓN

AT

V Cp, ,T (t)

h

Fluido aT∞


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• La ecuación que rige el proceso es:

ρC VdT

dth T T Ap T− − ∞( ) siendo en t = 0 T = T0

Adimensionalizando: θ =−

−

∞

∞

T TT T0

ddt

hAC V

T

p

θ

ρ

θ− siendo en t = 0 θ= 1

Integrando se obtiene:θ

ρ

−

exp( )hAC V

tTp

hAC V

tkC

hk

AV

AAV V

thLc

kt

LcBi FoT

p pT

T

T

ρ ρ

α

= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ =

12

Longitud característica: LcV

AT=

α

ρ

kCp

θ = −

exp( )Bi Fo

CASO GENERAL: Bi

→ 0


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La cantidad de calor máxima que se puede transferir es:

)TT(VC ip ∞

Tomando como referencia la temperatura en X = 1:

tdA)TT(h)TT(VC T1X0ip ∞=

∞

∞

−

∫

(I)

En el sistema de capacidad:

tdA)TT(h)TT(VC T0 scip ∞∞

∞

−

∫

(II)

Cuando Fo = 0 se tiene que T Tsc x=1 ; por tanto, para que secumpla la igualdad de las dos integrales (I) y (II) para algúntiempo, debe ser T Tsc x=1 .

• Bi = 0 LAS TRES CURVAS COINCIDEN.

• Bi 0 LAS TRES CURVAS SON CASI IGUALES.

Fo ↓ ↓ Fo↑ ↑

θreal

θ

θsc

X

0 1

θreal

θ

θsc

X

0 1


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Ingeniería Industrial (2º Ciclo)

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∗ CRITERIO DE APLICACIÓN DE LA HIPÓTESIS DESISTEMA DE CAPACIDAD

T PUNTO QU

T PUNTO QU

E EVOLUCIONA MAS RAPIDAMENTE

E EVOLUCIONA MAS LENTAMENTE >

0 95.

θ

θ

( )

( ).

Χ

=

=

>

1

00 95

Se traduce en:

Lc CRITERIO

PLACA PLANA L Bi* < 0.1

CILINDRO r 2 Bi* < 0.05

ESFERA r 3 Bi* < 0.033

• En el ábaco no se entra con r 2 para el cilindro ni con r 3 para la esfera, sino con el radio r , cuando no se trata de unSistema de Capacidad.

• r 2 y r 3 lo usamos en Bi cuando es Sistema deCapacidad.

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