Conduccion Edo Estable 2d

7/24/2019 Conduccion Edo Estable 2d

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Placa plana en estado estable

0 ; 0 x a y b

( , )T x y

Para el caso de una placa plana con condiciones de frontera expresadas en el gráfico:

x y z

T T T T K K K q Cp

x x y y z z t




2 22

2 2 0; = 0T T

T x y

Proponiendo el método de solución de separación de variables:

Considerando:

•

Flujo de calor nulo en la dirección z (espesor << que a y b)• Sin generación interna de calor

• Régimen permanente

• Isotropia

T , =X Y ; x y x y

2 2

2 2

2 22

2 2

1

1

1

T T

XY XY

XY XY

XY x y




2 2

2

22

2 22

21 1 1

0;

1

Y

Y y

X Y X

X x Y y X x

2 2

2 2

2 2

2

( ) ( ) 0

0

1

( ) cos

D Y y

m

m

m i

Y y A y Bsen y

2

2

2

2 22

1=0

d Y Y

y

Y

dyY




22 2

2

2

2

1 X =0 X

X

d X

dx x

2 2

2 2

2 2

( ) ( ) 0

0

( ) 1 2 cosh senh x x

D X x

m

m

m

X x C e C e C x D x




cosh

cos

X C x Dsenh x

Y A y Bsen y

1 1

( , ) , , , ,m m n mn m n

m m

T x y C X X Y Y C X X Y Y

( , ) cos coshT x y A y Bsen y C x Dsenh x




Condiciones de frontera:

( ,0) cos 0 0 cosh 0

0

T x A Bsen C x Dsenh x

A

c( h, s) oT x y Bsen y C x Dsenh x

( , ) cos coshT x y A y Bsen y C x Dsenh x

1 ( ,0) 02 ( , ) 0

3 (0, ) 0

4 ( , ) 1 0

0

CF T xCF T x b

CF T y

CF T a y

Aplicando CF1:




Aplicando CF 2:

b

nn

b

2 ( , ) 0CF T x b

cosh (, ) )( Bsen b C x Dsenh x Bsen bX T x xb

( , ) ( ) 0T x b Bsen bX x 0 sen b

1

( )( , )n

Bn sen ny x X T x y

B Bn

c( h, s) oT x y Bsen y C x Dsenh x




Aplicando CF3:

3 (0, ) 0CF T y

1

( , ) coshn

T x y Bn sen ny C nx Dsenh nx

1

1

( , ) cosh ( ) ( ) 0

0,

,

0 0

( )

0n

n

T y Bn sen ny C n Dsenh n

C Bn D An

An sen ny sen x y hT nx




2 ( , ) 100CF T a y

1

( , ) 100n

T a y sen ny senh na An

Aplicando CF4:




0

2

0

0

0

1

( , ) 100

Determinando

1

1 cos2 y

2

00

=b b

n

b b

T x b sen ny senh na

An

sen ny senh na dy dy

s

An

An

ny An sen ny d A

i m n

sen my s

senh n d

en

na se a

my

nh n y

= 2

b

senh A nan




0

100cos 1

100 cos 1

2

2

100

00 1 cos

b

nbn

b senh na nb

n

nb

nb sen

sen

An

An

h na

ny dy

1

( , )

n

An sen ny senh nxT x y



Placa plana en estado estable Sí a = b = 10










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