UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOSFACULTAD DE INGENIERÍA GEOLÓGICA, METALÚRGICA Y GEOGRÁFICA

EAP INGENIERÍA CIVIL

COMPLEMENTO MATEMÁTICO Y TRIGONOMETRIA ESFÉRICA

1. Demuestre que: 1.1. u×v es ortogonal a u y v1.2. u×v=−v×u1.3. (r u )×v=r (u×v )1.4. u× ( v+w )=u×v+u×w1.5. u× ( v×w )≠(u×v )×w1.6. u× ( v×w )=−(u . v )w+(u .w)v1.7. [uv w ]=[v wu ]= [wuv ]1.8. [uv w ]=‖v×w‖Compv ×wu1.9. ‖u×v‖2+(u . v )2=‖u‖2‖v‖21.10. [uv (w+2u+3 v)]= [u vw ]1.11. [uv (w+3u+4 v)]= [uv w ]1.12. Si u×v=u×w y ‖v−w‖=m→v−w=m u‖u‖2. Si ‖u‖=2, ‖v‖=13 y ‖u×v‖=36, determine u . v3. Si ‖u‖=3, ‖v‖=8 y (u×v ) . (u×v )+(u×v )24. Determinar el área de un triángulo con vértices en los puntos A(1,

−12

, 1), B( −12

, −12

, 1) y C(2, -1, 2)5. Determinar el volumen del paralelepípedo de aristas u=(2 ,−4 ,6 ) ,

v=(2 ,2 ,−4 ) y w=(2 ,−6 ,8)6. Determinar el volumen del tetraedro formado por los siguientes vectores u=(1,−2 ,4 ) , v=(3 ,−5 ,3 ) y w=(3 ,−2 ,1), si existe7. Determinar el volumen del paralelepípedo de aristas u=(1,−2 ,3 ) , v=(1 ,1 ,−2 ) y w=(2 ,−1 ,1)8. Sea el vector x tal que es ortogonal al eje X y al vector a=(5 ,−2 ,3). Si x forma un ángulo agudo con el eje Z y ‖x‖=√117, calcular el vector x9. Si el volumen de un tetraedro regular es A u3 formado por tres vectores. Halle los vectores en posible caso10. Dado el paralelogramo ABCD en R3 de área 100u2. Si E esta sobre AB a 1

4 de la distancia de A a B y F esta sobre BC a 1

2 de B a C, calcular el área del triángulo DEF

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOSFACULTAD DE INGENIERÍA GEOLÓGICA, METALÚRGICA Y GEOGRÁFICA

EAP INGENIERÍA CIVIL11. Si w es ortogonal a u y v y el ángulo formado por u y v es 60°, calcular [uv w ], si ‖u‖=3, ‖v‖=2 y ‖w‖=312. Si u=(1,2 ,3 ) , v=(2 ,5 ,6) y ‖w‖=26, calcular w tal que w es ortogonal a u×v y u+v13. Determine el volumen del tetraedro cuyas aristas son los vectores A(1,5, 6), B( −1 ,2,3) y C(1, 3, -3), si existe14. Si u/¿ v y w+v=u, calcule [uv w ] . u

15. Calcular (a+b ) . [ (a×c )× (a+b )+c ], donde a=(1 ,1 ,1 ) , b=(2 ,1 ,3 ) y c= (1 ,1 ,4 )

16. Sean los vectores unitarios a ,b y c tal que b y c son ortogonales. Calcular (a×b ) . (a×b )−(c ×b ) . (b×c )+(a .b)(a .b)