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Captulo 2. La complejidad de aprender geometra y medicin por Owens y Outhred Posted by Mariana Saiz on viernes, 4 de octubre de 2013 Labels: Antologa sobre la enseanza de la geometra y la medicin, Antologa. Captulo 2

Citar como:Owens, Kay & Outhred, Lynne (2006) The complexity of learning geometry and measurement in Gutirrez A. and Boero, P. (Eds.) Handbook of Research on the Psychology of Mathematics Education. Past Present and Future. 2006 The Netherlands: Sense Publishers. Pgs. 115.

Introduccin al texto de Owens y OuthredComo se explic en la introduccin este captulo es un estado del arte preparado a partir de las presentaciones de reportes de investigacin durante las reuniones anuales del PME[1]. La diferencia con el captulo anterior es que este corresponde a la celebracin de la vigsima conferencia anual de este congreso, mientras que el anterior corresponda a una dcada solamente. Por lo tanto, el captulo abarca ms investigaciones y contiene ms temas, ya sea porque stos no eran considerados interesantes anteriormente o, simplemente, como en el caso de las nuevas tecnologas, no se haban desarrollado suficientemente ni terica ni experimentalmente.As mismo, la seleccin y organizacin de los resultados seleccionados variar de acuerdo a los intereses o preferencias de los autores.

Actividad anterior a la lectura1. Antes de leer este captulo:

Enuncie tres razones para ensear geometra en el nivel bsico de educacin.

Defina geometra de acuerdo con lo que usted sabe de esta rama de las matemticas.

Responda Le parece importante ensear geometra del espacio a nivel bsico?

Responda En qu grado cree usted que debe iniciarse la enseanza de la geometra?

La Complejidad de Aprender Geometra y Medicin

Kay Owens & Lynne OuthredEste captulo ofrece un panorama de una parte de la investigacin sobre geometra y medicin. Otro

material relevante puede encontrarse en los captulos sobre visualizacin, resolucin de problemas, prueba, tecnologa en la educacin matemtica y formacin de maestros.La investigacin en geometra y pensamiento espacial se origin a partir de estudios en la psicologa. Inicialmente la resolucin de problemas fue el foco de estos estudios y ha continuado como un rea de investigacin por 30 aos. En los aos setenta, algunos investigadores estaban interesados en la relacin de las habilidades espaciales con el aprendizaje matemtico y la resolucin de problemas, perootros continuaban construyendo sobre la teora de Piaget en cuanto a que el pensamiento de los nios sevuelve ms sofisticado con el tiempo (Lesh, 1978). Haba tambin un alejamiento de los estudios de factor analtico hacia otros factores dirigidos a entender el desarrollo de las construcciones de los conceptos geomtricos por los estudiantes y el papel de la imaginacin visual (visual imagery). Este alejamiento dio como resultado el avance de perspectivas tericas sobre visualizacin, desarrollo de conceptos y resolucin de problemas en geometra.El nfasis en la cognicin y las teoras estructurales ha sido complementado por estudios ms recientes en el contexto del aprendizaje. Hay una tensin continua entre los estudios de investigacin que enfatizan los aspectos visuales y contextuales de la conceptualizacin y aqullos que interpretan el aprendizaje en trminos de teoras del desarrollo, por ejemplo, la teora de Van Hiele (Gutirrez, 1996; Tall, 2004). La teora de Van Hiele ha influido fuertemente el trabajo sobre concepciones tempranas de ideas geomtricas y los procesos por los cuales los nios se desplazan desde un conocimiento inicial y habilidades visuales hasta los conceptos geomtricos y definiciones. Ha habido un nfasis creciente en las percepciones de formas bidimensionales de los estudiantes, particularmente acerca de sus imgenes prototpicas y representaciones. Sin embargo, ha habido menos estudios sobre las formas tridimensionales debido, en parte, a la dominancia de la investigacin sobre teoras del desarrollo estructuralistas y la complejidad de la visualizacin (Gutirrez, 1996).En la ltima parte de los aos setenta, se encontr que la geometra de las transformaciones y el movimiento de las figuras favorecan un entendimiento sobre la demostracin de teoremas Euclidianos.Desde entonces hasta ahora, muchos estudios se han enfocado en el uso de tecnologas computacionales, incluyendo Logo y, ms recientemente, programas de geometra dinmica. Un panorama de las investigaciones sobre tecnologa y prueba puede ser encontrado en los captulos sobre estos temas.Resolucin de problemas investigacin inicial y posteriorLa investigacin acerca del espacio y la geometra fue influenciada por una tendencia hacia la resolucin de problemas como una manera de aprendizaje (Lesh, 1978). En un compendio de la investigacin Lesh (1979) advirti que los buenos solucionadores de problemas hacan evaluaciones tempranas del problema, lo vean desde diferentes ngulos, perseveraban, aplicaban un acervo de modelos conceptuales y metforas estructurales y evaluaban la informacin relevante.Durante la resolucin de problemas, los estudiantes podan enfocarse en aspectos limitados del problema o malinterpretarlo debido a prejuicios concebidos con antelacin y perspectivas auto-orientadas (Lesh, 1979). Por ejemplo, algunos alumnos de 7 grado observaban la direccin derecha desde su propia posicin, en lugar de hacerlo desde una recta en el papel (Krainer, 1991; Lopez-Real, 1991). Tales interpretaciones limitadas pueden ser aminoradas si se trabaja en grupos, debido al efecto socializante de este tipo de trabajo (cf. la teora de Vigotsky, 1978). Los grupos proveen la oportunidad

para la imitacin, la satisfaccin, y la auto-estima as como para darse cuenta de que un problema puede resolverse de maneras diferentes (Lesh, 1979). Por ejemplo, Malara y Gherpelli (1994) encontraron que estudiantes de secundaria podan proponer problemas cuando trabajaban en grupos pero no de manera individual y que, en ocasiones, cuando los problemas eran ambiguos, la discusin engrupos los ayudaba a aclarar el texto.Las estrategias de resolucin de problemas espaciales han sido descritas por Gorgori (1996) como (a) Estrategias estructurales para relacionar la experiencia pasada o simplificar el problema, (b) Estrategiasde procesamiento (visual o verbal), y (c) Estrategias de acercamiento (global o parcial). Ella encontr algunas diferencias de gnero en el uso de las estrategias de estructuracin. Encontr que las estrategiasmetacognitivas eran importantes para estudiantes de ms edad a los que se les peda resolver un problema que involucraba la construccin de un cuadriltero, pero que tal monitoreo del comportamiento no era tan efectivo en estudiantes ms jvenes (tercer grado) (Yamaguchi, 1993). Los hallazgos de Yamaguchi han sido respaldados por Owens (1996b) quien encontr que nios de segundogrado hacan verificaciones perceptivas pero les faltaba confianza en, o no se daban cuenta de, sus estrategias. Se encontr tambin que la metacognicin fue importante para nios de secundaria superior(Reiss, Kline & Heinze, 2001). Estos investigadores reportaron que las variables que se correlacionan con resultados en problemas geomtricos (las preguntas del TIMSS) eran la habilidad espacial apoyada en tareas de razonamiento espacial, la metacognicin evidente en la resolucin de estas tareas, el conocimiento declarado sobre los conceptos geomtricos, y el conocimiento de procedimientos para generar pruebas. Los estudiantes usan una variedad de estrategias de discurso y dibujo cuando resuelven problemas (Robotti, 2001). Las transcripciones mostraron cmo los estudiantes formaban listas de informacin a partir de un diagrama basado en la observacin o conceptos conocidos. Los estudiantes reducan largas listas enfocndose en el propsito de la tarea (meta-discurso). El meta-discurso desplazaba la resolucin del problema hacia una nueva estrategia, propsito ms claro, o deduccin.EL LEGADO DE PIAGETLos psiclogos del desarrollo como Piaget han influido en la investigacin acerca del cambio en el pensamiento (Bishop, 1979). El cambio clave est en la progresin de un estado de relativa globalidady falta de diferenciacin a un estado de diferenciacin, articulacin e integracin jerrquica creciente (Werner, 1964, citado por Bishop, 1979, p. 22). Un elemento clave para causar un cambio es la intuicin, sobre la que Piaget coment: aunque efectiva en todas las etapas y fundamental desde el punto de vista de la invencin, el papel cognitivo de la intuicin disminuye (en un sentido relativo) durante el desarrollo. La formalizacin limita progresivamente el campo de la intuicin (en el sentido de pensamiento operacional no-formalizado) (Beth & Piaget, 1966, p. 225).En estudios con nios muy jvenes se encontr que en sus pinturas eran evidentes la simetra intuitiva y la elaboracin de patrones (Booth, 1984). Esta autora deline etapas de pintura espontnea ligadas a aspectos lgico-matemticos. Las etapas son la etapa de garabatos, la etapa topolgica y la etapa de patrones geomtricos, donde la ltima categora muestra patrones que surgen de una repeticin sistemtica de un elemento, o una divisin del plano que resulta en una traslacin, reflexin o incluso en patrones de rotacin. Al nombrar el patrn, ella postul que el pensamiento intuitivo se vuelve consciente y el patrn toma significado simblico.

Similarmente, estudios de dibujos hechos por nios mostraron que, cerca del la edad de 2 aos, los nios pueden producir diferentes clases de garabatos y muchos pueden representar un crculo y una recta cuando se les presenta una serie de diagramas a copiar. A la edad de 3 aos la mayora puede formar dos crculos separados o lneas horizontales y verticales que se cruzan y a la edad de 4 aos dibujan cuadrados, lneas oblicuas que se cruzan, y crculos que se intersecan. A medida que las figuras se vuelven ms complejas, la edad a la que los nios pueden reproducir las figuras vara considerablemente (Noelting, 1979). De cualquier manera, el orden de dificultad es bastante consistente, especialmente la complejidad de las lneas, el uso de lneas oblicuas y de figuras que se intersecan. Los estudiantes dominan la perspectiva gradualmente a travs de la coordinacin de relaciones parte-todo y direccin (Noelting, 1979; Mitchelmore, 1983).El conocimiento desarrollado a travs de experiencias de aprendizaje incidental puede proveer un antecedente para la intuicin (Van Hiele, 1986) y puede explicar por qu los nios podran reconocer tringulos rectngulos en la posicin estndar con los lados ms cortos en las posiciones horizontal y vertical pero no en varias posiciones oblicuas, incluso despus de tener entrenamiento (Cooper & Krainer, 1990). Se encontr que el efecto del conocimiento anterior afecta el desarrollo de las estudiantes de conceptos geomtricos sencillos, especialmente la reflexin sobre una lnea (Schmidt, 1980). Los estudiantes no atendieron a las caractersticas importantes del diagrama y tuvieron dificultadpara producir dibujos simtricos.Investigacin posterior mostr que la intuicin no est limitada a la niez temprana. Por ejemplo, estudiantes terciarios[2] carecan de conexiones entre sus procesos intuitivos e imgenes mentales y las representaciones analticas y grficas del estado estacionario en ecuaciones de calor (Farfn y Hitt, 1990). La intuicin basada en la experiencia previa fue llamada ojo geomtrico por Fujita y Jones (2002) quienes crean se desarrollaba a partir de ejercicios prcticos previos a observar teoremas tericos. Los Van Hiele tambin proporcionaron experiencias prcticas antes de moverse a la prueba deductiva (Van Hiele, 1986). Este conocimiento primitivo y la elaboracin de imgenes han sido postulados como la base del aprendizaje (Kieren & Pirie, 1992).EL MODELO DE VAN HIELE DEL RAZONAMIENTO GEOMTRICOLos Van Hiele propusieron un modelo de pensamiento geomtrico que comprende cinco niveles de razonamiento: reconocimiento (solamente percepcin visual); anlisis (una figura es identificada por propiedades); clasificacin o deduccin informal (la importancia de las propiedades es comprendida claramente); deduccin formal (se construyen pruebas geomtricas); y rigor (un aspecto que ms tarde se mostr que era difcil de operar y diferenciar del nivel previo). El pensamiento se desarrolla a partir de un nivel visual tipo gestalt a travs de niveles de sofisticacin creciente que involucran la descripcin, el anlisis, la abstraccin y la prueba. Los Van Hiele crean que la instruccin debera ajustarse a los niveles de pensamiento de los estudiantes y propusieron un modelo de enseanza y aprendizaje que sugera cmo trasladar a los estudiantes de un nivel de pensamiento al siguiente (Hoffer, 1983). En el modelo de Van Hiele los niveles son considerados jerrquicos y discontinuos, con cada nivel dependiente del dominio del nivel anterior (Alfonso, Camacho & Socas, 1999; Clements & Battista, 1991; Lawrie, 1998). Sin embargo, Burger y Shaughnessy (1986) propusieron que los niveles eran dinmicos y continuos ms que estticos y discretos.Clements y Battista (1991) consideraron que los niveles parecan describir el desarrollo geomtrico de

los estudiantes. Sin embargo, encontraron que los estudiantes podan tener dificultad para clasificar, especialmente en la transicin del nivel 2 al nivel 3, y que existe tambin alguna evidencia de un nivel ms bsico que el nivel 1 de los Van Hiele (pensamiento visual). Ellos reportaron que la investigacin indica consistentemente que los niveles son jerrquicos, aunque aqu hay excepciones tambin (p. 224). Se ha encontrado que el nivel 5 es distinto que los otros niveles, lo cual podra explicar por qu Van Hiele propuso tambin un modelo de tres niveles que colapsa los niveles 3 a 5 en uno debido a las dificultades para alcanzar estos niveles. El alcanzar los niveles no est relacionado estrictamente con la edad, y el desarrollo a travs de la jerarqua es una funcin de la enseanza y el aprendizaje. Ankara (1995) encontr que algunos conceptos de cuadrilteros bsicos se desarrollan de acuerdo con el modelo de Van Hiele pero que el nivel al que un estudiante es asignado puede variar dependiendo de la figura geomtrica involucrada.La transicin entre niveles ha sido el foco de atencin de varios estudios. Algunos aspectos significativos de la transicin del nivel 1 (reconocimiento basado en la perspectiva global de una figura) al nivel 2 (anlisis de las propiedades de las figuras) fueron (a) la comprensin de que los aspectos de la figura son importantes (identificacin de caractersticas), (b) el intento de documentar ms de una caracterstica, y (c) el agrupamiento de figuras basndose en una sola propiedad (Pegg & Baker, 1999). Como se mencion, la transicin del nivel 2 al nivel sido identificada como problemtica(Clements & Battista, 1991). Una caracterstica distintiva del nivel 3 es la inclusin de clase la interrelacin ente dos conjuntos cuando todos los miembros del primero son miembros del segundo (por ejemplo, los cuadrados como un subconjunto de los rectngulos). Una falta de reconocimiento de esta relacin indic que muchos estudiantes de 8 grado estn en el nivel 2 (Matsuo, 1993; Currie & Pegg, 1998). Matsuo (1993) sugiri que la clasificacin hecha por los estudiantes de un cuadrado comorectngulo pareca depender de la propiedad en la que ellos se enfocaran. Si su definicin del concepto de un rectngulo era cuatro ngulos rectos o lados paralelos, ellos probablemente consideraran que un cuadrado pertenece a la clase de los rectngulos. Sin embargo, si ellos se enfocaban en los rectngulos como figuras que tienen dos lados largos y dos lados ms cortos, el cuadrado era clasificado como un caso separado.De Villiers (1998) argument que las definiciones formales se pueden desarrollar solamente en el nivel 3, dado que en este nivel los estudiantes empiezan a notar interrelaciones entre las propiedades de una figura. l discuti permitir las definiciones visuales, no econmicas y econmicas en los niveles 1 al 3 respectivamente, y tambin consider definiciones jerrquicas y partitivas. Las definiciones jerrquicasdefinen los conceptos de manera tal que la mayora de las clases particulares forman subclases de los conceptos ms generales, mientras que en las definiciones partitivas las varias subclases de los conceptos son consideradas ajenas una de la otra; por ejemplo, los cuadrados estn excluidos de la clase de los rectngulos (Heinze, 2002). De Villiers encontr que muchos estudiantes preferan las definiciones partitivas ms que las jerrquicas, y concluy que los estudiantes deberan ser involucrados activamente en la formulacin y evaluacin de las definiciones. Se encontr que los estudiantes que fueron involucrados en la argumentacin y la justificacin acerca de las diferentes caractersticas de una definicin matemtica, cambiaban su opinin como resultado de las interaccionesy discusiones con sus pares, adems de darse cuenta que las definiciones de los textos no eran inviolables, y que era posible dar definiciones alternativas (Shir & Zalavsky, 2002). Las definiciones

que requieren anlisis (por ejemplo, tres ngulos de 90 y dos lados adyacentes de la misma longitud) animaron a los estudiantes a pensar sobre condiciones necesarias y suficientes en el nivel 3 de Van Hiele (Heinxe, 2002).Shir y Zaslacsky (2001, 2002) comentan que entre los investigadores existe desacuerdo en cuanto hastadnde la definicin de una forma debe ser mnima en informacin. Ellos clasificaron los argumentos usados por los estudiantes como: (a) Matemticos (correctos, equivalentes a la definicin conocida, tiles y mnimos), (b) Receptivos (e.g. claros, basados en conceptos bsicos, cortos, familiares) o (c) Figurativos (basados en propiedades). Una actividad diseada para resaltar definiciones diferentes era considerada valiosa para involucrar a los estudiantes en la argumentacin y la justificacin y para darsecuenta que las matemticas son una disciplina humana en la que hay espacio para varias opiniones (Shir & Zaslavsky, 2002, p. 208). En el trabajo de alumnos de 10 grado las definiciones procedimentales (orientadas a la construccin) fueron las dominantes cuando ellos usaron Cabri (Furinghetti & Paola, 2002).Algunas entrevistas individuales indicaron que los argumentos cuasi-empricos eran satisfactorios para estudiantes de grados 10 (De Villiers, 1991). As que, doblar un tringulo issceles sobre su eje de simetra era suficiente para explicar que los ngulos de la base son iguales. El repetir un experimento con ejemplos diferentes tambin era convincente. Sin embargo, en un grupo, De Villiers encontr que algunos estudiantes requeran una explicacin que fuera lgico-deductiva. Patronis (1994) arguy que tales argumentos pragmticos no son slo descripciones de experiencias especficas sino que proveeninterpretaciones de actividad matemtica y construccin social de conceptos. Por ejemplo, en una clase de alumnos de 16 aos de edad se tomaron ngulos adyacentes cuya suma fuera un ngulo llano y se mostr que las bisectrices de los ngulos eran perpendiculares, usando mediciones de ngulos como prueba. Laborde Y Capponi (1995) mostraron que los estudiantes se mueven continuamente de lo queellos denominan geometra espacio-grfica a la geometra terica. Cuando elabora una prueba, el estudiante usa la figura, alternativamente, para hacer conjeturas o controlar resultados, luego cambia a usar definiciones y teoremas, despus regresa a la figura y as sucesivamente. Una investigacin reciente sobre la prueba, hecha por Lin (2005), mostr que los estudiantes podan aprender prcticas eficaces tales como refutar y conjeturar en geometraMucha de la investigacin relacionada con el trabajo de Van Hiele ha involucrado el reconocimiento delos estudiantes de las figuras y sus propiedades. En contraste, Callingham (2004) investig las teselaciones. El progreso del conocimiento de los estudiantes sobre las teselaciones no est bien comprendido, con la excepcin de un arreglo de unidades cuadradas (Outhred y Mitchelmore, 2004). Callingham utiliz los niveles de Van Hiele como una manera de describir la comprensin de los estudiantes acerca de las teselaciones. La mayora de los estudiantes poda describir un arreglo de cuadrados en el nivel 1 o 2 (nombra las formas y, ya sea informal o tcnicamente, describe la transformacin) pero para otras figuras los estudiantes estaban en un nivel de visualizacin y slo reconocan y nombraban las figuras.Evaluacin de los niveles de Van HieleAlgunos investigadores han propuesto y probado maneras diferentes de evaluar los niveles de Van Hiele. Gutirrez y Jaime (1987) administraron pruebas sobre polgonos, medicin y slidos, a futuros maestros de primaria y mostraron una jerarqua para los niveles de Van Hiele de 4, pero los autores

sugirieron que un nivel 5 (rigor) justificara una investigacin posterior. El nivel de un estudiante en un tema no servira como un vaticinio de su nivel en otro tema (Gutirrez, Jaime y Fortuna, 1991). Ellos encontraron que el progreso del estudiante a travs de los niveles podra no ser estrictamente lineal, dado que los alumnos podran estarse desarrollando en varios niveles simultneamente. Subsecuentemente, Gutirrez, Jaime, Shaughnessy y Burger (1991) compararon dos maneras diferentesde evaluar los niveles, entrevista clnica versus prueba de papel y lpiz, y dos interpretaciones diferentes de la adquisicin de niveles, una suponiendo niveles discretos, la otra suponiendo niveles continuos. Los autores consideraron que usar grados de adquisicin de cada nivel proporciona una mejor evaluacin comparado con la asignacin en un solo nivel.Jaime y Gutirrez (1994) propusieron un marco terico para disear pruebas para evaluar el modelo de Van Hiele. Ellos identificaron cuatro procesos que caracterizan los primeros cuatro niveles de Van Hiele; identificacin, definicin, clasificacin y prueba, y evaluaron cada proceso que consideraban fundamental para el razonamiento en ese nivel. Los resultados de su prueba sobre polgonos y conceptos relacionados mostraron que muy pocos estudiantes de secundaria tenan un entendimiento intermedio o superior a los niveles 3 y 4 (Gutirrez y Jaime, 1995). Los autores sugirieron que un factorque contribuye a ese resultado puede ser el nfasis puesto en la prueba formal cuando los estudiantes slo razonan en los niveles 1 y 2.Lawrie (1998, 1999) compar dos mtodos para evaluar los niveles de Van Hiele. Ella sugiri que el mtodo de Gutirrez, Jaime y Fortuny (1991), que supone que los niveles son continuos y que una respuesta de un estudiante puede mostrar pensamiento de ms de uno de los niveles, era ms apropiado para evaluar que la prueba de Mayberry, la cual supone que los niveles son discontinuos, por lo que cada tem es diseado para probar un nivel especfico. Lawrie (1999) tambin encontr que no todas laspreguntas en la prueba de Mayberry evaluaban el nivel para el que fueron diseados. Sus resultados respaldan la jerarqua de los niveles de Van Hiele y mostraron que mientras ms alto el nivel, ms bajo el grado de adquisicin. Sin embargo, algunos estudiantes de alto rendimiento malinterpretaron algunaspreguntas del nivel 1, mientras que la redaccin generalizada de algunas preguntas del nivel 3 contribuy a hacerlo ms difcil, y la evaluacin del nivel ms alto fue problemtica. La evaluacin de los tres niveles ms altos ya haba sido identificada como problemtica en investigaciones anteriores (Fuys, Geddes y Tischler, 1988).Los estudiantes para maestros en el estudio de Lawrie mostraron slo los niveles 1 y 2 de razonamientoy sus hallazgos para estudiantes de magisterio son respaldados por el de Alfonso, Camacho y Socas (1999) cuyo estudio a profundidad con seis maestros mostr que slo dos de ellos alcanzaban el nivel 3. Los autores concluyeron que no slo el conocimiento geomtrico, sino tambin los acercamientos a la enseanza, podran estorbar a los maestros en la implementacin de un currculum de geometra basado en la teora de Van Hiele.El modelo de Van Hiele explica el desarrollo del aprendizaje de la geometra acerca de formas bidimensionales en la geometra pero Guilln (1996) ha propuesto una caracterizacin de los niveles 3 para slidos tridimensionales. Basados en los niveles de Van Hiele, Saads y Davies (1997) disearon una prueba que incorporaba las categoras de percepcin espacial de Del Grande (1987) para medir el entendimiento de la geometra tridimensional.CAMBIANDO LAS VISIONES TERICAS

En los aos setenta los psiclogos estaban interesados en cmo las habilidades espaciales se relacionaban con el aprendizaje matemtico (Schonberger, 1997). Algunos tems sobre habilidad espacial fueron analizados en trminos de factores de prueba. Tpicamente tales factores incluyen orientacin, reconocimiento tanto de figuras de dos dimensiones como de tres, posiciones diferentes, as como relaciones espaciales, el reconocimiento de una pieza en un diseo o el doblado de un patrn para formar una imagen tridimensional (Schonberger, 1979; Tartre, 1990).Aunque hay una larga historia de inters en la relacin entre la habilidad espacial y el conocimiento matemtico (Bishop, 1989, 1989), el cambio desde los estudios analticos a gran escala hasta las entrevistas clnicas provey un estmulo para reconocer las diferencias individuales en la manera en que los nios resuelven tareas espaciales. Tales estudios permitieron a los educadores estudiar los efectos de la cultura y el entrenamiento en habilidades espaciales y matemticas, aunque puede ser que los resultados de esos estudios no sean consistentes (Bishop, 1979). Por ejemplo, en varios estudios se ha encontrado efectivo el entrenamiento (Ben-Haim, 1983; Bishop, 1979; Kwon, Kim y Kim, 2001; Owens, 1992) pero en otros menos efectivo (Malara y Iaseros, 1997). Los antecedentes del hogar y el contexto fueron evidentes en algunos estudios. Por ejemplo, Mitchelmore (1984) sugiri que las industrias de las familias daban a los estudiantes un entendimiento excepcional en simetra. Boero (2002) sugiri que las experiencias rurales afectaban los problemas de sombras, y Masinglia (1992) encontr que los instaladores de alfombras y tasadores estimaban, visualizaban arreglos espaciales y usaban medicin informal. Algunas tcnicas para dividir rectngulos y hacer ngulos rectos encajaban en prcticas que usaban instrumentos no-geomtricos (Fioriti y Gorgori, 2001; Masinglia, 1992). Berthelot (1994) y Bishop (1979) enfatizaron tambin el impacto de tres clases de espacio: (a) Micro-espacio (juguetes, dibujos, modelos), (b) Meso-espacio (habitaciones) y (c) Macro-espacio (espacio exterior) ya que existe un punto de vista diferente para cada uno. Puede decirse que cada uno de estos estudios considera el sentido espacial.Algunos investigadores empezaron a recapacitar sobre las habilidades espaciales y el sentido espacial en trminos de la imaginera (Brown y Presmeg, 1993). Las habilidades espaciales y la imaginera involucran procesos funcionales y estrategias. Bellin (1980) intent integrar teoras con acercamientos estadio-estructuralistas (como las de Piaget y Van Hiele) y acercamientos orientados en procesos funcionales (estrategias) al desarrollo de la geometra. l estudi a nios de seis aos que emprendan actividades de transformacin (dobleces, deslizamientos, giros) y encontr patrones exitosos de las estrategias usadas. Bellin concluy que el uso de estrategias, ms que una estructura cognitiva supuesta, explicaba los resultados.La relacin entre las habilidades espaciales y el aprendizaje de conceptos geomtricos se intensific porlos acercamientos visuales al aprendizaje de la geometra introducidos por la programacin en Logo. Logo es un ambiente computacional de final abierto (open-ended) que puede proporcionar un acercamiento alternativo al aprendizaje de los conceptos geomtricos. En el estudio de Hillel (1986), los estudiantes dividan, intuitivamente, una figura en partes. Estas partes no eran necesariamente formas para las que los estudiantes tuvieran ya procedimientos de construccin con Logo, sino que podan ser partes primarias, por ejemplo, lneas. El sugiri que la carencia de conocimiento conceptual podra haber restringido el progreso y no solamente la habilidad para establecer la direccin para girar o calcular el tamao con el programa. Con el fin de demostrar la ventaja de la retroalimentacin

inmediata en un micromundo basado en Logo, Edwards (1990) enumer los cambios en el conocimiento conceptual de los estudiantes y sus habilidades para desarrollar una representacin simblica de las transformaciones geomtricas. Los datos que l tena acerca de tres estudiantes que hacan transformaciones mostraban que ellos requeran ayuda con la rotacin alrededor de un punto, con la reflexin sobre una lnea fuera de la figura y para deshacer una transformacin (Edwards, 1994).La facilidad con la que una figura poda ser copiada era un apoyo para desarrollar el conocimiento sobre simetra de algunos estudiantes de secundaria, porque ellos, no slo se divertan, sino que podan observar lo que pasaba, hacer preguntas e investigar (Haddas, 1990).RAZONAMIENTO VISUALEn un intento por reunir las varias perspectivas sobre la visualizacin con el desarrollo estructurado, Gutirrez (1996) resumi gran parte del debate sobre la visualizacin. El not que los procesos visualesestaban involucrados al interpretar: (a) Las representaciones externas para formar imgenes mentales y (b) La imagen mental para generar informacin. Ambas interpretaciones fueron asistidas por habilidades de visualizacin tales como la percepcin figura-entorno (encajar/desencajar), la rotacin mental, la percepcin de la posicin espacial, la percepcin de relaciones espaciales y la habilidad de enfocarse en las propiedades a pesar de otras caractersticas (e.g. color, orientacin o tamao) de la imagen. Estos procesos visuales (habilidades de interpretacin y visualizacin) forman el razonamientovisual.El razonamiento visual fue caracterizado ya sea como local o como global por Hershkowitz, Friedlander y Dreyfus (1991). Ellos analizaron las respuestas de alumnos de grados 9 a 10 a un tem que les peda identificar los dibujos de lugares geomtricos que satisfacan una condicin dada, tras la experiencia con un paquete de software, LOCI, que ilustraba el lugar geomtrico visualmente. Algunos estudiantes razonaban sistemticamente en todos o la mayora de los casos, pero otros cambiaban su razonamiento de caso a caso. El contexto del problema tambin afecta el nivel de razonamiento usado por los estudiantes. Gutirrez y Jaime (1993) recomiendan, para promover las estrategias de los estudiantes tales como anlisis y rotacin de imgenes y razonamiento visual, que los estudiantes experimenten tanto con objetos concretos como computacionales y que representen formas en diferentes orientaciones.Muchos investigadores (Brown y Wheatley, 1989, Reynolds y Wheatley, 1991; Presmeg, 1986a, 1986b) encontraron que los estudiantes usan la imaginera para construir significado matemtico e hipotetizaron que la imaginera en las clases de matemticas podra ayudar el desarrollo de unas matemticas relacionales y llenas de sentido (Brown y Presmeg, 1993). Siguiendo el trabajo anterior dePresmeg sobre tipos de imaginera, Brown y Presmeg (1993) encontraron que los estudiantes de 5 a 11 grado mostraban muchos tipos comunes de imaginera, aunque tambin existan grandes diferencias entre los estudiantes en cuanto al tipo de, y la facilidad con, la imaginera usada. Los estudiantes con un mayor entendimiento relacional tendan a usar formas ms abstractas de imaginera, tales como la imaginera dinmica y de patrones. Owens (1992, 1996b) mostr un rango similar de formas de imaginera durante la resolucin de problemas espaciales en estudiantes ms jvenes. Ella las agrup en los siguientes cinco grupos (Owens, 1999): (a) Estrategias preliminares o emergentes; (b)Estrategias perceptivas (se requiere usar materiales); (c) Estrategias de imaginera pictrica esttica; (d)Imaginera dinmica y de patrones; y (e) Estrategias eficientes (explicadas usando tanto conocimiento

visual como verbal).La imaginera visual es uno de los muchos procesos cognitivos que puede ayudar a resolver problemas espaciales (Owens, 1996b). Otros procesos cognitivos son poner atencin selectivamente, percibir, escuchar, mirar, pensar intuitivamente, conceptualizar, y las heursticas tales como establecer el significado del problema, desarrollar tcticas, auto monitorear y verificar, junto con procesos afectivos como xito, confianza, inters, y tolerancia de situaciones abiertas. La importancia de su investigacin es que fue realizada en el aula, y parece indicar una mayor divergencia en el pensamiento espacio-visual de lo que se podra haber esperado antes (Gray, 1999).La importancia de aquello en lo que los estudiantes ponen atencin al resolver problemas espaciales ha sido investigado ampliamente (e.g. Battista y Clements, 1992; Latner y Movshovitz-Hadar, 1999; Kieren y Pirie, 1992; Leung, 2003; Mason, 1992; Owens y Clements, 1998). Kieren y Pirie (1992) ilustraron el aprendizaje como anidado en crculos en donde el crculo ms interno representa al conocimiento primitivo. Ellos conjeturaron que los estudiantes aprenden a travs de formar imgenes, tener imgenes, notar propiedades, formalizar, observar, estructurar e inventar. Cuando es necesario los estudiantes regresan a un nivel anterior antes de progresar.Se ha mostrado tambin que el programa de computadora Logo ayuda a la atencin y a la extensin delrazonamiento visual. Estudiantes que usaron Logo para desarrollar conceptos geomtricos tales como cuadrado, rectngulo y cuadriltero superaron a los estudiantes control (Battista y Clements, 1992). Algunos estudios de caso ilustraron la fuerza del razonamiento visual desarrollado por el uso de Logo. Por ejemplo, los estudiantes hablaban de giros iguales para hacer un cuadrado y para hacer un pavimentado de cuadrados. Logo alienta un pensamiento visual ms sofisticado en estudiantes ms jvenes y tambin permite a estudiantes en grados ms altos notar propiedades. Los estudiantes de ms edad reconocieron que los cuadrados tienen propiedades especficas de los rectngulos y gradualmente desarrollaron una relacin estructurada entre los rectngulos y los cuadrados. Ellos observaron que el uso apropiado de Logo ayuda a los estudiantes para que empiecen a hacer la transicin del nivel de pensamiento visual de Van Hiele al descriptivo/analtico (p. 57).De acuerdo con Ruiz, Lupiaez y Valdemoros (2002) la tecnologa ayud con la clasificacin de formas centrando la atencin de los estudiantes en la semejanza para clasificar. Su estudio mostr que algunas tareas que involucran software de computadora eran efectivas en la escuela elemental, pero otras eran ms adecuadas para establecer nociones de razn y proporcin en la escuela secundaria temprana. Las tareas en s mismas eran comprometedoras y abarcaban varias reas matemticas. Inicialmente se hacan juicios intuitivos seguidos de comparaciones en las que los objetos (formas en lapantalla) eran sobrepuestos uno sobre el otro y se hacan comparaciones cuantitativas. Por ejemplo, en la escuela elemental, algunos conjuntos de rectngulos se sobreponan unos a otros y eran comparados. La percepcin visual de la semejanza iba seguida de una medicin para confirmar tal percepcin.Meissner (2001) revis artculos tericos que tratan con imgenes, conceptos y procesos. l hizo referencia a (a) el trabajo de Tall y sus colegas en trminos del smbolo que representa tanto al proceso como al producto; (b) La teora de Sfard sobre la interiorizacin del proceso, la condensacin a travs de ejemplos diversos, y la reificacin[3] con un concepto imagen, y (c) La teora de Duninsky de las acciones, procesos, objeto y esquema. La contribucin de Meissner a esta rea es proveer diagramas que l llam smbolos para proporcionar el pensamiento flexible asociado con proceptos[4]

conceptos preliminares a la formacin de conceptos. l ilustr cmo los diagramas de redes y otros diagramas podan, como otros smbolos, desarrollarse como un conjunto de procedimientos con reglas (transformaciones) y actuar como ambos: proceso y objeto, as como ser extendidos, cambiados y manipulados.Para examinar el juego entre imagen y concepto, y el papel de las imgenes prototpicas y los preceptos, podemos tomar el concepto de ngulo. Los ngulos tienen numerosos significados asociadoscon imgenes, metforas y estructuras metonmicas que son construidas por los estudiantes a partir de sus experiencias, y condensadas como modelos cognoscitivos (Matos, 1994). Muchos conceptos estn insertados en experiencias corporales (e.g. el modelo de un cuerpo que gira o de una trayectoria). Otras nociones son ngulos como unos puntos, como un surtidor, como un camino, como dos lneas que se conectan, como un punto de interseccin, como una esquina interior, y como una abertura. Cada nocinest asociada con una imagen, una metfora y una estructura metonmica. Sin embargo, los estudiantes perciben un ngulo, inicialmente, como esttico ms que como un giro dinmico (Mitchelmore y White, 1996). Estos autores sugieren que, antes de abstraer un concepto general de ngulo, los estudiantes primero entiendan los ngulos en un contexto particular. Ellos mostraron que nios de 2, 4 y 6 encontraron ngulos en una variedad de contextos distintos, algunos de los cuales eran dinmicos, como en puertas y tijeras que abren y cierran, mientras otros eran estticos como un ngulo en una figura (Mitchelmore y White, 1998). Ellos encontraron el siguiente desarrollo en el reconocimiento de la semejanza de ngulos: (a) Contextos de paredes, cruce de carreteras, y mosaicos, (b) Tijeras, (c) Abanicos y seales de camino empinado, (d) Abrir una puerta, y pendiente de una colina, y (e) Giro de una rueda. Las tijeras, el abanico y la puerta correspondan todos a aberturas, la pendiente de una colina y la seal de empinado eran semejantes, mientras que la rueda era ms difcil porque los brazos del ngulo no son visibles.Un contexto alternativo para aprender acerca de los ngulos ha sido el software para computadora Logo. Los resultados de un estudio anterior de Kieran (1986) podran ser explicados por las dificultadesque Mitchelmore y White han articulado. El ngulo como una cantidad de giro formado por la tortuga mvil en la pantalla continuaba confundiendo a los estudiantes despus de la experiencia (Kieran, 1986). Incluso un intento de resaltar el giro de la lnea con rayos lser no habilit a los alumnos para ver el tamao del giro en lugar del ngulo esttico formado por dos lneas. El concepto de ngulo y la habilidad para reconocer ngulos iguales cuando la longitud de los lados y la orientacin eran cambiados no era mucho mejor en los estudiantes del grupo que us lser que en el que no lo us. La mayora de los nios no van a adquirir las ideas matemticas poderosas subyacentes a Logo sin un buencodazo[5] de vez en cuando (Kieran, 1986, p. 104). Ella encontr que alumnos de cuarto grado, despus de un ao con Logo, parecan mantener los ngulos estticos y su medida en un compartimiento mental, y los giros dinmicos y su aportacin[6] en otro, adems de basarse en claves perceptivas ms que en conocimiento sabido. Los alumnos de sexto grado parecan ms capaces de integrar la imaginera esttica y dinmica. Mitchelmore y White (1998) se refieren a este desarrollo como la abstraccin del concepto de ngulo.Noss (1986), sin embargo, encontr que usar Logo tena un efecto significativo en comparar ngulos desiguales en orientaciones distintas y en identificar el menor ngulo en un conjunto. Los resultados de la investigacin de Scally (1987) indicaron que Logo puede haber ayudado a los estudiantes a

desarrollar conceptos de ngulos pero que casi todos los estudiantes estaban en los niveles 1 y 2 de Van Hiele tanto para las evaluaciones del pre-como del post-test.Los estudiantes necesitan aprender a razonar sistemticamente y visualmente y a estar concientes de lasimgenes prototpicas. Styliniaou, Leilin y Silver (1999) exploraron las estrategias de solucin al resolver problemas de visualizacin que involucraban desarrollos planos (patrones de armado de slidos geomtricos). Alrededor de la mitad de los alumnos de octavo grado usaban un modo mental para discurrir los desarrollos planos, mientras que otros utilizaron material concreto. En ambos modos, algunos estudiantes trabajaron sistemticamente mientras que otros usaron el mtodo de ensayo y error.Los estudiantes que usaron materiales concretos podan cortar una cara y ponerla sistemticamente en varias posiciones para formar nuevos patrones. Los estudiantes que iban y venan entre dos y tres dimensiones hacan ms ensayos y obtenan patrones repetidos, generalmente. Algunos acercamientos similares para hacer pentaminos fueron evidentes en el estudio de Owens (1992). Algunas dificultades inherentes en el desdoblamiento mental de slidos tridimensionales se mostraron cuando se les pidi a algunos nios desdoblar mentalmente el tetraedro, el paraleleppedo y el cubo (Mariotti, 1991, 1993). Ella encontr que la imagen mental del tetraedro era afectada por experiencias anteriores de figuras estndar de desarrollos planos de la pirmide cuadrada (una imagen prototpica). Los estudiantes que exitosamente analizaron formas tridimensionales usando objetos mentales no fueron capaces, necesariamente, de mantener huellas de las caractersticas en el modelo fsico.Las respuestas de los estudiantes fueron las mismas independientemente que ellos usaran un modelo o un diagrama (Kopelman y Vinner, 1994). Los investigadores notaron que el avance con la edad indicaba la base social de los conceptos espaciales. Las experiencias y conceptos anteriores influan en el reconocimiento de ngulos iguales en diagramas complejos (Owens, 1999) pero no parecan ayudar alos aprendices experimentados en su entendimiento acerca de las lneas paralelas o los ngulos entre lneas que no estn en el mismo plano (Kopelman, 1996).Los estudiantes enfrentan otras dificultades visuales cuando resuelven problemas. La perpendicularidady el paralelismo tienen un impacto sobre la realizacin e interpretacin de dibujos y sobre la formacin de conceptos. Una investigacin inicial (Mitchelmore, 1983) mostr que una representacin aceptable de una figura tridimensional regular requera que los nios reconocieran lneas paralelas en un slido, darse cuenta que las rectas paralelas son claves significativas y representar el paralelismo apropiadamente. Ms tarde Mitchelmore (1992) mostr que las concepciones de los estudiantes sobre la perpendicularidad no eran primitivas, desde el punto de vista perceptivo, como lo eran para el paralelismo. Algunos estudiantes pensaban que todas las rectas que se intersecaban lo hacan en ngulos rectos o no las reconocan en los rectngulos y, aun los mejores estudiantes, no reconocan a los ngulos rectos si no era con lados verticales y horizontales (por ejemplo los inscritos en hexgonos)o cuando tenan que ser imaginados para los lados no adyacentes del octgono rectangular. Se ha encontrado tambin que los estudiantes tienen dificultades en desencajar el ngulo de la configuracin (Owens, 1996a) y del contexto cuando se abstrae el concepto de ngulo (Mitchelmore y White, 1998). Algunas experiencias con representar con gestos las direcciones de ngulos y hacer un transportador sencillo, acompaadas de una reflexin sobre la experiencia, resultaron ser benficas en el aprendizaje del concepto de ngulo (Krainer, 1991).En las secciones iniciales de este captulo se estableci que la intuicin es una nocin importante para

entender el aprendizaje de la geometra por parte de los estudiantes. Esta seccin ha ilustrado que las imgenes prototpicas (Hershkowitz y Vinner, 1983) siguen siendo aspectos importantes de la intuicin y que la investigacin se ha extendido y ha mostrado cmo las imgenes prototpicas tambin pueden conducir a dificultades en el aprendizaje. Sin embargo, la percepcin visual no es el nico proceso que puede limitar el desarrollo conceptual de los estudiantes. La percepcin tctil tambin puede presentar dificultades relacionadas con tener experiencias sobre los objetos, tomar decisiones iniciales de tipo gestalt, carecer de conexin entre la memoria a largo y a corto plazo y hasta con reconocer partes de slidos (Jirotkov y Littler, 2002). La tarea de explorar con el tacto un slido colocado en una bolsa y despus sentir el mismo slido en otra bolsa dio como resultado un rango de caminos para la solucin ms amplio que lo esperado.Interpretacin y uso de representaciones diagramticasLa interpretacin de representaciones en dos dimensiones de formas tridimensionales est influenciada por las experiencias culturales y escolares (Bishop, 1983). Los estudiantes necesitan aprender convenciones sobre diagramas, ya que este conocimiento afecta su desempeo en los problemas, y tambin reconocer caractersticas crticas y no-crticas de una imagen (Hershkowitz, 1989; Lpez-Real y Veloo, 1993; Harada, Gallou-Dumiel y Nohda, 2000; Dvora y Dreyfus, (2004). Las representaciones pueden tener un estatus doble: (a) una finitud en el sentido de una forma finita y variada en su espacio-temporalidad; (b) una forma geomtrica en su objetividad ideal, separada de las restricciones materiales ligadas a su representacin externa (Mesquita, 1994, p. 271). Las representaciones construidas usando relaciones geomtricas tienen las caractersticas de objetos (representaciones de un esquema mental) mientras que los diagramas topolgicos o proyectivos tienen las caractersticas de ilustraciones. Cuando se trabaja en una ilustracin desarrollada a partir de un contexto (ms que de una leccin de matemticas), los estudiantes fcilmente codifican y usan procedimientos de control que los ayudan a entender la geometra y las reglas de su razonamiento (Mesquita, 1994, p. 227). Parece que los estudiantes tienden ms a poner atencin en el diagrama, que en la descripcin verbal de un problema (Mesquita, 1996) y adems, los cambios en un diagrama durante la resolucin de problemas pueden ayudar a la percepcin de relaciones nuevas y al reconocimiento de informacin redundante (Nunokawa, 1994). Wu y Ma (2005) mostraron que ciertas diferencias entre formas se aprehendan msfcilmente que otras, especialmente aquellas entre figuras de lados curvos y rectos y aquellas con ngulos obtusos.Los diagramas ayudan a los estudiantes a poner atencin en caractersticas clave. Cuando se les solicita futuros maestros una descripcin de un slido hecho de cubos usando palabras y/o diagramas, la mayora hizo un dibujo con muchas palabras (Burton, Cooper y Leder, 1986). La mayora de los estudiantes que reconstruyeron el slido exitosamente, a partir de la descripcin, trabajaron inicialmente con un diagrama. Cuando algunos alumnos produjeron planos ortogonales codificados para una variedad de formas policbicas, sus estrategias abarcaron sistemas de referencia de una a tres dimensiones (Noelting, Gaulin y Puchalska, 1986). Despus de la instruccin en estos sistemas codificados de representacin, los nios cambiaban de representaciones verbales a grficas y las nias amodo mixto 81% de todos los alumnos fueron exitosos sin importar el grado ni el sexo (Ben-Chaim, 1986).Los atributos crticos y no-crticos de un diagrama tienen un impacto en los conceptos geomtricos

(Vinner y Hershkowitz, 1980, 1983; Vinner, 1981). Las imgenes iniciales, es decir imgenes prototpicas, son particularmente importantes en cuanto a ser, ya sea un punto de partida o una limitantea la formacin del concepto. Estos autores han mostrado que el orden de aceptacin de los cuadrilterosen trminos de figuras de cuatro lados fue primero, el cuadriltero convexo con todos sus lados de longitudes diferentes, segundo, el cuadriltero cncavo, y tercero, el cuadrado; algunos estudiantes tambin seleccionaron el bitrian (dos tringulos que tienen un vrtice comn). Hershkowitz y Vinner (1984) mostraron que los niveles de dificultad de diagramas especficos en tareas diferentes eran los mismos para los maestros que para los estudiantes, aunque los maestros generalmente cometan menos errores. Sin embargo, alrededor del 30% de los maestros encontraron difciles los diagramas complejos.La orientacin de una figura o una caracterstica distractora (no comn) influyeron en los maestros quienes no parecan usar las definiciones dadas, ya sea porque no estaban concientes de su falta de conocimiento o bien porque no eran capaces de analizar el diagrama adecuadamente para aplicar la definicin.Hazama y Akai (1993) propusieron niveles para clasificar dibujos de formas tridimensionales. Los niveles eran: (a) Caras inexactas, unidas en un punto o parcialmente; (b) Una o dos representaciones ortogonales de caras; (c) Caras unidas pero presentadas para formar lneas rectas; (d) Una idea de perspectiva con caras inclinadas; y (e) Dibujos con perspectiva adecuada. Los autores tambin notaron que los estudiantes se enfocaban en ciertas caractersticas, por ejemplo, la posicin de la cara en el cuerpo (e.g. el frente), los nombres de la cara, o el punto de vista del dibujo. Los alumnos de primero y segundo tendan a usar caractersticas clave, los de tercero y cuarto completaban sus dibujos con palabras, y los de quinto y sexto aadan lneas puntadas para las aristas ocultas y medidas relevantes a las propiedades espaciales. Algunos estudiantes de todos los grados intentaron dar una perspectiva tridimensional obteniendo los alumnos mayores mejores resultados y con frecuencia movindose a un nivel ms alto.La resistencia para usar diagramas puede ser resultado de las expectativas de los estudiantes en cuanto a que el conocimiento matemtico escolar es secuencial y no diagramtico (Dreyfus y Eisenberg, 1990)y est limitado a escribir enunciados en donde cada elemento est ligado slo a dos elementos, el anterior y el posterior a l, mientras que la informacin diagramtica presenta la informacin como un grupo en el que cada elemento se puede conectar a muchos, requiriendo por tanto un pensamiento de orden mayor para evaluar la intencin del diagrama. Duval (2000) tambin sugiri que la informacin semitica poda ser socialmente construida pero requiere ser coordinada con la imaginera subjetiva delindividuo para el aprendizaje matemtico.EL VALOR DE LAS REPRESENTACIONES FSICASLos nios pequeos mostraron un rango de estrategias para resolver problemas espaciales con formas representadas por cortes en cartn. Por ejemplo un cuadrado poda ser cubierto por dos tringulos rectngulos issceles o por dos rectngulos (Mansfield y Scout, 1990). Una estrategia ineficiente usada por nios de 6 aos era tomar piezas y descartarlas sin rotarlas. Las traslaciones eran usadas frecuentemente pero slo los alumnos de alto rendimiento usaban las rotaciones y reflexiones (voltear las piezas). En general, los alumnos mayores resolvieron ms problemas que los pequeos, principalmente como resultado de la persistencia, ms que por el uso de estrategias ms eficientes o variadas. Los nios que tenan xito en las tareas parecan reconocer las formas que no llevaban a una

solucin, y reposicionaban las piezas. Un estudio similar mostr que estudiantes de niveles ms bajos eran propensos a elegir una forma grande con una longitud parecida para cubrir un cuadrado en vez de manipular las formas dadas para cubrirlo (Wheatley y Cobb, 1990).La nominacin de puntos con coordenadas en geoplanos ayud a nios pequeos a enfocarse en el anlisis de las traslaciones y las simetras de figuras. Dificultades, tales como las coordenadas inversas para un punto, fueron especialmente productivas durante el intercambio de mensajes porque los estudiantes discutan la legitimidad de invertir las coordenadas as como el efecto en las coordenadas de una traslacin o una simetra (Lowenthal y Marco, 1981).Vincent y McCrae (1991) pusieron a los alumnos a construir modelos a partir de geotiras, despus a dibujar el modelo y considerar aspectos varios del modelo con el fin de verificar cmo funcionaba. Un problema requera una solucin construida sobre los ngulos de un tringulo pero algunos estudiantes fallaban al visualizar el tringulo, un lado del cual no era parte del modelo fsico de representacin. El uso de un pantgrafo de cuatro lados rectos rgidos ligados y un tringulo elstico ilustraba cmo podan hacerse transformaciones a los materiales fsicos con el fin de que los estudiantes desarrollaran sus imgenes concepto (Hasegawa, 1993). La rotacin de la imagen de un cuadriltero, el conteo de vrtices, lados, el uso de transformaciones y la generalizacin (ilustrados por las transformaciones fsicas de las aristas ligadas y los lados elsticos del tringulo) fueron todas maneras de decidir cmo clasificar la forma. Algunos modelos tridimensionales dinmicos ayudaron a los estudiantes a construir relaciones entre slidos geomtricos y sus propiedades y entre los slidos mismos (Markopoulos y Potari, 1999). Los maestros fueron capaces de discutir propiedades variantes e invariantes de slidos tridimensionales (Markopoulos y Potari, 2000).Otros investigadores han usado modelos para obtener las concepciones de nios pequeos (Elia, Gagatsis y Kyriades, 2003; Hoyos, 2003; Mitchelmore y White, 1998). Estas concepciones pueden, ser desarrolladas ms an posteriormente. Por ejemplo, cuando los estudiantes hicieron cajas para acomodar algunos objetos que se les dieron (Lampen y Murria, 2001) se produjeron estrategias espaciales, asignacin de significados, enfoque en factores influyentes, medicin, mtodos de planeacin y evaluacin Similarmente, cuando estudiantes jvenes compusieron y descompusieron figuras de dos dimensiones, ellos trabajaron a partir de las partes al todo del todo a las partes en diferentes niveles de complejidad y de xito. Los resultados de los estudiantes podran ser clasificados en los siguientes niveles: (a) Formas combinadas en dibujos, (b) Combinaciones sintetizadas de formas en formas compuestas y (c) Finalmente se llegaba a operar sobre y a iterar tales figuras compuestas (Clements, Sarama y Wilson. 2001).LOS EFECTOS DEL CONTEXTO DEL AULAEl contexto del aula el problema planteado, las expectativas de la clase, los materiales, el maestro y otros estudiantes pueden influir en el proceso de solucin. Los estudiantes atienden selectivamente a aspectos de este ambiente mientras trabajan mentalmente con sus percepciones y las ligan a sus memorias existentes. Las interacciones estudiante-estudiante y estudiante-maestro en el contexto del aula podran influir lo que los estudiantes perciben y a sus respuestas afectivas y heursticas (Owens, 1996b).Los aspectos de la comunicacin son importantes para desarrollar la argumentacin y la prueba. Primero la maestra puede plantear un problema interesante para generar comunicacin sustantiva

acerca del tpico entre los estudiantes y con la maestra misma (Owens, 2005). Por ejemplo Mariotti, Bartolini Bussi, Boero, Ferri y Garuti (1997) seleccionaron tres contextos bien diferentes: (a) Dibujar una mesa desde una perspectiva especfica, (b) Una discusin sobre sombras y (c) Construcciones geomtricas en el ambiente Cabri. Los investigadores quisieron mostrar una progresin de la discusin de los estudiantes de observaciones empricas a la argumentacin (en el sentido de que las reglas establecidas eran alcanzadas), anterior a la comunicacin de la prueba o la validacin. Las explicaciones de los estudiantes acerca de la longitud de las sombras fueron clasificadas despus en trminos de su naturaleza causal, condicional y descriptiva (Boero, 2002). Parecera importante un entendimiento razonable del fenmeno fsico si los estudiantes van a dibujar el diagrama de la sombra como un tringulo rectngulo, con el rayo de sol como hipotenusa y la sombra como la base horizontal.Douek (1998) describi con detalle el uso de sombras, mostrando cmo los estudiantes construyen gradualmente el esquema de sombras, el significado de direccin e inclinacin, y la representacin plana del sol y la sombra movindose en un campo tridimensional. Los diagramas de sol y sombra de estudiantes de quinto grado y sus intentos de dibujar el diagrama del abanico son descritos como un proceso de modelacin y produccin geomtrica por Mariotti (1996) quien subraya que la peticin de un diagrama por parte de la maestra traslad el conflicto al frente y a la necesidad de encontrar un medio de comunicar el fenmeno matemtico consistentemente. Las intervenciones de la maestra pueden ser importantes en impulsar el conocimiento de los alumnos. Por ejemplo, en el estudio de Mariotti (1994) la intervencin de los maestros ayud a los estudiantes a darse cuenta de la semejanza, mientras que las percepciones de los estudiantes enfatizaban las diferencias entre los modelos.La intervencin de la maestra puede ser provocativa (apuntando a los estudiantes hacia la solucin) o invocadora en cuyo caso la intervencin anima a los estudiantes a reconocer la necesidad de plegarse hacia un nivel interior del entendimiento matemtico (Kieren y Pirie, 1992). La intervencin anima a los estudiantes a validar representando la accin matemtica verbalmente, simblicamente o figurativamente. El impacto de cada tipo de intervencin en las respuestas de los estudiantes fue ilustrada por medio de ejemplos de alumnos de 14 aos que comparan piezas patrones de bloques. Koyama (1996) us un modelo de dos ejes, uno para mostrar las etapas de aprendizaje de la intuicin, la reflexin y el anlisis mientras que el otro muestra los niveles de entendimiento. La combinacin de tareas que involucraban trayectos geomtricos entre dos puntos y las prcticas reflexivas de los estudiantes fueron usados para validar las tres etapas de aprendizaje. Las intuiciones fueron modificadas por la reflexin, especialmente durante la discusin de la clase completa. Koyama (1996) ilustr cmo los estudiantes reflexionaban a niveles de entendimiento diferentes los estudiantes de nivel ms alto se daban cuenta de la estructura del problema, mientras que los estudiantes menos competentes trabajaban haciendo clculos. En una segunda leccin las intuiciones de los estudiantes fueron influenciadas por las experiencias de la primera leccin y fueron ms cercanas a lgico-matemticas.Por varios aos, una cantidad de investigadores se ha enfocado en la tecnologa de geometra dinmica,especialmente el grupo de investigacin de Grenoble, Francia. Laborde (2001) resume los usos prospectivos de software de geometra dinmica de cuatro maneras: (a) Facilitar el dibujo con resultados similares a aquellos hechos con papel y lpiz; (b) Facilitar las tareas matemticas que involucran hacer conjeturas y dibujar muchos ejemplos para llegar a la solucin; (c) Cambiar una tarea

que requiere el uso de propiedades ms que la percepcin para resolver el problema; y (d) Nuevas tareas a las que slo se puede tener acceso en ambientes de geometra dinmica. Slo los artculos recientes que ilustran cmo el software provee un contexto para el aprendizaje son discutidos en este captulo.Los objetos concretos (o dibujos) ayudaron a los estudiantes a establecer la generalizacin abstracta de un conjunto de dibujos (o figuras) (Giraldo, Belfort y Carvalho, 2004). Por esta razn, Cabri puede ayudar al desarrollo de definiciones, por ejemplo, de los cuadrilteros (Pratt y Davison, 2003). Sin embargo, los maestros requieren de habilidades para usar tecnologa de geometra dinmica. Los maestros pueden usar tecnologa de geometra dinmica para la instruccin directa pero es usada ms efectivamente para comprometer a los estudiantes en un reto ligado a un concepto matemtico (Guimaraes y Belfort, 2004). El contexto del aula tambin influye en el aprendizaje con geometra dinmica (Gardiner, Hudson y Povey, 1999) y la interaccin, a menudo generada por un conflicto entre los estudiantes, puede ocurrir (Giraldo, Belfort y Carvalho, 2004). Las fortalezas de Cabri incluyen el acceso de claves numricas y figurativas y la capacidad de producir y refinar objetos para encontrar unasolucin (Love, 1996; Hazzan y Goldenberg, 1997) pero la carencia de exactitud de la imagen puede ser un retroceso (Sinclair, 2003). Otra fortaleza es que Cabri extiende las herramientas de dibujo de lneas rectas y crculos para incluir la parbola (Love, 1996).La intervencin de la maestra apuntando la dependencia en Cabri fue necesaria para que los estudiantesprogresaran cuando no podan arrastrar un punto de interseccin por su dependencia de otros objetos (Jones, 1996). Los estudiantes extendieron su idea de dependencia al darse cuenta de que el tamao de un crculo depende de su radio y que borrar un objeto borra todos los objetos dependientes. Los estudiantes relacionaron la idea de dependencia a una funcin que muestra una relacin entre objetos.Sin embargo, algunas definiciones ingenuas personales (e.g. las figuras semejantes son iguales pero detamao diferente) pueden conducir a actividades y a intervenciones inadecuadas para los estudiantes (Zaslavsky, 1991; Linchevsky, Vinner y Karsenty, 1992). Similarmente, si se espera que ocurra un mejoramiento en la clasificacin y el reconocimiento de semejanzas en figuras como resultado de experiencias con Logo, las habilidades de los maestros al usar logo requieren mejorar (Olive y Lakenau, 1987). Ms an, Lemerise (1990) seal que Logo (incorporado en Micromundos) provee una alternativa al acercamiento a la geometra tradicional, pero que el uso de Logo es frecuentemente rechazado porque no est ligado al programa. El acercamiento a la geometra en el currculum es demasiado diferente para que la enseanza incorpore Logo inmediatamente. Una preocupacin similar fue expresada por Love (1996) acerca del software de geometra dinmica.MEDICINEn los primeros aos del PME, la medicin, como un tpico en s mismo, no es evidente. El primer artculo que era de medicin principalmente estaba enfocado en los mtodos utilizados para ensear conversiones, ninguno de los cuales involucraba la medicin de la longitud de manera prctica (Eisenberg, Goldstein y Gorodetsky, 1982). No fue sino hasta 1987, que hubo una sesin designada como Medicin en la tabla de contenidos de las memorias del PME y slo hasta el 2003 hubo una plenaria que involucraba conceptos de medicin (Dougherty y Zilliox, 2003). En aos recientes ha habido artculos que se han enfocado en la estructura de conceptos de medicin y programas de enseanza.

Programas para ensear medicinEl programa Mesure Up (MU) (Dougherty y Zilliox, 2003) mencionado en la plenaria est basado en lanocin de que la medicin puede proveer un fundamento que cohesiona a travs de todas las matemticas (Davydov, Gorbov, Mukulina, Savelyeva y Tabachnikova, 1999, citados en Dougherty y Zilliox, 2003). En el programa MU nios pequeos empiezan a describir y definir atributos fsicos de objetos que pueden ser comparados y medidos en unidades que pueden ser contadas. Los alumnos de primer grado se dan cuenta que para contar, primero tienen que identificar qu unidad estn usando conel fin de que tanto el proceso como el resultado adquieran sentido. El uso de cantidades continuas permite a los estudiantes estar preparados para desarrollar nociones alrededor de las propiedades de conmutatividad, asociatividad e inversin. Los estudiantes ligan simultneamente representaciones fsicas, diagramticas y simblicas. La investigacin MU indic que los estudiantes de tercer grado pueden usar smbolos algebraicos y diagramas abstractos y generalizados para resolver problemas (Gougherty y Slovin, 2004).Otro programa de medicin para escuelas elementales (Departamento de Educacin y Entrenamiento, 2003, 2004; Outhred y McPhail, 2000; Outhred, Mitchelmore, Mcphail y Gould, 2003) est basado en un marco conceptual e incluye conocimientos y estrategias que los maestros debieran evaluar, combinados con ideas para las lecciones y planes ligados al marco terico. El programa se enfoca en principios generales de la medicin, desarrollados a travs de actividades prcticas abiertas con un nfasis en el registro y la discusin. La evaluacin hecha por los maestros de los estudiantes indic un mejoramiento en conceptos de medicin.Para longitud, rea y volumen la organizacin espacial de las unidades, en una, dos y tres dimensiones, respectivamente, es fundamental para una comprensin de la medicin de la cantidad. En contraste, la estructura espacial no es importante para la masa, temperatura y tiempo, excepto en trminos de leer una escala. Las secciones siguientes presentan una investigacin para cada una de las cantidades espacialmente-organizadas. Casi no se encontr investigacin acerca de las concepciones de los estudiantes sobre la masa, temperatura y tiempo en las memorias del PME.LongitudEstudios de nios trabajando con Logo impulsaron investigaciones sobre su entendimiento acerca del nmero y la unidad para cantidades continuas. En un estudio de Hoyles y Noss (1987), los estudiantes que usaron Logo se comportaron casi tan bien como nios de 3 aos mayores en tems sobre conservacin de la longitud y combinaciones de longitud; pero los investigadores notaron que se necesitaban muchas experiencias de aprendizaje antes de que los estudiantes fueran capaces de conectar satisfactoriamente las relaciones simblicas y el resultado visual. Campbell, Fein y Schwartz (1987) investigaron el conocimiento de nios pequeos de la relacin inversa entre el tamao de la unidad y el nmero de unidades. Estos autores consideraron que el ambiente de Logo permiti a los nios controlar las transformaciones de tamao y nmero de las unidades, sin la destreza requerida en actividades de medicin prctica. Los investigadores encontraron que los nios entendan que la distancia poda ser recorrida iterando una unidad de medida pero cuando la unidad se parta a la mitad ola distancia se incrementaba, la estimacin de la longitud se volva ms difcil. Las tareas de medicin mostraban una liga directa al esquema de conteo ms que al de medicin. Este hallazgo fue respaldado por el estudio de Cannon (1991) de estudiantes de escuela media. Cannon (1991) ppropuso una tarea en

la que los estudiantes representaban longitudes equivalentes en centmetros en una regla graduada en flugs (1 flug = ), una tarea de agregar unidades (esta recta mide 4 unidades, dibuja una recta que mida 12 unidades de largo) y una tarea que involucraba partir una recta en un nmero de unidades dado. Los estudiantes eran ms propensos a representar las unidades como puntos discretos en la tarea de particin, porque pensaban que el nmero de puntos determina el nmero de unidades. Inicialmente,predomin el conteo de unidades discretas, pero muchos estudiantes redefinieron sus representaciones como segmentos de lnea. Stephan y Cobb (1998) tambin encontraron que las explicaciones de los estudiantes jvenes de actividades de medir con pasos concernan ms al nmero de pasos que a cantidad de espacio.Un nfasis en puntos discretos (o marcas) en una regla fue evidente en un estudio de medicin de la longitud (Braga y Outhred, 2000). Ellos presentaron a los estudiantes tems relacionados con procesos (la tcnica de usar una regla) y conceptuales (la comprensin de la construccin de una escala). Ms o menos a los 10 aos, la mayora de los estudiantes podan usar una regla para medir y construir rectas con exactitud. Casi todos los errores involucraban problemas con el cero (medir a partir del extremo de la regla o del uno). Sin embargo, slo alrededor de la mitad de los estudiantes pudo completar tareas exitosamente, tales como medir con una regla rota, que requera el conocimiento de lo que es una escala. Estos autores (Braga y Outhred, 2001) tambin mostraron que haba un abismo entre el uso de los estudiantes de unidades informales de medida para medir y su comprensin de una unidad de medida formal (el centmetro).Aunque los estudiantes podan medir usando unidades informales y podan usar una regla, muchos de los estudiantes no podan indicar las unidades de centmetro en una regla. Ellos se enfocaban en marcas, o en donde terminaba la recta; muchos de ellos tambin parecan tener una idea bidimensional del centmetro. Un estudio subsecuente con estudiantes mayores mostr que muchos de ellos an no tenan un conocimiento conceptual de una escala, pero consideraban las marcas como unidades (Braga y Outhred, 2004). Los resultados indicaron que un nfasis en el conteo poda oscurecer la naturaleza lineal de las unidades, y que la mayora de los estudiantes no entendan las relaciones entre las unidadeslineales y una escala formal.El anlisis de Nuhrenborger (2001) sobre las conexiones estructurales, que los nios hacan entre las unidades lineales y los nmeros, a travs las representaciones de una regla que esos nios hicieron encontr que, al inicio de segundo grado, pocos estudiantes saban que una regla comprende unidades diferentes, pero relacionadas. Los nios pequeos no entendan cmo las unidades estn estructuradas ycoordinadas; y que tratar con unidades tridimensionales, informales obscurece la naturaleza lineal de la unidad de medida. Los problemas que involucran escalas son difciles. Maranhaa y Campos (2000) investigaron hasta dnde el conocimiento de algunos instrumentos no convencionales y unidades informales puede apoyar a los estudiantes que ya antes medan con instrumentos mtricos convencionales para resolver problemas de escalas y concluyeron que tales procesos son benficos.En un estudio acerca de la sofisticacin del pensamiento de los estudiantes acerca de la longitud, Battista (2003) examin cmo razonan los estudiantes acerca de la longitud de una variedad de trayectos rectos y no rectos. Battista document niveles de razonamiento tanto de no-medicin como demedicin. Sus tres niveles de razonamiento de no-medicin incluan usar estrategias visuales, basadas en transformaciones, o geomtricas para comparar longitudes. Los niveles de medicin incluan la

iteracin de una unidad de longitud hasta un concepto de longitud abstracto cuando los estudiantes podan usar las reglas significativamente y razonaban acerca de la longitud sin iterar unidades.reaMoverse de unidades unidimensionales involucra una complejidad adicional as que, no sorprendentemente, la investigacin indica que los estudiantes tienen una comprensin pobre de las unidades de rea y sus caractersticas espaciales. Hraud (1987) entrevist a estudiantes a los que no se les haba enseado nada acerca del rea, y encontr que su eleccin de una unidad de medida estaba influida fuertemente por la forma de la figura a cubrir. l percibi que los estudiantes requieren experiencias con una variedad de unidades antes de que se den cuenta de que un cuadrado es una eleccin racional.La informacin que los nios adquieren en la escuela depende del conocimiento que sus maestros traen a colacin sobre un tema. Tierney, Boyd y Davis (1990) encontraron que muchos futuros maestros de primaria pensaban en el rea solamente como largo por ancho; generalizaban la frmula para obtener elrea de un rectngulo a figuras planas distintas a los rectngulos; usaban la frmula, pero registraban unidades lineales, en lugar de cuadradas; confundan rea y permetro; y usaban cualesquiera nmeros que fueran visibles o contaban algo, e.g. cuadros en el permetro. Los estudiantes para maestro pueden calcular el rea como largo por ancho, pero tal eleccin de una multiplicacin es a menudo el resultado de un pensamiento procedimental ms que conceptual. En otro estudio de estudiantes para maestro, Simon y Blume (1992) encontraron que nadie en la clase pareca conectar un sentido visual del rea como cantidad de superficie con un concepto abstracto de multiplicacin. Los estudiantes parecan centrarse en dos cantidades, el nmero de rectngulos a lo largo de la longitud y del ancho, sin reconstituir estas cantidades como el nmero de rectngulos en un rengln y la cantidad de renglones.La comprensin del rea como la cuantificacin de la superficie por los estudiantes fue investigada por Outhred y Mitchelmore (1992, 1996) quienes encontraron que pocos estudiantes jvenes utilizaban la multiplicacin para enumerar el nmero de elementos en un arreglo. La mitad de los estudiantes contaban elementos individuales, mientras que el 38% utilizaba la suma repetida. Estos resultados fueron replicados con una muestra ms grande en Outhred y Mitchelmore (2000, 2004). La manera en que los estudiantes dibujaban cuadrados para cubrir un rectngulo y sus estrategias de enumeracin parecan estar relacionadas. Los estudiantes que representaban la estructura del arreglo en trminos de renglones y columnas tendan a contar en grupos (renglones y columnas) o usaban la multiplicacin. Estos autores recomendaron que ligar el conteo a la estructura de arreglos poda ser una tcnica poderosa para desarrollar los conceptos tanto de rea como de multiplicacin.Un anlisis de la comprensin de los estudiantes del rea antes de ser enseada formalmente mostr que el conocimiento de la estructura de arreglos provea una base para obtener el nmero de unidades cuadradas necesario para cubrir un rectngulo (Outhred y Mitchelmore, 1996). En particular, el que los estudiantes tomaran conciencia, de que el nmero de unidades en cada rengln y columna poda determinar las longitudes de los lados del rectngulo fue un principio fundamental de la medicin de reas. Se encontr que el dibujar un arreglo de unidades usando dos conjuntos de rectas paralelas era ms difcil que lo que se esperaba, lo cual sugiere que la estructura de una teselacin de cuadrados no es obvia para los estudiantes, sino que debe ser aprendida (Outhred y Mitchelmore, 2000). Slo un cuarto de la muestra de estudiantes de escuela media de Callingham (2004) pudo describir una

teselacin cuadrada en un nivel abstracto.En la enseanza de la medicin a menudo se recomiendan actividades prcticas usando unidades informales porque pueden ser utilizadas para mostrar principios de la medicin. Sin embargo, no siempre los estudiantes relacionan las actividades prcticas con la formalizacin. Hart (1993) propuso algunas maneras para tender un puente sobre el espacio que separa los materiales prcticos y la formalizacin. El xito de los estudiantes para resolver problemas puede ser determinado por el sistemasimblico utilizado, las herramientas accesibles y la situacin problema. En un estudio por Nunes, Light, Mason y Allerton (1994) los estudiantes tuvieron acceso a dos herramientas diferentes, reglas y ladrillos. Los estudiantes que tuvieron acceso a los ladrillos, aunque insuficientes para cubrir el rea, tuvieron ms xito que aquellos que usaron la regla tanto en el post-test como en el post-test retrasado (un mes despus). Los autores sugieren que la frmula que se les ensea a los estudiantes no encaja bien en los patrones que los alumnos han desarrollado por s mismos. Sin embargo, los ladrillos tambin estructuran la teselacin, mientras que al usar la regla los estudiantes necesitan ser capaces de visualizar el rea partida. Doig, Cheeseman y Lindsay (1995) tambin encontraron que los estudiantes que usaban mosaicos de madera para cubrir una superficie eran doblemente exitosos que los que usaban cuadros de papel porque los mosaicos de madera encajaban juntos, estructurando la teselacin.El tamao y la forma de la unidad pueden afectar el clculo de un rea. En un estudio con estudiantes de cuarto grado que se enfrentaban a la tarea de comparar dos reas, una rectangular y otra irregular, la cual poda visualizarse como rectngulos de diferentes tamaos, se encontr que algunos estudiantes explicaban el rea como largo ancho mientras que otros explicaban que era un mltiplo de una unidad de rea (Fujita y Yamamoto, 1993). Estos autores sugieren que los estudiantes necesitan entender la necesidad de una unidad de rea universal y el proceso de usar unidades de diferentes tamaos para medir. La forma de las unidades puede tambin afectar la visualizacin de la teselacin. En un estudio grande, estudiantes de nivel elemental tenan que determinar (por visualizacin o dibujo) cuntas unidades (cuadradas, en forma de tringulo equiltero o rectngulo, y rectngulos) se requeran para cubrir formas regulares o irregulares (Owens y Outhred, 1997). Los estudiantes tenan mayor dificultad en visualizar una teselacin de unidades triangulares.Los hallazgos de un estudio de Furinghetti y Paola (1999) indicaron que los estudiantes de secundaria posean muchas imgenes y definiciones asociadas con el rea pero no disponan una definicin matemticamente aceptable que fuera coordinada, consistente y clara. Los escritos de alumnos de sptimo grado mostraron evidencia de la confusin entre rea y permetro y la creencia de que existe una relacin directa entre rea y permetro. Esta ltima creencia pareca ms resistente al cambio que laconfusin entre rea y permetro (Moreira y Contente, 1997). Kidman y Cooper (1997) encontraron quela percepcin de que el rea es la suma de las dimensiones de un rectngulo era comn a lo largo de cuarto, sexto y octavo grado. Alrededor de la mitad de los estudiantes parecan estar usando una regla de integracin auditiva (rea = largo + ancho) mientras que las reglas de muchos otros estudiantes eran inconsistentes. La regla aditiva persisti cuando una pieza semicircular fue removida de un rea rectangular pero no cuando la pieza removida fue rectangular. Estudiantes de octavo grado que llevaronun trabajo preliminar con figuras irregulares, antes de que se les ensearan frmulas para el permetro yel rea de figuras comunes mostraron un mejoramiento, aunque los estudiantes no siempre conseguan identificar dimensiones relevantes para usar en los clculos (Comiti y Moreira, 1997). El papel de este

conocimiento intuitivo o tcito ha sido explorado ms an por Frade (2005). Ella encontr que cuando el estudiante carece de un conocimiento explcito de la frmula entonces el conocimiento tcito lo apoya para comunicarse con otros sobre el tema.Alargamiento y reduccinEl rea ha sido estudiada tambin en trminos de desarrollar la teora de reglas intuitivas. Tsamir y Mandel (2000) postularon que cuando dos lados de un cuadrado eran alargados por un factor dado, y concomitantemente, los otros dos eran reducidos en el mismo factor, los estudiantes podan argumentar que el permetro y el rea permaneceran invariantes. A estudiantes de secundaria se les dieron dos tareas en las que las respuestas eran consistentes con la regla intuitiva (igual A-igual B) y dos en las que las respuestas iban en contra de la regla intuitiva. Para las tareas en las que la regla intuitiva no era aplicable, alrededor de una tercera parte dieron respuestas incorrectas para el rea (suma y resta de una constante) y alrededor de un cuarto para el permetro (multiplicacin y divisin por una constante). Losargumentos incorrectos prevalecieron ms entre los estudiantes ms jvenes y menos competentes.De Bock, Verschaffel y Janssens (1996) proveyeron una explicacin de porqu el rea y el permetro son tan complejos para los estudiantes, especialmente en situaciones en las que las figuras se alargan o reducen. A estudiantes de secundaria se les dieron problemas que involucraban razonamientos proporcional y no proporcional para tres tipos de figuras (cuadrados, crculos y figuras irregulares). Losestudiantes usaban un modelo lineal para resolver, no slo los tems proporcionales, sino tambin los no proporcionales dando como resultado que slo un 2% diera respuestas correctas en estos ltimos tems. Resultados similares fueron encontrados (De Bock, Van Dooren, Verschaffel y Janssens, 2001; Mosestou, Gagatsis y Pitta-Pantazi, 2004) para problemas de alargamientos en rea y volumen. De Bock et al. (2001) presentaron dos tipos de conflicto cognitivo; en uno, se presentaban respuestas alternativas y en el otro, un par ficticio daba el razonamiento correcto. Aun cuando se les deca el razonamiento correcto, slo 25% de la muestra cambiaba su respuesta; los otros justificaban su respuesta original. Pareca que los estudiantes se aproximaban tales problemas de una forma superficial, sin hacer representaciones realistas de los problemas. La investigacin sobre razonamiento proporcional y no proporcional relacionada con tareas de rea y volumen indica lo poderoso del impacto del modelo lineal en el razonamiento del estudiante.VolumenLa investigacin sobre el volumen muestra una tendencia similar a la de rea en cuanto a la falta de estructura de las unidades al medir. El conocimiento de las operaciones numricas no es suficiente; los estudiantes tambin necesitan visualizar o construir la estructura de arreglo. La estructuracin de conceptos sobre el volumen de los estudiantes fue alcanzada para un rango de tareas de dos dimensiones (pictrica) y de tres utilizando la taxonoma SOLO (Collis y Campbell, 1987). Estos autores postularon que la manera en que los nios organizan cubos individuales para contar debera reflejar los pasos sucesivos en su habilidad para conceptualizar e integrar las tres dimensiones (p. 292). Los nios de un nivel ms bajo en la taxonoma Solo (uniestructural) primero contaban cubos visibles en las construcciones que se les mostraban dibujadas y no tenan una estrategia organizada paralos cubos no visibles. En contraste, los nios en el siguiente nivel (multiestructural) empezaron a organizar su conteo por renglones, columnas o capas. Ellos encontraron tambin que nios que no incluan a los cubos no visibles cuando contaban la construccin en total, pueden enfocarse en ellos

cuando se les pregunta sobre alguna parte particular de la construccin. Sin embargo, ellos encontraron que estos nios no podan organizar secuencialmente las partes visibles y no visibles para proveer una construccin del todo cuando se les peda volver a contar los cubos. Una proporcin grande de estudiantes de 4 a 6 no usaban la multiplicacin para resolver tems de cubos, sin embargo obtenan respuestas correctas en la mayora de los tems de multiplicacin. Los autores concluyeron que las tareas de cubos requeran separar conjuntos de habilidades, maestra de las operaciones numricas relevantes y una comprensin de la estructura interna del slido.La comprensin del volumen fue estudiada por Saiz (2003) quien encontr que maestros estudiantes ensu muestra consideraban que los objetos volumen-medibles son aquellos para los que se pueden obtenertres longitudes. Los objetos delgados eran percibidos como superficies y por tanto no se consideraba que tuvieran un volumen medible. Los maestros consideraban que objetos de uso cotidiano no tenan volumen debido a su forma irregular. El significado dominante que los maestros tenan para volumen era el de un nmero obtenido al multiplicar la longitud, la anchura y la altura de un objeto.CONCLUSINEste captulo resalta la diversidad de estudios sobre el aprendizaje del espacio y la geometra e indica lacomplejidad de la tarea a la que se enfrentan los investigadores y los maestros cmo sintetizar la investigacin en una visin coherente de enseanza y aprendizaje de la geometra y la medicin. En geometra, los estudios iniciales se enfocaban en la comprensin y mejoramiento de habilidades espaciales, pero entrevistas clnicas mostraron el rango de diferencias individuales en el aprendizaje espacial. Se mostr que la resolucin de problemas es una clave para que los alumnos pongan atencin en las caractersticas fundamentales de las formas y en trabajar hacia la comprensin de la relacin entre formas. Este desarrollo fue descrito frecuentemente en trminos de los niveles de Van Hiele. Se mostr que estos niveles son continuos ms que discretos y los estudios mostraron una variedad de conclusiones para apoyar a los alumnos de acuerdo con esta teora. Sin embargo, son importantes en la educacin geomtrica de los estudiantes las experiencias que influyan acercamientos preliminares intuitivos y ms imaginera visual compleja.Algunos estudios que han explorado el papel de los materiales, contextos, programas de cmputo y del maestro mismo, para extender el pensamiento geomtrico han encontrado que las representaciones semiticas, sociales o las representaciones individuales de las matemticas pueden ser creadas y usadaspor los estudiantes pero que ellos requieren de coordinacin mental (Duval, 2000). Heinze (2002) resumi gran parte de la investigacin sobre el espacio y la geometra diciendo que la nocin de una imagen personal o concepto (Vinner, 1991) debera ser extendida a un esquema de concepto-entendimiento que contenga la definicin del concepto, la imagen del concepto y el uso del concepto (Moore, 1994).Los estudios sobre la medicin tambin se enfocaron en el desarrollo de conceptos, en particular en la importancia de que los estudiantes reconozcan la estructura de las unidades cuando miden los atributos espacialmente-organizados de la longitud, el rea o el volumen. Existe investigacin considerable acerca de las interpretaciones de los estudiantes sobre las unidades de longitud y rea y el uso de herramientas para medir pero poca investigacin sobre el desarrollo de conceptos relacionados con el volumen por los estudiantes, los cuales son bastante ms complejos, debido a la naturaleza tri-dimensional de la cantidad y a que se debe considerar tanto unidades lquidas como cbicas.

La investigacin indica que los estudiantes para maestros tienen muchas de las concepciones errneas acerca de los conceptos de geometra y medicin que los estudiantes a los que tal vez un da deben ensear. El reto para los investigadores es considerar la diversidad de la investigacin y consolidarla para mostrar las implicaciones y aplicaciones para los maestros, de modo que el entendimiento de los estudiantes sobre geometra y medicin sea construido sobre una base firme.

Actividad FinalResponda a las siguientes preguntas despus de haber ledo el captulo.1. De qu trata este captulo?

2. Cmo est organizado? Qu coincidencias y qu diferencias tiene la organizacin con elCaptulo 1?

3. Este captulo es posterior al anterior, parte de lo aqu escrito proviene de las mismas fuentes en las que se bas Hershkowitz (captulo 1). Hay algo que mencionen los autores del Captulo 1 que aqu no aparezca?

4. Qu reflexiones propias aportan los autores?

5. Cmo introducen en el artculo sus reflexiones?

6. Mencione las tres secciones que le hayan parecido ms interesantes y explique por qu considera que es as.

7. Revise las preguntas de la actividad inicial y vea si an dara las mismas respuestas.

[1] El Grupo Internacional para la Psicologa de la Educacin Matemtica (Group for the Psychology ofMathematics Education) es un grupo reconocido ampliamente dentro de la comunidad de la Educacin Matemtica Internacional.[2] Tertiary en el original[3] reification[4] Preliminary concept formations for specific concepts[5] Nudge=seal de advertencia.[6] input

http://matmarsarol.blogspot.mx/2013/10/capitulo-2-de-la-antologia-owens-kay.htmlCaptulo 2. La complejidad de aprender geometra y medicin por Owens y OuthredCitar como:Introduccin al texto de Owens y OuthredActividad anterior a la lecturaLa Complejidad de Aprender Geometra y Medicin