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CM3120 Module 2 Lecture I 1/4/2021 1 CM3120: Module 2 © Faith A. Morrison, Michigan Tech U. 1 Unsteady State Heat Transfer I. Introduction II. Unsteady Microscopic Energy Balance—(slash and burn) III. Unsteady Macroscopic Energy Balance IV. Dimensional Analysis (unsteady)—Biot number, Fourier number V. Low Biot number solutions—Lumped parameter analysis VI. Short Cut Solutions—(initial temperature ; finite ), Gurney and Lurie charts (as a function of position, Bi , and Fo); Heissler charts (center point only, as a function of 1/Bi, and Fo) VII. Full Analytical Solutions (stretch) CM3120: Module 2 © Faith A. Morrison, Michigan Tech U. 2 Professor Faith A. Morrison Department of Chemical Engineering Michigan Technological University www.chem.mtu.edu/~fmorriso/cm3120/cm3120.html Lecture I: Introduction to Unsteady State Heat Transfer

CM3120 Module 2 Lecture I 1/4/2021fmorriso/cm3120/lectures/2021_CM3120_modu… · Unsteady State Heat Transfer I. Introduction II. Unsteady Microscopic Energy Balance—(slash and

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  • CM3120 Module 2 Lecture I 1/4/2021

    1

    CM3120: Module 2

    © Faith A. Morrison, Michigan Tech U.1

    Unsteady State Heat Transfer

    I. IntroductionII. Unsteady Microscopic Energy Balance—(slash and burn)III. Unsteady Macroscopic Energy BalanceIV. Dimensional Analysis (unsteady)—Biot number, Fourier 

    numberV. Low Biot number solutions—Lumped parameter analysisVI. Short Cut Solutions—(initial temperature 𝑇 ; finite ℎ), 

    Gurney and Lurie charts (as a function of position, 𝑚Bi, and Fo); Heissler charts (center point only, as a function of 𝑚 1/Bi, and Fo)

    VII. Full Analytical Solutions (stretch)

    CM3120: Module 2

    © Faith A. Morrison, Michigan Tech U.2

    Professor Faith A. Morrison

    Department of Chemical EngineeringMichigan Technological University

    www.chem.mtu.edu/~fmorriso/cm3120/cm3120.html

    Lecture I:Introduction to Unsteady State 

    Heat Transfer

  • CM3120 Module 2 Lecture I 1/4/2021

    2

    © Faith A. Morrison, Michigan Tech U.3

    HEAT TRANSFERSteady

    Heat Transfer:  Steady vs. Unsteady

    Unsteadyvs.

    To get started, let’s contrast the steady and unsteady cases in a familiar problem:

    1D, heat conduction, in the 𝒙‐direction, 

    in a slab

    Newton’s law of Cooling boundary conditions

    𝑇

    𝑇

    𝑇 𝑇

    1D, rectangular geometry:• Independent of time• Flux  constant• linear temperature profile• Steady resistance to heat 

    transfer at both boundaries

    © Faith A. Morrison, Michigan Tech U.4

    Heat Transfer at Steady State

    Aqx H

    W

    B x𝑥

    𝑇

    B

    𝑇

    𝑇

    𝑇 𝑇

    𝑇ℎ

    𝑇ℎ

    (Newton’s law of cooling BCs)

    .

    .𝑇

    𝑇

    Resistance to heat transfer 

    1/ℎ

    Resistance to heat transfer 1/ℎ

    What’s the temperature 

    profile?

    Heat Transfer:  Steady vs. Unsteady

  • CM3120 Module 2 Lecture I 1/4/2021

    3

    © Faith A. Morrison, Michigan Tech U.5

    Heat Transfer at Steady State

    Aqx H

    W

    B x𝑥

    𝑇

    B

    𝑇

    𝑇

    𝑇 𝑇

    𝑇ℎ

    𝑇ℎ

    (Newton’s law of cooling BCs)

    .

    .𝑇

    𝑇

    Resistance to heat transfer 

    1/ℎ

    Resistance to heat transfer 1/ℎ

    1D, rectangular geometry:• Independent of time• Flux  constant• linear temperature profile• Steady resistance to heat 

    transfer at both boundaries

    Heat Transfer:  Steady vs. Unsteady

    © Faith A. Morrison, Michigan Tech U.6

    Heat Transfer at Steady State(Newton’s law of cooling BCs)

    𝑥

    𝑇

    B

    𝑇

    𝑇 .

    .𝑇

    𝑇

    Resistance to heat transfer 

    1/ℎ

    Resistance to heat transfer 1/ℎ

    𝑞𝐴 ℎ 𝑇 𝑇 ℎ 𝑇 𝑇𝑘

    𝑑𝑇𝑑𝑥

    Flux  constant

    Temperature distribution:

    Independent of time

    𝑇 𝑥

    𝑇 𝑇 1ℎ𝑞𝐴

    Newton’s law BC:

    Heat Transfer:  Steady vs. Unsteady

  • CM3120 Module 2 Lecture I 1/4/2021

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    © Faith A. Morrison, Michigan Tech U.7

    Unsteady Heat Transfer

    • We must specify the state of the system at some point in time (initial conditions)

    • We must specify what then happens to cause heat to start to transfer (the scenario).

    There are many circumstances that cause unsteady heat transfer.

    To imagine a case where heat transfer is unsteady:

    Heat Transfer:  Steady vs. Unsteady

    © Faith A. Morrison, Michigan Tech U.8

    Can you think of any real engineering situations (unsteady heat xfer)?Can you write them in terms of: 

    • initial conditions and • a modeling scenario? You try.

  • CM3120 Module 2 Lecture I 1/4/2021

    5

    © Faith A. Morrison, Michigan Tech U.9

    Unsteady Heat Transfer

    𝑥

    𝑇

    B

    .

    .𝑇

    𝑇

    Example:  A wide, tall slab initially uniformly at 𝑇is suddenly subjected to flowing fluid on its two broad faces.  The left fluid is at 𝑇 and its heat transfer to the wall is characterized by heat transfer coefficient ℎ , while the right side is at 𝑇and characterized by ℎ .  What is the temperature distribution across the slab as a function of time?

    What do we think will happen?• Will there be heat transfer 

    resistance at the boundaries?• Will there be a linear 

    temperature profile in the slab?• Femtoseconds after the change, 

    what does the profile look like?• What will the solution trend 

    towards as time goes on  → ∞ ?

    𝑇

    0

    Heat Transfer:  Steady vs. Unsteady

    © Faith A. Morrison, Michigan Tech U.10

    Unsteady Heat Transfer

    𝑥

    𝑇

    B

    .

    .𝑇

    𝑇

    What do we think will happen?

    You try.𝑇

    0

    𝑡 10 𝑠

    𝑓𝑒𝑚𝑡𝑜𝑠𝑒𝑐𝑜𝑛𝑑 10 𝑠

    Example:  A wide, tall slab initially uniformly at 𝑇is suddenly subjected to flowing fluid on its two broad faces.  The left fluid is at 𝑇 and its heat transfer to the wall is characterized by heat transfer coefficient ℎ , while the right side is at 𝑇and characterized by ℎ .  What is the temperature distribution across the slab as a function of time?

    Heat Transfer:  Steady vs. Unsteady 

  • CM3120 Module 2 Lecture I 1/4/2021

    6

    © Faith A. Morrison, Michigan Tech U.11

    Unsteady Heat Transfer

    𝑇

    .

    .𝑇

    𝑇

    𝑇𝑡 10 𝑠

    𝑥B

    What do we think will happen?• Will there be heat transfer 

    resistance at the boundaries?• Will there be a linear 

    temperature profile in the slab?• Femtoseconds after the change, 

    what does the profile look like?• What will the solution trend 

    towards as time goes on  → ∞ ?0

    • Femtoseconds after the change

    Unsteady Heat TransferExample:  A wide, tall slab initially uniformly at 𝑇is suddenly subjected to flowing fluid on its two broad faces.  The left fluid is at 𝑇 and its heat transfer to the wall is characterized by heat transfer coefficient ℎ , while the right side is at 𝑇and characterized by ℎ .  What is the temperature distribution across the slab as a function of time?

    Heat Transfer:  Steady vs. Unsteady 

    Heat Transfer:  Steady vs. Unsteady 

    𝑞𝐴ℎ 𝑇 𝑇

    𝑞𝐴ℎ 𝑇 𝑇

    © Faith A. Morrison, Michigan Tech U.12

    B 𝑥

    𝑇

    .

    .𝑇

    𝑇

    𝑇

    𝑡 10 𝑠

    𝑞𝐴

    𝑞𝐴

    𝑞𝐴 0

    Unsteady

    Heat flows in the positive 𝑥‐ direction →

    𝑇 𝑇 1ℎ𝑞𝐴

    Newton’s law BC:

    𝑞𝐴 ∝

    ∝ 𝑞𝐴

  • CM3120 Module 2 Lecture I 1/4/2021

    7

    𝑞𝐴ℎ 𝑇 𝑇

    𝑞𝐴ℎ 𝑇 𝑇

    © Faith A. Morrison, Michigan Tech U.13

    B 𝑥

    𝑇

    .

    .𝑇

    𝑇

    𝑇

    𝑡 10 𝑠

    𝑞𝐴

    𝑞𝐴

    𝑞𝐴 0

    Unsteady

    Heat flows in the positive 𝑥‐ direction →

    What do we think will happen?

    What’s next?

    𝑞𝐴 ∝

    ∝ 𝑞𝐴

    Heat Transfer:  Steady vs. Unsteady 

    𝑞𝐴

    𝑞𝐴

    © Faith A. Morrison, Michigan Tech U.14

    B 𝑥

    𝑇

    .

    .𝑇

    𝑇

    𝑇

    𝑡 𝑡

    𝑞𝐴ℎ 𝑇 𝑇 , 𝑞𝐴

    ℎ 𝑇 , 𝑇

    𝑞𝐴 𝑓 𝑥, 𝑡

    and varying with 𝑡

    Unsteady

    𝑞𝐴 ∝

    ∝ 𝑞𝐴

    Heat Transfer:  Steady vs. Unsteady 

  • CM3120 Module 2 Lecture I 1/4/2021

    8

    © Faith A. Morrison, Michigan Tech U.15

    B 𝑥

    𝑇

    .

    .𝑇

    𝑇

    𝑇

    𝑡 𝑡

    𝑞𝐴ℎ 𝑇 𝑇 , 𝑞𝐴

    ℎ 𝑇 , 𝑇

    𝑞𝐴 𝑓 𝑥, 𝑡

    Unsteady

    𝑞𝐴 ∝

    ∝ 𝑞𝐴

    𝑞𝐴

    𝑞𝐴

    and varying with 𝑡

    Heat Transfer:  Steady vs. Unsteady 

    © Faith A. Morrison, Michigan Tech U.16

    B 𝑥

    𝑇

    .

    .𝑇

    𝑇

    𝑇

    𝑡 𝑡

    𝑞𝐴ℎ 𝑇 𝑇 , 𝑞𝐴

    ℎ 𝑇 , 𝑇

    𝑞𝐴 𝑓 𝑥, 𝑡

    Unsteady

    𝑞𝐴 ∝

    ∝ 𝑞𝐴

    𝑞𝐴

    𝑞𝐴

    and varying with 𝑡

    Heat Transfer:  Steady vs. Unsteady 

  • CM3120 Module 2 Lecture I 1/4/2021

    9

    © Faith A. Morrison, Michigan Tech U.17

    B 𝑥

    𝑇

    .

    .𝑇

    𝑇

    𝑇

    𝑡 ∞

    𝑞𝐴ℎ 𝑇 𝑇 , 𝑞𝐴

    ℎ 𝑇 , 𝑇

    constant

    𝑞𝐴

    𝑞𝐴

    𝑞𝐴𝑇

    𝑇

    Steady

    𝑞𝐴 ∝

    ∝ 𝑞𝐴and constant

    Heat Transfer:  Steady vs. Unsteady 

    © F

    aith

    A. M

    orris

    on, M

    ichi

    gan

    Tech

    U.

    18B 𝑥

    𝑇

    .

    .𝑇

    𝑇

    𝑇decreases with time

    also decreases with time

    SteadyUnsteady

  • CM3120 Module 2 Lecture I 1/4/2021

    10

    © F

    aith

    A. M

    orris

    on, M

    ichi

    gan

    Tech

    U.

    19B 𝑥

    𝑇

    .

    .𝑇

    𝑇

    𝑇decreases with time

    also decreases with time

    SteadyUnsteady

    Q:  Does it always happen like this?

    © F

    aith

    A. M

    orris

    on, M

    ichi

    gan

    Tech

    U.

    20B 𝑥

    𝑇

    .

    .𝑇

    𝑇

    𝑇decreases with time

    also decreases with time

    SteadyUnsteady

    Q:  Does it always happen like this?

    A:  Mmmm.  No. It depends. . . . 

  • CM3120 Module 2 Lecture I 1/4/2021

    11

    © Faith A. Morrison, Michigan Tech U.21

    What are the various cases that are seen?

    𝑥

    𝑇

    B

    .

    .𝑇

    𝑇

    𝑇

    0

    Let’s think.

    • ℎ are large

    Heat Transfer:  Steady vs. Unsteady 

    © Faith A. Morrison, Michigan Tech U.22

    • ℎ are largeHeat Transfer:  Steady vs. Unsteady 

    𝑥

    𝑇

    B

    .

    .𝑇

    𝑇

    𝑇

    0

  • CM3120 Module 2 Lecture I 1/4/2021

    12

    © Faith A. Morrison, Michigan Tech U.23

    What are the various cases that are seen?• 𝑘 is large

    𝑥

    𝑇

    B

    .

    .𝑇

    𝑇

    𝑇

    0

    Let’s think.

    Heat Transfer:  Steady vs. Unsteady 

    © Faith A. Morrison, Michigan Tech U.24

    • 𝑘 is largeHeat Transfer:  Steady vs. Unsteady 

    𝑥

    𝑇

    B

    .

    .𝑇

    𝑇

    𝑇

    0

  • CM3120 Module 2 Lecture I 1/4/2021

    13

    © Faith A. Morrison, Michigan Tech U.25

    What are the various cases that are seen?• Neither slab conduction 

    nor fluid convection dominates

    𝑥

    𝑇

    B

    .

    .𝑇

    𝑇

    𝑇

    0

    Let’s think.

    Heat Transfer:  Steady vs. Unsteady 

    © Faith A. Morrison, Michigan Tech U.26

    • Neither slab conduction nor fluid convection dominates

    Heat Transfer:  Steady vs. Unsteady 

    𝑥

    𝑇

    B

    .

    .𝑇

    𝑇

    𝑇

    0

  • CM3120 Module 2 Lecture I 1/4/2021

    14

    B 𝑥

    𝑇

    .

    .𝑇

    𝑇

    𝑇decreases with time

    also decreases with time

    © Faith A. Morrison, Michigan Tech U.27

    What are the various cases that are seen?• If ℎ is large, the wall temp is 

    just the bulk temperature (fast convection)

    • If 𝑘 is large, the temp profile is always straight (quasi‐steady state in the slab) and the convection works to keep up (heat transfer is limited by ℎ ; fast conduction in slab)

    • If neither mechanism dominates, it’s complicated!

    • If the boundary conditions vary with 𝑡, 𝑥, it’s complicated!

    Heat Transfer:  Steady vs. Unsteady 

    © Faith A. Morrison, Michigan Tech U.28