❈❧❛ss✐❝❛❧ ❨❛♥❣✲▼✐❧❧s ❚❤❡♦r②

▲❡♦♥ ❙❝❤❧❛❣✐♥t✇❡✐t

❏✉♥❡ ✶✶✱ ✷✵✶✽

❈♦♥t❡♥ts

✶ ▼❛①✇❡❧❧✬s ❊❧❡❝tr♦❞②♥❛♠✐❝s ❛s ❋✐❡❧❞ ❚❤❡♦r② ✸

✷ ◗❊❉✿ ❆ ❧♦❝❛❧ ❯✭✶✮ ❚❤❡♦r② ✺✷✳✶ ❚❤❡ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ♦❢ ❛ r❡❧❛t✐✈✐st✐❝ ◗✉❛♥t✉♠ ❋✐❡❧❞ ❚❤❡♦r② ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✷✳✷ ❚❤❡ ❉✐r❛❝ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✷✳✸ ●❛✉❣❡ ❙②♠♠❡tr② ❢♦r t❤❡ ❉✐r❛❝ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✷✳✹ ❚❤❡ ◗❊❉ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾

✸ ◗❈❉✿ ❆ ♥♦♥✲❛❜❡❧✐❛♥ ●❛✉❣❡ ❚❤❡♦r② ✶✵✸✳✶ ●❛✉❣❡ ❙②♠♠❡tr② ❢♦r ❛ ♥♦♥✲❛❜❡❧✐❛♥ ❣❧♦❜❛❧ ❙②♠♠❡tr② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵✸✳✷ ❚❤❡ ▲✐❡ ❆❧❣❡❜r❛ ♦❢ U(n) ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷✸✳✸ ❚❤❡ ◗❈❉ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸

✹ ❚❤❡ ♣✉r❡ ❨❛♥❣✲▼✐❧❧s ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ✶✹✹✳✶ ❨❛♥❣✲▼✐❧❧s ❊q✉❛t✐♦♥s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺✹✳✷ P✉r❡ ❨❛♥❣✲▼✐❧❧s ✐♥ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❙♣❛❝❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻

✺ ❚❤❡ ❙t❛♥❞❛r❞ ▼♦❞❡❧ ✶✼

✶

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

❚❤✐s ♠❛♥✉s❝r✐♣t ✐s ❜❛s❡❞ ♦♥ ❛ ♣r♦s❡♠✐♥❛r t❛❧❦ ♦♥ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❨❛♥❣✲▼✐❧❧s t❤❡✲♦r② ❤❡❧❞ ❛t ❊❚❍ ✐♥ ❆♣r✐❧ ✷✵✶✽✳ ❚❤❡ ♣r♦s❡♠✐♥❛r ❆❧❣❡❜r❛✱ ❚♦♣♦❧♦❣② ❛♥❞

●r♦✉♣ ❚❤❡♦r② ✐♥ P❤②s✐❝s ✇❛s ♦r❣❛♥✐s❡❞ ❜② Pr♦❢❡ss♦r ▼❛tt❤✐❛s ●❛❜❡r❞✐❡❧❛♥❞ ❛❞r❡ss❡❞ t♦ ♣❤②s✐❝s st✉❞❡♥ts ✐♥ t❤❡✐r s✐①t❤ s❡♠❡st❡r ❇s❝✳❚❤❡ ♠❛♥✉s❝r✐♣t ❞✐s❝✉ss❡s ❨❛♥❣✲▼✐❧❧s t❤❡♦r② ❛t ❛ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❧❡✈❡❧ ✇✐t❤♦✉t r❡✲q✉✐r✐♥❣ ❛♥② ❦♥♦✇❧❡❞❣❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ✜❡❧❞ t❤❡♦r②✳ ◆❡✈❡rt❤❡❧❡ss ✕ ❛s t❤❡ ♣❤②s✐❝❛❧✐♠♣♦rt❛♥❝❡ ♦❢ ❨❛♥❣✲▼✐❧❧s ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② t❤❡ st❛♥❞❛r❞ ♠♦❞❡❧ ♦❢ ♣❛rt✐❝❧❡s ✇❤✐❝❤ ✐s❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ ❧❛♥❣✉❛❣❡ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ✜❡❧❞ t❤❡♦r② ✕ ❛s♣❡❝ts ♦❢ ✐t ✇✐❧❧ ❝♦♠❡ ✐♥t♦❝♦♥s✐❞❡r❛t✐♦♥ ❛t s❡✈❡r❛❧ ♣❧❛❝❡s✳ ❚❤❡ r❡❛❞❡r s❤♦✉❧❞ ❜❡ ❢❛♠✐❧✐❛r ✇✐t❤ ▼❛①✇❡❧❧✬s❊❧❡❝tr♦❞②♥❛♠✐❝s ❛♥❞ ✇✐t❤ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ✭r❡❧❛t✐✈✐st✐❝✮ ✜❡❧❞ t❤❡♦r✐❡s ❢♦r♠✉❧❛t❡❞ ❜②t❤❡ ♣r✐♥❝✐♣❧❡ ♦❢ ❧❡❛st ❛❝t✐♦♥ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ ❛ ▲❛❣r❛♥❣❡✲❞❡♥s✐t②✳❚❤❡ ♠❛♥✉s❝r✐♣t ✐s str✉❝t✉r❡❞ ❛s ❢♦❧❧♦✇s✿ ❚❤❡ ✜rst s❡❝t✐♦♥ ✇✐❧❧ ❡①♣❧❛✐♥ ❤♦✇▼❛①✇❡❧❧✬s ❊❧❡❝tr♦❞②♥❛♠✐❝s ❝❛♥ ❜❡ ❢♦r♠✉❧❛t❡❞ ❛s ❛ ✜❡❧❞ t❤❡♦r②✳ ❚❤✐s ✇✐❧❧ s❡t✉♣ t❤❡ ♥♦t❛t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ❣❡♥❡r✐❝ ❨❛♥❣✲▼✐❧❧s t❤❡♦r②✳ ■♥ t❤❡ s❡❝♦♥❞ s❡❝t✐♦♥ ✐t✇✐❧❧ ❜❡ s❤♦✇♥ ❤♦✇ t❤❡ ◗❊❉ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ❝❛♥ ❜❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② ❣❛✉❣✐♥❣ ❛ s②st❡♠♦❢ ❛ s✐♥❣❧❡ ❢r❡❡ ❢❡r♠✐♦♥✳ ❍❡r❡ ❝❛♥ ❜❡ s❡❡♥ ❤♦✇ t❤❡ ▼❛①✇❡❧❧✬s ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ❝❛♥❜❡ ❞❡r✐✈❡❞ q✉✐t❡ ♥❛t✉r❛❧❧② ✐♥ t❤❡ s❡t✲✉♣ ♦❢ q✉❛♥t✉♠ ✜❡❧❞ t❤❡♦r②✳ ❆♣♣❧②✐♥❣t❤❡ s❛♠❡ ♣r✐♥❝✐♣❧❡ t♦ s②st❡♠s ✇✐t❤ ❤✐❣❤❡r s②♠♠❡tr②✱ t❤❡ ❣❡♥❡r✐❝ ♥♦♥✲❛❜❡❧✐❛♥❨❛♥❣✲▼✐❧❧s t❤❡♦r② ✇✐❧❧ ❜❡ ❢♦✉♥❞ ✐♥ t❤❡ t❤✐r❞ s❡❝t✐♦♥✳ ❚❤✐s ✇✐❧❧ ❜❡ ✉s❡❞ t♦✉♥❞❡rst❛♥❞ t❤❡ ◗❈❉ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥✳ ❚❤❡ ❞②♥❛♠✐❝s ❛♥❞ s♦♠❡ t♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❛s✲♣❡❝ts ♦❢ t❤❡ ❨❛♥❣✲▼✐❧❧s✲▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ✇✐❧❧ ❜❡ ❞✐s❝✉ss❡❞ ✐♥ t❤❡ ❢♦✉rt❤ s❡❝t✐♦♥✳❚❤❡ r♦❧❡ ♦❢ ❨❛♥❣✲▼✐❧❧s t❤❡♦r② ✐♥ t❤❡ st❛♥❞❛r❞ ♠♦❞❡❧ ✇✐❧❧ ❜❡ ❡①♣❧❛✐♥❡❞ ✐♥ t❤❡❧❛st s❡❝t✐♦♥✳▼❛♥② s♣❡❝✐❛❧ t❤❛♥❦s ✐s ❞✉❡ t♦ ❉r✳ ❆❧❡ss❛♥❞r♦ ❙❢♦♥❞r✐♥✐ ✇❤♦ s✉♣❡r✈✐s❡❞ t❤❡t❛❧❦ ❛♥❞ ❤❡❧♣❡❞ ♠❡ t♦ ❡♥t❡r t❤✐s ✭❢♦r ❛♥ ✉♥❞❡r❣r❛❞✉❛t❡ st✉❞❡♥t✮ ❛❞✈❛♥❝❡❞✜❡❧❞ ❜② ♥✉♠❡r♦✉s ❤♦✉rs ♦❢ ❞✐s❝✉ss✐♦♥✳

✷

✶ ▼❛①✇❡❧❧✬s ❊❧❡❝tr♦❞②♥❛♠✐❝s ❛s ❋✐❡❧❞ ❚❤❡♦r②

▲❡t ✉s r❡✈✐❡✇ ▼❛①✇❡❧❧✬s ❊q✉❛t✐♦♥s ✭▼❊✮ ✇❤✐❝❤ ❞❡s❝r✐❜❡ t❤❡ ❞②♥❛♠✐❝s ♦❢t❤❡ ❡❧❡❝tr♦♠❛❣♥❡t✐❝ ✜❡❧❞s ✐♥ ❛❜s❡♥❝❡ ♦❢ ♠❛tt❡r ❬✶✱ ❝❤✳ ✸✳✻❪✳ ❚❤r♦✉❣❤♦✉t t❤✐s♠❛♥✉s❝r✐♣t ♥❛t✉r❛❧ ✉♥✐ts ❛r❡ ✉s❡❞✱ t❤❛t ✐s✿ c = ~ = 1✳

div ~E = ρ

rot ~B − ∂t ~E = ~j

}

✐♥❤♦♠♦❣❡♥❡♦✉s ▼❛①✇❡❧❧✬s ❊q✳

div ~B = 0

rot ~E + ∂t ~B = 0

}

❤♦♠♦❣❡♥❡♦✉s ▼❛①✇❡❧❧✬s ❊q✳ ✭✶✮

∂tρ− div~j = 0} ❝♦♥t✐♥♦✉✐t② ❡q✉❛t✐♦♥

●✐✈❡♥ ❛ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ✇✐t❤ ✜❡❧❞ ❝♦♥t❡♥t φi, i = 1, . . . , n ✭❛❧❧ ❞❡✜♥❡❞ ♦♥ s♣❛❝❡✲t✐♠❡ R

4✮✱ t❤❛t ✐s ❛ r❡❛❧✲✈❛❧✉❡❞ ❢✉♥❝t✐♦♥ L = L(φi, ∂µφi) ♦❢ ❛❧❧ φi ❛♥❞ t❤❡✐r

❞❡r✐✈❛t✐✈❡s ✭❙❡❡ ❡✳❣✳ ❬✺✱ ❝❤✳ ✷✳✸❪ ❢♦r t❤❡ ✇❤♦❧❡ ❡①♣♦s✐t✐♦♥✮✳ ❚❤❡♥✱ t❤❡ ❛❝t✐♦♥❢✉♥❝t✐♦♥❛❧

S[φi] =

∫

❞x4 L(φi, ∂µφi), ✭✷✮

✐s ❧♦❝❛❧❧② ♠✐♥✐♠✐③❡❞ ✐❢ t❤❡ ✜❡❧❞s s❛t✐s❢② t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠♦t✐♦♥ ✭❡✳♦✳♠✳✮✿

∂L∂φi

− ∂µ

(∂L

∂(∂µφi)

)

= 0. ✭✸✮

■t ✐s ♥♦✇ ❝♦♥✈❡♥✐❡♥t t♦ ✉s❡ t❤❡ ❤♦♠♦❣❡♥❡♦✉s ▼❊ t♦ ✇r✐t❡ t❤❡ ❡❧❡❝tr♦♠❛❣♥❡t✐❝✜❡❧❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ ❛ ✹✲♣♦t❡♥t✐❛❧✳ ■♥ ❢❛❝t✱ ❛t ❛ ✜①❡❞ t✐♠❡ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ div ~Bt = 0✐s ✭❞✉❡ t♦ t❤❡ tr✐✈✐❛❧ ❝♦❤♦♠♦❧♦❣② ♦❢ R3✮ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❛ ✜❡❧❞~At ✇❤✐❝❤ s❛t✐s✜❡s rot ~At = ~Bt✳ ■♥s❡rt✐♥❣ t❤✐s ✐♥t♦ t❤❡ ♦t❤❡r ❤♦♠♦❣❡♥❡♦✉s▼❊ ②✐❡❧❞s✿ rot( ~E + ∂t ~A) = 0✳ ❚❤✐s ❛❣❛✐♥ ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ t❤❡ ❡①✐st❛♥❝❡ ♦❢

❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ Φ s✉❝❤ t❤❛t✿ −~∇Φ = ~E + ∂t ~A✳ ❯s✐♥❣ t❤❡ ♥♦t❛t✐♦♥ ♦❢ ▲♦r❡♥t③✐♥❞✐❝❡s ✭✇✐t❤ η = (−,+,+,+))✱ ✐t ❝❛♥ ❜❡ r❡✇r✐tt❡♥ ❛s✿

Aµ = (A0, A1, A2, A3) := (Φ, ~A),

F µν := ∂µAν − ∂νAµ, ✭✹✮

✇❤❡r❡ ✇❡ ❤❛✈❡

F µν =

0 E1 E2 E3

−E1 0 B3 −B2

−E2 −B3 0 B1

−E3 B2 −B1 0

. ✭✺✮

✸

❯s✐♥❣ t❤❡ ✈❡❝t♦r ♣♦t❡♥t✐❛❧ ❛♥❞ t❤❡ ❢♦✉r✲❝✉rr❡♥t Jν = (ρ,~j)✱ ✐t ✐s ♣♦ss✐❜❧❡t♦ ✇r✐t❡ ❞♦✇♥ ❛ ▲❛❣r❛♥❣❡ ❞❡♥s✐t② ✇❤✐❝❤ ②✐❡❧❞s t❤❡ ✐♥❤♦♠♦❣❡♥❡♦✉s ▼❊ ❛s❡✳♦✳♠✳✿

L = −1

4FµνF

µν − AνJν , ✭✻✮

∂LAµ

= −Jµ, ✭✼✮

∂L∂(∂µAν)

= −F µν , ✭✽✮

∂LAµ

− ∂ν∂L

∂(∂µAν)= −Jµ + ∂νF

µν = 0. ✭✾✮

◆♦t❡ t❤❛t t❤✐s ❧❛st ❡q✉❛t✐♦♥ ✐s ❡①❛❝t❧② t❤❡ ✐♥❤♦♠♦❣❡♥❡♦✉s ▼❊ ✐♥ ❛ ✈❡r②❝♦♠♣❛❝t ❢♦r♠✳ ❆❧s♦✱ ✐t s❤♦✇s t❤❛t t❤❡ Jν ❛❝t✉❛❧❧② ✐s ❛ ❝✉rr❡♥t ✭✇❤✐❝❤ ❝♦✉❧❞❥✉st ❛s ✇❡❧❧ ❜❡ ❞❡❞✉❝❡❞ ❜② t❤❡ ▼❊✮✿

Jµ = ∂νFµν ,

∂µJµ = ∂µ∂νF

µν = 0. ✭✶✵✮

■t ✐s ✇❡❧❧ ❦♥♦✇♥ t❤❛t t❤❡ ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ t❤❡ ✈❡❝t♦r ♣♦t❡♥t✐❛❧ ✐s ♥♦t ✉♥✐q✉❡ ❬✶✱❝❤✳ ✸✳✻✳✹❪✳ ■♥ ❢❛❝t t❤❡ ❡❧❡❝tr♦♠❛❣♥❡t✐❝ ✜❡❧❞s ❞♦ ♥♦t ❝❤❛♥❣❡ ❜② ❛❞❞✐♥❣ ❛ t♦t❛❧❞✐✈❡r❣❡♥❝❡ t♦ t❤❡ ✈❡❝t♦r ♣♦t❡♥t✐❛❧✿

∂µ(Aν + ∂να)− ∂ν(Aµ + ∂µα) = Fµν + ∂µ∂να− ∂ν∂µα = Fµν . ✭✶✶✮

❚❤✐s t✉r♥s ♦✉t t♦ ❜❡ ✉s❡❢✉❧ ✐♥ ♦r❞❡r t♦ s♦❧✈❡ t❤❡ ❡✳♦✳♠✳✿ ■♥ st❛t✐❝ ♣r♦❜❧❡♠s✐t ✐s ❝♦♥✈❡♥✐❡♥t t♦ ✐♠♣♦s❡ ❈♦✉❧♦♠❜ ❣❛✉❣❡ ✭div ~A = 0✮ t♦ ♦❜t❛✐♥ ❛♥ ❡❧❧✐♣t✐❝❡q✉❛t✐♦♥❀ ✇❤❡r❡❛s ✐♥ ❛❜s❡♥❝❡ ♦❢ s♦✉r❝❡s ♦♥❡ ❝❛♥ ❛❝❤✐❡✈❡ ✇❛✈❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ✇❤❡♥✐♠♣♦s✐♥❣ ▲♦r❡♥t③ ❣❛✉❣❡ ✭∂µA

µ = 0✮✿

∆Aµ = −Jµ, ❈♦✉❧♦♠❜ ❣❛✉❣❡ ✇✐t❤ ∂tAµ = 0

�Aµ = −Jµ. ▲♦r❡♥t③ ❣❛✉❣❡ ✭✶✷✮

❙t✐❧❧✱ t❤❡ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ✐♠♣♦rt❛♥❝❡ ♦❢ t❤✐s ❣❛✉❣❡ s②♠♠❡tr② Aµ → Aµ + ∂µα✐s ♥♦t ②❡t ❛♣♣❛r❡♥t✳ ❍❡r❡ ✐t ❛♣♣❡❛rs ❛s ❛ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❛rt❡❢❛❝t ♦❢ t❤❡ ❢♦r✲♠✉❧❛t✐♦♥✳ ❆s ✐t t✉r♥s ♦✉t✱ t❤❡ ♣r✐♥❝✐♣❧❡ ♦❢ ❣❛✉❣❡ ✐♥✈❛r✐❛♥❝❡ ♣❡♥❡tr❛t❡s t❤❡✇❤♦❧❡ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ ♠♦❞❡r♥ ♣❤②s✐❝s ✕ ▼❛①✇❡❧❧✬s ❊❉ ✐s ♦♥❧② t❤❡ s✐♠♣❧❡st❝❛s❡ ♦❢ ❛ ✇❤♦❧❡ ❝❧❛ss ♦❢ ✜❡❧❞ t❤❡♦r✐❡s ✇✐t❤ ❛ ❝❡rt❛✐♥ t②♣❡ ♦❢ ❣❛✉❣❡ ✐♥✈❛r✐❛♥❝❡✱t❤❡s❡ ❝❛♥ ❜❡ ❢♦r♠✉❧❛t❡❞ ✐♥ ❛ ✈❡r② ❣❡♥❡r✐❝ ✇❛②✳ ❚❤❡ ❛❜♦✈❡ ♥♦t❛t✐♦♥ ✐♥ t❡r♠s♦❢ ❢♦✉r✲♣♦t❡♥t✐❛❧s ❛♥❞ t❤❡ ✜❡❧❞ str❡♥❣t❤ t❡♥s♦r ❣✐✈❡s ❛ ✜rst t❛st❡ t♦ ✐t✳ ❚❤❡s❡t❤❡♦r✐❡s ❛r❡ ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ ❨❛♥❣✲▼✐❧❧s t❤❡♦r✐❡s ✕ ✈❛r✐♦✉s s♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡s ❤❛♣♣❡♥ t♦

✹

❤❛✈❡ ❛ ♣❤②s✐❝❛❧ r❡❛❧✐③❛t✐♦♥✳ ◆♦✇✱ ❜❡❢♦r❡ t❤❡ ❨❛♥❣✲▼✐❧❧s t❤❡♦r② ❝❛♥ ❜❡ ♦❜✲t❛✐♥❡❞✱ t❤❡ ♥❡①t s❡❝t✐♦♥ ❣✐✈❡s ❛ s♠❛❧❧ ✐♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ✐♥t♦ t❤❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ t❤❡▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ♦❢ ❛ q✉❛♥t✉♠ ✜❡❧❞ t❤❡♦r②✳ ❊①♣❧❛♥❛t✐♦♥s ✇✐❧❧ ♥♦t ❣♦ ✐♥t♦ ❞❡t❛✐❧✱❢♦r ❞❡❡♣❡r ✉♥❞❡rst❛♥❞✐♥❣ ✐t ✐s r❡❢❡rr❡❞ t♦ ❛♥② st❛♥❞❛r❞ t❡①t❜♦♦❦ ♦♥ q✉❛♥t✉♠✜❡❧❞ t❤❡♦r②✳

✷ ◗❊❉✿ ❆ ❧♦❝❛❧ ❯✭✶✮ ❚❤❡♦r②

✷✳✶ ❚❤❡ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ♦❢ ❛ r❡❧❛t✐✈✐st✐❝ ◗✉❛♥t✉♠ ❋✐❡❧❞ ❚❤❡✲

♦r②

◗✉❛♥t✉♠ ✜❡❧❞ t❤❡♦r✐❡s ❝❛♥ ❜❡ ❞❡✜♥❡❞ st❛rt✐♥❣ ❢r♦♠ ❛ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥✳❆s ❡①♣❧❛✐♥❡❞ ❛❜♦✈❡ ✐t s❤♦✉❧❞ ❜❡ ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ ✜❡❧❞s ❛♥❞ t❤❡✐r ✜rst ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s✭❤✐❣❤❡r ♦r❞❡r ✇♦✉❧❞ ✐♥❞✉❝❡ ♣r♦❜❧❡♠s ♦♥ ❝❛✉s❛❧✐t②✮✳ ◆♦✇ t❤❡ s✉♠♠❛♥❞s ♦❢t❤❡ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ✉s✉❛❧❧② ❛r❡ ♥❛♠❡❞ ❜② t❤❡✐r ♦r❞❡r✿

• ✜rst ♦r❞❡r✿ s♦✉r❝❡ t❡r♠ ✭❡✳❣✳✿ JνAν , λ3φ✮

• s❡❝♦♥❞ ♦r❞❡r ✇✐t❤♦✉t ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s✿ ♠❛ss t❡r♠ ✭❡✳❣✳✿ m2φ2✮

• s❡❝♦♥❞ ♦r❞❡r ✇✐t❤ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s✿ ❦✐♥❡t✐❝ t❡r♠ ✭❡✳❣✳✿ 14FµνF

µν , ∂µφ∂µ✮

• ❤✐❣❤❡r ♦r❞❡r✿ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ t❡r♠ ✭❡✳❣✳✿ λ1φ3✮

◆♦t❡ t❤❛t ❛ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ✇✐t❤♦✉t ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ t❡r♠s ✇✐❧❧ ❣✐✈❡ ❧✐♥❡❛r ❡✳♦✳♠✳✱ ❛♥❞✐♥ ❛❜s❡♥❝❡ ♦❢ s♦✉r❝❡ t❡r♠s t❤❡s❡ ✇✐❧❧ ❜❡ ❤♦♠♦❣❡♥❡♦✉s✳ ■❢ ❢♦r ❛ ✜❡❧❞ t❤❡ ▲❛✲❣r❛♥❣✐❛♥ ❞♦❡s ♥♦t ❝♦♥t❛✐♥ ❛ ❦✐♥❡t✐❝ t❡r♠✱ t❤❡ ❡✳♦✳♠✳ ✇✐❧❧ ❜❡ tr✐✈✐❛❧✱ ✐✳❡✳ t❤❡❡✳♦✳♠✳ ✐s ❛ ③❡r♦t❤ ♦r❞❡r ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥✳ ❚❤❡ ❝♦♥str❛✐♥t ♦♥ t❤❡ ✜❡❧❞ ❝❛♥❜❡ ❞❡❞✉❝❡❞ ♣♦✐♥t✇✐s❡✳◆♦✇ ✐♥ ❛ q✉❛♥t✉♠ ✜❡❧❞ t❤❡♦r②✱ ❡❛❝❤ ✜❡❧❞ ✇✐❧❧ ❣✐✈❡ r✐s❡ t♦ ❛ t②♣❡ ♦❢ ♣❛rt✐❝❧❡✳P❤②s✐❝❛❧ ♣❛rt✐❝❧❡s ❛r❡ ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❛s ✧❡①❝✐t❡❞ st❛t❡s✧ ♦❢ t❤❡s❡ ✜❡❧❞s ❛♥❞ t❤❡✐r✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ✐s ❣♦✈♦✉r♥❡❞ ❜② q✉❛♥t✉♠ r❛t❤❡r t❤❛♥ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❡✛❡❝ts✳ ✭❙❡❡ ❡✳❣✳❬✺✱ ❝❤✳ ✸✱ ❝❤✳ ✹✱ ❝❤✳ ✺✱ ❝❤✳ ✾✳❪

❖❢ ❦❡② ✐♠♣♦rt❛♥❝❡ ✐s t❤❡ ✉♥❞❡rst❛♥❞✐♥❣ ♦❢ t❤❡ s②♠♠❡tr✐❡s ♦❢ t❤❡ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥✳◆♦❡t❤❡r t❤❡♦r❡♠ ❬✷✱ ♣✳ ✷✻✲✷✼❪ ❝❛♥ ❜❡ ✉s❡❞ t♦ ❞✐s❝♦✈❡r ❝♦♥s❡r✈❡❞ q✉❛♥t✐t✐❡s ✐♥t❤❡ t❤❡♦r②✳ ■❢ t❤❡ t❤❡♦r② ✐s ❞❡♠❛♥❞❡❞ t♦ ♦❜❡② t❤❡ ❧❛✇s ♦❢ s♣❡❝✐❛❧ r❡❧❛t✐✈✐t②t❤✐s ❣✐✈❡s ❛s ❛ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ t❤❡ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ❜❡✐♥❣ s②♠♠❡tr✐❝ ✉♥❞❡r P♦✐♥❝❛rétr❛♥s❢♦♠❛t✐♦♥s ✭t✐♠❡ ❛♥❞ s♣❛❝✐❛❧ tr❛♥s❧❛t✐♦♥✱ ❛♥❞ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s✮✇❤✐❝❤ ✇✐❧❧ ❣✐✈❡ ❜② ◆♦❡t❤❡r t❤❡♦r❡♠ ❛ ✈❡r② ❣❡♥❡r✐❝ ♥♦t✐♦♥ ♦❢ ❡♥❡r❣②✱ ✐♠♣✉❧s❡❛♥❞ ❛♥❣✉❧❛r ♠♦♠❡♥t✉♠✳ ❚❤✐s ✐s ♠♦st ❡❛s✐❧② ❛❝❤✐❡✈❡❞ ✐❢ L ✐s ✇r✐tt❡♥ ✐♥ ❛♠❛♥✐❢❡st❧② ✐♥✈❛r✐❛♥t ❢♦r♠✱ ✐✳❡✳ ✐t ❞♦❡s♥✬t ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ ① ❡①♣❧✐❝✐t❡❧② ❛♥❞ ❛❧❧ ♦❢

✺

✐ts ▲♦r❡♥t③ ✐♥❞✐❝❡s ❛r❡ ❝♦♥tr❛❝t❡❞✳ ❋♦r ♦✉r ♣✉r♣♦s❡s✱ ✐t ✐s ♥♦t ❡♥♦✉❣❤ t♦ ♦♥❧②❝♦♥s✐❞❡r ✜❡❧❞s ✇❤✐❝❤ tr❛♥s❢♦r♠ ❛s ❚❡♥s♦rs ✉♥❞❡r ❧♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s✳❆❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ t❤❡ ♣r✐♥❝✐♣❧❡ ♦❢ r❡❧❛t✐✈✐t② t❤❡ ✜❡❧❞s s❤♦✉❧❞ tr❛♥s❢♦r♠ ❛s ❛ ❣r♦✉♣r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥✳ ❋♦r ❛ ❝♦♠♣❧❡t❡ ❞✐s❝✉ss✐♦♥ ♦❢ ▲♦r❡♥t③ s②♠♠❡tr② ♦♥ ✜❡❧❞s✱ s❡❡❡✳❣✳ ❬✺✱ ❝❤✳ ✼❪✳

❋♦r ❛ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥

xµ → x′µ = Λµνx

ν ,

t❤❡r❡ ✐s

s❝❛❧❛rs✿ φ(x) → φ′(x′) = φ(x),

✈❡❝t♦rs✿ Aµ → ΛνµA

ν ,

t❡♥s♦rs✿ Θµ1···µn

ν1···νm → Λµ1

µ̃1· · ·Λµn

µ̃n· Λ ν̃1

ν1· · ·Λ ν̃m

νmΘµ̃1···µ̃n

ν̃1···ν̃m ,

✹✲s♣✐♥♦rs✿ Ψ → Λ 1

2

Ψ, ✭✶✸✮

✳✳✳ .

❚❤❡ ❧❛tt❡r r❡q✉✐r❡s ❢✉rt❤❡r ❡①♣❧❛♥❛t✐♦♥✳ ❋✐rst✱ t❤❡r❡ ❤❛s t♦ ❜❡ ❛ ✜①❡❞ ❝❤♦✐❝❡♦❢ γ✲♠❛tr✐❝❡s γµ ∈ C

4×4 ❢♦r µ = 0, . . . , 3 t❤❛t s❛t✐s❢② t❤❡ ❝❧✐✛♦r❞ ❛❧❣❡❜r❛✿∀µ, ν = 0, . . . , 3 : {γµ, γν} = 2gµν 14×4✳ ❆♥ ❡①❛♠♣❧❡ ✭✉s✐♥❣ P❛✉❧✐ ♠❛tr✐❝❡sσi✮ ✇♦✉❧❞ ❜❡ t❤❡ ❲❡②❧ r❡♣r❡s❡♥t✐♦♥✿

γ0 =

(0 12×2

12×2 0

)

, γi =

(0 σi

− σi 0

)

. ✭✶✹✮

◆♦✇ ♦♥❡ ❝❛♥ ♦❜s❡r✈❡ t❤❛t Sµν = i4[γµ, γν ] ❤❛✈❡ t❤❡ s❛♠❡ str✉❝t✉r❡ ❝♦♥st❛♥ts

❛s t❤❡ ▲✐❡ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ t❤❡ ▲♦r❡♥t③ ❣r♦✉♣✿

[Sµ1µ2 , Sµ3µ4 ] = i(gµ2µ3Sµ1µ4 + gµ1µ4Sµ2µ3 − gµ2µ3Sµ1µ3 − gµ1µ3Sµ2µ4). ✭✶✺✮

❚❤✐s ♠❡❛♥s t❤❛t t❤❡ Sµν ❝❛♥ s❡r✈❡ ❛s ❣❡♥❡r❛t♦rs ♦❢ ❛ ✹✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ r❡♣r❡s❡♥✲t❛t✐♦♥✳ ❚❤❛t ♠❡❛♥s ❢♦r ❛ s♠❛❧❧ ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ✇✐t❤ ❛♥t✐✲s②♠♠❡tr✐❝♣❛r❛♠❡t❡rs ωµν t❤❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❜②

Λ 1

2

= ei2ωµνS

µν

. ✭✶✻✮

◆♦t❡ t❤❛t t❤✐s ❞♦❡s ♦♥❧② ❞❡✜♥❡ ❛ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ✐♥ ❛ ♥❡✐❣❤❜♦✉r❤♦♦❞ ♦❢ t❤❡✉♥✐t②✳ ■♥❞❡❡❞ ✐t ✐s ♥♦t ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ❡①t❡♥❞ t❤✐s t♦ ❛ ❣❧♦❜❛❧ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥✳ ◆♦✇❛ s♣✐♥♦r ✜❡❧❞ ✐s ❛ C

4✲✈❛❧✉❡❞ ✜❡❧❞ ✇✐t❤ t❤❡ ❛❜♦✈❡ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ r✉❧❡ ✭✶✸✮✳

✻

❲❤❡♥ ❜✉✐❧❞✐♥❣ ❛ ▲❛❣r❛♥❣❡ ❞❡♥s✐t② ❢♦r ❛ q✉❛♥t✉♠ ✜❡❧❞ t❤❡♦r② t❤❡r❡ ✐s❛♥♦t❤❡r ♥❡❝❡ss❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥ t♦ ❛❝❤✐❡✈❡ ❛ ❝♦♥s✐st❡♥t t❤❡♦r②✿ ■t ♠✉st ❤❛✈❡ t❤❡♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ♣r♦♣❡rt② ♦❢ ❜❡✐♥❣ ✧r❡♥♦r♠❛❧✐③❜❛❧❡✧ ❬✷✱ ❝❤✳ ✹❪✳ ❚❤✐s ✐♥ ❢❛❝t ✐s❡①tr❡♠❡❧② r❡str✐❝t✐✈❡ ❛♥❞ ❢♦r ❡①❛♠♣❧❡ ❡①❝❧✉❞❡s t❡r♠s ♦❢ t♦♦ ❤✐❣❤ ♦r❞❡r ✐♥t❤❡✐r ✜❡❧❞s✳

✷✳✷ ❚❤❡ ❉✐r❛❝ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥

❚❤❡ r❡❛s♦♥ ✇❤② t❤❡ ✹✲s♣✐♥♦r r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ✐s ♦❢ ♣❛rt✐❝✉❧❛r ✐♥t❡r❡st ✐s t❤❡ ❢❛❝tt❤❛t ❢❡r♠✐♦♥s ✭❡✳❣✳ q✉❛r❦s✱ ❡❧❡❝tr♦♥s ❛♥❞ ♥❡✉tr✐♥♦s✮ ❛r❡ ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❜② t❤❡♦r✐❡s♦❢ s♣✐♥♦r ✜❡❧❞s✳ ❲❤❡♥ ❧♦♦❦✐♥❣ ❢♦r ♥♦♥tr✐✈✐❛❧✱ ▲♦r❡♥t③ ✐♥✈❛r✐❛♥t ❛♥❞ r❡♥♦r✲♠❛❧✐③❜❛❧❡ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ ♦♥❧② ♦♥❡ ✹✲s♣✐♥♦r Ψ✱ t❤❡ s✐♠♣❧❡st ♣♦ss✐❜❧❡❡①♣r❡ss✐♦♥ ✐s ❬✷✱ ♣✳ ✶✻✺✲✶✻✻✱ ♣✳ ✶✾✷❪

LD = Ψ̄(iγµ∂µ −m)Ψ

= (Ψ(1)∗,Ψ(2)∗,Ψ(3)∗,Ψ(4)∗) · γ0 · (iγµ∂µ −m)

Ψ(1)

Ψ(2)

Ψ(3)

Ψ(4)

, ✭✶✼✮

✇❤❡r❡

Ψ̄ := Ψ† · γ0. ✭✶✽✮

LD ✐s ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ ❉✐r❛❝ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ❛♥❞ ✐s t❤❡ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ❞❡s❝r✐❜✐♥❣ t❤❡ t❤❡♦r②♦❢ ❛ ❢r❡❡ ❢❡r♠✐♦♥ ✇✐t❤ ♠❛ss m✳ ❆♣❛rt ❢r♦♠ ▲♦r❡♥t③ ✐♥✈❛r✐❛♥❝❡✱ t❤❡r❡ ✐s❛♥♦t❤❡r s②♠♠❡tr②✱ ❛ ❣❧♦❜❛❧ U(1) s②♠♠❡tr②✿

Ψ → eiαΨ =

eiαΨ(1)

eiαΨ(2)

eiαΨ(3)

eiαΨ(4)

, ❢♦r α ∈ R

Ψ̄ → e−iαΨ̄, ✭✶✾✮

❛♥❞ t❤✉s

LD → Ψ̄ · e−iα · (iγµ∂µ −m) · eiαΨ = LD. ✭✷✵✮

◆♦✇ s✉♣♣♦s❡ α ✐s ♥♦t ❝♦♥st❛♥t ❜✉t r❛t❤❡r ❛ r❡❛❧ ✈❛❧✉❡❞ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦♥ s♣❛❝❡✲t✐♠❡✿

Ψ → eiα(x)Ψ. ✭✷✶✮

✼

❚❤❡ ♠❛ss t❡r♠ ✇✐❧❧ st❛② ✐♥✈❛r✐❛♥t✿

mΨ̄Ψ → Ψ̄e−iα(x) · eiα(x)Ψ = mΨ̄Ψ, ✭✷✷✮

❤♦✇❡✈❡r✱ ♥♦t t❤❡ ❦✐♥❡t✐❝ t❡r♠

Ψ̄iγµ∂µΨ → Ψ̄iγµ∂µΨ− (∂µα) · Ψ̄γµ ·Ψ. ✭✷✸✮

✷✳✸ ●❛✉❣❡ ❙②♠♠❡tr② ❢♦r t❤❡ ❉✐r❛❝ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥

◆♦✇ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ q✉❡st✐♦♥ ❛r✐s❡s✿ ❍♦✇ ❝❛♥ t❤❡ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ❜❡ ❝❤❛♥❣❡❞ s✉❝❤ t❤❛t✐t ✐s ♥♦t ♦♥❧② ✐♥✈❛r✐❛♥t ✉♥❞❡r ❛ ❣❧♦❜❛❧ ♣❤❛s❡ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥✱ ❜✉t ❛❧s♦ ✉♥❞❡r ❛❧♦❝❛❧ ♣❤❛s❡ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ eiα(x)❄ ❇❡❢♦r❡ ✜♥❞✐♥❣ ❛ s♦❧✉t✐♦♥ t♦ t❤✐s ♣r♦❜❧❡♠✱✐t ✐s ✐♠♣♦rt❛♥t t♦ ♠❡♥t✐♦♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣✿ ❚❤❡r❡ ✐s ♥♦ ✭❦♥♦✇♥✮ r❡❛s♦♥✱ ✇❤②♥❛t✉r❡ s❤♦✉❧❞ ♣r❡❢❡r ❛ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥s ✇✐t❤ ❧♦❝❛❧ s②♠♠❡tr②✱ ❛♥❞ t❤❡ ♠♦t✐✈❛t✐♦♥❢♦r t❤❡ ♣r♦❝❡ss ♦❢ ❣❛✉❣✐♥❣ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② t❤❡ ❢❛❝t t❤❛t ✐t t✉r♥❡❞ ♦✉t t♦ ❜❡ ✈❡r②❡✛❡❝t✐✈❡ t♦ ♣✐♥✲♣♦✐♥t ❝♦rr❡❝t ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥s ✇❤✐❝❤ ❞❡s❝r✐❜❡ ♣❤❡♥♦♠❡♥❛ ❢♦✉♥❞✐♥ ♥❛t✉r❡✳

❑❡② t♦ t❤❡ ❛♥s✇❡r ✐s ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥✿ ■❢ ∂µ ✇❛s r❡♣❧❛❝❡❞ ❜② ❛ ✜rst♦r❞❡r ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ♦♣❡r❛t♦r Dµ ✇✐t❤ t❤❡ ♣r♦♣❡rt② t❤❛t

DµΨ → eiα(x) ·DµΨ, ✭✷✹✮

L♥❡✇ = Ψ̄ · (iγµDµ −m)Ψ ✇♦✉❧❞ ❜❡ ✐♥✈❛r✐❛♥t ✉♥❞❡r ❛ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ♣❤❛s❡ tr❛♥s✲❢♦r♠❛t✐♦♥✳ ❚❤❛t ♠❡❛♥s t❤❛t Dµ ❛♥❞ Ψ s❤♦✉❧❞ s✐♠✉❧t❛♥❡♦✉s❧② tr❛♥s❢♦r♠ ❧✐❦❡

{

Ψ → eiαΨ,

Dµ → eiα ·Dµ · e−iα.✭✷✺✮

❚❤✐s ♠❡❛♥s t❤❛t t❤❡ ♦♣❡r❛t♦r Dµ ♠✉st ❝♦♥t❛✐♥ ❛ ♥❡✇ ✜❡❧❞ ✇✐t❤ ❛ ❞✐st✐♥✲❣✉✐s❤❡❞ ✇❛② ♦❢ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥✳ ❯s✐♥❣ t❤❡ ❆♥s❛t③ Dµ = ∂µ+ iAµ ❢♦r ❛ ✈❡❝t♦r✜❡❧❞ Aµ✱

✶

D′µΨ

′ = (∂µ + iA′µ)(e

iα(x) ·Ψ)

= eiα(x)(∂µ + iA′µ)Ψ + eiα(x)(i∂µα)Ψ

= eiα(x)(∂µ + iA′µ + i∂µα)Ψ

!= eiα(x)( Dµ )Ψ. ✭✷✻✮

✶❆s ❛ ♠♦t✐✈❛t✐♦♥ ❢♦r t❤✐s ❆♥s❛t③✱ ♦♥❡ ❝❛♥ s❡❡ t❤❛t t❤❡ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ t❡r♠ ✐♥ ✭✷✸✮ ✐s ♣✉r❡❧②r❡❛❧✳ ❆❧s♦✱ t❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣ ▲❛❣r❛♥❣ ❞❡♥s✐t② s❤♦✉❧❞ ❜❡ r❡❛❧✲✈❛❧✉❡❞✳ ▼♦r❡ ❣❡♥❡r❛❧✱ iDµ s❤♦✉❧❞st✐❧❧ ❜❡ ❛♥ ❍❡r♠✐t✐❛♥ ♦♣❡r❛t♦r✳

✽

◆♦✇ t❤❡ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ r✉❧❡ ❝❛♥ ❜❡ r❡❛❞ ♦✛✿

A′µ = Aµ − ∂µα. ✭✷✼✮

❚❤✉s

L♥❡✇ = Ψ̄ · (iγµDµ −m)Ψ

= Ψ̄ · (iγµ(∂µ + iAµ)−m)Ψ

= iΨ̄γµ∂µΨ−mΨ̄Ψ− AµΨ̄γµΨ

= LD − AµΨ̄γµΨ ✭✷✽✮

✐s ❛ ▲♦r❡♥t③ ✐♥✈❛r✐❛♥t ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ❝♦♥t❛✐♥✐♥❣ ❛ ✈❡❝t♦r ✜❡❧❞ Aµ ❛♥❞ ❛ s♣✐♥♦r✜❡❧❞ Ψ ✇✐t❤ t❤❡ ❧♦❝❛❧ ❣❛✉❣❡ s②♠♠❡tr②✿

{

Ψ → eiα(x)Ψ,

Aµ → Aµ − ∂µα.✭✷✾✮

✷✳✹ ❚❤❡ ◗❊❉ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥

■❢ t❤❡ Aµ ✜❡❧❞ ✐s r❡❧❛t❡❞ t♦ ❛ ♣❤②s✐❝❛❧ ♣❛rt✐❝❧❡✱ t❤❡ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s❤♦✉❧❞ ❝♦♥t❛✐♥❛ ❦✐♥❡t✐❝ t❡r♠✳ ❚❤✐s ❛❣❛✐♥ s❤♦✉❧❞ ❜❡ ▲♦r❡♥t③ ❛♥❞ ❣❛✉❣❡ ✐♥✈❛r✐❛♥t ❢♦r ✇❤✐❝❤❛ ♣♦ss✐❜❧❡ ❛♥s✇❡r ✇♦✉❧❞ ❜❡ t❤❡ ▼❛①✇❡❧❧ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ −1

4FµνF

µν ✳ ❆s s❤♦✇♥❛❜♦✈❡ ✭✶✶✮✱ ✐t ✐s ✐♥✈❛r✐❛♥t ✉♥❞❡r ❣❛✉❣❡ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥✳ ■♥ ❢❛❝t✱ ✉♣ t♦ ❛♣♦s✐t✐✈❡ ❢❛❝t♦r✱ t❤❡r❡ ✐s ♥♦ ♦t❤❡r ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ ❛ ✈❡❝t♦r✲✜❡❧❞ ❦✐♥❡t✐❝ t❡r♠ ✇❤✐❝❤✐s ❣❛✉❣❡ ❛♥❞ ▲♦r❡♥t③ ✐♥✈❛r✐❛♥t✱ r❡♥♦r♠❛❧✐③❛❜❧❡ ❛♥❞ ♥♦♥✲tr✐✈✐❛❧ ❬✷✱ ♣✳ ✶✾✻❪✳❈❛❧❧✐♥❣ t❤✐s ❢❛❝t♦r e−2✱ ✇❡ ❝❛♥ ✇r✐t❡ ❞♦✇♥ t❤❡ ❢✉❧❧ ◗❊❉ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥✳ ❆s ❛q✉❛♥t✉♠ ✜❡❧❞ t❤❡♦r②✱ t❤✐s ❞❡s❝r✐❜❡s t❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ♦❢ ♣❤♦t♦♥s ❛♥❞ ❡❧❡❝tr♦♥s❬✷✱ ♣✳ ✶✽✺❪✳ ◆♦t❡ t❤❛t ❛♥② ♠❛ss t❡r♠ ❢♦r t❤❡ ♣❤♦t♦♥ Aµ ✇♦✉❧❞ ❞❡str♦② ❣❛✉❣❡✐♥✈❛r✐❛♥❝❡✳

L◗❊❉ = Ψ̄ · (iγµDµ −m)Ψ− 1

4e2FµνF

µν ✭✸✵✮

= Ψ̄γµ∂µΨ︸ ︷︷ ︸

❦✐♥❡t✐❝ t❡r♠ ❡❧❡❝tr♦♥

− mΨ̄Ψ︸ ︷︷ ︸

♠❛ss t❡r♠ ❡❧❡❝tr♦♥

− AµΨ̄γµΨ︸ ︷︷ ︸

✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ t❡r♠

− 1

4e2FµνF

µν

︸ ︷︷ ︸

❦✐♥❡t✐❝ t❡r♠ ♣❤♦t♦♥

,

✇❤✐❝❤ ❛❢t❡r r❡❞✐✜♥✐♥❣ Aµ → eAµ ❜❡❝♦♠❡s

= Ψ̄γµ∂µΨ−mΨ̄Ψ− eAµΨ̄γµΨ− 1

4FµνF

µν . ✭✸✶✮

❆t t❤❡ st❛t✐st✐❝❛❧ ❧✐♠✐t ♦❢ ♠❛♥② ♣❛rt✐❝❧❡s✱ t❤❡ ❡✳♦✳♠✳ ❢♦r t❤❡ ♣❤♦t♦♥ ✜❡❧❞✇✐❧❧ ❜❡ t❤❡ ▼❊ ✇✐t❤ ❝❤❛r❣❡ ❞❡♥s✐t② ρ = eΨ†Ψ ✇❤✐❝❤ ✐s r❡❛s♦♥❛❜❧❡ ✇❤❡♥✐♥t❡r♣r❡t✐♥❣ Ψ†Ψ ❛s t❤❡ ❡❧❡❝tr♦♥ ❞❡♥s✐t②✳

✾

✸ ◗❈❉✿ ❆ ♥♦♥✲❛❜❡❧✐❛♥ ●❛✉❣❡ ❚❤❡♦r②

✸✳✶ ●❛✉❣❡ ❙②♠♠❡tr② ❢♦r ❛ ♥♦♥✲❛❜❡❧✐❛♥ ❣❧♦❜❛❧ ❙②♠♠❡✲

tr②

❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ s✉♠ ♦❢ N ❝♦♣✐❡s ♦❢ t❤❡ ❉✐r❛❝ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥✿

L(N)D =

N∑

i=1

Ψ̄i(iγµ∂µ −m)Ψi. ✭✸✷✮

❚❤✐s ❤❛s ❛ ❣❧♦❜❛❧ U(N)✲s②♠♠❡tr②✿

U †U = 1,N∑

j=1

U∗ijUlj = δij, ✭✸✸✮

Ψi → UijΨj =

Σ UijΨ(1)j

Σ UijΨ(2)j

Σ UijΨ(3)j

Σ UijΨ(4)j

, ✭✸✹✮

✇❤✐❝❤ ❞♦❡s♥✬t ❛✛❡❝t t❤❡ s♣✐♥♦r ✐♥❞✐❝❡s ❛♥❞ t❤✉s✿

L(N)D →

N∑

i,j,l=1

(U∗ijΨ̄j)(iγ

µ −m)(UilΨl)

=∑

j,l

(∑

i

U∗ijUil)(Ψ̄j(iγ

µ∂µ −m)Ψl)

=∑

j,l

δil(Ψ̄j(iγµ∂µ −m)Ψl) = L(N)

D . ✭✸✺✮

◆♦✇ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ t❤❡ s❛♠❡ ♣r♦❝❡❞✉r❡✱ t❤❡ ❜❡❤❛✈✐♦✉r ♦❢ L ❢♦r ❛ ❧♦❝❛❧ tr❛♥s❢♦r✲♠❛t✐♦♥ U = U(x) ✐s ❛♥❛❧②③❡❞✿

Ψi → Uij(x)Ψj,

L(N)D → L(N)

D +∑

j

(∑

j′

U∗ij(∂µUij′)) · Ψ̄jiγ

µΨj′ ✭✸✻✮

= L(N)D + Ψ̄iγµ · U †(∂µU)

︸ ︷︷ ︸

∈ u(N)={iA|A†=A}

Ψ.

❚♦ s❡❡ t❤❛t U †∂µU ✐s ❛♥ ❡❧❡♠❡♥t ♦❢ t❤❡ ▲✐❡ ❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ U(N)✱ ♦❜s❡r✈❡ t❤❛t

t 7→ U †(x) · U(x+ t · eµ) ✭✸✼✮

✶✵

❞❡✜♥❡s ❛ ❝✉r✈❡ ✐♥ U(N) ✇❤✐❝❤ ❤✐ts t❤❡ ✐❞❡♥t✐t② ❛t t✐♠❡ t = 0 ❛♥❞ t❤✉s

U †(x)∂µU(x) =d

dt

∣∣∣∣t=0

U †(x) · U(x+ teµ) ✭✸✽✮

❧✐❡s ✐♥ t❤❡ t❛♥❣❡♥t s♣❛❝❡ ♦❢ t❤❡ ✐❞❡♥t✐t②✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ ❛❜s♦r❜ t❤✐s ♠✐st❛❦❡✱ t❤❡❆♥s❛t③ ❢♦r t❤❡ ❝♦✈❛r✐❛♥t ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②✷

Dµ = ∂µ + iAµ, ✇❤❡r❡ Aµ = A†µ ✐s ❤❡r♠✐t✐❛♥. ✭✸✾✮

■t s❤♦✉❧❞ s❛t✐st❢② t❤❡ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ r✉❧❡ DµΨ → UDµΨ✳ ❏✉st ❛s ✐♥ s❡❝t✐♦♥✷✳✸✱ t❤❡ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ r✉❧❡ ❢♦r Aµ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥✿

D′µΨ

′ = (∂µ + iA′µ) · UΨ

= U∂µΨ+ iA′µUΨ+ (∂µU)Ψ

= U∂µΨ+ UU †iA′µUΨ+ UU †(∂µU)Ψ

= U(∂µ + iU †A′µU + U †(∂µU))Ψ

!= U(∂µ + iAµ )Ψ ✭✹✵✮

=⇒

Aµ → A′µ = UAµU † + i∂µU · U †. ✭✹✶✮

❚❤✐s ♠❡❛♥s t❤❛t ✐♥ ♦r❞❡r t♦ ❣❛✉❣❡ t❤❡ U(N)✲s②♠♠❡tr②✱ ❛ ❝♦✈❛r✐❛♥t❧② tr❛♥s✲❢♦r♠✐♥❣ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ ♦♣❡r❛t♦r Dµ ✇❛s ✐♥tr♦❞✉❝❡❞✱ ✇❤❡r❡ t❤❡ ✜rst ♦r❞❡r t❡r♠∂µ ❛❝ts ❞✐❛❣♦♥❛❧❧② ♦♥ ❡❛❝❤ ✜❡❧❞ ❛♥❞ t❤❡ ③❡r♦t❤ ♦r❞❡r ♠✐①❡s t❤❡ ✜❡❧❞s ❜② ♠✉❧✲t✐♣❧✐❝❛t✐♦♥ ✇✐t❤ t❤❡ ❛♥t✐✲❤❡r♠✐t✐❛♥ ♠❛tr✐① iAµ✳

❚❛s❦ ❛t ❤❛♥❞ ✐s ❛s ❜❡❢♦r❡ t♦ ✜♥❞ ❛ ❣❛✉❣❡ ✐♥✈❛r✐❛♥t ❦✐♥❡t✐❝ t❡r♠ ❢♦r t❤❡ Aµ

✜❡❧❞✳ ❙t❛rt✐♥❣ ♦✛ ✇✐t❤ t❤❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ❛❧r❡❛❞② ❦♥♦✇♥ ❢♦r t❤❡ ✜❡❧❞ str❡♥❣t❤t❡♥s♦r✿

∂µAν − ∂νAµ

❖♥❡ ❝❛♥ ♥♦t ❡①♣❡❝t t❤✐s t♦ ❜❡ ✐♥✈❛r✐❛♥t ✉♥❞❡r ❣❛✉❣❡ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ❜✉tr❛t❤❡r ✕ ❛s ✐t ✐s ❛ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ❜✉✐❧t ♦✉t ♦❢ ♦♣❡r❛t♦rs ✕ t♦ tr❛♥s❢♦r♠ ❝♦✈❛r✐❛♥t❧②✳◆❡✈❡rt❤❡❧❡ss✱ ❡✈❡♥ t❤❛t ✐s ♥♦t t❤❡ ❝❛s❡✳ ◆♦✇ ❛ r❡❛s♦♥❛❜❧❡ ❣✉❡ss ✐s t♦ ❡①❝❤❛♥❣❡t❤❡ ♣❛rt✐❛❧ ❜② t❤❡ ❝♦✈❛r✐❛♥t ❞❡r✐✈❛t✐✈❡✿

Fµν : = DµAν −DνAµ

= ∂µAν − ∂νAµ + i[Aµ, Aν ]. ✭✹✷✮

✷❆❣❛✐♥✱ t❤❡ ❝♦✈❛r✐❛♥t ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ s❤♦✉❧❞ ❣✐✈❡ t❤❛t iDµ ✐s ❛♥ ❍❡r♠✐t✐❛♥ ♦♣❡r❛t♦r✱ t❤❡r❡✲❢♦r❡ Aµ s❤♦✉❧❞ ❜❡ ❤❡r♠✐t✐❛♥✳

✶✶

❲❡ ❝❛❧❝✉❧❛t❡✿

[Dµ, Dν ] = [∂µ, ∂ν ] + i[∂µ, Aµ] + i[Aµ, ∂ν ]− [Aµ, Aν ] ✭✹✸✮

= i(∂µAν)− i(∂νAµ)− [Aµ, Aν ] } = iFµν .

+iAν∂µ + iAµ∂ν − (µ ↔ ν)︸ ︷︷ ︸

=0

❈❧❡❛r❧② t❤❡ ❧❡❢t ❤❛♥❞ s✐❞❡ ♦❢ ✭✹✸✮ ✐s tr❛♥s❢♦r♠✐♥❣ ❝♦✈❛r✐❛♥t❧② ❛♥❞ t❤✉s t❤✐s✐s ❛ ✈❛❧✐❞ ❣❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✜❡❧❞ str❡♥❣t❤ t❡♥s♦r✳ ❙t✐❧❧ t❤❡ ❛✐♠ ✐s t♦ ✜♥❞❛ ❣❛✉❣❡ ❛♥❞ ▲♦r❡♥t③ ✐♥✈❛r✐❛♥t ❦✐♥❡t✐❝ t❡r♠✳ ❚❤✐s ✐s ❡❛s② t♦ ✜♥❞✱ ❥✉st ❜②❝♦♥tr❛❝t✐♥❣ t✇♦ ✜❡❧❞ str❡♥❣t❤ t❡♥s♦rs ❛♥❞ t❛❦✐♥❣ t❤❡ tr❛❝❡✿

L❨▼ =1

2tr(Fµν · F µν). ✭✹✹✮

■t ✐s ♥♦✇ ✉s❡❢✉❧ t♦ r❡✇r✐t❡ t❤✐s ✐♥ ♣❛r❛♠❡t❡r ❢♦r♠ ✇❤✐❝❤ ✐s ❡①♣❧❛✐♥❡❞ ✐♥ t❤❡s✉❜s❡q✉❡♥t s✉❜s❡❝t✐♦♥✳

✸✳✷ ❚❤❡ ▲✐❡ ❆❧❣❡❜r❛ ♦❢ U(n)

❉✐✛❡r❡♥t✐❛t✐♥❣ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ U(t)†U(t) = 1 ②✐❡❧❞s✿

(∂tU(0))† + ∂tU(0) = 0. ✭✹✺✮

❚❤✐s ♠❡❛♥s t❤❛t t❤❡ ▲✐❡ ❆❧❣❡❜r❛ ✐s t❤❡ s♣❛❝❡ ♦❢ ❛♥t✐✲❤❡r♠✐t✐❛♥ ♠❛tr✐❝❡s✿

u(n) = {iA|A† = A}. ✭✹✻✮

❚❤❡ s♣❛❝❡ ♦❢ ❤❡r♠✐t✐❛♥ ♠❛tr✐❝❡s ✐s✱ ❜② ❝♦✉♥t✐♥❣ ❢r❡❡ ♣❛r❛♠❡t❡rs✱ n2✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧✳❖♥❡ ❝❛♥ ❛❧✇❛②s ✜♥❞ ❛♥ ♦rt❤♦♥♦r♠❛❧ s❡t ♦❢ n2 ♠❛tr✐❝❡s T a✿

tr(T a · T b) =1

2δab. ✭✹✼✮

❚❤❡ str✉❝t✉r❡ ❝♦♥st❛♥ts ✇✳r✳t✳ ❛♥② ❜❛s✐s ❛r❡ ❞❡✜♥❡❞ ❜②✿

[T a, T b] = ifabc · T c. ✭✹✽✮

❉✉❡ t♦ t❤❡ ♦rt❤♦❣♦♥❛❧✐t② ♦❢ t❤❡ T a✱ ♦♥❡ ❝❛♥ ❝❛❧❝✉❧❛t❡✿

fabc = − i

2· tr([T a, T b] · T c), ✭✹✾✮

❢r♦♠ ✇❤✐❝❤ ✐s s❡❡♥ t❤❛t t❤❡ str✉❝t✉r❡ ❝♦♥st❛♥ts ❛r❡ t♦t❛❧❧② ❛♥t✐✲s②♠♠❡tr✐❝✳❊①❛♠♣❧❡s ❢♦r s✉❝❤ ❛ ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ T a✲♠❛tr✐❝❡s ❛r❡✿◆❂✶

T 0 =(

1√2

)

, ✭✺✵✮

✶✷

◆❂✷✿ P❛✉❧✐ ♠❛tr✐❝❡s✱ T i = 12σi✿

σ0 =

(1 00 1

)

, σ1 =

(0 11 0

)

, ✭✺✶✮

σ2 =

(0 −ii 0

)

, σ3 =

(1 00 −1

)

,

◆❂✸✿ ●❡❧❧✲▼❛♥♥ ♠❛tr✐❝❡s✱ T a = 12λa✿

λ0 =

√

2

3

1 0 00 1 00 0 1

, λ1 =

0 1 01 0 00 0 0

, λ2 =

0 −i 0i 0 00 0 0

,

λ3 =

1 0 00 −1 00 0 0

, λ4 =

0 0 10 0 01 0 0

, λ5 =

0 0 −i0 0 0i 0 0

, ✭✺✷✮

λ6 =

0 0 00 0 10 1 0

, λ7 =

0 0 00 0 −i0 i 0

, λ8 =1√3

1 0 00 1 00 0 −2

.

✸✳✸ ❚❤❡ ◗❈❉ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥

◆♦✇ t❤❡ ❛❜♦✈❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥s ❝❛♥ ❜❡ r❡✇r✐tt❡♥✿

Aµ = AaµT

a,

Fµν = F aµνT

a,

F aµν = ∂µA

aν − ∂νA

aµ + fabcAb

µAcν ,

1

2tr(FµνF

µν) =1

4F aµνF

aµν , ✭✺✸✮

=1

2(∂µA

aν∂

νAaµ − ∂µAaν∂

µAa ν),

+ fabcAbµA

cν∂

µAa ν ,

− 1

4fabcfab′c′Ab

µAcνA

b′ µAc′ ν .

■t ✐s ✈❡r② ✐♥t❡r❡st✐♥❣ t❤❛t t❤❡ ♦♥❧② ❞❛t❛ ❧❡❢t ❢r♦♠ ♦✉r st❛rt✐♥❣ ♣♦✐♥t ✐s t❤❡str✉❝t✉r❡ ❝♦♥st❛♥ts ♦❢ t❤❡ ▲✐❡ ❛❧❣❡❜r❛✳ ❚❤✐s s❤♦✇s t❤❡ ❣❡♥❡r❛❧✐t② ♦❢ t❤✐s ❝♦♥✲str✉❝t✐♦♥✳ ❚❤❡ s❡❝♦♥❞ t❤✐♥❣ t♦ ♥♦t❡ ✐s t❤❛t ❢♦r ❛ s❡♠✐s✐♠♣❧❡ ▲✐❡✲❆❧❣❡❜r❛✱❜❡✐♥❣ t❤❡ ❞✐r❡❝t s✉♠ ♦❢ s✐♠♣❧❡ s✉❜❛❧❣❡❜r❛s✱ t❤❡ T a ❝❛♥ ❜❡ ❝❤♦s❡♥ ✐♥ ❛ ✇❛②t❤❛t t❤❡② s♣❛♥ t❤❡ s✐♠♣❧❡ s✉❜❛❧❣❡❜r❛s✳ ❚❤❡♥ t❤❡ str✉❝t✉r❡ ❝♦♥st❛♥ts ❝❛♥♦♥❧② ❜❡ ♥♦♥✲③❡r♦ ✐❢ ❛❧❧ ✐♥❞✐❝❡s ❜❡❧♦♥❣ t♦ t❤❡ s❛♠❡ s✐♠♣❧❡ s✉❜❛❧❣❡❜r❛ ❛♥❞ t❤✉s

✶✸

t❤❡ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s♣❧✐ts ✐♥t♦ ❛ s✉♠ ♦❢ ♥♦♥✐♥t❡r❛❝t✐♥❣ t❡r♠s ❢♦r ❡❛❝❤ s✐♠♣❧❡ s✉❜✲❛❧❣❡❜r❛✳ ❚❤❡s❡ t❡r♠s t❤✉s ❢♦r♠ ❞✐s❥♦✐♥t t❤❡♦r✐❡s✳

◆♦✇ ✐t ✐s ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ✉♥❞❡rst❛♥❞ t❤❡ ◗❈❉ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ❬✸✱ ♣✳ ✹✶✾❪✳ ❆ss❡♠❜❧✐♥❣t♦❣❡t❤❡r t❤❡ ✸✲❢♦❧❞ ❉✐r❛❝ ❧❛❣r❛♥❣✐❛♥ ✇✐t❤ ❝♦✈❛r✐❛♥t ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s t♦❣❡t❤❡r ✇✐t❤t❤❡ SU(3)✲♣❛rt ♦❢ t❤❡ ❛❜♦✈❡ ❦✐♥❡t✐❝ t❡r♠ ❢♦r t❤❡ Aµ✲✜❡❧❞✱ ✇❡✐❣❤t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡❝♦✉♣❧✐♥❣ ❝♦♥st❛♥t 1

g2✱ ②✐❡❧❞s ✕ ❢♦r ♦♥❡ ✢❛✈♦✉r✿

LQCD =3∑

j,j′=1

Ψ̄j(iγµDµjj′ −mδjj′)Ψj′ −

1

2g2tr(FµνF

µν)

= Ψ̄j(iγµ∂µ −m)Ψj − Aa

µΨ̄jγµT a

jj′Ψj′ −1

4g2

8∑

a=1

F aµνF

aµν .

✭✺✹✮

❋♦r ❛❧❧ ✻ ✢❛✈♦✉rs I t❤❡r❡ ✐s ❛ ✸✲❢♦❧❞ ❉✐r❛❝ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ t❡r♠✱ ❡❛❝❤ ✇✐t❤ ❞✐✛❡r❡♥t♠❛ss❡s✿

LQCD =6∑

J=1

3∑

j,j′=1

Ψ̄Jj(iγµDµjj′ −mJδjj′)ΨJj′ −

1

2g2Tr(FµνF

µν)

=6∑

J=1

Ψ̄J(iγµDµ −mJ)ΨJ − 1

4g2F aµνF

aµν ,

✭✺✺✮

✇✐t❤ ❛ ❧♦❝❛❧ ❙❯✭✸✮ ✐♥✈❛r✐❛♥❝❡✿

ΨJ → UΨJ ,

ΨJi → UijΨJj,

Aµ → UAµU† + i(∂µU)U †,

Dµ → UDµU†,

Fµν → UFµνU†.

✭✺✻✮

❚❤✐s ▲❛❣r❛♥❣❡ ❞❡♥s✐t② ✭✺✺✮ r❡s✉❧ts ✐♥ t❤❡ q✉❛♥t✉♠ ✜❡❧❞ t❤❡♦r② ♦❢ q✉❛♥t✉♠❝❤r♦♠♦❞②♥❛♠✐❝s ✇❤✐❝❤ ❞❡s❝r✐❜❡s t❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ♦❢ q✉❛r❦s ❛♥❞ ❣❧✉♦♥s ❞✉❡ t♦t❤❡ str♦♥❣ ❢♦r❝❡✳

✹ ❚❤❡ ♣✉r❡ ❨❛♥❣✲▼✐❧❧s ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥

❆♣♣❡❛r✐♥❣ ✐♥ ❜♦t❤ ◗❊❉ ❛♥❞ ◗❈❉✱ ✐t ✐s r❡❛s♦♥❛❜❧❡ t♦ ❤❛✈❡ ❛ ❝❧♦s❡r ❧♦♦❦ ❛t t❤❡♣✉r❡ ❨❛♥❣✲▼✐❧❧s ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥✳ ■t st❛rts ✇✐t❤ ❝♦♠♣❛❝t ♠❛tr✐① ▲✐❡ ❣r♦✉♣ ✇✐t❤ ❛♥✐♥♥❡r ♣r♦❞✉❝t ♦♥ t❤❡ ▲✐❡ ❛❧❣❡❜r❛✳ ❚❤❡ ✐♥♥❡r ♣r♦❞✉❝t ♦♥ t❤❡ ▲✐❡✲❆❧❣❡❜r❛ ❝❛♥

✶✹

❜❡ ❝❤♦s❡♥ ✭❜② ✉s✐♥❣ t❤❡ ♥♦♥✲❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ❑✐❧❧✐♥❣ ❢♦r♠✮ t❤❛t ✐t ✐s ✐♥✈❛r✐❛♥t ✉♥❞❡r❝♦♥❥✉❣❛t✐♦♥ ❛♥❞ s♦ t❤❛t 〈A, [B,C]〉 = 〈[A,B], C〉✳ ❚❤❡ str✉❝t✉r❡ ❝♦♥st❛♥ts❛r❡ t♦t❛❧❧② ❛♥t✐s②♠♠❡tr✐❝ ❛♥❞ ❣✐✈❡♥ ❜② ifabc = 〈T a, [T b, T c]〉 ❢♦r ❛ s❡t ♦❢♦rt❤♦♥♦r♠❛❧ ❣❡♥❡r❛t♦rs iT a✳ ❚❤❡♥ ❝♦♥s✐❞❡r

L❨▼(Aµ, ∂νAµ) = − 1

4g2F aµνF

aµν = − 1

4g2〈Fµν , F

µν〉, ✭✺✼✮

✇❤✐❝❤ ❜② r❡❞❡✜♥✐♥❣ Aµ → gAµ

=1

2(∂µA

aν∂

νAaµ − ∂µAaν∂

µAa ν)}

▼❛①✇❡❧❧✬s L

+ g · f bca Ab

µAcν∂

µAa ν}

❝✉❜✐❝ s❡❧❢✲✐♥t❡r❛❝t✐♦♥

− 1

4g2 · f bc

a f b′c′

a AbµA

cνA

b′ µAc′ ν .}

q✉❛rt✐❝ s❡❧❢✲✐♥t❡r❛❝t✐♦♥

❚❤✐s s❤♦✇s t❤❛t t❤❡ ❣❡♥❡r✐❝ ❨❛♥❣✲▼✐❧❧s ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ❝♦♥t❛✐♥s ❢♦r ❡❛❝❤ ♣❛r❛♠✲❡t❡r ❛ ▼❛①✇❡❧❧✬s ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ❛♥❞ ✕ ❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦♥ t❤❡ str✉❝t✉r❡ ❝♦♥st❛♥ts ✕❝✉❜✐❝ ❛♥❞ q✉❛rt✐❝ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ t❡r♠s ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ✇❡✐❣❤t❡❞ ❜② g ❛♥❞ g2✱ r❡s♣❡❝✲t✐✈❡❧②✳ ❚❤✐s ♠❡❛♥s t❤❛t t❤❡ ❡✳♦✳♠✳ ✇✐❧❧ ❜❡ ♥♦♥✲❧✐♥❡❛r✿

✹✳✶ ❨❛♥❣✲▼✐❧❧s ❊q✉❛t✐♦♥s

■♥ ♦r❞❡r t♦ ✜♥❞ t❤❡ ❨❛♥❣✲▼✐❧❧s ❡q✉❛t✐♦♥s ✇❤✐❝❤ ❛r❡ t❤❡ ❡✳♦✳♠✳ ❢♦r t❤❡ ❨❛♥❣✲▼✐❧❧s ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥✱ ✇❡ ❝❛♥ ♣❡r❢♦r♠ ❛ ✈❛r✐❛t✐♦♥ ♣r✐♥❝✐♣❧❡ ♦❢ t❤❡ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥✳

Fµν(A) = ∂µAν − ∂νAµ + i[Aµ, Aν ],

Fµν(A+ λB) = Fµν(A) + iλ([Aµ, Bν ] + [Bµ, Aν ]) ✭✺✽✮

+ λ(∂µBν − ∂νBµ) +O(λ2),

d

dλ

∣∣∣∣λ=0

∫

〈Fµν(A+ λB), F µν(A+ λB)〉

= 2

∫

〈Fµν(A), i([Aµ, Bν ] + [Bµ, Aν ]) + F µν(B)〉

= 2

∫

2i〈[Fµν(A), Aµ], Bν〉+ 2〈Fµν(A), ∂

µBν〉

= −4

∫

〈∂µFµν + i[Aµ, Fµν ], Bν〉 !

= 0. ✭✺✾✮

❆s ❢♦r t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❡✳♦✳♠✳ t❤✐s ♠✉st ❤♦❧❞ tr✉❡ ❢♦r ❛❧❧ ♣♦ss✐❜❧❡ ✈❛r✐❛t✐♦♥sBν ✱ t❤✉s t❤❡ ❨❛♥❣✲▼✐❧❧s ❡q✉❛t✐♦♥s ❛r❡ s❛t✐s✜❡❞✿

∂µFµν + i[Aµ, Fµν ] = 0. ✭✻✵✮

✶✺

❚❤❡② ❛r❡ t❤❡ ♣r♦♣❡r ❣❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✐♥❤♦♠♦❣❡♥❡♦✉s ▼❊✳ ❋r♦♠ t❤❡ ❞❡✜✲♥✐t✐♦♥ ♦❢ Fµν t❤❡ ❇✐❛♥❝❤✐ ❝♦♥str❛✐♥ts ❝❛♥ ❜❡ ❞❡❞✉❝❡❞ ❬✷✱ ♣✳ ✶✾✾❪✳ ❚❤❡② ❛r❡ t❤❡♣r♦♣❡r ❣❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ t♦ t❤❡ ❤♦♠♦❣❡♥❡♦✉s ▼❊ ❛♥❞ ❢♦❧❧♦✇✱ ❛s ✐♥ t❤❡ ❛❜❡❧✐❛♥❝❛s❡✱ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t❧② ♦❢ t❤❡ ❡✳♦✳♠ ♦♥❧② ❜② t❤❡ ❢❛❝t t❤❛t t❤❡ ✜❡❧❞ str❡♥❣t❤ t❡♥s♦r✐s ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ✈❡❝t♦r ♣♦t❡♥t✐❛❧✿

∂µF̃µν + i[Aµ, F̃µν ] = 0. ✭✻✶✮

❍❡r❡ t❤❡ ❞✉❛❧ ✜❡❧❞ str❡♥❣t❤ t❡♥s♦r ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❜②✿

F̃ µν =1

2ǫµνρσFρσ,

=

0 B1 B2 B3

−B1 0 −E3 E2

−B2 E3 0 −E1

−B3 −E2 E1 0

, ✭✻✷✮

✇❤❡r❡ t❤❡ ♥♦t❛t✐♦♥ ♦❢ ❊❧❡❝tr♦❞②♥❛♠✐❝s ✐s ❜❡✐♥❣ ✉s❡❞ t♦ ❞❡✜♥❡ ~E ❛♥❞ ~B✳

✹✳✷ P✉r❡ ❨❛♥❣✲▼✐❧❧s ✐♥ ❊✉❝❧✐❞❡❛♥ ❙♣❛❝❡

❚❤❡ ❛❜♦✈❡ ❞✐s❝✉ss✐♦♥ ❝❛♥ ❥✉st ❛s ✇❡❧❧ ❜❡ ❝❛rr✐❡❞ ♦✉t ✇✐t❤ ❡✉❝❧✐❞❡❛♥ ♠❡tr✐❝✭η = (+,+,+,+)✮ ✇✐t❤♦✉t ❝❤❛♥❣✐♥❣ t❤❡ ❨❛♥❣✲▼✐❧❧s ❡q✉❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❇✐❛♥❝❤✐❝♦♥str❛✐♥ts✳ ■♥ t❤❡ ❡✉❝❧✐❞❡❛♥ ❝❛s❡✱ t❤❡ s✐❣♥ ♠✉st ❜❡ ♣♦s✐t✐✈❡ t♦ ♦❜t❛✐♥ ♣♦s✐t✐✈❡❡♥❡r❣②✳ ■♥ t❤✐s s✐t✉❛t✐♦♥✱ t❤❡ t❤❡♦r② ❝❛rr✐❡s ✐♥t❡r❡st✐♥❣ t♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❛s♣❡❝ts✳❋✐rst ♥♦t t❤❛t

〈Fµν , Fµν〉 = 〈F̃µν , F̃µν〉,0 ≤ 〈(Fµν ± F̃µν), (Fµν ± F̃µν)〉,

=⇒ ±〈F̃µν , Fµν〉 ≤ 〈Fµν , Fµν〉. ✭✻✸✮

❚❤✐s ❣✐✈❡s ❛ ❧♦✇❡r ❜♦✉♥❞ ❢♦r t❤❡ ❛❝t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧✿

S =1

4g2

∫

〈Fµν , Fµν〉 ≥∣∣∣∣

1

4g2

∫

〈F̃µν , Fµν〉∣∣∣∣. ✭✻✹✮

❋r♦♠ t❤✐s ✕ ❛s ✇❡❧❧ ❛s ❢r♦♠ t❤❡ ❇✐❛♥❝❤✐✲❈♦♥str❛✐♥ts ✕ ✐t ✐s ❝❧❡❛r t❤❛t s❡❧❢✲❞✉❛❧ ❛♥❞ ❛♥t✐✲s❡❧❢✲❞✉❛❧ ✜❡❧❞ str❡♥❣t❤ t❡♥s♦rs ✇✐❧❧ tr✐✈✐❛❧❧② s❛t✐s❢② t❤❡ ❨▼✲❡q✉❛t✐♦♥s✳ ■♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ t❤❡ ▲✐❡ ❣r♦✉♣ SU(2) t❤❡ r✐❣❤t ❤❛♥❞ s✐❞❡ t❛❦❡s✈❛❧✉❡s ✐♥ ❛♥ ✐♥t❡❣❡r ❧❛tt✐❝❡✳ ❖♥❡ s❡❡s t❤❛t ❜② ✇r✐t✐♥❣ ✐t ❛s ❛ s✉r❢❛❝❡ ✐♥t❡❣r❛❧❛t ✐♥✜♥✐t② ✭s❡❡ ❬✷✱ ♣✳ ✷✵✷✲✷✵✷❪ ❢♦r t❤❡ ❞❡r✐✈❛t✐♦♥s✮✿

∫

〈Fµν , F̃µν〉 =8

3

∫

S3,∞

d3σµ ǫµνρσ tr(U(∂νU †)U(∂ρU †)U(∂ρU †)). ✭✻✺✮

✶✻

❇② ❣♦✐♥❣ t♦ ✐♥✜♥✐t②✱ Fµν ♠✉st ❣♦ s✉✣❝✐❡♥t❧② ❢❛st t♦ ③❡r♦ s✉❝❤ t❤❛t S st❛②s✜♥✐t❡✳ ❚❤✐s ✐♥ t✉r♥ ♠❡❛♥s t❤❛t Aµ ✐s ❛ ♣✉r❡ ❣❛✉❣❡✱ t❤❛t ✐s ❛ ❣❛✉❣❡ tr❛♥s❢♦r♠❛✲t✐♦♥ ♦❢ ✵✳ ❙♦ ❛t ✐♥✜♥✐t②✱ Aµ = −iU(∂µU †) ❢♦r ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ U : S3,∞ → SU(2)✳❚❤✐s ✐s ✉s❡❞ ✐♥ t❤❡ r✐❣❤t ❤❛♥❞ s✐❞❡ ♦❢ ✭✻✺✮✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ✐♥ ❢❛❝t ♦♥❧② ❞❡♣❡♥❞❡♥t♦❢ t❤❡ ❤♦♠♦t♦♣② ❝❧❛ss ♦❢ U ✐♥ Π3(SU(2)) = Z✳ ❋♦r ❛♥② Fµν ✿

n =1

16π2

∫

tr(Fµν · F̃ µν) ∈ Z. ✭✻✻✮

❚❤✐s ✐♥t❡❣❡r ✐s ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ P♦♥tr②❛❣✐♥ ✐♥❞❡①✳ ❊q✉❛t✐♦♥ ✭✻✹✮ ❝❛♥ ❜❡ ♥♦✇ r❡✇r✐t✲t❡♥ ❛s✿

S =1

2g2

∫

tr(Fµν · Fµν) ≥8π2

g2· n. ✭✻✼✮

❚❤✐s ✐s ❛♥ ❡①❛♠♣❧❡ ♦❢ ❛ t♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ s♦❧✐t♦♥ ❧✐❦❡ t❤❡ ♦♥❡s ❞✐s❝✉ss❡❞ ✐♥ ♦t❤❡rr❡♣♦rts ♦❢ t❤✐s ♣r♦s❡♠✐♥❛r✳

✺ ❚❤❡ ❙t❛♥❞❛r❞ ▼♦❞❡❧

❚❤❡ st❛♥❞❛r❞ ♠♦❞❡❧ ♦❢ ♣❛rt✐❝❧❡ ♣❤②s✐❝s ❝❛♥ ❜❡ ❢♦r♠✉❧❛t❡❞ ❛s ❛ q✉❛♥t✉♠ ✜❡❧❞t❤❡♦r② ❬✸❪✳ ■t ❤❛s ❛ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ❞❡♥s✐t② ✇✐t❤ ✈❛r✐♦✉s ✜❡❧❞s t♦ ✇❤✐❝❤ ❡❛❝❤♣❛rt✐❝❧❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s✳ ❚❤❡ ✜rst t❤✐♥❣ ✇❤❡♥ ❛♣♣r♦❛❝❤✐♥❣ t❤✐s ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ✐st♦ s❡❡ t❤❛t ✐ts ❞✐✛❡r❡♥t ✜❡❧❞s ❛r❡ ✐♥ ❞✐✛❡r❡♥t r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ▲♦r❡♥t③❣r♦✉♣✳ ❚❤✐s ✐s r❡❧❛t❡❞ t♦ t❤❡ s♣✐♥ ♦❢ ❡❛❝❤ ♣❛rt✐❝❧❡✿ ❚❤❡r❡ ❛r❡ ❢❡r♠✐♦♥s t❤❛t❝♦♠❡ ❢r♦♠ s♣✐♥♦r ✜❡❧❞s✱ t❤❡② ❤❛✈❡ s♣✐♥ 1/2✳ ❚❤❡♥ t❤❡r❡ ✐s ❣❛✉❣❡ ❜♦s♦♥s t❤❛t❛r✐s❡ ❢r♦♠ ✈❡❝t♦r ✜❡❧❞s ❤❛✈✐♥❣ s♣✐♥ 1✳ ❆♥❞ t❤❡r❡ ✐s t❤❡ ❍✐❣❣s ✜❡❧❞ ✇❤✐❝❤✐s ❛ s❝❛❧❛r ✜❡❧❞ ❛♥❞ ❤❛s s♣✐♥ ✵✳ ❍♦✇ t❤❡ s♣✐♥ ❝❛♥ ❜❡ ❞❡❞✉❝❡❞ ❢r♦♠ t❤❡r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ✉♥❞❡r ▲♦r❡♥t③ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❝❛♥ ❜❡ s❡❡♥ ✭❢♦r ❢❡r♠✐♦♥s✮ ✐♥❬✺✱ ❝❤✳ ✾✳✶✳✷❪✳ ❚❤❡ ♥❡①t st❡♣ ✐♥ ❛♣♣r♦❛❝❤ ♦❢ t❤❡ st❛♥❞❛r❞ ♠♦❞❡❧ ✐s ✐ts ❣❛✉❣❡s②♠♠❡tr②✿

U(1)× SU(2)× SU(3).

❆♥❞ ✐♥ ❢❛❝t✱ ❢♦r ❛❧❧ t❤r❡❡ ❣r♦✉♣s t❤❡r❡ ✐s ❨❛♥❣ ▼✐❧❧s ❣❛✉❣❡ ✜❡❧❞s Bµ✱ Waµ ❛♥❞

Gbµ ❢♦r a = 1, 2, 3 ❛♥❞ b = 1, . . . , 8 ✐♥ t❤❡ st❛♥❞❛r❞ ♠♦❞❡❧❀ ❛s ✇❡❧❧ ❛s ❛ ❨❛♥❣

▼✐❧❧s ❧❛❣r❛♥❣✐❛♥ ✉s✐♥❣ t❤❡ r❡s♣❡❝t✐✈❡ ✜❡❧❞ str❡♥❣t❤ t❡♥s♦rs

L❨▼ =1

4g′2BµνB

µν +1

4g2wW a

µνWaµν +

1

4g2sGb

µνGbµν . ✭✻✽✮

❚❤❡ SU(3)✲t❡r♠ ✐s ❡①❛❝t❧② t❤❡ s❛♠❡ ❛s ✐♥ t❤❡ ◗❈❉ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ✭✺✺✮ ❛♥❞ ✐s t❤❡❦✐♥❡t✐❝ t❡r♠ ❢♦r t❤❡ ❣❧✉♦♥s ✐♥ t❤❡ st❛♥❞❛r❞ ♠♦❞❡❧✳ ❉✉❡ t♦ ◆♦❡t❤❡r t❤❡♦r❡♠✱s②♠♠❡tr✐❡s ✐♥ t❤❡ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ✐♥❞✉❝❡ ❝♦♥s❡r✈❡❞ ❝❤❛r❣❡s✳ ▲♦❝❛❧ s②♠♠❡tr✐❡s❞♦ ♥♦t ❣✐✈❡ ♥❡✇ ❝♦♥s❡r✈❡❞ ❝❤❛r❣❡s✳ ❘❛t❤❡r t❤❡ ❣❧♦❜❛❧ SU(3) s②♠♠❡tr② ❧❡❛❞s

✶✼

t♦ ❛ str♦♥❣ ❝❤❛r❣❡ ❢♦r ❜♦t❤ q✉❛r❦s ❛♥❞ ❣❧✉♦♥s✳ ❚❤❡ ❝❤❛r❣❡s ❛r❡ ❣✐✈❡♥ ❜②t❤❡ ❊✐❣❡♥✈❛❧✉❡ ✉♥❞❡r t❤❡ ❣❡♥❡r❛t♦r ♦❢ t❤❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥✳ ◆♦✇ ❢♦r ❛ ❣❧♦❜❛❧SU(3)✲tr❛♥s❢♦r♠✿

{

ΨI → UΨI ,

Gµ → UGµU †.✭✻✾✮

❚❤✐s ♠❡❛♥s t❤❛t t❤❡ q✉❛r❦s ❛r❡ ✐♥ t❤❡ ✈❡❝t♦r r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ❛♥❞ t❤❡ ❣❧✉♦♥s✐♥ t❤❡ ❛❞❥♦✐♥t r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ SU(3)✳ ▼✉❝❤ ❛s ✐♥ q✉❛♥t✉♠ ♠❡❝❤❛♥✐❝s✱ t❤❡♣♦ss✐❜❧❡ st❛t❡s ❛r❡ t❤❡ ❊✐❣❡♥st❛t❡s ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ ❛ ♠❛①✐♠❛❧ ❝♦♠♠✉t✐♥❣s❡t ♦❢ ❣❡♥❡r❛t♦rs✳ ❋♦r t❤❡ SU(3) ❛❧❣❡❜r❛✱ t❤✐s ❝❛♥ ❜❡ ❝❤♦s❡♥ t♦ ❜❡ λ3 ❛♥❞ λ8✱❛s ❛ ♠❛①✐♠❛❧ ❈❛rt❛♥ s✉❜❛❧❣❡❜r❛ ♦❢ SU(3) ✐s ✷✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧✳ ❆s t❤❡ ✈❡❝t♦rr❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ✐s ✸✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧✱ q✉❛r❦s ✇✐❧❧ ❤❛✈❡ t❤r❡❡ ♣♦ss✐❜❧❡ ❝♦❧♦✉r st❛t❡s❀❛♥❞ ❛s t❤❡ ❛❞❥♦✐♥t r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ✐s ✽✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧✱ ❣❧✉♦♥s ❤❛✈❡ ❡✐❣❤t ♣♦ss✐✲❜❧❡ ❞✐✛❡r❡♥t ❣❧✉♦♥ st❛t❡s✱ ✇❤❡r❡❛s t❤❡ ✵ st❛t❡ ✐s ❞❡❣❡♥❡r❛t❡✳ ❚❤❡ r❡s✉❧t✐♥❣❊✐❣❡♥✈❛❧✉❡s ❢♦r t❤❡ s✐♠✉❧t❛♥❡♦✉s ❞✐❛❣♦♥❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✸ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧② ❛❞❥♦✐♥tr❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ λ3 ❛♥❞ λ8 ❛r❡ s❤♦✇♥ ❛s g3 ❛♥❞ g8 ✐♥ ✜❣✉r❡ ✭✷✮✳ ❚❤❡s❡ ❛r❡t❤❡ ♣♦ss✐❜❧❡ str♦♥❣ ❝❤❛r❣❡s ❢♦r q✉❛r❦s ❛♥❞ ❣❧✉♦♥s✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳

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