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Competencia monopolistica: historiaModelo de ChamberlinTwo-Stage Budgeting

Modelo de Dixit-Stiglitz

Clase 3: Modelo de Dixit-Stiglitz (1977)

Hamilton Galindo

Macrodinamica II

Junio - Agosto2015

Hamilton Galindo Clase 3: Modelo de Dixit-Stiglitz (1977)



Outline

1 Competencia monopolistica: historia

2 Modelo de Chamberlin

3 Two-Stage Budgeting

4 Modelo de Dixit-StiglitzLas familiasTwo-Stage Budgeting




Competencia monopolistica IPerspectiva historica

La teorıa de competencia monopolistica ha tenido diferente etapas de desa-rrollo.

Primera revolucion

La primera revolucion fue liderada por Joan Robinson y EdwardHosting Chamberlin en 1933 con la publicacion de dos libros: “TheEconomics of Imperfect Competition” y “The Theory ofMonopolistic Competition” respectivamente.

Aunque Joan Robinson revivio la revolucion marginal, E.H.Chamberlin es considerado como el verdadero revolucionario.




Competencia monopolistica IIPerspectiva historica

Segunda revolucion

La segunda revolucion se inicio en 1977 con el seminal paper deDixit y Stiglitz.

Esta segunda revolucion fue mas exitosa que la primera porquedichos autores formularon un “modelo canonico de competenciamonopolistica chamberliana”, el cual es facil de usar y captura lasprincipales caracteristicas del modelo de Chamberlin.

La segunda razon de su exito radica en que el modelo ha llegado aser “el caballo de batalla” para estudiar la competenciamonopolistica, retorno creciente a escala y variedad de productoendogeno.




Modelo de Chamberlin I

¿Que busco responder Chamberlin?

El trabajo de Chamberlin fue responder a la pregunta que hizo en 1926Sraffa: ¿Es posible llegar a un optimo en un mercado caracterizado porcompetencia monopolistica, y costo marginal y costo mediodecrecientes?. La respuesta, segun Chamberlin, fue que si!!.

Los principales supuestos del modelo de Chamberlin se pueden resumiir encuatro:

1 El numero de integrantes de un grupo de firmas es suficientementegrande como para que cada firma tome como dado elcomportamiento de las otras firmas en el grupo (supuesto deCournot-Nash).

2 El grupo esta bien definido y es relativamente pequeno en laeconomıa.




Modelo de Chamberlin II

3 Los productos son fisicamente similares pero economicamentediferenciados; de tal forma que los compradores tienen preferenciaspor todos los tipos de productos.

4 Existe libre entrada y salida de las firmas en el mercado.

Los supuestos 1,2 y 4 son elementos de competencia y el supuesto3 es un elemento de monopolio. Ademas, se asume que cada una delas firmas enfrenta la misma demanda y tienen la misma funcion decostos.




Two-Stage Budgeting IPresupuesto en dos estados

¿En que consiste este metodo?

Este metodo postula que: [1] los agentes asignan un gasto total a ungrupo de bienes basado en el ındice de precios de cada grupo, y luego [2]se asigna un gasto dentro de cada uno de esos grupos, basado en elprecio individual.

1 Los autores de este procedimiento son:

Strotz (1957). The empirical implications of a utility tree.Econometrica, 25, 269-80.

Gorman (1959). Separable utility and aggregation. Econometrica, 27,469-81.




Las familiasTwo-Stage Budgeting

Modelo de Dixit-Stiglitz I

¿Cual es el objetivo del paper?

El objetivo del paper de Dixit-Stiglitz es formalizar una version deequilibrio general simple del modelo de competencia monopolistica deChamberlin, con el fin de evaluar la “afirmacion comun” que lacompetencia monopolistica conlleva a mucha diversificacion de losproductos.





Modelo de Dixit-Stiglitz II

¿Como modelan los principales elementos?

Los autores modelan las economıas de escala al asumir que cadaempresa enfrenta un costo fijo y un costo marginal constante.

La deseabilidad por la variedad es modelada al asumir una funcionde utilidad estandar; esto es debido a que las curvas de indiferenciarepresentan cierto grado de deseabilidad por la variedad.La principal ventaja de este ultimo supuesto es que se obtieneelasticidades cruzadas y propias de la demanda que son faciles deentender.

Las principales contribuciones de Dixit-Stiglitz son:

1 La definicion de una industria (o grupo grande de firmas) essimplificada. Ademas, la variedad del producto es simetrica y soncombinados en una funcion de agregacion de elasticidad desustitucion constante (CES).





Modelo de Dixit-Stiglitz III

2 La funcion de utilidad es separable y homotetica en sus argumentos,lo cual implica que se puede usar el procedimiento “two-stagebudgeting”.

3 Por el lado de la produccion se asume retornos crecientes a escala,una curva de costo medio como hiperbola rectangular y que lasfirmas son simetricas (similar funcion de costo y produccion).





Las familiasLas preferencias

Se asume que todas las familias que poblan la economıa tienen las mismaspreferencias. Las preferencias estan representadas por una funcion deutilidad instantanea “u” de la siguiente forma:

u = U(x0, x1, x2, x3, · · · , xn, · · · ) (1)

Donde la variable “xi” denota el consumo del bien i-esimo. Esta funcionde utilidad depende de un numero muy grande de bienes.

Se supone que los bienes producidos en la economıa esta dividida en dossectores. El primer sector esta denotado por “x”, siendo esta variable elvector de commodities [x1, · · · , xn, · · · ] .El segundo, llamado “’sector 0”,esta representado por x0. Esta variable agrega el resto de la economıa.







u = U(x0, x1, x2, x3, · · · , xn, · · · ) (1)









u = U(x0, x1, x2, x3, · · · , xn, · · · ) (1)







Las familiasSupuestos sobre las preferencias

Se supone lo siguiente:El grupo de productos x puede ser separado del sector agregado:

u = U(x0,V (x1, x2, x3, · · · , xn, · · · ))

V (·) es una funcion simetrica; es decir, dos productos cercanos sontan sustitutos como dos productos que estan lejos en el espectro delconsumidor.V (·) es una funcion separable:

V (x) =∑i

V (xi )

Donde:

V (x) =

( n∑i=1

xρi

)1/ρ

Siendo ρ > 0, para permitir una situacion donde xi = 0(i = n + 1, n + 2, · · · ). Ademas, se asume que ρ < 1 para asegurar laconcavidad de la funcion de utilidad.La funcion de utilidad es homogenea de grado uno en x0 y V (·)implicando una elasticidad ingreso unitaria. Esta caracteristicapermite estudiar sustitucion entre sectores sin anadir complicacionesde efectos ingresos desiguales.







u = U(x0,V (x1, x2, x3, · · · , xn, · · · ))

V (·) es una funcion simetrica; es decir, dos productos cercanos sontan sustitutos como dos productos que estan lejos en el espectro delconsumidor.

V (·) es una funcion separable:

V (x) =∑i

V (xi )

Donde:

V (x) =

( n∑i=1

xρi

)1/ρ








u = U(x0,V (x1, x2, x3, · · · , xn, · · · ))


V (x) =∑i

V (xi )

Donde:

V (x) =

( n∑i=1

xρi

)1/ρ

Siendo ρ > 0, para permitir una situacion donde xi = 0(i = n + 1, n + 2, · · · ). Ademas, se asume que ρ < 1 para asegurar laconcavidad de la funcion de utilidad.

La funcion de utilidad es homogenea de grado uno en x0 y V (·)implicando una elasticidad ingreso unitaria. Esta caracteristicapermite estudiar sustitucion entre sectores sin anadir complicacionesde efectos ingresos desiguales.







u = U(x0,V (x1, x2, x3, · · · , xn, · · · ))


V (x) =∑i

V (xi )

Donde:

V (x) =

( n∑i=1

xρi

)1/ρ






Two-Stage Budgeting I

La familia representativa busca maximizar su funcion de utilidad sujeta ala restriccion presupuestaria

Max{xi}n0

U

(x0,

{ n∑i=1

xρi

}1/ρ)(2)

sujeto a:

x0 +n∑

i=1

pixi = I (3)

Se puede aplicar el procedimiento de presupuesto en dos estados (two-stagebudgeting)





Two-Stage Budgeting II

Primer estado:Max{x0,y}

U(x0, y) (4)

sujeto a,x0 + qy = I (5)

En el primer estado se asume que “y” es un commoditycompuesto o un ındice de cantidad de la siguiente forma:

y = V (·) =

{ n∑i=1

xρi

}1/ρ

Ademas, “q” es el precio del bien compuesto.Construyendo el lagrangeano y derivando con resepcto alos dos argumentos de la funcion de utilidad (x0, y) seobtiene lo siguiente:

L = U(x0, y) + λ(I − x0 − qy)





Two-Stage Budgeting III

Umgx0px0

= Umgypy

= λ, donde px0 = 1, porque el bien

“x0” es el numerario.Umgx0 = Umgy

q

1 Derivacion de las demandas (x0, y):Debido a que la funcion de utilidad es homogenea degrado uno, entonces la proporcion...

s(q) =qy

I, y =

s(q)

qI

1− s(q) =x0I, x0 = (1− s(q))I

2 Elasticidad intersectorial (σ(q))





Two-Stage Budgeting

Segundo estado:

Max{xi}

y =

{ n∑i=1

xρi

}1/ρ

(6)

sujeto a,

n∑i=1

pixi = s(q)I︸︷︷︸ingreso destinado al commodity agregado (y)

= qy (7)





Two-Stage Budgeting ILagrangeano

A continuacion se construye el lagrange:

L =

{ n∑i=1

xρi

}1/ρ

+ λ

[qy −

n∑i=1

pixi

]Se deriva con respecto a xi y xj obteniendose lo siguiente;

Umgxipi

=Umgxjpj

= λ

Luego se define la tasa marginal de sustitucion como:

TmgSxi ,xj =∂xi∂xj

=UmgxjUmgxi

=pjpi

Obteniendose finalmente la siguiente relacion:





Two-Stage Budgeting IILagrangeano

(xixj

)ρ−1=

pipj

(8)





Two-Stage BudgetingElasticidades

1 Elasticidad de sustitucion entre dos productos dentro delgrupo (Exi ,xj ):

Exi ,xj =∂ln(xi/xj)

∂ln(TmgSxi ,xj )(9)

(ρ− 1)ln(xi/xj) = −ln(TmgSxi ,xj ) ,de la ecuacion [8]

∂ln(xi/xj)

∂ln(TmgSxi ,xj )= − 1

ρ− 1

Exi ,xj =1

1 − ρ


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