Clase 2

FormulaciFormulacióón Directa de n Directa de

Elementos Beam y Elementos Beam y FrameFrame

Grupo de Modelado y MGrupo de Modelado y Méétodos Numtodos Numééricos en ricos en IngenierIngenieríía a -- GNUMGNUM

http://http://www.gnum.unal.edu.cowww.gnum.unal.edu.co//

Programa de Ingeniería Mecánica

Universidad Nacional de Colombia

Carlos Humberto Galeano, I.M, MSc. Departamento de Ingeniería Mecánica y MecatrónicaUniversidad Nacional de Colombia

Marcos son estructuras complejas formadas por elementos relementos ríígidamente gidamente conectadosconectados. Se diferencian de una armadura en que sus elementos no estásometidos necesariamente a carga axial y pueden soportar otros tipos de carga, como fuerzas transversales y momentos flectores, e incluso torsión si se trata de un marco espacial.

Junta rJunta ríígidagida

Planteamiento del ProblemaPlanteamiento del Problema








Elemento BEAMBEAM 2D2D (viga bidimensional): es un elemento unidimensional, con dos nodos y dos grados de libertad (D.O.F) por cada nodo: un desplazamiento transversal (vv) y una rotación (θθθθθθθθ ).

Las simplificaciones asociadas a la formulación del elemento BEAMBEAM son:

• El material de la viga se comportará como de forma lineal ellineal eláásticostico e isotrisotróópicopico.

• La viga estará compuesta de un solo materialun solo material y una úúnica seccinica seccióón n transversaltransversal.

• Las deformaciones lateralesdeformaciones laterales de la sección transversal serán nulasnulas, es decir, el material de la viga tendrá un coeficiente de Poisson igual a cero.

• Las cargascargas deben ser aplicada únicamente en los nodos del elementonodos del elemento, las cargas distribuidas requieren un tratamiento especial.



g i

mi

g j

mj

=

k11

k21

k31

0 0 00 0 00 0 0

k41 0 0 0

.

v i

θi

v j

θj

gi

mi

gj

mj

=

k11

k21

k31

k12 k13 k14

k22 k23 k24

k32 k33 k34

k41 k42 k43 k44

.

v i

θi

v j

θj

FormulaciFormulacióón Directa del Elemento n Directa del Elemento Beam 2DBeam 2D

@FD = @KD. @UD


gi =12 EI

L3v i

mi =6 EI

L2v i


δ1 − δ2 = v i

−φ1 + φ2 = 0

δ1 =g i L3

3 EIφ1 =

gi L2

2 EI

δ2 =mi L2

2 EIφ2 =

mi L

EI

gj =−12 EI

L3v i

mj =6 EI

L2v i


g i

mi

g j

mj

=

k11

k21

k31

k12 k13 k14

k22 k23 k24

k32 k33 k34

k41 k42 k43 k44

.

v i

θi

v j

θj

gi

mi

gj

mj

=

12 EI

L3

6 EI

L2

−12 EI

L3

6 EI

L2

.v i



gi

mi

gj

mj

=

000

k12 0 0k22 0 0k32 0 0

0 k 42 0 0

.

v i

θi

v j

θj

gi

mi

gj

mj

=

k11

k21

k31

k12 k13 k14

k22 k23 k24

k32 k33 k34

k41 k42 k43 k44

.

v i

θi

v j

θj



δ1 − δ2 = 0

−φ1 + φ2 = θi

Y de forma análoga

gi

mi

gj

mj

=

6 EI

L2

4 EI

L

−6 EI

L2

2 EI

L

. θi

gi

mi

gj

mj

=

−12 EI

L3

−6 EIL2

12 EI

L3

−

6 EI

L2

.v j



De modo que para el elemento BEAM 2D BEAM 2D :

FormulaciFormulacióón Directa del Elemento n Directa del Elemento BeamBeam 2D2D

gi

mi

gj

mj

=

6 EI

L2

2 EI

L

−6 EI

L2

4 EI

L

. θj

@FD = @KD . @uD

gi

mi

gj

mj

=

12 EI

L3

6 EIL2

−12 EI

L3

6 EI

L2 −12 EI

L36 EI

L2

4 EIL−

6 EIL2

2 EIL

−6 EIL2

12 EI

L3 −6 EI

L2

6 EI

L22 EI

L−

6 EI

L24 EI

L

.

v i

θi

v j

θj


@FD = @KD . @uD

g1

m1

g2

m2

g3

m3

=

k11

k21

k31

k41

k51

k61

k12

k22

k32

k42

k52

k62

k13

k23

k33

k43

k53

k63

k14

k24

k34

k44

k54

k64

k15

k25

k35

k45

k55

k65

k16

k26

k36

k46

k56

k66

.

v1

θ1

v2

θ2

v3

θ3

??

??

??

??

??

??

Ejemplo: Elemento Ejemplo: Elemento BeamBeam 2D2D


12 6 −12 66 4 −6 2−12 −6 12 −6

6 2 −6 4

1

La matriz de rigidez de para cada uno de los elementos será:

Elemento 1 Elemento 1 :

Elemento 2 Elemento 2 :

11 11 22 22

11

11

22

22

22 22 33 33

22

22

33

33

12 6 −12 66 4 −6 2−12 −6 12 −6

6 2 −6 4

2



Expandiendo adecuadamente cada una de estas matrices:

Elemento 1 Elemento 1 : Elemento 2 Elemento 2 :


12 6 −12 6 0 06 4 −6 2 0 0−12 −6 12 −6 0 0

6 2 −6 4 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 12 6 −12 60 0 6 4 −6 20 0 −12 −6 12 −60 0 6 2 −6 4

2

g1

m1

−10g3

m3

=

12 6 −12 6 0 06 4 −6 2 0 0−12 −6 24 0 −12 6

6 2 0 8 −6 20 0 −12 −6 12 −60 0 6 2 −6 4

.

00V2

θ2

00


g22

m22

g32

m32

=

12 6 −12 66 4 −6 2−12 −6 12 −6

6 2 −6 4

2

.

v2

θ2

v3

θ3

g11

m11

g21

m21

=

12 6 −12 66 4 −6 2−12 −6 12 −6

6 2 −6 4

1

.

v1

θ1

v2

θ2

Conocidos los desplazamientos nodales, pueden ser calculadas las fuerzas internas de los elementos así:

Elemento 1 Elemento 1 : Elemento 2 Elemento 2 :



@FD = @KD . @uD

f i

gi

mi

f j

gj

mj

=

k11

k21

k31

k41

k51

k61

k12

k22

k32

k42

k52

k62

k13

k23

k33

k43

k53

k63

k14

k24

k34

k44

k54

k64

k15

k25

k35

k45

k55

k65

k16

k26

k36

k46

k56

k66

.

ui

v i

θi

uj

v j

θj

Mientras que el elemento BEAM BEAM

2D2D fue introducido para el análisis

de vigas principalmente, el

elemento FRAME 2DFRAME 2D se formulará

pensando en el análisis de marcos,

por lo que resulta necesario

adicionar el efecto de las cargas

axiales.

FormulaciFormulacióón Directa del Elemento n Directa del Elemento FrameFrame 2D2D


Reformulando el elemento TRUSS TRUSS :

Reformulando el elemento BEAM BEAM :

f i

gi

mi

f j

gj

mj

=

AE

L0 0 − AE

L0 0

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

−AEL

0 0 AE

L0 0

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

.

ui

v i

θi

uj

v j

θj

f i

gi

mi

f j

gj

mj

=

0 0 0 0 0 0

0 12 EI

L36 EI

L2 0 − 12 EI

L36 EI

L2

0 6 EI

L24 EI

L0 − 6 EI

L22 EI

L

0 0 0 0 0 0

0 − 12 EI

L3 −6 EI

L2 0 12 EI

L3 −6 EI

L2

0 6 EI

L22 EI

L0 − 6 EI

L24 EI

L

.

ui

Vi

θi

uj

Vj

θj



Como ya se mencionó, el elemento FRAMEFRAME resulta útil para el análisis de marcos, por lo es necesario formular la matriz [K][K] en términos del ángulo de orientación del elemento.

@KDFRAME = @KDTRUSS +@KDBEAM

Resulta claro entonces que la matriz de rigidez del elemento FRAME 2DFRAME 2Dpuede ser alcanzada superponiendo las matrices del elemento TRUSS 2DTRUSS 2Dy del elemento BEAM 2DBEAM 2D.

f i

gi

mi

f j

gj

mj

=

AE

L0 0 −

AEL

0 0

0 12 EI

L36 EI

L2 0 −12 EI

L36 EI

L2

0 6 EI

L24 EI

L0 −

6 EI

L22 EI

L

−AEL

0 0 AE

L0 0

0 −12 EI

L3 −6 EI

L2 0 12 EI

L3 −6 EI

L2

0 6 EI

L22 EI

L0 −

6 EI

L24 EI

L

.

ui

v i

θi

uj

v j

θj



@FD = @TDt@K' D@TD@uD

@TD =

Cos HαL Sin HαL 0 0 0 0−Sin HαL Cos HαL 0 0 0 0

0 0 1 0 0 00 0 0 Cos HαL Sin HαL 00 0 0 −Sin HαL Cos HαL 00 0 0 0 0 1

Considerando el elemento FRAMEFRAME,

expresado en coordenadas locales,

la matriz de rigidez en coordenadas

globales se expresa como:




@FD = @KD@uD

@FD = @TDt@K' D@TD@uD

� = Cos HαL � = Sin HαL

@KD =

AE L2�

2+12 EI �

2

L3H−12 EI +AE L2L � �

L3 −

6 EI �

L2 −

AE L2�

2+12 EI �

2

L3H12 EI −AE L2L � �

L3 −

6 EI �

L2

H−12 EI +AE L2L � �

L312 EI �

2+AE L2

�2

L36 EI �


L3 −

12 EI �2+AE L2

�2

L36 EI �

L2

−

6 EI �

L26 EI �

L24 EI

L

6 EI �

L2 −

6 EI �

L22 EI

L

−

AE L2�

2+12 EI �

2


L36 EI �

L2AE L2

�2+12 EI �

2

L3H−12 EI +AE L2L � �

L36 EI �

L2

H12 EI −AE L2L � �

L3 −

12 EI �2+AE L2

�2

L3 −

6 EI �

L2H−12 EI +AE L2L � �

L312 EI �

2+AE L2

�2

L3 −

6 EI �

L2

−

6 EI �

L26 EI �

L22 EI

L

6 EI �

L2 −

6 EI �

L24 EI

L


Ejemplo: Elemento FRAME2DEjemplo: Elemento FRAME2D

Se propone analizar la siguiente grúa empleando elementos FRAMEFRAME.

97000342202

176000274.62π/21

AEAE

[kN]

EIEI

[kN m2]

LL

[m]

αααααααα[rad]Elemento


@KD2=

48 500 0 0 −48 500 0 00 513 513 0 −513 5130 513 684 0 −513 342

−48 500 0 0 48 500 0 00 −513 −513 0 513 −5130 513 342 0 −513 684

2

@KD1=

411.9 0. −411.9 −411.9 0. −411.90. 88 000. 0. 0. −88 000. 0.−411.9 0. 549.2 411.9 0. 274.6−411.9 0. 411.9 411.9 0. 411.9

0. −88 000. 0. 0. 88 000. 0.−411.9 0. 274.6 411.9 0. 549.2

1


Planteando la matriz de rigidez [K]matriz de rigidez [K] para cada elemento:

11 11 22 22

11

11

22

22

11

22

2211

22

22

33

33

22

33

22 22 33 33 3322



Se expande cada una de las matrices de rigidez elementales:

@KD1=

411.9 0. −411.9 −411.9 0. −411.9 0 0 00. 88 000. 0. 0. −88 000. 0. 0 0 0−411.9 0. 549.2 411.9 0. 274.6 0 0 0−411.9 0. 411.9 411.9 0. 411.9 0 0 0

0. −88 000. 0. 0. 88 000. 0. 0 0 0−411.9 0. 274.6 411.9 0. 549.2 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0

1

@KD2=

0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 48 500 0 0 −48 500 0 00 0 0 0 513 513 0 −513 5130 0 0 0 513 684 0 −513 3420 0 0 −48 500 0 0 48 500 0 00 0 0 0 −513 −513 0 513 −5130 0 0 0 513 342 0 −513 684

2


@FD = @KD . @uD


Y el sistema global de ecuaciones será:

f 1

g1

m1

f 2

g2

m2

f 3

g3

m3

=

411.9 0. −411.9 −411.9 0. −411.9 0 0 00. 88 000. 0. 0. −88 000. 0. 0 0 0−411.9 0. 549.2 411.9 0. 274.6 0 0 0−411.9 0. 411.9 48 911.9 0. 411.9 −48 500 0 0

0. −88 000. 0. 0. 88 513. 513. 0 −513 513−411.9 0. 274.6 411.9 513. 1233.2 0 −513 342

0 0 0 −48 500 0 0 48 500 0 00 0 0 0 −513 −513 0 513 −5130 0 0 0 513 342 0 −513 684

.

u1

v1

θ1

u2

v2

θ2

u3

v3

θ3

??

??

??

??

??

??

??

??

??



Resolviendo el sistema de ecuaciones reducido se obtiene:

u2

v2

θ2u3

v3

θ3

=

0.291333−0.000227273−0.2913330.291333−0.738838−0.408292

f 1

g1

m1

=

020.40.

Finalmente, calculando las reacciones se encuentra:


f 11

g11

m11

f 21

g21

m21

=

411.9 0. −411.9 −411.9 0. −411.90. 88000. 0. 0. −88000. 0.−411.9 0. 549.2 411.9 0. 274.6−411.9 0. 411.9 411.9 0. 411.9

0. −88000. 0. 0. 88000. 0.−411.9 0. 274.6 411.9 0. 549.2

1

.

u1

v1

θ1

u2

V2

θ2


Las fuerzas internas pueden calcularse ahora empleando los desplazamientos nodales hallados. Para el primer elemento:

f 11

g11

m11

f 21

g21

m21

=

411.9 0. −411.9 −411.9 0. −411.90. 88000. 0. 0. −88000. 0.−411.9 0. 549.2 411.9 0. 274.6−411.9 0. 411.9 411.9 0. 411.9

0. −88000. 0. 0. 88000. 0.−411.9 0. 274.6 411.9 0. 549.2

1

.

000

0.291333−0.000227273−0.291333



Para el segundo elemento:

f 22

g22

m22

f 32

g32

m32

=

48 500 0 0 −48 500 0 00 513 513 0 −513 5130 513 684 0 −513 342

−48 500 0 0 48 500 0 00 −513 −513 0 513 −5130 513 342 0 −513 684

2

.

u2

v2

θ2

u3

V3

θ3

f 22

g22

m22

f 32

g32

m32

=

48500 0 0 −48500 0 00 513 513 0 −513 5130 513 684 0 −513 342

−48500 0 0 48500 0 00 −513 −513 0 513 −5130 513 342 0 −513 684

2

.

0.291333−0.000227273−0.291333

0.291333−0.738838−0.408292


AnexosAnexos


DeflexiDeflexióón de vigasn de vigas

δ =PL3

3 EI

L

L

φ =PL2

2 EI

δ =ML2

2 EI

φ =ML

EI


• Chandrupatla, T.R., Belengundu, A.D., Introducción al Estudio del Elemento Finito en Ingeniería. Segunda Edición. Editorial Pearson. México. 1999. Pág. 238-278.

• Liu, G.R., Quek, S.S., The Finite Element Method: A practical course. Editorial Butterworth Heinemann. 2003. Pág. 90-128.

BibliografBibliografííaa

Documents

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