Embed Size (px)
Citation preview
w w w . m a t h s i l l u m i n a t e d . c o . z aw w w . m a t h s i l l u m i n a t e d . c o . z aw w w . m a t h s i l l u m i n a t e d . c o . z aw w w . m a t h s i l l u m i n a t e d . c o . z a
M A T H SM A T H SM A T H SM A T H S
ILLUMINATEDILLUMINATEDILLUMINATEDILLUMINATED
All content is All content is ©© MATHS ILLUMINATEDMATHS ILLUMINATED
Sirkelstellings
Euclid van Alexandria
Ongeveer325 - 265 BC
O
Die biblioteek van Alexandrië was die vernaamste setel van studie in die wêreld en het gefunksioneer as ‘n universiteit. Die biblioteek het 600 000 manuskripte gehad.
middellyn
Omtrek
radius
Groot Segment
Klein Segment
Klein Boog
Groot Boog
Klein Sektor
Groot Sektor
‘n Herinnering oor die dele van die Sirkel
Parts
o
Boog AB onderspan hoek x by die middelpunt.
A B
xo
Boog AB onderspan hoek y by die omtrek.
yo
Koord AB onderspan ook hoek x by die middelpunt.
Koord AB onderspan ook hoek y by die omtrek.
o
A
B
xo
yo
o
yo
xo
A
B
Inleidende Terminologie Term’gy Nota: In hierdie aanbieding is O altyd die middelpunt van die sirkel.
Meet die hoeke wat met die letters gemerk is en maak afleidings.
Meet en maak veronderstellings
. a
b
c
d
e
f
g
O
O
S T
3 cm
8 cm
bv. Vind die lengte van OS
OS = 5 cm (Pyth. drietal: 3,4,5)
Halveerlyn van Koordstelling Stelling
Die lyn wat van die middelpunt van ‘n sirkel loodreg op ‘n koord getrek word, halveer die koord.
O
R
Halveerlyn van Koordstelling Omgekeerde Stelling
Die middelloodlyn van die koord loop deur die middelpunt van die sirkel.
O
Th8
A B C
Die hoek wat deur ‘n boog (of koord) by die middelpunt van ‘n sirkel onderspan word, is twee keer die hoek wat deur dieselfde boog (of koord) op die omtrek onderspan word.
2xo 2xo 2xo 2xo
2xo 2xo 2xo 2xo
Stelling
xo
xo
xo xo
xo xo xo xo
o o o o
o o o o
Hoek x is onderspan in die kleiner segment.
Kyk vir hierdie een later.
o
A B
84o
xo
Voorbeeldvrae
1
Vind die onbekende hoeke en gee redes vir jou antwoord.
o
A
B
yo
2
35o
x =
y =
x =
y =
o
A B
42o
xo
Voorbeeldvrae
3
Vind die onbekende hoeke en gee redes vir jou antwoorde.
o
A
B
po
4
62o
yo
qo
p =
q =
o Middellyn
O
a
b
c
70o
d
30o
e
Vind die onbekende hoeke en gee redes. O is die middelpunt van die sirkel.
a =
b =
c =
d =
e =
Die hoek in ‘n semi-sirkel is ‘n regte hoek. Stelling
Hierdie is slegs ‘n spesiale geval van die vorige stelling en word na verwys as ‘n stelling vir gerieflikheid.
Hoeke wat onderspan word deur ‘n boog of koord in dieselfde segment is gelyk. Stelling
xo xo
xo
xo
xo
yo
yo
38o xo
yo
30o
xo
yo
40o
Hoeke wat onderspan word deur ‘n boog of koord in dieselfde segment is gelyk.
Stelling
bv. Vind die onbekende hoeke in elke geval.
A
B
C
D
Onthou ook : Hoeke onderspan deur gelyke koorde is gelyk.
Koordevierhoekstelling Stelling
Die teenoorstaande hoeke van ‘n koordevierhoek is supplementêr. (Tel op tot 180o)
w
y
x
z
Hoeke y + w = 180o
Hoeke x + z = 180o
r
p
s
q
Hoeke p + r = 180o
Hoeke q + s = 180o
Koordevierhoekstelling Stelling
Die teenoorstaande hoeke van ‘n koordevierhoek is supplementêr. (Tel op tot 180o)
85o
110o
x y
70o
135o p
r
q
bv. Vind die hoeke wat deur
die letters aangedui word en gee redes in elke
geval.
x =
y =
p =
q =
r =
HOE OM TE BEWYS DAT ‘N VIERHOEK SIKLIES IS:
Bewys dat:
1
2
3 gelyke hoeke word onderspan op dieselfde kant van ‘n lynsegment
‘n buitehoek gelyk is aan die teenoorstaande binnehoek
die teenoorstaande hoeke supplementêr is
Die hoek tussen ‘n raaklyn en ‘n radius is 90o
Stelling
o
Th4
Die hoek tussen ‘n raaklyn en ‘n radius is 90o
Stelling
Raaklyne vanaf ‘n gemene punt Stelling
Vanaf enige punt buite ‘n sirkel kan slegs twee raaklyne getrek word en hulle het dieselfde lengte.
P
T
U Q
R
PT = PQ
P
T
U
Q
R
PT = PQ
Th7
Raaklyne vanaf ‘n gemene punt Stelling
Vanaf enige punt buite ‘n sirkel kan slegs twee raaklyne getrek word en hulle het dieselfde lengte.
P T
Q O xo
wo
98o
yo
zo
bv. PQ en PT is raaklyne aan ‘n sirkel met middelpunt O. Vind die onbekende hoeke en gee redes.
w =
x =
y =
z =
Raaklyne vanaf ‘n gemene punt Stelling
Vanaf enige punt buite ‘n sirkel kan slegs twee raaklyne getrek word en hulle het dieselfde lengte
P T
Q O
yo
50o
xo
80o
bv. PQ en PT is raaklyne aan ‘n sirkel met middelpunt O. Vind die onbekende hoeke en gee redes.
w =
x =
y =
wo
Die Raaklyn-Koordstelling Stelling
Die hoek tussen ‘n raaklyn en ‘n koord deur die raakpunt is gelyk aan die hoek wat onderspan word deur die koord in die alternatiewe segment.
xo
xo
yo
yo
45o (rlyn krd st)
60o (rlyn krd st)
bv. Vind die ontbrekende hoeke en gee redes in elke geval.
x =
y =
z =
O S
T 65o
P
R
U
Gemengde Vrae
65o (rlyn krd st)
Mixed
Q 1
68o (rlyn krd st)
w =
x =
y =
z =
O
w
y
48o
110o
U
Gemengde Vrae
PR en PQ is raaklyne aan die sirkel. Vind die ontbrekende hoeke en gee redes.
x z
P
Q
R
Mixed Q 2
x =
y =
z =
T
o
36o xo
yo zo
30o
A
B
As OT ‘n radius is en AB is ‘n raaklyn, vind die onbekende hoeke en gee redes vir jou antwoorde.
Gemengde Vrae
Whiteboardmaths.comWhiteboardmaths.com
© 2004 All rights reserved
5
7 2
1
Hierdie aanbieding is vir die Suid-Afrikaanse onderwyser aangepas
vanaf die oorspronklike wat gevind kan word by:
