Cinematique des syst´ emes de solides`marc.derumaux.free.fr/sup/cours/poly_cinematique.pdf · Cinematique des syst´ emes de solides` ... 2 Caracte´riser le mouvement d’un solide

Cinematique des systemes de solides


Table des matieres

1 Illustration de la modelisation cinematique des systemes de solides 2

1.1 Objectifs et exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Manege a sensations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Schematisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.1 Graphe de structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.2 Schema cinematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.3 Parametrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Caracteriser le mouvement d’un solide 8

2.1 Brefs rappels de cinematique du point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.1 Position d’un point d’un solide dans un referentiel . . . . . . . . . . . 8

2.1.2 Quelques reperes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.3 Vitesse d’un point d’un solide dans un referentiel . . . . . . . . . . . . 11

2.1.4 Acceleration d’un point d’un solide dans un referentiel . . . . . . . . . 12

2.2 Cinematique du solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.1 Notion de solide rigide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.2 Champs des vitesses d’un solide – torseur cinematique . . . . . . . . . 13

2.2.3 Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Composition des mouvements et application aux chaines ouvertes de solides 15

2.3.1 Composition des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3.2 Torseurs cinematiques des liaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3.3 Application a une chaine ouverte de solides sur le manege . . . . . . . 17

2.3.4 Remarque sur le champ des accelerations . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3.5 Remarque que la composition des accelerations . . . . . . . . . . . . . 18

3 Cinematique des systemes de solides 19

3.1 Cinematique des systemes en chaine complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.1.1 Particularites d’une chaıne complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.1.2 Methode de resolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1.3 Exemple du manege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2 Cinematique graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2.1 Equiprojectivite du champ des vitesses d’un solide . . . . . . . . . . . 22

3.2.2 Centre instantane de rotation d’un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2.3 Alignement des CIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2.4 Composition des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2.5 Methode de resolution en cinematique graphique . . . . . . . . . . . . 25

3.2.6 Bases et roulantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3 Approche theorique des mecanismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3.1 Cas d’une chaıne ouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3.2 Cas d’une chaıne fermee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3.3 Cas d’une chaıne complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.4 Modelisation cinematique des systemes reels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

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1 Illustration de la modelisation cinematique des systemes

de solides

1.1 Objectifs et exemple

L’objectif du cours de cinematique est d’introduire les outils theoriques permettant d’etu-dier le mouvement des mecanismes.

Une grande partie des mecanismes interessant l’ingenieur sont constitues de pieces ri-gides (c’est a dire peu deformables) articulees entre elles a l’aide de liaisons. Les liaisonsautorisent certains mouvements particuliers (de translation ou de rotation) entre les pieces.

FIGURE 1 – Photo d’un train d’atterris-sage d’A340.

FIGURE 2 – Representation graphique dutrain d’atterrissage.

FIGURE 3 – Avion en phase d’atterrissage.

La photographie 1 montre le train d’atterrissage d’un Airbus A340 tandis que la figure 2en donne une representation graphique. Le train d’atterrissage est un mecanisme complexequi doit supporter des efforts importants lors de l’atterrissage et qui doit se replier dans le

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fuselage au cours du vol pour limiter la resistance aerodynamique. D’autre part, il assureune certaine progressivite lorsque l’avion touche la piste et il absorbe le choc (figure 3 et 4).

FIGURE 4 – Modelisation cinematique du train d’atterrissage.

FIGURE 5 – Plateau cycliqued’helicoptere. FIGURE 6 – Modelisation cinematique du

plateau cyclique.

Sur ce type de systeme, on souhaite pouvoir determiner les positions et les vitesses despieces, par exemple au cours de la phase d’atterrissage ou encore lorsque le train se repliedans le fuselage.

Le train d’atterrissage est constitue d’un grand nombre de pieces metalliques dont ladeformation est tres faible devant le mouvement autorise par les liaisons. Le systeme estdonc modelise par un ensemble de solides supposees parfaitement rigides, relies par desliaisons dont le mouvement est suppose parfait (c’est a dire sans jeux). La figure 4 constitueun modele cinematique du mecanisme dans les differentes phases de l’atterrissage.

La figure 6 represente le plateau cyclique d’un helicoptere, qui permet de transmettreau rotor les commandes de pilotage. On trouve a nouveau un ensemble de pieces rigidesarticulees entre elles.

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La figure 5 propose un modele a base de solides rigides et de liaisons parfaites, permet-tant d’etudier le mouvement des pieces : leurs trajectoires, leurs vitesses et les accelerations.

1.2 Manege a sensations

La foire du trone, a proximite de Paris, est un parc d’attraction pour les plus petits commeles plus grands. Pour ces derniers, on y trouve des maneges a sensations comme le manege”extreme” figure 7.

FIGURE 7 – Photographie du manege en mouvement.

Le principe de ces maneges est procurer aux passagers des sensations de vitesse, d’envolet de lui faire tourner la tete ! Bien que la vitesse, pour des raisons de securite, ne soit pastres elevee dans l’absolu, les sensations de vitesse sont obtenues en alternant les passages enhauteur et les passages au raz du sol. L’impression d’envol est obtenu par la combinaisond’une acceleration en translation et d’une prise de hauteur. Enfin on fait ”tourner la tete”du passager en le desorientant par des rotations multiples qui lui font perdre le sens de laverticale.

FIGURE 8 – Diagramme des interacteurs.

La figure 8 montre le diagramme des interacteurs. On distingue 5 fonctions de services :

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— FS1 : Donner des sensations aux passagers, sous le controle du forain.— FS2 : Attirer les badauds.— FS3 : Assurer la securite.— FS4 : S’adapter a l’environnement.— FS5 : S’adapter a l’energie disponible.Le tableau ci-dessous donne quelques criteres du cahier des charges, relatifs a la fonction

FS1, et les niveaux associes :Critere Niveau

FS1

Vitesse maximaleAcceleration maximaleNombre de rotations du passagerHauteur maximale atteinte

30 km/h < Vmax < 50 km/h1.2g < Γmax < 1.8gA determiner8 m < Hmax < 10 m

On veut etre capable d’evaluer les performances atteintes pour la fonction FS1, a traversune etude du mouvement du mecanisme.

FIGURE 9 – Parametrage du manege.

Pour determiner ces performances, l’ingenieur doit modeliser le mouvement du manegepuis calculer les positions, les vitesses et les accelerations, non seulement celles du passagers,mais aussi celles des bras et des moteurs du manege.

Pour modeliser les mouvements, il faut d’abord les observer. On distingue essentielle-ment deux mouvements : les translations et les rotations.

Par exemple la tige 6 du verin est en translation par rapport au corps 5 du verin. Ladirection de la translation, c’est a dire la direction de la vitesse de 6 par rapport a 5, est ~x5.

Le bras 1 est en rotation par rapport au sol. L’axe de la rotation est (O, ~z), c’est a dire queles points de l’axe (O, ~z) ont une vitesse nulle.

D’autres solides ont des mouvements plus complexes, comme le bras 4 par rapport ausol, qui combine rotations et translations.

On remarque neanmoins qu’a chaque liaison entre solides, le mouvement est relative-ment simple et se decompose en quelques rotations ou translations bien determinees :

— le mouvement permis par la liaison entre 1 et 2 autorise une rotation d’axe (O, ~x1),— le mouvement permis par la liaison entre 2 et 3 autorise une rotation d’axe (D, ~y22),— le mouvement permis par la liaison entre 5 et 6 autorise un translation d’axe ~x5,

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— etc...Il est ainsi possible de proposer des modeles cinematiques de liaisons, autorisant cer-

taines rotations et/ou certaines translations. Le tableau page 27 donne une liste de liaisonsnormalisees. Vous y trouverez la representation graphique normalisee ainsi qu’un petit des-sin montrant un exemple de surfaces de contact pouvant assurer la liaison. Grace a ces des-sins, vous devriez rapidement retrouver les translations et rotations permises par chaqueliaison : entrainez vous !

On retiendra d’ores et deja la liaison pivot qui autorise une unique rotation, et la liaisonglissiere qui autorise une unique translation.

1.3 Schematisation

Modeliser, c’est donner une representation simplifiee du systeme pour faire apparaıtreplus clairement les proprietes interessantes dans le point de vue de l’etude. En cinematique,seuls les mouvements des pieces sont etudies. On utilise donc des representations laissantapparaitre uniquement les solides et les liaisons entre solides.

1.3.1 Graphe de structure

La premiere representation utilisee est le graphe de structure, parfois appele graphe desliaisons, ou chaque solide est represente par une ellipse (ou eventuellement un rectanglelorsqu’il s’agit d’un solide fixe) et ou chaque liaison est representee par un arc entre deuxsolides.

Les liaisons definies par la norme sont precisees dans le tableau page 27.La figure 10 montre le graphe de structure du manege. On remarque que la plupart des

liaisons de ce manege sont des pivots, et seule la liaison entre 5 et 6 est une glissiere.

FIGURE 10 – Graphe de structure du manege.

Il est generalement precise sur le graphe de structure les caracteristiques geometriquesdes liaisons, c’est a dire l’axe de rotation dans le cas d’une pivot, ou la direction de transla-tion dans le cas d’une glissiere.

Le graphe de structure laisse apparaıtre une part du mecanisme en chaıne ouverte : lachaıne de solides 0, 1, 2, 3 et 4, et une part du mecanisme en chaıne bouclee : la chaıne 0, 1, 6,5, 0.

1.3.2 Schema cinematique

Le graphe de structure est un bon outil pour presenter l’organisation du systeme, maisil est insuffisant pour expliciter le parametrage (les points geometrique, les bases, les pa-rametres angulaires et de longueur, etc...).

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FIGURE 11 – Schema cinematique du manege.

On lui prefere alors le schema cinematique, qui utilise une representation normaliseedes liaisons (voir tableau page 27). Les solides sont eux representes par des traits, entre lesliaisons. Les figures 4 et 6 sont des schemas cinematiques.

La figure 11 montre le schema cinematique du manege. On y retrouve la liaison glissiereentre 5 et 6, ainsi que les differentes liaisons pivots. Notez que la direction de la liaison estbien choisie par rapport au mouvement autorise : les directions des liaisons en O, C, D et Esont toutes differentes.

1.3.3 Parametrage

Le parametrage est l’ensemble des points, des bases et des parametres (angles ou lon-gueurs) qui caracterisent la geometrie et le mouvement du mecanisme. La figure 9 definitdeja une bonne part de ce parametrage. Il manque cependant les parametres associes auxmouvements (longueur AB et angles de rotation de chacune des liaisons pivots) ainsi queles dimensions des solides. Proposons un parametrage.

Le bras principal 1, associe au repere R1(O, ~x1, ~y1, ~z0) supporte l’ensemble du manege.Il est en liaison pivot d’axe (O, ~z0) avec le sol 0. Sa rotation est parametree par l’angle α =

(~x0, ~x1). Un verin de corps 5 et de tige 6 commande la rotation du bras 1. L’angle α varieentre π/4 et π/2.

La rotation du verin est parametree par l’angle θ = (~x0, ~x5) et sa longueur est parametree

par λ tel que−→AB = λ.~x5.

Le bras secondaire 2, associe au repereR21(C, ~x1, ~y21, ~z21) est en liaison pivot d’axe (C, ~x1).

La rotation est parametree par l’angle γ = (~y1, ~y21). Un second repere R22(D,~x22, ~y22, ~z21) est

associe au solide 2, tourne d’un angle β = (~x1, ~x22) = −45o constant, autour de l’axe ~z21(attention cet angle est negatif). Ce repere permet de definir la rotation de la tourelle 3.

La tourelle 3, associe au repere R3(E, ~x3, ~y22, ~z3) est en liaison pivot d’axe (D, ~y22). La

rotation est parametree par l’angle δ = (~x22, ~x3).Le banc 4, associe au repere R4(E, ~x3, ~y4, ~z4) est en liaison pivot d’axe (E, ~x3). La rotation

est parametree par l’angle ϕ = (~y22, ~y4).On precise les dimensions geometriques suivantes :

—−→OA = a.~x0 ou a = 1.5 m.

—−−→OB = b.~x1 ou b = 1.5 m.

—−→OC = c.~x1 ou c = 4 m.

—−−→CD = −d.~y21 ou d = 4 m.

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—−−→DE = −e.~y22 ou e = 1 m.

—−→EF = f.~x3 ou f = 3 m.

—−−→FM = h.~y4 ou h = 0.5 m.

—−→AB = λ.~x5.

Les parametres angulaires ainsi definis peuvent etre representes par des diagrammes dechangement de bases afin de faciliter les calculs. Dessinez chacun des diagrammes.

2 Caracteriser le mouvement d’un solide

2.1 Brefs rappels de cinematique du point

2.1.1 Position d’un point d’un solide dans un referentiel

La position d’un point M de d’un solide S dans un repere R(O, ~x, ~y, ~z) est definie par 3parametres independants.

FIGURE 12 – Position d’un point d’un so-lide.

FIGURE 13 – Changement de repere.

On peut choisir par exemple les trois composantes du vecteur position−−→OM :

−−→OM = x(t).~x+ y(t).~y + z(t).~z =

R

x(t)y(t)z(t)

Lorsqu’un pointM est positionne dans deux reperes differentsR0(O0, ~x0, ~y0, ~z0) etR1(O1, ~x1, ~y1, ~z1),

le changement de repere du point M doit tenir compte du changement d’origine (−−−→O0M =

−−−→O0O1 +

−−−→O1M ) et du changement de base (de la base B0(~x0, ~y0, ~z0) a la base B1(~x1, ~y1, ~z1)).

Lorsque le parametrage du systeme comporte plusieurs bases, il est generalement sou-haitable d’utiliser au mieux les multiples bases pour obtenir une expression simple du vec-teur position. Il est rarement utile dans ce cas de projeter le vecteur position dans une seule base.

Illustration du manegeLa position du point F par rapport au sol est caracterisee par le vecteur position :

−→OF =

−→OC +

−−→CD +

−−→DE +

−→EF

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−→OF = L1.~x1 − L2.~y21 − L3.~y22 + L3.~x3

Cette expression est generalement suffisante pour poursuivre l’etude cinematique. Laprojection dans la base B0 par exemple serait fastidieuse et inutile.

2.1.2 Quelques reperes classiques

Position d’un point dans un repere cartesien

FIGURE 14 – Repere cartesien.FIGURE 15 – Repere cylindrique.

Le repere cartesien est defini par un point et une base orthonormale directe. Les pa-

rametres de position sont les composante du vecteur position−−→OM dans la base.

Position d’un point dans un repere cylindriqueLe repere cylindriqueRcyl(O, ~u,~v, ~z) se definit par rapport a un repere cartesienR(O, ~x, ~y, ~z) :

— ~u est un vecteur unitaire appartenant aux plans (~x, ~y) et (−−→OM,~z).

— ~v complete la base : ~v = ~z ∧ ~u.On definit deux parametres :

— la distance r =−−→OM.~u,

— l’angle θ = (~x, ~u) oriente par ~z.Les trois parametres de position sont M(r, θ, z) et le vecteur position s’ecrit :

−−→OM = r.~u+ z~z =

Rcyl

r0z

Le parametre θ n’apparait pas directement dans l’expression du vecteur position : il est cachedans l’expression de ~u = ~u(θ). Pour cette raison, le repere cylindrique est particulierementadapte aux problemes invariants par rotation autour de l’axe (O, ~z).

Exercice : passage de la base cylindrique a la base cartesienneProjeter les vecteurs ~u et~v dans la base cartesienne. Exprimer les coordonnees cartesiennes

de M en fonction des parametres du repere cylindrique.

Position d’un point dans un repere spheriqueLe repere spheriqueRcyl(O, ~u,~v, ~w) se definit par rapport a un repere cartesienR(O, ~x, ~y, ~z) :

— ~u est un vecteur unitaire colineaire et de meme sens que−−→OM .

— ~v est un vecteur unitaire du plan (~x, ~y) normal a ~u.

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FIGURE 16 – Repere spherique.

FIGURE 17 – Parametrage d’Euler del’orientation d’un solide.

— ~w complete la base : ~w = ~u ∧ ~v.On utilise un vecteur ~n equivalent au vecteur ~u de la base cylindrique et on definit trois

parametres :

— la distance R = ‖−−→OM‖,

— l’angle θ = (~x, ~n) oriente par ~z.— l’angle ϕ = (~n, ~u) oriente par ~v.

Le vecteur ~u est donc l’image de ~x par deux rotations θ et ϕ.Les trois parametres de position sont M(R, θ, ϕ) et le vecteur position s’ecrit :

−−→OM = R.~u =

Rsph

R00

Les parametres θ et ϕ n’apparaissent pas directement dans l’expression du vecteur position :ils sont caches dans l’expression de ~u = ~u(θ, ϕ). Pour cette raison, le repere spherique estparticulierement adapte aux problemes invariants par rotation autour du point O.

Exercice : passage de la base spherique a la base cartesienneProjeter les vecteurs ~u, ~v et ~w dans la base cartesienne. Exprimer les coordonnees carte-

siennes de M en fonction des parametres du repere spherique.

Orientation d’un solide par les angles d’Euler Les angles d’Euler representent une pos-sibilite (parmi d’autres) de parametrage pour definir l’orientation d’un solide dans l’es-pace a l’aide de trois parametres angulaires. Il est utilise lorsqu’un solide en mouvementne possede aucune liaison simple avec le bati, qui permette de decomposer les rotations.

Contrairement aux 3 autres reperes (cartesien, cylindrique et spherique), le parametraged’Euler ne definit pas la position d’un point mais l’orientation d’un solide.

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Soit R0 le repere observateur et R3 le repere lie au solide en mouvement. R3 se deduit deR0 par trois rotations successives orientees par trois axes formant une famille libre.

— B0 −→ B1 : rotation θ orientee par ~z0 (appele angle de precession),— B1 −→ B2 : rotation ψ orientee par ~x1 (appele angle de nutation),— B2 −→ B3 : rotation ϕ orientee par ~z2 (appele angle de rotation propre).Cette notation est souvent utilisee en physique pour decrire le mouvement d’une toupie

ou le mouvement de la terre.En Sciences de l’Ingenieur, l’etude des mecanismes necessite plus rarement ce type de

parametrage car les mecanismes possedent des liaisons qui guident generalement les rota-tions : il est alors naturel de s’appuyer sur ces liaisons pour parametrer les rotations.

Dans certaines situations neanmoins, l’absence de liaison conduit a utiliser un parame-trage similaire a celui d’Euler. On peut citer par exemple le cas de l’orientation d’un avionou d’un bateau (on parle alors des angles de lacet, de roulis et de tangage), ou encore le cas del’orientation de la plateforme du robot parallele Stewart en salle de TP.

2.1.3 Vitesse d’un point d’un solide dans un referentiel

La vitesse d’un point M d’un solide S dans un referentiel R est definie par la derivee deson vecteur position :

~VM,S/R =d−−→OM

dt /R

Exemple 1 : Solide en translation On considere un point M lie a une voiture se deplacanten translation suivant ~x par rapport au sol. La position de la voiture est parametree par lacoordonnee ~x.

FIGURE 18 – Solide en translation.

FIGURE 19 – Solide en rotation autourd’un axe fixe.

−−→OM = x(t).~x+h.~y et ~VM,V oit/Sol = x(t).~x+x(t).d~x

dt/Sol+ dh.~y

dt /Sol= x(t).~x car les vecteurs

~x et h.~y etant constant dans le referentiel lie au sol, leurs derivees sont nulles.

Exemple 2 : Solide en rotation autour d’un axe fixe On considere un point M lie a uneroue de voiture, en rotation autour de l’axe (A, ~z) par rapport a la voiture.

Le vecteur position du point M s’ecrit :−−→AM = R.~u ou ~u est un vecteur mobile au cours

du temps.

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Deux methodes s’offrent a nous pour determiner le vecteur vitesse ~VM,Roue/V oit : Projeter ~udans la base liee a la voiture puis deriver ses composantes, ou changer de base de derivation.

La premiere methode conduit a :

~VM,Roue/V oit =dR.~udt /V oit

= R. ddt/R

(cos θ.~x+ sin θ.~y) = R.θ. (− sin θ.~x+ cos θ.~y)

La seconde methode conduit a :

~VM,Roue/V oit =dR.~udt /V oit

= dR.~udt /Roue

+ ~ΩRoue/V oit ∧ (R.~u) = ~0 + θ.~z ∧ (R.~u) = R.θ.~v

Les deux methodes semblent donner des resultats differents. On remarquera neanmoinsque ~v = − sin θ.~x+cos θ.~y, ce qui montre qu’ils sont bien egaux. La premiere methode conduita un resultat plus lourd, d’autant plus lourd qu’il y a beaucoup de bases.

Au contraire, la seconde methode donne un resultats simple, exploitant au mieux lesbases disponibles. C’est donc cette methode que nous utiliserons par la suite.

Illustration du manegeDeterminer la vitesse du point F par rapport au sol.

2.1.4 Acceleration d’un point d’un solide dans un referentiel

L’acceleration d’un point M d’un solide S dans un referentiel R est definie par la deriveede son vecteur vitesse :

~ΓM,S/R =d~VM,S/R

dt /R

Exemple 1 : Solide en translation La derivee du vecteur vitesse ~VM,V oit/Sol = x(t).~x conduit

a ~ΓM,V oit/Sol = x(t).~x

Exemple 2 : Solide en rotation autour d’un axe fixe La derivee du vecteur vitesse ~VM,Roue/V oit =

R.θ.~v conduit a :

~ΓM,Roue/V oit =dr.θ.~v

dt /V oit= r.θ.~v + r.θ.

d~v

dt/V oit= r.θ.~v − r.θ2.~u

On remarque que le resultat est bien homogene :

~ΓM,Roue/V oit︸︷︷︸

[m.s−2]

= r.θ.~v︸︷︷︸

[m.rad.s−2]

− r.θ2.~u︸︷︷︸

[m.rad2.s−2]

Les radians n’interviennent pas dans l’homogeneite si bien que les trois termes sont ho-mogenes a des [m.s−2].

Interpretation physique de l’acceleration : la composante de l’acceleration suivant ~v (de

norme r.θ) est due a l’acceleration angulaire de la roue. Cette composante est nulle lorsque

la roue tourne a vitesse constante. La composante de l’acceleration suivant ~u (de norme r.θ2)est une composante ”centrifuge” qui est due au mouvement de rotation. Cette composantereste non nulle lorsque la roue tourne a vitesse constante.

Illustration du manegeDeterminer l’acceleration du point D par rapport au sol.

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2.2 Cinematique du solide

2.2.1 Notion de solide rigide

Definition d’un solide rigide (ou indeformable) :Un solide rigide est un systeme materiel S tel que pour tout bi-point ABde S, la distance entre A et B reste constante au cours du temps (figure20).

FIGURE 20 – Definition d’un solide rigide.

On peut alors associer un repere RS accroche a S tel que tout point de S soit fixe dansRS

au cours du temps.La position d’un solide S dans un repere R est definie par 6 parametres independants.On peut choisir par exemple de definir la position de S par la position d’un de ses points

(3 parametres de translation) et par 3 angles d’orientation (3 parametres de rotation).

2.2.2 Champs des vitesses d’un solide – torseur cinematique

La vitesse d’un solide S dans un referentiel R est caracterisee par :

— la vitesse d’un point A de S : ~VA,S/R,

— la vitesse de rotation : ~ΩS/R.Le vecteur vitesse de rotation est parallele a l’axe de rotation et a pour norme la vitesse de

rotation, orientee dans le sens direct. Il s’exprime en [rad/s].

Exemple de la roue de voiture (figure 21) : le vecteur vitesse de rotation est perpendicu-

laire au plan (~x, ~y) de la roue et a pour norme θ :

~ΩRoue/V oit = θ.~z

FIGURE 21 – Vecteur vitesse de rotation d’une roue.

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Ces deux informations (~VA,S/R et ~ΩS/R) doivent permettre de calculer la vitesse en tout

point B de S. Determinons ~VB,S/R en fonction de ~VA,S/R et ~ΩS/R.

~VB,S/R =d−−→OB

dt /R=d−→OA+

−→AB

dt /R=d−→OA

dt /R+d−→AB

dt /R

On reconnait la vitesse du point A. D’autre part, sachant que le vecteur−→AB est fixe dans le

referentiel lie a S, on change de base de derivation :

~VB,S/R = ~VA,S/R +

(

d−→AB

dt /S+ ~ΩS/R ∧

−→AB

)

oud−→AB

dt /S= ~0

On en deduit la relation : ~VB,S/R = ~VA,S/R + ~ΩS/R ∧−→AB.

Cette relation montre que le champ des vitesses d’un solide rigide peut etre representemathematiquement par un torseur.

Torseur CinematiqueOn appelle Torseur Cinematique du solide S par rapport au referentiel R le torseur :

VS/R

=A

~ΩS/R

~VA,S/R

=B

~ΩS/R

~VB,S/R

La relation de changement de point s’ecrit (a savoir) :

~VB,S/R = ~VA,S/R + ~ΩS/R ∧−→AB

Pour plus de renseignement sur l’outil mathematique que represente le torseur, vouspouvez vous reporter a l’annexe mathematique.

2.2.3 Complements

Cas particulier des mouvements plansUn modele cinematique est dit plan lorsque les vitesses des points sont contenues dans

un plan (~x, ~y) et les vitesse de rotation normales au plan (suivant ~z).Les torseurs cinematiques ne presentent donc pas toutes les inconnues de mouvement

possibles en 3D. Les torseurs se simplifient donc sous la forme (dans le cas d’un mouvementdans le plan (~x, ~y)) :

V1/2

=A

ω.~z

U.~x+ V.~y

=A

00ω

UV0

(~x, ~y, ~z)

Les deux exemples precedents sont des mouvements plans.

Quelques definitions pour le contact ponctuelSoient S1 et S2 deux solides en contact en un point I . Soit ~n la normale au plan tangent en

I au contact, oriente vers S2 (figure 22). On definit classiquement quelques proprietes pource type de contact :

— La condition de contact bilateral impose ~VI,S2/S1.~n = 0.

— La condition de contact unilateral impose ~VI,S2/S1.~n ≥ 0.

page 14


FIGURE 22 – Contact ponctuel entre deux solides.

— La vitesse de glissement vaut ~VI,S2/S1en cas de contact persistant. Elle est contenu dans

le plan tangent.

— La condition de roulement sans glissement s’ecrit : ~VI,S2/S1= ~0.

— La vitesse de rotation ~ΩS2/S1peut se decomposer en une partie normale et une partie

tangentielle : ~ΩS2/S1= ΩN .~n + ~ΩT (ou ~ΩT .~n = 0) :

— ΩN est la vitesse de pivotement,

— ~ΩT est la vitesse de roulement.

2.3 Composition des mouvements et application aux chaines ouvertes de

solides

2.3.1 Composition des vitesses

Soit un solide S en mouvement par rapport a deux referentiels R0(O0, B0) et R1(O1, B1).On souhaite etablir le lien entre les vitesses du solide S par rapport a R0 et du solide S parrapport a R1.

Composition des vitesses en M

d−−−→O0M

dt /R0=d(−−−→O0O1 +

−−−→O1M)

dt /R0

=d−−−→O0O1

dt /R0+

(

d−−−→O1M

dt /R1+ ~Ω1/0 ∧

−−−→O1M

)

On en deduit la relation sur les vitesses :

~VM,S/R0= ~VO1,R1/R0

+ ~VM,S/R1+ ~Ω1/0 ∧

−−−→O1M

On reconnait la relation de changement de point du torseur de R1/R0 : ~VO1,R1/R0+ ~Ω1/0 ∧

−−−→O1M = ~VM,R1/R0

. D’ou la relation de composition des vitesses en M :

~VM,S/R0= ~VM,S/R1

+ ~VM,R1/R0

Les physiciens appellent ~VM,S/R0la vitesse absolue, ~VM,S/R1

la vitesse relative et ~VM,R1/R0

la vitesse d’entrainement.

page 15


Cependant, les mecanismes etudies en sciences de l’ingenieur comportent regulierementun bon nombre de solides en mouvements relatifs et nous pourront ecrire des compositionsde vitesses du type :

~VM,5/0 = ~VM,5/4 + ~VM,4/3 + ~VM,3/2 + ~VM,2/1 + ~VM,1/0

La distinction entre vitesse relative et absolue perd dans ce cas sa signification.

Remarquons que si M est par exemple un point materiel du solide 5, il n’est pas un point

materiel appartenant aux solides 1 a 4... La vitesse ~VM,1/0 n’est donc pas la vitesse du pointmateriel M mais la vitesse d’un point coıncident avec M a l’instant t mais appartenant ausolide 1.

Composition des vitesses de rotation

La relation precedente s’ecrit en tout point A et B de S :

∀(A,B),

~VA,S/R0

= ~VA,S/R1+ ~VA,R1/R0

~VB,S/R0= ~VB,S/R1

+ ~VB,R1/R0

En appliquant la relation de changement de point, la seconde equation devient :

(~VA,S/R0+ ~ΩS/R0

∧−→AB) = (~VA,S/R1

+ ~ΩS/R1∧−→AB) + (~VA,R1/R0

+ ~ΩR1/R0∧−→AB)

La premiere equation permet de simplifier les vitesses et d’obtenir :

∀(A,B),(

~ΩS/R0− ~ΩS/R1

− ~ΩR1/R0

)

∧−→AB = ~0

Cette relation etant valable quel que soit le vecteur−→AB, on en deduit la relation de compo-

sition des vitesses de rotation :

~ΩS/R0= ~ΩS/R1

+ ~ΩR1/R0

Composition des torseurs cinematiques

Les deux relations precedentes conduisent a une relation torsorielle sous la forme (a sa-voir) :

VS/R0

=

VS/R1

+

VR1/R0

Attention a bien reduire les torseurs au meme point avant d’additionner leurs compo-santes.

2.3.2 Torseurs cinematiques des liaisons

Au sens cinematique, une liaison entre deux solides limite le mouvement relatif entre lesdeux solides. Elle est representee mathematiquement par un torseur cinematique indiquantle mouvement relatif autorise par la liaison.

La norme definit un certain nombre de liaison parfaite, dont les caracteristiques sontprecisees dans le tableau page 27.

page 16


Exemple : liaison Pivot La liaison pivot autorise une rotation autour de son axe (A, ~x) etn’autorise aucune translation des points de l’axe. Son torseur cinematique peut donc s’ecriresous la forme :

V1/2

=A

~Ω1/2

~VA,1/2

=A

ω.~x~0

La variable ω (inconnue a priori) indique le mouvement autorise.

Exemple : liaison Glissiere La liaison glissiere autorise une translation suivant son axe ~xet n’autorise aucune rotation. Son torseur cinematique peut donc s’ecrire sous la forme :

V1/2

=A

~Ω1/2

~VA,1/2

=A

~0V.~x

La variable V (inconnue a priori) indique le mouvement autorise.

Exemple : liaison Appui-plan La liaison appui-plan autorise deux translations dans sonplan (suivant ~x et ~y) et autorise une rotation suivant ~z. Son torseur cinematique peut doncs’ecrire sous la forme :

V1/2

=A

~Ω1/2

~VA,1/2

=A

ω.~z

U.~x+ V.~y

Les variables ω, U et V (inconnues a priori) indiquent les mouvements autorises.

2.3.3 Application a une chaine ouverte de solides sur le manege

Utilisons les resultats precedents pour determiner la vitesse du solide 4 par rapport ausol 0. La composition des vitesses permet d’ecrire :

V4/0

=

V4/3

+

V3/2

+

V2/1

+

V1/0

Chaque torseur est un torseur de liaison qu’il est facile d’ecrire :

V4/3

=E

ϕ.~x3~0

V3/2

=D

δ.~y22~0

V2/1

=C

γ.~x1~0

V1/0

=0

α.~z0~0

Pour calculer la somme des torseurs, il faut les reduire au meme point, par exemple aupoint F .

Application : Determiner le vecteur vitesse de rotation de 4/0 ainsi que la vitesse en Fde 4/0.

2.3.4 Remarque sur le champ des accelerations

L’acceleration d’un solide S dans un referentiel R est caracterisee par :

— l’acceleration d’un point A de S : ~ΓA,S/R,

— l’acceleration en rotation :d~ΩS/R

dt /R,

page 17


— la vitesse de rotation : ~ΩS/R.Ces trois informations doivent permettre de calculer l’acceleration en tout point B de S.

Determinons ~ΓB,S/R en fonction de ces quantites.

~ΓB,S/R =dVB,S/R

dt /R=

d

dt/R

(

~VA,S/R + ~ΩS/R ∧−→AB)

~ΓB,S/R = ~ΓA,S/R +d~ΩS/R

dt /R∧−→AB + ~ΩS/R ∧

d−→AB

dt /R



d−→AB

dt /S︸︷︷︸

=~0

+~ΩS/R ∧−→AB



(

~ΩS/R ∧−→AB)

︸︷︷︸

6=~0

Le champ d’acceleration n’est donc pas un champ de torseur. On ne peut pas definir detorseur des accelerations !

Le champ des accelerations n’ayant pas de bonnes proprietes, il n’est pas utilise.

2.3.5 Remarque que la composition des accelerations

Soit un solide S en mouvement par rapport a deux referentiels R0(O0, B0) et R1(O1, B1).On souhaite etablir le lien entre les accelerations en M du solide S par rapport a R0 et dusolide S par rapport a R1.

~ΓM,S/R0=d~VM,S/R0

dt /R0=d~VM,S/R1

dt /R0

d~VM,R1/R0

dt /R0

Par application d’une part de la relation de changement de base de derivation (a gauche)et d’autre part de la formule de changement de point du torseur cinematique de R1/R0 (adroite),

~ΓM,S/R0=

(

d~VM,S/R1

dt /R1+ ~Ω1/0 ∧ ~VM,S/R1

)

+

(

d~VO1,R1/R0

dt /R0+d

dt/R0(~Ω1/0 ∧

−−→AM)

)

soit :

~ΓM,S/R0= ~ΓM,S/R1

+ ~Ω1/0 ∧ ~VM,S/R1+ ~ΓO1,R1/R0

+d~Ω1/0

dt /R0∧−−→AM + ~Ω1/0 ∧

d−−→01M

dt /R0

Sachant que d−−→01Mdt /R0

= d−−→01Mdt /R1

+ ~Ω1/0 ∧−−−→O1M avec d

−−→01Mdt /R1

= ~VM,S/1, on retrouve la

relation de changement de point du champ des accelerations :


+~Ω1/0∧~VM,S/R1+~ΓO1,R1/R0

+d~Ω1/0

dt /R0∧−−→AM

︸︷︷︸

Chgt de point

+~Ω1/0∧~VM,S/1+~Ω1/0 ∧ ~Ω1/0 ∧−−−→O1M

︸︷︷︸

Chgt de point

page 18


On en deduit la relation de composition des accelerations :


+ ~ΓM,R1/R0+ 2.~Ω1/0 ∧ ~VM,S/1︸︷︷︸

~ΓC

Les physiciens appellent ~ΓM,S/R0l’acceleration absolue, ~ΓM,S/R1

l’acceleration relative,~ΓM,R1/R0

l’acceleration d’entrainement et ~ΓC l’acceleration de Corriolis.Cette relation ne s’exprimant pas simplement pour une chaine de solides, nous ne l’uti-

liserons pas pour l’etude des mecanismes.

3 Cinematique des systemes de solides

L’objectif de ce paragraphe est de proposer une reflexion sur la facon d’apprehender lessystemes de solides lorsqu’ils ne sont pas en chaıne ouverte, c’est a dire les assemblagespresentant une ou plusieurs boucles.

3.1 Cinematique des systemes en chaine complexe

3.1.1 Particularites d’une chaıne complexe

Une chaıne ouverte (figure 23) est constituee d’une succession de solides et de liaison.Generalement, chacune des liaisons est motorisee et l’objectif de l’etude est de relier le mou-vement du dernier solide (5) par rapport au bati (0) en fonction des parametres de mouve-ment des liaisons (des moteurs).

FIGURE 23 – Exemple d’un mecanisme enchaıne ouverte.

FIGURE 24 – Exemple d’un mecanisme enchaıne complexe.

Pour une chaıne ouverte, il est tout a fait equivalent d’utiliser la derivation du vecteurposition ou la composition des mouvements pour determiner la vitesse d’un point.

Une chaıne complexe (figure 24) est constituee d’un ensemble de solides relies par demultiples liaisons. L’assemblage forme une ou plusieurs boucles.

Le probleme pose est generalement different de celui d’une chaıne ouverte : le mecanismeetant motorise au niveau de certaines liaisons (ou le mouvement est alors connu), on re-cherche le mouvement d’une ou plusieurs autres liaisons (figure 25).

Notion de degres de liberteLe nombre de degres de liberte (ddl) d’un mecanisme est le nombre de mouvements inde-

pendants autorises par le mecanisme.

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On le determine en bloquant (mentalement) un premier parametre scalaire de mouve-ment : si le systeme s’en trouve totalement bloque, alors le nombre de degres de liberte vaut1, sinon, il est superieur a 1 et il faut bloquer un parametre scalaire supplementaire.

Le nombre de degres de liberte est le nombre de parametres (scalaires) du mouvement abloquer pour que l’ensemble du mecanisme soit bloque.

Lorsqu’un mecanisme est motorise, il y a generalement autant de moteurs que de degresde liberte.

Du point de vue mathematique, il faut fixer autant de parametres que de degres de li-berte pour pouvoir resoudre le probleme de cinematique (c’est a dire determiner les autresinconnues cinematiques).

FIGURE 25 – Problematique de l’etude cinematique.

Comment resoudre?

Un probleme cinematique consiste generalement a determiner quelques inconnues cine-matiques de liaison (les parametres du mouvement recherches) en fonction des parametresimposes (motorises).

Les relations entre les parametres sont imposees par les boucles : en effet, un mecanismeen chaıne ouverte n’impose aucune contrainte entres les mouvements des differentes liai-sons. Si une boucle est presente, les parametres ne peuvent evoluer independamment.

Il s’agit donc d’ecrire les conditions mathematiques (les equations) liant les inconnues demouvement : les equations de fermeture geometriques ou cinematiques. Ces equations traduisentles bouclages, d’un point de vue geometrique par des relations de Chasles sur les vecteursposition (voir exemple ci-dessous), ou d’un point de vue cinematique par des relations decomposition des vitesses. Dans l’exemple figure 25, les fermetures cinematiques s’ecrivent :

V1/2

+

V2/3

+

V3/1

=

O

V1/3

+

V3/4

+

V4/1

=

O

V0/1

+

V1/4

+

V4/5

+

V5/0

=

O

Il y a autant d’equations torsorielles independantes que de boucles independantes (ilsuffit de compter les petites boucles ; cet aspect est developpe dans le paragraphe 3.3). Soitici 3 equations torsoriel, c’est a dire 3 × 6 = 18 equations scalaires puisque l’espace destorseurs est de dimension 6.

page 20


3.1.2 Methode de resolution

Pour resoudre un probleme de cinematique en partant d’un schema cinematique pa-rametre, on peut proposer la demarche suivante (le cas ou l’on part du systeme reel nonmodelise sera developpe paragraphe 3.4) :

1. Proposer un graphe de structure rapide precisant les inconnues recherchees et lesdonnees. Identifier les boucles dans le mecanisme,

2. Pour chaque boucle :

(a) (Ecrire les fermetures geometriques),

(b) Ecrire la fermeture cinematique torsorielle,

(c) Ecrire les torseurs de liaison.

(d) Reduire les torseurs au meme points et en deduire les equations vectorielles,

(e) Projeter sur une base adaptee et en deduire le systeme d’equations scalaires.

3. Resoudre le systeme d’equations.

Les fermetures geometriques contiennent la meme information que les fermetures cine-matiques en vitesse. Elle sont plus simple a ecrire dans les cas plan mais elle conduisent ades systemes non lineaires.

Bien souvent, on ne recherche qu’une partie des inconnues cinematiques. Dans ce cas, ilpeut etre avantageux d’un point de vue calculatoire de n’ecrire qu’une partie des equations,en veillant a eliminer les inconnues non recherchees. Les choix du point de reduction et dela base de projection sont strategiques pour y parvenir.

3.1.3 Exemple du manege

Le manege s’organise presque comme une chaıne ouverte ou chaque liaison est moto-risee. Mais la motorisation du mouvement du bras 1 est assuree par un verin (5,6). Pourtraiter le mecanisme comme une chaıne ouverte comme cela a ete fait en debut de chapıtre,il faut determiner la rotation du bras 1 en fonction de l’allongement du verin.

Le graphe de structure figure 26 montre que la motorisation du bras 1 forme une boucle,

ou le mouvement de la glissiere λ est connu, et le mouvement θ de la pivot 0-1 recherche.

FIGURE 26 – Calcul du mouvement 0-1 en fonction du mouvement de 5-6.

La fermeture geometrique decrit la boucle sous forme d’une relation de Chasles :

−→OA+

−→AB +

−−→BO = ~0

Developpez la fermeture geometrique et projetez l’equation vectorielle sur la base 0.Projeter cette meme equation sur la base 5 et expliquez pourquoi cette projection est

mieux adaptee pour determiner θ en fonction de λ.

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FIGURE 27 – Parametrage du manege.

Ecrire l’equation de fermeture cinematique (equation torsorielle) puis ecrire chacun destorseurs cinematiques de liaisons.

Reduire les torseurs enB et en deduire les equations vectorielles de fermeture cinematique.Projeter ces equations sur la base 5. Expliquez comment le choix du point B de reduction

et l’axe ~x5 de projection permet d’obtenir la relation liant λ et θ sans faire intervenir lesparametres de vitesse inconnus des liaisons 0-5 et 1-6.

3.2 Cinematique graphique

La cinematique graphique vise a donner une methode de resolution graphique des pro-blemes plans.

L’avantage d’une resolution graphique est bien evidement l’absence de calcul ! L’incon-venient est qu’elle est limitee aux cas plans et que le resultat obtenu n’est valable que pourla position dessinee (alors qu’une expression analytique permet de tracer une courbe). C’estbien souvent suffisant.

Nous allons demontrer quelques proprietes graphiques issues des proprietes des champsde torseurs et de la composition des vitesses. Ces proprietes permettront de mener un rai-sonnement graphique.

Ces proprietes seront illustrees sur un mecanisme simple figure 28.

3.2.1 Equiprojectivite du champ des vitesses d’un solide

Un champ de torseur est un champ equiprojectif, c’est a dire qu’il satisfait a la propriete :

~VA,S/R.−→AB = ~VB,S/R.

−→AB

Cette propriete se demontre immediatement a partir de la relation de changement depoint :

~VA,S/R.−→AB = (~VB,S/R + ~ΩS/R ∧

−→BA

︸︷︷︸

⊥−→AB

).−→AB = ~VB,S/R.

−→AB +~0

Cette propriete est illustree sur la figure 29. Ainsi, si la vitesse en A est connue et ladirection de la vitesse en B est connue, l’equiprojectivite permet de determiner la vitesse enB.

page 22


A

B

C

y

x

x 1

x 2

λ

L 1

L 2θ 1

θ 2

L

2

1

FIGURE 28 – Mecanisme d’illustration.

FIGURE 29 – Equiprojectivite.

FIGURE 30 – Centre instantane de rota-tion (CIR).

IllustrationOn suppose connue la vitesse de rotation θ ce qui permet de tracer la vitesse ~VA,1/0 =

~VA,2/0. D’autre part, la vitesse ~VC,2/0 est verticale.Par equiprojectivite, determiner la norme et le sens de la vitesse en C.

3.2.2 Centre instantane de rotation d’un solide

L’axe de rotation d’un solide est colineaire a son vecteur vitesse de rotation. Dans le cadred’un mouvement plan, cet axe est perpendiculaire au plan et sa trace se reduit a un point,appele Centre Instantane de Rotation (CIR).

Proprietes :

— Si I est le CIR de S/R, ~VI,S/R = ~0,

— ∀A ∈ E , ~VA,S/R = ~VI,S/R︸︷︷︸

~0

+~ΩS/R ∧−→IA donc ~VA,S/R ⊥ (IA) et ‖~VA,S/R‖ proportionnel a

‖−→IA‖.

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Le CIR est donc situe a la perpendiculaire de toutes les vitesses. Les proprietes sontillustres sur la figure 30.

Illustration

Determiner la position du CIR de 2/0 : I02.

Utiliser cette fois les proprietes du CIR pour determiner la vitesse ~VC,2/0 a partir de la

vitesse ~VA,2/0.

3.2.3 Alignement des CIR

Soient trois solides 0, 1 et 2 en rotation les uns par rapport aux autres et I01, I12 et I02 lestrois CIR.

Propriete : les trois CIR I01, I12 et I02 sont alignes.

Cette propriete n’est pas souvent utilisee en cinematique graphique.

Demonstration : La composition des vitesses permet d’ecrire

~VI12,1/2 =~VI12,1/0 −

~VI12,2/0

Les proprietes des trois CIR permettent alors de traduire cette equation :

~0 = ~0 + ~Ω1/0 ∧−−−→I01I12 −~0− ~Ω1/0 ∧

−−−→I02I12

~0 = ~z ∧(

ω1/0.−−−→I01I12 − ω1/0.

−−−→I02I12

)

Cette equation est verifiee ssi−−−→I01I12 est colineaire a

−−−→I02I12, c’est a dire si les trois CIR sont

alignes.

Illustration

Verifier que les trois CIR I01, I12 et I02 de l’illustration sont bien alignes.

3.2.4 Composition des vitesses

La composition des vitesses s’ecrit graphiquement sous la forme d’une somme fermeede vecteurs.

Illustrons cette propriete sur le manege, plus particulierement sur la vitesse du point B :

~VB,1/0 = ~VB,1/6 + ~VB,6/5 + ~VB,5/0

ou :

— ~VB,1/0 ⊥ (OB) car O est CIR de 1/0,

— ~VB,1/6 = ~0 car B est CIR de 1/2,

— ~VB,6/5 = λ.~x5 est donne,

— ~VB,5/0 ⊥ (AB) car A est CIR de 5/0.

Tracer ces proprietes sur la figure puis dessiner la fermeture cinematique. En deduire les

vitesses ~VB,1/0 et ~VB,5/0.

page 24


3.2.5 Methode de resolution en cinematique graphique

La resolution graphique consiste a passer de solides en solides et de points en pointspour aller des vitesses connues aux vitesses recherchees.

Les proprietes d’equiprojectivite et du CIR permettent de changer de point au sein d’unmeme mouvement.

La composition des vitesses permet de changer de mouvement en un meme point.Il convient de poser les vitesses connues en fixant une echelle des vitesses. Une fois le

vecteur recherche determine, l’echelle permet de determiner la norme de la vitesse.

3.2.6 Bases et roulantes

Soient deux solides S et S0, en mouvement plan l’un par rapport a l’autre, et I le CIR deS/S0.

On appelle base la trajectoire de I dans le referentiel lie a S0.On appelle roulante la trajectoire de I dans le referentiel lie a S.Exemple : Mouvement d’une echelle glissant le long d’un mur.Proprietes : la base et la roulante sont en contact au point I et roulent sans glisser l’une

sur l’autre en I (~VI,S/S0= ~0).

3.3 Approche theorique des mecanismes

3.3.1 Cas d’une chaıne ouverte

Dans le cas d’une chaıne ouverte, les mouvements des liaisons restent independants.Si Ic est la somme des degres de liberte de chacune des liaisons, alors le systeme possedeglobalement Ic degres de liberte.

3.3.2 Cas d’une chaıne fermee

Dans le cas d’une chaıne fermee (une seule boucle), les mouvements des liaisons de-viennent dependants les uns des autres. Notons Ic la somme des degres de liberte de cha-cune des liaisons. Les Ic mouvements ne sont pas independants et doivent respecter lesconditions de fermeture cinematique.

La fermeture cinematique conduira a une equation de torseur, soit 6 equations scalaires.Un systeme de 6 equations lie les Ic inconnues.

Neanmoins, un systeme de 6 equations n’est pas necessairement de rang 6 (dans un casplan par exemple, le rang sera au maximum de 3).

Notons r le rang du systeme, alors Ic− r represente le nombre de parametres du mouve-ment qu’il est possible de fixer independament. Le systeme possede donc globalement Ic−rdegres de liberte.

3.3.3 Cas d’une chaıne complexe

Dans le cas d’une chaıne complexe, les Ic mouvements sont une fois de plus dependantsles uns des autres.

Les equations de dependance sont obtenues par les fermetures cinematiques. On ap-pelle γ le nombre cyclomatique, qui represente le nombre de boucles independantes dansle mecanisme. On montre facilement que si S est le nombre de solides et L le nombre deliaisons, γ = L− S + 1.

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Vous pouvez verifier cette relation sur les cas en chaıne ouverte et fermee.Il y a donc γ fermetures cinematiques torsorielles a respecter, soit 6.γ equations scalaires.

Le rang de ce systeme n’est malheureusement pas necessairement egale : r ≤ 6.γ.Le systeme possede alors globalement Ic − r degres de liberte.

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Documents

Cinematique des syst´ emes de solides`marc.derumaux.free.fr/sup/cours/poly_cinematique.pdf · Cinematique des syst´ emes de solides` ... 2 Caracte´riser le mouvement d’un solide