Cinematica de cuerpos_rigidos

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE VILLA LA VENTA

CARRERAING. PETROLERA

INVESTIGACION UNIDAD 2CINEMATICA DE CUERPOS RIGIDOS

MATERIADINAMICAALUMNORAMON BARAHONA ARIASGRADO GRUPO3 PFECHA29/09/2015

Introduccin a la cinematica de cuerpos rgidos.

Clasificar los diferentes tipos de movimientos planos de un cuerpo.Investigar el movimiento de translacin de un cuerpo rgido y mostrar cmo se realiza e l movimiento a travs de un eje fijo.Estudiar el movimiento plano usando un analisis de movimiento absoluto.Proporcionar un anlisis de movimiento relativo de velocidad y aceleracin usando un marco de transferencia de rotacin.

La cinematica de cuerpos rgidos estudia las relaciones existentes entre el tiempo. Porcin, velocidad, y aceleracin de las diferentes partculas que forman un cuerpo rgido.Los varios tipos de movimientos de los cuerpos rgidos pueden ser puestos en cinco categorias: traslacin, rotacin alrededor de un eje fijo, movmiento plano general, movimiento al rededor de un punto fijo y movimiento general.Traslacin de cinematica de cuerpos rgidos

Traslacin.

La traslacin ocurre cuando todas las partculas que forman el cuerpo rgido se mueven a lo largo de trayectorias paralelas. Es decir cuando un segmento recto entre dos puntos dentro del cuerpo mantiene la misma direccin d uno ante el movimiento.Traslacin rectilneo. Cuando las trayectorias del movimiento de 2 partculas cualquiera del cuerpo forman lneas rectas equidistantes.Traslacin curvilnea: Cuando las trayectorias del movimiento de 2 particulas cualquiera del cuerpo forman lneas curvas equidistantes.

Rotacin con respecto a un eje fijo.

En este movimiento las particulas del cuerpo se mueven en planos paralelos a travs de circulos centrados sobre el mismo eje fijo. Si e l eje interseca al cuerpo rgido, las partculas focal sobre el eje tienen velocidad cero, y aceleracin cero.

Rotacin aI rededor de un eje fijo

No confundir entre traslacin curvilnea y rotacin.

Movimiento general en el plano.

Cuando un cuerpo rgido est sujeto a un movimiento en el plano general, tiene una velocidad angular y su centro de masa tiene una velocidadVG.Por lo tanto, la energa cintica se define por medio de la ecuacin:En este caso se observa que la energa cintica total del cuerpo est constituida por la suma escalar de las energa cinticas de traslacin,, y de rotacin en torno al centro de masa del cuerpo,.Debido a que la energa es una cantidad escalar, la energa cintica total de un sistema de cuerpos rgidos conectados resulta de la suma de las energas cinticas de todas las partes en movimiento. Dependiendo del tipo de movimiento, la energa cintica de cada cuerpo se determina al aplicar la ecuacin:o de las formas alternas ya mencionadas.DIAGRAMASDATOS:R1R2R3mAmBmCKAKBS0 = 0 = ?DIAGRAMA:Formulas a utilizar:Aplicando la formula del Principio de la Conservacin de la energa:Calculando el cambio de energa potencial:Calculando el cambio de energa cintica, para el bloque B:Calculando el cambio de energa cintica, para el bloque A:Calculando el cambio de energa cintica, para el bloque C:Calculando alTomando en cuenta que:Sustituyendo la ecuacin C en la ecuacin B:Sustituyendo las ecuaciones A y D en la ecuacin 1:

Ecuaciones que rigen el movimiento general en el plano.

Movimiento circular: Encinemtica, elmovimiento circular(tambin llamadomovimiento circunferencial) es el que se basa en un eje de giro y radio constante, por lo cual latrayectoriaes unacircunferencia. Si adems, la rapidez de giro es constante (giro ondulatorio), se produce elmovimiento circular uniforme, que es un caso particular de movimiento circular, con radio y centro fijos y velocidad angular constante.En elmovimiento circularhay que tener en cuenta algunos conceptos que seran bsicos para la descripcincinemticaydinmicadel mismo:Eje de giro: es la lnea recta alrededor de la cual se realiza la rotacin, este eje puede permanecer fijo o variar con el tiempo pero para cada instante concreto es el eje de la rotacin (considerando en este caso una variacin infinitesimal o diferencial de tiempo). El eje de giro define un punto llamadocentro de girode la trayectoria descrita (O).Arco: partiendo de un centro fijo o eje de giro fijo, es el espacio recorrido en la trayectoria circular o arco de radio unitario con el que se mide el desplazamiento angular. Su unidad es elradin(espacio recorrido dividido entre el radio de la trayectoria seguida, divisin de longitud entre longitud, adimensional por tanto).Velocidad angular: es la variacin del desplazamiento angular por unidad de tiempo (omega minscula,).Aceleracin angular: es la variacin de la velocidad angular por unidad de tiempo (alfa minscula,).Endinmicade los movimientos curvilneos, circulares y/o giratorios se tienen en cuenta adems las siguientes magnitudes:Momento angular(L): es la magnitud que en el movimiento rectilneo equivale al momento lineal o cantidad de movimiento pero aplicada al movimiento curvilneo, circular y/o giratorio (producto vectorial de la cantidad de movimiento por el vector posicin, desde el centro de giro al punto donde se encuentra la masa puntual).Momento de inercia(I): es una cualidad de los cuerpos que depende de su forma y de la distribucin de su masa y que resulta de multiplicar una porcin concreta de la masa por la distancia que la separa al eje de giro.Momento de fuerza(M): o par motor es la fuerza aplicada por la distancia al eje de giro (es el equivalente a la fuerza agente del movimiento que cambia el estado de un movimiento rectilneo).Paralelismo entre el movimiento rectilneo y el movimiento circular.

Movimiento

LinealAngular

PosicinArco

VelocidadVelocidad angular

AceleracinAceleracin angular

MasaMomento de inercia

FuerzaMomento de fuerza

Momento linealMomento angular

A pesar de las diferencias evidentes en su trayectoria, hay ciertas similitudes entre el movimiento rectilneo y el circular que deben mencionarse y que resaltan las similitudes y equivalencias de conceptos y un paralelismo en las magnitudes utilizadas para describirlos. Dado un eje de giro y la posicin de una partcula puntual en movimiento circular o giratorio, para una variacin de tiempoto un instantedt, dado, se tiene:Arco descrito o desplazamiento angular.Arco angularodesplazamiento angulares elarcode lacircunferenciarecorrido por la masa puntual en su trayectoria circular, medido enradianesy representado con la letras griegas(phi)o(theta). Este arco es eldesplazamiento efectuadoen el movimiento circular y se obtiene mediante laposicin angular() en la que se encuentra en un momento determinado el mvil y al que se le asocia un ngulo determinado en radianes. As elarco angularodesplazamiento angularse determinar por la variacin de laposicin angularentre dos momentos final e inicial concretos (dos posiciones distintas):

Siendoelarco angularodesplazamiento angulardado en radianes.

Si se le llamaalespacio recorridoa lo largo de la trayectoria curvilnea de la circunferencia de radiose tiene que es el producto delradio de la trayectoria circularpor lavariacin de la posicin angular (desplazamiento angular):

En ocasiones se denominaal espacio recorrido (del ingls"space"). Ntese que al multiplicar elradiopor elnguloen radianes, al ser estos ltimos adimensionales (arco entre radio), el resultado es el espacio recorrido en unidades de longitud elegidas para expresar el radio.Velocidad angular y velocidad tangencial[editar]Velocidad angulares la variacin delarco angularoposicin angularrespecto al tiempo. Es representada con la letra(omega minscula)y viene definida como:

Siendo la segunda ecuacin la de lavelocidad angular instantnea(derivadade la posicin angular con respecto del tiempo).Velocidad tangencialde la partcula es la velocidad del objeto en un instante de tiempo (magnitud vectorial con mdulo, direccin y sentido determinados en ese instante estudiado). Puede calcularse a partir de la velocidad angular. Sies el mdulo la velocidad tangencial a lo largo de la trayectoria circular de radioR, se tiene que:

Aceleracin angular y tangencial[editar]Laaceleracin angulares la variacin de lavelocidad angularpor unidad de tiempo y se representa con la letra:y se la calcula:

Siates laaceleracin tangencial, a lo largo de la circunferencia de radioR, se tiene que:

Elperodoindica el tiempo que tarda un mvil en dar una vuelta a la circunferencia que recorre. Se define como:

Lafrecuenciaes la inversa del periodo, es decir, las vueltas que da un mvil por unidad de tiempo. Se mide enhercioso s-1

Movimiento parablico.

Se denominamovimiento parablicoal realizado por un objeto cuya trayectoria describe unaparbola. Se corresponde con la trayectoria ideal de unproyectilque se mueve en un medio que no ofrece resistencia al avance y que est sujeto a uncampo gravitatoriouniforme.En realidad, cuando se habla de cuerpos que se mueven en un campo gravitatorio central (como el de La Tierra), el movimiento eselptico. En la superficie de la Tierra, ese movimiento es tan parecido a una parbola que perfectamente podemos calcular su trayectoria usando la ecuacin matemtica de una parbola. La ecuacin de una elipse es bastante ms compleja. Al lanzar una piedra al aire, la piedra intenta realizar una elipse en uno de cuyos focos est el centro de la Tierra. Al realizar esta elipse inmediatamente choca con el suelo y la piedra se para, pero su trayectoria es en realidad un "trozo" de elipse. Es cierto que ese "trozo" de elipse es casi idntico a un "trozo" de parbola. Por ello utilizamos la ecuacin de una parbola y lo llamamos "tiro parablico". Si nos alejamos de la superficie de la Tierra s tendramos que utilizar una elipse(como en el caso de los satlites artificiales).El movimiento parablico puede ser analizado como la composicin de dos movimientos rectilneos: unmovimiento rectilneo uniformehorizontal y unmovimiento rectilneo uniformemente aceleradovertical.El tiro parablico tiene las siguientes caractersticas:Conociendo la velocidad de salida (inicial), el ngulo de inclinacin inicial y la diferencia de alturas (entre salida y llegada) se conocer toda la trayectoria.Los ngulos de salida y llegada son iguales.La mayor distancia cubierta o alcance se logra con ngulos de salida de 45.Para lograr la mayor distancia fijado el ngulo el factor ms importante es la velocidad.Se puede analizar el movimiento en vertical independientemente del horizontal.

Ecuaciones parablicas:

Hay dos ecuaciones que rigen el movimiento parablico:

donde:es el mdulo de la velocidad inicial.es el ngulo de la velocidad inicial sobre la horizontal.es la aceleracin de la gravedad.son dosversores(vectores unitarios) en el plano.La velocidad inicial se compone de dos partes:que se denomina componente horizontal de la velocidad inicial.En lo sucesivoque se denomina componente vertical de la velocidad inicial.En lo sucesivoSe puede expresar la velocidad inicial de este modo:: [ecu. 1]Ser la que se utilice, excepto en los casos en los que deba tenerse en cuenta el ngulo de la velocidad inicial.Ecuacin de la aceleracinLa nica aceleracin que interviene en este movimiento es la constante de la gravedad, que corresponde a la ecuacin:

Ecuacin de la velocidadLa velocidad de un cuerpo que sigue una trayectoria parablica se puede obtener integrando la siguiente ecuacin:

La integracin es muy sencilla por tratarse de unaecuacin diferencial de primer ordeny el resultado final es:

Solucin de problemas en forma trigonomtrica y en forma vectorial.

Al representar un nmero complejo como un vector en la forma ya descrita, ste viene definido de manera nica por dos valores: sumduloy el nguloformado por el eje positivo de abscisas con el vector. Este ngulo recibe el nombre deargumentodel nmero complejo.Dado un complejoz = a + bien su forma binmica y llamandoa su mdulo ya su argumento, se tienen las siguientes relaciones:Despejandoayben estas igualdades,a=cosyb=senDe ah se tiene que:a + bi=cos+seni=(cos+i sen)Cualquier nmero complejozpuede representarse as como una expresin de la forma(cos+i sen).Esta manera de escribir un nmero complejo recibe el nombre deforma trigonomtrica.En muchos casos se escribe simplemente el mdulo, y el argumento como subndice. As se podra escribir, en lugar de escribir la forma trigonomtrica completa(cos+i sen).Esta manera de expresar un nmero complejo se llamaforma mdulo argumentalopolar.Ntese que si al argumento de un nmero complejo es incrementado en 360, al no variar el seno ni el coseno de dicho ngulo, el nmero complejo definido no vara.Clculo de mdulo y argumento Para calcular el argumento de un nmero complejoz = a + bi, basta con tener en cuenta que:a= |z|cosb= |z|senDividiendo estas dos igualdades,

Entre 0 y 360 hay, en general, dos ngulos cuya tangente toma ese valor. Para decidirse entre ellos es preciso fijarse en qu cuadrante se encuentra el complejo en cuestin.Para calcular el mdulo se suman los cuadrados de las dos igualdades obtenidas:a2+b2= |z|cos+ |z|2sen== |z|2(cos+sen) = |z|2Ejercicio:Escribir en forma mdulo-argumental los complejos 3 + 2i, 1 -i, -2 - 5i.Resolucin:

Teniendo en cuenta que dos ngulos que difieren en 180 tienen la misma tangente, podra aceptarse= 213 41' 24'' .Pero el complejo dado se encuentra en el primer cuadrante.

Los ngulos que tienen tangente -1 son los ngulos de 135 y 315. Como el complejo dado pertenece al cuarto cuadrante, el argumento es 315.

Los ngulos cuya tangente es 2,5 son 68 11 54 y 248 11 54. El complejo dado pertenece al tercer cuadrante, por lo que el argumento es el segundo valor.

Representar en forma binmica los complejos 350, 2180, y 1220Resolucin:350= 3(cos50 +isen50) = 3( 0,643 + 0,766i) = 1,929 + 2,298i2180= 2(cos180 +isen180) = 2 ( -1 + 0i) = - 21220= 1(cos220 +isen220) = - 0,766 - 0,643iProducto de complejos en forma trigonomtrica Aunque ya se dispone de un mtodo para calcular el producto de dos nmeros complejos cualesquiera, cuando ambos nmeros vienen dados en su forma mdulo-argumenal existe un procedimiento mucho ms sencillo. Este mtodo consiste en multiplicar sus mdulos y sumar sus argumentos.Para ver que esto es correcto, basta con efectuar la multiplicacin:RR''=R(cos+i sen) R'(cos' +isen' ) ==RR' { (coscos' -sensen' ) +i(sencos' +cossen' )}Pero las expresiones que se encuentran entre parntesis son precisamente lasRR''=RR'{cos(+'+i sen(+' )} = (RR')+'EjerciciosDemostrar que para dividir dos nmeros complejos se dividen sus mdulos y se restan sus argumentos.Resolucin:Supngase que se quieren dividir los complejosRR''. LlmandoR'' al mdulo del cociente y'' a su argumento,

Comprobar la frmula vista para el producto multiplicando por dos mtodos distintos los complejos 3iy 2 - 2i.Resolucin:En primer lugar se multiplican directamente los dos nmeros:3i(2 - 2i) = 6i- 6i2= 6 + 6iAhora se calcula el mdulo y el argumento de cada uno de los factores:Por ser positiva la ordenada,= 903i= 390.Como el complejo dado est en el cuarto cuadrante, ser

Multiplicando en forma mdulo-argumental:Transformando dicho nmero a su forma binmica:Demostrar que el producto de un complejo por su conjugado es igual al cuadrado del mdulo.Resolucin:Se van a dar dos demostraciones:

b) Si se considera el complejo dado en la forma mdulo-argumental, cuyo mdulo es R y cuyo argumento es, en la figura adjunta se ve que su conjugado tiene tambin mduloR,Multiplicando:RR360 -'= (R.R)360 =R(cos360 +isen360) =R(1+ 0i) =RCentros instantneos.

Elcentro instantneo de rotacin (CIR)(opolo de velocidades) y eleje instantneo de rotacin (EIR)son conceptoscinemticosy geomtricos fundamentales en la mecnica del slidos. En dos dimensiones o alternativamente en un movimiento plano, slo est definido en polo de velocidades o CIR, mientras que en el movimiento tridimensional debe recurrirse a la nocin ligeramente ms complicada de eje instantneo de rotacin.En cuanto al concepto de polo de velocidades o CIR, aunque se intuye en algunas construcciones cinemticas atribuidas a RenDescartes, eIsaac Newtonestuvo a punto de descubrirlo, en general se atribuye su descubrimiento aJohann Bernoulli(1742).En tres dimensiones el concepto se generaliza aeje instantneo de rotacin. En cada instante el eje instantneo de rotacin (cuando est definido) es una respecto a la cual el cuerpo parece estar haciendo un movimiento de rotacin alrededor del mismo ms una posible traslacin paralela al mismo.El polo de velocidades se obtiene como la interseccin de las normales a las trayectorias (o a lasvelocidades) de dos puntos cualesquiera de un slido plano. Ocurre que en un movimiento infinitesimal, la posicin del polo no vara, de tal suerte que ha de tener necesariamente velocidad nula: el polo es un punto (en el caso ms general, el nico) de velocidad nula del slido plano. Adems, dicho movimiento infinitesimal va a equivaler a un giro diferencial del slido alrededor del CIR, por lo que el movimiento real de un slido plano puede interpretarse como una secuencia de rotaciones infinitesimales en torno a las sucesivas posiciones del polo (cabe esperar que el polo, en el movimiento del slido, cambie de posicin).El polo podr ser unpunto impropio(en el infinito) cuando en el slido haya dos puntos de velocidades paralelas; en caso contrario, ser un punto de slido mvil, aunque est fuera de los lmites fsicos de dicho slido (el slido mvil define un plano, el plano mvil, al que pertenece l, su CIR).En su movimiento, el CIR describe dos trayectorias: labase(curva polarfija) y la ruleta (curva polarmvil); siendo la primera ellugar geomtricode los puntos del plano fijo que en algn instante han coincidido con el CIR del plano mvil, y la segunda el lugar geomtrico de los puntos del plano mvil que en algn instante han sido CIR. EL movimiento de un slido mvil plano queda totalmente definido mediante el movimiento derodadurade la ruleta sobre la base, tal y como lo demostrCauchyen 1827.De ah la importancia del CIR.Se cumple que la velocidad (mdulo) de un punto del slido mvil plano es:

dondees lavelocidad angulardel slido plano (la misma para todos sus puntos), y r la distancia eucldea del punto en cuestin al CIR en cada instante. La direccin de lavelocidadser la de lanormala la recta que une el punto y el CIR, y su sentido lo indicar el de (conocido).

Un movimiento plano de unslido rgidose corresponde con una unaisometradelplano euclideo, eso implica que la posicin inicial y final de cualquier punto puede representarse mediante una transformacin del tipo:(*)Dondeson funciones del tiempo. Si, es decir, si el movimiento no es una traslacin pura, puede verse que el punto de coordenadas:

Es invariante por la transformacin (*) y de hecho coincide con el centro instantneo de rotacin ya que el resto de puntos experimenta una velocidad proporcional a su distancia a dicho punto.

Aceleracion de Coriolis.

La fuerza de Coriolis es unafuerza ficticiaque aparece cuando un cuerpo est en movimiento con respecto a un sistema en rotacin y se describe su movimiento en ese referencial. La fuerza de Coriolis es diferente de lafuerza centrfuga. La fuerza de Coriolis siempre es perpendicular a la direccin del eje de rotacin del sistema y a la direccin del movimiento del cuerpo vista desde el sistema en rotacin. La fuerza de Coriolis tiene dos componentes: una componente tangencial, debido a la componente radial del movimiento del cuerpo, y una componente radial, debido a la componente tangencial del movimiento del cuerpo.La componente del movimiento del cuerpo paralela al eje de rotacin no engendra fuerza de Coriolis. El valor de la fuerza de Coriolises:

donde:es lamasadel cuerpo.es la velocidad del cuerpo en el sistema en rotacin .es lavelocidad angulardel sistema en rotacin vista desde unsistema inercial.indicaproducto vectorial.