Chiffrement, théorie de l'information et applications Notes de

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1

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x∈(1--

(X)

P (x) log2 P (x).

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P (x) log2 P (x) = 0? s1((/ 4 -*1, 5..8>', . 382,/+1,' 4 )*1( *6 '++,*)( -5,9*/( <'

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(1--(X)

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(1--(X)

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¼Ï½Ïq = 1)ü

• H(X) = log2(q)Ë¼ ½· Ë½Ì¿½Ã ½Á· Ë¼ P (x) =

1

q

ñ ºÌ» ·ºÌ·x ∈

(1--(X)

Ï

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∑

x∈(1--

(X)

P (x) log2

1

P (x)≥ 0

? w' -.1 ( 4H(X) = 0

(/ '+('1.'6 ')+ (/ +*1( .'( +',6 '( <' 2'++' (*66' (*)+ )1.( ? ô, 4 -*1,

x ∈(1--

(X)4

P (x) log2

1

P (x)= 0

(/ '+ ('1.'6 ')+ (/P (x) = 1

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i=1 pi log2 pi

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q−1∑

i=1

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j

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∂ϕ

∂pi

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q

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(X1, . . . , Xn) = {(x1, . . . , xn) | P (xi, . . . , xn) > 0}

}'65,;1*)( ;1' .*,(;1' .'(n05,/5q.'( (*)+ 61+1'..'6 ')+ /)<8-')<5)+'( 4 *)

*q+/')+ B(1--

(X1, . . . , Xn) = {(x1, . . . , xn) | P (xi) · · ·P (xn) > 0}

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i=1

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(x1,...,xn)∈(1--

(X1,...,Xn)

P (x1, . . . , xn) log2 P (x1, . . . , xn)

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n∑

i=1

H(Xi)

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X1'+

X2*) *q+/')+ B

H(X1, X2) = −∑

x1

∑

x2

P (x1)P (x2) (log2 P (x1) + log2 P (x2))

=

(

∑

x1

P (x1) log2 P (x1)

)(

∑

x2

P (x2)

)

+

(

∑

x2

P (x2) log2 P (x2)

)(

∑

x1

P (x1)

)

= H(X1) + H(X2)

z

(52=5)+ ;1'∑x1

P (x1) =∑

x2

P (x2) = 1? � 3'7+')(/*) -5, ,821,,')2' 4 ;1/ (1/+ .'

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X¹·ÄÁ· ¾ºÁÁ¹ ¿ À¹ï¹Á½Ã ½Á·

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x∈(1--

(X|y)

P (x | y) log2 P (x | y)

î À½Á·»ºñ ¼½ ÍºÁ¾¼·¼ºÁÁ½¿ ¿½ ¾½ ¿Ä ËºÌ»Í½ X¹·ÄÁ· ¾ºÁÁ¹½

Y½Ë· ¾¹ÿ Á¼½ ñ Ä» ó

H(X | Y ) = −∑

y∈(1--

(Y )

P (y)H(X | Y = y)

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x2

P (x2 | x1) = 14 *) - '1+

82,/,' BH(X1) + H(X2 | X1) = −

∑

x1

P (x1) log2 P (x1)

−∑

x1

P (x1)∑

x2

P (x2 | x1) log2 P (x2 | x1)

= −∑

x1

P (x1) log2 P (x1)∑

x2

P (x2 | x1)

−∑

x1

P (x1)∑

x2

P (x2 | x1) log2 P (x2 | x1)

= −∑

x1,x2

P (x1, x2)(log2 P (x1) + log2 P (x2 | x1))

−∑

x1,x2

P (x1, x2) log2 P (x1, x2)

= H(X1, X2)

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0 ≤ H(X | Y ) ≤ H(X)

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0 ≤ H(X | Y, Z) ≤ H(X | Z)

Äï½Í ¹� Ä¿¼·¹ Ë¼ ½· Ë½Ì¿½Ã ½Á· Ë¼ X | Z ½·Y | Z ËºÁ· ¼Á¾¹ñ ½Á¾ÄÁ·½Ëü / ?' ? ñ ºÌ» ·ºÌ·

x, y, zºÁ Ä

P (x, y | z) = P (x | z)P (y | z)Ï

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? ~5 08,/�25+/*) '(+ 1) (/6-.' '7',2/2' <','2=',2=' < 3'7+,'6 5 ?�' 95/+ ;1'

0 ≤ H(X | Y )<82*1.' </,'2+'6 ')+ <' .5 <8�)/+/*) <'

H(X | Y )?

@) ,'6 5,;15)+ ;1' ∑y P (y | x) = 1

xx�78y *) -'1+ 82,/,' B

H(X)−H(X | Y ) =

= −∑

x

P (x) log2 P (x) +∑

y

P (y)∑

x

P (X | y) log2 P (X | y)

= −∑

x

P (x) log2 P (x)∑

y

P (y | x) +∑

x,y

P (x | y)P (y) log2 P (X | y)

= −∑

x,y

P (x, y) log2 P (x) +∑

x,y

P (x, y) log2 P (X | y)

= −∑

x,y

P (x, y) log2

P (x)P (y)

P (x, y)

≥∑

x,y

P (x, y)

(

1−P (x)P (y)

P (x, y)

)

=∑

x,y

P (x, y)−∑

x

P (x)∑

y

P (y)

= 1− 1 = 0

50'2 8>5./+8 (/ '+ ('1.'6 ')+ (/ P (x)P (y)

P (x, y)= 1, ∀x, y

4 51+,'6 ')+ </+X'+

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0 ≤ I(X ; Y | Z) ≤ min(H(X | Z), H(Y | Z))

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(de taille n) (de taille n)

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Document signé

ALICE

Document


Clé privée

Fonction

de

Hachage

Algorithme

de

Signature

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Alice

ALICE

Signature


DocumentExtraction

Fonction

de

Hachage

Algorithme de

Vérification de la signature

Fonction de vérificationRéponse

Signature valide

Signature non valide

oublablabblablablabbla

Document signé

ALICE

Génération d’une pairede clés

Fonction de signature

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