Chapter 5.

Structural Analysisการวเคราะหโครงสราง

ผสอน: รศ.ดร.วชดา เสถยรนาม

หอง: สาขาวชาวศวกรรมโยธา

E-mail: wichsa@kku.ac.th

1

โครงสราง (Structure) คอ• การน าวตถหลายชนมาประกอบเขาดวยกนเพอการใชงาน (รบแรง)

ปลอดภย+ประหยด+สะดวก

2

วตถประสงค• ศกษาวธการวเคราะหหาแรงในชนสวนตางๆของโครงขอหมน (Truss) ดวยวธของจดตอและวธของรปตด

• ศกษาวธการวเคราะหหาแรงในชนสวนของโครงขอแขง (Frame) และเครองกล (Machine) (แตละชนสวนเชอมตอกนดวย Pin)

3

5.1 โครงขอหมน

(Truss)

4

โครงขอหมน (Truss): งานหลงคา1. บานพกอาศย2. โรงงาน3. อาคารผโดยสาร4. อาคารซอมอากาศยาน

5

โครงขอหมน (Truss): งานสะพาน

สะพานขามแมน าแคว จ.กาญจนบร

Bridge of Americas, Panama

6

โครงขอหมน: โครงสรางอนๆ

7

โครงขอหมน: โครงสรางอนๆ

Eiffel Tower Transmission Line Tower Mobile Phone Antenna

8

โครงสรางอยางไรเราจงเรยกวา “Truss”?

9

ลกษณะส าคญของโครงขอหมน• โครงขอหมนประกอบไปดวย

วตถคงรปหลายชนมาตอกน ดวยจดตอแบบหมนได (Pin)

• ชนสวนแตละชนรบเฉพาะแรงอดหรอแรงดง

1 23

(Pin)

10

ลกษณะส าคญของโครงขอหมน (ตอ)• แรงกระท าทจดตอเทานน

11

12

โครงขอหมนแบบงาย (Simple Truss)• หลงคา

• สะพาน

13

โครงขอหมนอยางงาย (Simple Truss)• โครงขอหมนอยางงายประกอบไป

ดวยชนสวนขนเปนรปรางทแขงแรง

• รปรางพนฐานจะประกอบไปดวยรปปดสามเหลยม

ไมไดประกอบไปดวยรปสามเหลยม

ไมสามารถตานทานแรงทมากระท าได

มรปสามเหลยมเปนพนฐาน

แขงแรง ตานทานแรงได14

อยากรวา

เมอมแรงกระท าตอโครงขอหมนแลว จะมแรงเกดขนในแตละชนสวนเทาใด???

15

วธการวเคราะหหาแรงภายในชนสวนโครงขอหมน• วาดรปวตถอสระเพอแสดงแรงทกระท าตอโครงขอหมน

• ใชหลกการของสมดลพจารณาหาแรงทไมทราบคา

• หาแรงภายในชนสวนของโครงขอหมน โดย– วธของจดตอ (Method of Joints)

– วธของรปตด (Method of Sections)

16

วธของจดตอ (Method of Joints)• เมอโครงขอหมนอยในสมดล จดตอกตอง

อยในสมดลดวย

• แยกพจารณาทละจดตอ โดยเขยนรปวตถอสระของแตละจดตอ แลวใชสมการสมดลค านวณหาคาแรงทไมทราบคา

0

0

=

=

y

x

F

F

17

วธของจดตอ (Method of Joints)• แรงในชนสวนจะเปนแรงดง (Tension) เมอแรงมทศทางกระท า

พงออกจากจดตอ

• แรงในชนสวนจะเปนแรงอด (Compression) เมอแรงมทศทางกระท าพงเขาหาจดตอ

18

วธของจดตอ (Method of Joints)• การค านวณหาแรงภายในชนสวนจะ

เรมจากจดตอทมแรงทไมทราบคา (จ านวนชนสวน) ไมเกน 2 เนองจากแตละจดตอมสมการสมดล 2 สมการ Ax

Ay Cy

0

0

=

=

y

x

F

F

2

34

2 unknowns

19

Ex.5.1-1 Determine the force in each member of the truss and indicate whether the members are in tension or compression.

1. เลอกจดตอทมแรงททราบคาอยางนอย 1 แรง และมแรงทไมทราบคาไมเกน 2 แรง

2. วาด FBD ของจดตอนน โดยแสดงแรงทกระท าตอจดตอทงหมด (แรงดงมทศพงออกจากจดตอ แรงอดมทศพงเขาหาจดตอ)

4 unknowns

Ax

Ay Cy

A

B

C

500 N2 unknowns

3 unknowns 20

Ex.5.1-1 (ตอ)

Ax

Ay Cy

A

B

C

500 N

3. ใชสมการสมดลวเคราะหหาแรงทไมทราบคา ไลไปทละจดตอ

Σ𝐹𝑥 = 0;500 − 𝐹𝐵𝐶 sin 4 5 = 0

𝐹𝐵𝐶= 707.1 N (C)

Σ𝐹𝑦 = 0;𝐹𝐵𝐶 cos 4 5 − 𝐹𝐵𝐴 = 0

𝐹𝐵𝐴= 500 N(T)

1. Joint B

Σ𝐹𝑥 = 0;𝐹𝐵𝐶 cos4 5 − 𝐹𝐶𝐴 = 0

𝐹𝐶𝐴= 500 N(T)

Σ𝐹𝑦 = 0;

−𝐹𝐵𝐶 sin 4 5 + 𝐶𝑦 = 0

𝐶𝑦 = 500 N

2. Joint C𝐹𝐵𝐶 = 707.1 N

FBD: 2 unknowns

FBD: 2 unknowns

3. Joint A

Σ𝐹𝑥 = 0;𝐹𝐶𝐴 − 𝐴𝑥 = 0

𝐴𝑥 = 500 N

Σ𝐹𝑦 = 0;

𝐹𝐵𝐴 − 𝐴𝑦 = 0

𝐴𝑦= 500 N

500 N (T)

500 N (T)

FBD: 2 unknowns21

Ex. 5.1-1 (ตอ)

Ax=500 N

Ay=500 N Cy=500 N

A

B

C

500 N

500N(T)

500 N (T)

22

Ex.5.1-1 (ตอ)

Ax

Ay Cy

A

B

C

500 N

หรอ

1. Determine the support reactions

3. Joint B2. Joint A

∑𝐹𝑥 = 0;500𝑁 − 𝐴𝑥 = 0𝐴𝑥 = 500 𝑁

∑𝑀𝐴 = 0;

𝐶𝑦 2𝑚 − 500𝑁 2𝑚 = 0

𝐶𝑦 = 500 𝑁

∑𝐹𝑦 = 0;

500𝑁 − 𝐴𝑦 = 0

𝐴𝑦 = 500𝑁

𝐴𝑥 = 500 𝑁

𝐴𝑦 = 500 𝑁

∑𝐹𝑥 = 0;−500𝑁 + 𝐹𝐶𝐴 = 0𝐹𝐶𝐴 = 500 𝑁 (T)

∑𝐹𝑦 = 0;−500𝑁 + 𝐹𝐵𝐴 = 0𝐹𝐵𝐴 = 500 𝑁 (T)FBD: 2 unknowns

𝐹𝐵𝐴 = 500 𝑁 (T)

∑𝐹𝑥 = 0;500𝑁 − 𝐹𝐵𝐶𝑠𝑖𝑛45 = 0𝐹𝐵𝐶 = 707.1 𝑁 (C)

FBD: 1 unknowns23

Ex. 5.1-2 Determine the force in each member of the truss. Indicate whether the members are in tension or compression.

ไมม Joint ไหนม unknowns <3…………….

A

B C

Cy

Cx

600N

Ay

400N

6m

3m

4m

D

Joint A: 3 unknowns

Joint B: 4 unknowns

Joint C: 4 unknowns

Joint D: 4 unknowns

1. เลอกจดตอทมแรงททราบคาอยางนอย 1 แรง และมแรงทไมทราบคาไมเกน 2 แรง

24

Ex. 5.1-2 (ตอ)

∑𝐹𝑥 = 0; 600𝑁 − 𝐶𝑥 = 0𝐶𝑥 = 600𝑁

∑𝑀𝐶 = 0;

−𝐴𝑦(6𝑚) + 400𝑁(3𝑚) + 600𝑁(4𝑚) = 0

𝐴𝑦 = 600𝑁

∑𝐹𝑦 = 0; 600𝑁 − 400𝑁 − 𝐶𝑦 = 0

𝐶𝑦 = 200𝑁

1. ใชสมดลของโครงขอหมนหา Support Reactions

A

B C

Cy

Cx

600N

Ay

400N

6m

3m

4m

D

2. ใชสมดลของจดตอ ไลหาแรงภายในชนสวน

25

Ex. 5.1-2 (ตอ)

A

B C

Cy =200N

Cx=600N

600N

Ay=600N

400N

6m

3m

4m

D

600N

FAB

FAD

A

Joint A

3

4

∑𝐹𝑥 = 0;

𝐹𝐴𝐷 −3

5(750𝑁) = 0

𝐹𝐴𝐷 = 450𝑁(𝑇)

∑𝐹𝑦 = 0;

600𝑁 −4

5𝐹𝐴𝐵 = 0

𝐹𝐴𝐵 = 750𝑁(𝐶)

FBD: 2 unknowns

26

Ex. 5.1-2 (ตอ)

A

B C

Cy =200N

Cx=600N

600N

Ay=600N

400N

6m

3m

4m

D

750N (C)

450N (T)

Joint D

∑𝐹𝑥 = 0;

−450𝑁 +3

5𝐹𝐷𝐵 + 600𝑁 = 0

𝐹𝐷𝐵 = −250𝑁= 250𝑁(𝑇)

∑𝐹𝑦 = 0;

−𝐹𝐷𝐶 −4

5(−250𝑁) = 0

𝐹𝐷𝐶 = 200𝑁(𝐶)

FDB

600N

D

450N

FDC

3

4

FBD: 2 unknowns

27

Ex. 5.1-2 (ตอ)

A

B C

Cy =200N

Cx=600N

600N

Ay=600N

400N

6m

3m

4m

D450N (T)

200N

(C

)

Joint C

600NC

FCB

200N

200N

∑𝐹𝑥 = 0;𝐹𝐶𝐵 − 600𝑁 = 0𝐹𝐶𝐵 = 600𝑁(𝐶)

∑𝐹𝑦 = 0;200𝑁 − 200𝑁 = 0(𝑐ℎ𝑒𝑐𝑘)

FBD: 1 unknowns

28

Ex. 5.1-2 (ตอ)

A

B C

Cy =200N

Cx=600N

600N

Ay=600N

400N

D450N (T)

200N

(C

)

600 N (C)

29

QUIZ

จ านวนชนสวนมาก ค านวณมาก เสยเวลา!

มวธทจะลดการค านวณไดหรอไม?

31

ชนสวนทมแรงภายในเปนศนย (Zero-Force Members)• จดตอซงมชนสวน 2 ชน และไมมแรงภายนอกกระท า ชนสวนทง

สองจะมแรงภายในเปนศนย

32

ชนสวนทมแรงภายในเปนศนย (Zero-Force Members)• จดตอซงมชนสวน 3 ชน เมอไมมแรงภายนอกกระท า ชนสวนท

ไมไดอยในแนวเสนตรงกบอกสองชน จะมแรงภายในเปนศนย

33

Member ทขอมอรบแรงอดหรอแรงดง แรงมขนาดเทาไหร?????

34

วธของรปตด (Method of Sections)• ใชในกรณทตองการวเคราะหหาแรงภายในของบางชนสวนเทานน

• แบงโครงขอหมนทอยในสมดลออกเปนสองสวน โดยแตละสวนกยงคงอยในสมดล

• ใสแรงภายในซงไมทราบคา ณ จดตดทแบงโครงขอหมนออกเปนสองสวน

• เนองจากเปนการพจารณาสมดลของโครงขอหมน จะมสมการสมดล 3 สมการ

35

วธของรปตด (Method of Sections)

แบงโครงขอหมนออกเปนสองสวน โดยเลอกแนวตดทผานชนสวนทตองการหาแรงภายใน

สวนของโครงขอหมนตองอยในสมดล3 unknowns

6 unknowns

36

Ex. 5.1-3 การเขยนรปวตถอสระของรปตด

37

Ex. 5.1-3 (ตอ) การเขยนรปวตถอสระของรปตด

38

Ex. 5.1-3 (ตอ) การเขยนรปวตถอสระของรปตด

40

Ex. 5.1-4 Determine the force in members GE, GC, and BC of the truss. Indicate whether the members are in tension or compression.

1. Determine the support reactions

FBD: 3 unknowns

∑𝐹𝑥 = 0;400𝑁 − 𝐴𝑥 = 0𝐴𝑥 = 400𝑁

∑𝑀𝐴 = 0;

−1200𝑁(8𝑚) − 400𝑁(3𝑚)+ 𝐷𝑦(12𝑚) = 0

𝐷𝑦 = 900𝑁

∑𝐹𝑦 = 0;

𝐴𝑦 − 1200𝑁 + 900𝑁 = 0

𝐴𝑦 = 300𝑁

41

Ex. 5.1-4 (ตอ)

FBD of the sectioned truss

(3 unknowns)

∑𝑀𝐺 = 0;

−300𝑁(4𝑚) − 400𝑁(3𝑚)+ 𝐹𝐵𝐶(3𝑚) = 0𝐹𝐵𝐶 = 800𝑁 (𝑇)

∑𝑀𝐶 = 0;−300𝑁(8𝑚) + 𝐹𝐺𝐸(3𝑚) = 0𝐹𝐺𝐸 = 800𝑁 (𝐶)

∑𝐹𝑦 = 0;

300𝑁 −3

5𝐹𝐺𝐶 = 0

𝐹𝐺𝐶 = 500𝑁 (𝑇)

2. สมดลของรปตดซกซาย

42

∑𝑀𝐴 = 0;

T𝑐𝑜𝑠30 2𝑚 + T𝑠𝑖𝑛30 4𝑚− 4000 6𝑚 − 3000(2𝑚) = 0T = 8038.6 𝑁

∑𝐹𝑥 = 0;−T𝑐𝑜𝑠30 + 𝐴𝑥 = 0−8038.6 0.866 + 𝐴𝑥= 0𝐴𝑥 = 6961.4 𝑁

∑𝐹𝑦 = 0;

𝐴𝑦 − 3000 − 4000 + 𝑇𝑠𝑖𝑛30 = 0

𝐴𝑦 = 2980.7𝑁

1. Determine the support reactions

Ay

T

FBD: 3 unknowns

Ax

Ex. 5.1-5 Determine the force in members BC of the truss. Indicate whether the members are in tension or compression.

43

FE

FE

BC

∑𝑀𝐸 = 0;6961.4 2𝑚 − 2980.7 4𝑚 + 3000 2𝑚 + BC (2𝑚) = 06961.4 − 2980.7 2𝑚 + 3000 + BC = 0BC = −4000 𝑁BC = 4000 𝑁 (C)

T=8038.6 N

Ay=2980.7 N

Ax=6961.4BE

T

BC

BE

∑𝑀𝐸 = 0;−4000 2𝑚 − BC (2𝑚) = 0BC = −4000 𝑁BC = 4000 𝑁 (C)

FBD ฝงขวา (3 unknowns) หรอ

FBD ฝงซาย (3 unknowns)

Ex. 5.1-5 (ตอ)

Ax=6961.4 N

Ay=2980.7 N

2. สมดลของรปตด

44

∑𝐹𝑦 = 0;DE𝑠𝑖𝑛45 − 4000 = 0

DE =4000

𝑠𝑖𝑛45𝑁

∑𝐹𝑥 = 0;−DE𝑐𝑜𝑠45 − CD = 0

CD = −4000

𝑠𝑖𝑛45cos 45𝑁

CD = −4000NCD = 4000N (C)

4000 N

D

CD

DE

Joint D (2 unknowns)

C

BC

CE

Joint C (2 unknowns)

CD=4000 N (C)

∑𝐹𝑥 = 0;−𝐵𝐶 − 4000 = 0𝐵𝐶 = −4000𝑁BC = 4000 N (C)

Ex. 5.1-5 (Method of Joints)

45

Ex. 5.1-6 Determine the force in member EB of the roof truss. Indicate whether the member are in tension or compression.

• ไมวาจะเลอกแนวตดใดทผานชนสวน EB จ านวนแรงทไมทราบคากยงมากกวาจ านวนสมการสมดลทม (3 สมการ)

• เราจงเลอกแนวตด a-a หา ED กอน แลวคอยคดสมดลรอบจด E เพอหา EB

Σ𝑀𝐵 = 0;

1000 4m + 3000 2m − 4000 4m+ FED sin 30 4m = 0

FED = 3000 N (C)

1. Equilibrium of the sectioned truss (a-a left)

FBD: 4 unknowns46

Ex. 5.1-6 (ตอ)

ΣFx = 0;FEF cos 3 0 − FED cos 3 0 = 0

FEF = FED = 3000 N (C)

ΣFy = 0;FEF sin 3 0 + FED sin 3 0 − FEB− 1000 = 0

FEB = 2000 N (T)

2. Equilibrium of joint E

FBD: 2 unknowns

47

QUIZ

5.2 โครงขอแขงและเครองกล

(Frames and Machines)

49

โครงขอแขงและเครองกล (Frames and Machines)• ประกอบไปดวยชนสวนหลายๆชน ตอเชอมกนดวยจดตอแบบหมนได (Pin)

• ตองการทราบแรงทกระท าตอชนสวนและจดตอ เพอน าไปใชในการออกแบบ

• แรงทกระท าตอโครงขอแขงและเครองกลไมจ าเปนตองกระท าทจดตอ

50

โครงขอแขงและเครองกล (Frames and Machines)

51

ขนตอนเบองตนในการวเคราะห1. แยกชนสวนออกจากกนและเขยนแผนภมวตถอสระของ

แตละชนสวน

2. ชนสวนทมแรง 2 แรงกระท า (two-force member)ทศทางของแรงจะอยในแนวเสนตรงเดยวกน แตทศทางตรงกนขาม

3. ชนสวนทมหลายแรงกระท า ไมทราบขนาดและทศทางจะแทนดวยแรงไมทราบคา 2 แรง

4. ในจดทชนสวนสองชนสมผสกน แรงทเกดขนจะมขนาดเทากน แตมทศทางตรงกนขาม (Reaction)

52

Ex. 5.2-1 การเขยนรปวตถอสระ

Effect of pin on member AB

53

Ex. 5.2-1 (ตอ) การเขยนรปวตถอสระ

54

Ex. 5.2-1 (ตอ) การเขยนรปวตถอสระ

55

Ex. 5.2-1 (ตอ) การเขยนรปวตถอสระ

56

Ex. 5.2-1 (ตอ) การเขยนรปวตถอสระ

57

Ex. 5.2-1 (ตอ) การเขยนรปวตถอสระ

58

Ex. 5.2-1 (ตอ) การเขยนรปวตถอสระ

59

Ex. 5.2-1 (ตอ) การเขยนรปวตถอสระ

60

Ex. 5.2-1 (ตอ) การเขยนรปวตถอสระ

61

QUIZ

สมดลของ โครงขอแขงและเครองกล • หากโครงสรางมจดรองรบทเพยงพอ โครงสรางจะสามารถอยใน

สมดลได

• เมอโครงสรางอยในสมดล ชนสวนของโครงสรางทแยกออกมากตองอยในสมดลดวย

• เมอเขยนรปวตถอสระแลว สามารถใชสมการสมดลทง 3ค านวณหาคาแรงทจดตอและจดรองรบตางๆได

0

0

0

=

=

=

M

F

F

y

x

63

Ex. 5.2-2 Determine the horizontal and vertical components of the force which the pin C exerts on member CB of the frame.

1. เขยนรปวตถอสระของชนสวนทประกอบขนเปนโครงสรางเพอแสดงแรงทงหมดทกระท าตอชนสวนแตละชน

2. เมอโครงสรางอยในสมดล แตละชนสวนกตองอยในสมดล ฉะนนแตละชนสวนจะม 3 สมการส าหรบค านวณหาแรงทไมทราบคา

0;0;0 === MFF yx

Σ𝑀𝐶 = 0; 2000 2m − 𝐹𝐴𝐵 sin 6 0 4m = 0 𝐹𝐴𝐵 = 1154.7N

Σ𝐹𝑥 = 0; 1154.7 cos 6 0 − 𝐶𝑥 = 0 𝐶𝑥 = 577N

Σ𝐹𝑦 = 0; 1154.7 sin 6 0 − 2000 + 𝐶𝑦 = 0 𝐶𝑦 = 1000N

2000 N

พจารณาชนสวน BC

64

ตวอยาง 5.2-3 Determine the horizontal and vertical components of the force which the pin at C exerts on member ABCD of the frame.

65

พจารณาทงโครงสรางΣ𝑀𝐴 = 0; −981 2 m + 𝐷𝑥 2.8 m = 0

𝐷𝑥 = 700.7 N

Σ𝐹𝑥 = 0; 𝐴𝑥 − 𝐷𝑥 = 0

𝐴𝑥 = 700.7 N

Σ𝐹𝑦 = 0; 𝐴𝑦 − 981 N = 0

𝐴𝑦 = 981 N

ΣMC = 0; −981 2m − FB sin 4 5 1.6m = 0

FB = −1734.2 N

ΣFx = 0; −Cx − −1734.2 cos 4 5 = 0

Cx= 1226 N

ΣFy = 0; Cy − −1734.2 sin 4 5 − 981 N = 0

Cy = −245 N

ตวอยาง 5.2-3 (ตอ)

พจารณาชนสวน CEF

66

Ex. 5.2-4 จงวเคราะหแรงปฏกรยาทจดรองรบ A เมอจดตอ B เปนแบบยดหมน (Pin)

( ) ( )

kN40kN8;0

kN40m2m1kN8;0

0;0

==−+=

==+−=

==

yyyy

yyB

xx

BCBF

CCM

BF

( )

( )( ) ( )

( ) kN120kN10;0

mkN32042kN10;0

kN60kN10;0

54

54

53

==−−=

==−−=

==−+=

yyyy

AyAA

xxxx

ABAF

MmBmMM

ABAF

ชนสวน BC

ชนสวน AB

67

Ex. 5.2-5 The smooth disk is pinned at D and has a weight of 20 N. Neglecting the weight of the other members, determine the horizontal and vertical components of reaction at pins B and D.

พจารณาทงโครงสราง( ) ( )

N200N20;0

N1.170;0

N1.17

0cm5.3cm3N20;0

==−=

==−=

=

=+−=

yyy

xxxx

x

xA

AAF

ACAF

C

CM

68

Ex. 5.2-5 (ตอ)

ชนสวน AB

ลกลอ D

( ) ( )

N20,0;0

N40,0cm3cm6N20;0

N1.170;0

==−+=

==+−=

==−=

yDyyy

DDB

xxxx

BNBAF

NNM

BBAF

N20,0N20;0

0;0

==−−=

==

yyDy

xx

DDNF

DF

69

Ex. 5.2-6 The hand exerts a force of 35 N on the grip of the spring compressor. Determine the force in the spring needed to maintain equilibrium of the mechanism.

Free Body Diagram

70

พจารณาจากแผนภมวตถอสระ ขนตอนการค านวณหาแรงทเกดขนในสปรงทส นทสด

( ) ( )

N140

0mm100N35mm25

;0

=

=−

=

EA

EA

B

F

F

M

N140

060cos60cos;0

060sin60sin;0

==

=−+=

=

=−=

EFED

EAEFEDx

EFED

EFEDy

FF

FFFF

FF

FFF

( ) ( )

N6.60

0mm7530cosmm150

;0

=

=+

=

S

EDS

C

F

FF

M

71

QUIZ

อางอง:• กลศาสตรวศวกรรม โดย รศ. ยงศกด พรรณเชษฐ

• เอกสารประกอบการสอน 171100 Statics โดย อ.ดร.ณฐพงษ อารมตร

• เอกสารประกอบการสอน 171100 Statics โดย อ.ดร.ธเนศ เสถยรนาม

R.C. Hibbeler P. Beer J.L. Meriam73