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Chapitre 1-2 Electricité Générale - Electrostatique Cours et Exercices

6 Dr B.Mebarek

Champ et Potentiel

Electrique


7 Dr B.Mebarek

1. Introduction

La notion de champ a été introduite par les physiciens pour tenter d'expliquer comment

deux objets peuvent interagir à distance, sans que rien ne les relie. A la fois la loi de la gravitation

universelle de Newton et la loi de Coulomb en électrostatique, impliquent une telle interaction à

distance. Il n'y a pas de fil qui relie la terre au soleil; celui-ci exerce son attraction à distance.

De même, deux charges électriques s'attirent ou se repoussent dans le vide sans que rien ne les

relie, sans aucun support matériel. Pour tenter d'expliquer cela, Michael Faraday a introduit la

notion de champ électrique. Si une charge Q1 a un effet à distance sur une charge Q2 qui se trouve

éloignée, c'est parce que la charge Q1 met tout l'espace qui l'entoure dans un état particulier : la

charge Q1, de par sa présence, produit en tout point de l'espace qui l'entoure, un champ électrique

et c'est l'interaction de ce champ électrique avec la charge Q2 qui produit la force que cette

dernière ressent. Cette notion de champ s'est révélée très utile et très pratique. Elle a pu être

utilisée pour décrire d'autres forces fondamentales que la force électrique et elle permet de décrire

les phénomènes de manière élégante.

2. Champ et potentiel créés par des charges électriques Au chapitre précédent, nous avons utilisé le concept de force d’interaction. Dans le cas de

deux charges électriques par exemple, chacune des charges exerce sur l’autre une force dont

l’expression mathématique est donnée par la loi de Coulomb. En vertu du principe de l’action et

de la réaction de Newton, la seconde charge exerce sur la première une force égale et opposée.

Ainsi les deux charges jouent le même rôle.

Avec le concept de champ, le problème est posé d’une façon différente. Une charge électrique Q,

appelée ‘charge source ‘, crée, dans l’espace environnant, appelé ‘champ’, un ‘état’ qui est mis

en évidence par son action sur toute autre charge q placée en un point M de cet espace, cet ‘état’

existe même en l’absence de la charge q. Les charges Q et q ne jouent plus ici le même rôle : Q

est la charge source du champ qu’elle crée et q la charge dont le comportement, dans ce champ,

sera étudié.

2.1. Charge ponctuelle unique Considérons une charge ponctuelle Q immobile, dans son voisinage, toute charge q subit une

force :

퐹⃗ = 푘 푢⃗ (Loi de Coulomb)


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Les charges peuvent être positives ou négatives. Deux charges positives (ou négatives) se

repoussent, deux masses s’attirent, ce qui explique la différence de signe par rapport a la loi de

Newton.

Comme dans le cas du phénomène de gravitation, nous pouvons par similitude définir les

grandeurs suivantes :

a- Force électrique

퐹⃗ =1

4휋휀푄푞푟 푢⃗ = 푞. 퐸⃗

b- Champ électrique, Potentiel électrique

On appelle champ électrique une région de l’espace où, en tout point, une charge q,

maintenue immobile, est soumise à l’action d’une force électrique.

On peut noter l’analogie entre le champ électrique 푬⃗ et le champ de gravitation 품⃗ créé par la terre.

Seulement 품⃗ est toujours dirigé vers le centre de la terre alors que le sens du champ électrique

dépend du signe des charges qui le créent.

Dans le cas d’une seule charge source Q. Les figures montrent que le champ est orienté vers la

charge lorsqu‘elle est négative et en sens inverse lorsqu’elle est positive.

푬⃗ = 풌푸풓ퟐ 풖⃗

푭⃗ = 풒푬⃗

푽 = 풌푸풓 + 풄풕풆

푬푷 = 풒푽


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Remarque

Le vecteur champ électrique 퐸⃗ est défini comme la force agissant sur la charge unité placée

en un point.

Une charge électrique produit un champ électrique en chaque point de l'espace.

On peut remarquer que l'intensité du champ électrique décroit très vite lorsqu'on s'éloigne de la

charge. Et qu'inversement, elle croît indéfiniment lorsqu'on s'en approche.

Unité de champ électrique : Par définition: F = E.q , E peut donc se mesurer en Newton par

Coulomb (N/C)

Le potentiel électrique V est défini comme l’énergie d’une charge unité placée en un point.

2.2. Cas de deux charges ponctuelles (Principe de superposition) Considérons le cas de deux charges ponctuelles fixes q1 et q2 agissant sur une troisième

charge q. L’action conjuguée de q1 et q2 agissant séparément.

푭⃗ = 푭ퟏ⃗ + 푭ퟐ⃗ = 풌풒ퟏ풒풓ퟏퟐ

풖ퟏ ⃗ + 풌풒ퟐ풒풓ퟐퟐ

풖ퟐ ⃗

= 풒 푬ퟏ⃗ + 푬ퟏ⃗ = 풒푬⃗

Composition des forces


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Le champ 퐸⃗ crée en un point M par deux charges ponctuelles est la somme des deux champs 퐸⃗

et 퐸⃗ crées par chacune des charges q1 et q2.

Composition des champs.

Le potentiel en M se calcule en additionnant les potentiels crées en ce point par chacune des

charges q1 et q2 : V=V1+V2

Une charge q placée en M posséde une énergie potentielle Ep = qV = q.(V1+V2)

2.3 Champ et potentiel créé par un ensemble de charges ponctuelles On considère maintenant n charges ponctuelles q1, q2, q3, ……. qn , situées en des points

M . On se propose de déterminer le champ électrostatique créé par cet ensemble de charges en un

point M distant de ri des points M.

Ce champ est obtenu par la superposition des champs créés par chaque charge qi . Chacun de ces

champs est calculé comme si la charge source était seule.

Dans le cas de n charges sources qi , le champ électrique résultant est :

퐸⃗ = ∑ 푘 푢⃗

Comme pour le champ électrique, on applique le principe de superposition en raison de

l’additivité algébrique des potentiels. Ainsi,le potentiel créé par n charges fixes q1, q2, q3, ……. qn

est :

V= ∑ 푘 + 푐푡푒


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2.4 Champ et potentiel créé par une distribution continue de charges

Distribution linéique de charges

Pour une distrubution continue de charge lineique de densite λ (en C.m-1), l’element

de longueur dl a une charge repartie uniformement sur toute la longueur du

conducteur. Cette element de charge est donné par : dq=λ.dl

chaque élément dl porte une charge dq = λ.dl, et crée un champ élémentaire:

푑퐸⃗ = 푘휆푑푙푟푢⃗

Distribution surfacique de charges

On parle de densité de charge surfacique (en C.m-2) si la distribution continue des

charges electrostatiques se fait sur une surface (s) données. Cette distribution est

répartie d’une manière uniforme sur toute la surface du conducteur.

si = (densité superficielle de charge), alors:

퐸⃗ = 푘 푑푠푟푢⃗

푉 = 푘 푑푠푟

+ 푐


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Distribution volumique de charges

Dans le cas ou la charge electrostatique est repartie dans tout le volume (v) d’un

materiaux d’une manière homogene et isotrope, on dit que la charge a une

distribution volumique continue de densité (en C.m-3).

si = (densité volumique de charge), alors:

퐸⃗ = 푘 푑푣푟푢⃗

푉 = 푘 푑푣푟

+ 푐


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2.5. Champ uniforme Un champ uniforme est une région de l’espace où le vecteur champ reste constant en tous

points de cette région.

2.6. Topographie du champ electrique. La présence de charges sources dans une région de l’espace modifie les propriétés

électriques de celle-ci en créant, en chaque point M, un champ électrique. On introduit alors le

concept de lignes de champ. Le tracé de ces lignes donne une représentation spatiale du champ.

Les figures représentent les lignes de champ dues à une seule charge source Q. Si celle-ci est

positive (+) le champ est dirigé de la charge vers l’extérieur. Si la charge est négative (-),

le champ est dirigé de l’extérieur vers la charge.

Chaque charge source crée des lignes de champ telles qu’elles sont représentées sur les figures La

mise en présence de deux charges, d’égale valeur, entraîne une déformation des lignes de champ

et on obtient une nouvelle topographie (figures ). En chaque point, la ligne de champ est tangente

au champ résultant.


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2.7. Passage du champ au potentiel et du potentiel au champ A chaque point de l’espace M (x,y,z) sont associés deux fonctions, l’une vectorielle et

l’autre scalaire, qui permettent de décrire l’espace électrique :

Le champ 퐸⃗ = 퐸⃗(x,y,z) ; le potentiel V=V(x,y,z)

On admet que :

−풅푽 = 푬⃗풅풍⃗ = 푬풙풅풙 + 푬풚풅풚 + 푬풛풅풛

Cela permet de calculer V à partir du champ 퐸⃗

풅푽 = 흏푽흏풙풅풙 + 흏푽

흏풚풅풚 + 흏푽

흏풛풅풛

Par identification:

푬풙 = −흏푽흏풙

; 푬풚 = − 흏푽흏풚

; 푬풛 = −흏푽흏풛

On écrit séparément:

푬⃗ = −품풓풂풅⃗푽

Le champ electrostatique créée par la charge ponctuelle q étant radial, derive d’une fonction

potentielle notée V .

2.8. Exemple de calcul de champ et de potentiel électrique Champ et potentiel créé par un circonférence uniformément électrisé

Soit une charge q uniformement repartie, avec une

densité lineique λ, sur une circonfernce de centre

O et de rayon a.

Un élément dl de circonférence crée un champ

dE :

푑퐸 = 푘푑푞푟 = 푘

휆푑푙푥 + 푦

en raison de la symétrie sur oy le champ total créé

par la circonférence est :

퐸 = 퐸 = 푑퐸 = 푑퐸 cos휃

cos휃 = 푦

(푥 + 푦 ) /

퐸 = 푘휆푦푑푙

(푎 + 푦 ) / =푘휆푦2휋푎

(푎 + 푦 ) /


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On sait que q = λ 2πa alors ,

퐸 =푘푞푦

(푎 + 푦 ) /

퐸⃗ = −푔푟푎푑⃗푉 = −( 횤⃗ + 횥⃗ + 푘⃗)

Ou 퐸⃗ = 퐸⃗ , une seule composante

퐸 = 퐸 = − 푉 = ∫ 푑푉 = − ∫ 퐸푑푦

푉 = −푘푎푦

(푎 + 푦 ) / 푑푦 = −푘푎푦

(푎 + 푦 ) / 푑푦

푉 =푘푞

(푎 + 푦 ) / + 푐푡푒

E

V


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Champ et potentiel créé par un disque circulaire uniformément électrisé

Champ

Un élément de surface dS, centré en P, porte charge: 푑푞 = 푑푠 .

Cet élément de surface créé au point M, situé sur l'axe, un champ 푑퐸⃗ donné par:

푑퐸 = 1

4휋휀 푑푠푟

Ce champ est porté par PM, mais le champ total,par raison de symétrie, est porté par Oy.

En conséquence:

퐸 = 푑퐸 = 푑퐸 cos

Soit une couronne circulaire comprise entre les cercles de rayon x et x+dx et portant

la charge: 풅풒 = ퟐ흅풙풅풙

Cette charge constitue un champ:

푑퐸 = 푘휎2휋푥푑푥

푟 cos훼

=1

4휋휀 휎2휋푥푑푥

푟 푦푥

= 휎푦2휀

푥푑푥

(푥 + 푦 )

On obtient E, en sommant dEy pour toutes les valeurs de x comprises entre O et R .


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푬 = 풅푬풚푹

ퟎ=

흈풚ퟐퟎ

풙풅풙

(풙ퟐ + 풚ퟐ)ퟑ/ퟐ =푹

ퟎ[−

흈풚ퟐퟎ

(풙ퟐ + 풚ퟐ)ퟏ/ퟐ]풙 ퟎ풙 푹 =

흈ퟐ흐ퟎ

ퟏ −풚

(푹ퟐ + 풚ퟐ)ퟏ/ퟐ

Cas particulier

Si le point M est au centre du cercle:

푬 =흈ퟐ흐ퟎ

Si R → ∞, le disque devient un plan de dimension infinie et quelque soit la positio

n de M, le champ et constant :

푬 =흈ퟐ휺ퟎ

Potentiel La couronne crée en M un potentiel :

풅푽 = 풌풅풒풓

C’est - à - dire :

푽 = 풌흈ퟐ흅풙풅풙

(풙ퟐ + 풚ퟐ)ퟏ/ퟐ = 흈ퟐ휺ퟎ

[(풙ퟐ + 풚ퟐ)ퟏ/ퟐ]풙 ퟎ풙 푹

풙 푹

풙 ퟎ=

흈ퟐ휺ퟎ

[(푹ퟐ + 풚ퟐ)ퟏퟐ − |풚|]

Il est possible d'en déduire le champ par:

퐸 =푑푉푑푦

= 휎

2휀 1 −

푦(푅 + 푦 ) /

Tracés des graphes de E(y) et V(y)

y

V

y

E

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