8/16/2019 cemex.doc

1/20

Teoria unitară a câmpului electromagneticEcuaţiile lui Maxwell

Câmpul electromagnetic ca existenţă a materiei, constă din câmpul electric

şi câmpul magnetic, care se condiţionează reciproc. Acţiunea câmpuluielectromagnetic asupra sarcinilor electrice şi a curenţilor electrici ne permitestabilirea mărimilor fizice care caracterizează câmpul electromagnetic.

Maxwell sintetizează noţiunile legate de fenomenele electrice şi de celemagnetice şi pe baza unor ipoteze emite teoria unitară a câmpuluielectromagnetic. Această teorie priveşte reprezentarea clasică a câmpuluielectromagnetic n cazul mediilor aflate n repaus şi se exprimă riguros sub formaunui grup de ecuaţii numite ecuaţiile lui Maxwell. !eoarece aceste ecuaţii cuprindtoate legile de bază ale câmpului electric şi magnetic ele se numesc ecuaţiile lui

Maxwell. "n cele ce urmează vom analiza legile clasice ale câmpului electric şi alecâmpului magnetic , de la care s#a plecat n deducerea teoriei unitare.

5.1 Legile clasice ale câmpului electric

  5.1.1. Legea lui CoulombAceastă lege dedusă pe cale experimentală ,de către C$arles Augustin Coulomb , exprimăinteracţiunea dintre două sarcini electrice punctiforme aflate la o distanţă r una de alta. %xpresiamatematică a acestei legi este&

 r 

r 

r 

qq F 

r 

'

(

')

*   ε πε =

unde& +o-,- )(#)' / 0m este o constantă universală reprezentând permitivitateavidului1

+r  este permitivitatea relativă a mediului n care se află sarcinile electrice1 aceastămărime ne arată de câte ori forţa dintre cele două sarcini este mai mică n mediu decât n vid.

Observaţii

• "n calcule este mai comod să se folosească valoarea&

 F m 0)(2*

)   2

(

⋅=πε 

• /orţa electrostatică este o forţă de tip central, deci lucrul mecanic efectuat deaceastă forţă nu depinde de drumul urmat&

• !acă există un sistem finit de sarcini electrice punctiforme , forţa care acţioneazăasupra unei sarcini punctiforme de probă este suma vectorială a forţelorexercitate de fiecare sarcină n parte asupra sarcini probă.

∑=+++=

k 

ok o

k o

 F  F 

 F  F  F  F 

  (('()   ...

• 3entru un sistem de sarcini electrice uniform distribuite, pentru acalcula forţa ce acţionează asupra unei sarcini de probă sedefineşte mai ntâi densitatea de sarcină după cum urmează&

dV 

dq

= ρ   densitatea volumică de sarcină

8/16/2019 cemex.doc

2/20

∫∫∫ =V 

dV Q   ρ 

dS 

dq=σ   densitatea superficială de sarcină

∫∫ =S 

dS Q   σ  

dL

dQ=λ   densitatea liniară de sarcină

dLQ L

∫ =   λ 

nlocuind pe 4' pe rând cu expresiile sarcinilor totale se obţin relaţiile&

r 

r 

r 

dV q F 

V 

∫∫∫ = '(

(

*

 ρ 

πε 

 r 

r 

r 

dS q F 

S 

∫∫ = '(

(

*

σ 

πε 

r 

r 

r 

dLq F 

l 

∫ = '(

(

*

λ 

πε 

5.1.!. "ntensitatea câmpului electric

  5rice sarcină electrică creează n 6urul său un câmp electric prin intermediulcăruia acţionează asupra altor sarcini vecine. !acă o sarcină electrică de probă 4(se află n vid ,distanţa r de sarcina punctiformă 4 , asupra sarcinii electrice de

 probă acţionează forţa&

   

 

 

 

= r r 

r 

q

q F 

'(

(( *

)

πε   3entru orice valoare a sarcinii de probă 4( raportul dintre forţă şi sarcina de probăeste un vector determinat de sarcina electrică 4 şi de distanţa r.

r 

r 

r 

q

q

 F '

(

(

*

)

πε =

7aportul definit mai sus reprezintă intensitatea câmpului electric&

(q

 F  E 

=

5bservaţii&• 8ntensitatea câmpului electric se defineşte n fiecare punct din spaţiu şi

este o mărime vectorială, deci câmpul electric este un câmp vectorial deintensităţii.

• 8ntensitatea câmpului creat de o sarcină punctiformă ntr#un punct dateste&

r 

r 

r 

q E 

'(*

)

πε =

• 8ntensitatea câmpului electric produs de un sistem de sarcini punctiforme ntr#un punct este egală cu suma vectorială a intensităţilor 

elementare produse de fiecare sarcină n acel punct

8/16/2019 cemex.doc

3/20

∑=+++=

k 

k 

k 

 E  E 

 E  E  E  E 

..')

• 3entru un sistem uniform distribuit de sarcini , intensitatea câmpului produs ntr#un punct este&

r 

r 

r 

dl  E 

r 

r 

r 

dS  E 

r 

r 

r 

dV  E 

V 

∫ 

∫∫ 

∫∫∫ 

Γ 

Σ

=

=

=

'(

'(

'(

*

)

*

)

*

)

λ 

πε 

σ 

πε 

 ρ 

πε 

5.1.#. Lucrul mecanic al $orţelor electrice%&otenţialul câmpului electrostatic.

  !in expresia forţei electrostatice rezultă că aceasta este de tip central, forţăconservativă , adică forţă care derivă dintr#un potenţial. Calculul lucrului mecanicefectuat la deplasarea unei sarcini electrice 4 ntr#un câmp produs de o sarcină 9 ,din punctul ) n punctul ' pe o traiectorie oarecare este&

    

   −=

=

=

∫ 

∫ 

')(

)'

'

(

)'

'

)

)'

))*

*

'

)

r r qQ L

r 

dr qQ L

r d  F  L

r 

r 

πε 

πε 

Calculăm raportul dintre lucrul mecanic efectuat şi sarcina electrică de probă şi constatăm că acesta nu depinde decât de sarcina care produce câmpul ,de poziţia iniţială şi poziţia finală a sarcini de probă

'()(

)'

**   r 

Q

r 

Q

q

 L

πε πε −=

 :otămr 

QV 

(*πε =   şi se numeşte potenţial electrostatic, cu aceste

notaţii obţinem&')

)' V V q

 L−=  sau ∫    −=

'

)

')   V V r d  E  

!acă potenţialul punctului final ' este zero, atunci potenţialul n punctul ) este&

∫ ='

)

)   r d  E V  

Adică, potenţialul ntr#un punct oarecare se determină ca lucrul mecanic efectuatde forţele câmpului electric pentru deplasarea sarcinii electrice pozitive , egală cuunitatea , din punctul respectiv n punctul n care potenţialul este zero. 3unctul n

care potenţialul este zero este ales arbitrar şi de regulă se consideră că punctul de potenţial zero se află la infinit.

8/16/2019 cemex.doc

4/20

  ∫ ∞

=)

r d  E V  

 

Observaţie "n câmpul electrostatic lucrul mecanic nu depinde de formatraiectoriei pe care se deplasează sarcina electrică 4 ,ci numai de poziţia punctului

iniţial ) şi poziţia finală a punctului '.;)a' ;)b'

sau,   ∫ ∫ ∫ ∫    =+→='

)

)

'

'

)

'

)

(a

b

a b

r d  F r d  F r d  F r d  F  

∫    =  (r d  F 

exprimând forţa cu a6utorul vectorului electric, relaţia devine&∫ ∫    =→=   ((   r d  E r d  E q

această ultimă relaţie se poate transforma ntr#o integrală de suprafaţă folosind

teorema lui este funcţia de potenţial sau potenţialul electrostatic.Observaţie&

• Conform acestei relaţii n fiecare punct al câmpului se poate defini un potenţial 1 câmpul electrostatic este un câmp scalar de potenţiale.

• 3otenţialul creat de o sarcină punctiformă este.

r 

QV 

r ε πε (*=

• 3entru un sistem finit de sarcini punctiforme potenţialul creat de acestsistem ntr#un punct este suma algebrică a potenţialelor elementare&

> >)?>'?@>= •

3otenţialul produs intr#un punct de o distribuţie continuă de sarcinăelectrică se calculează cu relaţiile &

∫ 

∫∫ 

∫∫∫ 

Γ 

Σ

=

=

=

r 

dl V 

r 

dS V 

r 

V d V 

V 

λ 

πε 

σ 

πε 

 ρ 

πε 

(

(

(

*

)

*

)

*

)

 

5.1.#. 'luxul electrostatic% Legea lui (auss.

8/16/2019 cemex.doc

5/20

8/16/2019 cemex.doc

6/20

 V  E 

 E 

⋅−∇=

=⋅∇

(ε 

 ρ 

  rezultă&(

'

ε 

 ρ −=∇   V 

relaţie cunoscută sub numele de ecuaţie 3oisson. 7ezolvarea acestei ecuaţiidiferenţiale permite calcularea potenţialului electrostatic al câmpului.• !acă densitatea volumică de sarcină electrică este nulă n volumul considerat

ecuaţia diferenţială devine&  (' =∇   V 

cunoscută sub numele de ecuaţia lui ;aplace.Conclu)ie

 $n ca%ul c&mpului electrostatic se definesc două teoreme principale'teorema circulaţiei vectorului electric (i teorema fluxului electrostatic! la care seadau"ă alte două relaţii !una exprimă le"ătura dintre vectorul electric  E    (i

 potenţialul electrostatic !cealaltă este ecuaţia lui )oisson'

(

'

(

(

ε 

 ρ 

ε 

 ρ 

−=∇

⋅−∇=

=⋅∇

=∇

V 

V  E 

 E 

 E  x

5.1.*. Legile curentului electric

A. !ensitatea de curent1 legea lui /arada

8/16/2019 cemex.doc

7/20

• 3ornind de la relaţia&

V dt 

dl 

dSdl 

dq

dsdt 

dq ρ ==

 putem scrie densitatea de curent sub forma&

 v  +   ρ =

  unde v este viteza cu care se deplasează sarcina electrică.• %xistenţa fluxului de sarcini electrice implică existenţa fluxului de

masă a purtătorilor de sarcină electrică. iteza limită este atinsă atunci când&  E ev ,    ⋅=⋅de unde rezultă viteza medie de deplasare a electronilor.

 , 

 E ev

  ⋅=

8ntroducând această relaţie n expresia densităţii de curent se obţine&

 E  , 

en

 , 

 E een +

  '(

(   ==

 E   +   ⋅= σ  

unde σ    este conductivitatea electrică a conductorului. %cuaţia obţinută reprezintălegea lui 5$m forma locală.

8/16/2019 cemex.doc

8/20

;a trecerea unui curent printr#un conductor acesta se ncălzeşte. "ncălzirease datorează frecării electronilor cu reţeaua cristalină . Căldura dega6ată este egalăcu lucrul mecanic efectuat de forţele de frecare care nsoţesc deplasarea

electronilor&

'

'

'

(

(

'(((

) +q

dt  +en

 , Q

en

 +v

dt  ,vn ,vdl n LnQ

σ 

δ 

δ δ 

=

=

=

===

 

Această relaţie reprezintă legea lui Eoule# ;entz ,forma locală.!acă se nlocuieşte densitatea de curent se obţine&

' E q   ⋅= σ 

C.F Legea conservării sarcinii electrice%  ecuaţia +e continuitate.Considerăm o suprafaţă nc$isă < de volum > dintr#un mediu conductor. !acă 4

este sarcina electrică din acel volum la un moment dat t şi 4 Gd4 sarcinaelectrică din acest volum la momentul t?dt , atunci variaţia sarcinii electrice nunitatea de timp , se datorează migrării sarcinilor electrice prin suprafaţa .

∫∫ =−

=+′

S 

S d   +dt 

dq

dt 

dq

dt 

qd 

(

  Această relaţie reprezintă forma integrală a ecuaţiei de continuitate a curentuluielectric, indicând faptul că scăderea sarcinii electrice cuprinse ntr#un volumoarecare >, n unitatea de timp ,este egală cu fluxul densităţii de curent prinfrontiera acestui volum.  !acă n interiorul volumului > sarcina electrică 4 este distribuită cu densitateavolumică B , atunci&

dV t 

dV t t 

q

V V 

∫∫∫ ∫∫∫  ∂∂

=∂

∂=

∂

∂   ρ  ρ 

8/16/2019 cemex.doc

9/20

∫∫∫ ∫∫∫ 

∫∫ ∫∫∫  

⋅∇=∂

∂−

⋅∇=

V V 

S V 

dV   +dV t 

dV   +S d   +

 ρ 

sau   (=⋅∇+∂∂

 +t 

 ρ 

  /ormula obţinută este forma diferenţială a ecuaţiei de continuitate.Observaţie "n regim staţionar , deşi sarcinile electrice nu se găsesc n ec$ilibru,

mărimile macroscopice, ca de exemplu densitatea volumică de sarcinăelectrică , sunt independente de timp, deci variaţiile lor n raport cu timpulvor fi nule n regim staţionar.

  %cuaţia de continuitate a curentului electric capătă, n regim staţionar,forma particulară (=⋅∇   +  !in această formulă rezultă că n regim staţionar , densitatea de curent 6 este un

vector solenoidal, liniile de curent fiind totdeauna curbe nc$ise , adică curentulelectric staţionar se poate stabili numai n circuite nc$ise.

5.! Legile clasice ale câmpului magnetic

  5.!.1 &ro+ucerea câmpului magnetic

  "ncă din antic$itate a fost cunoscut că magnetita un minereu de fier atragesubstanţele feroase, deci creează n 6urul său un câmp numit câmp magnetic. !inacest minereu s#au construit magneţi permanenţi. Hn magnet generează un câmpmagnetic n 6urul său prin intermediul căruia acţionează asupra altor magneţi

 permanenţi. /orţa de interacţiune dintre un magnet şi alt magnet se numeşte $orţămagnetică.

Observaţii

•Hn magnet aflat ntr#un câmp magnetic tinde să se orienteze n sensulcâmpului magnetic respectiv %

•

Hn magnet permanent dacă este divizat n bucăţele oricât de mici ,se obţin totmagneţi permanenţi cu proprietăţile magnetului iniţial, adică cu doi poliIpolul nord şi polul sudF.

/izicianul şi c$imistul danez Jans C$ristian 5ersted ,a descoperit acţiuneacurentului electric asupra acului magnetic al unei busole. Aceasta este o dovadă căsarcinile electrice a$late -n micare generea)ă câmp magnetic

Conclu)ie

  Câmpul magnetic este generat de magneţi permanenţi , de conductori parcurşide curent electric şi de sarcini electrice aflate n mişcare, n absenţa conductorilor.

 

8/16/2019 cemex.doc

10/20

;a fel ca şi câmpul electric, câmpul magnetic are caracterul continuităţii şi altransmiterii acţiunilor sale cu viteză finită. !in observaţiile proprietăţilor salefundamentale prin câmp magnetic se poate nţelege spaţiul din 6urul corpurilorI conductoare parcurse de curenţi, magneţi permanenţiF n care se exercită forţe

magnetice asupra altor ccorpuri parcurse de curenţi sau magneţi permanenţi. 5.!.! 'orţe exercitate +e câmpul magnetic

/orţele de natură magnetică se pot mpărţi formal n trei categorii dupăcauzele fizice care dau naştere câmpului magnetic şi felului interacţiunii dintrecorpuri. Astfel sunt&

 forţe magnetostatice, care se execită ntre magneţi permanenţi, forte electromagnetice ,care se exercită ntre un conductor parcurs de

curent electric şi un magnet permanent,  forţe electrodinamice de nteracţiune ntre conductoare parcurse de curenţielectrici şi

  forţe lorentz  care se exercită ntre o sarcină aflată n mişcare şi un câmpmagnetic.

a/ 'orţa Lorent)edem că vectorul  0 caracterizează câmpul magnetic n sensuln care vectorul E caracterizează câmpul electric. !acă sarcina  se deplasează cuviteza 2  ntr#un domeniu din spaţiu n care câmpul electric are intensitatea E iarcâmpul magnetic inducţia 0, asupra acesteia va acţiona o forţă dată de relaţia &

( ) - xv E q F    +=

unde  E q F   =  este componenta electrică,iar ( ) - xvq F   =  este componenta magnetică.

 Această forţă este cunoscută sub numele de forţă ;orentz.Observaţii

• !in relaţia de definiţie forţa ;orentz este perpendiculară pe direcţia dedeplasare a particulei şi pe liniile de câmp, iar sensul este dat de regula

 burg$iului.• Această forţă permite definirea unităţii de măsură pentru inducţia

câmpului magnetic 0

''''

..

.

..

.

.

m

.b

m

 sV 

/ m

 s 0 

/ m

 sm 1 

/ m

 s 1  -   =====

2 m

.b -

S*   ==

'

• Modulul forţei ;orentz variază de la zero la o valoare maximă1

8/16/2019 cemex.doc

11/20

==

==

→=

'

((

sin   π α 

α 

α 

qv-pentru F 

 pentru F 

qv- F 

• /orţa ;orentz permite definirea inducţiei câmpului magnetic1

qv

 F  -   max=

este numeric egală cu forţa maximă ce acţionează asupra unei sarcini egalăcu unitatea I4)CF ce se deplasează cu viteza unitate I >) m0sF

• !eoarece forţa ;orentz este perpendiculară pe traiectoria particulei ease comportă din punct de vedere mecanic ca o forţă centripetă având caefect curbarea traiectoriei, raza ce curbură fiind dată de relaţia&

α α 

sinsin

'

qv

mv 3

 3

mvqv-

 F  F  cp L

=→=

=

 

b/ 'orţa electromagnetică

Considerăm un conductor parcurs de curent aflat n cămp magnetic. Asuprafiecărei sarcini electrice 4 care se deplasează n conductor va acţiona forţa lorentz perpendiculară pe v  şi respectiv  -

FI   - xvq F  L   =

dacă n unitatea de volum K> se află n purtători de sarcină electrică, atuncin elementul de volum ,vom avea n K> purtători de sarcină şi asupra elementuluide volum va acţiona forţa totală&

( )   ( ) ( )   V  - x  + - xvqV n F ma"    ∆=∆=

asupra unităţii de volum al conductorului va acţiona forţa& - x  +  f    =

dacă se introduce elementul de volum al conductorului ca produsul KAKl vom

obţine&( )   l  - x *  F 

l  - 4x +l  4 - x + F 

ma" 

ma" 

∆=

∆∆=∆∆=

/orţa magnetică ce acţionează asupra elementului de lungime dl munită forţă;aplace este&

( ) - xl d  *  F elm   =

 Observaţii

8/16/2019 cemex.doc

12/20

• /orţa ;aplace este perpendiculară pe direcţia câmpului magneticşi pe direcţia curentului electric din conductor, sensul ei find datde regula burg$iului.

• !acă conductorul se deplasează n câmpul magnetic pe distanţa

dx n lungul forţei lucrul mecanic elementar efectuat este&(   ( )

Φ==

==

id  -S id dL

 -l  xd  xd idx - xl d idL

.

  c/ 'orţa +intre +ouă con+uctoare parcurse +e curenţi

  "ntre două conductoare rectilinii, paralele, filiforme şi foarte lungi parcursede curenţi se exercită forţe de interacţiune. Conductorul parcurs de curentul i ' seaflă n câmpul magnetic de inducţie magnetică D) şi va fi supus acţiunii unei forţeacărei valoare este&

)'l-i F  =

dacă se ţine seamă că inducţia magnetică a câmpului produs de un conductor  parcurs de curent &

d 

i -

π  µ 

'

'(=

rezultă relaţia care exprimă forţa lui AmpLre ,de forma

l d 

ii

 F  π  µ  '

')

(=

Observaţii

• !acă conductorii sunt parcurşi de curenţi n acelasi sens ntre eise va exercita o forţă de atracţie, iar dacă sensul curenţilor esteopus forţa este de respingere.

• 3ornind de la formula forţei electrodinamice se poate da odefiniţie standardizată a unităţii pentru intensitatea curentului, aamperului1 dacă i)i')A şi d)m

rezultă pentru raportul /0l'.)(# :0m

5.!.#. Legea $luxului magnetic

8/16/2019 cemex.doc

13/20

')))   metruteslax5eber  =

%xperienţa arată că fluxul total prin orice suprafaţă nc$isă este nul. !acăsuprafaţa este nc$isă numărul liniilor de câmp care intră prin suprafaţă este egalcu numărul liniilor care ies din suprafaţă, deoarece liniile de câmp magnetic sunt

ntotdeauna curbe nc$ise./luxul total printr#o suprafaţă nc$isă este egal cu zero.∫∫    ==Φ   (S d  -

Observaţie • !eoarece fluxul total este zero prin analogie cu fluxul electric total rezultă că

sarcina magnetică este zero 4m(• !acă se foloseşte teorema lui gauss de transformare a integralei de suprafaţă

ntr#o integrală de volum se obţine&

(=

=∫∫ ∫∫∫  Σ

 -div

dV  -divS d  -V 

 această ultimă relaţie exprimă o proprietate generală importantă a câmpuluimagnetic ,cunoscută sub denumirea de conservarea fluxului magnetic.

5.!.*. Câmpul magnetic al unui curent staţionar%Legea 0iot34avart Laplace

%xpresia intensităţii câmpului magnetic produs de un conductor rectiliniufoarte lung parcurs de curent a fost dedusă pe cale experimentală de Diot şi

8/16/2019 cemex.doc

14/20

r 

r  x

r 

l id q F d 

 - xl id  F d 

mm

m

'*π  

=

=

8/16/2019 cemex.doc

15/20

8nducţia electromagnetică este fenomenul prin care , n orice circuit nc$is ,variaţia fluxului magnetic printr#o suprafaţă limitată de circuitul respectiv induceun curent electric, respectiv o tensiune electromotoare, de inducţie. Acest fenomen

a fost studiat pe cale experimentală de către /arada , care a dat următoarea lege&• Pensiunea electromotoare de inducţie este numeric egală cu viteza

de variaţie a fluxului magnetic prin aria circuitului şi de semnminus arată că sensul tensiunii induse este astfel ncât efectele eise opun cauzei care l#a produs

dt 

d ei

Φ−=

Observaţie !emonstrarea acestei legi se poate face pe cale energetică. 3entru aceasta se

consideră un conductor care se deplasează ntr#un câmp magnetic constant deinducţie D cu viteza constantă v. ;ucrul mecanic necesar deplasării conductoruluieste& dQidRAcest lucru mecanic este c$eltuit pentru deplasare uniformă , este deci un lucrumecanic rezistent. "n circuit apare un curent care la trecerea prin conductor va

dezvolta o energie prin efect Eoule a cărei valoare n timpul dt este&dQe8i dtdin legea conservării energiei rezultă relaţia

dt 

d ei

Φ−=

  5.# Ecuaţiile lui Maxwell

"n cele prezentate mai sus s#a considerat cazul staţionar al interacţiunilor electromagnetice1 densitatea de sarcină electrică  ρ   cât şi densitatea de curent  + nudepind explicit de timp. !acă aceste mărimi nu mai rămân constante şi se

modifică n timp atunci ecuaţiile fundamentale obţinute anterior vor avea o altăformă. Această formă finală este dată de ecuaţiile lui Maxwell care stau la bazaconstrucţiei axiomatice a electromagnetismului şi care au avut la baza lor observaţia experimentală că, n regiunea din spaţiu unde este creat un câmpelectric variabil există n acelaşi timp şi un câmp magnetic variabil şi invers. Celedouă câmpuri fiind ntr#o interconexiune, condiţionându#se reciproc, sunt douăaspecte ale câmpului electromagnetic.

aF %cuaţia lui Maxwell G /aradaAceastă relaţie exprimă faptul că fenomenul de inducţie electromagnetică se poate

 produce n orice regiune unde există un câmp magnetic variabil n timp şi apare

8/16/2019 cemex.doc

16/20

un câmp electric independent de faptul că există conductor sau nu. %a se va obţinedin legea inducţiei electromagnetice după cum urmează&

dt 

d ei

Φ−=

%xprimând tensiunea indusă cu a6utorul circulaţiei vectorului electric, iar fluxultotal exprimat prin legea lui auss avem&

∫ ∫∫ Σ

∂

∂−=   S d  -

t l d  E    dar 

∫ ∫∫ Σ

∇=   S d  E  xl d  E    rezultă

t 

 - E  x

∂∂

−=∇ 

  %cuaţia /arada # Maxwell

5bservaţii& # ecuaţia obţinută exprimă legătura dintre variaţia n timp a lui  - ntr#un punct şi câmpul electric  E   pe care#l induce n acel punct sau, orice variaţie decâmp magnetic intr#o regiune din spaţiu determină apariţia unui câmp rotaţional .

# ecuaţia exprimă caracterul rotaţional al câmpului electric indus.

 bF %cuaţia AmpLre G Maxwell

Această ecuaţie este o generalizare a legii lui AmpLre n condiţiile unui câmpmagnetic variabil. Câmpul magnetic variabil generează un câmp magneticvariabil, fenomen numit inducţie magnetoelectrică.

3entru a deduce această ecuaţie să vedem limitele de aplicare a legii luiAmpLre.

  + -rot    µ =   sau   + 6 rot    =această formă arată că un curent staţionar de densitate   + , generează un câmpmagnetic , deci ecuaţia de continuitate se va scrie&

t  6 divrot 

∂∂

−=  ρ 

această relaţie nu este valabilă dacă ( )t r , ρ   deoarecet ∂

∂ ρ (≠ , iar divergenţa unui

rotor este totdeauna zero, deci nici legea lui AmpLre nu este valabilă cânddensitatea volumică de sarcină electrică depinde explicit de timp. "n acest cazformula este incompletă n cazul curenţilor electrici nestaţionari.

  + 6 rot    = ?ISF3roblema pusă de Maxwell legată de ntrebarea ce anume trebuie să se adauge inrelaţie la curentul de conducţie   + S!acă simetria dintre vectorii E şi 0 se respectă atunci ea se va respecta şi n cazulvectorilor 9 şi : şi ar trebui să avem o relaţie de forma

8/16/2019 cemex.doc

17/20

t 

 7 6 rot 

∂

∂=

Maxwell a considerat ca acesta este termenul care lipseşte din formula de mai sus,adică ea trebuie scrisă

t 

 7 0  6 rot 

∂∂

+= 

  %cuaţia lui AmpLre # Maxwell

5bservaţie&

# termenult 

 7

∂

∂ este introdus pentru a completa curentul de conducţie şi a

fost denumit de către Maxwell , densitatea curentului de deplasare ;+ # noul termen, densitatea de curent de deplasare este necesar pentru ca

expresia care leagă câmpul magnetic de curentul electric să fie

compatibilă cu ecuaţia de continuitate şi n cazul n care curenţii deconducţie variază n timp.

# această relaţie indică existenţa unui nou fenomen de inducţie conformcăruia câmpul electric variabil n timp generează câmp magnetic

  I inducţia magnetoelectricăF# acest fenomen nu a fost pus n evidenţă experimental deoarece este

necesar ca variaţia câmpului electric să fie sensibilă ntr#un interval detimp dt necesar propagării luminii ntre armăturile condensatorului,adică frecvenţa câmpului electric trebuie să fie foarte mare.

Conclu)ie

8/16/2019 cemex.doc

18/20

corpurile materiale aflate n câmpul electromagnetic se află n repaus1 mărimiler ε  , r  µ   şi γ    care caracterizează proprietăţile de material ale mediului nu depind

de timp şi nici de intensitatea câmpurilor1 n câmpurile studiate nu se află magneţi permanenţi şi substanţe feromagnetice.

# :u toate cele patru ecuaţii ale lui Maxwell sunt independente& ecuaţiile 88şi 888 nu sunt independente, din identitatea div rot ( rezultă că ecuaţia 888 6oacărolul unei condiţii suplimentare pentru ecuaţia 881 de asemenea nici ecuaţiile 8 şi8> nu sunt independente, dacă aplicăm operatorul div ecuaţiei 8 se impune ecuaţia8> , pentru a obţine ecuaţia de continuitate1

# !eci pot fi considerate independente numai ecuaţiile 8 şi 88 şi respectiv,ecuaţiile de material.

t 

 6 

 E rot 

t 

 E  E  6 rot 

r 

r 

∂

∂−=

∂

∂+=

 µ  µ 

ε ε γ   

(

(

limitat de

suprafaţă va fi &( )∫∫∫    −=

  ''

'

) 6  E .    µ ε 

"ntr#un interval de timp dt energia Q a câmpului electromagnetic poate să scadădin cauza disipării energiei prin efect Eoule sau din cauza disipării energiei prin

 propagarea câmpului electromagnetic spre exteriorul volumului. 3utem scrie deci&

ΣΣ   +=+=∂∂

− ∫∫∫    ) dV  + )  ) t . 

 0    ρ '

unde 3 6 este puterea disipată prin efect Eoule, iar 3T este puterea care iese prinsuprafaţa T datorită propagării câmpului electromagnetic.

8/16/2019 cemex.doc

19/20

dV t 

 6  6 

t 

 E  E 

t 

. ∫∫∫      

 

  

 

∂∂

+∂∂

−=∂

∂−

   µ ε 

Calculăm mărimilet 

 E 

∂

∂  şit 

 6 

∂∂  din ecuaţiile lui Maxwell şi anume&

 E rot t 

 6 

  + 6 rot t 

 E 

−=∂

∂

−=∂

∂

 µ 

ε 

folosind aceste relaţii se obţine&

dV  6 rot  E  E rot  6 dV   +t 

. FI

' ∫∫∫ ∫∫∫    −+=∂∂

−   ρ 

folosind formula&div IE x 9/ esteomogen şi izotrop, iar n interiorul volumului nu există surse de tensiuneelectromotoare.

# .

5.5 &otenţiale electro+inamice

"n electrostatică I din cauză că rotorul lui E este ntotdeauna zero F este posibilă relaţia.

  ϕ  "rd  E    −=unde U este un câmp scalar de potenţiale electrice .3otenţialul scalar U se defineşte până la o constantă aditivă. Câmpurile U şi U?creprezintă aceeaşi situaţie fizică, adică le corespund acelaşi câmp electric E.

  ϕ  "rd  E    −=   "rdc "rd c "rd  E    −−=+−=   ϕ ϕ    FI   ϕ  "rd  E    −=

8/16/2019 cemex.doc

20/20

;a fel putem defini diferite potenţiale vectoriale  care definesc aceleaşicâmpuri magnetice. !eoarece div 0 ( rezultă că l putem reprezenta pe 0 carotorul unui câmp vectorial

   4rot  -   =  

 pe componente putem scrie&