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物理学序論２ （電磁気学入門） 第６講 151106

静電場のまとめ

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電 荷：電気力の源．正負の区別があり，同符号間では反発力，異符号間では引力が働く． 電 場：空間に広がる力のベクトル場で E(r) と表し， 地点 r に電荷 q を置くと F = qE(r) の力が働く． 電界とも言う． 電気力線： 接線がその場の電場の方向を向く線．電場ベクトルをつなげた線といってもよい 電気力線数： N = Q/e0 ： 電場の強さは電気力線数密度となる． 電束密度： D =e0E : 電気力線を流線のように見なすときの流束密度．電束変位とも言う (状況によっては e0 を省いて定義することもある) 電 束 ： ∫S Dn dS : 面 S を通過する電束量 電 位 ： ある点から基準点まで電場が単位電荷を動かすのに必要な仕事量 静電場エネルギー： 静電場が持つエネルギー密度は u= e0|E|

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導 体 ： 電気を自由に通す物体. 導体内では電場はゼロで，電位は一定， 電場は表面に垂直である 誘電体 ： 電気を通さない絶縁体. 電場を掛けると両端に正負の電荷が現れる(分極する)．比誘電率k : 真空中で E0 であった電場が，誘電体中では E = E0 /k となる． 誘電率 ： e = e0k コンデンサー： 英語ではキャパシター．基本的には二組の導体に正負の電荷を蓄えたもの

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フラックス（流束）： ある面 S を通って流れる単位時間あたりの流体体積 F = v・S=vScos q (注：面に垂直な速度成分のみ寄与する)． 流束密度： 単位面積あたりの流束（これもフラックスという） 発 散 ： ∇・ E =r/e0 のとき，左辺をベクトル E の発散, 右辺を湧き出しという 微小体積からの流出量が体積中の湧き出し量に等しいという意味 回 転 ： ∇× B =m0i のとき，左辺を ベクトルB の回転という 方向微分： ∇sf(r) = (sx∂x +sy ∂y +sy ∂z) f(r): s 方向の微分： （注：発散は|E|のE方向微分である）

電磁気で使う基本用語

ポアソンの方程式

コンピューターによる数値解法が可能 3

クーロンの法則

電 場

電 位

N個の点電荷系

連続分布の電荷

電 場

静電エネルギー

重ね合わせの原理

2つの点電荷に働く力

電場の持つエネルギー密度

N個の電荷が位置 r 点にある 電荷 q に及ぼす力

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直接電場を計算した例

ポテンシャルから電場を計算した例 円盤電荷の中心軸上の電位と電場

長い線電荷

円盤電荷

クーロンの法則： 電場の計算例（１）

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クーロンの法則：電位と電場の計算例（２)

電気双極子：

赤線：電気力線 黒線：等電位線

一様な電場の中に置かれた双極子には 力のモーメントが働く 双極子そのものには力が働かない

非一様な電場の中では 双極子全体を動かす力が働く 右図はトルクと全体を動かす力の 両方が働く例

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静電場のマクスウェルの方程式

ガウスの法則の意味： 電場の法線成分を閉曲面について積分した全電束（÷e0) は， 閉曲面内の全電荷（÷e0) に等しい． ガウスの法則はクーロンの法則と数学的に同等． クーロンの法則が電荷間の関係式であるのにたいし， ガウスの法則は電場を記述する式となっている． 静電場のマクスウェルの第２方程式（＝電場は渦無しという名無しの法則）の意味は， 静電力が保存力であるということ． 保存力とはポテンシャルから導ける力のこと 保存力とは仕事が道筋によらない力 ＝ 仕事の閉回路線積分がゼロとなるような力 保存力とは至る所で回転がゼロになる力でもある

電場は渦無し(回転がゼロ)は， ポテンシャルの存在 (E= -∇f ) を保証する．

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微分型数式の解釈は積分型と同じ．ただし微小体積・面積に適用する．

数学的には積分可能条件ということもある．

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電場 E が, E = -∇W と書ける条件： (数学での教え方)

微小仕事量： が関数 W(x,yz) の全微分であること、言い換えれば積分して W(x,y,z) という 仕事関数が定義できることの必要十分条件が∇×E = 0 。 ここでは必要条件のみを記す。

仕事関数 W が定義できれば、Wの全微分は

と書ける。このとき W の微分が連続微分可能であれば

を満たさなければならない。この条件を E = -∇W （Ex = - ∂W/∂x, Ey = - ∂W/∂y, ・・・） を使って書き直せば ∇×E = 0 となる。 これを積分可能条件という

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キーポイント： 電磁気学の線積分では 接線成分 El dl= E・dl 面積分では 法線成分 En dS = E・dS が被積分変数となる．

ベクトルの経路方向成分を 経路に沿って足し上げた量

ベクトルの法線成分を 2次曲面について足し上げた量

面積分体積分

線積分面積分

積分型と微分型を橋渡しする数学の定理

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ガウスの法則の流体解釈： (類似現象で数式の理解を助ける)

クーロンの法則を書き直すと

e0En を曲面から流出する単位面積あたりの流量(フラックス) とみなせば， Q は単位時間あたりの湧き出し量と解釈できる． ガウスの法則は次の記述と同等： 閉曲面から流出する全流束は，閉曲面内の湧き出し量に等しい そうすれば，球面を任意の閉曲面に変えてもガウスの法則 が成り立つことは容易に理解できる． （ただし，正しいフラックスを得るためには面の法線成分 En にする必要がある） ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

フラックスとはある面積を通過する単位時間あたりの流量

(流れの方向に垂直な面を通る流量がフラックス)

ベクトル演算式の理解

泉＝湧き出し口

池

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ガウスの法則の流体解釈： (類似現象で数式の理解を助ける)

電場の流体解釈の言い換え (歴史的に流体解釈をして名前を付けた経緯がある)：

電束： ∫e0EndS = ∫DndS 流束(フラックス) , (または，Q/e0＝ 電気力線の数 E ＝ 電気力線密度)

電束密度： e0E = D 流束密度 , 電荷： Q 単位時間の湧き出し量 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

注：教科書では E そのものにもフラックスという言葉を使っている

ベクトル演算式の理解

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ガウスの法則：積分型の応用 対称性の良い電荷分布に最適応用価値あり １）無限に広い面電荷の作る電場 ２）無限に長い線(円筒/円柱)電荷分布の作る電場 ３）点・球面(球)分布電荷の作る電場

ガウスの法則を面電荷 に適用すると：

まず対称性 [(x,y)方向に一様]から電場はz成分のみ持つ。

円筒切り口の面積を S1=S2=S,, S3(側面) とする

円筒ガウス面の側面 では、E3n = 0 右端面で E1n = +E 左端面で E2n = - E

∫ En dS = E1nS1 + E2n(-S2)+ E3nS3

(S2は外向きなので負） = S(E+E+0)

= Q/e0 = sS/e0 ∴ E1 = - E2 = s/2e0

x y

z

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•導体とは自由に電気を通す物体 (金属など) 。 •導体の中には静電場は存在しない 注１ 。 •導体内では表面電荷のみ存在し得る。 •導体の各点で電位が等しい。 •導体の表面上の電場は面に直交する。 •電場の強さは表面付近で E = s/e0 (無限大の平板導体なら空間全体に適用) •不規則な形状の導体上では，電荷密度は外に凸で 曲率半径の小さいところほど大きい（ie. 尖端に集中） •導体の表面電荷に働く張力： f = s2/2e0

注１： 電場は電荷が作る．導体は電荷を動かすのみ

導 体

電場中の2つの等電位面で囲まれた体積と同じ形の導体は，外部電場を変えない

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誘電体を挟めば容量は e 倍となる．

平行板コンデンサー

球殻型コンデンサー

円筒型コンデンサー

コンデンサーの容量： Q=CV 単位はファラッド

コンデンサーの持つエネルギー

キーポイント：電束密度 D は 真電荷のみから計算できる

物質(誘電体)中におけるガウスの法則

誘電体が電場の中にあると，分極電荷により 物質の中での電場 E が，元の電場 E0 より弱くなる．

E ≡ E0 /k, D ≡ e0kE ≡ e E ,

k : 比誘電率, e ≡ e0k ：誘電率， D : 電束密度

定義

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∇×E = 0 はそのまま成り立つ

積分型 微分型

注： 導体中では， E=0, q’=q となるから，形式的には 誘電体の k ∞ とすれば導体の式が得られる．

形式的には、真空の方程式から e0 → e (m0 → m) の置き換えで得られる. しかし、この変形に物質の性質の全てが込められている。 物性の理解には、 e と m の使い方をマスターする必要がある。

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発散型ベクトルには，はじめと終わりがある． 湧き出しからの流体が，流線に沿った流管を通るときの速度ベクトルの変化 平面湧き出し : 1次元空間での発散， 平行 (v = 一定) 軸(円柱)状 : 2次元空間での発散, 円状に広がる （v ∝ 1/r）． 点源(球対称性) : 3次元空間での発散， 球状に広がる (v ∝1/r2）

発散型のベクトル場の振る舞い

平面電荷分布 軸(円柱）対称電荷分布 球対称電荷分布

発散はガウス積分の局所表現である．すなわち は次の情報を含む．

湧き出しが外にある場合 発散がゼロ ∇・v =0

ベクトル演算式（発散と回転）の絵画的理解

ガウスの法則から 点電荷を連続的に並べると並べた方向の成分は無くなる(点電荷線電荷，3次元2次元)． 点電荷を2次元的に並べると 〃 〃 (点電荷面電荷．3次元1次元)

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発散があるところで向きが変わる 相対運動していれば，ベクトルの大きさが変わるだけ 源のある所以外では，発散はゼロ

2次元空間の発散 3次元空間の発散

源は正の点電荷 源は負の線電荷 源は面電荷

1次元空間の発散

源はここにある

近傍での振る舞いを規制 自分の前後のベクトルの 振る舞いを規制する

発散：∇・v=s≠ 0 のときの発散源(湧き出し）の見つけ方)

∇・v = ∇・n|v| =n・∇ |v|は |v| のv方向微分

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例

Z方向に一様化すると

z

回転演算を絵で理解する．

ベクトルの外積 A=BxC で B をナブラで置き換えると，A 軸を中心に回転するベクトル場となる ナブラは演算子なので必ず C の前に置くこと

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回転があるときのベクトル場の振る舞い

回転が0でない (rot v > 0) 時のベクトル場の振る舞い (a)(b)(c) のベクトル配位は全て回転能力あり、

結局平行するベクトルが、自分より 大きい(小さい)ときは回転能力がある。

3D：実質は2D回転ベクトル場

回転無し 発散？

E 型ベクトルと B 型ベクトル

物理量を表すベクトルは、 源との関係でE 型ベクトルと B 型ベクトルに分ける ことができる。

E型(発散型)

B型 (回転型)

始めと 終わりがある

始めも 終わりもない

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自然現象では，E 型ベクトルを生む原因と B 型ベクトルを生む 原因は全く別の理由であることが多い．

E型

B型

ベクトル解析で発散（Eモード）と回転(Bモード)を区別する応用例

宇宙背景放射からのマイクロ波*偏極**ベクトル場のBモードには 重力波の影響が現れる．

ビッグバン以前の時空のミクロな 量子ゆらぎが，インフレーション***で 拡大され宇宙サイズの重力波となる． 重力波で散乱されたフォトン （電磁波の量子）が，Bモード 偏極パターンを形成する．

この図ではBモード偏極が 確かに観測されているが 宇宙の塵による影響である 可能性も排除できない．

* 電子レンジや無線LANで使われる電磁波

** 電磁波は横波で電場は横方向を向いて いる．その偏り具合．

*** 宇宙の指数関数的膨張 一瞬の間に (~10-36 s), アメーバが 銀河サイズ (x1043) になる急激膨張

注： 光のスペクトル解析は化学でも 生物でも重要な研究手法の一つである． 20

（赤経）

（赤緯）