Capítulo 11 Análise da Variânciapmbortolon.wdfiles.com/local--files/home/Met Quant_Capitulo 11.pdf · Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc

Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 11-1

Capítulo 11

Análise da Variância


Objetivos do Aprendizado

Neste capítulo você aprenderá:

Os conceitos básicos da modelagem do experimento

A utilizar a análise de variância de fator único para testar diferenças entre as médias aritméticas de diversos grupos

A utilizar a análise da variância de dois fatores e interpretar o efeito da interação


Visão Geral do Capítulo

Análise da Variância (ANOVA)

Teste F

Teste

Tukey-

Kramer

ANOVA

Fator Único

ANOVA

Dois Fatores

Efeitos da

Interação


ANOVA – Descrição Geral

O pesquisador controla um ou mais fatores de interesse

Cada fator contém dois ou mais níveis

Os níveis podem ser numéricos ou categóricos

Diferentes níveis produzem diferentes grupos

Pense nos grupos como populações

Observe os efeitos na variável dependente

Os grupos são iguais?

Planejamento do experimento: o plano usado para coletar os dados


Planejamento Completamente

Aleatorizado

As unidades ou objetos do experimento são designadas aleatoriamente para os diferentes grupos

Assume-se que os objetos são homogêneos

Somente um fator ou variável independente

Com dois ou mais níveis (grupos)

Abordagem através da análise da variância com um fator (ANOVA de um fator)


Análise da Variância de Fator

Único

Avaliar a diferença entre as médias de três ou mais grupos

Exemplos: Taxas de acidentes para o 1o. , 2o. e 3o.

turnos de uma fábrica

Milhagem esperada para cinco diferentes tipos

de pneus

Premissas

Populações são normalmente distribuídas

Populações têm variâncias iguais

Amostras extraídas de forma aleatória e independente


Hipótese: ANOVA de fator único

As populações têm médias iguais

i.e., não há efeito de tratamento (não há variações entre as médias dos grupos)

Pelo menos uma população tem média diferente das demais

i.e., há um efeito de tratamento (grupos)

Não significa que todas as médias são diferentes entre si (pelo menos uma das médias é diferente das demais)

c3210 μμμμ:H

iguais são aispopulacion médias as todasNem:1H


Hipótese: ANOVA de fator

único

Todas as médias são iguais:

A hipótese nula é verdadeira

(Não há efeito do grupo)

c3210 μμμμ:H

iguais são μ todasNem:H j1

321 μμμ


Hipótese: ANOVA de fator

único

Pelo menos uma média é diferente:

A hipótese nula NÃO é verdadeira

(há efeito de tratamento)

c3210 μμμμ:H

321 μμμ 321 μμμ

or

iguais são μ todasNem:H j1


Dividindo a Variação

A variação total pode ser dividida em duas partes:

STQ = Soma total dos quadrados

(Variação Total)

SQE = Soma dos quadrados entre grupos

(Variação entre grupos)

SQD = Soma dos quadrados dentro dos grupos

(Variação dentro dos grupos)

STQ = SQE + SQD



Variação Total = mede a dispersão de cada dado individual em

torno da grande média. A grande média é a média aritmética de

todos os valores em todos os grupos combinados. (STQ)

Variação dentro dos grupos = dispersão existente dentro de cada

grupo. Baseada nas diferença entre cada observação e a média

do seu grupo. (SQD)

Variação entre grupos = mede a dispersão entre os grupos.

Baseada nas diferenças entre as médias de cada grupo e a

grande média. (SQE)

STQ = SQE + SQD



Variação entre

grupos (SQE)

Variação dentro dos grupos

(SQD)

Variação Total (STQ)

= +


Tabela ANOVA de um fator

Fonte da

Variação

g.l. Soma dos

Quadrados

Média dos

Quadrados

(Variância)

F

Entre

Grupos

c-1 SQE MQE

Dentro dos

Grupos

n-c SQD MQD

Total n-1 STQ = SQE

+ SQD

c = número de grupos

n = soma dos tamanhos de amostra de todos os grupos

gl = graus de liberdade

MQD

MQEF


A soma total dos quadrados

c

j

n

i

ij

j

XXSTQ1 1

2)(

Where:

STQ = Soma total dos quadrados


nj = número de valores no grupo j

Xij = iésimo valor do grupo j

X = grande média (média de todos os valores)

STQ = SQE + SQD


A soma total dos quadrados

22

12

2

11 )(...)()( XXXXXXSTQ nc

c

j

n

i

ij

j

XXSTQ1 1

2)(



Onde:

SQD = Soma dos quadrados dentro dos grupos


nj = número de valores no grupo j

Xj = média aritmética da amostra do grupo j

Xij = iésimo valor no grupo j

2

11

)(j

j

XXSQD ij

n

i

c

j

STQ = SQE + SQD



22

21

2

11 )(...)()(11 c

XXXXXXSQD nc

2

11

)( jij

n

i

c

j

XXSQDj

j


Variação entre grupos

Onde:

SQE = Soma dos quadrados entre grupos


nj = número de observações no grupo j

Xj = média aritmética da amostra do grupo j

X = grande média (média de todos os valores)

2

1

)( XXnSQEj

c

j

j

STQ = SQE + SQD


Variação entre grupos

2j

c

1j

j )XX(nSQE

2cc

222

211 )XX(n...)XX(n)XX(nSQE

µ1 µ2 µc


Médias dos Quadrados

cn

SQDMQD

1

c

SQEMQE

1

n

STQMTQ

Média dos quadrados entre grupos

Média dos quadrados dentro dos

grupos

Média total dos quadrados


Tabela ANOVA de um fator

Fonte da

Variação

g.l. Soma dos

Quadrados

Média dos

Quadrados

(Variância)

F

Entre

Grupos

c-1 SQE MQE

Dentro dos

Grupos

n-c SQD MQD

Total n-1 STQ = SQE

+ SQD


n = soma dos tamanhos de amostra de todos os grupos

gl = graus de liberdade

MQD

MQEF


ANOVA de um fator

Teste Estatístico

Estatística de teste:

MQE média dos quadrados entre grupos

MQD média dos quadrados dentro dos grupos

Graus de liberdade

gl1 = c – 1 (c = numero de grupos)

gl2 = n – c (n = soma de todos os tamanhos de amostras)

MQD

MQEF

H0: μ1= μ2 = … = μc

H1: Pelo menos duas populações têm médias diferentes


ANOVA de um fator

Teste Estatístico A estatística F é a razão entre as variações entre e dentro

dos grupos

A razão será sempre positiva

gl1 = c -1 será em geral pequeno

gl2 = n - c será em geral grande

Decisão:

Rejeita H0 se F > FS, senão não rejeita H0

0

= .05

Rejeita H0Nãorejeita H0 FS


ANOVA de um fator

Exemplo

Clube 1 Clube 2 Clube 3

254 234 200

263 218 222

241 235 197

237 227 206

251 216 204

Você quer verificar se três

diferentes clubes de golfe têm

circuitos com diferentes

distâncias. Você aleatoriamente

escolhe cinco medidas de

jogadas em carrinhos

automatizados para cada clube.

A um nível de significância de

5%, há diferenças entre as

distâncias?


ANOVA de um fator

Exemplo

227.0 x

205.8 x 226.0x 249.2x 321

••••

•

270

260

250

240

230

220

210

200

190

••

•••

•••••

Distância

1X

2X

3X

X

Clube1 2 3

Clube 1 Clube 2 Clube 3

254 234 200

263 218 222

241 235 197

237 227 206

251 216 204


ANOVA de um fator

Exemplo

X1 = 249.2

X2 = 226.0

X3 = 205.8

X = 227.0

n1 = 5

n2 = 5

n3 = 5

n = 15

c = 3

SQE = 5 (249.2 – 227)2 + 5 (226 – 227)2 + 5 (205.8 – 227)2 = 4716.4

SQD = (254 – 249.2)2 + (263 – 249.2)2 +…+ (204 – 205.8)2 = 1119.6


ANOVA de um fator

Exemplo

MQE = 4716.4 / (3-1) = 2358.2

MQD = 1119.6 / (15-3) = 93.325.275

93.3

2358.2F

F = 25.2750

= .05

FS = 3.89

Rejeita H0Não

rejeita H0

Valor

Crítico:

FS = 3.89


ANOVA de um fator

Exemplo

H0: μ1 = μ2 = μ3

H1: μj não são todas iguais

= .05

gl1= 2 gl2 = 12

Decisão:

Rejeita H0 a α = 0.05

Conclusão: Há evidências

de que pelo menos uma μj

seja diferente das demais.


ANOVA de um fator no Excel

EXCEL: Selecione: Ferramentas => Análise de dados => ANOVA: fator único

Anova: fator único

RESUMO

Grupo Contagem Soma Média Variância

Clube 1 5 1246 249,2 108,2

Clube 2 5 1130 226 77,5

Clube 3 5 1029 205,8 94,2

ANOVA

Fonte da variação SQ gl MQ F valor-P F crítico

Entre grupos 4716,4 2 2358,2 25,27545552 4,98524E-05 3,885290312

Dentro dos grupos 1119,6 12 93,3

Total 5836 14


O Procedimento de Tukey-

Kramer

Mostra que população tem média significativamente diferente

ex.: μ1 = μ2 ≠ μ3

Feito após a rejeição da hipótese de igualdade de médias através da ANOVA

Permite múltiplas comparações

Compara diferenças em valor absoluto com intervalo crítico

xμ1 = μ 2

μ3


Intervalo Críticio para o

Procedimento deTukey-Kramer

Onde:

QS = Valor crítico da cauda superior, a partir da distribuição

de intervalos de Student, com c g.l. no numerador e n - c g.l. no

denominador para determinado nível de (ver tabela E.9)

MQD = Média dos Quadrados dentro dos Grupos

nj e nj’ = Tamanho das amsotras para os grupos j e j’

j'j n

1

n

1

2

MQDCritico Intervalo SQ



Kramer1. Calcule as diferenças de médias

em valores absolutos:Clube 1 Clube 2 Clube 3

254 234 200

263 218 222

241 235 197

237 227 206

251 216 20420.2205.8226.0xx

43.4205.8249.2xx

23.2226.0249.2xx

32

31

21

2. Encontre QS na Tabela E.9 com c = 3 e (n – c) = (15 – 3) =

12 graus de liberdade para o nível desejado de ( = .05

neste exemplo):

3.77Q S



Kramer

5. Todos os valores absolutos das diferenças são maiores que o intervalo crítico. Portanto há uma diferença significativa entre cada par de médias a um nível de significância de 5%.

16.2855

1

5

1

2

93.33.77

n

1

n

1

2

MQDQI

j'j

S

Críticontervalo

3. Calcule o intervalo crítico:

20.2xx43.4xx23.2xx 323121 4. Compare:


Premissas ANOVA

Aleatoriedade e Independência Selecione amostras aleatórias a partir das c populações ou

designe aleatoriamente os itens aos c níveis do fator

Normalidade As amostras são extraídas de populações distribuídas nos

moldes da distribuição normal

Se violado, use teste não-paramétrico de Kruskal Wallis (Capítulo 12)

Homogeneidade das Variancias O teste F é pouco afetado se as amostras são de mesmo

tamanho, se os tamanhos forem diferentes o teste é prejudicado

Essa premissa pode ser verificada pelo Teste de Levene


Premissas ANOVA

Teste de Levene

Testa a premissa de homogeneidade de variâncias.

Primeiro, defina as hipóteses nula e alternativa:

H0: σ2

1 = σ22 = …=σ2

c

H1: Nem todas as σ2j são iguais

Segundo, calcule os valores absolutos das diferenças

entre cada um dos valores e a mediana de seu grupo.

Terceiro, faça um teste ANOVA de um fator para

esses valores absolutos de diferenças.


ANOVA de dois fatores

Examina os efeitos de:

Dois fatores de interesse na variável dependente

ex., efeito de diferentes lançadores e combustíveis no alcance de mísseis

Interação entre os diferentes níveis desses dois fatores

ex., é possível que determinado lançador tenha desempenho melhor com determinado tipo de combustível?



Premissas

Populações são normalmente distribuídas

Populações têm iguais variâncias

Amostras independentes extraídas de forma aleatória



Fontes de Variação

Dois fatores de interesse: A e B

r = número de níveis do fator A

c = número de níveis do fator B

n’ = número de réplicas (valores) em cada célula

n = número de valores em todo o experimento (n = rcn’)

Xijk = valor da k-ésima observação para o nível i do fator A e o nível j do fator B



Fontes de Variação

STQ

Variação Total

SQAVariação do Fator A

SQBVariação do Fator B

SQABVariação decorrente da

interação entre A e B

SQRVariação Aleatória (Erro)

Graus de

liberdade:

r – 1

c – 1

(r – 1)(c – 1)

rc(n’ – 1)

n - 1

STQ = SQA + SQB + SQAB + SQR



Equações

r

i

c

j

n

k

ijk XXSTQ1 1 1

2)(

2

1

.. )( XXncSQAr

i

i

2

1

.. )( XXnrSQBc

j

j

Variação Total:

Variação do fator A:

Variação do fator B:



Equações

2

1 1

..... )( XXXXnSQABr

i

c

j

jiij

r

i

c

j

n

k

ijijk XXSQR1 1 1

2.)(

Variação decorrente da interação:

Soma dos quadrados do Erros:



Equações

Media Grande1 1 1

nrc

X

X

r

i

c

j

n

k

ijk

r) ..., 2, 1, (iA fator do nível i do Media ésimo1 1..

nc

X

X

c

j

n

k

ijk

i



n/ = número de replicações em cada célula



Equações

ij celula da Median

XX

n

1k

ijkij.

c) ..., 2, 1, (j Bfator do nível j do Medianr

X

X ésimo

r

1i

n

1k

ijk

.j.



n/ = número de replicações em cada célula



Equações

1Afator do quadrados dos Media

r

SQAMQA

1Bfator do quadrados dos Media

c

SQBMQB

)1)(1(interação da quadrados dos Media

cr

SQABMQAB

)1'(erros dos quadrados dos Media

nrc

SQRMQR


ANOVA de dois fatores:

O teste da Estatística F

Teste F para o efeito do fator B:

Teste F para o efeito da interação:

H0: μ1.. = μ2.. = • • • = μr..

H1: Nem todas μi.. são

iguais

H0: a interação entre A e B é igual a

zero

H1: interacão entre A e B não é zero

Teste F para o efeito do fator A:

H0: μ.1. = μ.2. = • • • = μ.c.

H1: Nem todas μ.j. são

iguais

Rejeita H0

se F > FSMQR

MQAF

MQR

MQBF

MQR

MQABF

Rejeita H0

se F > FS

Rejeita H0

se F > FS



Tabela Resumo

Fonte de

Variação

Graus de

liberdade

Soma dos

Quadrados

Média dos

Quadrados

(Variância0

F

Fator A r – 1 SQAMQA

= SQA/(r – 1)

MQA/

MQR

Fator B c – 1 SQBMQB

= SQB /(c – 1)

MQB/

MQR

AB

(Interação)(r – 1)(c – 1) SQAB

MQAB

= SQAB / (r – 1)(c –

1)

MQAB/

MQR

Erro rc(n’ – 1) SQRMQE

= SQE/rc(n’ – 1)

Total n – 1 STQ



Características

Graus de liberdade podem ser somados

n-1 = rc(n/-1) + (r-1) + (c-1) + (r-1)(c-1)

Total = erro + fator A + fator B + interação

O denominador do teste F é sempre o mesmo mas o

numerador é diferente

A soma dos quadrados também totalizam STQ

STQ = SQR + SQA + SQB + SQAB

Total = erro + fator A + fator B + interação



Interação

Sem efeito de interação:

Fator B Nível 1

Fator B Nível 3

Fator B Nível 2

Fator A Níveis

Fator B Nível 1

Fator B Nível 3

Fator B Nível 2

Fator A Níveis

Média

R

esposta

s

Média

Resposta

s

Efeito interação presente:


Resumo do Capítulo

Descrição da análise de variância de um fator

A lógica da ANOVA

Premissas da ANOVA

Teste F para a diferença nas c médias

O Procedimento de Tukey-Kramer para comparações

múltiplas

Descrição da análise de variância de dois fatores

Exame dos efeitos de múltiplos fatores

Exame dos efeitos de interação ente fatores

Neste capítulo, nós vimos:

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