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pedrojesusmunozchavez
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8/20/2019 CAPITULO 12 - Numeros Reales
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_ _ __ _ __ _ , __ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ _ __ _ _ __ __ _ _ __ _ __ __ __ _ __ __ __ __ __ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ __ _ _ _ __ __ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ __ ,_ __ _ _ _ _ __ _ ,_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ , _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ __ __ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ _ __ __ __ _ _ _ _ _ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ __ _ _ _ _
8 1 1 - 1 832)
msprecoz. fuegreto ala0 , y expuIsado de1 porluchalibrada por losquia. Muriduelosinr asuChevalier quecientí_co,sideassobre1araicas, i deas
ebra__,__ni,gni f_cat ivo al _,__ _ _,'?_?' ', __x_ n _ , _;_,degrupos. ,: _._____._,_____,_ _ ___ ' _?_ _, __?_ ' _, ____ ' _c,
brelaresolucin _̂ _,; __ , __ _'_ ̂__', _, _
emticasm sì _ ' '_, t "_q ___Desgraciadament e, "._ _,_ _,., _ _ _,
y, el principal _,, _,,__'_ c _ __ ,_ _ _ _,_ahaya_'_' x0 _ _v__ _'_ ' ,__ _____,_: ;', _?,,JOa 1aACademla _ _._'j____;x_.___ _\̂ 'J- _n,_/__'_,a_?? __
maxemtico de, '' '- _'__s_ , ,_ ' _- _?_ ; _; ;_ _n_", _,,. _-e1 trabajo ' _'_ __n _ _ _
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_ _ _ _ _ _ _ _
J_Jr_riz'o _n1__ de._jJ7ji' eI J7aíJJ7eJ-o J__nl n pnJtiI' de_U__J,__JJ.
IdlIJ_rl e1l _ si_?' sóIo ._-i sez'eJ_i_ic'n.+ t
C'oJfnd7IJ-n cJJ_ esJl Jln _nJ1,7pJ_opio .?' JJoz_nc'ín dc_nJ_cc'e de1Jl,_niJJJo.
c-n/-n_'rcJ-j.__n JiJInpn71icióJ7 e7JJ_ _l_edeJJorn1JJos_o/'
__- C,
__sll 1I CoJ1nrlor.- _ = ( x' __ _/ vin < J/J)
,sd,c,_,_ ,,I J.1_,JJ,J_ ,/çJJ,,,J,fo d_J,.oJ7 _,
Jrc-_7sro_o cJe JJJe97ro de_l es1JIcJJoJ' _lIetorIo cIeJJleJ1Jro
_' F_,_, eJIroJ7c'espoJ- ln c_o1Idic-ióJJ(IJJ dc/n rIeJi,Jic'ió_Jio nIn /J7pótr7sis.
_J7 i97n Il JIn _;o/1nrIJIJ-n eJF _ _c/ïJJidn poJ'
/-n J-nc_ioJJr_/ de Ir_ _;o1_ndJ_1_n .?' ._eirIcJJ(!_Jic'n _-o/I eI JJJí'1JiJJJo
I l i_lt__JI(rJr/i12
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_____________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ________ __ ____________________ ___ __________________________________________________________________________ _______________ ___ ________ __________ ______________________________________________________________________________ _________________ ____________ _________________________________ ________ ___ ___________________ ___ _______________________________________________________________________
__''''''_''x'n_',','__, '_''' '''''
..':.';';'m"'' '''..__' ,,,_':' ' '' _
c_asesden_mero5-, ̂ ^' '' ' __uido estec0njunto .nwn__c0. ,__egoría' d, ecamponumé_ca. ' '__llo_ cam' po), , __,_0_ l0saxi0ma,,s_delosnijmerosreal_es. _ ___
reglas, podíamos mover un peón 4 espacioso unade lasmos trabajar con losnúmerossin conocer lasreglasque
acionesteóricasy pr_cticas. Por citar el casodonde lahamenteyaquesehadescubierto queexisteunarelaciónunaliray lasrazonesentrelaslongitudesde lascuerdas
amosal decir queel mundo estágobernado _or los
mportante_ incluso marcahitosen lahistoria, así:erizaalasociedad pn_iivay esacondicionadopara
prác_casdel hombre.iospositivosfueacondicionado alanecesidaddeefectuar
osFueprovocado por el desarrollo del álgebraen laVll).rrollado unateoja_gurosadelosnúmeros realesen lostrabajoss.
sido creadospor extensión debido alasnecesidadesoncretosde lavidacotidiana.
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__ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ _ _
a_ _ __nabC-- ma
Y) ' - _9_' _9go
allela Fracción equivalentea
S
428sj _ l42857 - O!g - 7
a
ner parteas
SUo_inomiosde coeF_c__entesenteros.
oef_cient
itosnoperiódicosperiódicosdicos
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_ __ _
a_
ansitiva : si un número na_ral esmosquei_ual aun Se_undo y estesegundo esiguaI a,Un tefCefO, entOnCeS el _fimeFOeS i_Ual aleCCeFO.
mbóli carnente:v ab c, N. a__ b,_ b __ c_ a __
eración binaria. -- Llamadatambién leydedaen un conjunto noenciatosde
ncaqueanico
a_ao ley deto Ano
deAxA
umna
a(g, b) c
elosLacorrespondenciabiunívocaladenotaremosepor _, entonces_ esunaoperación binariaenAa_: Ax A _ A, esdecir a_A._ b_.'A_ a__b? A
:es l. Laadición usual en Z esunaoperaciónodo par de
osenteroses atroentero:
Lasust racc_No_n e, _n, esunao perac__o_sto que_ ' d__ferencl_o
7= -.3 __ N
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_ _ _ _ _ . _
ón Resoluct6n:mosen lasiguientetabladedobleesen_rada;
A._
n.n,_o/
eraClOn lnarlaO
OideS lOS COn_UntOS _.Ón Ordinana, eS deCir,_ (R,+)elaUnaleYdeCOmPOSlClOn
El Par (Y, _)_ dOnde_ SedeFlneCOmO_m_ (a,b) _enelaeSt_CtUfade
daetabla:
sse
_ddd._,__.,_d__'___d_dd_''''_'''_______ddd''_B'^___'_'_'__''__'____d__'0___e___i_'___''__'___'__''''_____'''__'_'___'_____-__'_''____'''_'__._',,_'__._,.__,'_'_______d'_,,.Todao_ración binariacumplela ___,.n p m n__,__,,_,_,__,_,'^____,_'_ ley declausurao cerradura.'i'
..,,,..,......._.....,....,.............................,......,.....,_..,,....,.,...,..,.,,.,...,,,,..,,,,__'_,'_.P m n P
DefiniCiÓn (ley aSOCiatiVa) '--naria___ esasociativaen A. s.i (a_b)x_c-- a__(b_c) Ya, b, ce A
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_ _ __ _ _ _
eales
Veamosa_b = a+ b = b + a_ b_an ___'0'
_atativaen_
sego diremosque_ es
no vacjo Ay unaoperacióntidado laoperación _ si y sólo si
es._dent._dad auea+o__2 En (NJel nu,s' _.de,t_.d_d puesto quea___ _a__
grupooerac_,o/n__eF_n__
_ ab c
+b+ I
a. CCa b
naFiaa_C= C = C_ao si dedondeseconcluyequeaesel elemer_to
On_Unto AConlaoperación _.
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__ _ _ _ ._ _ _. _ _ ,
ónl. la adicjón y lamul_iplicación en _sonpe,ac_onesb_na_asy _a segundaes
_butl.vacon,especEo a_apF.l
ivaa
qUeque(a.b)n=a''.bn
/ On
o ematema,t._cass._mblte/, en ot,ascl_enc_,ascomo en _ar_/s_l
radoaimpon;endo cond_cionesa_,sest_ctu,,sde
juntolOy X_ Una
G_ XcJsellamagrupo s;1 sólo si _ esunaoperación binat'i,aa?ociati_'_.emento de_
mbólicamente:A(G, X_) eS Un__ßOSi ySÓlOSi SeVenrlCanlO_
si aXlOmaS 'GJ__:GxG_GG__ x_ esasaciativo, esdecir, (a_b)__c= aX_(b_,c,. __ a,b1 c_ !_
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_______ _____________________________ _ _ _ _ ____ ___ ____ _
dad 6. Sea(a, __) un grupo _ a,b eGprobar laciay unicidad dexeGtal quexxcab
StfaClÓn:
etal x
ex esúni
mosquex, y .x,, ve__jcan lacio/n.x,_a= b = x,_a_ x,_a _ x,4a
_e= X2X_e' X_ = X_.
trar que(a_b)'--b'_a' Yab _ Gi
(P_rael lector)
e con Der_nición (grupo abeliana)Si en el grupo (G, _Jsecumplequea_.,b = bx_aivo Ya,b?_ G, sedjcequeel g_po es abelianoo
co. ___^''_,,^'oo,__0__,___,__0_i__,_~_,_,_______0_,___~_D_,______,,___,_%__,_,,,_,___'_,_,_,'_,___,_'_0,,D, El tefmlnOde_rUßOabellanOSe__^^'_,^^oo_'_'__i_^'^__'_^''___,',___0,__,^__o_,0__,__,__,,,_,,debeen honor al ce_lebre'__,,^'_,^^o,o ''_,'__;'_''_i:'_,___'''_,'__,_'_,_.,,. . __ '_' '__,''''_,_''_,: matemático no_ego NielsHenrik _-__adosacerca____._
or la_.,0_bilidad de resotvef tas__m____o'_cinco por __'___,_o__'_,
entes. ___.,_,,0
e:a, a'' = a4a__a_... 4_a"n'' veCes.
uesi a_b 2 _ a2 2ano.
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_ _ __ _ _ _ _ _ _ _ ,_ _ _ _ _ _ _ _ _ __ __ _ __ _ _ _
deA = {a, b, c, d } y la
ab cd
4) esun g_po abel iano.sun
a, b, c)oessu bg_po de( A, x_) y a
__H/', beH
n g_po
a) Asociatividad garant izadapues H__ _ento neutro:a4a' f H_ ec_H
Cl C l O,e, e,_H,,, a,_Ht e_a_ ,_ Ht a_ ,__ H
de aeH_ b' _H_ a4 (b' J' eH _ a_ b eHsólo si (Demuestreque( b J' = b)
_ , 4) y (H_, 4) son subg_posde( G,_)_POdemostrar que(H_ _ H,,x_) esun subgrupo de
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_
re4les
n _ y iRlosconjuntosy +,. lasleyes dena, lenemosque: f(x) = a"
H2 con a>O n af l).
mOmOnlsmOdeZ y TR
mOmO_lSm0de _ y _'
F es
_l. f esepimor F_smo si y sólo si f essuyectivo.yectivoun automor Flsmo si y sólo si A= A'
eyes
tal queh(x) = - 7xh(a+b) = -7(a+b) = -7a+ - 7b h(a}+h(b)h(x) esun automorf_smo eisomof Fjsmo.
momo,F_smo dmef el neutro del segundo grupo.
el)
x
4, e,ncelación f(e) = e'
omor Flsmo degrupos,
esdec;, F(x_) -_ (F(xJ)_, dondex_ ese_
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_ __ _
n_lo:exisleun elemento l _Atal que
ces(A, +, .)anillo con elemento identidad. Si a.b = b.a_ a, b f A, entonces (a_+_.)
es:
_b,A
6n
Y t _ ,.o +a.o __ _ ,.o +a.o + a.o
ano
O
ntesO
ién_= (a+ (_a) ). b Oa).b=O__(ab)+ab+(-a)(b)=-' (ab )+O
)b _- (ab)
o _(a+ (_a))(b+ (_b)) _ oibutividad
xiste
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__ _ _ _ _ _ _ _ _
rea_
lo Lascondicionesl, ll y Ill setraducen en losquesiguientes_iomas:leyessy a. b , s
sa.b = b.a
nillo deC3: Lasoperaciones+ y. son asociatjvas,espo,_diiA_ ,+) decir:a+(b+c) (a+b)+cy a(bc) = (ab)clOde(A,+t.) c4 .. _ec_ st a+ o __ a__o+a,es decir oeselAy e_emento __de/ nt__co baJNo laoperac__o_
mento itiplosdeadenotado por:lo (-a) / a+ (-a) O = (-a)+aepto el ceroxisteun inverso bajo laoperación. , es
ulivarespecto ala
nulosl. Lastemas(_ , +, .) y (_, + , .) son cuemos.Todo
CU'mO. 2. Latema(z, + t .Jno esun cuemo, pueslososqueadmjlenun inverso rnultiplicativo son - l y l.
3. El anillo _ detodoslos númerosfealesesunasg propiedadadede campo.
;.) esun campo _rquealas8propiedadesdecampo, _ eselalaconjunto delosnúmeros complejosO=(O;OJ
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_ . __ __ _ , . _. _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ . _ _ _ _ ., _, _ __ _ _ , _ ._ ' _ __ .__ _ . _ _ _ _ ___ _________
R_oRD_.OY''_.,,_OmRlm 'v ...' '.S_aCeh_3 : Ley 8SOCi8tt_&'. PafatOd0a, b1C _ _:ultiplicaci6n detresmásnúmerosrealespfoduceel mismoS pOr resultado, sean ag_padosde cualqujef iÓn demanera.
S dOS __.. _;,tenc;gyun;,;d8ddele_ementoneut,oCl n mul_pI_ca_vo: _jsteun elemento en_ y
mentesolo uno, denotado por cc l tl djstinto de cero.det,l uear, todo af _. al __ l ., __ aa. ' . . ' .e' ' . . .v. aae ex. te' U^ m O
+b)
RParatOdo a. b, cen i _:a. (b+c) = ab + ac). c_ ac+ bcién esu_.
, a,, uel,te,n, _.+. ,eaunt_cue,ado com _eto,, t.lene_es,tl.sface, ___
OS _ . .o
de lassiguientesproposiciones:M, ll.-xeM, ITI. O_ M, escie_aajo ._,-
' . _. . -:
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_ _ __ _ _ _ _
,ea_e,
ostr8ctón:osO+ O = Oneutro aditivox
M, x.O+ x.O= x.Opropiedad distributivanosx.O+ x.O= x.O+ Oneutro aditivopor Io . x o _ o _edecancelac.l
ado.
ntOdelosuna
e_Uraf . , . , . .cia_ass__gu__entes_rop__edades.
puntos
_asII. Si aRbt a t bIII. Si a, b, c,eA, aRb r\ bRc_ aRc
ráunes < (menor que) setendr_:
oncesaysolamenteuna delas
f bR, se
on-
lementosentoncesAtieneunximo y uno mínimo. Perotambiénsnnl,
mplos:unto el elementol Oy el mínimo es - 3.
otiene_nimo que
enl_ max/ l_mon_l
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__ , _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ . _ __ _ _ _ _ _ _ __._ _ _ _
tadoscRSean _el conjunto delosnúmerosrealesy LcR.onjunto L está acotado si existeun nu/meroiR,talqueparatodox__; -c__x__ c,esdecirmayOf Oel conjunto L esacotado si esacotado su_eFior e
o_ente.
'___ ,_ _ '_'___' . / ___oS_,___, "_ ._,_'__ e_OUC_0lI_____?__,_____,__'_',___' ,, ,!__v!n' ;_,C
fmentees. El
<__ 5) y_5)junto es
IRacotado5ecc_or decot e.
_ acotada__ esodas
E_em_lO_
net end r a/
c _, _ _ _l , _-_ _-_ ... ,. - _ inF.A= - I
xisje__.ual _ l
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_ _ _ ___ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ __ _ _ __ _ __ _ ___ _ _
Sea: b = e donde"e'' esel elemento neutro
problemaN^ 2 demostrar _uee l elemento
' + e' = O(del prob. anterior)
quepro__gmg _n A__ ( _, 2, 3, 4) sedeF,neun, ope,,c_,o/n x,.
uyosvaloresestán dadospor latabladedo_le
ar quea
va_ _ Lao e,ac._o/ n x, esconmutat_.
e_Ún: 444__ _
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_ __ __ _ _ _ _ _ __ _ _ _ __ __ _ _ __ __ _ _ __ _ _ __ _ __ __ _ __ __ _ _ __ __ __ _ __ _ ,_ _ _ _ _ __ __ __ _ _ _ __ _ __ _ __ _ _ __ _ __ __ _ _ _ _ _ __ _ __ __ __ __ _ _ _ __ _ _ __ _ __ __ __ _ __ __ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _
reales
nelaoperación 4 por: Va, b _- R_
de PrOal_m8 9aturalesampliados) sederlne
lassiguientespreguntas:álaOPeraClÓn'_tO_lmentederlnidaenNoaoperación !_'_ asociativa
nidaenNo1 Si:
OSl'me/ trl'COS ._.lao eración ;,; no est_ totalmentederlnida.
n ;__ esasociativasj_.No, (a!__b)í:_,c= a__(_! ;'c)
o,n n
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_ __ _ _ _ __ _ _ __ _ _ ,
ciatividad sep_ebadelV)
O) para+ y
Si en losnúmerosnaturalesden_nimoslaac_.o,n _ med._antem_n _
Nm _ n
:__ (faISO)P) > (m_P)las_ _+ _ >_ _
m ' _ ' P '-
On j 2
= _m2 _ n_ -2mn _ mn
)_+ _m _+p J_
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_ _ _ _ __ _ _ _ _ _ __ _ ___ _ __ _ ________ _ _ ___ _ __ _ _ _ __ __ _
ma*.
ß Jelemento inversomultiplicativo
s e_emento neutroa
Oadit.) .N. (_) l = x l y l ley decan_e_ación
straF -X, -Y_ si __ o
ón:
sistamb._e_n al a__ _ dedondesetend,a/ a
Oen (l):ón
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_ _ __ _ _ _ _ _
ea_
_) es un g_poemas(C, .) no es un g_po, porquenoexisteel
operaciones
po?t ab u _ a, e s.
despara
ßeCtOaeStaS OperaClOne5
_cerT.andrán que_'enF1cerseio_-
__ xy i TT_ T _ _: T XT _ T
mutat__v_.dad po, s__metr1_
especto aladjagonal princjpal dondeelasoperacioneseS deCir Si XYF T_ y+x _ x.y = y_l c. . .d d . _.
Oel COn}UntOT liene2 elementOS,número decasos_uetieneba
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_ __ ___ _ _ __ ____ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
"_b_ X' RYSi a'O, entOnCeS
ción:
cual prODl_m_ 21bparacada número real x, demostraf
do?
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_ _ _ _ _ __ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _
= O
efso ad;t;,, deo__1._ __ _l _ _ __ __
3XleT/x,___xlx__ ___ _ _x 1 __ _
ademostrado quelaterna(T, +_ .) es
bf]_:a(-b) = _.(ab) = (-a)b
:delprob. lI)deZ dela" (a(- l)b) (MJ)
OneS de_ (_ _)(ab) (m m J
_a)b = (- I )(ab).............. (prob. l I)................ (II)
b) = -(ab) = ( a)b
(-a)(-b)=a.b
)aJ(- b)...... (prob. I l.. _ _ _ _ _ __ (M_J_ M3)
= ab
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_ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ____ _ __ ___
eA, si _roDl8mg 25en lasgujentes, respecto aun número
Ano es
de exponented y ,, e, el di FerentedeceroJ esracional-ajO__
ónen t On ' ' ' U
os__ Todaote c.,adex _.,ac_. na_ no s._uee. .rlrlCan lOS EjeInplo: ( _) ' = 8 ca
d) lII. Algunaspotenciasdex irracional esracionalpecto Ejemplo: ( _) 2 = 3 _iera,f_rmación carrecta.
trar Dadaslasar_rmaciones, indicar el valor deerdad.( _
,ac__ .,_re_ .,ex,_stea_xistef"
existe_eroO''noexiste
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_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
reai
ean ay b dos númerosrealestalesqueelego analizar lasional. Sl_UlenteS ßrOßOSIClOneS:queel l, Si aeS i_aCiOnal, entOnCeS b debeSer
I. Si aesracional, entoncesb debeser
no Reso_ucl,o/ n,
'J_'.
ent
ab e_' _a_;- g_ , entoncesb r__ _ v b c__
F
: Sea' Z__ -- (Otlt2'3,4} der'n!mO' l"'d'C'6n Y l"
istema:' ' ' ' ' ' ' ' (!!,
x -_ 2 t _, -_ _
o_s,_J_c,'ó,J._ 2. q = 3en _,c
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__ _ _ _ _ _ _ _ __
e4. Sede rlneunaope ración _ en el conjuntoralesde modo mue
Tndicar el valor devefdad en lassiguienteses:
o araestao er,cl.o/n ';;.,_
S obre_ - ( _ l ) sedeF inel aoperación
+b+ab.
siguientespFoposicjones:
ble1 T. El ,, _g. _ e, un _o conmut,t;,o
eal r es_
B) V_ C) FVVVFF E) FFV
_J, _) y laley de) ,ección) están dados_or lastablas
E _ _ _
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_ _ __ _ _ . _ _ . _ _ _ _ _ _ ,_ _ _ _ _ _ __ __ _ ___ __ _ __ __ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ ____ _ _ __ _ _ _ _ _ __ ____ _ _rea_esEstablecer el valor deverdad:_ un carnpo ordenado.
B _ cvFF
Establecer el valor dever dad de lasones:
conjunto_.
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_ __ _ _ _ __ _
m _ n= residuo dedi_dir (m+n) entreg
# (5_7)
acionesdef_nid,spo,;
cda aaa
_J(1+_+b2_a)+a_Jb+l+b'N)
n _ definimoslassiguienteS opefaciones
_ _x _9; y#y=2 I_+20
) 25 C) 26
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_, B) a_ C) a3l D) a_ E) ao
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son 29. Si deFlnimosen & laoperación xcdeF_nidaor:a;b}
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4cll. (x _ 4) _ 2 _ x= lx,N___ 2___x___ ,/ x___,
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steoremas.= b+c
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Il_ Si a_- R_ (- l )a _a)=b
b númerosnaturales, si sedefine
- b_a
a+2b)''
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eales
. ConsideremoslasratacionesdeunáteFo ABCalfededor desu
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nDemostrar si esteproceso con laoperacjón
neoperac_lo/n b__na,__
_+_' . . /
. iAdmiteelemenlo neutro?, jcuál es?
_v _.Todoelemento deA t_.enes._me/t,._
pUeStaativas.
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