Ciudad Universitaria, 12 de Noviembre del 2012

“Año del Centenario de Machu Picchu para el Mundo”

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYORDE SAN MARCOS

(Universidad del Perú, Decana de América)

Tema:CAPÍTULO N°10 FUERZAS

INTERNAS

FE DE ERRATAS

Curso : Estática

Profesor : Dr. Gerardo Mendoza Delgadillo

Alumno : Romero Esteban Kenny

Código : 11160080

10.5 CABLES

Cable: Cualquier miembro flexible a tensión que consiste en uno o más grupos de alambres, torones, cordeles o barras.

(Fig. 10.31)

Los cables y las cadenas flexibles a menudo son usadas en estructuras ingenieriles para soportar y transmitir cargas de un miembro a otro. Cuando se utiliza para soportar puentes colgantes y ruedas de tranvía, los cables constituyen el elemento principal de carga de la estructura. En el análisis de fuerzas de tales sistemas, el peso del cable puede ser ignorado por ser a menudo pequeño comparado con la carga que lleva. Por otra parte cuando los cables se usan como líneas de transmisión y retenidas para antenas de radio y grúas, es peso del cable puede llegar y ser importante y debe ser incluido en el análisis estructural.

En el análisis que se presenta enseguida serán considerados tres casos:

A) Un cable sometido a cargas concentradas.B) Un cable sometido a una carga distribuida.C) Un cable sometido a su propio peso.

Independientemente de que condiciones de carga estén presentes, siempre que la carga sea coplanar con el cable, los requisitos son formulados de manera idéntica.

Al derivar las relaciones necesarias entre la fuerza en el cable y su pendiente, formularemos la hipótesis de que el cable es perfectamente flexible e inextensible.

A) UN CABLE SOMETIDO A CARGAS CONCENTRADAS.

Cuando un cable de peso insignificante soporta varias cargas concentradas, toma la forma de varios segmentos de línea recta, cada uno de los cuales esta sometido a una fuerza de tensión constante.

(Fig. 10.33)

- Para solución podemos escribir 2 ecuaciones de equilibrio de fuerza en cada uno de los puntos A, B, C, D Y E.

- Para completar la solución, será necesario saber algo sobre la geometría del cable por ejemplo la longitud de la cuerda L.

EJEMPLO 10.12

Determine la tensión en cada segmento del cable y la longitud total del cable (Ignore el peso del cable).

(Fig. 10.31)

Solución:

Ecuaciones de equilibrio

NUDO B:

NUDO C: Fig. 10.35(a)

GEOMETRÍA

Fig. 10.35 (b)

EJEMPLO10.13

Determine la tensión en cada segmento del cable y la longitud total del cable.

Solución:

DCL

(Fig. 10.36)

Ecuaciones de equilibrio

NUDO D:

NUDO C:

(a)

GEOMETRÍA

B) UN CABLE SOMETIDO A UNA CARGA DISTRIBUIDA.Considere el cable sin peso mostrado en la siguiente figura, el cual está sometida a una

función de carga medida en la dirección

(Fig. 10.38)

El diagrama de un cuerpo libre de un pequeño segmento del cable con una longitud se muestra en la figura. Como la fuerza de tensión cambia continuamente en el cable, tanto en magnitud como en dirección a lo largo de la longitud, este cambio es denotado en el diagrama de

cuerpo libre mediante La carga distribuida se representa mediante su fuerza resultante

actúa a una distancia fraccional del punto O, donde

Aplicando las ecuaciones de equilibrio resulta.

Dividiendo cada una de las ecuaciones entre y tomando el límite cuando por tanto,

obtenemos

Aplicando la definición de derivada

Para mayor entendimiento graficaremos la variación de la tensión horizontal que obtenemos a partir del D.C.L. esto es para la primera ecuación:

Entonces:

La misma idea será para la 2da y 3era ecuación, entonces aplicando la definición obtenemos:

………….. (1)

…….…… (2)

………….. (3)

Integrando la ecuación (1), tenemos

…………… (I)

Aquí representa la componente horizontal de la fuerza de tensión de cualquier punto a lo largo del cable.

Integrando la ecuación (2) resulta

………….. (II)

Dividiendo la ecuación (ii) entre la ecuación (I) se elimina T Luego, usando la ecuación (3), podemos obtener la pendiente

Efectuando una segunda integral resulta

Esta ecuación se usa para determinar la curva para le cable, La componente horizontal

de fuerza y dos constantes, digamos y , que resulta de la integración son determinadas aplicando la condición de frontera para el cable.

Problema 10.14

El cable de un puente colgante soporta a la superficie uniforme del camino que se localiza entre

las dos columnas A y B. Determine la máxima carga uniforme medidas en que el cable puede soportar si tiene capacidad para mantener una tensión máxima de 300 N para romperse.

Solución:

Por razones de simetría el origen de coordenadas a sido colocado en el centro del cable.

Observando que , tenemos

De la fórmula:

Operando:

Cálculo de las contantes:

Aplicando las condiciones de frontera en y

Cálculo de

Aplicando las condiciones de frontera en

De la fórmula

De la fórmula

Remplazando obtenemos:

C) UN CABLE SOMETIDO A SU PROPIO PESO

Cuando el peso del cable es importante en el análisis de fuerzas, la función de carga a lo largo del cable se vuelve una función de loa longitud de arco en vez de la longitud proyectada una

función de carga generalizada actuando a lo largo del cable se muestra en la siguiente figura.

(Fig. 10.41)

Aplicando las ecuaciones de equilibrio al sistema de fuerzas presentado en este diagrama, se obtienen relaciones idénticas a las dadas por las ecuaciones (1), (2) y (3) del tema anterior, pero

con remplazando a Por tanto, puede mostrarse que:

……………*

……………*

Como

Entonces, ………………….. (a)

Entonces remplazando ** en (a) obtenemos:

Separando las variables e integrando resulta

Las dos constantes de integración, digamos y , se encuentran al aplicar las condición de frontera del cable.

APLICACIÓN

Determinar la curva de flexión, la longitud y la tensión máxima en el cable uniforme mostrado en

la figura. El cable pesa

(Fig. 10.42)

Solución:

Por razones de simetría, el origen de coordenadas se ha localizado en el centro del cable.

La curva de deflexión es expresada como

Aplicando la ecuación: donde

Sustituyendo de manera que remplazando se tiene:

Remplazando

……….. (1)

Evaluando las constantes:

Del desarrollo de la ecuación (3) del teorema anterior se tiene: D.C.L.

Como en entonces Así;

………(2)

La constante puede ser evaluada usando la condición

en en la ecuación (1)

(Fig. 10.43)

Para obtener la curva de deflexión, despejemos en la ecuación (1) lo que resulta:

………. (3)

Sustituyendo en la ecuación (2)

Integrando se tiene ……...(4)

Se aplica la condición de frontera en

La curva de deflexión resulta ser

ó

Esta condición define la forma de una curva catenaria

Cálculo de la constante usando la condición de frontera en

………….](5)

Como y Las ecuaciones (4) y (5) toman la forma:

Recordando:

El seno hiperbólico de un número real que se designa mediante está definido mediante la fórmula

El coseno hiperbólico de un número real que se designa mediante está definido mediante la fórmula

Donde es la función exponencial decir, la potencia de base natural y exponente

Si se sustituye de acuerdo con las definiciones de seno hiperbólico y coseno hiperbólico, se obtiene una fórmula más directa para la tangente hiperbólica

Gráficamente

Operando:

Por lo tanto la curva de deflexión es:

Resp.

Usando la ecuación 3 con la mitad de la longitud del cable es:

Resp.

Como la tensión máxima ocurre cuando es máximo, es decir, en

Usando la ecuación (2) resulta

Entonces

Resp.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS PROPUESTOS

PROBLEMA 10.1

El cable soporta la carga mostrada. Determine la distancia XB

a que la fuerza en el punto B actúa a partir de A. Considere P=40.

Solución:

Ecuaciones de equilibrio

NUDO C:

NUDO B:

GEOMETRÍA

PROBLEMA 10.3

Determine las fuerzas P1 y P2 necesarios para mantener el cable en la posición mostrada, esto es, de manera que el segmento CD permanezca horizontal.

Solución:

NUDO B:

NUDO C:

NUDO D:

PROBLEMA 10.10

Trazar los diagramas de fuerza cortante y de momento flexionante para la viga mostrada.

Solución:

Sección

0 10 31.67

31.67 31.67

Sección

1 231.67 53.6421.67 21.67

Sección

2 353.64 0

21.67 -128.33

PROBLEMA 10.11

Trazar los diagramas de fuerza cortante y de momento flexionante para la viga mostrada.

Solución:

Sección

0 1 2 3 40 55 110 165 220

55 55 55 55 55

Sección

5 6 7 8235 170 25 -200-25 -105 -185 -265

Sección

9 10 11 12 13-160 -180 -80 -40 040 40 40 40 40

PROBLEMA 10.12

Trazar los diagramas de fuerza cortante y de momento flexionante para cada una de las vigas de la estructura adjunta.

Solución:

Sección

0 5 10 15 20 240 14243.5 20986 20230 11973 -31.92

3598.67 3298.7 598.67 -301 -2401 -3601

Sección

24 25 26 27 28-31.92 -23.02 -15.92 -7.92 0

8 8 8 8 8

Sección

0 1 2 30 2706.99 5413.98 8120.97

2706.99 2706.99 2706.99 2706.99

Sección

Para la primera barra

4 8 12 1610827.96 7218.6 3609.24 00.902.34 0.902.34 0.902.34 0.902.34

Para la segunda barra

PROBLEMA 10.13

Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga mostrada.

Solución:

Sección

0

0

Sección

PROBLEMA 10.14

Calcular:

1. Las ecuaciones y el diagrama de fuerza cortante D.F.C.

2. Las ecuaciones y el diagrama de momento flexionante D.M.F.

Solución:

Sección

0 1 20 -20 -800 -40 -80

Sección

2 3 4-80 -10 6070 70 70

Sección

4 5 660 50 40-10 -10 -10

Sección

Sección

10 11 12-106.67 -28.34 0

100 55 0

6 7 8 9 1040 28.34 6.67 -35 -106.67-10 -15 -30 -55 -90