CalculStructuresEF_Legay

Calcul des structures parlments finis

Antoine Legay

Matre de confrence

2011-2012

Cnam-Paris

Table des matires

I Approximation dune fonction 1

I.1 Introduction 1

I.2 Approximation dune fonction une variable 1

I.2.1 Approximation de type Lagrange 1

I.2.2 Approximation de type Hermite 5

I.3 Approximation dune fonction deux variables 6

I.3.1 Choix dune base dapproximation 6

I.3.2 Construction des fonctions de forme du triangle 3 nuds. 7

I.3.3 Approximation dun champ de vecteurs 8

I.4 Construction dun lment fini 9

I.4.1 Rgles et proprit dun lment fini 9

I.4.2 Elment fini de rfrence 11

I.4.3 Passage de llment physique llment de rfrence 13

II Maillage lments finis 15

II.1 Introduction 15

II.2 Maillage lments finis 16

II.3 Fonctions de forme 17

II.4 Rgles de construction dun maillage 18

III Formulation variationnelle 19

III.1 Equations locales du problme de mcanique 19

III.2 Formulation variationnelle en dplacement 21

III.3 Thorme de lnergie potentielle 23

ii

III.4 Notations de Voigt 25III.4.1 Contraintes et dformations tridimensionnelles 25

III.4.2 Relation de comportement 26

III.4.3 Oprateur diffrentiel 26

III.4.4 Cas des contraintes planes 27

III.4.5 Cas des dformations planes 27

III.4.6 Cas dun problme axisymtrique 28

IV Discrtisation par lments finis 31IV.1 Construction dun lment fini 31

IV.1.1 Approximation du dplacement 31

IV.1.2 Expression des dformations 31

IV.1.3 Expression des contraintes 33

IV.1.4 Matrice de rigidit 33

IV.1.5 Forces extrieures gnralises 33

IV.1.6 Passage du repre local llment au repre global 34

IV.2 Calculs au niveau de la structure 35IV.2.1 Assemblage par matrice de localisation 35

IV.2.2 Rsolution du problme discrtis 36

IV.2.3 Modes de dplacement de solide rigide 37

IV.3 Structure dun code de calcul 37

V Calcul au niveau lmentaire 39V.1 Matrice de rigidit dans llment de rfrence 39

V.2 Intgration numrique 42V.2.1 Cas unidimensionnel 42

V.2.2 Choix de lordre dintgration : application au quadrangle 44

V.2.3 Critre de qualit du maillage 47

VI Elments de structure 49VI.1 Elment fini de barre 49

VI.1.1 Fonctions de forme 49

VI.1.2 Energie de dformation 51

VI.1.3 Matrice de rigidit en fonction des dplacements locaux 51

VI.1.4 Matrice de rigidit en fonction des dplacements globaux 52

VI.2 Elment fini de poutre 54VI.2.1 Description de llment 54

VI.2.2 Energie de dformation 54

VI.2.3 Fonctions de forme 55

VI.2.4 Matrice de rigidit 56

VI.3 Elment fini de plaque 57VI.3.1 Hypothses de plaque 57

VI.3.2 Discrtisation dun lment de Reissner-Mindlin 61

VI.3.3 Assemblage de plaques dans lespace 63

VII Estimation des erreurs 65VII.1 Lissage des contraintes 65

VII.2 Erreur et convergence 67VII.2.1 Norme en nergie 67

VII.2.2 Ecriture de la formulation variationnelle 67

VII.2.3 Erreur en dplacement 68

VII.2.4 Taux de convergence 69

iii

VII.3 Estimateur derreur 70

VIII Analyse modale par E.F. 73VIII.1 Formulation variationnelle du problme de dynamique dune structure encastre-

libre 73

VIII.2 Discrtisation 74

VIII.3 Etude des modes propres de vibration 74

VIII.4 Projection modale 75

IX Sous structuration 79IX.1 Objectifs 79

IX.2 Mthode de Schur primale 79IX.2.1 Principe 79

IX.2.2 Stratgie de rsolution globale 82

IX.2.3 Gnralisation plusieurs sous-structures 82

IX.2.4 Calcul du complment de Schur 83

IX.3 Mthode de Schur duale 84IX.3.1 Principe 84

IX.3.2 Discrtisation 85

IX.3.3 Couplage de maillages incompatibles 86

X Elments finis tendus 87X.1 Introduction 87

X.2 Dscription de linterface 88

X.3 Discrtisation de la ligne de niveau 89

X.4 Enrichissement de la solution 89

X.5 Construction de llment fini enrichi 91

X.6 Intgration numrique de la matrice de rigidit 92

X.7 Erreurs introduites par lenrichissement 92

I Approximation dune fonction

I.1 Introduction

Etant donne une fonction u(M ) que lon sait valuer en tout point M , lapproximation

consiste trouver une fonction u sapprochant au mieux de u.

Lapproximation u est construite dans une base que lon choisit, cette base dapproxi-

mation est souvent polynmiale dans le cas des lments finis. Le nombre de termes de la

base, not n, donne le nombre de points MI pour lesquels lapproximation u est gale la

fonction u :

I de 1 n, u(MI) = u(MI).

Le cas dune fonction une variable est dabord trait (cas unidimensionnel), puis le

cas deux variables (cas bidimensionnel) est tudi, la gnralisation trois variables (cas

tridimensionnel) tant triviale.

I.2 Approximation dune fonction une variable

I.2.1 Approximation de type Lagrange

On note u(x) la fonction que lon cherche approximer. Cette fonction prend les valeurs

uI(de 1 n) aux n points (nuds) dabscisses xI(de 1 n) (Fig. I.1). On souhaite approximer

cette fonction par un polynme u(x) de degr n 1 tel que

I de 1 n, u(xI) = uI .

2 Approximation dune fonction

bc

bc

bc

bc

bc

u(x)

u(x)

x1 x2 xnxI

uI

Figure I.1 Approximation de u(x) par un polymme u(x) de degr n 1.

bc

bc bc bc bc

N1(x)

1

x1 x2 x3 x4 x5bc

bc

bc bc bc

N2(x)

1

x1 x2 x3 x4 x5

bc bc

bc

bc bc

N3(x)

1

x1 x2 x3 x4 x5bc bc bc

bc

bc

N4(x)

1

x1 x2 x3 x4 x5

bc bc bc bc

bc

N5(x)

1

x1 x2 x3 x4 x5

Figure I.2 Polynmes de Lagrange de degrs 4 associs 5 points.


La fonction u(x) peut scrire sous la forme

u(x) =n

I=1

NI(x) uI

o NI(x) est un polynme de degr n 1 appele fonction de forme du nud I.

La fonction NI(x) possde la proprit de Kronecker, cest dire

NI(xJ) = IJ

ou encore, la fonction de forme NI(x) associe au nud I (dabscisse xI) vaut 1 en ce nud

et 0 aux autres nuds (dabscisses xJ).

Preuve Ceci se vrifie facilement en explicitant la relation suivante :

u(xJ) =

nI=1

NI(xJ ) uI = uJ .

Une telle fonction NI(x) peut tre crite comme un polynme de Lagrange (Fig. I.2) :

NI(x) =nJ=1,J 6=I(x xJ)

nJ=1,J 6=I(xI xJ).

Lapproximation u(x) construite est de degr n 1. Elle est donc capable dapproximer

de faon exacte tous les polynmes de degr infrieur ou gal n 1. Pour le polynme xk

dordre k [0, n 1], cela scrit

nI=1

NI(x) xkI = x

k

Pour k = 0, on a alors

nI=1

NI(x) = N1(x) +N2(x) + . . . +Nn(x) = 1

On dit que lensemble des fonctions de forme NI(x) forme une partition de lunit : la somme

des fonction de forme fait 1. Pour k = 1, on a

nI=1

NI(x)xI = N1(x)x1 +N2(x)x2 + . . .+Nn(x)xn = x

et ainsi de suite pour k = 2

N1(x)x21 +N2(x)x

22 + . . .+Nn(x)x

2n = x

2

jusqu k = n 1

N1(x)xn11 +N2(x)x

n12 + . . .+Nn(x)x

n1n = x

n1


bc bc

N1(x) = 1x

l

N2(x) =x

l

0 l

x

1

Figure I.3 Fonctions de forme dun lment 2 nuds.

Dans ce cas, lensemble des fonctions de forme NI(x) est une partition de lunit dordre

n 1. Ceci peut scrire sous forme dun systme de n quations n inconnues :

1 1 . . . 1

x1 x2 . . . xn

x21 x22 . . . x

2n

......

......

xn11 xn12 . . . x

n1n

=A

N1(x)

N2(x)

N3(x)...

Nn(x)

=N(x)

=

1

x

x2

...

xn1

=b

Dans ce systme, le vecteur N(x) est le vecteur des fonctions de forme et b est la base

polynomiale de lapproximation. La solution scrit

N(x) = A1b

Exercice I.1 Trouver les fonctions de forme dun lment 2 nuds en prenant la base dapproximation

[ 1 x ] : par la mthode des polynmes de Lagrange et par la mthode de la rsolution dun systme.

Solution :

1. Par les polynmes de Lagrange :

NI(x) =nJ=1,J 6=I(x xJ)

nJ=1,J 6=I(xI xJ)

avec n = 2, x1 = 0, x2 = l et I qui prend les valeurs 1 et 2.

N1(x) =x x2x1 x2

=x l

0 l= 1

x

l

N2(x) =x x1x2 x1

=x 0

l 0=

x

l

2. Par la rsolution dun systme :[1 1

x1 x2

][N1(x)

N2(x)

]=

[1

x

]soit

[1 1

0 l

] [N1(x)

N2(x)

]=

[1

x

]La rsolution de ce systme donne

N1(x) = 1x

let N2(x) =

x

l

Les fonctions N1(x) et N2(x sont traces sur la figure I.3.

Exercice I.2 Trouver les fonctions de forme dun lment 3 nuds donnes sur la figure I.4 en prenant

la base dapproximation [ 1 x x2 ] sur lintervalle [ 1 1 ] : par la mthode des polynmes de Lagrange

et par la mthode de la rsolution dun systme.


0.5

1.0

0.5 1.00.51.0bc bc bc

bc bc bcN1N2

N3

Figure I.4 Fonctions de forme dordre 2 pour un lment unidimensionnel 3 nuds.

I.2.2 Approximation de type Hermite

Comme prcedemment, on cherche un polynme u(x) qui approxime u(x) tel que u(xI) =

u(xI) = uI pour les points x1 xn. De plus, on souhaite que les drives jusqu lordre m

soient approximes de faons exactes :

u(xI) = u(xI) = uI

u(xI) = u(xI) = uI...

u(m)(xI) = u(m)(xI) = u

(m)I

Etant donn que lon peut crire n(m+ 1) quations, le polynme u(x) est de degr n(m+

1) 1. Lapproximation de Lagrange correspond m = 0.

En choisissant n = 2 et m = 1 on construit les 4 fonctions de forme de llment de

poutre utilisant les hypothses cinmatiques dEuler Bernoulli.

On prend x1 = 0 et x2 = L, on note u(x1) = u1, u(x2) = u2, u(x1) = 1 et u(x2) = 2.

On cherche u(x) sous la forme :

u(x) = N1(x)u1 +N2(x)1 +N3(x)u2 +N4(x)2

Le polynme u(x) tant de degr 2(1 + 1) 1 = 3, sa base est [ 1 x x2 x3 ].

si u(x) = 1 alors u(x) = 1 et u(x) = 0, u1 = 1, 1 = 0, u2 = 1, 2 = 0 ; on a :

N1(x) +N3(x) = 1

si u(x) = x alors u(x) = x et u(x) = 1, u1 = x1 = 0, 1 = 1, u2 = x2 = L, 2 = 1 ; on

a :

N2(x) +N3(x)L+N4(x) = x

si u(x) = x2 alors u(x) = x2 et u(x) = 2x, u1 = x21 = 0, 1 = 2x1 = 0, u2 = x22 = L

2,

2 = 2x2 = 2L ; on a :

N3(x)L2 +N4(x)2L = x

2

si u(x) = x3 alors u(x) = x3 et u(x) = 3x2, u1 = x31 = 0, 1 = 3x21 = 0, u2 = x

32 = L

2,

2 = 3x22 = 3L

2 ; on a :

N3(x)L3 +N4(x)3L

2 = x3


0.5

1.0

0.5 1.0bc bc

N1

0.5

1.0

0.5 1.0bc bc

N2

0.5

1.0

0.5 1.0bc bc

N30.5

1.0

0.5 1.0bc bc

N4

Figure I.5 Fonctions de forme dHermite de llment poutre dEuler-Bernoulli pour L = 1.

Ces 4 quations scrivent sous forme dun systme 4 inconnues :1 0 1 0

0 1 L 1

0 0 L2 2L

0 0 L3 3L2

N1(x)

N2(x)

N3(x)

N4(x)

=

1

x

x2

x3

La solution de ce systme est

N1(x) = 13

L2x2 +

2

L3x3 ; N2(x) = x

2

Lx2 +

1

L2x3

N3(x) =3

L2x2

2

L3x3 ; N4(x) =

1

Lx2 +

1

L2x3

On remarque que N1 et N3 forment une partition de lunit (N1 + N3 = 1) et que ces

2 fonctions vrifient la proprit de Kronecker. Les fonctions N2 et N4 sannulent aux 2

nuds, leurs drives aux nuds est soit 0 soit 1. Ces fonctions sont traces sur la figure

I.5.

I.3 Approximation dune fonction deux variables

I.3.1 Choix dune base dapproximation

On note u(x, y) la fonction que lon cherche approximer. Cette fonction prend les valeurs

uI(de 1 n) pour les n nuds de coordonns (xI , yI). Il faut dans un premier temps choisir

une base dapproximation pour la fonction u(x, y). Il est utile dutiliser le triangle de Pascal

explicit sur la figure I.6. On crit 1 sur la ligne du haut, on complte ensuite la ligne du

dessous en multipliant par x vers la gauche et par y vers la droite chacun des termes de la

ligne du dessus.

Le choix de la base [ 1 x y ] contenant 3 termes conduit un lment 3 nuds, cest

dire un triangle 3 nuds (T3).

I.3 Approximation dune fonction deux variables 7

x2 y2

x2y xy2

x y

Q9

x y

x2 y2

x3 x2y xy2 y3

x y

xy

1

x2y2

1

xy

x2y2

x y

x2 y2

T61

xy

Q4

x y

1

xy

1

x y

T3

Figure I.6 Triangle de Pascal.

Le choix de la base [ 1 x y xy ] contenant 4 termes conduit un lment 4 nuds,

cest dire un quadrangle 4 nuds. En ajoutant les termes [y2 x2y xy2 x2y2 ] on obtient

le quadrangle 9 nuds.

I.3.2 Construction des fonctions de forme du triangle 3 nuds.

En suivant la mme dmarche que pour le cas unidimensionnel, les 3 fonctions de forme du

triangle 3 nuds peuvent tre calcules en rsolvant le systme

1 1 1

x1 x2 x3

y1 y2 y3

N1(x, y)

N2(x, y)

N3(x, y)

=

1

x

y

On peut rsoudre ce systme par la mthode de Cramer, il faut alors calculer les quantits

suivantes :

2A = det

1 1 1

x1 x2 x3

y1 y2 y3

2A1 = det

1 1 1

x x2 x3

y y2 y3

2A2 = det

1 1 1

x1 x x3

y1 y y3

2A3 = det

1 1 1

x1 x2 x

y1 y2 y

o A est laire du triangle passant par les 3 nuds, A1 est laire du sous-triangle M23, A2

est laire du sous-triangle M13 et A3 est laire du sous-triangle M12 (Fig. I.7). La solution

du systme scrit :

N1(x, y) =A1A

N2(x, y) =A2A

N3(x, y) =A3A


A1 =

A2 =

A3 =

A =M

3

2

1

Figure I.7 Dcoupage du triangle en 3 sous-triangles.

1

11N1

N2

N3

1 1 12 2

3 3 3

1

0

0

0

Figure I.8 Fonctions de forme du triangle 3 nuds.

Il est vident que la proprit de kronecker est vrifie : siM est sur le nud I alors AI = A

et les 2 autres aires AJ 6=I = 0. De plus la somme des fonctions de forme fait bien 1 car

A = A1 + A2 + A3. Les fonctions sont traces sur la figure I.8.

Exercice I.3 Trouver les fonctions de forme de llment tridimensionnel ttradre 4 nuds dont la

base est [ 1 x y z ].

1

2

X

Z

Z1

X1

Y

Y1

4

3

I.3.3 Approximation dun champ de vecteurs

On souhaite approximer le champ de vecteursu . Dans le plan, le champ de vecteursu (x, y)

possde deux composantes ux(x, y) et uy(x, y). On choisit le plus souvent la mme approx-


imation pour toutes les composantes du champ de vecteurs. Cest dire que

ux(x, y) =n

I=1

NI(x, y)uxI

et

uy(x, y) =n

I=1

NI(x, y)uyI

o uxI et uyI dsigne respectivement les valeurs de ux(x, y) et de uy(x, y) aux points (xI , yI)

pour lesquels on souhaite que lapproximation soit exacte. Ceci scrit pour le champ de

vecteurs :

ue(M ) =

[ux(x, y)

uy(x, y)

]=

[ nI=1NI(x, y)uxInI=1NI(x, y)uyI

]= Neqe

o Ne est appele la matrice des fonctions de forme de llment et qe est appel le vecteur

contenant les inconnues aux nuds.

Pour le triangle T3, il vient par exemple

Ne =

[N1 N2 N3 0 0 0

0 0 0 N1 N2 N3

]

et

qe = [ ux1 ux2 ux3 uy1 uy2 uy3 ]T

o uxIx + uyI

y est la valeur du champ de vecteurs au nud I. Une autre numrotation

frquemment employe est

Ne =

[N1 0 N2 0 N3 0

0 N1 0 N2 0 N3

]

et

qe = [ ux1 uy1 ux2 uy2 ux3 uy3 ]T

Exercice I.4 Ecrire lapproximation dun champ de vecteurs dans le cas tridimensionnel et pour ll-

ment ttradre avec u (x, y, x) = uxx + uy

y + uzz . Expliciter la matrice des fonctions de forme ainsi

que le vecteur des inconnues nodales. Proposer deux numrotations.

I.4 Construction dun lment fini

I.4.1 Rgles et proprit dun lment fini

Lapproximation dans un lment est construite partir dune base de fonction et sappuie

sur des points (nuds). Dans le cas gnral, on ne peut pas choisir les emplacements des

nuds arbitrairement car cela peut conduire une approximation inutilisable en calcul

par lments finis. En effet, comme expliqu dans le chapitre suivant, les lments tant

assembls les uns aux autres dans un calcul mcanique, il faut respecter certaines rgles :

La proprit de Kronecker : la fonction de forme dun nud vaut 1 ce nud et 0 aux

autres ; cette proprit est vrifie car on lutilise dans la construction des fonctions

de forme.


N2

N1

0

1

x

y

1

01

1 + y

x1

4

3

2

N3

N4

Figure I.9 Elment quadrangle dont les fonctions de forme ne sannulent pas sur les bords.

La compatibilit entre les lments : les lments doivent pouvoir sassembler les uns

aux autres parfaitement sans discontinuit ni dans la gomtrie ni dans lapproxima-

tion.

Afin dillustrer ces rgles, prenons lexemple dun quadrangle 4 nuds dont la base

dapproximation est [ 1 x y xy ] construit sur les 4 nuds suivants : (0, 0), (1, 0), (1, 1+)

et (0, 1) (Fig. I.9).

Le systme rsoudre pour trouver les fonctions de forme est :1 1 1 1

0 1 1 0

0 0 1 + 1

0 0 1 + 0

N1(x, y)

N2(x, y)

N3(x, y)

N4(x, y)

=

1

x

y

xy

La solution est

N1(x, y) = (1 x)(1 y) ; N2(x, y) = x(1y

1 + ) ;

N3(x, y) =xy

1 + ; N4(x, y) = y(1 x) ;

Les fonctions de forme sont traces sur la figure I.9. La fonction N1 devrait sannuler sur

les bords opposs au nud 1 (bords 3-4 et 2-3) afin dviter que ce nud ait une influence

hors de llment, mais N1 ne vaut pas 0 sur le bord 3-4. La mme conclusion apparait pour

la fonction N2. Cet lment ne peut pas sassembler avec dautres le long du bord 3-4. On

construit alors les fonctions de forme dans un lment de rfrence de forme gomtrique

simple, puis une transformation gomtrique permet le passage de llment de rfrence

llment physique.

Les lments finis ne ncessitant pas dlments de rfrences sont les lments unidi-

mensionnels, les triangles 3 nuds et les ttradres 4 nuds dans lespace.


x

y

y

z

x

quadrangle

barre - poutre

hexadre

Elment physique Elment de rfrence

+1

+1

+1

1

t

s

r

r1

s

1 1

1

r1 1

Figure I.10 Elments de rfrences associs aux lments physiques.

I.4.2 Elment fini de rfrence

Un lment de rfrence est un lment de forme simple qui permet de construire les fonc-

tions de forme. Un systme de coordonnes lui ait attach. Les domaines de rfrences sont

gnralement compris entre 1 et +1 dans chaque direction. Une transformation permet de

passer de llment de rfrence llment physique.

Plusieurs exemples dlments de rfrence sont dcrit sur la figure I.10. Llment plan

quadrangle 4 nuds est utilis dans la suite pour illustrer le principe (Fig. I.11).

Le repre (x, y) est une base globale attache lespace physique. On dfinit un systme

de coordonnes de rfrence (r, s) tel que sur les faces de llment on ait r = 1 et s = 1 .

Le carr dfini dans le repre (r, s) dont les sommets ont pour coordonnes (1,1) et (1, 1)

est appel lment de rfrence. Les coordonnes dun nud I dans llment de rfrence

sont notes (rI , sI).

La base dapproximation des fonctions de forme NI est [ 1 r s rs ] (voir triangle de

Pascal). Le systme rsoudre pour trouver ces fonctions est

1 1 1 1

r1 r2 r3 r4

s1 s2 s3 s4

r1s1 r2s2 r3s3 r4s4

N1

N2

N3

N4

=

1

r

s

rs

soit

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

N1

N2

N3

N4

=

1

r

s

rs


s

r

s

r

y

x

(1, 1)

(1,1)

(1, 1)

(1,1)

4 3

1 2

s = 1

r = 1r = 1

s = 1Elment de rfrenceElment physique

(x1, y1)

(x2, y2)

(x3, y3)

(x4, y4)

Figure I.11 Passage de llment physique llment de rfrence.

La solution est

N1(r, s) =1

4(1 r s+ rs) =

1

4(1 r)(1 s) ,

N2(r, s) =1

4(1 + r s rs) =

1

4(1 + r)(1 s) ,

N3(r, s) =1

4(1 + r + s+ rs) =

1

4(1 + r)(1 + s) ,

N4(r, s) =1

4(1 r + s rs) =

1

4(1 r)(1 + s) .

La fonction 12(1 r) sannule aux nuds 2 et 3 et vaut 1 aux nuds 1 et 4, tandis que

la fonction 12(1 + r) sannule aux nuds 1 et 4 et vaut 1 aux nuds 2 et 3. De mme, la

fonction 12(1 s) sannule aux nuds 3 et 4 et vaut 1 aux nuds 1 et 2, tandis que la

fonction 12(1 + s) sannule aux nuds 1 et 2 et vaut 1 aux nuds 3 et 4. Les fonctions NI

peuvent scrire aussi plus simplement :

NI(r, s) =1

4(1 + rIr)(1 + sIs).

Ces fonctions de formes sont traces sur la figure I.12

Exercice I.5 Construire les fonctions de forme du triangle 6 nuds dans llment de rfrence. Tracer

ces 6 fonctions.


N4N1

0

1

N3N2

Figure I.12 Fonctions de forme du quadrangle 4 nuds dans llment de rfrence.

1

3

4

5

2

6

1 4 2

56

3

s

(0, 0) (1, 0) r

(0, 1)

(12, 12)

Elment physique Elment de rfrence

I.4.3 Passage de llment physique llment de rfrence

Les coordonnes dun point quelconque situ dans llment sont interpoles partir des

coordonnes des nuds de llment en utilisant les fonctions de forme :

x =4

I=1

NI(r, s)xI ,

y =4

I=1

NI(r, s)yI .

En notant xe(M ) le vecteur coordonnes dun point M de llment e et Xe le vecteur

contenant les coordonnes des nuds de llment e, on peut crire

xe(M ) = Ne(M ) Xe


o Ne(M ) contient les fonctions dinterpolations, pour llment quadrangle, on a

xe(M ) =

[x

y

]=

[N1 N2 N3 N4 0 0 0 0

0 0 0 0 N1 N2 N3 N4

]

x1

x2

x3

x4

y1

y2

y3

y4

= Ne(M ) Xe .

II Maillage lments finis

II.1 Introduction

Le chapitre prcdent permet de construire lapproximation dune fonction partir dune

base dapproximation. Cette approximation sappuie sur des points (ou nuds) qui forment

un domaine appel lment. A chaque nud de llment correspond une fonction de forme

dans llment.

Lorsque le domaine sur lequel on souhaite approximer la fonction a une forme complexe

ou bien si la fonction approximer varie beaucoup, alors un seul lment simple ne suffit

plus. Une solution serait denrichir la base dapproximation de llment avec de nouveaux

termes, mais cela est difficilement gnralisable toutes les formes de domaine et toutes les

fonctions que lon pourrait rencontrer : autrement dit cela nest pas applicable tous les

problmes mcaniques. La mthode des lments finis sappuie sur une autre solution qui

est de dcomposer le domaine en lments de forme simples et dont la base dapproximation

contient relativement peu de termes. Cette solution permet de rpondre aux deux limitations

de lutilisation dun seul lment :

le dcoupage dun domaine de forme complexe avec des lments gomtriquement

simples est toujours ralisable (Fig. II.1),

la base dapproximation de la fonction est alors dfinie par morceau, la fonction de

forme dun nud est un assemblage des fonctions de forme des lments adjacents

(Fig. II.3).

16 Maillage lments finis

domaine lments 3 nuds lments 6 nuds

Figure II.1 Pavage dun domaine avec des triangles.

1

3

4

5

1

2

2 3

4

5

67

y

x

Figure II.2 Exemple de maillage.

II.2 Maillage lments finis

Lopration de maillage consiste dcouper le domaine (pice ou structure) en lments.

Afin dillustrer la gnralisation plusieurs lments, on utilise dans les figures llment

triangle dans le plan comme exemple (Fig. II.1).

Chaque nud est en contact avec plusieurs lments et chaque lment est construit

partir de plusieurs nuds (3 pour des triangles 3 nuds). Le maillage est constitu de 2

tableaux de valeurs : les coordonnes des nuds et la connectivit des lments.

Lexemple de la figure II.2 montre un maillage de triangles 3 nuds constitus de 5

lments et de 7 nuds. La table de connectivit donne les numros des nuds connects

chaque lment. Le nombre de lignes de ce tableau est le nombre dlments du maillage

(5 ici), le nombre de colonnes est le nombre de nuds par lment (3 ici) :

Numro Nud Nud Nud

dlment 1 2 3

1 1 2 4

2 4 5 2

3 6 2 5

4 3 2 6

5 3 6 7

Les coordonnes des nuds sont donnes dans un tableau dont le nombre de lignes est le

nombre de nuds du maillage (7 ici) et le nombre de colonnes est la dimension de lespace

de modlisation (2 ici, x et y) :

II.3 Fonctions de forme 17

4

1

2

y

x

1

0

Figure II.3 Fonction de forme associe un nud.

Numro Coord. Coord.

du Nud x y

1 x1 y1

2 x2 y2

3 x3 y3

4 x4 y4

5 x5 y5

6 x6 y6

7 x7 y7

Les algorithmes de construction dun maillage partir dune dfinition gomtrique

numrique de la pice (CAO) ne sont pas dcrit dans ce cours.

Exercice II.1 Tracer le maillage constitu de triangles associ ces coordonnes et cette connectivit :

Numro Nud Nud Nud

dlment 1 2 3

1 1 4 3

2 1 2 4

3 2 5 4

Numro Coord. Coord.

du Nud x y

1 0.0 0.0

2 1.0 0.0

3 0.0 1.0

4 1.0 1.0

5 2.0 1.0

II.3 Fonctions de forme

Mme si dans la pratique les fonctions de forme sont construites lment par lment, au

niveau du maillage, les fonctions de forme sont associes aux nuds. Un nud appartenant

plusieurs lments, la fonction de forme associe stend sur tous les lments en contact

avec ce nud. Sur lexemple de la figure II.2, le nud 4 appartient aux 2 lments 1 et 2,

sa fonction de forme est donc un assemblage de la fonction de forme de llment 1 associe

au nud 4 et de la fonction de forme de llment 2 associe au nud 4 comme dcrit sur

la figure II.3. La fonction de forme du nud 4 vaut zro dans les lments 3, 4 et 5 non

connects ce nud.

Lensemble des fonctions de forme des nuds du maillage constitue la base dans laquelle

la solution lments finis en dplacement est recherche. Plus il y a de nuds dans le

maillage, plus la base dapproximation est riche, et donc plus la solution lments finis est

proche de la solution exacte.

18 Maillage lments finis

Q4

Q4

Q9Q4

Q4

Q4

Non compatible

Q9

T6

Non compatible Compatible

Figure II.4 Exemples de maillages non compatibles.

Exercice II.2 Pour le maillage suivant constitu de quadrangles 4 nuds :

1. numroter les nuds et les lments,

2. donner la table de connectivit,

3. tracer les fonctions de forme associes aux nuds du maillage.

y

x

II.4 Rgles de construction dun maillage

Les rgles de construction dun maillage respecter sont :

les lments ne doivent pas se recouvrir : la somme des volumes lmentaires doit tre

le volume du domaine maill,

les lments doivent tre compatibles entre eux, cest dire que les fonctions de forme

doivent tre continues dun lment lautre (Fig. II.4).

Ces rgles sont gnralement respectes par les logiciels de maillage, mais lutilisateur

peut facilement faire des erreurs de manipulation. La deuxime rgle est facile respecter

lorsque lon utilise le mme type dlment pour tout le domaine : il suffit que tous les nuds

du maillage se trouvent aux sommets des lments. Lorsque plusieurs types dlments sont

prsents dans le maillage, il ne suffit plus que les nuds soient aux sommets des lments,

il faut aussi que les bases dapproximations soient les mmes sur les bords en contact avec

2 lments. Par exemple, on ne peut pas mettre en contact des quadrangles 4 nuds avec

des quadrangles 9 nuds mais on peut mettre en contact des triangles 6 nuds avec

des quadrangles 9 nuds (Fig. II.4).

III Formulation variationnelle

III.1 Equations locales du problme de mcanique

Soit un corps solide dformable ayant pour surface extrieure (Fig. III.1). Les notations

suivantes sont utilises :

f est leffort volumique dans ,

u est le champ de dplacement dans ,

u d est le dplacement donn sur u,

F d est leffort surfacique donn sur F.

R est leffort surfacique inconnu sur u,

Remarques :

= u F,

u F = .

Le problme de mcanique est de dterminer les deux champs inconnus de dplacementsu (ou ui) et de contraintes (ou ij) sous leffet des forces appliques

F d et

f .

u

f

F du d

F

Figure III.1 Problme continu.

20 Formulation variationnelle

Equations dquilibre en statique, ensemble des champs de contraintes statique-

ment admissibles

Les quations dquilibre scrivent en notation indicielle (cartsien)

ij,j + fi = 0 dans , (III.1)

ou bien en notation tensorielle

div +

f =

0 dans ,

o est loprateur des contraintes etf est une force volumique. Loprateur est

symtrique

ij = ji .

Sur le bord F o sont imposs les efforts surfaciques, loprateur des contraintes doit

satisfaire

ijnj = Fdi sur F

ou bien

n =F d sur F ,

avec n qui est le vecteur normal extrieur .

On dit que est statiquement admissible si et seulement si

S = {|ij,j + fi = 0 dans et ijnj = Fdi sur F}

Conditions aux limites en dplacement, ensemble des dplacements cinma-

tiquement admissibles

Les conditions aux limites scrivent en dplacements

ui = udi sur u ,

ou bien

u = u d sur u

On dit que u est cinmatiquement admissible si et seulement si

u U = {u |ui = udi sur u}

Hypothse des petites perturbations

Loprateur des dformations est fonction des dplacements, il est linaire dans le cadre des

petites perturbations. Il scrit en notation indicielle

ij =1

2

(ui,j + uj,i

),

ou encore en notation tensorielle

=1

2

(Grad(u ) +GradT (u )

).

III.2 Formulation variationnelle en dplacement 21

Relation de comportement

La relation de comportement relie les dformations aux contraintes. Dune faon gnrale,

cette relation scrit

ij = Cijklkl ,

o C est loprateur dlasticit. Pour un matriau isotrope, les coefficients dlasticit se

rduisent deux constantes indpendantes (, ) ou (E, ) . La relation de comportement

devient la loi de Hooke, soit

ij = kk ij + 2 ij

en criture indicielle, ou bien

= Tr() 1 + 2

en notation tensorielle. Les coefficients de Lam (, ) sont relis (E, ) par

=E

(1 + )(1 2)

et

=E

2(1 + ).

La relation de comportement scrit aussi

ij =1 +

Eij

Ekk ij ,

ou bien

=1 +

E

ETr() 1 .

Rcriture du problme de statique linaire

Le couple (u ,) solution du problme est tel que

u est cinmatiquement admissible : u U

est statiquement admissible : S

u et vrifient la relation de comportement avec ij =12

(ui,j + uj,i

)

III.2 Formulation variationnelle en dplacement

On suppose que u et sont solution du problme, donc u U et S. Considrons

un champ de dplacement virtuelu quelconque. La notation est utilise pour toutes les

quantits virtuelles,u est une variation de u .

En multipliant lq.(III.1) par le champ de dplacement virtuelu et en intgrant sur ,

il vientij,j ui d +

fi ui d = 0 .

En intgrant par partie, on a(ij ui),j d

ij ui,j d +

fi ui d = 0 ,


puis, en utilisant le thorme de Gauss

ij ui,j d +

ij nj ui dS +

fi ui d = 0 .

Or,

= u F,

ijnj = Fdi sur F,

ijnj = Ri sur u,

en remplaant dans lquation prcdente, on a

ij ui,j d +

F

F di ui dS +

u

Ri ui dS +

fi ui d = 0 . (III.2)

En remarquant que est symtrique, on a la proprit suivante :

ij ui,j = ij ij .

Preuve

ij ui,j =1

2

(ij ui,j + ij ui,j

)=

1

2

(ij ui,j + ji ui,j

)=

1

2

(ij ui,j + ij uj,i

)= ij

1

2

(ui,j + uj,i

)= ij ij

Lexpression de lq.(III.2) devientij ij d

F

F di ui dS u

Ri ui dS fi ui d = 0 .

Finalement, en utilisant la relation de comportement, nous venons dtablir que :

si u U est solution du problme alors u

Cijkl kl ij d

F

F di ui dS u

Ri ui dS fi ui d = 0 (III.3)

Montrons que la rciproque est vraie, cest dire, montrons que :

si u et si u U on a

Cijkl kl ij d

F

F di ui dS u

Ri ui dS fi ui d = 0

alors u est solution du problme.

En utilisant la relation de comportement et par symtrie de loprateur des contraintes,

on peut crireij ui,j d

F

F di ui dS u


Or ij ui,j d =

(ij ui

),jd

ij,j ui d

=

ij ui nj dS ij,j ui d

III.3 Thorme de lnergie potentielle 23

En remplaant dans lq.(III.4) on obtient :

ij,j ui d +

ij ui nj dS F

F di ui dS u

Ri ui dS fi ui d = 0

soit encore, en remarquant que = u F,

(ij,j + fi

)ui d +

F

(ij nj F

di

)ui dS +

u

(ij nj Ri

)ui dS = 0(III.5)

Lexpression de lq.(III.5) est valable u, elle est donc en particulier vraie pour

u =

0

sur , il vient alors

(ij,j + fi

)ui d = 0 ,

soit

ij,j + fi = 0 dans ,

qui sont les quations dquilibre locales. En remplaant dans lq.(III.5) on aF

(ij nj F

di

)ui dS +

u

(ij nj Ri

)ui dS = 0

u

soit

ij nj Fdi = 0 sur F

et

ij nj Ri = 0 sur u .

qui sont les conditions aux limites en efforts. Les conditions aux limites en dplacements

sont satisfaites puisque u U .

Finalement, toutes les quations locales du problme sont satisfaites, donc le couple

(u ,) est bien solution du problme.

Exercice III.1 Etablir la formulation variationnelle en dplacement dune barre en traction (x [0, L])

dont lquation dquilibre est

N(x) + p = 0 avec N(L) = F

o N est leffort normal, p est une charge linique et F est une force applique en x = L. La barre est

encastre en x = 0. On rappelle que le dplacement u(x) est reli leffort normal par la relation

u(x) =

N(x)

ES

o E est le module dYoung et S est laire de la section.

III.3 Thorme de lnergie potentielle

Daprs les rsultats de la partie prcdente, la formulation variationnelle du problme

scrit :


u etR sont solutions du problme

Chercher u U etR tels que

u

Cijkl kl ij d

F

F di ui dS u


Le calcul de est fait a posteriori par la relation de comportement.

La quantit

T =F

F di ui dS +

u

Ri ui dS +

fi ui d

est appele travail des efforts extrieurs dans le champ de dplacement virtuel ou

travail virtuel des efforts extrieurs.

La quantit

ED =ij ij d =

Cijkl kl ij d

est appele travail virtuel des efforts intrieurs ou variation virtuelle de lnergie de

dformation.

Le travail des efforts extrieurs vaut

T =F

F di ui dS +

u

Ri udi dS +

fi ui d .

Lnergie de dformation vaut

ED =1

2

ij ij d =

1

2

Cijkl kl ij d.

Preuve Lorsque u varie deu, lnergie de dformation varie de ED :

ED(u +

u) = ED(

u ) + ED

=1

2

Cijkl ij(u +

u) kl(

u +u) d

=1

2

Cijkl ij(u ) kl(

u ) d +1

2

Cijkl ij(u) kl(

u ) d

+1

2

Cijkl ij(u ) kl(

u ) d +1

2

Cijkl ij(u) kl(

u ) d

Le dernier terme fait intervenir le carr deu qui est ngligeable devant les trois autres termes. Etant

donn la symtrie de la loi de comportement (Cijkl = Cklij), le deuxime et le troisime terme sont

gaux, lexpression de ED(u +

u) devient

ED(u +

u) =

1

2

Cijkl ij(u ) kl(

u ) d +

Cijkl ij(u ) kl(

u) d

do par identification on a

ED =

Cijkl ij(u ) kl(

u) d

Enfin, en notant V = EDT lnergie potentielle et V = EDT la variation dnergie

potentielle, la formulation variationnelle devient :

Thorme III.1 Thorme de la variation virtuelle dnergie potentielle

u est solution du problme

Chercher u U tel que u, V = 0

III.4 Notations de Voigt 25

Ce thorme peut aussi scrire :

Pour un tat dquilibre stable, le dplacement cinmatiquement admissible solution du

problme est celui qui minimise lnergie potentielle et rciproquement.

Dans la formulation prcdente,u est quelconque, en introduisant le champ de dplace-

ments cinmatiquement admissible zro U0 = {v /v =

0 sur u}, et en choisissant

u U0, la formulation variationnelle devient :

Thorme III.2 Thorme des travaux virtuels

u est solution du problme

Chercher u U tel que u U0

Cijkl kl ij d

F

F di ui dS fi ui d = 0

R Dans cette nouvelle proposition, les seules inconnues sont des inconnues de dplacements.

III.4 Notations de Voigt

III.4.1 Contraintes et dformations tridimensionnelles

Loprateur des contraintes

=

xx xy xz

xy yy yz

xz yz zz

=

11 12 13

12 22 23

13 23 33

est not sous forme de vecteur

= [ xx yy zz xy yz xz ]T = [ 11 22 33 12 23 13 ]

T .

Loprateur des dformations

=

xx xy xz

xy yy yz

xz yz zz

=

11 12 13

12 22 23

13 23 33

est not sous forme de vecteur

= [ xx yy zz 2xy 2yz 2xz ]T = [ 11 22 33 212 223 213 ]

T .

Lnergie de dformation est gale

ED =1

2

ij ij d =

1

2

T d =

1

2

T d .


III.4.2 Relation de comportement

La relation de comportement est note C. Elle relie les dformations aux contraintes, soit

= C .

Dans le cas lastique isotrope, la loi scrit en utilisant les coefficients de Lam

= Tr() 1+ 2 .

Cette expression devient en utilisant les notations et

=

xx

yy

zz

xy

yz

xz

=

+ 2 0 0 0

+ 2 0 0 0

+ 2 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

=C

xx

yy

zz

2xy

2yz

2xz

= C .

III.4.3 Oprateur diffrentiel

On noteD loprateur diffrentiel qui relie le dplacement aux dformations tel que = Du .

Les dformations scrivent

=1

2

(Grad(u ) +GradT (u )

).

Cet oprateur a pour expression dans un repre cartsien

=

xx

yy

zz

2xy

2yz

2xz

=

x

0 0

0 y

0

0 0 z

y

x

0

0 z

y

z

0 x

=D

ux

uy

uz

= Du .

Lnergie de dformation vaut avec ces notations

ED =1

2

u TDTCDu d

Dans cette expression, loprateur D agit droite tandis que DT porte sur le terme situ

sa gauche.


III.4.4 Cas des contraintes planes

Dans le cas des contraintes planes dans le plan (x ,y ), on a

zz = xz = yz = 0 .

Donc xz = yz = 0, mais zz 6= 0. En utilisant la relation de comportement, on montre que

zz =

E(xx + yy) .

Lcriture de lnergie de dformation se rduit

ED =1

2

ij ij d =

1

2

(xxxx + yyyy + 2xyxy) d =

1

2

T d

avec

= [ xx yy xy ]T et = [ xx yy 2xy ]

T .

La relation entre et devient

=

xx

yy

2xy

= 1E

1 0

1 0

0 0 2(1 + )

xx

yy

xy

.

En inversant lcriture de cette relation, on obtient

=

xx

yy

xy

= E1 2

1 0

1 0

0 0 12

xx

yy

2xy

= C

Loprateur gradient D reliant les dformations au dplacement vaut

=

xx

yy

2xy

=

x

0

0 y

y

x

[ux

uy

]= Du .

III.4.5 Cas des dformations planes

Dans le cas des dformations planes dans le plan (x ,y ), on a

zz = xz = yz = 0 .

Donc xz = yz = 0, mais zz 6= 0. En utilisant la relation de comportement, on montre

que

zz = (xx + yy) .


ED =1

2

ij ij d =

1

2

(xxxx + yyyy + 2xyxy) d =

1

2

T d


avec

= [ xx yy xy ]T et = [ xx yy 2xy ]

T .

La relation de comportement scrit

=

xx

yy

xy

=

+ 2 0

+ 2 0

0 0

xx

yy

2xy

= C .

Loprateur gradient D reliant les dformations au dplacement vaut

=

xx

yy

2xy

=

x

0

0 y

y

x

[ux

uy

]= Du .

III.4.6 Cas dun problme axisymtrique

Le dplacement u est not dans le repre cylindrique

u = uer + ve + w

z .

Le gradient du dplacement vaut

Grad(u ) =

ur

1r

(u v

)uz

vr

1r

(v

+ u)

vz

wr

1r

(w

)wz

(er ,e ,

k )

.

Dans le cas dun problme axisymtrique, les quantits ne dpendent pas de et v est

nul, lcriture se simplifie et devient

=

rr

zz

2rz

=

r

0

1r

0

0 z

z

r

[u

w

]= Du .



ED =1

2

ij ij d =

1

2

T d

avec

=

rr

zz

rz

et =

rr

zz

2rz

.

La loi de comportement scrit

=

rr

zz

rz

=

+ 2 0

+ 2 0

+ 2 0

0 0 0

rr

zz

2rz

= C .

IV Discrtisation par lments finis

IV.1 Construction dun lment fini

IV.1.1 Approximation du dplacement

On rappelle que les fonctions de forme approximent le dplacement dans llment en fonc-

tion des dplacements des nuds, ceci scrit dans un lment :

u e(M ) =

[ux

uy

]=

[ nI=1NI(x, y)uxInI=1NI(x, y)uyI

]= Neqe

o Ne est la matrice des fonctions de forme de llment et qe est le vecteur contenant les

inconnues de dplacement aux nuds.

Pour le triangle T3, il vient

Ne =

[N1 N2 N3 0 0 0

0 0 0 N1 N2 N3

]

et

qe = [ ux1 ux2 ux3 uy1 uy2 uy3 ]T

o uxIx + uyI

y est le vecteur dplacement du nud I.

IV.1.2 Expression des dformations

Dans le cas gnral on peut crire, en utilisant les notations de Voigt, les dformations en

fonction du dplacement,

e = Du e

32 Discrtisation par lments finis

avec

D =

x

0

0 y

y

x

en deux dimensions.

En remplaant u e par son expression en fonction de qe :

e = DNe(M ) qe = Be(M ) qe (IV.1)

o Be(M ) = DNe(M ) est appel oprateur gradient discrtis.

Pour obtenir lexpression de Be, il faut appliquer loprateurD Ne(M ). Pour llment

triangle 3 nuds on a :

Be(M ) =

N1x

N2x

N3x

0 0 0

0 0 0 N1y

N2y

N3y

N1y

N2y

N3y

N1x

N2x

N3x

On rappelle que pour llment triangle 3 nuds lexpression des fonctions de forme est

N1(x, y) =A1A

N2(x, y) =A2A

N3(x, y) =A3A

avec

2A = det

1 1 1

x1 x2 x3

y1 y2 y3

et

2A1 = det

1 1 1

x x2 x3

y y2 y3

= det

[x2 x3

y2 y3

] x det

[1 1

y2 y3

]+ y det

[1 1

x2 x3

]

qui peut scrire sous la forme

N1 = a1 + b1x+ c1y

De mme

N2 = a2 + b2x+ c2y

N3 = a3 + b3x+ c3y

Avec ces notations, lexpression de Be(M ) devient pour le triangle 3 nuds

Be(M ) =

b1 b2 b3 0 0 0

0 0 0 c1 c2 c3

c1 c2 c3 b1 b2 b3

IV.1 Construction dun lment fini 33

IV.1.3 Expression des contraintes

En utilisant les notations de la partie III.4, on peut crire les contraintes en fonction des

dformations,

e = Ce e

soit en remplaant les dformations par lexpression q.(IV.1)

e = Ce Be(M ) qe . (IV.2)

IV.1.4 Matrice de rigidit

Lnergie de dformation dun lment e vaut

EDe =

1

2

ee

T

e d

En remplaant e et e par les expressions des q.(IV.1) et q.(IV.2), on a

EDe =

1

2

eqeT BeT (M ) CeT Be(M ) qe d

Etant donn que Ce est symtrique et que qe ne dpend pas de M , on peut crire

EDe =

1

2qeT

eBeT (M ) Ce Be(M ) d qe

En posant

Ke =

eBeT (M ) Ce Be(M ) d

qui est la matrice de rigidit de llment e, on a

EDe =

1

2qeTKe qe

Dans le cas du triangle 3 nuds, tant donn que la matrice Be(M ) est constante dans

llment, le calcul de Ke est immdiat :

Ke = A h BeT Ce Be

o A est laire du triangle, h lpaisseur (par convention, h = 1 en dformations planes)

et Ce est la matrice de comportement qui peut tre crite en contraintes planes ou en

dformations planes.

IV.1.5 Forces extrieures gnralises

Le travail des forces extrieures agissant sur llment e scrit :

T e =Fe

ueT

F d dS terme A

+

ue

ueT

R dS terme B

+

eue

T

f d terme C


Terme A

e

e

Terme B

F

e

Terme C

f

u

F d

Figure IV.1 Forces agissant sur les lments.

soit en discrtisant

T e =Fe

qeT Ne(M )TF d d +

ue

qeT Ne(M )TR d +

eqT Ne(M )Tf d

Dans cette expression, q ne dpend pas de M , on peut crire :

T e = qeTFe

Ne(M )TF d d + qeTue

Ne(M )TR d + qeTeNe(M )Tf d

ou encore

T e = qeT F e

o F e est le vecteur des forces extrieures gnralises agissant sur llment e.

Le travail peut tre dcompos en trois termesA, B et C. Le terme A agit sur les lments

dont une frontire a une force impose (Fig. IV.1). Le terme B agit sur les lments dont

une frontire a un dplacement impos (Fig. IV.1). Le terme C agit sur tous les lments

subissant une force volumique (Fig. IV.1).

IV.1.6 Passage du repre local llment au repre global

Pour certains types dlments (poutres et barres par exemple), on calcule Kel la matrice

de rigidit lmentaire dans une base locale llment telle que

EDe =

1

2qeTKel q

e

o EDe est lnergie de dformation de llment e. Les dplacements nodaux qe sont exprims

dans la base locale llment. On ramne cette matrice dans les axes globaux par une

transformation Te telle que

qe = TeQe (IV.3)

o Qe sont les dplacements nodaux exprims dans la base globale. On a alors

EDe =

1

2(TeQe)TKelT

eQe =1

2QeTTeTKelT

eQe =1

2QeTKegQ

e

o Keg = TeTKelT

e est la matrice de rigidit exprime dans la base globale.

De mme, on calcule les forces gnralises lmentaires F e telles que

T e = qeTF el

IV.2 Calculs au niveau de la structure 35

1

2

3

4

5

6

I

II

III

IV

I 1 4 2

II 5 2 4

III 2 5 3

IV 6 3 5

II =

0 0 0 0 1 0

0 1 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0

qII= IIQqII =

q5q2q4

Q =

q1q2q3q4q5q6

Element II :Table de connectivit

Figure IV.2 Exemple dutilisation de la matrice de localisation pour lassemblage.

o T e est le travail lmentaire des forces extrieures et F el sont les forces aux nuds

exprimes dans la base locale. En remplaant par lq.(IV.3), on a

T e = QeTTeTF el = QeTF eg

o F eg = TeTF el sont les forces aux nuds exprimes dans la base globale.

IV.2 Calculs au niveau de la structure

IV.2.1 Assemblage par matrice de localisation

A partir des matrices de rigidit lmentaires Keg et des efforts gnraliss lmentaires Feg,

on construit la matrice de rigidit de la structure K et les efforts gnraliss F .

Lnergie de dformation ED de la structure et le travail des efforts extrieurs T valent

ED =e

EDe =

e

1

2QeT Keg Q

e , (IV.4)

T =e

T e =e

QeT F eg . (IV.5)

On peut utiliser une matrice de localisation e pour chaque lment e qui permet dex-

traire Qe de Q :

Qe = e Q . (IV.6)

En remplaant dans Eq.IV.4 et dans Eq.IV.5 on a

ED =e

1

2QT eT Keg

e Q =1

2QT

(e

eT Keg e)Q =

1

2QTKQ ,

T =e

QT eT F eg = QT(

e

eT F eg

)= QTF .

La matrice de localisation est une matrice contenant des 0 et des 1 placs aux degrs de

libert de llment e (voir exemple Fig. IV.2).

Les techniques de rsolution sont plus performantes pour des systmes diagonaux par

blocs. Il est alors souhaitable de numroter (ou de re-numroter) les noeuds de la structure

de faon rendre le systme diagonal par bloc.


IV.2.2 Rsolution du problme discrtis

On dcompose le vecteur des dplacements en deux parties : les dplacements libres [l]

(inconnus) et les dplacements prescrits [p] (connus),

Q =

Q[l]Q

[p]

De mme, on dcompose le vecteur des forces gnralises

F =

[F [l]

F [p]

]

o F [p] correspond aux ractions dappuis (inconnues) et F [l] correspond aux forces ap-

pliques sur la structure (connues).

Le problme rsoudre est :

Trouver Q[l]et F [p] tels que Q,

V = ED T = QTKQ QTF = 0 .

Lquation prcdente scrit alors :

[QT[l]

QT[p]]

K[ll] K[lp]KT[lp] K[pp]

Q[l]Q

[p]

= [QT

[l]QT

[p]]

[F [l]

F [p]

]

On aboutit aux deux quations suivantes, valables Q[l]et Q

[p],

QT[l]

(K[ll] Q[l] +K[lp] Q[p]

)= QT

[l]F [l] ,

QT[p]

(KT[lp] Q[l] +K[pp] Q[p]

)= QT

[p]F [p] .

soient les deux systmes suivants rsoudre,

K[ll] Q[l] = F [l] K[lp] Q[p] , (IV.7)

F [p] = KT[lp] Q[l] +K[pp] Q[p] . (IV.8)

Le premier systme dquations (IV.7) permet de rsoudre les inconnues de dplacements

q[l]. Une fois ce systme rsolu, le deuxime systme (IV.8) permet de rsoudre les inconnues

defforts F [p].

Dans le cas particulier o les dplacements imposs sont nuls sur u, les systmes (IV.7)

et (IV.8) rsoudre deviennent

K[ll] Q[l] = F [l] ,

F [p] = KT[lp] Q[l] .

Le systme (IV.7) est un systme linaire symtrique rsoudre, des mthodes de rso-

lution appropries existent. Le calcul des efforts inconnus est juste une opration triviale de

multiplication matricielle.

IV.3 Structure dun code de calcul 37

et 1 rotation

possibles

et 1 rotation

1 rotation

possible

aucun

mouvement

2 translations 1 translation

possibles possible

Figure IV.3 Exemple de blocage des modes de dplacements de solide rigide en bidimensionnel.

IV.2.3 Modes de dplacement de solide rigide

Les modes de dplacements de solide rigide QRde la structure sont ceux pour lesquels

lnergie de dformation est nulle, soit

1

2QTRK Q

R= 0 avec Q

R6= 0 .

Cela veut aussi dire que les forces ncessaires pour dplacer la structure sont nulles (problme

de statique, il ny a pas dinertie), donc on a aussi :

K QR= 0 avec Q

R6= 0 .

Les modes de dplacements de solide rigide correspondent alors au vecteurs propres de K

associs des valeurs propres nulles.

Si il existe un mode de dplacement de solide rigide, alors le systme IV.7 est non

inversible car la matrice K[ll] possde une valeur propre nulle associe ce mode de d-

placement de solide rigide.

Pour pouvoir rsoudre le systme IV.7 il faut que tous les modes de dplacements de

solide rigide soient bloqus. Pour un calcul bidimensionnel, il faut bloquer les 2 translations

et la rotation (Fig. IV.3).

IV.3 Structure dun code de calcul

Lors dun calcul lments finis, on effectue dans lordre les oprations suivantes :

Entre des donnes gomtriques et matriaux

Discrtisation de la gomtrie

coordonnes des nuds : tableau nodes

numrotation des nuds : implicite, le nud I est la I ime ligne de nodes

table de connectivit des lments avec les nuds : tableau elements

numrotation des lments : implicite, llment e est la eime ligne de elements

Calcul de K : boucle sur les lments

calcul de Ke

assemblage de Ke dans K

Rsolution du systme

identification des ddl dplacement inconnus libres : tableau [l]

identification des ddl dplacement connus prescris : tableau [p]


rsolution des ddl dplacement inconnus :

K[ll] Q[l] = F [l] K[lp] Q[p]

Post-traitement :

calcul des efforts inconnus :

F [p] = KT[lp] Q[l] +K[pp] Q[p]

calcul des contraintes dans chaque lment

calcul des estimateurs derreurs a posteriori

visualisation graphique, exploitation et sauvegarde des rsultats

V Calcul au niveau lmentaire

V.1 Matrice de rigidit dans llment de rfrence

Le calcul de la matrice de rigidit Ke fait intervenir une intgrale dans llment physique

de forme parfois complexe. Cette intgrale nest donc pas toujours possible calculer. En

utilisant llment de rfrence, de forme simple, on peut calculer facilement cette intgrale.

Lapproximation du dplacement scrit pour un quadrangle 4 nuds

u e(M ) =

[ux

uy

]=

[N1 N2 N3 N4 0 0 0 0

0 0 0 0 N1 N2 N3 N4

]

ux1

ux2

ux3

ux4

uy1

uy2

uy3

uy4

= Ne(M ) qe .

o uxIx + uyI

y est le dplacement du nud I.

Cet lment est dit isoparamtrique car il fait intervenir la mme approximation pour la

gomtrie (passage de llment de rfrence llment physique) et pour le dplacement.

On rappelle en effet que pour cet lment, les coordonnes physiques (x, y) dun point de

40 Calcul au niveau lmentaire

llment en fonction de ses coordonnes de rfrences (r, s) valent

xe(M ) =

[x

y

]=

[N1 N2 N3 N4 0 0 0 0

0 0 0 0 N1 N2 N3 N4

]

x1

x2

x3

x4

y1

y2

y3

y4

= Ne(M ) Xe .

Les dformations valent

e = DNe(M ) qe = Be(M ) qe

avec

D =

x0

0

y

y

x

.

Donc

Be(M ) =

N1,x...N4,x 0...0

0...0 N1,y...N4,y

N1,y...N4,y N1,x...N4,x

.

Or Ni(r, s) est une fonction de r et s, dont les drives par rapport x et y valent

Nix

=Nir

r

x+Nis

s

xNiy

=Nir

r

y+Nis

s

y,

ce qui scrit sous forme matricielle,

[N,x N,y

]=[N,r N,s

]

r

x

r

y

s

x

s

y

= F1

o F est le gradient de la transformation passant dun point (r, s) de llement de rfrence

son "image" (x, y) dans llment physique. Les drives des fonctions Ni(r, s) par rapport

r et s sont facilement calculables de faon analytique :

N1,r = 1

4(1 s) , N1,s =

1

4(1 r) ,

N2,r =1

4(1 s) , N2,s =

1

4(1 + r) ,

N3,r =1

4(1 + s) , N3,s =

1

4(1 + r) ,

N4,r = 1

4(1 + s) .N4,s =

1

4(1 r) .

V.1 Matrice de rigidit dans llment de rfrence 41

Il reste calculer F puis F1 pour obtenir Ni,x et Ni,y.

Le gradient de la transformation F a pour expression

F =

x

r

x

s

y

r

y

s

Calcul de xr

et de xs

x =4i=1

Nixi ,x

r=

4i=1

Nir

xi ,x

s=

4i=1

Nis

xi

ce qui scrit aussi

x

r=[N1,r N2,r N3,r N4,r

]x1

x2

x3

x4

,

x

s=[N1,s N2,s N3,s N4,s

]x1

x2

x3

x4

.

Calcul de yr

et de ys

y =4i=1

Niyi ,y

r=

4i=1

Nir

yi ,y

s=

4i=1

Nis

yi

ce qui scrit aussi

y

r=[N1,r N2,r N3,r N4,r

]y1

y2

y3

y4

,

y

s=[N1,s N2,s N3,s N4,s

]y1

y2

y3

y4

.

Finalement, on connat F, donc F1 et on peut calculer Be(M ).

Lexpression de la matrice de rigidit du quadrangle 4 nuds est

Ke =

eBe

T

(M ) Ce Be(M ) d =

11

11

he BeT

(r, s) Ce Be(r, s) detF dr ds

o he est lpaisseur de llment e.

Dans la plupart des cas, lintgration de la matrice de rigidit nest pas possible analy-

tiquement, on utilise une intgration numrique.

Exercice V.1 Construire les fonctions de forme du cube 8 nuds dans llment de rfrence. Repren-

dre la dmarche prcdente en lappliquant au cas tridimensionnel du cube 8 nuds.


bc

bc

bc

bc

bc

bc

f(ri)

I =

1

1

f(r) dr

f(1)

f(1)

f(r)

rir21 = r1 +1 = rn

Figure V.1 Intgration par la mthode de Newton-Ctes.

7

2

1

2 3

4

8

6

5

7

+1

+1

+1

1

t

s

r

u3y

u3z

u3x

3

8

4

5

6

z

xy

V.2 Intgration numrique

V.2.1 Cas unidimensionnel

Mthode de Newton-Ctes

On souhaite calculer lintgrale I dune fonction f(r) entre 1 et 1 (Fig. V.1) :

I =

11

f(r) dr .

On choisit n points ri rgulirement espacs dans lintervalle [1, 1] avec r1 = 1 et rn = 1.

On approxime f(r) par un polynme f(r) de degr n1 prenant les valeurs f(ri) aux points

ri. Lexpression de f(r) est

f(r) =ni=1

f(ri)Pn1i (r)

o P n1i (r) est le polynme de degr n1 qui vaut 1 en ri et 0 en rj 6=i. En crivant Pn1i (r)

comme un polynme de Lagrange, on a

P n1i (r) =nj=1,j 6=i(r rj)

nj=1,j 6=i(ri rj).

Donc lapproximation I de I vaut

I =

11

f(r) dr =ni=1

f(ri)

11

P n1i (r) dr

V.2 Intgration numrique 43

nombre de points ordre du polynme intgr exactement

2 1 (linaire)

3 2 (parabolique)

4 3 (cubique)

Tableau V.1 Ordre des polynmes intgrs exactement par la mthode de Newton-Ctes.

11

bc

bc

f

fI

f(1)

f(1)

Figure V.2 Mthode de Newton avec 2 points dintgration - Formule des trapzes

ou encore

I =ni=1

f(ri)wi avec wi =

11

P n1i (r) dr

que lon sait calculer puisque les fonctions P n1i (r) sont connues. Les nombres wi sont

appels poids dintgration associs aux points dintgration ri.

Cette mthode intgre exactement les polynmes dordre n1 avec n points dintgration,

(tableau V.1) puisque f(r) reproduit exactement les polynmes de degr n 1. Les figures

V.2 et V.3 montrent de faon graphique lintgration dune fonction avec 2 puis 3 points

dintgration.

Si f(r) = 1, alors

I = I =

11

1 dr = 2 =ni=1

wi

On remarque que la somme des poids dintgration est toujours gale la longueur de

lintervalle intrgr, soit 2 ici.

Exercice V.2 Trouver les poids associs 3 points dintgration placs en 1, 0 et 1 (fig. V.3).

Mthode de Gauss

En choisissant judicieusement les points dintgration, on peut intgrer exactement les

polynmes dordre 2n 1 avec n points.

11

bc

bc

bc

f

fI

f(1)

f(0)

f(1)

Figure V.3 Mthode de Newton avec 3 points dintgration - Formule de Simpson


nombre de points ordre du polynme intgr exactement

1 1

2 3

3 5

Tableau V.2 Ordre des polynmes intgrs exactement par la mthode de Gauss.

Les coordonnes et les poids des points peuvent tre trouvs analytiquement. Pour illus-

trer la mthode, on cherche les points et leurs poids qui permettent dintgrer exactement

les polynmes dordre 3 avec 2 points. La fonction f intgrer vaut

f(r) = a0 + a1r + a2r2 + a3r

3

et son intgrale entre 1 et 1 vaut

I =

11

f(r) dr = 2a0 +2

3a2 .

On prend 2 points dintgration, symtriques par rapport 0, r1 = R et r2 = R ayant

pour poids w1 = w2 = w. Daprs lq.(V.1), on a

I = wf(R) + wf(R)

soit

I = w(2a0 + 2a2R2) = 2w(a0 + a2R

2) .

Il faut que I = I pour que f soit intgre exactement, et ce quelques soient a0, a1, a2 et a3

donc

I = I 2a0 +2

3a2 = 2w(a0 + a2R

2) w = 1 et R2 =1

3.

Finalement, en prenant comme points dintgration r1 = 13et r2 =

13avec comme poids

w1 = w2 = 1, on intgre exactement tous les polynmes dordre 3.

On peut gnraliser pour les polynmes dordre 2n 1 (tab. V.2). Le tableau V.3 donne

les positions et les poids des points de Gauss pour n de 2 7. Lavantage dutiliser une

intgration par points de Gauss est que cela ncessite moins de points ce qui entraine un

gain dans le temps de calcul.

V.2.2 Choix de lordre dintgration : application au quadrangle

La matrice de rigidit pour un quadrangle vaut :

Ke =

11

11

he BeT

(r, s) Ce Be(r, s) detF dr ds .

La base dapproximation du dplacement pour le quadrangle 4 nuds est [ 1 r s rs ] ;

en drivant cette base par rapport r dune part et s dautre part, on obtient la base de

B(r, s) soit [ 1 r s ].

En supposant que llment physique soit un rectangle (Fig. V.4), le dterminant de la

transformation detF est constant. En effet,


nb points ordre ri wi2 3 0,5773502692 1,0000000000

3 5 0,7745966692 0,5555555556

0,0000000000 0,8888888889

4 7 0,8611363116 0,3478548451

0,3399810436 0,6521451549

5 9 0,9061798459 0,2369268850

0,5384693101 0,4786286705

0,0000000000 0,5688888889

6 11 0,9324695142 0,1713244924

0,6612093865 0,3607615730

0,2386191861 0,4679139346

7 13 0,9491079123 0,1294849662

0,7415311856 0,2797053915

0,4058451514 0,3818300505

0,0000000000 0,4179591837

Tableau V.3 Positions et poids des points dintgration de la mthode de Gauss.

lx

lyx

y

r1

s

1 1

1

Figure V.4 Elment quadrangle de forme rectangulaire.


113

13

1

r

s

1 13

131

Figure V.5 Intgration par points de Gauss dun lment quadrangle.

x =lx2r ; y =

ly2s ; F =

x

r

x

s

y

r

y

s

=

lx2

0

0ly2

detF =lxly4

=aire lment physique

aire lment rfrence

En prenant de plus un matriau homogne dans llment, C est aussi constant. Finale-

ment, la base intgrer est celle de B(r, s) au carr, soit

[ 1 r s ] [ 1 r s ] = [ 1 r s r2 s2 rs ]

On peut alors identifier les termes de plus haut degr dans chaque direction : 2 pour r et s

dans ce cas. On trouve le nombre de points de Gauss n en crivant 2n 1 > 2 soit n = 2

dans chaque direction (Fig. V.5).

Lexpression du calcul de la matrice de rigidit est alors

Ke =2i=1

2j=1

h wi wj BeT (ri, sj) C

e Be(ri, sj) detF(ri, sj) .

On peut rsum ainsi lalgorithme de calcul de K par intgration numrique :

1. Initialiser Ke zro

2. Pour chaque point de Gauss g faire

(a) Initialiser kg zro

(b) Dterminer les coordonnes (rg, sg) et le poids wg du point de Gauss

(c) Evaluer N1,r|g ; N1,s|g ;... N4,s|g au point de Gauss g

(d) Evaluer F |g

(e) Evaluer F1|g

(f) Evaluer B|g

(g) Evaluer la contribution kg du point de Gauss Ke

kg = he BT |g C B|g detF|g wg


h> 1

h

h

h 1

h

h

Figure V.6 Taux de distorsion pour le quadrangle.

(h) Ajouter kg Ke :

Ke =Ke + kg

3. Calculer la matrice de localisation e

4. Assembler Ke dans K :

K =K + eTKee

Le calcul des forces extrieures sur llment se fait aussi par intgration numrique par

la mme stratgie dintgration.

V.2.3 Critre de qualit du maillage

Dans la pratique, llment nest jamais un rectangle, donc la transformation F nest pas

constante ce qui engendre des erreurs dans le calcul numrique par points de Gauss de la

matrice de rigidit. Cette erreur est maitrise en contrlant la qualit du maillage.

Les lments doivent tre le plus proche possible de la forme de llment de rfrence

associ. On peut par exemple utilis le taux de distorsion dun lment (Fig. V.6) dfini

comme le rapport entre la plus grande longueur h sur le diamtre du plus grand cercle

inscrit ; le critre est alors :

h

< valeur donne (de 3 10 gnralement)

Dautres critres de qualit de maillage propres chaque logiciel de maillage ou code de

calcul existent, ils sont dtaills dans les notices dutilisation.

VI Elments de structure

VI.1 Elment fini de barre

VI.1.1 Fonctions de forme

On dsigne par barre une poutre travaillant seulement en traction-compression. Typique-

ment, les treillis de poutres sont souvent approxims dans un premier temps comme un

ensemble de barres rotules entre elles.

Un lment de barre et reprsent par un segment de droite reliant les deux extrmits

de la barre (Fig. VI.1). La barre est caractrise par sa longueur l, par laire de sa section

S et par son module dYoung E. Les extrmits sont appels les nuds de la barre, ils ont

pour abscisses x1 = 0 et x2 = l.

Le dplacement participant la dformation de la barre est port par laxe de la barre

not x . On note les dplacements des nuds 1 et 2 respectivement u1x , u2

x .

On approxime de faon linaire le dplacement u(x) dun point dabscisse x en fonction

x

y

1

u1 u2

2Avant dformation :

Aprs dformation :

x

u(x)

l1(x) l2(x)

Figure VI.1 Elment barre 2 nuds.

50 Elments de structure

bc bc

N1(x) = 1x

l

N2(x) =x

l

0 l

x

1

Figure VI.2 Fonctions de forme de llment barre.

des dplacements u1 et u2 des nuds (calcul barycentrique) :

u(x) =l1(x)u1 + l2(x)u2

l.

La valeur du poids du nud 1 est l1(x), cest la distance entre le point M (x) et le nud 2.

De mme, la valeur du poids du nud 2 est l2(x), cest la distance entre le point M (x) et

le nud 1. La somme des poids est l1(x) + l2(x) qui vaut la longueur de llment l.

En prenant lorigine du repre de llment au nud 1, on a :

l1(x) = l x et l2(x) = x

soit en remplaant dans lexpression de u(x)

u(x) =(1

x

l

)u1 +

x

lu2 .

En posant

N1(x) = 1x

let N2(x) =

x

l,

on a

u(x) = N1(x)u1 +N2(x)u2 . (VI.1)

La fonction N1 est appele fonction dinterpolation ou fonction de forme associe au nud

1. De mme, la fonction N2 est appele fonction de forme associe au nud 2. La figure

VI.2 donne la reprsentation graphique de N1 et de N2. On remarque que

x [0, l], N1(x) +N2(x) = 1.

On retrouve les fonctions calcules en utilisant les polynmes de Lagrange avec 2 points

ou bien en rsolvant le systme de 2 quations 2 inconnues construit partir de la base

[ 1 x ].

Lexpression du dplacement dun point quelconque de la barre en fonction des dplace-

ments aux nuds scrit aussi

u(x) = [ N1(x) N2(x) ]

[u1

u2

]= N(x) q

avec

N(x) = [ N1(x) N2(x) ] et q =

[u1

u2

].

VI.1 Elment fini de barre 51

VI.1.2 Energie de dformation

Ltat de traction-compression est caractris par loprateur des contraintes suivant :

=

xx 0 0

0 0 0

0 0 0

(x ,y ,z )

.

Le calcul de lnergie de dformation se rduit dans ce cas

ED =1

2

: d =

1

2

xx xx d.

et la relation de comportement devient

xx = E xx

o E est le module dYoung. Donc lnergie de dformation scrit

ED =1

2

E 2xx d.

La dformation xx est fonction du dplacement u(M ) suivantx et vaut

xx =du

dx.

En remplaant dans lexpression de lnergie de dformation, on obtient

ED =1

2

E(dudx

)2d.

Lintgrale dans peut tre dcompose en une intgrale dans la section x constant puis

dune intgrale le long de laxe de la poutre suivant x :

ED =1

2

S

l0E(dudx

)2dx dS.

En remarquant que SdS

est gal laire de la section S et avec E constant, on a

ED =1

2ES

l0

(dudx

)2dx

VI.1.3 Matrice de rigidit en fonction des dplacements locaux

Lnergie de dformation est donne par lquation

ED =1

2ES

l0

(dudx

)2dx

en fonction du dplacement. Cette expression fait intervenir la drive de u(x) par rapport

x. En remplaant :

du(x)

dx=

dN(x)

dxq

=[ ddx

(1

x

l

) ddx

(xl

) ]q

=[

1

l

1

l

]q ,


soitdu(x)

dx= B q

avec la matrice B qui vaut

B =[

1

l

1

l

].

On remarque que lon a aussi lexpression

du(x)

dx=(B q

)T= qT BT

donc (du(x)dx

)2=

du(x)

dx

du(x)

dx= qT BT B q.

En remplaant dans lexpression de lnergie de dformation, on a

ED =1

2ES

l0qT BT B q dx.

En remarquant que q ne dpend pas de x, on a alors

ED =1

2qT

(ES

l0B(x)T B(x) dx

)q =

1

2qTKq

avec K qui est appele matrice de rigidit et qui vaut

K = ES

l0BT B dx.

En remplaant B par son expression on a

K = ES

l0

1

l1

l

[ 1

l

1

l

]dx

=ES

l2

l0

[1 1

1 1

]dx

=ES

l

[1 1

1 1

]

La matrice de rigidit de llment barre est donc

K =ES

l

[1 1

1 1

].

Cette matrice est quivalente la matrice de rigidit dun ressort avec une raideur

k = ESl.

VI.1.4 Matrice de rigidit en fonction des dplacements globaux

Dans leur environnement, les barres composant un treillis sont positionnes arbitrairement

dans lespace et font des angles diffrents avec le repre global de la structure (X,

Y ) (Fig.

VI.3).

VI.1 Elment fini de barre 53

u1Y

u1X

u2X

1

u2Y

x

X

Y

2

Figure VI.3 Elment barre dans une base globale.

On note langle entre laxeX du repre global et laxe x du repre local la barre.

Le vecteur dplacement dun point de la barre scrit dans le repre local

u = ux .

Il scrit dans le repre globalu = uX

X + uY

Y .

En projetant les deux quations prcdentes sur x il vient

u = uX cos + uY sin .

En notant u1X et u1Y les dplacements suivant

X et

Y du nud 1 de la barre dans le repre

global, et en appliquant la formule prcdente au nud 1, on a

u1 = u1X cos + u

1Y sin .

En utilisant les mmes notations pour le nud 2, on a

u2 = u2X cos + u

2Y sin .

Ceci peut scrire sous la forme matricielle suivante

[u1

u2

]=

[cos sin 0 0

0 0 cos sin

]

=T

u1Xu1Yu2Xu2Y

=Q

soit

q = TQ

o Q est le vecteur des inconnus de dplacements aux nuds de llment dans le repre

global et T est la matrice de transformation passant du repre global au repre local.

En remplaant dans lexpression de lnergie de dformation, on a

ED =1

2qTKq = (TQ)TKTQ = QT TTKT

=KGlobal

Q


y

x

x0 l

w(x)

y

y

Figure VI.4 Elment de poutre en flexion.

oKGlobal est une matrice 44, cest la matrice de rigidit llment barre pour les inconnus

de dplacements dans le repre global. Tous calculs faits, on trouve

KGlobal =ES

L

cos2 cos sin cos2 cos sin

cos sin sin2 cos sin sin2

cos2 cos sin cos2 cos sin

cos sin sin2 cos sin sin2

.

VI.2 Elment fini de poutre

VI.2.1 Description de llment

Soit un lment de poutre de longueur l, de section S, de module dYoung E et de moment

dinertie de section I (Fig. VI.4). Les deux extremits de la poutre sont les nuds 1 et 2

dabscisses respectives 0 et l.

On utilise les notations suivantes :

w(x) : dplacement suivant y dun point M dabscisse x,

(x) : rotation de la section en M ,

w1 : dplacement suivanty du nud 1,

w2 : dplacement suivanty du nud 2,

1 : rotation de la section au nud 1,

2 : rotation de la section au nud 2,

F1 : force extrieure suivanty au nud 1,

F2 : force extrieure suivanty au nud 2,

M1 : moment extrieur suivantz au nud 1,

M2 : moment extrieur suivantz au nud 2.

VI.2.2 Energie de dformation

On fait lhypothse de Bernoulli, cest dire quune section initiallement plane et per-

pendiculaire la ligne moyenne reste plane et perpendiculaire la ligne moyenne aprs

dformation. On a alors la relation

(x) =dw(x)

dx= w(x)

VI.2 Elment fini de poutre 55

car w(x) reprsente la pente de la dforme qui est assimilable langle de rotation dans le

cas de petites rotations. Le dplacement dun point situ la cote y de la fibre neutre vaut

alors (Fig. VI.4) :u (M ) = y(x)x = yw(x)x .

La dformation axiale xx associe ce dplacement vaut

xx =(yw(x))

x= yw(x)

et la contrainte axiale vaut

xx = Exx = yEw(x).

en faisant lhypothse que seul xx nest pas nul.

Lnergie de dformation vaut alors

ED =1

2

: d =

1

2

xxxx d

qui vaut en remplaant xx et xx par leurs valeurs et en sparant lintgrale en une intgrale

dans la section S et une intgrale dans la direction axiale x :

ED =1

2E

lx=0

( Sy2 dS

)(w(x)

)2dx.

Or on sait queS y

2 dS est gal I le moment quadratique de la section autour de laxez , on a finalement

ED =1

2EI

lx=0

(w(x)

)2dx.

VI.2.3 Fonctions de forme

On cherche w(x) sous la forme dun polynme de degr 3 :

w(x) = ax3 + bx2 + cx + d

donc

w(x) = 3ax2 + 2bx+ c

On souhaite exprimer w(x) en fonction de w1, w2, 1 et 2. Les conditions suivantes

w(0) = w1 ; w(l) = w2 ; w(0) = 1 ; w(l) = 2 ;

donnent le systme suivant

d = w1

al3 + bl2 + cl + d = w2

c = 1

3al2 + 2bl + c = 2


qui est un systme de 4 quations 4 inconnues et qui a pour solution

a =1

l3(2w1 2w2) +

1

l2(1 + 2)

b =3

l3(w2 w1)

1

l(21 + 2)

c = 1

d = w1 .

On peut finalement crire w(x) en fonction de w1, w2, 1 et 2 comme

w(x) = N1(x)w1 +N2(x)1 +N3(x)w2 +N4(x)2

avec

N1(x) =2

l3x3

3

l2x2 + 1 ; N2(x) =

1

l2x3

2

lx2 + x

N3(x) = 2

l3x3 +

3

l2x2 ; N4(x) =

1

l2x3

1

lx2

On retrouve bien sur les mmes fonctions que celles trouves prcdemment dans le para-

graphe interpolation de type Hermite.

On peut aussi noter

w(x) = N(x)q = qTN(x)T

avec

N(x) = [ N1(x) N2(x) N3(x) N4(x) ]

qui est la matrice des fonctions de forme et

q = [ w1 1 w2 2 ]T

qui est le vecteur des inconnues aux nuds de llment.

VI.2.4 Matrice de rigidit

On utilise lexpression de lnergie de dformation en fonction de w(x) pour calculer la

matrice de rigidit. On a besoin dans un premier temps de calculer w(x) :

w(x) =d2(N(x)q)

dx2=

d2N(x)

dx2q = N(x)q = qTN(x)T .

Ce terme est calculable puisque lon connait N(x) en fonction de x. On a

N(x) = [ N 1 (x) N2 (x) N

3 (x) N

4 (x) ]

avec

N 1 (x) =2

l

(

3

l+

6

l2x); N 2 (x) =

2

l

( 2 +

3

lx)

N 3 (x) =2

l

(3l

6

l2x); N 4 (x) =

2

l

( 1 +

3

lx).

Pour calculer la matrice de rigidit, il faut maintenant remplacer w(x) dans lexpression

de lnergie de dformation. On obtient dans un premier temps(w(x)

)2= w(x)w(x) = qTN(x)TN(x)q

VI.3 Elment fini de plaque 57

y

x

hz

S : plan moyen

Figure VI.5 Structure de type plaque.

et en remplaant dans lnergie de dformation, on a

ED =1

2EI

lx=0

qTN(x)TN(x)q dx =1

2qT EI

lx=0

N(x)TN(x) dx matrice de rigidit

q.

Finalement, en posant K la matrice de rigidit,

K = EI

lx=0

N(x)TN(x) dx,

lnergie de dformation devient

ED =1

2qTKq.

La matrice de rigidit de llment poutre de flexion est une matrice 4 4. Elle vaut aprs

calcul des intgrales

K =2EI

l3

6 3l 6 3l

3l 2l2 3l l2

6 3l 6 3l

3l l2 3l 2l2

VI.3 Elment fini de plaque

VI.3.1 Hypothses de plaque

Hypothses sur le comportement

Une plaque est un domaine dont une dimension est plus petite que les deux autres (Fig.

VI.5). Le plan moyen (not S) de la plaque a pour repre (x ,y ). La troisime direction z

est celle de lpaisseur h. La diffrence gomtrique entre une plaque et une coque est que

la coque possde un rayon de courbure. Ce rayon de courbure provoque un couplage appel

membrane-flexion : si la coque est sollicite avec un effort perpendiculaire au plan tangent,

(plan moyen pour la plaque) elle travaille en flexion mais aussi en traction contrairement

la plaque (Fig. VI.6).


N = 0 ; Mf 6= 0 N 6= 0 ; Mf 6= 0

Figure VI.6 Diffrence entre une plaque et une coque.

La premire hypothse suppose que la contrainte zz est nulle dans toute la plaque. La

loi de comportement scrit alors :

xx =1+Exx

E(xx + yy) xy =

1+Exy

yy =1+Eyy

E(xx + yy) xz =

1+Exz

zz = E(xx + yy) yz =

1+Eyz

En inversant les relations, on montre que

=

xx

yy

xy

xz

yz

=

E

1 2

1 0 0 0

1 0 0 0

0 0 12

0 0

0 0 0 12

0

0 0 0 0 12

=C

xx

yy

2xy

2xz

2yz

= C .

Les effets peuvent tre dcomposs en deux parties : partie plane (xx, yy, xy) et partie

hors plan (xz, yz). La partie dans le plan est due aux effets de membrane et de flexion tandis

que la partie hors plan est appele cisaillement transverse.

Hypothses cinmatique

La cinmatique peut tre dcompose en 2 effets :

flexion : rotation des segments perpendiculaires au plan moyen et dplacement suivantz

membrane : dplacement suivant x et y .

Un point de la plaque est not M (x, y, z), sa projection sur le plan moyen est note

m(x, y). Le dplacement de m est not

u (m) = u(x, y)x + v(x, y)y + w(x, y)z

Le dplacement de M vaut

u (M ) = uM (x, y, z)x + vM (x, y, z)y + wM (x, y, z)z

La rotation dun segment autour de x (1) est note y, la rotation autour dey est note

x.

(1) en toute rigueur x


hM

mz x

zx

z y

zy

z

w

y

vz

x

uz

Figure VI.7 Cinmatique de plaque.

Le dplacement de M scrit

u (M ) = u (m)+Mm

= u(x, y)x+v(x, y)y +w(x, y)z zz (y(x, y)

x+x(x, y)y )

soit

u (M ) =

u(x, y) + zx(x, y)

v(x, y) + zy(x, y)

w(x, y)

Ecriture de la relation dformations-dplacement

Partie plane des dformations

=

xx

yy

2xy

=

u,x

v,y

u,y + v,x

=e

+z

x,x

y,y

x,y + y,x

=

Partie hors plan des dformations : cisaillement transverse

=

[2xz

2yz

]=

[x + w,x

y + w,y

]Deux hypothses sont classiquement utilises pour les plaques ; Kirchoff-Love ou Reissner-

Mindlin (Fig. VI.8) :

Lhypothse de Kirchoff-Love est lquivalent de Euler-Bernoulli pour les poutres,

on suppose que le cisaillement transverse est nul :

xz = yz = 0.


z

Mindlin

Kirchoff

Figure VI.8 Diffrences entres les modles cinmatiques de Kirchoff-Love et Reissner-Mindlin

Ceci entraine que x = w,x et y = w,y. Dun point de vue cinmatique cela veut

dire quune section initialement plane et perpendiculaire la surface moyenne le reste

aprs dformation. Dun point de vue interpolation par lments finis, il faut alors

quil y ait compatibilit entre w et les rotations x et y. Linterpolation de w est

gnralement dordre 3 et les fonctions de forme sont des polynmes dHermite. Ce

modle est adapt aux plaques lances

Lhypothse de Reissner-Mindlin est lquivalent de Timoshenko pour les poutres,

on prend en compte le cisaillement transverse et aucune autre hypothse nest faite.

Les interpolations de w et des rotations peuvent tre diffrentes. Ce modle est adapt

aux plaques dites paisses.

Ecriture de la relation de comportement

Avec lhypothse des contraintes planes, la loi de comportement scrit

= [ xx yy xy xz yz ]T =

[

]

avec

=

xx

yy

xy

= E1 2

1 0

1 0

0 0 12

xx

yy

2xy

= C

et

=

E2(1+) 0

0 E2(1+)

[ 2xz

2yz

]= CCT

Energie de dformation

ED =1

2

T d =

1

2

[ T T ]

[

]d

ED =1

2

[ (e+ z)T T ]

[C 0

0 CCT

] [e+ z

]d

ED =1

2

S

h2

h2

{eT Ce+ z2T C+ zT Ce+ zeT C

=0 car h

2

h

2

z = 0

+TCCT}dz dS


ED =1

2

S

{heT Ce+

h3

12T C+ hTCCT

}dS

Finalement, en posant

Cm =Eh

1 2

1 0

1 0

0 0 12

; Cf = Eh312(1 2)

1 0

1 0

0 0 12

; Cc = Eh2(1 + )

[1 0

0 1

]

on a

ED =1

2

SeTCme dS +

1

2

STCf dS +

1

2

STCc dS

o1

2

SeTCme dS est lnergie de dformation due la membrane,

1

2

STCf dS est lnergie de dformation due la flexion,

1

2

STCc dS est lnergie de dformation due au cisaillement transverse.

VI.3.2 Discrtisation dun lment de Reissner-Mindlin

Matrice de rigidit

Llment de plaque dvelopp ici prend en compte le cisaillement transverse. Les dplace-

ments et les rotations sont interpoles dans un lment par les mmes fonctions de formes :

u(x, y) =I

NI(x, y)uI = NU ; v(x, y) =I

NI(x, y)vI = NV

w(x, y) =I

NI(x, y)wI = NW ; x(x, y) =I

NI(x, y)xI = Nx

y(x, y) =I

NI(x, y)yI = Ny

o U , V , W , x et y sont respectivement les dplacements et rotations aux nuds du

maillage. Le calcul au niveau lmentaire tant similaire aux autres lments (lasticit

plane par exemple), il nest pas dtaill ici. De mme, aucune forme dlment nest impose

(triangle ou quadrangle).

La partie plane des dformations e vaut

e =

u,x

v,y

u,y + v,x

=

x

0

0 y

y

x

[u

v

]=

x

0

0 y

y

x

[N 0

0 N

] [U

V

]

e =

N,x 0

0 N,y

N,y N,x

[U

V

]= Bm

[U

V

]


fz

z

y

x

L

S

fx

fy

Fz

Figure VI.9 Forces extrieures appliques sur la plaque.

La partie flexion des dformations vaut

=

x,x

y,y

x,y + y,x

=

x

0

0 y

y

x

[x

y

]=

x

0

0 y

y

x

[N 0

0 N

] [x

y

]

=

N,x 0

0 N,y

N,y N,x

[x

y

]= Bf

[x

y

]

La partie cisaillement transverse des dformations vaut

=

[x + w,x

y + w,y

]=

x 1 0

y

0 1

w

x

y

=

x 1 0

y

0 1

N 0 0

0 N 0

0 0 N

W

x

y

=

[N,x N 0

N,y 0 N

] W

x

y

= Bc

W

x

y

En remplaant dans lnergie de dformation, il vient

ED =1

2

S

{[ UT V T ]BTmCmBm

[U

V

]+[ x

T yT ]BTfCfBf

[x

y

]+[W T x

T yT ]BTc CcBc

W

x

y

} dS

ED =1

2QT

S

[BTmCmBm

]0

0

BTc CcBc . . .... [ +BTfCfBf ]

dSQ

avec Q = [ UT V T W T xT y

T ]T .

Vecteur des forces extrieures gnralises

Les forces extrieures sont appliques sur le contour de la plaque ainsi que sur une des faces

(fig. VI.9). Sur le contour les forces surfaciques sont notes [ fx fy fz ]. On suppose que


X

Y

Z

y

1

23

x

Figure VI.10 Elment de plaque dans lespace.

la force surfacique applique sur la plaque nest porte que par z et vaut Fz . On note s

labscisse curviligne sur la ligne moyenne L du contour de la plaque. Le travail des efforts

extrieurs vaut

T =contour, surface

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CalculStructuresEF_Legay