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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA INDOAMERICA
CALCULO DIFERENCIAL
AUTOR: Ramos Bonilla Luis Nicols
TUTOR: Ing. Byron Viteri
AMBATO - ECUADOR
Recordemos el camino trazado
Funciones de una variable
Limites y continuidad
La derivada
Aplicaciones de la derivada
Clculo
Diferencial
La derivada
Pero, antes de iniciar veamos una simple pregunta
Introduccin a la Derivada
Ya analizamos
funciones
Tambin limites de funciones
Y el tema que iniciamos hoy es.
La pregunta del milln
Qu es una
derivada?
( un minuto de silencio)
veamos un ejemplo...
Introduccin a la Derivada
La pregunta del milln
Qu es una derivada?
Si tenemos una funcin definida por
La mayora contestara: su derivada es:
MUY BIEN!! .. Pero..
memorizar trminos matemticos y no tener la mnima
idea de lo que significan, es equivalente a no saberlos..
las matemticas no se memorizan se deben razonar!!
Introduccin a la Derivada
Algunos conceptos bsicos.
Introduccin a la Derivada
La recta secante
y la recta tangente
en trminos
geomtricos
Recta secante
Recta tangente
es una recta que
intersecta un crculo
en dos puntos
es una recta que
tiene un punto en
comn con un circulo
apliquemos lo anterior en una funcin..
Haga clic para modificar el estilo de texto del patrn
Segundo nivel
Tercer nivel
Cuarto nivel
Quinto nivel
Algunos conceptos bsicos.
Introduccin a la Derivada
La recta secante
y la recta tangente
en una funcin
Funcin original
Haga clic para modificar el estilo de texto del patrn
Segundo nivel
Tercer nivel
Cuarto nivel
Quinto nivel
Algunos conceptos bsicos.
Introduccin a la Derivada
La recta secante
y la recta tangente
en una funcin
Funcin original
Recta secante
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Segundo nivel
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Cuarto nivel
Quinto nivel
Algunos conceptos bsicos.
Introduccin a la Derivada
La recta secante
y la recta tangente
en una funcin
Funcin original
Recta tangente
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Segundo nivel
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Cuarto nivel
Quinto nivel
Algunos conceptos bsicos.
Introduccin a la Derivada
Sabemos que una de las caractersticas
principales de una recta es su pendiente (m)
En trminos muy simples la pendiente de una recta es
un valor numrico que representa la inclinacin de dicha recta
Muy sencillo de obtener si
tienes dos puntos sobre una recta!
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Cuarto nivel
Quinto nivel
Algunos conceptos bsicos.
Introduccin a la Derivada
Funcin original
Recta secante
De acuerdo a lo anterior, la obtencin de la pendiente de una
recta
secante en la curva de una funcin es:
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Cuarto nivel
Quinto nivel
Algunos conceptos bsicos.
Introduccin a la Derivada
Recta tangente
Pero.. y como obtener anlogamente la pendiente de una recta
tangente si solo conoce un punto?
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Tercer nivel
Cuarto nivel
Quinto nivel
Algo de historia.
Introduccin a la Derivada
Esta cuestin se origin con los matemticos griegos hace dos mil
aos,
y fue finalmente abordada en el siglo XVII por varios matemticos
ilustres,
entre los que se encuentran :
Pierre de Fermat
Rene Descartes
Gottfried Wilhelm Leibniz
Leibniz, llamado por muchos el padre del Clculo
Moderno, en 1684 propuso un mtodo
general para encontrar las tangentes a una
curva a travs de lo que el llamo smbolos.
Cmo?
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Tercer nivel
Cuarto nivel
Quinto nivel
La derivada.
Introduccin a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un mtodo para
encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE
Supongamos que deseamos
conocer la pendiente de la
recta tangente en X=1
Observe que si hacemos
diversas aproximaciones de rectas
secantes, podemos hacer una
muy buena estimacin de la
Pendiente de la recta tangente
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Tercer nivel
Cuarto nivel
Quinto nivel
La derivada.
Introduccin a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un mtodo para
encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
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Segundo nivel
Tercer nivel
Cuarto nivel
Quinto nivel
La derivada.
Introduccin a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un mtodo para
encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
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Segundo nivel
Tercer nivel
Cuarto nivel
Quinto nivel
La derivada.
Introduccin a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un mtodo para
encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
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Segundo nivel
Tercer nivel
Cuarto nivel
Quinto nivel
La derivada.
Introduccin a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un mtodo para
encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
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Segundo nivel
Tercer nivel
Cuarto nivel
Quinto nivel
La derivada.
Introduccin a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un mtodo para
encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
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Segundo nivel
Tercer nivel
Cuarto nivel
Quinto nivel
La derivada.
Introduccin a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un mtodo para
encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
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Segundo nivel
Tercer nivel
Cuarto nivel
Quinto nivel
La derivada.
Introduccin a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un mtodo para
encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
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Tercer nivel
Cuarto nivel
Quinto nivel
La derivada.
Introduccin a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un mtodo para
encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
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Segundo nivel
Tercer nivel
Cuarto nivel
Quinto nivel
La derivada.
Introduccin a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un mtodo para
encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
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Tercer nivel
Cuarto nivel
Quinto nivel
La derivada.
Introduccin a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un mtodo para
encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
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Segundo nivel
Tercer nivel
Cuarto nivel
Quinto nivel
La derivada.
Introduccin a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un mtodo para
encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
Observa que el punto
Cada vez se acerca
ms al punto
Atajo
Volver a
mostrar
Continuar
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Cuarto nivel
Quinto nivel
La derivada.
Introduccin a la Derivada
Recuerda que lo que se desea es conocer un mtodo para
encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
Ahora, como expresar el
comportamiento anterior
en trminos matemticos?
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Cuarto nivel
Quinto nivel
La derivada.
Introduccin a la Derivada
Aprox.
Procedemos
a sustituir:
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Tercer nivel
Cuarto nivel
Quinto nivel
La derivada.
Introduccin a la Derivada
Considerando:
Procedemos
a sustituir:
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Segundo nivel
Tercer nivel
Cuarto nivel
Quinto nivel
La derivada.
Introduccin a la Derivada
Ahora
Consideremos:
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Segundo nivel
Tercer nivel
Cuarto nivel
Quinto nivel
La derivada.
Introduccin a la Derivada
Ahora recordemos el comportamiento
de las rectas secantes y podemos ver
que tiende a disminuir
Presiona para observar nuevamente el comportamiento
(utiliza el botn atajo para regresar a esta diapositiva)
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Segundo nivel
Tercer nivel
Cuarto nivel
Quinto nivel
La derivada.
Introduccin a la Derivada
Ahora recordemos el comportamiento
de las rectas secantes y podemos ver
que tiende a disminuir
Presiona para observar nuevamente el comportamiento
(utiliza el botn atajo para regresar a esta diapositiva)
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Segundo nivel
Tercer nivel
Cuarto nivel
Quinto nivel
La derivada.
Introduccin a la Derivada
Podemos expresar lo anterior as:
lim
Analizando dicho comportamiento,
procedemos a aplicar un lmite as:
Se puede observar
que el punto
cada vez se aproxima
ms al punto
pero no llegar a tocarlo
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Tercer nivel
Cuarto nivel
Quinto nivel
La derivada.
Introduccin a la Derivada
Finalmente considerando lo siguiente:
lim
La expresin nos queda as:
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Tercer nivel
Cuarto nivel
Quinto nivel
La derivada.
Introduccin a la Derivada
Finalmente considerando lo siguiente:
lim
La expresin nos queda as:
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Segundo nivel
Tercer nivel
Cuarto nivel
Quinto nivel
La derivada.
Introduccin a la Derivada
lim
Este lmite (el cual genera otra
funcin), representa la pendiente de
las diversas rectas tangentes a la
grfica de una funcin..
Y se le conoce comnmente como:
La Derivada
Misma, que en honor a Leibniz puede ser representada as:
Por su origen basado en
incrementos
=
lim
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La derivada.
Introduccin a la Derivada
lim
=
Y precisamente por esta
frmula es que lo siguiente,
ahora si, tiene sentido:
Si tenemos una funcin definida por
Entonces su derivada es:
Comprobemos lo anterior con
una breve prctica..
Y gracias a esta funcin que se deriva de la original, podemos
obtener
las pendientes de las rectas tangentes que pertenecen a la
funcin original
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Quinto nivel
Aplicacin del lmite obtenido.
Introduccin a la Derivada
Procederemos a la aplicacin
del lmite deducido para
obtener la derivada de la funcin:
Recordemos que la
derivada esta definida
por el lmite:
Al evaluar el trmino
se puede observar que:
Al sustituirlo obtenemos:
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Aplicacin del lmite obtenido.
Introduccin a la Derivada
Al desarrollar el binomio
al cuadrado obtenemos:
Reduciendo
trminos:
Aplicando los teoremas
sobre lmites tenemos lo
siguiente:
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Cuarto nivel
Quinto nivel
Aplicacin del lmite obtenido.
Introduccin a la Derivada
Al evaluar dichos lmites llegamos a la conclusin que:
Si tenemos una funcin definida por
Entonces su derivada es:
Y gracias al desarrollo del lmite anterior podemos
generalizar su aplicacin en diversas funciones,
tal como se muestra en la siguiente tabla:
0
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Quinto nivel
Tomada de El Clculo
por Louis Leithold
Ahora apliquemos la derivada para obtener
las pendientes de las rectas tangentes
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Quinto nivel
Representacin
grfica de:
La funcin que
representa su
derivada es:
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Tercer nivel
Cuarto nivel
Quinto nivel
Suponga que deseamos conocer la pendiente de la recta tangente
mostrada
Representacin
grfica de:
La funcin que
representa su
derivada es:
Al sustituir
en la derivada
el valor de X:
Observe que:
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Cuarto nivel
Quinto nivel
Representacin
grfica de:
La funcin que
representa su
derivada es:
De esta manera podemos obtener las pendientes de diversas rectas
tangentes
localizadas en la grfica de una funcin
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Tercer nivel
Cuarto nivel
Quinto nivel
Representacin
grfica de:
La funcin que
representa su
derivada es:
De esta manera podemos obtener las pendientes de diversas rectas
tangentes
localizadas en la grfica de una funcin
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Cuarto nivel
Quinto nivel
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Derivada de una funcin constante
La derivada de una funcin constante es cero
Es decir:
Regla del mltiplo constante
La derivada de una constante por una funcin es igual a la
constante multiplicada por la derivada de la funcin.
Esto se puede escribir as:
Derivada de una suma o diferencia de funciones
La derivada de una suma o diferencia de funciones, es igual a la
suma o diferencia de las derivadas de dichas funciones.
Derivada del cociente de funciones
Entonces:
Derivada del producto de funciones
Entonces:
Derivada de las funciones exponenciales
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Derivada de las funciones logartmicas
La derivada de una funcin algebraica es siempre algebraica, pero
la derivada de una funcin trascendental no siempre es
trascendental.
2
x
y
=
x
y
2
=
11
(,)
xy
22
(,)
xy
21
xx
-
21
yy
-
21
21
yy
m
xx
-
=
-
21
21
?
yy
m
xx
-
==
-
tan
m
tan
m
=
sec
m
1
2
1
2
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x
x
y
y
m
-
-
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21
21
yy
xx
-
-
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yfx
=
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21
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fxfx
xx
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2
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x
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x
D
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21
xxx
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11
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fxxfx
x
+D-
D
dx
dy
x
dx
dy
2
=
2
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x
x
f
y
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=
x
x
f
x
x
f
dx
dy
x
D
-
D
+
=
D
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(
)
(
lim
0
)
(
x
x
f
D
+
2
)
(
)
(
x
x
x
x
f
y
D
+
=
D
+
=
x
x
x
x
dx
dy
x
D
-
D
+
=
D
2
2
0
)
(
lim
)
(
x
f
x
x
x
x
x
x
dx
dy
x
D
-
D
+
D
+
=
D
2
2
2
0
)
)
(
)
(
2
(
lim
x
x
x
x
dx
dy
x
D
D
+
D
=
D
2
0
)
(
)
(
2
lim
=
D
D
+
D
=
D
x
x
x
x
dx
dy
x
2
0
)
(
)
(
2
lim
x
x
x
x
D
+
D
D
0
0
lim
2
lim
2
x
y
=
x
dx
dy
2
=
1
-
=
x
2
)
1
(
2
tan
-
=
-
=
=
dx
dy
m
2
tan
-
=
m
?
tan
=
m
0
=
c
dx
d
1
-
=
k
k
x
k
x
dx
d
:
k
real
nmero
cualquier
Para
[
]
)
(
)
(
x
f
dx
d
c
x
f
c
dx
d
=
[
]
)
(
)
(
)
(
)
(
x
g
dx
d
x
f
dx
d
x
g
x
f
dx
d
=
[
]
2
)
(
)
(
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(
)
(
).
(
)
(
x
g
x
f
x
g
x
g
x
f
x
Q
-
=
0
)
(
,
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(
)
(
)
(
=
x
g
x
g
x
f
x
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Si
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'
)
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x
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g
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g
x
f
x
Q
+
=
(
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)
x
g
x
f
x
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Si
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(
(
)
(
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a
a
a
dx
d
e
e
dx
d
x
x
x
x
ln
=
=
(
)
(
)
a
x
x
dx
d
x
x
dx
d
a
ln
1
log
1
ln
=
=
