Juan Manuel Molera y Froilán M. DopicoJuan Manuel Molera y Froilán M. DopicoDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

Cálculo de vectores propios con Cálculo de vectores propios con alta precisión relativa con el alta precisión relativa con el

algoritmo SSVDalgoritmo SSVD

XX CEDYA, Sevilla 07 Algoritmo SSVD: Vectores propios con alta precisión relativa

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OutlineOutline

1. High Relative Accuracy Algorithms for the symmetric eigenvalue problem

2. SSVD Algorithm3. Computing (more) accurate eigenvectors

with the SSVD Algorithm4. Conclusions

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eig(A)eig(A)double(eig(sym(A)))double(eig(sym(A)))

Sometimes, QR Algorithm can failSometimes, QR Algorithm can fail

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eig(A)eig(A)double(eig(sym(A)))double(eig(sym(A)))

……can provide High Relative Accuracycan provide High Relative Accuracy

SSVD and J-ORTHOGONAL Algorithms …SSVD and J-ORTHOGONAL Algorithms …

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5

…….. ……..++ -- ++ ++--

…….. ……..

SSVD AlgorithmSSVD Algorithm

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If the SVD is computed with small multiplicative errorsIf the SVD is computed with small multiplicative errors

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Step 2.1: ClustersStep 2.1: Clusters

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Steps 2.2, 2.3Steps 2.2, 2.3

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Step 2.2: Putting the signsStep 2.2: Putting the signs

-- --

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Step 2.2: Putting the signsStep 2.2: Putting the signs

++++++ -- --

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Step 2.3: Getting the eigenvectorsStep 2.3: Getting the eigenvectors

++++++ -- --

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12

If the SVD is computed with small multiplicative errorsIf the SVD is computed with small multiplicative errors

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++++++ -- --

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The precision of the eigenvalues is The precision of the eigenvalues is always that of the singular valuesalways that of the singular values

……..++--++-- --

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……..++--++-- --

The precision of the eigenvectors is The precision of the eigenvectors is determined by the singular values relgapdetermined by the singular values relgap

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What can go wrong?What can go wrong?

++--++ -- --++---- ++ --

++++ ++++- - -- - - - - -- - -

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++--++ -- --++---- ++ --

++++ ++++- - -- - - - - -- - -

It can be fixed!It can be fixed!

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++--++ -- --++

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++--++ -- -- ------ -- --

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How is it done?How is it done?

++--++ -- --++

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How is it done?How is it done?

++--++ -- --++

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22

How is it done?How is it done?

++--++ -- --++

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Algorithm to get PAlgorithm to get P

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++--++ -- --++

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Highlights

• It uses an SVD as starting point• It uses orthogonal rotations• It delivers the same precision for evalues as the

precision provided for singular values• For the evectors, it is able to provide “relgap()-

governed” errors, surpassing the “relgap()-sing. vectors” delivered by the SVD

Algorithm SSVDAlgorithm SSVD

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Conclusions

Algorithm SSVDAlgorithm SSVD