Calculo 2.pptx

8/19/2019 Calculo 2.pptx

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CALCULO 2ING. QUEVIN YOHAN BARRERA


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Secciones cónicas• Toda sección cónica (o simplemente cónica) puede desomo la inte!sei#n de un plano $ un ono de dos %o&as.

•'e pueden deni! ale"!aiamente en t*!minos de la euaene!al de seundo !ado+

Ecuación general de segundo gra


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•Ot!o m*todo es el lugar geométrico (o olei#

los puntos ,ue satis-aen ie!ta p!opiedad eom*•o! e&emplo/ la i!un-e!enia se dene omo el todos los puntos ( x / y ) ,ue son e,uidistantes de u(h/ k ).

Ecuación estándar o canónica de

la circunferencia.

Secciones cónicas


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Parábolas• Todos los puntos (x, y) e,uidistantes de una !eta &a llamada di

un punto &o/ -ue!a de di%a !eta/ llamado foco. El punto medio$ la di!et!i0 es el vértice/ $ la !eta ,ue pasa po! el -oo $ el 1*eje de la pa!2"ola. O"s*!1ese en la u!a ,ue la pa!2"ola es sim!espeto de su e&e.


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EJEMPLO 1 allar el foco de !arábola•Halla! el -oo de la pa!2"ola dada po!•Solución a!a %alla! el -oo/ se on1ie!te a la -o!maan#nia o est2nda! ompletando el uad!ado.


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• 'i se ompa!a esta euai#n onse onlu$e ,ue +

• 3omo p es neati1o/ la pa!2"ola se a"!e %aiaa"a&o/ omo se muest!a en la u!a. o! tanto/el -oo de la pa!2"ola se enuent!a a punidades del 1*!tie/ o

4oo.

• A un semento de la !eta ,ue pasa po! el -oode una pa!2"ola $ ,ue tiene sus e5t!emos en lapa!2"ola se le llama cuerda focal. 6a ue!da-oal ,ue es pe!pendiula! al e&e de la pa!2"ola

es el lado recto (latus rectum).


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Parábola "oco #irectriz $

Haia A!!i"a57 8 9p$

(:/p) $8;p

Haia A"a&o57 8 ;9p$

(:/;p) $8p

Haia la


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P%OP&'#A# #' %'"L'(&)*#' U*A PA%+,OLA

'ea P un punto de una pa!2"ola.6a tanente a la pa!2"ola en elpunto P p!odue 2nulos iualeson las dos !etas siuientes.

-. 6a !eta ,ue pasa po! P $ po!

el -oo2. 6a !eta pa!alela al e&e de lapa!2"ola ,ue pasa po! P


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'li!ses• Todos puntos ( x / y )/ u$a suma de distanias a dos punt&os llamados focos es onstante. 6a !eta ,ue une a

-oos inte!sea o o!ta a la elipse en dos puntos/ llamadvértices. 6a ue!da ,ue une a los 1*!ties es el eje ma/o$ su punto medio es el centro de la elipse. 6a ue!dat!a1*s del ent!o/ pe!pendiula! al e&e ma$o!/ es el emenor de la elipse.


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'li!ses


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*O0A1 La denición de una eli!se se !uede visualse imaginan dos alleres colocados en los focos3se muestra en la gura. Si los e4tremos de una cse atan a los alleres / se tensa la cuerda con un

la tra/ectoria trazada con el lá!iz será una eli!se.


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EJEMPLO 2 Com!letar cuadrados

•Enont!a! el ent!o/ los 1*!ties $ los -oos de la elipse dad

•Solución Al ompleta! el uad!ado se puede e5p!esa! la

o!iinal en la -o!ma est2nda! o an#nia.


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La gráca de la eli!se se muestra enla gura.

NOTA 'i en la euai#n del e&emplo 7/ elt*!mino onstante F 8 ;=/ %u"iese sidoma$o! o iual a =/ se %u"ie!a o"tenidoaluno de los siuientes asosdeene!ados.


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.F´

.PP%OP&'#A# #' %'"L'(&)*#' LA 'L&PS''ea P un punto de una elipse.6a !eta tanente a la elipse

en el punto P -o!ma 2nulosiuales on las !etas ,uepasan po! P $ po! los -oos.

#'"&*&C&)* #' LA

'(C'*0%&CA# #' U*A'L&PS'6a e4centricidad e deuna elipse est2 dada po! eloiente


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i!érbolas•Es el on&unto de todos los puntos (5/ $) pa!a los ,absoluto de la di-e!enia ent!e las distanias a dos llamados focos es onstante.

• La recta ,ue pasa po! los dos -oos o!ta a la %ip*!"ola ellamados vértices. El semento de !eta ,ue une a los 1*!titransversal/ $ el punto medio del e&e t!ans1e!sal es el c%ip*!"ola. Un !aso distinti1o de la %ip*!"ola es ,ue su !2ramas sepa!adas.


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En la %ip*!"ola no e5iste la misma !elai#n ent!e las ona/ b $ c/ ,ue en la elipse. En la %ip*!"ola/ c7 8 a7 ? b7 / m,ue en la elipse c7 8 a7 ; b7


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• a!a t!a0a! la !2a se dete!minan sus as5ntotas. Ha$as@ntotas ,ue se o!tan en el ent!o de la %ip*!"ola/ pasan po1*!ties de un !et2nulo de dimensiones 7a po! 7b/ on ent(h/ k ). Al semento de la !eta de lonitud 7b ,ue une (h/ k ?

(h/ k b) se le onoe omo eje conjugado de la %ip*!"ola.

Las asíntotas coinciden con las diagonales del rectángulo de 2a y 2b, centrado en (h, k). Esto roorciona una manera rá

las asíntotas, las "ue a su #e! ayudan a tra!ar la hi$rbola.


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EJEMPLO Uso de las as5ntotas !ara trazar una6i!érbola

• T!a0a! la !2a de la %ip*!"ola u$a euai#n es 957;$78

•Solución a!a empe0a! se es!i"e la euai#n en la -o!maan#nia.

•

• El e&e t!ans1e!sal es %o!i0ontal $ los 1*!ties se enuent!an en (;7/ :)e5t!emos del e&e on&uado se enuent!an en (:/ ;9) $ (:/ 9) . 'e t!a0,ue se muest!a en la u!a. Al di"u&a! las as@ntotas a t!a1*s de las e!et2nulo/ el t!a0o se te!mina omo se muest!a en la siuiente u!


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#'"&*&C&)* #' LA '(C'*0%&CA# #' U*A &P7%,OLA6a e4centricidad e de una %ip*!"ola es dada po! el oient

3omo en la elipse/ en una %ip*!"ola es


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Curvas !lanas / ecuaciones!aramétricas•'e emplean tres 1a!ia"les pa!a !ep!esenta! u!1a en el plano.

•E&emplo+ 3onsid*!ese la t!a$eto!ia ,ue !eo"&eto lan0ado al ai!e on un 2nulo de 9D1eloidad iniial del o"&eto es 9= pies po! seel o"&eto !eo!!e la t!a$eto!ia pa!a"#lia da


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'cuaciones !aramétricas•Esta euai#n no p!opo!iona toda la in-o!mai#n. pe!o no die 3UFN


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#'"&*&C&)* #' U*A CU%$APLA*A•'i % $ g son -uniones ontinuas de t en un inentones a las euaiones+

x & %(t ) / y 8 g(t )

•'e les llama ecuaciones !aramétricas $ llama el !arámetro.

•Al on&unto de puntos ( x / y ) ,ue se o"tiene1a!@a so"!e el inte!1alo I se le llama la gráeuaiones pa!am*t!ias.

•A las euaiones pa!am*t!ias $ a la !2

es a lo ,ue se llama una curva !lana ,ue


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EJEMPLO 1: 0razado de una curva• T!a0a! la u!1a dada po! las euaiones pa!am*t!i

•Solución1 a!a 1alo!es de t en el inte!1alo o"tienen/ a pa!ti! de las euaiones pa!am*t!ias/ (5/ $) ,ue se muest!an en la ta"la.


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'liminación del !arámetro•Es enont!a! la euai#n !etanu!ep!esenta la !2a de un on&ueuaiones pa!am*t!ias.


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EJEMPLO 2. allar la "unción %ectangular de las !a•


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'olui#n+

'ustitu$endo a%o!a/ en la euai#n pa!am*t!ia pa!ase o"tiene


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•6a euai#n !etanula!+ y 8 x 2

est2 denida pa!a todos los1alo!es de x . 'in em"a!o/en la euai#n pa!am*t!iapa!a x se 1e ,ue la u!1as#lo est2 denida pa!a t ;. Esto implia ,ue el

dominio de x de"e!est!ini!se a 1alo!espositi1os/ omo se ilust!a enla u!a+

l i 5 li i


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EJEMPLO 3 'm!lear trigonometr5a !ara eliminar un !

•


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-.

2.

8.

'cuaciones !aramétricas /


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'cuaciones !aramétricas /cálculo•allar la !endiente de una

tangente a una curva dada !conjunto de ecuaciones !aramé

•allar la longitud de arco dcurva dada !or un conjunecuaciones !aramétricas.

•allar el área de una su!errevolución 9forma !aramétrica:.

"O%;A PA%A;70%&CA #' LA


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"O%;A PA%A;70%&CA #' LA#'%&$A#A

•'i una u!1a sua1e 3 est2 dada po! las eua x 8% (t ) $ y 8g(t )/ entones la pendiente de 3

es+• /

EJEMPLO 1 #erivación o diferenciación

!aramétricaHalla! d$d5 pa!a la u!1a dada po! 58 sent $ $8o

Solución

•


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J allar !endiente /concavidad•a!a la u!1a dada po!+

%alla! la pendiente $ la ona1idad en el punto (7/)

Solución 3omo+

se puede %alla! ,ue la seunda de!i1ada es+

Forma pa

Primera d

3ontinKa solui#n


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J3ontinKa solui#n

•En (5/$) 8 (7/)/ se tiene ,ue t8 9/ $la pendiente es+

• Y uando t8 9/ la seunda de!i1adaes+

•po! lo ,ue puede onlui!se ,ue en(7/ ) la !2a es #na1a %aiaa!!i"a/ omo se muest!a en la u!a.


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Longitud de arco en "ormaP é i


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Longitud de arco en "ormaParamétrica

•'i una u!1a sua1e 3 est2 dada po! x & %(t)g(t) $ 3 no se o!ta a s@ misma en el inte!1alo

" (e5epto ,ui02s en los puntos te!mentones la lonitud de a!o de 3 en ese iest2 dada po!+

EJEMPLO 4 Calcular la longitud de


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Calcular la longitud dearco

•Un @!ulo de !adio !ueda so"!e ot!o@!ulo ma$o! de !adio 9/ omo semuest!a en la u!a. 6a epiiloide

t!a0ada po! un punto en el @!ulo m2spe,ueMo est2 dada po!+

•Halla! la distania !eo!!ida po! el punto al

da! una 1uelta ompleta al!ededo! del@!ulo ma$o!.

Un punto en la circunferencia pequeña etraza una epicicloide en la edida que e pequeño rueda alrededor de la circun

'olui#n


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'olui#n•Ha$ ,ue o"se!1a! en la u!a ,ue la upuntos anulosos en t8: $ t87. Ent!e

puntos/ d5dt $ d$dt no son simult2neaEntones la po!i#n de la u!1a ,ue se enea t87 es sua1e. a!a %alla! la distan!eo!!ida po! el punto/ alula! la lonitud de

se enuent!a en el p!ime! uad!ante $ mult9. Forma paramtrica de la longitud de arco.


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+rea de una su!ercie de revolución


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+rea de una su!ercie de revolución•Si una curva suave # dada !or 4 < f9t: / /< g9t: no semisma en un intervalo a = t = b entonces el área $ desu!ercie de revolución generada !or rotación de #3 uno de los ejes de coordenadas3 está dada !or

EJEMPLO % allar el área de una su!ercie de revolución


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EJEMPLO % allar el área de una su!ercie de revolución

•'ea ' el a!o de la i!un-e!enia

x 7 ? y 7 8

Que 12 desde (/:) %asta (/omose 1e en la u!a. Enont!a! el2!ea de la supe!ie ene!ada po!!e1olui#n de ' al!ededo! del e&e x .

•

Solución ' se puede !ep!esenta! en -o!ma pa


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p p pmediante las euaiones

3oo!denadas ola!es


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•'e &a un punto / llamado !olo (u origen)/ det!a0a un !a$o iniial llamado eje !olar.

•A ada punto P en el plano se le asinan coor

!olares (r / θ).

r 8 distancia dirigida de O a P θ 8 ángulo dirigido, en sentido

contrario al de las manecillas delreloj desde el eje polar hasta el

segmento

En el siuiente sistema se loali0an los puntos


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pa una !et@ula de i!un-e!enias on*nt!iaspo! rectas radiales ,ue pasan po! el polo.

Cada punto tiene una representación única. Esto no su

coordenadas polares. Por ejemplo, las coordenadas (r / θ)representan el mismo punto [ver los incisos b) y c) de la figura.

0ransformación 9o cambio: de coordenadas


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EJEMPLO 1 0ransformación 9o cambio: de coordenadarectangulares


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rectangulares


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EJEMPLO 2 0ransformación 9o cambio: de coordenadas rectangulares


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•

0ransformar la ecuación rectangular a la forma !olar


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E&e!iiosHallar las coordenadas rectangulares correspondientes

Hallar conjuntos de coordenadas polares correspondientes

Hallar la ecuación

Hallar la ecuación

#'"&*&C&)* #' U*A "U*C&)


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#OS $A%&A,L'S•< es un on&unto de pa!es o!denados de

!eales. 'i a ada pa! o!denado (5/ $) o!!esponde un Knio nKme!o !eal -(5/ $)/ endie ,ue - es una -uni#n de 5 $ $. El on&untdominio de -/ $ el o!!espondiente on&unto d-(5/ $) es el !ano de -.

•En la -uni#n dada po! 08 -(5/ $)/ P $ Y son lasindependientes $ 0 es la 1a!ia"le dependiente.

EJEMPLO 1 #ominios de funciones de varias variables

H ll l d i i d d - i#


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•Halla! el dominio de ada -uni#n.


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T!ae la !aa de


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•6a euai#n de la !aa es . Al ele1a! al uad!amiem"!os de la euai#n o"tiene / es dei! / ,ue somo la euai#n de la es-e!a on ent!o en el o!i

. e!o omo z :/ la !aa de g es solo la pa!de esta es-e!a (1*ase u!a)

•

#erivadas !arciales de una función de dos v•'i z f 9& ': las !rimeras derivadas !arc


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•'i z


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•Halla! las de!i1adas pa!iales - 5 $ - $ de la -uni#n+

•Solución 'i se onside!a y omo onstante $ se de!i1a on x se o"tiene

*O0AC&)* PA%A LAS P%&;'%AS #'%&$A#AS PA


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EJEMPLO 2 allar / evaluar las derivadas !arcia


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EJEMPLO 3 allar las !endientes de una su!elas direcciones de & / de '


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las direcciones de & / de '

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