Calcul stochastique appliqué à la finance

8/13/2019 Calcul stochastique appliqu la finance

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Introduction au calcul stochastique

appliqu la finance

Damien Lamberton Bernard Lapeyre


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Avant-Propos

Pour cette seconde dition, nous avons apport quelques modifications au texte primitif.

Les premires concernent la correction derreurs plus ou moins importantes. Lerreur la plus

srieuse tait une affirmation fausse concernant les intgrales stochastiques (voir le rsum des

proprits de lintgrale stochastique la fin de la section 4.1 du chapitre 3 et lexercice 15, qui

nous a t inspir par Marc YOR).Nous avons ajout quelques sujets de problmes la fin du chapitre 4. Ces problmes per-

mettent dintroduire et de traiter divers exemples doptions exotiques.

Nous avons complt la bibliographie de quelques titres rcents, en particulier sur le thme

des marchs incomplets, le chapitre 7 ne faisant queffleurer le sujet.

Enfin, nous avons rcrit les programmes de simulation et danalyse numrique dans le lan-

gage Cqui se rpand de plus en plus dans les banques.

Nous remercions les collgues qui nous ont signal des erreurs ou des coquilles. Il en reste

hlas srement et nous esprons que les lecteurs de cette nouvelle dition voudront bien nous

les signaler.

Damien Lamberton et Bernard Lapeyre.


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Table des matires

Introduction 9

1 Le problme des options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 La notion darbitrage et la relation de parit call-put . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Le modle de Black-Scholes et ses extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4 Plan du livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5 Remerciements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1 Modles discrets 13

1 Le formalisme des modles discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1 Les actifs financiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2 Les stratgies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3 Stratgies admissibles et arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Martingales et arbitrages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1 Martingales et transformes de martingales . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2 Marchs financiers viables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Marchs complets et valuation des options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.1 Marchs complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 Evaluation et couverture des actifs conditionnels dans les marchs com-

plets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3 Premire approche des options amricaines . . . . . . . . . . . . . . . 22

4 Problme corrig : le modle de Cox, Ross et Rubinstein . . . . . . . . . . . . 23

2 Problme darrt optimal et options amricaines 27

1 Notion de temps darrt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2 Enveloppe de Snell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Dcomposition des surmartingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4 Enveloppe de Snell et chanes de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 Application aux options amricaines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.1 Exercice et couverture des options amricaines . . . . . . . . . . . . . 33

5.2 Options amricaines et options europennes . . . . . . . . . . . . . . . 34

6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3 Mouvement brownien et quations diffrentielles stochastiques 39

1 Gnralits sur les processus temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2 Le mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3 Martingales temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4 Intgrale stochastique et calcul dIt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.1 Construction de lintgrale stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2 Calcul dIt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

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TABLE DES MATIRES 7

2.2 Le modle de Cox-Ingersoll-Ross . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

2.3 Autres modles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

7 Modles dactifs avec sauts 133

1 Processus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

2 Description de lvolution de lactif risqu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1353 Evaluation et couverture des options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

3.1 Les stratgies admissibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

3.2 Pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

3.3 Prix des calls et des puts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

3.4 Couverture des calls et des puts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

8 Simulation et alogrithmes pour les modles financiers 149

1 Simulation et modles financiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

1.1 La mthode de Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1491.2 Simulation dune loi uniforme sur[0, 1] . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

1.3 Simulation des variables alatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

1.4 Simulation de processus stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

2 Quelques algorithmes utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

2.1 Approximation de la fonction de rpartition dune gaussienne . . . . . 155

2.2 Implmentation informatique de la mthode de Brennan et Schwartz . . 156

2.3 Lalgorithme de Cox Ross pour le calcul du prix dune option amricaine 157

3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

Appendice 161

1 Variables alatoires gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

1.1 Gaussiennes relles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

1.2 Vecteurs gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

2 Esprance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

2.1 Exemples de sous-tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

2.2 Proprits de lesprance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

2.3 Calculs desprances conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

3 Thorme de sparation des convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

Bibliographie 167


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10 INTRODUCTION AU CALCUL STOCHASTIQUE POUR LA FINANCE

le prix dexercice, qui est le prix (fix davance) auquel se fait la transaction en cas dexer-

cice de loption.

Loption, elle mme, a un prix, appel la prime. Lorsque loption est cote sur un march or-

ganis, la prime est donne par le march. En labsence de cotation, le problme du calcul de

la prime se pose. Et, mme pour une option cote, il peut tre intressant de disposer dune

formule ou dun modle permettant de dtecter dventuelles anomalies de march.

Examinons, pour fixer les ides, le cas dun call europen, dchance T, sur une action, dont

le cours la datetest donn parSt. SoitKle prix dexercice. Il est clair que si, lchance T,

le prixKest suprieur au coursST, le dtenteur de loption na pas intrt exercer. Par contre,

siST > K, lexercice de loption permet son dtenteur de raliser un profit gal ST K, en

achetant laction au prix K et en la revendant sur le march au cours ST. On voit qu lchance,

la valeur du call est donne par la quantit :

(ST K)+= max(STK, 0).

Pour le vendeur de loption, il sagit, en cas dexercice, dtre en mesure de fournir une action au

prixK, et, par consquent de pouvoir produire lchance une richesse gale (ST K)+. Aumoment de la vente de loption, quon prendra pour origine des temps, le cours STest inconnu

et deux questions se posent :

1. Combien faut-il faire payer lacheteur de loption, autrement dit comment valuer

linstant t = 0 une richesse (STK)+ disponible la date T ? Cest le problme du

pricing.

2. Comment le vendeur, qui touche la prime linstant0, parviendra-t-il produire la ri-

chesse(ST K)+ la dateT? Cest le problme de la couverture.

2 La notion darbitrage et la relation de parit call-putLa rponse aux deux questions qui prcdent ne peut se faire qu partir dun minimum

dhypothses de modlisation. Lhypothse de base, retenue dans tous les modles, est que,

dans un march suffisamment fluide, il ny a pas dopportunit darbitrage, cest--dire quil

est impossible de faire des profits sans prendre de risques. Nous traduirons cette hypothse en

termes mathmatiques dans le chapitre 1. Pour linstant, nous nous contenterons de montrer

comment, partir de cette simple hypothse, on peut tablir des relations entre les prix dun

call et dun put europen de mme chance Tet de mme prix dexerciceK, sur une action de

coursSt linstantt. Nous supposerons quil est possible demprunter ou de placer de largent

un taux constantr.

Dsignons parCtetPtles prix respectifs du call et du put linstant t. En labsence dop-

portunit darbitrage, on a la relation suivante, valable tout instantt < Tet appele relation

de parit call-put :

Ct Pt= StKer(Tt).

Pour faire comprendre la notion darbitrage, montrons comment on pourrait raliser un profit

sans risque si on avait, par exemple :

Ct Pt> StKer(Tt).

A linstant t, on achte une action et un put et on vend un call. Cette opration dgage, linstant

t, un profit net gal Ct Pt St.


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INTRODUCTION 11

Si cette somme est positive, on la place au taux r jusqu la date T, sinon, on lemprunte au

mme taux. A la dateT, deux cas peuvent se prsenter :

ST > K: alors, le call est exerc, on livre laction, on encaisse la somme K et on solde

lemprunt ou le prt, de sorte quon se retrouve avec une richesse gale : K+er(Tt)(Ct

PtSt)> 0.

ST

K: alors, on exerce son put et on solde comme prcdemment, de sorte quon se

retrouve encore avec une richesse gale : K +er(Tt)(Ct Pt St).

Dans les deux cas, on a ralis un profit positif sans mise de fond initiale : cest un exemple

darbitrage.

On trouvera de nombreux exemples de relations darbitrage telles que la relation de parit

ci-dessus dans le livre de Cox et Rubinstein [CR85]. Nous ne passerons pas en revue toutes ces

relations darbitrage, mais nous montrerons comment on peut caractriser mathmatiquement

les marchs o il ny a pas darbitrage.

3 Le modle de Black-Scholes et ses extensions

Si les raisonnements par arbitrage fournissent de nombreuses relations intressantes, ils ne

sont pas suffisants pour obtenir des formules de prix. Pour cela, on a besoin de modliser de

faon plus prcise lvolution des cours. Black et Scholes ont t les premiers proposer un

modle conduisant une formule explicite pour le prix dun call europen sur une action ne

donnant pas de dividendes et une stratgie de gestion qui, dans le cadre du modle, permet

au vendeur de loption de se couvrir parfaitement, cestdire dliminer totalement le risque.

Le prix du call est, dans le modle de Black-Scholes, la somme dargent dont on doit disposer

initialement pour pouvoir suivre la stratgie de couverture et produire ainsi exactement la ri-

chesse(ST K)+ lchance. De plus, la formule obtenue ne dpend que dun paramtre non

directement observable sur le march et appel volatilit par les praticiens.Cest le recours la notion dintgrale stochastique pour exprimer les gains et les pertes

dans les stratgies de gestion de portefeuille qui permet dutiliser le calcul stochastique et, en

particulier, la formule dIt, et conduit des expressions calculables. De nombreuses exten-

sions des mthodes de Black et Scholes ont t dveloppes ces dernires annes. Nous nous

efforcerons, partir dune tude approfondie du modle de Black-Scholes sous sa forme la plus

simple, de donner au lecteur les moyens de comprendre ces diverses extensions.

4 Plan du livre

Les deux premiers chapitres sont consacrs ltude des modles discrets. On y voit le lien

entre la notion mathmatique de martingale et la notion conomique darbitrage, la notion de

march complet et l valuation des options dans le cadre des marchs complets. Le formalisme

adopt est celui de Harrison et Pliska [HP81] et nous avons repris lessentiel des rsultats de

[HP81] dans le chapitre 1 en prenant comme exemple le modle de Cox-Ross-Rubinstein. Le

chapitre 2 traite des options amricaines laide de la thorie de larrt optimal temps discret

qui relve de mthodes lmentaires et contient toutes les ides transposer dans le cas continu.

Le chapitre 3 introduit le lecteur aux principales notions de calcul stochastique utilises

dans le modle de Black-Scholes, qui est tudi en dtail au chapitre 4. Ce modle donne, pour

les options europennes, des formules explicites. Mais, pour traiter les options amricaines ou

faire des calculs dans des modles plus sophistiqus, on doit avoir recours des mthodes

numriques fondes sur le lien entre valuation des options et quations aux drives partielles


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: ces questions font lobjet du chapitre 5.

Le chapitre 6 est une introduction assez succinte aux principaux modles de taux dintrt

et le chapitre 7 examine les problmes dvaluation et de couverture des options dans le cadre

de modles avec sauts trs simples. Dans ces modles, il ny a plus de couverture parfaite des

options, mais seulement une couverture optimale, en un sens prciser. De tels modles, moins

optimistes que le modle de Black-Scholes, semblent souvent rendre mieux compte de la ralit

des marchs.

Enfin, pour permettre aux tudiants dappliquer la thorie de faon plus concrte, nous avons

inclu un chapitre sur la simulation des modles financiers et lusage quon peut faire de linfor-

matique dans les questions dvaluation et de couverture des options. On trouvera galement,

dans chaque chapitre un certain nombre dexercices ou de problmes.

Ce livre nest quune introduction un domaine qui a dj suscit une abondante littrature.

Les indications bibliographiques donnes la fin de certains chapitres suggrent au lecteur des

pistes de lectures complmentaires sur les sujets traits. Mais certains aspects importants des

mathmatiques de la finance ne sont pas abords, notamment les questions doptimisation et les

problmes dquilibre, pour lesquels on pourra se reporter [Duf88].

Nous avons plac quelques rappels mathmatiques en appendice. La lecture de ce livresuppose de toute faon de bonnes connaissances en probabilits (correspondant essentiellement

aux sept premiers chapitres de [Bou86]).

5 Remerciements

Ce livre est issu dun cours enseign lEcole Nationale des Ponts et Chausses depuis 1988.

La mise en uvre de ce cours naurait pas t possible sans les encouragements de N. Bouleau.

Sous son impulsion, le CERMA (centre de mathmatiques appliques de lE.N.P.C.) stait

engag dans ltude des modles financiers ds 1987, avec le soutien de la Banque Indosuez,

et, plus rcemment, de la Banque Internationale de Placement. Nous avons bnfici, depuis,

de discussions nombreuses et stimulantes avec G. Pags, ainsi quavec dautres chercheurs du

CERMA, en particulier O. Chateau et G. Caplain.

Plusieurs personnes ont bien voulu lire les premires versions de notre travail et nous faire

part de leurs remarques : S. Cohen, O. Faure, C. Philoche, M. Picqu, X. Zhang. Enfin, nous

remercions les collgues de luniversit ou de lI.N.R.I.A. qui nous ont aids de leurs conseils

ou de leurs encouragements : N. El Karoui, T. Jeulin, J.F. Le Gall, D. Talay.


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Lavaleur du portefeuille linstantn est donne par le produit scalaire :

Vn() =n.Sn=

di=0

inSin,

lavaleur actualiseest :

Vn() =n (n.Sn) =n.Sn,

on= 1/S0net

Sn= (1, nS1n, . . . , nS

dn)est le vecteur des prix actualiss.

On dira quune stratgie est autofinance si la relation suivante est ralise pour tout n{0 , 1 , . . . , N 1}:

n.Sn= n+1.Sn .

Cette relation sinterprte de la faon suivante : linstant n, aprs avoir pris connaissance des

coursS0n, . . . ,Sdn, linvestisseur rajuste son portefeuille pour le faire passer de la composition

n la compositionn+1, le rajustement se faisant aux cours de la date n en rinvestissant

la valeur totale du portefeuille et rien de plus. Il ny a donc ni apports, ni retraits de fonds (en

particulier, il ny a pas de consommation).Remarque 1.1 Lgalitn.Sn= n+1.Snest videmment quivalente

n+1.(Sn+1 Sn) =n+1.Sn+1n.Sn,

ou encore

Vn+1() Vn() =n+1.(Sn+1 Sn).

A linstant n + 1, la valeur du portefeuille estn+1.Sn+1et la diffrencen+1.Sn+1 n+1.Snreprsente le gain (net) d la variation des cours entre les instants n et n + 1. Une stratgie

autofinance est donc une stratgie pour laquelle les variations de valeur du portefeuille viennent

uniquement des gains ds lagitation des cours.

La proposition suivante permet de prciser cette remarque en termes de quantits actuali-

ses.

Proposition 1.2 Les conditions suivantes sont quivalentes :

i) La stratgieest autofinance.

ii) Pour toutn{1 , . . . , N},Vn() =V0() +

nj=1

j Sj,

oSjest le vecteurSj Sj1.iii) Pour toutn{1 , . . . , N},

Vn() =V0() +

nj=1

j Sj,

oSjest le vecteurSj Sj1= jSjj1Sj1.

Dmonstration : Lquivalence entre i) et ii) rsulte de la remarque 1.1. Lquivalence entre i)

et iii) sobtient en remarquant quen

.Sn

= n+1

.Sn

si et seulement sin

.Sn

= n+1

.Sn

.


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Ch.1 MODLES DISCRETS 15

Cette proposition montre que, pour une stratgie autofinance, la valeur actualise (et, donc,

la valeur tout court) du portefeuille est compltement dtermine par la richesse initiale et le

processus

1n, . . . , dn

0nN des quantitsdactifs risquesdtenues (cela vient simplement

du fait queS0j =0). Plus prcisment, on peut noncer la proposition suivante :

Proposition 1.3 Pour tout processus prvisible

1n, . . . , dn0nN et pour toute variable

V0F0-mesurable, il existe un et un seul processus prvisible

0n

0nN tel que la stratgie

=

0, 1, . . . , d

soit autofinance et de valeur initialeV0.

Dmonstration : La condition dautofinancement entrane :

Vn () = 0n+

1nS1n+ +dnSdn

= V0+

n

j=1 1jS1j + + djSdj Ce qui dtermine 0n. La seule chose vrifier est la prvisibilit de

0, qui est immdiate

partir de lgalit :

0n= V0+

n1j=1

1jS

1j + +djSdj

+

1n

S1n1

+ +dn

Sdn1

1.3 Stratgies admissibles et arbitrage

Nous navons pas impos de condition sur les signes des quantits in. Dire que 0n < 0,

signifie que lon a empruntla quantit |0n| sur le march des placements sans risques. Dire

quein < 0pour uni1, cest dire quon a des dettes libelles en actifs risques (par suitede ventes dcouvert). Les emprunts et les ventes dcouvert sont donc permis, mais nous

imposerons la valeur du portefeuille dtre positive ou nulle tout instant.

Dfinition 1.4 Une stratgie est diteadmissible si elle estautofinanceet si Vn()0 pourtoutn{0 , 1 , . . . , N}.

Linvestisseur doit donc tre en mesure de rembourser ses emprunts tout instant.

La notion darbitrage (ralisation dun profit sans prendre de risques) est alors formalise

de la faon suivante :

Dfinition 1.5 Une stratgie darbitrage est une stratgie admissible de valeur initiale nulle et

de valeur finale non nulle.

La plupart des modles excluent toute possibilit darbitrage et lobjet de la section suivante est

de donner une caractrisation de ces modles grce la notion de martingale.


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2 Martingales et arbitrages

Afin dexaminer les liens entre martingales et arbitrage, nous allons tout dabord introduire

la notion de martingale sur un espace de probabilit fini. Pour cela, lusage de lesprance

conditionnelle est indispensable et nous renvoyons le lecteur lappendice pour un expos des

principales proprits de cet outil.

2.1 Martingales et transformes de martingales

Dans ce paragraphe, on considre un espace de probabilit fini(, F, P), avec F =P()et ,P ({}) > 0, muni dune filtration(Fn)0nN(sans supposerFN =F, niF0 ={, }). On dira quune suite(Xn)0nN de variables alatoires est adapte la filtration si pourtoutn,Xnest Fn-mesurable.Dfinition 2.1 Une suite adapte(Mn)0nNde variables alatoires relles est :

une martingale si E (Mn+1|Fn) =Mnpour toutnN 1. une surmartingale siE

(Mn+1

|Fn

)Mnpour toutnN

1. une sousmartingale siE (Mn+1|Fn)Mnpour toutnN 1.

Ces dfinitions stendent aux variables alatoires vectorielles : on dit par exemple quune suite

(Mn)0nNde variables alatoires valeurs dansRd est une martingale si chaque composantedu vecteurMndfinit une martingale relle.

Dans un modle financier, dire que le cours(Sin)0nN de lactifi est une martingale revient dire que, tout instant n, la meilleure estimation (au sens des moindres carrs) que lon puisse

faire deSin+1, partir des informations disponibles la date n, est donne parSin.

Les proprits suivantes, qui se dduisent aisment de la dfinition qui prcde, consti-

tueront pour le lecteur de bons exercices de maniement de lesprance conditionnelle.

1. (Mn)0nNest une martingale si et seulement si :

E (Mn+j|Fn) =Mn j0

2. Si(Mn)n0est une martingale, on a pour toutn :E (Mn) =E (M0).

3. La somme de deux martingales est une martingale.

4. On a videmment des proprits analogues pour les surmartingales et les sousmartingales.

Dfinition 2.2 Une suite adapte (Hn)0nN de variables alatoires est prvisible si, pour toutn

1,Hnest

Fn1mesurable.

Proposition 2.3 Soit(Mn)0nNune martingale et soit(Hn)0nNune suite prvisible parrapport la filtration(Fn)0nN. On poseMn= MnMn1. La suite(Xn)0nNdfinie

par :

X0 = H0M0

Xn = H0M0+ H1M1+ + HnMn pourn1est une martingale par rapport (Fn)0nN.

(Xn) est parfois appele transforme de la martingale (Mn) par la suite (Hn). Une cons-

quence de cette proposition et de la proposition 1.2 est que, dans les modles financiers o les

prix actualiss des actifs sont des martingales, toute stratgie autofinance conduit une valeur


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finale actualise gale,en moyenne, la richesse initiale.

Dmonstration : Il est clair que(Xn)est une suite adapte. De plus, pour n0, on a :E (Xn+1 Xn|Fn)

= E (Hn+1(Mn+1Mn)|Fn)= Hn+1E (Mn+1 Mn|

Fn) carHn+1est

Fn-mesurable

= 0.

Do :

E (Xn+1|Fn) =E (Xn|Fn) =Xnce qui prouve que(Xn)est une martingale.

La proposition suivante donne une caractrisation des martingales qui nous sera utile par la

suite.

Proposition 2.4 Une suite adapte de variables alatoires relles(Mn)est une martingale si

et seulement si pour toute suite prvisible(Hn), on a :

E

Nn=1

HnMn

= 0

Dmonstration : Si(Mn)est une martingale, il en est de mme, par la proposition 2.3, de la

suite (Xn)dfinie par : X0= 0 et, pour n1, Xn=Nn=1HnMn, pour toute suite prvisible

(Hn). On a doncE(XN) = E(X0) = 0. Rciproquement, on remarque que si j{1 , . . . , N}, tout vnement Fj-mesurable A, on peut associer la suite (Hn)dfinie par Hn= 0 pour n=j +1etHj+1= 1A. Il est clair que la suite (Hn)est prvisible et lgalitE

Nn=1HnMn

= 0

donne :

E (1A (Mj+1Mj)) =0

et par consquentE (Mj+1|Fj) =Mj.

2.2 Marchs financiers viables

Nous revenons maintenant aux modles de marchs discrets introduits au paragraphe 1.

Dfinition 2.5 On dit que le march estviablesil nexiste pas de stratgie darbitrage.

Thorme 2.6 Le march est viable si, et seulement si, il existe une probabilitPquivalente1P sous laquelle les prix actualiss des actifs sont des martingales.

Dmonstration :

a) Supposons quil existe une probabilit P quivalente P sous laquelle les actifs ac-tualiss sont des martingales. Alors, pour toute stratgie autofinance (n), on a, daprs la

proposition 1.2 :

Vn() =V0() +

n

j=1j.Sj.

1Rappellons que deux probabilits P1 et P2 sont quivalentes si et seulement si, pour tout vnement A,P1(A) =0 P2(A) =0. Ici,P quivalente Psignifi e simplement que, pour tout ,P ({})> 0.


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On en dduit, grce la proposition 2.3, que

Vn ()

est une martingale sousP. Donc VN ()a mme esprance sousPque V0 ():

E

VN ()

= E

V0 ()

.

Si la stratgie est admissible et de valeur initiale nulle, on a donc E VN() = 0, avec

VN ()0. Do, VN () =0 puisqueP ({})> 0, pour tout.b) La dmonstration de la rciproque est plus dlicate. Soit le cne convexe des variables

alatoires positives et non nulles. Le march est viable si et seulement si pour toute stratgie

admissibleon a :V0 () =0 VN () /.b1) A tout processus prvisible (1n, . . . ,

dn), on associe le processus dfini par :

Gn () =

nj=1

1jS

1j + +djSdj

.

Cest le processus des gains actualiss cumuls dans toute stratgie autofinance suivant les

quantits dactifs risqus1n, . . . ,dn. Daprs la proposition 1.3, il existe un (unique) processus

(0n)tel que la stratgie((0n, 1n, . . . , dn))soit autofinance et de valeur initiale nulle. Gn ()est alors la valeur actualise linstant n de cette stratgie et lhypothse de viabilit du march

entrane que si cette valeur est positive tout instant, cest--dire si Gn() 0, pour toutn = 1, . . . , N, alors GN() = 0. Le lemme suivant montre que, mme sans lhypothse de

positivit des Gn(), on a encore GN() /.Lemme 2.7 Si le march est viable, tout processus prvisible(1, . . . , d)vrifie :

GN() /.

Dmonstration : Supposons GN()

. On a clairement une contradiction de la viabilit

si Gn() 0 pour toutn {0 , . . . , N}. Si cette dernire proprit na pas lieu, introduisonslentiern = sup

k|P

Gk()< 0

> 0

. On a :

nN 1, P

Gn()< 0

> 0et m > n Gm()0.On dfinit alors un nouveau processus en posant :

j () =

0 sijn1A()j() sij > n

oA est lvnement

Gn()< 0

. En utilisant la prvisibilit de et le fait que A estFn-

mesurable on voit que est aussi prvisible. Dautre part :

Gj () =

0 sijn1A

Gj () Gn ()

sij > n

Alors, on voit que Gj () 0 pour tout j {0 , . . . , N} et que GN () > 0 sur A ce quicontredit la viabilit et achve la dmonstration du lemme.

b2) Il est clair que lensembleVdes variables alatoires de la forme GN (), avec pr-visible valeurs dans Rd, est un sous-espace vectoriel de lespace R de toutes les variables

alatoires relles dfinies sur. Daprs le lemme 2.7, le sous-espace

Vne rencontre pas , ni

le convexe compact K = {X |X() = 1}, qui est contenu dans . Il en rsulte, par lethorme de sparation des convexes (voir lappendice), quil existe ( ())tel que :


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1.XK,

()X()> 0

2. Pour tout prvisible :

()GN () () =0

De la proprit 1, on dduit que () > 0 pour tout , de sorte que la probabilit Pdfinie par :

P ({}) = ()(

)

est quivalente P.

De plus, si on noteElesprance par rapport la probabilitP, la proprit 2 signifie que,pour tout processus prvisible(n) valeurs dansR

d :

EN

j=1 jSj= 0.On en dduit immdiatement que pour tout indice i{1 , . . . , d}et toute suite prvisible(in), valeurs relles, on a :

E Nj=1

ijSij

= 0,

ce qui entrane, grce la proposition 2.4 que, sousP, les prix actualiss(S1n), . . . , (Sdn)sont

des martingales.

3 Marchs complets et valuation des options

3.1 Marchs complets

Nous dfinirons une option2 europennedchance N par la donne dune variable ala-

toire h 0,FN-mesurable, reprsentant le profit que permet lexercice de loption. Ainsi,pour une option dachat ou call sur une unit dactif 1, au prix dexercice K, o n a :

h=

S1N K+

et, pour une option de vente ou put sur une unit dactif1au prix dexercice

K: h=

K S1N

+

. Dans ces deux exemples (les plus importants dans la pratique), la variable

alatoirehest une fonction deSNseulement. Il existe des options pour lesquelles hdpend de

toutes les valeurs des cours jusqu lchance : S0, S1, . . . ,SN. Cest le cas des options dites

asiatiques, dont le prix dexercice est gal la moyenne des cours observs sur une priode

donne, prcdant lchance.

Dfinition 3.1 On dit que lactif conditionnel dfini parhest simulable (ou atteignable3) sil

existe une stratgie admissible dont la valeur linstantNest gale h.

2ou plus gnralement un bien contingent (contingent claim) ou actif conditionnel.3attainabledans certains articles amricains.


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Remarque 3.2 Dans un march viable, pour que loption hsoit simulable, il suffit quil existe

une stratgie autofinance de valeur gale h linstant N. En effet, si est une stratgie

autofinance et siPest une probabilit quivalente Psous laquelle les prix actualiss sont desmartingales, alors, sous P,

Vn()

est une martingale (en tant que transforme de martingale).

On a donc, pourn{0 , . . . , N} Vn() =E VN()|Fn. Il est clair alors que, si

VN()0(en particulier siVN() =h), la stratgieest admissible.

Dfinition 3.3 On dit que le march estcompletsi tout actif conditionnel est simulable.

Supposer quun march financier est complet est une hypothse restrictive dont la justifica-

tion conomique est moins claire que celle de lhypothse de viabilit. Lintrt des marchs

complets est quils se prtent une thorie trs simple de lvaluation et de la couverture des

actifs conditionnels. Le modle de Cox-Ross-Rubinstein, que nous tudierons plus loin, fournit

un exemple de modle de march complet dune grande simplicit. Le thorme suivant donne

une caractrisation des marchs viables et complets.

Thorme 3.4 Un march viable est complet si, et seulement si, il existe une seule probabilitPquivalente P sous laquelle les prix actualiss des actifs soient des martingales.

La probabilit P apparatra dans la suite comme loutil de calcul des formules de prix et decouverture.

Dmonstration :

a) Supposons le march viable et complet. Alors, toute variable alatoire hFN-mesurableet positive peut scrireh= VN ()oest une stratgie admissible, qui simule lactif condi-

tionnelh. Puisque est une stratgie autofinance on a :

h

S0N = VN () =V0 () +

Nj=1

j.Sj.

Alors, siP1etP2sont deux probabilits sous lesquelles les prix actualiss sont des martingales,Vn ()

0nN est une martingale la fois sous P1et sousP2. Do pouri = 1 ou2 :

Ei

VN ()

= Ei (V0 ()) =V0 () ,

la dernire galit venant du fait que F0= {, }. On a donc :

E1 h

S0N

= E2 h

S0N

et, commehest arbitraire,P1= P2sur la tribu FN, que lon a suppose gale F.b) Supposons le march viable et non complet. Alors il existe une variable alatoire h0

non simulable. Notons Vlespace des variables alatoires de la forme :

U0+

Nn=1

n.Sn, (1.1)

avecU0

F0-mesurable et

1n, . . . ,

dn0nN

prvisible, valeurs dansRd. Il rsulte de la

proposition 1.3 et de la remarque 3.2 que la variable alatoire h/S0n nappartient pas V. Vest donc un sous-espace strict de lespace de toutes les variables alatoires dfinies sur (, F).


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Alors, siPest une probabilit quivalente Psous laquelle les prix actualiss sont des martin-gales et si lon munit lespace des variables alatoires du produit scalaire(X, Y) E (XY), onvoit quil existe une variable alatoireX non nulle et orthogonale au sous-espace V.

Posons alors :

P ({}) =

1 +

X()

2

X

P ({})

o X =sup |X()|. On dfinit ainsi une probabilit (carE (X) =0) qui est quivalenteP, et distincte deP. On a de plus

E Nn=1

n.Sn

= 0

pour tout processus prvisible

1n, . . . , dn

0nN, ce qui entrane, par la proposition 2.4,

que(Sn)0nNest uneP-martingale.

3.2 Evaluation et couverture des actifs conditionnels dans les marchs

complets

On suppose le march viable et complet et on note P lunique probabilit sous laquelleles prix actualiss des actifs sont des martingales. Soit un actif conditionnel dfini par une

variable alatoireFN-mesurableh 0et soit une stratgie admissible simulant h, cest--dire vrifiant :

VN() =h.

La suite Vn0nN

est une martingale sousPet par consquent,V0() =E VN(), do

V0() =E hS0N

et plus gnralement

Vn() =S0nE

h

S0N|Fn

, n= 0, 1 , . . . , N.

La valeur tout instant de toute stratgie admissible simulant hest donc compltement dter-

mine parh. Il est naturel dappelerVn()la valeur de loption : cest la richesse qui, dtenue

linstantn, permet, en suivant la stratgie partir de linstantn, de produire exactement la

richesseh linstantN.

Si, linstant0, un investisseur vend loption au prix

E

hS0N

,

il a la possibilit, en suivant une stratgie simulante , de restituer la richesse promise h

linstantN ; cest dire quil peutse couvrir parfaitement.

Remarque 3.5 Il est important de noter que le calcul du prix ncessite seulement la connais-

sance de P (pas celle de P). On aurait pu se contenter de partir de lespace probabilisable(, F), muni de la filtration(Fn), cest--dire, concrtement, de dfinir tous les tats possibleset lvolution de linformation disponible au cours du temps. Ds que lespace (, F) et lafiltration sont spcifis, il est inutile, pour valuer des options par simulation, de dterminer

les vraies probabilits des divers tats possibles (en utilisant notamment une approche sta-

tistique). Ltude du modle de Cox-Ross-Rubinstein montrera comment, dans la pratique, lescalculs de prix et de couverture peuvent tre mens bien.


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3.3 Premire approche des options amricaines

Une option amricaine pouvant tre exerce nimporte quel instant entre 0 et N, nous la

dfinirons comme une suite (Zn) positive et adapte la filtration (Fn), Zn reprsentant leprofit que permet lexercice de loption linstant n. Dans le cas dun call amricain sur une

unit dactif1 au prix dexercice K, Zn = S1nK+ ; dans le cas dun put amricain, Zn =

K S1n+

. Pour dfinir la valeur de loption amricaine associe au processus (Zn)0nN,nous allons raisonner par rcurrence en marche arrire partir de lchance N. Il est clair que

la valeur de loption linstantNestUN= ZN. A quel prix vendre loption linstantN 1 ?

Si lacheteur exerce immdiatement, il fera le profit ZN1, sinon il exercera (ventuellement)

linstantN et le vendeur doit tre prt payer la richesse ZN linstantN. Le vendeur doit

donc encaisser linstantN 1une somme au moins gale ZN1et lui permettant de fournir

la richesse ZN linstant N. La somme qui, disponible linstant N 1, permet dobtenir la

richesseZN linstantN, cest la valeur linstantN 1dune stratgie admissible de valeur

finaleZN, cest--direS0N1E

ZN|FN1

, avec ZN =ZN/S0N. Il est donc naturel de prendre

pour valeur de loption amricaine linstant N 1la quantit :

UN1= max

ZN1, S0N1E

ZNFN1 .

De proche en proche, on dfinit la valeur de loption amricaine linstant n par la relation

de rcurrence suivante, valable pour n = 1, . . . , N :

Un1= max

Zn1, S

0n1E

Un

S0n

Fn1

.

Dans le cas dun taux dintrt constant gal r sur chaque priode,

S0n= (1 + r)n

et :

Un1= max

Zn1,

1

1 +rE (Un |Fn1)

.

Soit Un= UnS0n

la valeur actualise de loption amricaine.

Proposition 3.6 La suite

Un0nN est une P

-surmartingale. Cest la plus petite P-

surmartingale majorant la suite

Zn0nN.

Noter que, contrairement au cas europen, la valeur actualise de loption amricaine ne dfinit

pas ncessairement une martingale sous P.

Dmonstration : De la relation :

Un1= max

Zn1, E

Un |Fn1

,

on dduit que(Un)0nNest une surmartingale majorant(Zn)0nN. Soit maintenant une sur-martingale(Tn)0nNmajorant(Zn)0nN. Alors TN UNet si Tn Unon a :

Tn1 E

Tn |Fn1E

Un |Fn1

et donc :

Tn1max

Zn1, E

Un |Fn1

= Un1.

Ce qui dmontre que(Tn

)majore(Un

), par rcurrence descendante sur n.


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4 Problme corrig : le modle de Cox, Ross et Rubinstein

Le modle de Cox-Ross-Rubinstein est une version discrtise du modle de Black-Scholes

(qui sera tudi au chapitre 4), dans laquelle il y a un seul actif risque, de prix Sn linstant n,

0 nN, et un actif sans risque de rendement certain r sur une priode, de sorte que, avecles notations des paragraphes prcdents : S0n= (1 + r)

n

On fait les hypothses suivantes sur lvolution du cours de lactif risqu : entre deux p-riodes conscutives, la variation relative des cours est soita, soitb, avec1 < a < b :

Sn+1=

Sn(1 + a)

Sn(1 + b)

Le cours initialS0est donn. Lespace naturel des rsultats possibles est donc = {1 + a, 1 +

b}N, chaqueN-uple reprsentant les valeurs successives de Sn+1/Sn,n = 0, 1, . . . , N 1. On

prend naturellement : F0= {, }, et F=P(). La tribu Fnsera, pour n= 1, . . . , N, la tribu(S1, . . . , Sn)engendre par les variables alatoiresS1, . . . ,Sn. Lhypothse dfinissantP une

quivalence prs est que tous les singletons deont une probabilit non nulle.

Introduisons les variables alatoires Tn = Sn/Sn1, pour n = 1, . . . , N. Si (x1, . . . , xN)est un lment de , on a P{(x1, . . . , xN)} = P(T1 = x1, . . . , T N = xN). La connaissance de

P quivaut donc celle de la loi du N-uple (T1, T2, . . . , T N). Notons aussi que, pour n 1,Fn= (T1, . . . , T n).

1. Montrer que le prix actualis (Sn) est une martingale sous P si et seulement si

E(Tn+1|Fn) =1 + r, n{0 , 1 , . . . , N 1}.La relation E(Sn+1|Fn) = Sn est quivalente E(Sn+1/Sn|Fn) = 1, puisque Sn estFn-mesurable et cette dernire galit quivaut E(Tn+1|Fn) =1 + r.

2. En dduire que, pour que le march soit viable, il est ncessaire que r appartienne

lintervalle]a, b[.Si le march est viable, il existe une probabilit P quivalente P, sous laquelle (Sn) est unemartingale. On a donc, daprs la question 1 :

E(Tn+1|Fn) =1 + r

et par consquent E(Tn+1) =1 + r. CommeTn+1est valeurs dans {1 + a, 1 + b}et prend cesdeux valeurs avec une probabilit non nulle, on a ncessairement : (1 + r) ]1 + a, 1 + b[.

3. Donner des exemples darbitrages possibles si la condition ncessaire de viabilit obtenue

en 2 nest pas vrifie.

Supposons par exemple r

a. En empruntant une somme S0 linstant 0, on peut acheter une

unit dactif risqu. A la date N, on rembourse lemprunt et on revend lactif risqu. Le profi tralisSN S0(1+ r)

N est toujours positif ou nul, puisque SN S0(1+ a)N, et strictementpositif avec une probabilit non nulle. On a donc bien un arbitrage. Quand r b, larbitragesobtient en vendant lactif risqu dcouvert.

4. Pour toute la suite, on suppose quer]a, b[et on posep = (br)/(b a). Montrerque (Sn) est une martingale sous P si et seulement et si les variables alatoires T1, T2,

. . . ,TNsont indpendantes quidistribues, leur loi commune tant donne par :P(T1 =

1 + a) =p = 1 P(T1= 1 +b). En dduire que le march est viable et complet.

Si lesTisont indpendantes et vrifi ent P(Ti= 1 + a) =p = 1 P(Ti= 1 + b), on a :

E(Tn+1|Fn) = E(Tn+1) =p(1 + a) + (1 p)(1 + b) =1 + r

et(Sn)est une martingale sous P, daprs la question 1.


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Rciproquement, si, pourn = 0, 1, . . . , N 1, E(Tn+1|Fn) =1 + r, on peut crire :(1 + a)E

1{Tn+1=1+a}|Fn

+ (1 + b)E

1{Tn+1=1+b}|Fn

= 1 + r

On en dduit, en utilisant lgalit

E 1{Tn+1=1+a}|Fn + E 1{Tn+1=1+b}|F

n= 1que E

1{Tn+1=1+a}|Fn

= p et E

1{Tn+1=1+b}|Fn

= 1 p.On voit alors, en raisonnant par

rcurrence surn que, pour tousxi {1 + a, 1 + b},

P (T1= x1, . . . , T n= xn) =

ni=1

pi

opi= p si xi= 1 + aet pi= 1 psi xi= 1 + b, ce qui prouve que les Tisont indpendantes

quidistribues sous Pet vrifi ent P(Ti= 1 + a) =p.

Ainsi, on voit que la condition que (Sn) soit une martingale sous P dtermine la loi du N-uple

(T1, T2, . . . , T N)sous P, et donc la probabilit Pelle-mme, de faon unique. Le march est donc

viable et complet.

5. On noteCn(resp.Pn) la valeur, linstant n, dun call (resp. dun put) europen sur une

unit dactif risqu au prix dexerciceKet dchanceN.

(a) Retrouver, partir des formules de prix sous forme desprances conditionnelles, la

relation de parit call-put :

Cn Pn= Sn K(1 +r)(Nn).

Notant Elesprance par rapport lunique probabilit P sous laquelle(Sn)est une mar-tingale, on a :

Cn Pn = (1 + r)(Nn)

E ((SN K)+ (K SN)+|Fn)= (1 + r)(Nn)E (SN K|Fn)= Sn K(1 + r)

(Nn),

la dernire galit rsultant du fait que (Sn)est une martingale sous P.

(b) Montrer queCnpeut scrire sous la forme :Cn= c(n, Sn), oc est une fonction

que lon explicitera laide deK,a,b,r etp.

En crivantSN= SnNi=n+1Ti, on obtient :

Cn= (1 + r)(Nn)

ESn

N

i=n+1

Ti K

+

Fn

Comme, sous la probabilit P, la variable alatoireNi=n+1Tiest indpendante deFnet

que Sn estFn-mesurable, on peut crire, en utilisant la proposition 2.5 de lappendice :Cn= c(n, Sn), oc est la fonction dfi nie par :

c(n, x)

(1 + r)(Nn)

= Ex N

i=n+1

Ti K

+

=

Nnj=0

(N n)!(N n j)!j!

pj(1 p)Nnj

x(1 + a)j(1 + b)Nnj K+


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6. Montrer que la stratgie de couverture parfaite dun call est dfinie par une quantit dactif

risquHn= (n, Sn1) dtenir linstantn, oest une fonction que lon exprimera

partir de la fonctionc.

NotantH0nla quantit dactif sans risque dans le portefeuille simulant le call, on a :

H0n(1 + r)n+ HnSn= c(n, Sn)

PuisqueH0net Hnsont Fn1-mesurables, ce sont des fonctions deS1, . . .,Sn1seulement et,Sntant gal Sn1(1 + a)ou Sn1(1 + b), lgalit ci-dessus implique :

H0n(1 + r)n + HnSn1(1 + a) =c(n, Sn1(1 + a))

et

H0n(1 + r)n + HnSn1(1 + b) =c(n, Sn1(1 + b))

Do, par soustraction,

(n, x) = c(n, x(1 + b)) c(n, x(1+ a))

x(b a) .

7. On utilise maintenant le modle pour pricer un call ou un put dchanceT sur uneaction. Pour cela, on fait tendre N vers linfini en imposant les relations suivantes :

r = RT/N, log((1+ a)/(1+ r) ) = /

N et log((1+ b)/(1+ r)) = /

N. Le

rel R sinterprte comme le taux dintrt instantan entre les instants 0 et T, puisque

eRT =limN(1 + r)N, et 2 comme la variance limite, sous la probabilit P, de la va-riable alatoire log(SN), quandN tend vers linfini,SNreprsentant le cours de laction

la dateT.

(a) Montrer que si(YN)N1est une suite de variables alatoires de la forme :

YN= XN1 +X

N2 +. . . + X

NN

o, pour chaque N, les variables alatoiresXNi sont indpendantes quidistribues, valeurs dans :

{

N,

N

},

et de moyenne N, avec limN(NN) = , alors la suite (YN) converge en loivers une gaussienne de moyenne et de variance2.

Il suffi t dtudier la convergence de la fonction caractristique YN de YN. Le calcul donne :

YN(u) = E

eiuYN

=

Nj=1

E

eiuXN

j

=E

eiuXN1N

=

1 + iuN

2u2

2N + o(1/N)

N.

Do : limN YN(u) =exp

iu 2u2

2

, ce qui prouve la convergence demande.

(b) Expliciter les valeurs limites du put, puis du call linstant0.

PourN fi x, le prix du put l instant 0 est donn par :

P(N)0 = (1 + RT/N)

NEK S0

N

n=1

Tn

+

= E

(1 + RT/N)NK S0eYN )

+


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oYN=Nn=1 log(Tn/(1 +r)). Avec les hypothses de lnonc, les variables alatoires

XNj = log(Tj/(1+ r)) sont valeurs dans {/

N,/

N}, et indpendantes quidistri-

bues sous la probabilit P. On a de plus :

E(XNj ) = (1 2p)

N

=2 e/

N e/

N

e/N e/

N

N

La suite (YN) est donc du type tudi dans la question 7a, avec = 2/2. Si on pose

(y) = (KeRT S0ey)+, on peut crire :

|P(N)0 E

((YN))|

=

E

(1 + RT/N)NK S0eYN)

+

KeRT S0eYN+

K

(1 + RT/N)N eRTDo, en utilisant la convergence en loi de (YN)et le fait que la fonction est continue bor-

ne (cest prcisment pour avoir une fonction borne que nous avons tudi le put dabord) :

limN

P(N)0 = lim

NE ((YN)) =

12

+

(KeRT S0e2/2+y)+e

y2/2dy.

Lintgrale obtenue sexprime, aprs un calcul lmentaire, laide de la fonction de rpar-

titionF de la loi normale centre rduite, de sorte que :

limN

P(N)0 =Ke

RTF(d2) S0F(d1),

od1= (log(x/K) + RT+ 2/2)/,d2= d1 et

F(d) = 12

d

ex2

/2dx.

Pour le call, on obtient, en utilisant la relation de parit put-call : limN C(N)0 =S0F(d1)

KeRTF(d2).

Remarque 4.1 Dans les formules obtenues, le seul paramtre qui nest pas directement obser-

vable sur le march est . Linterprtation de comme variance suggre de lestimer par des

voies statistiques. Nous reviendrons sur cette question dans le chapitre 4.

Indications bibliographiques Nous avons suppos, dans ce chapitre, quil ny avait pas de

distribution de dividendes. En fait, on peut utiliser les mmes ides pour traiter les marchsavec dividendes (cf. [HL88], chapitre 8). Le thorme de caractrisation des marchs complets

peut tre tendu des espaces de probabilit infinis (cf. [DMW90], [Mor89]). A temps continu,

la formulation du problme est dlicate (cf. [HK79], [Str90] et [DS94]). La thorie des marchs

complets temps continu est dveloppe dans [HP81] et [HP83]. On trouvera une prsentation

lmentaire du modle de Cox-Ross-Rubinstein dans [CR85].


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Chapitre 2

Problme darrt optimal et options amricaines

Le but de ce chapitre est de traiter lvaluation et la couverture des options amricaines et

de faire apparatre le lien entre ces questions et le problme darrt optimal. Pour cela, nous

aurons besoin de la notion de temps darrt, qui permet de modliser les stratgies dexercice

dune option amricaine, et de la notion denveloppe de Snell, qui est la cl de la rsolution du

problme darrt optimal. Lapplication de ces notions aux options amricaines sera prcise

dans le paragraphe 5 de ce chapitre.

1 Notion de temps darrt

Le dtenteur dune option amricaine peut lexercer tout moment, jusqu la datedchance. La dcision dexercer ou de ne pas exercer linstant n se fera au vu des infor-

mations disponibles linstantn. Si on se place dans un modle discret construit sur un espace

probabilis filtr

, F, (Fn)0nN , P

fini, on est conduit dcrire la date dexercice par une

variable alatoire appele temps darrt :

Dfinition 1.1 Une variable alatoire, valeurs dans{0 , 1 , 2 , . . . , N}est un temps darrt si,

pour toutn{0,1, , N}:{= n} Fn.

Remarque 1.2 Comme dans le chapitre prcdent, nous supposerons queF = P() etP({}) > 0, . Cette hypothse nest dailleurs pas essentielle : si elle nest pas v-rifie, les rsultats exposs dans ce chapitre restent vrais condition de prendre les galits ausens presque sr. Par contre, nous ne ferons pas les hypothsesF0 = {, }etFN =F, saufdans le contexte purement financier du paragraphe 5.

Remarque 1.3 On pourra vrifier, titre dexercice, que est un temps darrt si et seulement

si, pour toutn{0,1, , N}:{n} Fn.

Cette dfinition quivalente du temps darrt est celle qui se gnralise au temps continu.

Introduisons maintenant la notion de suite arrte un temps darrt. Soit (Xn)0nN une

suite adapte la filtration(Fn)0nNet soit un temps darrt. La suite arrte linstant est dfinie par :

Xn () =X()n ()

cest dire que, sur lensemble{= j}on a :

Xn=

Xj sijnXn sij > n.

Noter queXN () =X()()(=Xjsur{= j}).

Proposition 1.4 Soit (Xn) une suite adapte et soit un temps darrt. La suite arrte

(Xn)0nNest adapte. Si, de plus, (Xn) est une martingale (resp. une surmartingale), alors(Xn)est une martingale (resp. une surmartingale).


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Dmonstration : On remarque que, pourn1, on a :

Xn= X0+

nj=1

j (Xj Xj1) ,

oj= 1{j}. Puisque{j}est le complmentaire de lensemble { < j}= {j 1},le processus(n)0nNest prvisible.

Il est clair alors que (Xn)0nN est adapte la filtration (Fn)0nN. De plus, si (Xn)est une martingale,(Xn)est aussi une martingale par rapport (Fn), en tant que transformede la martingale (Xn). On montre de mme que si la suite (Xn) est une surmartingale (resp.

une sousmartingale), la suite arrte est encore une surmartingale (resp. une sousmartingale) en

utilisant la prvisibilit et la positivit de (j)0jN.

2 Enveloppe de Snell

Dans ce paragraphe, on se donne une suite (Zn)0nNadapte, et on se propose dtudierla suite(Un)0nNdfinie par les relations :

UN = ZNUn = max (Zn, E (Un+1|Fn)) nN 1.

Cette tude est motive par notre premire approche des options amricaines (paragraphe 3.3

du chapitre 1). Nous savons dj, par la proposition 3.6 du chapitre 1, que (Un)0nN est laplus petite surmartingale majorant la suite(Zn)0

nN. On lappelle enveloppe de Snell de la

suite(Zn)0nN.La relation de rcurrence dfinissant(Un)montre qu chaque instant, Unest au dessus de

Zn(avec galit pour n = N) et que, tant que lingalit est stricte,Un = E(Un+1|Fn). Celasuggre quen arrtant convenablement la suite(Un), on puisse obtenir une martingale, comme

le montre la proposition suivante.

Proposition 2.1 La variable alatoire dfinie par :

0= inf{n0|Un= Zn}est un temps darrt et la suite arrte (Un0)0

n

Nest une martingale.

Dmonstration : PuisqueUN= ZN,0dfinit bien un lment de {0,1, , N}et lon a :{0= 0}= {U0= Z0} F0,

et pourk1 :{0= k}= {U0> Z0} {Uk1> Zk1} {Uk= Zk} Fk.

Pour montrer que (U0n ) est une martingale, on crit, comme dans la dmonstration de la

proposition 1.4 :

U0n =Un0 =U0+

nj=1

jUj


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Ch.2 PROBLME DARRT OPTIMAL ET OPTIONS AMRICAINES 29

oj= 1{0 j}. Do, pourn{0,1, , N 1}:

U0n+1U0n = n+1 (Un+1 Un)

= 1{n + 10}(Un+1Un)

On a, par dfinition,Un = max (Zn, E (Un+1|Fn))et sur lensemble{n +10},Un > Znet par consquentUn= E (Un+1|Fn). Do :

U0n+1 U0n =1{n +10}(Un+1E (Un+1|Fn))

et, en conditionnant :

E

U0n+1U0n

|Fn

= 1{n + 10}E((Un+1E (Un+1|Fn))|Fn)

car{n+ 10} Fn(puisque le complmentaire de{n +10}est{0 n}.Do :

E

U0n+1 U0n

|Fn

, =0

ce qui prouve queU0 est une martingale.

Dans la suite, nous noterons Tn,Nlensemble des temps darrt qui prennent leurs valeurs dans{n, n + 1, , N}. Remarquons que, puisque est suppos fini, Tn,Nest un ensemble fini. Laproprit de martingale de la suite U0 permet de montrer le rsultat suivant, qui fait le lien

entre enveloppe de Snell et problme darrt optimal.

Corollaire 2.2 Le temps darrt0vrifie :

U0= E (Z0 |F0) = supT0,N

E (Z|F0) .

SiZnsinterprte comme la somme des gains dun joueur aprsnparties dun jeu de hasard,

on voit que sarrter de jouer linstant 0permet de maximiser le gain moyen sachant F0.Dmonstration : PuisqueU0 est une martingale, on a :

U0= U00 =E (U

0N|F0) =E (U0 |F0) =E (Z0 |F0) .

Par ailleurs, si T0,Nla suite arrteU est une surmartingale. Do :

U0 E (UN|F0) =E (U|F0) E (Z|F0) ,

ce qui donne le rsultat.

Remarque 2.3 Une gnralisation immdiate du corollaire 2.2 donne :

Un = supTn,N

E (Z|Fn)= E (Zn |

Fn) ,

on= inf{jn|Uj= Zj}.


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Dfinition 2.4 On appelle temps darrt optimal pour la suite (Zn)0nNtout temps darrttel que :

E (Z|F0) = supT0,N

E (Z|F0)

Il rsulte de ce qui prcde que 0est un temps darrt optimal. Le rsultat suivant donne une

caractrisation des temps darrt optimaux qui montre que 0 est le plus petit temps darrtoptimal.

Thorme 2.5 Un temps darrt est optimal si et seulement si : Z= Uet (Un)0nN est une martingale.

(2.1)

Dmonstration : Si la suite arrteU est une martingale, on a U0= E(U|F0)et par cons-quent, si (2.1) est vrifi, U0 = E(Z|F0), ce qui, compte tenu du corollaire 2.2, entraneloptimalit de.

Rciproquement, si est optimal, on a :

U0= E (Z|F0)E (U|F0) .Mais, puisqueU est une surmartingale :

E (U|F0)U0.Do :

E (U|F0) =E (Z|F0)et puisqueU

Z,U= Z.

De lgalitE (U|F0) =U0et des ingalits :U0 E (Un|F0)E (U|F0)

(qui rsultent du fait que(Un)est une surmartingale) on dduit aussi :

E (Un|F0) =E (U|F0) =E ( E (U|Fn)|F0) .Mais on a Un E (U|Fn), do Un = E (U|Fn), ce qui prouve que (Un) est unemartingale.

3 Dcomposition des surmartingales

La dcomposition suivante (classiquement appele dcomposition de Doob) permet, dans

les modles de marchs viables et complets, dassocier toute surmartingale une stratgie de

gestion dans laquelle la consommation est autorise (voir ce sujet lexercice 5).

Proposition 3.1 Toute surmartingale(Un)0nNpeut scrire de faon unique sous la forme :

Un

= Mn

An

o(Mn)est une martingale et(An)un processus croissant, prvisible, nul en0.


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Dmonstration : Il est clair que le seul choix possible pourn = 0est M0 = U0et A0 = 0.

On doit ensuite avoir :

Un+1 Un= Mn+1Mn (An+1 An) .

Do, en conditionnant par rapport Fnet en utilisant les proprits deMetA : (An+1An) =E (Un+1|Fn) Un

et

Mn+1Mn= Un+1E (Un+1|Fn) .(Mn)et (An)sont ainsi dtermins de manire unique et on voit que (Mn)est bien une mar-

tingale et que (An) est bien prvisible et croissant (parce que (Un) est une surmartingale).

Supposons maintenant que (Un) soit lenveloppe de Snell dune suite adapte (Zn). On peut

alors caractriser le plus grand temps darrt optimal pour (Zn) laide du processus croissant(An)intervenant dans la dcomposition de Doob de(Un):

Proposition 3.2 Le plus grand temps darrt optimal pour(Zn)est donn par :

max

=

N siAN= 0

inf{n, An+1 =0} siAN =0.

Dmonstration : On voit facilement que max est un temps darrt en utilisant le fait que

(An)0nNest prvisible. De lgalitUn= Mn Anet du fait queAj= 0, pourjmax, ondduit queUmax =Mmax ce qui entrane queUmax est une martingale. Pour avoir loptimalit, il

suffit par consquent de montrer lgalit :

Umax =Zmax .

Or :

Umax =

N1j=0

1{max =j}Uj + 1{max =N}

UN

=

N1

j=01{max =j}

max (Zj, E (Uj+1|Fj)) + 1{max =N}ZN,

On a E (Uj+1|Fj) = Mj Aj+1 et, sur lensemble {max =j}, Aj = 0 et Aj+1 > 0, doncUj= MjetE (Uj+1|Fj) =Mj Aj+1< Uj. Par suiteUj= max (Zj, E (Uj+1|Fj)) =Zj. Dofinalement :

Umax =Zmax .

Il reste dmontrer que cest le plus grand temps darrt optimal. Cela rsulte du fait que si

est un temps darrt vrifiant max et P( > max)> 0, alorsE(U) =E(M) E(A) =E(U0) E(A)< E(U0)

et par consquentU ne peut pas tre une martingale.


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4 Enveloppe de Snell et chanes de Markov

Le but de ce paragraphe est de montrer comment, dans un cadre markovien, les calculs

denveloppes de Snell peuvent tre mens bien. Une suite (Xn)n0 de variables alatoires valeurs dans un ensemble fini E est appele chane de Markov si, pour tout entier n1 et pourtous lmentsx0,x1, . . . ,xn1,x,y deE, on a :

P (Xn+1= y|X0= x0, . . . , Xn1= xn1, Xn= x) =P (Xn+1= y|Xn= x)

La chane est ditehomognesi le nombreP(x, y) =P (Xn+1= y|Xn= x)ne dpend pas den.

La matrice P = (P(x, y))(x,y)EE, indexe par E E, est alors appele matrice de transitionde la chane. La matrice P a des coefficients positifs ou nuls et vrifie :

yEP(x, y) = 1,

pour tout xE ; on dit que cest une matrice stochastique. Lorsquon travaille sur un espace deprobabilit filtr

, F, (Fn)0nN , P

, on dfinit la notion de chane de Markov par rapport

la filtration :

Dfinition 4.1 Une suite(Xn)0nN de variables alatoires valeurs dans ensembleEest unechane de Markov homogne de matrice de transition P par rapport la filtration (Fn)0nNsi(Xn)est adapte et si pour toute fonctionf deE dansR, on a :

E (f (Xn+1)|Fn) =Pf (Xn)

oPfdsigne la fonction qui xE associePf(x) = yEP(x, y)f(y).Noter que si lon interprte les fonctions de E dansRcomme des matrices unicolonnes indexes

parE, Pf est bien le produit des deux matrices P etf. On vrifie failement quune chane deMarkov au sens lmentaire est une chane de Markov par rapport sa filtration naturelle, dfinie

par : Fn= (X0, . . . , Xn).La proposition suivante est une consquence immdiate de la dfinition prcdente et de la

dfinition de lenveloppe de Snell.

Proposition 4.2 Soit (Zn) une suite adapte dfinie par Zn = (n, Xn), o (Xn) est une

chane de Markov homogne de matrice de transitionP, valeurs dansE et une fonction de

NE dansR. Alors, lenveloppe de Snell(Un)de la suite (Zn)est donne parUn= u(n, Xn),o la fonctionuest dfinie par les relations suivantes :

u(N, x) =(N, x) xE

et, pournN 1,u(n, ) =max ((n, ), Pu(n + 1, )) .

5 Application aux options amricaines

Nous nous plaons maintenant dans un modle de march viable et complet, construit sur

lespace

, F, (Fn)0nN , P

et, comme dans les paragraphes 3.1 et 3.3 du chapitre 1, nous

noteronsPlunique probabilit sous laquelle les actifs actualiss sont des martingales.


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5.1 Exercice et couverture des options amricaines

Dans le paragraphe 3.3 du chapitre 1, nous avons dfini la valeur(Un)dune option amri-

caine dcrite par une suite(Zn), par les relations :

UN = ZN

Un = max

Zn, S0nEUn+1S0n+1 |Fn

nN 1.La suite( Un)dfinie par Un= Un/S

0n(valeur actualise de loption) est donc lenveloppe de

Snell sousPde la suite(Zn). Il rsulte du paragraphe 2 ci-dessus que lon a :

Un= supTn,N

E

Z|Fn

et par consquent :

Un= S0n sup

Tn,N

E

Z

S0|Fn

.

Daprs le paragraphe 3, on peut crire :

Un= Mn An,

o( Mn)est uneP martingale et( An)est un processus croissant prvisible nul en0. Puisque

le march est complet, il existe une stratgie autofinance telle que :

VN () =S0NMN,

cest dire VN () = MN. Comme la suite

Vn ()

est uneP-martingale, on a :

Vn() = E

VN()|Fn

= E

MN|Fn

= Mn,

et, par consquent :

Un= Vn() An.

Do :

Un= Vn() An,

o An = S0nAn. Il est clair sur cette expression que le vendeur de loption peut se couvrirparfaitement puisque, en encaissant la prime U0= V0(), il peut produire une richesse gale

linstantn Vn()qui majoreUndoncZn.

Quelle est la date dexercice optimale pour lacheteur de loption ? La date dexercice est

choisir parmi tous les temps darrt. Le dtenteur de loption na pas intrt exercer un

instantn o Un> Zn, car il perdrait un actif de valeurUn(loption) contre une richesse gale

Zn(venant de lexercice de loption). Donc une date dexercice optimal vrifie U = Z.

Par ailleurs, il na pas intrt exercer aprs linstant

max =inf{j, Aj+1 =0}

(qui est gal infj, Aj+1 =0), car, cet instant, en vendant loption, il peut se constituerune richesse gale Umax = Vmax() et, en suivant partir de cet instant la stratgie , il se


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constitue un portefeuille dont la valeur est strictement plus grande que celle de loption aux

instantsmax+ 1, max+ 2, , N. On impose donc, comme seconde conditionmax, ce quipermet de dire que U est une martingale. La conclusion de ce qui prcde est que les dates

dexercice optimales sont les temps darrt optimaux pour la suite (Zn), sous la probabilit

P. Pour prciser ce point, reprenons le point de vue du vendeur de loption. Si celui-ci secouvre suivant la stratgiedfinie plus haut et si lacheteur exerce un instant qui nest pas

optimal, on aU> Zou A> 0. Dans les deux cas, le vendeur ralise un profit V() Z=

U+A Z, qui est strictement positif.

5.2 Options amricaines et options europennes

Proposition 5.1 SoitCnla valeur linstantn dune option amricaine dcrite par une suiteadapte (Zn)0nN et soitcn la valeur linstantn de loption europenne dfinie par lavariable alatoire FN-mesurable h= ZN. Alors, on a : Cn cn.

De plus, sicn Zn, pour toutn, alors :

cn=Cn n{0 , 1 , . . . , N}.LingalitCn cn est bien naturelle puisque loption amricaine donne plus de droits queloption europenne.

Dmonstration : Puisque la valeur actualise

Cn

est une surmartingale sousP, on a :

Cn E

CN|Fn

= E (cN|Fn) = cnDo, lingalit : Cn cn.

Si on acn Zn, pour toutn, alors la suite (cn), qui est une martingale sous P, apparatcomme une surmartingale (sousP) majorant la suite(

Zn)et par consquent :

Cn cn n{0 , 1 , . . . , N}

Do lgalit.

Remarque 5.2 On vrifiera sans peine que si les relations de la proposition 5.1 ntaient pas

vrifies, il y aurait des opportunits darbitrage par des transactions sur les options.

Pour illustrer la proposition qui prcde, plaons-nous dans le cas dun march avec un seul

actif risqu, de prixSn linstantn et un taux dintrt sans risque constant, gal r

0sur

chaque priode, de sorte que S0n= (1+r)n. Alors si, avec les notations de la proposition 5.1,on prendZn = (SnK)+, cnest le prix, la daten, dun call europen dchance N et de

prix dexerciceK sur une unit dactif risqu etCnest le prix du call amricain correspondant.On a :

cn = (1 +r)NE ((SN K)+|Fn)

E

SNK(1 + r)N|Fn

= SnK(1 + r)

N,

en utilisant la proprit de martingale de (Sn). Do : cn

SnK(1+r)(Nn)

SnK,

puisquer0. Commecn0, on a aussicn(SnK)+et par la proposition 5.1, Cn= cn.Il y a donc galit entre le prix du call europen et le prix du call amricain correspondant.


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Cette proprit nest pas vrifie dans le cas du put, ni dans le cas de calls sur devises ou sur

actions distribuant des dividendes.

Remarque bibliographique : Pour des complments sur lenveloppe de Snell et larrt optimal,

on pourra consulter [Nev72] (chapitre VI) et [DCD83] (chapitre 5, paragraphe 1). Pour la thorie

de larrt optimal temps continu, voir [Kar81].

6 Exercices

Exercice 1 Soit un temps darrt par rapport une filtration (Fn)0nN. On noteF len-semble des vnementsAtels queA {= n} Fn, pour toutn{0 , . . . , N}.

1. Montrer que Fest une sous-tribu de FN. Fest souvent appele tribu des vnementsantrieurs .

2. Montrer que la variable alatoire est

F-mesurable.

3. SoitX une variable alatoire relle. Montrer lgalit :

E(X|F) =Nj=0

1{= j}E(X|Fj)

4. Soitun temps darrt tel que. Montrer que F F.5. Sous les mmes hypothses, montrer que si(Mn)une martingale, on a

M= E(M|F).(On pourra traiter le cas = N dabord.)

Exercice 2 Soit (Un) lenveloppe de Snell dune suite adapte (Zn). Montrer, sans supposer

F0triviale que :E (U0) = sup

T0,NE (Z) ,

et plus gnralement que :

E (Un) = supTn,N

E (Z) .

Exercice 3 Montrer que est optimal au sens de la dfinition 2.4 si et seulement si :

E (Z) = supT

0,N

E (Z) .

Exercice 4 Lobjet de cet exercice est dtudier le put amricain dans le modle de Cox-Ross-

Rubinstein. Les notations sont celles du chapitre 1.

1. Montrer que le prix Pn, linstantn, du put amricain dchance N, de prix dexerciceKsur une action peut scrire :

Pn= Pam(n, Sn)oPam(n, x)est dfinie parPam(N, x) = (K x)+et, pournN 1

Pam(n, x) =max (K x)+,f(n +1, x)

1 + r ,

avecf(n +1, x) =pPam(n + 1, x(1 +a)) + (1 p)Pam(n + 1, x(1 + b))etp = brba

.


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2. Montrer que la fonctionPam(0, .)peut se mettre sous la forme :

Pam(0, x) = supT0,N

E ((1 + r)(K xV)+) ,

o la suite de variables alatoires (Vn)0nN est dfinie par : V0 = 1 et, pour n 1,Vn =

ni=1Ui, o les Uisont des variables alatoires dont on prcisera la loi conjointe

sousP.3. A partir de la formule de la question prcdente, montrer que la fonctionx Pam(0, x)

est convexe et dcroissante.

4. On suppose a < 0. Montrer quil existe un rel x [0, K] tel que, pour x x,Pam(0, x) = (K x)+et, pourx]x, K/(1 + a)N[,Pam(0, x)> (K x)+.

5. Un agent dtient le put amricain linstant 0. Pour quelles valeurs du cours spot S0a-t-il

intrt exercer immdiatement son option ?

6. Montrer que la stratgie de couverture du put amricain est dfinie par une quantit dactif

risquHn= (n, Sn1) dtenir linstantn, oest une fonction que lon exprimera

partir de la fonctionPam.

Exercice 5 Stratgies de consommation. Les stratgies autofinances dfinies au chapitre 1

excluent toute possibilit de consommation. On peut introduire des stratgies de consommation

de la faon suivante : linstant n, aprs avoir pris connaissance des cours S0n, . . . ,Sdn, linvestis-

seur rajuste son portefeuille pour le faire passer de la composition n la compositionn+1et dcide de la richesse n+1qui sera consomme la date n + 1. Le rajustement se faisant

aux cours de la daten, sil ny a pas dapports de fonds extrieurs, on doit avoir :

n+1.Sn= n.Snn+1. (2.2)

Une stratgie de gestion avec consommation sera donc dfinie par un couple (, ), o est

un processus prvisible valeurs dansRd+1, reprsentant les quantits dactifs dtenues en por-

tefeuille et = (n)1nNun processus prvisible valeurs dans R+, reprsentant la richesseconsomme chaque instant, les processus et tant lis par la relation (2.2), qui remplace

la condition dautofinancement du chapitre 1.

1. Soitun processus prvisible valeurs dans Rd+1 et soitun processus prvisible va-

leurs dansR+. On poseVn() =n.Snet Vn() =n.Sn. Montrer que les conditions

suivantes sont quivalentes :

(a) Le couple(, )dfinit une stratgie de gestion avec consommation.

(b) Pour toutn

{1 , . . . , N},

Vn() =V0() +

nj=1

j.Sj

nj=1

j.

(c) Pour toutn{1 , . . . , N},

Vn() =V0() +

nj=1

j.Sj

nj=1

j/S0j1.

2. Dans toute la suite, on suppose le march viable et complet et on noteP lunique pro-babilit sous laquelle les prix actualiss des actifs sont des martingales. Montrer que si le

couple(, )dfinit une stratgie de gestion avec consommation, alors ( Vn())est unesurmartingale sousP.


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3. Soit(Un) une suite adapte telle que ( Un) soit une surmartingale sous P. Montrer, en

utilisant la dcomposition de Doob, quil existe une stratgie de gestion avec consomma-

tion(, )telle queVn() =Un, pour toutn{0 , . . . , N}.4. Soit (Zn), une suite adapte. On dit quune stratgie de gestion avec consommation (, )

couvre loption amricaine dfinie par(Zn)siVn()Zn, pour toutn{0 , 1 , . . . , N}.Montrer que la valeur(Un)de loption amricaine est la valeur dau moins une stratgiede gestion avec consommation qui couvre (Zn) et que toute stratgie de gestion avec

consommation(, )qui couvre(Zn)vrifieVn()Un, pour toutn{0 , 1 , . . . , N}.5. Soit x un nombre positif, reprsentant la richesse initiale dun investisseur et soit =

(n)1nNune suite prvisible valeurs dansR+. On dira que le processus de consom-mation(n) est finanable partir de la richesse initiale x sil existe un processus pr-

visible valeurs dans Rd+1 tel que le couple (, )dfinisse une stratgie de gestion

avec consommation, avec, de plus : V0() =x et Vn()0, pour toutn{0 , . . . , N}.Montrer que (n) est finanable partir de la richesse initiale x, si et seulement si :

E Nj=1j/S

0j1x.


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Chapitre 3

Mouvement brownien et quations diffrentielles

stochastiques

Les deux premiers chapitres de ce livre ont t consacrs ltude de modles temps

discret. On a vu cette occasion limportance des notions de martingales, de stratgies au-

tofinances. . . Nous allons tendre ces notions au cas du temps continu. En particulier, nous

introduirons les outils mathmatiques permettant de construire des modles dvolution dac-

tif et de calculer les prix doptions. Les outils techniques sont plus dlicats utiliser en temps

continu mais les ides essentielles diffrent peu de celles du temps discret.

Pourquoi considre-t-on des modles temps continu ? La premire motivation vient des

phnomnes que lon veut modliser : les variations des cotations sur les marchs organiss

sont en pratique tellement frquentes quun modle temps discret peut difficilement en rendrecompte. Dautre part les modles continus conduisent des mthodes de calcul plus explicites

que les modles discrets, mme sil faut parfois avoir recours des mthodes numriques. Ainsi,

le modle le plus utilis dans la pratique (le modle de Black et Scholes) est un modle temps

continu qui conduit une formule simple. Comme nous lavons signal dans lintroduction,

les liens entre processus stochastiques et finance ne sont pas nouveaux : en 1901, Bachelier

(voir [Bac00]) dans un mmoire intitul Thorie de la spculation est, non seulement lun des

premiers sintresser mathmatiquement aux proprits du mouvement brownien, mais aussi

donner des formules de calcul de prix pour certaines options.

Nous donnons quelques lments mathmatiques ncessaires la comprhension des mo-

dles temps continu. En particulier, nous introduirons le mouvement brownien, qui est lou-

til majeur du modle de Black et Scholes et sert construire la plupart des modles dactifs

en finance. Puis nous tendrons la notion de martingale au cas du temps continu, enfin nous

construirons lintgrale stochastique dIt et nous introduirons le calcul diffrentiel qui lui est

associ : le calcul dIt.

Certaines dmonstrations sont rdiges en petits caractres, ce sont des dmonstrations tech-

niques quil est conseill de sauter lors dune premire lecture.

1 Gnralits sur les processus temps continu

Commencons par prciser ce que lon entend par processus temps continu.

Dfinition 1.1 On appelleprocessus stochastique temps continu et valeurs dans un espace

E muni dune tribu E, une famille (Xt)tR+ de variables alatoires sur un espace de probabilit(, A, P) valeurs dans(E, E).

Remarque 1.2 Dans la pratique lindicet reprsente le temps.

Un processus peut aussi tre vu comme une fonction alatoire : chaque dans on

associe la fonction deR+ dansE,t

Xt(), appeletrajectoiredu processus.

Un processus peut tre considr comme une application de R+ dansE, nous sup-poserons toujours que cette application est mesurable lorsque lon munit R+

de la

tribu B(R+) A etEde la tribu E. On considrera aussi des processus indexs par un intervalle de temps[0, T]born.


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Comme dans le cas discret, on introduit la notion de filtration.

Dfinition 1.3 Soit(, A, P) un espace de probabilit, une filtration (Ft)t0 est une famillecroissante de sous tribus de A.

Le tribuFt reprsente linformation dont on dispose linstant t. On dit quun processus(Xt)t0estadapt(Ft)t0, si pour chaquet,Xtest Ft-mesurable.

Remarque 1.4 Dans la suite, les filtrations que lon considrera, auront la proprit suivante :

SiA A et siP(A) =0, alors pour toutt,A Ft.

Ceci exprime queFtcontient tous les ensembles de mesure nulle deA. Le but de cette hypo-thse technique est de permettre daffirmer que si X = Y Pp.s. et que Y estFt-mesurablealorsX est aussi

Ft-mesurable.

On peut construire une filtration partir dun processus (Xt)t0en posant Ft= (Xs, st). Cette filtration ne vrifie pas, en gnral, lhypothse prcdente. Cependant si on remplace

la tribu Ftpar la tribu Ftengendre par FtetN, lensemble des ensembles de probabilit nulle(on dit aussi ngligeables) deA, on obtient une filtration vrifiant la condition souhaite. Onappelle cette filtration la filtration naturelledu processus(Xt)t0. Quand on parle de filtrationpour un processus sans autres prcisions, il sagit de sa filtration naturelle. Un processus est

bien sr adapt sa filtration naturelle.

La notion de temps darrt nous sera utile comme dans le cas discret. Un temps darrt

modlise un temps alatoire qui dpend du processus de facon non anticipante ( un instant

donnt on sait si un temps darrt est plus petit que t). Formellement, la dfinition est lasuivante :

Dfinition 1.5 On appelletemps darrtpar rapport une filtration(Ft)t0une variable ala-toire valeurs dans R+ {+}telle que, pour toutt0 :

{t} Ft

On associe un temps darrtune tribu que lon note F, dfinie par :

F= {A A, pour toutt0 , A {t} Ft} .

Cette tribu reprsente les informations disponibles avant linstant alatoire . On dmontre que

(voir exercices 8,9,10, 11,14) :

Proposition 1.6 SiS est un temps darrt, S estFSmesurable. Si S est un temps darrt, fini presque srement, et (Xt)t0 est un processus adapt

continu, alorsXSestFSmesurable. SiS etTsont deux temps darrt tels que ST Pp.s., alors FS FT. Si S et T sont deux temps darrt alors S T = inf(S, T) est un temps darrt. En

particulier si S est un temps darrt ett est un temps dterministe S t est un tempsdarrt.


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Ch.3 MOUVEMENT BROWNIEN, QU. DIFF. STOCHASTIQUES 41

2 Le mouvement brownien

Un exemple particulirement important de processus stochastique est le mouvement brow-

nien. Il servira de base pour la construction de la plupart des modles dactifs financiers et de

taux dintrt.

Dfinition 2.1 On appellemouvement brownienun processus stochastique (Xt)t0

valeurs

relles, qui est unprocessus accroissements indpendants et stationnaires dont les trajectoires

sont continues. Ce qui signifie que :

continuit: Pp.s. la fonctions Xs()est une fonction continue.indpendance des accroissements : Sis t,XtXs est indpendant de la tribuFs =

(Xu, us). stationnarit des accroissements : si s t, la loi de Xt Xs est identique celle de

XtsX0.

Cette dfinition permet de caractriser la loi de la variable alatoire Xt. Ce rsultat est dlicat

tablir, nous renvoyons [GS80] pour sa dmonstration.

Thorme 2.2 Si(Xt)t0est un mouvement brownien, alors Xt X0est une variable alatoiregaussienne de moyennertet de variance2t,ret tant des constantes relles.

Remarque 2.3 Un mouvement brownien est dit standardsi :

X0= 0 Pp.s. E (Xt) =0, E

X2t

= t.

Dans la suite, lorsque lon parlera de mouvement brownien, sans autre prcision, il sagira dun

mouvement brownien standard. Dans ce cas, la loi deXtprend la forme :

12t

ex2

2t dx,

dxtant la mesure de Lebesgue sur R.

On peut dmontrer une proprit prcisant le caractre gaussien du mouvement brownien.

On vient de voir que pour tout t,Xtest une variable alatoire gaussienne. On a une proprit

plus forte :

Thorme 2.4 Si (Xt)t0 est un mouvement brownien, si 0 t1 < . . . < tn alors(Xt1 , . . . , Xtn)est unvecteur gaussien.

On pourra consulter lappendice page 161 pour des prcisions sur les vecteurs gaussiens.

Dmonstration : Soit0t1< .. . < tn, alors le vecteur alatoire(Xt1 , Xt2 Xt1 , , XtnXtn1) est compos de variables alatoires gaussiennes (daprs le thorme 2.2) et indpen-

dantes (par dfinition du mouvement brownien), ce vecteur est donc un vecteur gaussien. Il en

est donc de mme pour(Xt1 , . . . , Xtn).

On aura besoin dune dfinition lgrement plus prcise dun mouvement brownien par rapport

une tribu Ft.Dfinition 2.5 On appelleraFtmouvement brownien un processus stochastique valeursrelles et trajectoires continues qui vrifie :

Pour toutt0,XtestFt-mesurable. Sist,XtXsest indpendant de la tribu Fs. Sist, la loi de Xt Xsest identique celle deXts X0.

Remarque 2.6 Le premier point de la dfinition prcdente prouve que(Xu, u

t)

Ft.

De plus, il est facile de vrifier quun Ft-mouvement brownien est un mouvement brownien parrapport sa filtration naturelle.


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3 Martingales temps continu

Comme dans le cas des modles temps discret, la notion de martingale est un outil essentiel

pour expliciter la notion darbitrage. La dfinition suivante est une extension de celle du temps

discret.

Dfinition 3.1 Soit(, A, P) un espace probabilis et(Ft)t0 une filtration de cet espace. Unefamille adapte(Mt)t0de variables alatoires intgrables, (cest--dire vrifiantE(|Mt|) a

=Q+sQ+ ,st{Xs> a } .

Ce dernier ensemble est dans Ft, ce qui prouve le rsultat. On notera dans ce qui suitxy =inf(x, y).

Nous allons appliquer le thorme darrt la martingale Mt = exp

Xt (2/2)t

. On

ne peut pas appliquer le thorme darrt Ta (qui nest pas born). Cependant, si n est un

entier positif,Tan est encore un temps darrt (voir proposition 1.6), qui est born, on peut

donc appliquer le thorme darrt. On obtient ainsi :

E (MTan) =1.


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MaisMTan= eXTan

2

2 (Tan) exp(a). De plus, siTa< +, limn+ MTan= MTa

et si Ta= +, on a pour tout t,Xta, do limn+ MTan= 0. Le thorme de Lebesguedonne doncE(1{Ta< +}MTa ) =1, soit, commeXTa =a siTa< + :

E1{Ta< +}e

2

2 Ta

= ea.

En faisant tendre vers0 on obtient queP(Ta< +) =1(ce qui signifie que le mouvementbrownien atteint la valeurapresque srement) puis :

E

e

2

2 Ta

= ea.

On traite le casa < 0en remarquant que :

Ta= inf{s0, Xs= a} ,avec(Xt)t0qui est un Ft-mouvement brownien (car cest un processus continu accroisse-ments indpendants et stationnaires de moyenne nulle et de variance t).

Le thorme darrt permet aussi dobtenir des estimations pour le maximum dune martingale.

SiMtest une martingale, on peut borner le moment dordre 2de sup0tT|Mt|. Cette ingalitest connue sous le nom dingalit de Doob.

Thorme 3.7 (Ingalit de Doob) Si(Mt)0tTest une martingale continue, on a :

E

sup0tT

|Mt|2

4E(|MT|2).

La dmonstration de ce rsultat est donne dans lexercice 13.

4 Intgrale stochastique et calcul dIt

Dans le cas des modles temps discret, la valeur actualise dun portefeuille de valeur

initialeV0et gr selon la stratgie autofinance = (Hn)0nNscrit :

V0+

nj=1

Hj(Sj Sj1).

Cette valeur apparat comme unetransforme de martingalesous une probabilit pour laquelle

le prix de lactif actualis (Sn)0nN est une martingale. Dans le cas des modles temps

continu, nous allons gnraliser cette formule laide dintgrales du type t0

HsdSs.

Cependant les modles utiliss couramment pour dcrire lactif sont obtenus partir du

mouvement brownien. Or, une des proprits importantes du mouvement brownien est que

presque srement ses trajectoires sont nulle part diffrentiables. Autrement dit, si Xt est un

mouvement brownien, il nexiste pas de points t de R+ tels que dXtdt

ait un sens. On ne peut

donc pas dfinir lintgrale prcdente par :t0

f(s)dXs=

t0

f(s)dXs

ds ds.

On peut donner, cependant, un sens prcis ce type d intgrales par rapport au mouvement

brownien. Cest ce que nous allons faire dans ce paragraphe. On appelle ces intgrales des

intgrales stochastiques.


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Ch.3 MOUVEMENT BROWNIEN, QU. DIFF. STOCHASTIQUES 45

4.1 Construction de lintgrale stochastique

Soit (Wt)t0 un Ft-mouvement brownien standard sur un espace probabilis filtr(, A, (Ft)t0, P). Nous allons donner un sens

t0

f(s, )dWspour une classe de processus

f(s, )adapts la filtration(Ft)t0. On va commencer par construire lintgrale stochastiquesur un ensemble de processus ditslmentaires. Dans toute la suite, on fixe Tun rel strictement

positif et fini.

Dfinition 4.1 On appelleprocessus lmentaire(Ht)0tTun processus de la forme :

Ht() =

pi=1

i()1]ti1,ti](t)

o0 = t0< t1< . . . < tp= TetiestFti1-mesurable et borne.Lintgrale stochastique dun processus lmentaire H est alors, par dfinition, le processus

continu(I(H)t)0tTdfini par, sit]tk, tk+1]:I(H)t= 1iki(Wti Wti1) + k+1(Wt Wtk).

Notons queI(H)tpeut scrire :

I(H)t=1ip

i(Wtit Wti1t),

ce qui prouve la continuit de la fonction t I(H)t. On notera t0HsdWs pourI(H)t. On aalors le rsultat essentiel suivant :

Proposition 4.2 Si(Ht)0tTest un processus lmentaire :

t

0HsdWs0tT

est une Ft-martingale continue,

E

t0

HsdWs

2= E

t0

H2sds

,

E

suptT

t0

HsdWs

24E

T0

H2sds

.

Dmonstration : Pour dmontrer cette proposition nous allons utiliser des processus temps discret. En effet,

pour tablir quet

0HsdWs

est une martingale, il suffi t de prouver que, pour toutt > s:

E

t0

HudWu|Fs

=

s0

HudWu

Si lon ajoutesett la subdivision t0 =0 < t1 < . . . < tp =T, et si on poseMn = tn0 HsdWset Gn =Ftnpour0 n p, il suffi t de vrifi er que Mnest une Gn-martingale. Pour dmontrer ceci, remarquons que :

Mn =

tn0

HsdWs =

ni=1

i(Wti Wtii)

aveciqui estGi1-mesurable. Dautre partXn = Wtnest une Gn-martingale (en effet,(Wt)t0est un mouve-ment brownien). (Mn)n[0,p]apparat donc comme

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Calcul stochastique appliqué à la finance