EXERCICES DE CALCUL STOCHASTIQUE

M2IF Evry

Monique JeanblancUniversite d’EVRY

Mars 2009

2

Contents

1 Rappels 7

1.1 Tribu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Variables gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Esperance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5 Temps d’arret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6 Changement de probabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.7 Algebre beta-Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.8 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Mouvement Brownien 15

2.1 Proprietes elementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Processus Gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3 Brownien Multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4 Temps d’atteinte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5 Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.6 Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.7 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.8 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.8.1 Partie I : Resultats preliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.8.2 Partie II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.8.3 Partie III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3 Integrale d’Ito 29

3.1 Integrale de Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2 Formule d’Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3 Cas multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4 Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.5 Brownien geometrique et extensions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.6 Le crochet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.7 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3

4 CONTENTS

4 Exemples 45

4.1 Processus de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2 Processus de Bessel carre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.3 Autres processus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.4 Des calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5 Equations differentielles stochastiques 51

5.1 Equation lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.2 Processus affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.3 Autres equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.4 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.5 Equations differentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6 Girsanov 59

6.1 Resultats elementaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6.2 Crochet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6.3 Processus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6.4 Cas multidimensionel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.5 Temps d’arret. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6.6 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

7 Complements 75

7.1 Theoreme de Levy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

7.2 Equations retrogrades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

7.3 Theoremes de representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

7.4 Temps local. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

7.5 Lois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

7.6 Filtrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

7.7 Options barrieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

7.8 Meandres, ponts, excursions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

7.9 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

8 Processus a sauts 85

8.1 Processus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

8.2 Poisson compose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

8.3 Formule d’Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

8.4 Temps de Defaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

8.5 Marche complets, incomplets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

1 Rappels, Corriges 91

1.1 Tribu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

1.2 Variables gaussiennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

CONTENTS 5

1.3 Esperance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

1.4 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

1.5 Temps d’arret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

1.6 Temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

1.7 Algebre beta-gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

1.8 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

2 Mouvement Brownien, Corriges 101

2.1 Proprietes elementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

2.2 Processus Gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

2.3 Multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

2.4 Temps d’atteinte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

2.5 Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

2.6 Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

2.7 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

3 Integrale d’Ito, Corriges 113

3.1 Integrale de Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

3.2 Formule d’Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

3.3 Cas multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

3.4 Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

3.5 Brownien geometrique et extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

3.6 Le crochet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

3.7 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4 Exemples, Corriges 125

4.1 Processus de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

4.2 Processus de Bessel carre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.3 Autres processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.4 Des Calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

5 Equations differentielles stochastiques, Corriges 129

5.1 Equation Lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.2 Processus affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5.3 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5.4 Equations differentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

6 Girsanov, Corriges 135

6.1 Resultats elementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6.2 Crochet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6.3 Processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

6.4 Cas multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

6 Rappels

6.5 Temps d’arret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

6.6 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

7 Complements, Corriges 141

7.1 Theoreme de Levy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

7.2 Equations retrogrades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

7.3 Theoremes de representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

7.4 Temps local. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

7.5 Lois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

7.6 Filtrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

7.7 Options barrieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

7.8 Meandres, ponts, excursions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

8 Sauts, Corriges. 149

8.1 Processus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

8.2 Poisson compose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

8.3 Marche complets, incomplets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

Chapter 1

Rappels

1.1 Tribu

Exercice 1.1.1 Ensembles appartenant a une tribu.

1. Montrer que si F est une tribu, et si A et B appartiennent a F avec A ⊂ B, alors B −A ∈ Fou B −A est l’ensemble des elements de B qui ne sont pas dans A.

2. Montrer que si C et D appartiennent a F , alors C∆Ddef= C ∩Dc ∪ Cc ∩D appartient a

F .

Exercice 1.1.2 Exemples de tribus.

1. Decrire la tribu engendree par un ensemble A.

2. Decrire la tribu engendree par deux ensembles A et B disjoints.

Exercice 1.1.3 Fonctions indicatrices.On note 11A la v.a. qui vaut 1 pour ω ∈ A et 0 sinon.

1. Montrer que 11A∩B = 11A11B .

2. Montrer que, si A ∩B = ∅, on a 11A∪B = 11A + 11B .

3. Montrer que 11B−A = 11B − 11A.

4. Montrer que 11A∪B = 11A + 11B − 11A∩B .

Exercice 1.1.4 Union et intersection.Soit F1 et F2 deux tribus. Montrer que F1 ∩F2 est une tribu. Montrer qu’en general F1 ∪F2 n’estpas une tribu.

Exercice 1.1.5 Tribu grossie par un ensemble.Soit F une tribu et A n’appartenant pas a F . Montrer que la tribu engendree par F et A (c’est-a-dire la plus petite tribu contenant F et A) est composee des ensembles B tels que il existe C et Dappartenant a F verifiant B = (C ∩A) ∪ (D ∩Ac).

Exercice 1.1.6 Tribu engendree par une v.a.Soit X une v.a. sur un espace (Ω,G). La tribu engendree par X, notee σ(X), est la plus petite soustribu F telle que X soit mesurable de (Ω,F) dans (R,B). Elle est engendree par C = F ⊂ Ω, |F =X−1(B), B ∈ B). Montrer que C est une tribu. Verifier que si Y = h(X) avec h borelienne, alors Yest σ(X) mesurable. On admettra que la reciproque est vraie.

7

8 Rappels

Exercice 1.1.7 Lois de v.a.Soit (X,Y ) un couple de variables independantes et (Z, T ) deux variables independantes telles queX

loi= Z et Y loi= T .

1. Soit f une fonction borelienne (bornee) de R dans R. Comparer E(f(X)) et E(f(Z)).

2. Soit h une fonction borelienne (bornee) de R2 dans R. Comparer E(h(X,Y )) et E(h(Z, T )).

1.2 Variables gaussiennes

On note N la fonction de repartition de la loi gaussienne standard: N (x) = 1√2π

∫ x−∞ e−u

2/2du etN (m,σ2) la loi d’ une v.a. gausienne d’esperance m et de variance σ2.

Exercice 1.2.1 Moments.Soit X une v.a.r. de loi N (0, σ2).

1. Calculer E(X3), E(X4), E(|X|) et E(|X3|).

2. Calculer E(expλX2 + µX) pour 1− 2λσ2 ≥ 0.

3. Montrer que E(exp 12a

2X2)) = E(exp(aXY )) ou Y est independante de X et de meme loi.

Exercice 1.2.2 Somme de variables gaussiennes independantes.Soit X et Y deux v.a. gaussiennes independantes. Montrer que X + Y est une variable gaussienne.Precisez sa loi.

Exercice 1.2.3 Transformee de Laplace.Soit X une v.a.r. de loi N (m,σ2).

1. Quelle est la loi de X−mσ ? Calculer E|X −m|.

2. Montrer que E(eλX) = exp(λm+ 12λ

2σ2). Calculer E(XeλX).

3. Dans le cas ou X est v.a. gaussienne standard montrer que E(exp a2

2 X2) = E(exp aXX ′) avec

X et X ′ i.i.d.

4. Soit Φ(x) = 1√2π

∫ x

−∞e−

y2

2 dy. Calculer, dans le casm = 0 et σ = 1 la valeur de E(11X≤b expλX)

en fonction de (Φ, λ, b).

5. Montrer que E(eθXf(X)) = emθ+σ2θ2/2E(f(X + θσ2) pour f continue bornee.

6. Montrer que, si f est ”reguliere” E(f(X)(X −m)) = σ2E(f ′(X)).

Exercice 1.2.4 Convergence.Soit (Xn, n ≥ 1) une suite de v.a. gaussiennes qui converge dans L2 vers X. Quelle est la loi de X?

Exercice 1.2.5 Vecteur gaussien. Soit X un vecteur gaussien a valeurs dans Rn et A une matrice(p, n). Montrer que AX est un vecteur gaussien. Preciser son esperance et sa variance.

Exercice 1.2.6 Vecteur Gaussien. Soit (X,Y ) un vecteur gaussien centre tel que E(XY ) = 0.Montrer que X et Y sont independantes.

Enonces 9

Exercice 1.2.7 Projection.(*)Rappel : projection dans L2 : Soit A un sous espace de L2(Ω) engendre par les variables aleatoiresY1, . . . , Yn, c’est-a-dire si Z ∈ A, il existe (ai) reels tels que Z =

∑i aiYi. Soit X ∈ L2. On appelle

projection de X sur A l’unique element PrX de A tel que

E( (X − PrX)Z) = 0,∀Z ∈ A

Soit (X1, X2, . . . , Xd, Y1, . . . , Yn) un vecteur gaussien centre dans Rd+n. Montrer que X =(X1, X2, . . . , Xd) et Y = (Y1, . . . , Yn) sont deux vecteurs gaussiens centres.On suppose d = 1. Montrer que PrX est une v.a. gaussienne σ(Y ) mesurable, telle que X − PrXet Y sont independantes.

Exercice 1.2.8 Caracterisation de vecteur gaussien. Soit (X,Y ) deux v.a.r. telles que Yest gaussienne et la loi conditionnelle de X a Y est gaussienne de moyenne aY + b et de variance

independante de Y , c’est-a-dire que E(exp(λX)|Y = y) = exp(λ(ay + b) +λ2

2σ2). Montrer que le

couple (X,Y ) est gaussien.

1.3 Esperance conditionnelle

On travaille sur un espace (Ω,F ,P) muni d’une sous-tribu de F notee G.

Exercice 1.3.1 Montrer que, si X et Y sont bornees

E(Y E(X|G)) = E(XE(Y |G))

Montrer que si X est G-mesurable et Y est independante de G, pour toute fonction borelienne borneeΦ,

E(Φ(X,Y )|F) = Ψ(X)

ou Ψ(x) = E(Φ(x, Y )).

Exercice 1.3.2 Montrer que si X ∈ L2, E(X|G) = Y et E(X2|G) = Y 2 alors X = Y .

Exercice 1.3.3 Soit (X,Y ) independantes, X strictement positive et Z = XY . Calculer E(11Z≤t|X)en utilisant la fonction de repartition de Y .

Exercice 1.3.4 Soit (X,Y ) independantes, equidristibuees etM = max(X,Y ). Calculer E(11X≤t|M).

Exercice 1.3.5 Conditionnement et independance.Soit X,Y deux v.a. telles que la v.a. X − Y est independante de G, d’esperance m et de varianceσ2. On suppose que Y est G-mesurable. Calculer E(X − Y | G). En deduire E(X | G). CalculerE( (X − Y )2 | G). En deduire E(X2 | G).

Exercice 1.3.6 Vecteur gaussien (*) Suite de l’exercice 1.2.7Soit (X,Y1, . . . , Yn) un vecteur gaussien centre dans R1+n. Montrer que E(X|Y ) = PrX.On suppose n = 1. Montrer que E(X|Y ) = αY . Determiner α.

Exercice 1.3.7 Soit X = X1 + X2. On suppose que X1 est independante de G, que X2 est Gmesurable et que X1 est gaussienne.

1. Calculer E(X|G) et var (X|G).

10 Rappels

2. Calculer E(eλX |G).

Exercice 1.3.8 Covariance conditionnelle. Soit Z1, Z2 deux variables aleatoires de carre integrable.On definit

Cov(Z1, Z2|G) = E(Z1Z2|G)− E(Z1|G)E(Z2|G) .

Montrer queCov(Z1, Z2|G) = E[ (Z1 − E(Z1|G))Z2|G ].

Exercice 1.3.9 Tribu grossie.Soit A /∈ G et A ∈ F et X une v.a. integrable. On note H la tribu engendree par G et A. (Voirexercice 1.1.5). On admettra que les v.a. Z qui sont H mesurables s’ecrivent Z = Y111A + Y211Ac ,ou les v.a. Yi sont G-mesurables. Montrer que

E(X|H) =E(X11A|G)E(11A|G)

11A +E(X11Ac |G)E(11Ac |G)

11Ac

Exercice 1.3.10 Linearite. Soit Z = αY+β, avec α 6= 0. Montrer que E(aX+b|Z) = aE(X|Y )+b.

Exercice 1.3.11 Grossissement progressif Soit F une tribu. On considere la tribu G engendreepar τ ∧ 1 ou τ est une v.a. a valeurs dans R+.

1. Montrer que toute v.a. G mesurable s’ecrit h(τ ∧ 1) ou h est borelienne.

2. Montrer que, si X est une v.a. F mesurable, E(X|G)111≤τ = A111≤τ ou A est une constante.Montrer que A = E(X111≤τ )/P(1 ≤ τ).

Exercice 1.3.12 Conditionnement et independance 1. Soit G1 et G2 deux σ-algebres independantes,G = G1∨G2 et (Xi, i = 1, 2) deux variables aleatoires bornees telles que Xi est Gi mesurable. Montrerque E(X1X2|G) = E(X1|G1)E(X2|G2).

Exercice 1.3.13 Conditionnement et independance 2. Montrer que si G est independante deσ(X) ∨ F , E(X|G ∨ F) = E(X|F).

Exercice 1.3.14 Formule de Bayes. Soit dQ = LdP sur (Ω,F) et G une sous-tribu de F .Montrer que

EQ(X|G) =1

EP(Z|G)EP(ZX|G) .

Montrer queEQ(X|G) = EP(X|G), ∀X ∈ F

si et seulement si L est G mesurable.

Exercice 1.3.15 Soit f et g deux densites strictement positives sur R. Soit X une v.a. de densitef sur un espace (Ω,P). Montrer qu’il existe une probabilite Q sur cet espace telle que X soit dedensite g.

Exercice 1.3.16 Independance conditionnelle Soit (Ft) et (Gt) deux filtrations.

1. Montrer que les proprietes suivantes sont equivalentes.(H1) pour tout t, les tribus F∞ et Gt sont conditionellement independantes par rapport a Ft.(H2) ∀F ∈ F∞, ∀Gt ∈ Gt,E(FGt|Ft) = E(F |Ft)E(Gt|Ft)(H3) ∀t, ∀Gt ∈ Gt,E(Gt|F∞) = E(Gt|Ft)(H4) ∀t, ∀F ∈ F∞,E(F |Gt) = E(F |Ft).

Enonces 11

2. Soit F et G deux filtrations telles que Ft ⊂ Gt. Montrer que(H) Toute F-martingale de carre integrableest une G-martingaleequivaut a (H1).

3. Dans le cas Gt = Ft ∨ σ(t ∧ τ) ou τ est un temps aleatoire, montrer que (H1) equivaut a(H5) ∀s ≤ t,P(τ ≤ s|F∞) = P(τ ≤ s|Ft).

1.4 Martingales

L’espace Ω est muni d’une filtration (Ft).Un processus M est une martingale si

- pour tout t, Mt est integrable;- pour tout t > s, E(Mt|Fs) = Ms, p.s.

On dit que M est une surmartingale si- Mt est adapte, integrable;- E(Mt|Fs) ≤Ms, ∀s ≤ t .

Le processus M est une sousmartingale si −M est une surmartingale.

Exercice 1.4.1 Exemple de base. Soit X une v.a. integrable. Montrer que (E(X |Ft), t ≥ 0) estune martingale.

Exercice 1.4.2 Surmartingale.

1. Montrer que si M est une martingale et A un processus croissant adapte (As ≤ At, ∀s ≤ t)alors M −A est une surmartingale.

2. Soit M une martingale. Que peut-on dire de M2?

3. Soit M une martingale telle que E(M2∞) <∞. Montrer que supt E(M2

t ) <∞.

4. Montrer qu’une surmartingale telle que E(ZT ) = E(Z0) est une martingale sur [0, T ].

Exercice 1.4.3 Martingale locale. Montrer qu’une martingale locale positive est une surmartin-gale.

Exercice 1.4.4 Martingale en fonction de la valeur terminale. Soit X une martingale telleque XT = ζ. Exprimer Xt en fonction de ζ pour t < T au moyen d’une esperance conditionnelle.

Exercice 1.4.5 Un lemme. On trouve dans la litterature (Duffie) le lemme suivant:

Lemma: Let φ be an adapted bounded process. Then (Yt = Mt −∫ t

0

φsds, 0 ≤ t ≤ T ) for some

martingale M if and only if

Yt = E[∫ T

t

φsds+ YT |Ft]

Donner une demonstration de ce lemme.

Exercice 1.4.6 Martingale de carre integrable. Soit (Mt, t ≥ 0) une Ft-martingale de carreintegrable (telle que M2

t soit d’esperance finie, pour tout t). Montrer que

1. E((Mt −Ms)2|Fs) = E(M2t |Fs)−M2

s pour t > s.

2. E((Mt −Ms)2) = E(M2t )− E(M2

s ) pour t > s.

3. La fonction Φ definie par Φ(t) = E(M2t ) est croissante.

12 Rappels

Exercice 1.4.7 Projection de martingale. Montrer que si M est une Ft-martingale, c’est aussiune martingale par rapport a sa propre filtration Gt = σ(Ms, s ≤ t). Soit Ht ⊂ Ft. Montrer queYt = E(Mt|Ht) est une Ht-martingale.

Exercice 1.4.8 Une sousmartingale. Soit τ une v.a. positive. Montrer que Zt = P(τ ≤ t|Ft)est une sousmartingale.

Exercice 1.4.9 Processus a accroissements independants. Soit X un PAI (processus a ac-croissements independants, c’est-a-dire tel que, pour t > s, la v.a. Xt − Xs est independante deσ(Xu, u ≤ s)). Montrer que, si, pour tout t, la v.a. Xt est integrable, X est une martingale et quesi X est de carre integrable, X2

t − E(X2t ) est une martingale. Montrer que, si eλXt est integrable,

Zt =eλXt

E(eλXt)

est une martingale.

Exercice 1.4.10 Soit M une martingale positive continue uniformement integrable et τ = inft :Mt = 0. Montrer que M est nulle sur t > τ .

Exercice 1.4.11 Soit X un processus F-adapte, positif a trajectoires continues et G ⊂ F. Montrerque E(

∫ t0Xsds|Gt)−

∫ t0E(Xs|Gs)ds est une G-martingale.

1.5 Temps d’arret

Exercice 1.5.1 Tribu associee a un temps d’arret. Soit τ un temps d’arret. Montrer que Fτest une tribu.

Exercice 1.5.2 Soit T un temps d’arret et X une variable aleatoire appartenant a FT , verifiantX ≥ T . Montrer que X est un temps d’arret.

Exercice 1.5.3 Exemple de processus adapte. Soit T un temps d’arret. Montrer que le pro-cessus Xt = 11]0,T ](t) est adapte.

Exercice 1.5.4 Comparaison de tribus. Soit S et T deux temps d’arret tels que S ≤ T . Montrerque FS ⊂ FT .

Exercice 1.5.5 Propriete de mesurabilite. Soit S un temps d’arret. Montrer que S est FS-mesurable.

Exercice 1.5.6 Soit S et T deux temps d’arret. Montrer que S ≤ T, T ≤ S appartiennent aFS .

Exercice 1.5.7 Exemple de processus cadlag. Soit S et T deux temps d’arret tels que S < T .Montrer que le processus Zt = 11[S,T [(t) (egal a 1 si S ≤ t < T et a 0 sinon) est un processus cadlag.

Exercice 1.5.8 Exemple trivial de temps d’arret. Montrer qu’une constante τ est un tempsd’arret. Quelle est dans ce cas la tribu Fτ?

Exercice 1.5.9 Operations sur les temps d’arret. Montrer que l’inf (resp. le sup) de deuxtemps d’arret est un temps d’arret.

Enonces 13

Exercice 1.5.10 Caracterisation de martingale.

1. Soit s < t,A ∈ Fs et T = t11Ac + s11A. Montrer que T est un temps d’arret.

2. Montrer que si E(XT ) = E(X0) pour tout temps d’arret T , alors le processus X est unemartingale.

Exercice 1.5.11 Theoreme d’arret. Soit M une martingale continue telle que M0 = a etlimt→∞Mt = 0. Montrer que supMt

loi=a

Uou U est une v.a. de loi uniforme sur [0, 1].

1.6 Changement de probabilite

Ce theme sera central en vue d’application a la finance.

Deux probabilites P et Q definies sur le meme espace (Ω,F) sont dites equivalentes si elles ontmemes ensembles negligeables, c’est a dire si

P(A) = 0⇐⇒ Q(A) = 0.

On admet le resultat: Si P et Q sont equivalentes, il existe une variable Y , strictement positive,F-mesurable, d’esperance 1 sous P appelee densite de Radon-Nikodym telle que dQ = Y dP ou encore

Q(A) =∫AY dP. On ecrit egalement cette relation sous la forme

dQdP

= Y . Reciproquement, si Y

est une v.a. strictement positive, F-mesurable, d’esperance 1 sous P, la relation EQ(Z) = EP(ZY )definit une probabilite Q equivalente a P. Elle est facile a memoriser par la regle de calcul formelsuivante:

EQ(Z) =∫ZdQ =

∫ZdQdP

dP =∫ZY dP = EP(ZY )

On a aussidPdQ

=1Y

.

Exercice 1.6.1 Montrer que si P est une probabilite et Z une v.a., telle que l’egalite dQ = ZdP(soit Q(A) = EP(Z11A)) definit une probabilite, alors EP(Z) = 1 et P(Z < 0) = 0.

Exercice 1.6.2 1. Soit U une variable de Bernoulli sous P definie par

P(U = 0) = 1− p, P(U = 1) = p.

Soit Y la variable definie par Y = λU + µ(1 − U). Dans quels cas cette variable est elled’esperance 1? Soit dQ = Y dP, Calculer Q(U = 1). Quelle est la loi de U sous Q?

2. Soit X est une v.a. de loiN (m,σ2) sous P et soit Y = exph(X−m)− 12h

2σ2. Soit dQ = Y dP.Calculer EQexp(λX)) = EPY exp(λX). En deduire la loi de X sous Q (utiliser l’exercice1.2.1.

3. Soit X est un vecteur gaussien sous P et U une variable telle que le vecteur (X,U) soit gaussien.

On pose dQ = Y dP avec Y = exp(U − EP(U) − 12

VarPU). Montrer que X est gaussien sousQ, de meme covariance que sous P.

1.7 Algebre beta-Gamma

Exercice 1.7.1 Loi Arc sinus Une variable aleatoire A a une loi Arc Sinus si sa densite est1√π

1√1− t11t∈[0,1]. Montrer que cos2(Θ) loi= A si Θ est uniforme sur [0, 2π].

14 Brownien.

Soit N et N ′ deux variables N (0, 1) independantes. Montrer queN2

N2 +N ′2loi= A.

Soit C =N

N ′. Montrer que C a une loi de Cauchy et que

11 + C2

a une loi Arc sinus.

1.8 Divers

Exercice 1.8.1 Soit X un processus at Mt = sup0≤s≤tXs. On note τ une v.a. de loi exponentiellede parametre θ independante de X. Montrer que

E (exp(−λMτ )) = 1− λE(∫ ∞

0

due−λue−θTu)

ou Tu = inft : Xt ≥ u.

Exercice 1.8.2 Transformee de Laplace et independance. SoitX et Y deux v.a. independantes.Justifier que E(eλ(X+Y )) = E(eλX)E(eλY ). La reciproque est-elle vraie?

Exercice 1.8.3 Transformee de Laplace et moments. Soit X et Y deux v.a. bornees tellesque E(eλX) = E(eλY ) pour tout λ. Montrer que X et Y ont meme moments.

Exercice 1.8.4 Markov. Soit X un processus de Markov fort et Ta = inft : Xt = a. Montrerque, pour t < T

P(XT ∈ dx |Xt = a) = P(XT ∈ dx|Ta = t) .

Exercice 1.8.5 Propriete de Markov Soit B un mouvement Brownien et f une fonction. Onnote T f = inft : Bt = f(t). Montrer que

P(Bt ≥ f(s)|T f = s) =12

11s<t .

Si f est croissante, montrer que P(T f ≤ t) = 2P(Bt ≥ f(T f )).

Chapter 2

Mouvement Brownien

Dans tout ce qui suit, (Bt, t ≥ 0) est un mouvement Brownien reel (un processus a accroissementsindependants issu de 0, tel que pour t > s, Bt−Bs est une v.a. gaussienne centre de variance t− s)et on note F = (Ft, t ≥ 0) sa filtration naturelle.Dans certains exercices, il sera precise que B est issu de x.On rappelle que si X est un processus continu issu de 0, c’est un mouvement Brownien si et seulementsi X et (X2

t − t, t ≥ 0) sont des martingales.Le mouvement Brownien est un processus de Markov fort: pour tout temps d’arret τ fini

E(f(Bt+τ |Fτ ) = E(f(Bt+τ |Bτ ) .

2.1 Proprietes elementaires

Exercice 2.1.1 Caracterisation. Montrer qu’un processus X est un mouvement Brownien si etseulement sia. Pour tout t0 < t1 · · · < tn, le vecteur (Xt0 , Xt1 , . . . , Xtn) est un vecteur gaussien centreb. E(XtXs) = s ∧ tc. X0 = 0

Exercice 2.1.2 Caracterisation 2. Montrer qu’un processus continu X est une mouvementBrownien si et seulement si, pour tout λ le processus exp(λXt − 1

2λ2t) est une martingale.

Exercice 2.1.3 Calcul d’esperances.

1. Calculer pour tout couple (s, t) les quantites E(BsB2t ), E(Bt|Fs), E(Bt|Bs) et E(eλBt |Fs).

2. Calculer E(∫ t

0Budu|Fs) avec t > s et E(

∫ t0Budu|Bs)

3. On a vu, dans Exercice 1.2.1, que si Z est une v.a. gaussienne centree de variance σ2, on aE(Z4) = 3σ4. Calculer E(B2

tB2s ).

4. Quelle est la loi de Bt +Bs?

5. Soit θs une variable aleatoire bornee Fs-mesurable. Calculer pour t ≥ s, E(θs(Bt − Bs)) etE[θs(Bt −Bs)2].

6. Calculer E(11Bt≤a) et E(Bt11Bt≤a).

7. Calculer E(∫ t

0exp(Bs)ds) et E(exp(αBt)

∫ t0

exp(γBs)ds).

8. Calculer E(eBt |Fs) et E((aeBt − b)+|Fs).

15

16 Brownien.

Exercice 2.1.4 Lois. Montrer que E(f(Bt)) = E(f(G√u + Bt−u)) avec G v.a. independante de

Bt−u et de loi gaussienne centre reduite. En deduire le calcul de E(f(Bt)|Fs).

Exercice 2.1.5 Soit Θ une variable aleatoire de loi exponentielle de parametre θ (soit P (Θ ∈ dx) =θe−θx11x>0dx) independante de B. Quelle est la loi de BΘ?

Exercice 2.1.6 Des martingales. Parmi les processus suivants, quels sont ceux qui sont des

martingales. (On pourra utiliser, sans demonstration, que E[∫ t

0

Budu|Fs] =∫ t

0

E[Bu|Fs] du.)

1. Mt = B3t − 3

∫ t0Bs ds.

2. Zt = B3t − 3tBt.

3. Xt = tBt −∫ t

0Bs ds.

4. Ut = sinBt +12

∫ t

0

sin(Bs) ds.

5. Yt = t2Bt − 2∫ t

0Bsds.

Exercice 2.1.7 Exponentielle de Brownien. Calculer E(ex+Bt) et E(sin(x+Bt)) en utilisant

E(f(x+Bt)) = f(x) +12

∫ t

0

E(f ′′(x+Bs)) ds .

Exercice 2.1.8 Changement de temps. Soit Zt = BA(t) ou A est une fonction deterministecontinue strictement croissante.

1. Calculer l’esperance et la variance de Zt. Ce processus est-il une martingale par rapport a F?.

2. On definit Gt = FA(t). Montrer que Z est une G-martingale.

3. Determiner le processus croissant C tel que (Zt)2 − Ct soit une G-martingale.

4. Soit un processus M tel que M est une martingale et il existe A, fonction deterministe continuestrictement croissante telle que M2

t −A(t) est une martingale. On note C l’inverse de A, c’est-a-dire la fonction telle que C(A(t)) = t. Montrer que Wt = MC(t) est un mouvement Brownien.

Exercice 2.1.9 Calcul d’esperance. Comment calculer Ex(f(Bt)g(Bs))?

Exercice 2.1.10 Calculer

E((λ∫ 1

0

duBu + µB1)2)

Exercice 2.1.11 Calcul de transformee de Laplace. Calculer Ex(exp(−λW 2

t )).

Exercice 2.1.12 Comportement limite.

1. Montrer que limt→∞Btt

= 0

2. Montrer que limt→∞ Px(Bt < 0) = 1/2. En deduire que pour tout x > 0, si T0 = inft : Bt =0, on a Px(T0 <∞) ≥ 1/2. (En fait, on peut montrer que T0 est fini ps.)

Exercice 2.1.13 Montrer que l’integrale∫ 1

0

Bssds est convergente.

Enonces 17

Exercice 2.1.14 Tribu triviale. On admettra qu’un ensemble appartenant a la filtration F0 = F+0

a pour probabilite 0 ou 1.

Si τ = inft ≥ 0 : Bt > 0, montrer que P (τ ≤ t) ≥ 12

. En deduire que P (τ = 0) = 1.

Exercice 2.1.15 Applications de la propriete de Markov. Montrer que

Ex( ∫ t

0

h(r,Br)dr|Fs)

=∫ s

0

h(r,Br)dr + EBs( ∫ t−s

0

h(s+ u,Bu)du)

Exercice 2.1.16 Soit τ un temps d’arret, λ > 0 et u une fonction continue bornee. On pose

g(x) = Ex(∫ τ

0

e−λtu(Bt)dt)

et f(x) = Ex(∫ ∞

0

e−λtu(Bt)dt)

ou comme d’habitude l’indice x

precise que le Brownien est issu de x.

1. Montrer que g et f sont definies.

2. Montrer que

Ex(∫ ∞

τ

e−λtu(Bt)dt)

= Ex(11τ<∞e−λτf(Bτ )

).

3. Montrer que si τ = T0, alors g(x) = f(x)− f(0)ϕ(x) ou on explicitera ϕ.

Exercice 2.1.17 Polynomes d’Hermite. Les polynomes d’Hermite Hk sont definis par eαx−α22 =

∑ αk

k!Hk(x). Montrer qu’il existe Hk(x, t), polynomes en les deux variables (t, x) tels que eαx−

α22 t =

∑ αk

k!Hk(x, t). En deduire la valeur de E(Bkt |Fs).

Exercice 2.1.18 Des gaussiennes. Soit St = exp(µt + σBt). Calculer l’esperance et la variance

de∫ T

0

Stdt et∫ T

0

lnStdt. Ces variables sont-elles gaussiennes?

Exercice 2.1.19 Zeros. Montrer que

P(Bu 6= 0, ∀u ∈]s, t[) =2πarcsin

√s

t

Exercice 2.1.20 Filtration. Soit Gt = Ft ∨ σ(B1). Verifier que B n’est pas une G-martingale.

2.2 Processus Gaussiens

Exercice 2.2.1 Montrer que le processus Yt =∫ t

0

Budu est gaussien. Calculer son esperance et sa

covariance.

Exercice 2.2.2 Expliciter la solution de

dXt = −aXtdt+ ebtdBt

Calculer E(Xt) et V ar(Xt).

18 Brownien.

Exercice 2.2.3 Non-existence de processus. Montrer qu’il n’existe pas de processus ”regulier”X tel que ∀(s, t), s 6= t, les variables Xt et Xs soient independantes, centrees gausssiennes, et E(X2

t )

localement borne. On considerera∫ t

0

Xsds et on montrera que ce processus serait Gaussien, on

calculera son esperance et sa variance.

Exercice 2.2.4 Le pont Brownien. On definit un pont Brownien par

Zt = Bt − tB1, 0 ≤ t ≤ 1.

1. Montrer que Z est un processus gaussien independant de B1. Preciser sa loi, c’est-a-dire samoyenne et sa fonction de covariance.

2. Montrer que le processus Z avec Zt = Z1−t a meme loi que Z.

3. Montrer que le processus Y avec Yt = (1− t)B t1−t

, 0 < t < 1 a meme loi que Z.

4. Montrer que (Ztloi= (Bt|B1 = 0)).

Exercice 2.2.5 Un exemple surprenant. Montrer que Zt = Bt −∫ t

0

Bssds est un processus

gaussien. Calculer sa variance et sa covariance. En deduire que Z est un mouvement Brownien.Montrer que Z n’est pas une FB-martingale, ou FB est la filtration naturelle de B.

Exercice 2.2.6 Pont. Soit B un MB et Γt l’espace Gaussien engendre par (Bu − u

tBt, u ≤ t).

Montrer que Γt est croissant en t. Montrer que Γ(Bu, u ≤ t) = Γt ⊕ Γ(Bt) ou Γ(G) est l’espaceengendre par G.

Exercice 2.2.7 Changement de probabilite. Soit B un MB, Lt = exp(mBt − m2

2t) , et Q

definie sur FT par dQ = LT dP. Montrer que Bt = Bt −mt est, sous Q, un processus gaussien aaccroissements independants. Montrer que Bt est un Q-mouvement Brownien.

Exercice 2.2.8 Soit B un mouvement Brownien, p > 1 et τ une v.a. positive. On admettra que

E(supt

(|Bt| − tp/2)) <∞

1. Montrer queE(sup

t(|Bt| − µtp/2)) = λE(sup

s(|Bs| − sp/2))

avec λ = (1µ

)1/(p−1).

2. Montrer que E(|Bτ |) ≤ E(supt(|Bt| − µtp/2)) + µE(τp/2).

3. Montrer que∀p > 1, ∃Cp,∀τ, E(|Bτ |) ≤ Cp||τ1/2||p

2.3 Brownien Multidimensionnel

Exercice 2.3.1 Deux mouvenements Browniens B et W sont correles si le processus (WtBt−ρt, t ≥0) est une martingale. Soit deux mouvements Browniens B et W correles de coefficient de correlationρ. Montrer, sans utiliser la formule d’Ito pour des processus correles, qu’il existe un Brownien Z,independant de W tel que B = ρW +

√1− ρ2Z.

Enonces 19

Exercice 2.3.2 Somme de browniens. Soit W un mouvement brownien independant de B etρ ∈ [0, 1]. Montrer que (Zt = ρWt +

√1− ρ2Bt, t ≥ 0) est un mouvement Brownien.

Soient B et W deux browniens independants et (σi, i = 1, 2) deux fonctions deterministes. Montrerqu’il existe une fonction σ3 telle que le processus Z defini par

σ3(t)dZt = σ1(t)dBt + σ2(t)dWt

est un Brownien.

Exercice 2.3.3 Soit B un Brownien n-dimensionnel. Soit f une fonction borelienne bornee. Mon-trer que, pour 0 < s < t Ex(f(Bt)|Fs) = Φ(Bs) avec Φ(x) = Ex[f(Bt−s)]. En deduire que BiBj estune martingale pour i 6= j.

Exercice 2.3.4 Mouvement Brownien dans R2.

1. Soit W1 et W2 deux mouvements Browniens independants. Le processus Wt = W1(t) +W2(t)est-il un mouvement Brownien? Si oui, justifiez la reponse, sinon, expliquez pourquoi. Memequestion avec αW1(t) + βW2(t).

2. Soit W1 et W2 deux processus. Soit c un reel donne. Montrer que si(

expaW1(t) + bW2(t)− t

2[a, b]

[1 cc 1

] [ab

], t ≥ 0

)

est une martingale pour tout couple (a, b), W1 et W2 sont des MB. Calculer E[exp(aW1(t) +bW2(t))].

Exercice 2.3.5 Brownien n-dimensionnel Soit B un MB n-dimensionnel et U une matrice telleque UUT = I. Montrer que (UBt, t ≥ 0) est un MB.

2.4 Temps d’atteinte

Dans tous ces exercices, a ∈ R et Ta = inft : Bt = a.

Exercice 2.4.1 Transformee de Laplace. Montrer que Ta est un temps d’arret. CalculerE(e−λTa) pour tout λ reel. Montrer que P(Ta <∞) = 1 et que E(Ta) =∞.Memes questions avec τa = inft : St = a ou St = exp(σBt).

Exercice 2.4.2 Soit a < 0 < b et T = Ta ∧ Tb. Calculer P(Ta < Tb) et E(T ).

Exercice 2.4.3 Temps d’atteinte.

1. Soit f(t) = E(e−rTa11Ta<t). On ne cherchera pas a calculer f ici.Calculer en fonction de f la quantite E(e−r inf(T,Ta)) ou T est un nombre positif.

2. Montrer que si 0 < a < b, Tb − Ta est independant de Ta et a meme loi que Tb−a. Montrer(sans calculs) que pour b > a > 0, la v.a. Tb − Ta est independante de Ta. Quelle est la loi deTb − Ta? Que peut-on dire du processus (Ta, a > 0)?

3. Soit T un nombre reel. Calculer Zt = P(Ta > T |Ft). On rappelle que supu≤tBuloi= |Bt|.

4. Calculer E(e−λTa) avec Ta = inft : Xt = a et Xt = νt + Wt. Calculer E(e−λT ) pourT = Ta ∧ Tb.

5. Montrer qu’il existe c tel que Trloi= cTr +X avec X independante de c.

20 Brownien.

6. Memes questions si Ta = inft; νt+Bt = a.7. Soit S un brownien geometrique (soit St = x exp(νt+σWt)) et τa = inft : St = a. Calculer

E(∫ ∞

0

e−rtStdt) et E(∫ τb

0

e−rtStdt). TROP DIFFICILE

Montrer que si 0 < a < b, τb − τa est independant de τa et a meme loi que τb−a.Calculer E(e−rτK11τK<T 11τH−τK>t).

Exercice 2.4.4 On suppose b < 0 < a. Montrer que (a−Bt)(Bt − b) + t est une F-martingale. Endeduire E(Ta,b) ou Ta,b = Ta ∧ Tb.

Exercice 2.4.5 Premier instant. Soit B un MB issu de 0 et T d = d+inft : Bt+d = 0. CalculerE(e−λT

d

) et E(11Bd≤ae−λTd).

Soit T ∗ = d si Bd ≥ −a et T ∗ = d+ T d si Bd ≤ −a,Bd+Td ≥ −a. Calculer E(e−λT∗).

Exercice 2.4.6 Soit Ta et Ta deux v.a. independantes de meme loi que Ta. Quelle est la loi deTa

Ta + Ta(Sans faire de calculs).

Exercice 2.4.7 Loi de l’inf. Soit I = − infs≤T1 Bs. Montrer que P(I ∈ dx) =dx

1 + x2.

Exercice 2.4.8 Soit T ∗a = infu : Mu − Bu > a avec Mu = supt≤uBt. Montrer que MT∗a a uneloi exponentielle.

Exercice 2.4.9 Temps d’atteinte Soit A et B deux nombres positifs. On note Xt = µt+ σBt et

h(x) =exp(−2µx/σ2)− exp(2µB/σ2)exp(−2µA/σ2)− exp(2µB/σ2)

. Verifier que h(Xt) est une martingale. Le temps d’arret τ

est defini parτ = inft : Xt = A ouXt = −B .

Calculer P(Xτ = A).

Exercice 2.4.10 Soit f une fonction borelienne bornee et et

u(x) = Ex(exp[−θ2

2T0 +

∫ T0

0

duf(Bu)])

ou B est un mouvement Brownien issu de x. Montrer que u est solution de

12u′′ = (

θ2

2+ f)u, u(0) = 1

Exercice 2.4.11 Soient a, d deux nombres reels positifs.

1. Calculer E(e−|Bd|√

2λ11Bd≤−a).

2. Soit T1 = inft ≥ d : Bt = 0. Montrer que T1 est un temps d’arret. Calculer E(e−λT1) etE(e−λT111Bd≤−a). Montrer que BT1+d est independant de Bd et de T1.

3. On introduit la v.a. τ1 suivante : si Bd ≤ −a, on pose τ1 = d. Si Bd > −a et si BT1+d ≤ −a,on pose τ1 = T1 + d, sinon on pose τ1 =∞.Calculer pour λ > 0 la transformee de Laplace de τ1, soit E(e−λτ1).

4. On continue. Si Bd ≤ −a, on pose τ2 = d. Si Bd > −a et si BT1+d ≤ −a, on pose T2 = T1 + d,sinon on definit T2 = inft ≥ T1 + d : Bt = 0. Si BT2+d ≤ −a on pose τ2 = T2 + d. Danstous les autres cas, on pose τ2 =∞.

Enonces 21

(a) Montrer que BT2+d est independant de (BT1+d, Bd) et de T2.(b) Calculer la transformee de Laplace de τ2.

5. On utilise la meme procedure pour definir par iteration τn et on pose τ = τ∞.

(a) Montrer que τ est fini en utilisant, apres l’avoir justifie que

P(τ <∞) =∏

i

P(BTi+d < −a)

(b) Calculer la transformee de Laplace de τ .(c) Calculer la transformee de Laplace de Bτ .(d) Montrer que Bτ est independant de τ .

Exercice 2.4.12 On trouve parfois (voir exercice precedent, ou les temps d’atteinte d’un niveau)des temps d’arret τ tels que τ et Bτ sont independants. Ceci n’est cependant pas tres courant.Dans ce qui suit on admettra le resultat (non trivial) suivant (Cramer) Si X et Y sont deux v.a.independantes telles que X + Y est une v.a. gaussienne, alors X et Y sont des gaussiennes.

Le but de cet exercice est de montrer : si τ est borne par K et si τ et Bτ sont independants,alors τ est une constante.

1. Montrer que si s > K,Bs = Bτ + Bs−τ

avec B un mouvement Brownien independant de Fτ .

2. Montrer que Bτ et Bs−τ sont des v.a. independantes.

3. Calculer l’esperance et la variance de Bτ . (Attention, ce n’est pas trivial. Penser au cas ouτ = Ta.)

4. Montrer que Bs−τ est une v.a. Gaussienne.

5. Montrer que l’on obtient√K − τ G loi=

√K − E(τ)G ou G est une v.a. gaussienne reduite

centree.

6. Conclure.

Exercice 2.4.13 Soit a et µ deux constantes strictement positives et T1 = inft : Bt ≥ a − µt,T2 = inft : Bt ≤ −a+ µt. On pose, pour tout λa ≥ 0, Φ(λ) = E(exp[−λτ ]) avec τ = T1 ∧ T2.

1. Montrer que T1loi= T2 et que (T1, T2) loi= (T2, T1).

2. Verifier que Φ est bien definie et donner un majorant et un minorant simples de Φ (S’aiderpar un dessin).

3. Montrer que Φ(λ) = 2E (exp(−λT1)11T1<T2).

4. Montrer queeλaΦ(−λµ− λ2/2) + e−λaΦ(λµ− λ2/2) = 2

Exercice 2.4.14 Soit Xt = νt+ σBt. Montrer que, pour tout λ

exp(λXt + βt), t ≥ 0

est une martingale pour un parametre β que l’on determinera.

On note Ta = inft : Xt ≥ a. Calculer E(

exp(−λ

2

2Ta

))et P(Ta <∞).

Exercice 2.4.15 Calculer P(Mt ≤ y|Bt = x) ou Mt = sup(Bs, s ≤ t).

22 Brownien.

2.5 Scaling

Exercice 2.5.1 Montrer que le calcul de E(∫ t

0

exp(νs + σBs) ds) se deduit de E(∫ T

0

exp(2(µs +

Bs) ds). On ne demande pas de faire ce calcul.

Exercice 2.5.2 Soit T1 = inft : Bt = 1. Utiliser le scaling du MB pour etablir les egalites en loisuivantes

1. T1loi=

1S2

1

avec S1 = sup(Bu, u ≤ 1)

2. Taloi= a2T1 avec Ta = inft : Bt = a.

3. gtloi= tg1, dt

loi= td1 ou gt = sups ≤ t : Bs = 0 et dt = infs ≥ t : Bs = 0. Montrer quegt < u = du > t. En deduire gt

loi= td1

loi= 1d(1/t) .

4. On suppose que A est un processus croissant continu tel que, pout tout c

(Bct, Act, t ≥ 0) loi= (√cBt, cAt; t ≥ 0)

On note ∆a = inft : At ≥ a. Montrer que d∆a

loi= ad∆1 . En deduire Agloi= 1/d∆1 .

5. Montrer que At = sups≤tB2s verifie les conditions precedentes.

Exercice 2.5.3 Montrer que

sup0≤t≤1

|Bt| loi=1√T ∗1

ou T ∗1 = inft ≥ 0 : |Bt| = 1.

Exercice 2.5.4 Soit A une fonctionnelle du mouvement brownien. On dit que A a la propriete(hom) s’ il existe r ∈ R tel que pour tout c,

(Bct, Act; t ≥ 0) loi= (√cBt, c

r+1At; t ≥ 0)

Pour quelle valeur de r la fonctionnelle At =∫ t

0

11(Bs>0)ds a t’elle la propriete (hom)? Meme

question pour le temps local (voir la definition plus loin)

2.6 Complements

Exercice 2.6.1 Projection d’un Brownien. Soit B un MB dans sa filtration F et G une filtrationplus petite que F. On suppose que E(Bt|Gt) = Bt est un MB. Montrer que Bt = Bt.

Exercice 2.6.2 Filtration de carres de Browniens. Soit Yt = aB2t + bW 2

t avec a 6= b et a et bnon nuls, W et B etant des Browniens independants. Montrer que σ(Ys, s ≤ t) = σ(Bs,Ws, s ≤ t).Generaliser au cas de n carres.

Exercice 2.6.3 Representation previsible. Soit B(i), i = 1, 2, 3 trois MB, avec B(i), i = 1, 2independants. Montrer qu’il n’est pas possible d’avoir σ(B(3)

s , s ≤ t)) = σ(B(1)s , B

(2)s , s ≤ t). On

utilisera le theoreme de representation previsible pour representer B(1)t , B

(2)t en terme de B(3).

Enonces 23

Exercice 2.6.4 Ponts, suite de ex. 2.2.6 Pour chaque t on definit la tribu

Fβt = σ(Bs − s

tBt, s ≤ t

1. Montrer que la famille Fβt est croissante en t.

2. Soit f ∈ L2(R+, ds). Calculer la projection Ft sur L2((Fβ)t) de Ft =∫ t

0

f(s)dBs.

3. Montrer que le processus Bt = Bt −∫ t

0

duBuu

est un (Fβt )-mouvement Brownien et que

Fβt = σBu, u ≤ t

4. Montrer que Ft =∫ t

0

f(s)dBt, avec f(t) = f(t)− 1t

∫ t

0

f(u)du.

Exercice 2.6.5 Soit B un MB reel, T0 = inft : Bt = 0, g = supt < 1 : Bt = 0 et d =

inft > 1 : Bt = 0. Montrer que Px(d > 1 + t) =∫p(1, x; y)Py(T0 > t)dy et que P0(g ≤ t) =

∫p(t, 0; y)Py(T0 > 1− t)dy.

Exercice 2.6.6 Loi de gt. Montrer que

P( sups≤u≤t

Bu > 0, Bs < 0) = 2P(Bt > 0, Bs < 0) = 2[14− 1

2πarcsin

√s

t]

En deduire la loi de gt = sups ≤ t : Bs = 0

Exercice 2.6.7 Representation previsible. Trouver un processus f previsible tel que F =

E(F ) +∫ T

0

fsdBs pour

1. F = BT ,

2. F =∫ T

0

Bsds,

3. F = B2T ,

4. F = expBT .

Exercice 2.6.8 Le mouvement Brownien B est issu de 0. Soit W un second mouvement Brownienissu de 0 independant de B et

Xt = (1− t)∫ t

0

Ws

(1− s)2ds+ (1− t)

∫ t

0

11− sdBs .

1. Montrer que∫ t

0

Ws

1− sds−∫ t

0

ds

∫ s

0

Wu

(1− u)2du = (1− t)

∫ t

0

Ws

(1− s)2ds.

2. En admettant que si f et g sont deux fonctions deterministes on peut intervertir le sens des

integrales dans∫ t

0

dsf(s)∫ s

0

g(u)dBu, montrer que

Bt −∫ t

0

ds

∫ s

0

11− udBu = (1− t)

∫ t

0

11− sdBs

24 Brownien.

3. Verifier que X est solution de

Xt = Bt +∫ t

0

Ws −Xs

1− s ds .

4. (sans utiliser ce qui precede) Montrer que Xt = (1− t)∫ t

0

dBs − dWs

1− s +Wt .

5. Calculer E(XsXt).

Exercice 2.6.9 Soit G une filtration, W un G mouvement brownien. Soit H une filtration pluspetite que G. Montrer que le processus Mt = E(Wt|Ht) est une martingale. (on precisera par

rapport a quelle filtration). Soit Xt = Wt +∫ t

0

Yudu ou Y est un processus G adapte. On note FX

la filtration de X et Yu = E(Yu|FXu ). Verifier que Zt = (Xt−∫ t

0

Yudu, t ≥ 0) est une FX -martingale

(on calculera l’esperance conditionnelle de Zt par rapport a FXs .

Exercice 2.6.10 Let X be a Brownian motion with drift µ and MXt = sup s ≤ tXt. Prove that

E(MXT |Ft) = MX

t +∫ ∞MXt −Xt

(1− F (T − t, u)du

where F (T − t, u) = P(MXT−t ≤ u)

2.7 Finance

Exercice 2.7.1 Black et Scholes. Calculer E(e−at(St −K)+) quand

St = xebt exp(σBt − σ2

2t)

Ecrire la formule obtenue quand a = b = r et quand a = r, b = r− δ. Calculer E(e−rt(St−K)+|Fs)pour s < t.

Exercice 2.7.2 Options reset Une option reset est caracterisee par une suite de dates t1, t2, . . . , tn.Le payoff de cette option est

A =∑

i

(ST − Sti)+11Sti=infK,St1 ,St2 ,...,Stn + (ST −K)+11K=infK,St1 ,St2 ,...,Stn

Calculer le prix d’une telle option, c’est-a-dire calculer E(e−rTA) quand

St = xert exp(σBt − σ2

2t)

.

2.8 Probleme

2.8.1 Partie I : Resultats preliminaires

Soit (Bt)t≥0 un mouvement Brownien standard sur un espace de probabilit (Ω,F , P ). On note(Ft)t≥0 la filtration naturelle de B.

Enonces 25

Etant donne un processus continu (Xt)t≥0 a valeurs reelles, on pose pour t > 0 ,

MXt = sup

s≤tXs ,

mXt = inf

s≤tXs .

Si a est un nombre reel strictement positif, on definit egalement

TXa = inft ≥ 0;Xt = a, TXa = inft ≥ 0; |Xt| = a .Il est connu que TBa est un temps d’arret relativement a (Ft)t≥0 , fini p.s. , tel que E(TBa ) = ∞ etpour λ ≥ 0 ,

E[exp(−λTBa )

]= exp

(−a√

2λ).

1. En inversant la transformee de Laplace de TBa , montrer que la densite de la loi de TBa estdonnee par

a√2πt3

exp(−a

2

2t

)1(t>0) .

2. Demontrer que pour λ ≥ 0 ,

E[exp(−λTBa )

]=(

cosh(a√

2λ))−1

.

3. Prouver que TBa est integrable et calculer E(TBa ) .

4. Soient c et d deux nombres reels strictement positifs et posons TB = TBc ∧ TB−d . Montrer quepour λ ∈ R ,

E[exp

(−λ

2

2TB 1(TB=TBc )

)]=

sinh(λd)sinh(λ(c+ d))

,

E[exp

(−λ

2

2TB)]

=cosh(λ(c− d)/2)cosh(λ(c+ d)/2)

.

5. En utilisant la propriete de Markov forte, demontrer que si c ≥ 0 , b ≤ c ,

P[Bt ≤ c ,MBt > c] = P[Bt > 2c− b].

6. En-deduire que pour chaque t > 0 , les variables aleatoires MBt et |Bt| ont la meme loi.

7. Verifier que pour chaque t > 0 , la densite de la loi du couple (Bt ,MBt ) est donnee par

2(2c− b)√2πt3

exp(− (2c− b)2

2t

)10≤c1b≤c .

8. Retrouver alors la densite de la loi de TBa explicitee au 1. .

2.8.2 Partie II

On considere le processus (Yt)t≥0 defini par : ∀t ≥ 0 , Yt = µ t+Bt , ou µ ∈ R .

1. Montrer qu’il existe une mesure de probabilite Pµ sous laquelle (Yt)t≥0 est un mouvementBrownien standard.

2. En utilisant le resultat de la question I.7. , en-deduire que pour chaque t > 0 , la densite de laloi du couple (Yt ,MY

t ) est donnee par

2(2c− b)√2πt3

exp(− (2c− b)2

2t

). exp

(µ b− 1

2µ2t

)10≤c1b≤c .

26 Brownien.

2.8.3 Partie III

Soit (St)t≥0 le processus tel que : ∀t ≥ 0 , St = x exp[(r − 1

2σ2)t+ σBt

], ou x, r et σ sont des

nombres reels strictement positifs. Dans la suite, on designera par N la fonction de repartition dela loi normale centrale reduite.

1. Expliciter la probabilite Pθ qui fait de (Bt)t≥0 un mouvement Brownien standard, avec Bt =θt+Bt et θ = r

σ − σ2 .

2. Trouver une relation entre MSt et M B

t et entre mSt et mB

t pour chaque t > 0.

Dans ce qui suit, H et K designe des nombres reels strictements positifs.

3. Montrer que

P[St ≤ K ,MS

t ≤ H]

= N(d1)−(H

x

)(2r/σ2)−1

N(d2) ,

avec

d1 =(

log(K

x

)−(r − 1

2σ2

)t

)/σ√t ,

d2 =(

log(Kx

H2

)−(r − 1

2σ2

)t

)/σ√t .

4. Montrer que

P[St ≥ K ,mS

t ≥ H]

= N(d3)−(H

x

)(2r/σ2)−1

N(d4) ,

avec

d3 =(

log( xK

)+(r − 1

2σ2

)t

)/σ√t ,

d4 =(

log(H2

xK

)+(r − 1

2σ2

)t

)/σ√t .

5. Deduire de la question 3. que (E designant l’esperance sous P)

E[St 1St≤K ,MS

t ≤H]

= x ert

(N(d5)−

(H

x

)(2r/σ2)+1

N(d6)

),

avec

d5 =(

log(K

x

)−(r +

12σ2

)t

)/σ√t ,

d6 =(

log(Kx

H2

)−(r +

12σ2

)t

)/σ√t .

6. En utilisant le resultat de la question 4., verifier que

E[St 1St≥K ,mSt ≥H

]= x ert

(N(d7)−

(H

x

)(2r/σ2)+1

N(d8)

),

avec

d7 =(

log( xK

)+(r +

12σ2

)t

)/σ√t ,

d8 =(

log(H2

Kx

)+(r +

12σ2

)t

)/σ√t .

Enonces. 2005-06 27

7. On pose v1(x, T ) = E[e−rT (ST −K)+ 1mST≥H

].

Montrer que

v1(x, T ) = x

[N(d7)−

(H

x

)(2r/σ2)+1

N(d8)

]− e−rT K

[N(d3)−

(H

x

)(2r/σ2)−1

N(d4)

].

Determiner la quantite ∂∂xv1(x, T − t) .

8. On pose v2(x, T ) = E[e−rT (ST −K)+ 1MS

T≤H]

. Donner une formule explicite pour v2(x, T )

et ∂∂xv2(x, T − t) .

9. On posev3(x, T ) = E

[e−rT (ST −K)+ 1MS

T≥H],

v4(x, T ) = E[e−rT (ST −K)+ 1mST≤H

],

v(x, T ) = E[e−rT (ST −K)+

].

Donner une relation entre v2(x, T ) ,v3(x, T ) et v(x, T ) d’une part et entre v1(x, T ) ,v4(x, T ) etv(x, T ) d’autre part.

28 Ito.

Chapter 3

Integrale d’Ito

Dans tout ce chapitre, B est un mouvement Brownien dont la filtration est notee F.On considere un processus θ,ff -adapte continu a gauche, et admettant des limites a droite, tel que

∫ ∞0

θ2t dt <∞, a.s

on montre qu’il existe des processus θn de la forme θnt =∑θi,n11]ti,ti+1 avec θi,n ∈ L2(Ω) et Fti-

mesurables, convergeant vers θ dans L2(Ω × R+) (au sens ou ‖θ − θn‖2 → 0 quand n → ∞. Ondefinit

∫ t0θsdBs, comme la limite de

∑k(n)j=1 θ

j,n(B(tj+1)−B(tj))

Le processus I(θ)t =∫ t

0θsdBs a les proprietes suivantes. Si

E(∫ ∞

0

θ2t dt

)<∞, ∀t

le processus I(θ) est une martingale, dans les autres cas, c’est une martingale locale.Si

E(∫ ∞

0

θ2t dt

)<∞, ∀t

le processus

(I(θ)t −∫ ∞

0

θ2t dt, t ≥ 0)

est une martingale.

Integrale de Wiener: Si f est une fonction deterministe, de carre integrable sur tout intervalle[0, t], le processus (I(f)t, t ≥ 0) est un processus gaussien.

Crochet: Le crochet d’une martingale de carre integrable continue M est l’unique processuscroissant 〈M〉 tel que M2

t − 〈M〉t soit une martingale.Le crochet de I(θ) est par definition 〈I(θ)〉t =

∫∞0θ2t dt Si X et Y sont deux martingales continues

leur crochet 〈X,Y 〉 est l’unique processus a variation bornee tel que XY − 〈X,Y 〉 est une martin-gale. Le crochet de deux integrales stoichastiques est 〈I(θ), I(ψ)〉 =

∫ t0θsψsds Si X et Y sont deux

semi-martingales continues leur crochet est le crochet des parties martingales

Processus d’Ito: On appelle processus d’Ito un processus X admettant une decomposition dela forme

Xt = x+∫ t

0

asds+∫ t

0

σsdBs

29

30 Ito.

ou a et σ sont des processus F-adaptes, verifiant∫ t

0|as|ds <∞ et

∫ t0σ2sds <∞.

Formule d’integration par parties: Soit X et Y deux processus d’Ito

dXt = atdt+ σtdBt

dYt = btdt+ νtdBt

relatifs au meme mouvement Brownien B, alors

d(XY )t = XtdYt + YtdXt + d〈X,Y 〉t

Formule d’Ito: Si f est une fonction C1,2

f(t,Xt) = f(0, X0) +∫ t

0

A(s,Xs)ds+∫ t

0

∂xf(s,Xs)dBs

ouAf(t, x) = ∂tf(t, x) + b(t, x)∂xf(t, x) +

12∂xxf(t, x)

Cette formule s’ecrit aussi

df(t,Xt) = ∂tf(t,Xt)dt+ ∂xf(t,Xt)dXt +12∂xxf(t,Xt)d〈X〉t

Les crochets se calculent formellement de la facon suivante d〈X,Y 〉 = dXdY , avec la table demultiplication suivante

dt · dt = 0, dt · dBt = 0, dBt · dBt = dt

3.1 Integrale de Wiener

Exercice 3.1.1 Soit Yt = tBt. Calculer dYt, l’esperance de la v.a. Yt et la covariance E(YtYs).

Exercice 3.1.2 1. Montrer que la v.a. Xt =∫ t

0

(sin s) dBs est definie.

2. Montrer que X est un processus gaussien.Calculer son esperance et sa covariance E(XsXt).

3. Calculer E[Xt|Fs].

4. Montrer que Xt = (sin t)Bt −∫ t

0

(cos s)Bsds.

Exercice 3.1.3 Montrer que (Yt = sin(Bt) + 12

∫ t0

sin(Bs) ds, t ≥ 0) est une martingale. Calculerson esperance et sa variance.

Exercice 3.1.4 1. Montrer que le processus (Yt =∫ t

0(tan s) dBs, 0 ≤ t < π

2 ) est defini.

2. Montrer que Y est un processus gaussien, calculer son esperance, sa covariance et l’esperanceconditionnelleE(Yt|Fs).

Enonces. 2005-06 31

3. Montrer que Yt = (tan t)Bt −∫ t

0

Bscos2 s

ds.

Exercice 3.1.5 Pont Brownien. On considere l’equation differentielle stochastique

dXt =Xt

t− 1dt+ dBt ; 0 ≤ t < 1

X0 = 0

et l’on admet l’existence d’une solution.

1. Montrer que

Xt = (1− t)∫ t

0

dBs1− s ; 0 ≤ t < 1 .

2. Montrer que (Xt, t ≥ 0) est un processus gaussien. Calculer son esperance et sa covariance.

3. Montrer que limt→1Xt = 0.

Exercice 3.1.6 Montrer que, si f est une fonction deterministe de carre integrable

E(Bt∫ ∞

0

f(s) dBs) =∫ t

0

f(s) ds .

Exercice 3.1.7 Calculs de moments.

Soit t1 < t2. Calculer A = E(∫ t2

t1

(Bt−Bt1) dt|Ft1). Montrer que∫ t2

t1

(Bt−Bt1) dt =∫ t2

t1

(t2−t)dBt.

Utiliser cette egalite pour calculer A d’une autre maniere. Calculer Var[∫ t2

t1

(Bt −Bt1) dt|Ft1].

3.2 Formule d’Ito

Exercice 3.2.1 Ecrire les processus suivants comme des processus d’Ito en precisant leur drift etle coefficient de diffusion

1. Xt = B2t

2. Xt = t+ eBt

3. Xt = B3t − 3tBt

4. Xt = 1 + 2t+ eBt

5. Xt = [B1(t)]2 + [B2(t)]2

6. Xt = (Bt + t) exp(−Bt − 12t)

7. Xt = exp(t/2) sin(Bt)

Exercice 3.2.2 Integration par parties. Soit Xt = exp(∫ t

0

a(s)ds)

et

Yt = Y0 +∫ t

0

[b(s) exp

(−∫ s

0

a(u)du)]

dBs

ou a et b sont des fonctions boreleiines integrables. On pose Zt := XtYt. Montrer que dZt =a(t)Ztdt+ b(t)dBt.

32 Ito.

Exercice 3.2.3 Integration par parties. Soit Yt = tX1(t)X2(t) avec

dX1(t) = f(t) dt+ σ1(t)dBtdX2(t) = σ2(t)dBt

Calculer dYt.

Exercice 3.2.4 Equation differentielle. On admet que le systeme suivant admet une solution

Xt = x+∫ t

0

Ys dBs

Yt = y −∫ t

0

Xs dBs

Montrer que X2t + Y 2

t = (x2 + y2)et.

Exercice 3.2.5 Formule d’Ito. Soit Yt =∫ t

0

esdBs et Zt =∫ t

0

YsdBs.

1. Ecrire l’EDS verifiee par Zt.

2. Calculer E(Zt), E(Z2t ) et E(ZtZs).

Exercice 3.2.6 On suppose que X est un processus d’Ito de drift a(Kt −Xt), que Xt = f(Kt) etque Kt = bt+ σBt ou a, b, σ sont des constantes et B un mouvement brownien. Quelle est la formede f ?

Exercice 3.2.7 Exponentielle. Soit σ un processus adapte continu de L2(Ω× R) et

Xt =∫ t

0

σs dBs − 12

∫ t

0

σ2s ds .

On pose Yt := expXt et Zt = Y −1t .

1. Expliciter la dynamique de Y , c’est-a-dire exprimer dYt.

2. Montrer que Y est une martingale locale. Donner une condition sur σ pour que ce soit unemartingale.

3. Calculer E(Yt) dans ce cas. Expliciter les calculs quand σ = 1.

4. Calculer dZt.

Exercice 3.2.8 Soit (a, b, c, z) des constantes et

Zt = e(a−c2/2)t+cBt

(z + b

∫ t

0

e−(a−c2/2)s−cBsds)

Quelle est l’EDS verifiee par Z?

Exercice 3.2.9 On considere le processus de dynamique

dSt = St((r − q + ht)dt+ σdBt)

ou (ht, t ≥ 0) est un processus adapte.

Enonces. 2005-06 33

1. On se place dans le cas ht = 0, ∀t. Montrer que (Mt = Ste−(r−q)t, t ≥ 0) est une martingale

positive. On definit une probabilite Q par dQ|Ft = Mt

M0dP |Ft . Comment se transforme le MB

B?

2. Dans le cas h non nul, expliciter St.

3. On suppose que ht = h(St) ou h est une fonction continue. On admet qu’il existe une solutionde l’EDS correspondante. Montrer que

e−rTE(e−R T0 h(Ss)dsΨ(ST )) = e−qTS0EQ(S−1

T Ψ(ST ))

4. On se place maintenant dans le cas ht = S−pt , avec p reel. On admet qu’il existe une solutionde l’EDS. On pose Zt = Spt .

(a) Quelle est la dynamique de Z?

(b) Verifier, en utilisant l’exercice 4 que l’on peut expliciter Z.

(c) Pour quelles fonctions f , le processus f(Z) est il une martingale (locale)?

Exercice 3.2.10 Processus d’Ornstein Uhlenbeck. Soit X tel que dXt = (a− bXt)dt+ dBt

1. Montrer que Zt = exp(c

∫ t

0

XsdBs − c2

2

∫ t

0

X2s ds

)est une martingale locale.

2. Soit Ut = X2t . Ecrire dUt puis la variable Ut comme une somme d’integrales.

3. Montrer que∫ t

0

XsdBs =12

(X2t −X2

0 − t)− a∫ t

0

Xsds+ b

∫ t

0

X2sds .

Exercice 3.2.11 Soit Z le processus defini par

Zt =1√

1− t exp(− B2

t

2(1− t)).

1. Montrer que Z est une martingale et que Zt tend vers 0 quand t tend vers 1..

2. Calculer E(Zt).

3. Ecrire Zt sous la forme

Zt = exp (∫ t

0

ΦsdBs − 12

∫ t

0

Φ2sds)

ou Φ est un processus que l’on precisera.

Exercice 3.2.12 Moments d’une exponentielle stochastique. Soit L le processus solution de

dLt = LtφdBt, L0 = 1

ou φ est une constante. Le processus L est l’exponentielle de Doleans-Dade de φB et se noteLt = E(φB)t.

1. Determiner la fonction Γ telle que, pour a ∈ R, le processus (Lt)a exp(−Γ(a)t) est une mar-tingale.

2. En deduire le calcul de E [(Lt)a] pour tout a ∈ R.

Exercice 3.2.13 Demonstration de l’unicite de l’ecriture d’un processus d’Ito.Soit dXt = atdt+ σtdBt. On souhaite demontrer que si X ≡ 0, alors a ≡ 0, σ ≡ 0.

34 Ito.

1. Appliquer la formule d’Ito a Yt = exp(−X2t ).

2. En deduire le resultat souhaite.

Exercice 3.2.14 Soit V = KX avec

dXt = Xt(µ− k − s lnXt)dt+ σXtdBt

dKt = Kt(r + k)dt

Calculer dVt et d lnXt.

Exercice 3.2.15 Montrer que

Mt = exp(−∫ t

0

B2sds)

exp(−B

2t

2tanh(T − t)) 1

(cosh(T − t))1/2

est une martingale locale.

Exercice 3.2.16 Soit At =∫ t

0

exp(Bs + νs)ds et dSt = St(rdt + σdBt). Montrer que le proces-

sus f(t, St, At) est une martingale si f verifie une equation aux derivees partielles a coefficientsdeterministes que l’on precisera.

Exercice 3.2.17 Soit dXt = dBt +1Xtdt. Montrer que

1Xt

est une martingale (locale). Quelles

sont les fonctions f telles que f(t,Xt) soit une martingale locale?.

Exercice 3.2.18 Soit B et W deux browniens correles et

drt = [a(b− rt)− λσrt]dt+ σ√rtdWt

dVt = (rt − δ)Vtdt+ σV VtdBt

On pose Xt =√rt et Yt = lnVt − αXt avec α = 2ρσV /σ. Calculer dX et dY .

Exercice 3.2.19 Soit T fixe et B(t, T ) = exp

(−∫ T

t

f(t, u)du

)avec

df(t, T ) = α(t, T )dt+ σ(t, T )dBt , ∀t < T

Montrer que

dB(t, T ) = (rt − α(t, T ) +12σ(t, T ))B(t, T )dt− σ(t, T )B(t, T )dBt

ou on a note α(t, T ) =∫ T

t

α(u, T )du

Exercice 3.2.20 Soitdrt = (a− brt)dt− σ√rt(dBt + λdt)

et W un mouvement Brownien independant de B. Soit λ1 une constante et H le processus

Ht = exp(∫ t

0

rsds+12

∫ t

0

(λ21 + λrs)ds+

∫ t

0

λ1dWs +∫ t

0

λ√rsdBs

)

Montrer que le calcul de E(exp(HαT )|Ft) se reduit a celui de E(exp(−ηrT − µ

∫ T

t

rsds)|Ft).

Enonces. 2005-06 35

Exercice 3.2.21 Fonction d’echelle. Soit X un processus d’Ito. Une fonction s est une fonctiond’echelle si s(X) est une martingale locale. Determiner les fonctions d’echelle des processus suivants:

1. Bt + νt

2. Xt = exp(Bt + νt)

3. Xt = x+∫ t

0

b(Xs)ds+∫ t

0

σ(Xs)ds. Identifier le processus croissant A tel que s(Xt) = βAt ou

β est un MB.

Exercice 3.2.22 SoitdΨt = (1− rΨt)dt+ σΨtdBt

Soit u une solution deσ2

2x2u′′(x) + (1− rx)u′(x)− λu(x) = 0

On definit x∗ comme solution de x∗u′(x∗) = u(x∗) et v(x) =x∗

u(x∗)u(x). On admettra que v′′(x) ≥ 0.

Soit enfin V definie par V (x) = v(x), 0 ≤ x ≤ x∗

= x, x > x∗

Montrer que 1− (r + λ)x∗ ≤ 0.Ecrire la formule d’Ito pour e−λtV (Ψt). Il apparait un terme LV (x)− λV (x) avec

LV (x) = (1− rx)V ′(x) +σ2

2x2V ′′(x)

Montrer que sur x > x∗ on a LV (x)− λV (x) ≤ 0 et que sur x ≤ x∗, on a LV (x)− λV (x) = 0En deduire que

V (Ψ0) ≥ E(e−λTV (ΨT ))

(en admettant que l’integrale stochastique est une martingale).

Exercice 3.2.23 Reprendre l’exercice 2.6.8 en utilisant la formule d’Ito.

Exercice 3.2.24 Pont Brownien Calculer P (sup0≤s≤tBs ≤ y,Bt ∈ dx). En deduire que, pourun pont brownien b, issu de x a l instant 0, qui doit se trouver en z, z > 0 a l’instant t, on a poury > z

P ( sup0≤s≤t

bs ≤ y) = exp(− (z + x− 2y)2

2t+

(z − x)2

2t

).

Quelle est la valeur de P (sup0≤s≤t bs ≤ y) pour y < z?

Exercice 3.2.25 Formule de Clark-Ocone Soit f une fonction bornee de classe C1. Justifierrapidement qu’il existe une fonction ψ telle que, pour t ≤ 1

E(f(B1)|Ft) = ψ(t, Bt) .

Expliciter ψ(t, x) sous la forme d’une esperance (non conditionnelle). Ecrire la formule d’Ito pourψ en faisant les simplifications qui s’imposent. Montrer que

ψ(t, Bt) = E(f(B1)) +∫ t

0

E(f ′(B1)|Fs)dBs .

36 Ito.

3.3 Cas multidimensionnel

Exercice 3.3.1 On considere deux processus S1 et S2 definis par

dSi(t) = Si(t)(rdt+ σidBit), i = 1, 2 (3.1)

ou B1 et B2 sont deux Browniens independants et ou les coefficients r, σi sont constants.

1. On pose S3(t)def= S1(t)+S2(t)

2 . Ecrire l’equation differentielle stochastique verifiee par S3.

2. Soit S4(t)def=√S1(t)S2(t). Ecrire l’equation differentielle stochastique verifiee par S4.

Exercice 3.3.2 Formule d’Ito multidimensionnelle. Soient (B1(t), t ≥ 0) et (B2(t), t ≥ 0)deux mouvements Browniens independants. Soit (Li(t), i = 1, 2 , t ≥ 0)) les processus definis par

dLi(t) = θi(t)Li(t)dBi(t) , Li(0) = 1

ou (θi(t), i = 1, 2) sont des processus adaptes continus bornes. Soit Zt = L1(t)L2(t). Ecrire dZt.Montrer que L1(t)L2(t) est une martingale.

Exercice 3.3.3 Soit (B1(t), t ≥ 0) et (B2(t), t ≥ 0) deux mouvements Browniens independants etρ une constante telle que |ρ| ≤ 1.

1. Montrer que le processus (Wt, t ≥ 0) defini par Wt = ρB1(t)+√

1− ρ2B2(t) est un mouvementBrownien.

2. Soit (φi(t), t ≥ 0; i = 1, 2) deux processus continus adaptes de carre integrable (tels que∀T ≥ 0,E(

∫ T0φ2i (t) dt) <∞).

(a) On definit (Zt, t ≥ 0) par dZt = φ1(t)dB1(t) + φ2(t)dB2(t) et Z0 = z. Montrer que Z estune martingale.

(b) Soit Ψ(t) = φ21(t) + φ2

2(t). On suppose que Ψ(t) > 0. On definit (Yt, t ≥ 0) par

dYt =φ1(t)√

Ψ(t)dB1(t) +

φ2(t)√Ψ(t)

dB2(t) , Y0 = y .

Ecrire l’equation verifiee par Y 2t .

Montrer que (Yt, t ≥ 0) est un mouvement Brownien.

3. On definit Rt = B21(t) + B2

2(t). Ecrire l’equation differentielle verifiee par R et celle verifieepar Ut =

√Rt. On montrera que

dUt =a

Utdt+ bdB3(t)

ou a et b sont des constantes et B3 un mouvement Brownien.

Exercice 3.3.4 Soit dS(i)t = S

(i)t (µ(i)

t dt + σ(i)t dB

(i)t ) ou B(i), i = 1, 2 sont deux MB correles.

Determiner ki, i = 1, 2 pour que e−rt(S(1)t )k1 (S(2)

t )k2 soit une martingale.

Enonces. 2005-06 37

3.4 Complements

Exercice 3.4.1 Formule de Tanaka. Soit f une fonction et F definie par

F (x) =∫ x

−∞dz

∫ z

−∞f(y) dy

Verifier que

F (x) =∫ ∞−∞

(x− y)+f(y)dy

et que F ′(x) =∫ x

−∞f(y) dy =

∫ ∞−∞

f(y) 11x>y dy.

Montrer, en appliquant la formule d’Ito a F que∫ t

0

f(Bs)ds = 2∫ ∞−∞

f(y)(

(Bt − y)+ − (B0 − y)+ −∫ t

0

11Bs>ydBs

)dy .

Exercice 3.4.2 Egalite de Bougerol. Soit B1 et B2 deux mouvements browniens independants.

1. Appliquez la formule d’Ito aux processus

Xtdef= exp(B1(t))

∫ t

0

exp(−B1(s)) dB2(s), Ztdef= sinhB1(t)

2. Montrer que dZt =∫ t

0

φ(Zs)dB1(s) +∫ t

0

ψ(Zs)ds.

3. Verifier que Mtdef= B2(t) +

∫ t

0

XsdB1(s) est une martingale. Calculer E(M2t ). En admettant

que Mt =∫ t

0

γsdB3(s), ou B3 est un mouvement brownien, identifier γ.

4. En deduire une relation entre Xt et Zt.

Exercice 3.4.3 Soit drt = δdt+ 2√rtdBt et f(t, x) une fonction de C1,2

b .

1. Quelle condition doit verifier la fonction s pour que s(rt) soit une martingale ?

2. Quelle condition doit verifier la fonction f pour que f(t, rt) soit une martingale ?

3. Soit Zt = r2t et ρt =

√rt. Ecrire les EDS verifiees par Zt et par ρt.

4. Soit dr1t = µ1dt + 2

√rtdB

1t et dr2

t = µ2dt + 2√rtdB

2t deux processus, avec B1 et B2 deux

browniens independants. On admettra que r1 et r2 sont independants. On note R le processusdefini par Rt = r1

t + r2t . Montrer que R s’ecrit sous la forme (4.1).

Exercice 3.4.4 Temps d’atteinte. Soit τ = Ta = inft : Bt = a. On a calcule Zt = P (τ >T |Ft). Quelle est la dynamique du processus Z?.

Exercice 3.4.5 Exponentielle. Soit X et Y deux martingales de la forme dXt = HtdBt, dYt =KtdBt. On note Mt l’unique solution de l’equation dMt = MtdXt,M0 = 1. Montrer que la solutionde dZt = dYt + ZtdXt, Z0 = z est

Zt = Mt(z +∫ t

0

1Ms

(dYs −HsKsds))

Quelle est la solution de dZt = dYt + ZtdXt lorsque dXt = HtdB1t , dYt = KtdB

2t ou B1 et B2 sont

deux MB eventuellement correles?

38 Ito.

3.5 Brownien geometrique et extensions.

Dans cette section, nous etudions le Brownien geometrique, processus de dynamique

dSt = St(b dt+ σ dBt), S0 = x (3.2)

ou b et σ sont des constantes.

Exercice 3.5.1 Existence et unicite de la solution de 3.2)

1. Soit St = e−btSt. Verifier pardSt = StσdBt . (3.3)

En deduire que S est una martingale. Verifier que Yt = xeσBt−12σ

2t est solution de (3.3) puisque Yt = xebteσBt−

12σ

2t est solution de (3.3)

2. Soit S une autre solution de (3.3). Quelle est l’EDS verifiee par S/Y . Resoudre cette equationet en deduire (3.3) admet une unique solution.

3. Calculer E(St) et la valeur de E(St|Fs) pour tous les couples (t, s).

4. Montrer que ST = S0 exp[(b− 12σ

2)T+σBT ], puis que ST = St exp[(b− 12σ

2)(T−t)+σ(BT−Bt)].5. Ecrire l’equation differentielle verifiee par (St)−1.

Exercice 3.5.2 Changement de probabilite.

1. Soit dLt = −Ltθt dBt ou θt est un processus adapte continu de L2(Ω×R) . On pose Yt = StLt.Calculer dYt.

2. Soit r une constante et ζt defini par

dζt = −ζt(r dt+ θt dBt)

Montrer que ζt = Lt exp(−rt). calculer dζ−1t .

3. Calculer d(Stζt). Comment choisir θ pour que ζS soit une martingale ? La probailite obtenueest telle que le processus S actualise par le taux sans risque r (soit §te−rt est une martingale.Cette (unique=) probabilite est la probbilte risque neutre (ou le mesure martingsle equivalente)

Exercice 3.5.3 Soit At =1t

∫ t

0

lnSs ds.

1. Montrer que lnSs = lnSt + (b− σ2

2 )(s− t) + σ(Bs −Bt) pour s ≥ t.2. Montrer que At est une variable gaussienne.

3. Soit G(t, T ) =1T

∫ T

t

(Bs −Bt) ds. Montrer que

AT =t

TAt + (1− t

T)[lnSt +

12

(b− σ2

2)(T − t)] + σG(t, T )

4. Montrer queG(t, T ) est une variable gaussienne independante de Ft, dont on calculera l’esperanceconditionnelle et la variance conditionnelle (par rapport a Ft).

5. En deduire que AT = Zt+U ou Zt est Ft mesurable et U une variable gaussienne independantede Ft. Montrer que α(t)eZt = E(eAT |Ft),ou l’on precisera la valeur de α.

Enonces. 2005-06 39

Exercice 3.5.4 Soit VT = 1h

∫ TT−h Sudu ou h est un nombre reel donne tel que 0 < h < T . Soit X

le processus defini pare−btXt = E[e−bTVT |Ft ] .

1. Quelle est la valeur de XT ?

2. Exprimer Xt en fonction de St pour t ≤ T − h.

3. Exprimer Xt en fonction de St et de (Su, T − h ≤ u ≤ t) pour T − h ≤ t ≤ T .

4. Montrer que dXt = Xtbdt+σStγtdBt avec γt = 11t<T−h1− e−bh

bh+11T−h<t<T

1− e−b(T−t)bh

.

Exercice 3.5.5 Soit Yt = Sat avec a ≥ 2. Quelle est l’EDS satisfaite par Y ? Calculer E(Yt).

Exercice 3.5.6 Soit δ une fonction borelienne bornee et

dSt = St((r − δ(t))dt+ σdBt), S0 = x .

Les questions qui suivent peuvent etre traitees dans un ordre different.

1. Montrer que e−rtSt +∫ t

0δ(s)e−rsSsds est une martingale locale.

2. Ecrire explicitement la solution S en fonction de S0, r, σ, δ et B.

3. Calculer esperance et variance de S.

4. Calculer avec le minimum de calculs (on peut utiliser des resultats connus), E((ST − K)+)dans le cas δ constant.

3.6 Le crochet

Soit M une martingale continue de carre integrable. On admet qu’il existe un processus croissantA tel que M2

t −At est une martingale. On note At = 〈M,M〉t = 〈M〉t ce processus que l’on appellele crochet de M .

Exercice 3.6.1 Calcul de crochets.

1. Calculer 〈M〉 pour M = B.

2. Calculer 〈M〉 pour Mt =∫ t

0

σsdBs

Exercice 3.6.2 Crochet de martingales. Soit M et N deux martingales. On pose, par analogieavec 2ab = (a+ b)2 − a2 − b2

2〈M,N〉 = 〈M +N,M +N〉 − 〈M,M〉 − 〈N,N〉

Montrer que MN − 〈M,N〉 est une martingale.

Exercice 3.6.3 Utilisation de crochets. Ecrire la formule d’Ito en utilisant le crochet.

40 Ito.

3.7 Finance

Nous considerons un marche financier comportant un actif sans risque de dynamique

dS0t = S0

t rtdt

ou r est un processus F-adapte (tres souvent, une fonction deterministe ou une constante) et desactifs risques dont les prix sont donnes par des processus d’Ito, sous une probabilite P dite historique.Si S est un prix, la quantite S(S0)−1 est le prix actualise. Une mesure martingale equivalente est unemesure de probabilite Q, equivalente a la probabilite historique P telle que les prix actualises sontdes martingales (locales). Un marche est sans arbitrage s’il existe au moins une mesure martingaleequivalente, complet si cette mme est unique. Dans le cas d’un marche complet sans arbitrage leprix d’un actif contigent H (une variable aleatoire) est

Vt = EQ(HS0t /S

0T |Ft)

Un portefeuille est un couple (α, β) de processus adaptes et la valeur du portefeuille est leprocessus (Vt, t ≥ 0)

Vt = αtS0t + βtSt .

Le portefeuille est dit autofinancant si

dVt = αtdS0t + βtdSt .

Voir Poncet et Portait pour de plus amples explications.

Exercice 3.7.1

On considere un marche financier ou deux actifs sont negocies: un actif sans risque, de taux constantr, un actif risque dont le prix S suit la dynamique

dSt = St(µ(t)dt+ σ(t)dBt)

les coefficients µ et σ etant des fonctions deterministes.

1. Ecrire la valeur de St en fonction de S0, des fonctions µ, σ, et du MB B.

2. Determiner le(s) mesure(s) martingale(s) equivalente(s).

3. Justifier que ce marche est complet, sans arbitrage. On notera Q la mme.

4. Quelle est la dynamique de S sous P et sous Q?

5. Calculer, pour tout couple (s, t) EP(St|Fs) et EQ(St|Fs).6. On considere l’actif contingent versant h(ST ) a la date T , ou h est une fonction (deterministe).

(a) Quel est le prix de cet actif a la date t? Montrer que ce prix peut etre obtenu sous formed’une integrale dterministe.

(b) Ecrire l’EDP d’evaluation.

(c) Comment couvrir cet actif en utilisant l’actif sans risque et l’actif S? Expliquer enparticulier comment determiner le nombre de parts d’actifs S et le montant de cash (onne demande pas de calcul explicite)

(d) Quels seraient les modifications a apporter si r est une fonction deterministe? un proces-sus?

7. On se place dans le cas h(x) = x2. Expliciter le prix a la date t et le portefeuille de couverture.Meme question pour h(x) = ax+ b ou a et b sont des constantes.

Enonces. 2005-06 41

Exercice 3.7.2 Portefeuille auto-financant

1. Quelle serait la richesse d’un agent qui detiendrait a chaque instant t, un nombre de partsd’actif risque egal a t, en utilisant une strategie autofinancante

2. Quelle serait la richesse terminale (a l’instant T ) d’un agent de richesse initiale x qui souhaiteavoir un montant de cash egal a (T − t)x a chaque instant t en utilisant une strategie autofi-nancante (on donnera le resultat sous forme d’un integrale stochastique dont tous les coefficientssont explicites)

Exercice 3.7.3 Autofinancement Cet exercice important montre que la definition de l’autofinancementest invariante par changement de nbumeraire. Question preliminaire: Soit X et Y deux processusd’Ito continus (on ne precisera pas leur dynamique, c’est inutile pour ce qui suit). Rappeler laformule d’integration par parties pour d(XY ). En deduire que

Xtd(1Xt

) +1XtdXt + d〈X, 1

X〉t = 0 .

On considere un marche comportant deux actifs dont les prix sont des processus d’Ito S1 et S2 telsque S1 est strictement positif. Un portefeuille de valeur Vt = π1

tS1t + π2

tS2t est autofinancant si

dVt = π1t dS

1t + π2

t dS2t .

On choisit comme numeraire le premier actif et on note Vt = Vt/S1t , S2

t = S2t /S

1t , d’ou

Vt = Vt/S1t = π1

t + π2t S

2t .

Le but de cet exercice est de montrer que la notion d’autofinancement ne depend pas du choix denumeraire, c’est-a-dire que

dVt = π1t dS

1t + π2

t dS2t (3.4)

impliquedVt = π2

t dS2t . (3.5)

1. Calculer d〈V, 1S(1)〉t en fonction de d〈S(1),

1S(1)〉t et d〈S(2),

1S(1)〉t

2. Montrer que dV 1t = π2

t

(S

(2)t d

1

S(1)t

+1

S(1)t

dS(2)t + d〈S(2),

1S(1)〉t)

3. Montrer que dV 1t = π2

t d

(S

(2)t

S(1)t

).

Exercice 3.7.4 Dans un marche incomplet, il existe des actifs contingents duplicables. En partic-

ulier, montrer que∫ T

0

(aSs + b)ds est duplicable lorsque S est un processus d’Ito.

Exercice 3.7.5 Equation d’evaluation. Soit dSt = rStdt+Stσ(t, St)dBt, ou r est une constante.

1. Montrer que E(Φ(ST )|Ft) est une martingale pour toute fonction Φ borelienne bornee.

2. Justifier que E(Φ(ST )|Ft) = E(Φ(ST )|St)

3. Soit ϕ(t, x) la fonction definie par ϕ(t, St) = E(Φ(ST )|St). Ecrire dZt avec Zt = ϕ(t, St).

42 Ito.

4. En utilisant que ϕ(t, St) est une martingale, et en admettant que ϕ est C1,2, montrer que pourtout t > 0 et tout x > 0:

∂ϕ

∂t(t, x) + rx

∂ϕ

∂x(t, x) +

12σ2(t, x)x2 ∂

2ϕ

∂x2(t, x) = 0 .

Quelle est la valeur de ϕ(T, x)?

Exercice 3.7.6 Options Europeennes et Americaines. On rappelle l’inegalite de Jensen : siΦ est une fonction convexe et G une tribu, E(Φ(X)|G) ≥ Φ(E(X|G)).On admettra que si τ est un temps d’arret borne par T et Z une sous-martingale, E(ZT ) ≥ E(Zτ ).On note dSt = St(rdt + σtdBt) le prix d’un actif ou σ est un processus adapte borne. Soit C =E(e−rT (ST − K)+) le prix d’un call Europeen et CAm = supτ E(e−rτ (Sτ − K)+) le prix d’uncall Americain, le sup etant pris sur tous les temps d’arret a valeurs dans [0, T ]. On note P =E(e−rT (KerT − ST )+) et PAm = supτ E(e−rτ (Kerτ − Sτ )+) les prix de puts a strike actualises.

1. Montrer que (e−rtSt −K)+ est une sous-martingale.

2. Soit g une fonction convexe de classe C2 telle que g(0) = 0. Montrer que

∀x, ∀α ≥ 1, g(x) ≤ 1αg(αx)

En deduire queE(e−rug(Su)|Ft) ≤ E(e−rT g(ST )|Ft)

pour tout t < u ≤ T . Montrer que C = CAm.

3. Montrer que P = PAm.

Exercice 3.7.7 Volatilite stochastique Soit r un reel et (σt, t ≥ 0) un processus aleatoire (Ft)adapte tel que σ1 ≤ σt ≤ σ2 ou σ1 et σ2 sont des constantes.

1. On note V1 la fonction V1(t, x) definie par V1(t, x) = e−r(T−t)E(h(XT )|Xt = x) lorsque dX(t) =X(t)(rdt+ σ1dBt). Montrer que e−rtV1(t,Xt) est une martingale.

2. Ecrire l’ EDS verifiee par le processus V1(t,Xt). En deduire que la fonction V1 satisfait uneEDP. Dans la suite, on suppose V1 convexe en x.

3. Soit dS1(t) = S1(t)(rdt + σtdBt). Ecrire la formule d’Ito pour e−rtV1(t, St). En deduiree−rTV1(t, ST ) en fonction de e−rtV1(t, St), d’une integrale en dt dont on donnera le signe etd’une integrale stochastique.

4. Montrer que e−rtV1(t, St) ≤ E(e−rTh(ST )|Ft) ≤ e−rtV2(t, St).

Exercice 3.7.8 Heath-Jarrow-Morton. Soit T fixe et (rt, 0 ≤ t ≤ T ) une famille de proces-sus (dependant du parametre T ) que l’on notera, comme dans toute la litterature sur les taux(r(t, T ), 0 ≤ t ≤ T ) telle que, pour tout T fixe

dr(t, T ) = σ(t, T )Σ(t, T )dt+ σ(t, T )dBt

ou∂

∂TΣ(t, T ) = σ(t, T ) .

1. On pose Xt =∫ T+a

T

r(t, u)du. Montrer que l’on peut ecrire

Xt = X0 +∫ t

0

µs ds+∫ t

0

φsdBs

ou on explicitera µ et φ.

Enonces. 2005-06 43

2. En deduire la dynamique de Yt = expXt.

Exercice 3.7.9 Portefeuille de marche. On considere un marche comportant un actif sans risquede taux r et un actif risque de dynamique

dSt = St(µtdt+ σtdBt) .

1. Montrer qu’un portefeuille autofinancant est caracterise par le couple (v, β) tel que

dVt = rtVtdt+ βt(dSt − rtStdt), V0 = v .

On utilise tres souvent le processus H defini par

dHt = −Ht(rtdt+ θtdBt)

avec θ =µt − rtσt

.

2. Montrer que Mt = (Ht)−1 est la valeur d’un portefeuille autofinancant dont on precisera lavaleur de α et de β. Ce portefeuille est appelle portefeuille de marche .

Exercice 3.7.10 Dividendes. Soit

dSt = St([r − δ]dt+ σdBt), S0 = x (3.6)

1. Montrer que St = S0 exp(at+ cBt) ou on explicitera a, c. Montrer que

Ste−rt = E(ST e−rT +

∫ T

t

δSse−rsds|Ft),.

2. Montrer qu’il existe β tel que Sβ soit une Q-martingale.

3. On suppose que dYt = Yt(rdt + νdBt), Y0 = y. Soit γ une constante. Montrer que Y γ verifieune equation du type (3.6) ou l’on precisera la valeur de δ et de σ.

4. Calculer E((ST −K)+).

Exercice 3.7.11 Assurance de portefeuille.

1. Soit M une martingale telle que MT ≥ 0. Montrer que Mt ≥ 0 pour t < T . Cette proprietes’etend-elle au cas t > T? Si oui, donner une demonstration, sinon, donner un contre exemple.Soit τ un temps d’arret borne par T . On suppose que Mτ = 0. Montrer qu’alors Ms = 0 pours ∈ [τ, T ].

2. Soit V la valeur d’un portefeuille autofinancant dans un modele Black-Scholes. On rappelleque d(RtVt) = πtRtσVtdBt avec Rt = e−rt. Montrer que si VT ≥ K alors Vt ≥ e−r(T−t)K.Montrer que s’il existe τ < T tel que Vτ = e−r(T−τ)K, alors Vt = e−r(T−t)K pour t ∈ [τ, T ].

3. Un agent de richesse initiale x souhaite former un portefeuille tel que VT > K. Quelle conditionsur x cela implique t’il? Comment peut-il realiser cet objectif? (on donnera plusieurs solutions)

Exercice 3.7.12 Soit dXt =√

YtT − tXtdBt et dYt = gtdBt+µdt. On note C(T−t, x, σ) la fonction

de Black-Scholes. Donner une relation entre g, µ pour que C(T −t,Xt,

√Yt

T − t ) soit une martingale.

44 Exemples. Enonces

Exercice 3.7.13 Calcul de E(exp−∫ T

0

rsds|Ft) avec rt = f(t) +σ2

2t+ σBt

Exercice 3.7.14 On considere un marche dans lequel sont negocies trois actifs Un actif sans risquedont la dynamique est dS0

t = S0t rdt et DEUX actifs risques

dSit = Sit(µidt+ σdBt)

avec µ1 6= µ2 et le meme mouvement Brownien uni-dimensionnel B. Les actifs contingents sontchoisis dans FT = σ(S1

s , S2s , s ≤ T ) = σ(Bs, s ≤ T ).

1. Montrer que le marche est complet.

2. Montrer que la marche admet des opportunites d’arbitrage.

3. Construire EXPLICITEMENT une telle opportunite d’arbitrage, c’est-a-dire expliciter untriplet (π0, π1, π2) de processus adaptes tels que le portefeuille associe soit autofinancant etV0 = 0, VT > 0. On pourra se restreindre a une OA statique, c’est-a-dire telle que (π0, π1, π2)soient des constantes.

Exercice 3.7.15 On considere un modele Black et Scholes et on note Q l’unique mme.

1. On note Yt =∫ t

0Sudu. Quel est le prix, a la date t du payoff YT (verse en T )?

2. Expliciter la strategie de couverture de YT

3. On considere le payoff h(YT , ST ), verse en T , ou h est une fonction borelienne (bornee)

• Montrer que le prix a la date t de h(YT , ST ) s’ecrit ϕ(t, Yt, St) et montrer comment obtenirϕ(t, y, x) par un calcul d’esperance (non conditionnelle)

• Quelle est l’EDP satisfaite par ϕ?

• Determiner la strategie de couverture associee.

On considere c et π deux processus adaptes et Xπ,c la solution de

dXt = rXtdt+ πt(dSt − rStdt)− ctdt, X0 = x

• Montrer que (e−rtXt +∫ t

0e−rscsds, t ≥ 0) est une Q-martingale.

• Montrer que, pour t < T ,

Xte−rt = EQ(XT e

−rT +∫ T

t

e−rscsds|Ft)

Xte−rtζt = EP(XT e

−rT ζT +∫ T

t

ζse−rscsds|Ft)

• Soit ψ et ϑ deux processus adaptes. On souhaite que les relations πt = ψtXt et ct = ϑtXt

soient satisfaites. Quelle sera dans ce cas la solution Xπ,ct (l’expliciter en terme des processus

ψ, ϑ,B)?.

• On admet que le processus X represente la richesse d’un agent financier investissant π surl’actif risque et consommant ctdt durant l’intervalle de temps t, t + dt. Montrer, en utilisantcette interpretation que pour obtenir une richesse terminale (en T ) positive et avoir une con-sommation positive, l’agent doit avoir une richesse initiale positive et que sa richesse serapositive a chaque instant t.

Chapter 4

Exemples

Dans tout ce chapitre, B est un mouvement Brownien dont la filtration est notee F.

4.1 Processus de Bessel

Exercice 4.1.1 Soit B1 et B2 deux mouvements Browniens independants et

Zt = B21(t) +B2

2(t) .

1. Ecrire l’EDS verifiee par Z.

2. On pose Yt =√Zt. Ecrire l’EDS verifiee par Y .

3. Ecrire l’EDS verifiee par 1/Y .

Exercice 4.1.2 Formule d’Ito On considere les processus de la forme

drt = µdt+ 2√rtdBt (4.1)

On admet que rt ≥ 0 presque partout (par rapport a t et a ω.)

1. Soit f(t, x) une fonction de C1,2b . Quelle condition doit verifier la fonction f pour que f(t, rt)

soit une martingale ?

2. Soit Zt = r2t et ρt =

√rt. Ecrire les EDS verifiees par Zt et par ρt.

3. Soit dr1t = µ1dt + 2

√rtdB

1t et dr2

t = µ2dt + 2√rtdB

2t deux processus, avec B1 et B2 deux

browniens independants. On admettra que r1 et r2 sont independants. On note R le processusdefini par Rt = r1

t + r2t . Montrer que R s’ecrit sous la forme (4.1).

Exercice 4.1.3 Processus de Bessel de dimension 3. Soit R le processus solution de

dRt =1Rtdt+ dWt, R0 = 0 .

1. Montrer que Zt =1Rt

est une martingale locale.

2. Montrer que (Ut = exp(−λ2t

2)

sinhλRtλRt

, t ≥ 0) est une martingale locale. On admetra que

c’est une martingale.

45

46 Exemples. Enonces

3. En deduire la valeur de E(

exp(−λ2Tm2

))

ou Tm = inft : Rt = m, avec m > 0.

4. Soit f une fonction continue bornee et a un nombre reel. Quelles conditions doit verifier lafonction v pour que

v(Rt) exp[−at−∫ t

0

f(Rs)ds]

soit une martingale?

5. Supposons que v est explicitee. Comment calculerez vous

E(exp[−aTm −∫ Tm

0

f(Rs) ds]) ?

Exercice 4.1.4 Processus de Bessel de dimension 2. Soit dRt = dWt +1

2Rtdt.

1. Montrer que Z = lnR est une martingale locale.

2. Soit ν un nombre reel positif. Montrer que Lt = [Rt]ν exp(−ν2

2

∫ t

0

ds

R2s

) est une martingale

locale.

Exercice 4.1.5 Processus de Bessel de dimension δ. Soit R le processus solution de dRt =

dBt +δ − 12Rt

dt.

1. Pour quelles fonctions s le processus s(Rt) est-il une martingale locale?

2. Quelle est la dynamique de Yt = R2t ?

3. Montrer que Ztdef= exp(−µ

2(Yt − δt)− µ2

2

∫ t

0

Yudu) est une martingale.

4. Soit dQ = ZdP . Quelle est la dynamique de Y sous Q?

Exercice 4.1.6 Minimum d’un BesselQuelle est la loi de infs≤tXs lorsque X est un processus de Bessel?

4.2 Processus de Bessel carre

Exercice 4.2.1 Soit α, σ deux constantes et dX(t) = −12αX(t) dt+

12σdW (t). Soit Yt = Xte

αt/2.Ecrire dYt.

1. En deduire la forme de la solution X(t).

2. On suppose que (W1,W2, . . . ,Wn) sont des Browniens independants et on note Xi la solution

de dXi(t) = −12αXi(t) dt+

12σdWi(t). Soit r le processus defini par r(t) = X2

1 (t)+ · · ·+X2n(t).

3. Montrer que le processus B defini par B(0) = 0 et dB(t) =n∑

i=1

Xi(t)dWi(t)√rt

est un mouvement

Brownien.

2009-10 47

4. Montrer que drt = (a− brt) dt+ σ√rtdBt

Exercice 4.2.2 Processus de Bessel carre. Soit x ≥ 0 et R un processus tel que

dRt = µdt+ 2√|Rt|dBt, R0 = x (4.2)

On admettra que R existe et que R ≥ 0.

1. Soit Zt = (Bt)2. Montrer que Z verifie une equation de la forme (4.2). Quelle est la valeur deµ correspondante?

2. Soit B1 un mouvement Brownien independant de B et Z1t = (Bt)2 + (B1

t )2. Montrer que Z1

verifie une equation de la forme (4.2). Quelle est la valeur de µ correspondante? Generalisationa la somme des carres de n Browniens independants.

3. Soit ρt =√Rt. Montrer que dρt = b(t, ρt, µ)dt+ dBt. On explicitera b.

4. Soit B1 un mouvement Brownien independant de B. On note R(µ)(x) le processus defini en(4.2) et, pour y ≥ 0, le processus R(ν)(y) solution de

dR(ν)t = νdt+ 2

√Rt(ν)dB1

t , R(ν)0 = y (4.3)

On notera simplement R(µ)t et R(ν)

t ces deux processus. On supposera que les processus R(µ)t

et R(ν)t ne s’annulent pas et on admettra qu’ils sont independants.

(a) Soit Xt = R(µ)t +R

(ν)t . Calculer dXt.

(b) Montrer que le processus Z defini ci-dessous est un mouvement Brownien

dZt =

√R

(µ)t dBt +

√R

(ν)t dB1

t√R

(µ)t +R

(ν)t

(c) En deduire que Xt = R(µ)t +R

(ν)t verifie

dXt = βdt+ 2√XtdZt

On explicitera β en fonction de µ et ν.

5. (a) On suppose que l’on connaıt E(R(µ)t ) = m(µ) et Var(R(µ)

t ) = v(µ) pour tout µ. ExprimerE(Xt) et Var(Xt) en fonction de m et v.

(b) On admet que, si W est un brownien issu de√x (voir exo 2.1.11)

E(exp−λ(Wt)2) =1√

1 + 2λtexp(− λx

1 + 2λt) (4.4)

Comment calculer E(exp−λ[ρ(1)t ]2), E(exp−λR(1)

t (x)) et E(exp−λR(2)t (x)) ?.

On utilisera la question (d) et l’independance de R(µ)t et R(ν)

t .

6. Montrer que

E(exp−λR(µ)t (x)) = E(exp−λR(1)

t (x))(E(exp−λR(1)

t (0)))µ−1

Calculer E(exp−λR(µ)t (x)).

48 Exemples. Enonces

7. Comment demontrer l’independance de R(µ)t et R(ν)

t ?Comment demontrer (4.4) ?

Exercice 4.2.3 Processus de Bessel carre. Soit X un BESQ(δ)(x).

1. Montrer que (1cXct, t ≥ 0) est un BESQ(δ)(x/c).

2. Monter que, si F est un processus adapte

Zt = exp12

∫ t

0

Fsd(Xs − δs)− 12

∫ t

0

F 2sXsds

est une martingale locale.

3. Montrer que si F est deterministe, derivable

Zt = exp12F (t)Xt − F (0)X0 − δ

∫ t

0

F (s)ds− 12

∫ t

0

F 2sXsds+XsdF (s)

4. Soit Φ solution deΦ′′ = b2Φ ,Φ(0) = 1, Φ′(1) = 0

Montrer que Zt = exp12F (t)Xt − F (0)X0 − δ ln Φ(t)− b2

2

∫ t

0

Xsds. On admettra que Z est

une martingale.

5. En deduire que

Q(δ)x (exp−1

2

∫ 1

0

Xsds) = (cosh b)−δ/2 exp(−xb tanh b)

Exercice 4.2.4 En utilisant que

sup1≤t≤1

|Wt| loi=12

∫ 1

0

ds

R(2)s

ou R(2)s = Bs + 1

2

∫ s

0

du

R(2)u

montrer que E sup1≤t≤1(|Wt|) =√π/2.

Exercice 4.2.5 Application du theoreme de Lamperti The following absolute continuity relationbetween two BES processes (with ν ≥ 0)

P (ν)x =

(Rtx

)νexp−

(ν2

2

∫ t

0

ds

R2s

)P (0)x

where P (ν) is the law of a BES with index ν. On utilisera

W (ν)|Ft = exp(νWt − ν2

2t)W |Ft

et (Rt; t ≥ 0) loi= x exp(BCt + νCt)

Exercice 4.2.6 Soit dXt = 2√XtdWt + δ(t)dt ou δ est une fonction (continue bornee). On veut

calculer

A = Et,x

(exp

(−1

2

∫ T

t

Xum(u)du

)f(XT )

)

2009-10 49

1. On se place dans le cas f = 1, et on note ϕ la solution de

∂uuϕ(u, T ) = m(u)ϕ(u, T ) ; ∂uϕ(T, T ) = 0

Montrer que

Et,x

(exp

(−1

2

∫ T

t

Xum(u)du

))= exp

(∂uϕ(t, T )2ϕ(t, T )

x

)exp

(12

∫ T

t

∂uϕ(s, T )ϕ(s, T )

δ(u)du

)

2. Montrer que le calcul de A se ramene au calcul de la solution d’une EDP.

4.3 Autres processus.

Exercice 4.3.1 Processus d’Ingersoll. Soit a < z < b et Z le processus solution de

dZt = (Zt − a)(b− Zt)σdBt, Z0 = z

On admet que pour tout t, le processus Z verifie a < Zt < b.

1. Calculer la dynamique de Z−1.

2. soit ζtdef=

Zt − ab− Zt . Calculer la dynamique de ζ et celle de ln ζ.

3. Soit Xt = (b−Zt)g(t, ζt). Donner une condition sur g pour que X soit une martingale. Sauriezvous resoudre l’equation obtenue ?

4. Soit Y solution de

dYt = (Yt − a)(b− Yt)2dt+ (Yt − a)(b− Yt)σdBtMontrer qu’il existe une probabilite Q que l’on determinera telle que, sous Q Y ait meme loique Z sous P.

Exercice 4.3.2 Un processus stationnaire. SoitX verifiant dXt = −aXtdt+σdBt, X0 v.a. donnee.

1. Explicitez Xt.

2. Montrer que si X0 est une v.a. gaussienne independante de B, le processus X est un processusgaussien.

3. On suppose que X0 est gaussienne, independante de B. Determiner la loi de X0 pour que laloi de la v.a. Xt ne depende pas de t.

Exercice 4.3.3 Soit X solution de (on admet que X existe)

dXt = Xt(1−Xt) ((µ−Xt)dt+ dBt) , X0 = x

avec x ∈]0, 1[. Soit h0(x) =(

1−xx

)2θ−1 et h1(x) = 2 ln(1−x)−ln x(2µ−1) et τ = inft ≥ 0, St 6∈ [a, b], avec

0 < a < x < b < 1.

1. Montrer que h0(Xt) et h1(Xt) + t sont des martingales.

2. Montrer que P (Xτ = a) = h0(x)−h0(b)h0(a)−h0(b) et calculer E(τ).

50 Equa. Diff.

4.4 Des calculs

Exercice 4.4.1 Un calcul de probabilite. On suppose connue

Φ(a, T ) = P (Bt ≤ at , ∀t ≤ T )

Soit B1 et B2 deux MB independants et

dXt = Xt(rdt+ σ1dB1(t)), X0 = 1dYt = Yt(rdt+ σ2dB2(t)), Y0 = 1

Calculer, en fonction de Φ la quantite P (Xt ≤ Yt, ∀t ≤ T ).

Exercice 4.4.2 Un calcul de loi Let dXt = µ(t)dt + σ(t)dBt, X0 = 0 where µ and σ are piecewise constant over known time.Let us restrict our attention to the case

µ(t) = µ∀t ∈ [0, 1[, µ(t) = µ1 ∀t ∈ [1,∞[,σ(t) = σ ∀t ∈ [0, 1[, σ(t) = σ1 ∀t ∈ [1, 2[/, .

Describe the distribution of Yt = max0≤s≤tXs.

Exercice 4.4.3 Montrer que la solution de

dCt = Ct

[rtdt+m(

dStSt− rtdt)

]

avec dSt = St(µtdt+ σtdBt) s’ecrit sous la forme

Ct = C0

(StS0

exp[a∫ t

0

rsds+ b

∫ t

0

σ2sds]

)m

ou on explicitera a et b.

Exercice 4.4.4 Changement de temps Soit dXt = −λXtdt + σdBt et τ = inft : |Xt| > g(t)ou g est une fonction deterministe. Exprimer P (τ > t) en fonction de Ψ(u) = P (τ∗ > u) avecτ∗ = inft : |Bt| > h(t).

Chapter 5

Equations differentiellesstochastiques

Une equation differentielle stochastique est une equation de la forme

dXt = b(t,Xt)dt+ σ(t,Xt)dBt, X0 = x

ou l’inconnue est le processus X, les donnes sont le mouvement Brownien B (eventuellement multi-dimensionel) et les fonctions b et σ.

L’equation precedente a une unique solution si a- les fonctions b et σ sont continues,b- il existe K tel que pour tout t ∈ [0, T ], x ∈ R, y ∈ R

i) |b(t, x)− b(t, y)|+ |σ(t, x)− σ(t, y)| ≤ K |x− y|ii) |b(t, x)|2 + |σ(t, x)|2 ≤ K2(1 + |x|2). De plus cette solution verifie

E( sup0≤t≤T

|Xt|2) <∞.

5.1 Equation lineaire

Exercice 5.1.1 Soit l’EDSdXt = bXtdt+ dBt , X0 = x.

1. On pose Yt = e−btXt. Quelle est l’EDS verifiee par Yt ? Exprimer Yt sous la forme Yt =

y +∫ t

0

f(s)dBs ou l’on explicitera la fonction f .

2. Calculer E(Yt) et E(Y 2t ).

3. Justifier que∫ t

0

Ysds est un processus gaussien. Calculer E(exp[∫ t

0

Ysds]).

4. Exprimer Yt pour t > s sous la forme Yt = Ys +∫ t

s

g(u)dBu ou l’on explicitera la fonction g.

Calculer E(Yt|Fs) et Var (Yt|Fs)5. Calculer E(Xt|Fs) et Var (Xt|Fs).

Exercice 5.1.2 SoitdΨt = (1− rΨt)dt+ σΨtdBt

51

52 Equa. Diff.

et L le generateur associe

LV (x) = (1− rx)V ′(x) +σ2

2x2V ′′(x)

Soit u une solution deLu(x)− λu(x) = 0

On definit x∗ comme solution de x∗u′(x∗) = u(x∗) et v(x) =x∗

u(x∗)u(x). On admettra que v′′(x) ≥ 0.

Soit enfin V definie par V (x) = v(x), 0 ≤ x ≤ x∗

= x, x > x∗

Montrer que 1− (r + λ)x∗ ≤ 0.Ecrire la formule d’Ito pour e−λtV (Ψt) (il apparait un terme LV (x) − λΨ(x)). Montrer que surx > x∗ on a LV (x)− λV (x) ≤ 0 et que sur x ≤ x∗, on a LV (x)− V (x) = 0En deduire que

V (Ψ0) ≥ E(e−λTV (ΨT ))

(en admettant que l’integrale stochastique est une martingale).

Exercice 5.1.3 Cas particulier 1.

1. Montrer que la solution Y de

dYt = αXt dt+ βXt dBt, Y0 = 1 ,

estYt = exp (α− 1

2β2)t+ βBt .

2. Montrer que si α ≥ 0, Y est une sous-martingale par rapport a la filtration (Ft).A quelle condition sur α, Y est elle une martingale?

3. Soit (Zt)t≥0 le processus defini par

Zt = x+ (a− bβ)∫ t

0

Y −1s ds+ b

∫ t

0

Y −1s dBs .

Montrer que (Zt)t≥0 est un processus d’Ito. Calculer < Y,Z >t.En deduire que la solution X de (5.3) peut s’ecrire Xt = YtZt.

Exercice 5.1.4 Cas particulier 2. On considere l’equation

dXt = αXt dt+ b dBt (5.1)X0 = x .

1. Montrer que l’unique solution de (5.1) s’ecrit

Xt = eαt(X0 + b

∫ t

0

e−αs dBs) .

2. Montrer que X est un processus gaussien, calculer son esperance et sa variance.

3. Justifier que∫ t

0

Xsds est un processus gaussien. Calculer E(

exp[∫ t

0Xsds]

).

Enonces. 2009-10 53

4. Calculer E(Xt|Fs) et Var (Xt|Fs).5. Soit X solution de (5.1), et φ une fonction de classe C2. Ecrire la formule d’Ito pour Zt =φ(Xt).

En deduire que si φ(x) =∫ x

0

exp(−αy2

b2) dy, alors

Zt = b

∫ t

0

exp(−αB2s

b2) dBs

Z est-elle une martingale de carre integrable?

6. Soit λ fixe. CalculerΦ(t, y) = E(eλX

2t ) .

Soit t fixe. Etudier la martingale E(eλX2t |Fs) , s ≤ t.

Montrer que Φ est solution d’une equation aux derivees partielles. Soit Ψ(t, x) = ln Φ(t, x).Montrer que

Ψ(t, x) = x2a(t) + b(t), avec a′(t) = −2a(t)(α+ b2a(t)), b′(t) = −b2a(t) .

Exercice 5.1.5 Cas particulier 3. On considere l’equation

dXt = (b+ βXt)dBt (5.2)X0 = x

ou x 6= − bβ . Soit h la fonction definie par

h(y) =1β

ln | b+ βy

b+ βx|

pour y 6= − bβ

1. On pose Yt = h(Xt). Quelle est l’equation verifiee par Y ?

2. En deduire que la solution de (5.2) s’ecrit

Xt = (x+b

β) exp(−β

2

2t+ βBt)− b

β

Exercice 5.1.6 Cas particulier 4. On se place dans le cas a = 1, b = 0. On pose Yt = e−αtXt.Quelle est l’equation differentielle verifiee par Y ?Calculer E(Xt) et Var (Xt).

Exercice 5.1.7 Cas general. Soit a, α, b, β quatre constantes reelles. Soit x ∈ R.On considere l’equation differentielle stochastique

dXt = (a+ αXt) dt+ (b+ βXt) dBt (5.3)X0 = x

1. Montrer que (5.3) admet une unique solution.

2. On note m(t) = E(Xt) et M(t) = E(X2t ).

54 Equa. Diff.

(a) Montrer que m(t) est l’unique solution de l’equation differentielle ordinaire

y′ − αy = a (5.4)y(0) = x

(b) Ecrire la formule d’Ito pour X2 ou X est solution de (5.3).

(c) En deduire que M(t) est l’unique solution de l’equation differentielle ordinaire

y′ − (2α+ β2) y = 2(a+ bβ)m+ b2 (5.5)y(0) = x2

ou m est la solution de (5.4). (On admettra que l’integrale stochastique qui intervient estune martingale)

(d) Resoudre (5.4) puis (5.5).

Exercice 5.1.8 Soit f, F, g,G des fonctions continues bornees. On note X la solution de

dXt = [f(t) + F (t)Xt]dt+ [g(t) +G(t)Xt]dBt, X0 = x

et Y la solution dedYt = F (t)Ytdt+G(t)YtdBt, Y0 = 1

1. Expliciter Y .

2. Soit Z defini par

Zt = x+∫ t

0

Y −1s [f(s)−G(s)g(s)]ds+

∫ t

0

Y −1s g(s)dBs .

Montrer que X = Y Z.

3. Soit m(t) = E(Xt) et Mt = E(X2t ). Montrer que m est l’unique solution de y′(t)− F (t)y(t) =

f(t), y(0) = x. En deduire

m(t) = exp(F (t))[x+

∫ t

0

exp−F (s)f(s)ds]

ou F (t) =∫ t

0

F (s)ds. Montrer que M est l’unique solution de

Y ′(t)− [2F (t) +G2(t)]y(t) = 2[f(t) + g(t)G(t)]m(t) + g2(t), y(0) = x2

Exercice 5.1.9 Calculer l’esperance et la variance de la v.a. Xt avec

dXt = a(b−Xt)dt+ σ√XtdBt, X0 = x

Exercice 5.1.10 Soit 0 < s < T et m ∈ R. Verifier que la solution de

dXt =(s− T )Xt +mT

(s− T )t+ T 2dt+ dBt

est

Xt =m

Tt+ [(s− T )t+ T 2]

∫ t

0

dBu(s− T )u+ T 2

Enonces. 2009-10 55

Exercice 5.1.11 Soit π un processus adapte (de carre integrable), σ, θ et r des processus adaptes(bornes), c un processus positif, adapte, borne et X la solution de

dXx,π,ct = rtX

x,π,ct dt− ctdt+ πTt σt[dBt + θtdt] (5.6)

Xx,π,c0 = x

On note H le deflateur, soit Ht = exp(∫ t

0rsds+

∫ t0θsdBs − 1

2

∫ t0θ2ds

)= Lt

∫ t0rsds . Montrer que

les processus HtXt +∫ t

0

Hscsds, t ≥ 0 et Lt(XtRt +∫ t

0cRsds) sont des martingales. Verifier que

leur difference est une martingale.

5.2 Processus affines

Exercice 5.2.1 Calculer E(exp(λXT )) pour

dXt = (µ− αXt − γVt)dt+√VtdB1,t

dVt = k(θ − Vt)dt+ σ√VtdB2,t

Exercice 5.2.2 SoitdXt = µ(Xt)dt+ σ(Xt)dBt

ou µ et σ2 (le carre de σ) sont des fonctions affines : µ(x) = µ0 +µ1x ;σ2(x) = σ0 +σ1x. On souhaitemontrer que pour toute fonction affine ψ(x) = ψ0 + ψ1x, pour tout θ, il existe deux fonctions α etβ telles que,

E

(eθXT exp

(−∫ T

t

ψ(Xs)ds

)|Ft)

= eα(t)+β(t)St .

1. Montrer qu’il suffit d’etablir l’existence de deux fonctions α et β telles que le processus

eα(t)+β(t)St exp(−∫ t

0

ψ(Ss)ds)

est une martingale avec α(T ) = 0, β(T ) = θ.

2. Montrer que la determination de α et β conduit a la resolution d’une equation de Ricatti (typed’equation differentielle non lineaire) et d’une equation differentielle lineaire. On ne demandepas la resolution de ces equations.

3. Generaliser le resultat au cas ou dSt = µ(St)dt+σ(St)dBt+dXt ou (Xt, t ≥ 0) est un processusde Poisson.

5.3 Autres equations

Exercice 5.3.1 On considere l’equation

dXt = 11Xt≥0dBt, X0 = x . (5.7)

On suppose qu’il existe une solution.

1. Verifier que, pour x = 0, la solution de (5.7) n’est pas identiquement nulle.

2. Verifier que, pour x ≥ 0, la solution est a valeurs positives. On pourra montrer, en utilisantla formule d’Ito, que si f est une fonction reguliere, nulle sur R+, alors f(Xt) est nulle.

3. Montrer que la solution issue de 0 est d’esperance nulle a tout instant t.

4. Que peut on en conclure?

56 Equa. Diff.

5.4 Finance

Exercice 5.4.1 Options Asiatiques. Soit St solution de

dSt = St (r dt+ σ dBt)

les parametres r et σ etant constants.

1. Soit K une constante. Montrer que le processus Mt = E

((

1T

∫ T

0

Su du−K)+|Ft)

est une

martingale.

2. Montrer que, si l’on pose ζt = S−1t (K − 1

T

∫ t

0

Su du), on a

Mt = St E

([1T

∫ T

t

SuSt

du− ζt]+|Ft).

3. Soit Φ(t, x) = E

([1T

∫ T

t

SuSt

du− x]+)

. Montrer que Φ(t, x) = E

([1T

∫ T

t

SuSt

du− x]+|Ft)

et que Mt = StΦ(t, ζt).

4. Ecrire la formule d’Ito pour M . En deduire une equation aux derivees partielles verifiee parΦ.

Exercice 5.4.2 Black et Scholes, volatilite deterministe. Soit σ une fonction deterministecontinue et r une constante et (St, t ≥ 0) la solution de

dSt = St (r dt+ σ(t) dBt) , S0 = x

1. Montrer que

St = S0 exp(rt+

∫ t

0

σ(s) dBs − 12

∫ t

0

σ2(s) ds)

2. Montrer que∫ t

0

σ(s) dBs−12

∫ t

0

σ2(s) ds est une variable gaussienne dont on calculera l’esperance

et la variance.

3. On rappelle que dans le cas σ constant, le prix d’un call est donne par

C(0, x) = xN (d1)−Ke−rTN (d2)

avec

d1 =1

σ√T

(ln(

x

K) + T (r +

σ2

2)), d2 = d1 − σ

√T

En deduire (sans faire de calculs) que, dans le cas de volatilite deterministe, la formule deBlack et Scholes s’ecrit

E((ST −K)+) = xN (D1)−Ke−rTN (D2)

Exprimer D1 et D2.

Enonces. 2009-10 57

Exercice 5.4.3 La formule de Dupire. Soit

dSt = St(rdt+ σ(t, St)dBt)

ou σ est une fonction de R+ ×R+ dans R et f(t, x) la densite de St, soit f(t, x) = P (St ∈ dx). ONadmettra que

∂tf − 12∂xx

[x2σ2(t, x)f(t, x)

]+ ∂x [rxf ] = 0

On note C(K,T ) le prix en zero d’un call Europeen de strike K et de maturite T . On note∂1C, ∂2C, ∂11C les derivees partielles de C par rapport a la premiere variable, seconde variable,derivee seconde par rapport a la premiere variable.

1. Montrer que ∂11C(K,T ) = e−rT f(T,K).

2. Montrer que12∂2

∂x2

[x2σ2(t, x)f(t, x)

]= ert

∂2

∂x2(rx

∂

∂xC) + ert

∂2

∂x2

∂C

∂t

3. En deduire12x2σ2(t, x)

∂2C

∂x2(t, x) = rx

∂C

∂x(x, t) +

∂C

∂t(t, x)

5.5 Equations differentielles

Exercice 5.5.1 Soit α une constante et

dXt = −α2X2t (1−Xt)dt+ αXt(1−Xt)dBt (5.8)

la condition initiale etant X0 = x avec x ∈]0, 1[. On admet que X prend ses valeurs dans l’intervalle

]0, 1[. On pose Yt =Xt

1−Xt.

1. Quelle est l’equation differentielle stochastique verifiee par Y ?

2. En deduire que Xt =x exp(αBt − α2t/2)

x exp(αBt − α2t/2) + 1− x .

Exercice 5.5.2 Produit d’exponentielle. Soit B un MB et h un processus adapte borne. Onnote E(hB)t

def= Lt l’unique solution de dLt = LthtdBt, L0 = 1. Etablir une formule du type

E(h1B1 + h2B2)t = XtE(h1B1)tE(h2B2)t ou X est a determiner.

Exercice 5.5.3 Soit B un mouvement Brownien issu de a > 0 et T0 = inft : Bt = 0. Pourt < T0, on definit Xt = µ (Bt)α. Montrer que, pour t < T0,

dXt = b(Xt) dt+ σ(Xt) dBt

ou on explicitera b et σ. En deduire la forme de la solution de dYt = Y nt dBt+12nY 2n−1

t dt, Y0 = y ≥ 0

avant le premier temps d’atteinte de 0. (On admettra l’unicite de la solution).

Exercice 5.5.4 Ponts

1. Soit N une gaussienne reduite centree independante de B. Verifier que la solution de dXt =

dBt +N −Xt

1− t dt est Xt = tN + (1 − t)∫ t

0

11− sdBs. En deduire que X est un processus

gaussien, dont on calculera l’esperance et la covariance.

58 Girsanov. Enonces

2. Soit W un MB independant de B. Verifier que la solution de dXt = dBt +Wt −Xt

1− t dt est

Xt = (1− t)∫ t

0

Ws

(1− s)2ds+(1− t)

∫ t

0

11− sdBs. En deduire que X est un processus gaussien,

dont on calculera l’esperance et la covariance.

Chapter 6

Girsanov

Soit (Ω,F ,P) un espace de probabilite. Une probabilite Q sur (Ω,F) est dite equivalente a P siP(A) = 0 equivaut a Q(A) = 0. Dans ce cas, il existe une variable aleatoire Z, F-mesurable,strictement positive telle que Q(A) = EP(Z11A) ce que l’on note dQ|F = ZdP|F . La v.a. Z verifieEP(Z) = 1, on l’appelle densite de Radon-Nykodym.

Si (Ω,F,P) est un espace de probabilite filtre, et si Q est equivalente a P sur FT (avec T ≤ ∞),alors dQ|Ft = ZtdP|Ft et le processus (Zt, t ≤ T ) est une Ft, t ≤ T ) martingale. On rappelle laformule de Bayes (voir Exercice 1.3.14): pour X FT -mesurable bornee

EQ(X|Ft) =1ZtEP(XZT |Ft)

Dans tous ces exercices, B designe un P -mouvement Brownien issu de 0, F = (Ft, t ≥ 0) sa filtrationnaturelle.

6.1 Resultats elementaires.

Dans la plupart des exercices, on considere des integrales∫θsdBs avec θ borne. La plupart des

resultat se generalisent au cas de processus de carre integrable.

Exercice 6.1.1 Changement de probabilite. Soit (θt, t ≥ 0) un processus adapte continu borne

et L la martingale dfinie par Lt = exp[∫ t

0

θsdBs − 12

∫ t

0

θ2sds]. Soit Q la probabilite definie sur FT

par dQ = LT dP. Soit (φt, t ≥ 0) un processus adapte continu borne et Mt =∫ t

0

φsdBs−∫ t

0

θsφsds.

Montrer que M est une Q-martingale.On pose Zt = MtLt. Montrer que Z est une P-martingale locale. Pouvait-on prevoir ce resultat.

Exercice 6.1.2 Calcul d’esperance 1. Soit θ un processus adapte borne et H le processusdefini par dHt = −HtθtdBt, H0 = 1. On note dQ|Ft = HtdP|Ft . Montrer que EP(HT lnHT ) =

EQ(12

∫ T

0

θ2sds). On pourra faire une demonstration a la main (quand θ est deterministe) ou utiliser

le theoreme de Girsanov.

Exercice 6.1.3 Calcul d’esperance 2. Soit p une fonction deterministe donnee. Pour quelles

fonctions h et k le processus exp(h(t) +k(t)B2t +

∫ t

0

p(s)B2sds) est-il une martingale? Applications :

59

60 Girsanov. Enonces

1. Calculer E[exp(λB2T +

∫ T

0

p(s)B2sds]

2. Calculer E[exp(λB2T +

∫ T

0

p(s)B2sds)Ψ(A+BBT )]

Exercice 6.1.4 Ito+ Girsanov. Soit Γ le processus solution de

dΓt = Γt(βtdt+ γtdBt), Γ0 = 1

ou β et γ sont des processus F adaptes bornes.

1. Montrer que Γt exp(−∫ t

0

βsds

)est une martingale locale.

2. Trouver une probabilite Q telle que Γ soit une Q-martingale locale.

3. Trouver une probabilite R telle que Γ−1t soit une R-martingale locale.

Exercice 6.1.5 Longstaff’s Model. Soit rt = Y 2t avec dYt = dBt − (λYt + α

2 )dt.

1. Donner la dynamique de r.

2. Soit f et g deux fonctions deterministes (que l’on supposera continues bornees). Exprimer

E(exp∫ t

0

[f(s)Bs + g(s)]dBs − 12

∫ t

0

[f2(s)B2s + 2Bsf(s)g(s)]ds)

en fonction de exp12

∫ t

0

g2(s)ds.

3. Montrer que le calcul de E(exp−∫ t

0

rsds) se deduit du calcul de l’expression precedente avec

des fonctions f et g verifiant des conditions que l’on precisera.

Exercice 6.1.6 Loi conditionnelle. Soit t > s. Montrer que la densite

P (Bt + νt ∈ dy|Bs + νs = x)

ne depend pas de ν.

Exercice 6.1.7 Loi du sup. On suppose que l’on connait la loi du couple de v.a. (B∗t , Bt) ou pourun processus X on note

X∗t = sups≤t

Xs .

Montrer comment calculer la loi de (L∗t , Lt) pour Lt = exp(αBt − α2

2t).

Exercice 6.1.8 Loi de quantiles.

1. Soit F et G deux fonctionnelles definies sur C([0, 1],R). Montrer que l’on a equivalence entre(i) ∀t,∀µ ∈ R, F (Xs, s ≤ t) loi= G(Xs, s ≤ t) le processus X etant un Brownien de drift µ(ii) ∀t, F (Xs, s ≤ t) loi= G(Xs, s ≤ t) le processus X etant un Brownien.

2009-2010 61

2. Soit At =∫ t

0

ds11Xs≥0 et θt = sups ≤ t : supu≤sXu = Xs. Montrer que

Atloi= θt, lorsque le processus Xest un mouvement Brownien de drift µ

equivaut aA1

loi= θ1, lorsque le processus Xest un mouvement Brownien

3. Soit X un mouvement Brownien. Montrer que si E(f(X1, A1)11X1>0) = E(f(X1, θ1)11X1>0),alors (X1, A1) loi= (X1, θ1).

6.2 Crochet.

Exercice 6.2.1 Girsanov SoitM une P-martingale de carre integrable et dQ = exp(Mt−12〈M〉t) dP.

Montrer que si N est une P martingale, N− < N,M > est une Q martingale.

Exercice 6.2.2 h-processus. Soit X tel que dXt = µdt + σdBt, X0 = x et h une fonction declasse C1 telle que h(Xt) est une martingale positive. On note Q la probabilite definie par dQ|Ft =h(Xt)h(x)

dP|Ft . Soit M une P-martingale. Montrer que Mt−∫ t

0

h′(Xs)h(Xs)

d〈M,X〉s est une Q-martingale.

6.3 Processus.

Exercice 6.3.1 Processus de Bessel. Soient θ et µ deux processus adaptes bornes. On note Pθ

la probabilite telle que le processus Bθ defini par Bθtdef= Bt−

∫ t

0

θsds soit un mouvement Brownien

et Pµ la probabilite telle que Bµ avec Bµtdef= Bt −

∫ t

0

µsds soit un mouvement Brownien.

1. Quelles sont les densites Lθ =dPθ

dPet Lµ =

dPµ

dP?

2. Soit L =Lθ

Lµ. Expliciter L en fonction de B puis en fonction de Bµ. A quel changement de

probabilite type Girsanov correspond L?

3. Soit δ > 1 et R le processus solution de

dRt =δ − 1Rt

dt+ dBt, R0 = 1

(on admet qu’il existe une solution)

(a) Montrer que ∫ t

0

dRsRs

= lnRt +12

∫ t

0

1R2s

ds

(b) Soit θ un processus adapte borne et Lt = exp(∫ t

0

θsdB(s) − 12

∫ t

0

θ2sds). On note Q la

probabiite definie par dQ = LtdP.Comment choisir θ pour que, sous Q

dRt =1Rtdt+ dBt

ou B est un Q-Brownien. Exprimer L en n’utilisant que le processus R

62 Girsanov. Enonces

(c) En deduire que

E(f(Rt)) = E(

(ρt)δ exp[α∫ t

0

ds

ρ2s

] f(ρt))

ou α est une constante dependant de n et

dρt =1ρtdt+ dBt, ρ0 = 1 .

Exercice 6.3.2 Fonctionnelles exponentielles

1. Calculer E(∫ t

0exp(Bs)ds) et E(exp(αBt)

∫ t0

exp(γBs)ds).

2. Soit A(t, ν) =∫ t

0

exp(Bs + νs)ds.

(a) Montrer en utilisant le theoreme de Girsanov que le calcul de E(A(t, ν)) se ramene au casν = 0.

(b) Peut-on faire un calcul direct?

Exercice 6.3.3 Soit X le processus solution de

dXt = −λXtdt+ dBt , X0 = x.

1. On definit

Lt = exp(λ

∫ t

0

Xs dBs − λ2

2

∫ t

0

X2s ds

).

Verifier que L est une martingale locale. On admet pour la suite que c’est une martingale.

2. On note Pλ la mesure de probabilite definie sur Ft par dPλ = LtdP. Quelle est la dynamiquede X sous Pλ?

3. Montrer que

Lt = exp(∫ t

0

λXsdXs +12

∫ t

0

λ2X2s ds)

4. Calculer

EP(

exp(−b2

2

∫ t

0

X2s ds)

).

Exercice 6.3.4 Processus d’Ornstein-Uhlenbeck.

1. On definit sur FT la mesure Pb par

dPb = exp−b∫ T

0

Bs dBs − b2

2

∫ T

0

B2s dsdP

(a) Justifier que, sous Pb le processus (Wt = Bt + b∫ t

0Bs ds , t ≤ T ) est un brownien.

(b) En deduire que sous Pb, le processus (Bt, t ≥ 0) est un processus d’Ornstein-Uhlenbeck,et que Bt est une variable gaussienne dont on precisera, en s’appuyant sur le cours,l’esperance et la variance.

(c) Montrer que, sous P, on a ∫ t

0

Bs dBs =12

(B2t − t).

La meme egalite est-elle vraie sous Pb?

2009-2010 63

(d) Montrer que, pour tout t ≤ T ,

EP(exp−αB2t −

b2

2

∫ t

0

B2s ds) = Eb(exp−αB2

t +b

2(B2

t − t))

ou Eb designe l’esperance sous Pb.Montrer que si B est un brownien issu de a, on a

EP(exp−αB2t −

b2

2

∫ t

0

B2s ds) = Eb(exp−αB2

t +b

2(B2

t − a2 − t))

(e) En deduire (il y a des calculs) que, pour tout t,

EP(exp−αB2t −

b2

2

∫ t

0

B2s ds) = (cosh bt+ 2

α

bsinh bt)−

12

2. Montrer que si Bt est un Brownien issu de a

EP(exp−αB2t −

b2

2

∫ t

0

B2s ds) = (cosh bt+ 2

α

bsinh bt)−

12 exp[−xb

21 + 2α

b coth bt

coth bt+ 2αb

]

avec x = a2.

Exercice 6.3.5 Soit S solution de

dSt = St (µdt+ σ dBt) , S0 = s ,

les coefficients µ et σ etant constants.

1. Montrer que St = S0 exp(µt+ σBt − σ2

2t).

2. On pose θ = −µ− rσ

. Soit Q definie sur Ft par dQ = LtdP avec Lt = exp(θBt − 12θ2t).

Montrer que (Wt = Bt + θt, t ≥ 0) est un Q-mouvement brownien.

3. Soit P definie sur Ft par dP = ZtdQ avec Zt = exp(σWt − σ2

2t).

Montrer quedSt = St((r + σ2) dt+ σ dBt)

ou B est un P-mouvement brownien.

4. Soit Pt = P0ert. Montrer que

(StPt, t ≥ 0

)est une Q-martingale.

Montrer quePtSt

est une P-martingale.

5. Soit Ft = e−λt(∫ t

0

Su du+ sA

)ou A, λ sont des constantes

Soit Ψt =Ft e

λt

St. Ecrire l’equation differentielle stochastique verifiee par Ψt en utilisant le

Brownien B.

Exercice 6.3.6 Soit α, β et σ des fonctions (deterministes) bornees et b(t) =∫ t

0

β(s) ds. On note

r le processus solution dedrt = (α(t)− β(t)rt) dt+ σ(t)dBt

On suppose que σ ne s’annule pas.

64 Girsanov. Enonces

1. Verifier que

rt = exp(−b(t))(r0 +

∫ t

0

exp(b(u))α(u) du+∫ t

0

exp(b(u))σ(u) dBu

).

2. Calculer E(rt) et Cov(rt, rs).

3. Soit Q1 la probabilite definie sur Ft par dQ1 = LtdP, avec

Lt = exp(∫ t

0

θ(s)dBs − 12

∫ t

0

(θ(s))2 ds)

ou θ(s) = −α(s)σ(s)

. On suppose θ bornee. On note B1t = Bt −

∫ t

0

θ(s) ds. Montrer que

(exp(b(t)) rt, t ≥ 0) est une Q1 martingale.

4. Soit Q2 la probabilite definie sur Ft par dQ2 = ZtdQ1, avec

dZt = Ztβ(t)σ(t)

rt dB1t , Z0 = 1

Montrer que r est une Q2-martingale locale.

Exercice 6.3.7 Drift non observable Soit BYt = Y t + Bt ou Y est une variable aleatoire de loiν, independante de B. Soit F une fonctionnelle sur C([0, t],R). Montrer que

E[F (BYs , s ≤ t)] = E[F (Bs; s ≤ t)h(Bt, y)]

avec h(x, t) =∫ν(dy) exp(yx− y2

2t) En deduire que, sur l’espace canonique

Xt −∫ t

0

dsh′xh

(Xs, s)

est une martingale sous Ph avec Ph|Ft = h(Xt, t)B|Ft . Montrer que BYt = Bht +∫ t

0

∫ t

0

dsh′xh

(BYs , s)

ou Bht est un Brownien.Soit Q definie par dQ = e−Y Bt−

12Y

2tdP. Montrer que sous Q, BYt est independant de Y .

Exercice 6.3.8 On note h une fonction.

1. Donner des conditions sur h pour que dQ = h(BT )dP definisse, sur FT une probabililiteequivalente a P.

2. Calculer Lt telle que dQ|Ft = LtdP|Ft3. Montrer que ∀X ∈ FT , on a EQ(X|BT ) = EP(X|BT )

4. Expliciter Q(BT ∈ dx).

5. Soit A ∈ FT , independante de BT . Montrer que Q(A) = P(A). Donner des exemples de telsA.

6. Calculer Q(f(BT )|Ft).7. Montrer que

Lt = 1 +∫ t

0

dBs

∫ ∞−∞

dyh′(y)e−(y−Bs)2/(2(T−s))

√2π(T − s)

2009-2010 65

8. Montrer que le processus W defini par

dWt = dBt −

∫ ∞−∞

dyh′(y)e−(y−Bt)2/(2(T−t))

∫ ∞−∞

dyh(y)e−(y−Bt)2/(2(T−t))dt

est un Q mouvement Brownien.

9. (cette question ne depend pas des precedentes) Soit Gt = Ft∨σ(BT ). Montrer que le processus

Mt = Bt−∫ t

0

BT −BsT − s ds est un P-Gt mouvement Brownien. Montrer que Mt est independante

de BT .

10. Montrer que M est un Q-Gt mouvement Brownien.

Exercice 6.3.9 Soit, pour t < 1, Xt = Bt+∫ t

0

x−Xs

1− s ds etMt = exp

(−∫ t

0

x−Xs

1− s dBs − 12

∫ t

0

(x−Xs

1− s)2

ds

).

Montrer que

Mt = exp(−x

2

2+

(x−Xt)2

2(1− t) +12

ln(1− t))

Exercice 6.3.10 Soit dQ|Ft = h(t,Xt)dP|Ft . Sous quelles conditions sur h Q est-elle une proba-bilite sur FT ? Montrer que

Bt −∫ t

0

∂xh(s,Bs)ds

est une Q-martingale?

Exercice 6.3.11 Soit Lt = exp(− 1

4

(e−2Bt − 1

)+ 1

2

∫ t0

(e−2Bs − 1

4e−4Bs

)ds)

1. Question preliminaire: Calculer l’integrale∫ t

0e−2BsdBs.

2. Montrer que L est une martingale. Quelle est son esperance?

3. On pose dQ = LtdP. Quelle est la dynamique de B sous Q?

6.4 Cas multidimensionel

Exercice 6.4.1 Cas multidimensionel. Soient (B1(t), t ≥ 0) et (B2(t), t ≥ 0) deux mouvementsBrowniens independants. Soit (Li(t), i = 1, 2 , t ≥ 0) les processus definis par

dLi(t) = θi(t)Li(t)dBi(t) , Li(0) = 1

ou (θi(t), i = 1, 2) sont des processus adaptes continus bornes.

1. Verifier que

Li(t) = exp(∫ t

0

θi(s)dBi(s)− 12

∫ t

0

θ2i (s) ds) .

2. Soit T ≥ 0 et Q1 la probabilite definie sur FT par dQ1 = L1(T )dP. Soit (φt, t ≥ 0) un processus

adapte continu et Mt =∫ t

0

φsdB1(s)−∫ t

0

θ1(s)φsds.

(a) Montrer que (Mt, 0 ≤ t ≤ T ) est une Q1-martingale locale.

66 Girsanov. Enonces

(b) On pose Z1(t) = MtL1(t). Calculer dZ1(t). Montrer que Z1 est une P-martingale.Pouvait-on prevoir ce resultat ?

3. Soit Zt = L1(t)L2(t). Ecrire dZt. Montrer que Z est une P-martingale.

4. Soit Q la probabilite definie sur FT par dQ = ZT dP. Comment se transforment les browniensBi ?

5. Soit (Si, i = 1, 2) deux processus solutions de

dSi(t) = Si(t)[bi(t)dt+ σi(t)dB1(t) + φi(t)dB2(t)]

Montrer qu’il existe une probabilite Q equivalente a P telle que, sous Q

dSi(t) = Si(t)[rdt+ σi(t)dB1(t) + φi(t)dB2(t)]

ou (Bi, i = 1, 2) sont des Q-Browniens independants.

6.5 Temps d’arret.

Exercice 6.5.1 Temps d’arret. Soit τ un (Ft)-temps d’arret. Soit Q telle que dQ|FT = LT dP|FTet X ∈ FT . Comparer EP(LT 11τ>TX) et EQ(X11τ>T ).

Exercice 6.5.2 Let B be a Brownian motion and T = inft : eBt−t/2 > a, where a > 1. Provethat, ∀λ ≥ 1/2,

E(11T<∞ exp(λBT − λ2

2T )) = 1

Exercice 6.5.3 Temps d’atteinte. Soit X un processus tel que

dXt = µdt+ νdBt, X0 = 0

ou µ et ν sont des constantes telles que ν > 0. Soit r une constante.

1. Montrer qu’il existe θ tel que

Mtdef= exp(−rt+ θXt)

soit une martingale.

2. Soit b un nombre positif et τ le temps d’arret defini par

τ = inft ≥ 0 |Xt = b

Calculer E(exp(−rτ + θXτ )). On admettra que la martingale Mt est uniformement integrableet que le temps d’arret τ est fini. En deduire E(exp(−rτ)).

3. On suppose que les conditions de la premiere question sont satisfaites. Soit Q telle que dQ =MtdP, sur Ft. Comment se transforme B?

4. Soit S le processus defini par

dSt = St[rdt+ σdBt], S0 = s

et Yt = lnSts

. Ecrire dYt.

2009-2010 67

5. Soit B une constante telle que s < B. Soit TB le temps d’arret

TB = inft ≥ 0 |St = B

CalculerE(exp(−rTB)) .

Exercice 6.5.4 Soit f et g deux fonctions deterministes, f de classe C1, g continue. On note

Ft =∫ t

0

f(s)dBs et u est la solution de

u′′(t)− 2f ′(t)f(t)

u′(t)− 2λg(t)f2(t)u(t) = 0

avec u′(T ) = −2aλu(T )f2(T ). Le but de cet exercice est de montrer que

E

(exp

(−λ[aF 2

T +∫ T

0

g(t)F 2t dt

]))=(u(T )u(0)

)2

1. Montrer que, pour toute fonction h continue, le processus L defini par

Lt = exp(∫ t

0

h(s)FsdBs − 12

∫ t

0

h2(s)F 2s ds

)

est une martingale.

2. En deduire que

1 = E

(exp

(∫ T

0

h(s)2f(s)

dF 2s −

12

∫ t

0

(h(s)f(s) + h2(s)F 2s )ds

))

= E

(exp

12

(h(T )f(T )

F 2T −

∫ T

0

F 2t

(h′(t)f(t)− f ′(t)h(t)

f2(t)

)dt−

∫ t

0

(h(s)f(s) + h2(s)F 2s )ds

))

3. Montrer que

E

(exp

[12

(u′(T )

u(T )f2(T )

)F 2T −

∫ T

0

F 2t

(u′′(t)− 2u′(t)f ′(t)/f(t)

u(t)f2(t)

)dt

])=(u(T )u(0)

)1/2

4. Resoudre le meme probleme par changement de temps.

5. Soit Ψ une fonction borelienne bonee de R dans R. Comment calculer

K = E

(exp

(−λ[aF 2

T +∫ T

0

g(t)F 2t dt

]Ψ(A+BFT +

∫ T

0

φ(t)Ftdt)

))

Exercice 6.5.5 Decomposition canonique Soit B un mouvement Brownien et h une fonctionpositive, verifiant h(0, 0) = 1 et harmonique en espace (c’est-a-dire telle que h(t, Bt) est une martin-

gale). On definitQ par dQ|Ft = h(t, Bt)dPFt . Montrer que Bt−∫ t

0

h′xh

(s,Bs)ds est un Q-mouvement

Brownien.

68 Girsanov. Enonces

6.6 Finance

Dans toute cette section, P est la probabilite historique, Q la probabilite risque neutre.Le processusS est le prix de l’actif sous-jacent aprs actualisation (soit St = Ste

− R t0 rsds. Dans un modele Blacket Scholes, le prix de l’actif suit

dSt = St(btdt+ σdBt)

sous la probabilite P, ou σ est une constante.

Exercice 6.6.1 Moyenne. Soit dSt = St(rdt + σdBt), S0 = 1, r et σ etant des constantes. On

souhaite calculer C = EQ[(ZT − ST )+] quand ZT = exp(

1T

∫ T

0

lnSt dt)

.

1. Soit Q∗ la probabilite definie sur FT par dQ∗ = exp(σBT − σ2T/2)dQ. Montrer que

e−rTEQ[(ZT − ST )+] = EQ∗ [(ZTST− 1)+] .

2. Soit Bt = Bt − σt. Ecrire ZT /ST sous la forme exp(αT −∫ T

0

β(t)dBt) pour une fonction β

que l’on precisera.

3. Montrer que le calcul de C se reduit au calcul de EQ((ST−K)+) pour un Brownien geometriqueS dont on precisera la loi.

Exercice 6.6.2 Volatilite stochastique On rappelle le theoreme de representation previsible adeux dimensions: soit B = (B1, B2) un Brownien a valeurs dans R2 et FB sa filtration canonique.

Toute FB-martingale de carre integrable s’ecrit Mt = m +∫ t

0

φ1sdB

1s +

∫ t

0

φ2sdB

2s ou (φi, i = 1, 2)

sont des processus adaptes.Soient µ et η deux fonctions deterministes de R+ dans R et σ, γ deux fonctions deterministes de Rdans R. On considere alors un marche financier ou l’actif risque verifie

dSt = St(µ(t)dt+ σ(Yt)dB1t ), S0 = s

ou Y est un processus solution de

dYt = η(t)dt+ γ(Yt)dB2t , Y0 = 1

1. Determiner l’ensemble des probabilites equivalentes a P telles que, sous Q, S soit une martin-gale.

2. Soit B un actif contingent B ∈ FT . Comment lui donner un prix (le taux sans risque est nul)?

Exercice 6.6.3 Options boost. Soit M une F-martingale a valeurs strictement positives.

1. Justifier qu’il existe ψ tel que dMt = ψtdBt et qu’il existe Ψ tel que dMt = ΨtMtdBt.

2. Soit S un Brownien geometrique tel que S0 = x et

dSt = St(r dt+ σdBt) (6.1)

ou r et σ sont des constantes. Montrer qu’il existe γ tel que St = x(Mt)γ ou M est unemartingale. A quel choix de r et σ correspond la valeur γ = 1?

2009-2010 69

3. Soit S un processus verifiant (6.1), S∗t = sups≤t Ss et B∗t = sups≤tBs. La loi de B∗t est connue(c’est celle de |Bt|, ce resultat sera admis), on notera Φ(a) = P(B∗t ≤ a). Calculer, en utilisantles resultats de la question 3, E(11S∗T≤a) qui correspond a la valeur d’une option boost (aucoefficient exp(−rT ) pres).

Exercice 6.6.4 Volatilite stochastique. Soit B1 et B2 deux Browniens independants, et Ft =σ(B1

s , B2s , s ≤ t) la filtration engendree par les deux Browniens. Soit µ et η deux fonctions deterministes

bornees de R+ dans R et σ, γ deux fonctions deterministes bornees definies de R dans R. On noteS la solution de

dSt = St(µ(t)dt+ σ(Yt)dB1t ), S0 = s

ou Y est un processus solution de

dYt = η(t)dt+ γ(Yt)dB2t , Y0 = 1

1. Soit θ un processus borne et Z la solution de

dZt = ZtθtdB1t , Z0 = 1

Ecrire explicitement Zt sous la forme d’une exponentielle.

2. Soit λ et ν deux processus adaptes bornes et L le processus defini par

Lt = exp[∫ t

0

λsdB1s −

12

∫ t

0

(λs)2ds+∫ t

0

νsdB2s −

12

∫ t

0

(νs)2ds

](6.2)

Ecrire l’EDS verifiee par L.

3. On pose Bt = B1t −

∫ t

0

λsds et on note Z la solution de dZt = ZtθdB1t , Z0 = 1 ou θ est une

constante. Montrer que LZ est une martingale.

4. Soit Q∗ definie sur Ft par dQ∗ = LtdP. Montrer que Z est une Q∗ martingale. En deduireque B1 est un Q∗ brownien.

5. Montrer que B2t = B2

t −∫ t

0

νsds est un Q∗ brownien.

6. On admet que si Q est une mesure equivalente a P il existe λ, ν tels que la densite de Q parrapport a P soit de la forme (6.2). Decrire l’ensemble des couples λ, ν correspondants a desprobabilites Q telles que (Ste−rt, t ≥ 0) soit une Q-martingale.

7. Le marche financier est-il complet ?

8. Soit X un actif contingent duplicable, c’est-a-dire tel qu’il existe V processus adapte de laforme

dVt = rVtdt+ φt(dSt − rStdt)verifiant VT = X, avec φ processus adapte borne. (On ne demande pas de justifier cettedefinition)

(a) Montrer que (Vte−rt, t ≥ 0) est une Q martingale pour tout Q ∈ Q.

(b) On suppose que Vt = v(t, St, Yt). Montrer que v verifie une equation aux derivees par-tielles que l’on explicitera.

Exercice 6.6.5 Symetrie put-call. Soit M une (Ft)-martingale telle que dMt = MtσdBt ou σest une constante et M0 = 1.

70 Girsanov. Enonces

1. Verifier que M est a valeurs strictement positives.

2. Calculer dYt quand Yt = (Mt)−1.

3. Soit Q∗ telle que dQ∗ = MtdP sur Ft. Determiner la loi de Y sous Q∗.

4. Montrer que EP((MT −K)+) = KEP((K−1 −MT )+).

Exercice 6.6.6 SymetriesOn suppose que le prix d’un actif, sous la probabilite risque neutre Q est donne par

dSt = St([r − q]dt+ σdBt), S0 = x

ou q est le taux de dividendes. On note C(x,K, r, q) (ou C(x,K, r, q, σ) si besoin est) le prix d’uneoption d’achat europeenne de prix d’exercice K, soit

C(x,K, r, q) = EQ(e−rT (ST −K)+)

On rappelle que, dans le cas r = 0 = q, en notant C∗(x,K) = C(x,K, 0, 0) le prix d’un call de strikeK sur un sous jacent de valeur initiale x et P ∗ le prix d’un put, on a

C∗(x,K) = xN[d1

( xK

)]−KN

[d0

( xK

)], P ∗(x,K) = −xN

[d0

(K

x

)]+KN

[d1

(K

x

)], (6.3)

avecd1(α) =

1σ√T

ln(α) +12σ√T , d0(α) = d1(α)− σ

√T

et que le delta du call est DeltaC∗(x,K) = N (d1(x

K)).

1. Montrer, en utilisant les resultats de l’exercice 3.6 que C(x,K, r, q) = C∗(xe−qT ,Ke−rT ).

2. Montrer, au vu des formules precedentes que

DeltaC(x,K, r, q) = e−qTN[d1

(xe−qT

Ke−rT

)]DeltaP(x,K, r, q) = −e−qTN

[d0

(Ke−rT

xe−qT

)]

ou DeltaC est le Delta du call.

3. Montrer, au vu des formules (6.3) et de la question (a) que

C(x,K, r, q) = C∗(Ke−µT , x) = P ∗(xe−µT ,K) = P (K,x, q, r) (6.4)

ou µ = r − q et P le prix d’un put. Commenter.

Exercice 6.6.7 Options power. Soit

dSt = St((r − δ)dt+ σdBt), S0 = x .

Cette dynamique modelise, sous la probabilite risque-neutre Q, le prix d’un actif versant des divi-dendes au taux δ le taux spot etant r.

1. CalculerEQ(h(ST )e−r(T−t)|Ft)

dans le cas h(x) = (xα −K)+.

2. On suppose r = δ. On pose dQ∗|Ft = (St/x)dQ|Ft et Zt = x2/St. Quelle est la dynamique de(Zt, t ≥ 0) sous Q∗? Montrer que pour toute fonction f borelienne bornee

1xEQ(ST f(

x2

ST)) = EQ(f(ST ))

2009-2010 71

3. On repasse au cas general. Montrer que Sa est une martingale pour une valeur de a que l’onprecisera. Montrer que, pour toute fonction f borelienne bornee

EQ(f(ST )) =1xaEQ(SaT f(

x2

ST))

4. On se place dans le cash(x) = xβ(x−K)+

Montrer que h(ST ) s’ecrit comme difference de deux payoffs correspondants a des optionsd’achat Europeennes portant sur Sβ+1 et sur Sβ avec des strikes que l’on determinera.

Exercice 6.6.8 Option d’echange Soit dS(i)t = S

(i)t (bidt+σidB

(i)t , i = 1, 2 ou les coefficients sont

constants, les browniens B(i) etant correlles. Calculer la valeur d’une option d’echange dont le payoffest (S(1)

T − S(2)T )+.

Exercice 6.6.9 Taux de change On considere deux pays. Les quantites relatives au pays do-mestique seront indexees par d, les quantites relatives a l’autre pays par f . Chaque pays possedeun taux sans risque note respectivement rd et rf . Les marches des deux pays sont diriges par unmouvement Brownien B. Sous la probabilite P, un actif S suit la dynamique

dSt = St(µtdt+ σSt dBt)

On suppose que chacun des deux marches est sans arbitrage : il existe une probabilite risque neutredomestique notee Qd equivalente a P telle que sous Qd le processus (e−r

dtSdt , t ≥ 0) est une Qdmartingale.

1. Montrer que tout actif domestique Sd a une dynamique de la forme

dSdt = Sdt (rddt+ σtdBdt )

ou Bd est un Qd mouvement Brownien. On notera λd la prime de risque definie par dBdt =dBt + λdt dt. Le taux de change entre ces pays est X dirige par

dXt = Xt[(rd − rf ) dt+ σXt dBdt ]

Si Sf est un prix en unites monetaires du pays etranger, SfX est le prix du meme produit enunites monetaires domestiques.

2. Soit Sf un actif etranger de dynaique

dSft = Sft (rft dt+ σtdBft )

Montrer queλft − λdt = −σXt

Bdt −Bft =∫ t

0

σXs ds

3. Quelle est la dynamique du taux de change inverse Y = 1/X ?

4. On souhaite valoriser une option quanto, c’est a dire une option sur produit etranger faisantintervenir le taux de change. Comment evaluer en monnaie domestique un flux etranger de(SfT−K)+ ? Comment evaluer une option d’achat sur action etrangere avec strike en monnaiedomestique ?

72 Girsanov. Enonces

Exercice 6.6.10 Richesse (Cox-Huang, Karatzas) Un agent financier souhaite investir sur unmarche sur lequel deux actifs sont negociables:

Un actif sans risque de dynamique dS0(t) = S0(t)r(t)dt ou r est deterministe,Un actif risque dont le prix a pour dynamique dS1(t) = S1(t)(b(t)dt+ σ(t)dBt). On suppose

que σ ne s’annule pas.La richesse X de cet agent a pour dynamique

dXt = Xtr(t)dt+ πt[b(t)− r(t)]dt+ σ(t)πtdBt

ou π est un processus F adapte representant la proportion de la richesse investie dans l’actif risque.

1. Montrer qu’il existe une probabilite Q telle que dS1(t) = S1(t)(r(t)dt+ σ(t)dBt) ou B est unQ-mouvement Brownien.

2. Montrer que (R(t)Xt, t ≥ 0) est une Q-martingale locale, avec R(t) = exp−∫ t

0

r(s)ds

3. Soit θ(t) =b(t)− r(t)

σ(t)et H solution de l’equation dHt = −Ht(r(t)dt + θ(t)dBt), H0 = 1.

Montrer que le processus (HtXt, t ≥ 0) est une P-martingale locale.

4. On suppose que (HtXt, t ≥ 0) est une P-martingale pour tout choix de π. L’agent souhaiteobtenir une richesse terminale egale a ζ, v.a. FT mesurable (i.e. XT = ζ). Montrer quesa richesse initiale X0 est alors determinee, et que son portefeuille de couverture (i.e. π)egalement.

Exercice 6.6.11 Optimisation de richesse Sur le marche financier on trouve un actif risque etun actif sans risque. Soit (St, t ≥ 0) le prix de l’actif risque. On suppose que dSt = St(µtdt+ σdBt). L’actif sans risque verifie

dS0(t) = S0(t)rtdt .

Les processus µt , rt sont Ft-adaptes bornes, σ est une constante non nulle.

1. Montrer que St exp(−∫ t

0

µsds

)est une P-martingale.

2. On pose θt =µt − rtσ

.

Determiner Q telle que, sous Q le processus Bt = Bt +∫ t

0

θsds soit un mouvement Brownien.

Ecrire l’equation verifiee par St en utilisant Bt.

3. Un agent de richesse initiale x investit sa richesse Xt suivant l’actif sans risque et l’actif risquede prix St suivant Xt = n0(t)S0(t) + n1(t)St. On suppose que dXt = n0(t)dS0(t) + n1(t)dSt.

(a) Montrer que dXt = rtXtdt+ n1(t)(dSt − Strtdt).

(b) On note πt = n1(t)St et Rt = exp−∫ t

0

rsds.

Ecrire dXt en fonction de πt, rt, et Bt.(c) Montrer que, sous Q, le processus XtRt est une martingale.(d) Soit ζ = XT . Ecrire Xt sous forme d’une esperance conditionnelle faisant intervenir ζ et

le processus r.

4. On se donne un processus (ct, t ≥ 0) a valeurs positives adapte et un processus (πt, t ≥ 0) decarre integrable Ft- adapte.Soit (Xt, t ≥ 0) un processus tel que

dXt = rtXtdt+ πt(dBt + θtdt)− ctdt . (6.5)

2009-2010 73

(a) Montrer que, sous Q, le processus XtRt +∫ t

0

Rscsds est une martingale. En deduire que

XtRt = EQ(XTRT +∫ T

t

Rscsds|Ft).

(b) Ecrire cette relation sous P.

(c) Montrer que si l’on impose la condition XT ≥ 0, il existe une solution de (6.5) positive,verifiant cette condition.

Exercice 6.6.12 Soit Xt = µt + σBt. On note Ta = inft|Xt = a. Trouver une probabilite Qtelle que sous Q, (Bt = Xt/σ , t ≥ 0) soit un mouvement Brownien. Exprimer Ta en utilisant Bt.Calculer EP(exp−λTa).

Exercice 6.6.13 Montrer que le prix d’une option Asiatique dont le strike est le sous jacent estle prix d’un call sur un sous jacent de dynamique dZt = (1 − rZt)dt − ZtσdBt. Comment faire lecalcul?

Exercice 6.6.14 On considere un modele Black et Scholes. Calculer, pour tout couple (s, t)EP(St|Fs) et EQ(St|Fs).

On note Yt =∫ t

0Sudu.

• Quel est le prix, a la date t du payoff YT (verse en T )?

• Expliciter la strategie de couverture de YT

• On considere le payoff h(YT , ST ), verse en T , ou h est une fonction borelienne (bornee)

– Montrer que le prix a la date t de h(YT , ST ) s’ecrit ϕ(t, Yt, St) et montrer comment obtenirϕ(t, y, x) par un calcul d’esperance (non conditionnelle)

– Quelle est l’EDP satisfaite par ϕ?

– Determiner la strategie de couverture associee.

Exercice 6.6.15 Zero-coupons Soit dYt = h(t)dt+dBt et rt = σ(t)Yt ou h et σ sont des fonctions

de classe C1. On souhaite calculer E(

exp[−∫ t

0

rsds

]).

1. Soit f une fonction continue et Lft = exp(∫ t

0

f(s)dBs − 12

∫ t

0

H2(s)ds)

. Justifier que E(LfT ) =

1. En deduire que

E

(exp

[h(T )BT −

∫ T

0

h′(s)Bsds− 12

∫ T

0

h2(s)ds

])= 1 .

2. On note Σ (resp. H) la primitive de σ (resp. h) nulle en 0. Montrer que

E

(exp

[−∫ T

0

rsds

])= exp(Σ(T )H(T )−

∫ T

0

Σ(T )h(t)dt)E

(exp

(h(T )BT −

∫ T

0

Σ(t)dBtds

)).

3. Calculer cette quantite.

Exercice 6.6.16 Soit dYt = 2√YtdBt + (2β(t)Yt + δ)dt et rt = σ(t)Yt, ou σ et β sont des fonctions

de classe C1. On introduit dXt = 2√XtdBt + δdt.

74 Complements. Enonces

1. Soit H une fonction de classe C2 et

Zt = exp(∫ t

0

H(s)√XsdBs − 1

2

∫ t

0

H2(s)Xsds

)

On admet que Z est une martingale. Montrer que

Zt = exp(

12

(H(t)Xt − δ

∫ t

0

H(s)ds−∫ t

0

H ′(s)Xsds−∫ t

0

H2(s)Xsds

))e−

12H(0)X0

2. Montrer que

E

(exp

[−∫ T

0

rsds

])=

exp

[12

(−β(0)X0 − δ∫ T

0

β(s)ds)

]E

(exp

[12(β(T )XT −

∫ T

0

Xs(β2(s) + β′(s) + 2σ(s))ds)])

3. Comment calculer cette derniere expression?

Exercice 6.6.17 On se place dans le cas ou St = e2(Bt+νt) Montrer que S est une sousmartingalepour ν+1 ≥ 0 et une surmartingale sinon. En deduire que le prix d’une option asiatique est plus petit

que le prix d’une option plain vanilla. Montrer par une minoration simple que E(1T

∫ T

0

exp(2(Bs +

νs))ds) ≥ E(e2(BT+νT ))

Chapter 7

Complements

Dans tout ce chapitre, B est un mouvement Brownien dont la filtration est notee F.

7.1 Theoreme de Levy.

Exercice 7.1.1 Levy’s theorem. Let

D = sup0≤s≤t≤1

(Bs −Bt), D1 = Bθ − infθ≤t≤1

Bt, D2 = sup0≤t≤σ

Bt −Bσ

where θ (resp. σ) is the time of the absolute maximum (resp. minimum) of the Brownian motionover [0, 1], (i.e., ).

1. Prove that D loi= sup0≤t≤1 |Bt|.2. En deduire la loi de D.

3. Prove that D1loi= supg≤t≤1 |Bt| where g = supt ≤ 1 : Bt = 0.

Exercice 7.1.2 On note B∗ le processus B∗t = sups≤tBs.

1. Justifier rapidement (en se basant sur des resultats classiques) que P(B∗t > a) = 2P(Bt > a)pour a > 0. Cette egalite est-elle verifiee egalement pour a ≤ 0?

2. Soit s < t. Montrer que

P( sups≤u≤t

Bu > 0, Bs < 0) = 2P(Bt > 0, Bs < 0)

3. Calculer explicitement cette quantite.

4. On note gt = sups ≤ t : Bs = 0. Calculer la loi de gt.

Exercice 7.1.3 On note B∗t = sup0≤s≤tBs et θ = supt ≤ 1 : Bt = B∗t . On souhaite calculer laloi de θ.

1. Ecrire θ ≤ t en utilisant les variables B∗t et supt≤s≤1Bs

2. Ecrire θ ≤ t en utilisant B∗t et supt≤s≤1(Bs −Bs)

75

76 Complements. Enonces

3. Quelle est la loi de supt≤s≤1(Bs −Bs) conditionnelle a Ft?4. En deduire que P(θ ≤ t|Ft) = Φ(B∗t −Bt) ou Φ(x) = P(B∗1−t < x)

5. Calculer Φ(x).

6. On admet que B∗t −Bt a meme loi que Bt. Comment obtenir la loi de θ?

7.2 Equations retrogrades

Exercice 7.2.1 Equation retrograde 1. Dans tout le probleme ζ est une variable FT -mesurable,integrable.

1. On note Xt = E(ζ|Ft). Montrer qu’il existe un processus (Xs, s ≤ T ) tel que

dXt = XtdBt, XT = ζ (7.1)

2. Soit r un nombre reel. En utilisant ertE(ζe−rT |Ft) montrer qu’il existe un couple (X, X) deprocessus (Ft) adaptes tels que

dXt = rXtdt+ XtdBt XT = ζ

3. Soit (rt, t ≥ 0) un processus F adapte borne. Montrer qu’il existe un couple (X, X) de processusF-adaptes tels que

dXt = rtXtdt+ XtdBt, XT = ζ

4. Soit Γβ,γ le processus solution de dΓt = −Γt(βtdt+γtdBt), Γ0 = 1 ou β et γ sont des processusF adaptes bornes. Soit φ un processus F adapte borne. En considerant

E(ΓT ζ +∫ T

t

Γsφsds|Ft)

montrer qu’il existe un couple (X, X) de processus F adaptes tels que

dXt = −(φt +Xtβt + γtXt)dt+ XtdBt, XT = ζ

5. Soit a un nombre reel. En considerant12a

ln (E [exp (2aζ) |Ft]), montrer qu’il existe un couple

(X, X) de processus F-adaptes tels que

dXt = −aX2t dt+ XtdBt, XT = ζ (7.2)

6. Montrer que12a

ln(E[Γ2ac,bt,T exp (2aζ) |Ft

])est solution de

dXt = −(aX2t − bXt − c)dt+ XtdBt, XT = ζ

Exercice 7.2.2 Equation retrograde 2. Soit H la solution de

dHt = −Ht(rdt+ θdBt) , H0 = 1

On notera Ht,s =Hs

Htpour t < s.

1. Soit t fixe. Quelle est l’EDS suivie par (Ht,s, s ≥ t).

2009-10 77

2. Soit ζ une v.a. bornee FT -mesurable et Xt = lnE(Ht,T eζ |Ft). Montrer que Yt

def= exp(Xt)Ht

est une martingale que l’on peut ecrire sous la forme z +∫ t

0

zsdBs.

3. Montrer que dXt = (aX2t + bXt + c)dt + XtdBt ou X est un processus adapte que l’on

determinera en fonction de Y, z, r et θ et ou b et c sont des constantes.

Exercice 7.2.3 Equation retrograde 3..

1. Soit (αt, t ≥ 0) un processus F-adapte. Donner la solution (Y, Z) de l’equation retrograde

−dYt = αt dt− ZtdBt, YT = 0. (7.3)

2. Au moyen du theoreme de Girsanov, donner la solution de

−dYt = (αt + γZt)dt− Zt dB(t), YT = 0. (7.4)

ou γ est un scalaire quelconque. Exprimer Y0 sous la forme d’une esperance dependant desdonnees du probleme.

3. On pose αt = Bt. Montrer que Y0 =∫ T

0

E(MtBt) dt ou Mt = exp(γBt − 12γ2t). Calculer

E(MtBt) et E(Mt signBt)) ou

sign(Bs) = 1 si Bs > 0, et;sign(Bs) = −1 si Bs) ≤ 0 .

4. On introduit le processus

Bt =∫ t

0

sign(Bs) dBs,

On rappelle que ce processus est un mouvement Brownien, on notera F t = σ(Bs; s ≤ t) safiltration, qui est incluse dans Ft. Montrer que la solution de

−dY t = (Bt + γZt) dt− Zt dBt, Y T = 0 ,

verifieY 0 = γT 2/2. (7.5)

5. Montrer que la solution de

−dYt = (Bt + γZt)dt− ZtdBt, YT = 0, (7.6)

verifie

Y0 =∫ T

0

E(MT Bt

)dt =

∫ T

0

E(MtBt

)dt.

6. Montrer, au moyen de la formule d’Ito que

E(MtBt

)=∫ t

0

γE (Ms sign(Bs )) ds,

pour 0 ≤ t ≤ T. et en deduire que

Y0 = γT 2/2− 2γ∫ T

0

(T − s)Φ(−γ√s)ds. (7.7)

ou Φ est la fonction de repartition de la loi normale centree reduite.

78 Complements. Enonces

7. Supposons que Y0 represente l’utilite (mesure le bien etre que l’on eprouve quand on con-somme c) associee a un plan de consommation (ct = exp(B(t))) et une information F et queY 0 represente l’utilite associee au meme plan de consommation mais avec l’information F.Interpretez alors le resultat trouve en (7.5) et en (7.7) selon que γ > 0 ou que γ < 0.

Exercice 7.2.4 facts on quadratic BSDE The solution of the BSDE −dyt = az2t −ztdBt, yT = ζ

is yt = 12a lnE(e2aζ |Ft). The solution of

−dy = (az2 + bz)dt− zdBt

obtained by Girsanov.

−dy = (az2 + bz)dt− zdBt = az2dt− z(dBt − bdt) = az2dt− ztdBt)

leads to

yt =12a

ln E(e2aζ |Ft)

=12a

lnE(ebBT−12 b

2T e2aζ |Ft)ebBt− 12 b

2t

=12a

(lnE(ebBT−

12 b

2T e2aζ |Ft) + bBt − 12b2t

)

The solution of−dy = (az2 + bz + ct)dt− zdBt

follows setting yt = yt +∫ t

0csds. The process y satisfies

−dy = (az2 + bz)dt− zdBt, yT = ζ +∫ T

0

csds

therefore12a

(lnE(ebBT−

12 b

2T e2a(ζ+R T0 csds)|Ft) + bBt − 1

2b2t

)−∫ t

0

csds

7.3 Theoremes de representation

Exercice 7.3.1 Soit B(i), i = 1, 2, 3 trois MB, avec B(i), i = 1, 2 independants. Montrer qu’il n’estpas possible d’avoir σ(B(3)

s , s ≤ t)) = σ(B(1)s , B

(2)s , s ≤ t).

Exercice 7.3.2 Changement de temps Soit Mt =∫ t

0

11Bs>0dBs.

1. Justifier que (Mt, t ≥ 0) est une martingale.

2. Trouver un processus (At, t ≥ 0) croissant tel que M2t −At est une (Ft)-martingale.

3. On admet qu’il existe un processus croissant C tel que A(C(t)) = t. Montrer que (MCt , t ≥ 0)est un (Gt)-mouvement Brownien. Preciser quelle est la filtration (Gt)-utilisee.

Exercice 7.3.3 Crochet et independance. Soient B1 et B2 deux MB tels que leur crochet soitnul. Montrer qu’ils sont independants.

2009-10 79

7.4 Temps local.

Exercice 7.4.1 Loi du couple (|Bt|, Lt). On note L le temps local de B.

1. Montrer que la loi du couple (|Bt|, Lt) est

µt(da, d`) = 11a≥011`≥02(a+ `)√

2πt3exp

(− (a+ `)2

2t

)da d`

2. On note Ta = inft ≥ 0;Bt = a et τ` = inft ≥ 0;Lt = `. Montrer que T`loi= τ`

3. Montrer que le processus (|Bt|, Lt) est markovien de semi groupe

Qt(α, λ, f) =∫µt(da, d`)f(α ∨ `− (`− a), (λ− α) + α ∨ `)

4. Montrer que, pour tout t, les v.a.s St(St −Bt) et Bt sont independantes.

5. Montrer que St(St −Bt) loi=t

2E ou E est une variable exponentielle de parametre 1.

Exercice 7.4.2 Formule de Tanaka.

1. Peut-on appliquer la formule d’Ito pour calculer dZt avec Zt = |Bt|?2. On admet qu’il existe un processus croissant L tel que

|Bt| = |B0|+∫ t

0

f(Bs)dBs + Lt

avec f(x) = 1 si x > 0 et f(x) = −1 sinon. Montrer que (∫ t

0

f(Bs)dBs, t ≥ 0) est un

mouvement Brownien que l’on notera β.

3. Soit St = sups≤tBs. Verifier que S est un processus croissant. Comparer les decompositions|Bt| = βt + Lt et St − Bt = −Bt + St. Pour cette question, je ne vous demande aucunraisonnement precis.

Exercice 7.4.3 Temps local. Soit L le temps local. Montrer que Lt = infs≥t(|Bs|+ Ls).

Exercice 7.4.4 Temps aleatoire. Soit B un MB, S son maximum sur [0, 1] (soit S = supBs, s ≤1 et θ = inft ≤ 1 : Bt = S. La v.a. θ est-elle un temps d’arret? Quelle est la loi de θ? Oncalculera P(θ ≤ u) et on utilisera le principe de reflexion et l’identite de Levy (St − Bt, t ≥ 0) loi=(|Bt|, t ≥ 0).Calculer P(θ ≤ t|Ft).

Exercice 7.4.5 Des martingales. Soit X une martingale continue et St = sups≤tXs.

1. Pour quelles fonctions f le processus Yt = f(Xt, St, 〈X〉t) est-il une martingale locale?

2. Montrer que si g est C2 et g(0) = 0, le processus

g(St)− (St −Xt)g′(St)

est une martingale locale.

80 Complements. Enonces

3. Montrer que si g est C2 et g(0) = 0, le processus

g(Lt)− |Xt|g′(Lt)

est une martingale locale.

Exercice 7.4.6 Scaling Soit B un MB et L son temps local. Montrer que

(Lxλ2t, x ∈ R, t ≥ 0) loi= (λLx/λt x ∈ R, t ≥ 0)

On utilisera ∫ λ2t

0

f(Bs)dsloi= λ2

∫ t

0

f(λBu)du

Exercice 7.4.7 Calculer E(LxTa).

Exercice 7.4.8 Let M be a continuous martingale such that 〈M〉∞ = ∞ and β the associatedDubins-Schwarz BM. Prove that Lat (M) = La〈M〉t(β).

Exercice 7.4.9 Let φ be a non negative process indexed by R+ × R. Prove that∫ ∞−∞

dy

∫ t

0

dsLys φ(s, y) =

∫ t

0

ds〈Y 〉s φ(s, Ys) .

7.5 Lois

Exercice 7.5.1 Temps d’atteinte. Soit X solution de

Xt = a(Xt)dt+ b(Xt)dBt, X0 = x .

On note Ta = inft ≥ 0 |Xt = a.

1. Donner des conditions sur la fonction V pour que (e−λtV (Xt), t ≥ 0) soit une martingale.

2. En deduire E(e−λTa11(Ta<∞)) en fonction de V . On ne demande pas d’expliciter V .

3. Soit f(x) =∫ x

0

y

b(y)dy et Yt = f(Xt). On suppose b ∈ C1. Calculer dYt.

4. En deduire que∫ t

0

XsdBs = f(Xt)−f(x)+∫ t

0

g(Xs) ds ou g est une fonction que l’on precisera.

Exercice 7.5.2 Temps d’atteinte Soit Vt = v + Bt et τa(V ) = inft : Vt = a. Montrer que

τa(V ) loi=(a− v)2

G2, ou G est une variable de loi N (0, 1).

Comment calculer E(11T<τa(V )h(VT )

)?

Exercice 7.5.3 Soit M une martingale telle que M0 = a et limt→∞Mt = 0. On rappelle (exercice1.5.11) supMt

loi=a

Uou U est une v.a. de loi uniforme sur [0, 1].

On propose des applications de ce resultat.

1. Let B be a BM with initial value a > 0 and T0 = inft : Bt = 0. Identify the law ofsupu≤T0

Bu.

2009-10 81

2. Prove that, for a > 0, supu(Bu − au) loi=12a

e, where e is a standard exponential variable withmean 1.

3. Let B be a BM and T1 the first hitting time of 1. Define It = − infs≤tBs. Identify the law ofIT1 .

Exercice 7.5.4 Loi du maximum.On rappelle que, pour T fixe, maxt≤T Bt

loi= |BT |. On note C = E[(e−σBT −1)+] et P = [(1−eσBT )+].Montrer que pour x > 0

E[maxt≤T

(xeσBt − xeσBT )] = x[C + P ]

(Il n’y a aucun calcul a faire)

7.6 Filtrations

Exercice 7.6.1 Agent initie L’agent initie connait la valeur terminale du Brownien. Le probleme

est de savoir comment se transforment les martingales. Soit Ztdef= Bt −

∫ t

0

BT −BuT − u du

1. Soit f une fonction deterministe. Montrer que

E[Zu∫ T

0

f(v)dBv] =∫ u

0

f(v)dv −∫ u

0

ds1

T − s∫ T

s

dvf(v)

En deduire que si, pour tout u, E[Zu∫ T

0

f(v)dBv] = 0 , alors f verifie f(u) =1

T − u∫ T

u

dvf(v)

et montrer que f est une constante.

2. Soit t < T . On admet que E(Bt|BT ) = aBT + b ou a et b sont des constantes. Montrer que

b = 0 et que a =t

T. (On pourra prendre l’esperance des deux membres et calculer E(BtBT ))

3. Soit s < t < T . On admet que E(Bt|Bs, BT ) = aBs + bBT + c ou a, b et c sont des constantes.

Montrer que a =T − tT − s , b =

t− sT − s , c = 0.

4. On note F∗t = Ft ∨ σ(BT ) la tribu engendree par (Bu, u ≤ t) et par BT . On admet que pours < t, E(Bt |BT , Bs) = E(Bt|F∗s ). Montrer que Z est une (F∗t )- martingale. On pourraitmontrer que c’est un MB.

Exercice 7.6.2 Soit G une filtration et B un G mouvement brownien.

1. Soit H une filtration plus petite que G. Verifier que le processus Mt = E(Bt|Ht) est unemartingale. (on precisera par rapport a quelle filtration).

2. Soit Xt = Bt +∫ t

0

Yudu ou Y est un processus G adapte integrable. On note FX la filtration

de X (qui verifie FXt ⊂ Gt) et Yu = E(Yu|FXu ). Verifier que Zt = (Xt −∫ t

0

Yudu, t ≥ 0) est

une FX -martingale (on calculera l’esperance conditionnelle de Zt par rapport a FXs ). Montrerque Z est un mouvement Brownien.

82 Complements. Enonces

7.7 Options barrieres

Exercice 7.7.1 On note N la fonction de repartition de la loi normale et Mt = sup(Bs, s ≤ t).

1. Soit x ∈ R. Montrer que P(Bt ≤ x) = P(Bt ≤ −x) = N (x(√t)−1).

2. Soit y > 0 donne, T = inft ≥ 0 |Bt = y.Soit B∗t = BT+t − BT . On admet que T est un temps d’arret et (B∗t , t ≥ 0) est un Brownienindependant de FT .

(a) Montrer queP(Bt ≤ x, Mt > y) = P(T < t, B∗t−T ≤ x− y)

(b) Montrer que

P(T < t, B∗t−T ≤ x− y) =∫ t

0

P(T ∈ du)P(B∗t−u ≤ x− y) = P(T < t, B∗t−T ≥ y − x)

(c) Montrer que pour y > x, on a

P(Bt ≤ x, Mt > y) = P(Bt ≥ 2y − x)

En deduire que

P(Bt ≤ x, Mt < y) = N (x√t)−N (

x− 2y√t

)

3. En deduire la loi de T , celle de Mt et la densite du couple (Bt,Mt).

4. Soit Xt = µt + Bt, Yt = sup (Xs, 0 ≤ s ≤ t. Montrer, en utilisant le theoreme de Girsanov,que le calcul de

P(Xt < x, Yt < y)

se deduit du calcul precedent.

7.8 Meandres, ponts, excursions

Exercice 7.8.1 Loi conditionnelle. Soit dt = infs ≥ t : Bs = 0. Montrer que dt(B) loi=

t +(−Bt)2

G2ou G est une variable gaussienne de loi N (0, 1) independante de Bt. Soit g = supt ≤

1 : Bt = 0. Calculer P(g ≤ t|Ft).

Exercice 7.8.2 Martingale d’Azema. On admet que le processusmu =1√t− gt |Bgt+u(t−gt)|, u ≤

1 est independant de Fgt , que sgneBt est Fgt mesurable et que m1 a pour densite xe−x2/211x>0dx.

Calculer E(Bt|Fgt),E(B2t − t|Fgt) et E(eαBt−

α22 t|Fgt). Montrer que ces processus sont des martin-

gales.

7.9 Divers

Exercice 7.9.1 Soit dSt = St(µdt+ σdBt) et St = St max(1,max0≤s≤t KSs ). Calculer e−rTE(ST )

2009-10 83

Exercice 7.9.2 Soit S un brownien geometrique

dSt = St(µdt+ σdBt)

On pose Mt =1t

∫ t

0

Sudu. Calculer

E((MT − k)+|Ft)11Mt≥(Tk/t)

1. Soit s < t Ms = supu≤sBu,Mst = sups≤u≤tBu. Calculer P(Ms < a,Ms

t < b,Bt < c). Ondonnera le resultat sous forme d’une integrale.

2. Soit Xt = e2(Bt+νt)(x+∫ t

0e2(Bs+νs)ds). Montrer que

dXt = f(t,Xt)dt+ g(t,Xt)dBt

ou l’on explicitera les fonctions f et g. Comment pourrait-on calculer le prix d’une optioneuropeenne sur le sous jacent X, en presence d’un actif sans risque de taux constant r?

Exercice 7.9.3 Let B be a Brownian motion and Ta = inft ≥ 0 : Bt = a where a > 0.

1. Using the Doleans-Dade exponential of λB, prove that

E(e−λ2Ta/2|Ft) = e−λa + λ

∫ Ta∧t

0

e−λ(a−Bu)−λ2u/2du

and that

e−λ2Ta/2 = e−λa + λ

∫ Ta

0

e−λ(a−Bu)−λ2u/2du

2. By differentiating the Laplace transform of Ta, and the fact that ϕ satisfies the Kolmogorovequation, prove that

λe−λc = 2∫ ∞

0

e−λ2t/2 ∂

∂tϕ(t, c) dt

where ϕ(t, x) = 1√2πt

e−x2/(2t).

3. Prove that, for any f

E(f(Ta)|Ft) = E(f(Ta)) + 2∫ Ta∧t

0

∫ ∞0

f(u+ s)∂

∂uϕ(u,Bs − a)dudBs

4. Deduce that

11Ta<t = P(Ta < t) + 2∫ Ta∧t

0

ϕ(T − t, Bt − a)dBt

84 Sauts. Enonces

Chapter 8

Processus a sauts

8.1 Processus de Poisson

Un processus de Poisson standard est un processus de comptage (i.e. Nt =∑∞i=1 11Ti≤t, ou les

Ti sont des v.a. positives croissantes) a accroissements independents et stationnaires. La variablealeatoire Nt a pour loi une loi de Poisson de parametre λ.Un processus de Poisson d’intensite deterministe λ(s) est un processus de comptage tel que Mt =

Nt −∫ t

0

λ(s)ds est la martingale compensee. POur tout processus Z on definit∫ t

0ZsdNs =

∑∞i=1 ZTi11Ti≤t =

∑s≤t Zs∆Ns.

Si

dXt = atdt+ σtdBt + ϕtdNt

dYt = αtdt+ νtdBt + ϑtdNt

la formule d’integration par parties est

d(XY )t = Xt−dYt + Yt−dXt + σtνtdt+ ϕtϑtdNt

Xt−dYt + Yt−dXt + d[X,Y ]t

Dans cete section, N est un processus de Poisson de filtration naturelle F = (Ft = σ(Ns, s ≤ t); t ≥0).

Exercice 8.1.1 Montrer que si N est un processus de Poisson standard, Mtdef= Nt − λt est une

martingale. Montrer que si N est un processus de Poisson d’intensit e λ(s), f une fonction boreliennebornee et g une fonction borelienne bornee a valeurs dans ]− 1,∞[, les processus

Xt = exp(∫ t

0

f(s)dNs +∫ t

0

λ(s)(1− ef(s))ds)

Yt = exp(∫ t

0

ln(1 + g(s))dMs +∫ t

0

[ln(1 + g(s))− g(s)]λ(s)ds)

sont des martingales.

Exercice 8.1.2 Soit N i, i = 1, 2 deux processus de Poisson independants de meme intensite. Mon-trer que N1 −N2 est une martingale.

Exercice 8.1.3 Soit F∗t = σ(Ns, s ≤ t,NT ). Montrer que

M∗tdef= Nt −

∫ t

0

NT −NsT − s ds

85

86 Sauts. Enonces

est une F∗-martingale.

Exercice 8.1.4 Caracterisation de Processus de Poisson.

1. Calculer ψ(z, t) =∑n

znP (Nt = n).

2. Soit X un processus a accroissements independants, a valeurs dans l’ensemble des entiers, telque Xt+s −Xt

loi= Xs et ψ(z, t) =∑n

znP (Xt = n). Montrer que ψ(z, t+ h) = ψ(z, t)ψ(z, h).

On suppose qu’il existe ν tel que

1hP (Xh ≥ 2)→ 0 ,

1hP (Xh = 1)→ ν ,

1h

(1− P (Xh = 0))→ ν

quand h tend vers 0. Montrer que∂

∂tψ(z, t) = ν(z − 1)ψ(z, t). Quel est le processus X?

Exercice 8.1.5 Calculer la transformee de Laplace de∫ t

0Nsds

Exercice 8.1.6 On note τ = T1 le premier saut de N et Dt = Nt∧τ

1. Determiner δ tel que Zt = Dt −∫ t∧τ

0

δudu soit une martingale.

2. On note Lt = (1 − Dt)/(1 − F (t)) ou F (t) = P (τ ≤ t) est supposee continue. Montrer quedLt = αtdZt ou on explicitera α. Meme question si F est seulement continue a droite.

3. Soit N1 et N2 deux PP d’intensite constante λ1 et λ2 et Di les processus associes. On noteµ1(t) = (

α1

λ1−1)D2(t−) et µ2(t) = (

α2

λ2−1)D1(t−). Soit ρt solution de dρt = ρt−(µ1(t)dZ1(t)+

µ2(t)dZ2(t)). Expliciter ρt. Soit dQ = ρtdP . Calculer Q(τ1 > t, τ2 < s) pour s < t.

8.2 Poisson compose

Soit λ un nombre reel positif, µ une loi de probabilite sur R. Un processus de Poisson compose deparametres (λ, µ) est un processus X = (Xt, t ≥ 0) de la forme

Xt =Nt∑

k=1

Yk

ou N est un processus de Poisson d’intensite λ et ou les (Yk, k ∈ N) sont des v.a. i.i.d. de loi µ,independantes de N .

Exercice 8.2.1 Soit Mt = Nt − λt et Zt = Xt − µλt. Montrer que Z et (MtYt − µλt, t ≥ 0) sontdes martingales.

Exercice 8.2.2 On considere l’equation

Xt = x+Nt − c∫ t

0

Xsds

1. Montrer que cette equation admet au plus une solution.

2009-10 87

2. Montrer que

e−ctx+∫ t

0

e−c(t−s)dNs

est une solution.

Exercice 8.2.3 Montrer qu’un processus de Poisson compose a des accroissements independants etstationnaires et que (si Y1 est integrable)

E(Xt) = λtE(Y1)

Var (Xt) = λtE(Y 21 ).

Exercice 8.2.4 Let X be a (λ, µ) componud

Exercice 8.2.5 Let X be a (λ, µ) compound Poisson process and f a bounded Borel function.Then,

exp

(Nt∑

k=1

f(Yk) + t

∫(1− ef(x))λµ(dx)

)

is a martingale.

Poisson process. Prove that the process

Mft =

∑

s≤tf(∆Xs)11∆Xs 6=0 − tλµ(f)

is a martingale; the process(Mf

t )2 − tλµ(f2)

is a martingale.

Suppose that X is a pure jump process and that there exists a finite positive measure σ suchthat ∑

s≤tf(∆Xs)11∆Xs 6=0 − tσ(f)

is a martingale for any f , then X is a compound Poisson process.

Exercice 8.2.6 If X is a (λ, µ) compound Poisson process,

E(e−αXt) = exp(−λt

(1−

∫ ∞0

e−αuµ(du)))

.

8.3 Formule d’Ito

Dans cette section, B est un mouvement Brownien et N un processus de Poisson de martingalecompensee M . On note Ft = σ(Ws, Ns, s ≤ t).

Exercice 8.3.1 On suppose que N est d’intensite constante λ.

1. Montrer que la solution de

dSt = S(t−)(rdt+ σdBt + φdMt), S0 = x

est, pour φ > −1

St = xert exp(σWt − 12σ2t) exp(ln(1 + φ)Nt − φλt) . (8.1)

88 Sauts. Enonces

2. Ecrire la solution en faisant apparaitre la martingale M .

3. Quelle est la dynamique de 1/S?

4. Quelle est la dynamique de S2?

5. Calculer E(St) et E(S2t ).

6. Quelle est la solution de (8.1)pour φ = −1? et pour φ < −1?

7. Quelle est la solution de (8.1) lorsque les coefficients dependent du temps?

Exercice 8.3.2 SoitdXt = µ(t,Xt)dt+ σ(t,Xt)dBt + φ(t,Xt−)dMt

etH une fonction de classe C1,2. Sous quelles conditions sur les coefficients le processus Yt = H(t,Xt)est-il une martingale locale?

8.4 Temps de Defaut

Exercice 8.4.1 Soit τ un temps aleatoire sur un espace (Ω,G,P). On suppose qu’il existe un

processus positif, G-adapte (λs, s ≥ 0) tel que 11τ≤t −∫ t∧τ

0

λudu soit une G martingale. Soit h une

fonction borelienne, X une variable aleatoire GT mesurable et

Vt = E(X exp−∫ T

t

λsds+∫ T

t

duhuλu(exp−

∫ u

t

λsds)|Gt) .

Montrer que

11t<τVt = E(

(∆Vτ )11t<τ≤T +X11T<τ∣∣∣Gt).

8.5 Marche complets, incomplets

Exercice 8.5.1 SoitdSt = St−[µdt+ φdMt]

and r = 0. Quelle est la condition pour que ce marche soit sans arbitrage? Quelle est le m.m.e. Q?Quelle est la dynamique de S sous Q?

Exercice 8.5.2 On etudie un modele dans lequel il y a un actif sans risque de taux r et un actifrisque

dSt = S(t−)(rdt+ σdBt + φdMt) (8.2)

1. Montrer que ce marche est incomplet, determiner les m.m.e..

2. Quels sont les actifs duplicables?

3. On note Xx,π,C la valeur d’un portefeuille π de richesse initiale x, avec processus de consom-mation cumule C. Montrer que

RtXt = x+∫ t

0

πsXsd(RS)−∫ t

0

RsdCs

2009-10 89

4. Soit Q l’ensemble des probabilites risque neutre, et

Vt = esssupQEQ(RTB|Ft)

On admettra que V est une surmartingale pour tout Q et que toute surmatingale s’ecrit commeune martingale moins un processus croissant.

Montrer qu’il existe AQ processus croissant, µ, ν tels que Vt = v+∫ t

0

µsdBQs +

∫ t

0

dMQs −AQt ,

ou WQ et MQ sont des Q-martingales et BQ un MB.. Preciser le lien entre AP et AQ.

5. Montrer que µtφ

σ− νt ≥ 0

6. Montrer que AP −∫ t

0

λ(µsφ

σ− νs) est un processus croissant.

7. En deduire que V est la valeur d’un portefeuille X dont on explicitera le processus de consom-mation.

Exercice 8.5.3 On considere un actif de prix

dSt = St−(rdt+ ϕdMt)

ou M est la martingale compos ee associe a un processus de Poisson d’intensite constante λ.

1. Verifier que Ste−rt est une martingale.

2. Soit X le valeur d’un portefeuille autofinancant comportant θ parts d’actif risque, soit

dXt = rXtdt+ θt(dSt − rStdt)

Verifier que Xt = ertXt est une martingale. Ecrire la dynamique de X en fonction de S.

3. Ecrire l’EDS verifiee par X/S.

4. On pose dQ = Ste−rt/S0 dP. Verifier que X/S est une martingale sous Q.

90 Rappels

sCORRIGES

Chapter 1

Rappels, Corriges

1.1 Tribu

Exercice 1.1.1: L’ensemble B − A s’ecrit B ∩ Ac. Si F est une tribu, elle est stable par passageau complementaire et par intersection, d’ou le resultat.

Exercice 1.1.2 : 1) La tribu engendree par A est constituee des quatre ensembles A,Ac, ∅,Ω.2) Cette tribu doit contenir A et B, l’ensemble vide et Ω. Puis les complementaires, soit Ac et Bc

(les complementaires de Ω et de l’ensemble vide egaux a l’ensemble vide et a Ω sont deja dans laliste). Puis les unions d’ensembles soit A ∪ B, les autres unions A ∪ Ω = Ω, A ∪ Bc = Bc ,... sontdeja dans la liste. Puis les intersections Ac ∩ Bc. On a termine car les autres ensembles formes apartir d’operations de passage au complementaire, d’intersection et d’union sont dans la liste parexemple (Ac ∩Bc) ∪Bc = Bc.

Exercice 1.1.4 : Soit G = F1 ∩ F2 la famille composee des ensembles qui appartiennent a F1 et aF2. La famille G est une tribu si

(i) Ω ⊂ G, ce qui est le cas car Ω ⊂ F1,Ω ⊂ F2 donc Ω ⊂ F1 ∩ F2.(ii) la famille G est stable par passage au complementaire: si A ⊂ G, la stabilite des

tribus F1 et F2 par passage au complementaire implique Ac ⊂ F1, Ac ⊂ F2 donc Ac ⊂ F1 ∩ F2.

(iii) la famille G est stable par intersection denombrable: si Ai ⊂ G, la stabilite destribus F1 et F2 par intersection denombrable implique ∩iAi ⊂ F1, A

c ⊂ F2 donc ∩iAc ⊂ F1 ∩ F2.Les autres proprietes resultent des precedentes: L’ensemble vide appartient a G car c’est le complementairede Ω ( utiliser (i) et (ii)), la famille G est stable par union denombrable: en passant au complementairel’identite (∩Ai)c ∪ (Aci ) on obtient ∩Ai = (∪iAi)c. Il reste a utiliser (ii) et (iii).L’union de tribus n’est pas une tribu: considerer le cas F1 = σ(A),F2 = σ(B). la famille F1 ∪ F2

ne contient pas Ac ∩ Bc. Ne pas confondre sous ensembles et elements. Par exemple, un intervalleest un sous ensemble de R, et n’est pas un element de R.

Exercice 1.1.6 : On utilise que X−1(B) = ω : X(ω) ∈ B. La famille C est une tribu: la sta-bilite requise provient des egalites suivantes: X−1(Bc) = (X−1(B))c, X−1(∩Bn) = ∩X−1(Bn). Ontrouvera une demonstration de la reciproque dans tout ouvrage de proba, cette demonstration estbasee sur le theoreme qui precise que si une tribu contient une classe stable par intersection finie,elle contient la plus petite tribu engendree par cette classe.

Exercice 1.1.7 : Les diverses quantites que l’on veut comparer sont egales. Les esperances E(f(X))et E(f(Z)) sont egales parce que X et Z ont meme loi, et E(f(X,Y )) = E(f(Z, T )) car le couple(X,Y ) a meme loi que le couple (Z, T ). Si l’hypothese (Z, T ) sont independantes n’etait pas faite,

91

92 Rappels

l’egalite en loi des variables X et Z et celle des variables Y et T ne suffirait pas. Par exemple, onpeut prendre X loi= Y de loi gaussienne N (0, 1), X et Y independantes et Z = T = X. On auraitalors E(X2Y 2) = 1 et E(Z2T 2) = E(X4) = 3. (contre exemple pour la question 3)

1.2 Variables gaussiennes.

Exercice 1.2.1 : Par symetrie de la densite et imparite de x3, on a E(X3) = 0 et, par parite de

x4 on a E(X4) = 2σ√

2π

∫ ∞0

x4e−x2

2σ2 dx. Cette derniere integrale se calcule par integrations par

parties successives et on obtient E(X4) = 3σ4.

On a egalement E(|X|) =2

σ√

2π

∫ ∞0

x exp− x2

2σ2dx, d’ou E(|X|) =

2σ√2π

et, par des calculs ana-

logues E(|X3|) =4σ3

√2π

.

Soit U une variable gaussienne d’esperance m et de variance σ2. Pour calculer E(expλU2 + µU),on doit calculer

1σ√

2π

∫ ∞−∞

eλu2+µue−

12σ2 (u−m)2

du .

On montre que

λu2 + µu− 12σ2

(u−m)2 = − 12Σ2

(u− (µ+

m

σ2)Σ2)2

+Σ2

2(µ+

m

σ2)2 − m2

2σ2

avec Σ2 = σ2

1−2λσ2 .Il vient

E(expλU2 + µU) =Σσ

exp(

Σ2

2(µ+

m

σ2)2 − m2

2σ2

).

En particulier

E(expλU2) =1√

1− 2λσ2exp

m2λ

1− 2λσ2

Par propriete de l’esperance conditionelle E(eaXY ) = E(Φ(X)) avec Φ(x) = eaxY .

Exercice 1.2.2 : Si X et Y sont gaussiennes independantes de loi N (m1, σ21) et N (m2, σ

22), la

somme X + Y est gaussienne: ceci se voit tres facilement avec les fonctions caracteristiques:

E(eit(X+Y )) = E(eitX)E(eitY ) = eitm1− t2σ2

12 eitm2− t

2σ22

2 = eitm−t2σ2

2

avec m = m1 +m2 et σ2 = σ21 + σ2

2 .On peut le voir aussi en se souvenant que si X et Y sont independantes, de densite f et g, la sommeX + Y a pour densite h(x) =

∫∞−∞ f(x− y) g(y) dy et en effectuant le calcul. Attention, ce resultat

n’est pas necessairement vrai si on n’a pas l’independance de X et Y (la somme de deux gaussiennesest une gaussienne si le vecteur est gaussien).On peut aussi calculer la transformee de Laplace de la somme

E(

exp(λ(X + Y )))

= E(exp(λ(X))E(exp(λ(Y ))

= exp[λ(m1 +m2) +λ2

2(σ2

1 + σ22)]

ce qui montre que la somme a une loi gausienne d’esperance m1 +m2 et de variance σ21 + σ2

2 .

Exercice 1.2.3 :

Corriges 93

1. Si X est N (m,σ2), sa densite est f(x) =1

σ√

2πexp− (x−m)2

2σ2et la v.a. Y =

X −mσ

est

N (0, 1). On peut le verifier de plusieurs facons.

• En calculant la fonction de repartition de Y : Soit FY la fonction de repartition de Y . Ona FY (y) = P(Y ≤ y) = P(X ≤ m+ yσ) = FX(m+ yσ). Il reste a deriver par rapport a y

pour obtenir la densite de Y qui est σf(m+ yσ) =1√2π

exp−y2

2.

• On peut utiliser les fonctions caracteristiques. Soit φ(t) = E(eitX) = eitm−t2σ2

2 la fonc-tion caracteristique de X; la fontion caracteristique de Y est

E(eitY ) = E(eitX−mσ ) = e−

itmσ φ(

t

σ) = e−

t22

Cette remarque permet de ramener des calculs sur N (m,σ2) a des calculs sur N (0, 1).

La variable X−m est gaussienne centree. D’ou en utilisant l’exercice 1.2.1, E(|X−m|) = 2σ√2π

.

2. On a E(eλX) =1

σ√

2π

∫ ∞−∞

eλx exp− (x−m)2

2σ2dx.

On montre que eλx exp− (x−m)2

2σ2 = exp(λm+ 12σ

2λ2) exp[− 12σ2 (x− (m+ λσ2))2] et le resultat

s’obtient facilement.

3. Soit X une v.a. de loi N (0, 1). On a

E(11X<beλX) =1√2π

∫ b

−∞eλxe−

x22 dx =

1√2πeλ22

∫ b−λ

−∞e−

x22 dx = e

λ22 Φ(b− λ).

4. Il est facile, par changement de variable, d’obtenir

E(eθXf(X)) = emθ+σ2θ2/2E(f(X + θσ2)

pour f continue bornee.

5. Par derivation par rapport a θ, on obtient pour f ”reguliere”

E(f(X)(X −m)) = σ2E(f ′(X))

6. En derivant E(eaGN (bG+ c)) par rapport a b, on obtient le resultat.

Exercice 1.2.4 : On rappele quelques resultats classiques:(a) la convergence L2 implique la convergence L1: ||Xn−X||2 converge vers 0 implique ||Xn−X||1

converge vers 0, avec ||X||1 =∫

Ω|X|dP. Ce resultat est evident compte tenu de l’inegalite ||X||1 ≤

||X||2 qui resulte de la positivite de la variance Var (|X| ) = ||X||22 − ||X||21.(b) Si Xn converge vers X dans L2 (resp. L1), on a E(X2

n) converge vers E(X2) (resp E(Xn)converge vers E(X)). (La reciproque est fausse)

Si Xn converge dans L2 vers X, on a en particulier mn converge vers m et σ2n converge vers σ .

La suite de fonctions caracteristiques eitmn−t2σ2

n2 converge vers eitm−

t2σ22 et la loi deX est gaussienne.

Exercice 1.2.5 : Soit X un vecteur gaussien. Le vecteur Y = AX est un vecteur gaussien,car toutes les combinaisons lineaires de composantes de Y sont des combinaisons lineaires de com-posantes de X, donc une variable gaussienne.Que le vecteur X soit gaussien ou non, on a E(AX) = AE(X) et VarAX = At(VarX)A, ouVarX designe la matrice de variance covariance du vecteur X. On obtient dans le cas p = 1 que

94 Rappels

At(VarX)A ≥ 0, c’est-a-dire que les matrices de variance covariance sont semi definies positives.

Exercice 1.2.6 : La v.a. λX + µY est gaussienne d’esperance λE(X) + µE(Y ) et de varianceλ2σ2(X) + µ2σ2(Y ). On en deduit

E(exp(λX + µY )) = exp[λE(X) + µE(Y ) +

12

(λ2σ2(X) + µ2σ2(Y ))]

= exp[λE(X) +

12λ2σ2(X)

]exp

[µE(Y ) +

12µ2σ2(Y )

]= E(expλX)E(expµY )

d’ou l’independance.

Exercice 1.2.7 : Si (X,Y ) est un vecteur gaussien, X et Y sont des vecteurs gaussiens.Cas d = 1. La projection de X sur (Y1, Y2, . . . , Yn) est de la forme PrX =

∑ni=1 aiYi C’est une v.a.

gaussienne car Y est gaussien. Le vecteur (X −PrX, Y ) est gaussien. Les vecteurs X −PrX et Ysont independants car E((X − PrX)Yi) = 0 par definition de la projection.

Exercice 1.2.8 : Toujours avec la transformee de Laplace.On verifie dans un premier temps que

E(exp(λX)) = E[E(exp(λX)|Y )] = E[exp(λ(aY + b) +λ2

2σ2)]

= exp[λaE(Y ) +λ2a2

2σ2(Y )] exp[λb+

λ2

2σ2]

donc, la v.a. X est gaussienne d’esperance b + aE(Y ) et de variance σ2 + a2σ2(Y ). On calcule de

la meme facon E(Y eλX) = E(Y exp(λ(aY + b) +λ2

2σ2)] et en derivant par rapport a λ, on trouve

E(XY ) = aE(Y 2) + bE(Y ).D’autre part

E(exp(λX + µY )) = E[exp(µY )E(exp(λX|Y )]

= E[exp(µY ) exp(λ(aY + b) +λ2

2σ2)]

= E[exp[(λa+ µ)Y ]] exp(λb+λ2σ2

2)

= exp[(λa+ µ)E(Y ) +(λa+ µ)2

2σ2(Y )] exp(λb+

λ2σ2

2)

et on verifie que ceci est

exp(λE(X) + µE(Y )) +12

Var(λX + µY ))

1.3 Esperance conditionnelle

Exercice 1.3.2 : Il suffit de calculer E([X−Y ]2|G) qui vaut 0 (developper le carre) donc, en prenantl’esperance E([X − Y ]2) = 0.

Exercice 1.3.5 : Sous les hypotheses de l’exercice E(X−Y |G) = E(X|G)−Y car Y est G-mesurableet E(X − Y |G) = E(X − Y ) = m par independance. D’ou E(X |G) = m + Y . De la meme faconE((X − Y )2 |G) = E(X2|G)− 2Y E(X|G) + Y 2 d’ou E(X2|G) = σ2 + (Y +m)2.

Corriges 95

Exercice 1.3.6 : Par definition de la projection E(XZ) = E((PrX)Z) pour tout Z combinaisonlineaire des Yi. Cela ne suffit pas a dire que PrX est l’esperance conditionnelle car il existe des v.a.qui sont Y -mesurable et qui ne sont pas combinaison lineaire des Yi. Mais nous avons montre queX−PrX et Y sont independantes, d’ou E(X−PrX |Y ) = E(X−PrX) = 0. D’ou E(X|Y ) = PrX.Si n = 1, E(X|Y ) = PrX appartient a l’espace engendre par Y donc s’ecrit αY , et on deduit de

E(X|Y ) = αY , apres multiplication par Y et integration α =E(XY )E(Y 2)

.

Exercice 1.3.7 : Soit X = X1 + X2. On a E(X|G) = E(X1|G) + E(X2|G) = E(X1) + X2. PuisE(X2|G) = E(X2

1 ) +X22 + 2X2E(X1) et

Var (X|G) = E(X2|G)− (E(X|G))2 = VarX1.

E(eλX |G) = E(eλX1eλX2 |G) = eλX2E(eλX1) = eλX2 exp(λE(X1) + λ2

2 Var (X1))

Exercice 1.3.8 : Il est facile de montrer la suite d’egalites

Cov (Z1, Z2|G) = E(Z1Z2|G)− E(Z1|G)E(Z2|G)= E(Z1Z2|G)− E(Z2(E(Z1|G))|G)= E((Z1 − E(Z1|G)Z2|G)

Exercice 1.3.9 : Le membre de droite, note K est H mesurable. Il suffit de verifier que

E(X11H) = E(K11H)

pour tout H ∈ H, ce qui se reduit a

E(X11C11A) = E(K11C11A, et E(X11C11Ac) = E(K11C11Ac)

ce qui est routine.

Exercice 1.3.10 : Par linearite, E(aX + b|Z) = aE(X|Z) + b. La tribu engendree par Z estcomposee des sous-ensembles de Ω de la forme Z−1(A) ou A est un borelien de R et Z−1(A) =ω|Z(ω) ∈ A = ω|αY (ω) + b ∈ A = ω|Y (ω) ∈ B ou B est l’ensemble des nombres reels telsque x ∈ B ⇐⇒ αx + b ∈ A et est un borelien (La preuve parfaite exigerait la demonstration de ce

point, qui tient au fait que B est l’image reciproque de A par l’application g : y → 1αy − b, soit

B = g−1(A) et que g est continue, donc borelienne)

Exercice 1.3.11 : La premiere question est directe en utilisant le resultat admis dans l’exercice1.1.6. En utilisant cette question, on a que E(X|G)111≤τ est de la forme h(1 ∧ τ)111≤τ = h(1)111≤τ .En prenant l’esperance des deux membres, on identifie la constante h(1).

Exercice 1.3.12 : Trivial.

Exercice 1.3.13 : E(X|F) est G ∨ F mesurable. Soit F ∈ F et G ∈ G, on a alors, en utilisantl’independance

E(X11F 11G) = E(X11F )E(11G)

etE(11F 11GE(X|F)) = E(11FE(X|F))E(11G)

donc E(X11F 11G) = E(11F 11GE(X|F)). Nous avons donc montre que E(X11H) = E(11HE(X|F)) pourtout H ∈ G ∨ F de la forme H = F ∩ G. Ces ensembles engendrent la tribu G ∨ F et forment unefamille stable par intersection. L’application qui a H associe E(X11H) (resp. E(11HE(X|F))) definit

96 Rappels

une mesure positive sur cette tribu, les deux mesures, apres normalisation par E(X) sont des prob-abilites (c’est-a-dire l’application qui a H associe E(X11H)/E(X) est une probabilite) qui coincidentsur les ensembles de la forme F ∩G, donc, par theoreme de classe monotone, elles coincident sur latribu engendree.

Exercice 1.3.14 : Seule la reciproque demande une demonstration. Si EQ(X|G) = EP(X|G) alorsEP(LX|G) = EP(X|G)EP(L|G) = EP(XEP(L|G)|G) D’ou EP(X(L− EP(L|G))|G) = 0 pour tout X. Ilen resulte (prendre X = L− EP(L|G)) que L− EP(L|G) = 0.

Exercice 1.3.15 : Soit dQ = Ψ(X)dP. On a EP(φ(X)) =∫φ(x)f(x)dx,EQ(φ(X)) = EP(Ψ(X)φ(X)) =

∫Ψ(x)φ(x)f(x)dx. Il suffit de choisir Ψ telle que Ψ(x)f(x) = g(x).

1.4 Martingales

Exercice 1.4.1 : Soit s ≥ t et Xt = E(X|Ft). On a, en utilisant Ft ⊂ Fs

E(Xs|Ft) = E(X|Fs|Ft) = E(X|Ft) = Xt.

Exercice 1.4.2 : Soit Xt = Mt − At. On a, pour t ≥ s E(Xt|Fs) = Ms − E(At|Fs) et commeAs ≤ At ou −At ≤ −As, E(Xt|Fs) ≤Ms − E(As|Fs) = Ms −As = Xs.

Exercice 1.4.3 : C’est le lemme de Fatou: de l’inegalite

E(Mt∧τn |Fs) = Ms∧τn

on en deduit l’inegalite de surmartingale en utilisant que Ms∧τn converge vers Ms et que

limE(Mt∧τn |Fs) ≤ E(limMt∧τn |Fs) = E(Mt|Fs)

(le lemme de Fatou assure que limE(Xn|G) ≤ E(limXn|G) si les v.a. sont positives).Soit F ∈ F et G ∈ G E(X11F 11G) = E(11F 11GE(X|F)) car E(X11F 11G) = E(X11F )E(11G) etE(11F 11GE(X|F)) = E(11FE(X|F))E(11G).

Exercice 1.4.4 : Par definition de la propriete de martingale, Xt = E(XT |Ft). Cette propriete esta la base de tous les calculs d’evaluation en finance. En effet, ces formules reposent sur le fait qu’uncertain processus est une martingale et donc que sa valeur a l’instant t est l’esperance conditionnellede sa valeur terminale.

Exercice 1.4.7 : Soit G = (Gt, t ≥ 0) la filtration de M , c’est a dire Gt = σ(Ms, s ≤ t). Pardefinition, Gt ⊂ Ft (La martingale M est F adaptee, et la filtration de M est la plus petite filtrationtelle que la propriete d’adaptation soit vraie. On a alors E(Mt|Gs) = E(Mt|Fs|Gs) = E(Ms|Gs) = Ms

On peut aussi montrer que si que si M est une F-martingale et Ht ⊂ Ft, E(Mt|Ht) est une H-martingale.

Exercice 1.4.8 : Pour s < t, on a (τ ≤ s) ⊂ (τ < t), d’ou

Zt = E(τ ≤ t|Ft) ≥ E(τ ≤ s|Ft)

et le resultat suit en prenant l’esperance conditionnelle par rapport a Fs.

Corriges 97

Exercice 1.4.9 : Si X est un PAI, et Xt integrable, pour t > s, les proprietes de l’esperanceconditionelle permettent d’ecrire

E(Xt −Xs|Fs) = E(Xt −Xs)

d’øu Ytdef= Xt − E(Xt) est une martingale. En utilisant que le PAI Y est une martingale

E(Y 2t − Y 2

s |Fs) = E((Yt − Ys)2|Fs) = E((Yt − Ys)2)

et il est facile d’en deduire que X2t − E(X2

t ) est une martingale. De la meme facon

E(Zt|Fs) =E(eλXt |FsE(eλXt)

=E(eλ(Xt−Xs)|Fs

E(eλXt)eλXs =

E(eλ(Xt−Xs))E(eλ(Xt−Xs))E(eλXs)

eλXs

=1

E(eλXs)eλXs = Zs

1.5 Temps d’arret

Exercice 1.5.1 : La seule difficulte est la stabilite par passage au complementaire. Si A ∈ Fτ onecrit

Ac ∩ (τ ≤ t) = (τ ≤ t)− (A ∩ (τ ≤ t) ∈ FtExercice 1.5.2 :Par hypothese sur X, pour tout a, X ≤ a ∈ FT Par definition de la tribu FT ,X ≤ a ∩ T ≤ t ∈ Ft. Par suite X ≤ a ∩ T ≤ a ∈ Fa. Le premier membre de cette inclusionest X ≤ a.

Exercice 1.5.4 : Il suffit d’ecrire

A ∩ (T ≤ t) = A ∩ (S ≤ t) ∩ (T ≤ t)et donc, si A ∈ FS on a A ∩ (T ≤ t) ∈ Ft.

Exercice 1.5.5: Il suffit d’ecrire

(S ≤ a) ∩ (S ≤ t) = (S ≤ (a ∧ t)) ∈ Fa∧t

Exercice 1.5.6: Montrons que S ≤ T ∈ FT . pour cela , on ecrit

(S ≤ T ) ∩ (T ≤ t) = (S ∧ t ≤ T ∧ t) ∩ (T ≤ t) ∩ (S ≤ t)et chacu des trois ensembles du membre de droite est dans Ft (car S ∧ t est plus petit que t doncFt mesurable.

On introduit R = S ∧ T . C’est un temps d’arret, FR mesurable avec FR ⊂ FT . Donc(R = T ) ∈ FT , et (R < T ) ∈ FT , par suite (S < T ) ∈ FT et S = T ∈ FT , ainsi que T ≤ Set T < S.

Exercice 1.5.7 : Soit ω fixe. La fonction t → Zt(ω) vaut 1 pour t ∈ [S(ω), T (ω[ et 0 sinon. Elleest continue sur les trois intervalles [0, S(ω)[, ]S(ω), T (ω)[, ]T (ω),∞[. Elle est continue a droite enS(ω) car si t→ S(ω) ”par la droite” (soit t > S(ω)), Zt(ω) = 1 tend vers ZS(ω)(ω) = 1.

Exercice 1.5.11 : Utiliser le theoreme d’arret et le temps d’arret Ty pour y > a. On a E(MTy∧t) =a. On fait alors tendre t vers l’infini MTy∧t converge vers y sur Ty < ∞ et vers 0 sinon. (et estborne). D’ou P(Ty <∞) = a/y. Il reste a remarquer que P(Ty <∞) = P(supMt ≥ y).

98 Rappels

1.6 Temps discret

Exercice ?? : L’egalite E(Xn+p|Fn) = Xn est vraie pour p = 1. En utilisant

E(Xn+p|Fn) = E(Xn+p|Fn+p−1|Fn) = E(Xn+p−1|Fn)

on demontre le resultat par recurrence.

Exercice ?? : On obtient

E((H ·M)n|Fn−1) =n∑

k=1

E(Hk(Mk −Mk−1) |Fn−1)

=n−1∑

k=1

Hk(Mk −Mk−1) + E(Hn(Mn −Mn−1) |Fn−1)

=n−1∑

k=1

Hk(Mk −Mk−1) +HnE(Mn −Mn−1 |Fn−1)

=n−1∑

k=1

Hk(Mk −Mk−1)

1.7 Algebre beta-gamma

1.8 Divers

Exercice 1.8.1 :

E(exp−λMτ ) = E(θ∫ ∞

0

dte−θte−λMt) = E(θ∫ ∞

0

dte−θtλ∫ ∞Mt

e−λudu)

= E(θ∫ ∞

0

dt

∫ ∞0

due−θtλ11u>Mte−λu) = E(θ

∫ ∞0

du

∫ ∞0

dte−θtλ11Tu>te−λu)

= θE(∫ ∞

0

due−λuλ∫ Tu

0

dte−θt) =∫ ∞

0

due−λuλ(1− e−θTu)

Exercice 1.8.2 : La partie directe est evidente, car eλX et eλY sont independantes. La reciproquen’est pas vraie, comme le montre le contre exemple suivant: Soit X,Y telles que P(X = i, Y = j) =ai,j ou les ai,j sont donnes pas les coefficients de la matrice

1/9 1/6 1/181/18 1/9 1/61/6 1/18 1/9

La loi de X est egale a celle de Y et P(X = i) = 1/3 = P(Y = j). On verifie que X et Y ne sontpas independantes (par exemple P(X = 1, Y = 3) 6= 1/9.La loi de X + Y est egale a la loi de X1 + Y1 ou X1 a meme loi que X, Y1 a meme loi que Y et X1

et Y1 sont independantes.

Cet exercice montre que la loi de la somme de deux v.a. depend tres fortement de la loi duCOUPLE. Rappellons a ce sujet que si Z1 et Z2 sont gaussiennes, cela n’implique pas que Z1 + Z2

est gaussienne: Le contre exemple suivant du a Nelson le prouve: Soit n la densite gaussienne reduitecentree et u une fonction impaire continue, nulle hors de [−1,+1] telle que |u(x)| < (2πe)−1/2. Onverifie que f(x, y) = n(x)n(y) + u(x)u(y) est une densite, que les lois marginales sont normales, et

Corriges 99

la loi de la somme n’est pas normale.Par contre, si le vecteur (X,Y ) est gaussien, la somme X + Y est gaussienne. Pour que le vecteur(X,Y ) soit gaussien, il faut et il suffit que X soit gaussien et que la loi conditionnelle de Y a X soitgaussienne.

100 Brownien.

Chapter 2

Mouvement Brownien, Corriges

2.1 Proprietes elementaires

Exercice 2.1.1 : Trivial. Ceci constitue une caracterisation du mouvement Brownien comme pro-cessus gaussien centre de covariance t ∧ s.

Exercice 2.1.3 :

1. On a E(BsB2t ) = E(E(BsB2

t |Fs)). La variable aleatoire Bs est Fs-mesurable, d’ou E(BsB2t ) =

E(BsE(B2t |Fs)).

On sait que B2t − t est une martingale, d’ou, si s > t, E(B2

t |Fs) = B2s − s+ t. En utilisant que

la v.a. Bt est centree et que E(B3t ) = 0, on obtient que

E(BsB2t ) = E(Bs(B2

s − s+ t)) = E(B3s ) = 0.

Si s > t, on a E(BsB2t ) = E(E(BsB2

t |Ft)) = E(B2tE(Bs|Ft)) = E(B3

t ) = 0 ou on a utilise lapropriete de martingale de B.

2. Le MB est une martingale, donc E(Bt|Fs) = Bs pour t ≥ s et E(Bt|Fs) = Bs pour t < s car Btest Fs-mesurable dans ce cas. Si s < t, E(Bt|Bs) = E(Bt−Bs+Bs|Bs) = E(Bt−Bs|Bs)+Bs =Bs car Bt−Bs est independant de Bs et centre. Si t < s, on s’inspire du pont Brownien (voir

ex suivant) pour ecrire E(Bt|Bs) = E(Bt − t

sBs|Bs) +

t

sBs. La v.a. Bt − t

sBs est centree

et independante de Bs: en effet, le couple (Bt − t

sBs, Bs) est un couple gaussien centre et sa

covariance est nulle. On en deduit E(Bt|Bs) =t

sBs.

On peut aussi utiliser les resultats sur le conditionnement d’un vecteur gaussien.

3. La variable Bt + Bs est gaussienne (car B est un processus gaussien) centree. On peutaussi ecrire (Bt + Bs) comme une somme de v.a. gaussiennes independantes: si t > s,Bt +Bs = Bt −Bs + 2Bs. On en deduit que sa variance est t+ 3s.

4. Soit θs une variable aleatoire bornee Fs-mesurable. On a, pour s ≤ tE(θs(Bt −Bs)) = E(E(θs(Bt −Bs)|Fs)) = E(θsE((Bt −Bs)|Fs)) = 0.

De meme

E(θs(Bt −Bs)2) = E(E(θs(Bt −Bs)2|Fs)) = E(θsE((Bt −Bs)2|Fs)) = (t− s)E(θs).

101

102 Brownien.

5. E(11Bt≤a) = P(Bt ≤ a) = P(√tU ≤ a) = P(U ≤ a/√t) ou U est une v.a. de loi N (0, 1).

E(Bt11Bt≤a) =∫ a

−∞x

1√2πt

exp(−x2

2t) dx =

√t

∫ a/√t

−∞y

1√2π

exp(−y2

2) dy et la derniere integrale

se calcule facilement.

Exercice 2.1.4 :Pour t > u, la propriete d’independance et de stationarite des accroissements conduit a

f(Bt) = f(Bt −Bu +Bu) loi= f(Bt−u +Bu)) loi= f(Bt−u +√uG))

ou Bs = Bs+u−Bu est un MB independant de Fu et G une v;a. gaussienne standard, independantede Bt−u.

Exercice 2.1.5 :On peut calculer la densite de BΘ

P(BΘ ∈ dx) =∫P(Bt ∈ dx)θe−θt11t>0dt =

∫ ∞0

1√2πt

exp(−x2

2t)θe−θtdt

On trouve

P(BΘ ∈ dx) =

√2θ2e−|x|

√2θdx

mais ce calcul d’integrale n’est pas trivial. Cependant, on peut y arriver sans utiliser un attirail lourdde changement de variables. On sait que la transformee de Laplace du temps d’atteinte du niveau a

par un mouvement Brownien est e−|a|√

2λ et que la densite de ce temps d’atteinte est|a|√2πu3

e−a2/2u.

Ce qui s’ecrit−|a|√

2λ = E(e−λTa) =∫ ∞

0

e−λt|a|√2πt3

e−a2/2tdt .

Par derivation par rapport a λ, on obtient

|a|√2λe−|a|

√2λ =

∫ ∞0

e−λt|a|√2πt

e−a2/2tdt .

D’ou

λ

∫ ∞0

e−λt1√2πt

e−a2/2tdt =

√2λ2

e−|a|√

2λ .

Exercice 2.1.6 :

1. Le processus M est F-mesurable. La v.a. Mt est integrable: E(|B3t |) = Ct

32 ou C est une

constante et E|∫ t

0

Bsds| ≤∫ t

0

E(|Bs|) ds =∫ t

0

√2sπds <∞.

En utilisant que, pour t > s, la v.a. Bt −Bs est independante de Fs, on obtient

E(B3t |Fs) = E((Bt −Bs +Bs)3|Fs) = E((Bt −Bs)3) + 3BsE(Bt −Bs)2 + 3B2

sE(Bt −Bs) +B3s

= 3Bs(t− s) +B3s .

D’autre part

E(∫ t

0

Budu|Fs) =∫ t

0

E(Bu|Fs) du =∫ s

0

E(Bu|Fs) du+∫ t

s

E(Bu|Fs) du =∫ s

0

Bu du+Bs(t−s)

La propriete de martingale de M est alors facile a verifier.

Corriges 103

2. Des calculs analogues aux precedents montrent que B3t − 3tBt est une martingale. Il suffit

de montrer que pour s < t, E(B3t − 3tBt|Fs) = B3

s − 3sBs. Or, en utilisant que Bt − Bs estindependant de Fs, on obtient E((Bt −Bs)3|Fs) = E((Bt −Bs)3) = 0 car E(X3) = 0 si X estune variable gaussienne centree. Il reste a utiliser (a− b)3 = a3−3a2b+ 3ab2− b3 pour obtenir

E(Bt −Bs)3|Fs) = E(B3t |Fs)− 3BsE(B2

t |Fs) + 3B2sE(Bt|Fs)−B3

s

= E(B3t |Fs)− 3Bs(B2

s − s+ t) + 3B2sBs −B3

s

Le processus B3t − 3tBt est une martingale, donc par difference tBt−

∫ t

0

Bsds est une martin-

gale, egale (integration par parties) a∫ t

0

sdBs.

3. La v.a. Xt est Ft-mesurable et integrable : en effet |Xt| ≤ t|Bt| +∫ t

0

|Bs|ds =: Z et il est

facile de verifier que Z est integrable (soit E(Z) <∞, car E(|Bt|) =2t√2π

).

Soit t > s.

E(Xt|Fs) = E(tBt −∫ t

0

Budu|Fs) = tE(Bt|Fs)−∫ t

0

E(Bu|Fs)du

= tBs −∫ s

0

Budu−∫ t

s

Bsdu = tBs −∫ s

0

Budu−Bs(t− s)

= −∫ s

0

Budu+Bss = Xs

le processus X est une martingale.On peut aussi appliquer la formule d’Ito et verifier que dXt = tdBt. Comme f(s) = s est de

carre integrable (soit∫ t

0

s2ds < ∞) , l’integrale de Wiener∫ t

0

sdBs est une martingale. On

peut aussi remarquer que, par integration par parties, Xt =∫ t

0

sdBs.

4. On verra plus tard que U n’est pas une martingale. On peut remarquer que E(Ut) n’est sansdoute pas constant.

5. Soit t > s. E(Yt|Fs) = E(t2Bt − 2∫ t

0

Budu|Fs) = t2E(Bt|Fs) − 2∫ t

0

E(Bu|Fs)du = t2Bs −

2∫ s

0

Budu− 2∫ t

s

Bsdu = t2Bs− 2∫ s

0

Budu− 2Bs(t− s) = Ys + (t2− s2)Bs− 2Bs(t− s) Pour

que Y soit une martingale, il faudrait que 0 = (t2 − s2)Bs − 2Bs(t− s) = (t− s)Bs(t+ s− 2),ce qui n’est pas.

Exercice 2.4.4 : En ecrivant Mt = −(B2t −t)+(a+b)Bt−ab et en utilisant que B et (B2

t −t, t ≥ 0)sont des martingales, le caractere martingale de M provient de la structure espace vectoriel del’ensemble des martingales. Le processus Mt∧Ta,b est une martingale de valeur initiale −ab, doncE[Mt∧Ta,b ] = −ab. Le temps d’arret Ta,b, majore par Ta est fini (cf. Exercice 2.4.1). Lorsque tconverge vers l’infini Mt∧Ta,b = (a−Bt∧Ta,b)(Bt∧Ta,b − b)+ t ∧ Ta,b converge vers (a−BTa,b)(BTa,b −b) + Ta,b = Ta,b, car (a − BTa,b)(BTa,b − b) = 0. La quantite (a − Bt∧Ta,b)(Bt∧Ta,b − b) est ma-joree par (a − b)2 et la quantite t ∧ Ta,b converge en croissant vers Ta,b dont on ne sait pas qu’elleest integrable. On peut conclure en appliquant le theoreme de Lebesgue domine pour la partieE(a − Bt∧Ta,b)(Bt∧Ta,b − b) et le theoreme de convergence monotone pour la partie portant sur letemps d’arret. On en deduit E(Ta,b) = −ab.

104 Brownien.

Exercice 2.1.9 : Soit t ≥ s. Ex(f(Bt)g(Bs)) = Ex(f(Bt−s+Bs)g(Bs)) = E[∫

dyf(y)pt−s(Bs, y)g(Bs)]

=

E(Ψ(Xs)) avec Ψ(z) = g(z)∫f(y)pt−s(z, y)dy.

D’ou Ex(f(Bt)g(Bs)) =∫ps(x, z)Ψ(z)dz.

Autre mode de raisonnement: On applique la propriete de Markov.

Ex(f(Bt)g(Bs)) = Ex(g(Bs)E((f(Bt)|Fs)) = Ex(g(Bs)E((f(Bt)|Bs)) = Ex(g(Bs)ϕ(Bs))

avec ϕ(z) = Ez(f(Bt−s)) =∫f(y)pt−s(z, y)dy.

Exercice 2.1.11 :En utilisant l’exercice 1.2.1:

Ex(exp−λ(Bt)2) =1√

1 + 2λtexp(− λx2

1 + 2λt)

Exercice 2.1.13 : E|∫ 1

0

Bssds| ≤

∫ 1

0

E|Bss|ds = c

∫ 1

0

1√sds <∞.

Exercice 2.1.14 Utiliser que Bt < 0 ⊂ τ ≤ t.

Exercice 2.1.16 La quantite e−λtu(Bt) est majoree par e−λtM , qui est integrable sur [0,∞], d’oul’existence de f et g.La suite d’egalites

Ex(∫ ∞

τ

dte−λtu(Bt))

= Ex(Ex[∫ ∞

τ

dte−λtu(Bt) |Fτ])

Ex[∫ ∞

τ

dte−λtu(Bt)|Fτ]

= e−λτEx[∫ ∞

0

dte−λtu(Bt+τ −Bτ +Bτ )|Fτ]

Ex[∫ ∞

0

dte−λtu(Bt+τ −Bτ +Bτ )|Fτ]

=∫ ∞

0

dte−λtEx(u(Bt+τ −Bτ +Bτ )|Fτ )

Ex(u(Bt+τ −Bτ +Bτ )|Fτ ) = EBτ [u(Bt)]

ou la derniere egalite resulte de la propriete forte de Markov, B etant le Brownien (Bt+τ−Bτ , t ≥ 0),independant de Fτ , conduisent a

Ex(∫ ∞

τ

dte−λtu(Bt))

= Ex(e−λτψ(Bτ ))

avec ψ(x) =∫ ∞

0

dte−λtEx[u(Bt)] = f(x) ce qui est le resultat souhaite.

Exercice 2.1.17 : Il suffit d’ecrire

∑ αk

k!E(Bkt |Fs) =

∑ αk

k!Hk(Bs,−(t− s))

Exercice 2.1.19 :P(au moins un zero dans ]s, t[|Bs = a) = P(Ta ≤ t− s). Il reste a calculer

2∫ ∞

0

da1√2πs

e−a2/2s

∫ t−s

0

dx(2πx3)−1/2a exp(− a2

2x)

On utilise Fubini et de la trigonometrie.

Corriges 105

2.2 Processus Gaussien

Exercice 2.2.1 : Le processus Y tel que Yt =∫ t

0

Bu du est defini trajectoire par trajectoire, comme

integrale de Riemann d’une fonction continue. En particulier, on a dYt = Btdt. Nous verifions que leprocessus Y est un processus gaussien. Tout d’abord, la v.a. Yt est une gaussienne comme limite desommes de Riemann qui sont des gaussiennes car B est un processus gaussien. Le caractere gaussiendu processus s’obtient par un raisonnement analogue.

On a E(Yt) =∫ t

0

E(Bu) du = 0.

La covariance de Y est E(YtYs) =∫ t

0

du

∫ s

0

dvE(BuBv). Il reste a integrer

∫ t

0

du

[∫ s

0

dv(u ∧ v)].

On se place dans le cas s < t et il vient

E(YtYs) =∫ s

0

du

[∫ s

0

(v ∧ u)dv]

+∫ t

s

du

[∫ s

0

(v ∧ u)dv]

=∫ s

0

du

[∫ u

0

vdv +∫ s

u

udv

]+∫ t

s

du

[∫ s

0

vdv

].

Tous calculs faits, pour s < t: E(YtYs) =s2

6(3t− s).

Exercice 2.2.2 La solution est

Xt = e−atx+ e−at∫ t

0

e(a+b)tdBt

On procede comme pour le processus d’OU. On peut aussi resoudre dXt = −aXtdt ce qui donneXt = Ce−at et appliquer une methode de variation de la constante. On cherche un processus C telque Xt = Cte

−at verifie l’equation (cette methode ne prend toute sa signification que si on a vu laformule d’integration par parties)

dXt = −aCte−atdt+ e−atdCt = −aXtdt+ ebtdBt

d’ou e−atdCt = ebtdBt soit dCt = e(b+a)tdBt. Il resterait a verifier que l’on a bien trouve unesolution, car on ne dispose pas du lemme d’Ito et on ne sait pas justifier que la derivee de Cte−at

est −aCte−atdt+ e−atdCt.

Exercice 2.2.4 :

1. Le processus (Zt = Bt − tB1, 0 ≤ t ≤ 1) est un processus gaussien car pour tout choix de(ai, ti) ∑

aiZti =∑

aiBti − (∑

aiti)B1

est une v.a.r. gaussienne (B est un processus gaussien). De la meme facon, on obtient quele vecteur (Zt, B1) est gaussien. Ses deux composantes Zt et B1 sont independantes carE(ZtB1) = E(BtB1)− tE(B2

1) = 0. La covariance de Z est

E(ZtZs) = E(BsBt)− sE(B1Bt)− tE(BsB1) + tsE(B21) = (s ∧ t)− st.

On appelle Z un pont Brownien.

106 Brownien.

2. Le processus (Yt = Z1−t, 0 ≤ t ≤ 1) est gaussien centre. Sa covariance est, pour s ≤ t,

E(YtYs) = (1− t) ∧ (1− s)− (1− s)(1− t) = (s ∧ t)− st = s(1− t).

3. Soit Yt = (1 − t)B t1−t

. Le processus Y est un processus gaussien car∑aiYti =

∑biBsi . On

a E(Yt) = 0 et pour s < t

E(YsYt) = (1− t)(1− s)E(B t1−t

B s1−s ) = (1− t)(1− s) s

1− s = s(1− t)

Exercice 2.2.5 : Par definition de l’integrale de Riemann, toute combinaison lineaire∑

i

aiZti

est limite dans L2 de sommes du type∑

j

bjBtj , d’ou le caractere gaussien. (Attention, il ne faut

pas se contenter de dire que Z est la somme de deux processus gaussiens. La somme de deux v.a.gaussiennes n’est pas necessairement une gaussienne. Cette propriete est vraie si les variables sont

independantes) On utilise ici que∫ t

0

Bssds = lim

n∑

i=0

Btiti

(ti+1 − ti).

Pour caracteriser la loi du processus gaussien Z, il suffit de donner son esperance et sa covariance.Il est immediat de montrer que E(Zt) = 0. Il reste a calculer la covariance. Soit s < t.

E(ZsZt) = E(BsBt)− E[∫ t

0

BsBuudu]− E[Bt

∫ s

0

Buudu] + E[

∫ t

0

duBuu

∫ s

0

dvBvv

On utilise que E(∫ b

a

f(Bu)du) =∫ b

a

E[f(Bu)]du et que E(BuBv) = u ∧ v). Apres quelques calculs

d’integration sur les integrales doubles, il vient E(ZsZt) = s. Le processus Z est un processusgaussien d’esperance nulle et de covariance s ∧ t.Le processus Z est donc un mouvement Brownien. Cependant le processus Z n’est pas une (Ft)martingale: pour s > t

E(Zs − Zt|Ft) =∫ s

t

1uBsdu 6= 0

On a ici l’exemple d’un processus qui est un MB (et une martingale par rapport a sa propre filtra-tion), mais qui n’est pas un brownien, ni meme une martingale par rapport a une filtration plusgrosse. Le probleme est connu sous le nom de grossissement de filtration. (Voir l’exercice sur l’agentinitie, dans le chapitre complements)

Exercice 2.2.6 : Bu − u

tBt = (Bu − u

t+ hBt+h)− u

t(Bt − t

t+ hBt+h) montre la croissance de Γt

et Bt est orthogonal a Bu − u

tBt .

Exercice 2.2.7 : Rappel (cf. Exercice 1.6.2) : soit X est une v.a. de loi N(m;σ2) et Y =expλ(X −m)− 1

2λ2σ2. Soit dQ = Y dP. Sous Q, X est une v.a. de densite N(m+ λσ2, σ2).

On montre alors que Bt = Bt −mt a une loi gaussienne sous Q.On verifie ensuite l’independance des accroissements: il s’agit de montrer que

EQ(φ(Bt+s − Bs)ψ(Bs)) = EQ(φ(Bt+s − Bs))EQ(ψ(Bs))

pour toutes fonctions boreliennes bornees (φ, ψ). On a, par changement de probabilite, avec Lt =

exp(mBt − m2

2t)

A = EQ(φ(Bt+s − Bs)ψ(Bs)) = EP(Lt+sφ(Bt+s − Bs)ψ(Bs).

Corriges 107

On a Bt+s − Bs = Bt+s −Bs −mt.En utilisant l’independance de Bt+s −Bs et de Bs (sous P) et la forme de L, on obtient

A = EP[exp(m(Bt+s −Bs)− 12m2t))φ(Bt+s −Bs −mt)]EP[exp(mBs − 1

2m2s)ψ(Bs)].

Sous P, Bt+s −Bs et Bt ont meme loi, d’ou

A = EP[exp(mBt − 12m2t)φ(Bt −mt)]EP[exp(mBs − 1

2m2s)ψ(Bs)]

= EP[exp(mBt − 12m2t)φ(Bt)]EP[exp(mBs − 1

2m2s)ψ(Bs)]

ce qui conduit aA = EQ(φ(Bt))EQ(ψ(Bs)) .

Exercice 2.2.8 :

supt

(|Bt| − µtp/2)| = sups

(|Bλ2s)| − µ(λ2s)p/2) loi= sups

(λ|Bs| − µ(λ2s)p/2) = λ sups

(|Bs| − sp/2)

E(|BT |) ≤ E((|BT | − µT p/2)) + µE(T p/2) ≤ E(supt(|Bt| − µtp/2)) + µE(T p/2)

2.3 Multidimensionnel

Exercice 2.3.2 : Si les coefficients σi sont des constantes, il suffit de definirB3(t) = 1√σ2

1+σ22

(σ1B1(t)+

σ2B2(t)). Ce processus est un mouvement Brownien car c’est une martingale et (B23(t)−t; t ≥ 0) est

une martingale. Si les σ sont deterministes, on pose dB3 = 1√σ2

1(t)+σ22(t)

(σ1(t)dB1(t) +σ2(t)dB2(t)).

Le processus

B(3)(t) =1√

1− ρ2(B(2)(t)− ρB(1)(t))

est une martingale

B2(3)(t) =

11− ρ2

(B2(2) + ρ2B2

(1)(t)− 2ρB(1)(t)B(2)(t)

Par definition de la correlation, B(1)(t)B(2)(t) − ρt est une martingale. Il s’en suit que B2(3)(t) − t

est une martingale, donc B(3) est un MB. Il reste a montrer que B(3) est independant de B(1).Remarque: On peut utiliser le theoreme de RP pour etablir que si le coefficient de correlation dedeux MB est nul, ces processus sont independants.

2.4 Temps d’atteinte

Exercice 2.4.1 : Soit λ > 0. Le processus M defini par Mt = exp(λBt− 12λ

2t) est une martingale.On applique le theoreme d’arret de Doob. Si a > 0, la martingale Mt∧Ta est uniformement integrable,car majoree par exp(λa). Donc E(exp(λBTa − 1

2λ2Ta)) = 1, soit E(exp(λa − 1

2λ2Ta)11Ta<∞) =

1. D’ou E(exp(−12λ2Ta) 11Ta<∞) = exp−λa. Pour λ = 0; on obtient P(Ta < ∞) = 1, puis

E(exp(−12λ2Ta) ) = exp−λa. En derivant par rapport a λ2, et en prenant λ = 0, on en deduit

l’esperance de Ta.

108 Brownien.

Exercice 2.4.2 : Appliquer le theoreme d’arret de Doob a la martingale B et au processusB2t∧n − (t ∧ n).

Exercice ?? : On note St = maxs≤tBs. En remarquant que ST = maxs≤tBs ∨maxt<s≤T Bs onen deduit

P(τ > T |Ft) = P(ST < a|Ft) = 11St<aP( maxt<s<T

Bs −Bt < a−Bt|Ft)

Le processus Bu = Bt+u−Bt est un MB independant de Ft. D’ou P(maxt<s<T Bs−Bt < a−Bt|Ft) =Ψ(a−Bt) avec

Ψ(x) = P( max0<u<T−t

Bu < x) = P(|BT−t| < x) = P(|√T − tG| < x) =

2√2π

∫ x√T−t

0

e−u2/2du .

Exercice 2.4.5 : Des calculs simples montrent que E(e−λTd

) = E(exp−|Bd|√

2λ)e−λd. De meme,E(11Bd≤αe

−λTd) = E(11Bd≤αΦ(Bd))e−λd avec Φ(x) = Ex(e−λT0) = E0(e−λTx) = exp(−|x|√

2λ. D’ou

E(11Bd≤αe−λTd) = E(11Bd≤α exp(−|Bd|

√2λ)e−λd) = E(11G≤α/√d exp(G

√2dλ)e−λd)

Exercice 2.4.3 : La propriete de Markov fort montre que Bt = BTa+t − BTa = BTa+t − a estindependant de FTa , donc de Ta. Comme b > a, on a

Tb = inft : Bt = b = inft ≥ Ta : Bt = b = Ta + inft : Bt = b− a

On en deduit que la v.a. Tb − Ta est independante de Ta et que Tb − Ta loi= Tb−a. Le processus Taest donc a accroissements independants et stationnaires. C’est donc un processus de Levy.

Le processus eθ(Xt−νt)−12 θ

2t est une martingale. On applique ensuite le theoreme d’arret de Doobpour obtenir

E((

exp[−1

2λ2Ta

])= eνa exp

(−|a|

√ν2 + λ2

).

Ensuite, on montre que

(eβb − eβa)eαXt−λt + (eαab − eαb)eβXt−λt

est une martingale pour β =√ν2 + 2λ− ν, α = −√ν2 + 2λ− ν.

Exercice 2.4.7 : Par definition P(I ≤ x) = P(infs≤T1 Bs ≥ −x) = P(T1 ≤ T−x). En utilisant letheoreme d’arret de Doob E(BT1∧T−x) = E(B0) = 0, d’ou

P(T1 ≤ T−x)− xP(T1 ≥ T−x) = 0 = P(T1 ≤ T−x)− x(1− P(T1 ≤ T−x))

et P(T1 ≤ T−x) =x

1 + x.

Exercice 2.4.8 : On utilise que (MT∗a < y) = (supu<v Bu < y).

P(MT∗a − y > x|MT∗a > y) = P(T ∗ > Tx+y|T ∗a > Ty)= P(Mu −Bu ≤ a, Ty < u < Tx+y|Mu −Bu < a, ∀u < Ty)

= P(Mu − Bu ≤ a,∀u, 0 < u < Tx) = P(MT∗a ≥ x)

Pour obtenir le parametre, on calcule l’esperance

0 = E(BT∗∧n = E(MT∗a∧n)− E(MT∗a∧n −BT∗a∧n)

Corriges 109

et on passe a la limite E(MT∗a∧n) = a.

Exercice 2.4.9 : Le processus exp[−2µXt/σ2] est une martingale, en effet il est facile de mettre

ce processus sous la forme exp(λBt − 12λ

2t). On en deduit que h(Xt) est une martingale et queE(h(Xτ∧t)) = h(0). L’inegalite |h(Xτ∧t))| ≤ supx∈[−B,A](h(x)) permet d’appliquer le theoreme deconvergence dominee.

Exercice 2.4.15 : On sait que (Lamberton et Lapeyre 2nd edition, page 96, Musiela et Rutkowskip. 49, Voir aussi Karatzas et Shreve, page 95) si Mt = sups≤tBs

P(Bt ≤ x ,Mt ≤ y) = P(Bt ≤ x)− P(Bt ≥ 2y − x)

pour 0 ≤ y, x ≤ y. On en deduit, par derivation

P(Bt ∈ dx ,Mt ≤ y) =1√2πt

exp(−x2

2t)− 1√

2πtexp(− (2y − x)2

2t)

et

P(Mt ≤ y|Bt = x) =P(Bt ∈ dx ,Mt ≤ y)

P(Bt ∈ dx)= 1− exp(− (2y − x)2

2t+x2

2t)

Si le MB est issu de x, on utilise

P(sups≤t

Bs + x ≤ y|Bt + x = z) = P(Mt ≤ y − x|Bt = z − x)

2.5 Scaling

Exercice 2.5.2 : La partie a) resulte de

(T1 > t) = (1 > St)loi= (1 >

√tS1) = (

1S2

1

> t)

La partie c) resulte de

d∆a = inft ≥ ∆a : Bt = 0 = inft :1aAt ≥ 1,

1√aBt = 0

loi= inft : At/a ≥ 1, Bt/a = 0 = ad∆1

et(Ag ≤ a) = (g ≤ ∆1) = (1 ≤ d∆a

loi= (1 ≤ ad∆1) = (1d∆1

≤ a)

La partie d) est facile. Dans ce cas ∆1loi= T ∗1 = inft : sups≤t |Bs| ≥ 1.

Exercice 2.5.3 :

P( sup1≤t≤1

|Bt| ≤ x) = P( sup1≤t≤(1/x2)

|Bt| ≤ 1) = P(M1 ≥ 1x2

)

2.6 Complements

Exercice 2.6.1 : On calcule E((Bt − Bt)2)

E((Bt − Bt)2) = E(B2t ) + E(B2

t )− 2E(BtBt)

= 2t− 2E(BtBt)

110 Brownien.

Il reste a calculerE(BtBt) = E[E

((BtBt|Gt

)]) = E(B2

t ) = t

d’ou E((Bt − Bt)2) = 0; il s’en suit l‘egalite souhaitee.

Exercice 2.6.4 : Soit s < t. Nous devons montrer que pour u ≤ s, β(s)u

def= Bu− u

sBs ∈ Πt. Il suffit

d’ecrire β(s)u = Bu − u

tBt +

u

s(s

tBt −Bs) = β(t)

u −u

sβ(t)s . Le processus (β(t)

u ;u ≤ t) est independant

de la variableu

tBt (calculer les covariances), et Bu = (β(s)

u +u

tBt est la decomposition orthogonale

de B, la projection de Ft est donc∫ t

0

f(s)dsβ(t)s . Le processus B est un processus gaussien centre

de covariance t ∧ s, c’est un MB (On peut aussi le voir en utilisant des resultats d’unicite en loi desolution d’equa diff) Il est facile de montrer que

Bs = β(t)s −

∫ s

0

du

uβ(t)u

et que, en particulier

Bt = −∫ t

0

du

uβ(t)u

D’ou l’egalite des tribus. Il en resulte, en notant F (t) =∫ t

0

f(s)ds et en utilisant une integration

par partie que ∫ t

0

f(s)dBs =∫ t

0

f(s)dBs − BttF (t) +

∫ t

0

F (s)s

dBs .

Exercice 2.6.7 : On utilisera le theoreme de representation previsible pour representer B(1)t , B

(2)t

en terme de B(3). Si l’egalite etait possible, on aurait B(i)t =

∫ t

0

Φ(i)s dBs avec

∫ t

0

E[Φ(i)s ]2ds = t et

E(B(1)t B

(2)t ) = E(

∫ t

0

Φ(1)s Φ(2)

s ds) = 0.

Exercice 2.6.8 : Les premieres questions se traitaient en utilisant des formules d’integration parparties, ou la formule d’Ito. A la main, on calcule

Bt +∫ t

0

Bs −Xs

1− s ds = Bt +∫ t

0

Bs1− sds−

∫ t

0

ds

∫ s

0

Bu(1− u)2

du−∫ t

0

ds

∫ s

0

11− udBu

= Bt −∫ t

0

t− u1− udBu +

∫ t

0

Bs1− s (1− t− s

1− s )ds

=∫ t

0

(1− t− u1− u )dBu +

∫ t

0

Bs1− s (1− t− s

1− s )ds

= (1− t)∫ t

0

11− udBu + (1− t)

∫ t

0

Bs(1− s)2

ds

Par differentiation

dXt = (1− t) Bt(1− t)2

dt− dt∫ t

0

Bs(1− s)2

ds+ (1− t) 11− tdBt − dt

∫ t

0

11− sdBs

=Bt

1− tdt+ dBt − 11− tXtdt

Le calcul de la covariance du processus Gaussien X s’obtenait en appliquant plusieurs fois leresultat d’isometrie

E(∫ t

0

f(u)dBu∫ s

0

g(u)dBu) =∫ t∧s

0

f(u)g(u)du

2009-10 111

et en remarquant que les v.a.∫ t

0

f(u)dBu et∫ s

0

g(v)dBv sont independantes. On trouvait pour

s < tE(XsXt) = s+ 2s(1− t) + (2− s− t) ln(1− s)

2.7 Finance

Exercice 2.7.1 : On calcule separement E(St11St<K) et E(11St<K). On trouve

E(e−rt(St −K)+) = xN (d1(t))−Ke−rtN (d2(t))

avecd1(t) =

1σ√t(ln(

x

K+

12σ2t+ rt), d2(t) = d1 − σ

√t

En appliquant la propriete de Markov, on en deduit

E(e−r(t−s)(St −K)+|Fs) = xN (d1(t− s))−Ke−r(t−s)N (d2(t− s)) .

Exercice 2.7.2 : Nous presentons le calcul pour deux dates. Il s’agit de calculer l’esperance de

(ST − St1)+11St1<K + (ST −K)+11K<St1

On utilise la formule de BS.

E[(ST − St1)+11St1<K ] = E[11St1<KE((ST − S+t1 |Ft1)]

E((ST − S+t1 |Ft1) = E((ST − S+

t1 |§t1)

= St1N (d1)− St1e−r(T−t1)N (d2)

avecd1 =

1σ√T − t1

(12σ2(T − t1) + r(T − t1))

Il vientE[(ST − S+

t111St1<K = aE(St111St1<K

aveca = N (d1)−N (d2)e−r(T−t1)

E[(ST −K)+11K<St1] = E[11K<St1(St1N (d∗1)−Ke−r(T−t1)N (d∗2)

d∗1 =1

σ√T − t1

(ln(St1K

+12σ2(T − t1) + r(T − t1))

112 Ito. Corriges

Chapter 3

Integrale d’Ito, Corriges

3.1 Integrale de Wiener

Exercice 3.1.1 : On a tBt =∫ t

0sdBs +

∫ t0Bsds (en utilisant la formule d’integration par parties)

et E(Yt) = 0, E(YsYt) = ts(t ∧ s). Le processus Y est un processus gaussien (c’etait d’ailleursevident par definition de Y ). On peut aussi utiliser la formule d’Ito (voir plus loin) qui conduit adYt = tdBt +Btdt.

Exercice 3.1.2 : La v.a. Xt =∫ t

0

(sin s) dBs est definie, car∫ t

0sin2 s ds < ∞, pour tout t. Le

processus X est gaussien d’esperance nulle et de covariance E(XsXt) =∫ s∧t

0sin2 u du. Il vient alors

E(XtXs) = s∧t2 − 1

4 sin 2(s ∧ t).Le processus X est une martingale, d’ou, pour s < t, on a E(Xt|Fs) = Xs. La derniere egaliteresulte d’une IP.

Exercice 3.1.4 : La v.a. Yt =∫ t

0

(tan s) dBs est definie, car∫ t

0tan2 s ds < ∞ pour t < π

2 . Le

processus Y est gaussien, centre de covariance E(YtYs) =∫ s∧t

0tan2 u du = tan(s ∧ t)− (s ∧ t).

Le processus Y est une martingale.

Exercice 3.1.5 : Soit

Xt = (1− t)∫ t

0

dBs1− s ; 0 ≤ t < 1

En appliquant le Lemme d’Ito (ou une I.P.) a f(t, y) = (1− t)y et Yt =∫ t

0

dBs1− s (donc dYt =

dBt1− t )

il vient dXt = (−dt)∫ t

0

dBs1− s + (1− t) dBt

1− t , d’ou

dXt =

Xt

t− 1dt+ dBt ; 0 ≤ t < 1

X0 = 0

On admet l’unicite de la solution. Le processus X est gaussien car∫ t

0

dBs1− s est une integrale de

Wiener, et on a E(Xt) = 0 et la covariance de X est donnee par, pour s < t

E(XsXt) = (1− t)(1− s)E(∫ t

0

dBu1− u

∫ s

0

dBu1− u ) = (1− t)(1− s)

∫ s

0

du

(1− u)2= (1− t)s

113

114 Ito. Corriges

En particulier E(X2t ) = t(1 − t) d’ou Xt tend vers 0 quand t tend vers 1. Le processus X est un

pont Brownien.

Exercice 3.1.6 : Formule evidente en ecrivant Bt =∫ t

0

dBs et en utilisant l’isometrie.

Exercice 3.1.7 : E(∫ t2

t1

(Bt − Bt1) dt|Ft1) =∫ t2

t1

E((Bt − Bt1)|Ft1) , dt = 0. Par integration par

parties∫ t2

t1

Bt −Bt1) dt = t2(Bt2 −Bt1)−∫ t2

t1

tdBt =∫ t2

t1

(t2 − t)dBt On en deduit que la variance

cherchee est∫ t2

t1

(t2 − t)2dt.

3.2 Formule d’Ito

Exercice 3.2.1 : 1. Soit Xt = B2t . On a, en posant f(x) = x2

dXt = f ′(Bt)dBt +12f ′′(Bt) dt = 2BtdBt + dt .

2. Soit Xt = t+ expBt. En posant f(t, x) = t+ ex, on a

dXt = dt+ expBtdBt +12

expBtdt .

3. Soit Xt = B3t − 3tBt. En posant f(t, x) = x3 − 3tx on obtient

dXt = 3B2t dBt − 3tdBt − 3Btdt+

12

3 2BtdBtdBt = (3B2t − 3t)dBt .

On retrouve le caractere martingale de X etabli au chapitre precedent.

Exercice 3.2.2 : Soit Xt = exp∫ t

0a(s) ds et Yt = Y0 +

∫ t0[b(s) exp(− ∫ s

0a(u)du) dBs, ou a et b sont

des fonctions deterministes. En utilisant la notation differentielle dXt = a(t)(

exp∫ t

0a(s) ds

)dt et

dYt = b(t) exp(− ∫ t0a(u)du) dBt, d’ou dXtdYt = 0. On pose Zt = XtYt. Par la formule d’Ito, on a

dZt = Xt dYt + Yt dXt = b(t) dBt + a(t)XtYtdt

soit dZt = a(t)Ztdt + b(t)dBt. Le processus (Zt exp− ∫ t0a(s) ds = Yt; t ≥ 0) est une martingale

locale.

Exercice 3.2.3 : La formule d’Ito donne (nous omettons les indices t

dY = X1X2dt+ t(X1dX2 +X2dX1 + d〈X1, X2〉= X1X2dt+ t(X2f(t) + σ1σ2)dt+ t(X1σ2 +X2σ1)dB

Exercice 3.1.3 : La formule d’Ito appliquee a sinBt donne

sinBt = 0 +∫ t

0

cosBs dBs − 12

∫ t

0

sinBs ds,

d’ou Yt =∫ t

0cosBs dBs. C’est une martingale, car E(

∫ t0

cos2Bs ds) < ∞, pour tout t. On aE(Yt) = 0 et varYt = E(

∫ t0

cos2Bs ds).

2009-10 115

Exercice 3.2.4 : En appliquant la formule d’Ito, on obtient

d(X2t + Y 2

t ) = 2XtdXt + 2YtdYt + d〈X〉t + d〈Y 〉t = 2XtYtdBt − 2xtYtdBt + (X2t + Y 2

t )dt

En posant Zt = X2t +Y 2

t on montre que le processus Z verifie dZt = Ztdt ce qui s’integre en Zt = zet.

Exercice 3.2.5 : Il est evident que dZt = YtdBt. On calcule facilement E(Y 2s ) =

∫ t

0

e2sds.

L’integrale stochastique est une martingale car

E(∫ t

0

Y 2s ds) =

∫ t

0

E(Y 2s )ds <∞

et E(Zt) = 0,E(Z2t ) = E(

∫ t0Y 2s ds).

Exercice 3.2.6 : Soit dXt = a(Kt−Xt) dt+σdBt. On voudrait que Xt = f(Kt). La formule d’Itoappliquee a f(Kt) donne

dXt = f ′(Xt)dKt +12f ′′(Kt)σ2 dt

soitdXt = (f ′(Kt)b+

12f ′′(Kt)σ2) dt+ f ′(Kt)σdBt

Si on identifie les deux drifts, on obtient

a(Kt − f(Kt)) = f ′(Kt)b+12f ′′(Kt)σ2

d’ou f est solution de12σ2f ′′(x) + bf ′(x) + af(x) = ax .

On resout cette EDO et on montre que f est de la forme

αeλ1x + βeλ2x + (x− b

a)

avec λ1 et λ2 solutions de 12σ

2λ2 + bλ+ a = 0.

Exercice 3.2.7 : Soit Xt =∫ t

0σ(s) dBs − 1

2

∫ t0σ2(s) ds. On a

dXt = σ(t) dBt − 12σ2(t) dt.

Soit Yt = expXt. On applique la formule d’Ito avec f(x) = ex.

dYt = exp(Xt) dXt +12

exp(Xt)σ2(t) dt

= Yt (−12σ2(t) dt+ σ(t)dBt) +

12Yt σ

2(t) dt

= Yt σ(t) dBt .

Le processus Y est une martingale locale. C’est une martingale si

E(∫ t

0

Y 2t σ

2(t) dt)<∞ .

Ce critere n’est pas tres bon, nous en verrons d’autres par la suite.Si σ est une constante, Y est un brownien geometrique avec drift nul. En particulier,

Yt = exp(σBt − σ2

2t)

116 Ito. Corriges

est une (vraie) martingale:Verifions a titre d’exercice dans ce cas les conditions d’integrabilite:

Yt = expXt = exp(σBt − 12σ2t)

d’ou

E(|Yt|) = E(Yt) = E(exp(σBt − σ2

2t)) =

1√2πt

∫ ∞−∞

eσx−12σ

2te−x22t dx = 1

E(Y 2t ) = E(exp(2σBt − σ2t)) = exp(σ2t) .

En particulier, si σ = 1 le processus exp( Bt − t2 ) est une martingale.

Soit Zt = 1Yt

. Pour calculer dZt, on peut utiliser la formule d’Ito

dZt = −Ytσ(t)Y 2t

dBt +12

2Y 2t σ

2(t)Y 3t

dt = Zt(−σ(t)dBt + σ2(t)dt)

ce qui va s’ecrire

Zt = Z0 exp(−∫ t

0

σ(s)dBs +12

∫ t

0

σ2(s) ds)

formule que l’on peut obtenir directement en inversant l’exponentielle.

Exercice 3.2.8 : Par simple application de la formule d’Ito

dZt = (aZt + b)dt+ cZtdBt

Exercice 3.2.9 : Dans le cas h = 0, on a

St = S0e(r−q)teσBt−

12σ

2t = e(r−q)tMt .

Donc Mt = M0eσBt− 1

2σ2t est une martingale positive, d’esperance 1 et on peut l’utiliser comme

densite de RN. Sous Q, le processus Bt = Bt − σt est un MB.Dans le cas general

St = S0e(r−q)te

R t0 hsdseσBt−

12σ

2t .

On en deduit e−R t0 hsds = 1

StMte

−(r−q)t. Donc

e−rTE(e−R T0 h(Ss)dsΨ(ST )) = e−rTE(

1ST

MT e−(r−q)TΨ(ST )) = e−qTEQ(

1ST

Ψ(ST )) .

On se place dans le cas ht = S−pt et on pose Zt = Spt . Le lemme d’Ito conduit a

dZt = pSpt σdBt + (r − q)pSpt dt+ pdt+12p(p− 1)Sp−2

t S2t σ

2dt

= pZtσdBt +([

(r − q)p+12p(p− 1)σ2

]Zt + p

)dt

= (aZt + b)dt+ cZtdBt

Le processus f(Zt) est une martingale locale si

f ′(z)(az + b) +12f ′′(z)c2z2 = 0 .

On pose g = f ′. L’equation

g(z)(az + b) +12g′c2z2 = 0

2009-10 117

a pour solution g(z) = α exp( 2bc2z )z−1/c2 . Les fonctions f recherchees (ce que l’on appelle les fonctions

d’echelle) sont les primitives de g.

Exercice 3.2.10 : Le processus Z est une martingale locale car dZt = cXtZtdBt. On a

dUt = 2XtdXt + d〈X〉t= 2Xt(a− bXt)dt+ 2XtdBt + dt

soit Ut = U0 + 2∫ t

0

XsdBs +∫ t

0

(2Xs(a− bXs) + 1)ds On en deduit

12

(X2t −X2

0 − t) =∫ t

0

XsdBs + a

∫ t

0

Xsds− b∫ t

0

X2sds

Exercice 3.2.11 : Pour montrer que Z est une martingale locale, on calcule dZ et on verifie que

son drift est nul. On a Zt = f(t, Bt) avec f(t, x) =1√

1− t exp− x2

2(1− t) . Il en resulte que

dZt = − Bt(1− t)3/2

exp− B2t

2(1− t)dBt

Le processus (Zt, t < 1) est une martingale locale. C’est une vraie martingale si pour tout T ≤ 1

E[∫ T

0

B2t

(1− t)3exp− B2

t

(1− t)dt] <∞

Le terme de gauche est majore par E[∫ T

0

B2t

(1− t)3dt] =

∫ T

0

t

(1− t)3dt <∞.

Exercice 3.2.12 : Soit Zt = (Lt)a exp(−Γ(a)t). Alors, en utilisant que

Lt = eθBt−12 θ

2t

impliqueLat = eaφBt−

12aφ

2t = eaφBt−12a

2φ2te12φ

2(a2−a)

on obtientdZt = dMt + e−Γ(a)t(Lt)a(−Γ(a) + a(a− 1)φ)

ou M est une martingale.Le processus Z est une martingale pour Γ(a) = a(a− 1)φ. Exercice 3.2.13 : Il est facile d’etablirque

dYt = −Yt[(2Xtat + σ2t (1 + 2X2

t ))dt+ 2XtσtdBt]

et, en utilisant que Xt = 0 et Yt = 1 on obtient 0 = −σ2t dt.

Exercice 3.2.21 : La fonction d’echelle de Xt = exp(Bt + νt) est s(x) = x−2ν . Le processus

croissant de s(X) est At =∫ t

0

(s′σ)2(Xs)ds.

Exercice 3.2.25 : On obtient facilement

E(f(B1)|Ft) = E(f(B1 −Bt +Bt)|Ft) = E(f(B1−t +Bt)|Ft) = ψ(t, Bt)

avecψ(t, x) = E(f(x+B1−t)) . (3.1)

118 Ito. Corriges

D autre part, la formule d’Ito et la propriete de martingale de ψ(t, Bt) conduisent a ψ(t, Bt) =

E(f(B1)) +∫ t

0

∂xψ(s,Bs)dBs. On ecrit (grace a 3.1)

∂xψ(t, x) = E(f ′(x+B1−t))

et un raisonnement analogue au precedent montre que si on pose ϕ(t, x) = E(f ′(x + B1−t)) onobtient

ϕ(t, Bt) = E(f ′(B1)|Ft)

3.3 Cas multidimensionnel

Exercice 3.3.1 : De facon evidente, on a

dS3(t) =12

[dS1(t) + dS2(t)] =12

[r(S1(t) + S2(t)] dt+ σ1S1(t)dB1(t) + σ2S2(t)dB2(t) .

On peut remarquer que√σ2

1S21(t) + σ2

2S22(t) dB3(t) = (σ1S1(t)dB1(t) + σ2S2(t)dB2(t))

definit un Brownien B3 qui permet d’ecrire

dS3(t) = r S3(t)dt+ σ(t)S3(t)dB3t

ou σ(t) =√σ2

1S21(t)+σ2

2S22(t)

S1(t)+S2(t) est un processus.En utilisant le lemme d’Ito, on obtient

dS4(t) = S4(t)(r dt− 18

(σ21 + σ2

2) dt+σ1

2dB1(t) +

σ2

2dB2(t)) ,

ce que l’on peut ecrire

dS4(t) = S4(t)(r dt− 18

(σ21 + σ2

2) dt+ σdB4(t)) .

Pour verifier que B3 et B4 sont des browniens, on peut proceder de differentes facons (voir aussi lesexercices sur le Brownien)a. Bi(t+s)−Bi(t) a meme loi que Bi(s), cette loi est N (0, s) et les accroissements sont independantsb. Bi et (B2

i (t)− t, t ≥ 0) sont des martingales et Bi est un processus continuc. pour tout λ, le processus exp(λBi(t)− λ2

2 t) est une martingale.

3.4 Complements

Exercice 3.4.1 : En utilisant le theoreme de Fubini pour les integrales doubles

F (x) =∫ x

−∞dz

∫ z

−∞dyf(y) =

∫ x

−∞dyf(y)

∫ x

y

dz =∫ x

−∞dyf(y)(x− y)+

Par derivation par rapport a la borne superieure

F ′(x) =∫ x

−∞dyf(y) =

∫ ∞−∞

f(y)11x>ydy

2009-10 119

Le lemme d’Ito conduit alors au resultat. La formule finale s’ecrit aussi∫ t

0

f(Bs)ds = 2∫ ∞−∞

LB(t, y)f(y)dy

avec LB(t, y) =(

(Bt − y)+ − (B0 − y)+ −∫ t

0

11Bs>ydBs

)et est connue sous le nom formule de

temps d’occupation. Le processus LB(·, y) est le temps local de B au point y entre 0 et t. Ladifficulte est de verifier que le processus L(·, y) est un processus croissant.

Exercice 3.4.2 : On a, en exprimantXt comme le produit de expB1(t) et de Ut =∫ t

0

exp[−B1(s)] dB2(s)

qui verifie dUt = exp[−B1(t)] dB2(t)

dXt = expB1(t)(exp−B1(t)) dB2(t) + Ut(exp[B1(t)]dB1(t) +12

exp[B1(t)]dt)

= dB2(t) +XtdB1(t) +12Xtdt

Soit f(x) = sinhx, alors, f ′(x) =12

(ex+e−x) = coshx et f ′′(x) =12

(ex−e−x) = sinhx. O appliquele lemme d’Ito:

dZt = cosh(B1(t)) dB1(t) +12

sinh(B1(t)) dt =√

1 + Z2t dB1(t) +

12Ztdt

Mtdef= B2(t) +

∫ t

0

XsdB1(s) est une martingale locale comme somme de deux martingales locales.

Son crochet est t +∫ t

0

X2sds =

∫ t

0

(1 + X2s )ds, d’ou γs =

√1 +X2

s . En regroupant les resultats

Xt =∫ t

0

√1 +X2

sdB3(t) +12

∫ t

0

Xtdt et Zt =∫ t

0

√1 + Z2

sdB1(s) +12

∫ t

0

Zsds. On obtient donc

l’egalite en loi de X et de Z.

Exercice 3.4.4 : (voir Brownien) Le processus Z est une martingale, et le lemme d’Ito conduit a

dZt = 11St<a2√2π

a−Bt√T − t exp− (a−Bt)2

2dBt .

3.5 Brownien geometrique et extensions

Exercice 3.5.2 : Soit dSt = St(b dt+ σ dBt) un brownien geometrique et St = e−btSt. La formuled’integration par parties montre que

d(St) = e−btdSt − be−btStdt = e−btσSt dBt = StσdBt.

D’apres les exercices precedents,

St = S0 exp(σBt − 12σ2t)

et S est une martingale. Il en resulte

St = S0 exp((b− 12σ2)t+ σBt)

ou encoreSt = Ss exp((b− 1

2σ2)(t− s) + σ(Bt −Bs)), s ≤ t

120 Ito. Corriges

On obtientE(St) = ebtE(St) = ebtS0

etE(St|Fs) = E(ebtSt|Fs) = ebtSs = eb(t−s)Ss

Le calcul de E(exp((b− 1

2σ2)(t− s) + σ(Bt −Bs))|Fs

)se fait egalement a partir de celui de E(exp(σ(Bt−

Bs))|Fs) = E(exp(σ(Bt − Bs))) pour lequel il suffit d’utiliser la transformee de Laplace de la v.a.gaussienne Bt −Bs. On obtient

E(St|Fs) = exp(b(t− s))Ss .

Si Zt = (St)−1, on a dZt = Zt((σ2 − b) dt− σdBt).

Ces calculs se generalisent au cas de coefficients aleatoires. Soit dSt = St(bt dt + σt dBt) etYt = St exp(− ∫ t

0bs ds). On a d(exp(− ∫ t

0bs ds) = bt exp(− ∫ t

0bs ds)dt. Le processus Y verifie

dYt = exp(−∫ t

0

bs ds)dSt − Stbt exp(−∫ t

0

bs ds)dt = exp(−∫ t

0

bs ds)StσtdBt = YtσtdBt

et est une martingale locale.

La solution de dLt = −Ltθt dBt est une martingale locale, qui s’ecrit

Lt = L0 exp(−∫ t

0

θsdBs − 12

∫ t

0

θ2sds).

On pose Yt = StLt. On adYt = StdLt + LtdSt + d < S,L >t .

Par definition d〈S,L〉t = −StσtLtθt dt, d’ou

dYt = Yt((bt − θtσt) dt+ σtdBt) .

En finance, le changement de probailite le plus utilise correspond au cas θt = − r(t)−btσt. Il vient

alorsdYt = Yt(r(t) dt+ σtdBt) .

Soit Rt = exp(− ∫ t0r(s) ds). Le processus Y R = LRS est une martingale locale qui verifie d(LRS) =

LRSσdB.

Exercice 3.5.3 : SoitdSt = St(rdt+ σdBt)

et At = 1t

∫ t0

lnSsds. On a St = S0 exp(σBt − 12σ

2t+ rt) et

lnSt = lnSs + σ(Bt −Bs) + (r − σ2

2)(t− s)

Le processus lnS est un processus gaussien, d’ou At est une variable gaussienne.Soit G(t, T ) = 1

T

∫ Tt

(Bs−Bt) ds. Soit t fixe. Le processus (Bs−Bt, s ≥ t) est gaussien, d’ou G(t, T )est une variable gaussienne. Le processus (Bs−Bt, s ≥ t) est independant de Ft donc G(t, T ) aussi,d’ou E(G(t, T )|Ft) = 1

T

∫ TtE(Bs −Bt) ds = 0.

Var (G(t, T )|Ft) = E(G2(t, T )) =1T 2

∫ T

t

∫ T

t

E((Bs −Bt)(Bu −Bt))ds du .

2009-10 121

E((Bs −Bt)(Bu −Bt)) = (s ∧ u)− t. Tous calculs faits

Var (G(t, T )|Ft) =1T 2

(13T 3 − 1

3t3 + tT (t− T ))

En ecrivant AT = 1T

(∫ t0

lnSs ds+∫ Tt

lnSs ds)

et en remarquant que

∫ T

t

lnSs ds = (T − t) lnSt +12r − σ2

2(T − t)2 + σG(t, T )

on obtient

AT =t

TAt + (1− t

T)[lnSt +

12

(r − σ2

2(T − t)] + σG(t, T ).

Exercice 3.5.5 : Soit St = e−btSt. On a vu deja plusieurs fois que St est une martingale (parexemple verifier, en utilisant le lemme d’Ito, que dSt = StσdBt).Soit Xt defini par

e−btXt = E[e−bT

h

∫ T

T−hSudu |Ft ] .

On a, XT = VT et si t ≤ T − h

e−btXt = e−bT1h

∫ T

T−hE(Su|Ft) du

soit

e−btXt = Ste−bt 1− e−bh

bh

et si T − h ≤ t ≤ Te−btXt = e−bT

1h

∫ T

T−hE(Su|Ft) du

= e−bT1h

∫ t

T−hE(Su|Ft) du+

1h

∫ T

t

E(Su|Ft) du =e−bT

h

∫ t

T−hSudu+ Ste

−bt 1− e−b(T−t)bh

.

dXt

Xt= bdt+

σStXt

1t<T−h

1− e−bhbh

+ 1T−h<t<T1− e−b(T−t)

bh

dBt

= bdt+ σ

1t<T−h + 1T−h<t<T

StXt

1− e−b(T−t)bh

dBt.

Exercice 3.5.6: Soit Zt = e−rtSt +∫ t

0δ(s)e−rsSsds. On a alors

dZt = −re−rtStdt+ e−rtdSt + δte−rtStdt

= Ste−rtσdBt

Le processus Z est une martingale locale. On peut expliciter S qui est la solution d’une equationdu type dSt = St(a(t)dt+ σdBt) par

St = S0 exp(rt−∆(t) + σBt)

avec ∆(t) =∫ t

0δ(s)ds. En ecrivant

St = S0 exp(rt−∆(t)) exp(σBt − 12σ2t)

122 Ito. Corriges

et en utilisant que exp(σBt − 12σ2t) est une martingale d’esperance 1, on obtient

E(St) = S0 exp(rt−∆(t)) .

On montre que S est de carre integrable : en effet

S2t = S2

0 exp(2rt− 2∆(t) + 2σBt) = S20 exp(2rt− 2∆(t) +

12

(2σ)2t) exp(2σBt − 12

(2σ)2t)

et l’on sait que exp(2σBt − 12

(2σ)2t) est une martingale egale a 1 en t = 0, d’ou

E(S2t ) = S2

0 exp(2rt− 2∆(t) +12

(2σ)2t)

et E(∫ t

0S2se−2rsds) <∞, ce qui etablit le caractere martingale de la martingale locale Z.

On sait que (formule de Black et Scholes en changeant de nom les parametres) si dSt = St(adt +σdBt), S0 = x alors

E(e−aT (ST −K)+)) = xN (d1)−Ke−aTN (d2)

avec d1 =1

σ√T

ln(x

Ke−aT) +

12σ2T ). Le calcul demande est alors facile.

3.6 Le crochet

3.7 Finance

Exercice 3.7.6 : Par definition,

CAmt ≥ Ct = E(e−rT (ST −K)+|Ft) = E(e−rT g(ST )|Ft)

avec g(x) = (x−K)+. En utilisant g(x) ≤ e−rtg(xart, pour tout t et l’inegalite de Jensen (liee a laconvexite de g) on obtient

e−rug(Su) ≤ e−rT g(Suer(T−u)) = e−rT g(erTE(ST e−rT |Fu)) = e−rT g(E(erTST e−rT |Fu))= e−rT g(E(ST |Fu)) ≤ E(e−rT g(ST )|Fu)) = Cu

P ≤ PAm et la propriete de sous martingale de (K − Ste−rt) permet de conclure.

Exercice 3.7.3 : On ecrit la formule d’integration par parties

d(Xt

Yt) = Xtd(

1Yt

) +1YtdXt + d〈X, 1

Y〉t .

En particulier (on omet les indices t) (X = Y )

d(X

X) = d(1) = 0 = Xd(

1X

) +1XdX + d〈X, 1

X〉 .

Soit dV = π1dS1 + π2dS2. On a donc

d〈V, 1S1〉 = π1d〈S1,

1S1〉+ π2d〈S2,

1S1〉 .

Corriges. 2009-10 123

Par suite, si V 1 = V/S1, on peut ecrire la suite d’egalites (on utilise V = π1S1 + π2S2)

dV 1t = V d(

1S1

) +1S1dV + d〈V, 1

S1〉

= (π1S1 + π2S2)d(1S1

) +1S1

(π1dS

1 + π2dS2)

+ π1d〈S1,1S1〉+ π2d〈S2,

1S1〉

= π1

(S1d(

1S1

) +1S1dS1 + d〈S1,

1S1〉)

+ π2

(S2d(

1S1

) +1S1dS2 + d〈S2,

1S1〉)

= π2d(S2

S1)

Exercice 3.7.14 : On remarque que

FT = σ(Bs, s ≤ t) = σ(S1s , s ≤ t) = σ(S2

s , s ≤ t)

Le marche est complet: en effet, toute v.a. FT mesurable s’ecrit comme valeur terminale d’unportefeuille auto-financant compose des actifs sans risque et de l’actif 1, donc le marche composed’un actif supplementaire (avec les memes actifs contingents) est egalement complet. La seuleprobabilite equivalente a la probabilite P telle que l’actif sans risque et l’actif 1, actualises, sont des

martingales est Q definie par dQ|Ft = exp(−θBt − 12θ2t)dP |Ft avec θ =

µi − rσ

. L’actif 2, actualisen’est pas une martingale sous Q, il n’existe donc pas de probabilite equivalente a la probabilite Ptelle que TOUS les actifs actualises soient des martingales. Le marche presente des opportunitesd’arbitrage. Supposons µ1 > µ2. Si, a la date 0, on achete une part de l’actif 1 et on vend unepart de l’actif 2 (capital initial investi nul) et que l’on maintient cette position jusqu’en T , on a unportefeuille de valeur

S1T − S2

T =[exp(µ1T )− exp(µ2T )

]exp(σBT − 1

2σ2T ) > 0

ce qui constitue un arbitrage.

124 Exemples

Chapter 4

Exemples, Corriges

4.1 Processus de Bessel

Exercice 4.1.3 : La formule d’Ito conduit a

dZt = − 1R2t

dRt +12

2R3t

d〈R〉t = − 1R2t

dBt − 1R3t

dt+1R3t

dt = − 1R2t

dBt

Soit Vt =sinhλRtλRt

. On pose f(x) =sinhλxλx

, d’ou

f ′(x) = − sinhλxλx2

+coshλx

x

f ′′(x) = +2sinhλxλx3

− λ coshλxx2

− coshλxx2

+λ sinhλx

x.

La formule d’integration par parties conduit a

dUt = e−tλ2

2 [−λ2

2Vtdt+ dVt]

et on verifie que les termes en dt s’annulent.

Il suffit d’appliquer le theoreme d’arret de Doob a la martingale U et au temps d’arret Tb (on

utilise que sinhx est born,ee sur [0, b]). On obtient E(exp(−λ2Tb2

)(sinhλbλb

)) = 1, d’ou E(exp(−λ2Tb2

)) =λb

sinhλb.

Exercice 4.1.4 :Les deux resultats s’obtiennet en appliquant le lemme d’Ito

d(lnRt) =1RtdRt − 1

2(Rt)2dRtdRt =

1RtdBt − 1

Rt

12Rt

dt+1

2(Rt)2dt =

1RtdBt ,

dRνt = νRν−1t dRt +

ν(ν − 1)2

Rν−2t dRtdRt = νRν−1

t dBt + νRν−1t

12Rt

dt+ν(ν − 1)

2Rν−2t dt .

= νRν−1t dBt +

ν2

2Rν−2t dt

125

126 Exemples

On pose Zt = exp(−ν2

2

∫ t

0

ds

R2s

) et on applique le lemme d’Ito.

dZt = d exp(−ν2

2

∫ t

0

ds

R2s

) = Zt(−ν2

2)

1R2t

dt

dLt = ZtdRνt +Rνt dZt = Zt

[νRν−1

t dBt + νRν−1t

12Rt

dt+ν(ν − 1)

2Rν−2t dt− ν2

21R2t

Rνt dt

]

= ZtνRν−1t dBt

Exercice 4.1.5 :dYt = 2

√YtdBt + δdt

La formule d’Ito conduit adZt = Zt(−µ

√Y )dBt

Sous Q Btdef= Bt + µ

∫ t

0

√Yudu est un MB et dYt = 2

√YtdBt + (δ − 2µYt)dt.

Exercice 4.2.2 : Par application de la formule d’Ito a Zt = B2t

dZt = 2BtdBt + dt = 2√ZtdBt + dt

on a alors

dZt = 2BtdBt + 2B1t dB

1t + 2dt =

2√(Bt)2 + (B1

t )2

√(Bt)2 + (B1

t )2 (BtdBt +B1t dB

1t )

= 2√ZtdB

3t + 2dt

Avec n Browniens on obtient µ = n.Si ρt

def=√Rt, la formule d’Ito conduit a

dρt =1

2ρt(µ− 1)dt+ dBt

dXt = dR(µ)t + dR

(ν)t = (µ+ ν)dt+ 2

√R

(µ)t +R

(ν)t dZt

ou Z est un MB. On en deduit que la somme de deux Bessels carres independants est un Besselcarre.Exercice 4.1.6 : Px(infs≤tXs) = Px(Ta > t) et on connait la transformee de Laplace de Ta

E(ν)(exp−λ2

2Ta).

Dans le cas du BES(3) P(3)x |Ft =

(Xt∧τx

)Wx|Ft d’ou pour a < x P(3)

x (φ(Ta)11Ta<∞) =a

xWx(φ(Ta))

D’ou P(3)x (Ta > t) = P(3)

x (∞ > Ta > t) + (1 − ax ) et P(3)

x (∞ > Ta > t) =a

xP0(T(x−a) > t) =

a

xP0((x− a) > |N |

√t).

Voir Borodin pour l autre cas

4.2 Processus de Bessel carre

Exercice 4.2.4 : Remarquer que E(R(2)1 ) = E

√ξ21 + ξ2

2 .

Corriges. 2009-10 127

Exercice 4.2.5 : On part de

W(ν)|Ft = exp(νBt − ν2

2t)W|Ft

On sait que (Rt; t ≥ 0) loi= x exp(BCt + νCt)

P(ν)(F (Rs), s ≤ t) = W(ν)(F(xBu),u ≤ Ct)

W (ν)(F (xBu), u ≤ Ct) = W(exp(BCt+νCt)F(xBu),u ≤ Ct) = P(0)(Rt

x)ν exp− ν2

2CtF(Rs), s ≤ t)

car sous P(0)

exp νBCt = (expBCt)ν , Rt = x expBCt

4.3 Autres processus

Exercice 4.3.3 : La premiere question resulte d’une application du lemme d’Ito: f(t,Xt) est unemartingale locale si Gf(t,Xt) = 0 avec Gf(t, x) = ∂tf +x(1−x)(µ−x)∂xf + 1

2x2(1−x)2∂xxf . Dire

que h0(X) est une martingale locale revient a verifier que h0 est solution de x(1 − x)(µ − x)h′ +12x

2(1 − x)2h′′ = 0. Montrer que h1(Xt) − t est une martingale locale revient a verifier que h1

satisfait−1 + x(1− x)(µ− x)h′ +

12x2(1− x)2h′′ = 0 .

En appliquant le theoreme d’aret de Doob (la fonction h0 est bornee sur [a, b], la martingale localeh0(Xt∧τ ) est uniformement integrable) E(h0(Xτ )) = h0(x) soit

h0(x) = E(h0(Xτ )) = h0(a)P(Xτ = a) +h0(b)P(Xτ = b) = h0(a)P(Xτ = a) +h0(b)(1−P(Xτ = a)) .

On applique ensuite le theoreme de Doob a h1(Xt)− th1(x) = E[(h1(a)− τ)11Xτ=a)] + E[(h1(b)− τ)11Xτ=b)]

= h1(a)P(Xτ = a) + h1(b)(1− P(Xτ = a))− E(τ)

4.4 Des Calculs

Exercice 4.4.2 : For t ≤ 1 and a > 0, the events Yt ≤ a and Ta ≥ t are equal, whereTa = inft ≥ 0, Xt = a.Then, P(Yt ≤ a) = P(Ta ≥ t). Let X = X/σ and Tα(X) = inft ≥ 0, Xt = α. Then, Ta = Tα(X)where α = a/σ.It is well known (the proof follows, from example from inversion of Laplace transform) that

P0(Tα(X) ∈ dt) =|α|√2πt3

exp− (α− µt)2

2t

where µ = µ/σ (see Borodin-Salminen p. 223, formula 2.0.2. or Revuz Yor, second edition, page320, ex. 1.21).

Therefore, you get the cumulative function of Y for t ≤ 1.Let us denote Φ(t, a, µ, σ) = P(sup0≤s≤t(µs+ σBs) ≤ a).

Suppose now that 2 > t > 1. Then

Xt = X1 + µ1(t− 1) + σ1(Bt −B1) = X1 + µ1(t− 1) + σ1Bt−1

128 Equa. Diff.

where B is a BM independent of σ(Bs, s ≤ 1).Then,

P(Yt ≤ a) = P(Y1 ≤ a , max

1≤s≤t(X1 + µ1(s− 1) + σ1Bs−1) ≤ a)

= P(Y1 ≤ aP

[max

1≤s≤t(X1 + µ1(s− 1) + σ1Bs−1) ≤ a)|F1

])

= E(11(Y1≤a) Ψ(t− 1, X1))

whereΨ(u, x) = E( max

0≤s≤u(x+ µ1s+ σ1Bs) ≤ a) = E( max

0≤s≤u(µ1s+ σ1Bs) ≤ a− x)

and this quantity is known from step 1: Ψ(u, x) = Φ(u, a− x, µ1, σ1).

Then, it remains to know the law of the pair Y1, X1. This is the reflection principle in the caseµ = 0 (Revuz Yor, page 105 ex. 3.14) and the general result follows from Girsanov’s theorem. Forexample Borodin-Salminen, page 198, formula 1.18 in the case where σ = 1

P(Y1 ≥ y,X1 ∈ dz) =1√2πt

exp[µy − µ2t

2− (|z − y|+ y)2

2t] dz

References:

Borodin, A. and Salminen, P.: Handbook of Brownian Motion. Facts and Formulae, Birkhauser,1996.

Exercice 4.4.3 : On ecrit dS = D(rdt + σtdBt). Si C est la valeur de C actualise, alors dC =CmσdBt. Il suffit de resoudre et d’identifier

Ct = C0

(StS0

exp[−m− 1m

[∫ t

0

rsds+12

∫ t

0

σ2sds]]

)m

Exercice 4.4.4 : On remarque que Yt = eλtXt est un MB change de temps: Yt = BΛ(t) avec

Λ(t) = σ2

∫ t

0

e2λudu = σ2 e2λt − 1

2λ. Par suite τ = inft : |Yt| > eλyg(t). D’ou la suite d’egalites

τ > t = |BΛ(u)| < eλug(u),∀Λ(u) < Λ(t)= |Bv| < eλC(v)g(C(v)), ∀v < Λ(t) = τ∗ > Λ(t)

avecτ∗ = inft : |Bt| > eλC(t)g(C(t))

Chapter 5

Equations differentiellesstochastiques, Corriges

5.1 Equation Lineaire

Exercice 5.1.7 : L’equation a une solution unique car b(t, x) = a + αx et σ(t, x) = b + βx sontlipschitziennes et ont une croissance lineaire. On a

Xt = x+∫ t

0

(a+ αXs) ds+∫ t

0

(b+ βXs) dBs

L’integrale stochastique est une martingale car E(∫ t

0(b + βXs)2 ds) ≤ E(

∫ t0

2(b2 + β2X2s ) ds) et la

solution de l’equation verifie E(sups≤tX2s ) < ∞. D’ou en prenant l’esperance de Xt et en posant

m(t) = E(Xt)

m(t) = x+∫ t

0

(a+ αm(s)) ds .

La fonction m est derivable et verifie m′(t) = a + αm(t). Compte tenu de la condition initialem(0) = x, la solution est

m(t) = (x+a

α)eαt − a

α

La formule d’Ito conduit a

d(X2t ) = 2Xt(a+ αXt) dt+ 2Xt(b+ βXt) dBt + (b+ βXt) dt .

En admettant que l’integrale stochastique est une martingale et en posant M(t) = E(X2t )

M(t) = x2 + 2∫ t

0

(am(s) + αM(s)) ds+∫ t

0

(b2 + β2M(s) + 2bβm(s)) ds

soit M ′(t)− (2α+ β2)M(t) = 2(a+ bβ)m(t) + b2

M(0) = x2

la solution est

M(t) = Ce(2α+β2)t + keαt + ck(−α− β2) = 2(a+ bβ)(x+ a

α )c = (b2 − 2(a+ bβ) aα ) 1

2α+β2

C + k + c = x2

129

130 Equa. Diff.

Exercice 5.1.3 : On a dYt = Yt(αdt+ βdBt) dont la solution est (cf brownien geometrique)

Yt = exp[(α− 12β2)t+ βBt)]

On a (cf propriete de martingale du Brownien)

E(Yt|Fs) = exp(αt)E(exp[−12β2t+ βBt] |Fs) = exp(αt) exp[−1

2β2s+ βBs]

D’ou, si α ≥ 0, on a E(Yt|Fs) ≥ Ys. Le processus Y est une martingale si on a egalite soit si α = 0.c. Le processus Y ne s’annule pas. Le processus Zt est un processus d’Ito car Y −1

t est de carreintegrable (voir brownien geometrique) et

dZt = (a− bβ)Y −1t dt+ bY −1

t dBt

On a ainsi d〈Y, Z〉t = bY −1t Ytβ = bβ.

Soit Ut = YtZt. La formule d’Ito conduit a

dUt = (a− bβ) dt+ b dBt + Ut(αdt+ β dBt) + bβ dt = (a+ αUt) dt+ (b+ βUt) dBt

et comme U0 = x on a par unicite Xt = Ut.

Exercice 5.1.4: L’equation dXt = αXt dt + b dBt admet une solution unique. En posant Zt =e−αtXt on voit que dZt = e−αt

¯dBt d’ou

Xt = eαtx+ eαt∫ t

0

e−αsb dBs

Il en resulte que X est un processus gaussien de moyenne E(Xt) = eαtx et de variance

V (Xt) = b2e2αt 1− e−2αt

2αdef= σ2(t) .

Si Yt = φ(Xt), la formule d’Ito conduit a

dYt = φ′(Xt)dXt +12φ′′(Xt)b2dt .

Dans le cas particulier de l’enonce,

dYt = exp(− αb2X2t )(bdBt)

soit

Yt = b

∫ t

0

exp(− αb2X2s )dBs

C’est une martingale car E(∫ t

0exp(− 2α

b2 X2s )ds) <∞ (faire le calcul en utilisant ce qui suit) de carre

integrable.

En utilisant le calcul de E(eλU2) quand U est une gaussienne, on trouve, en posant m(t) = eαt

E(eλX2t ) =

1√1− 2λσ2(t)

expλm2(t)x2

1− 2λσ2(t)= Φ(t, x)

et

E(eλX2t |Fs) =

1√1− 2λσ2(t− s) exp

λm2(t− s)X2s

1− 2λσ2(t− s) = Φ(t− s,Xs)

Corriges. 2009-10 131

Soit t fixe. Par definition, le processus d’Ito V defini par Vs = Φ(t − s,Xs) est une martingale,donc son drift est nul. On a donc

−∂1Φ(t− s, x) + αx∂2Φ(t− s, x) +12b2∂22Φ(t− s, x) = 0

∂1Φ(u, x) + αx∂2Φ(u, x) +12b2∂22Φ(u, x) = 0

En posant Ψ = ln Φ et en recherchant Ψ sous la forme

Ψ(t, x) = x2a(t) + b(t)

on a (voir la forme de Φ) les conditions de l’enonce sur les fonctions a et b.

Exercice 5.2.1 : Dans un premier temps, on pose Yt = eαtXt. Ce processus verifie

dYt = eαt(µ− γVt)dt) + eαt√VtdW1,t

Calculer ϕ(λ) = E(exp(λXT )) revient a calculer ψ(λ) = E(exp(λYT )). On a en effet ϕ(λ) = ψ(λeαT ).Le calcul des esperances conditionnelles se reduit a un calcul d’esperance par la propriete de Markov.On a

Yt = Y0 +∫ t

0

eαs(µ− γVs)ds+∫ t

0

eαs√VsdW1,s

On est donc ramene a calculer

A = E(

exp(−γ∫ t

0

eαsVsds+∫ t

0

eαs√VsdW1,s

))

En decorrelant W1,t, le terme sous l’exponentielle est

−γ∫ t

0

eαsVsds+ ρ

∫ t

0

eαs√VsW2,s +

√1− ρ2

∫ t

0

eαs√VsdWs

En utilisant l’independance entre W et V

A = E

(exp

(−γ∫ t

0

eαsVsds+ ρ

∫ t

0

eαs√VsW2,s +

√1− ρ2

2

∫ t

0

e2αsVsds

))

Il reste un calcul du type esperance de l’exponentielle de∫ t

0

f(s)Vsds+∫ t

0

g(s)√VsdW2,s

Cette expression secrit∫ t

0

f(s)Vsds +∫ t

0

g(s)(dVs − k(θ − Vs)ds) =∫ t

0

F (s)Vsds+∫ t

0

G(s)dVs

=∫ t

0

F (s)Vsds+G(t)Vt −G(0)V0 −∫ t

0

G′Vsds

= G(t)Vt +∫ t

0

H(s)Vsds

ou f, g, F,G,H sont des fonctions deterministes. (remarque: pour un processus d’Ornstein Uhlen-beck, ce type de calcul est standard)

Exercice 5.1.9 : On pose Yt = eatXt. On a

dYt = abeatdt+ σeat/2√YtdWt

132 Equa. Diff.

et on en deduit E(Yt) = x+ b(eat − 1) En utilisant

Yt = x+∫ t

0

abeasds+∫ t

0

σeas/2√YsdWs

= E(Yt) +∫ t

0

σeas/2√YsdWs

on obtient Yt − E(Yt) =∫ t

0

σeas/2√YsdWs par suite

V ar(Yt) =∫ t

0

σ2easE(Ys)ds

5.2 Processus affines

Exercice 5.2.2 : Si α et β existent, le processus Mt = eα(t)+β(t)St exp(− ∫ t

0ψ(Ss)ds

)est une

martingale, donc E(MT |Ft) = Mt ce qui conduit a

E

(eθST exp

(−∫ T

0

ψ(Ss)ds

)|Ft)

= eα(t)+β(t)St exp(−∫ t

0

ψ(Ss)ds).

D’ou le resultat en remarquant que exp(− ∫ t0ψ(Ss)ds) est Ft-mesurable. Pour que M soit une

martingale, il faut que sa partie a variation bornee soit nulle. Il est facile de voir que

d(eα(t)+β(t)St) = eα(t)+β(t)St(α′ + β′)dt+ βdSt + β2σ(St)2dt

Ce qui conduit aα′ + β′St − ψ(St) + βµ(St)dt+ β2σ(St)2 = 0

soitα′ + β′x− ψ(x) + β(µ0 + µ1x) + β2(σ0 + σ1x) = 0

Cette equation doit etre verifiee pour tout (t, x) d’ou (cours elementaire sur les ED)

α′ − ψ0 + βµ0 + β2σ0 = 0β′ − ψ1 + βµ1 + β2σ1 = 0

La seconde equation est une equation de Ricatti

5.3 Finance

Exercice 5.4.1 : La solution dedSt = St (r dt+ σ dBt)

verifie, pour t ≤ uSu = St exp

(r(u− t) + σ(Bu −Bt)− σ2

2(u− t)

)(5.1)

Le processus S est a valeurs positives (si S0 > 0) et ne s’annule pas.

1. Le processus Mt = E

([1T

∫ T

0

Su du−K]+|Ft)

est une martingale.

Corriges. 2009-10 133

2. En utilisant que s(a − b)+ = (sa − sb)+ si s > 0 et la Ft-mesurabilite de St , on obtient

Mt = StE

([1T

∫ T

0

SuSt

du− K

St]+|Ft

)ce qui s’ecrit de facon evidente

StE

([1T

∫ T

t

SuSt

du− ζt]+|Ft)

avec ζt = S−1t (K − 1

T

∫ t

0

Su du), variable Ft-mesurable.

3. On rappelle que, si X est independante de G et Y est G-mesurable,

E(f(X,Y )|G) = [E(f(X, y)]y=Y .

Les variables (SuSt, u ≥ t) sont independantes de Ft (utiliser (5.1)), et ζt est Ft mesurable. Il en

resulteMt = StΦ(t, ζt)

avec

Φ(t, x) = E

(1T

∫ T

t

SuSt

du− x)+

.

4. On obtient

dS−1t = − 1

S2t

dSt +12

2S3t

d < S, S >t= (σ2

St− r

St)dt− σ

StdBt .

on en deduit les egalites suivantes

dζt = −S−1t

StTdt+ (K − 1

T

∫ t

0

Sudu)dS−1t = − 1

Tdt+ ζt(−σdBt − rdt+ σ2dt)

d < ζ, ζ >t = ζ2t σ

2dt

dΦ(t, ζt) = Φ′t dt+ Φ′x dζt +12

Φ”xx d < ζ, ζ >t= (...) dt− σζtΦ′x dBtd < S,Φ >t = −Stσ2ζtΦ′x

La formule d’Ito appliquee a Mt est alors (ecriture volontairement simplifiee)

dMt = ΦdS + SdΦ + dSdΦ

ce qui s’ecrit

Φ(t, ζt)dSt + St [Φ′t(t, ζt)dt+ Φ′x(t, ζt)dζt +12

Φxx”(t, ζt)d < ζ, ζ >t] + d < S,Φ >t

Soit

dMt = St(rΦ +∂Φ∂t− (

1T

+ rζ)∂Φ∂x

+12σ2ζ2 ∂

2Φ∂x2

) dt+ dNt

ou N est une martingale du type (...) dBt. Le processus M etant une martingale locale, sa partieprocessus a variation finie est nulle, soit

0 = rΦ +∂Φ∂t− (

1T

+ rζ)∂Φ∂x

+12σ2ζ2 ∂

2Φ∂x2

Exercice 5.4.2 : Il est facile de montrer que

St = S0 exp(rt+

∫ t

0

σ(s)dBs − 12

∫ t

0

σ2(s) ds)

134 Girsanov.

est solution de l’equation proposee.

2. POur t fixe,∫ t

0

σ(s)dBs est une variable gaussienne (integrale de Wiener) centree de variance∫ t

0

σ2(s)ds. Il en resulte que∫ t

0

σ(s)dBs− 12

∫ t

0

σ2(s) ds est une variable gaussienne car d’esperance

−12

∫ t

0

σ2(s) ds et de variance∫ t

0

σ2(s)ds.

3. La formule de valorisation d’une option revient a calculer EQ(ST−K)+. Dans le cas ou ST = S0eU

ou U est une variable d’esperance rT et de variance V 2 = σ2T , on a

C(0, x) = xN (d1)−Ke−rTN (d2)

avec

d1 =1V

(ln(

x

K) + Tr +

V 2

2

), d2 = d1 − V

Il suffit donc de remplacer σ2T par Σ2 =∫ T

0

σ2(s)ds

C(0, x) = xN (d1)−Ke−rTN (d2)

avec

d1 =1Σ

(ln(

x

K) + Tr +

Σ2

2

), d2 = d1 − Σ

5.4 Equations differentielles

Exercice 5.5.4 : Nous verifions que

Xt = tN + (1− t)∫ t

0

11− sdBs (5.2)

est solution de dXt = dBt +N −Xt

1− t dt. Par differentiation de (5.2)

dXt = Ndt− 1∫ t

0

11− sdBs + dBt

= Ndt− 11− t (Xt − tX1)dt+ dBt

= dBt +1

1− t (−Xt +N)dt

Le processus X est donc gaussien, centre, de covariance (s < t)

E(XsXt) = ts+ (1− t)(1− s)E(∫ t

0

11− udBu

∫ s

0

11− v dBv

= ts+ (1− t)(1− s)∫ s

0

1(1− u)2

du = s

Chapter 6

Girsanov, Corriges

6.1 Resultats elementaires

Exercice 6.1.2 : Par changement de probabilite, le processus H etant une martingale positived’esperance 1, en posant dQ = HtdP, on definit une nouvelle probabilite Q et EP(HT lnHT ) =EQ(lnHT ). Or,

Ht = exp(−∫ t

0

θsdBs − 12

∫ t

0

θ2sds)

D’ou

EQ(lnHT ) = EQ(−∫ t

0

θsdBs − 12

∫ t

0

θ2sds)

Le processus Bt = Bt +∫ t

0

θsds est un Q mouvement Brownien, et

−∫ t

0

θsdBs − 12

∫ t

0

θ2sds = −

∫ t

0

θsdBs +12

∫ t

0

θ2sds ,

d’ou le resultat.

Exercice 6.1.4 : On a Γt = exp(∫ t

0

βsds) exp(∫ t

0

γsdBs − 12

∫ t

0

γ2sds), d’ou Γt exp(−

∫ t

0

βsds) est

une martingale. L’ecriture dΓt = Γtγt(dBt +βtγtdt) montre que sous Q defini par dQ = LtdP, avec

dLt = LtβtγtdBt, le processus Bt defini par dBt = dBt +

βtγtdt est un mouvement Brownien.

Le processus Γ verifiant dΓt = ΓtγtdBt est une Q-martingale locale. On obtient facilement d(Γ−1t ) =

−Γ−1t γt(dBt − γ2

t − βtγt

dt) et le choix de R s’en suit.

6.2 Crochet

Exercice 6.2.1 : Soit Z = N− < N,M > et Lt = exp(Mt− 12〈M〉t). On a d(ZL) = ZdL+LdZ +

d〈Z,L〉 = mart + d〈Z,L〉 − Ld〈M,N〉 = mart

Exercice 6.2.2 : On verifie que Zt = h(Xt)Mt −∫ t

0

h′(Xs)h(Xs)

d〈M,X〉 est une P-martingale.

135

136 Girsanov.

6.3 Processus

Exercice 6.3.4 :

1. La question 1 a deja ete traitee dans l’exercice ??.

2. On se place dans le cas d’un Brownien issu de a. Soit

dPb = exp−b∫ T

0

Bs dBs − b2

2

∫ T

0

B2s dsdP .

En posant θs = −bBs et en appliquant Girsanov, on montre que sous Pb le processus Bt +b∫ t

0Bs ds est un brownien issu de a que l’on note Wt. L’egalite

Bt = −∫ t

0

bBs ds+Wt

qui s’ecrit dBt = −bBt dt + dWt montre que le processus (Bt, t ≥ 0) est un processusd’Ornstein-Uhlenbeck sous Pb. D’ou Bt est une variable gaussienne sous Pb, d’esperance ae−bt

et de variance1− e−2tb

2b.

Soit x = a2. En utilisant que, sur Ft,

dP = expb∫ t

0

Bs dBs +b2

2

∫ t

0

B2s dsdPb

on a, pour tout Z, Ft-mesurable P-integrable,

EP(Z) = Eb(Z expb∫ T

0

Bs dBs +b2

2

∫ T

0

B2s ds)

d’ou

EP(exp−αB2t −

b2

2

∫ t

0

B2s ds) = Eb(exp−αB2

t + b

∫ t

0

BsdBs)

La formule d’Ito montre que∫ t

0

Bs dBs =12

(B2t − a2 − t)

(sous P et sous Pb).On obtient, en posant x = a2

EP(exp−αB2t −

b2

2

∫ t

0

B2s ds) = Eb(exp−αB2

t +b

2(B2

t − x− t))

Sous Pb, Bt est une gaussienne. On applique le resultat de la question 1 et on trouve (calculs)

EP(exp−αB2t −

b2

2

∫ t

0

B2s ds) = (cosh bt+ 2

α

bsinh bt)−

12 exp[−xb

21 + 2α

b coth bt

coth bt+ 2αb

]

On note Φ(α, b) l’expression de droite.

Exercice 6.3.3 : Soit dXt = −λXt dt + dBt un processus d’Ornstein-Uhlenbeck. Sous Pλ, X est

un Brownien car Xt = −λ∫ t

0

Xs ds+Bt. On a

EP(exp−b2

2

∫ T

0

X2s ds) = EPλ(L−1

T exp−b2

2

∫ T

0

X2s ds)

Corriges. 2009-10 137

= EPλ

(exp

(−λ∫ T

0

XsdXs − λ2

2

∫ T

0

X2s ds−

b2

2

∫ T

0

X2s ds

))

= EPλ

(exp

(−λ

2(X2

T − T )− λ2 + b2

2

∫ T

0

X2s ds

))

=(

expλT

2

)Φ(λ

2,√λ2 + b2)

(On comparera cet exercice au precedent)

Exercice 6.3.5 : Soit S solution de

dSt = St (µdt+ σ dBt) , S0 = s .

St = S0 exp(µt+ σBt − σ2

2t).

1. Soit dQ = LtdP avec Lt = exp(θBt − 12θ2t). Le theoreme de Girsanov montre que W est un

Q-mouvement Brownien.

2. Soit dP = ZtdQ avec Zt = exp(σWt − σ2

2t)

Le theoreme de Girsanov montre que (Bt = Wt − σt, t ≥ 0) est un P-mouvement brownien.On a alors

dSt = St((r + σ2) dt+ σ dBt)

3. Soit Pt = P0ert. Le processus (Yt =

StPt, t ≥ 0) est une Q-martingale, car Yt = Y0 exp(σWt −

σ2

2t) (ou parce que (Ito) dYt =

d(Ste−rt)P0

= YtdWt.)

Le processus Zt =PtSt

est une P-martingale car Zt = Z0 exp(−σBt − σ2

2t)

4. Soit Ft = e−λt(∫ t

0Su du+ sA

)ou A, λ sont des constantes

Soit Ψt =FtPteλt. On a dΨt = (1− rΨt) dt− σΨtdBt

Exercice 6.3.7 : Let BYt = Y t+Bt and F be a functional on C([0, t],R). Using the independancebetween Y and B, and Cameron-Martin theorem, we get

E[F (BYs , s ≤ t)] = E[F (sY +Bs, s ≤ t)] =∫ν(dy)E[F (sy +Bs, s ≤ t)] (6.1)

=∫ν(dy)E[F (Bs, s ≤ t) exp(yBt − y2

2t)] = E[F (Bs; s ≤ t)h(Bt, y)] (6.2)

= Eh(F (Xs, s ≤ t)] (6.3)

where h(x, t) =∫ν(dy) exp(yx− y2

2t) and Ph|Ft = h(Bt, t)W |Ft . Therefore,

Bhtdef= Bt −

∫ t

0

dsh′xh

(Bs, s)

is a Ph-martingale, more precisely a Ph Brownian motion and Bt is solution of

Xt = Bht +∫ t

0

dsh′xh

(Xs, s)

138 Girsanov.

Under Ph, B has the same law as BY under P. Then, BYt = Bht +∫ t

0

dsh′xh

(BYt , t). Let us remark

that

E(Y |BYt ) =h′xh

(BYs , s)

where BYt = σ(BYs , s ≤ t). On a

EQ(f(Y )F (BYs , s ≤ t)) = EP(e−Y Bt−12Y

2tF (BYs , s ≤ t))=

∫ν(dy)f(y)EP(e−yBt−

12y

2tF (Bs + ys, s ≤ t))

=∫ν(dy)f(y)E(F (Bs, s ≤ t)) = E(F (Bs, s ≤ t))EP(f(Y ))

et la loi de Y est la meme sous P et sous Q.

Exercice gi:4 : On remarque que e−2Bt − 1 = −2∫ t

0e−2BsdBs + 2

∫ t0e−2Bsds

−14(e−2Bt − 1

)+

12

∫ t

0

(e−2Bs − 1

4e−4Bs

)ds

=12

∫ t

0

e−2BsdBs − 12

∫ t

0

e−2Bsds+12

∫ t

0

(e−2Bs − 1

4e−4Bs

)ds

=12

∫ t

0

e−2BsdBs − 14

∫ t

0

e−4Bsds

et on sait que exp(∫ t

0θsdBs − 1

2

∫ t0θ2ds

)est une martingale locale. On peut verifier que la condition

de Novikov est satisfaite Sous Q, le processus B = B − 12

∫ t0e−2Bsds est un MB.

6.4 Cas multidimensionnel

6.5 Temps d’arret

Exercice 6.5.1 : Soit dPµ = LtdP ou Lt = exp(−µσBt− µ2

2σ2t). Sous Pµ, (Bt = Bt+

µ

σt =

Xt

σ, t ≥ 0)

est un Brownien et Xt = σBt.De l’egalite Ta = inft |Bt =

a

σ, on en deduit le resultat qui figure dans le cours en procedant

comme suit:On a dP = L−1

t dPµ avec

L−1t = exp(

µ

σBt +

µ2

2σ2t) = exp(

µ

σBt − µ2

2σ2t)

et pour tout temps d’arret T , on a

EP(exp(−λ(T ∧ t)) = EPµ(LT∧te−λ(T∧t)) = EPµ(

exp(µ

σBT∧t − µ2 + 2λσ2

2σ2(T ∧ t))

)

On en deduit

EP(exp(−λTa)11Ta<∞) = expµ

σ2aEPµ

(exp(−µ

2 + 2λσ2

2σ2Ta) 11Ta<∞

)

Le passage a la limite quand t → ∞ est licite pour a ≥ 0, car d’une part e−λ(T∧t) ≤ 1 et d’autre

part BTa∧t ≤ a, d’ou exp(µσ BT∧t −µ2 + 2λσ2

2σ2(T ∧ t)) est borne. On utilise aussi BTa11Ta<∞ =

a

σ.

Corriges. 2009-10 139

Exercice 6.5.2 :

E(11T<∞ exp(λBT − λ2

2T )) = P(λ)(T <∞) =

and use thatT = inft : Bt − t/2 > ln a = inft : Bt + (λ− 1/2)t > ln a

Exercice 6.5.3 : Le processus (Mt = exp(θBt − θ2t2 ) , t ≥ 0) est une Pµ-martingale et si a et θ

sont positifs (Mt∧Ta , t ≥ 0) est uniformement integrable, car majoree par exp(θa). On en deduitEPµ(MTa) = 1 d’ou

EP(e−λTa11Ta<∞) = exp(aµ

σ2− a

√µ2 + 2λσ2

σ2)

et on verifie que Ta est fini (faire λ = 0).

Exercice 6.5.4 : L est une martingale exponentielle d’esperance 1, en utilisant que dF 2t =

2Ftf(t)dBt + f2(t)dt on obtient la premiere egalite. Une integration par partie montre que∫ T

0

h(s)2f(s)

dF 2s dBs =

h(T )f(T )

F 2T −

h(0)f(0)

F 20 −

∫ T

0

F 2t d

(h(t)f(t)

)

ce qui donne le resultat. On prend ensuite h(t) =u′

u(t)f(t)et on utilise que

E

(exp

[12

(u′(T )

u(T )f2(T )

)F 2T −

∫ T

0

F 2t

(u′′(t)− 2u′(t)f ′(t)/f(t)

u(t)f2(t)

)dt

])= exp

(∫ T

0

u′(t)u(t)

)dt

Pour calculer l’expression avec Ψ, on fait un changement de probabilite en posant dQ = LT dP. Ona

K =(u(T )u(0)

)1/2

EQ

(Ψ(A+BFT +

∫ T

0

φ(t)F 2t dt)

)

et en appliquant Girsanov,

K =(u(T )u(0)

)1/2

EQ

(Ψ(A+Bu(T )

∫ T

0

u(t)f(t)

dBt +∫ T

0

dtφ(t)u(t)∫ t

0

dBsf(s)u(s)

)

)

On peut calculer le membre de droite, car c’est l’exponentielle d’une gausienne.

Exercice 6.6.16 : On a dr = 2√σ(t)rtdBt + ([2β(t) +

σ′(t)σ(t)

]rt + δσ(t))dt. L’etude de Z se fait par

une IP.Exercice 6.5.5 :

1. Utiliser Girsanov et Bayes.

2. C’est le theoreme de Girsanov applique sur l’espace produit.

3. Appliquer Ito. Les termes en dt sont nuls car π est une martingale.

6.6 Finance

Exercice 6.6.13 : Il s’agit de calculer A = E

e−rT

(1T

∫ T

0

Sudu− ST)+ que l’on ecrit

A =1TE(e−rTST (YT −K)+)

140 Complements

avec Yt =1St

∫ t

0

Sudu et K = T . Par un changement de probabilite (le processus e−rtStS0

est une

Q-martingale positive d’esperance 1), on obtient A =S0

TE((YT −K)+) avec, sous Q

dYt = (1− rYt)dt+ YtσdBt .

On peut utiliser que Yt = Ut + Vt avec U solution de

dUt = −rUtdt− σUtdBt, U0 = 1

et Vt = y +∫ t

0

(Us)−1ds, ce qui ne nous avance pas beaucoup.

Exercice 6.6.15 :

1. On a drt =σ′(t)σ(t)

rtdt+ σ(t)(dBt + h(t)dt).

2. Une integration par parties donne le resultat.

3. Une nouvelle integration par parties donne le resultat

4. Une quantite du type

A = E

(exp

(f(T )BT −

∫ T

0

Bsg(s)ds

))

se calcule en recherchant une fonction ϕ telle que ϕ′(s) = g(s), ϕ(T ) = g(T ). On peut aussiremarquer que

h(T )BT −∫ T

0

Bs(h′(s) + σ(s))ds

est une variable gaussienne centree dont on identifie la variance.

Exercice 6.6.17 : St = x + mart + 2(ν + 1)∫ t

0

Sudu. Utiliser que1− e−b

b≥ e−b. On en deduit

que E((1T

∫ T

0

exp(2(Bs + νs))ds−K)+) ≥ E((exp 2(BT + νT )− k)+) pour k assez petit.

Exercice 6.6.7 Pour evaluer EQ(h(ST )|Ft) dans le cas h(x) = (xα−K)+, on utilise ce qui precede

en ecrivant SαT sous la forme x exp((a− b2

2)t+ bBt). IL est facile de verifier que sous Q∗,

dZt = −σZtdBtet comme B donc −B est un MB, Z a meme dynamique sous Q∗ que S sous Q. Par suite

∀ϕ,EQ(ϕ(ST )) = EQ∗(ϕ(ZT )) .

Par definition de Q∗1xEQ(ST f(

x2

ST)) = EQ∗(f(

x2

ST)) .

Par definition de Z,

EQ∗(ST f(x2

ST)) = EQ∗(f(ZT )) = EQ(f(ST )) .

Si Sa est une martingale, le meme raisonnement conduit a la formule souhaitee. Un peu d’algebrepermettait decrire xβ(x−K)+ comme

(xβ+1 −Kβ+1)+ −K(xβ −Kβ)+ .

Chapter 7

Complements, Corriges

7.1 Theoreme de Levy.

Exercice 7.1.1 : Soit St = sup0≤s≤tWs et

D = sup0≤s≤t≤1

(Ws −Wt) = sup0≤t≤1

sup0≤s≤t

(Ws −Wt)

= sup0≤t≤1

(St −Wt)loi= sup

0≤t≤1|Wt|

Grace au theoreme de Levy

(St −Wt, St,Wt; θ ≤ t ≤ 1) loi= (|Wt|, Lt, Lt − |Wt|; g ≤ t ≤ 1)

D’ou

Wθ, supθ≤t≤1

(St −Wt − St)) loi= Lg − |Bg|, supg≤t≤1

(|Wt| − Lt) = (Lg, supg≤t≤1

(|Wt| − Lg)

Thus

D1 = Wθ + supθ≤t≤1

(St −Wt − St) loi= Lg + supg≤t≤1

|Wt| − Lg

Exercice 7.4.1 : La premiere egalite provient du theoreme de Levy et de la connaissance de la loidu couple St, Bt). La seconde egalite en loi provient de la symetrie de la loi du couple. Pour le semigroupe, on utilise la formule de Levy et l’independance de (Bu, u ≤ t) et de Bv = Bt+v −Bt

E(f(St+s −Bt+s, St+s|Fs) = E(f((Ss −Bs) ∨ St − Bt, Bs + (Ss −Bs) ∨ StSt+s)|Fs)=

∫µt(da, d`)f(α ∨ `− (`− a), (λ− α) + α ∨ `)

Les resultats concernant l’independance de St(St −Bt) et Bt sont dus a Seshadri.

7.2 Equations retrogrades

Exercice 7.2.2 : Il s’agit d’appliquer la formule d’Ito et le theoreme de representation. La proprietede martingale de X provient de Xt = E(eζHT |Ft) et le theoreme de representation etablit l’existence

141

142 Complements

de z. Puis, en utilisant la formule d’Ito

d(1/Ht) = − 1H2t

dHt +1H3t

d〈H〉t =1Ht

[(r + θ2)dt+ θdWt)]

d(Zt/Ht) =ZtHt

[(r + θ2)dt+ θdWt) +HtztdWt +ztHt

θdt

dXt = (ztHt

+ θ)dWt +(

(r + θ2) +ztHt

θ − 12

(ztHt

+ θ)2

)dt

= XtdWt + (r + θXt − 12X2t )dt

7.3 Theoremes de representation

Exercice 7.3.1 : On utilisera le theoreme de representation previsible pour representer W (1)t ,W

(2)t

en terme de W (3). Si l’egalite etait possible, on aurait W (i)t =

∫ t

0

Φ(i)t dWt avec

∫ t

0

E[Φ(i)t ]2dt = t et

E(W (1)t W

(2)t ) = E(

∫ t

0

Φ(1)t Φ(2)

t dt) = 0.

Exercice 7.3.2 : M est une integrale stochastique, l’integrand est borne donc de carre integrable,M est une martingale.Par propriete de l’integrale stochastique

[∫ t

0

11Ws>0dWs

]2

−∫ t

0

(11Ws>0)2ds

est une martingale. Une autre methode consiste a appliquer la formule d’Ito a Y 2t avec Yt =∫ t

0

11Ws>0dWs. Le processus At =∫ t

0

11Ws>0ds est un processus croissant.

Le processus MCt est une Gt def= FCt martingale et

M2Ct −ACt = M2

Ct − test une martingale.

7.4 Temps local.

Exercice 7.4.2 : On ne peut pas appliquer Ito car x → |x| n’est pas de classe C2. Un calcul faiten pensant qu’un point ne compte pas et que l’on peut negliger le point ou la derivee n’existe pasconduirait a (la derivee de |x| est egale a sgn sauf en 0 et la derive seconde est nulle sauf en 0)

|Bt| =∫ t

0

sgn(Bs)dBs et l’integrale du membre de droite n’est pas positive (nous verrons plus loin

que c’est un mouvement Brownien).

Le processus β est une martingale de crochet∫ t

0

f2(Bs)ds = t, c’est un MB. Il est evident que pour

u ≥ tSu = sup

s≤uWs ≥ St = sup

s≤tWs

La premiere decomposition exprime que |Wt| est egal a un MB plus un processus croissant, la sec-onde decomposition dit que St −Wt a la meme propriete. On peut montrer, grace au lemme deSkohorod (voir poly) que (St −Wt, t ≥ 0) loi= (|Wt|, t ≥ 0) et que (Lt, t ≥ 0) loi= (St, t ≥ 0).

Corriges. 2009-10 143

Exercice 7.4.3 : |Bs|+ Ls ≥ Lt = Ldt for s ≥ t, and |Bdt |+ Ldt = Ldt .

Exercice 7.4.4 : (θ ≤ u) = sups≥uBs ≤ sups≤uBs = sup1≥s≥u(Bs − Bu) + Bu ≤ sups≤uBs d’ouP(θ ≤ u) = P(S1−u ≤ Su −Bu) On trouve finalement que θ a une loi Arc Sinus.

Exercice 7.4.5 : On utilise la formule d’Ito

dYt = f ′x(Xt, St, 〈X〉t)dXt + f ′s(Xt, St, 〈X〉t)dSt + (f ′t +12f ′′xx)(Xt, St, 〈X〉t)d〈X〉t

Or f ′s(Xt, St, 〈X〉t) = f ′s(St, St, 〈X〉t) dSt presque surement. Si12f ′′xx + f ′t = 0 et f ′s(s, s, t) = 0, Y

est une martingale locale.

g(St)− (St −Xt)g′(St) = g(St)−∫ t

0

g′(Ss)dSs +∫ t

0

g′(Ss)dXs +∫ t

0

(Ss −Xs)g′′(Ss)dSs

=∫ t

0

g′(Ss)dXs

Exercice 7.4.6 : On utilise le scaling du MB pour ecrire∫ λ2t

0

f(Bs)dsloi= λ2

∫ t

0

f(λBu)du = λ2

∫da f(λa)Lat

Exercice 7.4.8 : From the occupation formula and change of time∫ t

0

d〈M〉s f(Ms) =∫ t

0

d〈M〉sf(β〈M〉s) =∫ 〈M〉t

0

duf(βu) =∫dyf(y)Ly〈M〉t(β).

7.5 Lois

Exercice 7.5.1 : Soit Yt = f(Xt). On en deduit

dYt =Xt

b(Xt)dXt +

12( 1b(Xt)

− Xtb′(Xt)

b2(Xt))b2(Xt)dt

= Xt

(a(Xt)b(Xt)

dt+ dWt

)+

12(b(Xt)−Xtb

′(Xt))dt

Le resultat souhaite en decoule.

f(Xt)− f(X0)−∫ t

0

[Xs

a(Xs)b(Xs)

+12(b(Xs)−Xsb

′(Xs))]ds =

∫ t

0

XsdWs

Exercice 7.5.2 : Let V be a standard Brownian motion starting at v, that is, Vt = v+Wt. In thiscase, the two events τa(V ) ≤ t and sups≤tWs ≥ α, where α = a− v are equal. The reflectionprinciple implies that the r.v. sups≤tWs is equal in law to the r.v. ‖Wt‖. Therefore,

P(τα(W ) ≤ t) = P(sups≤t

Ws ≥ α) = P(‖Wt‖ ≥ α) = P(W 2t ≥ α2) = P(tG2 ≥ α2)

where G is a Gaussian variable, with mean 0 and variance 1. It follows that τα(W ) loi=α2

G2, and the

probability density function of τa(V ) is

f(t) =a− v√

2πt3exp

(− (v − a)2

2t

).

144 Complements

The computation of

E(11T<τa(V )h(VT )

)= E

(h(VT )

)− E(11T≥τa(V )h(VT ))

can be done using Markov property:

E(11T≥τa(V )h(VT )

)= E

(11T≥τa(V ) E(h(VT )|Fτa(V ))

)= E

(11T≥τa(V ) h(VT−τa(V ) + a)

),

where V is a Brownian motion independent of τa(V ).

Exercice 7.5.3 : Soit y > a. On admettra que M est uniformement integrable.

a = E[MTy ] = yP(Ty <∞) = yP(supMt ≥ y)

Soita

y= P(supMt ≥ y) = P(

a

y≥ U) = P(

a

U≥ y).

7.6 Filtrations

Exercice 7.6.2 : Mt = E(Wt|Ht) est un processus H-adapte. Pour montrer que c’est une H-martingale, il suffit d’ecrire la suite d’egalites suivantes, pour t ≥ s

E(Mt|Hs) = E(Wt|Ht|Hs) = E(Wt|Hs)= E(Wt|Gs|Hs) = E(Ws|Hs)

Pour montrer que Z est une FX -martingale, on ecrit (en justifiant chaque egalite, ce que je ne faispas)

E(Zt|FXs ) = E(Xt|FXs )− E(∫ t

0

Yudu|FXs )

= E(Wt +∫ t

0

Yudu|FXs )− E(∫ t

0

Yudu|FXs )

= E(Wt|FXs ) + E(∫ s

0

Yudu|FXs ) + E(∫ t

s

Yudu|FXs )−∫ s

0

Yudu− E(∫ t

s

Yudu|FXs )

= E(Ws|FXs ) + E(∫ s

0

Yudu|FXs ) + E(∫ t

s

Yudu|FXs )−∫ s

0

Yudu− E(∫ t

s

Yudu|FXs )

= E(Xs|FXs ) +∫ t

s

E(Yu|FXs )du−∫ s

0

Yudu− E(∫ t

s

Yudu|FXs )

= Xs +∫ t

s

Yudu−∫ s

0

E(Yu|FXs )du− E(∫ t

s

Yudu|FXs )

= Xs −∫ s

0

Yudu)

on a utilise que E(Wt|FXs ) = E(Ws|FXs ) et que, pour u > s

E(Yu|FXs ) = E(Yu|FXu |FXs ) = E(Yu|FXs )

7.7 Options barrieres

Exercice 7.7.1 : Soit Φt(x) = P(Bt < x) = 1√2πt

∫ x−∞ exp(−u2

2t )du. on a Φt(x) = 1−Φt(−x) d’ou,P(Bt < x) = P(Bt > −x).

Corriges. 2009-10 145

Soit T = inft ≥ 0|Bt = y. Par definition P(Bt ≤ x, Mt > y) = P(T < t, B∗t−T < x − y). SiMt > y, c’est que l’on a depasse y avant t: Si Mt > y, on a T < t. De plus B∗t−T = Bt−BT = Bt−y.Par independance, P(T < t, B∗t−T < x− y) =

∫ t0P(T ∈ du , B∗t−u < x− y) =

∫ t0P(T ∈ du)P(B∗t−u <

x− y). D’apres 1, P(B∗t−u < x− y) = P(B∗t−u > −x+ y), d’ou∫ t

0

P(T ∈ du)P(B∗t−u < x− y) =∫ t

0

P(T ∈ du)P(B∗t−u > y − x)

et par independance∫ t

0

P(T ∈ du)P(B∗t−u > y − x) =∫ t

0

P(T ∈ du, B∗t−u > y − x) = P(T < t, Bt > 2y − x)

En tenant compte du fait que si Bt > 2y − x et y > x , alors Bt > y, donc T < t on en deduitP(T < t, Bt > 2y − x) = P(Bt > 2y − x) d’ou

P(Bt ≤ x, Mt > y) = P(Bt > 2y − x)

En utilisantP(Bt ≤ x, Mt < y) = P(Bt ≤ x)− P(Bt ≤ x, Mt > y)

on obtientP(Bt ≤ x, Mt < y) = N (

x√t)−N (

x− 2y√t

)

3. La loi de T s’obtient en ecrivant P(T < t) = P(Mt < y) et la densite du couple (Bt,Mt) enderivant P(Bt ≤ x, Mt < y).4. Soit Xt = µt + Bt, Yt = sup (Xs, 0 ≤ s ≤ t. Soit dQ = ζdP avec ζ = exp(−µXt + 1

2µ2t). En

utilisant le theoreme de Girsanov, on a

P(Xt < x, Yt < y) = EQ(exp(µXt − 12µ2t) 11Xt<x 11Yt<y)

que l’on peut calculer car sous Q, X est un mouvement Brownien et on connait la loi du couple(x, Y ) sous Q.

7.8 Meandres, ponts, excursions

Exercice 7.8.1: Let V be a standard Brownian motion starting at v, that is, Vt = v +Wt. In thiscase, the two events τa(V ) ≤ t and sups≤tWs ≥ α, where α = a− v are equal. The reflectionprinciple implies that the r.v. sups≤tWs is equal in law to the r.v. ‖Wt‖. Therefore,

P(τα(W ) ≤ t) = P(sups≤t

Ws ≥ α) = P(‖Wt‖ ≥ α) = P(W 2t ≥ α2) = P(tG2 ≥ α2)

where G is a Gaussian variable, with mean 0 and variance 1. It follows that τα(W ) loi=α2

G2, and the

probability density function of τa(V ) is

f(t) =a− v√

2πt3exp

(− (v − a)2

2t

).

The computation of

E(11T<τa(V )h(VT )

)= E

(h(VT )

)− E(11T≥τa(V )h(VT ))

can be done using Markov property:

E(11T≥τa(V )h(VT )

)= E

(11T≥τa(V ) E(h(VT )‖Fτa(V ))

)= E

(11T≥τa(V ) h(VT−τa(V ) + a)

),

146 Complements

where V is a Brownian motion independent of τa(V ).

For t < 1, the set g ≤ t is equal to dt > 1.

dat (W ) = t+ inf u ≥ 0 : Wu+t −Wt = a−Wt = t+ τa−Wt

loi= t+(a−Wt)2

G2.

P( a2

G2> 1− t

)= Φ

( ‖a‖√1− t

).

Then, the Ito-Tanaka formula combined with the identity xΦ′(x) + Φ′′(x) = 0 lead to

P(g ≤ t|Ft) = Φ( |Wt|√

1− t

)=

∫ t

0

Φ′( |Ws|√

1− s

)d

( |Ws|√1− s

)+

12

∫ t

0

ds

1− sΦ′′( |Ws|√

1− s

)

=∫ t

0

Φ′( |Ws|√

1− s

)sgn(Ws)√

1− s dWs +∫ t

0

dLs√1− sΦ′

( |Ws|√1− s

)

=∫ t

0

Φ′( |Ws|√

1− s

)sgn(Ws)√

1− s dWs +

√2π

∫ t

0

dLs√1− s .

Exercice 7.4.7 : The occupation time formula leads to

E∫ Ta(X)

0

f(Xs) ds =∫ a

−∞f(x)E[LxTa ]dx

It remains to compute φ(x) = E[LxTa ]. Tanaka’s formula reads

(XTa − x)+ = (−x)+ +∫ Ta

0

11(Xs>x)dXs +12LxTa

(a− x)+ = (−x)+ +∫ Ta

0

11(Xs>x)(dWs + νds) +12LxTa

Then, taking expectation of both sides

12E[ LxTa ] = (a− x)+ − (−x)+ − νE[

∫ Ta

0

11(Xs>x)ds]

= (a− x)+ − (−x)+ − νE[∫ a

x

LyTady]

Therefore, if φ(x) = E[ LxTa ]

12φ(x) = (a− x)+ − (−x)+ − ν

∫ a

x

φ(y)dy, φ(a) = 0

which gives

φ(x) =

1ν

(1− exp(2ν(x− a)) for 0 ≤ x ≤ a

1ν

(1− exp(−2νa)) exp(2νx) for x ≤ 0

Exercice 7.8.2 : Il suffit d’ecrire

Bt = m1

√t− gt (sgneBt)

On a alors E(Bt|Fgt) = E(m1√t− gt (sgneBt)Fgt) =

√t− gt (sgneBt)E(m1) =

√t− gt (sgneBt)

√π

2On note µt =

√t− gt (sgneBt), c’est une martingale. Des calculs analogues conduisent a

E(B2t − t|Fgt) = E(m2

1)µ2t − t

Corriges. 2009-10 147

E(eαBt−α22 t|Fgt) = h(αµt)e−

α22

avec h(x) = E(exm1).

148 Sauts.

Chapter 8

Sauts, Corriges.

8.1 Processus de Poisson

Exercice 8.4.1 : Il suffit d’utiliser l’Exercice 1.4.9.

Exercice 8.1.3 : La Propiee d’accroissements independants du processus de POisson conduit a

E(Nt −Ns|Fs ∧ σ(N1)) = E(Nt −Ns|(Ns −N1))

Il est bien connu (ou tout au moins facile de verifier ) que si X et Y sont deux variables de Poisson,independantes, de parametre µ et ν

P(X = k|X + Y = n) =(nk

)αk(1− α)n−k

avec α =µ

µ+ ν. On en deduit

E(Nt −Ns|Fs ∧ σ(N1)) =t− s1− s (N1 −Ns)

La verification de la propriete de martingale est alors facile.

Exercice 8.1.4 : Si N est un processus de Poisson, P(Nt = n) = e−λtλntn

n!d’ou

ψ(z, t) = e−λte−λtz

Si N un processus a accroissements independants tel que Nt+s −Nt loi= Ns

ψ(z, t+ s) =∞∑n=0

znP(Nt+s = n) = E(zNt+s) = E(zNt+s−Nt+Nt)

= E(zNt+s−Nt)E(zNt) = E(zNs)E(zNt) = ψ(z, t)ψ(z, s)

On en deduitψ(z, t+ h)− ψ(z, t) = ψ(z, t)[ψ(z, h)− 1]

ce qui conduit a une EDO en utilisant les proprietes de ψ donnees dans l’enonce. En tenant comptede ψ(z, 0) = 1, on montre que ψ(z, t) = e−λte−λtz, ce qui caracterise le processus de Poisson (cetteegalite caracterise la loi de Nt, ce qui avec N un processus a accroissements independants tel queNt+s −Nt loi= Ns caracterise le processus de Poisson.)

149

150 Sauts.

Exercice 8.2.1 : Le processus de Poisson compose est un processus a accroissements independants,donc pour s < t

E(Yt − Ys|Fs) = E(Yt − Ys) = E(Xt −Xs)− µλ(t− s) = 0

On peut le demontrer a la main:

E(Xt −Xs|Fs) = E(Nt∑

i=Ns+1

Yi|Fs) = E(Nt−Ns+Ns∑

i=Ns+1

Yi|Fs) = Ψ(Ns)

avec

Ψ(n) = E(n+Nt−s∑

i=n+1

Yi) =∑

P(Nt−s = k)E(n+k∑

i=n+1

Yi)

=∑

P(Nt−s = k)kE(Y1) = E(Y1)E(Nt−s) = E(Y1)λ(t− s)

Exercice 8.2.2 : Si X et X sont deux solutions,

Ztdef= Xt − Xt = −c

∫ t

0

(Xs − Xs)ds = −c∫ t

0

Zsds

et Z est solution de l’equation differentielle ordinaire Z ′t = −cZt avec condition initiale nulle. DoncZ = 0.

Soit Xt = e−ctx+∫ t

0

e−c(t−s)dNs. On calcule

∫ t

0

Xsds =∫ t

0

e−csxds+∫ t

0

ds

∫ s

0

e−c(s−u)dNu .

L’integrale double se calcule en employant Fubini (pour des integrales de Stieltjes)∫ t

0

ds

∫ s

0

e−c(s−u)dNu =∫ t

0

dNu

∫ t

u

dse−c(s−u) =1c

∫ t

0

dNu(1− e−c(t−u))

=1c

(Nt −∫ t

0

e−c(t−s)dNs) .

En utilisant que M et Y sont des martingales

E(MtYt|Fs) = E(Mt(Yt − Ys)|Fs) +MsYs = E((Mt −Ms)(Yt − Ys)|Fs) +MsYs

Le calcul de E((Mt−Ms)(Yt−Ys)|Fs) se fait comme le precedent. Exercice 8.1.5 : Par integrationpar parties, d(tNt) = Ntdt+ tdNt D’ou

∫ t

0

Nsds = tNt −∫ t

0

sdNs =∫ t

0

(t− s)dNs

Pour calculer la TL, il suffit d utiliser que pour toute fonction h (ici, pour t fixe h(s) = −λ(t− s))si c est l’intensite de N

E(exp(∫ t

0

h(s)dNs) = exp(−c∫ t

0

(1− eh(s))ds)

8.2 Poisson compose

Exercice 8.2.3 : Par independance des Yk, on obtient

E(λn∑

k=1

Yk + µ

m∑

k=n+1

Yk)) = E(λY1)nE(µY1)m

Corriges. 2009-10 151

Le caractere PAIS de N s’obtient a partir de

E(λXs + µ(Xt −Xs)) = E(ψ(λ,Ns)ψ(µ,Nt −Ns)) = E(ψ(λ,Ns))E(ψ(µ,Nt−s))

ou ψ(λ, n) = E(λY1)n. Le processus N est independant des (Yk, k ≥ 1) et la v.a. Nt a une loi dePoisson : il s’en suit que

P(Xt ≤ x) =∑n

P(Nt = n,

n∑

k=1

Yk ≤ x)

=∑n

P(Nt = n)P(n∑

k=1

Yk ≤ x)

= e−λt∑n

(λt)n

n!F ∗(x) ,

et

E(Xt) =∞∑n=1

E(n∑

k=1

Yk11Nt=n) =∞∑n=1

nE(Y )P(Nt = n)

= E(Y )∞∑n=1

nP(Nt = n) = λtE(Y1) .

Le calcul de la variance peut etre obtenu avec les mmes arguments, mais il est plus facile d’utiliserque le moment d’ordre deux est obtenu par derivation (d’ordre deux) de la transformee de Laplacede Xt Exercice 8.2.4 : Le processus X etant un PAI et E(Xt) = λtE(Y1) on obtient que(Xt− tλE(Y ), t ≥ 0) est une martingale. Plus generalement, si f une fonction borelienne bornee, onnote µ(f) =

∫f(x)µ(dx) l’espE(f(Y )). Par definition de Mf ,

E(Mft ) =

∑n

E(f(Yn))P(Tn < t)− tλµ(f) = σ(f)∑n

P(Tn < t)− tλµ(f) = 0

La fin de la preuve est standard et utilise le calcul suivant, pour s > 0

E(Mft+s −Mf

t |Ft) = E

∑

t<u≤t+sf(∆Xu)11∆Xu 6=0 − sλµ(f)|Ft

= 0 .

Pour la reciproque, on ecrit

eiuXt = 1 +∑

s≤teiuXs−(eiuXs − 1)

= +∫ t

0

eiuXs−dMfs + σ(f)

∫ t

0

eiuXs−ds

ou f(x) = eiux − 1. Il en resulte

E(eiuXt+s |Ft) = eiuXt + σ(f)∫ t+s

t

drE(eiuXt+r |Ft) .

En posant ϕ(s) = E(eiuXt+s |Ft) on obtient ϕ(s) = ϕ(0) + σ(f)∫ s

0ϕ(r)dr, d’ou

E(eiuXt+s |Ft) = esλ

∫µ(dx)(eiux − 1)

avec λ = σ(1) et µ = σ/λ).

152 Sauts.

Exercice 8.2.6 : From the independence between the r.v. (Yk, k ≥ 1) and the process N ,

E(e−αXt) = E

(exp (−α

Nt∑

k=1

Yk)

)= E(Φ(Nt))

where Φ(n) = E

(exp (−α

n∑

k=1

Yk)

)= [ΨY (α)]n, with ΨY (α) = E (exp−αY ). Now, E(Φ(Nt)) =

∑n

[ΨY (α)]ne−λtλntn

n!. Exercice 8.4.1 : Appliquer la formule d’integration par parties a Vt exp−

∫ t

0

λsds +

∫ t

0

duhuλu(exp−

∫ u

0

λsds)

= Ut et a Ut(1− 11τ≤t).

8.3 Marche complets, incomplets

Exercice 8.5.1 : We shall now restrict our attention to the simple case of a complete market where

dSt = St−[µdt+ φdMt]

and r = 0. Here, M is the compensated martingale associated with a poisson process with deter-ministic intensity.

The non-arbitrage condition is equivalent to the existence of γ such that γ > −1 and µ+λφγ = 0.

This implies thatλφ− µλφ

> 0.

The unique equivalent martingale measure Q is defined bydQdP|Ft = Lt where L is the strictly

positive martingale

Lt =(λφ− µλφ

)Ntexp(tµ/φ)

which satisfies dLt = −Lt− µ

λφdMt.

Under the measure Q, Mtdef= Mt + tµ/φ is a martingale.

Exercice 8.5.2 : Les m.m.e. sont definies par leur densite L verifiant

dLt = Lt−(−ψtdBt + γtdMt)

avecσψ(t) = b− r + λφγ(t) , dP⊗ dt.p.s.

Elles sont indexees par un processus γ > −1. Sous Pγ , le processus Bγ defini par

Bγtdef= Bt −

∫ t

0

ψ(s) ds

est un mouvement Brownien Mγtdef= Mt −

∫ t

0

λγ(s)ds est une martingale.

On utilisera

Bγ(t) = B(t) + tθ +∫ t

0

λφγ(s)σ

ds = B0t +

∫ t

0

λφγ(s)σ

ds

avec θ =b− rσ

.