Bvleg4 combinatorics

МХТС МХТС J.TC207J.TC207МХТС МХТС J.TC207J.TC207

Комбинторик

Rosen 6Rosen 6thth ed., §5.1-5.3, § 5.5 ed., §5.1-5.3, § 5.5

1

МХТС МХТС J.TC207J.TC207

Комбиторик

• Аливаа юмсыг олон төрлийн комбинациар тооцоолдог. ж.н. Хэрэв 6-8 оронтой тоо эсвэл үсгээр

кодлсон бол хичнээн кодлол үүсэх боломжтой вэ?

• Үндсэн 2 арга байдаг ба үүнд:– Нэмэх хууль– Үржүүлэх хууль

2


Нэмэх хууль

• Хоёр даалгавар авч үзье:– нэгдүгээр даалгаврыг гүйцэтгэх боломжийн тоо m.– Хоёрдугаар даалгаврыг гүйцэтгэх боломжийн тоо n

– Даалгавар бүр бие биенээсээ тусгаарлагдсан• Нэгдүгээр даалгавар амжилтгүйтвэл хоёрдугаар

даалгавар нь орлогч хувилбар

• Нэмэх хууль: даалгавар нэг эсвэл хоёрын аль нэг нь хийгдэнэ гэхдээ хоёулаа биелэхгүй бол m+n.

• Олон даалгаваруудад авч үзье...

3


Жишээ

• Оюутан компьютерийн төслийн жагсаалтаас 3-с 1-ийг сонгоно. Жагсаалтууд тус тусдаа 23, 15 болон 19 боломжит төсөлтэй. Хэдэн боломжит төслийг сонгож болох вэ?

4


Олонлогын онолын хэлбэр

• Хэрэв A олонлог нь даалгавар нэгийг хийх аргууд ба B олонлог нь даалгавар хоёрыг хийх аргууд тэгвэл A болон B disjoint салгая:

“даалгавар нэг хоёрыг хийх аргууд нь

A∪B, ба |A∪B|=|A|+|B|”

5


Үржүүлэх хууль

• Хоёр даалгавар авч үзье:– нэгдүгээр даалгаврыг гүйцэтгэх боломжийн тоо m.– Хоёрдугаар даалгаврыг гүйцэтгэх боломжийн тоо n

– Даалгавар бүр бие биенээсээ тусгаарлагдсан• Нэгдүгээр даалгавар амжилтгүйтвэл хоёрдугаар

даалгавар нь орлогч хувилбар

• Үржүүлэх хууль: даалгавар нэг болон хоёр хоёулаа хийгдэнэ гэвэл mn.

• Олон даалгаваруудад авч үзье...

6


Олонлогын онолын хэлбэр

• Хэрэв A олонлог нь даалгавар нэгийг хийх аргууд ба B олонлог нь даалгавар хоёрыг хийх аргууд тэгвэл A болон B disjoint салгая:

• даалгавар нэг хоёрыг хамтад нь хийх аргуудыг A×B гэх ба|A×B|=|A|·|B|

7


Жишээ

• 7 бит урттай дарааллыг хэчнээн янзаар байрлуулж болох вэ?

8


Жишээ

• Холбооны сургуульд CS – ийн 37 факултет байдаг ба 83 CS мэргэжтэй бол хичнээн боломж байх вэ?

9


Дасгал

• Лицензийн дугаарын эхний 3 оронд үсэг байх ба сүүлийн 3 оронд тоо байвал хичнээн боломж байх вэ?

10


Дасгал

• Төгсгөлөг олонлог S – д хичнээн тооны өөр дэд олонлгууд байх вэ?

11


2 хуулийг ашигласан жишээ

• Компьютерийн хэрэглэгч бүр нууц үгтэй ба 6-9 оронтой том үсэг болон тоо орсон нууц үг бүрд багадаа 1 тоо орсон бол хичнээн нууц үгийн боломжтой вэ?

12


IP хаяглалын жишээ(Internet Protocol vers. 4)

• Компьютерийн хаяглалын 3 төрлийн нэг нь үнсэн хаяг байдаг:– Class A:7-бит “netid” ≠ 17, болон 24-бит “hostid” хаяглал.– Class B: 14-бит netid болон 16- бит hostid байдаг.– Class C: 21-бит netid болон 8-бит hostid байдаг.

– Hostid-нууд нь бүгд 0 болон 1 байхыг зөвшөөрөхгүй.

• Хичнээн боломжит хаяглал байх вэ?13


2 хуулийг ашигласан жишээ:IP хаяглалын шийдэл

• (# addrs) = (# class A) + (# class B) + (# class C)(нэмэх хуулиар)

• # class A = (# valid netids)·(# valid hostids)(үржүүлэх хуулиар)

• (# боломжит class A netids) = 27 − 1 = 127.• (# боломжит class A hostids) = 224 − 2 = 16,777,214.• энэ загварыг үргэлжлүүлвэл хариулт нь:

3,737,091,842 (3.7 тэрбум IP хаяглал байна)

14


Оруулах гаргах зарчим(“нэмэх хууль”)

• Хэрэв даалгавар нэгийн m тооны даалгаварын k≤m k арга нь даалгавар хоёрт давхардаж байсан.

• Тэгвэл даалгавар нэг хоёрыг тус тусд нь хийх аргын тоо нь m+n−k.

• Олонлогын теорем: |A∪B|=|A|+|B|−|A∩B|.

15


Жишээ

• 8 бит дараалал нь 1 эхлээд 00 төгсдөг бол хичнээн боломж байх вэ?

16


Жишээ

• Нууц үг нь:– 2 тэмдэгтийн урттай байх ёстой.– Нууц үг бүр нь a-z үсэг, 0-9 тоо, эсвэл 10

тусгай тэмдэгт байна !@#$%^&*().– Нууц үг бүр нь нэг тоо эсвэл нэг тусгай

тэмдэгт багтаасан байна.

17


Шийдэл

• Нууц үгэн нь үсэг болон тоо эсвэл тусгай тэмдэгт байрлал 1 эсвэл байрлал 2-т байна.

• (#1 байрлалд тохирох тэмдэгт нь) = (10+10)·(10+10+26)

• (#2 байрлалд тохирох тэмдэгт нь): мөн 20·46• (# 2 байрлалд хамт байх тоо т/т нь): 20·20

• Хариулт нь: 920+920−400 = 1,440

18


Мод шийдэлЧамд 4 цамц, 3 өмд болон 2 хос гутал байсан бол хэдэн янзаар өмсөх боломжтой вэ?

19


Мод шийдэл

Цэг дийг тод улаанаар холбосон ба хичнээн холбоос байна үүвэ?

Мот шийдэл нь тусгай б тэцтэй асуудлын ү

тохиолдлуудын дарааллыг тооцоолох тохиромжтой арга юм.

20


Тагтааны үүр зарчим

• Хэрэв k+1 объект k байранд байрланагэвэл хамгийн багадаа 1 байр нь ≥2 объект байрлана.

• Даалгавар функц нь: Хэрэв f:A→B ба |A|≥|B|+1,байвал хэсэг B элемент нь ≥2 f доорх өмнөх дүрс pre-images. f нь one-to-one (1-1) биш байна.

21



Хэрэв n тагтаа k рэнд нисэн үүорвол k < n ба зарим р нь 2 үү

х ртэл тагтаа орох боломжтой.ү22



Хэрэв n тагтаа k рэнд нисэн үүорвол k < n ба зарим р нь 2 үү

х ртэл тагтаа орох боломжтой.ү23



S олонлогт дурын 6 эерэг б хэл тоог авч зьеү ү . Тэгвэл эдгээр хос тоонууд нь 5 хуваагдах байдлаараа ялгаатай бол ялгааг ол.

S = {a1,a2,a3,a4,a5,a6}. Эдгээрийг 5-д хуваахад лдэгдэл нь үямар байх вэ?

0, 1, 2, 3, or 4

6 тооны, 5 боломжит лдэгдэл байгааг мэднэ.ү

Эдгээр тоонуудыг ai болон aj гээд лдэгдлийгү r гэе. Тэгвэл ai = 5m + r, болон aj = 5n + r.

Эдгээрийн ялгаа нь: ai - aj = (5m + r) - (5n + r) = 5m - 5n = 5(m-n), 5-д хуваагдахад болно.

24


Тагтааны үүр зарчмыг дүгнэвэл

• Хэрэв N≥k+1 объект k байранд байрлана, тэгвэл ядаж нэг байр нь N/k объект байрладаг.

• Ж.н, ангид N=280 оюутан байсан. Мөн жилд k=52 долоо хоног байдаг.– Тэгвэл , 1 долоо хоногт ангийн 280/52=

5.38=6 хүртэлх оюутны төрсөн өдөр болдог.

25


Proof of G.P.P.

26

• Үл нийцэл contradiction. Байр бүр < N/k объекттэй байг, үүнээс ≤ N/k−1 байна.

• Тэгвэл нийт объектын тоо нь ихдээ

Nk

Nk

k

Nk

k

Nk =

=

−

+<

−

111


G.P.P. Дасгал

• Өгсөн нь: ангид 280 оюутан байсан. Хэний ч төрсөн өдрийг мэддэггүй ба ижил сард төрсөн оюутны тоо N ийн ямар утганд байх вэ?

• Хариулт:

27

280/12 = 23.3 = 24


Сэлгэлт

• Сэлгэлт нь S олонлогийн объектуудын дарааллуулсан жагсаалт ба S-ийн элемент уг жагсаалтанд нэг л удаа орно.

ж.н, 1 2 3, 2 1 3, 3 1 2• S –ийн элементийн r ялгаатай дарааллуулсан

жагсаалтыг r-permutation.• S олонлогийн r-permutation-ий элементийн тоо

n=|S| нь P(n,r) = n(n−1)…(n−r+1) = n!/(n−r)!

28


Жишээ

• 100 хүн оролцсон ба 3 дахь байрны ялагчаар хичнээн хүн тодрох боломжтой вэ?

29


Жишээ

• Террорист танай хотод бөмбөг тавьжээ. Чиний даалгавар утсыг салгах ба бөмбөгийг аюулгүй болгох.

• Бөмбөг нь 10 утсаар холбогдсон. • Хэрэв чи зөв 3 утсыг тасалвал бөмбөг аюулгүй

болох ба бусад тохиолдолд дэлбэрнэ! • Хэрэв бүх утас ижил өнгөтэй байвал чамд

аврагдах хэдэн боломж байгаа вэ?

30

P(10,3) = 10·9·8 = 720, тэгээд чамд 720 боломжоос 1 зөв 3 утас салгаснаар чи аврагдана.


Жишээ

• Дараах үсгүүдийг ABC дарааллыг алдагдуулалгүй байрлуулах хэдэн сэлгэлт байна вэ? ABCDEFG

31


Кобинаци

• S олонлогоос r элементийг дараалал харгалзахгүйгээр сонгох.

S={1,2,3} ж.н, 1 2 , 1 3, 2 3• S олонлогийн r-combination C(n,r)-ий

элементийн тоо n=|S| нь

!( , )

!( )!

n nC n r

r r n r

= = −

32


Комбинаци болон сэлгэлт

• Голдуу дараалал харгалцахгүй сэлгэлт гэдэг…

• Дараах нөхцөл биелэнэ. C(n,r) = C(n, n−r)

)!(!

!

!

)!/(!

),(

),(),(

rnr

n

r

rnn

rrP

rnP

r

nrnC

−=−==

=

( , ) ( , ) ( , )P n r C n r P r r=

33


Комбинацийн жишээ

• 52 хөзрөөс 7 хөзрийг гарт хичнээн боломжоор сугалах вэ? – Гарт сугалах дараалал хамаарахгүй.

• Хариулт C(52,7) = P(52,7)/P(7,7)= 52·51·50·49·48·47·46 / 7·6·5·4·3·2·1

34

710 82

17

52·17·10·7·47·46 = 133,784,560


Комбинаци болон сэлгэлтийг дүгнэвэл

• Тооцоолох асуудлыг хэрхэн шийдэж байгаагаар нь элемент нь нэг удаа орж байна уу олон удаа байна уу?

• Тооцоолох асуудлыг хэрхэн шийдэж байгаагаар нь хэсэг элемент нь ялгаагүй байна уу?

• Тооцоолох асуулдалд байр ялгаатай байна уу эсвэл оролцож байгаа элемент ялгаатай байна уу?

35


Давталтат сэлгэлт

• Олонлогоос n объектыг r-permutation давталтайгаар сонгосон бол

• Жишээ: n урттай тэгдэгтэнд англи хэлний цагаан толгойн үсгүүдийг хичнээн янзаар байрлуулж болох вэ?

rn

36


Давталтат Комбинаци

• N элементтэй олонлогоос r-combinationкомбинацийг элементийн давталттайгаар сонговол C(n+r-1,r).

• Жишээ: төлбөр төлөх болжээ $1 билл, $2 билл, $5 билл, $10 билл, $20 билл, $50 билл, болон $100 биллээс 5 билл давталттайгаар сонгох хичнээн боломжтой вэ?

37



Эхлэл: s1, s2 … гэх мэтчилэн байраар 5 тэмдэгтийг ангилъя Шийдэл: сонгосон байрлалд 5 од орох 11 боломж байна.

38

n=7r=5

Байрлал болон хуваагч

тэмдэгт

C(n+r-1,5)= C(7+5-1,5)=C(11,5)



• Жишээ: 10 ялгаагүй бөмбөгийг 8 ялгаатай саванд хийх хичнээн боломжтой вэ?

39


Давталттай давталтгүй Сэлгэлт болон Комбинаци

40


Бином коэффициент

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3ab2 + 3a2b + b3

(a + b)4 = a4 + 4ab3 + 6a2b2 + 4a3b + b4

Ягаад чухал вэ гэвэл

● Сонирхолтой хэлбэр

● Рекурс тодорхойлох● Баталгааны шинэ

хэлбэр● Тооцоолох р өө

шийдэл.41



(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

Бином коэффициент a9b3 ол (a + b)12?

● 36● 220● 15● 6

● Хариулт байхг йү

42



• (a + b)4 = (a + b)(a + b)(a + b)(a + b)

Бином теорем: x болон y хувьсагчийн хувьд , n с р г биш ө өб хэл тоо байвалү

€

(x +y)n =nj

j=0

n

∑ x n−jy j

= a4

€

40

+ a3b

€

41

+ a2b2

€

42

+ ab3

€

43

+ b4

€

44

43


Бином теорем: x болон y хувьсагчийн хувьд , n с р г биш б хэл тоо байвалө ө ү

€

(x +y)n =nj

j=0

n

∑ x n−jy j


(3a +2b)17 бином задаргааны a8b9 коэффициентийг ол?

What is n? 17

What is j? 9

What is x? 3a

What is y? 2b€

17

9

(3a)8(2b)9=

17

9

3829a8b9

44



(a + b)4 = (a + b)(a + b)(a + b)(a + b)= a4

€

40

+ a3b

€

41

+ a2b2

€

42

+ ab3

€

43

+ b4

€

44

●10C6

●9C4

●9C5

●8C4 + 8C5

● Хариулт байхг йү

45


€

(x +y)n =nj

j=0

n

∑ x n−jy j


Паскалын гурвалжны м р дийн нийлбэрө үү :2 зэрэгт

€

nj

j =0

n

∑ =2n N хэмжээтэй олонлог г гдс н бол хичнээн ө ө ө

дэд олонлог сэх вэ?үү 2n

0 хэмжээтэй дэд олонлог хэд байх вэ?

nC0


nC1


nC2

Дэд олонлогуудыг дээрх байдлаар тоолдог. 46


€

(x +y)n =nj

j=0

n

∑ x n−jy j


Паскалын гурвалжны м р дийн нийлбэрө үү : 2 зэрэгт

€

nj

j =0

n

∑ =2n

x=1 болон y=1 бином теорем нь

бол

€

nj

j=0

n

∑ 1n−j1 j =(1+1)n

€

nj

j =0

n

∑ =2n

47


Pascal’s Identity

Паскалын ▲-ны элементийн хамаарал нь:=

jn

n-1Cj-1

€

n -1j -1

+

n -1j

n-1Cj

48


Vandermonde’s Identity

m, n, болон r эерэг б хэл тоонууд байг ү r нь m эсвэл n-ээс их биш. Тэгвэл

Am б лэгү

€

m+nr

=

mr- j

nj

j=0

r

∑

Bn б лэгү

49

Documents

Bvleg4 combinatorics