Max Chaves

Breve perspectiva de los fundamentosde la mecánica cuántica: el primer centenario

Abstract. The author surveys the most im-portant ideas in the history of the foundations ofquantum physics.

Resumen. El autor repasa las ideas más im-portantes en la historia de los fundamentos de lafísica cuántica.

Prólogo

El estudio de los fundamentos de la mecáni-ca cuántica está bastante de moda estos días, enparte debido a interesantes resultados teóricos alos que se ha llegado en los últimos años y en par-te al interés que existe sobre varios temas de na-turaleza tecnológica. Algunos físicos piensan queprocesos que se consideraban imposibles al no serlocales, sí pueden ocurrir en la naturaleza, talescomo comunicación instantánea, teletransporta-ción y otros. También las posibilidades casi ilimi-tadas que ofrece la computación cuántica han des-pertado el interés de muchos. Cuánto de esto estácorrecto y cuánto va a resultar ser especulaciónsin base real no lo sabremos por algunos años, pe-ro ciertamente son éstos, temas fascinantes.

Hago aquí un repaso de las ideas más impor-tantes en la historia de los fundamentos de lacuántica. He querido darle al artículo una atmós-fera más informal, y está escrito con la idea deque sea un entretenimiento. Así, no lo he llenadode referencias ni demostraciones matemáticas.Me he limitado a indicar algunos textos genera-les importantes en los cuales el lector encontrarálistas de referencias y más información. Hago

una excepción en la Sección 9, en la cual insertouna breve demostración debido a Bell de su desi-gualdad. Aquí sí he mantenido una cierta dosis dematemáticas. Se transcribe la versión original dela desigualdad de Bell y su demostración. Si al-guien prefiere evitar el formalismo matemáticopuede simplemente saltarse la sección, pues susresultados están -resurnidos en la que sigue, laConclusión.

He usado el símbolo "ss" con el sentido de"se define como".

1. Kirchhoff reta a los físicos

A finales del siglo antepasado en HeidelbergGustav Kirchhoff se enfrascó en el siguiente pro-blema que, aunque teórico en su naturaleza, teníainmediatas aplicaciones prácticas. Supóngase uncuerpo en equilibrio termodinámico con un bañode radiación, y que este cuerpo tiene la propiedadde absorber igualmente radiación a todas las fre-cuencias. Entonces, ¿de qué es función la poten-cia de emisión J del cuerpo? A un cuerpo con lapropiedad de absorber igualmente bien a todaslas frecuencias Kirchhoff lo llamó "negro". Nor-malmente un cuerpo puede absorber, reflejar, yemitir, pero el cuerpo negro de Kirchhoff sólopuede absorber la radiación que incide sobre él yluego volverla a emitir. Kirchhoff logró el si-guiente interesante resultado: la potencia de emi-sión de un cuerpo negro es solamente función dela frecuencia y la temperatura, y no depende de lanaturaleza misma del cuerpo, es decir, no depen-de de su composición.

Rev. Filosofía Univ. Costa Rica, XL (100),133-144,2002

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Kirchhoff demostró que si E¿ es la energíaemitida por un cuerpo por unidad de tiempo y deárea a una cierta frecuencia, entonces para uncuerpo negro Ev = Jiv; T), es decir, la potencia deemisión es función exclusiva de la frecuencia dela radiación a emitir y la temperatura del cuerpo.Kirchhoff planteó entonces a los fisicos el si-guiente reto: "Es sumamente importante encon-trar esta función 1. Su determinación experimen-tal es sumamente difícil. Sin embargo, hay ciertajustificación en la expectativa de que tenga unaforma sencilla, como la tienen todas aquellasfunciones que no dependen en las propiedades delos cuerpos individuales, ya familiares para noso-tros." Kirchhoff tuvo mucha razón al afirmar queiba a ser difícil encontrar la forma experimentalde la l. De hecho ésta no fue hallada hasta 40años después, en 1900, hace 100 años, por unosequipos experimentales en el Physikalisch Tech-nische Reichsanstalt, en Berlin, que lograron de-terminar su forma exacta. Parece que MaxPlanck descubrió su fórmula, expresión algebrai-ea de la curvas experimentales, al atardecer deldomingo 7 de octubre de ese mismo año. En latarde recibió la visita de Heinrich Rubens y su es-posa. Rubens, quien era uno de los experimenta-listas del Reichanstalt, le mencionó a Planck al-gunos detalles sobre la forma de la curva de 1abaja frecuencia. Esa noche Planck le mandó unatarjeta postal a Rubens con la fórmula que descri-bía los datos correctamente:

Esta fórmula contiene la constante nueva hpostulada ad hoc por Planck para poder escribirsu fórmula.

En los días siguientes Planck trató de derivara partir de los principios fundamentales la fórmu-la que había hallado empíricamente. Con base enun análisis de la densidad de energía de radiaciónen equilibrio con la materia, representada éstapor un conjunto de osciladores cargados eléctri-camente, logró obtener su fórmula, si se acepta-ba que la energía de un modo de radiación era da-da por la ecuación f=hv, donde h era la misma

constante que anteriormente había tenido que in-troducir y que tiene unidades de energía-tiempo.En su derivación Planck hizo no una, sino dos su-posiciones revolucionarias. La primera radica enel uso de la fórmula f=hv, para la energía de unmodo de radiación. Clásicamente en electromag-netismo la energía de una onda es la integral so-bre el volumen de la densidad de energía, que esproporcional a E2+B2, donde E y B son, respecti-vamente, los campos eléctrico y magnético de laonda. ¡La frecuencia ni siquiera entra en la fór-mula! La segunda fue al calcular la entropía delsistema al estilo de Boltzmann, tratando a losmodos (que eventualmente llegarían a ser llama-dos fotones) como indistinguibles. Si bien lograrencontrar empíricamente la forma correcta de lapotencia de emisión fue un digno logro dePlanck, el esfuerzo que le confiere inmortalidadfue precisamente su derivación posterior de sufórmula. Con este trabajo se inicia la aventurahumana con la mecánica cuántica.

2. Nadando siempre contra corriente

(1)

Fue el destino de Albert Einstein sustentartoda su vida la opinión de la minoría acerca de lamecánica cuántica. En su artículo de marzo de1905 derivó de nuevo la fórmula de Planck perono lo hizo partiendo del equilibrio termodinámi-co de los osciladores con los modos, tal comoPlanck lo había hecho. Por el contrario Einsteinsupone la corrección de la fórmula de Wien parael régimen hv»kT y deriva de ahí que la radia-ción de cuerpo negro es equivalente a un gas departículas de energía e=hv, que serían los cuantosde luz. El lector apreciará el paso conceptual: elproblema no es exactamente el de Planck, sino elde un gas a cierta temperatura en una cavidad ce-rrada. Además, se comprende a la radiación co-mo compuesta de cuantos. Para terminar Einsteinle da un fundamento físico común a la radiaciónen equilibrio y a la emisión (o absorción) de laluz diciendo que precisamente la interacción deun átomo con la luz ocurre por medio de la emi-sión (o absorción) de uno de estos cuantos.

En 1887 H. R. Hertz observó que un rayo deluz producía chispas al incidir en superficies de

FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA

metal con un voltaje entre ellas. En 1902 PhilipLeonard (quien muchos años después se conver-tiría en enemigo de Einstein) estudió el efecto fo-toeléctrico usando un arco de carbón como fuen-te lumínica. De este modo pudo variar la intensi-dad de su fuente en un factor de mil. El efecto fo-toeléctrico es la emisión de electrones que se pro-duce en una superficie cuando ésta se expone a lailuminación de la luz. Desde un punto de vistaclásico los resultados del experimento son anó-malos, puesto que se esperaría que la energía ci-nética del electrón dependiese de la intensidad dela iluminación, pero Leonard demostró que, porel contrario, es totalmente independiente de la in-tensidad. Por otro lado, realmente el efecto nodebiera ni existir, puesto que la energía que pue-da suministrar la luz en una área transversal tanpequeña como la de un átomo es insuficiente pa-ra poder lograr la emisión de un electrón. Estasparadojas no representaron mayor problema paraEinstein, quien ya estaba en posesión de un con-cepto nuevo, el cuanto de luz. La energía cinéti-ea máxima E del electrón tenía que ser dada porE=hv-l/J, donde esta magnitud l/J es la función detrabajo, la energía que toma sacar a un electrónde la superficie.

Mientras que otras de las novedosas ideas deEinstein, tales como la Teoría Especial de la Re-latividad y la explicación del movimiento Brow-niano, fueron aceptadas con relativa facilidad, elcaso del cuanto de luz mostró a la comunidadcientífica solidaria y unánime en su oposición aconcebir a la luz como paquetitos de energía. Nofue hasta mucho después, cuando el proceso descattering (o dispersión) de Compton usando elmodelo del cuanto de luz ya había sido verifica-do experimentalmente y con la perspectiva adi-cional dada por el formalismo matemático de lanueva mecánica cuántica descubierto en 1925,que esta comunidad con entusiasmo comprendióy acepto la cuantización de la luz.

Ciertamente no es algo tan evidente para no-sotros, ahora que ha pasado tanto tiempo, por quélos físicos de esa época pudieron aceptar sin mu-cho resquemor las teorías de la relatividad espe-cial y general pero inmediatamente considerar alcuanto de luz como el gran error del famoso pro-fesor Einstein. La explicación de Abraham Pais

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es que tanto para Einstein como para sus contem-poráneos, las teorías de la relatividad son exten-siones, continuaciones, de las mecánicas clásicay celeste, teorías aceptadas completamente. Lasaplicaciones de ideas cuánticas por parte dePlanck y Einstein a problemas de física estadísti-ca, como la radiación de cuerpo negro y el calorespecíficio de los sólidos, fueron también de fá-cil aceptación porque no contradecían la intui-ción que tenían los físicos de la época, que de to-dos modos para el caso de la física estadística eracasi nula. Los artículos de Boltzmann eran largosy oscuros, y Gibbs no era todavía tan conocido.(Estos resultados llegaron a hacerse muy conoci-dos debido a la monografía sobre los fundamen-tos de la física estadística escrita por Paul Ehren-fest junto con su esposa, Tatiana, y publicada enLeipzig en 1911.) Por el contrario todos conocíany admiraban las ecuaciones de Maxwell del elec-tromagnetismo, y consideraban que la naturalezaondulatoria de la luz era incuestionable. Veían,en consecuencia, a la idea del cuanto de luz co-mo innecesaria y claramente falsa: todo el mun-do sabía que la luz no era corpuscular. Práctica-mente no hubo físico de la época que no hiciesealguna declaración manifestando su oposición alcuanto de luz. Ni siquiera Bohr, quien tanto con-tribuyera al desarrollo de la vieja mecánica cuán-tica y fuera el descubridor de la cuantización delos niveles del átomo, aceptó esta idea de Eins-tein por muchos años.

Ahora viene lo irónico. Durante la década delos veinte se establece la mecánica cuántica, y esusada con gran éxito en la explicación y modela-je de una plétora de fenómenos físicos. La granmayoría de los físicos aceptan completamente elformalismo matemático y su principal andamia-je epistemológico: la interpretación de Copen ha-gen. Pero Einstein creía firmemente en la causa-lidad en la física, y resulta que las prediccionesde la mecánica cuántica no pasaban de ser esta-dísticas. Para Einstein una teoría así no podríaser más que algo transitorio: un paso hacia laverdadera teoría. Así la postura de Einstein se in-vierte. Deja de trabajar en los temas estadístico-cuánticos y mantiene una postura básicamente dedesconfianza hacia la mecánica cuántica, mien-tras que los demás físicos aceptan plenamente la

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nueva teoría, incluyendo al cuanto de luz deEinstein. Y esta actitud de Einstein se mantienehasta su muerte en 1955.

3. Una teoría transitoria ...

Como vimos, en el efecto fotoeléctrico unrayo de luz al incidir en una superficie metálicaproducía la emisión de un electrón. La explica-ción de Einstein para este fenómeno implicabaque toda la energía de la onda quedaba disponi-ble para producir la emisión del électrón. Sin em-bargo, el área iluminada por una onda tenía undiámetro miles de veces más grande que el de unátomo, por lo que la densidad superficial de ener-gía era nimia y ciertamente la energía que ilumi-naba el área de un átomo era insuficiente para ex-pulsar al electrón. Peor aún, Leonard había de-mostrado que el efecto fotoeléctrico ni siquieradependía de la cantidad de iluminación. Así puesque toda la energía de la onda tiene que estar dis-ponible para expulsar al electrón, de acuerdo conla relación de Einstein. Este se imaginaba que enmedio de la onda había un pequeño cuanto de luzque contenía toda la energía de la onda. Ya desde1905 Einstein se vió atormentado por la siguien-te duda, que no atormentaría a otros físicos hastadespués de 1925: si la energía la lleva el cuantode luz, entonces, ¿qué son esos entes extraños,las ondas, que ni siquiera acarrean energía ellosmismos pero que están predichos por las ecuacio-nes de Maxwell y que sin duda existen, como lodemuestran los efectos de interferencia, disper-sión y muchos otros?

Hay otro aspecto muy importante que mo-lestó también a Einstein ya desde el principio,adelantándose también en esto a posteriores do-lores de cabeza de sus colegas. Muchos de los fe-nómenos cuánticos tienen un carácter indetermi-nista que es totalmente intrínseco. Por ejemplo,la desintegración espontánea de un núcleo quetiene cierta vida media es algo muy curioso, puesno se sabe cuándo ni por qué se desintegra, sola-mente que lo hace y que tiene una vida media quees, estadísticamente hablando, siempre la misma.Este tipo de fenómeno incomodó a la intuición deEinstein. Asimismo, le resultaba incómodo el

principio de incertidumbre de Heisenberg L1xL1p~ hI2 que implica que no se pueden conocerexactamente el valor de la posición y el rnomen-tum de una partícula de un modo simultáneo.

La comunidad científica aceptó la nueva me-cánica cuántica de 1925 sin ninguna reserva. Lateoría cuántica, que siempre había sido para élnada más que una etapa transitoria, de pronto pa-só a ser considerada como el dogma ortodoxo.Einstein aclaró una vez que él veía a la teoríacuántica de un modo análogo a como veía a lamecánica clásica de Newton. Era aproximada-mente correcta y proporcionaba muchos buenosresultados, pero era solamente un paso interme-dio que permitió alcanzar la teoría verdadera-mente correcta, la teoría general de la relatividad.A partir de este momento Einstein se dedicó fun-damentalmente a construir una teoría unificadade la gravitación y el electromagnetismo, que ibaa ser la fundamental del mundo e iba a explicarlas paradojas de la mecánica cuántica. Sin em-bargo sí publicó un artículo más sobre el tema dela cuántica, en el cual puso en evidencia una desus peculiaridades más delicadas.

4. El realismo y la realidad objetiva:la paradoja EPR

A partir de 1925 se fue formando una orto-doxia sobre la formulación e interpretación de lacuántica. Quizá al lector le parecerá extraño miuso de la palabra "ortodoxia", pero creo que des-cribe correctamente la postura que tomaron lamayoría de los físicos a partir de entonces hastahace una o dos décadas. Se aceptó como correc-ta la mecánica cuántica de Bom, Heisenberg, Jor-dan y Schroedinger, y como correcta interpreta-ción de este formalismo a la llamada de Copen-hagen, que era sobre todo la del danés NielsBohr. De acuerdo a esta interpretación, la funciónde onda era de naturaleza estadística, y servía pa-ra asignar probabilidades. Epistemológicamentela posición era positivista: había que restringuir-se a medir la magnitudes del proceso experimen-tal, y abstenerse de hacer preguntas, no solamen-te porque eran innecesarias, sino también porquepodían ser causa de confusión: el incauto físico

FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA

caía en la trampa de utilizar incorrectamente con-ceptos clásicos al explicar fenómenos cuánticos.Durante muchos años hubo también, en los Esta-dos Unidos y Europa, un elemento de clara discri-minación a aquellos físicos que osaran cuestionarla interpretación de Copenhagen e inclusive, aaquellos qué quisieran elucubrar sobre los funda-mentos de la cuántica. Un físico joven que quisie-ra investigar estos temas se exponía seriamente aser considerado necio o incompetente. Diría queno ha sido hasta hace una o dos décadas que estaactitud empezó a cambiar. Hoy en día se realizauna enorme cantidad de investigación en los as-pectos fundamentales de la mecánica cuán tica ynadie chista. Pero sigamos con el relato.

En 1935 Einstein publicó un artículo en elPhysical Review (nunca más publicaría en revis-tas alemanas) junto con Boris Podolsky y NathanRosen, que llamaremos el EPR. A la sazón Eins-tein estaba recién llegado a Los Estados Unidos eiba a formar parte del Instituto de Estudios Avan-zados de Princeton. El Instituto apenas estaba enetapa de formación, y todavía ni siquiera teníaedificios propios. El artículo, titulado "CanQuantum-Mechanical Description of PhysicalReality Be Considered Complete?" (en español:"Puede considerarse completa la descripción me-cánico-cuántica de la realidad física?"), tuvo en-tonces mucha difusión y desde entonces ha sidoobjeto de controversia en física y filosofía de laciencia. Einstein ya había expresado oralmenteen aquellos años su desaprobación a la interpre-tación de Copenhagen, pero esta vez estaba dise-minando formalmente sus opiniones por mediode un artículo.

El punto que se pretendía demostrar en elEPR era que la mecánica cuántica era necesaria-mente una descripción incompleta de la realidad.Esta palabra, "realidad", se refiere a lo que en elEPR se llamaba "elemento de realidad" y que es,por definición, una magnitud fisica a la cual se lepuede asignar un valor por medio de una medi-ción experimental. Ejemplos de elementos derealidad son el largo de una mesa o el peso de unobjeto (aunque siempre va a haber cierta incerti-dumbre en toda medición, como es normal). Elargumento del EPR consistía en mostrar queexistían magnitudes físicas que, siendo elemen-

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tos de realidad, en principio no eran determina-bles por medio de la leyes de la cuántica. Estoimplica que la cuántica no es una descripcióncompleta de la realidad. A la perspectiva de larealidad que postula el EPR se le ha llamado rea-lismo, y lo que éste exige de una teoría física esque todos los elementos de realidad estén con-templados por la teoría. Además exige que la teo-ría sea local, es decir, no debe haber acción a dis-tancia y menos instantánea, sino de acuerdo a losprincipios de la teoría especial de la relatividad,que dicen que ni la energía ni la información pue-den propagarse más rápidamente que la luz. Den-tro del contexto de nuestra comprensión actualdel mundo físico, parecen hipótesis razonables.

En la mecánica cuántica existen magnitudesque no son medibles simultáneamente de un mo-do exacto, tales como la posición x y el momen-tum p de una partícula. En los libros de texto sedemuestra que esta imposibilidad es una conse-cuencia de que los operadores que representan alas magnitudes no conmutan a cero, es decir,usando un sombrerito para denotar al operadorcorrespondiente, que

[x,p] = xp - px=ih ~ O (2)

La imposibilidad de medir simultáneamen-te x y p nos indica, según el EPR, que si x y pson simultáneamente elementos de realidad,entonces la cuántica no podría ser una descrip-ción completa de la realidad, al no poder prede-cir magnitudes medibles. Luego el EPR presen-ta un experimento para el cual es posible de-mostrar que existen elementos de realidad nopredecibles por la cuántica. Supongamos quecierta partícula se desintegra en dos, las cualessalen en direcciones opuestas. Esperamos sufi-ciente tiempo como para que las dos se encuen-tren tan separadas que si efectuamos medicio-nes con ellas, no haya suficiente tiempo comopara que una señal pueda partir de una e ir has-ta la otra antes de que terminemos nuestras me-diciones. Sean x¡ y p ¡ la posición y el mornen-tum de la partícula 1, x2 YP2 de la partícula 2.Como mencionamos no es posible saber exacta-mente simultáneamente los valores de x¡ y Pt ,ni los de x2 y P2. Sin embargo el lector puede

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verificar que las combinaciones X= x 1- x2 yP =PI- P2sí conmutan:

[ X, P ]=0, (3)

y por la tanto son, de acuerdo a la cuántica, si-multáneamente medibles. Es decir, la separaciónentre ambas partículas se puede saber al mismotiempo que la suma de sus momentums.

Midamos ahora la posición de la partícula l.Esto determina la posición de la partícula 2 siusamos la relación x2=XI-X, lo que quiere decirque esta posición es un elemento de realidad. Pe-ro igual podríamos haber medido el momentumde la partícula 1, lo que nos permitiría saber elmomentum de la partícula 2, ya que P2=P-P l' loque también implica que este momentum es unelemento de realidad. Si recordamos ahora queno puede haberse producido ningún cambio en lapartícula 2 debido a la mediciones efectuadas enla 1, vemos que tanto x2 como P2 tienen que ha-ber sido elementos de realidad, a pesar de que sa-bemos que no conmutan. Así, nos vemos obliga-dos a concluir que la mecánica cuántica es unadescripción incompleta de la realidad.

Aparecieron varias respuestas al EPR en laliteratura, incluyendo una de Niels Bohr que va-mos a comentar brevemente. Por lo demás, el re-chazo a las ideas del EPR fue universal. CuentaBanesh Hoffmann que en 1937 o 38 conversócon Einstein acerca de este rechazo, y éste le con-tó que todos los días le llegaban cartas de físicosexplicándole dónde era que su argumento falla-ba. Einstein le dijo que le parecía divertido que,aunque todos los científicos estaban convencidosque el argumento EPR estaba mal, todos le dabanmotivos diferentes para explicar el por qué (Jam-mer 1974).

La respuesta de Bohr enfatizaba el papel quejugaba el aparato de medición en cualquier expe-rimento. Por ejemplo, escribió, una partícula quepasa por una hendidura adquiere una incertidum-bre en su momentum debido solamente a este he-cho. El intento de tratar de determinar la posiciónda una incertidumbre al momentum. Enfatizaba acontinuación la inseparable relación que existesiempre entre la parte del sistema físico que sequiera medir y la parte que sirve para hacer la

medición, e inclusive llegó a afirmar que la prin-cipal diferencia entre las descripciones clásicas ycuánticas radicaba precisamente en la necesidadde discriminar en este último caso cuales van aser los objetos medidos y cuales los medidores.Además, decía Bohr, en la medición misma hayque utilizar conceptos clásicos, aunque la teoríade fondo que estemos usando sea cuántica. Estosperceptivos y profundos comentarios preparan allector para lo que parece va a ser una clara y de-cisiva refutación del EPR. Sin embargo el clímaxde la refutación no pasa de ser la siguiente decla-ración que transcribo: "In fact it is an obviousconsequence of the above argumentation that ineach experimental arrangement and measuringprocedure we have only a free choice of this pla-ce within a region where the quantum-mechani-cal description of the process concemed is effec-tively equivalent with the classical description."Esta frase me parece vaga tanto física como lin-guisticamente. Creo que lo que está diciendo esque solo podemos hacer mediciones en sitiosdonde las descripciones cuántica y clásica sonequivalentes. Si éste fuera el caso, me parece queestá evadiendo la cuestión planteada en el EPR,donde todas las mediciones se están haciendociertamente bajo esas condiciones.

En retrospectiva la importancia del EPR ra-dica más en el tipo de investigación que estimu-ló que en la conclusión a que llegó. Particular-mente importantes fueron luego los resultados deJohn S. Bell, publicados más de treinta años des-pués, e inspirados en parte en el EPR.

5. Von Neumann exorcisalas variables ocultas

En 1932, apenas siete años después del ad-venimiento de la nueva teoría cuántica, John vonNeumann publicó un libro que llegó a tener granimportancia histórica. Se titulaba MathematischeGrundlagen der Quantenmechanik (en españolLos fundamentos matemáticos de la mecánicacuántica). Tal vez debido al gran respeto que loscientíficos de la época tenían por von Neumann,o por el motivo que fuera, este texto se convirtióen el evangelio de la mecánica cuántica. Von

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Neumann había nacido en Budapest en 1903, yera un joven matemático de conocida brillantez.Trabajaba en varias áreas de las matemáticas y suexcursión en la física fue tan brillante como todassus otras investigaciones anteriores. Su libro des-tacaba por los siguientes motivos. Primero, poníasobre una base matemática sólida una serie de re-sultados usados por los físicos sobre una base pu-ramente intuitiva. Segundo, estaba lleno de ideasprofundas y originales, tales como la matriz dedensidad, una introducción a la teoría de la medi-da en la cuántica (que involucraba un análisismuy detallado de todo el proceso), una introduc-ción a la lógica cuántica, y muchas otras más.Muchas de estas ideas son áreas de investigaciónhoy en día. Tercero, en el libro von Neumann ha-bía incluido una demostración de la imposibilidadde las variables ocultas en la mecánica cuántica, yesto le cayó como anillo al dedo a la escuela deCopenhagen.

¿y qué eran estas "variables ocultas" que tan-to molestaban a la escuela de Copenhagen? Des-pués del establecimiento de la nueva mecánicacuántica, algunos físicos que no veían con agradola naturaleza estadística de la cuántica empezarona pensar que pudiera ser que existieran magnitudesfísicas, que llamaron las variables ocultas, queacarrearan la información adicional necesaria paraun desarrollo determinista de los sistemas cuánti-cos con respecto al tiempo. Estas tendrían ciertosvalores iniciales, desconocidos para nosotros debi-do a nuestra ignorancia, y obedecerían posible-mente a algún tipo de ecuación diferencial que in-volucraría al tiempo. Las variables ocultas exorci-san al demonio de lo estadístico e indeterminado,y la cuántica se vuelve simplemente un formalis-mo muy conveniente que describe a la realidad deun modo aproximado, pero que no es el correctoen el fondo. ¡Afortunadamente para la escuela deCopenhagen von Neumann había dicho que lasvariables ocultas no podían existir!

6. Paréntesis: qué son los ensembles,y particularmente, el cuántico

Antes de seguir adelante es conveniente pri-mero discutir el concepto de ensemble, cierta-

mente uno de las más útiles de que dispone la fí-sica. Un ensemble es un conjunto imaginario decopias de un sistema físico. Existen varios tiposdiferentes de ensemble, dependiendo del uso quese le quiera dar a cada uno. Veamos:

1.En la física estadística clásica se consideranusualmente agregados con muchas partículas, y elensemble está formado de muchas copias del agre-gado. Se permite que la energía del sistema tomevalores aleatorios. La idea en este caso es que si seescogen al azar elementos del ensemble y luegocontamos el número de copias que se cogieron pa-ra cada valor de la energía, la distribución así ob-tenida, la llamada canónica, va a representar la ob-servada experimentalmente en el agregado. Estadistribución sirve para calcular las magnitudes ter-modinámicas tradicionales que son medibles expe-rimentalmente. Como los valores calculados coin-ciden con los experimentales, se llega a la conclu-sión de que la mecánica estadística es válida.

2. En la física estadística cuántica lo que seconsideran como copias del sistema son copiasde las posibles funciones de onda del agregado.Los demás pasos mencionados para el caso clási-co se repiten igualmente en el caso cuántico.

3. En la mecánica cuántica también se usaun ensemble, solo que en este caso es para un sis-tema compuesto de pocas partículas. Las copiasdel sistema están matemáticamente representa-das por la misma función de onda lJf. En cada co-pia del sistema se realiza la medición del obser-vable deseado. Supongamos que se está midien-do la energía. Entonces el resultado de las medi-ciones va a ser un conjunto de valores de la ener-gía, uno para cada copia. De acuerdo a los prin-cipios de la cuántica, la proporción de casos quese encuentran en el ensemble para cada valor dela energía va a ser proporcional al cuadrado delcoeficiente que tiene el autoestado de esa mismaenergía en la expansión de la función de onda delsistema como suma de las autofunciones de ener-gía. El que la misma función de onda pueda llevara mediciones de diferentes valores del observablese debe a la naturaleza aleatoria de la cuántica.Dos copias idénticas del mismo sistema clásicosiempre llevarían a medir los mismos valorespara los observables del sistema.

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7. Los engañosos ensemblessin dispersión

En su demostración de que en la mecánicacuántica no pueden existir las variables ocultasvon Neumann recurre precisamente al conceptode ensemble cuántico, analizando el proceso demedida de los observables de un sistema. La de-mostración de von Neumann es muy general yabstracta; para explicarla voy a simplificarla y es-pecializarla un poco, tratando de mantener intac-tos, al mismo tiempo, el sentido y lógica funda-mentales de la misma.

Digamos, para ser específicos, que pensa-mos medir el valor del espín Sz de una partícula.Podemos suponer entonces un ensemble cuánticoE, es decir, un montón de copias idénticas del sis-tema representadas por la misma función de on-da P, en el cual vamos a realizar nuestras medi-ciones. De acuerdo a la cuántica el valor espera-do del espín sería (sJ = (1I'1s ,111')- La demostra-ción de von Neumann es por contradicción: va-mos a suponer que existen las variables ocultas,y esto nos llevará eventualmente a una contradic-ción, lo que demostrará la falsedad de la hipóte-sis original. Si éstas existen, entonces es posibleescoger a cada miembro del ensemble de tal mo-do que cada una de las variables ocultas tenga elmismo valor para cada miembro del ensemble.Si ahora midiéramos el valor del espín S7 de cadasistema de E siempre necesariamente obtendría-mos el mismo valor, puesto que en cada sistematenemos las mismas condiciones iniciales en sis-temas que se están suponiendo determinísticos.Ensembles en que siempre se obtiene exactamen-te el mismo valor para un observable tienen va-rianza cero:

y von Neumann llama a estos ensembles "de dis-persión cero".

Para medir Sz alineamos el aparato detectorde espín en la dirección z. En general el espín esun vector s=( sx'sJ' s,} y sus componentes no con-mutan entre sí. Es útil definir también una terce-ra dirección, dada por el vector n=(1,0,1) y un

observable asociado con esa dirección, elsn=n.s=sx +s,, Von Neumann supuso que el valoresperado de este observable es la suma de los va-lores esperados de los observables de sus suman-dos; es decir, que (sn) = (sx) + (sJ Los autova-lores posibles son calculables dentro del contex-to de la mecánica cuántica, y resulta que son±.J2.h /2. Dividamos a continuación el ensem-ble en tres subensembles iguales TI' T2' TI" Conel primero midamos (sx f con el segundo \sJ, ycon el tercero(sn)' alineando en cada caso el de-tector en la dirección deseada. (No podemos me-dir (sJ y (s,) en un el mismo subensemble puessus observables, o más bien los respectivos ope-radores, si uno quiere ser quisquilloso, no con-mutan y no pueden ser medidos simultáneamen-te, por lo cual es necesario usar diferentes suben-sembles.) Si recordamos que el ensemble E tienecero dispersión y que los autovalores de s , y sx ,son ±1, entonces concluimos que, forzosamente,

±1± 1= ±.J2,(5)

(4)

relación que es imposible de satisfacer indepen-dientemente de la escogencia de signos ..Hemosllegado a la contradicción prometida y conclui-mos que no pueden existir las variables ocultas.

En 1952 David Bohm y luego en 1960 Louisde Broglie construyeron modelos que usaban va-riables ocultas y funcionaban como la cuántica,cosa curiosa puesto que se suponía que éstos eranimposibles. No fue hasta más de cuarenta añosdespués de la publicación del libro de von Neu-mann que el irlandés John Stewart Bell hicieranotar que la demostración de von Neumann noestaba bien. En particular, no es cierto que laecuación (sn) = (sx) + (sJ sea cierta para un en-semble sin dispersión, con lo cual no se puede al-canzar la contradicción, y queda abierta la puertapara las variables ocultas. (Discusiones de este yposteriores intentos de demostrar la imposibili-dad de las variables ocultas se hallan en Bell; enBohm y Hiley; y en Selleri.)

Volvamos un momento al ensemble sin dis-persión y a las observaciones que hiciera Bell.Con la primera tercera parte del ensemble TIrealizamos la medición de (sJ, que se realiza

FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA

alineando el aparato detector en la dirección x.En las siguientes mediciones con las otras dosterceras partes lo alineamos en las direcciones zy n. El punto crucial sobre el que llamó Bell laatención es que el valor esperado de la suma dedos observables sea igual a la suma de sus valo-res esperados es una ley muy especial, y que le especuliar a los ensembles cuánticos completos, noa los ensembles sin dispersión, que son apenas unsubconjunto de un ensemble cuántico normal. Siel lector reflexiona por un momento se darácuenta de que, por ejemplo, si uno está midiendoel espín en la direcciones x, y y n (alineando eldetector consecutivamente en cada una de esasdirecciones), no hay ningún motivo por el cual elespín en la dirección n sea la suma de los efectosde alinear el aparato en las direcciones x y luegoy. El que esto ocurra es una propiedad muy parti-cular de la cuántica, y estaría relacionada con sunaturaleza estocástica. La falacia en el razona-miento de von Neumann proviene de no hacer unadistinción adecuada entre los ensembles cuánticosy los sin dispersión, que son subconjuntos de loscuánticos. El punto crucial aquí es que un valoresperado no es solamente unos símbolos en unahoja: es un experimento que hay que realizar.

8. El realismo versusla mecánica cuántica

Bell también se interesó en el EPR y ahítambién hizo profundas contribuciones. Duranteuna estadía en 1964 en las universidades deBrandeis y Wisconsin escribió un artículo luegopublicado en Physics titulado "On the Einstein-Podolsky-Rosen paradox". Recordará el lectorque, luego de un razonamiento un tanto abstrac-to, el EPR afirmaba que la mecánica cuántica nopodía ser "una descripción completa de la reali-dad". Bell en ese artículo hizo notar que el EPRimplicaba la existencia de variables ocultas. Ade-más, y esto es lo que ha hecho a este artículo tanimportante, Bell muestra que en cierto tipo de ex-perimento el realismo predice unas desigualda-des que no están de acuerdo con las reglas de cál-culo de la cuántica. Hoy en día se han descubier-to desigualdades semejantes para varias situacio-

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nes experimentales y se les da el nombre genéri-co de "desigualdades de Bell". En la próximasección vamos a repasar la desigualdad originalde Bell, la que encontró en 1964.

Veamos ahora por qué el EPR implica laexistencia de variables ocultas. Supongamos unexperimento en el cual una partícula sin espín sedesintegra en dos, que llamaremos la A y la B,cada una con espín ha. (Mediremos el espín enunidades de ha de modo que los espines posi-bles serán ±l.) De acuerdo con las reglas de lacuántica, si medimos el espín de la partícula A enla dirección z y da +1, entonces el espín que de-be tener la B es -1, Yviceversa. Antes de realizarla medición esperamos a que las partículas se ale-jen mucho, y entonces medimos el espín de la A,con lo cual ya sabemos cuanto vale el espín de laB. Pero, ¿cómo es posible que haya ocurrido elcolapso de la onda de la B si ésta está muy distan-te de la A cuando colapsó su función de onda? Laspartículas están tan separadas que no hay modoque se comuniquen entre ellas, ni siquiera con lainformación viajando a la velocidad de la luz.

Si llamamos XA(+Z)a la función de onda dela partícula A con espín en la dirección +z, XS<-z)a la de la partícula B con espín en la dirección -z,etc., entonces la función de onda de dos partícu-las con un espín total cero, que llamaremos lafunción antisimétrica, es:

donde se han omitido la dependencia en la posi-ción. Si se observa esta expresión se verá que es lasuperposición de las dos posibilidades: que la par-tícula A tenga el espín +1 Yla B el-l, o bien la po-sibilidad inversa. De acuerdo con las reglas de lacuántica cuando se realiza la medición del espín dela partícula A entonces la función de onda colapsaa lf'¡=xi+z)xi-z) o bien a 'f'2=xi-z)xi+z). Nó-tese que la función de onda no acarrea ningunainformación al respecto: ella contiene a ambasasignaciones de espín. Pero si la función de ondano acarrea ninguna información sobre el espínque va a ser medido en cada partícula, y si laspartículas tampoco pueden intercambiarse infor-mación entre ellas, entonces, ¿qué es lo que está

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pasando? Si suponemos que la postura realista esla correcta, y no aceptamos fuerzas no locales,entonces no queda más que aceptar que las partí-culas acarrean otra información además de lafunción de onda, una información que implicaque se sepa previamente que cuando se mida elespín de la A v~ a ser -1 (digamos) y que cuandose mida el espín de la B va a ser + l. Pero esta in-formación adicional son precisamente las varia-bles ocultas. El EPR implica la existencia de va-riable ocultas.

9. La desigualdad original de Belly su demostración

Bell criticó la prueba de von Neumann deque no era posible la existencia de las variablesocultas aduciendo que cuando se calcula el valoresperado de la suma de dos observables usandovariables ocultas, este valor esperado no teníapor qué ser igual a la suma de los valores espera-dos de cada observable por separado, tal y comonosotros hemos visto en la Sección 7. El que ocu-rra así en la cuántica se debe a su peculiar carác-ter estocástico y lineal. Suponga el lector quequeremos medir la vorticidad de un flujo en la di-rección x y para ello introducimos algún aparatodetector que rota en esa dirección con la vortici-dad. Si queremos luego medir la vorticidad en ladirección z apuntamos el aparato en esa direc-ción. Sin embargo el aparato y sus aspas van aafectar a las corrientes del fluido cuando estamosrealizando la medición y, en general, la mediciónde la vorticidad en la dirección n=( 1,0, 1) no tie-ne por qué ser la suma vectorial de los valoresobservados para las vorticidades en las dos direc-ciones previas.

Bell se preguntó si habría algún modo de res-catar la idea original de von Neumann y tratar dehallar alguna incompatibilidad entre las prediccio-nes de la mecánica cuántica y los valores espera-dos calculados con variables ocultas. Repasemosalgunos conceptos antes de ver qué fue lo que en-contró. El valor esperado del espín de la partículaA para el sistema cuántico descrito por la funciónd.e onda antisimétrica es (s;) = 1fI·s;1fI = O, y fí-sicamente hablando es iguai a cero porque hay

idéntica probabilidad de que el espín esté ha-cia arriba o abajo para la partícula A. El valoresperado del espín en la dirección dada por elvector unitario u es, de acuerdo a la cuántica,(u. SA ) = 1fI·u .sAIfI = O . Igualmente podríamosestar interesados en el valor esperado del produc-to de los espines de las partículas, es decir, en sucorrelación. Para espines en la dirección z se tie-ne que (s; s:) = 1fI·s; s:1fI = -1 . Por cierto estacorrelación tiene que ser igual a -1 pues si el es-pín de una de las dos partículas está hacia arriba,el de la otra tiene que estar hacia abajo. En gene-ral podemos estar interesados en los espines endirecciones arbitrarias dadas por los vectores uni-tarios u y w. En ese caso la correlación va a ser

(u. SA w -SB) = lfI·u, SAW' sBIfI (7)

Supongamos ahora que existen las variablesocultas, de modo que para describir el sistema delas dos partículas son necesarias ciertas variables{vl'v2,v3, ... }=v. Entonces todos los posibles esta-dos iniciales del sistema están dados por todoslos posibles valores que puedan tomar estas va-riables. Supongamos que la situación física es talque algunos estados son más probables que otros,y llamemos a p(v) la función de distribución delos estados iniciales. Entonces el valor esperadodel espín de la partícula A usando variables ocul-tas está dado por

[sA(u,v)]= f sA(u,v)p(v)dv. (8)

donde sA(u,v) es el valor del espín de la partículaA en la dirección dada por el vector unitario u yque depende de las variables ocultas v, el diferen-cial está dado por dvedv.dv.dv; ...• los paréntesiscuadrados denotan el valor esperado usando va-riables ocultas, y hemos supuesto que la distribu-ción esta normalizada. de modo que

J p(v)dv=l (9)

Debemos tener muy claro que si bien en losvalores esperados de la cuántica el observablesA.u es una matriz u operador, en los valores es-perados con variables ocultas sA(u,v) es simple-mente un número y de hecho sólo puede ser +1 ó

FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTlCA

-1. La correlación usando variables ocultas endos direcciones arbitrarias dadas por los vectoresunitarios u y w sería

[sA(U,V)SB(W,V)]= S sA(U,v)sB(w,v)p(v)dv. (10)

Practiquemos un poco con este formalismo.El valor esperado del espín en la dirección delvector unitario u para la función antisimétrica escero, es decir,(sA . u) = [SA(U,v)] = O, lo que nosda una condición sobre la distribución p que nonos resulta particularmente útil. Más útil es con-siderar el valor esperado de las correlaciones deespines en direcciones arbitrarias. En los librosde texto de mecánica cuántica se demuestra que

Si u = w entonces la correlación tiene quedar -1, pues los espines de ambas partículas tie-nen que apuntar en direcciones opuestas. Si losdos vectores unitarios son ortogonales, entoncesla correlación tiene que ser cero, puesto que deacuerdo a la cuántica no existe ninguna relaciónentre los valores de espines ortogonales.

Antes de entrar a discutir la desigualdad deBell es necesario que demostremos que

sA(u,v) =-sB(u,v). (12)

La demostración es bastante sencilla, si unorecuerda que p(v) es siempre una función positi-va, y que en consecuencia todos los integrandosde la normalización (9) se están sumando en va-lor absoluto para dar 1. Además sabemos quefsA(U,v) sB(u,v)p(v)dv=-l, donde sA(u,v)sB(U,v)=±1. Esto implica que la función p(v) enesta integral también tiene que estarse sumandoen valor absoluto para poder dar l. Consecuente-mente el producto sA(u,v) sB(U,v) solo puede to-mar el valor -1 para todo valor de las variablesocultas. Y así llegamos a la ecuación (12).

La ecuación (12) nos permite expresar a lacorrelación de un nuevo modo:

[sA(U,V)SB(W,V)]=- S sA(u,v)sA(w,v)p(v)dv:=[u,w](13)

Supongamos ahora tres vectores unitarios a,b, c. Entonces, evidentemente,

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[a,b]-[a,c]= - ísA(a,v)sA(b,v)-sA(a,v)sA(c,v))p (v) dv,= - V(a,v)sA(b,v)(1-sA(b,v)sA(c,v))p(v)dv,

(14)

Ahora bien, en este integrando el factorl-sA(b,v)sA(c,v)p(v) es cero o positivo, y estámultiplicado en las distintas áreas de integracióna lo sumo por ±1, de donde se deduce que

l[a,b]-[a,c]1 ~J (l-sA(b,v)sA(c,v))p ((v))dv, (15)

o, lo que es lo mismo,

l[a,b]-[a,c]1 ~1+[b,c] (16)

Esta desigualdad fue la que escribió origi-nalmente Bell. Tiene que ser cierta para cuales-quiera tres vectores unitarios. Si usamos la formacuántica del valor esperado (11) tendríamos que[u,w]=-u. w. No es difícil darse cuenta de que enestas circunstancias la desigualdad no se cumplepara algunas escogencias de los tres vectores. Porejemplo, tomando a = i, b = ~ (i + k) Y e = k obte-nemos .J2 s 1, lo cual es falso. En consecuenciaconcluimos que la mecánica cuántica y el realis-mo son incompatibles.

10. Conclusión

En la sección anterior mostramos como lascorrelaciones de los espines de dos partículas conbase en el realismo contradicen algunos resulta-dos que predice la mecánica cuántica. Solamentequedan dos opciones lógicas: o la mecánicacuántica en su formulación actual está incorrecta,o bien el mundo no obedece a la concepción rea-lista. Este último caso prácticamente implica quehay interacciones no locales. El que una de estasdos opciones pueda estar incorrecta no deja deser un tanto preocupante. Actualmente se estátratando de determinar cual es experimentalmen-te la opción correcta, y posiblemente no pasenmuchos años antes de que sepamos la respuesta.

Hemos hecho un recuento de los principalesdesarrollos conceptuales de los fundamentos dela mecánica cuántica, desde sus principios conPlanck y Einstein hasta los resultados de Bell

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hace algunos años. Es una historia de difícil luchapor la comprensión del mundo físico. La figuramonumental que surge es la de Einstein, uno delos más importantes creadores de la teoría cuánti-ea, y su principal propulsor al principio. Siemprele fueron evidentes tanto la extraordinaria utilidadde la cuántica como sus aspectos oscuros.

Otra figura que surge es la de Bel!. A pesarde que trabajaba en mainstream physics enCERN, se interesó por estos temas eclécticos. Sinimportarle si su nuevo pasatiempo podía resultar-le desagradable a algunos de sus colegas, hizoimportantes contribuciones al estudio de los fun-damentos de la mecánica cuántica.

Los artículos de Bell están impregnados deuna ironía sutil, cosa poco frecuente en la física.Dice él en uno de sus reviews acerca de algún te-ma que no era "apropiado" en ese momento: "Es-te es un relato popular del tema. La gente muypráctica a quien no le interesen los asuntos lógi-cos no debe leerlo." Ojalá que en ésta y en futu-ras generaciones de físicos siempre existan aque-llos que sí deben leer el review de Bel!.

Bibliografía

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sity Press. [Una exposición magistral de variostemas modernos sobre los fundamentos y la inter-pretación de la mecánica cuántica.]

Bohm, D. & B. 1. Hiley. (1993) The Undivided Univer-se. Londres: Routledge. [Contiene la versión deBohm y gran cantidad de información sobre losfundamentos de la cuántica.]

Jammer, M. (1974) The Philosophy of Quantum Me-chanics. New York: John Wiley & Son s, Inc. [Esun clásico sobre el desarrollo de la comprensiónde la mecánica cuántica. Contiene además grancantidad de información histórica sobre los prota-gonistas.]

von Neumann. J. (1932) Mathematische Grundlagender Quantenmechanik. Berlin: Verlag von JuliusSpringer. [Un clásico que señaló nuevos horizon-tes y formalizó las matemáticas de la teoría cuán-tica.]

Pais, A. (1982) "Subtle is the Lord ... ", The Scienceand the Life of Albert Einstein. Oxford: OxfordUniversity Press. [Una de las mejores biografíassobre la vida de Albert Einstein.]

Selleri, F. (1990) Quantum Paradoxes and PhysicalReality. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.[Una muy detallada exposición de los aspectosepistemológicos de la cuántica.]

Max ChavesEscuela de Física

Universidad de Costa Rica