CURSO DE INGRESO 2015

MATEMÁTICAMÓDULO

Fundamentación

La Matemática es una ciencia dinámica, siempre inserta en la historia de la humanidad como ciencia autónoma y como instrumento para otras ciencias, unida al desarrollo tecnológico e íntimamente ligada a la filosofía por su reflexión teórica.

La Matemática se ha incluido en toda propuesta curricular, no sólo por el valor y finalidad de sus contenidos específicos, sino también por sus aportes para el desarrollo del razonamiento lógico. En este sentido, cabe señalar que la educación matemática tiene fundamental incidencia en el desarrollo intelectual de los estudiantes tanto en forma individual como en grupos.

"Es necesario que los alumnos adquieran habilidades sociales, que les permitan trabajar y resolver dificultades en grupos heterogéneos, con personas de diferentes capacidades que ellos. Debemos formar ciudadanos sanamente escépticos, inquietos, con gran curiosidad y ganas de aprender, y con recursos propios para poder hacerlo. El reto está ahí (…) es necesario saber afrontarlo..."1

En el intento de lograr alfabetizarlos académicamente, los estudiantes deberán fortalecer procesos típicos del pensamiento matemático ya adquiridos o incorporar otros nuevos, comunicarlos y compartirlos para lo cual se enfatizará el conocimiento y el empleo de estrategias de resolución de problemas, es decir se promoverá que los estudiantes aborden estrategias propias, utilicen las representaciones que consideren adecuadas, discutan con sus pares, expliquen sus ideas, den razones de sus procedimientos y resultados, confronten sus producciones con las de otros, acepten críticas así como otros puntos de vista.

El Proceso de Aprendizaje de la Matemática, en el contexto de la Universidad, debe constituir una instancia en la que el futuro profesional interactúe con el conocimiento matemático de un modo constructivo que le permita apropiárselo y, simultáneamente, le proporcione la vivencia de que él también es un productor - generador de dicho conocimiento; es esta vivencia la que le permitirá revalorizarse como sujeto activo de su propio proceso de formación.

Las competencias de resolución de problemas son el eje de la actividad matemática. Estas competencias se desarrollan mediante el tratamiento de ciertos contenidos por su valor instrumental ante las demandas científicas, tecnológicas, sociales y éticas, de este tiempo.

En consecuencia, la formación del futuro profesional, la búsqueda de ejes de articulación e integración entre contenidos y métodos, conocimientos y procedimientos, saberes científicos y saberes de construcción posibilitan la evolución de la estructura del pensamiento.

                                                            1 Claudi Alsina en “El curriculum de matemática en los inicios del siglo XXI”, 2000

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Presentación del módulo

Bienvenidos/as a esta casa de estudios que, a partir de hoy, esperamos que sientan suya.

Entre otros preparativos que ya habrán advertido, pensamos en este módulo acorde con la fundamentación del área, para que juntos comencemos a repasar algunos contenidos que trabajaron en la escuela secundaria, pero además estas páginas tienen otro objetivo: comenzar a prepararlos para el estilo de trabajo que se espera que desarrollen en el ámbito académico superior.

Por supuesto que la asimilación del estilo de trabajo habitual en una Universidad no se adquiere de la mañana a la noche y por eso este módulo y todo el trabajo que vamos a desarrollar juntos durante el curso introductorio es una pequeña muestra del mismo (como para “empezar”) y esperamos continuar con esta tarea durante todo el primer año en forma explícita y durante toda la carrera en la habitualidad de la vida académica.

En este marco es conveniente contarles algunas características del material que tienen en sus manos de manera que no se sorprendan al encontrarse con la propuesta y puedan aprovecharla de la mejor manera.

Antes de empezar queremos que sepan que estamos conscientes de que la Matemática suele considerarse una de las materias más difíciles y por ahí es cierto: es una materia que necesita que le presten mucha atención. Pero históricamente es fruto del trabajo sostenido de muchas personas. Personas como ustedes y como nosotros.

Es cierto que entre las personas algunas son capaces de lograr genialidades con lo que todos manejamos cotidianamente pero también es verdad que no es necesario ser un genio capaz de inventar un teléfono celular, para usarlo en forma competente.

Es decir: la Matemática es una creación humana y como tal es accesible a todos. Está a su disposición para que la aprendan, la dominen y la apliquen cuando la necesiten.

Continuando con el módulo, en primer lugar se han pensado seis bloques que serán los ejes de trabajo en cada encuentro:

Bloque 1: Números y operaciones

Bloque 2: Polinomios

Bloque 3: Funciones - Función lineal

Bloque 4: Función lineal II

Bloque 5: Función cuadrática

Bloque 6: Trigonometría

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Los bloques tienen una estructura que progresivamente irán incentivando una forma de trabajo autónomo.

En cada uno de ellos encontrarán multitud de actividades que les permitirán

‐ Recordar los contenidos involucrados

En este caso, se trató de secuenciar las actividades para que repases.

‐ Aplicar esos contenidos en la resolución de problemas

Existen tres tipos de estas actividades: ejercicios, desafíos y problemas. En cada tipo de actividades tendrán la oportunidad de poner en juego sus conocimientos. Los desafíos suelen ser problemas al interior de los contenidos trabajados, no son tan difíciles, en todos se han incluidos algunas ayudas, pero lo importante es que se “animen” con ellos y traten de lograr algo aunque tengan que realizar consultas entre ustedes o con el profesor para lograr continuar. En el caso de los problemas es posible que, además de conocer los contenidos necesarios para resolverlos, tengan que usar una cuota de ingenio para poder interrelacionarlos y lograr una solución aunque sea provisoria.

‐ Distinguir cuestiones que es importante que consulten y estudien

Permanentemente aparecen recuadros o señalamientos que es importante que tengan en cuenta a la hora de estudiar.

Recuerden que este módulo es de ustedes y que resultará conveniente que se adueñen de él para realizar anotaciones de cuestiones que les parezcan importantes y que amplíen de forma personal lo que sugerimos que estudien.

Esta es una propuesta que esperamos mejorar después de ponerla en acción con su ayuda, por lo que esperamos que lo utilicen lo mejor que puedan y realicen consultas para que podamos hacer cambios para beneficio de quienes mañana serán tus compañeros.

Les agradecemos su trabajo, el empeño que, estamos seguros, van a poner en esta empresa y que nos hayan elegido para continuar sus estudios.

Los profesores de Matemática

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BLOQUE 1: Números y Operaciones Introducción En este bloque recordaremos los distintos conjuntos numéricos, su representación en la recta numérica y la resolución de ecuaciones e inecuaciones. Ésta es una de las etapas en la que haremos un recorrido por conocimientos ya adquiridos, por lo tanto no se preocupen, todo esto ya lo vieron, tenemos ahora la oportunidad de revisar juntos todo lo que ya saben. La idea es que logren Interpretar enunciados coloquiales y pasarlos al “lenguaje matemático” para resolver situaciones problemáticas, es decir que repasen el trabajo de resolución de ecuaciones e inecuaciones logrando reconocer los tipos de números que estén involucrados en ese trabajo.

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Guía de trabajo nº 1 Conjuntos numéricos

Introducción Desde que el hombre tiene memoria siempre se ha manejado con cantidades,

siempre ha contado. Contando es como aparece el primer concepto de número, es así como surgen los números naturales (N).

En el conjunto de los números naturales pueden realizarse sin problemas operaciones como la adición y la multiplicación. Esto quiere decir que la suma de dos números naturales es siempre natural lo mismo sucede con los productos.

Pero no todas las operaciones son así. Por ejemplo la resta de dos números naturales da un número natural siempre que el minuendo sea mayor que el sustraendo, de lo contrario la sustracción no sería posible.

Es decir: 187 – 35 = 152

En este caso la sustracción es posible en el conjunto de los naturales ya que 182 > 35, pero si intercambiamos minuendo y sustraendo:

35 – 182 = ¿? No existe ningún número natural que sea resultado de esta sustracción. Para que la sustracción no quede “incompleta” (ya que son infinitos los casos

en los que puede suceder esto) se creó un nuevo conjunto numérico: el conjunto de los números enteros (Z) en el que se agrega a los naturales el cero y los números negativos. Cada número negativo es opuesto de uno positivo, es decir, la suma entre ambos es cero.

Ahora si: 35 – 182 = -152

Esto tiene su aplicación en otras ciencias: Por ejemplo, en Física que asigna el “cero” para el punto de congelación del

agua. Las temperaturas superiores a este valor son las temperaturas positivas y las inferiores son las temperaturas negativas.

Del mismo modo se procede para “completar” la división: el cociente es entero siempre y cuando el dividendo sea múltiplo del divisor. Por esos infinitos casos en los que la división no es posible en el conjunto de los números enteros se creó un nuevo conjunto numérico que amplía el de los enteros agregando las fracciones: El conjunto de los números racionales (Q).

Ahora: -196 : 36 = -4 porque -196 es múltiplo de 36 y…

3 : -4 = - ¾ ya que 3 no es múltiplo de -4 Cuando en Física surge la necesidad de medir magnitudes, que no son

exactas, se usan números racionales. Un número racional es todo aquel número que se puede expresar como un

cociente de dos números enteros. Pero allí estamos en presencia de otro problema: hay algunos números que no pueden escribirse como fracciones (es verdad… aunque usted no lo crea)

Por ejemplo 2 :

Sabemos que 2 no es un número entero ya que no hay ningún entero que elevado al cuadrado de 2.

Supongamos entonces que 2 es racional, es decir:

2 = ba

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Donde: 1. a y b son números enteros 2. b no es cero ¿por qué? 3. a no es múltiplo de b ¿por qué?

Entonces:

2

2

ba2

y… 22 ab.2

Con lo cual a2 debería ser múltiplo de b2 y para que eso suceda a debería ser múltiplo de b lo que contradice lo que dijimos en 3.

Esta contradicción provino de suponer que 2 era racional, y por lo tanto no lo es.

2 es un número irracional Al querer medir ciertas longitudes (por ejemplo, la hipotenusa de un triángulo

rectángulo isósceles en el que los catetos miden una unidad) hallamos raíces como

2 que no son exactas, tienen infinitas cifras decimales no periódicas y, por lo tanto no pueden expresarse como fracciones. Para esos casos se usan los números llamados irracionales. Los números irracionales se agregan a los racionales para formar el conjunto de los números reales (R)

Existen números irracionales muy conocidos en el mundo de la matemática como el número Pi, el número e y el número de Oro.

Hasta aquí ya hemos completado el conjunto de los números Reales, que está formado por los números Racionales y los números Irracionales.

Es así que a cada momento, cuando leemos algún artículo, cuando debemos realizar alguna compra o alguna medición siempre encontramos representantes de los diferentes conjuntos numéricos.

El cuadro que sigue resume el texto y agrega alguna información más:

Será conveniente que, después de leer, consulten las dudas que tengan sobre la información que brindan el texto y el cuadro. Ahora les proponemos algunas actividades:

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Actividad 1 Teniendo en cuenta los conjuntos numéricos, escriban V (verdadero) o F (falso) según corresponda en cada caso. Justifiquen sus respuestas.

(a) 1950 es un Número Real. (b) El número 11,68 es un número entero. (c) El número 3,5 se puede expresar como cociente de dos números enteros,

por eso se trata de un número racional. (d) -3 es un número natural. (e) Todo número natural es entero. (f) Todo número entero es natural. (g) Los múltiplos de 11 son números enteros. (h) La raíz cuadrada de de cinco es racional.

Actividad 2 Clasifiquen las siguientes expresiones en racionales o irracionales.

Ayuda: a veces resultará útil aplicar propiedades de la radicación

(a) 2 + 3

(b) 72

(c) 75

(d) 10

(e) 8.2

(f) 6 . 6

Siempre se aprende algo nuevo Recordemos que

Todos estos tipos de números se pueden representar en la llamada recta numérica. Vamos a ver con un ejemplo como representar algunos irracionales ya que los racionales son de representación “más sencilla”

Por ejemplo: Representar en la recta numérica 5

Procedimiento:

1- trazamos una circunferencia con centro en 2,5 que pase por cero. Es decir, el diámetro es 5 que es el número del que buscamos la raíz

2- trazamos una perpendicular a la recta numérica que pase por 1, esta perpendicular corta a la circunferencia en a.

3- La distancia desde 0 hasta a es 5 . Compruébenlo

4- Usando el compás trasladamos 5 sobre la recta numérica

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Intervalos numéricos En el conjunto de los números reales se pueden definir intervalos como por ejemplo [-2; 5) que incluye todos los números que están entre el -2 y el 5 , incluyendo al 2 pero sin incluir al 5. Actividad 3 Coloquen para cada raíz cuadrada los números enteros consecutivos entre los cuales se encuentra el resultado de la misma.

(a) _____< 17 <_____

(b) _____< 130 <_____

(c) _____<- 19 <_____

(d) _____<- 7 <_____

(e) _____< 35 <_____

(f) _____<- 28 <_____

(g) _____<- 76 <_____

(h) _____< 51 <_____

Actividad 4 Unan con flechas cada número real con el intervalo al que pertenece, (ojo!!!! Puede que “sobre algo”).

(a) 37

(0;1)

(b) 5 (-3;1)

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(c) (-3;-2]

(d) 71

(0;1)

(e) 3 100

[3;5]

(f) (0,1)2 (-2;0]

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Guía de trabajo nº2

Ecuaciones e inecuaciones En ocasiones necesitamos representar una situación problemática a través de una “expresión algebraica”. En una expresión algebraica relacionamos números reales y letras, llamadas indeterminadas, a través de operaciones algebraicas como la suma, resta, multiplicación y división.

Una expresión algebraica en la indeterminada x puede ser: 2 3. 4x x

Otra expresión algebraica en la indeterminada x puede ser: 2. 1

2x

x

Podemos tener más de una indeterminada, por ejemplo, sea la expresión: 3. 2. 5.x y z

En las actividades siguientes trabajaremos con expresiones algebraicas en una indeterminada. Cuando igualamos una expresión algebraica a un número (o a otra expresión algebraica) tenemos una ecuación.

Una ecuación es un modo simbólico de plantear un problema a resolver. En ella suele haber una incógnita que se puede representar con la letra x. Resolver una ecuación es encontrar el valor de x.

Actividad 1

Veamos como plantear de manera simbólica las siguientes situaciones problemáticas.

Ejemplo: ¿Cuál es el número cuya mitad es 52

?

Veamos:

Hay un número incógnita .......................... x

Su mitad es ............................................. 21

X

Esa mitad es 52

.............................. 21

X = 52

Luego X = 54

¿por qué?

...........................................................................................................................................

...........

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(a) ¿Cuál es el número cuya tercera parte es 52

?

(b) ¿Cuál es el número cuyo duplo más su cuarta parte es 59

?

(c) La mitad de un número más la tercera parte de su consecutivo es siete. ¿De qué número se trata?

(d) La cuarta parte de la diferencia entre un número y su mitad es dos. ¿Cuál es el número?

(e) La tercera parte de la suma de dos números consecutivos es igual a la mitad del mayor de ellos. ¿Cuáles son esos números?

(f) La quinta parte de un número es igual a la séptima parte de su consecutivo aumentado en 1. ¿Cuál es el número?

Actividad 2 Resuelvan las siguientes ecuaciones.

(a) xx4155,2

23

(b) 5,025146

103

xx

(c) 3,72, 52,33,4 xx(d) 1

31

1046

xx

(e) 4

2152

x

x (f) 43101

221

10243

xxx

(g) 64102 2 xx (h) 132413 xxx

(i) xxx 511

(j) Representen en la recta numérica las soluciones de estas ecuaciones

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Guía de trabajo nº3

Actividad 1

Algunas preguntas para consultar:

- ¿Qué es una inecuación?

- ¿Qué diferencia existe entre una ecuación y una inecuación?

- ¿Cómo se representa en la recta numérica el conjunto solución?

Actividad 2

Resuelvan las siguientes inecuaciones y representen en la recta numérica las soluciones que obtengan.

(a) x x 27)4(2

(b) )12(34232 xx

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BLOQUE 2 – Polinomios Guía de trabajo nº 1

Introducción

En este bloque vamos a trabajar con un tema que será de utilidad para futuros emprendimientos matemáticos.

El tema es el de los polinomios, y en particular los polinomios de una sola variable. Seguramente al nombrarlo aparecen muchas anécdotas todas ellas con un punto en común: “los polinomios son difíciles de entender porque tienen letras”

En parte es cierto: en cada término de un polinomio es posible que encontremos una parte literal, pero no se nos debe escapar que esa parte literal representa números y como tal deben ser tratados. ¿Qué significa esto?:

Seguramente recuerdes que en la escuela te enseñaron a descomponer los números.

En nuestro sistema de numeración se usan 10 dígitos para escribir los números: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 0. Cada uno tiene un valor particular (absoluto) pero, además de este valor “absoluto” puede adquirir otro según la posición que ocupen dentro de determinado número (relativo):

En 1567 el 5 vale 500

En 1756 el 5 va le 50

En 5761 el 5 vale 5000 etcétera

Esto se debe a que el sistema numérico que usamos se llama decimal (porque usa diez dígitos) y posicional (pues cada dígito tiene valor relativo dependiendo del lugar que ocupa dentro de un número)

Es decir:

Luego 6571 = 6000 + 500 + 70 + 1

= 6 . 1000 + 5 . 100 + 7 . 10 + 1

= 6 . 103 + 5 . 102 + 7 . 101 + 1 . 100 (recordemos que todo número elevado a la cero da uno.

De a poquito fue apareciendo la base del sistema de numeración que usamos es decir 10.

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Pero existen otros sistemas de numeración donde la base no es diez: las computadoras usan un sistema en base 2, mi máquina filmadora usa un sistema en base 16 (después de usar del 0 al 9 empieza a poner letras por ejemplo “1A” es 26)

Es decir que la base del sistema de numeración podría (si quisiéramos) ser un número “x” cualquiera y lo anterior podría escribirse:

P(x)= 6 . x3 + 5 . x2 + 7 . x1 + 1 . x0

O de forma resumida:

P(x) = 6 . x3 + 5 . x2 + 7 . x + 1

¡Apareció un polinomio!

Esto quiere decir que un número es un polinomio, y esto a su vez quiere decir que venimos trabajando con polinomios hace bastante sin darnos cuenta.

Ya sabemos que los números son polinomios pero nos convendría saber más precisamente qué es un polinomio. Para eso vamos resolver algunas actividades con polinomios de una sola variable: x, y , z o la que sea.

Vas a encontrar algo especial en las actividades de este bloque: inmediatamente después de la actividad están las respuestas.

Para nada vayas a pensar que no es necesario resolver lo que pide el enunciado de cada actividad, la idea no es que solamente tengas la respuesta correcta sino que además la entiendas: ¿De qué valdría saber que esto o aquello es polinomio si después, cuando los ejemplos fueran otros no lográramos distinguir si se trata de un polinomio o de cualquier otra cosa?

Por eso preparamos unas indicaciones para la primera actividad y para las demás será importante que trabajes del mismo modo. Y trabajar significa ponerse a tratar de resolver las cosas con empeño y verdadera dedicación sin darse por vencido a la primera dificultad. Para lograrlo es importante contar con alguien para trabajar juntos, por eso te sugerimos que aproveches esta etapa para formar un grupo de trabajo para Matemática y para otras materias.

Ahí vamos:

Actividad 1

Digan si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios o no. En caso afirmativo, señalen cuál es su grado y término independiente.

1) 4 5 23. 2. 5x x x

2) 27. 2x x

3) 1 − x4

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4)

5) x3 + x5 + x2

6) x − 2x−3 + 8

7)

Reflexionemos:

Así como están parece que todos son polinomios. Por ahí podríamos desconfiar de ese que tiene raíz cuadrada…

Veamos si las respuestas pueden brindarnos algo de ayuda:

Respuestas

1) x4 − 3x5 + 2x2 + 5 es un polinomio

Grado: 5, término independiente: 5.

Como se ve, conocer la respuesta no alcanza para entender todo lo que pide la actividad.

Resulta que el grado coincide con el valor del término independiente, así que lo podemos deducir que uno de los números 5 que aparecen en el polinomio es el grado. Como el otro es un “término” independiente debe ser el que está último y el grado debe ser la potencia mayor de x.

Si bien averiguamos algo del grado de un polinomio y del término independiente, todavía podemos no saber qué es un polinomio

2) + 7X2 + 2

No es un polinomio, porque la parte literal del primer término está dentro de una raíz.

En este caso aparece una razón por la que una expresión no es un polinomio. Teníamos razón en desconfiar: este no es polinomio

3) 1 − x4

Es un polinomio

Grado: 4, término independiente: 1.

Otro polinomio.

Parece que el término independiente es el que no tiene x y aunque acá está primero sigue siendo el independiente.

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El grado parece que es la potencia de la x, ¿pero cuál? Mirando el 1) parece ser la mayor

4)

No es un polinomio porque el exponente del primer término no es un ro natural.

Otra razón pel exponent ino no es un número natural? ¿El 2 no es un número natural?

Recordemos

encias:

)

núme

ara que una expresión algebraica no sea un polinomio. Pero ¿Cómo que e del primer térm

Propiedades de las pot

a0= 1 (todo número a la cero da 1)

a1= a (todo número a la uno da el mismo número

a-1= ( cuando el exponente es negativo se invierte la base y pasa a ser positivo)

a1/n= ( para pasar una raíz a exponente fraccionario se coloca en el numerador

an/m= el exponente de la potencia y en el denominador el índice de la raíz)

an m= . a ( multiplicación de potencias de igual base se suman los exponentes)

an: am= (división de potencias de igual base se restan los exponentes)

(an)m = ( potencia de potencia se multiplica los exponentes)

a-2 = ……….

a1/2 =………..

Estas dos expresiones son potencias de exponente no natural porque -2 es un número ……………… número …………………………. Como vimos en el bloque 1.

Es un polinomio

Grado: 5, término independiente: 0.

Ahora ya sabemos

.. y 1/2 es un

5) x3 + x5 + x2

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6) x − 2

n polinomio, porque el exponente de x en el 2º término no es un número natural.

Exacto, ya sabíamos: -3 es un número entero.

7)

x−3 + 8

No es u

Es un polinomio

, término independiente: −7/2.

a diferentes exponentes. El mayor es el que marca el grado del polinomio y el menor

“término independiente” porque x0 = 1.

Otras veces un polinomio puede estar desordenado ( como el 1) de la actividad 1

Grado: 3

Actividad 2

En esta actividad traten de trabajar primero sin espiar las respuestas que figuran aquí, para después poder comparar su trabajo con esas respuestas.

Antes de empezar, recuerden que:

En todos los términos de un polinomio de variable x está la variable elevada

que puede existir es “0” que está en el

A veces un polinomio puede no tener algunas de las potencias desde el grado hasta 0, es decir el polinomio puede estar incompleto (como en 7) de la actividad 1)

que además está incompleto)

¿Trabajamos?

E

Conclusión

Para que una expresión algebraica de las que estamos estudiando sea un polinomio, la x debe tener un exponente…………………………………..en cada término.

El grado de un polinomio es

El término independiente es ………………………………………………………………….

Además:

l coeficiente del término que indica el grado del polinomio se llama “coeficiente principal”

:

……………………………………………………………………………………………………..

…………………………………

Los números que acompañan a la x en cada término se llaman coeficientes. E

scribir:

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1. Un polinomio ordenado sin término independiente.

inomio no ordenado y completo.

n coeficientes impares.

on lo que hayas escrito o para consultar si fuera necesario:

Posibles respuestas:

2. Un pol

3. Un polinomio completo sin término independiente.

4. Un polinomio de grado 4, completo y co

A continuación, algunas respuestas para comparar c

término independiente.

2. Un polino enado y completo.

1. Un polinomio ordenado sin

3x4 − 2x

(No dice que deba estar completo)

mio no ord

3x − x2 + 5 − 2x3

3. Un polinomio completo sin término independiente.

n las expresiones que están

4. Un polinom impares.

icientes de los tres primeros términos? ¿Son números impares?

Imposible

(Para averiguar por qué revisen lo que significasubrayadas)

io de grado 4, completo y con coeficientes

x4 − x3 − x2 + 3x + 5 ¿Cuáles son los coef

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Guía de trabajo n° 2

En esta guía vamos a continuar trabajando con polinomios de una variable.

Como siempre vamos a trabajar en la resolución de actividades.

En los casos que sea conveniente se incluirán las respuestas para que puedan consultar

En la Guía de trabajo nº 1 recordamos qué es un polinomio, cómo determinar su grado y reconocimos sus coeficientes

Vimos que un número es un polinomio donde la “variable” (la parte literal) toma el valor de la base del sistema de numeración con el que estamos trabajando (si no se acuerdan de qué se trata esto les sugerimos que relean la primera parte de la Guía de trabajo nº 1).

Es decir: un polinomio P(x) (la x entre paréntesis es la variable) tiene un determinado “valor numérico” según el valor que se le asigne a su variable.

Recordemos que P(x) = 6 . x3 + 5 . x2 + 7 . x + 1

Tiene como “valor numérico” 6571 si x =10

Esto se expresa:

P(10) = 6571

Fíjense que ahora, entre paréntesis, en el lugar de la variable colocamos el valor de la misma.

Pero si x toma otros valores el polinomio podría tener otros valores numéricos:

P(2) = 83

P(7) = 2353

P(15) = 21481

Comprueben todos estos valores numéricos usando calculadora

Actividad 1

Dados los polinomios:

P(x) = 4x2 − 1

Q(x) = x3 − 3x2 + 6x − 2

  20

R(x) = 6x2 + x + 1

S(x) = x2 + 4

T(x) = x2 + 5

U(x) = x2 + 2

Calcular:

1) P(6) + Q (3) =

2) P(7) − U (7) =

3) [P(3) + R (2)]2 =

4) [S(4)]3 +2 T(8) + ½ U(6) =

5) [2 S(6)]2 – T(4) + ¼ [ U(2)]2 =

Respuestas

1) 159

2) 144

3) 3844

4) 1949

5) 1916

Como se ve hasta ahora trabajamos con números naturales pero la variable podría tomar cualquier valor real.

Actividad 2

Dados los polinomios:

P(x) = x4 − 2x2 − 6x − 1

Q(x) = x3 − 6x2 + 4

R(x) = 2x4 − 2x − 2

Calcular:

  21

1) P(1) + Q(1/2) − R(1) = 2) P(1) - 2 Q(1/2) − R(2) = 3) Q(2) + R(1) – [P(-1)]-2 =

Respuestas

1) - 27/8

2) -157/4

3) -225/16

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Guía de trabajo nº 3

En esta guía de trabajo continuamos con el trabajo con valores numéricos y trabajamos con sumas y restas de polinomios

Actividad 1

Investigamos

Vamos a hacer una investigación:

Supongamos los polinomios P(x) y Q(x) de la actividad 1

P(x) = 4x2 − 1

Q(x) = x3 − 3x2 + 6x − 2

Y calculemos P(2) y Q(2)

P(2)= 15

Q(2)= 6

De aquí se desprende que P(2)+Q(2)= 21

Si sumáramos los polinomios en x y luego buscáramos el valor numérico del polinomio resultante para x=2 ¿ese valor sería 21?

Seguro que ya están intuyendo la respuesta pero vamos a ver si la podemos confirmar:

Para contestar esta pregunta vamos a tener que sumar P(x)+Q(x)

Es posible que ya sepan sumar polinomios, pero no vendría mal que repasáramos el método.

Cada término de un polinomio es un monomio, la idea para sumar dos polinomios es agrupar monomios homogéneos, es decir, con la variable a la misma potencia. Esto se puede hacer juntándolos en un cálculo o haciendo “la cuenta”:

P(x) + Q(x) = (4x2 – 1) + (x3 – 3x2 + 6x – 2)

Pusimos paréntesis nada más que para que se note donde empieza y termina cada polinomio, pero en realidad no hacen falta:

P(x) + Q(x) =4x2 – 1 + x3 – 3x2 + 6x – 2

Podemos agrupar términos (monomios) homogéneos:

P(x) + Q(x) =4x2− 3x2 + x3 + 6x – 2– 1 (debemos ser cuidadosos con los signos)

Operando:

  23

P(x) + Q(x) =x2 + x3 + 6x – 3 (debemos ser cuidadosos con los signos)

Cuando hacemos “la cuenta” lo que realizamos es lo mismo, solamente que encolumnamos los monomios homogéneos:

Colocaremos arriba el P(X) …………..4x2 – 1 + 0x3+ 0x aquí completamos P(x) pero no hace falta

Colocaremos abajo el Q(x)………… − 3x2 – 2 + x3 + 6x encolumnando adecuadamente

Sumamos las columnas……………. x2 – 3 + x3 + 6x teniendo cuidado con los signos

Como podemos ver en ambos casos se obtiene el mismo resultado aunque ordenado de manera diferente.

Si queremos podemos ordenar el resultado aunque no es necesario:

P(x) + Q(x) = x3+ x2 + 6x – 3

Y ahora lo que queríamos averiguar:

El valor numérico de este polinomio para x=2 es...: 21

¿Sospechabas que era así? ¿Por qué?

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

Obviamente lo mismo sucede con la resta

Vamos a hacer “la cuenta “ de Q(x) – P(x)

En este caso en vez de ser cuidadosos con los signos ¡hay que ser cuidadosísimos!:

− 3x2– 2+ x3+ 6x

-

4x2 – 1+0x3+0x

-7x2 – 1 +x3 + 6x

Hicimos “la cuenta” aunque también se podría hacer el cálculo horizontal como veremos en las respuestas de la actividad 1 de la siguiente guía

  24

Guía de trabajo nº 4

En esta guía de trabajo aplicamos lo que trabajamos en la guía de trabajo nº 2

Actividad nº 1

Dados los polinomios:

P(x) = 4x2 − 1

Q(x) = x3 − 3x2 + 6x − 2

R(x) = 6x2 + x + 1

S(x) = x2 + 4

T(x) = x2 + 5

U(x) = x2 + 2

Calcular:

1) P(x) + Q (x) =

2) P(x) − U (x) =

3) P(x) + R (x) =

4) 2P(x) − R (x) =

5) S(x) + T(x) + U(x) =

6) S(x) − T(x) + U(x) =

¡El primero ya está hecho!

Respuestas (con reflexiones incluidas):

1) P(x) + Q (x) =

= (4x2 − 1) + (x3 − 3x2 + 6x − 2) =

= x3 − 3x2 + 4x2 + 6x − 2 − 1 =

= x + x + 6x − 3 3 2

¿Se fijaron en que en cada renglón colocamos un “=” al principio y al final salvo en el último porque contiene el resultado?

  25

Esta es una manera convencional de escribir los cálculos que mostramos aquí para se acostumbren a hacerlo así. Como ven no solamente debemos preocuparnos por llegar al resultado final correcto sino también de la forma de expresar el modo en el que arribamos a ese resultado.

2) P(x) − U (x) =

Esta es una resta que vamos a resolver haciendo “el cálculo” en vez de “la cuenta”

= (4x2 − 1) − (x2 + 2) =

= 4x2 − 1 − x2 − 2 = (observen que al quitar el paréntesis se han producido cambios en los términos de U(x), esto se debe a que debe restarse)

= 3x − 3 2

3) P(x) + R (x) =

= (4x2 − 1) + (6x2 + x + 1) =

= 4x2 + 6x2 + x − 1 + 1 =

= 10x + x 2

4) 2P(x) − R (x) =

= 2 · (4x2 − 1) − (6x2 + x + 1) =

En este caso aparece una constante (el número 2) que multiplica a P(x). Igual que con los números, al operar con polinomios, se debe tener cuidado de separar en términos antes de empezar.

Esto quiere decir que primero se debe multiplicar P(x) por 2 y eso (como recordarán) se realiza haciendo uso de la propiedad distributiva:

= 8x2 − 2 − 6x2 − x − 1 =

Aquí hicimos dos pasos en uno:

‐ Multiplicamos P(x) por 2 y ‐ Quitamos los paréntesis con lo cual cambian los signos en el segundo

polinomio debido a que estamos restando

= 2x − x − 3 2

5) S(x) + T(x) + U(x) =

= (1/2 x2 + 4 ) + (3/2 x2 + 5 ) + (x2 + 2) =

= 1/2 x2 + 3/2 x2 + x2 + 4 + 5 + 2 =

= 3x + 11 2

  26

6) S(x) − T(x) + U(x) =

= (1/2 x2 + 4) − (3/2 x2 + 5) + (x2 + 2) =

= 1/2 x2 + 4 − 3/2 x2 − 5 + x2 + 2 =

= 1

  27

Guía de trabajo n° 5

En la Guía de trabajo nº 2 calculamos el valor numérico de polinomios de una variable para determinados valores de la variable x.

Además trabajamos con la adición y sustracción de polinomios en la Guía de trabajo nº 3.

En esta guía cinco vamos a retomar algunas de esas cuestiones que venimos trabajando para, a partir de ellas, avanzar algo más en temas que resultarán útiles en la cursada de Matemática I

Consideremos el polinomio P(x) = 5x-2

Como ya sabemos el grado de P(x) es ............., su coeficiente principal es ........ y su término independiente es ..........

Como es fácil calcular P( ) = (compruébenlo)

En este momento están preparados para resolver un pequeño problema:

Actividad 1

Considerando P(x)= 5x-2

¿Para qué valor de x, P(x) tiene valor numérico 1?

Respuesta

El problema planteado supone averiguar un número que satisfaga:

1= 5x-2

Donde 1 es el valor numérico del polinomio P(x)

¡Es una ecuación!

Luego:

Sumando 2 en ambos miembros:

1 + 2 = 5x

Ahora dividimos ambos miembros por 5:

53

= x

Respuesta:

El valor de x para el cual el valor numérico de P(x) es 1 es 53

  28

Actividad 2

Calcula el valor de x para que el valor numérico de P(x) sea el indicado en cada caso:

a) P(x) = 523 2 x valor numérico de P: 29

b) P(x)= 231 3 x valor numérico de P: 7

c) P(x) = 71

75 2 x valor numérico de P:

289

d) P(x) = 2

41

43

x valor numérico de P: 47

Respuestas

Recuerden que las raíces de índice par tienen más de un resultado, esta es la razón por la que vamos a detallar la resolución de a), luego podrán trabajar en forma autónoma

a) La ecuación que se debe resolver es:

29523 2 x

Restando 5 a ambos miembros:

2423 2 x

Dividiendo ambos miembros por 23

:

32.24

23:242 x

(Porque dividir por 23

es lo mismo que multiplicar por 32

)

Operando queda:

162 x

Luego, aplicando a ambos miembros raíz cuadrada:

16x

De donde:

  29

x = 4 ó x = -4

Ya que cualquiera de estos dos números elevados al cuadrado dan 16

b) x = 3

c) x =21

ó x=21

d) x = 2 ó x= -2

  30

Guía de trabajo nº 6

Hasta ahora seguramente no tuviste problemas para resolver las ecuaciones que plantea cada ejercicio de la guía de trabajo nº 4 del Bloque 1, pero a veces las cosas pueden ser más complejas:

Actividad 1

Encuentren el valor de la variable x para que el valor numérico de R(x) = 6.x2 + x sea 1

Respuesta

Al principio procedemos de la manera habitual:

6.x2 + x = 1

Pero en seguida nos damos cuenta de que esta ecuación no puede resolverse fácilmente mediante la radicación.

Recordemos:

La fórmula

Permite encontrar las soluciones de una ecuación cuadrática en la que el segundo miembro es cero:

Una ecuación cuadrática puede llevarse a esta forma operando en ambos miembros convenientemente

Recordemos que las “raíces” o “ceros” son los valores de x para los que y se hace cero, en otras palabras las raíces son los valores de x para los que el valor numérico de un polinomio Y(x) de grado 2 es cero. Se trata de una fórmula para resolver “ecuaciones cuadráticas igualadas a cero”

¡Nosotros tenemos un polinomio de grado 2!

6.x2 + x = 1

Lo único que pasa es que el valor numérico es 1 en vez de cero, pero eso se puede arreglar restando 1 a cada miembro:

6.x2 + x - 1= 0

Ahora podemos usar la fórmula para averiguar los valores de x, solamente hay que recordar quiénes son a, b y c. Para ello les damos algunas pistas:

  31

‐ a es el coeficiente del término cuadrático (con su correspondiente signo), en este caso: …………….

‐ b es el coeficiente del término lineal (con su correspondiente signo), en este caso: …………….

‐ c es el término independiente, en este caso: …………….

Una vez que hayan realizado los cálculos correspondientes van a obtener dos soluciones para esta ecuación:

x= 21

y x= 31

Esto quiere decir que el polinomio R(x) tiene como valor numérico 1 cuando x =21

ó

x = 31

.

Compruébenlo reemplazando ambos valores en la expresión original de R(x)

  32

Guía de trabajo nº 7

Problemas Resueltos

Al resolver los siguientes problemas planteando ecuaciones, además de repasar la resolución de las mismas, están preparándose para la guía siguiente, así que a trabajar mucho y con confianza

La idea es que lean las soluciones propuestas y que conversen grupalmente tratando de interpretar lo que se hace, proponiendo otras formas de resolver y anotando las dudas para consultar

En términos generales se tomaron problemas que se resuelven con números enteros y racionales que ya conocen

Posteriormente les presentamos algunos ejercicios en el Trabajo Práctico nº 4 para evaluar si pueden resolverlos de forma autónoma

Vamos a trabajar:

1) Javier y Felipe tenían deudas de $ 750 cada uno. Ambos cobraron sus respectivos sueldos y pagaron sus deudas. A Javier le quedaron $967 y a Felipe $ 1409. ¿Cuánto cobró de sueldo cada uno?

Solución

El problema pide calcular los sueldos que no conocemos.

Vamos a llamar j al sueldo de Javier y f al de Felipe

Es obvio que a cada uno de esos sueldos hay que restarle las deudas y el resultado será lo que le queda a cada uno:

Para Javier:

(*) J – 750 = 967

Para Felipe

(∆) F – 750 = 1409

Se trata de dos ecuaciones muy fáciles de resolver, pero antes fijémonos que así como están planteadas las cosas se puede saber quién tiene el mejor sueldo ¿Quién es? ¿Por qué?

Ahora si: para calcular el sueldo de Javier resolvemos (*)

J – 750 = 967

J = 967 + 750

J = 1717

Y para calcular el de Felipe resolvemos (∆)

  33

F – 750 = 1409

F = 1409 +750

F= 2159

Respuesta (en todos los problemas siempre es conveniente escribir la respuesta a la pregunta)

Javier cobró $1717 de sueldo y Felipe $2159

2) Si un buzo estaba a –60 metros y ahora está a – 28 metros. ¿Ascendió o descendió? ¿Cuántos metros?

Solución

Este es un problema en el que el planteo de una ecuación resulta un poco engorroso para lo que es el problema.

En casos como este podemos usar un razonamiento matemático que no tenga que ver con ecuaciones sino con cuestiones geométricas que nos lleven a la solución.

Supongamos que de un bote se deja caer una soga de 60 m hacia abajo.

El buzo se encuentra primero a -60 metros, es decir a 60m por debajo de la superficie.

Luego está a -28 metros es decir a 28 m del nivel del agua, esto quiere decir que debe haber subido, por lo tanto ya estamos en condiciones de escribir la respuesta.

Pero antes pensemos: -28 ¿es un número mayor o menor que -60? Al contestar esta pregunta

estamos dando la razón por la que la respuesta es:

Respuesta

El buzo ascendió 32m

3) Entre Ana y Ariel compran una enciclopedia. Ana aporta las dos terceras partes del precio mientras que Ariel pone $ 149,45 y llegan así a cubrir el precio total ¿cuánto cuesta la enciclopedia?

Solución

Llamaremos X al precio de la enciclopedia

  34

Ana aporta las dos terceras partes de X

x32

Ariel agrega $149,45 y se cubre el total X

xx 45,14932

Resolvemos restando x32

en ambos miembros:

xx3245,149

x3145,149

Ahora dividimos ambos miembros por 31

(o, lo que es lo mismo multiplicamos por 3):

x45,149.3

35,448x

Respuesta

La enciclopedia costó $448,35

4) Alejo, Bruno, Carlos y Diego se reparten cierta cantidad de dinero. Alejo toma un tercio de dinero y se va. Bruno toma un tercio de lo que queda; Carlos toma $500 y sólo quedan $100 para Diego. ¿Cuánto dinero había en total?

Solución

Llamemos x al total de dinero disponible

Alejo toma x31

Lo que queda es:

xxxxx32

31

33

31

  35

De estos x32

(dos tercios del total) Bruno toma 31

:

xx92)

32(

31

Carlos toma $500

Diego toma $100

Es decir el total x está compuesto por lo que tomó cada uno:

Alejo + Bruno + Carlos + Diego = total

x

31

+ x92

+ 500 + 100 = x

Resolvemos:

Primero restamos x31

en ambos miembros:

x92

+ 500 + 100 = x - x31

Operamos y restamos x92

en ambos miembros:

500 + 100 = x32

- x92

Operamos :

600 = x94

Dividimos ambos miembros por 94

o lo que es lo mismo multiplicamos por 49

:

600 . 49

= x

X= 1350

Respuesta

La cantidad de dinero que se repartieron fue de $1350

  36

Guía de trabajo nº 8

Multiplicación de polinomios

Para multiplicar polinomios aplicamos la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la adición y sustracción, además de la propiedad del producto de potencias de la misma base.

Por ejemplo:

Dados P(x)= 2.x2 +x – 3 y Q(x)= x – 2

El producto P(x).Q(x)= (2.x2 +x- 3) . (x-2) lo hallamos aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación. Para ello multiplicamos cada término del polinomio P(x) por cada uno de os términos de Q(x).

P(x).Q(x)= 2.x2.x + 2.x2.(-2)+x.x+x.(-2)-3.x-3.(-2)

P(x).Q(x)= 2.x3-4.x2+x2-2.x-3.x+6 (2.x2.x=2.x3 pues por producto de potencias de la misma base los exponentes de la indeterminada x se suman y 2+1=3)

P(x).Q(x)= 2.x3-3.x2-5x+6 (los términos del mismo grado se suman entre sí)

Podemos observar que el grado del polinomio producto es igual a la suma de los grados de los polinomios factores.

Es decir: gr[P(x).Q(x)]= gr(P(x))+gr(Q(x))

gr(P(x))= 2

gr(Q(x))= 1

gr[P(x).Q(x)]= 2+1 = 3

Otra forma de realizar la multiplicación es disponiendo los polinomios, ordenados y completos, tal como lo hicimos para la suma y la resta:

2.x2 +x – 3

. x-2

Según esta disposición comenzaremos a multiplicar por el término de grado cero del polinomio escrito en el segundo renglón, es decir, multiplicamos por -2:

2.x2 +x – 3

. x-2

-4.x2 -2.x+6

Ahora multiplicamos por el término de grado uno del segundo polinomio y vamos ubicando los productos obtenidos encolumnándolos según su grado:

  37

2.x2 +x – 3

. x-2

-4.x2 -2.x+6

2.x3+1.x2 -3.x

A continuación sumamos los términos que se encuentran en una misma columna:

2.x2 +x – 3

. x-2

-4.x2 -2.x+6

+ 2.x3+1.x2 -3.x

2.x3-3.x2-5.x+6

Cualquiera de las dos formas dadas nos permite llegar al mismo resultado.

Actividad 1

Dados los siguientes polinomios:

4 3 2

3

5 3 2

3 2

( ) 4 2 11 1( ) 32 3

( ) 4 2 32( )3

A x x x x x

B x x x

C x x x x

D x x x x

 

Se pide:

) ( ). ( )) ( ). ( )) ( ). ( )

a A x B x

b A x C x

c C x D x

 

Actividad 2

Teniendo en cuenta los polinomios de la actividad anterior, se pide:

) ( ) ( ) . ( )

) ( ) ( ) . ( )

) ( ) ( ) . ( ) ( )

a A x B x C x

b C x B x D x

c A x D x B x C x

  38

Guía de trabajo nº 9

División de polinomios

Antes de comenzar a dividir polinomios debemos considerar algunas cuestiones: Para llevar a cabo esta operación se deben ordenar y completar los polinomios

dividendo y divisor. Recordemos que para ordenar un polinomio se tiene en cuenta el grado de cada monomio que lo compone y se hace de mayor a menor grado.

Recordemos también que para completar se agregan términos de coeficiente cero. Por último: El grado del dividendo, debe ser mayor o igual que el grado del divisor. Si esto no

se cumple la división no se puede realizar. Ahora sí estamos en condiciones de comenzar a dividir.

Ejemplo 1:

Te proponemos la siguiente división:

(2x4 + 3x3- x2 –1) : (x – 2) Dividendo  Divisor 

También la podemos escribir de esta otra forma

21- x-3x + 2x 234

x

Comencemos:

El polinomio dividendo ya está ordenado pero incompleto, lo completamos con 0x,

entonces:

2x4 + 3x3- x2 + 0x –1 x – 2

Ahora si estamos en condiciones de dividir.

2x4 + 3x3- x2 + 0x –1 x – 2 1º) Tomamos el primer término del 

dividendo y lo dividimos con el primer 

término del divisor. Esto nos va a dar el 

primer término del cociente. 

Recuerden que cuando dividimos potencias de igual base se restan los exponentes, y

esto es lo que estamos haciendo al dividir x4 con x por lo tanto 2x4 : x es igual a 2x3

2x4 + 3x3- x2 + 0x –1 x – 2 2x3

  39

2º) Tomamos el primer término del cociente y 

lo multiplicamos  con el primer término del 

divisor. El resultado de esta multiplicación lo 

colocamos debajo del término que tiene igual 

grado en el dividendo, para luego restarlo. Lo 

mismo hacemos con el segundo término del 

divisor (‐2) y si hubiera más términos 

repetiríamos el procedimiento.

2x4 + 3x3- x2 + 0x –1 x – 2 Observen que ponemos los signos 

contrarios al resultado de la multiplicación 

porque queremos restar. 

(Recuerden que restar una expresión es 

equivalente a sumar la opuesta de esa 

expresión)  

–2x4 + 4x3 2x3 7x3

Ahora “bajamos” el término siguiente, y repetimos el procedimiento anterior.

2x4 + 3x3 – x2 + 0x –1 x – 2 3º) Dividimos 7x3 por x y repetimos el 

procedimiento.–2x4 + 4x3 2x3 x3 – x2

2x4 + 3x3 – x2 + 0x –1 x – 2 4º) Multiplicamos  7x2 por x y por  

–2 y colocamos debajo de cada 

monomio que corresponde para 

luego restar y hallar el próximo 

resto parcial. 

–2x4 + 7x3 2x3 + 7x2 7x3 – x2 –7x3 + 14x2

13x2 Repetimos el procedimiento luego de bajar 0x. 2x4 + 3x3 – x2 + 0x – 1 x – 2 –2x4 + 4x3 2x3 + 7x2 + 13x 7x3 – x2 –7x3 + 14x2

13x2 + 0x –13x2 + 26x

26x Por último, bajando el –1… 2x4 + 3x3 – x2 + 0x – 1 x – 2 –2x4 + 4x3 2x3 + 7x2 + 13x +26 7x3 – x2 –7x3 + 14x2

13x2 + 0x –13x2 + 26x

26x – 1 –26x + 52 51

  40

No podemos seguir dividiendo ya que el grado del resto es menor que el grado del divisor. A propósito ¿cuál es el grado del resto? ........................................................................................... Por último el resultado de dividir

21- x-3x + 2x 234

x

es 2x3 + 7x2 + 13x+26 con un resto de 51. Ahora sabemos que x– 2 no es divisor de 2x4 + 3x3 – x2 – 1 ¿por qué? ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ Otra forma de hacer esta misma división Las divisiones en las cuales el divisor es un BINOMIO DE PRIMER GRADO con el coeficiente principal igual a uno, se pueden resolver por la regla de RUFFINI. Construimos un cuadro como el siguiente y en el cuadrante superior derecho vamos a colocar los coeficientes del dividendo, ORDENADO Y COMPLETO 2 3 –1 0 –1

Luego en el cuadrante superior 

izquierdo colocamos la raíz del divisor. 

(Valor de x que hace que el polinomio 

se haga cero, en este caso 2) 

2 3 –1 0 –1 2

En el siguiente paso bajamos el 

coeficiente principal y lo colocamos 

en el cuadrante inferior derecho. 

Bien, ahora que sabemos cómo armar el tablero comenzamos a aplicar la regla.

  41

2 3 –1 0 –1 2 2

Multiplicamos el número que bajamos (2) 

por el que habíamos colocado en el 

cuadrante izquierdo y encolumnamos el 

resultado con el (3)

2 3 –1 0 –1 2 4 2

Luego sumamos los dos valores que 

quedaron encolumnados (3+4) 

2 3 –1 0 –1 2 4 2 7

Volvemos a multiplicar, ahora el 7 con 

el 2 y colocamos el resultado debajo 

del –1 y sumamos 

2 3 –1 0 –1 2 4 14 2 7 13

Este procedimiento lo vamos a repetir 

hasta llegar al último de los 

coeficientes (–1) 

2 3 –1 0 –1 2 4 14 26 2 7 13 26 Por último:

Comparen los números que obtuvimos 

en el cuadrante inferior con los 

coeficientes del cociente  de la división 

que hicimos anteriormente 

2 3 –1 0 –1 2 4 14 26 52 2 7 13 26 51 ES CIERTO!!!!! No se equivocaron son los coeficientes del polinomio cociente y el último valor es el resto

  42

Dividimos el primer término del dividendo 

con el primero del divisor y colocamos el 

primer término del cociente. (3 : 2 es 23) 

2 3 –1 0 –1 2 4 14 26 52 2 7 13 26 51

Debemos recordar que el resultado es un 

polinomio, por lo tanto tenemos que 

escribirlo como tal. 

La regla de Ruffini baja en una unidad el grado del polinomio dividendo (estamos dividiendo un polinomio de grado 4 con otro de grado 1), por lo tanto el resultado quedaría:

c(x) = 2x3 + 7x2 + 13x+26 con resto 51 ¿Es más fácil no?, claro que si!!!!! Pero recuerden que la regla de Ruffini solo puede aplicarse cuando el divisor es de la forma x + a ó x – a en donde “a” es un número real. Ahora vamos a resolver algunos ejercicios en donde van a utilizar el algoritmo de la división y luego las van a verificar usando el método de Ruffini Actividad 1

Respuestas: 1)   3x2 + 13x + 39               R(x)= 132 2) –2 x3 + 5x2 –20x + 82     R(x)= –328 3)      x2 –3x ‐ 6                  R(x)=0 

1) (3x3 + 4x2 + 15) : (x – 3) =

2) (–2x4 – 3x3 + 2x) : (x + 4) =

3) (x3 − 5x2 + 12) : (x −2) =

Ejemplo 2: Sean los polinomios: P(x) = 3x2 + 3x3 – 2 y Q(x) = 2x + 1 Realizar la siguiente división: P(x) : Q(x)

Ordenamos y completamos el polinomio 

dividendo y divisor 3x3 + 3x2 + 0x – 2 2x + 1 3x3 + 3x2 + 0x – 2 2x + 1

2

2x

3

  43

3x3 + 3x2 + 0x – 2 2x + 1

–3x3 – 2x2

3 2x

2

3

2x2

3

En este van varios pasos… 3x3 + 3x2 + 0x – 2 2x + 1

–3x3 – 2

23

x 2

23

x + x4

3

223

x + 0 x

2x2

3 x

4

3

x4

3

Último paso, bajando el –2 3x3 + 3x2 + 0x – 2 2x + 1

–3x3 – 2

23

x 8

3 xx

43

23 2

223

x + 0 x

xx43

23 2

243

x

8

3x

4

3

8

13

Listo!!!! C(x) = 83

43

23 2 xx con R(x)=

813

¿Van entendiendo el procedimiento?... DE A POCO Y CON MUCHA PRÁCTICA!!!!! No desesperéis. Vamos a hacer otro ejemplo, pero antes verifiquemos la división anterior… ¿Cómo lo harían?... No se apuren!!!! ¿Están tentados a hacerlo por la regla de Ruffini?

Multiplicamos    2

23

x  con ambos términos de 

divisor y los ubicamos para poder restar 

(recuerden que ponemos el opuesto). 

Bajamos 0x y dividimos    2

2x

3 con 2x 

para luego multiplicar con el divisor y 

encontrar el próximo resto parcial. 

Dividimos    x43

 con 2x para luego 

multiplicar con el divisor y encontrar el 

próximo resto final. 

  44

NO SE PUEDE… Recuerden que para usar la regla de Ruffini el polinomio divisor debe ser de la forma x ± a ¿Cómo se hace entonces? Simple…

Dividendo = cociente × divisor + resto

P(x) = C(x) . Q(x) + R(x) Entonces reemplacemos los polinomios y operemos

P(x) = (83

43

23 2 xx ) . (2x + 1) + (

813

)

Multiplicamos (debemos utilizar propiedad distributiva) y luego sumamos

P(x) = )8

13(1832

831

432

431

232

23 22 xxxxxxx

P(x) = )8

13(83

43

43

23

233 223 xxxxx

Sumamos los términos del igual grado

P(x) = )8

13(83

43

43

23

233 223 xxxxx

P(x) = Llegamos al resultado correcto!!! Entonces... Dividimos bien!!! 233 23 xx Por último, ¿P(x) es múltiplo de Q(x)? ¿Por qué? …................................................................................. Ahora si… Ejemplo 3 Vamos a dividir M(x) con T(x)

M(x) = T(x) =

1224 34 xxx 12 3 x

121224

3

34

x

xxx

Antes de poder comenzar a dividir debemos …..………………. y …..…………………

  45

Continuemos… En los cuadros del costado, anoten lo que hacemos en cada paso

   

1224 34 xxx 20x 12 3 0x0x2x

4-

12024 234 xxxx 1002 23 xxx

2x0x0xx 234 2x   

0x0x2x 23

12024 234 xxxx 1002 23 xxx

xxxx- 2004 234 1x2

   

1 xxx 002 23

1 xxx 002 23

0 El resto es cero!!!! ¿Qué significa?................................................................................................ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………. Verifiquemos: M(x) = C(x) . T(x) + R(x) pero como R(x) = 0:

M(x) = C(x) . T(x) Reemplacemos

M(x) = ( ) . ( ) "Deja Vù"!!!!! ¿Dónde vimos esto antes? 12 3 x 12 xConvertimos una suma algebraica en un producto... Clarooo….. es la forma factorizada del polinomio. Multipliquemos para saber si lo división está hecha en forma correcta.

M(x) = )1(121)1(222 33 xxxx resolvemos

  46

M(x) = 1224 34 xxx Ahora les dejamos unos ejercicios para que resuelvan ustedes solos (o en grupo). Actividad 2 Dividir:

a) (-2x4 + 3x3 − 4x2 + 3x − 8) : (4x + 1) =

b) (3x5 – 2x4 − 2x2 + x − 6) : (3x – 2) =

c) )13223( 43 xxx : (2x–5) =

d) (7x6 – 4x4 + 6x3 + 3x5 − 8) : (x2 + 2) =

e) (− 3 + 2x2 + 5x4 − 3x) : (x2 – 3) =

f) )43212

23( 325 xxxx : (3x+2) =

No se olviden de verificar!!!!

  47

Guía de trabajo nº 10

Algunos Casos de Factoreo

Nota preliminar

En este momento tendríamos que ver cómo hacemos para que un polinomio quede escrito como multiplicación con el objeto de intentar simplificar.

Esto es a lo que se llama “factorear” polinomios.

Una manera de factorear es mediante los llamados “casos de factoreo” que a veces se presentan como seis y en un orden determinado.

Probablemente ya los han visto en la escuela secundaria y nuestra intención es ayudarlos a reverlos e incluir alguna otra alternativa.

Brevísima introducción al tema

Hay números y expresiones algebraicas que no aparecen escritas como una multiplicación y sin embargo es posible escribirlas como tales.

Por ejemplo:

29 + 7 = 36 = 9 . 4

O sea partimos de una suma y obtuvimos una multiplicación (como 9 y 4 son los factores decimos que este es un posible factoreo de 36)

Del mismo modo, sabemos que

x.( 3x + 6)

es, aplicando propiedad “distributiva”

3x2 + 6x

pero si “pensamos al revés”

3x2 + x = x.( 3x + 6)

A este polinomio de grado 2 lo hemos escrito como una multiplicación y diremos por ello que lo hemos factoreado (pasamos de la forma aditiva a la forma multiplicativa)

  48

a) Factor común

Así como en los números

30 + 21 = 3 . 10 + 3 . 7 = 3 . ( 10 + 7 )

(Observen que el factor 3 está presente en los dos términos, por eso se le dice factor común)

Podemos escribir

2.x + 3.x4 =

Como

2.x + 3.x .x.x.x = x.( 2 + 3.x.x.x ) = x.(2 + 3x3 )

Ya factoreamos, nos quedó:

2.x + 3.x4 = x ( 2 + 3x3 )

(Si quisiéramos, podríamos verificar el resultado aplicando “distributiva”)

Otro ejemplo:

x3 + 2 x2 = x . x . x + 2 . x . x = x.x .( x + 2 ) = x2.(x +2) Si usamos además propiedad conmutativa y asociativa de la multiplicación

Luego:

x3 + 2 x2 = x2 (x +2)

Puede darse el caso de 2 ó más factores comunes, por ejemplo:

6 x2 – 10 x3 = 3.2x2 – 5 . 2x2. x = 2x2.(3 – 5x)

6 x2 – 10 x3 = 2x2.(3 – 5x)

Ejemplo de un caso frecuente

-2x3 – 4x2 = -2x2.(x + 2)

También podríamos factorear de otra forma:

-2x3 – 4x2 = 2x2.(-x - 2) (¿Dudan?: distribuyan....)

  49

Ambos resultados son correctos

Ejercicios Expresar, si es posible, como multiplicación:

a) 4x3 + 6x2 – 10x b) 2x4 – 2x3 + x2 c) 8m3 – 12m2 + 4m – 1 d) 18p4 + 12p3 – 12p2 + 6p

b) Diferencia de cuadrados

Este caso es muy sencillo y solamente veremos la forma en la que se realiza el factoreo

a2 – b2 = (a – b). (a + b)

También pueden comprobar la validez de este caso mediante la propiedad distributiva.

(¡qué creatividad para darle nombre! “Diferencia de cuadrados”)

a2 – b2

“a – b” y “a + b” son binomios “conjugados”(como habrán advertido “a” y “b” son las bases de los cuadrados)

Así, por ejemplo:

x2 – 9 = (x – 3 ). (x + 3)

Otro ejemplo:

x2 - 14

= ( x - 12

) . ( x +12

)

Otro más:

25 – x2 = .......................

  50

Actividad 1

Expresar, si es posible, como multiplicación:

a) x2 – t2 b) x4 – 81 c) 1 – x2 d) t2 + 4 e) x2 – 2

c) Trinomio cuadrado perfecto (tcp) / cuadrado de un binomio

Al elevar al cuadrado un binomio se obtiene una expresión llamada TRINOMIO CUADRADO PERFECTO (TCP):

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 y (a - b)2= a2 – 2ab + b2

Observen las características de cada término de los trinomios obtenidos.

Intentando pasar de la forma aditiva a la multiplicativa podríamos escribir el polinomio

x2 + 6 x + 9

Como:

x2 + 6 x + 9 = x2 + 2.3.x + 32

En la última expresión se advierte que el polinomio es un TRINOMIO CUADRADO PERFECTO, es decir que proviene de elevar un binomio al cuadrado.

Luego:

x2 + 6 x + 9 = (x + 3)2

Como es muy sencillo pasemos a resolver algunos

Actividad 2

Expresar, si es posible, como multiplicación:

a) x2 + 10x + 25 b) x2 – 2x +1

c) x2 + x + 14

d) x2 – 6x + 18 e) 9 + x2 – 6x

d) Cuatrinomio cubo perfecto (ccp) / cubo de un binomio

Al elevar al cubo un binomio se obtiene un polinomio que se denomina CUATRINOMIO CUBO PERFECTO (CCP):

  51

(a + b)3 = a3 + 3 a2 b + 3 a b2 + b3 y (a - b)3 = a3 - 3 a2 b + 3 a b2 - b3

Observen las características de cada término de los trinomios obtenidos.

Intentando pasar de la forma aditiva a la multiplicativa podríamos escribir el polinomio

x3 – 3x2 + 3x – 1

Como:

x3 – 3x2 + 3x – 1 = x3 + 3.x2.(-1) + 3. x.(-1)2 + (-1)3

Que, como se ve, es un ccp

Luego:

x3 – 3x2 + 3x – 1 = (x –1)3

Actividad 3

Expresar, si es posible, como multiplicación:

a) x3 + 6x2 + 12x + 8 b) y3 – 3xy2 + 3x2y – x3

c) x3 – x2 + 13

x - 1

27

d) x3 + 3x2 + 3x – 1

  52

Guía de trabajo nº 11

Factoreo por raíces.

Todos los polinomios tienen – al menos – una raíz y pueden escribirse como el siguiente producto:

P (x) = (x – raíz) . Q (x)

Como se darán cuenta, Q(x) es el cociente de dividir

Q(x) = P(x) : (x – raíz) 2

Este cociente que se puede obtener mediante la regla de Ruffini (¿Por qué?) .............................

a) Ejemplo 1

Supongamos que queremos factorear x3 – 1.

x= 1 es una raíz de ese polinomio (¿por qué?)

Entonces, según lo anterior

x3 – 1 = ( x – 1 ) . Q(x)

Siendo Q(x), como se dijo, el cociente de (x3 – 1) : (x – 1) (que, como también se dijo, podría hacerse mediante la regla de Ruffini)

Realicen la división:

Obtendremos:

x3 – 1 = ( x – 1 ) . (x2 + x + 1)

Como se ve, hemos podido factorear x3 – 1

Nota: En rigor, todo polinomio puede escribirse como

P(x) = a .(x – r1) (x – r2) (x – r3) … (x –rn)

siendo “a” su coeficiente principal y r1, r2, r3,... rn las n raíces que admite un polinomio de grado n. Nosotros trabajamos sólo con raíces reales.

b) Otro ejemplo

                                                            2 Por ejemplo en los números, si  28 = 4 . k   tenemos que   k = 7 = 28 : 4  comparen esto con lo 

escrito para polinomios. 

 

  53

Ya sabemos como obtener las raíces de

x2 – 5x + 6

¿Cómo?

Si procedemos según lo anterior nos quedará...

¿ y si también lo hacen ustedes? (no sean tan confiados, pudimos equivocarnos)

x2 – 5x + 6 = (x-3).(x-2)

Fíjense que 2 y 3 son las dos raíces del polinomio.

Actividad 1

Expresar, si es posible, como multiplicación:

a) x2 + 3x – 4 b) –3x2 + 12 c) x3 + 8 d) x4 – 1

e) x5 + 132

Reflexiones interesantes Si miramos bien, los casos de factoreo los podríamos haber omitido y habernos quedado sólo con esto de las raíces porque, por ejemplo:

4 – x2 tiene a x=2 como raíz

Entonces

4 – x2 = (x – 2 ) . ......

O también:

x4 – 1 se puede pensar como una diferencia de cuadrados, ¿no?

En conclusión tienen la posibilidad de aplicar los casos de factoreo ó esta propiedad de las raíces de un polinomio para pasar de la forma aditiva a la multiplicativa. Manéjense como mejor les parezca. Quizá lo mejor sea hacer un “mix” según el polinomio a factorear.

Actividad 2

  54

Ejercicios para ponerse a prueba

a) 2x3 – 18x b) x3 - 6x2 + 12x - 8 c) x4 - 16 d) –x2 – 8x – 16 e) 3x2 + 3ax + ax2 + a2x

f) 12

x2 + 2x - 212

g) 4x – 16x3

  55

Guía de trabajo n° 12

Actividad 1

Una lectura con poco para hacer

Como estuvimos viendo hasta ahora, un polinomio adquiere diferentes valores numéricos de acuerdo al valor que adquieren sus variables (hasta ahora no lo dijimos pero ustedes saben que un polinomio podría tener más de una variable, pero no se asusten que no es de eso de lo que queremos hablarles).

Se puede establecer una relación entre los valores de las variables y el valor numérico que adquiere el polinomio por ejemplo (ya lo hicimos en la propuesta de trabajo 2):

Si P(x) = 6 . x3 + 5 . x2 + 7 . x + 1

P(10)= 6571

P(2) = 83

P(7) = 2353

P(15) = 21481

Podemos construir una tabla en la que a cada valor de x le corresponde un único valor numérico de P(x):

x P(x) 10 6571 2 83 7 2553 15 214813 4 5

Completen la tabla.

Esto significa que existe una función que relaciona cada x con un único valor numérico

Si llamamos “y” a los valores numéricos del polinomio para cada x la tabla queda como habitualmente, solamente hay que considerar entre qué valores puede encontrarse el valor de x y el tipo de número que puede ser es decir el “dominio” de la función. Por ejemplo si x solamente puede tomar los valores que pusimos en la tabla, el dominio de la función sería el conjunto de números Naturales:

D = {2, 3, 4, 5, 7, 10,15}

Además el conjunto imagen está formado por los valores que puede adquirir la y, en este caso (complétenlo, sin olvidar las comas, y cierren la llave):

  56

I = {83, .......................................................

En este Módulo curso de ingreso trabajaremos con funciones lineales y cuadráticas.

  57

BLOQUE 3: Funciones - Función Lineal

Introducción: En este bloque, trabajaremos en el estudio de las funciones en general y comenzaremos a recordar, en particular, a la función lineal. Se volverán a familiarizar con conceptos como dominio, imagen, conjuntos de ceros, de positividad y negatividad, intervalos de crecimiento y decrecimiento, ordenada al origen, pendiente así como también con el análisis e interpretación de gráficos, pero no se preocupen si les parece que no se acuerdan de nada, solamente ocúpense y recuerden que no están solo en este desafío. I - Funciones Las funciones son relaciones que nos permiten describir situaciones de la vida diaria y de diversas ciencias, incluyendo a la matemática, para luego poder analizarlas e interpretarlas. En la primera parte de este bloque trabajaremos con la noción de función y estudiaremos algunas de sus propiedades a partir de sus gráficas y tablas. En la segunda parte nos ocuparemos particularmente de la función lineal.

Guía de trabajo nº1

Pongamos en práctica nuestra capacidad para interpretar gráficos Actividad 1

El gráfico muestra la evolución del peso medio de un varón y una mujer en los primeros 15 años de su vida. Analizando el gráfico respondan:

(a) ¿Cuáles son las variables se relacionan?

(b) ¿Cuál fue el peso del varón a los 5 años?

(c) ¿Cuál fue el peso de la mujer a los 10 años?

(d) ¿A qué edad el varón peso 35 kg? (e) ¿A qué edad la mujer peso 45 kg? (f) ¿Entre qué edades la mujer pesó

más que el varón? (g) ¿Aproximadamente a qué edades

ambos pesaron lo mismo?

Actividad 2

Este gráfico muestra las variaciones en el nivel normal de un lago argentino durante un año. El eje de abscisas (¿cuál será?) representa el nivel considerado normal del lago

  58

Observen el gráfico para responder:

(a) ¿En qué meses estuvo por encima de su nivel normal? (b) ¿En qué meses estuvo por debajo de su nivel normal? (c) ¿En qué mes/es mantuvo su nivel normal? (d) ¿Cuál fue la variación de nivel que tuvo en todo el año? Para calcularlo,

tengan en cuenta el pico máximo y el mínimo de altura alcanzada por el lago.

(e) Si el aumento del nivel fue producido por grandes lluvias, ¿en qué estación del año ocurrió?

(f) ¿En qué mes se produce el mayor aumento de nivel? (g) ¿En qué mes se produce la mayor disminución de nivel? (h) ¿Cuánto metros disminuyó el nivel entre abril y junio? (i) ¿Cuántos metros aumentó el nivel en febrero? (j) ¿Durante cuántos meses disminuyó el nivel? (k) ¿Durante cuántos meses aumentó el nivel? (l) ¿Durante cuántos meses se mantuvo igual el nivel?

Ahora empecemos a trabajar con funciones y sus características:

  59

En este tema se han incluido algunas “claves” teóricas en recuadros como el siguiente, es importante que las tengan en cuenta a la hora de estudiar

Por si no se acuerdan, una función es una relación entre dos variables, en la cual, a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda. Para cada valor de x debe corresponderse un único valor de y.

Actividad 3 a) Indiquen cuáles de los siguientes gráficos representan funciones.

b) Indiquen si las siguientes tablas corresponden o no a una función. Justifiquen sus

respuestas en cada caso.

a) Indiquen el dominio y la imagen de las siguientes funciones teniendo en cuenta

que el lado de la cuadrícula representa una unidad.

Dominio: es el conjunto formado por los valores que puede tomar la variable 

independiente, es decir x. 

Imagen: es el conjunto formado por los valores que puede tomar la variable 

dependiente, es decir la y.

  60

b) Observen el gráfico de la siguiente función y respondan (a) ¿Cuál es el dominio de la función? (b) ¿Cuál es la imagen? (c) ¿Cuál es la imagen de 8? (d) ¿El punto (-4;0) pertenece a la

función? (e) ¿Y el (3;2)? (f) Completen:

f(-1)=_____ f(____)=-4

f(3)=_____ f(____)=2

f(0)=_____ f(____)=8

f(-7)=____ f(____)=0

c) Escriban el dominio y la imagen de las siguientes funciones.

  61

Recuerden que: Un intervalo numérico es un conjunto de números que puede escribirse: [a,b] que indica todos los valores entre a y b incluyendo los valores de a y de b [a,b) que indica todos los valores entre a y b incluyendo el valor de a pero no el de b (a,b] que indica todos los valores entre a y b incluyendo el valor de b pero no el de

Actividad 4

Escriban los conjuntos de ceros, positividad y negatividad de las siguientes funciones:

Recuerden: Conjunto de ceros o raíces: son los valores de x para los cuales y vale 0. En el gráfico son los puntos de corte de la función con el eje x. Observen para qué valores de x la función está por debajo o por arriba del eje x. Conjunto de positividad: son los valores de x para los cuales la función es positiva. Conjunto de negatividad: son los valores de x para los cuales la función es

  62

Actividad 5

Observen el gráfico y escriban.

(a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

(b) El o los intervalos donde es constante la función.

(c) El o los puntos máximos y/o mínimos relativos.

Ayuda: Intervalo de crecimiento: son los valores de x para los cuales la función crece. Intervalo de decrecimiento: son los valores de x para los cuales la función decrece. Tienen que observar, al tomar valores cada vez más grandes de x que pasa con y , es decir si aumenta o disminuye.

II - Función Lineal

Las funciones lineales aparecen en muchas situaciones de la vida cotidiana, la economía, la física, etc.; y suelen ser el punto de partida para el estudio de otras funciones.

En esta segunda parte del bloque analizaremos juntos los conocimientos adquiridos, específicamente sobre las características principales de dichas funciones y las propiedades que tienen sus representaciones, mediante gráficos, tablas de valores y fórmulas. También aquí se han colocado algunos recuadros con datos útiles para estudiar y guiar las consultas que necesiten realizar

A trabajar entonces…

Guía de trabajo nº 2 Actividad 1

  63

Un técnico aeronáutico, en el año 1995, cobraba por cada reparación que realizaba un valor fijo de $15 y un adicional proporcional al tiempo que le insumía su trabajo, que calculaba tomando como parámetro $10 la hora.

(a) Completen la tabla y encuentren la fórmula de la función que relaciona el costo C de un trabajo y el tiempo t (en horas) que le demanda hacerlo (c(t)).

Tiempo (h)

0,5 1 1,5 2 3 4

Costo ($)

(b) Representen gráficamente la función c(t).

(c) ¿Cuál será el costo de una reparación que le requirió 5 horas de trabajo?

(d) ¿Cuántas horas trabajó en un arreglo que cobró $75?

Recordemos que: Una función f es lineal si tiene una expresión de la forma: f (x) = m x + b Donde m y b son dos números fijos y si m = 0 nuestra función sería constante e igual a b

La gráfica de una función lineal es, por supuesto, un conjunto de puntos que están sobre una recta.

Sabemos que la gráfica de una función f son los puntos (x; y) del plano cartesiano que verifican y = f(x).

Por lo tanto los puntos de la gráfica de una función lineal verifican f (x) = m x + b

Actividad 2 Decidan si cada una de las siguientes fórmulas puede corresponder o no a una función lineal:

  64

Función ¿Es función

Lineal? Función

¿Es función Lineal?

23 xy xy 312

)(: xy 54 xy 827

23 x 23xy

xy31

23 3 xy

350 xy , 23 x

Información útil:

Para obtener la pendiente `m´, es necesario utilizar la siguiente fòrmula:

 

Donde (x1;y1) y (x2;y2) son las coordenadas de dos puntos que pertenecen a la recta

Si m = 0, f es una función constante: f(x) =b Si m ≠ 0, f es una función lineal: f(x) = mx + b

El término independiente `b´ es la ordenada al origen, siendo (0;b) el punto de intersección con el eje de ordenadas.

Actividad 3 a) Completen la siguiente tabla:

Fórmula de la Función

Lineal Pendiente Ordenada al Origen

150 xxf ,)(

xxg 33.)(

..................)( xh 1 0

..................)( xh 0 1

532 xxf )(

23 ........

)(

x

xg

b) Completen la tabla de valores y representa en el plano cartesiano cada una de

las siguientes funciones lineal

  65

(a) y = x + 2 (b) y = -x +1 (c) y = 2/3x – 1

X Y -2 0 1

X Y -4 0 2

X Y -3 0 3

c) Marquen con una cruz los puntos que pertenecen a cada recta. Justifiquen sus respuestas mediante cálculos.

(a) xxf21

P = (0;3) Q= (0;0) R= (-4;2)

(b) 214 xxg P =

0

81

; Q=

911; R=

210;

Actividad 4

1) Observen la gráfica de la función f.

x

y

  66

(a) Escriban las coordenadas de tres puntos que pertenezcan a la gráfica de f.

(b) ¿Cuál o cuáles de las siguientes expresiones representa la relación entre la x y la y ?

I. 183 2 xy II. 923

xy

III. 09 6 xy IV. 169

xy

(c) ¿Cómo se podría obtener la pendiente de la recta graficada a partir de las coordenadas de dos de sus puntos?

2) Calculen la pendiente de cada una de las siguientes rectas graficadas.

y

x

y

x

(a)

(b)

  67

y

x

(c)

(d)

y

x

Guía de trabajo nº 3

Otro tema “pendiente”

  68

Actividad 1

a) En cada fila de la siguiente tabla se indican dos puntos A y B de una recta, y su pendiente m. Completen la tabla y luego representen cada recta en el plano cartesiano.

A = (x1; y1) B= (x2; y2) m

N (2;5) (-1;0)

R (-3;2) (0;-4)

Recordemos que…

Si los puntos P(x1,y1) y Q(x2,y2) dos puntos de una recta. En base a estos dospuntos conocidos de una recta, es posible determinar su ecuación.

Para ello tomemos un tercer punto R(x,y), también perteneciente a la recta.

Como P, Q y R pertenecen a la misma recta, se tiene que PQ y PR deben tener la misma pendiente. O sea

y

Luego, la ecuación de la recta que pasa por dos puntos es:

  69

T (2;4) (-3;…..) 1

Q (…..;1/2) (8;1) 3/2

S (-2;3) (2;5)

V (-8;…..) (1/2;5) 0

b) Completen teniendo en cuenta los ejercicios anteriores.

(a) Si la pendiente es un número………………….., la función es decreciente.

(b) Si la pendiente es un número…………………., la función es creciente.

(c) Si la pendiente es igual a………………………, la función es constante.

c) Usando la información que aparece en el último recuadro, encuentren la ecuación de las rectas del punto 2) de la actividad 4 de la guía de trabajo nº2 de este bloque

  70

  71

BLOQUE 4: Función Lineal II

Introducción

En este bloque les proponemos continuar con el análisis de la función lineal, estudiando su fórmula y gráfico, las posiciones relativas de dos rectas en el plano

Al principio aparece ejercitación para revisar lo trabajado anteriormente, para luego continuar con actividades que les permitirán repasar algunos otros conocimientos.

Algunos de los ejercicios que pensamos, serán un desafío para esta etapa de revisión y de volver a acercarse a la matemática. ¡Cuentan con nosotros para esto! Haremos ciertas paradas en este recorrido para recordar expresiones matemáticas que les servirán para más adelante.

Nuestra idea es que logren estudiar estas funciones relacionando su fórmula con el gráfico que le corresponde y además, que reconozcan las modificaciones que pueden tener estas funciones en su gráfico y cómo repercuten en la expresión de su fórmula.

  72

Guía de trabajo nº 1

Para una mejor interpretación de las siguientes consignas, diremos (como habitualmente se hace) que: y = mx + b es la ecuación general de una recta en la que m es la................................... y b es la ................................................................. .

Actividad 1

a) Una recta contiene a los puntos e=(-2;-4) y f=(1;5). ¿Cuál es su pendiente?

Pueden representar los puntos e y f en un sistema de ejes cartesianos para pensar tu respuesta desde el gráfico.

b) La recta H tiene pendiente 0,5.

1)¿Puede contener a los puntos (7;3) y (-5;-3)? ¿Por qué?

Ayuda:

Recuerden la fórmula que trabajamos en el bloque anterior para calcular la pendiente de una recta dados dos puntos que pertenezcan a ella.

2)Si su ordenada al origen es 2, ¿contiene al punto (4;5)? ¿Por qué?

2) La recta P tiene pendiente 2 y contiene al punto (1;1). ¿Cuál es su ordenada al origen?

3) Escriban la ecuación de la recta D que tiene pendiente -0,5 y contiene al punto (0;5). Verifiquen la respuesta gráficamente.

4) Escriban la ecuación de la recta que contiene a los puntos (-2;-3) y (4;-5). Verifiquen la respuesta gráficamente.

  73

5) Calculen la pendiente y luego hallen la ecuación de la recta que pasa por los siguientes puntos.

(a) p= (2;3) y q = (5;2) (b) p = (1/2;1/4) y q = (3/4;1/2)

(c) p = (-1;3) y q = (2;-5) (d) p = (-2/3;0) y q = (-1;4/5)

6) Representen cada una de las siguientes rectas en un sistema de ejes cartesianos, teniendo en cuenta valor de su pendiente y el de su ordenada al origen.

(a) 321

xxf

(b) xxg 1 (c) 2 xxh (d) xxi 23

Guía de trabajo nº2

A continuación, les proponemos trabajar sobre las posiciones relativas de dos rectas en el plano y la relación que existe entre esas posiciones, las fórmulas de funciones lineales y sus representaciones gráficas.

Actividad 1

Representen en un mismo sistema de ejes cartesianos las rectas que tienen las ecuaciones indicadas. Deberán hacer un gráfico para las rectas del grupo (a) y otro para las del (b).

4212

232

4

3

2

1

xy

xy

xy

xy

(a)

421

424

4

4

3

2

1

xy

xy

xy

xy

  74

(b)

i) Observen el gráfico de las rectas (a) ¿Cuáles son las posiciones relativas de las rectas y1 e y2? ¿Y cuál es para y3 e y4?

ii) Realicen el mismo análisis que hicieron con las funciones del punto anterior con las funciones del grupo (b).

iii) Comparen las ecuaciones de cada par de rectas tratando de establecer alguna relación entre su posición relativa y alguno de los valores de su fórmula.

¿Ya se acordaron? ¡Claro!

Anotemos para no olvidarnos:

Las rectas paralelas tienen.......................................................................................

En cambio las rectas perpendiculares tienen..................................................................

 

Actividad 2

En esta actividad tienen oportunidad de poner a prueba sus conocimientos

1)Encuentren rectas paralelas y rectas perpendiculares entre este grupo de funciones lineales.

4)( xxa 24)( xxb 431)( xxc 5

23)( xxd

432)( xxe xxf )( 625,0)( xxg

21

31)( xxh

  75

2)Unan los pares de rectas perpendiculares entre ambas columnas.

35,0: xyA 731: xyF

52: xyB 35: xyG

83: xyC xyA31:

751: xyD xyI 5:

32,0: xyE xyJ 2:

3)Hallen las ecuaciones de las rectas que cumplen con las condiciones pedidas en cada caso.

(a) R es paralela a 32 xy y pasa por 38; .

(b) S es paralela a 63 xy y pasa por 06; . (c) W es perpendicular a R y pasa por el origen de coordenadas.

(d) T es perpendicular a 24

3 xy y 02; .

BLOQUE 5 - Función cuadrática

Introducción

En este bloque les proponemos analizar la función cuadrática: sus elementos, fórmulas y representación en el plano cartesiano.

  76

Haremos ciertas paradas en este recorrido para recordar expresiones matemáticas que les servirán para más adelante.

Nuestra idea es que logren estudiar estas funciones relacionando su fórmula con el gráfico que le corresponde y además, que reconozcan las modificaciones que pueden tener estas funciones en su gráfico y cómo repercuten en la expresión de su fórmula.

Guía de trabajo nº 1

Función Cuadrática

“Las funciones cuadráticas permiten construir modelos de situaciones referidas a distintas áreas como la Física, la Biología, la Economía, la Astronomía, la Comunicación y la Geometría, entre otras. En la Antigüedad, los griegos, desde antes de Euclides (330 – 275 a.C.), resolvían ecuaciones cuadráticas basándose en un método geométrico donde hacían intervenir cuadrados y rectángulos. En el Siglo XVII, luego Johannes Kepler (1571 – 1630) expusiera las leyes que rigen los movimientos de los planetas, los astrónomos descubrieron que las órbitas de los planetas y comentas respondían a modelos cuadráticos.”3

Actividad 1

En el cuadrado ABCD de 10 cm de lado, que muestra la figura dibujado a escala, se marcan los puntos P, Q, R y S a 1 cm de los vértices, como lo indica la figura.

                                                            3 Ma. Beatriz Camuyrano, Gabriela Net, Mariana Aragón.  “Matemática I – Modelos matemáticos para interpretar la realidad”. 

Estrada. Buenos Aires 2005. 

 

  77

Observen que queda determinado otro cuadrado PQRS y además cuatro triángulos rectángulos en los que sus catetos miden 9 cm y 1 cm.

Si quisiéramos calcular su área, un posible planteo sería.

Área ABCD – 4. Área APS = Área PQRS

829

2.1.410.10

(a) Calculen el área del cuadrado interior si los puntos P, Q, R y S están a 2 cm de A, B, C y D, respectivamente y vuelquen su resultado en la tabla.

(b) Repitan el procedimiento para las distintas medidas que figuran en la tabla y complétenla

(c) ¿Fue necesario realizar todos los cálculos o mientras la completabas pensaste en alguna regla para calcularlos?

Distancia a

A, B, C y D

Área del cuadrado

interior

0 100

1 82

2

3

4

5

6

7

8

9

10

(d) Vuelquen la información en un sistema de ejes cartesianos para obtener un gráfico.

(e) Comparen el gráfico con los de otros compañeros. Escriban aquello que consideren distinto o parecido a lo que hicieron.

(f) A partir de las diferencias y similitudes que notaron, elaboren una conclusión grupal.

Es importante que respondan las siguientes preguntas:

i. ¿Se trata de una función lineal o es una curva?

ii. ¿Cuál es el dominio de la función?

Si pensáramos al problema más allá de la distancia podríamos preguntarnos:

  78

iii. ¿Si el dominio se extendiera al , las imágenes seguirían siendo positivas?

iv. ¿Qué ocurriría con el gráfico si el dominio se extendiera a ?

v. Realicen el gráfico considerando el dominio ( ; ).

La curva que queda representada que corresponde a la Función Cuadrática recibe el nombre de ………………..

 

(g) Si pensamos en una fórmula que permita modelizar este problema. ¿Cuáles de las siguientes fórmulas permiten calcular el área del cuadrado interior para cualquier distancia x? pueden utilizar como referencia el planteo del principio del ejercicio.

2100 xxA 100202 2 xxxE

2

.10.4100 xxxD

xxf 10.2100

24100 xxC

Formalizamos:

La fórmula general de una función cuadrática es:

cbxaxxf 2

Donde a, b y c son números reales (con la condición de que a sea distinto de

Continuaremos con el estudio de esta función usando esta fórmula general. Para ello resuelvan las siguiente actividad

Actividad 2

  79

1) Completen los siguientes cuadros distinguiendo los distintos coeficientes.

Fórmula a b C

xxxf 226)(

2580 ttth )(

Fórmula a b C

)( xg -1 0 4

)(ts 2 1 -3

2) Consideren la función 2)( x xf

(a) Calculen: )( 4f ;

31

f ; )( 7f

(b) Indiquen, si es posible, los valores de x para los cuales:

I. 100) ( xf

II. 5)( x f

III. 4 )( xf

3) Completen la siguiente tabla de valores reemplazando en la fórmula de la función los distintos valores propuestos para x y luego ubiquen esos puntos en un sistema de ejes cartesianos y únanlos para trazar una gráfica.

32)( 2 xxxf

x f(x) -3 -2 -1 0 1

A partir del gráfico que realizaron, respondan las siguientes preguntas:

(a) ¿Qué curva representa el gráfico de dicha función? (b) ¿Cuáles son las coordenadas de sus raíces? (c) ¿Pueden identificar en el gráfico un “máximo” o “mínimo”?

Escriban sus coordenadas y distínganlo en el gráfico con un color. (d) ¿Cuáles son las coordenadas de la ordenada al origen?

Distíngala en el gráfico usando un color. Para lograrlo, recuerden que en este punto el valor de x siempre es cero.

  80

Guía de trabajo nº 2

Actividad 1

Tracen el eje de simetría de la parábola del ejercicio 3) de la actividad 2 de la gía de trabajo anterior y escriban cómo debería ser la ecuación de esa recta

Información importante

Para continuar con el estudio de la Función Cuadrática necesitamos tener en cuenta las siguientes fórmulas que nos ayudarán a encontrar los elementos de la función con los que ya estuvimos trabajando.

Raíces de la parábola:

a

cabbx

2.42

2,1

Esta fórmula les permitirá hallar las coordenadas x de las raíces de la función cuadrática (es decir los puntos en los que corta al eje x). Esta fórmula ya la utilizamos antes en la guía de trabajo nº 6 del bloque 2.

Recuerden: las raíces tendrán como coordenadas: 0;1x y 0;2x

Vértice de la parábola:

a

bxv 2

Esta fórmula les permitirá calcular la coordenada x del vértice de una parábola. Para hallar la coordenada sobre el eje de ordenadas (yv) del vértice,

deberán reemplazar el valor de en la fórmula de la función cuadrática

dada. Recuerden: el vértice tendrá como coordenadas:

vx

vv yx ; .

Eje de simetría:

Es la recta que tiene por ecuación vxx .

Elementos de una parábola: Al punto que es máximo o mínimo de una función cuadrática lo denominaremos Vértice de la Parábola. Por este punto que, reiteramos, será el máximo o mínimo de la función, si trazamos una recta vertical que pase por su coordenada en x, quedará definido un eje que denominamos Eje de Simetría.

  81

Ordenada al origen:

Es el punto de intersección de la gráfica con el eje y. Decimos que es el punto que tiene como coordenadas: . ¿Qué coeficiente es c? );( c0

Concavidad:

Si el coeficiente “a” (coeficiente principal o cuadrático), es un número positivo, la parábola tiene sus ramas orientadas hacia…………………………………………………

Decimos entonces que la parábola tiene concavidad positiva.

Si la función tiene concavidad positiva, su vértice será su punto ………………………….

Si el coeficiente “a” es un número negativo, la parábola tiene sus ramas orientadas hacia ………………………

Decimos entonces que la parábola tiene concavidad negativa.

Si la función tiene concavidad negativa, su vértice será su punto ………………………...

Actividad 2

Para poner en práctica las fórmulas anteriores, resuelvan los siguientes ejercicios. Recuerden que, como ya lo destacamos, las fórmulas requieren que distingan los tres coeficientes en cada función.

1) Completen el siguiente cuadro calculando los elementos pedidos:

Función a B c Raíces Vértice Eje de

Simetría Ordenada al

Origen

22 xxf )(

142 2 xxxg )(

542 xxxh )(

2) Para cada una de las siguientes funciones:

  82

xxxf 42 )( xxxg 42 )( 122 xxxh )(

322 xxxm )( 62 xxxt )( 2

21

xxs )(

(a) Indiquen los valores de los coeficientes a, b y c. (b) Representen cada una de estas funciones en un sistema de ejes

cartesianos, calculando sus elementos: i. Raíces

ii. Vértice iii. Eje de simetría iv. Ordenada al origen

3) Tracen el gráfico aproximado de cada una de las siguientes funciones

cuadráticas. Calculen en cada caso: raíces, vértice, eje de simetría y ordenada al origen de cada una de las parábolas. ¿Se comprueba lo recuadrado respecto de la concavidad en cada una de ellas?

22 xxxf )( 2542 2 xxxg )( 12123 2 xxxh )(

xxxi27

215 2 )( 2

41

411

23

xxxj )(

Guía de trabajo nº 3

A partir de ahora, estudiaremos las distintas modificaciones que puede sufrir una parábola en su gráfico teniendo en cuenta las variaciones en su fórmula. Las actividades que siguen, requieren atención para poder distinguir estas modificaciones, aunque suponemos que las notarán ni bien se pongan a trabajar. ¡Buena suerte y buen ojo!

Actividad 1

Papel que cumple el coeficiente “a” en la función 2axy

Realicen el gráfico, en un mismo sistema de ejes cartesianos, de las siguientes funciones cuadráticas.

2xxf )( 2xxs )( 2

21

xxt )(

  83

22xxp )( 22xxk )( 2

43

xxq )(

Para representar estas funciones, pueden hacer una tabla con los mismos valores de x para las seis fórmulas, así como ésta:

X 2xxf )( 22xxp )( 2xxs )( 22xxk )( 2

21

xxt )( 2

43

xxq )(

-2

-1

0

1

2

Para sacar sus conclusiones, pueden tener en cuenta:

La función f(x) como punto de partida, y comparar con ella las demás gráficas.

¿Qué le sucedía a la parábola si ? ¿Y si 0a 0a ? (esto ya lo sabemos)

¿Cuál es el vértice en cada función? ¿Es el mismo para todas o cambia?

¿Las funciones son simétricas respecto del eje y? ¿O el eje de simetría se modifica?

A medida que el valor de “a” aumenta (sin tener en cuenta el signo del número es decir si aumenta el valor absoluto de a) ¿qué sucede con las curvas? ¿Se cierran o se abren?

A medida que el valor absoluto de “a” disminuye (sin tener en cuenta el signo del número es decir si aumenta el valor absoluto de a) ¿qué sucede con las curvas? ¿Se cierran o se abren?

Creemos que las respuestas a estos interrogantes les permitirán escribir algunas conclusiones, adelante:

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….......

Actividad 2

Gráficas de funciones cuadráticas de la forma . caxy 2

  84

En este tipo de fórmulas no está el término lineal (bx) (recuerden que cuando ocurre

esto, es porque 0b ).

Realicen el gráfico en un mismo sistema de ejes cartesianos de las siguientes funciones cuadráticas. Posteriormente volveremos a pedirles que elaboren conclusiones.

2xxf )( 22 xxg )( 12 xxh )( 42 xxi )(

Para representar estas funciones, pueden hacer una tabla con los mismos valores de x para las cuatro fórmulas, así como ésta:

x 2xxf )( 22 xxg )(

12 xxh )( 42 xxi )(

-2

-1

0

1

2

Para sacar sus conclusiones, pueden tener en cuenta:

La función f(x) como punto de partida, y comparar con ella las demás gráficas.

¿Cuál es el vértice en cada función? ¿Es el mismo para todas o cambia?

¿Las funciones son simétricas respecto del eje y? ¿O el eje de simetría se modifica?

¿En qué sentido fue el desplazamiento? ¿Vertical u horizontal?

¿En cuántas unidades se desplazó?

Si , ¿hacia dónde se desplaza? 0c

Si , ¿hacia dónde se desplaza? 0c

Creemos que las respuestas a estos interrogantes les permitirán escribir su próxima conclusión, adelante:

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….......

Actividad 3

  85

Gráficas de funciones de la forma 2xay .

Aquí la letra griega representa un número real cualquiera, lo expresamos con una letra griega para que no lo confundan con alguno de los coeficientes.

Realicen, en un mismo sistema de ejes cartesianos, el gráfico de las siguientes funciones cuadráticas.

2xxf )( 22 xxg )( 21 xxh )( 22 xxi )(

Antes de continuar con la actividad propuesta, deberíamos preguntarnos si la fórmula

22 xxg )( corresponde a una función cuadrática, porque es algo distinta a las

que veníamos trabajando.

Si pensamos que es 2x2x2x 2 por definición de potencia, y

aplicamos la propiedad distributiva, resulta 4x4x2x2x 2 2x 2 , y

como esta última expresión es de la forma xf cbxax 2 , podemos afirmar que

la función g(x) es una función cuadrática.

Ahora que vimos que se trata de funciones cuadráticas, seguimos pensando.

Para representar estas funciones, pueden hacer otra tabla con los mismos valores de x para las cuatro fórmulas, así como ésta:

x 2xxf )( 22 xxg )( 21 xxh )( 22 xxi )(

-3

-2

-1

0

1

2

3

  86

Para sacar sus conclusiones, pueden tener en cuenta:

La función f(x) como punto de partida, y comparar con ella las demás gráficas.

¿Cuál es el vértice en cada función? ¿Es el mismo para todas o cambia?

¿Las funciones son simétricas respecto del eje y? ¿O el eje de simetría se modifica?

Si el vértice y el eje de simetría se modificaron, ¿qué fue lo que sucedió en cada caso?

¿En qué sentido fue el desplazamiento? ¿Vertical u horizontal?

¿En cuántas unidades se desplazó?

Si , ¿hacia dónde se desplaza? 0

Si , ¿hacia dónde se desplaza? 0

Creemos que las respuestas a estos interrogantes les permitirán escribir su próxima conclusión, adelante:

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….......

Guía de trabajo nº 4

Distintas maneras de escribir la ecuación de una función cuadrática

Ahora que repasado las funciones cuadráticas les contamos que una misma función se puede expresar de distintas maneras:

Ecuación Polinómica cbx axxf 2

Ecuación Canónica, si conocemos el vértice y el coeficiente principal:

vx yxxaxf 2

Ecuación Factorizada, si conocemos las raíces y el coeficiente principal:

21. xxxxaxf

  87

Para pasar de la fórmula canónica y/o factorizada a la polinómica debemos aplicar la propiedad distributiva. No se olviden de tener cuidado con los signos cuando distribuyan.

Pero si tienen que pasar de la expresión polinómica a, por ejemplo, la canónica, es otra la tarea: aquí debemos buscar las coordenadas del vértice. ¡Por suerte contamos con una fórmula para hacerlo! Y ya lo practicamos, ¿se acuerdan? Y el coeficiente principal, o sea “a” siempre estará expresado en la fórmula que nos dan, así que sólo queda copiarlo.

Si la propuesta es pasar de la expresión polinómica a la fórmula factorizada, calculemos las raíces de la parábola (sí, ¡también practicamos la fórmula!) y no nos olvidemos de copiar el coeficiente principal.

Actividad 1

1) Expresen cada una de las siguientes funciones en la forma que se pide:

(a) 34 , en la forma canónica. 2 xxxf )(

(b) 3x , en la forma polinómica. 221

xxf )(

(c) 232 2 xxf )( , en la forma polinómica.

(d) 32 , en la forma factorizada. 2 xxxf )(

2) Indiquen de qué manera esta expresada cada una de las siguientes funciones. Realicen un gráfico aproximado de cada una de ellas sin construir tabla de valores.

a) 2321 2 xy

b)

2132 xxy

c) c) 25

41

xxy

3) Escriban las siguientes funciones cuadráticas en la forma más conveniente de acuerdo con los datos y luego hallen las expresiones polinómicas de cada una.

(a) El vértice es (-3;-2) y el coeficiente principal es -2. (b) Las raíces son -4 y 2, el coeficiente principal es -1.

  88

(c) El vértice es (-3;-2) y pasa por el punto (0;1)

(d) Corta al eje x en (-1;0) y (4;0) y pasa por el punto

654;

4) Sabiendo que las gráficas corresponden a una función cuadrática,

relacionen cada gráfico con su fórmula.

)2)(5()( xxxf 31 2 xxg 41 xxxh 23 xxi

x

y

x

y

x

y

x

y(a) (b)

(c) (d)

Guía de trabajo n° 5 

En esta guía vamos a resolver algunos problemas usando funciones cuadráticas. En primer lugar les proponemos que traten de seguir la resolución del primero y luego (en la Guía de trabajo nº 6) traten de resolver otros usando las indicaciones que allí proponemos. El 4º problema va a permitirnos avanzar en el trabajo con funciones polinómicas, es lo que vamos a intentar en la Guía de trabajo nº 7.

Antes de comenzar será de mucha utilidad tener a mano éste cuadro que sintetiza las fórmulas de puntos característicos de la parábola que ya hemos repasado:

  89

Fórmulas útiles

FORMA FÓRMULA VÉRTICE(

GRAL ; ) RAÍCES ˄

Polinómica Y= a.x²+b.x+c

= ;

=

a. ²+b. +c

, =

Factorizada

Y=a.(x- ).(x-

)

=

a. ²+b. +c

Canónica Y= a. (x-)²+

; ) , =± +

Actividad 1 

Problema 1

La altura h, a la que se encuentra a cada instante, t, un proyectil que lanzamos

lcanza la altura es?

Resolución comentada

Lo primero que pide el problema es construir el gráfico de h(t), para eso (t)). Una

o,

El gráfico que obtendrán será parecido al siguiente (es posible que en el gráfico que

verticalmente con una velocidad de 500 m/s, es 25500)( ttth . Representen

gráficamente h(t). ¿En qué instante el proyectil a máxima? ¿Cuál¿En qué intervalo de tiempo el proyectil está a una altura superior a los 4500 metros?

consideramos en el eje “x” la variable t (el tiempo) y en el eje “y” la altura (hvez elegida una escala conveniente podemos construir el gráfico usando, por ejempluna tabla de valores. Construyan el gráfico y compárenlo con el esquemático que aparece aquí (el de ustedes contendrá otros datos)

construyeron no aparezcan algunos de los puntos que se representan en éste o que aparezcan otros que en este no están marcados):

  90

Observen que solamente hemos representado la parte de la parábola que modeliza matemáticamente la situación del problema ¿qué queremos decir? Que no podemos considerar alturas negativas ni tiempos negativos porque, para este problema, carecen de sentido.

Mirando el gráfico nos percatamos de que hay 2 puntos (el A y el B) en los que la altura es cero. El punto A representa el momento en el que el proyectil es lanzado, allí se comienza a medir el tiempo es decir el tiempo vale cero (t = 0).

El punto B representa el momento en el que el proyectil, después de subir y bajar, llega otra vez a la altura cero (h(t) = 0), esto ocurre en t = 100 es decir 100 segundos después de ser lanzado hacia arriba.

Los puntos A y B son las raíces de la parábola.

El punto C es el vértice de la parábola y sus coordenadas representan la altura máxima alcanzada por el proyectil y el instante en el que la alcanza.

Para calcular esas coordenadas podemos consultar el Módulo Curso de Ingreso 2013:

Recuerden que en este caso en vez de “x” la coordenada se llama “t”

a

btv 2

Recuerden también que , b y c son los coeficientes de la cuadrática (Módulo Curso de Ingreso 2013)

a

)5.(2500

vt

50vt

Luego la coordenada “y” en este caso se llama h(t) y para calcularla reemplazamos en la fórmula de la función:

2)(5.500)( vvv ttth

2)50(550.500)50( h

12500)50( h

Es decir: a los 50s el proyectil alcanza la altura máxima de 12500m

Falta contestar en qué intervalo el proyectil se encuentra a una altura mayor que 4500m

El método para lograrlo es calcular en qué instantes se encuentra a 4500m y luego construir el intervalo adecuadamente. Para calcular esos instantes se debe resolver la siguiente ecuación:

  91

255004500 tt

¿Por qué?

Como ya cuentan con práctica para resolver este tipo de ecuaciones les proponemos que la resuelvan (para eso pueden consultar el Módulo Curso de Ingreso 2013). Les sugerimos que dediquen algo de tiempo a resolverla y luego comparen sus resultados con los que aparecen aquí.

Las soluciones son y 101 t 902 t

Si miramos el gráfico que aparece en esta guía los puntos D y E limitan una parte superior de la parábola. Esa parte de la parábola representa la parte del movimiento del proyectil en la que el mismo se encuentra a 4500m o más de altura.

Las coordenadas t de esos puntos son t = 10 y t = 90 respectivamente.

Es decir si queremos escribir un intervalo de tiempo en el que el proyectil se encuentra a más de 4500m tendremos que excluir esos puntos:

I = (10, 90)

Recuerden que los paréntesis significan que 10 y 90 no pertenecen al intervalo I

Finalmente, sólo falta escribir la respuesta:

Respuesta (completen lo que falta en las líneas de puntos):

El proyectil alcanza su altura máxima a los........ segundos de ser lanzado.

La altura máxima que alcanza el proyectil es de............. metros.

El proyectil se encuentra a más de 4500m en el intervalo............. de tiempo.

Guía de trabajo n° 6 

Actividad 1 

Problema 2 Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba desde lo alto de un edificio. La altura

que alcanza viene dada por la fórmula (t en segundos y h en metros). ¿En qué instante alcanza la altura máxima? ¿Cuál es dicha altura? ¿Cuál es la altura del edificio?

2166480)( ttth

Resuelvan este problema

Ayuda:

  92

‐ Cuando se lanza la pelota se comienza a medir el tiempo es decir t=0 En ese momento la pelota (y quien la lanza) se encuentra a la altura del edificio. Por lo tanto si reemplazamos t por cero en la fórmula de h(t) conoceremos la altura del edificio.

‐ Para calcular la altura máxima y el instante en el que se alcanza, se procede como en el problema anterior.

Respuesta:

El edificio mide 80m de altura

La pelota alcanza su altura máxima la alcanza a los 2 segundos de lanzarla y la misma es de 144 metros (medidos desde el suelo).

Actividad 2

Problema 3

En una isla se introduce una cantidad de abejas el 1 de marzo. La siguiente función permite calcular la cantidad de abejas que hay en la isla x días después del 1 de marzo.

80205)( xxxc I. ¿Qué día la población de abejas es mayor?

II. ¿Cuál es la mayor cantidad de abejas que llega a haber en la isla? III. ¿Cuántas abejas habrá en la isla el 5 de abril? IV. ¿Cuándo se extinguen las abejas?

Reflexiones:

Para resolver este problema conviene realizar un gráfico esquemático que nos permita modelizar matemáticamente la situación y analizarla.

En el eje x representamos la cantidad de días y en el eje y la cantidad de abejas (c(x)):

El hecho de que la función esté en forma factorizada nos informa cuáles son las raíces de la parábola que la representa (¿cuáles son?) . Aquí las raíces están representadas por los puntos A y B.

La parte punteada de la parábola debemos descartarla para este problema, ya que en esa parte la cantidad de días es negativa, lo que obviamente no tiene sentido.

Por lo tanto el día cero (en el que se introducen las abejas), la cantidad de abejas que se introducen está modelizada por la coordenada “y” del punto E.

  93

Como siempre el vértice (punto C) marca el máximo que alcanza la población de abejas.

El punto B (raiz de la parábola) marca el punto en el que la población es cero, es decir, cuando la colonia se extingue.

Para calcular la cantidad de abejas el 5 de abril será necesario calcular primero los días transcurridos desde el 1º de marzo y luego reemplazar en la fórmula de c(x).

Intenten resolver el problema atendiendo a estas reflexiones.

Guia de trabajo nº 7 

Problema 4

Si el precio p de un artículo depende de la cantidad considerada según la función: xxp 5,015)(

El costo c de x artículos está dado por la función: xxc 2,05

I. ¿Cuál debe ser la cantidad vendida para que el ingreso sea máximo? (ingreso = precio . cantidad)

II. ¿Cuál debe ser la cantidad vendida para que el beneficio sea máximo? (beneficio = ingreso-costo)

Dice el enunciado que para calcular el ingreso hay que multiplicar:

Ingreso = precio . cantidad

El precio de cada artículo depende de la cantidad “x” de artículos según P(x) es decir:

I(x)= P(x) . x

Donde I(x) es el ingreso, P(x) es elprecio y x es la cantidad. Reemplazando:

I(x) = (15 – 0,5x) . x

Esta multiplicación es una multiplicación de dos polinomios: P(x) y x que es un polinomio que solamente tiene un término (un monomio) que es Q(x)=x. Es decir I(x)= P(x) . Q(x)

Ya sabemos que esta multiplicación se resuelve usando la propiedad distributiva. Así que podemos decir que :

La multiplicación de polinomios se puede realizar usando la propiedad distributiva

Luego:

I(x)= 15x – 0,5x2

  94

Se trata de una función cuadrática. Como siempre y debido a que el coeficiente principal es negativo, el ingreso máximo está representado por el vértice de la parábola:

a

bxv 2

)5,0.(215

vx

15vx

Ahora, si queremos calcular el ingreso para esa cantidad de productos reemplazamos en la fórmula de I(x):

I(15) = 15 . 15 – 0,5 . (15)2

I(15) = 112,5

Para calcular el beneficio debemos restar:

Beneficio = Ingreso – costo

b(x) = I(x) – c (x)

b(x) = (15x-0,5x2) – (5+0,2x)

b(x)= 15x-0,5 x2 -5 -0,2 x

b(x) = -0,5x2 + 14,8 x – 5

Calculamos la cantidad para que el beneficio sea máximo es decir calculamos la coordenada xv

a

bxv 2

)5,0.(28,14

vx

8,14vx

En este caso el cálculo no arroja un número entero, por lo que vamos a tener que decidir si conviene que la cantidad vendida sea 14 ó 15 artículos para que el beneficio sea “mejor”.

Evidentemente conviene que la cantidad sea 15 ¿por qué?

Respuesta:

La cantidad vendida para que el ingreso sea máximo es 15 artículos

  95

Para que el beneficio sea “el mejor” también es 15 artículos.

 

 

BLOQUE 6 - Trigonometría

Guía de trabajo nº 1

Antes de empezar recuerden que dos triángulos semejantes tienen sus ángulos congruentes y sus lados proporcionales

Actividad 1:

Resuelvan el siguiente problema.

En cierta ocasión Nepomuceno vio un barco acercarse a la costa, y sabiendo que estaba ocupado por piratas, deseaba asegurarse sobre la posibilidad o no de que los cañones alcanzaran las casas de su pueblo. Conocía el alcance de las bombas pero no tenía seguridad de estar fuera del mismo. ¿Qué hacer? Podía sentarse y esperar los primeros disparos con riesgo de catástrofe, podía tranquilizarse si hallaba la distancia segura, o podría en todo caso tener la certeza de un peligro y por lo tanto avisar a los vecinos para salir huyendo tierra adentro.

Puso manos a la obra y, con sus pocos conocimientos de matemática básica, comenzó a realizar los cálculos pertinentes. Para ello clavo una estaca en el punto A desde el cual se veía el barco perpendicular a la costa. A 15 metros, sobre la línea de la costa (perpendicular a la anterior) coloco otra estaca en un punto B y otra más en un punto E a 5 metros de B. A partir de la estaca E, trazo en la arena la perpendicular a la costa y fue corriendo a lo largo de ella la estaca D hasta verla alineada con la estaca B

y el barco. Con ayuda de un astrolabio midió el ángulo que se formaba con las

estacas A, B y el barco C (76°) y descubrió que es igual al ¿por qué?

ABC

EBD

De esta manera obtuvo dos triángulos, y

ABC

BED , semejantes por ser triángulos rectángulos y tener un ángulo agudo igual. Basándose en la semejanza y en el Teorema de Thales escribió la proporción correspondiente con la cual obtuvo la distancia en función de tres medidas conocidas. Pero cuando todavía estaba haciendo los cálculos, empezaron a caer las primeras bombas…

  96

º76ˆ

20

5

15

B

mED

mBE

mAB

Reconstruyan la figura de análisis con el procedimiento indicado por Nepomuceno y calculen la distancia del barco a la costa estableciendo las proporciones correspondientes.

Actividad 2:

En el problema anterior, al quedar determinados triángulos semejantes, calculamos los elementos faltantes por medio de proporciones entre los lados correspondientes.

¿Cómo se podrá calcular la distancia teniendo en cuenta el ángulo

B ?

Para intentarlo, respondan las siguientes cuestiones:

a) Según sus ángulos, ¿qué tipo de triángulos son los anteriores?

b) En los triángulos del problema se pueden formar varias razones iguales.

Calculen, por ejemplo:

AC

AB

DE

EB

c) ¿Cómo son las razones anteriores? ¿Ocurrirá lo mismo con un tercer triángulo semejante a los anteriores? Constrúyanlo y verifiquen

d) ¿Qué ocurre con esas razones si cambia el ángulo de referencia?

Las razones anteriores relacionan el cateto opuesto y el cateto adyacente (considerando un ángulo como referencia) de un triángulo rectángulo. En todo triángulo rectángulo, la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente (respecto

de uno de los ángulos) se denomina tangente del ángulo y se simboliza tg .

cateto opuestotg

cateto adyacente

Actividad 3

  97

¿Qué otras razones se pueden formar entre los lados del triangulo? Busquen aquellas razones que son iguales en ambos triángulos.

..........................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

..........................................................................................................................................

Conclusiones:

A partir de las actividades anteriores pudieron hallar una serie de razones entre los lados de un triángulo rectángulo que, en los triángulos semejantes, son iguales porque dependen de un de los ángulos tomado como referencia.

Estas son las razones trigonométricas.

Razón trigonométrica Se calcula… En símbolos…

Tangente

cateto opuestotg

cateto adyacente

. .. .

C Otg

C A

Seno

cateto opuestosen

hipotenusa

. .C Osen

H

Coseno

cos cateto adyacente

hipotenusa

. .cos C A

H

Cotangente

cotg

cateto adyacente

cateto opuesto

. .cotg. .

C A

C O

O bien

1cotg

tg

  98

Secante

sec

hipotenusa

cateto adyacente

sec. .H

C A

O bien

1sec

cos

Cosecante

cosec

hipotenusa

cateto opuesto

cosec. .H

C O

O bien

1cosec

sen

Estas razones se denominan Razones Trigonométricas porque relacionan un ángulo con los lados del triangulo rectángulo. Como estas razones dependen del ángulo son funciones del mismo.

Actividad 4:

Para realizar esta actividad deberán trabajar junto con el profesor para repasar, no solamente el cálculo trigonométrico, sino el uso de la calculadora científica.

Supongamos que, como en el problema anterior, conocemos alguna de estas tres relaciones: seno, coseno y tangente. ¿Cómo podemos averiguar cuánto vale el ángulo usando la calculadora científica?

(Observación importante: vamos a calcular el ángulo en el sistema sexagesimal que es el que mejor conocen, por eso debemos tener la calculadora configurada en DEG).

Actividad 5:

Si Nepomuceno hubiese tenido conocimiento de las razones trigonométricas habría hallado la solución más rápidamente, y con menos susto. ¿Cómo lo hubiese hecho?

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

  99

Ejercicios

1. Usando la calculadora determinen en forma aproximada:

a) tg 40º = e) Sen 40º = 

f) Sen 80º =  

g) Sen 0º =  

i) Cos 40º =  

j) Cos 80º =  

k) Cos 0º =  

b) tg 80º =

c) tg 0º =

d) tg 90º =

2. Respondan:

Al duplicar el valor del ángulo, ¿las razones trigonométricas se duplican? Justifiquen la respuesta

3. Averigüen la medida de cada ángulos sabiendo que (los valores son aproximados):

a) sen β = 0,1736

b) sen δ = 0,4226

c) cos α = 0,6425

d) cos γ = 0,2419

4. Resuelvan realizando una figura de análisis.

a) Una torre de tensión, de 3 metros de altura, está sujeta por un cable que forma un ángulo de 45° con el piso, ¿cuál es la longitud del cable? ¿A qué distancia se encuentra el cable de la base de la torre?

b) Calculen el ángulo que forma la diagonal con el lado más largo de un rectángulo de 66cm de perímetro sabiendo que el lado menor es 9cm más corto que el mayor.

c) Cuál es el ángulo con el que llegan a la tierra los rayos del sol en el momento en el que un monumento de 12m de altura produce una sombra de 17m de largo.

  100

d) ¿Es cierto que si α y β son ángulos complementarios senα = cosβ y cosα = senβ? ¿por qué?

e) Indiquen si la siguiente afirmación es verdadera o falsa, justificando la respuesta:

“Si α + β = 90º, entonces tg α = cotgβ?

Escriban la afirmación en forma coloquial.

f) Construyan una afirmación verdadera que involucre ángulos complementarios, secante y cosecante.

g) Muestren que:

sen2 α +cos2 α = 1

Usando el teorema de Pitágoras y razones trigonométricas

(Ayuda: planteen el teorema de Pitágoras usando la figura de análisis y dividan cada miembro de la igualdad por la hipotenusa)

Guía de trabajo nº 2

Hasta ahora trabajamos con ángulos de 0º a 90º y medidos en sistema sexagesimal, a partir de esta guía vamos a trabajar con ángulos de 0º a 360º y medidos también en el llamado sistema radial.

  101

Ángulos en sistema radial

Hasta ahora la medida de los ángulos ha sido expresada en grados.

El sistema en el que están expresados estos ángulos es el sexagesimal.

Es el sistema que se ha venido usando desde la escuela primaria en el que:

1 giro __________________ 360º

1º __________________ 60´

1´ __________________ 60´´

Además de este sistema existe otro muy usado que es el sistema radial.

Su unidad es el radián.

Un radián (se expresa 1r ) es el ángulo que abarca en una circunferencia, un arco de la misma longitud que el radio.

Es de notar que no importa cuál sea el radio de la circunferencia, el arco de la medida de su radio abarca siempre el mismo ángulo ¿por qué será?

De la escuela primaria podemos recordar que en la longitud de la circunferencia su diámetro cabe tres veces y un poquito.

Ese tres y un poquito (que la maestra medía con un hilo alrededor de, por ejemplo, un disco) es en realidad un número muy conocido:

= 3, 1416...

Se trata de un número “irracional”, los puntos suspensivos después del 6 decimal indican que el número continúa indefinidamente. Lo especial de las cifras

decimales de es que no siguen ninguna secuencia, es decir es un número decimal infinitamente no periódico y por lo tanto no se lo puede escribir como fracción, por eso decimos que es irracional

Volviendo al asunto de la medición de ángulos, decimos que si el diámetro cabe

veces en la circunferencia, el radio (que es la mitad del diámetro) debe caber 2 veces.

  102

Es decir

Un giro equivale a 2r

¿Por qué?

.....................................................................................................................................

.............

Es decir, el radio “siempre” cabe 2 veces en la circunferencia, por lo tanto el arco de su medida abarca “siempre” un radiàn.

Actividad 1

Completen la siguiente tabla usando fracciones de r cuando sea necesario expresar la medida en sistema radial:

Forma coloquial Sistema sexagesimal Sistema radial

Un llano 180º πr

45º

r

6

π

Un recto

150º

r

4

3π

240º

r

2

3π

Un giro

Actividad 2

Supongamos que se quiere expresar la medida de un ángulo de 47º en sistema radial

¿Cuáles serían los pasos a seguir para lograrlo? (Ayuda: la proporcionalidad es la clave)

  103

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

..........

Supongamos que se quiere expresar la medida de un ángulo de r

85

en sistema

sexagesimal

¿Cuáles serían los pasos a seguir para lograrlo? (Ayuda: la proporcionalidad es la clave)

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

..........

En el camino se obtiene, para este cálculo, 112,5º. A esto se lo llama expresión decimal del ángulo.

¿Qué significa 112,5º?

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

....

Entonces para expresar en sistema radial la medida de un ángulo dado en sistema sexagesimal, conviene expresarlo previamente, si es necesario, en forma decimal.

Actividad 3

Expresen en grados, minutos y segundos la medida de 1r (un radián)

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

......

Ejercicios

1. Completen la siguiente tabla (aproximen cuando sea necesario)

Decimal Sexagesimal Radial

  104

223,75 º

132º 15´30´´

r

65

120º30´30´´

r

8

127,25º

2. Completen la siguiente tabla

Ángulo Complementario Suplementario

67º30´42´´

r

12

165,75º

3. Calculen el valor de los ángulos α, β, θ y ω expresándolos en fracción de r

a)

  105

Datos:

= ̂r

12

b)

Datos:

6ˆˆ

c)

Datos:

r

67

4.

Datos:

A//B y C//D

r32ˆ

Calcular ̂ . Justificar la respuesta

Guía de trabajo nº 3

  106

El sistema radial permite expresar los ángulos como números reales. ¿Qué quiere decir esto?

Que hemos establecido una correspondencia entre los ángulos y números reales (entre los que π es sobresaliente) mediante la aplicación de la proporcionalidad. Así cada ángulo es representado por un número.

Esta forma de considerar los ángulos es ventajosa, en especial a la hora de construir gráficos cartesianos.

Considerando los ángulos como giros, podemos pensar en giros de más de 2π (360º) que representa una vuelta completa, por ejemplo una vuelta y media (3π) o dos

vueltas y cuarto (4

9)

Actividad 1

Con tantas vueltas es posible marearse, por eso vamos a reflexionar con esta actividad.

Evidentemente si consideramos los ángulos como estamos acostumbrados:

Un ángulo es una porción del plano limitada por dos semirrectas con el mismo origen. El origen de esas semirrectas se llama vértice del ángulo y las semirrectas son sus lados. Para indicar cuál es el ángulo al que se hace referencia se lo marca con un arco en la figura.

Lado 1

Lado 2

Considerando que el lado 2 gira alrededor del vértice en sentido antihorario partiendo del lado 1 diremos que los ángulos que va barriendo son positivos, en cambio si lo hace en sentido horario diremos que son negativos ¿por qué no es al revés? Se trata de una convención que tiene que ver con el uso de la Matemática como auxiliar de otras ciencias, por lo tanto debemos aceptarla.

Por lo tanto, a partir de ahora vamos a considerar ángulos positivos y negativos, como ahora representamos los ángulos por medio de números reales, no habrá problemas para hacerlo:

Ángulos positivos -> números positivos

Ángulos negativos -> números negativos

  107

Como vemos ya empiezan a aparecer las ventajas de las que hablamos antes.

En la figura tendremos que hacer una modificación: para indicar el ángulo vamos a tener que poner en el arco que lo indica una flecha en uno de sus extremos para indicar para qué lado se está considerando el giro:

Mirando “con cariño” la figura nos damos cuenta que si giramos el ángulo positivo o el negativo, los lados de los ángulos quedan en la misma posición. Esta consecuencia geométrica va ser útil en lo que trataremos más adelante.

Para terminar esta actividad subrayen lo que resulta sobresaliente en el texto para poder releerlo cuando sea necesario.

Actividad 2

Vamos a dibujar el gráfico de la llamada “circunferencia trigonométrica”:

‐ Tracen un sistema de ejes cartesianos

‐ Utilicen una escala de 1 unidad = 2cm para graduar los ejes.

‐ Tracen una circunferencia con centro en O= (0;0) y radio 1

A esta circunferencia se la llama Circunferencia Trigonométrica

Escriban las características de la circunferencia trigonométrica:

...........................................................................................................................................

..........

Vamos a marcar el ángulo α=6

con vértice en el centro de la circunferencia y uno de

sus lados coincidente con el semieje positivo de x. El otro lado del ángulo corta a la circunferencia trigonométrica en el punto “A” de coordenadas (X ;Y).

En la parte interior a la circunferencia trigonométrica queda determinado el triángulo

OXA

¿Qué tipo de triángulo es

?....................................................................................................

OXA

En ese triángulo podemos expresar

  108

senα= OA

AX

Pero OA es el radio de la circunferencia, es decir OA = 1, con lo que se obtiene:

senα= AX

Del mismo modo, en la circunferencia trigonométrica

cosα=OX

Pero como los lados del ángulo β =6

5 trazado del mismo modo, coinciden con los

de α, resulta que:

senα = sen β

También coincide el senα con el seno de 6

7 ¿por qué?

Quiere decir que hay varios ángulos para los que coinciden los valores de seno, coseno, tangente, secante, cosecante y cotangente.

Actividad 3

Determinen, usando la circunferencia trigonométrica, por lo menos cuatro ángulos para los que coincida el seno, es decir que el segmento que lo representa mida lo mismo

Actividad 4

Decidan si todos los ángulos que tienen el mismo seno, tienen el mismo coseno. Justifiquen la respuesta

Actividad 5

Encuentren cuatro ángulos cuyo coseno coincida con el cos )3

π(

  109

Anexo

Trabajo Práctico nº 1

Ejercicios

1) Decir si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios o no explicando por qué.

a)

b)

c)

d)

e) f) 4.x-1 + 3

g) 2x + 3x2 –

h) 2x + 3x2 –

i) 3x – 2(x + 4)2

j) (3x – 4). + 4

2) Determinar grado y coeficiente principal de los siguientes polinomios, ordenarlos según las potencias decrecientes.

a) 4x3 – 1 + 3x2

b) x5 + x6

c) –2x + 3x3 – x2

d) + este es un poquito más difícil hay que usar la propiedad distributiva de la división

Trabajo Práctico nº 2

7) Dados los polinomios:

P(x) = x4 − 2x2 − 6x − 1

Q(x) = x3 − 6x2 + 4

R(x) = 2x4 − 2 x − 2

  110

Calcular:

a) P(x) + Q(x) − R(x) =

b) P(x) + 2 Q(x) − R(x) =

c) Q(x) + R(x) − P(x) =

Respuestas

Como ya se ha revisado bastante el procedimiento, incluimos solamente los resultados finales. De esta forma tendrán oportunidad de trabajar solos y comparar los procedimientos usados por cada uno de los integrantes del grupo que llegaron a los resultados correctos.

Si alguien del grupo no llegó a los resultados correctos se presenta la oportunidad de realizar nuevos aprendizajes: para nada se deberá borrar lo producido y copiar otro que parezca correcto, la forma conveniente de proceder es revisar esa producción entre todos para tratar de encontrar algún error y corregirlo.

a) P(x) + Q(x) − R(x) = −x4 + x3 − 8x2 − 4x + 5 b) P(x) + 2 Q(x) − R(x) = −x4 + 2x3− 14x2 − 4x + 9 c) Q(x) + R(x) − P(x)= x4 + x3 − 4x2 + 4x + 3

8) Usando el ingenio

d) Sabiendo que

P(x) + R(x) = 10x + x y 2 R(x) = 6x2 + x + 1

Calcular P(x)

e) Sabiendo que

P(x) − U (x) = 3x – 3 y que 2 U(x) = x2 + 2

Calcular P(6)

Trabajo Práctico nº 3

Resolver las siguientes ecuaciones:

a) 3x-9= 1 b) 14- 4x= 3

c) x2 - 1 = 45

d) x - x2 = -2 e) 2x+x2 = 0

  111

Respuestas

a) x = 3

10

b) x = 4

11

c) x = 23

y x = 23

d) x= -1 y x = 2 e) x=0 y x = -2

Trabajo Práctico nº 4

Resuelvan los siguientes problemas utilizando ecuaciones u otras estrategias.

1) El papá y la mamá de Juan trabajan. La mamá gana $ 2850 pero le descuentan $ 400. El papa gana $ 3200 y le descuentan $ 500. Si los gastos mensuales familiares suman $ 3900. ¿Cuánto pueden ahorrar?

Respuesta

Pueden ahorrar $1250

2) Un edificio tiene 17 pisos, planta baja y 2 subsuelos. Un ascensor está en el segundo piso, sube 8 pisos, desciende 11 pisos, vuelve a subir 5 pisos, desciende 6, sube 7 y baja 2 ¿En cuál está en este momento?

Respuesta

Está en el tercer piso

3) En un aeropuerto, se acepta despachar un máximo de 30 Kg. por pasajero sin pagar exceso de equipaje. Una señora llevaba 12 Kg. de ropa, 2 Kg. de perfumes, 3 Kg. de zapatos, 3 Kg. de peso en libros y folletos. Además, llevaba 4 regalos de igual peso y cada uno pesaba una cantidad entera de Kg. ¿Cuál era el peso posible de cada regalo si la valija vacía pesaba 2 Kg. y no pagó exceso de equipaje?

Respuesta

Cada regalo tiene un peso posible de 1 ó 2 kg

4) Carlos reparte caramelos entre sus tres hijos, al mayor le da la tercera parte, al del medio la cuarta parte y al menor dos quintas partes. Luego del reparto le sobran dos caramelos ¿cuántos caramelos tenía Carlos para repartir?

Respuesta

  112

Carlos tenía 120 caramelos para repartir

5) Si una persona por día emplea la cuarta parte de lo que gana en alimentos, dos tercios de lo que le queda en otros gastos y ahorra $ 34,30 ¿Cuánto gana por día?

Respuesta

Gana $137,20 por día

Trabajo Práctico nº 5

Ahora ejercitemos lo repasado:

f) Grafiquen una función que cumpla con las siguientes condiciones.

Crecimiento: Es constante:

(¿se acuerdan lo que significa ^?) Máximo:

g) Observen el gráfico y respondan.

(b) ¿Cuáles son las raíces? (c) ¿Cuál es la imagen de -5? (d) ¿Y cuál la de 0? (e) ¿Para qué valor de x la imagen

es 4? (preimagen de 4) (f) ¿Cuál es la preimagen de -3? (g) ¿Para qué valores de x la función

vale 3? (h) Den tres valores de x con la

misma imagen.

h) Marquen sobre el eje X. Con rojo: los intervalos de positividad Con verde: los intervalos de negatividad Con azul: el conjunto de ceros o raíces.

  113

i) Realicen el gráfico de una función que cumpla con las condiciones pedidas en cada caso. (*a)

j) Observen el gráfico y escriban.

(a) Los conjuntos de ceros, positividad y negatividad.

(b) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

(c) El o los intervalos donde es constante. (d) El o los puntos máximos y/o mínimos

relativos.

Trabajo práctico nº6 1) La recta M contiene a los puntos 10

  114

︶︵f y 22 ︶︵f .

(a) Encuentren la ecuación de la recta M. (b) Encuentren la ecuación de una recta R que sea paralela a M y que pase por el

punto 01; . (c) Hallen la fórmula de una recta D que sea perpendicular a M y que tenga la

misma ordenada al origen que R. (d) Encuentren la ecuación de la recta H paralela a D y que 00 ︶︵f . (e) Grafiquen las rectas M, R, D y H en un mismo plano cartesiano.

2) Dadas las siguientes funciones:

23

2

2

33

4

xxr

xxp

xxg

xxf

︶︵︶︵

︶︵︶︵

(a) Representen las rectas en un mismo sistema de ejes cartesianos, teniendo en cuenta el valor de la pendiente y el de la ordenada al origen.

(b) Indiquen, para cada una, si es una recta creciente, decreciente o constante. (c) Escriban la ordenada al origen, la raíz o cero y la pendiente de cada función.

Cuando trabajamos las raíces o ceros de una función, lo hicimos desde la lectura de sus coordenadas. Ahora les proponemos que las encuentren analíticamente: Calculen para qué valores de x, y vale cero, y qué valor toma y cuando x vale cero.

(d) Encuentren la fórmula de una recta paralela a f(x) y que pase por el origen de coordenadas. Represéntenla en el mismo sistema de ejes cartesianos.

(e) Encuentren la fórmula de una recta perpendicular a la recta r y que contenga al pun o 50 ; . Represéntenla en el mismo sistema de ejes cartesianos. t

3) Decidan si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifiquen sus respuestas describiendo con sus palabras cuál es la característica que observan en ambas fórmulas y que fundamentan sus conclusiones.

(a) 2//1 2 yxy (b) 1//1 xyxy

(c) x yxy 11 (d) 2331

xyxy

(e) 5//2 yy (f) 313 yy

  115

4) Escriban la ecuación de cada una de las rectas representadas, tomando como referencia puntos sobre cada una.

x

y

x

y

x

y

x

y(a) (b)

5) Hallen la ecuación de cada una de las rectas representadas en el mismo sistema de ejes cartesianos.

(a) (b)

  116

x

y

x

y(c) (d)

Trabajo práctico nº 7

1) Hallen la fórmula de la función cuadrática correspondiente al desplazamiento

de 2xx según se indica en cada caso: f )(

(a) 3 unidades hacia arriba. (b) 2,5 unidades hacia la izquierda. (c) 1,5 unidades hacia abajo y 1 unidad hacia la derecha

2) Indiquen cuál será el desplazamiento de la función 2xx que coincidiría

con cada una de las siguientes fórmulas:

f )(

25 xxg )( 522 ,)( xxt 274 2 xxf )(

3) Grafiquen cada una de las funciones del punto anterior aplicando los

desplazamientos correspondientes al gráfico 2xx , señalen en cada

gráfico el vértice y el eje de simetría.

f )(

Trabajo práctico nº 8

Problema 1  

  117

El rendimiento de nafta r (en km por litro) de un automóvil está relacionado con la

velocidad v (en km/h) por la función: vvvr 6301)( 2

I. ¿Cuál debe ser la velocidad para que el rendimiento sea máximo? II. ¿Cuál es el rendimiento máximo?

III. ¿Para qué valores de v el rendimiento aumenta?

¿Se animan a responder sin graficar? Pensemos: el coeficiente cuadrático es negativo, las ramas de la parábola irán hacia abajo, el punto máximo que alcanza la función es…………. Es posible que con esto nos alcance para responder las tres preguntas sin graficar

Problema 2 Los ingresos mensuales de un fabricante de zapatos están dados por la función

, donde z es la cantidad de pares de zapatos que fabrica en el mes.

221000 zzzl )(

i. Construyan el gráfico aproximado de la función y respondan: ii. ¿Qué cantidad de pares debe fabricar mensualmente para obtener el mayor

ingreso? iii. ¿Cuáles son los ingresos si se fabrican 125 pares de zapatos? ¿Y 375

pares?¿A partir de qué cantidad de pares comienza a tener pérdida?

Problema 3 En una isla se introdujeron 112 iguanas. Al principio se reprodujeron rápidamente, pero los recursos de la isla comenzaron a escasear y la población decreció. El número de iguanas a los t años de haberlas dejado en la isla está dado por :

112222 ttti I. Calculen la cantidad de años en los cuales la población aumentó.

II. ¿En qué momento la población de iguanas se extingue? Ayuda: El enunciado no pide gráfico, solo les pide dos puntos críticos de la función. Piensen: el número de iguanas ésta dado por una función cuadrática de coeficiente cuadrático negativo, eso indica que habrá un punto máximo el……….. y se extinguen cuando la cantidad de iguanas es cero o sea las ……………

  118

Bibliografía  

Abdala C. – Real M. Turano C. (2000)."Colección libros y +. Carpeta de matemática", Aique.

Laurito Liliana, Stisin Laura B. de, Trama Eduardo, Ziger Dora y Sidelsky Estela. (2001) "Matemática Activa 9", (1° Ed.). Puerto de Palos S.A.

de Guzmán M, Colera J y Salvador Adela. (1990). “Matemáticas: Bachillerato 1”,Madrid: Anaya.

de Guzmán M, Colera J y Salvador Adela. (1990). “Matemáticas: Bachillerato 2”,Madrid: Anaya.

Altman Silvia V., Comparatore Claudia R. y Kurzrok Liliana. (2002) “Matemática Polimodal” Libro Temático. (1°Ed.). Editorial Longseller.

Effenberger Pablo. (2011) “Matemática 3” Programa Kapelusz Para Pensar. (1° Ed.). Kapelusz Editora S.A.

Berio A., Colombo Ma. L., D´Albano C., Sardelia O. y Zapico I. (2001). “Matemática I – Polimodal”. (1° Ed.). Puerto de Palos S.A.

Kaczor Pablo J., Schaposchnik Ruth A., Franco Eleonora, Cicala Rosa A. y Díaz Bibiana. (1999). “Matemática I” (1° Ed.). Ediciones Santillana S.A.

Camoyrano Ma. B., Net G. y Aragón M. (2005). “Matemática I: Modelos Matemáticos para interpretar la realidad” Angel Estrada y Cía.

Paenza, Adrián. (2005). “Matemática…¿Estás Ahí? Sobre números, personajes, problemas y curiosidades. Siglo XXI Ediciones S.A.

Echegoyen Susana N., Fagale Enrique D., Rodríguez Silvia A., Ávila de Kalan Marta I. y Alonso Ma. Rosario. (2005). “Matemática I”. Kapelusz Editora S.A.

Bibliografía para el Docente

Kaczor Pablo J., Schaposchnik Ruth A., Franco Eleonora, Cicala Rosa A. y Díaz Bibiana. (1999). “Matemática I” (1° Ed.). Ediciones Santillana S.A.

Buschiazzo N. B., Fongi E. D., González Ma. Inés y Lagreca L., (2000) “Matemática II” (1° Ed.). Ediciones Santillana S.A.

Bibliografía para el Alumno

Berio A., Colombo Ma. L., D´Albano C., Sardelia O. y Zapico I. (2001). “Matemática I – Polimodal”. (1° Ed.). Puerto de Palos S.A.

Berio A., Colombo Ma. L., D´Albano C., Sardelia O. y Zapico I. (2001). “Matemática I – Polimodal”. (1° Ed.). Puerto de Palos S.A.

Altman Silvia V., Comparatore Claudia R. y Kurzrok Liliana. (2002) “Matemática Polimodal” Libro Temático. (1°Ed.). Editorial Longseller.

Bibliografía Opcional

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