Bases Mate Ma Tic As

BC0003 - Bases Matem ticas - Armando Caputi e Daniel Miranda a

Armando Caputi e Daniel Miranda

Ve rs ao

Pr el imBC0003 - Bases Matem ticas aUFABC - Universidade Federal do ABC Santo Andr e Vers o compilada em: 2 de agosto de 2010 aA Escrito em L TEX.

in ar

Notas de aula - vers o preliminar a


SUMARIO

Apresentacao

v

1

2

Generalidades sobre Conjuntos 2.1 Conceitos b sicos a 33 2.2 Relacoes elementares 36 2.3 Operacoes 39

3

Ve rs ao 4 Complementos sobre Conjuntos 4.1 Familias de Conjuntos 83

Conjuntos Num ricos e 51 3.1 Numeros naturais, inteiros e racionais 51 3.1.1 Soma e multiplicacao 51 3.1.2 Potenciacao 52 3.2 Princpio de Inducao Finita 53 3.3 Numeros reais 60 3.3.1 Apresentacao axiom tica dos numeros reais a 3.3.2 Potenciacao de numeros reais 69 3.3.3 Representacoes dos numeros reais 71 3.3.4 O Plano Cartesiano 75 3.3.5 Valor absoluto de um numero real 76 3.3.6 Topologia da reta 79 83

Pr el im33 61i

Elementos de Logica e Linguagem Matem tica a 1.1 Proposicoes 1 1.1.1 Proposicoes Universais e Particulares 1.1.2 Proposicoes Compostas: e, ou, n o a 1.1.3 Implicacao 12 1.1.4 Multiplos Quanticadores 16 1.2 Demonstracoes 20 1.2.1 Infer ncias e 22 1.2.2 M todos de Demonstracao e 24

1 2 8

in ar

Smbolos e notacoes gerais

ix


4.1.1 4.1.2 5

Sobre ndices 83 Operacoes com famlias de conjuntos

84

100

6

Generalidades sobre Funcoes 6.1 Conceitos b sicos a 113 6.2 Propriedades 117

113

7

Funcoes reais a vari veis reais 125 a 7.1 Transformacoes do gr co de uma funcao a 128 7.1.1 Translacoes 128 7.1.2 Homotetias 130 7.1.3 Reexoes 132 7.2 Gr co da funcao inversa a 133 7.3 Simetrias do gr co de uma funcao a 134 7.3.1 Simetria translacional: funcoes periodicas 7.4 Exemplos cl ssicos de funcoes e seus gr cos - I a a 7.4.1 Funcoes constantes 139 7.4.2 Funcao Identidade 139 7.4.3 Funcao modulo 140 7.4.4 Funcoes do tipo escada 141 7.4.5 Funcoes caractersticas 142 7.4.6 Funcoes lineares 142 7.4.7 Funcoes ans 143 7.4.8 Funcoes polinomiais 144 7.4.9 Funcoes racionais 145 7.5 Funcoes monotonas 149 7.6 Exemplos cl ssicos de funcoes e seus gr cos - II a a 7.6.1 Funcoes exponenciais 150 7.6.2 Funcoes logartmicas 151 7.6.3 Funcoes trigonom tricas 153 e 7.6.4 Funcoes trigonom tricas inversas e 158

Ve rs ao ii

Pr el im137 139 150

in ar

An lise Combinatoria a 87 5.1 Princpio Fundamental da Contagem 87 5.2 Listas sem Repeticao: Arranjos 92 5.3 Listas com Repeticao 94 5.4 Conjuntos sem Repeticao: Combinacao 97 5.5 Equacoes Lineares com Coecientes Unit rios a 5.6 Probabilidade Discreta 102


7.7 8

Operacoes com funcoes

162

9

Ve rs ao

Limites de Funcoes e Continuidade 241 9.1 Continuidade 241 9.2 Limites de Funcoes 245 9.3 Limites Laterais 249 9.4 Propriedades do Limite de Funcoes 252 9.5 Continuidade II 258 9.6 Propriedades das Funcoes Contnuas 262 9.6.1 Teorema do Valor Intermedi rio 262 a 9.6.2 Demonstracao do Teorema do Valor Intermedi rio a

Respostas de Alguns Problemas e Exerccios

Pr el im264

Sequ ncias e 169 8.1 Conceitos B sicos a 169 8.1.1 Sequ ncias Crescentes e Decrescentes 172 e 8.1.2 Sequ ncias Limitadas e 174 8.1.3 Representacoes Gr cas de Sequ ncias a e 179 8.2 Converg ncia e Limite de Sequ ncias e e 182 8.2.1 Intuicoes sobre Converg ncia 182 e 8.2.2 Denicao Precisa de Limite de uma sequ ncia 191 e 8.2.3 Propriedades do Limite 198 8.2.4 Demonstracao das Propriedades do Limite 208 8.3 Limites Innitos 215 8.3.1 Denicao de Limites Innitos 215 8.3.2 Propriedades do Limite Innito 218 8.4 Sequ ncias Denidas Recursivamente 226 e 8.4.1 Fatorial 226 8.4.2 Somatorio 227 8.4.3 Principio da Recurs o 228 a 8.5 S ries 230 e 8.5.1 S rie Geom trica e e 233 8.5.2 S rie Telescopica 235 e 8.6 Representacao decimal dos numeros reais II 237

Indice Remissivo

in ar266 279iii


Ve rs ao

Pr el im

in ar


A P R E S E N TA C A O

desconhecimento de regras b sicas da algebra a

mau uso (ou at mesmo incompreens o) da linguagem matem tica e a a fragilidade do raciocnio logico

Ve rs ao

A primeira dessas diculdades envolve desde o desconhecimento de conceitos alg bricos, e at a manipulacao erronea de expressoes alg bricas atrav s de operacoes m gicas e e e e a mirabolantes que podem aliviar momentaneamente a ansiedade de encontrar uma resposta ao problema em quest o, mas que, infelizmente, n o fazem sentido algum. a a A incompreens o da linguagem matem tica se d nos dois sentidos: ao ler um texto a a a matem tico e ao tentar expressar uma id ia matem tica. Ao inv s de ser vista como uma a e a e lngua, com sua propria sint tica e sua propria sem ntica, a linguagem matem tica e em a a a geral tratada como um conjunto confuso de smbolos misteriosamente combinados. O que acaba prevalecendo e algo do tipo faca desse jeito que funciona, o que, na maioria das vezes, n o funciona. a O raciocnio logico e a espinha dorsal de qualquer ci ncia, particularmente da Matem tica. e a o que nos garante a conabilidade de conclusoes que tiramos a partir de fatos previaE mente conhecidos. A logica que vem na bagagem do aluno do ensino m dio e, em geral, e

Pr el im

Quando falamos em diculdades conceituais, a primeira coisa que vem em mente e o desconhecimento de conceitos b sicos desenvolvidos no ensino m dio. Esse e, evidentea e mente, um dos problemas vericados, mas n o e o principal (mesmo porque a ignor ncia a a e facilmente suprida com o estudo). H outras diculdades conceituais ainda mais essena ciais e que devem merecer nossa atencao, tanto dos docentes quanto, principalmente, dos alunos. Para car no ambito da Matem tica, essas diculdades podem ser resumia das como segue:

in ar

O curso de Bases Matem ticas nasceu da necessidade de suprir algumas diculdades a recorrentemente apresentadas por uma parcela signicativa dos nossos alunos nesses primeiros anos do Bacharelado em Ci ncia e Tecnologia da UFABC. Trata-se, essenciale mente, de diculdades conceituais e de diculdades advindas de uma formacao mais voltada ao treinamento, tpica do ensino m dio. e


aquela do senso comum (se e que podemos chamar de l gica uma mera concatenacao o de id ias mais ou menos claras inspiradas na experi ncia individual e coletiva). Infelize e mente, essa logica e insuciente para ns cientcos. Al m das diculdades de tipo conceitual, h as diculdades decorrentes de um ensino e a secund rio muito centrado no treinamento, isto e, na reproducao de m todos e algoritmos a e para resolver determinados problemas. Isso induz uma atitude passiva do estudante diante do conhecimento, uma postura incompatvel com os objetivos do ensino superior, assim como de qualquer area prossional que requer autonomia e criatividade de quem nela atua.

Se chamamos a atencao para essas diculdades, n o e para criar algum tipo de descon a forto inicial ou inseguranca, mas para colocar a superacao dessas diculdades (ou, mais realisticamente, os primeiros passos para tal superacao) como um dos objetivos prim rios a deste curso. Sobre estas notas

Ve rs ao vi

O principal objetivo destas notas e suprir a falta de bibliograa especca para um curso bem verdade que cada um dos topicos tratados nesse como o de Bases Matem ticas. E a curso pode ser encontrado em algum bom livro, mas n o de forma coesa e conjunta. a Sem prejuzo do salutar h bito de se consultar ampla bibliograa, adotar inumeros livros a como refer ncias principais deste curso nos pareceu fora de proposito nesse momento e inicial da vida acad mica, ainda mais tratando-se de topicos t o elementares. Isso, alie a ado ao fato de que nossa biblioteca, ainda em formacao, n o possui todos os ttulos a necess rios para esse curso, motiva a redacao destas notas. a

E importante ter em mente que esta e uma vers o apenas preliminar de um texto que a pretende vir a ser, em um futuro n o muito distante, uma das principais refer ncias biba e liogr cas para este curso. H ainda muitas lacunas, mas muitas delas, neste primeiro a a momento, ser o preenchidas em sala de aula. H tamb m uma certa car ncia de estilo a a e e

Pr el im

A passagem do treinamento para a autonomia e uma das mais difceis de serem transpostas. Por isso deixamos aqui um convite expresso para que se d particular e atencao a esse processo. Desde os primeiros cursos, como o de Bases Matem ticas, parte a dos esforcos devem ser voltados ao proprio m todo de estudo e a postura que se tem e ` diante dos conhecimentos aprendidos. Pergunte-se com frequ ncia: sei explicar isso? Ene quanto n o souber, n o se d por satisfeito. a a e

in ar


ou at mesmo de algum tipo de escolha de formatacao est tica e/ou funcional. Principale e mente, n o h nenhuma estruturacao explcita de natureza did tico-pedagogica, embora, a a a e importante que se diga, as entrelinhas estejam repletas de premissas e princpios dessa natureza. Simplesmente, ainda n o e o momento para uma estruturacao desse tipo. a Diante do exposto, os autores v em com muitos bons olhos o apontamento de crticas e e sugestoes, tanto por parte dos alunos do curso de Bases Matem ticas, quanto dos profesa sores dessa disciplina que optarem por usar total ou parcialmente estas notas.

Ve rs ao

Pr el imvii

in ar


Ve rs ao

Pr el im

in ar


S M B O L O S E N O TA C O E S G E R A I S I

Ao longo do curso ser o adotados os seguintes smbolos e notacoes (sem prejuzo de a outros smbolos e notacoes que ir o sendo introduzidos ao longo destas notas): a | := i.e. : : : : : : : : : : existe qualquer que seja ou para todo(s) implica se, e somente se portanto pois tal que denicao (o termo a esquerda de := e denido pelo termo ` ou express o a direita) a ` id est (em portugu s, isto e) e indica o nal de uma demonstracao

Ve rs ao

Pr el im

in ar


1

E L E M E N T O S D E L O G I C A E L I N G U A G E M M AT E M A T I C A

1.1

proposic o es

Ve rs ao 2 + 5 = 7;

Comecaremos denindo as frases mais simples de nossa linguagem: as proposicoes.

Denicao 1.1 Uma proposicao e uma sentenca declarativa que e verdadeira ou falsa , mas n o simultaneamente ambas. a

Exemplos 1.2 As seguintes frases s o exemplos de proposicoes. a

A funcao f(x) = x e uma funcao crescente. Nesse caso, temos um exemplo de uma proposicao falsa .

Pr el im

A matem tica utiliza uma linguagem especca, na qual os termos possuem signicaa dos precisos e muitas vezes distintos do usual. Assim e necess rio que conhecamos o a sentido de alguns termos e expressoes matem ticas. Esse e um dos objetivos desse capita ulo, ao apresentar de modo sucinto e intuitivo os aspectos fundamentais da linguagem matem tica, enfatizando principalmente aqueles termos que s o usados em contextos e a a com signicados diversos daqueles em que costumamos empreg -los normalmente. a Mas n o e somente o vocabul rio e a linguagem que s o distintos na matem tica. a a a a Tamb m a concepcao de argumento, de justicativa, e mesmo de explicacao. Um argue mento matem tico, tamb m conhecido como demonstracao ou prova, para ser correto, a e deve seguir princpios estritos de logica, princpios que garantam a conabilidade do conhecimento matem tico. Alguns desses princpios s o apresentados na secao 1.2. a a

in ar1

Quando eu uso uma palavra, disse Humpty Dumpty, em tom bastante desdenhoso, ela signica exatamente o que eu quiser que ela signique - nem mais nem menos. Atravs do Espelho - Lewis Carroll e


9876 a a + 34576 e primo; E uma proposicao pois apesar de n o ser f cil decidir se 225 a proposicao e verdadeira ou falsa , claramente so uma dessas opcoes pode ocorrer.

Exemplos 1.3 Nenhuma das frases seguintes e uma proposicao, porque ou n o s o a a declaracoes ou n o podemos atribuir um unico valor verdadeiro ou falso . a Vamos dancar!

Esta sentenca e falsa. Essa frase n o pode ser verdadeira pois isto implicaria que a ela e falsa. E n o pode ser falsa pois implicaria que e verdadeira. a

Como ilustrado pelo exemplo anterior, o fato de uma sentenca poder ser vista como uma proposicao depende do contexto em que essa sentenca e enunciada e dentro desse contexto uma proposicao deve ser sucientemente clara e objetiva para que possamos atribuir um e somente um valor verdade, i.e, verdadeiro ou falso . Finalmente, a denicao de proposicao implica que todas as armacoes matem ticas a ser o necessariamente verdadeiras ou falsas, n o havendo outra possibilidade (esse ultimo a a fato e conhecido como Princpio do Terceiro Excludo). Notacao: No que se segue denotaremos uma proposicao qualquer por p, q, r, etc.

Ve rs ao 1.1.12

Proposicoes Universais e Particulares

Em diversas situacoes precisamos que o sujeito das proposicoes seja uma vari vel que a possa ser substituda por um elemento qualquer dentre uma colecao de objetos U em consideracao. O conjunto U neste caso ser denominado universo do discurso, ou ainda, a domnio de discurso . Assim, por exemplo, na sentenca x R, x < 3, x e a vari vel e a R e o universo do discurso. Proposicoes que dependam de uma ou mais vari veis s o denominadas proposicoes a a abertas. Elas s o indicadas por uma letra seguida da vari vel ou das vari veis entre a a a par nteses, i.e, e p(x), q(x), p(x, y), ...

Pr el im

Est quente hoje. Essa frase pode ser vista como uma proposicao desde que esa peciquemos precisamente o que signica quente, como por exemplo se denirmos que est quente se a temperatura e maior que 26o C, pois somente assim podemos a atribuir um valor de verdade a frase. Note, por m, que esse n o e o uso cotidiano da e a frase. O uso cotidiano expressa uma impress o, uma sensacao e nesse sentido n o e a a uma proposicao.

in ar

Como voc est ?. e a


O valor verdade de uma proposicao aberta depende do valor atribudo as vari veis. a ` Por exemplo, considere a funcao proposicional p(x) =x < 3, neste caso se x = 2 ent o a p(2) =2 < 3 tem valor verdade verdadeiro, por outro lado se considerarmos x = 4 temos que p(4) =4 < 3 tem valor verdade falso.

Exemplos 1.5

O conjunto verdade de p(x) =x e primo e 3 < x < 14 e {5, 7, 11, 13} O conjunto verdade de p(x) =x e real e x2 + 1 = 5 e {2, 2}

Atrav s de proposicoes abertas podemos fazer armacoes sobre todos os elementos e de um conjunto usando o quanticador universal que e lido como para todoou qualquer que seja. Assim a proposicao para todo numero natural n temos que 2n + 1 e mpar pode ser escrita como n N, 2n + 1 e mpar ou ainda como n Np(n),

Ve rs ao Se a Se a Se a 0, xq(x)

sendo que p(n) denota a proposicao aberta 2n + 1 e mpar. Tamb m e possvel fazer armacoes sobre a exist ncia de um elemento de um conjunto e e usando o quanticador existencial , que e lido como existe. Desta forma a proposicao a equacao linear ax + b = 0, com a 0, admite solucao real pode ser escrita como : 0, x R | ax + b = 0.

Ou ainda, se denotarmos como q(x) = ax + b = 0 podemos reescrever a armacao anterior como: 0, x R | q(x).

Ou de modo mais resumido, deixando subentendido o domnio do discurso e o smbolo de tal que, | :

Pr el im

in ar3

Denicao 1.4 O conjunto dos valores de x para os quais a proposicao aberta p(x) verdadeira e denominado conjunto verdade de p(x).


Em portugu s e Para todo, para cada Existe, h , para algum a Existe unico

smbolo !

nome

quanticador universal quanticador existencial

Nesse contexto, uma proposicao e dita universal se faz refer ncia a todos os objetos do e universo U. Caso contr rio, e dita particular . a Vejamos alguns exemplos. No que se segue, assuma que o universo e o conjunto dos numeros naturais, denotado por N. 1. Todos os numeros naturais s o mpares e uma proposicao universal. a 2. O numero 2 e par e uma proposicao particular.

3. Nenhum numero natural e primo e uma proposicao universal, pois equivale a dizer que todo numero natural tem a propriedade de n o ser primo. a

Ve rs ao 4

4. H numeros naturais pares e uma proposicao particular. a 5. H numeros naturais cujo dobro ainda e um numero natural e uma proposicao a particular. 6. O quadrado de todo numero natural e maior do que 4 e uma proposicao univer sal.

7. Ao menos dois numeros naturais s o pares e uma proposicao particular. a 8. O numero natural 0 e menor ou igual do que qualquer numero natural e uma proposicao particular. 9. Todo numero natural e maior ou igual do que o numero natural 0 e uma proposicao universal.

Pr el im

Tabela 1.1: Quanticadores

in ar

Ressaltamos que x | p(x) signica que existe pelo menos um elemento no domnio de discurso tal que para esse elemento vale p(x). Em diversas situacoes esse elemento e unico, denotaremos esse fato por !x | p(x), que se l existe e e unico x tal que p(x). e Assim por exemplo, nos reais, !x R | (x 1) = 0. E importante distinguirmos as vari veis que est o quanticadas das que n o est o. a a a a Uma vari vel e dita livre quando n o est quanticada e e dita aparente quando est a a a a quanticada. Assim, na proposicao n e par, n e uma vari vel livre. J em para todo a a numero natural n, 2n + 1 e mpar n e uma vari vel aparente. a


10. n < n + 1 n N e uma proposicao universal. 11. n N | n2 = n e uma proposicao particular. Algumas observacoes importantes: O fato de uma proposicao ser universal ou particular n o tem nenhuma relacao a com o fato de ser verdadeira ou falsa.

A proposicao do exemplo 5 e particular, mesmo se e satisfeita por todos os numeros naturais. O que importa, e que a proposicao se refere a alguns numeros, n o a a todos.

Exemplos e Contra-exemplos

Quando lidamos com proposicoes universais, entram em cena os exemplos e contra-exemplos. Considere uma proposicao universal do tipo todo elemento de U satisfaz a propriedade p. Um exemplo para essa proposicao e um elemento do universo U que satisfaz a propriedade p. Um contra-exemplo para essa proposicao e um elemento do universo U que n o satisfaz a a propriedade p. Exemplos 1.6

Ve rs ao

1. Considere a proposicao para todo n N par, (n + 1)2 e mpar. Neste caso o numero 2 e um exemplo dessa proposicao, pois est no domnio do discurso e a 2 = 9 e mpar. J o numero 3 n o e nem exemplo nem contra-exemplo, pois (2 + 1) a a n o pertence ao domnio de discurso. a

2. Para todo m N, m2 m + 41 e primo. Neste caso 1 e um exemplo, pois 1 N 2 1 + 41 = 41 e primo. O numero 2 tamb m e um exemplo, pois 2 N e 1 e 2 2 + 41 = 43 e primo. Pode-se vericar facilmente que todos os numeros e 2 naturais entre 1 e 40 s o exemplos dessa armacao. Por outro lado, 41 e contraa 2 41 + 41 = 412 n o e primo. exemplo, pois 41 N e 41 a 3. O numero 5 e um exemplo para a proposicao Todo numero natural e mpar, enquanto que o numero 2 e um contra-exemplo.

Pr el im

As proposicoes dos exemplos 8 e 9 acima dizem a mesma coisa, isto e, que 0 e o menor dos numeros naturais (de fato, s o ambas verdadeiras). Entretanto, sob a o ponto de vista formal, a proposicao do exemplo 8 arma uma propriedade do numero 0 e por isso e particular, enquanto a proposicao do exemplo 9 arma uma propriedade de todos os numeros naturais (por isso e universal).

in ar5

A proposicao do exemplo 4 e particular, pois refere-se a alguns numeros naturais.


4. O numero 4 e um exemplo para a proposicao Nenhum numero natural e primo, enquanto que o numero 3 e um contra-exemplo (lembre, nesse caso, que a pro priedade universal alegada pela proposicao e n o ser primo). a 5. O numero 8 e um exemplo para a proposicao O quadrado de todo natural e maior do que 4, enquanto que o numero 1 e um contra-exemplo. 6. A proposicao Todo numero natural e maior ou igual a zero possui inumeros exemplos, mas n o possui contraexemplos. a

7. A proposicao Todo numero natural e menor que zero possui inumeros contraex emplos, mas n o possui exemplos. a

Ve rs ao Exerccios. 6

existem exemplos n o existem exemplos a existem contraexemplos n o existem contraexemplo a

Tabela 1.2: Comportamento geral do valor verdade de uma proposicao quanticada em funcao da exist ncia/inexist ncia de exemplos ou contraexemplos e e

Ex. 1.1 Transcreva as seguintes proposicoes para a forma simbolica: a) Existe um numero real n tal que n2 = 2. b) N o existe numero racional x tal que x2 = 2. a

Pr el impara todo inconclusivo inconclusivo falsa verdadeira

Uma proposicao universal, que admite contraexemplos e falsa. Essa e uma das maneiras mais simples de provar que uma armacao dessa forma e falsa, atrav s de um contra e exemplo. J uma armacao da forma existe x em U | p(x) e verdadeira se existir pelo menos a um elemento x no domnio do discurso U tal que para esse elemento a proposicao p(x) e verdadeira. De modo an logo, chamaremos esse elemento de exemplo da proposicao. E assim, a proposicoes sobre exist ncia podem ser demonstradas exibindo um exemplo. e Por outro lado, se o domnio de discurso tiver mais que um elemento, a exist ncia de e exemplo n o implica na verdade uma armacao da forma para todo x em U, p(x). Pois, a para que essas armacoes sejam verdadeiras, todos os possveis elementos do domnio devem satisfazer p(x). existe

in arverdadeira falsa inconclusivo inconclusivo


c) Existe x tal que x2 e par e divisvel por 3. d) N o existe numero inteiro x tal que x2 e primo ou x2 e negativo. a e) Existe um numero inteiro x tal que x2 e par ou x2 e mpar. f) Para cada numero real x existe um numero real y tal que x + y = 0. g) Todo elemento do conjunto A e elemento do conjunto B. h) Para todo , existe () tal que se 0 < |x a| < ent o |f(x) f(l))| < . a

Ex. 1.2 Seja A = {1, 2, 3, 4}. Determine o valor verdade para cada uma das seguintes proposicoes: a) x A | x + 4 = 9. b) x A | x < 7. c) x A, x + 3 < 7. d) x A, x + 3 < 9.

Ex. 1.3 Para todas as armacoes a seguir n denota um numero natural. Determine o conjunto verdade das seguintes proposicoes abertas: a) n2 < 12 b) 3n + 1 < 25 c) 3n + 1 < 25 e n + 1 > 4 d) n < 5 ou n > 3

e) n e primo e n o e verdade que n > 17 a f) (n 2)(n 3)(n 4)(n 5) = 0

Ve rs ao a) Para todo x R, x + 1 > 2. c) Para todo x R, x2 < x. d) Para todo y N, y3 > 1

Ex. 1.4 D exemplos ou contraexemplos, se existirem, para as seguintes armacoes: e b) Todas as letras da palavra banana s o vogais. a

Pr el im

in ar7


1.1.2

Proposicoes Compostas: e, ou, nao

Podemos expandir nossa linguagem construindo novas proposicoes atrav s da combinacao e de proposicoes mais simples de modo a obter proposicoes mais elaboradas. Faremos a combinacao de proposicoes atrav s de conectivos, dentre os quais e, ou e implica e e do modicador n o. a

a proposicao composta p e q e chamada conjuncao das proposicoes p e q. A conjuncao p e q e verdadeira somente quando as proposicoes p e q forem ambas verdadeiras . Caso contr rio o valor verdade de p e q e falso . a

Ve r

Denicao 1.8 Dado uma proposicao p, a negacao de p e uma proposicao com valor verdade invertido, chamada de negacao de p, denotada n o p e que pode ser lida como a n o p ou n o e verdade p. a a

Exemplos 1.9

A negacao da proposicao x e mpar e a armacao x n o e mpar, ou equivalen a temente x e par A negacao da proposicao 2 n o e racional e 2 e racional a

8

sa

o

A proposicao p ou q, pela denicao anterior, e falsa somente quando ambas as propo sicoes p e q forem falsas. Desta forma o uso do conectivo ou em matem tica n o e o a a mesmo que o uso cotidiano do termo. Assim, por exemplo, o sentido usual da express o a Pedro estava estudando ou Pedro estava numa festa n o inclui a possibilidade que ele a estivesse estudando numa festa, enquanto que o conectivo ou em matem tica inclui essa a possibilidade. Ou seja, em matem tica o conectivo ou e sempre usado de modo inclusivo. a Por outro lado o sentido da conjuncao e se aproxima do sentido usual do e em portugu s, assim a proposicao p e q e verdadeira somente quando ambas as proposicoes e p e q forem verdadeiras.

Pr eli m in a

a proposicao composta p ou q e chamada disjuncao de p e q. A disjuncao p ou q e verdadeira quando pelo menos uma das proposicoes p ou q forem verdadeiras. Caso contr rio o valor verdade de p ou q e falso. a

r

Denicao 1.7 Dadas duas proposicoes p, q:


Observacao 1.10 Adotaremos a seguinte convencao relativa a prioridade dos operadores l gicos: o o modicador n o abrange somente a proposic ao mais pr xima, salvo o caso de parnteses. Assim, a o e por exemplo n o p ou q, somente a proposic ao p e negada, isto e, a proposic ao anterior e uma forma a abreviada da proposic ao (n o p) ou q. a A seguinte proposicao nos diz como negar a conjuncao e a disjuncao de duas proposi coes. Negacao da Disjuncao e da Conjuncao e Dupla Negacao Sejam p, q proposicoes. Ent o s o v lidas as seguintes regras de negacao a a a 1. A negacao da proposicao p e q e (n o p) ou(n o q); a a 2. A negacao da proposicao p ou q e (n o p) e(n o q); a a 3. A negacao da proposicao n o p e p. a

Exemplos 1.11

A negacao da proposicao x e divisvel por 2 e 3 e x n o e divisvel por 2 ou x n o a a e divisvel por 3. A negacao da proposicao x e divisvel por 2 ou 3 e x n o e divisvel por 2 e x n o a a e divisvel por 3. A negacao da proposicao b e soma de quadrados ou b e primo e a armacao que b n o e soma de quadrados e b n o e primo. a a

Ve rs ao

A negacao da proposicao x e maior que 2 ou x e menor igual que 1 e a proposicao x e menor igual a 2 e x e maior que 1.

Para proposicoes quanticadas temos ainda as seguintes regras de negacao:

Negacao do Quanticador Seja p(x) um proposicao aberta. Ent o s o v lidas as seguintes regras de negacao: a a a A negacao da proposicao para todo x em D e verdade p(x) e a proposicao existe pelo menos um x em D tal que n o e verdade p(x). a A negacao da proposicao existe x em D tal que e verdade p(x) e a proposicao para todo x em D n o e verdade p(x). a

Pr el im

in ar9


Exerccio. Ex. 1.5 Converta as seguintes armacoes para a forma simbolica e diga quais s o as a suas negacoes: a) Todos os numeros naturais podem ser decompostos como produtos de primos. b) Existe inteiro n tal que n + 3 = 4.

Solucao:

Todos os numeros naturais podem ser decompostos como produtos de primos.

Se denotarmos m(x) = x pode ser decomposto como produto de numeros primos, ent o a proposicao acima pode ser reescrita na forma simbolica como: a

ou mais resumidamente (x)m(x), deixando implcito que o domnio da vari vel e a o conjunto dos numeros naturais. A negacao da proposicao e Existe um numero natural que n o pode ser decom a posto em primos ou simbolicamente x N | n o m(x) a Existe inteiro n tal que n + 3 = 4.

Se denotarmos por p(n) = n + 3 = 4 ent o a proposicao pode ser reescrita em a forma simbolica como

Ve rs ao Exerccios. 10

n N | p(n)

Para essa proposicao o domnio do discurso s o os numeros naturais. Observe que a essa armacao e verdadeira pois 1 satisfaz p(1). A negacao de Existe um numero inteiro n tal que n + 3 = 4 e para todo inteiro n temos que n o e verdade que a n + 3 = 4, ou simplicando para todo numero inteiro n temos que n + 3 4

Ex. 1.6 Atribua um valor verdade a cada uma das seguintes proposicoes: ` a) 5 e um numero primo e 4 e um numero mpar.

Pr el im

x N, m(x)

in ar


b) 5 e um numero primo ou 4 e um numero mpar. c) N o e verdade que (5 e um numero primo e 4 e um numero mpar.) a d) (N o e verdade que 5 e um numero primo) ou 4 e um numero mpar. a

Ex. 1.7 Negue as seguintes proposicoes: a) 3 > 4 e 2 e um numero par. c) 4 > 2 ou (k)(k < 3 e k > 5). e) 2 e um numero par e 3k + 1 e um numero mpar. f) 2 e numero par e n o e verdade que 3 e um numero mpar. a

d) (N o e verdade que 3 e um numero par) ou que 5 e um numero mpar. a

g) N o e verdade que (5 e um numero primo e 4 e um numero mpar.) a

h) (N o e verdade que 5 e um numero primo) ou 4 e um numero mpar. a

Ex. 1.8 Nas seguintes proposicoes abertas o domnio do discurso e o conjunto dos numeros reais. Para essas proposicoes determine e esboce na reta real o seu conjunto verdade. a) x > 2 e x < 4. b) x > 2 ou x < 3.

c) x > 2 ou ( x < 5 e x > 3).

d) n o e verdade que (x > 2 e x < 4). a

Ve rs ao

e Ex. 1.9 Para as seguintes proposicoes, escreva a negacao, em portugu s e simbolica, de cada uma delas. a) Existe um numero real x tal que x2 = 2. c) N o existe numero racional x tal que x2 = 2. a b) Para todo , existe () tal que se 0 < |x a| < ent o |f(x) f(l))| < . a

d) Existe um numero natural n tal que n2 e par e divisvel por 3. e) N o existe numero inteiro m tal que m2 e um numero primo ou m2 e negativo. a f) Para cada numero real x existe um numero real y tal que x + y = 0.

g) Todo elemento de um conjunto A e elemento do conjunto B.

Pr el im

in ar11

b) 4 > 2 ou 3 > 5.


1.1.3

Implicacao

Um dos conectivos de maior import ncia na matem tica e a implicacao ou condicional. a a

Denicao 1.12 Dadas duas proposicoes p e q ent o podemos construir a proposicao se a p ent o q que tamb m pode ser lida como p implica q, que denotaremos por a e p q.

A implicacao p q e falsa somente no caso que a proposicao p e verdadeira e a proposicao q e falsa.

Tabela 1.3: Valores verdade da implicacao em funcao dos valores verdades de p e q. E importante observar, que na matem tica a implicacao p q n o estabelece nenhuma a a relacao de causa-efeito entre a hipotese e a tese. A implicacao matem tica somente esta a belece uma relacao entre o valor logico da implicacao e os valores logicos da premissa e da conclus o. a Assim a implicacao Se 4 e par, ent o um tri ngulo equil tero tem todos os angulos a a a iguais e uma implicacao verdadeira pois o antecedente (4 e par) e verdadeiro e o con sequente (um tri ngulo equil tero tem todos os angulos iguais) e tamb m verdadeiro. a a e Apesar disso, nenhuma relacao causal parece existir entre esses dois fatos. Mais sur preendente, nesse aspecto e que a implicacao se 2 e mpar ent o 2 + 5 = 3 e verdadeira. a Esse exemplo ilustra a ultima linha da nossa tabela. E fundamental observar que esta mos armando apenas que a implicacao e verdadeira, e n o a conclus o da implicacao e a a verdadeira. Esse comportamento n o-usual da implicacao pode ser melhor entendido atrav s a e de uma analogia. Imagine uma lei que diz que todos os motoristas de fusca devem

Ve rs ao 12

Pr el imp qverdadeiro verdadeiro falso falso verdadeiro falso verdadeiro falso verdadeiro verdadeiro

Numa implicacao, p q, a proposicao p e denominada hipotese ou premissa e a proposicao q e denominada tese, conclus o ou consequente da implicacao. a A tabela a seguir apresenta o valor verdade de p q em funcao dos valores verdades de p e q. pq

verdadeiro falso

in ar


usar gravatas vermelhas. Quando um motorista estar desobedecendo a lei? Se ele n o a a estiver dirigindo fusca (ou seja premissa falsa) ent o n o importa se ele est ou n o a a a a usando gravata vermelha pois nesse caso a lei n o se aplica a ele. O unico modo de a desobedecer a lei e estar dirigindo um fusca (premissa verdadeira) e n o estiver usando a gravata vermelha (conclus o falsa). Esse e o comportamento da implicacao, ela so e falsa a se a premissa for verdadeira e o consequente falso. Exemplos 1.13 Se 2 e um numero par, ent o 3 e um numero mpar. e uma implicacao verdadeira, a pois a hipotese e a tese da implicacao s o verdadeiras. a Se 2 e um numero par, ent o 4 e um numero mpar. e uma implicacao falsa, pois a a hipotese e verdadeira e a tese e falsa.

Se a m e de Pedro e um trator ent o Pedro e uma moto-serra. e uma implicacao a a verdadeira, pois a premissa e falsa (implicitamente estamos assumindo que Pedro e humano, e que humanos n o s o tratores). a a

Negacao da implicacao A negacao da implicacao p implica q e a proposicao p e n o q a

Exemplos 1.14

Ve rs ao

A negacao de Se a e par, ent o a2 e par e a e par e a2 e mpar. a A negacao de Se f(x) e uma funcao deriv vel ent o ela e uma funcao contnua e a a f(x) e uma funcao deriv vel e n o-contnua a a

Dada uma proposicao p q ent o: a a proposicao q p e chamada de recproca da proposicao; a proposicao n o q n o p e chamado de contrapositiva; a a a proposicao n o p n o q e chamado de inversa da proposicao. a a

Pr el im

Se 2 e um numero mpar, ent o 3 e um numero par. e uma implicacao verdadeira, a pois a premissa e falsa.

in ar13


a a proposicao se x2 e um numero racional ent o x e um numero racional e a a recproca dessa proposicao. Essa recproca e falsa pois 2 n o e um numero racional, mas o seu quadrado, o numero 2, e racional a proposicao se x2 n o e um numero racional, ent o x n o e um numero racional a a a e a contrapositiva da proposicao inicial, e assim verdadeira. a proposicao se x n o e um numero racional ent o x2 n o e um numero racional a a a e a inversa dessa proposicao. Sendo equivalente a recproca, essa armacao e falsa. As seguintes denominacoes, derivadas da nocao de implicacao, s o usuais: a

Ve rs ao Exemplos 1.1714

Denicao 1.16 Uma proposicao p e dita condicao suciente para uma proposicao q, se p implica q. Uma proposicao p e uma condicao necess ria para uma proposicao q, se a q implica p.

1. Para um numero natural, ser par e uma condicao necess ria para ser divisvel por a 4, pois todo numero divisvel por 4 e par. Por outro lado, ser par n o e condicao a suciente para ser divisvel por 4, pois existem pares que n o s o divisveis por 4. a a 2. Para um numero real, ser maior que 2 e uma condicao suciente para ser maior que 1, mas n o necess ria. a a

3. Ter nascido em Minas Gerais e condicao suciente para ser brasileiro, mas clara mente n o necess ria. a a

Pr el im

Exemplos 1.15 Considere a seguinte proposicao se x e um numero racional ent o x2 e a um numero racional. Essa implicacao e verdadeira, como veremos no exerccio 2.1.c.

in ar

Destacamos que uma implicacao e sua contrapositiva s o equivalentes, ou seja, ou a ambas s o simultaneamente verdadeiras ou ambas s o simultaneamente falsas. Como a a veremos posteriormente (na secao 1.2.2), essa equival ncia nos fornece uma t cnica de e e demonstracao: no lugar de demonstrarmos uma implicacao podemos demonstrar sua contrapositiva. Tamb m observamos que a contrapositiva da recproca e a inversa (veja exerccio 1.13), e e assim pelas razoes apresentadas no par grafo anterior a recproca e a inversa s o equiva a alentes . Ressaltamos que um erro logico muito comum e confundir uma proposicao com a sua recproca. O proximo exemplo ilustra que uma implicacao verdadeira pode ter a recproca falsa.


4. Para um numero real, ser distinto de 0 e condicao necess ria e suciente para a possuir um inverso. Finalmente, o conectivo p q e chamado de bicondicional ou bi-implicacao. A express o p q e lida como p se e somente se q. A express o e equivalente a (p a a q) e(q p). Nesse caso dizemos ainda que p e uma condicao necess ria e suciente para a q. Exerccios.

Ex. 1.10 Ache a contrapositiva, a recproca e a inversa das seguintes frases: a) n o p q. a b) n o p n o q. a a c) p n o q. a d) Se chove ent o eu n o vou trabalhar. a a e) Se x e par, ent o 2x + 1 e mpar. a

f) Se minha m e e um trator ent o eu sou uma moto-serra. a a g) Se 2k + 1 e primo, ent o k e uma pot ncia de 2. a e h) Se x2 + y2 = 0 ent o x e y s o iguais a 0. a a

Ex. 1.11 Atribua um valor verdade as seguintes proposicoes: a) Se 2 e um numero par, ent o 3 e um numero mpar. a b) Se 2 e um numero par, ent o 4 e um numero mpar. a c) Se 3 n o e par, ent o 3 n o e mpar. a a a d) Se 3 n o e par nem primo, ent o 5 n o e mpar. a a a e) Se minha m e e um trator ent o eu sou uma moto-serra. a a

Ve rs ao

Ex. 1.12 Para os pares de proposicoes p e q diga se p e condicao necess ria, suciente a ou ambas para q. Em todos os exemplos considere n como sendo um numero natural. a) p= n e maior que 2 q =n e maior que 3. c) p=n e maior que 0 e n e menor que 2 q =n e menor que 2. b) p=x e maior que 2 q =x e maior igual a 2.

d) p=n e maior que 0 e n e menor que 2 q =n = 1. e) p= e um tri ngulo isosceles q = e um tri ngulo equil tero. a a a

Pr el im15

in ar


f) p=M e uma matriz com determinante diferente de 0 q =M e uma matriz invertvel. Ex. 1.13 Determine: a) A contrapositiva da contrapositiva de p implica q. b) A contrapositiva da recproca de p implica q. d) A contrapositiva de p implica n o q a e) A recproca de p implica n o q a c) A contrapositiva da inversa de p implica q

Ex. 1.14 Negue a proposicao p q

1.1.4

Multiplos Quanticadores

Diversas proposicoes matem ticas envolvem mais que um quanticador. Ao lidarmos a com proposicoes com mais de um quanticador devemos tomar alguns cuidados ex tras, que exporemos nessa secao. Comecemos com alguns exemplos de proposicoes matem ticas com multiplos quanticadores. a Exemplos 1.18

Para todo numero inteiro par n, existe um inteiro k tal que n = 2k. Essa proposicao pode ser escrita simbolicamente como:

Ve rs ao 16

n Z com n par, k Z | n = 2k

Para todo numero real x, e para todo numero real y, x + y = y + x. Essa proposicao pode ser escrita simbolicamente como: x R, y R, x + y = y + x

Para todo numero real x 0, existe um numero real x tal que x x = 1. Essa proposicao pode ser escrita simbolicamente como: x R, com x 0, x R | x x = 1

Pr el im

in ar


Um fato a ser observado, e que quando temos dois quanticadores diferentes (um uni versal e um existencial), a ordem dos quanticadores e importante. Assim por exemplo a proposicao x R, y R | y = x2 que pode ser reescrita como para todo x R existe y R tal que y = x2 arma que para todo numero real existe o quadrado desse numero, e assim essa e uma proposicao verdadeira. Por m se trocarmos a ordem dos quanticadores temos a proposicao: e y R | x R, y = x2

Exemplo 1.19 Usando a negacao do quanticador universal, temos que a negacao da proposicao y T , x S | p(x, y) e:

Ve rs ao x T , y S, p(x, y)

y T | n o(x S | p(x, y)) a

Usando a negacao do quanticador existencial temos: y T | x S, n o p(x, y)). a

Quando tivemos uma proposicao com multiplos quanticadores, um exemplo ser a um elemento do domnio de discurso do quanticador mais externo que satisfaz a proposicao obtida removendo a quanticacao mais externa. Assim por exemplo, dado a proposicao

1 i.e, o mesmo numero real deveria ser o quadrado de todos os numeros reais

Pr el im

que pode ser reescrita como existe um numero real y tal que para todo numero real x, 2 , ou seja essa proposicao arma que existe um numero real que e o quadrado de y=x 1 . E desta forma essa proposicao e falsa. qualquer numero real Para quanticadores do mesmo tipo (dois existenciais, dois universais, etc.) a ordem dos quanticadores n o importa, ou seja, a proposicao x S | y T p(x, y) e equiva alente a proposicao y T | x Sp(x, y), e a proposicao x S, y T , p(x, y) e equivalente a proposicao y T , x S, p(x, y). A negacao de proposicoes com mais de um quanticador pode ser feita utilizando cuidadosamente as regras de negacao para quanticadores. Assim por exemplo:

in ar17


um exemplo e um elemento de T que satisfaz a proposicao y Sp(x, y), obtida da anterior removendo a quanticacao mais externa. De modo an logo podemos denir a contraexemplos para proposicoes com multiplos quanticadores. Exemplos 1.20 Um exemplo para a proposicao P =Para todo numero real x, existe y tal que x + y = 0 e um numero real x que satisfaz a proposicao Q(x) =existe y tal que x + y = 0. Assim 2 e exemplo pois: Q(2) =existe y tal que 2 + y = 0 e uma proposicao verdadeira. A verdade da ultima proposicao pode ser demonstrada atrav s de um e exemplo para Q(2), o numero real y = 2. De modo mais geral, qualquer numero real e exemplo para a armacao P =Para todo numero real x, existe y tal que x + y = 0 pois a frase obtida pela remocao do quanticador mais externo: Q(x) =existe y tal que x + y = 0 e verdadeira, pois y = x e um exemplo para Q(x)

Por outro lado um exemplo para proposicao P =Existe x tal que para todo y tal que x + y = 0 seria um numero real x que satisfaz a proposicao Q(x) =para todo y tal que x + y = 0. Claramente n o existe um numero real que satisfaz essa proposicao. a Assim todos os numeros reais s o contraexemplos para essa armacao a

Exerccios.

Ex. 1.15 Transcreva as seguintes proposicoes para a forma simbolica: a) Para todo numero inteiro mpar n, existe um numero inteiro k tal que n = 2k + 1. b) Para todo y B existe um x A tal que f(x) = y. c) Para todo numero real x existe y tal que x + y = 0.

Ve rs ao a) x D, y D | p(x, y) c) x D, y D, p(x, y) b) y D | x D, p(x, y)18

d) Para todo > 0, existe N0 N tal que para todo n > N0 , |an L|

e) Para todo x A e para todo numero real > 0 existe um numero real > 0 tal que |x c| < implica |f(x) L| <

Ex. 1.16 Seja a proposicao p(x, y) =x + 4 > y com x, y D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Para as seguintes proposicoes, reescreva-as em portugu s e atribua um valor verdade e

Pr el im

in ar


d) x D, y D | p(x, y) Ex. 1.17 O que as seguintes armacoes signicam? Elas s o universais ou particu a lares? Elas s o verdadeiras? D exemplos e contraexemplos quando possvel. O universo a e de discurso em todos os casos e os numeros naturais. a) x, y | (x < y) c) x | y, (x < y) d) y, x | (x < y) e) x | y | (x < y) f) x, y, (x < y) b) y | x, (x < y)

Ex. 1.18 Reescreva as seguintes denicoes matem ticas simbolicamente: a a) Comutatividade: A soma de x com y e igual a soma de y com x. b) N o-comutatividade: Existem x e y tal que a soma de x com y e diferente da soma a de y com x. c) Identidade: Existe um elemento e tal que a soma de x com e e x. d) Transitividade: Se x e menor igual que y e y e menor igual que z ent o x e menor a igual que z. e) Reexividade: Para todo x, x e menor igual a x

Ve rs ao a) x, y | (2x y = 0) b) y | x, (2x y = 0) c) y | z | (y + z = 100)

Ex. 1.19 O que as seguintes armacoes signicam? Elas s o verdadeiras? D exemp a e los e contraexemplos quando possvel. O universo de discurso em todos os casos e os numeros naturais.

Ex. 1.20 Para as seguintes proposicoes, escreva a negacao, em portugu s e simbolica, e de cada uma delas. a) Para todo numero real x, para todo numero real y, x + y = 0. c) Para todo > 0, existe N0 N tal que para todo n > N0 , |an L| b) Para todo numero real x, existe um numero real y tal que x + y = 0.

Pr el im

in ar19


d) Para todo , existe () tal que se 0 < |x a| < ent o |f(x) f(l))| < . a

Ex. 1.21 Exemplos e ou Contraexemplos a) Para todos numeros naturais pares m, n, temos que n + m e par.

1.2

demonstrac o es

A l gica e a higiene que o matem tico pratica para manter as suas idias o a e saud veis e fortes. a Hermann Weyl

Ve rs ao 20

Nas secoes anteriores apresentamos alguns elementos da linguagem e da logica que sustentam a matem tica. J nesta secao apresentaremos algumas id ias sobre demonstraa a e coes matem ticas. Comecaremos com uma breve discuss o sobre o papel das demonstracoes a a no conhecimento matem tico. a A import ncia do conhecimento matem tico para as ci ncias e ineg vel. Grandes teoa a e a rias cientcas, como a mec nica newtoniana, o eletromagnetismo, a relatitivade geral e a qu ntica s o expressas elegantemente em termos matem ticos, e mais, gracas a uma a a a relacao intrincada entre o conhecimento natural entre esses campos de saber e uma matem tica sosticada, essas teorias s o capazes de um poder de expressividade, de a a descricao e de precis o invej veis. S o essas teorias cientcas, e assim tamb m a matem tica a a a e a envolvida nessas descricoes, que sustentam os avancos tecnologicos de nossa sociedade. Como enfaticamente expresso pelo fsico Galileu Galilei: A losoa encontra-se escrita neste grande livro que continuamente se abre perante nossos olhos (isto e, o universo), que n o se pode compreender antes a de entender a lngua e conhecer os caracteres com os quais est escrito. Ele a est escrito em lngua matem tica, os caracteres s o tri ngulos, circunfer ncias a a a a e e outras guras geom tricas, sem cujos meios e impossvel entender humanae mente as palavras; sem eles nos vagamos perdidos dentro de um obscuro labirinto Galileo Galilei, O Ensaiador

Se por um lado essa vis o utilitarista da matem tica como ferramenta, seria suciente a a para justicar a import ncia do estudo da matem tica, essa vis o e insuciente para a a a

Pr el im

in ar


levar a compreens o profunda da matem tica em si. A matem tica, como area do cona a a ` hecimento, tem um proposito muito mais amplo que ser a lngua da ci ncia. e A matem tica tem objetivos e m todos proprios. E talvez o m todo seja uma das mara e e cas que distinguem fundamentalmente a matem tica das outras areas do conhecimento. a Nessa linha podemos dizer que a matem tica, pelo menos nos ultimos 23 s culos, se cara e acteriza pelo m todo axiom tico, que simplicadamente pode ser descrito como tomar e a alguns fatos como verdadeiros (as hipoteses, os axiomas) e demonstrar todo o restante a partir desses fatos, utilizando as regras da logica. Vale ressaltar que, claramente, a matem tica se estende muito al m do pensamento a e racional-dedutivo e a intuicao e a percepcao inconsciente s o chaves para a criativi a dade matem tica, e a sede de descobrir novas verdades, de expandir o conhecimento a e a motivacao do esforco matem tico. Por m , embora estes sejam realmente elemen a e tos essenciais na exploracao contnua e no desenvolvimento da matem tica, o raciocnio a logico e imprescindvel para a determinacao da verdade matem tica. a Assim a quest o natural e: porque as demonstracoes s o importantes? Porque a supremaa a cia do raciocnio logico e da deducao? O principal motivo e que nossa intuicao falha. E na historia da matem tica, diversos a exemplos demonstraram e convenceram os matem ticos que so a intuicao e insuciente a para compreender os fatos matem ticos. a Para ilustrar esse ponto, um exemplo tpico da falibilidade da nossa intuicao e o fato que para equacoes polinomiais de grau maior igual que 5 n o existem formulas fechadas a ao estilo da formula de Bhaskara que expressam as solucoes desses polinomios. Dito de outra forma, as solucoes de um polinomio de grau maior que 5 em geral n o podem a ser expressas como um numero nito de somas, produtos, quocientes e razes dos coe cientes do polinomio. Desde que as expressoes descobertas por Bhaskara Akaria (1114 1185), Girolamo Cardano (1501-1576) e Niccolo Tartaglia (1499-1557), mostraram como ` representar as solucoes de um polinomio de grau at 4 atrav s de operacoes aritm ticas e e e e radicais dos coecientes, o desconhecimento das expressoes para graus maiores foi atribudo a uma falta de t cnica que seria superada e geracoes de matem ticos se dedicaram e a a encontrar expressoes para as solucoes de polinomios de graus maiores. Por m, contrar e iando a intuicao inicial, em 1824, Niels Henrik Abel provou que tal formula n o poderia a existir e mostrou que as tentativas tinham sido em v o. a Prosseguindo nessa linha, outro exemplo da necessidade de rigor, cuidado conceitual e do valor das demonstracoes e a nocao de limites (e a nocao de innito) que trataremos no captulo 8. A manipulacao descuidada desses objetos levou a uma quantidade gigan tesca de erros e falhas conceituais em toda a matem tica, que so foram resolvidas com a denicoes precisas e demonstracoes rigorosas.

Ve rs ao

Pr el im

in ar21


1.2.1

Inferencias

Uma regra de infer ncia e uma regra (sint tica) que aceita hipoteses e retorna a uma e a conclus o. A regra e dita v lida se as premissas s o verdadeiras, ent o tamb m e a a a a a e conclus o. As regras de infer ncia v lidas, de modo simplicado, nos permitem obter a e a conclusoes a partir de nossas hipoteses, constituindo o encadeamento logico entre os argumentos. As regras de infer ncia podem ser apresentadas como uma lista de hipoteses, uma por e linha, seguida de uma barra separadora e a conclus o. a hipotese 1 hipotese 2 . . . conclus o a

Ve rs ao 1. Simplicacao: peq p 2. Uni o a p q qeq22

Segue uma lista das regras de infer ncia v lidas e usuais, seguidas de alguns exemplos: e a3. Adicao p p ou q 4. Modus Ponens p pq q

Pr el im

in ar

Ainda sobre a limitacao da intuicao como crivo fundamental para a verdade matem tica, a destacamos que conforme o conhecimento matem tico se expandiu, expandiu-se tamb m a e a generalidade e a abstracao desse conhecimento, que assim se afastou cada vez mais do restrito numero de id ias sobre as quais temos alguma intuicao naturalmente. e Outro ponto para justicar a necessidade das demonstracoes, e que em geral as armacoes matem ticas versam sobre uma innidade de objetos, como a armacao Existem ina 10 nitos primos. Por mais que veriquemos atrav s de computacoes que existam 1010 e primos, n o terminaremos com a inquietacao e nem teremos razoes solidas para acreda itarmos nesse fato. Novamente, a matem tica est repleta de exemplos de armacoes a a que valem para um grande numero de casos iniciais, mas que mesmo assim admitem contraexemplos.


5. Modus Tollens

6. Silogismo Hipot tico e pq qr pr 7. Infer ncia por Casos e p1 q p2 q (p1 ou p2 ) q 8. Infer ncia por Eliminacao e

Exemplos 1.21 Simplicacao

Ve rs ao Pedro e feio e gordo. Logo, Pedro e gordo. Uni o a O numero 5 e mpar. O numero 5 e primo. Adicao 204 e par. Logo, 204 e par ou 2 + 2 = 5. Modus Ponens

Ent o o numero 5 e mpar e primo. a

Pr el imp ou q n o p a q 10. Reducao ao Absurdo

pq n o q a n o p a

p (q ou r) n o r a pq 9. Separacao

pq p n o q a n o p a

in ar23


O numero 2 e natural. Se um numero e natural ent o esse numero e real a Logo, o numero 2 e real. Modus Tollens

Se eu bebo muito tenho ressaca no dia seguinte. N o tenho ressaca hoje. a

Silogismo Hipot tico e Se um numero e natural ent o ele e inteiro. a Se um numero e inteiro ent o ele e real a Se um numero e natural ent o ele e real. a

1.2.2

Metodos de Demonstracao

Vamos ilustrar algumas t cnicas de demonstracao utilizando alguns resultados de e numeros naturais. Para isso recordamos algumas denicoes que utilizaremos: Um numero inteiro n o nulo a divide um numero inteiro b se existe um inteiro k, a tal que: b = ak. Se a divide b, b e dito multiplo de a ou de modo equivalente a e dito divisor de b.

Ve rs ao

Um numero inteiro a e dito par se 2 divide a, ou seja, se existe numero inteiro k tal que a = 2k. Um numero inteiro b e dito mpar se 2 n o divide b, nesse caso pode-se provar a que existe um numero inteiro k tal que b = 2k + 1. Um numero real r e dito racional se existirem numeros inteiros p, q tal que r = p q.

Um numero real r e dito irrracional se n o for racional, i.e, se n o existirem inteiros a a p p, q tal que r = q .

24

Pr el im

Rigor e para o matem tico o que a moral e para os homens. a Andr Weyl e

in ar

Logo, n o bebi muito ontem. a


Demonstracao Direta

A demonstracao direta e a forma mais simples de demonstracao que nos tratamos nesta secao, e e a mais obvia: para demonstrar que p q suponha que p e verdadeiro, e atrav s de uma s rie de etapas, cada uma seguinte das anteriores, conclui-se q. e e Exemplo 1.22 Se n, n s o numeros pares ent o n + m tamb m e um numero par. a a e Um bom modo de iniciar uma demonstracao e identicando as hipoteses e a tese e esclarecendo os seus signicados, e o signicado dos termos envolvidos: Hipotese 1: n e par. Por denicao de numero par, temos que existe um inteiro k1 tal que n = 2k1 . Hipotese 2: m e par. De modo an logo, temos pela denicao de numero par que existe a (possivelmente outro) inteiro k2 tal que m = 2k2 . Tese: Queremos provar que n + m e par, ou seja, que existe um inteiro k3 tal que n + m = 2k3 . Feito isso vamos a demonstracao:

Demonstracao: Como n, m s o pares existem inteiros k1 , k2 tais que n = 2k1 e m = 2k2 . a Desta forma temos que n + m = 2k1 + 2k2 , e colocando em evid ncia o 2 teremos: e p + q = 2(k1 + k2) = 2k3

onde k3 = k1 + k2 e um numero inteiro. E assim n + m e um numero par.

Exemplo 1.23 Se a divide b e b divide c, ent o a divide c. a

Ve rs ao

Novamente comecaremos identicando as hipoteses e a tese e esclarecendo os seus signicados: Hipotese 1: a divide b. Isso signica que existe um numero inteiro k1 tal que b = ak1 . Hipotese 2: b divide c. Isso signica que existe um numero inteiro k2 tal que c = bk2 . Tese: Queremos provar que a divide c, ou seja, queremos mostrar que existe um numero inteiro k3 tal que c = ak3 Demonstracao: Pelas hipoteses temos que existem inteiros k1 , k2 tais que b = a.k1 e c = b.k2. Substituindo a primeira express o na segunda teremos: a c = bk2 = (ak1 )k2 = a(k1 k2 ) = ak3

onde k3 = k1 k2 e um numero inteiro. O que prova que a divide c.

Pr el im

in ar25


Exemplo 1.24 Se n e um numero mpar ent o n2 e um numero mpar. a Hipotese: n e um numero mpar, i.e, k1 Z tal que n = 2k1 + 1 2 e um numero mpar, i.e, k Z tal que n2 = 2k + 1 Tese: n 2 2 Demonstracao: Como n e um numero mpar, existe um inteiro k1 tal que n = 2k1 + 1 e assim:

Como 2k2 + 2k1 e um numero inteiro, temos pela denicao que n2 e mpar. 1 Exerccios. Ex. 2.1 Demonstre as seguintes armacoes: a) Se a divide b e a divide c ent o a divide b + c. a

b) Se p, q s o numeros racionais, ent o p + q e um numero racional. a a * d) Se r1 e r2 s o razes distintas de p(x) = x2 + bx + c, ent o r1 + r2 = b e r1 r2 = c. a a c) Se p, q s o numeros racionais, ent o p q e um numero racional. a a

Demonstracao por Reducao ao Absurdo

Ve rs ao Exemplo 1.26 2 e irracional. 26

Uma demonstracao por reducao ao absurdo (tamb m conhecida como demonstracao e por contradicao ou ainda por reductio ad absurdum) e uma t cnica de demonstracao no e qual se demonstra que se algum enunciado fosse verdadeiro, ocorreria uma contradicao logica, e portanto o enunciado deve ser falso. Exemplo 1.25 Existem innitos numeros primos.

Demonstracao: Vamos demonstrar essa proposicao por reducao ao absurdo. Desta forma suponha que existem nitos numeros primos, que denotaremos por p1 , p2 , . . . , pn . Con sidere ent o o numero q = p1 p2 ...pn + 1. O numero q n o e divisvel por nenhum dos a a numeros p1 , p2 , ..., pn (o resto da divis o de q pelo primo pi e sempre 1). Logo, q e um a numero primo distinto de p1 , p2 , . . . , pn . Isto contradiz a nossa hipotese inicial de que existem apenas n numeros primos. Absurdo. Logo existem innitos numeros primos

Pr el im

in ar

n2 = (2k1 + 1)2 = 4k2 + 4k1 + 1 n2 = 2(2k2 + 2k1 ) + 1 1 1


Demonstracao: Faremos a demonstracao pelo m todo de reducao ao absurdo. Ou seja, e supomos que 2 e um numero racional, i.e., que existem numeros inteiros positivos a e b tais que: a = 2 b ou, equivalentemente: =2

Podemos supor que a e b n o s o ambos numeros pares, pois se fossem, poderamos a a simplicar a fracao at termos que pelo menos um dos termos da fracao seja mpar. e Agora, escrevemos: a b Ent o: a a2 = 2b22

=

Pr el im

a2 =2 b2

e Conclumos ent o que a2 e um numero par, pois e dobro de b2 . Logo a tamb m deve a ser par, pois se a fosse mpar o o seu quadrado tamb m seria mpar. e Temos ent o que a e um numero par e, portanto, e o dobro de algum numero inteiro, a digamos k: a = 2k (1.2)

Substituindo 1.2 em 1.1 temos:

Ve rs ao

(2k)2 = 2b2 4k2 = 2b2 2l2 = b2

De modo an logo, temos que b deve ser um numero par. O que e absurdo pois a e b a n o s o ambos numeros pares. Portanto, 2 tem que ser um numero irracional. Como a a queramos demonstrar.

Exemplo 1.27 N o existem solucoes inteiras positivas para a equacao x2 y2 = 1. a

in ar(1.1) (1.3)27

a b

2


Demonstracao: Vamos realizar a demonstracao por reducao ao absurdo. Desta forma, vamos supor que existe uma solucao (a, b) com a e b inteiros positivos, satisfazendo 2 b2 = 1. Ent o fatorando temos: a a a2 b2 = (a b)(a + b) = 1. Como a + b e a b s o inteiros cujo produto e 1, temos que ou a + b = a b = 1 ou a + a b = a b = 1. No primeiro caso, podemos adicionar as duas equacoes para obter a = 1 e y = 0, contradizendo o nosso pressuposto inicial de que a e b s o positivos. No segundo a caso de modo semelhante, obtemos que a = 1 e b = 0, novamente contrariando a nossa hipotese. Logo por reducao ao absurdo, temos que n o existem solucoes inteiras positivas a 2 y2 = 1. para a equacao x

Exerccios.

Ex. 2.2 Use o m todo de reducao ao absurdo para provar cada um das seguintes e proposicoes. 3 a) 2 e irracional. b) N o existem solucoes inteiras positivas para a equacao x2 y2 = 10. a c) N o existem solucoes racionais para a equacao x5 + x4 + x3 + x2 + 1 = 0. a d) Dados a, b, c numeros inteiros. Mostre que se a n o divide bc, ent o a n o divide a a a b.

Demonstracao por Contraposicao

Ve rs ao 28

O m todo de demonstracao por contraposicao baseia-se no fato que uma implicacao e p implica q e equivalente a sua contrapositiva n o q implica n o p. Assim, no m todo de a a e demonstracao por contraposicao ao inv s de se demonstrar a implicacao p implica q, e demonstra-se que n o q implica n o p. Vejamos alguns exemplos. a a

Exemplo 1.28 Se n e m s o numeros inteiros para os quais n + m e par, ent o n e m tem a a a mesma paridade.

Vamos provar essa proposicao usando o m todo de demonstracao por contraposicao. e Observe que a vers o contrapositiva deste teorema e: Se n e m s o dois numeros inteiros a a com paridades opostas, ent o sua soma n + m deve ser mpar. a Para a vers o contrapositiva temos: a

Pr el im

in ar


Hipotese: n e m s o dois numeros inteiros com paridades opostas, a Tese soma n + m deve ser mpar Demonstracao: Faremos a demonstracao por contraposicao. Desta forma supomos que n e m tem paridades opostas, ou seja, um deles e par e o outro mpar, e assim n o h a a perda de generalidade em supor que n e par e m e mpar. Logo, existem inteiros k1 e k1 tais que n = 2k1 e m = 2k2 + 1. Calculando a soma n + m = 2k1 + 2k2 + 1 = 2(k1 + k2 ) + 1

e observando que k1 + k2 e um numero inteiro, temos que n + m e um inteiro mpar, por denicao. Qual a diferenca entre uma demonstracao por contraposicao de uma demonstracao por reducao ao absurdo? Vamos analisar como os dois m todos de trabalho ao tentar provar Se p, ent o q. e a M todo de reducao ao absurdo: assuma p e n o q e ent o devemos provar que estas e a a duas hipoteses levam a algum tipo de contradicao logica. M todo de contraposicao: assuma n o q e ent o devemos provar n o p. e a a a

O m todo de contraposicao tem a vantagem de que seu objetivo e claro, temos que e demonstrar n o p. Por outro lado, no m todo da contradicao, o objetivo e demonstrar a e uma contradicao logica, por m nem sempre e claro qual e a contradicao que vamos e encontrar.

Ve rs ao Como 2k2 e um inteiro, n2 e par. Exerccios.

a Exemplo 1.29 Se n2 e mpar, ent o n e mpar Demonstracao: Nesse caso a contrapositiva e: se n e par ent o n2 e par a Assim por contraposicao. Suponha ent o que n e par, logo existe um numero inteiro k a tal que n = 2k, e assim: n2 = (2k)2 = 4k2 = 2(2k2 )

Ex. 2.3 Prove cada uma das seguintes proposicoes pelo m todo de contraposicao. e

Pr el im

in ar29


a) Se x e y s o dois numeros inteiros cujo produto e par, ent o pelo menos um dos a a dois deve ser par. b) Se x e y s o dois numeros inteiros cujo produto e mpar, ent o ambos t m de ser a a e mpares. c) Se a e b s o numeros reais tais que o produto ab e um numero irracional, ent o a a ou a ou b deve ser um numero irracional. Ex. 2.4 Mostre que o produto de um numero racional n o nulo com um numero a irracional e um numero irracional.

Ex. 2.5 Mostre que se a e b s o numeros racionais, ent o a + b e um numero racional. a a Ex. 2.6 Mostre que um numero inteiro de 4 dgitos e divisvel por 3 se a soma dos seus dgitos for divisvel por 3.

Demonstracoes de se e somente se

Muitos teoremas na matem tica s o apresentados sob a forma p se, e somente se, q. a a Essa armacao e equivalente a se p, ent o q e se q, ent o p. Logo, para demonstrar a a uma armacao da forma p se, e somente se, q, devemos demonstrar duas implicacoes separadamente. Exemplo 1.30 Dois inteiros a e b, possuem paridades diferentes se, e somente se, a + b e um numero mpar

Ve rs ao 30

Demonstracao: Temos que provar duas implicacoes: Se a e b possuem paridades diferentes ent o a + b e um mpar; a Se a + b e mpar ent o a e b possuem paridades diferentes. a

Vamos provar a implicacao: se a e b possuem paridades diferentes ent o a + b e mpar. a Sem perda de generalidade como por hipotese a e b possuem paridades diferentes, podemos assumir que a e par e que b e mpar. Desta forma existem inteiros k1 , k2 tais que a = 2k1 e b = 2k2 + 1, e assim: a + b = 2k1 + 2k2 + 1 = 2(k1 + k2 ) + 1

Pr el im

in ar


e assim a + b e mpar. Agora, demonstraremos a implicacao: se a + b e mpar ent o a e b possuem paridades a diferentes. Na verdade provaremos a contrapositiva dessa armacao: se a e b possuem paridades iguais ent o a + b e par. a Temos dois casos a considerar ambos a e b pares e ambos a e b mpares. Se a e b s o ambos pares ent o existem k1 , k2 tal que a = 2k1 e b = 2k2 e desta forma a a

e assim a + b e par. Se a e b s o ambos mpares ent o existem k1 , k2 tal que a = 2k1 + 1 e b = 2k2 + 1 e a a desta forma a + b = 2k1 + 1 + 2k2 + 1 = 2(k1 + k2 + 1) e assim a + b e par.

Exerccios.

Ex. 2.7 Dado dois inteiros a e b, o produto ab e um numero par, se e somente se, pelo menos um dos numeros inteiros, a ou b, for par. Ex. 2.8 Dados a, b, c inteiros com c divide bc. 0. Mostre que a divide b se e somente se ac

Ve rs ao

Pr el im

in ar31

a + b = 2(k1 + k2)


Ve rs ao

Pr el im

in ar


22.1

G E N E R A L I DA D E S S O B R E C O N J U N TO S

Denicao ingenua de conjunto

Um conjunto e uma qualquer colecao de objetos, concretos ou abstratos. Dado um con junto, isto e, uma colecao de objetos, diz-se que cada um destes objetos pertence ao conjunto dado ou, equivalentemente, que e um elemento desse conjunto. Exemplos 2.1

o conjunto das disciplinas de um curso; o conjunto das letras desta frase;

o conjunto dos jogadores de um time de futebol; o conjunto dos times de futebol de um estado;

o conjunto dos conjuntos dos times de futebol de um estado; o conjunto das id ias que Leonardo da Vinci nunca teve; e

Ve rs ao Exemplos 2.2 x

o conjunto dos numeros naturais.

Notacoes. Para denotar um conjunto gen rico, usam-se normalmente letras maiusculas e A, B, C, . . . Z, enquanto para seus elementos usam-se letras minusculas a, b, c, . . . z (atencao: essa e somente uma notacao comum, n o uma regra, at mesmo porque um conjunto pode a e ser, por sua vez, um elemento de outro conjunto, caso em que a notacao n o poderia ser a respeitada). A relacao de pertin ncia e denotada pelo smbolo . J o smbolo e usado e a para denotar a n o-pertin ncia (quando isso zer sentido). a e

a A denota o fato de que o objeto a pertence ao conjunto A; C denota o fato de que x n o e um elemento do conjunto C. a

Pr el im33

in ar

conceitos b a sicos


Formas de descrever um conjunto

O modo matem tico de descrever um conjunto lanca m o das chaves { }, sendo usadas a a no formato gen rico e { descricao dos elementos ou de suas propriedades }. H uma sutil mas importante diferenca entre descrever os elementos de um conjunto (o a que ser chamado de descricao enumerativa) ou descrever as propriedades desses elemena tos (o que ser chamado de descricao predicativa). Na descricao enumerativa, mais simples a (mas nem sempre possvel), os elementos s o apresentados explicita ou implicitamente, a como nos exemplos abaixo: Exemplos 2.3 {1, 2, 3} {a, b, c, d, e, f, g} {andr , bernardo, caetano} e

{ palavras da lngua portuguesa } { alunos desta turma } {0, 1, 2, . . . }

Note que, no ultimo exemplo, lanca-se m o das retic ncias para indicar que o elenco dos a e elementos do conjunto continua indenidamente, segundo uma regra que ca implicitamente clara observando-se os primeiros elementos apresentados. J na descricao predicativa, h a concorr ncia de duas condicoes: i) h um conjunto de a a e a refer ncia, ao qual pertencem os elementos do conjunto que se quer descrever (podemos e pens -lo com o domnio do discurso); ii) h uma propriedade que e satisfeita por todos a a os elementos do conjunto que se quer descrever, e somente por eles. O formato geral (em notacao matem tica) da descricao predicativa e a {x U | x satisfaz P}

Ve rs ao Exemplos 2.434

onde U denota o conjunto de refer ncia e P a propriedade que caracteriza os elemene tos do conjunto que est sendo descrito. A barra vertical | lida como tal que(ou a e tais que, dependendo da concord ncia de numero) e, em seu lugar, e tamb m comum a e empregar o smbolo :. Abaixo, alguns exemplos desse modo predicativo (para esses ex emplos, N denota o conjunto dos numeros naturais e R denota o conjunto dos numeros reais):

Pr el im

in ar


{n N | n + 1 e um multiplo de 10} {x R : x2 + 2x 1 > 0} { alunos desta turma que usam o trem como meio de transporte } { numeros mpares que tamb m s o primos } e a

Ao tratarmos os conjuntos como meras colecoes de objetos, estamos livres de tomar qual quer colecao imagin vel. O limite para tal, se existir, e a propria criatividade da mente hu a mana. Mas desse modo podem aparecer problemas logicos irremedi veis, como mostra a o paradoxo abaixo.

Ve rs ao

Uma an lise do paradoxo acima pode ser encontrada no Ap ndice, mas adiantemos a e aqui sua conclus o: tal conjunto C n o pode existir, a n o ser as custas da consist ncia a a a e ` logica do nosso sistema. E essa constatacao ilustra a necessidade de se desenvolver um conceito de conjuntomais elaborado, de modo a evitar paradoxos e inconsist ncias. Tal e elaboracao foge totalmente ao escopo deste texto, mas sua necessidade n o poderia ter a sido omitida. Com esse cuidado em mente, nos ser suciente, para efeito dos nossos a objetivos, lancar m o da denicao ing nua de conjunto dada no incio deste captulo, a e uma vez que lidaremos somente com conjuntos razo veis. a

Pr el im

Paradoxo de Russell. H conjuntos que s o elementos de si mesmos: o conjunto de todos os a a conjuntos imagin veis e um elemento de si mesmo, pois trata-se evidentemente de um a conjunto imagin vel (acabamos de imagin -lo); o conjunto de todas as coisas que n o s o a a a a comestveis n o e comestvel, logo e um elemento de si mesmo. H tamb m os conjuntos a a e que n o s o elementos de si mesmos: o conjunto dos mamferos n o e um mamfero; a a a o conjunto dos alunos desta turma n o e um aluno desta turma. Para distinguir uma a classe de conjuntos da outra, chamemos de endol gicos os conjuntos que s o elementos o a de si mesmos e de exol gicos os conjuntos que n o s o elementos de si mesmos. Evideno a a temente, todo conjunto e elemento de uma classe ou da outra, n o podendo pertencer a a ambas. Denote ent o por C o conjunto de todos os conjuntos exologicos. A qual classe a um conjunto endologico? E exologico? pertence o conjunto C? E

in ar35

Alguns cuidados com essa nocao ingenua dos conjuntos


2.2

relac o es elementares

Subconjuntos e superconjuntos

Seja dado um conjunto A. Dizemos que um conjunto B e um subconjunto do conjunto A (ou, equivalentemente, que B est contido em A) se todo elemento de B e tamb m a e elemento de A. Denota-se tal situacao por B A. Em smbolos,

se, e somente se, x B x A.

A mesma situacao pode ser descrita dizendo que A e um superconjunto de B ou, mais comumente, que A cont m B, denotando-se tal relacao por A B. e

1. P N, uma vez que todo numero natural par e, obviamente, um numero natural. 2. Todo numero natural e um numero inteiro, logo Z N.

3. Todo numero natural mpar e o sucessor de algum numero natural par, logo I S. 4. Se um numero natural e o sucessor de um numero par, ent o tal numero e necesa sariamente mpar, ou seja, I S.

Ve rs ao se, e somente se,36

Os dois ultimos exemplos acima traduzem o simples fato de que os conjuntos S e I coincidem1 . Temos, de fato, a seguinte

Denicao 2.6 Se dois conjuntos A e B satisfazem as relacoes A B e B A simultanea mente, ent o dizemos que tais conjuntos s o iguais, isto e, A = B. Em smbolos, a a A=B

1 Note, em particular, que o smbolo , ou mesmo , n o exclui a possibilidade da igualdade entre os a conjuntos

Pr el imx A x B.

Exemplos 2.5 Para os exemplos que se seguem, denote por P o conjunto dos numeros naturais pares (note que tal conjunto inclui o zero), por I o conjunto dos numeros nat urais mpares e seja S = {n N | n + 1 P} o conjunto dos numeros naturais que s o a sucessores de algum numero natural par. Denote ainda por Z o conjunto dos numeros inteiros.

in ar

BA


para um certo n N. Logo, a = 2n, ou seja, a e divisvel por 2. Conclumos que a e par, isto e, a P. Provamos, desse modo, que todo elemento de A e tamb m elemento de P, e ou seja, A P. Para provar a outra inclus o, devemos vericar que todo elemento de P e tamb m ela e emento de A. Seja ent o n P um elemento qualquer. Como n e par (condicao para a pertencer ao conjunto P), ele e divisvel por 2. Assim, existe algum numero natural m tal que n = 2m Dividindo ambos os membros da equacao acima por 2, obtemos n =m 2

Ve rs ao

isto e, a metade de n e um numero natural. Desse modo, n A, donde conclumos que P A. Tendo vericado que valem as inclusoes A P e A P, podemos concluir que vale a igualdade desejada, isto e, A = P. Uma vez que a relacao de inclus o do tipo B A inclui a possibilidade que os conjuntos a A e B sejam iguais (em outras palavras, a relacao X X e sempre v lida, para qualquer a conjunto X), precisamos de outra notacao e nomenclatura para os casos em que queremos evitar tal possibilidade. Nesses casos, falamos em inclus o pr pria (ou estrita), denotando a o por B A. Em smbolos, B A B A e B A.

Pr el im

a =n 2

in ar37

Vale destacar, portanto, que uma igualdade entre conjuntos e a sntese de duas in clusoes. Tal interpretacao e util, particularmente, em demonstracoes envolvendo igual dade de conjuntos. Por exemplo, consideremos o conjunto A constitudo pelos numeros naturais cuja metade tamb m e um numero natural e comparemos o conjunto A com o e conjunto P dos exemplos acima, isto e, o conjunto dos numeros naturais pares. Poderamos simplesmente dizer que, evidentemente, tais conjuntos s o iguais. Entretanto, descona ando das evid ncias (o que e um h bito saud vel), vejamos como demonstrar a iguale a a dade A = P. Tendo em mente que tal igualdade traduz as duas armacoes A P e A P, precisamos trabalhar com cada uma separadamente. Para provar a primeira, devemos mostrar que todo elemento de A e tamb m elemento de P. Assim, tomemos um elemento a A. Tal e elemento deve possuir, portanto, a propriedade de que a/2 e um numero natural, isto e


Assim, quando dizemos que B est contido propriamente em A (ou que B e um subcona junto pr prio de A), estamos armando duas coisas: i) todo elemento de B e elemento de o A; ii) existe ao menos um elemento de A que n o pertence a B. Evidentemente, uma a observacao an loga cabe para a inclus o propria A B. a a Sobre notacoes. E comum encontrar um uso diferente para o smbolo (ou ) na liter atura. Em alguns textos ou artigos, de fato, o smbolo (ou ) e usado com o mesmo signicado que demos ao smbolo (respectivamente, ). Nesse caso, para indicar a inclus o gen rica (i.e. n o propria), tais textos usam o smbolo (respectivamente ). a e a Assim, ao se consultar outras refer ncias bibliogr cas, e salutar vericar qual o signie a cado ali adotado para os smbolos de inclus o. a

A armacao acima equivale a proposicao x x A. Como vimos no captulo ante ` rior, uma implicacao e falsa somente quando sua premissa e verdadeira e sua conclus o a falsa. Em particular, vimos o argumento de vacuidade: uma implicacao cuja premissa e falsa e sempre uma implicacao verdadeira, independentemente do valor verdade de sua conclus o. E esse exatamente o caso acima: a premissa x e falsa, enquanto que a a conclus o x A tem valor de verdade indeterminado. a

Ve rs ao Exerccios. a) {} c) = {} b) {}38

Outro modo de justicar a mesma implicacao e atrav s de sua contra-positiva: x A e x . Nesse caso, a premissa pode ser verdadeira ou falsa, sendo impossvel determinar o valor verdade a priori (anal, sequer sabemos qual conjunto e A). Entretanto, a con clus o x e evidentemente verdadeira. Assim, a implicacao e verdadeira, qualquer a que seja o valor verdade da premissa.

Ex. 2.1 Determine se as armacoes abaixo s o verdadeiras ou falsas: a

Pr el im A.

Conjunto vazio. Assumimos a exist ncia de um conjunto que n o possui nenhum ele a emento. Tal conjunto e chamado de conjunto vazio e denotado por . Dado qualquer conjunto A, vale sempre a relacao de inclus o a

in ar


Conjunto pot ncia. Seja dado um conjunto A. O conjunto de todos os subconjuntos de e A e chamado de conjunto pot ncia de A (ou tamb m conjunto das partes de A) e e e e denotado por (A). Note que, qualquer que seja o conjunto A, o conjunto pot ncia (A) e sempre cont m, pelo menos, os elementos e A. e Exemplos 2.7. Sejam dados os conjuntos A = {1, 2} e B = {x, y, z}. Ent o: a

(B) = {, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x, z}, {y, z}, {x, y, z}}

E importante destacar um erro comum quando se fala em conjunto das partes. Tomemos o conjunto A do exemplo acima. E falso armar que 1 (A) (ou pior, que 1 A). O correto e {1} (A) (o que equivale a dizer que {1} A). Em suma, vale a relacao

A melhor maneira de evitar erros como o ilustrado acima e ter sempre em mente o signicado das relacoes de pertin ncia e de inclus o. A primeira e uma relacao entre e a elemento e conjunto, enquanto a segunda e uma relacao entre conjunto e conjunto. Assim, os elementos de (A) s o subconjuntos de A. J os elementos de A, estes n o s o, em a a a a geral, elementos de (A). Exerccios.

Ex. 2.2 Na ultima observacao, dissemos que os elementos de um conjunto A n o s o, a a em geral, elementos de (A). D um exemplo de conjunto A tal que A (A) . e

Ve rs ao 2.3 operac o es

Ex. 2.3 Se A e um conjunto com n elementos, quantos elementos possui o conjunto pot ncia (A)? (Veremos, mais adiante, duas solucoes para este exerccio: uma no cone texto do Princpio de Inducao, outra no contexto de Combinatoria).

Uni o e interseccao. Dados dois conjuntos A e B, o conjunto uni o A B e o conjunto a a formado pelos elementos que pertencem a A ou a B, isto e x A B x A ou x B.

Pr el im

X (A) X A.

in ar39

(A) = {, {1}, {2}, {1, 2}}


O conjunto interseccao A B e formado pelos elementos que pertencem simultanea mente a A e B, isto e x A B x A e x B. Exemplos 2.8. Dados os conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {1, 3, 5} e C = {4, 5, 6}, tem-se: A B = {1, 2, 3, 5}

A C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} AC = B C = {1, 3, 4, 5, 6} B C = {5}

Quando dois conjuntos A e B n o t m nenhum elemento em comum, i.e. quando A B = a e , dizemos que estes conjuntos s o disjuntos. A uni o de dois conjuntos disjuntos e a a 2. tamb m chamada de uni o disjunta e pode ser denotada pelo smbolo e a Propriedade 2.9 Sejam dados dois conjuntos A e B. Das denicoes acima, seguem imediata mente as seguintes propriedades: 1. A A = A = A A

2. A = A e A = 3. A B A A B

Ve rs ao 4. A B B A B40

5. A (B C) = (A B) (A C) 6. A (B C) = (A B) (A C)

A ttulo de exemplo, vamos provar a terceira e a quinta dessas propriedades. Iniciemos com a terceira: AB A AB

2 A rigor, pode-se falar em uni o disjunta de conjuntos quaisquer, mesmo n o disjuntos. Nesse caso, os a a eventuais elementos da interseccao dos conjuntos passam a ser considerados distintos, o que se obt m e indexando os elementos de cada conjunto.

Pr el im

in ar

A B = {1, 3}


Na verdade, trata-se de duas inclusoes de conjuntos: AB A e A A B.

Provemos agora a quinta propriedade: A (B C) = (A B) (A C). Nesse caso, temos uma igualdade de conjuntos. Conv m, portanto, trat -la como duas inclusoes: e a A (B C) (A B) (A C) e

(A B) (A C) A (B C).

Ve rs ao

Iniciando pela primeira inclus o, devemos provar a implicacao a x A (B C) x (A B) (A C).

Se A (B C) = , a implicacao e verdadeira por vacuidade. Caso contr rio, seja x a A (B C). Antes de prosseguir, tenhamos em mente que queremos provar que x (A B) (A C), i.e. x AB e x A C.

Pois bem, segundo a premissa, temos que x A ou x B C. H , portanto, dois casos a a serem analisados. Se x A, ent o x A B, assim como x A C (estamos usando, na a verdade, a terceira propriedade, que acabamos de provar). Logo, no caso em que x A, podemos concluir que x (A B) (A C). J no caso em que x B C, temos que a

Pr el im

Vejamos uma de cada vez. Para provar a primeira, precisamos vericar a implicacao: x A B x A. Se for A B = , ent o a implicacao acima e verdadeira por a vacuidade (n o custa lembrar que isso equivale ao fato, j conhecido, de que o conjunto a a vazio e subconjunto de qualquer conjunto). Suponhamos ent o que A B a . Nesse caso, se x pertence a interseccao de A e B, ent o x pertence tanto ao conjunto A quanto a ` ao conjunto B. Em particular, o que nos interessa nesse caso e que x pertence ao con junto A. Isso e exatamente o que arma a implicacao acima, logo e verdadeira a inclus o a A B A. Com relacao a segunda inclus o, i.e. A A B, a id ia e similar. Precisamos provar ` a e a implicacao: x A x A B. Novamente, se A = , a implicacao e v lida a (por vacuidade). J no caso A a , tomemos x A. Para que x seja um elemento da uni o A B, deve satisfazer a ao menos uma das condicoes: x A ou x B. Mas a a primeira condicao e garantida pela hipotese acima. Logo, x tamb m e elemento da uni o e a .

in ar41


x B e x C. Usando a quarta propriedade acima (cuja prova seria totalmente an loga a a da terceira propriedade), vale as implicacoes: ` x B x AB e x C x A C,

Queremos agora provar a segunda inclus o: a

(A B) (A C) A (B C).

concluindo a demonstracao da quinta propriedade.

Ve rs ao A\B = {2} B\A = {5} A\C = A C\A = C42

Diferenca de conjuntos. Dados dois conjuntos A e B, dene-se a diferenca A\B (tamb m e denotada por AB) como sendo o conjunto formado pelos elementos de A que n o a pertencem a B, isto e A\B := {a A | a B}. Exemplos 2.10 Dados os conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {1, 3, 5}, C = {4, 5, 6} e D = {2, 3}, tem-se:

Pr el im(A B) (A C) A (B C),

O procedimento e semelhante ao anterior, portanto seremos mais diretos. Se (A B) (A C) = , a inclus o vale por vacuidade. Caso contr rio, seja x (A B) (A C). a a Temos que x A B, assim como x A C. Da primeira, segue que x A ou x B. Se x A, ent o x A (B C) (que e o que queremos provar). Se x B, usemos o fato a de que x A C. Deste, segue que x A ou x C (al m de x B). J consideramos e a o caso em que x A (no qual vericamos a validade da inclus o). Se x C, temos que a x B C, logo x A (B C), como queramos. Desse modo, provamos a inclus o a

in ar

ou seja, podemos tamb m nesse caso concluir que x (A B) (A C). Em suma, e provamos a inclus o a A (B C) (A B) (A C).


A\D = {1} D\A = B\C = {1, 3} C\B = {4, 6}

D\B = {2} C\D = C D\C = D

1. A\A = 2. A\ = A 3. \A =

Complementar de um conjunto. Seja xado um conjunto U. Dado um subconjunto qualquer A U, dene-se o complementar de A relativamente a U, denotado por U A, como sendo o conjunto U\A. Isto e, U A = {x U | x A}.

Ve rs ao

Num certo sentido, a operacao do complementar e id ntica a operacao diferenca. O que e ` pode distinguir uma da outra e o papel desempenhado pelo conjunto U, o qual atua como um conjunto de refer ncia (um conjunto universo, em um sentido relativo, como e j chamamos atencao anteriormente). Em outras palavras, a operacao do complementar a age sobre os subconjuntos de um conjunto referencial, enquanto a operacao de diferenca opera sobre dois conjuntos quaisquer.

Observacao. Durante o curso, toda vez que o conjunto de refer ncia estiver implicitamente e xado, adotaremos uma notacao simplicada para o complementar de um conjunto. As sim, nesses casos, ao inv s da notacao acima, denotaremos o complementar de um cone C junto A simplesmente por A .

Pr el im

Propriedade 2.11 Sejam dados dois conjuntos A e B. Das denicoes acima, seguem imediata mente as seguintes propriedades:

in ar43

B\D = {1, 5}


Exemplos 2.12. Fixemos o conjunto universo U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e tomemos os subconjuntos A, B e C do exemplo anterior. Ent o: a AC = {4, 5, 6} BC = {2, 4, 6} CC = {1, 2, 3} Propriedade 2.13 . Seja dado um conjunto U e seja A U. Da denicao, seguem imediata mente as seguintes propriedades: 1. C = U 2. UC = 3. (AC )C = A 4. A AC = U 5. A AC = Exerccios.

Ex. 3.1 Dene-se a diferenca sim trica A B como sendo a uni o das diferencas A\B e a e B\A, isto e A B := (A\B) (B\A). Verique as seguintes propriedades: a) A A = b) A = A c) A B = B A

Ve rs ao 44

Ex. 3.2 Determine as diferencas sim tricas entre os conjuntos A, B, C, D do Exem e plo 2.3. Ex. 3.3 (Exerccio resolvido) Mostre que, dados quaisquer conjuntos A e B, tem-se que A B = (A B)\(A B).

Diagramas de Venn-Euler. Uma forma gr ca para representar conjuntos e dada pelos a diagramas de Venn-Euler, atrav s dos quais cada conjunto e representado por uma regi o e a

Pr el im

in ar


plana limitada e a relacao entre tais conjuntos e representada pela posicao relativa dessas regioes. A gura abaixo ilustra alguns exemplos: A AB A B B A A\B B

AC AB

A

Produto cartesiano. Sejam dados dois conjuntos n o vazios A e B. Dene-se o produto a cartesiano de A e B, denotado por A B como sendo o conjunto formado pelos pares ordenados (x, y), onde o primeiro elemento pertence a A e o segundo a B, isto e A B := {(a, b) | a A, b B}.

Ve rs ao

Nunca e demais lembrar que um par ordenado (a, b), como objeto matem tico, e difera ente do conjunto {a, b}. Este ultimo caracteriza-se unicamente por conter os elementos a e b, enquanto que o par ordenado (a, b) impoe uma ordem entre os elementos. Em breve, tem-se que {a, b} = {b, a}, mas (a, b) (b, a) (excecao feita, evidentemente, ao caso em que a = b). Exemplos 2.14 Mais uma vez, tomemos os conjuntos A, B, C e D do Exemplo 2.3. Tem-se: A B = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 1), (2, 3), (2, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5)} B A = {(1, 1), (3, 1), (5, 1), (1, 2), (3, 2), (5, 2), (1, 3), (3, 3), (5, 3)} A C = {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6)} C A = {(4, 1), (5, 1), (6, 1), (4, 2), (5, 2), (6, 2), (4, 3), (5, 3), (6, 3)} A D = {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)} D A = {(2, 1), (3, 1), (2, 2), (3, 2), (2, 3), (3, 3)}

Pr el im

Note que os diagramas acima s o meras representac oes dos conjuntos, n o de

Documents

Bases Mate Ma Tic As