BARISAN FIBONACCI DAN LUCAS DENGAN SUBSKRIP

BILANGAN REAL

(Skripsi)

Oleh

SRI AJENG RAHMATANTI

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG

2020

ABSTRACT

FIBONACCI AND LUCAS NUMBERS WITH REAL SUBSCRIPT

By

Sri Ajeng Rahmatanti

In this study the notion of the Fibonacci and Lucas numbers is extended onto real

subscript. Next, these new numbers are used for calculating real powers of certain

matrics. The presented method to the extension of elements of linear recurrence

sequence to real subscript ought to find practical applications in wide understanding

metrology and medical diagnostics.

Kata kunci :Fibonacci numbers, Lucas numbers, Euler formula.

ABSTRAK

BARISAN FIBONACCI DAN LUCAS DENGAN SUBSKRIP

BILANGAN REAL

Oleh

Sri Ajeng Rahmatanti

Pada penelitian ini pengertian bilangan Fibonacci dan Lucas diberikan dengan

subskrip real. Secara umum, jika subskrip bukan interger (bilangan bulat) maka

merupakan bilangan kompleks. Langkah berikutnya, akan diberikan beberapa sifat

dasar bilangan Fibonacci dan Lucas dan membuktikan beberapa sifat dasar bilangan

tersebut serta beberapa aplikasi.

Kata kunci :Barisan Fibonacci, barisan Lucas, formula Euler.

BARISAN FIBONACCI DAN LUCAS DENGAN SUBSKRIP

BILANGAN REAL

Oleh

SRI AJENG RAHMATANTI

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Mencapai Gelar

SARJANA MATEMATIKA

Pada

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG

2020

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Bandar Lampung pada tanggal 05 Desember 1997. Sebagai

anak kedua dari Bapak (alm.) Totok Subyantoro dan Ibu Farina Oktari Kusumayuda.

Penulis menempuh pendidikan Sekolah Dasar Negeri (SDN) 2 Rawalaut pada tahun

2004-2010, Sekolah Menengah Pertama Negeri (SMPN) 1 Bandar Lampung pada

tahun 2010-2013, Sekolah Menengah Atas Negeri (SMAN) 8 Bandar Lampung pada

tahun 2013-2016.

Pada tahun 2019 Penulis melaksanakan Kuliah Kerja Nyata (KKN) di Desa Batu

Patah, Kecamatan Kelumbayan Barat, Kabupaten Tanggamus, Provinsi Lampung.

Pada tahun 2019 penulis melaksanakan Kerja Praktek (KP) di Badan Keuangan

Daerah Provinsi Lampung.

PERSEMBAHAN

Puji Sykur kepada Allah SWT, Karena atas limpahan berkah, rahmad, dan

karunia-Nya skripsi ini dapat diselesaikan.

Ku persembahkan karya sederhana penuh perjuangan dan kesabaran ini

kepada :

Bapak, Ibu, Pun, dan Keluarga Besar

Datuk (alm.) Ansori Kusumayuda

Almamater yang kucintai, Universitas Lampung

KATA INSPIRASI

“Beberapa orang memimpikan kesuksesan, sementara yang lain bangun setiap

pagi untuk mewujudkannya.”

(Wayne Huizenga)

“Allah tidak membebani seseorang melainkan sesuai dengan kesanggupannya.”

(Q.S. Al-Baqarah : 286)

“Kamu tidak bisa kembali dan mengubah awal saat kamu memulainya, tapi

kamu bisa memulainya lagi dari di mana kamu berada sekarang

dan ubah akhirnya.”

(C.S Lewis)

“Hidup bukan tentang mendapatkan apa yang kamu inginkan, tetapi

tentang menghargai apa yang kamu miliki.”

“At the end of the day, all of us are the winner.”

SANWACANA

Penulis mengucapkan puji syukur kehadirat Allah SWT, karena dengan ridho dan

karunia-Nya serta atas berkah dan rahmat-Nya sehinga penulis dapat menyelesaikan

skripsi yang berjudul “Barisan Fibonacci dan Lucas dengan Subskrip Bilangan Real”.

Selesainya penulisan skripsi ini adalah berkat motivasi, pengarahan sertabimbingan

dari berbagai pihak. Dengan segala kerendahan dan ketulusan hati penulis ingin

menyampaikan ucapan terima kasih kepada :

1. Bapak Amanto, S.Si.,M.Si. selaku pembimbing pertama sekaligus pembimbing

akademik atas saran, bimbingan, arahan, motivasi, dan kesabaran dalam

membimbing penulis selama penelitian hingga penyelesaian skripsi dan memberi

arahan kepada penulis selama menuntut ilmu di Universitas Lampung.

2. Bapak Drs. Suharsono S.,M.S., M.Sc., Ph.D. selaku pembimbing kedua yang

telah memberihan arahan, saran, serta dukungan bagi penulis.

3. Bapak Dr. Muslim Ansori, S.Si.,M.Si. selaku Pembahas yang telah memberikan

ide, kritik dan saran sehingga terselesaikannya skripsi ini.

4. Ibu Prof. Dra. Wamiliana, M.A,.Ph.D. selaku Kepala Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas

Lampung.

5. Bapak Drs. Suratman, M.Sc. selaku Dekan FMIPA Universitas Lampung.

6. Para Dosen dan Tenaga Didik Jurusan Matematika FMIPA Universitas

Lampung.

7. Alm. Bapak, Ibu, Pun, Punratu, Papa Tuan, Mama Tuan, Menak, Bunbun, Om

Ajo, Binbin, Paman, Kanjeng, Tuan, Ajo, Rajo, Wanda, Adek Iko, Pima, Adek

Tisa, Hanifa, Raufi, dan Adek Umar yang selalu memberikan motivasi,

semangat, dan doa yang tak terhingga kepada penulis.

8. Sahabat-sahabat penulis Muti, Handoko, Yolanda, Hanna, Stevi, Patricia yang

telah membantu, memberikan semangat dan kecerian pada penulis.

9. Teman-temanku Mona, Astri, Devita, Desfan, Indah, Sandria yang telah

memberikan keceriaan dan semangat bagi penulis.

10. Teman-teman Matematika 2016 yang selalu menjadi semangat bagi penulis.

11. Semua pihak yang terlibat dalam penyelesaian skripsi yang tidak dapat penulis

sebutkan satu per satu.

Penulis menyadari bahwa masih ada kekurangan dari skripsi ini, akan tetapi besar

harapan semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi kita semua.

Bandar Lampung, Januari 2020

Penulis

Sri Ajeng Rahmatanti

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR ISI ......................................................................................................... i

DAFTAR TABEL .............................................................................................. iii

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang dan Masalah ................................................................... 1

1.2 Tujuan Penelitian .................................................................................... 3

1.3 Manfaat Penelitian .................................................................................. 3

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Bilangan .................................................................................................. 4

2.1.1 Bilangan Eksponen...................................................................... 4

2.1.2 Bilangan Real .............................................................................. 5

2.1.3 Bilangan Kuadrat Sempurna ....................................................... 6

2.2 Barisan Bilangan ..................................................................................... 6

2.2.1 Barisan Aritmatika ...................................................................... 7

2.2.2 Barisan Geometri ........................................................................ 8

2.3 Teori Bilangan ........................................................................................ 9

2.4 Identitas Euler ....................................................................................... 10

2.5 Relasi Rekursi ....................................................................................... 10

2.6 Matriks .................................................................................................. 11

2.6.1 Operasi Pada Matriks ................................................................ 11

2.6.1.1 Penjumlahan Matriks .................................................. 11

2.6.1.2 Pengurangan Matriks .................................................. 12

2.6.1.3 Perkalian Matriks dengan Skalar ................................ 12

2.6.1.4 Perkalian Matriks dengan Matriks .............................. 13

2.6.1.5 Transpose Matriks ....................................................... 13

2.7 Induksi Matematika .............................................................................. 13

2.8 Barisan Fibonacci.................................................................................. 14

2.8.1 Barisan Fibonacci dan Beberapa Identitasnya .......................... 14

2.9 Barisan Lucas dan Beberapa Identitasnya ............................................ 21

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Tempat dan Waktu Penelitian ............................................................... 26

3.2 Metode Penelitian ................................................................................. 26

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1. Generalisasi Barisan Fibonacci dan Lucas ........................................... 29

4.2. Sifat-sifat Dasar Barisan ( ) dan ( ) ................................................. 33

4.3. Aplikasi Untuk Barisan ( ) dan ( ) .................................................. 37

V. KESIMPULAN

DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN

DAFTAR TABEL

Tabel Halaman

1. Perbandingan

.................................................................................. 15

1

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang dan Masalah

Matematika adalah ilmu yang mempelajari tentang besaran, struktur, bangun

ruang dan perubahan pada suatu bilangan. Matematika dan bilangan merupakan

satu kesatuan yang sangat berkaitan. Bilangan sendiri adalah suatu konsep

matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Simbol ataupun

lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan disebut sebagai angka

atau lambang bilangan. Konsep bilangan selama bertahun-tahun lamanya telah

diperluas untuk meliputi bilangan nol, bilangan negatif, bilangan rasional,

bilangan irasional, dan bilangan kompleks.

Dalam dunia matematika, terdapat ilmu yang dikenal dengan istilah teori bilangan.

Teori bilangan sendiri adalah cabang dari matematika murni yang mempelajari

sifat-sifat bilangan bulat dan mengandung berbagai masalah terbuka yang dapat

mudah dimengerti sekalipun bukan oleh ahli matematika. Dalam teori bilangan

dasar, bilangan bulat dipelajari tanpa menggunakan teknik dari area matematika

lainnya. Pertanyaan tentang sifat dapat dibagi, algoritme Euklidean untuk

menghitung faktor persekutuan terbesar, faktorisasi bilangan bulat dalam bilangan

prima, penelitian tentang bilangan sempurna dan kongruensi di pelajari di sini.

2

Pernyataan dasarnya adalah teorema kecil Fermat dan teorema Euler.

Juga teorema sisa Tiongkok dan hukum keresiprokalan kuadrat. Sifat dari fungsi

multiplikatif seperti fungsi Möbius dan fungsi phi Euler juga dipelajari. Demikian

pula barisan bilangan bulat seperti faktorial dan bilangan Fibonacci.

Pada abad ke-13, Leonardo da Pisa (yang dikenal juga dengan Leonardo Pisano

Fibonacci) menulis teks matematika dengan notasi Hindu-Arab ke dataran Eropa

untuk bilangan. Meskipun buku-buku yang ia tulis merupakan buku yang ditulis

menggunakan tangan, tetapi teks tentang matematika tersebut beredar luas.

Sedangkan bilangan Lucas adalah barisan bilangan bulat yang ditemukan oleh

matematikawan Perancis yang bernama Edward Anatole Lucas (1842-1891).

Edward Anatole Lucas adalah seorang pelopor dalam teori bilangan yang lebih

berpusat pada bilangan prima dan faktorisasi. Barisan atau bilangan Lucas sendiri

merupakan pengembangan dari bilangan Fibonacci yang mempunyai bentuk unik

dan lebih mudah dikenali (Suzyanna, 2011).

Dalam beberapa literatur didefinisikan bahwa bilangan Fibonacci dan Lucas

dengan subskrip (index) real. Pada umumnya menurut Jeannin (1991) serta

Horadam & Shannon (1988) definisi akan rumit jika subskrip bukan bilangan

bulat. Secara umum, jika subskrip bukan bilangan bulat (interger) maka

merupakan bilangan kompleks. Penulis akan mendefinisikan bahwa Fx dan Lx

adalah real jika index x adalah real. Pada bagian berikutnya akan diberikan

ekspresi dari Fx dan Lx dan beberapa sifat dari Fx dan Lx dalam bentuk

eksponensial. Penulis juga akan membatasi untuk mempertimbangkan nilai-nilai

3

hanya non negatif dari subskrip sehingga dalam semua pernyataan yang

melibatkan bentuk dan dan dapat dipahami bahwa y x.

1.2 Tujuan Penelitian

Adapun tujuan dari penelitian ini adalah:

1. Mengkaji konsep teori bilangan.

2. Mengkaji tentang bilangan Fibonacci dan Lucas.

3. Mengetahui kemungkinan menggunakan indeks real pada barisan bilangan

Fibonacci dan Lucas.

4. Mendapatkan hasil terbaik dalam pengkajian bilangan Fibonacci dan Lucas

dengan subskrip real.

1.3 Manfaat Penelitian

Adapun manfaat dari penelitian ini adalah:

1. Memberikan pengetahuan tentang teori bilangan.

2. Memberikan pengetahuan tentang bilangan Fibonacci dan Lucas dalam

subskrip real.

3. Memberikan sumbangan wawasan dalam rangka memperluas dan

memperdalam ilmu matematika terutama di bidang teori bilangan dengan

mengenalkan konsep bilangan Fibonacci dan Lucas.

4

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Bilangan

Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan

pengukuran. Simbol ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu

bilangan disebut sebagai angka atau lambang bilangan. Dalam matematika,

konsep bilangan selama bertahun-tahun lamanya telah di perluas untuk meliputi

bilangan nol, bilangan negatif, bilangan rasional, bilangan irasional, dan bilangan

kompleks. Bilangan adalah suatu ide yang bersifat abstrak yang akan memberikan

keterangan mengenai banyaknya suatu kumpulan benda. Lambang bilangan biasa

dinotasikan dalam bentuk tulisan sebagai angka (Spiegel, 1983).

2.1.1 Bilangan Eksponen

Bilangan eksponen ialah bentuk suatu bilangan perkalian dengan bilangan yang

sama kemudian di ulang-ulang atau pengertian singkatnya adalah perkalian yang

diulang-ulang. Bentuk umum dari bilangan eksponen adalah:

5

2.1.2 Bilangan Real

Bilangan real dalam matematika menyatakan bilangan yang bisa dituliskan dalam

bentuk desimal, seperti 2,4871773339… atau 3,25678. Bilangan riil

meliputi bilangan rasional, seperti 42 dan −23/129, dan bilangan irasional, seperti

π dan . Bilangan real juga dapat dilambangkan sebagai salah satu titik dalam

garis bilangan.

Menurut Pugh (2000), bilangan real ini berbeda dengan bilangan kompleks yang

termasuk di dalamnya adalah bilangan imajiner. Dalam bilangan real terdapat

fungsi eksponensial. Fungsi eksponensial adalah salah satu fungsi yang paling

penting dalam matematika. Biasanya, fungsi ini ditulis dengan notasi exp(x)

atau ex, di mana e adalah basis logaritma natural yang kira-kira sama dengan

2.71828183. Fungsi eksponensial terlihat hampir mendatar horizontal (naik

secara sangat perlahan) untuk nilai x yang negatif, dan naik secara cepat untuk

nilai x yang positif.

Sebagai fungsi variabel bilangan real x, grafik ex selalu positif (berada di atas

sumbu x) dan nilainya bertambah (dilihat dari kiri ke kanan). Grafiknya tidak

menyentuh sumbu x, namun mendekati sumbu tersebut secara asimptotik.

Invers dari fungsi ini, logaritma natural, atau ln(x), didefinisikan untuk

nilai x yang positif. Secara umum, variabel x dapat berupa bilangan real

atau bilangan kompleks, ataupun objek matematika yang lain (Pugh, 2000).

Dalam matematika, bilangan irasional adalah bilangan riil yang tidak bisa dibagi

(hasil baginya tidak pernah berhenti). Dalam hal ini, bilangan irasional tidak bisa

6

dinyatakan sebagai

, dengan a dan b sebagai bilangan bulat dan b tidak sama

dengan nol.

2.1.3 Bilangan Kuadrat Sempurna

Bilangan kuadrat sempurna adalah suatu bilangan yang diperoleh dari kuadrat

bilangan bulat (Burton, 1976).

Contoh 1: Berikut ini merupakan bilangan kuadrat sempurna yaitu 1, 4, 9, 16, 25,

36, 49, dst. Banyak faktor dari bilangan kuadrat sempurna adalah ganjil. Karena

ada satu pasang faktor yang berpasangan dengan bilangan itu sendiri. Sehingga

jumlah faktornya sebanyak bilangan ganjil. Faktor dari bilangan yang bukan

merupakan kuadrat sempurna, misalnya bilangan 8. Faktor-faktornya adalah 1, 8,

2, dan 4. Faktor-faktornya saling berpasangan, 1 dan 8, dan 2 dan 4. Sedangkan

pada bilangan kuadrat sempurna, misalnya 9 faktornya adalah 1, 9, dan 3. Yang

berpasangan hanyalah 1 dan 9, sedangkan 3 berpasangan dengan bilangan itu

sendiri. Beberapa bilangan kuadrat sempurna yang pertama adalah 1, 4, 9, 16, 25,

dst.

2.2 Barisan Bilangan

Di dalam matematika, sebuah barisan bilangan adalah daftar terurut dari suatu

bilangan. Seperti layaknya himpunan, suatu barisan juga memiliki anggota

(elemen) yang biasanya disebut suku. Barisan bilangan bisa berupa barisan

7

aritmetika maupun barisan geometri. Suku-suku yang berdekatan dari suatu

barisan aritemetika selalu memiliki selisih yang tetap/konstan, biasa disebut

dengan beda. Dalam barisan geometri hasil bagi suku-suku yang saling

berdekatan selalu tetap/konstan, yang disebut dengan rasio. Kedudukan setiap

suku pada barisan bilangan dapat dituliskan sebagai:

2.2.1 Barisan Aritmatika

Barisan aritmatika (barisan hitung) diperoleh dengan cara menjumlahkan atau

mengurangkan suku sebelumnya dengan suatu bilangan tetap yang dinamakan

beda. Ciri utama barisan aritmatika adalah selisih antara kedua suku yang

berurutan selalu tetap (Khairunnisa, 2018).

Contoh 2: Suatu barisan bernilai 5, 12, 19, 26,... Beda antar suku yang berurutan

selalu sama yaitu:

Maka, barisan bilangan 5, 12, 19, 26,... merupakan barisan aritmatika.

Misalkan pada suatu pola bilangan dengan dan beda disimbolkan dengan

b,maka akan terbentuk barisan aritmatika seperti berikut:

( )

8

Dimana:

( )

Jadi, rumus untuk menentukan suku ke-n dari suatu barisan aritmatika adalah:

( )

Dengan:

suku ke-n, dimana n bilangan bulat

= suku pertama ( )

b = beda

2.2.2 Barisan Geometri

Barisan geometri (barisan ukur) diperoleh dengan cara mengalikan suku

sebelumnya dengan suatu bilangan tetap yang dinamakan rasio. Rasio adalah

pembanding yang nilainya tidak sama dengan 0 (nol). Ciri utama barisan

geometri adalah nilai perbandingan atau rasio antara dua suku yang berurutan

selalu tetap (Khairunnisa, 2018).

Contoh 3: Suatu barisan bernilai 1, 4, 16, 64,... Rasio antar suku yang berurutan

selalu sama yaitu:

9

Maka, barisan 1, 4, 16, 64,... merupakan barisan geometri.

Misalkan pada suatu pola bilangan dengan dan rasio dapat disimbolkan

dengan r, maka akan terbentuk barisan geometri seperti berikut ini:

Dimana:

Jadi, rumus untuk menentukan suku ke-n dari suatu barisan geometri adalah:

( )

Dengan:

suku ke-n, dimana n bilangan bulat

= suku pertama ( )

r = rasio

2.3 Teori Bilangan

Teori bilangan adalah salah satu cabang tertua dari matematika, secara tradisional,

teori bilangan adalah cabang dari matematika murni yang mempelajari sifat-sifat

bilangan bulat dan memuat berbagai masalah terbuka yang dapat mudah

10

dimengerti sekalipun bukan oleh ahli matematika. Dalam teori bilangan dasar,

bilangan bulat dipelajari tanpa menggunakan teknik dari area matematika lainnya.

Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal misalnya

9, 21, 8765, -34, 0. Berlawanan dengan bilangan bulat adalah bilangan riil yang

mempunyai titik desimal, seperti 9.0, 34.5, 0.02 (Burton, 1976).

2.4 Identitas Euler

Identitas Euler (Persamaan Euler), dalam analisis matematika adalah suatu

persamaan:

Dimana:

= bilangan Euler

= unit imaginer

= rasio

2.5 Relasi Rekursi

Suatu relasi rekursi untuk sebuah barisan * + merupakan sebuah rumus untuk

menyatakan ke dalam satu atau lebih suku-suku sebelumnya dari barisan

tersebut untuk suatu bilangan bulat non-negatif. Suatu barisan disebut solusi dari

sebuah relasi rekursi jika suku-suku pada barisan tersebut memenuhi relasi

rekursinya.

11

2.6 Matriks

Matriks merupakan suatu susunan angka berbentuk segi empat. Bilangan-

bilangan dalam susunan tersebut disebut anggota dalam matriks. Ukuran matriks

diberikan oleh jumlah baris (garis horizontal) dan kolom (garis vertikal) yang

dikandungnya. Misal pada contoh dibawah ini, matriks pertama mempunyai tiga

baris dan dua kolom, sehingga ukurannya adalah 2 kali 2 (ditulis 2 x 2). Angka

pertama menyatakan jumlah baris dan angka kedua menyatakan jumlah kolom

(Anton, 2000).

*

+

2.6.1 Operasi Pada Matriks

2.6.1.1 Penjumlahan Matriks

Syarat pada penjumlahan matriks ialah harus memiliki ordo yang sama, dan

menambahkan pada posisi atau letak yang sama.

*

+ dan [

]

[

]

Contohnya adalah sebagai berikut:

*

+ dan *

+

[ ( ) ( ) ( ) ( )

]

12

*

+

2.6.1.2 Pengurangan Matriks

Pengurangan matriks A oleh matriks B, ditulis A-B adalah penjumlahan matriks A

dengan lawan dari matriks B yaitu (-B). Konsep pengurangan matriks ini sama

dengan penjumlahan matriks. Syarat pada pemjumlahan matriks berlaku juga

untuk pengurangan matriks.

*

+ dan [

]

[

]

Contohnya adalah sebagai berikut:

*

+ dan *

+

[ ( ) ( ) ( ) ( )

]

*

+

2.6.1.3 Perkalian Matriks dengan Skalar

Pada perkalian matriks dengan skalanya yaitu caranya yaitu mengalikan nilai

skalar dengan semua letak matriks, contohnya:

*

+ *

+

13

2.6.1.4 Perkalian Matriks dengan Matriks

Syarat perkalian matriks ialah jumlah kolom pada matriks pertama sama dengan

jumlah baris pada matriks kedua. Contohnya sebagai berikut:

(

) (

)

(( ) ( )( ) ( )

)

2.6.1.5 Transpose Matriks

Matriks transpose ialah matriks yang menukar baris menjadi kolom dan kolom

menjadi baris. Matriks transpose dilambangkan dengan . Contohnya adalah:

*

+

Menjadi:

[

]

2.7 Induksi Matematika

Induksi matematika adalah metode pembuktian yang sering digunakan untuk

menentukan kebenaran dari suatu pernyataan yang diberikan dalam bentuk

bilangan asli. Misalkan ( ) adalah proposisi bilangan bulat positif dan ingin

dibuktikan bahwa ( ) adalah benar untuk semua bilangan bulat positif n. Maka

langkah-langkahnya adalah sebagai berikut :

1. ( ) benar .

14

2. Diasumsikan ( ) benar, maka ( ) juga benar untuk setiap

.

Sehingga ( ) benar untuk semua bilangan bulat positif .

2.8 Barisan Fibonacci

Barisan ini pertama kali dijelaskan oleh matematikawan India yang bernama

Gopala dan Hemachandra pada tahun 1150 ketika menyelidiki berbagai

kemungkinan untuk memasukkan barang-barang ke dalam kantong. Di dunia

barat, barisan bilangan Fibonacci pertama kali dikemukakan oleh Leonardo Pisano

atau yang dikenal sebagai Fibonacci. Barisan Fibonacci merupakan sebuah

barisan yang memiliki bentuk unik. Suku pertama barisan bilangan ini adalah 1,

kemudian suku keduanya juga 1, lalu untuk suku ketiga ditentukan dengan

menjumlahkan kedua suku sebelumnya sehingga diperoleh barisan bilangan

dengan pola 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34......dst.

2.8.1 Barisan Fibonacci dan Beberapa Identitasnya

Definisi 2.1: Barisan Fibonacci adalah barisan yang didefinisikan sebagai:

dan untuk setiap n ≥ 2,

Keterangan:

F0 = bilangan suku pertama barisan Fibonacci

F1 = bilangan suku pertama barisan Fibonacci

Fn = bentuk umum barisan Fibonacci

Beberapa bilangan pada barisan Fibonacci di antaranya 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...

15

Barisan Fibonacci mempunyai banyak keunikan. Tabel 1 di samping akan

memperlihatkan salah satu contohnya bahwa untuk n semakin besar, nilai

mendekati

= 1,61803398875... Nilai lebih dikenal sebagai golden

rasio. ҩ

n Fn

n Fn

1 1

11 89

2 1

12 144

3 2

13 233

4 3

14 377

5 5

15 610

6 8

16 987

7 13

17 1597

8 21

18 2584

16

Tabel 1. Perbandingan

Selanjutnya akan diperlihatkan beberapa identitas yang fundamental dalam

bilangan Fibonacci. Identitas 1 memperlihatkan bahwa jumlah n bilangan dari

barisan Fibonacci sama dengan bilangan ke ( ) dikurangi dengan 1.

Identitas 1 (Koshy, 2001):

Bukti:

Dengan menggunakan Definisi 2.1, didapat , sehingga:

∙

∙

∙

Jika ruas kiri dan ruas kanan masing-masing dijumlahkan secara simultas, akan

didapat:

9 34

19 4181

10 55

20 6765

17

=

Identitas 2 (Koshy, 2001):

Pada Identitas 2 akan ditunjukkan jumlah bilangan pada barisan Fibonacci pada

suku-suku yang genap:

Bukti:

Dengan menggunakan Definisi 2.1, didapat sehingga:

∙

∙

∙

Jika ruas kiri dan ruas kanan masing-masing dijumlahkan secara simultan, maka

didapat:

=

=

18

Identitas 3 (Koshy, 2011):

Pada Identitas 3 akan ditunjukkan jumlah bilangan pada barisan Fibonacci pada

suku-suku yang ganjil:

Bukti:

Dengan menggunakan Definisi 2.1, didapat , sehingga:

∙

∙

∙

Jika ruas kiri dan ruas kanan masing-masing dijumlahkan secara simultan, akan

didapat:

=

=

19

Identitas 4:

Identitas 4 merupakan identitas yang dengan jumlah kuadrat dari setiap bilangan

dalam barisan Fibonacci:

Bukti:

Bukti dengan menggunakan induksi matematika:

Untuk n = 1, maka:

1.1

1 = 1

Jadi, hasil benar unuk n =1. Misalkan hasil benar juga untuk n = k:

Untuk n = k + 1, maka:

=

= ( )

= (Berdasarkan Def. 2.1)

= ( ) ( )

Sehingga pernyataan juga benar untuk n = k + 1.

Identitas 5 (Koshy, 2011):

( )

20

Bukti:

Bukti dengan menggunakan induksi matematika:

Untuk n = 1, maka:

( )

1.0 = 1 + ( )

0 = 0

Jadi pernyataan benar untuk n = 1. Misalkan hasil juga benar untuk n = k:

( )

Untuk n = k + 1, maka:

( ) (Berdasarkan Def. 2.1)

( ) (Berdasarkan Def. 2.1)

( ) (Berdasarkan Def. 2.1)

( )

( ) (Berdasarkan Def. 2.1)

Berdasarkan Identitas 5 : ( ) , maka:

( )

( )

( )

21

Sehingga pernyataan juga benar untuk .

2.9 Barisan Lucas dan Beberapa Identitasnya

Definisi 2.2: Barisan Lucas adalah barisan yang didefinisikan sebagai:

, dan untuk setiap n ≥ 2, .

Barisan Lucas merupakan barisan yang dikembangkan berdasarkan pola pada

barisan Fibonacci. Perbedaan mendasar antara barisan Lucas dan barisan

Fibonacci yaitu terletak pada suku pertamanya. Pada barisan Lucas, suku

pertamanya adalah 2, sedangkan pada barusan Fibonacci adalah 0 atau 1.

Beberapa bilangan pada barisan Lucas di antaranya 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76,

123, 199,.... Berikut ini adalah beberapa identitas dalam bilangan Lucas. Identitas

6 dan Identitas 7 merupakan identitas hubungan antara bilangan Lucas dengan

bilangan Fibonacci.

Identitas 6 (Dunlop, 2006):

Identitas 6 merupakan identitas hubungan antara barisan Fibonacci dan barisan

Lucas:

Bukti:

Bukti dengan induksi matematika. Untuk n = 1, maka:

1 = 0 + 1

22

1 = 1

Jadi hasil benar untuk n = 1. Misalkan hasil juga benar untuk n = k, maka:

Untuk n = k + 1, maka:

( ) ( )

( ) ( ) (Berdasarkan Def. 2.2)

(Berdasarkan Def. 2.1)

Sehingga pernyataan juga benar untuk n = k +1.

Identitas 7 (Dunlop, 2006):

Sama seperti Identitas 6, Identitas 7 merupakan identitas hubungan antara barisan

Lucas dan Fibonacci:

Bukti:

Menurut identitas 6, dan berdasarkan definisi 2.1,

, maka:

= (Berdasarkan Def. 2.1)

=

Identitas 8 (Koshy, 2001):

Pada Identitas 8 akan ditunjukkan jumlah bilangan hingga suku ke-n:

23

Bukti:

Dengan menggunakan definisi 2.2, didapat , sehingga:

∙

∙

Jika ruas kiri dan ruas kanan masing-masing dijumlahkan secara simultan, akan

didapat:

=

Identitas 9 (Koshy, 2001):

Pada Identitas 9 akan ditunjukkan jumlah bilangan pada barisan Lucas untuk

suku-suku yang genap:

Bukti:

Dengan menggunakan Definisi 2.2, didapat , sehingga:

24

∙

∙

Jika ruas kiri dan ruas kanan masing masing dijumlahkan secara simultan, akan

didapat:

=

=

Identitas 10:

Pada Identitas 10 akan ditunjukkan jumlah bilangan pada barisan Lucas untuk

suku-suku yang ganjil:

Bukti:

Dengan menggunakan Definisi 2.2, didapat , sehingga:

∙

∙

25

Jika ruas kiri dan ruas kanan masing dijumlahkan secara simultan, akan didapat:

26

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Tempat dan Waktu Penelitian

Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun akademik 2019/2020 dan

bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan

Alam Universitas Lampung.

3.2 Metode Penelitian

Penelitian ini dilakukan secara studi pustaka yaitu mempelajari buku-buku yang

terdapat di perpustakaan Universitas Lampung dan jurnal serta akses internet yang

menunjang proses penilitian. Diperlukan formula binet barisan Fibonacci dan

Lucas dalam penelitian ini. Berikut diberikan formula binet untuk menentukan

suku ke-n dari barisan Fibonacci:

, n = 1,2,3....

, n = 1,2,3....

dengan:

* ( ) +

27

dimana:

dan

Jika rumus binet diatas terlalu menyulitkan, bisa digunakan hampiran yang dapat

mengurangi kesulitan. Karena maka ( ) Jadi,

unsur ( ) . Maka, hampiran rumus binetnya adalah:

, untuk n yang cukup besar,

Menurut Andre-Jeannin (1991), fungsi Fibonacci dimana x adalah bilangan riil

dapat di definisikan dengan:

( )

Dimana α adalah golden rasio. Dengan cara yang sama, dapat didefinisikan fungsi

Lucas sebagai berikut:

( ) .

Setelah didapatkan persamaan di atas, Horadam dan Shannon (1988),

mendefinisikan kurva bilangan Fibonacci dan Lucas yang dapat dituliskan dengan

fungsi kompleks seperti berikut:

( )

(3.1)

dan

( ) (3.2)

28

Langkah-langkah penelitian tersebut dapat digambarkan dalam diagram seperti

berikut:

Mulai

Studi literatur

Memberikan beberapa identitas Barisan

Fibonacci dan Lucas

Mencari formula Binet barisan Fibonacci

dan Lucas

Memasukkan indeks riil atau kurva fungsi kompleks

yang didapat ke dalam barisan bilangan Fibonacci

dan Lucas

Membuktikan sifat-sifat barisan bilangan

Fibonacci dan Lucas yang sudah terdapat

indeks riil

Selesai

39

V. KESIMPULAN

Berdasarkan hasil penelitian yang telah dipaparkan dapat diambil kesimpulan

bahwa penilitian ini memungkinkan untuk memasukkan bilangan real ke dalam

barisan bilangan Fibonacci dan Lucas. Selain itu, didapatkan beberapa sifat dasar

dan persamaan yang memungkinkan perhitungan sebagai berikut:

1. ( )

2.

3. ( )

4.

5.

6.

7.

8.

9.

40

DAFTAR PUSTAKA

Anton, H. 2000. Dasar-dasar Aljabar Linear. Jilid 2. Interaksa, Batam.

Andre-Jeannin, R. 1991. Generelized Complex Fibonacci and Lucas Function.

Fibonacci Quarterly. 29(1): 13-18.

Burton, D.M. 1976. The History of Mathematics: An Introduction. 7th Ed.

McGraw-Hill, New York.

Dunlop, R. 2006. The Golden Ratio and Fibonacci Numbers. World Scientific,

Singapore.

Horadam, A. & Shannon, G. 1988. Fibonacci and Lucas Curves. Fibonacci

Quarterly. 26(1): 3-13.

Khairunnisa, A. dkk. 2018. Cara Cerdas Belajar Matematika SMP.

PT. Gramedia Widiasarana Indonesia, Jakarta.

Koshy, T. 2001. Fibonaci and Lucas Numbers with Applications. John Wiley &

Sons, Canada.

Pugh, C.C. 2002. Real Mathematical Analysis. Springer-Verlag, New York.

Spiegel, M.R. 1983. Matematika Lanjutan. Erlangga, Jakarta.

Suzyanna. 2011. Hubungan Antara Fibonacci Binet dan Bilangan Fibonacci,

hlm. 2-5. Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan

Matematika, Surabaya.

41

Witula, R. 2008. Application Math Compt. Appl. Math. Compt. 202: 348.