Bari 24/09/07

STRUTTURE COMPLESSE

eGEOMETRIA CONFORME

STRUTTURE COMPLESSE

eGEOMETRIA CONFORME

UMI, Bari 24/09/07UMI, Bari 24/09/07

Simon Salamon http://calvino.polito.it/~salam

on

Simon Salamon http://calvino.polito.it/~salam

on

Bari 24/09/07

OrgOrg

oppure

Geometria Hermitiana conformemente

piatta

oppure

Geometria Hermitiana conformemente

piatta

Bari 24/09/07

oppure

Geometria Hermitiana senza tantissimi

tensori

oppure

Geometria Hermitiana senza tantissimi

tensori

Bari 24/09/07

Il caso Euclideo: dimensione 4

Il caso Euclideo: dimensione 4

Strutture complesse ortogonali

Strutture complesse ortogonali

Il caso classico: dimensione 2

Il caso classico: dimensione 2

Classificazione di quadriche

Classificazione di quadriche

Teoremi di tipo Liouville

Teoremi di tipo Liouville

Il caso Euclideo: dimensione 4

Il caso Euclideo: dimensione 4

Bari 24/09/07

Il caso Euclideo: dimensione 4

Il caso Euclideo: dimensione 4

Strutture complesse ortogonali

Strutture complesse ortogonali

Il caso classico: dimensione 2

Il caso classico: dimensione 2

Classificazione di quadriche

Classificazione di quadriche

Teoremi di tipo Liouville

Teoremi di tipo Liouville

Il caso Euclideo: dimensione 4

Il caso Euclideo: dimensione 4

Bari 24/09/07

ammette una metrica Riemanniana indotta:

ammette una metrica Riemanniana indotta:

Ogni superficie reale

Ogni superficie reale

Superficie di Riemann

Superficie di Riemann

Bari 24/09/07

La scelta di un versore normale

definisce una struttura complessa

La scelta di un versore normale

definisce una struttura complessaJ :TmM ! TmMJ :TmM ! TmMJ :TmM ! TmMJ :TmM ! TmMsullo spazio tangente:sullo spazio tangente:

Superficie di Riemann

Superficie di Riemann

anche nel senso analitico…anche nel senso analitico…

Bari 24/09/07

Coordinate isotermeCoordinate isoterme

TeoremaTeorema Esistono coordinate per

cuiEsistono coordinate per

cui

diventa una varietà complessa e

diventa una varietà complessa euna funzione olomorfa

una funzione olomorfa

Bari 24/09/07

In dimensione (reale) 2, una struttura

conforme orientata è equivalente ad una struttura complessa

In dimensione (reale) 2, una struttura

conforme orientata è equivalente ad una struttura complessa

Coordinate isotermeCoordinate isoterme

TeoremaTeorema Esistono coordinate per

cuiEsistono coordinate per

cui

Bari 24/09/07

La curvatura Gaussiana èLa curvatura Gaussiana è

TeoremaTeorema Esistono coordinate per

cuiEsistono coordinate per

cui

Coordinate isotermeCoordinate isoterme

Bari 24/09/07

La proiezione di Mercatore

La proiezione di Mercatore

Se allora è la proiezione stereografica sul piano

equatoriale

Se allora è la proiezione stereografica sul piano

equatoriale

Bari 24/09/07

Il caso Euclideo: dimensione 4

Il caso Euclideo: dimensione 4

Strutture complesse ortogonali

Strutture complesse ortogonali

Il caso classico: dimensione 2

Il caso classico: dimensione 2

Classificazione di quadriche

Classificazione di quadriche

Teoremi di tipo Liouville

Teoremi di tipo Liouville

Bari 24/09/07

Sia una varietà orientata con una struttura conforme fissataSia una varietà orientata con una struttura conforme fissata

ProblemaProblema

Dimensioni superioriDimensioni superiori

² J :TmM ! TmM ; J 2=¡ 1² J :TmM ! TmM ; J 2=¡ 1² J :TmM ! TmM ; J 2=¡ 1² J :TmM ! TmM ; J 2=¡ 1

Trovare (anche su ) una struttura complessa ortogonale

(SCO):

Trovare (anche su ) una struttura complessa ortogonale

(SCO):

Bari 24/09/07

Data la scelta di

Data la scelta di

J :TmM ! TmMJ :TmM ! TmMJ :TmM ! TmMJ :TmM ! TmM

determina un sottogruppo determina un sottogruppo cioè un punto dello spaziocioè un punto dello spazio

è la varietà di spinori “puri”è la varietà di spinori “puri”

ZnZnZnZn

Scelte puntualiScelte puntuali

Bari 24/09/07

Isomorfismi specialiIsomorfismi speciali

Bari 24/09/07

è lo spazio totale di un fibrato

è lo spazio totale di un fibratosu una sfera con

fibrasu una sfera con

fibra

Spazi “twistor”Spazi “twistor”

Bari 24/09/07

Si annulla una componente,

Si annulla una componente, chiamata del tensore di Weyl

.chiamata del tensore di Weyl .Inoltre perInoltre per

Via un “ottavo” della curvatura

Via un “ottavo” della curvatura

è una SCO su

è una SCO su

è conformemente piattaè conformemente piattase ammette 8 SCO

“indipendenti”se ammette 8 SCO “indipendenti”

Bari 24/09/07

è conformemente piattaè conformemente piattase ammette 8 SCO

“indipendenti”se ammette 8 SCO “indipendenti”

dim 4dim 4

Ogni superficie di Del Pezzo ammette una struttura bi-Hermitiana

Ogni superficie di Del Pezzo ammette una struttura bi-Hermitiana

dim 6 ?dim 6 ?

determina le possibili SCO sudetermina le possibili SCO su

Il tensoreIl tensore

Via un “ottavo” della curvatura

Via un “ottavo” della curvatura

Bari 24/09/07

Il caso Euclideo: dimensione 4

Il caso Euclideo: dimensione 4

Strutture complesse ortogonali

Strutture complesse ortogonali

Il caso classico: dimensione 2

Il caso classico: dimensione 2

Classificazione di quadriche

Classificazione di quadriche

Teoremi di tipo Liouville

Teoremi di tipo Liouville

Bari 24/09/07

è determinata da un’applicazione

è determinata da un’applicazione

Una struttura complessa ortogonale su

Una struttura complessa ortogonale su

con il seguente sistema di integrabilità

con il seguente sistema di integrabilità

è una funzione olomorfa in

è una funzione olomorfa in

DeformazioniDeformazioni

Bari 24/09/07

S2S2S2S2

H 2H 2H 2H 2

Tre soluzioni esplicite

Tre soluzioni esplicite

definita su

definita su definita

su definita

su

definita su tutto

definita su tutto

è una funzione olomorfa in

è una funzione olomorfa in

Bari 24/09/07

Su quali altri domini esistono strutture

complesse ortogonali (SCO)?

Su quali altri domini esistono strutture

complesse ortogonali (SCO)?

ProblemaProblema

Tre soluzioni esplicite

Tre soluzioni esplicite

definita su tutto

definita su tutto

definita su

definita su definita

su definita

su

Bari 24/09/07

Il “grafico” di una SCO

Il “grafico” di una SCO

è una submersione Riemanniana.

è una submersione Riemanniana. La geometria di è

compatibile La geometria di è compatibile con lo splitting con lo splitting

Bari 24/09/07

Il “grafico” di una SCO

Il “grafico” di una SCO

Data una SCO su la sua immagine è una superficie

complessa in .

Data una SCO su la sua immagine è una superficie

complessa in .

LemmaLemma

ha la forma dove è una SCO suha la forma dove è una SCO su

Viceversa, ogni sezione complessa in Viceversa, ogni sezione complessa in

è una submersione Riemanniana.

è una submersione Riemanniana. La geometria di è

compatibile La geometria di è compatibile con lo splitting con lo splitting

Bari 24/09/07

Un piano contiene esattamente una fibra

Un piano contiene esattamente una fibra

Le soluzioni precedentiLe soluzioni precedenti

contiene per

contiene per

La quadrica

La quadrica

Bari 24/09/07

Il caso Euclideo in dimensione 4

Il caso Euclideo in dimensione 4

Strutture complesse ortogonali

Strutture complesse ortogonali

Il caso classico: dimensione 2

Il caso classico: dimensione 2

Classificazione di quadriche

Classificazione di quadriche

Teoremi di tipo Liouville

Teoremi di tipo Liouville

Bari 24/09/07

Strutture “intere”Strutture “intere”

I seguenti teoremi (di S.S. + J.Viaclovsky) caratterizzano le soluzioni di tipo

I seguenti teoremi (di S.S. + J.Viaclovsky) caratterizzano le soluzioni di tipo

Sia una SCO definita su . Allora (cioè ) è

costante

Sia una SCO definita su . Allora (cioè ) è

costante

Teorema 0Teorema 0

Bari 24/09/07

Sia una SCO su un apertoSia una SCO su un apertoSe allora è

conformemente costante (e si estende a )

Se allora è conformemente costante (e si

estende a )

Teorema 1Teorema 1

Sia una SCO definita su . Allora (cioè ) è

costante

Sia una SCO definita su . Allora (cioè ) è

costante

Teorema 0Teorema 0

Strutture “intere”Strutture “intere”

Bari 24/09/07

Misura di HausdorffMisura di Hausdorff

Strutture “intere”Strutture “intere”

Sia una SCO su un apertoSia una SCO su un apertoSe allora è

conformemente costante (e si estende a )

Se allora è conformemente costante (e si

estende a )

Teorema 1Teorema 1

Bari 24/09/07

Eliminazione delle singolarità

Eliminazione delle singolarità

Il grafico di è un insieme analiticoIl grafico di è un insieme analitico

Basato su Bishop 1964,

generalizzazione di Remmert-Stein 1955

Basato su Bishop 1964,

generalizzazione di Remmert-Stein 1955

Shiffman 1968

Shiffman 1968

è analiticoè analitico

Bari 24/09/07

Eliminazione delle singolarità

Eliminazione delle singolarità

Il grafico di è un insieme analiticoIl grafico di è un insieme analitico

è analiticoè analitico

Shiffman 1968

Shiffman 1968

Chow, MumfordChow, Mumford

è algebrico, di deg 1è algebrico, di deg 1

Bari 24/09/07

H 2

K ´ ¡ 1H 2

K ´ ¡ 1H 2

K ´ ¡ 1H 2

K ´ ¡ 1S2K ´ 1S2K ´ 1S2K ´ 1S2K ´ 1

Sia una SCO su (che

Sia una SCO su (chenon estende a ). Il grafico di

in è contenuto in una quadrica

non estende a ). Il grafico di in è contenuto in una quadrica

Teorema 2Teorema 2

ammette una metrica Kähleriana completa

conformemente piatta

ammette una metrica Kähleriana completa

conformemente piatta

Quadriche “reali”Quadriche “reali”

con dove agisce sucon dove agisce su

Bari 24/09/07

Il caso Euclideo in dimensione 4

Il caso Euclideo in dimensione 4

Strutture complesse ortogonali

Strutture complesse ortogonali

Il caso classico: dimensione 2

Il caso classico: dimensione 2

Classificazione di quadriche

Classificazione di quadriche

Teoremi di tipo Liouville

Teoremi di tipo Liouville

Bari 24/09/07

Superfici quadriche in CP3

Superfici quadriche in CP3

Si consideri una quadrica nondegenere

Si consideri una quadrica nondegenere

è bi-olomorfa a

è bi-olomorfa a

Bari 24/09/07

Trovare le orbite diTrovare le orbite di

sullo spazio delle quadriche sullo spazio delle quadriche

Il risultato dovrebbe

dipendere da

Il risultato dovrebbe

dipendere da

parametri reali

parametri reali

ProblemaProblema

Il gruppo conformeIl gruppo conforme

Bari 24/09/07

Diagonalizzazione

Diagonalizzazione

SVDSVD

Basta studiare l’azione del sottogruppo

Basta studiare l’azione del sottogruppo

sullo spazio delle matrici reali 3x3

sullo spazio delle matrici reali 3x3

Trovare le orbite diTrovare le orbite di

sullo spazio delle quadriche sullo spazio delle quadriche

ProblemaProblema

Il gruppo conformeIl gruppo conforme

Bari 24/09/07

Teorema 3Teorema 3 Qualsiasi quadrica nondegenere

in è equivalente a quella associata a

Qualsiasi quadrica nondegenere in è equivalente a quella

associata a

per qualcheper qualche

Forma canonicaForma canonica

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…è l’unione dove…è l’unione dove

Il luogo discriminante in S4

Il luogo discriminante in S4

Bari 24/09/07

Teorema 4Teorema 4 Sia una quadrica

nondegenere. Ci sono tre possibilità:

Sia una quadrica nondegenere. Ci sono tre

possibilità:

è un 2-toro liscio snodatoè un 2-toro liscio snodatoè un 2-toro pinzato in è un 2-toro pinzato in

è una circonferenza inè una circonferenza in

2-tori in S42-tori in S4

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Il caso genericoIl caso generico

è un 2-toro liscio snodatoè un 2-toro liscio snodato

ha 2 componentiha 2 componenti

Esiste una SCO con dominio massimale

Esiste una SCO con dominio massimale

COROLLARIOCOROLLARIO

un toro solidoun toro solido

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Caratterizzazione conforme dei 2-tori disciminanti in

Caratterizzazione conforme dei 2-tori disciminanti in

Studio di superfici cubiche e quartiche in contando rette “verticali”

Studio di superfici cubiche e quartiche in contando rette “verticali”

Un teorema di Liouville per basato sull’areaUn teorema di Liouville per basato sull’area

Problemi apertiProblemi aperti

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BibliografiaBibliografia

Apostolov-Gauduchon-Grantcharov, PLMS 1999 Atiyah-Hitchin-Singer, P Roy Soc Lond 1978 Bishop, Mich Math J 1964 Hitchin, arXiv:math/0608213 Pontecorvo, Diff Geom Appl 1992 Salamon-Viaclovsky, arXiv:0704.3422 Schoen-Yau, Invent Math 1988 Shiffman, Mich Math J 1968 Slupinski, J Geom Phys1996 Tricerri-Vanhecke, TAMS 1981

Apostolov-Gauduchon-Grantcharov, PLMS 1999 Atiyah-Hitchin-Singer, P Roy Soc Lond 1978 Bishop, Mich Math J 1964 Hitchin, arXiv:math/0608213 Pontecorvo, Diff Geom Appl 1992 Salamon-Viaclovsky, arXiv:0704.3422 Schoen-Yau, Invent Math 1988 Shiffman, Mich Math J 1968 Slupinski, J Geom Phys1996 Tricerri-Vanhecke, TAMS 1981

Bari 24/09/07

BibliografiaBibliografia

Apostolov-Gauduchon-Grantcharov, PLMS 1999 Atiyah-Hitchin-Singer, P Roy Soc Lond 1978 Bishop, Mich Math J 1964 Hitchin, arXiv:math/0608213 Pontecorvo, Diff Geom Appl 1992 Salamon-Viaclovsky, arXiv:0704.3422 Schoen-Yau, Invent Math 1988 Shiffman, Mich Math J 1968 Slupinski, J Geom Phys 1996 Tricerri-Vanhecke, TAMS 1981

Apostolov-Gauduchon-Grantcharov, PLMS 1999 Atiyah-Hitchin-Singer, P Roy Soc Lond 1978 Bishop, Mich Math J 1964 Hitchin, arXiv:math/0608213 Pontecorvo, Diff Geom Appl 1992 Salamon-Viaclovsky, arXiv:0704.3422 Schoen-Yau, Invent Math 1988 Shiffman, Mich Math J 1968 Slupinski, J Geom Phys 1996 Tricerri-Vanhecke, TAMS 1981