Ballou 09

9-1

Decisiones de Inventario

CR (2004) Prentice Hall, Inc.

Capítulo 9

“Todo error de gestión términa como Inventario.”

Michael C. Bergerac Former Chief Executive Revlon, Inc.

9-2

Decisiones de Inventorio


PL

AN

NIN

G

OR

GA

NIZ

ING

CO

NT

RO

LL

ING

Transport Strategy• Transport fundamentals• Transport decisions

Customer service goals

• The product• Logistics service• Ord. proc. & info. sys.

Inventory Strategy• Forecasting• Inventory decisions• Purchasing and supply

scheduling decisions• Storage fundamentals• Storage decisions

Location Strategy• Location decisions• The network planning process

PL

AN

EA

R

OR

GA

NIZ

AR

CO

NT

RO

LA

R

Estrategia Transporte• Transporte • Decisiones Transpore

Servicio delCliente

• El productot• Servicio Logístico • Sistemas información d..

Estrategia Inventario• Pronostico• Decisiones Inventario• Compra y suministro

Programación• Alamacenamientos• Decisiones

almacenamiento

Estrategia de Localización• Decisiones Localización• Planeamiento red Logística

9-3CR (2004) Prentice Hall, Inc.

¿Que son los Inventarios?

•Productos terminados almacenados para su venta• Bienes en una almacen•Trabajo en proceso •Bienes en tránsito •Staff contratado para suministrar los servicios requeridos •Toda materia prima, trabajo en proceso o bienes terminado de propiedad o controlado por la Empresa para su venta


¿Donde están los Inventarios?Materias Primas

TransporteSuministro

Producción TransporteDistribución

Almacenes deDistribución

Clientes

Localizaciones

Inventarios

Materiales Terminados

Des

pach

o

IMateriales enProceso

Rec

epci

ón

MaterialesProducción

9-4


Razones para los Inventarios•Mejora los servicios de los clientes

-Provee inmediata disponibilidad del producto •Favorece la economía de; la producción, adquisición, y transporte

-Hace posible grandes lotes de producción-Permite sacar ventajas de los descuentos por cantidad -Hace posible economías de transporte por lotes de transporte más grande

•Actua como un regulador de los cambios de precios •Permite comprar en las condiciones más favorables de precio

•Proteje en contra de las incertidumbres de la demanda y demora de reabastecimiento

-Provee de medidas de seguridad adecuadas para mantener las operaciones funcionando cuando no se conoce la demanda ni los tiempos de demora

•Actua como un regulador en contra de las contingencias -Regula los efectos de los paros , fuegos y irrupciones de los suministros


Razones en contra de los Inventarios

•Los inventarios consumen recursos de capital que tienen usos alternativos en la Empresa

•A menudo ocultan los problemas reales de calidad o de producción.

•Distraen la atención de los administradores, del planeamiento , control , suministro y distribución de los canales de distribución

9-7

•Tránsito

-Inventarios en tránsito, en los medios de transporte

•Speculativos

-Bienes comprados a fin de aprovechar los incrementos de precios

•Inventarios Regulares/Ciclicos/Estacionales

-Inventarios mantenidos para alcanzar las necesidades de operación

-Seguridad

- Stocks adicional mantenidos para anticipar las variaciones aleatorias de la demanda y de la demora de abastecimiento

•Obsoleto/Stock muerto

-Inventarios que son de pequeña o ningún valor por estar fuera de fecha, dañado , etc.

Tipos de Inventarios

9-8

•Demanda Perpetua -Continua en todo el horizonte futuro predecible

-Demanda Estacional -Varia con ciclos de cumbres y valles regulares durante el año

•Demanda discontinua -Altamente variable (3 Media )

•Demanda Regular - Regular (3 < Media)

•Demanda terminada -Demanda tiende a cero en un futuro previsible

•Demanda derivada -Demanda esta determinada por otra demanda de la cual depende

Naturaleza de la Demanda

Métodos confiable de pronósticos de la demanda es el factor mas valioso de

la gestión de inventario


•Tirar-Arrastra al inventario a su lugar de almacenaje -Cada lugar de stock se considera independiente-Maximiza el control local de los inventarios

•Empujar-Asigna producción a los lugares de almacenamiento basados en la demanda global -Produce economías de escala de producción

•Justo-a-timpo -Trata de sincronizar los flujo de stocks de forma tal que cubra exactamente la demanda-Trata de minimizar las necesidades de inventario

Filosofía de Administración de Inventario


•Dirigido-Suministro

-Cantidades y tiempos de suministros desconocidos

-Todos los suministros deben ser aceptados procesados

-Inventarios controlados por la demanda

•Control agregado

-Clasificación de items:

›Grupos de items de acuerdo a la ley de Pareto de sus ventas

›Permite diferentes políticas de control para las distintas agrupaciones de productos

Filosofía de Administración de Inventario

Planta

Almacen #1

Almacen #2

Almacen #3

A1

A2

A3

A = Alsignación de localización del inventarioQ = Cantidad Ordenada en cada almacen

Q1

Q2

Q3

DemandaPronostiada

DemandaPronosticada

DemandaPronosticada

TIRAR – Ordenes de acuerdo a laDemanda local independiente

EMPUJAR – Asigna suministro a cada Almacen basados en el pronóstico de demanda

Filosofías de Inventario Tirar vs. Empujar

CR (2004) Prentice Hall, Inc. 9-11


Costos Relevantes de Administración de Inventario

•Costos de Mantención

-Costos de mantención del inventario en el tiempo

-El costo fundamental es el costo del capital invertido en el inventario, además incluye obsolescencia , seguros , impuestos personales y almacenamiento

-Tipicamente , estos costos están en el rango máximo de 40%/año. El valor promedio es de un 25%/año del valor de los item guardados en el inventario .


Costos Relevantes

•Costos de Ordenamiento

-Costos de preparar la orden

-Costos de trasmitir la orden

-Costos de puesta en producción de un lote si corresponde

-Costo de la manipulación del material desde la recepción

-Precio de los bienes o productos


Costos Relevantes•Costo-de –desabastecimiento

-Costo de ventas perdidas

›Utilidades inmediatamente perdidas

›Utilidades futuras no recibidas por la pérdida de clientes

-Costo de reorden

›Costos de manipulación extra

›Costos adicionales de transporte y manipulación

› Costos adicionales de producción de lotes

9-15

Objetivos de la Gestión de Inventario

La gestión de inventario consiste en el adecuado balance entre la disponibilidad desde stock y el costo de mantención del inventario

Servicios Clientes, i.e., Disponibilidad deStock

Costs de mantención Inventario

•Objetivos del servicio -Establecimientos de niveles de stock con una probabilidad especificada de desabastecimiento

•Objetivos de costos -Balance entre los costos antagónicos para asegurar el abastecimiento en cantidad y oportunidad mas económico


Costo de Inventario antagónicos C

ost

o

Cantidad ordenada

Costo desabastecimiento

Costo de Orden

Costo de

mantención

inventario

Costo Total Costo mínimo Cantidad ordenada


9-17

Glosario de términos

sold being units of yprobabilit CP

time lead of deviation standard and average ,

demand annual total of percent a as level service

$ cost, relevant total

units , or stock, safety

ondistributi demand compound on

mean from deviations standard of number or deviate normal

units level, inventory target

days e.g., interval, order

units quantity, point reorder

quantity order

system-(P time cycle order plus time lead during or

system)-(Q time lead during stock-in being of yprobabilit

integral loss normal unit or nexpectatio partial

ondistributi demand compound of deviation standard

price purchase

unit per $ cost, stock-of-out

units (d), demand of deviation standard

unit per $ value, product

year per % value, product of percent a as costs carrying

$/order order, per cost tprocuremen

units demand, period average

units demand, annual average

n

)(

'

n

sLT

SL

TC

z x sr

z

MAX

T

ROP

Q

P

E

s

p

k

s

C

I

S

d

D

LT

'

z

d


Orden de Compra únicaSi se compra un lote unico al comienzo. ¿Cuanto ordenar?

Procedimiento: Balancear la ganancia incremental con la perdida incremental.

Utilidad = Precio por unidad Costo por unidad Perdida = Costo por unidad Valor residual por unidad Si CPn es la prpbabilidad de vender n unidadades, entonces

CPn x Perdida = (1 CPn) x Utilidad o CPn = Utilidad/(Utilidad + Perdida)

Aumente la cantidad ordenada hasta que CPn iguale la fracción de utilida incremental

Daily stocking of newspapers in vending machines is a good example

9-18


Orden de Compra unica Ejemplo Se compra ropa para una venta estacional. Esta cuesta $35, y tiene un precio de venta de $50. Después del término de la estación la ropa no vendida se liquida en un 50%. Las cantidades demandadas se estima en:

Número deitems, n

Probabilidadde vender n

itemsProbabilidadcumulativa

10 0.15 0.1515 0.20 0.3520 0.30 0.6525 0.20 0.8530 0.10 0.9535 0.05 1.00

1.009-19


Orden de Compra única

Solución

Utilidad= $50 35 = $15

Perdida = $35 (0.5)(50) = $10

CPn = 15/(15 + 10) = 0.60

CPn debe estar entre15 y 20 items, redondeando , se obtiene una solución de 20 items.

2ICDS

ntomantenimie costos orden costo Q

Q

CT

Modelo de Lote Económico EOQDado: d = 50 unidades/semana I = 10%/año S = $10/orden C = $5/unidades LT = 3 semanas

Desarrolla un modelo simple de Orden Económico EOQ para determinar la cantidad (Q) a ordenar al alcanzar el punto de reorden ROP, Los costos a considerar son:

Nota: No hay incertidumbre de la demanda ni del la demora, solo se

considera el ciclo de stock

9-21


0 Tiempotiempodemora

Tiempo demora

Orden Puesta

Orden Puesta

Orden Recibida

OrdenRecibida

Nivel Inventario

Punto Reorden ROP

Q

Modelo de Lote Económico EOQ

Cantidad en Mano + Orden de pedido

9-22


Modelo de Lote Económico EOQ

Derivando e igualando a cero queda:

units 322)0)/(0.10x52(50x52)(1 2DS/ICQ*

El punto de reorden es:

ROP = d(LT) = 3(50) = 150 unidades

Formula EOQ

Regla Cuando los niveles de inventarios caen bajo el ROP 150 unidades entonces ordene 322 unidades (Q*).

Regla Cuando los niveles de inventarios caen bajo el ROP 150 unidades entonces ordene 322 unidades (Q*).

9-23


Lote Económico bajo demanda Aleatoria

Dado: d = 50 unidades/semana C = $5/unidades sd = 10 unidades/semana LT = 3 semanas I = 10%/año P = 99% durante la demora S = $10/orden

Encuentre Q* y ROP

De la fórmula EOQ

unidades 3220.10(5)

0)2(50x52)(1 *Q

Buen método para productos

1. De alto valor 2. Comprados de un

proveedor externo 3. Tengan pocas

economías de escala en su producción o transporte 9-24


Punto de Reorden para el EOQ aleatorio

ROP

Can

tidad

en

man

o

0

Q

Q

Orden Recibida

Puesta de Orden

Desabastecimientot

LT

Tiempo

LT

DDLT

P

9-25


ROP

Q

0

Niv

el d

e In

vent

ario

LT LTTiempo

Stock de seguridad


Actual en mano

Cantidad en mano+ Ordenes- Ordenes atrasadas

Cantidad de control

9-26

La demanda semanal se distribuye normalmente con media d = 100 y desviación estándar de sd = 10El tiempo de demora L = 3 semanas


Encontrar el punto de reorden ROP requiere conocer la distribución de la demanda durante el tiempo de la demora del abastecimiento del inventario

sd=10

d =100

sd=10

d =100

sd=10

d =100

+ + =

Semana 3Semana 2Semana1

z

P DDLT

X = 300 ROP

17.3310

300100(3)

LTss

LTdX

d'

S’=17.3

9-27



unidades 190 )2.33(17.32150

Entonces,

unidades 32.17310 unidades 150)3(50)(

Ahora,

'

'

rXzsXROP

LTssLTdX

d

Donde 2.33 es el valor normal que corresponde en la tabla normal a la probabilidad de 0.01.


Costo Total Relevante

El costo total relevante en este caso incluye el costo del stock de seguridad y el costo de desabastecimiento . Si el costo de desabastecimiento (k) es $2/unidad y no se considera el precio de compra de los productos. Entonces ,

20.182$

)0034.0)(32.17(322600,22

)40)(5)(1.0(2

322)5)(1.0(322

)10(600,22 )(

'

z

EsQDkICrQIC

QDSTC

Dado, E(z) = 0.0034 de la tabla Integrales normales unitaria de perdida para un valor de z = 2.33 9-29



Si se conoce el costo de desabastcimiento

La determinación de Q requiere balancear ambos costos para el nivel de servicio óptimo. Como P y Q están iterrelacionado, se requiere un enfoque iterarativo

IC2DSQ

1 Inicialmente encuentre Q

2 Usando Q, se encuentra

DkQIC1P Si se admite ordenes atrasadas

o

QICDkQIC1P

Si las ventas atrasadas se pierden



3 Usando P, encuentre el Q revisado

IC

](z)

E'd

ks2D[SQ

4 Repita las etapas 2 y 3 hasta que el valor se estabiliza

5 Compute ROP y otras estadísticas



Ejemplo Dado:

Demanda mensual pronosticada, d 11,107 unidadesDes. Estándar.Pronóstico, sd 3,099 unidadesTiempo Demora , LT 1.5 meses Valor por item , C $0.11/unidadCosto de proceso de lote Orden de compra S $10/ordenCosto de mantención Inventario, 20%/año/unidadCosto desabastecimiento , k $0.01/unidadOdenes atrasadas permitidas Encuentre Q y P



Solución Estimación de Q

units 11,0080.20(0.11)

12)(10)2(11,107)( IC

2DSQ

Estimación de P

0.82(0.01)11,107(12)

0)(0.11)11,008(0.21 Dk

QIC1P

Revisar QEncuentre App A, [email protected]=0.92 de App B, E(0.92)=0.0968Para estos datos , s'd fué previamente calculado como 3,795 unidades



units 12,872

0.20(0.11))(0.068)]0.01(3,79512)[(102(11,107)(

IC

Eks'S2DQ (z)

d

Revise P

0.79(0.01)11,107(12)

0)(0.11)12,872(0.21P

Ahora [email protected]=0.81 and E(0.81)=0.1181



Revise Q

units 13,2460.20(0.11)

)(0.1181)]0.01(3,79512)[102(11,107)( Q

Continue la revisión de Q y P hasta que se estabilice el valor. P=78% y Q=13,395 unidades

Nota A pesar que la probabilidad de abastecer desde stock durante el timpo de demora es de un 78%, el nivel actual de servicio es SL=96%

Nota A pesar que la probabilidad de abastecer desde stock durante el timpo de demora es de un 78%, el nivel actual de servicio es SL=96%


Métodos de Tiraje Reabastecimiento no instantaneo A veces la producción o el suministro no es instantaneo y ocurre a una tasa continua mientras la demanda continua reduciendo el inventario. Esto requiere de una modificación de la fórmula de EOQ .

dpp

ICDSQp

2*

Donde

p = tasa de producción o suministro

d = tasa de demanda

Si p > d. ROP permanece invariable

Solo añada este término

9-36

Métodos de Tiraje

Punto de reorden para un modelo de control con demanda y demora de abastecimiento aleatoria

El efecto combinado de estas dos incertidumbres resulta dificil de estimar, especialmente si la desviación estándar del tiempo de demora de abastecimiento y la demanda no son independientes. Idealmente si la demanda y el tiempo de demora son independiente la distribución combinada queda dada por una desviación estándar :

)()( 222'LTd

sdsLTs

Después de computar s’, se procede a calcular al punto de reorden ROP de la manera usual.

Preocupación: Puede resultar en altos niveles de stock para

grandes desviaciones estandares de la demora

9-37


Métodos de Tiraje

Revisión periodica para modelos de control con demanda aleatoria Los inventarios se revisan cada período (T) para determinar la cantidad en mano. El reabastecimiento de la cantidad (Q) puede ser ordenada a T como diferencia entre la cantidad superior de inventario llamada MAX y la cantidad en mano del inventario. Debemos encontrar el MAX y T*.

Dado: d = 50 unidades/semana C = $5/unidad sd = 10 unidades/semana LT = 3 semanas I = 10%/año P = 0.99 S = $10/orden k = $2/unidades

Buenos métodos para:1. De bajo valor2. Compradas de un

mismo proveedor 3. Tienen economías de

escala en producción compras y transporte

9-38

9-39

Q1

Nivel del Stock revizado

T TLT LT

Orden recibida i

Q2

M

q

0

Can

tidad

en

Man

o

Tiempo

M = Nivel MáximoM - q = cantidad a ordenar LT = tiempo de demora

T = initervalo de revisión q = cantidad en manoQi = cantidad ordenada

~

Control Períodico del Inventario


Estimar Q* de la fórmula EOQ usando la demanda media. Recuerde que Q* = 322 unidades. Ahora,

T* = Q*/d = 322/50 = 6.4 semanas

Compute la demanda durante el tiempo de demora + el tiempo de Revisión de la orden.

T es el tiempo de revisión de

ordenes

Revisión Períodica



P

DD(T* + LT)

X

= d(T* + LT)LTTss *d

' MAX

s′ Z(s′)


donde

66.3034.610*470)34.6(50)(

'

*

LTTss

LTTdX

d

Encontrar el MAX MAX = d(T* + LT) + z(s’) = 50(6.4 + 3) + 2.33(30.66) = 470 + 71.44 = 541 units

Regla Revice el inventario cada 6,4 semanas y ponga un orden por la diferencia entre el nivel MAX = 541 unidades y el inventario en mano .

Regla Revice el inventario cada 6,4 semanas y ponga un orden por la diferencia entre el nivel MAX = 541 unidades y el inventario en mano .




Los costos totales relevantes de este modelo son:

TC = DS/Q + ICQ/2 + ICr + ks’(D/Q)E(z)

= 2600(10)/322 + (.10)(5)(322/2)

+ (.10)(5)(71) + 2 (30.66)(2600/322)(.0034)

= $198

Nota Compare este costo con el de revisión continua para ver si la revisión períodica tiene una prima de costo debido al mayor stock de seguridad que tiene,

Nota Compare este costo con el de revisión continua para ver si la revisión períodica tiene una prima de costo debido al mayor stock de seguridad que tiene,

Métodos de Tiraje

Fech

a

In/ Cliente

Vent

as

En Mano

Dat

e

In/ Cliente

Venta

s

En mano

Dat

e

In/ Clientesr

Vent

as

En Mano

10/26 Bal Fwd 80500 2/2 Copies 50000 35000 3/30 Sup Meats 25000

20000

10/26 100M 180500

2/5 Bel-Gar 5000 30000 3/30 Copies 50 19950

10/30 Progression 20000

160500

2/6 Bel-Gar 15000 15000 3/30 Ptrs Dvl 5000 14950

10/30 Ogleby 25000

135500

2/6 Superior 25000 0* 3/30 Belmont 10000

4950

11/2 Mid Ross 15000

120500

2/6 Unt Sply 15000 0* 4/2 Berea Prtg 4950 0

11/9 Unt Sply 50000

70500 2/6 Berea Prtg 15000 0* 4/2 Berea Prtg 15050

0*

11/29 Berea Lit 25000

45500 2/8 Sagamore 5000 0* 4/9 REM 500 0*

12/1 Dol Fed 10000

35500 2/14 100M 100000 4/12 Mid Ross 5000 0*

12/13 Card Fed 20000

15500 2/15 50M 150000 5/7 Ohio Ost 5000 0*

12/14 Belmont 15000

500 2/16 Bel-Gar 5000 145000 5/8 Inkspots 5000 0*

12/15 Shkr Sav 5000 500* 2/21 Bel-Gar 15000 130000 5/8 Prts Dvl 2500 0* 1/8 BFK 500 0 2/26 Inkspot 5000 125000 5/11 100M 10000

0 1/8 100M 10000

0 2/27 Lcl 25UAW 50000 75000 5/14 BVR 5000 95000

1/8 Card Fed 30000

70000 2/28 Ptrs Dvl 2500 72500 5/15 Guswold 10000

85000

1/9 Pt of View 10000

60000 2/28 Shkr Sav 25000 47500 5/16 ESB 15000

70000

1/17 Am Safety 5000 55000 3/1 Copies 35000 12500 5/16 Superior 50000

20000

1/23 Foster 15000

40000 3/2 Untd Tor 10000 2500 5/16 J Stephen 5000 15000

1/24 Gib Prtg 5000 35000 3/8 Sagamore 2500 0 5/16 Am Aster 15000

0

1/26 Bel-Gar 5000 30000 3/8 Sagamore 12500 0* 5/16 Am Aster 10000

0*

1/26 Copies 20000

10000 3/12 150M 150000 5/22 Sagamore 15000

0*

1/29 Slvr Lake 5000 5000 3/12 Untd Tor 40000 110000 Coding

21200

1/29 100M 105000

3/12 Preston 50000 60000 M. Base Cost

Date

Min 125M

2/2 Sagamore 20000

85000 3/20 Midland 15000 45000 2.64 4/2 Max 250M

Size M/Wgt Basis

Grain

Color Finish Grade Location Ctn. Skid Cont.

Att.

8½x14 12.72 20 L White RmSeal Advantage Bond F 14 5M

*No stock or insufficient stock to meet demand 9-44


Métodos de Tiraje

Ejemplo Cadena de Suministro

Suponga que el Inventario que debe ser almacenado por el distribuidos . Si la demanda esta dada por: d = 100 unidades por dia y sd = 10 unidades por dia . Si se usa el método de punto de reorden ROP. La cadena de suministro se muestra en el diagrama.

Determine el inventario promedio a mantener por el distribuidor , cuando se tiene que:

I = 10%/año C = $5/unidades S = $10/orden P = 0.99 durante tiempo demora


Ejemplo Cadena de Suministro)

Distribuidor

Transporte distribución

Transporte suministro

Pool point

Proveedor

X sp p 1 0 12, .

X si i 4 1 02, .

X so o 2 0 252, .

Tiempo roceso

Tiempo Transporte

Transport time


Ejemplo Cadena de Suministro

Solución El punto de reorden del inventario se aplica . Sin embargo la determinación de las distribución de la demanda durante el tiempo de demora requiere calcular el tiempo de demora de todo el canal , Recuerde que,

dias 1.35 0.25 1.0 0.1

donde

2o

2i

2p

2LT

2LT

22d

ssss

)(sd)LT(s's


Ejemplo de la Cadena de Suministro

Tiempo promedio de demora

dias 7241 oXiXpXLT

ahora

dias 16.119200,1435.1100107 22' xxs

y

sunidade 3096)2.33(199.12

63

unidades 630.1(5)

2(100)(10)

)z(s2

QAIL

Q

'*

*

Metodos de Tiraje)Ordenamiento conjunto

Cuando se compran varios productos a un mismo proveedor se puede establecer ordenes de compra conjuntas. El enfoque para ordenar item conjunto requiere revizar los inventarios en el mismo intervalo (T) . Las cantidad a comprar de establecen para cada producto como diferencia entre los niveles máximo de stock y las cantidades en mano, basados en los costo y niveles específicos de ellos.

)DC(I

)S2(OT

ii

i*

donde

O = costo común de Orden de compra , $/orden

Nota: Q* = T*xdNota: Q* = T*xdCR (2004) Prentice Hall, Inc. 9-49


Ejemplo de Orden Conjunta

Item A B

Demanda diaria promedio 30 75 unidadesDesviación Estándar s d 8 10 unidadesDemora promedio LT) 14 14 diasCosto annual de InventarioI) 25 25 %Costo Orden S 30 20 $/ordenCosto común O) 80 $/ordenProb-abas- desde stockP) 80 92 %Precio del producto C 170 200 $/unidadCosto desbastecimiento k 25 45 $/unidadDias de venta anuales 365 365 dias

Dado



Encontrar el período de revisión T

dias 4.35200(75)][170(30)[0.25/365]

20)](302[80

*T

Encontrar el nivel máximo de inventario (MAX) para el item A

unidades 34.3144.358 A

*d

'A

LTTssA

Entonces z@80%=0.84

unidades 579)3.34(84.0)1435.4(30)( ' AAszXMAX

9-52


Calculo del Inventario promedio

unidades 1.94)3.34(84.0)2/30(35.4Inventario )()2/(Inventario

A

'*i

promedioszdT iiipromedio

Nivel de inventario (MAX) del item B

unidades 8.421435.410*' BdB LTTss

B

Entonces z@90%=1.41

unidades 1437)8.42(41.1)1435.4(75 BMAX

inventario promedio unidades 223)8.42(41.1)2/75(35.4inventario B promedio



Métodos de tiraje

La variante Min-Max

Es básicamente similar al método de punto de orden ROP , pero la cantidad a ordenar se incrementa en la diferencia entre ROP y la cantidad de inventario en mano – las ordenes atrasadas+ la orden Q calculada. Esto permite que la demanda que llege durante el periódo de orden no disminuya sustancialmente los niveles de inventarios.


Modelo Inventario Min-Max

~Q1 Q2Q*

ROPq

LT LT Tiempo

Can

tidad

es e

n m

anoM

Añada el incremento ROPq al tamaño de orden

9-54


Metodos de Tiraje

La variante T, R, M

Esta es una combinación de los metodos Mini-Max y del sistema de revisión períodica . El nivel de stock se revisa periodicamente pero se ordena si el stock en mano es menor o igual al orden de revisión. Este método es util para evitar las ordenes demasiado pequeñas que produciría el método de revisión períodica.


Metodos de Tiraje

Variante T,R,M

LT LT

T TTiempo

Rq

Niv

el d

e In

ven

tario

l

T = Tiempo de revisión períodicoR = punto de reorden R – Q = cantidad dc reorden

Q1 Q2

Inventorio no esta debajo de R

no se ordena

9-56


Métodos de Tiraje

Stock a demanda (método períodico revisado )

Esta modificación del método periodico es imporatante no por su exactitud pero por su popularidad. Este método se sincroniza con los métodos de pronóstico. El nivel máximo de inventario se calcula de la siguiente manera . Establezca el período de pronóstico , ejemplo de 4 semanas.

•Añada al tiempo de demora , ejem 1 semana

•Añada un incremento de tiempo por el stock de seguridad , otra semana

An example

9-58

*Quantity on hand = actual quantity on hand + quantity on order – backorders


Stock a Demanda

En este caso ,el MAX es 6/4 el pronóstico mensual. La cantidad a reordenar se determina como sigue . Al tiempo (T) de la revisión del nivel mensual de stock haga un pronóstico para determinar el nivel MAX de stock.

Unidades MAX = Peronóstico x 6/4 12,500

Menos : Inventario en Mano -5,342 Menos: Cantidad Calculada -4,000

Cantidad Ordenada Q 3,158

Mas : Ordenes atrasads 0


Métodos de Tiraje

Items y localizaciones Múltiples

Esta teoría ha sido discutida previamente para los casos prácticos de controlar varios items en varias localizaciones, es útil cuando se diseña un inventarioT Consider el caso de una empresa química que diseño un sistema . TASO es el tiempo de acumulación de stocks para todos los items en los almacenes

Q1

Ordenesde stock r

TASO TASOLT

Ordenes recibidas LT

Q2

M

0

Can

tidad

en

man

o

Tiempo

M = nivel máximo TASO = tiempo para acumular una orden de stock

Qi = cantidad ordenadaLT = tiempo demora

TASO~

~

Q3

Mu

ltip

le-I

tem

, M

ult

iple

-Lo

cali

zaci

on

es

CR (2004) Prentice Hall, Inc.9-60

Nivel de Servicio de Clientes

Para items individuales

El nivel de servicio (disponibilidad desde stock) actualmente alcanzado por el control de inventario no queda bién representado por la probabilidad de abastecimiento (P) desde stock durante el tiempo de demora del suministro . Un cálculo mas exácto se puede calcular como:

Q

Es

D

QDEsSL zz )(

')(

'

1/

1

Usando los datos del ejemplo anterior el nivel de servicio se puede calcular como:

999.0600,2

)322/600,2)(0034(.32.171 SL

Nota: Mayor que i P



Nivel de Servicio del ClienteEl nivel de servicio correctamnete calculado resultó superior que la probabilida P = 0.99 que se uso para determinar el stock de seguridad . La razón de esto es que hay períodos de tiempo en que el nivel de stock esta sobre el punto de reorden y donde no existe una probabilidad de desabastecimiento.

Métodos para definir l disponibilidad desde stock incluye :

•Probabilidad de abastecer todos los item demandados

•Probabilidad de abastecer una orden completamente

•Probabilidad de abastecer un porcentaje dado de la demanda completamente

• Promedio poderado de items de una orden abastecido ( tasa de abastecimiento))


Nivel de Servicio al Cliente

Para múltiples items de una misma orden

Si todos los items de una orden tienen el nivel de sevicio ¿Cuál es la probabilidad de abastecer completamente la orden?

El nivel de servicio para múltiples items es una combinación del nivel de servicio individual de cada uno de los items:

SL = SL1 x SL2 x SL3 …x SLn

Suponga 3 items tienen los siguientes niveles de servicios —0.95, 0.89, y 0.92. La probabilidad de completar completamente la orden es:

SL = 0.95 x 0.89 x 0.92 = 0.78

Control de Inventarios de Empuje Ejemplo

Tres almacenes mayorista se usan para suministrar a 900 farmacias . Cada almacen sirve aproximadamente a 300 farmacias. Una gran compra de radio relojes se hace para tener un producto promocional para el próximo período. La compra especial resulta en un mayor inventario del necesario , pero la empresa espera vender todo el inventario. Las farmacias tienen que tener un 92% de probailidad de abastecer desde stock. Todas las compras de radios se asignas a los almacenes basados en los niveles de demandas de cada almacen . Se contabilizan todo el inventario actualmente y se decide comprar 5000 radios. La próxima compra se hara en un mes ..



Control de Inventario de Empuje

Almacen

Stockcorriente

Unidades

Demanda Pronosticado

unidades

Pronósticoerror (std).dev.), unidades

1 400 2,300 1002 350 1,400 553 0 900 20

4,600

¿Como debería ser hecha la asignación a los almacenes?


Control de Inventario de Empuje

Solución

Requerimientos Totales = Pronósticos + z(Desviación estandar ) con z@90% = 1.28.

Almacenes Requerimientos Totales

1 2,428a

2 1,4703 926

4,824a2,428 = 2,300 + 1.28(100)


Control de Inventario de Empuje)

Alma-cen

(1)

Requi-mientosmentos,Unidad

(2)

Stock mano

unidad

(3)=(1) (2)

Reque-mientos

unidad

(4)Pro-

racionde

exceso,units

(5)=(4)+(3)

Asig-nación,Unldad

1 2,428 400 2,028a

463b

2,4912 1,470 350 1,120 282 1,4023 926 0 926 181 1,107

Total 4,824 4,074 926c

5,000

aTotal requirements less (quantity on hand + quantity on order – backorders)bExcess purchase quantity times forecast for warehouse divided by total forecast quantity. For example, (5,000 – 4,074) x 2,300/4,600 = 463c5,000 – 4,074 = 926

9-67


Inventarios de Multi-EscalasControl del inventario total de la cadena para multiniveles de servicio

End

cus

tom

er d

eman

dR1

R2

R3

1,1 dsd

2,2 dsd

3,3 dsd

W

Retailer

Warehouse

S

Supplier

Warehouse lead-time, LTw

Warehouse echelon

Cuanto stock debo tener si los negocio de detalle lo

llevan?


Inventario de Multiescala )Ejemplo Un item tiene la siguiente características de costo. Valor de Item, CR=$10/unidad y CW=$5/unidad. Costos de mantenimiento is I = 20%/año. Costos de Orden son SR=$40/orden y SW=$75/orden. Tiempo de demora son LTR=0.25 mes y LTW=0.5 mes. Probabilidad-stock de los detallista y de los almacenes es 90%. Las estadistica de demanda son:

Mes avg., unidades

dev.Std, unidades

Almacen 1 202.5 16.8

Almacen 2 100.5 15.6

Almecen 3 302.5 18.0

Combinado 605.5 32.4


Inventario de Multi-Escala Solución Basado en el punto de reorden el inventario de los almacenes son:

Almacen 1 Almacen 2 Almacen 3

Orden , Q 312 220 381

Punto Reorden, ROP 61 35 87

Inv, Promedio 167 120 202

La cantidades ordenada por distribuidores

unidades 1,044or ,98.043,1)5(20.0

)75)(125.605(22 xIC

SDQW

WWW

unidades 332

5.)4.32(28.1)5(.5.605

WWWWW LTzsxLTdROP

9-71

Inventario de Multi-Escala

El inventario de escala del distribuidores

units 551 or .32.551

5.0)4.32(28.12

98.043,12

WW

WW

LTzsQAIL

El inventario promedio del distribuidor es el inventario escalon menos el inventarios de los almacenes o 551 – 167 –120 – 202 = 62 units.

Regla El inventario total del distribuidores ( suma de los inventarios de detallista+ inventario y orden del almacen – inventario comprometido a los clientes perdidos bajo 332 unidades ), orden 1,044 unidades.

Regla El inventario total del distribuidores ( suma de los inventarios de detallista+ inventario y orden del almacen – inventario comprometido a los clientes perdidos bajo 332 unidades ), orden 1,044 unidades.


0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 20 40 60 80 100Items Totales (%)

To

tal

ven

tas

(%)

A items B items C items

Productos pueden agruparse de acuerdo a la ley de Pareto cada una con políticas de inventarios distintos

Co

ntr

ol A

gre

gad

od

e In

ven

tari

o



Consolidación de Inventario

Suponga que hay producto estoqueado en dos almacenes. La cantidades de abastecimiento están determinados por la fórmula de lote económico. El tiempo de demora del abastecimiento es de 0.5 meses , el costo de orden es de $50, el costo de mantención de inventario es del 2% mensual, si el valor del producto es de $75 por unidad. La probabilidad de un desabastecimiento por período es del 5%. La demanda esta normalmente distribuida en los seis meses como sigue:

Ilustración de una política de riesgo

9-74

Estimar el inventario promedio para los dos almacenes y del amacen del canal de sumistro

Consolidación del Riesgo

Mes

Demandaen Whse

A

Demandaen Whse

B

DemandaCombinada en

CentralWhse

1 35 67 1022 62 83 1453 46 71 1174 25 62 875 37 55 926 43 66 109

Avg. (D) 41.33 67.33 108.66Std. Dev. (sd) 11.38 8.58 19.07

6



Consolidación del Riesgo Stock Regular

units 50.33200.67

2)75(02.0

)50)(33.67(2

units 25.26249.52

2)75(02.0

)50)(33.41(22

2

2

B

A

RS

RS

ICDS

QRS

Stock Regular del sistema esunits 75.5950.3325.26

BARSRSsRS


Consolidación del RiesgoStock regular de un item que esta en un solo almacen

unidades 56.42211.85

2

)75(02.0)50)(66.108(2

C

RS

Stock de seguridad

units 89.115.0)58.8(96.1

units 77.155.0)38.11(96.1

)(

B

A

d

SS

SS

LTszSS

Stocks de seguridad para 2 almacenes units 66.2789.1177.15

BASSSS

Consolidación del RiesgoStock de seguridad en un almacen

units 26.430.5)1.96(19.07 cSS

Inventario Total

AIL = Stock regular + Stock de seguridad

AIL = 59.75 + 27.66 = 87.41 unidades

en un almacen del canal

AIL = 42.56 + 26.43 = 68.99 unidades

Dos Almacenes

Conclusión Hay una reducción en el promedio de nivel de inventario de un item como el número de puntos de stocks 4en la cadena de suministros y disminuye. En este ejemplo ambos el stock regular y el stock de seguridad

Conclusión Hay una reducción en el promedio de nivel de inventario de un item como el número de puntos de stocks 4en la cadena de suministros y disminuye. En este ejemplo ambos el stock regular y el stock de seguridad



Consolidación del RiesgoSistema-de inventario amplio como fracción de la

demanda dividida entre dos almacenes

70

75

80

85

90

95

100

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Demanda de un almacen como porcentaje del total

Po

rcen

taje

de

los

pic

os

Sy

ste

m-W

ide

Inv

ento

ry


Inventario Virtual•Desabastecimiento se atiende desde otras localizaciones de stock de la cadena

• Cliente se asignan a una localización primaria de stock

•Las localizaciones de respaldo se determinan por las reglas “zoning”

• Se puede mantener menor niveles de inventarios para un mismo nivel de servicio

• El costo total distribución debe ser menor por efecto de la atención cruzada de la demanda

9-80

Stock location A

Stock location B

Demand 1 Demand 2

Asi

gnac

ión

tAsignación

secundaria

Stock Localización A

Stock Localización B

Demanda 1 Demanda 2

P

rimar

ia

Asi

gnac

ión

Prim

aria

Abastecimiento Cuzado entre 2 Distintas Localización de Stock

Inventarios Virtuales I


Beneficio del abastecimiento cruzado

Suponga que un item se almacena a una tasa de abastecimiento de 80% en 4 localizaciones de stock. Si se usa abastecimiento cruzados ¿ cual es la tasa de abastecimiento efectivo de los clientes?

Tasa abas. = [1 – (.20)(.20)(.20)(.20)] x 100 = 99.8%

Niveles de servicio de clientes pueden ser muy altos con bajas tasas de abastecimiento ¿Pero los costos de inventarios son

menores?

Inventarios virtuales

Stock Regular en 2 Localización

•Significado del stock regular

•Como varía con:

Dispersión de la Demand

Método de control de stock

Tasa de abastecimiento

Inventarios Virtuales

Stock location A

Stock location B

Demand 1 Demand 2P

rimar

y as

sign

men

t

Prim

ary

assi

gnm

ent

Secondary assignment

Stock locationA

Stock locationB

Demand 1 Demand 2P

rimar

y as

sign

men

t

Prim

ary

assi

gnm

ent

Secondaryassignment

Stock location A

Stock location B

Demand 1 Demand 2P

rimar

y as

sign

men

t

Prim

ary

assi

gnm

ent


Stock locationA

Stock locationB

Demand 1 Demand 2P

rimar

y as

sign

men

t

Prim

ary

assi

gnm

ent

Secondaryassignment


9-83

Método de Control de Stock Regular

Si el control de EOQ-basada , en el inventario promedio (AIL) es

Si se usa stock-para-controlar la demanda

1.0kDAIL

AIL es una función de la demanda con exponentes que van desde 0.5 a 1.0

formula EOQ

Inventario Virtual

0.5

0.5

kD2

DIC2S

2QAIL


70

75

80

85

90

95

100

0 20 40 60 80 100

One warehouse's demand as a percent of total demand

Pe

rce

nt

of

pe

ak

syte

m-w

ide

in

ve

nto

ry

Stock Regular como Porciento de la Demanda Divida entre dos Almacenes

Control EOQl

Stock-de-control de demanda

Inventario Virtual CR (2004) Prentice Hall, Inc. 9-84


Observación sobre el Stock Regular

Un sistema de multiples localizaciones de stocks llegará un máximo de stock regular cuando la demanda se balance entre ellas

Inventario Virtual


Tasa de Abastecimiento del stock Regular El abastecimiento cruzado aumenta el stock regular y disminuye las tasas de abastecimiento

Example

•2 localizaciones

•Demanda se dispersa 50 y 150

•Tasa de abstecimiento es 90%

•Política de Stock is D0.5 con k=1

Virtual Inventories


Ejemplo

Locacion A Locacion B Locacion A Locacion B

Demanda 1 50 0 45a 5b

Demanda 2 0 150 15 135

Total 50 150 60 140

Stock Regular 7.1 12.2 7.7 11.8

Sistema inve. 19.3 19.5

Sin abastecimientocruzado

Abastecimiento cruzado

a50x.90=45b[50x(1-0.90)]x0.905 Incrementos del Stock Regular

con abastecimiento cruzado

Inventarios virtuales9-87


100

110

120

130

140

150

50 60 70 80 90 100

Average fill rate on warehouses

% o

f in

ve

nto

ry c

om

pa

red

w

ith

no

cro

ss

-fill

ing

Stock-control demandal

Control EOQ

Multas de Stock por abastecimiento cruzado bajo varias políticas de stock

Inventario Virtual 9-88


Stock de Seguridad en 2 Localizaciones

•Significado de los stock de seguridad •Stock de seguridad depende

Dispersión de la demand (es proporcional a la varianza de la demanda)Tasa de abastecimiento

Un sistema de stock multiples en múltiples localizaciones llevará a un Stock de seguridad minimo si la demanda se balancea entre ellas

Observaciones

Inventario Virtual

Stock location A

Stock location B

Demand 1 Demand 2

Prim

ary

a

ssig

nm

ent

Prim

ary

a

ssig

nm

ent


Stock locationA

Stock locationB

Demand 1 Demand 2

Prim

ary

a

ssig

nm

ent

Prim

ary

a

ssig

nm

ent

Secondaryassignment

Stock location A

Stock location B

Demand 1 Demand 2

Prim

ary

a

ssig

nm

ent

Prim

ary

a

ssig

nm

ent


Stock locationA

Stock locationB

Demand 1 Demand 2

Prim

ary

a

ssig

nm

ent

Prim

ary

a

ssig

nm

ent

Secondaryassignment

9-89

9-90

Estimación de los stocks de seguridad

Los Stocks de seguridad se estiman por:

Donde s* es la desviación estándar de la demanda en la localización N

Donde el abastecimiento cruzado,

cuando sd es la desviación estandar de la demanda en la localización primaria

En cualquier localización N

LTzsss *

22*dsFRs

221* ])1([ dN

N sFRFRs Inventarios virtuales


9-91

Stock de seguridad en 2 Localizaciones

Ejemplo

•2 localizaciones

•Demanda semanal y desviación std son: (50,5) y (150,15)

•Tiempo de Demora es de 1 semana

•Tasa de abastecimiento (FR) de 95%

•z es 1.65 para el 95% del nivel de stock ( demanda normal)

•Control de inventario basado en el EOQ

Inventario virtuales CR (2004) Prentice Hall, Inc.

LocalizaciónA

LocalizacionB LocalizacionA LocalizacionB

Std. Dev. 1 5 0 4.7500 0.2375

Std. Dev. 2 0 15 0.7125 14.2500

Combinado 5 15 4.8 14.3

Stock

seguridad

8.3 24.8 7.9 23.5

Sistema inv.

33.1 31.4

Stock de seguridad para 2 Localizaciones

Sin abastecimiento cruzado Con abastecimiento cruzado

Stock de seguridad disminuye con el abastecimiento cruzado

Inventario Virtual CR (2004) Prentice Hall, Inc. 9-92

0

5

10

15

20

25

0 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 100

One warehouse's demand as a percent of the system-wide demand

Perc

ent re

duction FR=70%

FR=90%

No cross-filling0

5

10

15

20

25

0 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 100

One warehouse's demand as a percent of the system-wide demand

Perc

ent re

duction FR=70%

FR=90%

No cross-filling

Reducción del Stock de seguridad debido al abastecimiento cruzados como porcentaje de la demanda dividida entre dos almacenes

Stocks de seguridad menore

con menores abastecimiento r

Inventario Virtual


9-94

Decisiones de Simplificación ProblemaUn producto puede potencialmente ser abastecido desde un almacen de respaldo en forma cruzada. Si el producto tiene un valor de $200/unidad , un costo de inventario de 25%/por año , un nivel de stock para 6 semanas de demanda y una tasa de abastecimiento de 8 semanas y un nivel de servicio del 95%. Abastecer de un almacen de respaldo cuesta un adicional por transporte de $10/ unidad . Si la política de control de stock no se conoce y las demandas son :

Localizacióndemanda,

media unidadesStd. Dev.,

units

1 300 138

2 100 80

Sistema 400 160

¿Debe el producto abastecerse en forma cruzada?

Inventarios virtuales


9-95

Decisiones de Simplificación Respuestas Resuelva para K en AIL=KD. K=D1-/TO, donde TO es 52 semanas/6 semanas de demanda o 8.67. Esto supone una política de control basado en de 0.7, K=(400x52)1-.7/8.67=2.28. La razón de demanda r ente las 2 localizaciones es de 100/400=0.25. Resolviendo para los dos parametros de la curva de abastecimiento cruzado

73.1)28.2)(200(25.0

])52400([10 7.11

xICKtDX

y

4.0)52400(28.28)160(96.1

7.0

xKDLTzsY

De la curva de decisión no conviene cruzar las demandasInventarios virtualesCR (2004) Prentice Hall, Inc.


Curva de Decisión para FR=.95 y =0.7

Inventario Virtual

LEGENDAD = annual system demand s = system demand std.

dev. C = item unit costI = annual carrying cost

rate (%)K, = inventory

control parameterst = transportation rateFR = item fill rater = ratio of minimum

demand to systemdemand

LT = lead-time in demand std. dev. time units

z = normal deviate at FR %

ICK

tDX

1

KD

LTzsY

Rat

io o

f m

inim

um d

eman

d t

o to

tal

dem

and,

r

X

Below decision

curve—don’t cross fill

Ley la raiz cuadrada o Inventario consolidado

La cantidad de inventario (stock regular) en múltiples puntos de stock puede estimarse como la ley de la raiz cuadrada cuando:

•El control de inventario en cada punto se basa en el EOQ

•Hay una cantidad igual de inventaripo en cada punto

La ley de la raíz cuadrada es: nIIiT

donde IT = cantidad de inventario en una localización Ii = can tidad de inventario en cada una de las otras localizaciones n = número de puntos en stocks


Ley la raiz cuadrada

Ejemplo Suppose that there is $1,000,000 of inventory at 3 stocking points for a total of $3,000,000. If it were all consolidated into 1 location, we can expect:

$1,732,05131,000,000 TI

If we wish to consolidate from 3 to 2 warehouses, the level of inventory in each warehouse would be:

$1,224,7451.41

$1,732,0512

II Ti

For a total system inventory of n x I = 2 x $1,224,745 = $2,449,490.



Ley de la Raiz Cuadrada)Mas simplemente

2,449,490323,000,000I

nn

nInI

nn

II

2

1

2

11

22

1

212

, Tal nuevas locaciones de no.

locacions nueva de no. locaciones en inventario sistemalocacion en inventario sistema

donde

Curva de Resultado de Inventario

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

0 10000 20000 30000 40000 50000

Annual warehouse throughput, Dj ($000s)

War

eho

us

e a

vera

ge

in

ven

tory

, I i

($00

0s)

Ii = 1.57Di0.72

R = 0.85



Curva de Resultado de Inventario EjemploSuponga que dos bodegas con 390,000 lb. Y 770,000 lb. de almacenamiento respectivamente se deben consolidar en una sola de 390,000 + 770,000 = 1,160,000 lb. almacenaje annual . ¿ Cuanto Inventario debería tener la nueva BODEGA?

La curva de disponibilidad desde inventario se muetra en figura posterior.

Nota Leyendo del gráfico el inventario consolidado ha caido a 262,000 lb. de 132,000 + 203,000 = 335,000 lb. en ambas bodegas


Curva de resultados de Inventario

AILi = 3.12Di0.628

R2 = 0.77

132

203

262

Current warehouse Consolidated

warehouse

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800

Annual warehouse throughput, D i (000 lb.)

Ave

rag

e in

ven

tory

leve

l, AIL

i (0

00

lb.)


Razón de giro

Promedio Inventario

anuales Ventas giro deRazón

Una distribuidora de fruta seca almacena productos en 12 almacenes alrededor del País ¿ Cuál es la razón de giro del sistema de distribución?

AlmacenesNª

.

Ventas Anuales del

Almacen $

InventarioPromedio nivel, $

Almacen Nª

.

Ventas Anuales

Nivel , $

InventariopromedioNivel , $

1 21,136,032 2,217,790 7 43,105,917 6,542,0792 16,174,988 2,196,364 8 47,136,632 5,722,6403 78,559,012 9,510,027 9 24,745,328 2,641,1384 17,102,486 2,085,246 10 57,789,509 6,403,0765 88,228,672 11,443,489 11 16,483,970 1,991,0166 40,884,400 5,293,539 12 26,368,290 2,719,330

Totals 425,295,236 43,701,344

$ al costo 236,295,425$

7.94$43,701,34

razón TO


A table entry is the proportion of thearea under the curve from a z of 0 to apositive value of z. To find the areafrom a z of 0 to a negative z, subtract thetabled value from 1.

z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .090.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.53590.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.57530.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.61410.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.65170.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879

0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.72240.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.75490.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.78520.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.81330.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389

1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.86211.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.88301.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.90151.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.91771.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319

1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.94411.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.95451.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.96331.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.97061.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767

2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.98172.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.98572.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.98902.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.99162.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936

2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.99522.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.99642.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.99742.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.99812.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986

3.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.99903.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.99933.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.99953.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.99973.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998

Areas bajo la distribución Normal Estandarizada

9-104


Unidades de perdidas normales

9-105

Documents

Ballou 09