BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Navigasi Udara

Navigasi udara merupakan kegiatan untuk mengarahkan alat transportasi udara

(dalam hal ini pesawat) dari satu tempat ke tempat yang lain agar tidak keluar dari

jalurnya.

Navigation is the process of reading, planning, recording, and controlling the

movement of a craft or vehicle from one place to another.

[Jacob et al., 1993]

Navigasi juga diperlukan untuk mengurangi risiko kecelakaan pesawat yang

diakibatkan oleh tabrakan dengan pesawat lainnya maupun benturan dengan bukit dan

awan tebal khususnya ketika cuaca buruk atau jarak pandang pilot terbatas.

Navigasi ini dilakukan dari darat yang dibantu melalui sinyal yang dipancarkan

oleh instrumen terpasang pada menara (ground base) maupun sinyal dari satelit (satellite

base). Kemudian dengan sinyal-sinyal yang dipancarkan balik oleh pesawat, orang di

darat dapat mengetahui koordinat titik lokasi pesawat tersebut berada yang kemudian

digunakan untuk mengarahkan pesawat.

2.2 Posisi dan Sistem Koordinat

Posisi suatu titik biasanya dinyatakan dengan koordinat (dua-dimensi atau tiga-

dimensi) yang mengacu pada suatu sistem koordinat tertentu. Sistem koordinat itu

sendiri didefinisikan dengan menspesifikasikan tiga parameter berikut, yaitu:

• Lokasi titik nol dari sistem koordinat

7 

 

• Orientasi dari sumbu-sumbu koordinat

• Satuan yang digunakan untuk mendefinisikan posisi suatu titik dalam sistem

koordinat tersebut.

Setiap parameter dari sistem koordinat tersebut dapat dispesifikasikan lebih lanjut, dan

bergantung pada spesifikasi parameter yang digunakan.

Posisi titik di permukaan bumi diberikan dalam koordinat kartesian tiga-dimensi

(X, Y, Z) dalam sistem koordinat. Koordinat kartesian (X, Y, Z) tersebut selanjutnya

dapat ditransformasikan menjadi koordinat geodetik ( , ,h).

Gambar 2.1 Posisi titik dalam system koordinat kartesian dan geodetik

Hubungan matematis antara koordinat-koordinat kartesian dan geodetik dapat dituliskan

sebagai berikut:

(1)

8 

 

Pada rumus di atas, dan adalah jari-jari kelengkungan vertikal dan eksentrisitas

ellipsoid yang keduanya dapat dihitung sebagai berikut:

, (2)

Di mana dan berturut-turut adalah setengah sumbu panjang dan setengah sumbu

pendek dari elipsoid.

2.3 GPS (Global Positioning System)

GPS adalah sistem radio navigasi dan penentuan posisi menggunakan satelit.

Nama formalnya adalah NAVSTAR GPS (Navigation Satellite Timing and Ranging

Global Positioning System). Sistem yang dapat digunakan oleh banyak orang sekaligus

dalam segala cuaca ini, didesain untuk memberikan posisi dan kecepatan tiga dimensi

yang teliti, dan juga informasi mengenai waktu, secara kontinyu di seluruh dunia.

Pada dasarnya GPS terdiri atas tiga segmen utama, yaitu segmen angkasa

(spacial segment) yang terdiri dari satelit-satelit GPS, segmen sistem kontrol (control

system segment) yang terdiri dari stasiun-stasiun pemonitor dan pengontrol satelit, dan

segmen pemakai (user segment) yang terdiri dari pemakai GPS termasuk alat-alat

penerima dan pengolah sinyal dan data GPS. Ketiga segmen ini digambarkan secara

skematik di Gambar 2.2.

9 

 

Gambar 2.2 Sistem Penentuan Posisi Global , GPS

Ada beberapa hal yang membuat GPS menarik untuk digunakan dalam

penentuan posisi, yakni:

• GPS dapat digunakan setiap saat tanpa bergantung waktu dan cuaca. GPS dapat

digunakan baik pada siang ataupun malam hari, dalam kondisi cuaca yang buruk

sekalipun seperti hujan ataupun kabut. Karena karakteristiknya ini maka

penggunaan GPS dapat meningkatkan efisiensi dan fleksibilitas dari pelaksanaan

aktivitas-aktivitas yang terkait dengan penentuan posisi.

• Satelit-satelit GPS mempunyai ketinggian orbit yang cukup tinggi, yaitu sekitar

20.000 km di atas permukaan bumi. Jumlahnya pun relatif cukup banyak, untuk

saat ini terdapat 24 satelit. Ini menyebabkan GPS dapat meliput wilayah yang

cukup luas, sehingga akan dapat digunakan oleh banyak orang pada saat yang

sama, serta pemakaiannya menjadi tidak bergantung pada batas-batas politik dan

batas alam, seperti yang diilustrasikan pada Gambar 2.3.

10 

 

Gambar 2.3 Cakupan GPS yang relatif luas

• Posisi yang ditentukan dengan GPS akan mengacu pada suatu datum global yang

dinamakan WGS 1984. WGS 1984 adalah sistem koordinat kartesian terikat-

bumi. Pusatnya berimpit dengan pusat massa bumi, sumbu-Z nya berimpit

dengan sumbu putar bumi yang melalui CTP (Conventional Terrestrial Pole),

sumbu-X nya terletak pada bidang meridian nol (Greenwich), sumbu-Y nya

tegak lurus sumbu X dan Z dan membentuk sistem tangan kanan.

• GPS dapat memberikan ketelitian posisi yang spektrumnya cukup luas. Dari

yang sangat teliti (orde milimeter) sampai yang biasa-biasa saja (orde puluhan

meter). Luasnya spektrum ketelitian yang bisa diberikan ini memungkinkan

penggunaan GPS secara efektif dan efisien sesuai dengan ketelitian yang

diminta.

• Selain memberikan informasi posisi, GPS juga dapat memberikan informasi

mengenai jarak, kecepatan, percepatan, dan waktu secara teliti.

11 

 

2.3.1 Metode Penentuan Posisi Kinematik

Penentuan posisi secara kinematik (kinematic positioning) adalah penentuan

posisi dari titk-titik yang bergerak. Hasil penentuan posisi bisa diperlukan pada saat

pengamatan (real-time) ataupun sesudah pengamatan (post-processing). Problem utama

dari penentuan posisi kinematik secara teliti adalah penentuan ambiguitas fase secara on-

the-fly, yaitu penentuan ambiguitas fase pada saat receiver sedang bergerak dalam waktu

sesingkat mungkin.

2.3.2 GPS dan Perhubungan Udara

Organisasi Penerbangan Sipil Sedunia, ICAO (International Civil Aviation

Organization) sudah sejak 1966 melakukan investigasi terhadap potensi satelit dalam

mendukung navigasi pesawat udara. Pada periode 1969 – 1970, Komisi Penasihat ATC

(Air Traffic Control) dari Departemen Transportasi Amerika Serikat juga sudah

melakukan investigasi terhadap kemungkinan penggunaan satelit sebagai elemen utama

pada ATC ataupun pada pesawat terbang untuk keperluan komunikasi, navigasi, dan

pemantauan. Komisi ini menganalisis penggunaan satelit untuk aplikasi penerbangan di

atas lautan maupun daratan. Komisi penasehat ATC ini berkesimpulan bahwa meskipun

sistem CNS (Comunication, Navigation and Surveillance) berbasis satelit tersebut secara

konsepsional memungkinkan dan juga potensinya sangat besar.

Pada awal 1980-an RTCA (Radio Technical Commision for Aeronautics) di

Amerika Serikat mulai melakukan investigasi yang berkaitan dengan teknologi,

keuntungan-keuntungan, serta kebutuhan-kebutuhan pemakai dari sistem-sistem CNS di

masa mendatang untuk pengelolaaan lalu lintas udara dan navigasi , dengan penekanan

12 

 

khusus pada aplikasi dari teknologi satelit. Komisi Khusus dari RCTA, setelah

melakukan investigasi selama tiga tahun berkesimpulan bahwa penggunaan teknologi

satelit tidak hanya memikat, tetapi secara nyata tampaknya akan menjadi satu-satunya

metode yang mampu memberikan pelayanan untuk navigasi serta pengelolaan lalu lintas

yang memenuhi persyaratan penerbangan di masa mendatang dalam skala global.

Selanjutnya pada November 1983, ICAO membentuk kelompok kerja

internasional yang bernama FANS (Future Air Navigation Systems) yang terdiri atas

negara anggota ICAO dan peninjau dari organisasi internasional sebanyak 32 negara.

Secara lebih spesifik, kelompok kerja FANS ini bertujuan melakukan studi, identifikasi,

dan konsolidasi dari konsep-konsep dan teknologi baru dalam bidang navigasi udara,

termasuk teknologi satelit, serta memformulasikan rekomendasi bagi pengembangan

bidang navigasi udara sipil di masa mendatang untuk periode 25 tahun (1990 - 2015).

Kelompok kerja FANS ini selama lima tahun masa kerjanya telah mengembangkan

konsep dari suatu sistem komunikasi, navigasi, dan pemantauan (CNS) terpadu yang

berbasiskan pada teknologi satelit.

Untuk komponen komunikasi dan pemantauan, FANS menggunakan GNSS

(Global Navigation Satellite System) yang mencakup sistem-sistem satelit GPS. Pada

saat ini organisasi-organisasi penerbangan banyak terlibat dengan pengembangan

spesifikasi dan standar penerbangan untuk penggunaan GPS dan sistem-sistem yang

terkait.

13 

 

2.3.3 Aplikasi dan Manfaat Penggunaan GPS pada Perhubungan Udara

Potensi penggunaan GPS dalam bidang perhubungan udara terutama terkait

dengan aspek-aspek navigasi dan pemantauan. Kalau kita mengacu pada fase-fase

navigasi yang umum dikenal yaitu en-route/terminal (oceanic, domestic, terminal,

remote areas, special helicopter operations) dan approach and landing (non-precision,

precision), maka pada dasarnya dapat dikatakan bahwa GPS akan punya manfaat dan

peran yang besar untuk setiap fase tersebut. Di samping dapat memberikan informasi

tentang posisi tiga-dimensi pesawat (termasuk parameter tinggi) dari waktu ke waktu

secara teliti, GPS juga dapat digunakan untuk memberikan informasi tentang kecepatan,

arah terbang, serta atitude (pitch, roll) dari pesawat yang bersangkutan.

Gambar 2.4 Automatic Dependent Surveillance

Penggunaan GPS dalam bidang perhubungan udara tidak hanya akan

memengaruhi sistem kokpit pesawat, tetapi juga sistem ATC (Air Traffic Control), dan

ground base systems. Beberapa aplikasi GPS dalam bidang penerbangan yang sedang

dikembangkan meliputi:

Aplikasi yang segera direalisasikan

• Oceanic en-route navigation and surveillance

14 

 

• Domestic en-route navigation and surveillance

• Terminal area navigation and surveillance

• Non-precision approach guidance

• Instrument landing guidance

• Altimetry

• Runway incrusion detection

Aplikasi masa mendatang

• Precision landing guidance

• Attitude and heading reference

• Airport surface guidance

Dalam dunia penerbangan, minat terhadap GPS dan kemampuan navigasinya

timbul sebagian karena hasil studi yang menunjukkan bahwa penggunaan GPS

mempunyai manfaat yang berdampak ekonomis cukup besar bagi perusahaan-

perusahaan penerbangan, bisnis penerbangan, dan komunitas penerbangan secara umum.

2.3.4 Kinerja dan Keterbatasan GPS

Telah banyak pertanyaan dilontarkan mengenai peran GPS sebagai sistem

navigasi sipil untuk penerbangan. Terutama berkaitan dengan aspek-aspek ketelitian,

keandalan, integritas, dan ketersediaannya dalam melayani fase-fase penerbangan. Baik

itu en-route/terminal maupun approach and landing. Berikut ini kinerja dan

keterbatasan dari GPS akan dibahas dengan mengacu pada aspek-aspek ketelitian,

keandalan, integritas, dan ketersediaan.

15 

 

Dari aspek ketelitian, sistem satelit navigasi seperti GPS sebenarnya mempunyai

level ketelitian yang lebih tinggi dibandingkan sistem-sistem navigasi lainnya, seperti

yang ditunjukkan pada Tabel 2.1 berikut.

Tabel 2.1 Ketelitian tipikal dari beberapa sistem navigasi [Jacob et al., 1993; DoD and DoT,1993]

Sistem Navigasi Ketelitian tipikal

GPS (C/A code, L1) 100 m, 2 D, 95% DGPS (Carrier Smoothed Code) < 3 m DGPS (Carrier Phase, Kinematik) < 0,5 m GLONASS 18 m VOR (jarak = 10 nm, Dc = 4 derajat) 1200 m DME (Distance Measuring Equipment) < 450 m VLF – W > 1000 m INS (Inertial Navigation System) 1800 m / jam AHRS > 18000 m / jam

Kalau hanya memerhatikan masalah ketelitian, sebenarnya GPS dapat melayani

semua fase navigasi dari penerbangan. Dari Tabel 2.2 berikut terlihat bahwa secara

teoritis dari segi ketelitian dapat dikatakan bahwa GPS dapat melayani semua fase

sampai tahap kategori 3. Meskipun dari segi ketelitian GPS lebih baik dibanding sistem

lainnya, tetapi sampai saat ini GPS hanya disertifikasi sebagai sistem navigasi suplemen

di samping sistem-sistem navigasi yang telah ada. Alasan utamanya adalah masalah

integritas dari GPS dan juga adanya degradasi yang sifatnya periodik dari geometri

satelit di beberapa tempat di permukaan bumi ini.

16 

 

Tabel 2.2 Persyaratan ketelitian untuk penerbangan sipil [DoD and DoT, 1993]

Fase Sub-Fase Ketelitian (Source Accuracy) 2drms (meter)

Oceanic Domestic 1000 (normal and high traffic density)

2000 (low traffic density) Terminal 500 Remote 1000 – 4000

En-Route / Terminal

Special Helicopter Operation

500 (high traffic density) 1000 - 2000 (low traffic density)

Non-Precision 100 CAT I Lateral : 17,1 Vertikal : 4,1 precision CAT II 5,2 1,7

Approach and landing

CAT III 4,1 0,6

Mengingat pentingnya masalah integritas sistem navigasi dalam dunia

penerbangan dan jga mengingat bahwa kelemahan GPS yang utama adalah dalam

masalah integritas ini, banyak penelitian yang difokuskan pada cara-cara meningkatkan

dan memantau tingkat integritas dari GPS.

Perlu dicatat bahwa sistem GPS sendiri sebenarnya sudah dilengkapi dengan

karakteristik built-in serta prosedur operasional yang dimaksudkan untuk memantau dan

sekaligus menjamin integritas dari GPS. Tetapi meskipun begitu, delay waktu sebesar 15

- 20 menit masih ada antara terjadinya anomali (kesalahan) pada satelit dengan indikasi

awalnya yang diamati oleh Segmen Kontrol GPS. Di samping itu waktu tambahan

sekitar satu jam biasanya diperlukan untuk meng-update data yang ditransmisikan ke

pengguna. Delay waktu yang inhren dalam kemampuan pemantauan dari Segmen

Kontrol GPS ini tidak memenuhi syarat integritas yang dituntut baik oleh ICAO maupun

FAA untuk semua fase navigasi, seperti yang ditunjukkan pada Tabel 2.3.

17 

 

Tabel 2.3 Persyaratan integritas untuk penerbangan sipil [DoD and DoT, 1993]

Fase Sub-Fase Time-to-

Alarm (detik) Oceanic 30 Domestic 30

En-Route / Terminal

Terminal 10 Non-Precision 10 CAT I 6 Precission CAT II 2

Approach and Landing

CAT III 2

2.4 Interpolasi

2.4.1 Ilustrasi Interpolasi

Data yang diperoleh dari hasil pengamatan di lapangan dengan GPS selanjutnya

akan diproses sehingga menghasilkan titik-titik koordinat pesawat, di mana titik-titik ini

digunakan sebagai jalur pendaratan pesawat.

Sebagai ilustrasi, sebuah perekaman titik koordinat oleh GPS adalah setiap 400

meter. Permasalahan yang diangkat dengan data tersebut adalah menentukan nilai di

antara titik-titik diskrit tersebut (tanpa harus melakukan pengukuran lagi). Misalkan dari

pengukuran di atas, diinginkan posisi titik koordinat setiap 100 meter. Maka sebelumnya

akan ditentukan fungsi yang menghubungkan peubah-peubah yang ada. Solusinya

adalah mencari fungsi yang mencocokkan (fit) titik-titik data tersebut. Pendekatan

seperti ini di dalam metode numerik dinamakan pencocokan kurva ( Curve fitting ).

Fungsi yang diperoleh dengan pendekatan ini merupakan fungsi hampiran, karena itu

nilai fungsinya tidak setepat nilai sesungguhnya. Namun, cara ini dalam prakteknya

18 

 

sudah mencukupi karena rumus yang benar – benar menghubungkan beberapa buah

besaran fisik sulit ditemukan

Gambaran perekaman koordinat oleh GPS :

400m kedua 400m keempat

400m pertama 400m ketiga 400m kelima

Ketelitian data koordinat yang diinginkan setiap 100 meter

400m kedua 400m keempat

400m pertama 400m ketiga 400m kelima

Gambar 2.5 Perekaman koordinat oleh GPS

Pencocokan kurva tidak hanya bertujuan menghitung nilai fungsi, tetapi ia juga

digunakan untuk mempermudah perhitungan numerik yang lain seperti menghitung nilai

turunan (derivative) dan menghitung nilai integral ( ∫ ). Misalnya kita dihadapkan

dengan fungsi yang bentuknya cukup rumit, seperti fungsi berikut :

19 

 

( ) ( )5

322/1

21

42ln

x

xxxf

+

−= . (3)

Menghitung turunan fungsi tersebut pada nilai x tertentu, misalnya di ax = ,

( ) =af ' ?

merupakan pekerjaan yang cukup sulit, apalagi bila turunan yang dibutuhkan

semakin tinggi ordenya. Demikian juga dengan menghitung nilai integral fungsi ( )xf

pada selang integrasi ],[ ba , misalnya selang [0,1],

( )∫

+

−1

05

22/1

21

42ln

x

xx. (4)

Hal ini merupakan pekerjaan yang sulit, bahkan secara analitik pun belum tentu

dapat dilakukan. Rumus integrasi untuk fungsi semacam ini tidak tersedia. Satu

pendekatan untuk melakukan dua perhitungan ini ialah dengan menyederhanakan fungsi

( )xf menjadi polinom pn(x) yang berderajat ≤ n.

( ) ( )xpxf n= , (5)

yang dalam hal ini,

( ) nnn xaxaxaaxp ++++= ...2

210 . (6)

Menghitung turunan atau mengintegralkan suku-suku polinom menjadi lebih mudah

karena rumus untuk menghitung turunan atau mengintegrasikan polinom sangat

sederhana, yaitu

(i) Jika ( ) naxxf = maka ( ) 1' −= nnaxxf , a dan n konstan.

(ii) ( )∫ ++

= + Cxn

adxax nn 1

1, a dan n konstan, n ≠ -1.

20 

 

Untuk membentuk polinom ini, kita mengambil beberapa titik diskrit (yang

umumnya berjarak sama) pada kurva fungsi f. Titik-titik tersebut secara alami

direpresentasikan dalam bentuk tabel. Selanjutnya titik-titik data ini dicocokkan untuk

menentukan polinom ( )xpn yang menghampiri fungsi aslinya.

Gambar 2.6 Pencocokan kurva dengan Interpolasi

Pencocokan kurva adalah sebuah metode yang mencocokkan titik-titik data

dengan sebuah kurva (fitting curve) fungsi.

2.4.2 Metode Interpolasi

Bila data diketahui mempunyai ketelitian yang sangat tinggi, maka kurva

cocokannya dibuat melalui setiap titik, persis sama kalau kurva fungsi yang sebenarnya

dirajah melalui tiap titik itu. Kita katakan di sini bahwa kita menginterpolasi titik-titik

data dengan sebuah fungsi (Gambar 2.6). Bila fungsi cocokan yang digunakan berbentuk

polinom, polinom tersebut dinamakan polinom interpolasi. Pekerjaan menginterpolasi

titik-titik data dengan sebuah polinom disebut interpolasi (dengan) polinom. Contoh

data yang berketelitian tinggi adalah titik-titik yang dihitung dari fungsi yang telah

y 

x 

21 

 

diketahui (seperti dari persamaan 3), atau data tabel yang terdapat di dalam acuan ilmiah

(seperti data percepatan gravitasi bumi sebagai fungsi jarak sebuah titik ke pusat bumi).

Selain dengan polinom, interpolasi titik-titik data dapat dilakukan dengan fungsi spline,

fungsi rasional (pecahan), atau deret Fourier.

2.4.3 Persoalan Interpolasi Polinom

Diberikan n+1 buah titik berbeda (x0,y0),(x1,y1), … ,(xn,yn). Tentukan polinom

pn(x) yang menginterpolasi (melewati) semua titik-titik tersebut sedemikian rupa

sehingga

( )ini xpy = untuk i = 0,1,2, … ,n

Nilai yi dapat berasal dari fungsi matematika f(x) sedemikian sehingga yi = f(xi),

sedangkan pn(x) disebut fungsi hampiran terhadap f(x). Atau yi berasal dari nilai empiris

yang diperoleh melalui percobaan atau pengamatan.

Gambar 2.7 Interpolasi dan Ekstrapolasi

(x1,y1) 

(x0,y0) 

(x2,y2) 

(x3,y3)  (a,pn(a)) 

(y=pn(x)) (xn‐1,yn‐1) 

(xn,yn) 

(b,pn(b)) 

(x = a)  (x = b) 

(menginterpolasi)  (mengekstrapolasi) 

22 

 

Setelah polinom interpolasi pn(x) ditemukan, pn(x) dapat digunakan untuk

menghitung perkiraan nilai y di x = a, yaitu y = pn(a). Bergantung pada letaknya, nilai

x=a mungkin terletak di dalam rentang titik-titik data (x0 < a < xn) atau di luar rentang

titik-titik data (a < x0 atau a > xn) :

(i) Jika x0 < a < xk maka yk = p(xk) disebut nilai interpolasi (interpolated value)

(ii) Jika xn < xk atau x0 > xk maka yk = p(xk) disebut nilai ekstrapolasi (extrapolated

value)

Keduanya, (i) dan (ii), ditunjukkan pada Gambar 2.7.

Beberapa metode perhitungan polinom interpolasi telah ditemukan oleh para

analis numerik tanpa menggunakan cara pendekatan di atas. Beberapa di antaranya akan

diberikan di sini yaitu :

a. Polinom Lagrange

b. Polinom Newton

c. Polinom Newton-Gregory (kasus khusus dari polinom Newton)

Untuk sejumlah titik-titik data yang diberikan, metode interpolasi yang berbeda-

beda ini tetap menghasilkan polinom yang sama (unik), tetapi dalam bentuk yang

berbeda satu sama lain, dan berbeda juga dalam jumlah komputasi yang dilibatkan.

2.5 Polinom Newton

Pada Polinom Lagrange terdapat beberapa kelemahan yaitu:

a. Banyaknya komputasi yang dibutuhkan untuk satu kali interpolasi adalah besar.

Interpolasi untuk nilai x yang lain memerlukan jumlah komputasi yang sama

karena tidak ada bagian komputasi sebelumnya yang dapat digunakan.

23 

 

b. Bila jumlah titik-titik data meningkat atau menurun, hasil komputasi sebelumnya

tidak dapat digunakan. Hal ini disebabkan oleh tidak adanya hubungan antara

pn-1(x) dan pn(x) pada polinom Lagrange.

Polinom Newton dibuat untuk mengatasi kelemahan ini. Dengan polinom

Newton, polinom yang dibentuk sebelumnya dapat dipakai untuk membuat polinom

derajat yang lebih tinggi.

Pada polinom lanjar persamaannya:

( ) ( )( ) ( )0

01

0101 xx

xxyy

yxp −−−

+= (7)

Bentuk persamaan ini dapat ditulis sebagai

P1(x) = a0+a1(x-x0) (8)

Di mana

a0 = y0 =f(x0) (9)

dan

( )

01

01

01

011

)(xx

xfxfxxyy

a−−

=−−

= (10)

Persamaan (10) ini merupakan bentuk selisih-terbagi (divided-difference) dan dapat

disingkat penulisannya menjadi

a1 = f[x1, x0] (11)

Setelah polinom lanjar, polinom kuadratik dapat dinyatakan dalam bentuk

p2(x) = a0 + a1(x-x0) + a2(x-x0)(x-x1) (12)

atau

p2(x) = p1(x) + a2(x-x0)(x-x1) (13)

24 

 

Persamaan (13) memperlihatkan bahwa p2(x) dapat dibentuk dari polinom sebelumnya,

p1(x). Ini mengarahkan kita pada pembentukan polinom Newton untuk derajat yang

lebih tinggi. Nilai a2 dapat ditemukan dengan menyulihkan x = x2 untuk memperoleh

( ) ( )( )( )1202

021022 xxxx

xxaaxfa−−

−−−= (14)

Nilai a0 dan nilai a1 pada persamaan (9) dan (10) dimasukkan ke dalam persamaan (14)

untuk memberikan

( ) ( ) ( ) ( )

12

01

01

02

02

2 xxxx

xfxfxx

xfxf

a−

−−−

−−

=

Dengan melakukan perhitungan aljabar, persamaan terakhir ini lebih disukai ditulis

menjadi

( ) ( ) ( ) ( )

02

0112

02

01

01

12

12

2],[],[

xxxxfxxf

xxxx

xfxfxx

xfxf

a−−

=−

−−−

−−

= (15)

Demikian seterusnya, kita dapat membentuk polinom Newton secara bertahap : polinom

derajat n dibentuk dari polinom derajat (n-1). Polinom Newton dinyatakan dalam

hubungan rekursif sebagai berikut :

(i) Rekurens : pn(x) = pn-1(x) + an(x-x0)(x – x1) ... (x – xn-1) (16)

(ii) Basis : p0(x) = a0

Jadi, tahapan pembentukan polinom Newton adalah sebagai berikut :

p1(x) = p0(x) + a1(x – x0)

= a0 + a1(x – x0)

p2(x) = p1(x) + a2(x – x0)(x – x1)

= a0 + a1(x – x0) + a2(x – x0)(x – x1)

25 

 

p3(x) = p2(x) + a3(x – x0)(x – x1)(x – x2)

= a0 + a1(x – x0) + a2(x – x0)(x – x1) + a3(x – x0)(x – x1)(x – x2)

...

pn(x) = pn-1(x) + an(x – x0)(x – x1) ... (x – xn-1)

= a0 + a1(x – x0) + a2(x – x0)(x – x1) + a3(x – x0)(x – x1)(x – x2) +

... + an(x – x0)(x – x1) ... (x – xn-1) (17)

Nilai konstanta a0, a1, a2,…an merupakan nilai selisih-terbagi dengan nilai masing-

masing :

a0=f(x0)

a1=f [x1, x0]

a2=f [x2, x1,x0]

:

an = f [xn, xn-1,…,x1,x0]

di mana,

[ ] ( ) ( )ji

jiji xx

xfxfxxf

−−

=, (18)

[ ] ( ) ( )ki

kjjikji xx

xxfxxfxxxf

−−

=,,

,, (19)

[ ] ( ) ( )on

nnnnnn xx

xxxfxxxfxxxxf−−= −−−

−02111

011,...,,,...,,,,...,, (20)

dengan demikian polinom Newton pada persamaan (16) dapat ditulis dalam hubungan

rekursif sebagai berikut

(i) Rekurens :

26 

 

( ) ( ) ( )( ) ( ) [ ]0111101 ,,...,,... xxxxfxxxxxxxpxp nnnnn −−− −−−+= (21)

(ii) Basis : p0(x) = f(x0)

atau dalam bentuk polinom yang lengkap sebagai berikut :

pn(x) = f(x0) + (x – x0) f[x1,x0] + (x – x0)(x – x1) f[x2,x1,x0]

+ (x – x0)(x – x1) … (x – xn-1) f[xn,xn-1, … ,x1,x0] (22)

Karena tetapan a0, a1, a2,..., an merupakan ini selisih terbagi, maka polinom Newton

dinamakan juga polinom interpolasi selisih-terbagi Newton. Nilai selisih terbagi ini

dapat dihitung dengan menggunakan tabel yang disebut tabel selisih-terbagi, misalnya

tabel selisih terbagi untuk empat buah titik (n = 3 ) berikut :

Tabel 2.4 Tabel Selisih Terbagi untuk Empat buah Titik

i xi yi = f(xi) ST – 1 ST – 2 ST – 3 0 1 2 3

x0 x1 x2 x3

f(x0) f(x1) f(x2) f(x3)

f[x1,x0] f[x2,x1] f[x3,x1]

f[x2,x1,x0] f[x3,x2,x1]

f[x3,x2,x1,x0]

Keterangan : ST = Selisih-Terbagi

Sekali tabel selisih-terbagi dibentuk, polinom interpolasi yang melewati sekumpulan

titik (x1,y1) berbeda (misalnya untuk i = 0,1,2, atau i = 1,2,3) dapat ditulis dengan

mudah. Bila bagian tabel yang diarsir dinyatakan di dalam matriks ST [ 0...n, 0...n],

maka evaluasi pn(x) untuk x = t dapat dinyatakan sebagai

pn(t) = ST(0,0) + ST[0,1](t-x0) + ST[0,2](t – x0)(t – x1)

+ ST[0,n](t – x0)(t – x1) … (t – xn-1)

Kelebihan Polinom Newton

Alasan mengapa Polinom Newton lebih disukai untuk dibuat program, yaitu

27 

 

a. Karena polinom Newton dibentuk dengan menambahkan satu suku tunggal

dengan polinom derajat yang lebih rendah, maka ini memudahkan perhitungan

polinom derajat yang lebih tinggi dalam program yang sama. Karena alasan itu,

polinom Newton sering digunakan khususnya pada kasus yang derajat

polinomnya tidak diketahui terlebih dahulu.

b. Penambahan suku-suku polinom secara beruntun dapat dijadikan kriteria untuk

menentukan tercapainya titik berhenti, yaitu apakah penambahan suku-suku yang

lebih tinggi tidak lagi memperbaiki nilai interpolasi, atau malahan menjadi lebih

buruk.

c. Tabel selisih terbagi dapat dipakai berulang-ulang untuk memerkirakan nilai

fungsi pada nilai x yang berlainan.

2.6 Polinom Newton – Gregory

Polinom Newton-Gregory merupakan kasus khusus dari polinom Newton untuk

titik-titik yang berjarak sama. Pada kebanyakan aplikasi nilai-nilai x berjarak sama,

misalnya pada tabel nilai fungsi, atau pada pengukuran yang dilakukan pada selang

waktu yang teratur.

Untuk titik-titik yang berjarak sama, rumus polinom Newton menjadi lebih

sederhana. Selain itu, tabel selisih-terbaginya pun lebih mudah dibentuk. Di sini kita

menamakan tabel tersebut sebagai tabel selisih saja, karena tidak ada proses pembagian

dalam pembentukan elemen tabel.

Ada dua macam tabel selisih, yaitu tabel selisih maju (forward difference) dan

karena itu, ada dua macam polinom Newton – Gregory, yaitu polinom Newton-Gregory

28 

 

maju dan polinom Newton Gregory mundur. Pada tugas akhir ini yang dibahas adalah

polinom Newton-Gregory Maju.

2.7 Polinom Newton-Gregory Maju

Polinom Newton-Gregory maju diturunkan dari tabel selisih maju. Sebelum

menurunkan rumusnya, kita bahas terlebih dahulu tabel selisih maju.

2.7.1 Tabel selisih Maju

Misal diberikan lima buah titik dengan absis xi, i=0,1,...,4 yang berjarak sama.

Tabel selisih maju yang dibentuk dari kelima titik tersebut adalah

Tabel 2.5 Tabel Selisih Maju dari Lima Titik

x f(x) Δf Δ2f Δ3f Δ4f x0 x1 x2 x3 x4

f0 f1 f2 f3 f4

Δf0 Δf1 Δf2 Δf3 Δf4

Δ2f0 Δ2f1 Δ2f2 Δ2f3 Δ2f4

Δ3f0 Δ3f1 Δ3f2 Δ3f3 Δ3f4

Δ4f0 Δ4f1 Δ4f2 Δ4f3 Δ4f4

Lambang Δ menyatakan selisih maju. Arti setiap simbol di dalam tabel adalah :

( ) 000 yxff ==

( ) 111 yxff ==

...

( ) 444 yxff ==

Notasi : ( )pp xff =

010 fff −=Δ

121 fff −=Δ

29 

 

...

343 fff −=Δ

Notasi : ppp fff −=Δ +1

0102 fff Δ−Δ=Δ

1212 fff Δ−Δ=Δ

2322 fff Δ−Δ=Δ

Notasi : ppp fff Δ−Δ=Δ +12

02

12

03 fff Δ−Δ=Δ

12

22

13 fff Δ−Δ=Δ

Notasi : ppp fff 21

23 Δ−Δ=Δ +

Bentuk umum :

pn

pn ff Δ=Δ +1 , n = 0, 1, 2, ... (23)

2.7.2 Penurunan Rumus Polinom Newton-Gregory Maju

Sekarang kita mengembangkan polinom Newton-Gregory maju yang didasarkan

pada tabel selisih maju.

[ ]01, xxf ( ) ( )

01

01

xxxfxf

−−

=

( )hxf 0Δ

=

30 

 

hf!1

0Δ= (24)

[ ]012 ,, xxxf [ ] [ ]

02

0112 ,,xx

xxfxxf−−

=

( ) ( ) ( ) ( )

02

01

01

12

12

xxxx

xfxfxx

xfxf

−−−

−−−

=

hh

ff

2

01 Δ−Δ

=

20

2

!2 hfΔ

= (25)

Bentuk umum :

[ ] ( )n

n

n

n

n hnf

hnxf

xxxf!!

,,..., 0001

Δ=

Δ= (26)

Dengan demikian polinom Newton untuk data berjarak sama dapat ditulis

sebagai :

( )xpn = ( ) ( ) [ ] ( )( ) ( ) ++−−+−+ ...,,, 012100100 xxxfxxxxxxfxxxf

( )( ) ( ) [ ]011110 ,,...,,... xxxxfxxxxxx nnn −−−−−

= ( ) ( )( ) ++Δ

−−+Δ

−+ ...!2!1 2

02

100

00 hf

xxxxhf

xxf

( )( ) ( ) n

n

n hnf

xxxxxx!

... 0110Δ

−−− − (27)

Persamaan (27) ini dinamakan polinom Newton-Gregory maju. Persamaan ini

dapat juga ditulis sebagai relasi rekursif :

31 

 

( ) ( ) ( )( ) ( ) n

n

nnn hnf

xxxxxxxpxp!

... 01101Δ

−−−+= −− (28)

Jika titik-titik berjarak sama dinyatakan sebagai

ihxxi += 0 , ni ,...,2,1,0=

dan nilai x yang diinterpolasikan adalah

shxx += 0 , Rs∈

maka, persamaan (27) dapat juga ditulis dalam parameter s sebagai

( ) ( ) ( )( ) ( )00

22

2

00 !1...21...

!21

!1f

hnhnssssf

hhssf

hshfxp n

n

n

n Δ+−−−++Δ−+Δ+=

yang menghasilkan

( ) ( ) ( )( ) ( )00

200 !

1...21...!21

!1f

nnssssfssfsfxp n

n Δ+−−−++Δ−+Δ+= (29)

atau dalam bentuk relasi rekursif,

(i) Rekurens : ( ) ( ) ( )( ) ( )01 !

1...21 fn

nssssxpxp nnn Δ+−−−+= −

(ii) Basis : ( ) ( )00 xfxp = (30)

Seringkali persamaan (29) dinyatakan dalam bentuk binomial :

( ) ∑=

Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

n

k

kn f

ks

xp0

0 (31)

yang dalam hal ini,

,10

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ s

( )( ) ( )!

1...21k

kssssks +−−−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ (s > 0, bilangan bulat positif)

dan kk .....2.1!=

32 

 

Tahap pembentukan polinom Newton-Gregory maju untuk titik-titik berjarak

sama dapat dituliskan sebagai berikut :

( ) 00 fxp =

( ) ( )!101sxpxp += 000 !1

fsff Δ+=Δ

( )xp2 = ( ) ( )0

21 !2

1 fssxp Δ−+

=( )

02

00 !21

!1fssfsf Δ−+Δ+

( )xp3 = ( ) ( )( )0

32 !2

21 fsssxp Δ−−+

=( ) ( )( )

03

02

00 !221

!21

!1fsssfssfsf Δ−−+Δ−+Δ+

2.7.3 Taksiran Galat Interpolasi Newton-Gregory Maju

Seperti halnya pada polinom Newton, taksiran galat interpolasi Newton-Gregory

dapat dihitung dengan menghampiri turunan fungsi ke (n + 1) dengan nilai pada tabel

selisih.

Tinjau kembali polinom Newton-Gregory Maju :

( ) ( ) ( )( ) ( ) n

n

nnn hnf

xxxxxxxpxp!

... 01101Δ

−−−+= −−

Naikkan suku

( )( ) ( ) n

n

n hnf

xxxxxx!

... 0110Δ

−−− −

dari n menjadi n + 1 :

33 

 

( )( ) ( )( )( ) 10

1

110 !1... +

+

− +Δ

−−−− n

n

nn hnf

xxxxxxxx

Bentuk terakhir ini bersesuaian dengan rumus galat interpolasi

( ) ( )( ) ( ) ( )( )1...

1

10 +−−−=

+

ntfxxxxxxxE

n

n

Sehingga, f(n+1)(t) dapat dihampiri dengan

( ) ( ) 10

11

+

++ Δ

n

nn

hf

tf (32)

Jadi, taksiran galat dalam menginterpolasi f(x) dengan polinom Newton-Gregory

maju adalah

( ) ( )( ) ( ) ( )!1... 1

01

10 +−−−= +

+

nhff

xxxxxxxE n

n

n (33)

atau dalam bentuk lain,

( ) ( )( ) ( )( )!1...21 0

1

+Δ

−−−=+

nf

nssssxEn

(34)

dengan ( ) hxxs /0−=

2.7.4 Manfaat Tabel Selisih Maju

Pada contoh-contoh perhitungan yang diberikan sebelum ini, derajat polinom

interpolasi ditentukan pada soal. Bila polinom interpolasi derajat n yang diinginkan,

maka jumlah titik yang dibutuhkan harus (n + 1) buah. Sebaliknya, bila diberikan (n+1)

titik, maka kita dapat menginterpolasi titik-titik itu dengan polinom derajat satu (jadi

hanya dua titik yang diperlukan), polinom derajat dua (tiga titik), polinom derajat tiga

(empat titik) dan maksimal polinom derajat n (jadi semua titik yang dipakai). Timbul

34 

 

pertanyaan, dengan polinom derajat berapakah sekumpulan titik data sebaiknya

diinterpolasi agar memberikan galat interpolasi yang minimum? misalkan kita

membentuk tabel selisih untuk fungsi f(x)=x,f(x)=x2 dan f(x)=x3 pada titik-titik x yang

berjarak sama yaitu :

(i)

Tabel 2.6 Selisih fungsi f(x)=x

x f(x)=x Δf Δ2f Δ3f 0 h 2h 3h

0 h 2h 3h

h h h

0 0

0

(ii)

Tabel 2.7 Selisih fungsi f(x)=x2

x f(x)=x2 Δf Δ2f Δ3f 0 h 2h 3h 4h

0 h2 4h2 9h2 16h2

h2 3h2 5h2 7h2

2h2 2h2 2h2

0 0

(iii)

Tabel 2.8 Selisih fungsi f(x)=x3

x f(x)=x2 Δf Δ2f Δ3f 0 h 2h 3h 4h

0 h3 8h3 27h3 64h3

H3 7h3 19h3 37h3

6h3 6h3

0

h adalah jarak antara nilai-nilai x. Selisih orde pertama adalah

35 

 

( )xfΔ = ( ) ( )xfhxf −+

= ( ) ( ){ } { }nn

nn xaxaahxahxaa +++−++++ ...... 1010

= ( )[ ] ( )[ ]+−++−+ −−−

111

nnn

nnn xhxaxhxa suku-suku derajat ≤ n-2

( ) ( )( )[ ]+−++−+−+ −−−−−−

1123211 ...21 nnnnn

n xhhxnhxnxa

suku-suku derajat ≤ n-2

= +−1nn xnha suku-suku derajat ≤ n-2

Jadi kesimpulan kita benar. Apakah kegunaan kesimpulan ini? Bila di dalam

tabel selisih ditemukan Δ k bernilai (hampir) konstan (≠ 0) maka polinom yang tepat

mengiterpolasi titik-titik adalah polinom berderajat k. Pada contoh tabel (iii) diatas : Δ 3

konstan, jadi titik – titiknya tepat diinterpolasi dengan polinom derajat tiga (sama

dengan fungsi aslinya, f(x) = x3)

Bagaimana jika tidak terdapat Δyang bernilai tetap ? Misalnya diberikan tabel

selisih di bawah ini :

Tabel 2.9 Δyang tidak bernilai tetap

x f(x)=1/x Δf Δ2f Δ3f Δ4f 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60

10.00 5.00 3.33 2.50 2.00 1.67

-5.00 -1.67 -0.83 -0.50 -0.33

3.33 0.83 0.33 0.17

-2.49 -0.51 -0.16

1.98 0.35

Pada tabel selisih di atas, tidak ada Δ k yang mendekati nilai tetap. Jadi f(x) = 1/x

tidak tepat dihampiri dengan polinom derajat 1, 2, 3, atau 4 di dalam selang [0.10, 0.60].

Tetapi jika selang datanya diperkecil dengan penngambilan h yang lebih kecil dan

digunakan empat angka benar sebagai berikut :

36 

 

Tabel 2.10 Δyang bernilai tetap

x f(x)=1/x Δf Δ2f Δ3f 0.25 0.26 0.27 0.28 0.29 0.30

4.000 3.846 3.704 3.571 3.448 3.333

-0.154 -0.142 -0.133 -0.123 -0.115

0.012 0.009 0.010 0.008

-0.003 0.001 -0.002

Maka dari tabel ini ditemukan Δ 2 mendekati nilai tetap yaitu sekitar 0.010. karena

itu f(x) = 1/x dapat dihampiri sebanyak empat angka bena dengan polinom kuadratik

di dalam selang [0.25, 0.30].