Aula_10

fontes: Lec. Notes in Solid Mechanics Part II: Engin. Solid Mechanics, Piaras Kelly, The Univ. of Auckland, 2009; Advanced Strength of Materials, J. P. Den Hartog, McGraw-Hill, 1952; Resistência dos Materiais (5a. edição), R. C. Hibbeler, Pearson, 2006

PLACAS FINAS – DEFLEXÕES, ESFORÇOS INTERNOS E TENSÕES

INTRODUÇÃO

Uma placa é um elemento estrutural originalmente plano, em que a espessura é pequena quando

comparada com as demais dimensões. A espessura é, via de regra, constante, sendo medida

perpendicularmente ao plano médio da placa (vide figura 1).

Figura 1 – Placa sob carregamento transversal

Abordar-se-á aqui o comportamento de placas retangulares e circulares, sob diversas condições de

carregamento transversal e condições de contorno, com base na teoria de placas de Kirchhoff.


INTRODUÇÃO (cont.)

Essa abordagem, embora aproximada, fornece resultados bastante satisfatórios, desde que:

(a) a placa seja relativamente fina;

(b) as deflexões sejam pequenas em relação à espessura.

Observa-se, nos desenvolvimentos subsequentes, a seguinte orientação da placa nos eixos

cartesianos. O plano médio encontra-se no plano x–y, ao passo que o eixo z está orientado ao longo da

espessura, indicada por h (vide figura 2).

Figura 2 – Orientação da placa nos eixos cartesianos


TENSÕES E ESFORÇOS INTERNOS

As forças e momentos externos que atuam numa placa provocam tensões e esforços internos. As

tensões e os esforços internos correspondentes, por unidade de comprimento, são os seguintes:

tensões normais:

→ forças axiais

→ momentos fletores

h / 2 h / 2

x xx y yyh / 2 h / 2

h / 2 h / 2

x xx y yyh / 2 h / 2

N dz ; N dz

M z dz ; M z dz

− −

− −

= σ = σ

= σ = σ

∫ ∫

∫ ∫

tensões laterais de cisalhamento:

→ forças cortantes laterais

→ momentos de torção

h / 2 h / 2

xy xy xy xyh / 2 h / 2

V dz ; T z dz− −

= τ = τ∫ ∫

tensões transversais de

cisalhamento:

→ forças cortantes transversais

h / 2 h / 2

x zx y yzh / 2 h / 2

V dz ; V dz− −

= τ = σ∫ ∫


CURVATURAS E TORÇÃO

Também em decorrência das ações externas, a placa se deforma, fazendo com que o plano médio

ocupe a superfície w = w(x,y), com w denotando a deflexão da placa (vide figura 3).

Figura 3 – Placa deformada

Assim, as inclinações da placa ao longo de x e y são dadas, respectivamente, por w x e w y∂ ∂ ∂ ∂ .

Em geral, a placa pode tanto fletir para cima ou para baixo quanto torcer (vide figuras 4, 5 e 6). A

partir desses comportamentos fundamentais e com algumas hipóteses simplificadoras, podem ser obtidas

as deformações correspondentes na placa, em função das curvaturas apresentadas.


Figura 4 – Placas em flexão e torção


Figura 5 – Placa em flexão ao longo de x e y

Figura 6 – Placa em torção ao longo de x e y


HIPÓTESES PARA OBTENÇÃO DAS DEFORMAÇÕES

1) O plano médio é um plano “neutro”

O plano médio da placa permanece livre de tensões e deformações longitudinais. Assim, a flexão da

placa irá causar deformações abaixo e acima desse plano. O plano médio desempenha, na teoria das

placas, o mesmo papel do eixo neutro na teoria das vigas.

2) Os elementos de linha permanecem normais ao plano médio

Os elementos de linha orientados de forma perpendicular ao plano médio da placa permanecem

perpendiculares ao plano médio ao longo da deformação (vide figura 7). Essa hipótese é similar àquela

de “seções planas permanecem planas” da teoria das vigas.

3) A deformação vertical é desprezada

Os elementos de linha orientados de forma

perpendicular ao plano médio não mudam de

comprimento durante a deformação. Essa é

outra hipótese que encontra similaridade na teoria das vigas.


DEFORMAÇÕES

Pode-se mostrar então que, com base nas hipóteses acima, de um estado geral de deformações (vide

figura 8), as resultantes na placa são

2 2

xx xx zz2 2

2

xy xz yz

w wz ; z ; 0x y

w2z ; 0; 0x y

∂ ∂ε = − ε = − ε =

∂ ∂

∂γ = − γ = γ =

∂ ∂

Figura 8 – Estado geral de tensões e deformações


TENSÕES E RELAÇÕES MOMENTOS–CURVATURAS

De posse das deformações obtidas anteriormente, pode-se encontrar, a partir da lei de Hooke

generalizada, as tensões correspondentes, uma vez que

xx xx yy yy yy xx xy xy1 1 2(1 ); ; E E E E E

ν ν + νε = σ − σ ε = σ − σ γ = τ

Resolvendo-se para as tensões, resulta que

2 2 2 2 2

xx yy xy2 2 2 2 2 2E w w E w w E wz ; z ; z

(1 ) x y(1 ) x y (1 ) y x⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂

σ = − + ν σ = − + ν τ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ν ∂ ∂− ν ∂ ∂ − ν ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Substituindo-se as tensões acima nas expressões dos momentos fletores e de torção, tem-se

2 2 2 2 2

x y xy2 2 2 2w w w w wM D ; M D ; T D(1 )

x yx y y x⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= + ν = + ν = − − ν⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

onde 3 2D Eh 12(1 )= − ν é a rigidez à flexão da placa, que equivale ao termo EI da teoria das vigas.

As expressões dos momentos, apresentadas acima, são análogas à expressão 2

2d v M

EIdx= .


TENSÕES E RELAÇÕES MOMENTOS–CURVATURAS (cont.)

Verifica-se, das equações anteriores, que

y xyxxx yy xy3 3 3

M z T zM z ; ; h /12 h /12 h /12

σ = − σ = − τ =

Essas expressões são similares à expressão My / Iσ = − , encontrada na teoria de vigas, com 3I h /12= vezes a largura da viga. Por essas relações, observa-se que as tensões máximas

xx máx. yy máx. xy máx.( ) ,( ) e ( )σ σ τ ocorrem nas faces superior e inferior da placa, onde z h 2= ± .

A convenção de sinal para os momentos fletores encontra-se ilustrada na figura 9 (para se visualizar

a deformação correspondente à um momento de torção negativo, vide figura 4).

Figura 9 – Convenção de sinal para momentos fletores


EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA DEFLEXÃO

Nos casos de maior interesse, uma placa, num ponto qualquer, estará sujeita a um dado

carregamento transversal, momentos fletores e de torção e forças cortantes transversais (vide figura 10).

Todas esses esforços estarão relacionados entre si através das equações de equilíbrio.

Figura 10 – Placa sujeita a carregamento transversal, momentos e forças cortantes

Das equações de equilíbrio na direção vertical e em torno do eixo x, decorre que

y xy y xyx xx y

V T M TV Mq, V e Vx y x y y x

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂+ = − = − = −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Essas equações são análogas, respectivamente, às equações dV dx q e V dM dx= − = das vigas.


EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA DEFLEXÃO (cont.)

Eliminando-se as forças de cisalhamento das equações anteriores, chega-se a

2 22xy yx

2 2

T MM 2 qx yx y

∂ ∂∂− + = −

∂ ∂∂ ∂

equação análoga à equação 2 2d M dx q= − da teoria das vigas.

Por fim, substituindo-se as relações entre momentos e curvaturas, chega-se a

4 4 44

4 2 2 4w w w q q2 ou w

D Dx x y y∂ ∂ ∂

− + = − ∇ = −∂ ∂ ∂ ∂

onde 2∇ é o Laplaciano, tal que 2 2

22 2x y

∂ ∂∇ = +

∂ ∂.

A equação diferencial parcial acima é resolvida sujeita às condições de contorno experimentadas

pela placa. Uma vez que uma expressão para a deflexão w seja obtida, deformações, tensões, forças e

momentos pode ser calculados como mostrado nos desenvolvimentos anteriores.


TENSÕES COMPLEMENTARES

Para se complementar a descrição de um estado geral de tensões (vide figura 11), deve-se, além das

tensões já abordadas acima, quais sejam,

2 2 2 2 2

xx yy xy2 2 2 2 2 2E w w E w w E wz ; z ; z

(1 ) x y(1 ) x y (1 ) y x⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂

σ = − + ν σ = − + ν τ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ν ∂ ∂− ν ∂ ∂ − ν ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

determinar também xz yz zz, e τ τ σ . Das equações de equilíbrio, obtem-se

2x

xz

2y

yz

3V z12h h / 2

3V z12h h / 2

⎡ ⎤⎛ ⎞τ = − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞τ = − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

Já quanto a zzσ , ela nunca excederá a intensidade

da carga externa na placa. Como essa carga é pequena

em comparação com as demais tensões normais, zzσ pode ser desprezada, como, aliás, já se fez.


ALTERNATIVA À TEORIA DE PLACAS FINAS

Quando a placa é relativamente grossa, pode-se recorrer à teoria de placas de Mindlin. Por essa

teoria, os elementos de linha orientados de forma perpendicular ao plano médio da placa não têm que

permanecer perpendiculares ao plano médio ao longo da deformação, embora devam permanecer retos.

Assim sendo, as deformações ao cisalhamento xz yze γ γ podem ser diferentes de zero, ainda que

constantes ao longo da espessura da placa. A hipótese de zz 0σ = , contudo, é mantida.

Para placas relativamente grossas, a teoria de Kirchhoff (placas finas) apresenta valores de deflexão

inferiores aos fornecidos pela teoria de Mindlin.

COMPILAÇÃO DE RESULTADOS

Apresenta-se, na sequência, uma compilação de resultados (vide Den Hartog, 1952), obtidos para

placas circulares e retangulares, sob diversas condições de carregamento e condições de contorno, pela

teoria de placas finas. Entre a nomenclatura adotada anteriormente e a que se segue, deve-se utilizar a

seguinte correspondência:

xx máx. yy máx. máx. x y 1h t ; ( ) ou ( ) s ; M ou M M ; = σ σ = = ν = μ .

sothatP

C4 = 87rD

The remaining two boundary conditions are on the outside of the plateand are the same ones we saw before. We pursue the case for a clampedoutside edge:

(82)

127

(68)

"'-4~ .-i~~.•.

~2~~

t

Iw

(clamped edge)

FIG.88. Deflection and bending-momentcurves for a solid circular plate, clamI{t;4at the edge andloaded by a concentratedcentralload P. This illustrates Eqs. (81) .

68max = ?M1

PR~Wmax = 161rD

CATALOGUE OF RESULTS

The maximum deflection in the center is'

1The sources and details of these results can be found in the two standard works onplates: Nadai, "Elastische Platten," Verlag Julius Springer, Berlin, 1925; Timoshenko,"Theory oí Plates and Shells," McGraw-Hill Book Company, Inc., New York, 1940.

~nd the bending moments are plotted in Fig. 88. They become "log

~rithmically infinite" near the concentrated load. This makes thestress,likewiseinfinite, which should not surprise us, because if we prescribe an im-possible loading ("concentrated" P), .W13 shall get an impossiblestress("infinité" stress). This, however,does not make o:urresult useless. BySaint-Venant's principie (page 117)

Fig. 88 givesthe stress distributioncorrectly at some distance from theconcentrated load if that load is(eplaced by another one, distributedover some small central areaand

··liaving a total resultant P.Disks with a central hole under

various loadings and with various.edge conditions can be calculated bythe same method. Much work has been expended on this, and some of theresults are given ín the next section.

19. Catalogue oi Results. ln the last two sections we have soonthat ther:cálculation of plate deflections and stresses is a very laborious prqcess,even in the simplest cases of circular plates without central hole. Whena hole is present or when the plate is rectangular, the work oi computationbecomes so large that no one is justified inperforming it for use on a givenpractical case. ln the course of time many cases have boon worked out:

.t~e fundamental theory principally by Navier and laterbyLevy, both inFrance, the numerical computations by Galerkin in Russia, by Wahl in'the United States, and by others.1 '

The results are here listed for practical applicatiôn. With them comesthe oft-repeated warning that they are valid only for plates, which meanst «R, and, moreover, only for small deflections w < t, aswill be shownlater in Fig. 91. The stresses are found from thebending moments listed,by Eq. (68), reprinted below: '

(81)

PC4 = 87rD

w = O = CI + CaR2 + 8:D R2 log R = O

·PR 'w' = O = 2CaR + - (1 + 2 log R) = O87rD

BENDING OF FLAT PLATES

r = R:

r = R:

Substituting this into the general result, Eq. (73)1 with C2 = Oand Po = O,we finally obtain for the circular plate· R with clamped outer edge loaded by

a cemral concentrated force P

PR2(' r2 r2 r)w =l61rD 1 - R2 + 2 R2 10g'R

MIm = r[1 + (1 + p.) log~JMu = r [p. + (1 + p.) log~J

pSu =~

27rr

From these we solve for CI and Ca:

PR2 PCI = 161rD Ca = -161rD (1 + 2 log R)

lim Su = 2Pr-O 1rT

From Eqs.' (74), for the case that po = O,we have, on the other hand,

lim Su = 4DC4r-O r

126

a solution exists with finite deflections w (from physical experience), andthen the slope at the center must be zero. Hence from page 122 we find

C' ,w:.o = O = .--2 + Ca X O + C4 X O + Or

If tl1e constant C2 exists, we get a stoop slope at the center, so that weconclude C2 = O.

The second condition to be met is that the unit shear force Su, immediately adjacent to the center, becomes infinite in the proper manner;in the ttlanner we have just soon:

The symbol D appearing in the formulae below is the plate stiffnessdefined by Eq. (64), reprinted:

Càse 4. Circular plate R, no hole, central concentrated force P, simply

supported edge; JL =' 0.3:

129

afor Fi> 0.57

afor li < 0.57

M1 tnax = 00


P(R2 3221 a)Wmax = 1671'D - 4 a + a og li

P ( a2)M, max = 471' 1 - 2R2

P (a2 a)= 47r (1 + JL) 4R2 - logo liM1 ma.x

P (3 + JL R2 7 + 31' 2 2 1 a)Wmax = 167r15 1 + p. - 4 + 41' a + a og. Fi

P [ 1 - l' a2 a]M, max = 47r 1 - -4-R2 - (1 + JL) log Fi

that this case reduces to caSe 2 for a = R and to case 4 for a = O.

Case 6. Circular plate R, no hole, with total load P distributed overline a, simply supported edge;

P [3 + JL (R2 2) 2 1 a]Wmax = 1671'D 1+ JL - a + 2a og, Fi

7. Circular plate R, no hole, with a single concentrated load Pplaced eccentrically at distance a from the center; various edge conditions.

WC6nter

~

The results of cases 5 and 6 apply here, except that the Wm•x listed theremust be interpreted here as the deflection of the center, which in this caseis not the maximum deflection, although quite close to it. This is basedon a remark by the great Saint-Venant that a load element p,a dO ofcases 5 or 6 causes the same central deflection as another load p,a dO,

placed elsewhere on the same circle, on account of symmetry. Hence ifthe circular1y distributed load of cases 5 or 6 is shifted in any manneraround the a circle, the center deflection of the plate does not change.

Case 8. Circular plate R, no hole, with a total load P, distributeduniformly over an inner circle of radius a, 80 that p = P lia", clamped

that this reduces to case 1for a = R and to case 3 for a = O.Case 9. Circular plate R, no hole, with a totalload P distributed uni

formly over an inner circle of radius a, so that p = P I71'a2, simply supported edge;

GrlJ~~

(64)

PR2Wm•x = 0.05-' D

PR2

Wm•x = 1671'D

M I m.x = CO (see case 8)

POR4

Wm•x = 0.063 DM, m.x = 0.206poR2

M, m.x = poR28

P (R2 2 21 a)Wma< = 1671'D - a + 2a og, Fi

M1 ma" = 00


f~nl 0.

Po

~L-R:J

Circular plate R, no hole, uniform load Po, simply supported

Circular plate R, no hole, central concentrated force P, clamped

p

~~II 0.R---..J

(ll~1~

P

~I\ M, m.x = co (see case 9)

Case 5. Circular plate R, no hole, loaded with a total force P distributed uniformly over a circular line of radius a, so that P, = P j271'a;

clamped edge:

Case 3.

edge:

Case 2.

edge:

Et3 3

D = 12(1 _ ,/) = 0.091Et

Here JL has been taken as 0.3, usual for steel and for practically all othermateriaIs. ln the tabulations that follow, sometimes· JL has been absorbedin the numerical coefficients, and in those cases it has been taken as JL = 0.3.

The shear stresses due to transverse shear are negligible, as was discussed on page 125. All results listed are to be interpreted in the lightof Saint- Venant's principIe (page 117). Here they are:

Case 1. Circular plate R, no hole, uniform load Po, clamped edge:

POR4

Wm•x = 64D

128

where 7] and e are shown in the table below.Case 14. Circular plate R, with hole r, simply supported at the outer

edge R; free inner edge r, loaded with a uniform po,

where e and r are to be taken from the table below.Case 13. Circular plate R, with hole r, simply supported at the inside

edge r; free outer edge R, uniformly loaded with po,

131

I 5, 0.564

0.234

I' 0.4921.31

/_0,813I 3.00i 2.80

I 1.59

5.10

2.19

PR2

~ Et3

PPf

4

2.99

2.23

1.45

4.30

2.08

0.448

0.179

0.417

1.30

0 ..830

8max =

PSma" = jJ f

Wmo.x, ==

3

2.15

1.54

1.21

3.34

1.88

0.293

0.110 i

0.291 I

1.22

0.824

2

0.094

0.033

0.125

0.902

0.664

1.040.71

0.74

2.04

1.44

1.50

0.018

0.006

0.031

0.491

0.414

0.410

0.273

0.336

1.19

0.976


1.25

0.0023

0.0008

0.0034

0.202

0.184

0.135

0.090

0.122

0.66

0.59

~cJP

10, a11, 'Y12, •13, 'T'J

14, K

10, /3

11, li12, r13, IJ14, X

1 ~I~~r~

VAl,UES OF COEFFICIENTS FOR STRESS AND DEFl,ECTIONFOR CASES 10 TO 14 OF PLATES

WU'H A CENTRAl, HOLE UNDER UNIFORMl,Y DISTRIBUTED LOADING Po OVER THE ENTIREANNULAR AREA

Defiection

R/r

Stress

VALUES OF COEFFICIENTS FOR STRESS AND DEFLECTION FOR CASES 15 TO 17 OF PLATES

WITH A CENTRAL HOl,E, LOADED WITH A TOTAl, FORCE P LINEARI.y DISTRIBUTEDAl,ONG A CIRCULAR PERIPHERYR/r

I1.25I1.50

I2I3

[4

l-o:"15, p.

0.00130.00640.0240.062

I

0.092

Defiection I16, ~0.00510.0250.0880.2090.293

i

0.350

17, (]'

0.340.520.670.730.730.70

15, •

0.1150.2200.4050.703

I

0.933 '1 1.13

Stres816, p0.2270.4280.7531.211.51I1.75

I17, T1.101.261.481.882.17i2.34

Case 15. Circular plate R with hole r, clamped and supported at theillSideedge r, the outer edge R being prevented from rotation and loaded'Witha totalload P, linearly distributed around the peripheryR.

PR2•

Wmax = fi, Et3

where fi, and jJ are to be taken from the table below.Case 16. Circular plate R with hole r,' clamped and supported at the

inner edge r, loaded by a total force P, linearly distributed along the freeperiphery R,

where tand p are to be taken from the.table below.

K PoR 4Et3

À poR2t2

7]PoR~Et"

e poR2t2

rPoR2t2

o poR2t2

Smax ==

Sma.x ==

8max ==

Wmax:

Wmax

Smax = {3 poR2t2

8me.:;;;: ==


rR r ~À~I~

rR r ~.~

m~~1

Po

J~g!~~~~1F

~n~nl 1~;L'lw_<

where K and À are shown in the table below.

where the values of 'Y and o are given in the table below.Case 12. Circular plate R with hole rJ loaded uniformly with Po over

the annular portion only, freely supported at the outer edge R, the inneredgebeing prevented from rotation, but not contributing to the reaction F,

poR4

Wmu = e Et3

130

Case 10. Circular plate R with hole r, built in at the inside edge r, freeat the outer edge R, uniformly loaded with pressure Po ("umbrella" plate),

PoR'

Wmu = a Et3-

where the values of a and {3as functions of the ratio R/r are given in thetable below.

Case 11. Circular plate R, with hole r, built in and supported at theinner edge r, the outer edge being prevented from rotating, but not contributing to the reaction F, loaded uniformly with pressure Po,

PoR'Wmax = 'Y Ef

133

0.25

0.00040.0051

3

r poa4Et3

1]Poa2

2

0.75 I 0.50 1 0.25

Pa2

Wmax = € Et3

4poa

Wfnax = K Et3

Wniax =

M 1 ma< = Xpoa2

M1 ma.x: = 00

M1 max

1.81.6

1.3

1.5 1 0.751 0.50

---------- '

0.042 0.022 0.012 0.00370.043 0.026 0.021 0.0139

2

1.4

1.6

)7b

3

2

1.2


4

3

1.11

'"

0.071 I 0.070 I 0.0671 0.0550.064 0.063 0.061 0.053

0.14210.12810.09910.06610.04210.021 I 0.00~1Io.00177Io.000110.125 0.125 0.119 0.109 O.094 0.070 0.045 0.021 0.0052

K and Xare in the folIowingtable:

b/a

co21.51.21I 0.75 I 0.50 I 0.25-----------

K

0.1420.1010.0700.0470.030 I 0.01331 0.00331 0.0002À

0.1250.1220.1120.0980.084 0.058 0.031 0.0077

-y

li

t'ti

b/a

0.12710.13810.14810.16210.171 10.177 10.180 I 0.185 10.185

b/a

b/a

Case 23. Rectangular plate ab, pnder uniform loading .Po, clamped alonga edge, and simply supported along the three remaining edges,

Case 22. ' Rectangular plate ab, under ulliform load Po, with the a edgesClamped and the b edges simply supported,

J:fft7Lo-lwhere r and 1] are to be taken from the table below:

'where € is given in the table below:

Case 21. Rectangular plate ab, on four simply supported edges loadedwith a single concentrated force P in its exact center,

ôpoa2

PSmax: = T f

4poa

Wma" = 'Y Et3

PR2

Wmax = (j Et3

4poa

Wmax = a Et

MIInRX =

MIma" = {3poa2


PL---0J /\-JP'-- R r \..:-.-

I

b/a11.21.41.61.82345I

'"------------------

a0.0440.0620.0770.0910.1020.1110.1340.1400.1420.142

P

0.0480.0630.0750,0860.0950.1020.1190.1240.1250.125

;;::~'!:l

{:~?<'ti

~ ~where'Y and o are to be taken from the table below:

0-/with the values of a and {3in the table below:

Case 20. Rectangular plate ab, simply supported on alI four sides, subjected to a linear1y increasing hydraulic pressure along the a sides, one

b side having zero pressure, the oppositeb side having Po. The maximum defiection occurs just off the middle ofthe plate toward the Po side (at about0.55a), the maximum stress somewhat farther off side (at about 0.60a).

poa4b4

_ . Wmax = 7r4D(a2 + [;»2

fio/bTU poa4b4 1 J.L

o =.-/U M1 max = 7r2(a2 + b2)2 C2 + b2)

Case 19. Rectangular plate ab, with b > a, simply supported at theedges, under uniform pressure loading Po with sufficient comer forces tohold it down on the foundation,

where (j and T are to be taken from the preceding table.Case 18. (Navier's Original Case). Rectangular plate ab, with b > a,

loaded sinusoidally p = po sin (7rx/a) sin (7ryjb) on simply supported edgeswith corner forces to hold it down:

Case 17. Circular plate R with hole r, simply supported at the inneredge r, and loaded with a total force P linearly distributed along the freeouter periphery R,

132

Case 24. Rectangular plate ab under uniform loading Po, clamped alongalI edges (section of a continuous floor slab in a building, supported bybeams on alI sides):

135

FIG. 89. Beam clamped at both endsbetween imnwvable walIs. Thiscauses a tension in. the beam, whichthen carries part of the Ioad P bystring action.

LARGE DEFLECTIONS

T -' AE l' ,2vert - Ymar. 2l o y dx

ól AE l' ,2T=AET=2f o y.dx

(j (j 27rx

Y = "2 - "2 cos -l-

Pl3li = 192EI

s = J ds = { ~II + y'2 dx = { (1 + 'y~2) dx

11's = l + - y,2 dx = l + ól. 2 o

we should calculate the deflected shape y by beam theory, but forof integration we assume reasonably that it is a displaced sine

tension Tis mostly horizontal, but its maximum vertical component is

strain in the center line then is óljl, and the tensile force T of theIS

ow we make the preposterous assump.tloIlthat the two side walIs do not moveatall; they do not move together by an

~Illount of order li, or by an amount ofrder li2/l even. Such immovable waUsàrdly exist, but if the walI were realIy

ovable, thenthe beam center line would be in tension under the load P,ause the curved deflected line is longer than the straight distance be

,-weenthe waUs. Tension in the beam wiU causé a certain portion of the'ad P to be carried by string action, as in a suspension bridge, and if thead P* so carried becomes comparable with P itself, then of course aIl

,ur beam theory becomes inapplicable to the case. We shall now pursuehis numerically. The length of ~he deflected beam is

plate (which was assumed to be stressles$, page 104) becomes stretched,like a membrane, and in that state can carry the loading Po or P partly·as a curved membrane. This limitation in general does not apply tobeams, and in order to explain it, we start with the case (Fig. 89) of abeam, built in at both ends and loaded with a central force P. The simpleeam theory for this case teUs us that.edeflection is

At the columns: Ml = 00

ln the center of eachfield: Nfl = ppoa2

4poa

Wmax = ~ Et3

4poa

Wmax = P. Et3

2Ml max = PPOa

BENDING DF FLAT PLATES

/~/ . //;/ //;/__.LL LL __ -"....t __

--rr---77---77--// //. ///,/ // //__ .LL. LL_-.JJ----rr---rr--77--~/~/ /j/ /~/ bJ..L L/ J.L_-=..../

b/aI

11.11.21.31.41.52CP

-~-----------~--~---

~0.0630.0530.0470.0420.0390.0370.0.320.028

p

0.0360.0370.0380.0390.0390.0390.0410.042

~L-o....l

b/a 11.21.41.61.82CP---- p.

0.01380.01880.02260.02510.02670.02770.0285p

0.05130.06390.07260.07800.08120.08290.0833

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Case 25. Rectangular plate ab, under uniforrn load Po, being a sectionofa large continuous concrete building floor slab and supported at thecorners of the sections ab by c<1lumns:

ln concluding this catalogue we mention an interesting reciprocaltheorem. It is contended by some erithusiastic proponents of classicaleducatión that if a person has had a good training in Latin and Greek,he is then ready to tackle anything else, such as the theory ôf flat plates.The reciprocal of this point of view is that if a student has mastered theuse of these 25 plate formulae, he has incidentally -learned the Greekalphabet and hence is quite ready to start reading and enjoying Atticpoetry.

20. Large Deflections. We now have to make good on our promise toshow that alI previous formulae on plates are true in general only if thedeflection Wmax is smalI in comparison with the thickness t of the plate.Trus is due to the fact that for larger deflections the middle surface of the

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