Aula 20: Revisão - decom.ufop.br · most important applications, studied since the sixties, is the Cutting Stock Problem (CSP). Although it has been deﬁned in diﬀerent ways according

Túlio A. M. Toffolohttp://www.toffolo.com.br

Otimização Linear e InteiraAula 20: Revisão

BCC464 / PCC174Departamento de Computação - UFOP

/ 12/ 40 Túlio Toffolo — Otimização Linear e Inteira — Aula 20: Revisão

Breve Revisão

The football leagues grouping problem

Problem constraints:

Leagues must comprise between m� and m+ teams.At most 2 teams from the same club can be in a league.There is a limit on the level difference between teams inthe same league.There is a limit on the travel time/distance between teamsin the same league.

It’s a generalization of the clique partitioning problem withminimum clique size requirement.

7 / 25 Toffolo et al. – IP heuristics for nesting problems

Programação Linear vs Programação Inteira






Modelagem Técnicas de modelagem Problemas clássicos






Branch-and-bound






Planos de corte Desigualdades válidas Problemas de separação Lifting






Formulações ideais

!2

Programação Linear vs Programação Inteira


Programação Linear vs Inteira

!4

Exemplo

Maximize:6x1 + 5x2

Sujeito a:15x1 + 7x2 492x1 + 4x2 17x1, x2 2 Z+

z = 27, 11 emx1 = 1, 7 e x2 = 3, 4

Não é pontointeiro!

1

2

3

4

1 2 3 4

17 / 25 Túlio Toffolo – Otimização Linear e Inteira – Aula 12: Programação Inteira

Exemplo

Maximize:6x1 + 5x2

Sujeito a:15x1 + 7x2 492x1 + 4x2 17x1, x2 2 Z+

z = 27, 11 emx1 = 1, 7 e x2 = 3, 4

Ótimo inteiro:z = 22 emx1 = 2 e x2 = 2

1

2

3

4

1 2 3 4



Conceito

RelaxaçãoUma formulação R = {min fR(x) : x 2 XR} é considerada umarelaxação de uma formulação M = {min f (x) : x 2 X} se:

1 todas as soluções de M são também soluções de R, ouseja, X ✓ XR,

2 e toda solução x 2 X tem custo em R menor ou igual aocusto em M, ou seja, fR(x) f (x) para todo x 2 X

Exemplo: relaxação linear

15 / 25Túlio Toffolo – Otimização Linear e Inteira – Aula 12: Programação Inteira

Relaxação de um problema

!5

Utilizada por resolvedores de Programação Inteira!

Modelagem


Como modelar PLs?The football leagues grouping problem





O segredo é: praticar






Dicas: Não se limite aos exemplos apresentados em aula. Os livros indicados na ementa da disciplina possuem exemplos e exercícios resolvidos. Estude outros problemas clássicos!

!7


Negação

!8

Dica: negação

O Complemento BinárioSejam y e x variáveis binárias (lógicas), se y é a negação de xdenominamos y como complemento binário de x .

y = x

Linearizando:

y = 1 � x

14 / 31 Túlio Toffolo – Otimização Linear e Inteira – Aula 11: Introdução a Programação Inteira


Restrições 'Big M'

Esta técnica pode ser utilizada para adicionar um ‘if’ na sua formulação de Programação Inteira.

Perguntas:






Qual o impacto do valor de ‘M’ ?






Estas restrições são muito utilizadas?

!9

Xxi Myj

4 / 4 Túlio Toffolo – Otimização Linear e Inteira – Aula 01: Introdução


Exemplo: corte e empacotamento






Deseja-se cortar peças unidimensionais a partir de barras que temos em estoque. Objetivo: atender a demanda reduzindo o número de barras utilizadas…

!10

Onde u é o número de barras disponíveis, c é o tamanho das barras e w indica os tamanhos das peças solicitadas.

Dados de Entrada

Estoque Pedidos (n = 4)

u = 10c = 250 w = [ 187, 119, 74, 90 ]


Exemplo: corte e empacotamentoThe football leagues grouping problem





Como modelar este problema?

!11

Formally, let u be any upper bound on the optimal solution value (for example, the valueof any approximate solution), and assume that the potential bins are numbered as 1, . . . , u.By introducing two binary decision variables

yi =

!

1 if bin i is used in the solution;0 otherwise

(i = 1, . . . , u), (1)

xij =

!

1 if item j is packed into bin i;0 otherwise,

(i = 1, . . . , u; j = 1, . . . , n), (2)

we can model the BPP as an Integer Linear Program (ILP) of the form (see Martello andToth [105])

minu

"

i=1

yi (3)

s.t.n

"

j=1

wjxij ≤ cyi (i = 1, . . . , u), (4)

u"

i=1

xij = 1 (j = 1, . . . , n), (5)

yi ∈ {0, 1} (i = 1, . . . , u), (6)

xij ∈ {0, 1} (i = 1, . . . , u; j = 1, . . . , n). (7)

Constraints (4) impose that the capacity of any used bin is not exceeded, while constraints(5) ensure that all the items are packed.

Many variants and generalization of the BPP arise in practical contexts. One of themost important applications, studied since the sixties, is the Cutting Stock Problem (CSP).Although it has been defined in different ways according to specific real world cases, its basicdefinition, using the BPP terminology, is as follows. We are given m item types, each havingan integer weight wj and an integer demand dj (j = 1, . . . , m), and an unlimited number ofidentical bins of integer capacity c. (In the CSP literature the bins are frequently called rolls,the term coming from early applications in the paper industry, and “cutting” is normallyused instead of “packing”.) The objective is to produce dj copies of each item type j (i.e.,to cut/pack them) using the minimum number of bins so that the total weight in any bindoes not exceed the capacity. Formally, let us define u and yi as above, and let

ξij = number of items of type j packed into bin i (i = 1, . . . , u; j = 1, . . . , m). (8)

2

Formally, let u be any upper bound on the optimal solution value (for example, the valueof any approximate solution), and assume that the potential bins are numbered as 1, . . . , u.By introducing two binary decision variables

yi =

!

1 if bin i is used in the solution;0 otherwise

(i = 1, . . . , u), (1)

xij =

!

1 if item j is packed into bin i;0 otherwise,

(i = 1, . . . , u; j = 1, . . . , n), (2)

we can model the BPP as an Integer Linear Program (ILP) of the form (see Martello andToth [105])

minu

"

i=1

yi (3)

s.t.n

"

j=1

wjxij ≤ cyi (i = 1, . . . , u), (4)

u"

i=1

xij = 1 (j = 1, . . . , n), (5)

yi ∈ {0, 1} (i = 1, . . . , u), (6)

xij ∈ {0, 1} (i = 1, . . . , u; j = 1, . . . , n). (7)

Constraints (4) impose that the capacity of any used bin is not exceeded, while constraints(5) ensure that all the items are packed.

Many variants and generalization of the BPP arise in practical contexts. One of themost important applications, studied since the sixties, is the Cutting Stock Problem (CSP).Although it has been defined in different ways according to specific real world cases, its basicdefinition, using the BPP terminology, is as follows. We are given m item types, each havingan integer weight wj and an integer demand dj (j = 1, . . . , m), and an unlimited number ofidentical bins of integer capacity c. (In the CSP literature the bins are frequently called rolls,the term coming from early applications in the paper industry, and “cutting” is normallyused instead of “packing”.) The objective is to produce dj copies of each item type j (i.e.,to cut/pack them) using the minimum number of bins so that the total weight in any bindoes not exceed the capacity. Formally, let us define u and yi as above, and let

ξij = number of items of type j packed into bin i (i = 1, . . . , u; j = 1, . . . , m). (8)

2

note que c atua como um ‘Big M’


Outros exemplos: problemas clássicos

Problemas de Fluxo






Fluxo máximo, caminho mais curto, fluxo a custo mínimo, fluxos com ganhos, multi-fluxos.

Problemas em Grafos






Árvores geradoras mínimas, caminho mais curto, emparelhamento máximo não-ponderado e ponderado, cortes mínimo e máximo, coloração de vértices e arestas, problema de Steiner, caixeiro viajante e roteamento de veículos.

Problemas Numéricos






Mochila, empacotamento uni- e multi-dimensional, lot sizing.

!12

Branch-and-bound


Branch-and-bound

!14

Branch-and-bound

Branch (ramificar)

Consiste em dividir um problema em problemas menores.Divide-se um problema P em m subproblemas, tais que:

P1,P2, . . . ,Pm tal que

P1 [ P2, . . . ,[Pm = P

Geralmente divide-se o problema em 2 subproblemas emcada passo.

3 / 27 Túlio Toffolo – Otimização Linear e Inteira – Aula 13: Branch-and-bound


Branch-and-bound

!15

Branch-and-Bound

max . z = 5x1 + 4x2

s.a. x1 + x2 510x1 + 6x2 45x1, x2 � 0

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5

x2

x1

x1 3 OU x1 � 4

4 / 24 Túlio Toffolo – Otimização Linear e Inteira – Aula 14: Desigualdades Válidas

Exemplo de ramificação:


Branch-and-bound

!16

Branch-and-bound

Bound (limites)

O branch resulta em um algoritmo exato que encontra asolução ótima em um número finito de passos, mas...

É extremamente ineficiente!Para n variáveis binárias teremos 2n nós a seremexplorados.

A chave para melhorar a eficiência do algoritmo é a podade sub-árvores através do uso de limites.



Bounds (Limites)

!17

Bound - Limites

Para um problema demaximização:

z = max f (x)

Podemos encontrar limitesque permitem avalizar aqualidade de uma soluçãocom custo f (x).

z

z

z

Limite Superior

Solução Ótima

Limite Inferior



Exemplo: problema da mochila

!18

Branch-and-bound: Problema da Mochila

5 :X, -1/4,113=1

10,75/95 :×z=1

X. =

1 Xy =O

5 :×

, -1,113=45 5×3=1,

114=1/2

six'=' 1×4=1 10,6/10 10,5 / 9si×3= '

3=1×3=0 ×4=1

×y=O

X 5 :X} -45,114=1 §

: xa.it/3,Xz=1inviavel yosinfueeiarjo 10,2/7si×a=1

10,33/9 si×3= '

5:X, --X4=1 13=1 113=0

×2=1* poda ×2=O

por limit

inviavel7 sinfueeirjo 9,4/4 g sdueao

inteira

5 :X4=1 5 :Xa=1, .×s= 5 :×z=1

S :Xa=1

item vi wi di

1 7 4 1,752 4 3 1,333 9 5 1,804 3 2 1,50



Branch-and-Bound em Programação Inteira

Notação utilizada:

P0 : problema originalL : lista de subproblemas: problemas criados a partir de P0 com

limites inteiros para variáveisP̄ : relaxação linear de um problema P, ou seja o problema P

sem as restrições de integralidadez⇤ : custo da melhor solução inteira encontrada até o momento

z̃ : limite dual (limite inferior no caso de minimização): obtido,por exemplo, pela resolução de P̄

x̃ : vetor de solução da última resolução de P̄


Branch-and-bound em programação inteira

!19

Inicialização:L P0, z⇤ 1

Seleção de sub-problema:se L = ; então fimsenão selecione um problema P 2 L e faça L L\{P}

Relaxação linear:z̃ custo ótimo de P̄

se problema P̄ é inviável ou z̃ � z⇤ entãová para seleção de sub-problema

Teste de integralidade:se solução ótima de P̄ não tem variáveis com valores fracionários então

se z̃ < z⇤ então z⇤ z̃

vá para seleção de sub-problema

Ramificação:xj uma variável inteira com valor fracionário na solução ótima de P̄

P0 problema P com uma restrição adicional: xj bx̃jcP00 problema P com uma restrição adicional: xj � dx̃jeL L [ {P0,P00}vá para seleção de sub-problema



Branch-and-bound

Algumas considerações:






Quais sub-árvores devem ser pesquisadas primeiro?






Qual variável selecionar para ramificação (branch)






Depende do problema e das metodologias disponíveis!






Vide últimas aulas práticas

!20

Planos de Corte


Idéia principal de algoritmos de plano de corte






Em um problema de minimização….

!22

a idéia é modificar (cortar) o problema relaxado até que seu ótimo seja

também ótimo do problema inteiro

f(x)

fR(x)

(soluções do problema original)

(limites obtidos com a relaxação do problema original)

se não for possível encontrar uma solução inteira, então ao menos

buscamos um limite melhor


Planos de corteThe football leagues grouping problem





Cortes de arredondamento






Cortes de Gomory






Cortes de Chvàtal-Gomory






Cortes de cobertura (cover)






Cortes de clique






Cortes de ciclo ímpar






Cortes de roda

!23


Exemplo: corte de arredondamento

!24

Exemplo de corte

Considere a restrição:2x1 + 4x2 17 (satisfeita por x1 = 1, 7 e x2 = 3, 4).

Vamos gerar outra restrição dividindo a primeira por 2:x1 + 2x2 8, 5

Note que do lado esquerdo temos apenas coeficientes inteirose o valor das variáveis também deve ser inteiro. Portanto:

x1 + 2x2 8

A restrição acima denomina-se Desigualdade Válida ou Corte.Note que um corte não invalida nenhuma solução inteira válida.


Suponha que as variáveis x deveriam ser inteiras:


Exemplo: corte de Gomory

!25

Como as variáveis são inteiras (lembre-se do arredondamento):

x1 � b1, 25cs1 + b0, 25cs2 b3, 75c ) x1 � 2s1 � 3 0

Se separamos a parte inteira da fracionária, teríamos:

x1 + (�2 + 0, 75)s1 + (0 + 0, 25)s2 = (3 + 0, 75)

x1 � 2s1 � 3 = 0, 75 � 0, 75s1 � 0, 25s2

0, 75 � 0, 75s1 � 0, 25s2 0

Cortes de Gomory

x1 x2 x3 x4 rhs

z : 0 0 1, 25 0, 75 5, 25

r1 : 0 1 2, 25 �0, 25 2, 25

r2 : 1 0 �1, 25 0, 25 3, 75

Como as variáveis são inteiras (lembre-se do arredondamento):

x1 � b1, 25cs1 + b0, 25cs2 b3, 75c ) x1 � 2s1 � 3 0

Se separamos a parte inteira da fracionária, teríamos:

x1 + (�2 + 0, 75)s1 + (0 + 0, 25)s2 = (3 + 0, 75)

x1 � 2s1 � 3 = 0, 75 � 0, 75s1 � 0, 25s2

0, 75 � 0, 75s1 � 0, 25s2 0

15 / 21 Túlio Toffolo – Otimização Linear e Inteira – Aula 16: Planos de Corte (2)

Considere o tableau ao lado:

Temos que:

Cortes de Gomory

x1 x2 x3 x4 rhs

z : 0 0 1, 25 0, 75 5, 25

r1 : 0 1 2, 25 �0, 25 2, 25

r2 : 1 0 �1, 25 0, 25 3, 75

Um corte pode ser gerado a partir de uma solução fracionária no tableau(exemplo acima).

Seja a segunda restrição (r2):

x1 � 1, 25s1 + 0, 25s2 = 3, 75

Podemos utilizá-la para gerar cortes de Gomory!

14 / 21 Túlio Toffolo – Otimização Linear e Inteira – Aula 16: Planos de Corte (2)


Exemplo: corte de Chvàtal-Gomory

!26

Exemplo 2

Considere as seguintes desigualdades:

i1 : 2x1 + 5x2 + 3x3 3i2 : x1 + x4 1i3 : 3x1 � 2x2 2

Seja u = {0.25; 0.15; 0.5}Desta forma, temos: 2.15x1 + 0.25x2 + 0.75x3 + 0.15x4 1.9

↵x1 = 2↵x2 = 0↵x3 = 0↵x4 = 0↵0 = 1

Corte de Chvàtal-Gomory produzido: 2x1 1

12 / 19 Túlio Toffolo – Otimização Linear e Inteira – Aula 15: Planos de Corte


Exemplo: corte de cobertura (cover)

!27

Cortes da Mochila

Considere que variáveis binárias xj aparecem numa restrição do tipo:X

j2N

ajxj b (aj � 0 para todo j 2 N)

Um Conjunto C ✓ N é uma Cobertura (Cover) se:X

j2C

ajxj > b

O que define o seguinte Corte de Cover :X

j2C

xj |C|� 1

16 / 24Túlio Toffolo – Otimização Linear e Inteira – Aula 14: Desigualdades Válidas


Exemplo: corte de cobertura (cover)

!28

Cortes de Cover

ExemploConsidere a seguinte restrição sobre as variáveis binárias xj :

11x1 + 6x2 + 6x3 + 5x4 + 5x5 + 4x6 + x7 19

Alguns cortes de cover:

x1 + x2 + x3 2x1 + x2 + x6 2x1 + x5 + x6 2

x3 + x4 + x5 + x6 3

Os cortes acima são cortes de cover minimais, no sentido quequalquer variável retirada da restrição descaracteriza a cobertura.



Empacotamento de Nós

Cliques

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 1

x1

x2 x3

x4 x5


Exemplo: corte de clique






Considere as seguintes restrições:






Corte de clique:

!29

x1 + x2 1

x1 + x3 1

x1 + x4 1

x1 + x5 1

x2 + x3 1

x2 + x4 1

x2 + x5 1

x3 + x4 1

x3 + x5 1

x4 + x5 1



Cliques

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 1

x1

x2 x3

x4 x5



Exemplo: corte de ciclo ímpar






Considere o seguinte modelo:






Corte gerado:

!30

x1 + x2 1

x1 + x5 1

x2 + x3 1

x3 + x4 1

x4 + x5 1



Ciclo Ímpar

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 2

x1

x2x5

x4 x3



Ciclo Ímpar

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 2

x1

x2x5

x4 x3



Problemas de separaçãoThe football leagues grouping problem





Como gerar cortes? Depende do corte! :)






Geralmente resolvemos um problema de separação utilizando a solução corrente (fracionária) como entrada






Exemplo: cortes de cobertura

!31


Problemas de separação

!32

Cortes de Cover : separação

Considere a solução fracionária x⇤.

Desigualdades violadas de Cover podem ser geradasresolvendo-se o problema DP:

DP =

8>>>>><

>>>>>:

�(x⇤) = min

X

j2N

(1 � x⇤j )zj

s.a.X

j2N

ajzj > b

zj 2 {0, 1} 8j 2 N

Uma desigualdade válida violada de cover é descobertaquando encontra-se z⇤ com �(x⇤) < 1.


Pergunta: precisamos mesmo resolver um Programa Inteiro para encontrar cortes de cobertura (cover)?


Problemas de separação

Como encontrar cortes de clique? Resolvendo um problema de separação:






Representar o modelo por meio de um grafo de conflito






Encontrar cliques maximais neste grafo que estejam sendo violados (se possível, o clique máximo — mas isso não é fácil pois o problema é NP-Difícil)






Problemas de otimização para encontrar cortes são chamados problemas de separação

!33


Exemplo de lifting

!34

Considere:

5x1 + 5x2 + 5x3 + 5x4 + 3x5 + 8x6 17

Temos, por exemplo, a seguinte desigualdade de

cobertura:

x1 + x2 + x3 + x4 3

Se fizermos lifting em x5 e depois em x6, obtemos:

x1 + x2 + x3 + x4 + ↵5x5 3

↵5 = 3 �max{x1 + x2 + x3 + x4 : x5 = 1} = 1

De forma análoga, obtemos ↵6 = 1,resultando no corte:

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 3

Se fizéssemos lifting em x6 e depois x5, obteríamos:

x1 + x2 + x3 + x4 + 2x6 3


Formulações Ideais


Formulação Ideal

!36

A Formulação Ideal

Maximize:6x1 + 5x2

Sujeito a:2x1 + 2x2 86x1 + 3x2 18x1, x2 2 R+

Formulação ideal

envoltória convexados pontos inteirosválidos

1

2

3

4

1 2 3 4



Formulação Ideal






Pode ser utilizado para resolver problemas com até três variáveis.






Muito útil para entender os principais conceitos envolvidos em Programação Linear (Inteira).

!37

A Formulação Ideal

TeoremaQuando o poliedro definido pelas restrições define a envoltóriaconvexa das soluções inteiras válidas, o Programa Inteiropode ser resolvido como um Programa Linear, ou seja, asrestrições de integralidade podem ser ignoradas e a soluçãoótima fornecida para esse problema relaxado ainda assim seráuma solução inteira.

No entanto... Obter tal poliedro não é trivial. :(


Mas há casos em que tal poliedro é facilmente obtido!!!

/ 12/ 40 Túlio Toffolo — Otimização Linear e Inteira — Aula 20: Revisão !38

Definição:

Seja uma matriz A contendo apenas valores �1, 0 e +1 tal que

haja no máximo dois valores não-nulos em cada coluna.

A matriz A é totalmente unimodular se existir uma partição R1 e

R2 de suas linhas tais que:

1 cada coluna com dois termos não nulos de mesmo sinal

tem uma entrada em R1 e outra em R2;

2 cada coluna com dois termos não nulos de sinal diferente

tem ambas entradas em R1 ou em R2.

É o caso de modelos cuja matriz de coeficientes A é Totalmente Unimodular!


Exemplos:

!39

Exemplos

Matrizes de incidência (arco-vértice) de um dígrafo e de um

grafo bipartido (aresta-vértice).

Problemas com matrizes TUM:

Problema do caminho mínimo

Problema de fluxo máximo

Problema de fluxo com custo mínimo

Problema de emparelhamento em grafos bi-partidos

16 / 25 Túlio Toffolo – Otimização Linear e Inteira – Aula 17: Lifting e Matrizes Ideais


Exemplos:The football leagues grouping problem





Exemplo de matriz de incidência (que é TUM):

!40

R1 = {1,2,3,4}R2 = ∅

/ 12

Perguntas?

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