Karlstads universitet 651 88 Karlstad Tfn 054-700 10 00 Fax 054-700 14 60

Information@kau.se www.kau.se

Estetisk-filosofiska fakulteten

Åsa Dolk

Att introducera division för alla elever

– en learning study i årskurs 3

To introduce division to all pupils – a learning study in grade 3

Examensarbete 15 högskolepoäng Speciallärarprogrammet

Nivå: Avancerad Datum: 11-06-01 Handledare: Michael Tengberg Examinator: Solveig Hägglund

Abstract The aim of this study was to find a good way to teach about division from the beginning, when division is introduced to the pupils mathematical expressed, so that all pupils, including pupils with special needs in mathematics, understood the concept of division, and learned to use division. From this work I also hoped that I and my partner would find and learn a model of how to plan, implement and evaluate math-teaching. The method of the study is learning study, a way to do a study in witch you can make use of variation theory as analytical instruments. The core of the variation theory is variation. A pattern of variation is built up a around the critical aspect ─ what must be discerned by the learner, intended for learning to happen. The design of the teaching, that takes account of pupil’s prior knowledge, is planning of a first lesson with the variation pattern built around the assumed critical aspect, implement and document the lesson. The lesson then is evaluated, with respect to the pupils experiencing and learning from the lesson. The lesson revises in due to the first result and is then implemented in a new group of pupils, and evaluates again. The central issue in the evaluation of the lessons is whether students learned what it was intended that they would learn. The study carried out in a year three class, in cooperation with the class teacher, according to the learning study-concept. Studies of earlier research and methodical literature in mathematics indicated that the critical aspect in learning division is the relationship between multiplication and division, witch I presumed it to be in this study. A practical approach of the teaching was chosen to fit for all pupils. . The results of the study showed that the teaching was already successful in lesson one, according to the aim that all pupils was understanding the concept of division and learned to do some plain divisions. The critical aspect showed it selves, in this moment, to be just what I presumed it to be and the discerning of it through the practical approach was successful. The problem of the teaching appeared in the second step of the lesson that aimed at a generalization of the relationship between multiplication and division to an abstract level. The result of the lesson one showed that most pupils did not learn that. The conclusion from that was that I have gone too fast forward to abstract approach and after a change of teaching in this regard, in lesson two, the result was much better. I note that during this lesson concept, and in this study, I could have been satisfied with just working in a concrete and metaphorical representative level with the pupils. As for us teachers, I think, that through this study, the learning study concept and the variation theory, we have found a tool to plan, implement and analyze the teaching of Mathematics. Keywords: Mathematics, teaching, division, including, pupils with special needs in Mathematics, Learning study, Variation theory.

Sammanfattning Syftet med studien var att hitta ett bra sätt att undervisa om division från början, när division introduceras för eleverna matematiskt uttryckt, så att alla elever, även elever i behov av särskilt stöd i matematik, förstår begreppet division och lär sig använda division. Genom detta arbete hoppades jag också att jag och min samarbetspartner skulle hitta och lära oss en modell för att på bästa sätt planera, genomföra och utvärdera matematikundervisningen. Metoden i studien är learning study, ett sätt att göra en studie där man kan använda sig av variationsteorin som analysinstrument. Kärnan i variationsteorin är just variation. Man bygger upp ett variationsmönster kring den kritiska aspekten – det som måste erfaras av eleven, för att avsett lärande ska ske. Vid design av undervisningen tar man hänsyn till elevers förkunskaper, planerar en första lektion med ett variationsmönster uppbyggt kring den förmodade kritiska aspekten, genomför och utvärderar lektionen. Lektionen revideras sedan, med avseende på elevernas erfarande och genomförs med andra elever och utvärderas igen. Den centrala frågan vid utvärderingen är om eleverna lärde sig det som det var avsett att de skulle lära sig. Studien genomfördes i en åk 3, i samarbete med klassläraren enligt arbetsgången i learning study-konceptet. Studier av tidigare forskning och matematikmetodisk litteratur indikerade att den kritiska aspekten vid lärande av division var sambandet mellan multiplikation och division, vilket jag också förmodade att den kritiska aspekten var i denna studie. För att undervisningen skulle passa alla elever valdes ett konkret arbetssätt. Resultatet av studien visar att undervisningen var framgångsrik vad det gäller att alla elever förstod begreppet division och kunde använda sig av det för att göra några enkla divisioner redan i lektion ett. Den kritiska aspekten, visade sig i detta moment vara just det jag förmodade och upplevelsen av den genom det konkreta arbetssättet framgångsrikt. Det moment i undervisningen som det blev problem med var när eleverna skulle göra en generalisering och i stället för att uppleva den kritiska aspekten genom konkret eller bildligt erfarande, skulle uppleva den på en mer abstrakt nivå. Där visade resultatet av lektion ett, att eleverna inte lärde sig detta. Slutsatsen blev att jag gått för fort fram med att övergå till abstrakt arbetssätt och efter en förändring av undervisningen i det avseendet, i lektion två, blev resultatet betydligt bättre. Jag konstaterar att jag under denna lektion och i denna studie kunde ha nöjt mig med att bara arbeta på en konkret och bildligt representativ nivå med eleverna. Vad det gäller oss lärare, så anser jag att vi genom studien och learning study konceptet med analys utifrån variationsteorin, fått ett verktyg att planera genomföra och analysera undervisningen med. Nyckelord: matematik, undervisning, division, inkludera, elever i behov av särskilt stöd i matematik, learning study, variationsteori.

Innehåll Bakgrund......................................................................................................................................1 Syfte................................................................................................................................................2 Tidigare forskning....................................................................................................................3 Undervisning ur variationsteoretiskt perspektiv .......................................................... 3 Learning study i matematik, om bråk ............................................................................. 3 En studie om division ....................................................................................................... 4 Begreppsbildning.............................................................................................................. 4 Matematikmetodiska utgångspunkter................................................................................ 5 Undervisningen..................................................................................................................... 5 Hur man når alla elever.................................................................................................... 6 Svårigheter vid inlärning av division .............................................................................. 7 Förkunskaper .................................................................................................................... 7 Sammanfattande faktorer att ta hänsyn till i studien .................................................... 7 Teoretiska perspektiv ............................................................................................................9

Variationsteori .................................................................................................................. 9 Undervisningen och lärandet .......................................................................................... 9 Den kritiska aspekten....................................................................................................... 9 Lärandeutrymmet ............................................................................................................ 9 Lärandeobjektet ............................................................................................................. 10 Variationsmönster .......................................................................................................... 10 Learning study kopplad till variationsteorin ................................................................... 10 Metod.......................................................................................................................................... 12 Urval och praktiska faktorer.............................................................................................. 12 Metoden och teorin i lektionen, resonemang inför lektionsplanering........................... 12 Tillvägagångsätt .............................................................................................................. 14 Etik ....................................................................................................................................... 15 Information ..................................................................................................................... 15 Samtycke ......................................................................................................................... 15 Konfidientialitet .............................................................................................................. 15 Nyttjande ......................................................................................................................... 16 Studier på egna arbetsplatsen ....................................................................................... 16 Studiens trovärdighet och generaliserbarhet .................................................................. 16 Studiens begränsning ......................................................................................................... 16 Genomförande av undervisningen med respektive delresultat........................ 18 Förtest.................................................................................................................................. 18 Lektion ett ........................................................................................................................... 18 Moment ett ...................................................................................................................... 18 Moment två ..................................................................................................................... 19 Delresultat och utvärdering av lektion ett.................................................................... 20 Resultat förtest grupp ett ............................................................................................... 20 Lektionsresultat .................................................................................................................. 20 Resultat på förtest och eftertest, grupp ett....................................................................... 21 Resultat eftertest grupp ett............................................................................................ 21 Utvärdering efter lektion ett .......................................................................................... 21

Tankar inför lektion två ...................................................................................................................... 22

Förtest.................................................................................................................................. 23 Lektion två........................................................................................................................... 23 Moment ett ...................................................................................................................... 23 Moment två ..................................................................................................................... 23 Delresultat och utvärdering av lektion två ................................................................... 24 Resultat förtest grupp två .............................................................................................. 24 Resultat på förtest och eftertest, grupp två. ................................................................. 24 Resultat eftertest grupp två ........................................................................................... 25 Utvärdering efter lektion två ......................................................................................... 25 Resultatanalys ........................................................................................................................ 26 Moment ett .......................................................................................................................... 26 Kritisk aspekt och undervisninngens syfte .................................................................. 26 Språkets roll för lärandet ............................................................................................... 26 Moment två ......................................................................................................................... 26 Resultat och problem ..................................................................................................... 26 Betydelsen av ett konkret arbetsätt .............................................................................. 27 Learning study som analytiskt verktyg ........................................................................ 27 Undervisningsstressen ................................................................................................... 27 Resultat av förändring.................................................................................................... 28 Kunskapens djup ............................................................................................................ 28 Diskussion ................................................................................................................................ 30 Metoddiskussion................................................................................................................. 30 Resultatdiskussion.............................................................................................................. 31 Slutord och fortsatt forskning ........................................................................................... 32 Litteratur................................................................................................................................... 34

Bilagor Bilaga 1. Förtest. Bilaga 2. Arbetsblad 1. Bilaga 3. Arbetsblad 2. Bilaga 4. Eftertest. Bilaga 5. Lektionsplaneringar .

1

Bakgrund I dagens skola har läraren många arbetsuppgifter varav en av dem är att planera och genom-föra undervisning. Tyvärr verkar allt mindre fokus läggas på just det fast man tycker att det borde vara det centrala och den viktigaste uppgiften och att det för elevernas del är av stor vikt just hur undervisningen läggs upp(Kullberg, 2004). Inom matematikundervisningen är det mycket nytt stoff och många nya begrepp som ska presenteras och läras in. I vår vardag görs det ofta av slentrian, lika som förra gången och alltför ofta får läroboksförfattarna stå för det metodiska och didaktiska tänkandet. Jag ville därför göra ett specialarbete som fokuserade just på undervisningen. Jag ville veta om eleverna verkligen lär sig det som det undervisas om och hitta en bra metodik för att de ska göra det. Något som jag upplevt är att många elever har svårt för att förstå och lära sig division och eftersom jag är nyfiken på att få veta hur man kan undervisa om detta på ett bra sätt så har jag valt att fokusera på introduktion av division i år tre. För att hitta ett bra sätt att undervisa om det så har jag valt att använda mig av metoden learning study och grunda mitt resonemang och min analys på variationsteorin. För att hitta innehållet i lektionen så har jag också gjort en matematikdidaktisk genomgång. Planering av arbetet och diskussioner kring lektionsinnehåll och metod görs bäst i samarbete med andra och jag har därför också samarbetspartner, en klasslärare i åk. tre. För eleverna är det inte bara det metodiska och didaktiska innehållet som spelar roll, för hur och om de lär sig, utan det gör också lärmiljön och arbetssättet. Elever lär sig bäst av lustfylld undervisning och genom interaktion i samarbete med andra elever (Kullberg, 2004). Med lustfyllt lärande menas att lärandet karaktäriseras av engagemang och intresse. Lärarens uppgift blir då att utforma undervisningen effektivt och med utgångspunkt i elevernas förförståelse. Hur undervisningen ska utformas bör styras av hur eleverna upplever det de ska lära sig . För elever i behov av särskilt stöd är det ofta nödvändigt att lärandet börjar i en metod med konkret arbetsmaterial för att så småningom övergå till visuell representation, språkligt beskrivande och slutligen formellt matematiskt uttryckande (Malmer, 2002). Vill man nå alla med sin undervisning, vilket är mitt mål, måste man också ta detta i beaktande.

2

Syfte Syftet med studien är att hitta ett svar på frågan: Hur designar vi undervisningen för att hitta en optimalt bra lektion för att undervisa om division, från början i år tre? Jag avser, mer specifikt, att eleverna ska förstå divisionsbegreppet och kunna använda division för tal som för dem är kända genom multiplikation i form av produkter. Mitt mål är att prova mig fram till ett lektionskoncept som gör att alla elever kan ta till sig och lära sig innehållet i lektionen. För att göra det blev ett delsyfte, utifrån variationsteorin och learning study-konceptet, att hitta den eller de kritiska aspekt/aspekterna – det som av eleverna måste erfaras för att de ska lära sig division. Den lektion som planerades skulle också innefatta ett lustfyllt lärande, alltså att lärandet skulle karaktäriseras av engagemang och intresse och innehålla moment där eleverna arbetar tillsammans och individuellt. Genom att arbeta med learning study och variationsteorin så hoppas jag också att vi lärare ska hitta och lära oss en modell för att på ett bra sätt planera, genomföra och utvärdera vår matematikundervisning.

3

Tidigare forskning

I det här avsnittet har jag valt att titta på tidigare forskning som jag anser har relevans för mitt specialarbete. Nedan följer först nedslag i forskning om undervisning som har sitt ursprung i ett variationsteoretiskt perspektiv och en learning study i matematik, om bråk, med samma perspektiv. Jag har också valt att se på tidigare studier om division och en studie som behandlar begreppsbildning. Sedan följer ett matematikdidaktiskt avsnitt omfattande råd vid lärande av division och vad man behöver tänka på för att undervisningen ska passa alla, även elever i behov av särskilt stöd i matematik. Kapitlet avslutas med en kort sammanfattning av vad som framkommit i kapitlet och som är av betydelse för min studie.

Undervisning ur variationsteoretiskt perspektiv

Resultatet av en doktorsavhandling (Runesson, 1999) visar att studier av undervisning ur ett variationsteoretiskt perspektiv ger tillhanda ett skarpt instrument för att precisera lärandeobjektet – det som vi erbjuder och gör det möjligt för eleverna att lära. Vad eleverna lär sig är beroende av vad som väljs som förmodad kritisk aspekt. Runessons (1999) resultat visar på att samma undervisningsinnehåll, genom olika undervisningssätt med skilda variationsmönster, formar skilda undervisningsobjekt. Det som eleverna erbjuds att erfara kan beskrivas som ämnesinnehåll med skilda innebörder.

Learning study i matematik, om bråk

Partanen & Lindström (2009) undersöker i en learning study, undervisning om bråk med olika nämnare. För att ha något att utgå ifrån vid val av undervisningsobjekt och för att hitta den kritiska aspekten inför första lektion har de använt sig av matematikmetodikstudier. De (Partanen & Lindström, 2009) har också använt sig av ett förtest, vilket förutom att undersöka om eleverna har de nödvändiga förkunskaperna, kan ge indikationer på kritiska aspekter. Den förmodade kritiska aspekten, vilken valts utifrån matematikmetodikstudierna, är dock enligt Partanen & Lindström (2009), bara en utgångspunkt och det verkliga kritiska momentet kanske framstår som något annat när det visar sig hur eleverna upplever den första lektionen. Enligt förespråkare för variationsteorin(Marton, Amy, Tsui, 2004) måste man också först pröva i verkligheten, innan man vet hur undervisningen fungerar och kan definiera den/de kritiska aspekten/aspekterna. Detta gör man genom utföra den planerade undervisningen och undersöka hur eleverna upplevt undervisningen. Partanen & Lindström (2009) förutsätter att en kritisk aspekt vid lärande av bråk, i år 4 är att eleverna förstår att helheten kan se olika ut och vara av varierande storlek eller antal. En annan kritisk aspekt förutsattes också förekomma, nämligen att helheten ska vara indelad i lika stora delar, och att antal delar utgör nämnaren. Partanen & Lindström (2009) valde i sin lektion att jobba med färgade geometriska former och höll färg och form konstanta medan de varierade antalet delar. Studien visar att de förmodade kritiska aspekterna stämmer men att fler kritiska aspekter också visar sig finnas. Dessa redovisas i analysen av resultatet, såsom att eleverna måste förstå täljarens och nämnarens betydelse i ett bråk samt vad de har för

4

förhållande till varandra. Eleverna måste också kunna skapa strategier för att jämföra och storleksordna bråk med olika nämnare. Slutligen för att kunna räkna med och jämföra bråk, med olika nämnare, där helheten är ett antal, måste de få syn på att det går att räkna ut antalet som motsvaras av bråket. Utifrån ovanstående studie kan man se att man genom att genomföra planerad lektion och eftertest, får syn på något som man inte förutsett, nämligen fler kritiska aspekter. Allt detta är okänt innan man genomför studien och det visar sig för oss först i lärandesituationen. Partanen & Lindström (2009) har sedan i fortsättningen av studien använt det nya som framkommit för att planera fortsatt undervisning.

En studie om division

I en studie om division av Weber& Hanson (1997) om elevers begreppsuppfattning och lösningsstrategier vid division, framkommer att elever har en svag uppfattning om vad division egentligen står för, att de inte klart kan se sambandet mellan division och multiplikation samt att de saknar strategier för att lösa divisionsuppgifter. Man konstaterar också att elever ofta kan lösa verklighetsnära problem med division innan de undervisats i division. I ett test med benämnda divisionsuppgifter, utan symboler framgår det också att eleverna ofta väljer andra lösningsstrategier, än att dividera, oftast multiplikation, vilket de även gör senare när de formellt har undervisats om division. Ett annat problem de stötte på var att elever hade en svag taluppfattning och hade svårigheter att dela upp tal. Enligt författarna så är det ”undervisningsstressen” som påverkar undervisningen så att inte tillräckligt med tid ägnas åt begreppsbildning och djupare förståelse av division, utan att elevernas kunskap om division blir ytlig och mekanisk. De menar också att det vore naturligt att utgå från elevernas kunskaper när man lär in division. Deras (Weber& Hanson 1997) resultat pekar på att det just är dessa saker som eleverna behöver jobba med: taluppfattning i form av gruppering och uppdelning av tal, att utgå från multiplikation när man lär sig division och arbeta med och förstå sambanden däremellan. Eleverna behöver också få jobba med att förstå räknesättet division som begrepp och bli bekant med det matematiska symbolspråket för division.

Begreppsbildning

Vid just begreppsbildning är det viktigt att tänka på att det är relationen mellan symbol- och objektsnivå som bör belysas. En studie om hur elever tillgodogör sig undervisning om begreppsbildning gjord i Tyskland av Bromme och Steinbring (1994), visar att det är hur lärare undervisar just om relationen mellan symbol och objekt som bestämmer hur framgångsrik undervisningen är. Syftet med studien var att påvisa skillnaden på matematikundervisningens kvalitet beroende på hur läraren behandlar relationen mellan symbol och symbolens operationella betydelse för den uppgift som ska lösas. I studien beskrivs hur man observerat olika lärares undervisning om sannolikhet. Man har i klass-rummet observerat lärarnas genomgångar i olika delmoment och värderat dem utifrån olika aspekter i hur bra läraren belyser relation symbol – objekt, enligt en sifferskala. Man har också parallellt samlat in data omfattande de 26 lärarnas elever, där elevernas kunskaper om begreppen prövats före och efter undervisningen . Man har sedan jämfört observations-resultatet med elevernas resultat. Resultatet av studien visar att undervisningen blir bättre om

5

man som lärare i undervisningen behandlar den förutnämnda relationen på ett bra sätt, i stället för att ta förgivet att eleverna förstår den ändå.

Matematikmetodiska utgångspunkter

Undervisningen

Division bör introduceras genom praktiska aktiviteter där man för in divisionens matematiska symbolspråk för att beskriva dessa aktiviteter(McIntosh, 2010). Det rekommenderas också att man använder fackorden i division ofta och låter eleverna använda dem genom att beskriva sina handlingar när de laborerar med divisionsexempel. Förslag ges på att man med fördel kan använda sig av ett multiplikationsmönster, med rader och kolumner och utifrån det, beskriva räknehändelser med både multiplikation och subtraktion. Se figur a,b,c nedan. Man kan använda både konkret material och bilder. Van de Walle (2006) anser att nyckeln för att kunna förstå och behärska division är att kunna se multiplikation som ett mönster och att kunna multiplikationsfakta samt att arbeta med sambandet mellan division och multiplikation. Man löser alltså en division som 6/2 genom att kunna multiplikationen 2*3. Han ger i sin handbok liknande lektionsförslag som McIntosh (2010) och poängterar vikten av att prata om lösningarna både som antal delar och antal element i delarna för att få förståelse för både delnings- och innehållsdivision. Se figur och förklaring nedan.

figur a figur b figur c Figur a representerar multiplikationen 3*2 eller 2*3. Figur b representerar divisionen 6/3 och figur c, divisionen 6/2. För att illustrera skillnaden mellan de olika slags divisionerna kan man tänka sig figur c som att sex personer ska delas i två lag, 6/2=3, en delningsdivision där svaret blir att det blir tre personer i varje lag . Ser man i stället samma figur som att sex personer ska delas så att varje lag innehåller3 personer, en innehållsdivision, 6/3=2 så blir svaret 2 lag. Man kan tänka sig att man vid den sistnämnda operationen ritar en ring runt det innehåll man vill ha, nämligen 3st. vilket då ger två ringar. Van de Walle (2006) tar också upp att nödvändiga förkunskaper för att lära sig division är att först kunna multiplikation. Exempel ges också på hur division kan kopplas samman med addition och subtraktion och han tycker att det är nödvändigt att arbeta med division som inte går jämnt ut utan ger rest, eftersom det i vardagen är så vanligt förekommande. Det finns väldigt lite forskning som handlar om hur man bäst introducerar division (Kilpatrick, Swafford, Findell, 2001). Det är dock till hjälp för eleverna om man lär sig division i samband med att man ser på motsvarande multiplikation . Inne på samma spår är Van de Walle (2006). Han betonar att, motsatt till traditionell innehållsplanering i matematik, så bör man undervisa om division samtidigt som man undervisar om multiplikation, för att eleverna ska få sambandet mellan räknesätten klara för sig. Han anser också att elever tidigt,

6

under första skolåret, bör möta matematikproblem som innehåller alla de fyra räknesätten och att det är naturligt att problem innehåller alla dessa räknesätt. Vid detta tidiga möte med division behöver dock inte de matematiska symbolerna ingå i problemlösningen.

Hur man når alla elever

Malmer (2002) betonar, i samband med undervisning av elever i behov av särskilt stöd i matematik, att intentionerna i kursplanen i matematik är klara. Undervisningen ska främja elevernas allsidiga utveckling och särskild uppmärksamhet skall ges elever som kan behöva särskilt stöd och längre tid för att upptäcka och lära viktiga begrepp, metoder och samband. Om eleven riskerar att inte nå målen i matematik är skolan också skyldig att upprätta åtgärdsprogram för eleven (Grundskoleförordningen, 1994). I en bra undervisning finns enligt Malmer (2002) några inlärningsnivåer, se figur, som samtliga bör vara inlemmade i undervisningen för att effektiv inlärning ska kunna ske för alla elever, även de med matematiksvårigheter. Nyckeln till framgång är konkreta erfarenheter i kombination med språklig kompetens – en förutsättning för begreppsbildning.

(Figur hämtad ur: Bra matematik för alla men nödvändig för elever med matematiksvårigheter. Malmer, 2002) Löwing och Kilborn (2002) rekommenderar också att man tar hjälp av konkret material att laborera med när man lär sig nya moment. De anser också att nya tankeformer bäst lärs in i ett socialt sammanhang och i ett samarbete med andra elever. De betonar också språkets roll i matematiklärandet och anser att det är med hjälp av språket vi tillägnar oss matematisk information, bearbetar och kommunicerar den för att skapa ny matematisk kunskap. De erfarenheter och kunskaper vi har sedan tidigare utgör grunden för hur vi tolkar ny matematisk information. Det är också därför konkret arbete i matematik blir så viktigt, dels för att eleverna utgår från i sin förförståelse och som det konkreta arbetet blir en utgångspunkt för språket som leder vidare till lärande.

7

Löwing och Kilborn(2002) betonar att det konkreta arbetet bör vara av god kvalitet och stödja framgångsrika matematiska tankemodeller. Genom att organisera undervisningen med olika djup vid undervisningen av t.ex. ett begrepp, individualiserar man undervisningen. De tar också upp att det konkreta arbetet, som ofta syftar till att nå förståelse för något specifikt, måste lyftas och jämföras med den teori inlärningen syftar till. De kallar detta för ”det sisa steget i kedjan” och behövs för att eleverna ska nå den insikt man är ute efter, något som ofta glöms bort, anser de. Löwing och Kilborn (2002) anser liksom Malmer (2002) att en del elever behöver fler aktiviteter och längre tid på sig för att förstå och befästa begrepp och pekar på vikten av att de får det.

Svårigheter vid inlärning av division

Enligt McIntosh (2010) är en komplikation när man ska undervisa om division att få eleverna att förstå att det handlar om två aspekter av division nämligen delningsdivision och innehållsdivision, se figur med förklaring s.5. En annan svårighet beskriver han som att om man delar upp ett antal föremål i olika delar så syns fortfarande alla föremålen, t.ex. 12 föremål i tre högar med fyra i varje. Uttrycket ” tolv delat i tre är fyra” syftar på en av dessa högar - som om de ursprungliga tolv på något sätt krympt och blivit fyra. Det kan därför vara svårt att se vad division går ut på. Van de Valle (2006) pekar också på svårigheten med att division kan vara både innehålls- och delningsdivision och att det kan göra eleverna förvirrade. Genom att prata om det och låta eleverna ge exempel på hur en division kan tolkas på de båda sätten klargör man problemet för eleverna.

Förkunskaper

Enligt McIntosh(2010) är nödvändiga förkunskaper för att lära sig division att förstå principerna för multiplikation och att kunna se multiplikationen som ett tvådimensionellt mönster som t.ex. 2*3 som 2 rader med 3 punkter i varje eller tvärtom. I diagnosmaterialet Diamant (Löwing och Fredriksson, 2009) kan man genom ett schema, och även genom didaktiska kommentarer, få veta vilka förkunskaper eleverna behöver ha inför inlärning av ett nytt moment. För inlärning av division behöver eleverna, enligt författarna, kunna multiplikation, även generaliserad och öppna multiplikationer med känt svar men en obekant faktor, vilket här liknas vid innehållsdivision.

Sammanfattande faktorer att ta hänsyn till i studien

Enligt Runessons (1999) forskning är den kritiska aspekten och därav uppbyggda variationsmönster avgörande för vad eleverna lär sig. I min studie låter jag, liksom Partanen & Lindström (2009), de matematikdidaktiska studierna utgöra grunden för val av kritisk aspekt. Liksom de förhåller jag mig granskande till den förmodade kritiska aspekten. Enligt förespråkare för variationsteorin(Marton, Amy, Tsui, 2004) måste man först prova i verkligheten innan man kan definiera den/de kritiska aspekten/aspekterna. Jag kompletterar också, liksom Partanen & Lindström (2009) gjorde, informationen om den förmodade kritiska aspekten, genom att se på elevernas förtest, vilket också visar om eleverna har de nödvändiga förkunskaperna. Jag har även tittat på arbetsgången i Partanen & Lindströms (2009) studie,

8

som en utgångspunkt för planeringen av min studie. En av de kritiska aspekter som visat sig i deras studie är att eleverna måste förstå att nämnaren i ett bråk står för antal delar och att alla delar är lika stora. En kritisk aspekt som skulle kunna bli relevant även för division och min studie och som det är bra att vara medveten om. Genom att i min studie arbeta grundligt och konkret med den kritiska aspekten hoppas jag att kunna undvika de svårigheter med division som framkommer i Weber& Hansons (1997) studie, nämligen att eleverna får en svag uppfattning om vad division egentligen står för, att de inte klart kan se sambandet mellan division och multiplikation samt att de saknar strategier för att lösa divisionsuppgifter. Den planerade undervisningen i min studie behöver också ta hänsyn till att belysa relationen mellan symbol och objekt, divisionstecknet och själva operationen att dividera, vilket enligt Bromme och Steinbrings (1994) studie är viktigt vid begreppsbildning. Själva lektionsinnehållet bör planeras utifrån ovanstående forskning och de matematik-didaktiska studierna som implicerar att sambandet mellan multiplikation och division är det centrala vid lärande av division (McIntosh, 2010; Van de Walle, 2006; Kilpatrick, 2001). Det sambandet bör då bli den förmodade kritiska aspekten vid vilken undervisningen fokuserar kring. De förkunskaper eleverna behöver ha inför lärande av division är att kunna se en multiplikation som ett tvådimensionellt mönster, bildligt eller konkret representerat McIntosh (2010). För elever i behov av särskilt stöd i matematik är det viktigt att tänka på att undervisningen ska innehålla de olika inlärningsnivåerna i Malmers (2002) modell ovan. För att skapa matematisk kunskap är det bra om man utgår från konkret arbete och beskriver språkligt vad man gör Löwing och Kilborn(2002). Det är också viktigt att dessa elever får den tid de behöver på sig, för att lära det nya momentet (Malmers, 2002; Löwing och Kilborn, 2002).

9

Teoretiska perspektiv

Variationsteori

Undervisningen och lärandet

I variationsteorin ligger fokus på undervisningen. Man medger att även andra faktorer kan spela roll vad det gäller vad och om eleverna lär sig något, men variationsteorin fokuserar på att hitta det bästa sättet att lära sig något (Marton m.fl., 2004). För att beskriva kunskapen eller rent av skapa den spelar också språket en stor roll. Enligt variationsteorin finns inget allmänt ”bra sätt” att lära sig utan hur man ska undervisa om något beror på vad man ska undervisa om. Kärnan i variationsteorin är just variation (Marton m.fl., 2004). För att veta vad någonting är måste vi veta vad det inte är. För att uppleva t.ex. färgen gul måste vi kunna urskilja färgen gul i kontrast mot andra färger. Vi måste ha referensramar. För att skapa kunskap och förmåga hos våra elever om något måste vi hitta den eller de kritiska aspekten/aspekterna i det de ska lära sig. Utifrån den/de byggs undervisningen upp genom att skapa variation kring den/de kritiska aspekten/aspekterna, andra aspekter försöker man hålla konstanta. För det mesta vet man inte vilket eller vilka den/de kritiska aspekten/aspekterna är och man måste då ta reda på detta. Det gör man genom att undersöka undervisningen med avseende på om eleverna lär sig det var tänkt att de skulle lära sig och det kan man göra genom att göra en learning study . Det medvetna erfarandet är också något man talar om i variationsteorin. Marton och Both (1997) menar att det sätt som medvetandet är strukturerat och organiserat i ett specifikt ögonblick, definierar begreppet erfarande och en förändring i sättet att erfara, är att lära, och innebär en förändring i medvetandets struktur. Tre begrepp blir därvid särskilt centrala vid läradeögonblicket, nämligen urskiljning, simultanitet samt variation.

Den kritiska aspekten

Den kritiska aspekten/aspekterna är det som variationen byggs upp kring. Det är den variation som måste erfaras och belysas för att det som ska läras blir möjligt att lära. Om man t.ex. vill identifiera begreppet lång så är den kritiska aspekten olika längder och variation byggs då upp kring det. För att identifiera någon som är lång måste man också erfara någon som är kort. Ett annat exempel är tyngd. Att säga att något är tungt betyder inget för oss om vi inte har upplevt att något är tungt jämfört med andra vikter, dvs. att vikt är något som kan variera och att något upplevs som tungt i relation till något som är lättare (Marton m.fl. 2004). Lärandeutrymmet

Inom variationsteorin talar man om the space of learning (Marton m.fl. 2004), fritt översatt lärandeutrymmet – det som för eleverna är möjligt att lära sig. För att urskilja något måste man uppleva variation på just detta något. Man måsta skapa ett mönster av variation inbyggd i en situation som får betraktaren att observera och erfara detta. Men man vill inte ha olika typer av variationer utan vi måste se på situationen ur ett perspektiv på variation på just det som ska observeras eller läras. För att, som lärare, skapa en sådan situation måste vi fråga oss

10

vad som är den kritiska aspekten/de kritiska aspekterna, eller vad vi förmodar är det med avseende på det som ska läras. Utifrån det arrangerar vi en situation med fokus på variation kring den kritiska aspekten/de kritiska aspekterna. Det är den situation som vi skapar som gör det möjligt för eleven att lära det som är avsett och den situationen utgör lärandeutrymmet.

Lärandeobjektet

Lärandeobjektet är det som ska läras, erfaras. Det är det lärande som undervisningen syftar till att utveckla hos eleverna. Lärandeobjektet kan definieras genom dess kritiska aspekters, dvs. de aspekter som måste urskiljas för att man ska observera och förstå det som är ämnat (Marton m.fl. 2004). Vi måste därför fråga oss i vilken utsträckning vi kan finna variation i de relevanta aspekterna och hitta det variationsmönster som är nödvändigt för att utveckla den kunskap vi avser. Det lärandeobjekt som vi avser att eleverna ska lära sig kallas det avsedda lärandeobjektet. Det lärandeobjekt som vi verkligen iscensätter kallas det iscensatta lärandeobjektet och det lärandeobjekt som eleverna ser, förstår och upplever, under lärandetillfället, kallas för det upplevda lärandeobjektet (Marton m.fl. 2004). För att finna det bästa sättet att hantera ett lärandeobjekt måste vi jämföra olika sätt att behandla lärandeobjektet och alltså arrangera olika lärandesituationer, för samma lärandeobjekt, och jämföra dem. Det vi jämför är hur vi ska arrangera lärandetillfället, för att eleverna i det upplevda lärandet, lär sig det vi avsett. Det avsedda lärandeobjektet, ska också helst bli det av eleverna upplevda lärandeobjektet. För att kunna göra det måste vi hitta rätt kritisk aspekt och ett variationsmönster som gör att eleverna urskiljer det som ska läras. För att få veta om vi gjort det och hur eleverna upplever lärandet, måste vi göra fältstudier och undersöka elevernas upplevelser.

Variationsmönster

Grunden i variationsteorin är att invävda variationsmönster i lärandesituationen är nödvändiga och grundläggande för utvecklandet av en specifik kunskap eller förmåga (Marton m.fl. 2004). För att skapa variationsmönster tar man inom variationsteorin några begrepp till hjälp nämligen: Urskiljningen – att urskilja det som ska läras – det vi bygger variationen kring, kontrast– för att kunna uppleva en sak måste man erfara något som man kan jämföra med, generalisering – för att helt förstå något måste vi dess hela sammanhang, för att t.ex. förstå innebörden av räkneordet tre, måste vi förstå att ordet tre har samma innebörd vare sig det gäller t.ex. tre äpplen eller tre klossar, separation – för att uppleva en särskild aspekt av något måste vi se den aspekten varierad samtidigt som andra aspekter hålls konstant, fusion – simultanitet – om det är flera kritiska aspekter som behöver beaktas samtidigt så måste alla dessa aspekter upplevas simultant. Det bästa sättet att göra det är att först uppleva aspekterna var och en för sig och sedan tillsammans.

Learning study kopplad till variationsteorin Learning study är ett sätt att göra en studie där man kan använda sig av variationsteorin som analysinstrument. Utifrån elevernas förkunskaper, som provats med ett förtest, planeras en första lektion om det som eleverna ska lära sig med ett variationsmönster uppbyggt kring det

11

förmodade kritiska momentet (Lytzy, 2008). Arbetsgången i en learning study är sedan att lektionen genomförs, filmas och dokumenteras - eftertest och analys av lektionen görs - en ny lektion planeras utifrån det resultatet – lektion två genomförs - eftertest och analys av den lektionen görs sedan. Man kan avbryta studien efter två lektioner, men kan även fortsätta med fler lektioner. Slutligen så utvärderas, dokumenteras, analyseras och rapporteras studien. Vid analysen kan variationsteorin användas och den blir också, tillsammans med learning study–konceptet, ett instrument för lärare att få kunskap om undervisningen (Runesson, 1999). Det hjälper oss att förstå hur undervisning och lärande kan närma sig varandra.

12

Metod

Nedan redogörs för metoden i studien. Först kommer ett avsnitt om urval och praktiska faktorer. I efterföljande avsnitt presenteras hur jag planerar undervisningen ur ett variationsteoretiskt perspektiv med ett lektionsinnehåll som även tar hänsyn till matematik-didaktiska implikationer och följer learning study-konceptet. Jag redogör sedan för tillvägagångssättet i studiens genomförande och avslutar kapitlet med att redogöra för hur jag i studien tagit hänsyn till forskningsetiska principer.

Urval och praktiska faktorer Studien utfördes på min egen arbetsplats i åk. tre, tillsammans med undervisande klasslärare. Skolan är en liten låg- och mellanstadieskola i södra norrland med ca 200 elever. I studien medverkar 23 elever ur åk. 3. Eleverna informerads muntligt, av mej, om studien och jag poängterade att det var frivilligt att delta och att man när som helst kunde välja att inte vara med. Alla elever ville vara med i studien, men två av eleverna ville inte bli filmade. Föräldrarna informerades skriftligt om studien. I informationen framgick att det var själva undervisningen som studien fokuserade på. Föräldrarna fick även lämna ett signerat godkännande att deras barn deltog i studien och filmades med videokamera (se bilaga nr.1). . Undervisningen i studien omfattar två lektioner om 60 minuter vardera. Klassläraren har varit den undervisande läraren och jag har filmat lektionerna. Jag har huvudsakligen planerat undervisningen men klassläraren har också varit delaktig i planeringen. Vi har tillsammans gjort analysen av lektionerna, direkt efter lektionen och vid genomgång av videoinspelningarna. Jag har gått igenom elevdokumenten och analyserat dem, men delgivit resultat till klassläraren och vi har tillsammans satt upp riktlinjer för förändringar till lektion två. Jag står själv för de teoretiska analyserarna. Att studien gjordes just i åk. 3 beror på att jag ville göra en studie på hur division introducerades för eleverna och i den här klassen var det planerat att i matematikunder-visningen genomföra just det momentet. I studien har klassen delats i två grupper, grupp ett med elva elever i och grupp två med tolv elever i. Grupp ett är de elever som undervisas under lektionstillfälle ett, och grupp två vid lektionstillfälle två. Ordet introduktion i titeln på studien syftar på introduktion av division matematiskt formellt skrivet. Eleverna kan tidigare ha arbetat med division utan att den varit matematiskt formellt uttryckt.

Metoden och teorin i lektionen, resonemang inför lektionsplanering. Utifrån variationsteorin är det flera begrepp som ska belysas i lektionen. Det första är att välja det som är kritiskt i det man ska lära och sedan variera det. I lektionen i studien är det division som eleverna ska lära sig och det som enligt det matematikdidaktiska avsnittet, primärt framstått som kritiskt och en nödvändig kunskap för att eleverna ska lära sig division är att de kan se sambandet med multiplikation. Nedan presenteras hur variationsteorin använts för att bygga upp undervisningen och hur de olika faktorerna som bör erfaras för att lärande ska ske inlemmas i den planerade undervisningen.

13

Variationen blir alltså att se på ett tal som en produkt av två faktorer växelvis som en täljare som kan delas med en nämnare och ge en kvot. Det görs genom att eleverna arbetar med av plockmaterial som läggs i ett mönster, motsvarande en multiplikation, alternativt utgår man från hela mönstret och gör en division ur det. Detta ska belysa den kritiska aspekten, nämligen sambandet multiplikation – division. Det som ska urskiljas är att täljaren i en division alltid går att dela upp utifrån motsvarande multiplikation. Genom att använda multiplikationsmönstret avses det att eleverna ska uppleva de båda räknesätten simultant, att de kan se mönstret både som en division och som en multiplikation samtidigt och dra nytta av multiplikationen när de gör divisionen. Det är också meningen att eleverna ska uppleva kontrasten i de båda sätten att se, nämligen att utgå från raderna och komma till hela mönstret blir en multiplikation och att utgå från helheten och dela upp den blir en division. Utifrån det bildas också en separation i två olika räknesätt.

I moment två i lektionen är syftet att eleverna ska kunna göra en generalisering och kunna dividera utan hjälp av multiplikationsmönstret. De ska erfara att det går att utföra division med ursprung ur alla olika multiplikationer och när man sett att det är så kan man automatiskt, utan mellanledet med prickmönstret, dra nytta av de båda räknesättens samband.

I studien tas också hänsyn till att eleverna har lättare att ta till sig kunskaper om de får utgå från arbete med konkret material och muntligt berätta vad de gör. Allt eftersom de behärskar räkneoperationerna konkret, får de övergå till bildrepresentation för att så småningom uttrycka sig med matematiska symboler. Genom att arbeta två och två får eleverna chans att prata om de nya tankeformerna och på så sätt blir de bättre befästa.

Det primära i lektionen är att få en förståelse för division och erfara dess samband med multiplikation. För att det inte ska bli för mycket information på en gång kommer de matematiska nya ord som användes att vara division och dividera. Andra termer får vänta till senare undervisningstillfällen.

De nödvändiga förkunskaperna för den lektion jag planerat är att eleverna förstår vad en multiplikation är, att de kan se en multiplikation som ett tvådimensionellt mönster, med t.ex. prickar eller rutor. För att man efter de inledande övningarna ska kunna gå vidare och generalisera kunskapen i division, som ett samband med multiplikation och härleda en division ur multiplikation, bör man också kunna några multiplikationer. Metoden i studien är learning study. Studien fokuserar på hur elever kan lära sig division från början och frågan är: Hur kan man planera en lektion så att eleverna lär sig det så bra som möjligt? När den första lektionen var planerad genomfördes den. Utvärderingen låg sedan till grund för nästa lektion, som efter genomförande också utvärderades.

14

Tillvägagångssätt Genom matematikmetodikstudier drogs riktlinjer upp om hur man kunde och borde undervisa om division för nybörjare. En möjlig kritisk aspekt vid lärande av division framstod därigenom som att kunna se och använda sambandet mellan multiplikation och division. En tidigare studie om division (Weber& Hanson, 1997) visar att elever har en svag uppfattning om vad division egentligen står för, att de inte klart kan se sambandet mellan division och multiplikation samt att de saknar strategier för att lösa divisionsuppgifter. Genom att se på några studier av annat matematikstoff, med learning study som metod, såg jag exempel på hur man kunde lägga upp arbetsgången och tillvägagångssättet. Grundad på matematik-didaktiken och variationsteorin startade jag planeringen av den första lektionen och drog upp riktlinjer för hur det avsedda lärandeobjektet kunde presenteras för att optimera lärandeutrymmet. De begrepp jag tog hänsyn till och de aspekter som skulle uppfyllas var att variationen i lektionen skulle vara fokuserad kring den förmodade kritiska aspekten, sambandet mellan multiplikation och division och att eleverna skulle uppleva urskiljning, simultanitet, kontrast, separation och generalisering. Vid planeringen av lektion hade jag även diskussioner med klassläraren om hur det kunde vara lämpligt att utföra de olika momenten i undervisningen. Lektionsplaneringen dokumenterades skriftligt (se bilaga nr.6). Ett förtest (se bilaga nr.2), som provade att eleverna hade de förkunskaper som krävdes konstruerades. Förtestets uppgifter valdes ur diagnosmaterialet Diamant (Löwing, 2009). Förtestet genomfördes ca en vecka innan den första lektionen och gjordes samtidigt av alla 23 eleverna. Lektion ett genomfördes och filmades. Klassläraren undervisade och jag filmade lektionen med en privat videokamera. Jag filmade lärarens genomgångar och elevernas arbete, vid deras bänkar. Tack vare att de satt stilla vid bänkarna kunde jag låta bli att filma de två elever som inte ville bli filmade. Direkt efter lektionen, skrev vi ned våra omedelbara reflektioner. I utvärderingen av lektionerna har klassläraren och jag, först var och en för oss själva, analyserat lektionen direkt efter den och genom videinspelningen av den. Vi har sedan utvärderat lektionen tillsammans. Efter ett par dagar genomförde eleverna i grupp ett, ett eftertest (se bilaga nr.5). Eftertestet innehöll samma uppgifter som förtest men i lite olika ordning. En tidskrävande uppgift med multiplikationer lades sist i testet, för att eleverna inte skulle trötta ut sig på den. Den var heller inte lika intressant i detta läge, då dess innehåll inte var något som vi arbetade med under lektionen. De insamlade data, som utgjorde en grund för att få en uppfattning om elevernas upplevande och lärande av undervisningen var, förutom lektionsinspelningen, förtest (se bilaga nr.2) och eftertest (se bilaga nr.5) samt elevernas arbetsblad (se bilaga nr.3 och bilaga nr.4) med tillhörande anteckningar. Vid analys av resultatet av lektion ett ställde jag mig frågorna: Gjorde vi som vi hade tänkt? Om inte, var det bra eller dåligt? Upplevde eleverna det avsedda lärandeobjektet som det iscensatta och upplevda lärandeobjektet? Lärde eleverna sig det jag hade tänkt mig, om inte, vad var det som inte uppfattades och lärdes, i lektionen, av eleverna? Var det kritiska momentet det jag trodde eller pekar resultat på något annat eller något mer?

15

En andra lektionsplanering gjordes utifrån analysen av lektion ett, där jag tog hänsyn till resultatet av den första lektionen (se bilaga nr.6). Efter nytt eftertest analyserades sedan den andra lektionen på samma sätt som den första.

Etik I genomförandet av studien har jag har jag har utgått från Vetenskapsrådets rekommen-dationer och råd för att upprätthålla god forskningssed och skydda intervjupersonernas anonymitet (Vetenskapsrådet, 2002). Nedan redogörs för hur de olika områdena behandlats som vetenskapsrådets (2002) krav fokuserar på.

Information

Innan genomförande av studien tillfrågades klassläraren om hon ville delta i studien. Frivilligheten betonades så att hon inte upplevde någon påtryckning, men samtidigt informerades om vinsterna med den kunskap studien ger och metoden learning study som ett fortsatt redskap för utvecklande av undervisning. Studiens syfte och upplägg delgavs henne också och hon informerades om vilken arbetsinsats och grad av deltagande i studien som förväntades av henne. Eleverna informerades muntligen, av mig om studiens syfte och upplägg och vad som krävdes av dem förklarades. Både klassläraren och eleverna informerades om att studien kommer att publiceras på Internet och att deras deltagande i studien skulle kunna spåras i och med att jag gjorde studien på min egen arbetsplats. Föräldrarna fick skriftlig information om studiens syfte innehåll och upplägg (se bilaga nr.1).

Samtycke

Eftersom studien utförs med elever under 15 år krävs ett skriftligt samtycke från målsman om lov att medverka i studien. Föräldrarna fick lämna ett skriftligt samtycke till mig att deras barn deltog i studien och att de blev filmade under lektionen (se bilaga nr.1), vilket alla gjorde. Eleverna informerades också om att det var valfritt att deltaga i studien och att bli filmade. Alla elever ville vara med, men två av eleverna ville inte bli filmade, vilket naturligtvis respekterades. Även rektor informerades och gav sitt samtyckte till studien.

Konfidientialitet

Jag publicerar inte i studien några namn på skola eller deltagare. Genom att jag gör studien på min egen arbetsplats så är både deltagande elever och deltagande klasslärare ändå lätta att spåra. Genom min information om publikation är de medvetna om det och har inte något att invända mot det (se även bilaga nr. 1). Inget av det elevmaterial, för- och eftertest samt arbetsblad och anteckningar som jag använt vid datainsamlingen publiceras, utan används bara av mig för utvärdering och analys. Videoinspelningarna ses bara av mig och klassläraren. Moment ingående i studien har också diskuterats endast av berörda, mig klassläraren och eleverna.

16

Nyttjande

Det datamaterialet som samlats in har endast använts för analys och utvärdering. Materialet behandlas med försiktighet och förvaras diskret under hela studien.

Studier på egna arbetsplatsen

Motivet till att utföra studien på min egen arbetsplats var att jag ville att, jag och min samarbetspartner skulle lära oss att arbeta med learning study och få oss tillgodo en modell för att fortsättningsvis kunna utveckla vår matematikundervisning på skolan. Jag hoppades också genom att göra studien på arbetsplatsen väcka nyfikenhet och intresse bland kollegor för learning study och utveckling av matematikundervisningen. Att vara på min egen arbetsplats har också gett mig en tidsvinst, jag behöver inte åka någon annan utan kan genomföra moment i studien i anslutning till min ordinarie arbetstid. En redan inarbetad arbetsrelation till klassläraren i studien har också underlättat vårt samarbete och gjort genomförandet av studien enklare. Studien utfördes i den klass hon arbetar i. Jag arbetar vanligtvis, som speciallärare i matematik, med några av klassens elever. Detta kan ses som en maktfaktor vilket skulle kunna ge till följd att eleverna känt sig tvingad att vara med i studien. De har därför särskilt informerats om att det är frivilligt att delta i studien och att de inte kommer att behandlas på annorlunda sätt eller att vi på något vis skulle förändra vår syn på dem om de inte ville vara med i studien. Jag har under lektionspassen förhållit mig passiv, ej agerat som lärare, och dokumenterat lektionerna. För eleverna har det påtalats att våra roller skulle vara just så och att de så lite som möjligt skulle bry sig om min närvaro. En känslig punkt här skulle kunna vara att min roll kan uppfattas som att jag observerar läraren, alltså min kollega, när hon undervisar. Vi har därför pratat om detta och klargjort att det är undervisningen och elevernas erfarande och agerande under lektionen som studerats och dokumenterats, inte läraren i sig.

Studiens trovärdighet och generaliserbarhet Enligt Patel och Davidson (2003) handlar validitet i en kvalitativ studie om att göra en trovärdig tolkning och om forskaren fångar det som är mångtydigt och kanske motsägelsefullt. Studien har genomförts just så som jag har beskrivit den och jag har försökt att skildra förloppet så detaljerat och genomskinligt som möjligt. Vid bedömning av elevernas förtest, eftertest och arbetsblad har jag försökt hålla mig objektiv, utan att dra slutsatser som inte framstår klart och varit öppen även för oväntade resultat och fenomen. I utvärderingen av lektionerna har klassläraren och jag först var och en för oss själva analyserat lektionen direkt efter den och genom videinspelningen av den, vilket ger en större trovärdighet i den delen av arbetet. Att lektionerna lagrats i form av videoinspelningar ger också betraktaren möjlighet till en vidare och objektivare analys enligt Patel och Davidson (2003). Forskning har visat att undervisningsupplägg, med framgång, kan baseras på resultat från en learning study (Kullberg, 2010). Det tillvägagångssätt som studien beskriver i sättet att

17

behandla undervisningsinnehållet borde ha giltighet även i andra elevgrupper. Vad det gäller planering och genomförande av de två lektionerna så anser jag att de i studien beskrivits så pass noga att studien skulle kunna upprepas av någon annan. När det gäller resultatet av studien och vad som dessa elever tillgodogjorde sig av undervisningen så får det ses som unikt för just den här studien och elevgruppen. Resultatet är beroende av tid, plats, elevgrupp och min relation till de inblandade och även mitt sätt att tolka data. Studiens överförbarhet begränsas alltså av att den är situationsbaserad (Ahlberg, 2009). Resultatet är inte således inte generaliserbart, även om man skulle kunna förvänta sig liknande resultat om man gjorde om studien på en ny elevgrupp. Det sistnämnda uttalandet grundar jag på studien verkar ha ringat in de kritiska aspekterna i momenten i undervisningen och att man genom att följa studiens upplägg skulle kunna gör om den. Kullberg (2010) anser att resultatet från en learning study kan användas i ny undervisning. Det man särskilt vinner på att använda sig av är just att låta eleverna uppleva den kritiska aspekten, vilken just i denna studie ringats in. Studiens begränsning Vi har i den här studien valt att studera undervisningen vid introduktion av division matematiskt formellt uttryckt, alltså rena tal uppställt med divisionsstreck. Studien behandlar inte divisionens tillämpning vid t.ex. problemlösning eller divisionsalgoritmen. Studien avser behandla endast den första lektionen om division i åk. 3 och för att eleverna ska befästa och utveckla sina kunskaper krävs en fortsättning på undervisningen, vilken ej behandlas i denna studie.

18

Genomförande av undervisningen med respektive delresultat I nedanstående kapitel redogörs för hur undervisningen genomfördes ur ett variationsteoretiskt perspektiv. Arbetsgången representerar arbetsgången i en learning study. Först presenteras genomförande av förtest och lektion ett samt resultat och utvärdering av undervisningen i lektion ett och efterföljande eftertest. Utifrån det revideras lektionsplaneringen inför lektion två som sedan presenteras på samma sätt som lektion ett.

Förtest Den viktigaste förkunskap eleverna behövde inför lektionen var att kunna se en multiplikation som ett mönster. De elever som inte klarade det på förtestet undervisades om det innan lektionen. Förtestet (se bilaga nr.2) prövade även andra kunskaper som vi ansåg vara intressanta att veta om eleverna hade, innan vi startade undervisningen. Dessa var att se om eleverna kunde göra en division utifrån multiplikationsmönstret, hur bra eleverna kunde blandade multiplikationer, multiplikationstabellsuppgifter och om eleverna kunde lösa divisioner i problemform, utan att behöva använda matematiksymbolerna, vilket indikerade om de hade mött division i någon form förut och kunnat hantera det. Förtestet provade också om eleverna redan kunde lösa några divisioner som var rent matematiskt symboliskt skrivna. Förtestet genomfördes med klassens alla 23 elever samtidigt och det tog ca 25 minuter för eleverna att göra testet. Resultatet av förtestet presenteras i utvärderingen av lektionerna på s.20 för grupp ett och på s.24 för grupp två.

Lektion ett

Moment ett

I det första undervisningsmomentet är det avsedda lärandeobjektet att eleverna ska se och kunna använda sambandet mellan multiplikation och division för att göra divisioner. Just detta samband är också den kritiska aspekten, som variationen fokuseras kring. Arbetssättet hålls konstant och även från början det antal element som det räknas med i multiplikationsmönstret. Det som simultant varieras, är växlingen mellan multiplikation och division. Eleverna arbetar två och två och med konkret arbetsmaterial i form av plockmaterial och sugrör och anteckningsmaterial. Läraren instruerar eleverna om att ta 12 föremål från plockmaterialet och lägga dem i ett mönster som visar multiplikationen 3*4 och skriva ner multiplikationen på ett papper. Läraren ritar sedan mönstret på tavlan och säger att de ska få lära sig division, som man ibland kallar för delat. Hon visar på tavlan hur man kan dela och eleverna får dela sina mönster med sugrören. Hon pekar på att när vi multiplicerade så fick vi en helhet. När vi dividerar börjar vi i helheten och delar den i många olika delar. Alla delar tillsammans är ändå lika mycket som vi hade i mönstret från början. Här belyses procedurerna simultant - man kan se mönstret som en multiplikation eller som utgångspunkt för en division samtidigt och dra nytta av multiplikationen när man gör divisionen. Man belyser också kontrasten att utgå från raderna och komma till hela mönstret blir en multiplikation. Att utgå från helheten och dela

19

upp den blir en division. Att skilja på de olika räknesätten, multiplikation och division innebär en separation, att se på det på de olika sätten utgör två olika räknesätt.

Genom att läraren frågar om man kan dela på något annat sätt och eleverna får svara och sedan lägga divisionen med sugrören, visar man på ytterligare en variation, där den kritiska aspekten, arbetssättet och det operationella antalet fortfarande är detsamma. Detta delmoment syftar till att visa att talet kan delas på två olika sätt som motsvarar två olika multiplikationer som oftast kan göras för att komma fram till samma produkt. (Ibland går det bara på ett sätt med t.ex. talet 9=3*3 eller på fler sätt än två t.ex. talt 16= 4*4=2*8=3*6 osv., men det är inget som tas upp på denna lektion.) Den konkreta operation som eleverna utfört, nämligen att de har multiplicerat och dividerat med plockmaterial tränas sedan att uttryckas muntligt genom att läraren först visar och säger operationerna och sedan låter eleverna göra det. Genom att eleverna sedan får rita in mönstret i räknehäftet och skriva multiplikationerna och divisionerna får de därmed även uttrycka sig bildligt representativt och matematiskt formellt.

För att eleverna ska befästa sin nya kunskap får de fortsätta att arbeta på samma sätt en stund med andra tal. Därmed hålls inte längre antal element som det räknas med – produkten av två tal – täljarens storlek konstant, utan varierar. I och med det har en generalisering införts i undervisningen. Det tidigare förfarandet kan användas även på andra tal. Det här arbetsmomentet syftar ändå till samma lärandeobjekt som tidigare, nämligen att se och använda sig av sambandet multiplikation – division. Den kritiska aspekten är fortfarande sambandet mellan räknesätten.

Moment två

När läraren såg att eleverna verkade förstå detta bra så var det dags för moment två. Det avsedda lärandeobjektet var här att fortsätta bygga på sambandet multiplikation – division, men också att kunna göra en generalisering, som innebär att hoppa över steget med att lägga eller rita multiplikationsmönster, och direkt använda multiplikationsfakta för att göra en division. Exempel: 15/5=3 därför att 3*5=15. Läraren pratar om hur man kunde (elever får gärna fylla i) göra divisioner från multiplikationsmönstret. Läraren visar sedan hur man kan göra det utan mönster genom att bara använda en multiplikationstabell. Läraren visar med tvåans tabell. Ex: eftersom 6*2 = 12 så kan man ta 12/2=6 eller 12/6=2 . Om mönster behövs, fortsätter man att använda det. Variationen är fortfarande densamma nämligen växlingen mellan räknesätten, något som fokuseras simultant. Principen för arbetssättet hålls konstant även om det nu sker genom abstrakt tänkande i stället för konkret eller bildligt representativt handlande. För att få en till konstant variabel och underlätta för eleverna valde jag, i det här momentet att arbeta utifrån en multiplikationstabell och därmed få en multiplikator och nämnaren konstant. Läraren repeterar treans multiplikationstabell på tavlan och visar hur man kan göra en division av talet 6 och relaterar det till tabellen. Eleverna får sedan arbeta med ett arbetsblad,

20

(arbetsblad 1 se bilaga nr.3), på vilket de ska skriva divisioner utifrån multiplikationerna i treans tabell. Lektionen avslutas med att eleverna får arbeta lite med blandade divisioner, vilket gör att en variabel tillkommer, nämligen nämnaren. Eftertestet (se bilaga nr. 5), innehöll samma uppgifter som förtestet, men delvis i en annan ordning, utfördes två dagar efter lektion ett av grupp ett. Resultatet presenteras på s.21.

Delresultat och utvärdering av lektion ett

Resultat förtest grupp ett

Alla elva elever kunde göra multiplikationsmönstret och kunde några multiplikationer. En av eleverna kunde göra en division ur multiplikationsmönstret. Alla elever kunde lösa ett divisionsproblem (utan krav på att skriva divisionen formellt) där man skulle dela lika. Sju av eleverna kunde lösa ett divisionsproblem, utan krav på att skriva divisionen formellt, där man skulle dela 9 kronor, på 3 personer. Fyra av eleverna klarade det inte. Sex av eleverna klarade att lösa något tal med division formellt skrivet och tre av eleverna klarade av att lösa nästan alla divisioner. Två av eleverna kunde inte lösa någon formellt skriven division.

Lektionsresultat

Lektionen gick bra, men vår spontana reaktion direkt efter lektionen var att vi hade gått lite fort fram. Efter att eleverna hade lagt mönster och ritat och skrivit så skulle de jobba med arbetsblad 1, med multiplikation och division utifrån treans multiplikationstabell. Jag misstänkte att några elever tyckte det var lite svårt och här kanske det vore bra om man förstärkte med en lite mer konkret metod att ha som hjälpmedel vid sidan av. Efter att ha tittat på filminspelningen av lektionen så såg vi också att några elever var osäkra på det här momentet och eftertestet indikerade samma sak. Den kritiska aspekten i undervisningen är sambandet mellan multiplikation och division och för en del av eleverna verkar det som ett praktiskt eller visuellt upplevande av det sambandet behövs för att de klart skall erfara det kritiska objektet.

21

Resultat på förtest och eftertest, grupp ett

Resultat grupp ett

0

2

4

6

8

10

12

1 2 3 4 5

Uppgift nr.

Ant

al e

leve

r som

löst

upp

gifte

n/U

ppg.

5 to

talt

delre

sulta

t*

Förtest Eftertest

Diagrammet visar resultat på för- och eftertest för grupp ett. X-axeln anger vilken uppgift det gäller. Y-axeln visar hur många elever som löst uppgiften. * I uppgift 5, kan en elev ha löst en del av uppgiften och där visar staplarna alla elevers totala delresultat.

Resultat eftertest grupp ett

Resultatet på eftertestet visade att alla elva elever kunde skriva och räkna ut en division utifrån multiplikationsmönstret, jämfört med en elev på förtestet. Alla elever kunde också lösa problemet med att dela lika vilket de också kunde redan på förtestet. Divisionsproblemet där man skulle dela nio kronor på tre löste nio av eleverna, två mer än på förtestet. De två som inte löste det hade ingen strategi att använda sig av. Av de formella divisionsuppgifterna löste fem elever så gott som alla uppgifter, jämfört med tre elever på förtestet. Två elever löste en tredjedel av uppgifterna och de övriga fyra eleverna, löste några enstaka uppgifter, som minst två stycken, en knapp förbättring på den sistnämnda uppgiften, från förtestet. Resultatet på eftertest, visar att alla elever utvecklats och lärt sig något. Syftet med lektionen var dock att alla elever skulle lära sig division och det målet har inte nåtts. Det är fortfarande två elever som inte kan lösa ett enkelt divisionsproblem och det är flera elever som inte kan lösa särskilt många formellt skrivna divisioner. Om man har lärt sig strategin med att göra ett multiplikationsmönster och utifrån det dra streck och göra en division, borde man kunna använda sig av den taktiken för att lösa de formelle divisionsuppgifterna.

Utvärdering efter lektion ett

Om man tittar på de elever som inte klarat särskilt många av divisionsuppgifterna kan man se att de även hoppat över ”enkla” divisioner som 9/3. Divisioner som de kan motsvarande multiplikationsfakta till. De har inte kommit så långt att de kan använda sig av motsvarande multiplikationsfakta när de löser divisionen. De har ej heller använt sig av strategin att göra

22

ett multiplikationsmönster, rita t.ex. nio prickar i tre olika rader, fast de visat på tidigare uppgift att de behärskar den tekniken. De har förmodligen inte förstått att man kan använda den tekniken på alla divisioner. Alltså har vi varken lyckats med att få eleverna att se det, eller fått dem att förstå och kunna använda sig av den generalisering vi syftade till dvs. att man använder sig av motsvarande multiplikationsfakta när man löser en divisionsuppgift. Den kritiska aspekten i både moment ett och två i undervisningen är sambandet mellan multiplikation och division. Genom att i moment två övergå från konkret och bildlig representation var syftet att eleverna fortfarande skulle uppleva den kritiska aspekten men att sambandet mellan räknesätten i stället för att baseras på ett mönster skulle baseras på att göra en division från multiplikationsfakta. Det verkar som att vi genom att växla från konkret, bildlig representation till mer abstrakt tappat bort ett flertal elevers upplevande av den kritiska aspekten, det som är kärnan för att lärande ska ske, enligt variationsteorin. Resultatet av lektion ett indikerade att en förändring i lektionsplaneringen borde göras. Alla elever klarar att göra en division från ett multiplikationsmönster, vilket moment ett i lektion syftar till att de ska lära sig och upplever därmed den kritiska aspekten. Vi drar därför slutsatsen att undervisningen i det momentet är fungerande. Resultaten från moment två, visar dock att en förändring av undervisningen måste göras i det avseendet. Här verkar det som det ämnade lärandeobjektet, nämligen att se och kunna använda motsvarande multiplikation, vid division inte blivit elevernas upplevda lärande-objekt. Eleverna har inte heller upplevt att de kan fortsätta att använda metoden med multiplikationsmönstret och vissa elever klarar inte att använda sambandet mellan räknesätten på ett mer abstrakt plan. Av resultatet av moment ett kan vi se att eleverna uppfattar och kan hantera den kritiska aspekten, nämligen sambandet mellan multiplikation och division så länge vi håller oss till konkret opererande. Vi anser därför att den konkreta fasen måste ges mer tid, särskilt för vissa elever som inte är mogna att ta nästa steg och se divisionen enbart ur multiplikationsfakta. De åtgärder vi funderade kring var att låta eleverna göra bilder av räkneoperationerna bredvid de formellt uttryckta räkneoperationerna, som hjälpmedel, där man gör multiplikationsmönstret och kan dela in det med streck till divisioner. Ett alternativ var också att använda sig av plockmaterial och bygga mönster. Detta resultat och intentioner hade jag med mig som utgångspunkt till planeringen av lektion två.

Tankar inför lektion två

Efter den första rundan med förtest lektion och eftertest, insåg jag att vi borde trycka mer på att eleverna fortsätter att använda det ritade multiplikationsmönstret, när de löser divisioner om de inte kan se svaret direkt utifrån motsvarande multiplikation. Jag anser att eleverna behöver den bildliga eller konkreta representationen av multiplikationsmönstret som redskap, för att illustrera divisionen och finna lösningar. En del elever har visat att de kan gå nästan direkt över till den generaliserade lösningsstrategin med att använda multiplikationsfakta, men vi vill få med oss alla elever, och då anser jag att generaliseringen för vissa elever får vänta och komma senare när de är mogna för det. Det verkar som konkret eller bildlig

23

representation är nödvändig för att alla elever skall erfara den kritiska aspekten, sambandet mellan multiplikation och division. Jag ändrade därför på lektionsplaneringen inför lektion 2, i moment två, och bestämde att vi kommer att trycka mer på att man alltid vid en division kan använda sig av strategin med multiplikationsmönstret, men även visa på att man kan använda multiplikationsfakta direkt. Jag utarbetade också ett arbetsblad till där eleverna får använda sig av strategin med att rita eller bygga multiplikationsmönster, arbetsblad två (se bilaga nr.5). .

Förtest Förtestet (se bilaga nr. 2) genomfördes med klassens alla 23 elever samtidigt och det tog ca 25 minuter för eleverna att göra testet. Resultatet av förtestet för grupp två presenteras i utvärderingen av lektion två på s.24.

Lektion två

Moment ett

Lektionspasset var lika långt som lektion ett, nämligen 60 minuter. Moment ett genomfördes såsom i lektion ett eftersom undervisningen i det momentet varit tillfredställande. Beskrivning av momentet görs i beskrivningen av lektion ett, på s.18.

Moment två

I moment två pratade läraren om hur man kunde, eleverna fick gärna fylla i, göra divisioner från multiplikationsmönstret. Läraren visade sedan hur man kan göra det utan mönster genom att bara använda en multiplikationstabell. Läraren visade med tvåans tabell. Ex: eftersom 6*2 = 12 så kan man ta 12/2=6 eller 12/6=2 .

Läraren repeterade treans multiplikationstabell på tavlan och visade hur man kan göra en division av talet 6 och relaterade det till tabellen. Hon påpekar också att det var bra om man fortsätter att använda multiplikationsmönstret, om man inte kunde se svaret direkt ur multiplikationen. Läraren visade hur man kan göra med hjälp av multiplikationsmönstret, ett exempel från treans tabell och ett exempel från arbetsbladet med blandade divisioner (se bilaga nr. 4).

Eleverna fick sedan arbeta med arbetsblad 1 (se bilaga nr. 3), där de skulle skriva divisioner utifrån multiplikationerna i treans tabell. Det var samma arbetsblad som i lektion ett, men läraren visade på papperet var man kunde rita mönster till multiplikationen och som utgångspunkt för divisionen. De flesta elever använde sig av mönster, bildlig representation, men några dividerade direkt genom att använda multiplikationsfakta, när de gjorde uppgifterna. I det här momentet är den kritiska aspekten fortfarande sambandet mellan multiplikation och division, att kunna se det och använda sig av det. Här hålls nämnaren konstant, genom att man jobbar bara med multiplikationer med tre eller divisioner med tre. Syftet med det här momentet i lektion 1, var att förstärka moment ett, men också att eleverna skulle kunna göra en generalisering, som innebär att hoppa över steget med att lägga eller rita multiplikations-

24

mönster, och direkt använda multiplikationsfakta för att göra en division. Även om läraren inte uppmuntrade eleverna att göra en sådan lösning nu direkt, utan att de hellre fortsatte att använda multiplikationsmönstret, så har hon ändå visat dem att det finns ett sådant sätt att operera på. Jag anser, genom att visa hur man kan göra, att detta är en början till att så småningom göra en generalisering och hoppa över konkret och bildlig fas. Lektionen avslutas med att eleverna i nästa arbetsuppgift, arbetsblad 2, arbetar med blandade divisioner där samma förfarande gäller men där nämnaren, också varieras.

Delresultat och utvärdering av lektion två

Resultat förtest grupp två

Av tolv elever kunde elva stycken göra multiplikationsmönstret och kunde några multiplikationer. Den elev som inte kunde det var med på en ”förlektion” och lärde sig det, eftersom det är en nödvändig förkunskap inför lektionen. En av eleverna kunde göra en division av multiplikationsmönstret. Elva elever kunde lösa ett divisionsproblem (utan krav på att skriva divisionen formellt) där man skulle dela lika. Sex av eleverna kunde lösa ett divisionsproblem (utan krav på att skriva divisionen formellt) där man skulle dela 9 kronor på 3 stycken. Sex av eleverna klarade det inte. Sex av eleverna klarade att lösa något tal med division formellt skrivet. Sex av eleverna kunde inte lösa någon formellt skriven division. Överlag så var resultatet av förtestet lägre i den här gruppen jämfört med grupp ett. Lektionen genomfördes som planerat och alla elever var aktiva. Eftertestet gjordes efter två dagar.

Resultat på förtest och eftertest, grupp två.

Resultat grupp 2

0

2

4

6

8

10

12

14

1 2 3 4 5

Uppgift nr.

Ant

al e

leve

r som

löst

upp

gifte

n/ U

ppg.

5:

tota

lt de

lresu

ltat *

Förtest Eftertest

Diagrammet visar resultat på för- och eftertest för grupp två. X-axeln anger vilken uppgift det gäller. Y-axeln visar hur många elever som löst uppgiften. * I uppgift 5, kan en elev ha löst en del av uppgiften och där visar staplarna alla elevers totala delresultat.

25

Resultat eftertest grupp två

Alla tolv elever klarade att lösa textuppgiften, där man ska dela lika. Av tolv elever klarade elva stycken av att lösa textuppgiften där tre personer ska dela på 9 kronor, jämfört med sex elever på förtestet. Alla elever klarade att göra en division med 12 ur multiplikations- mönstret 3*4. Tre elever klarade att lösa alla formella divisionsuppgifter, ingen elev klarade det på förtestet. Fem elever löste hälften av de formella divisionsuppgifterna och de övriga fyra löste minst en tredjedel av uppgifterna jämfört med sex elever som inte kunde lösa någon av de uppgifterna på förtestet. Grupp två, hade därmed bättre resultat på eftertestet, än vad grupp ett hade. Hela eftertestet finns som bil.4.

Utvärdering efter lektion två

Utifrån det kan man säga att resultatet med avseende på elevernas kunskaper och färdigheter, avsevärt förbättrades, från lektion ett till lektion två, men det är ändå inte tillräckligt bra i förhållande till den målsättning vi hade, nämligen att alla elever skulle lära sig division. Om det målet helt hade nåtts så borde fler elever ha klarat fler av de formella divisionsuppgifterna. Jämfört med grupp ett och respektive förtest, kan vi dock se att grupp två som hade ett lägre resultat på förtestet, ökat sina kunskaper mer än grupp ett. Utifrån det anser jag att de förändringar som gjordes i lektion två, gjorde att den lektionen blev bättre och ledde till att eleverna i större utsträckning upplevde det avsedda lärandeobjektet som det upplevda lärandeobjektet. Grundat på det faktum att alla elever i grupp två, löste åtminstone en tredjedel av de 24 rena divisionsuppgifterna så anser jag att samtliga elever i den gruppen har en strategi att lösa divisionsuppgifter, antingen med hjälp av multiplikationsmönster, eller genom att använda motsvarande multiplikationsfakta och tycker ändå att det är ett relativt bra resultat. I eftertestet kan vi också se att alla elever kan utföra en division av multiplikationsmönstret 3*4, vilket ju var målet med moment ett i lektionen.

26

Resultatanalys

Moment ett

Kritisk aspekt och undervisningens syfte

I det matematikmetodiska avsnittet redogjordes för att flera författare anser att lärande av division bör göras genom att man påvisar sambandet mellan multiplikation och division (Van de Walle, 2006; MacIntosh, 2010; Kilpatrick, 2001). Detta låg till grund för att jag antog att den kritiska aspekten för att förstå begreppet och förfarandet vid division vara att se sambandet mellan multiplikation och division. För mig var de matematikmetodiska studierna en bra utgångspunkt för att lägga upp undervisningen.

Utvärderingen av undervisningen visar att den förmodade kritiska aspekten, sambandet mellan räknesättet multiplikation och division, också var den faktiska kritiska aspekten. Studien visar också att undervisningen, såsom den var upplagd i studien, i moment ett, var framgångsrik vad det gäller att eleverna fick förståelse för begreppet division och att de lärde sig att använda sina kunskaper för att lösa några divisionstal.

Språkets roll för lärandet

Ett viktigt moment i undervisningen var också att eleverna får sätta ord på de räknehandlingar de gör, här att det de gör heter att dividera. Detta betonas också som viktigt av McIntosh (2010). Eleverna beskriver med ord sitt konkreta arbete, som ett led i en kedja – praktiskt arbete – språkligts uttryckande – matematiskt formellt språk, en arbetsmodell som förespråkas av både Löwing och Kilborn (2002) och Malmer (2002). Momentet där eleverna uppmanas berätta vad de gör syftade också till att belysa relationen mellan det formella uttrycket, divisionen och det operationella handlandet, att ”räknemässigt” dividera ett tal. Detta moment anses av Bromme och Steinbring (1994) vara avgörande för hur effektiv undervisningen av begreppet, här division blir.

Moment två Resultat och problem I studiens moment två, där eleverna ska fortsätta använda sambandet multiplikation – division, samma kritiska objekt, men där också målet var att göra en generalisering från konkret eller bildlig representation visar studien på att vissa svårigheter uppstod. Det avsedda lärandeobjektet i det här momentet av lektionen var dels att fortsätta att använda sambandet multiplikation – division, men också att eleverna skulle göra en generalisering. De skulle uppleva att de inte behövde göra multiplikationsmönstret, konkret eller bildligt, utan att de kunde använda sig direkt av multiplikationsfakta för att göra motsvarande division. De kunde dock om de ville gå vägen via multiplikationsmönstret. Vid noggrannare analys av lektionsinspelning, elevernas arbetsblad och anteckningar såg jag att samtliga elever i grupp ett gjorde arbetsblad ett med hjälp av multiplikationsfakta utan att använda sig av multiplikationsmönster, även om flera av eleverna inte riktigt behärskade den

27

abstrakta metoden. Studien visar alltså att eleverna inte självmant fortsätter att använda konkret eller bildligt arbetssätt, utan det krävdes att läraren uppmanade dem att göra det. Jag tolkade det resultatet som att för vissa elever var konkret eller representativt bildligt arbete en pedagogisk förutsättning, för att de skulle erfara den kritiska aspekten och tillgodogöra sig undervisningen. Utvärderingen av lektion ett, moment två visade att det avsedda lärandeobjektet inte blev det av eleverna upplevda lärandeobjektet, i lektion ett. Vid analys av lektionsinspelningen tolkade vi dock det avsedda lärandeobjektet, som det iscensatta lärande objektet. Undervisningen var utformad så att det lärandeobjekt jag planerat att iscensätta också iscensattes. Det var alltså i det sista steget, det av eleverna upplevda lärandeobjektet, som det inte blev som jag tänkt mig. Inför lektion två, gjordes därför förändringar i hur detta avsedda lärandeobjekt presenterades.

Betydelsen av ett konkret arbetssätt

Enligt variationsteorin måste eleverna erfara den kritiska aspekten för att lärande ska ske. I undervisningen i studien är sambandet multiplikation och division den kritiska aspekten, för att eleverna ska lära sig division. Det visade sig att för att alla elever skulle erfara sambandet, krävdes konkret eller bildlig representation. Arbetssättet blev ett villkor för erfarandet av den kritiska aspekten.

Learning study som analytiskt verktyg

Genom att använda learning study konceptet och variationsteorin var detta något jag fick syn på och kunde göra något åt. Både jag och den undervisande läraren anser att i en ”vanlig” undervisningssituation, utan learning study, hade vi kanske aldrig upptäckt att något hade missats i lektionen. Om vi hade märkt att något gått fel hade vi inte fått det så bra specificerat som vi fick med hjälp av att använda learning study.

Undervisningsstressen

En intressant fråga som kvarstod var att: varför kunde en del av eleverna lösa uppgifterna på arbetsblad ett under lektion ett, men inte senare visa den kunskapen på eftertestet? Weber & Hansson (1997) pekar i sin studie om elevers begreppsuppfattning på att ”undervisningsstressen” påverkar undervisningen så att inte tillräckligt med tid ägnas åt begreppsbildning och djupare förståelse av division utan kunskapen blir ytlig och mekanisk. Jag tolkar det så som att jag föll i den fällan och planerade undervisningen så att den gick alldeles för snabbt över från konkret och bildlig fas till att uppmana eleverna att arbeta enbart med symbolspråket. Att lösa uppgifterna på arbetsblad ett blev mer av en mekanisk procedur med ett upprepat förfaringssätt. Det blev som en ”kod” som eleverna använde för att lösa uppgifterna. Att stanna kvar i den konkreta och bildliga representationen, blev därför en nödvändig förändring av arbetssättet inför lektion två. Sett ur ett variationsteoretiskt perspektiv, blev val av arbetssätt, en förutsättning för att alla elever skulle erfara den kritiska aspekten — sambandet mellan räknesätten.

28

Resultat av förändring

Den förändring av undervisningen som gjordes i lektion två ledde till en bättre undervisning. En extra analys av lektionsinspelningen av lektion två, elevernas arbetsblad och anteckningar visar att av eleverna i grupp två, när de arbetar med arbetsblad ett, så fortsätter åtta av tolv elever att använda sig av det ritade multiplikationsmönstret, för att göra divisionsuppgifterna. Fyra av eleverna löser uppgifterna utan bildlig representation. Arbetsblad två följer på samma undervisningsmoment utan vidare instruktioner av läraren. På arbetsbladet uppmanas eleverna att göra multiplikationsmönster, till uppgifterna. Av de tolv eleverna, har tre elever helt använt sig av strategin att rita multiplikationsmönster, för att lösa alla uppgifter. Fyra elever har använt sig av den strategin delvis, men har löst några uppgifter bara genom att använda multiplikationsfakta. Fem av eleverna har löst alla uppgifter bara genom att använda multiplikationsfakta, alltså på en rent matematisk symbolisk nivå. Resultatet på eftertestet visar att alla elever i grupp två, kunde lösa minst en tredjedel av de 24 av de rena divisionsuppgifterna, vilket tolkas som att alla elever har en strategi för att lösa enkla divisionsuppgifter. Av elevernas anteckningar kan man se att vissa elever använder bildlig representation med multiplikationsmönster när de löser uppgifterna på eftertestet, vilket till viss del kan förklara varför de inte löser fler upp gifter. Det tar tid. Jag tolkar också resultatet från de 24 divisionsuppgifterna på eftertestet, där tre elever klarade alla uppgifter, och fem ungefär hälften av dem som en stark indikation på att momentet bara är introducerat än . Vi kan dock redan se att resultatet, utifrån elevernas kunskaper, avsevärt förbättrades från lektion ett till lektion två. En fråga jag ställde mig inför tolkningen av data från den här lektionen var: Hur har de elever som i det andra momentet i lektionen valt att använda sig av rena multiplikationsfakta, utan konkret eller bildlig representation, för att lösa uppgifterna på arbetsblad ett och två, lyckats på eftertestet? Av de fem eleverna som endast använt sig av strategin att lösa divisionsuppgifterna, på arbetsblad ett, med hjälp av multiplikationsfakta, alltså en abstrakt lösningsmetod, klarade två elever alla divisioner på eftertestet. En klarade ungefär hälften av dem och två elever klarade ungefär en tredjedel av uppgifterna. De två sistnämnda har också lämnat uppgifter olösta som de tidigare klarat av att lösa på arbetsbladet under lektionen.

Kunskapens djup Detta föranleder mig att tolka vår undervisning som att den går lite fort fram. Även om det ser ut som att vissa elever klarar av att arbeta på en mer abstrakt nivå så är kanske de underliggande konkreta eller bildliga tanke- och operationssättet inte riktigt färdig bearbetat för dem. Detta visade sig ju också som att en del av eleverna som kunde lösa vissa uppgifter, på arbetsblad ett, med abstrakt metod, två dagar senare hade tappat den kunskapen. För att få en djupare och mer ihållande kunskap verkar mer tid behöva läggas på konkret eller bildligt representativs arbete. Studien innefattade visserligen inte problemlösning med division. Man kan dock se av resultatet på uppgiften, där tre personer ska dela på nio kronor, att eleverna i större

29

utsträckning löser en sådan uppgift efter undervisningen än före. Totalt i de båda grupperna, löste tretton elever uppgiften före studien och arton elever efter studien, så en viss kunskapsökning hos eleverna har inhämtats även inom det området. Man kan dock anta att för att den kunskapen ska bli djupare, behövs mer arbete med problemlösning.

30

Diskussion

Metoddiskussion Syftet med detta examensarbete var att få veta hur man på ett bra och effektivt sätt undervisar om division, matematiskt formellt uttryckt, från början, utifrån ett variationsteoretiskt perspektiv. Jag hoppades även att vi lärare skulle hitta ett bra sätt att planera, genomföra och utvärdera matematikundervisningen. För att få svar på mina frågor och för att få en undervisningsmodell, att pröva mig fram med, användes metoden learning study. Eftersom både metoden och teorin var nya för mig, när jag påbörjade detta examensarbete, betydde det att jag fick börja med att sätta mig in i, vad det innebar att utgå ifrån ett variationsteoretiskt perspektiv, hur learning study fungerade och hur jag praktiskt skulle lägga upp arbetet. Ett delsyfte i studien blev att hitta den kritiska aspekten, vid lärande av division. Tidigare forskning och matematikdidaktiska studier gav implikationer på att den kritiska aspekten kunde vara sambandet mellan multiplikation och division. Detta antagande prövades sedan i undervisningen och visade sig vara fallet. Det var också viktigt för mig, att elever i behov av särskilt stöd i matematik inkluderades i undervisningen i studien. De didaktiska studierna omfattade även detta ämne och hänsyn till metodik som passade för dem togs vid planeringen av undervisningen. Studien fokuserar på hur lärandeobjektet behandlas i undervisningen och hur det påverkar elevernas lärande. Själva genomförandet börjar med att eleverna gör en förtest. Genom förtestet fick jag reda på om eleverna har de förkunskaper som krävs, man kunde också få implikationer på kritiska aspekter och jag fick en bild av elevernas kunskaper i ämnet innan undervisningen skedde. Därmed fick jag också ett underlag för att bedöma vad eleverna lärt sig av lektionen. Det förtest som användes i studien visade att en elev inte hade de förkunskaper som krävdes. Den eleven fick tillfälle att lära sig dem under en ”förlektion”. Efter genomförandet av lektionerna satte vi oss ner och gjorde en omedelbar reflektion av lektionen, först var och en för oss själva och sedan diskuterade vi våra upplevelser och synpunkter. Lektionerna videofilmades också, vilket var nödvändigt för att en djupare lektionsanalys skulle kunna göras. Det visade sig vara värdefullt att i lugn och ro, i efterhand, få studera, lärarens framställning av lärandeobjektet och elevernas aktiviteter i lärandesituationen. Här utvärderade vi också först var och en lektionsvideon och sedan gjorde vi en utvärdering tillsammans. Eftertestet, som genomfördes två dagar efter lektionen innehöll samma uppgifter som förtestet men i lite olika ordning. En uppgift med blandade multiplikationer flyttades till sist på eftertest och eleverna uppmanades att göra så många multiplikationer de hann och orkade. Anledningen till omdispositionen, var att testet var lite väl tids och arbetskrävande och den uppgiften var inte lika intressant som de andra i det här läget. Det visade sig att elevernas resultat förbättrades efter andra lektionen. Moment ett i lektionen blev bra, redan i den första lektionen, men inte moment två. Genom analys av lektions-inspelning, eftertest och elevernas arbetsblad visade det sig att eleverna i moment två inte hade lärt sig det vi avsett att de skulle lära sig. Ett fortsatt konkret eller bildligt representativt arbetssätt visade sig vara en förutsättning för att alla elever skulle erfara den kritiska aspekten och att lärande skulle ske. Detta togs det hänsyn till i lektion två.

31

För mig blev learning study och variationsteorin väl fungerande instrument för att nå mina syften i denna studie. Jag har lärt mig ett bra sätt att undervisa om division från början för alla elever. Jag hittade den kritiska aspekten vid lärande av division och både jag och den medverkande klassläraren har lärt oss en metod och fått ett analysinstrument, för att kunna fortsätta planera, genomföra och utvärdera matematikundervisningen med. Om jag skulle ha gjort något annorlunda i studien skulle jag ha begränsat antalet uppgifter på för- och eftertestet. De blev lite väl omfattande och arbetsamma för eleverna. Kanske hade jag då fått ett säkrare resultat av elevernas kunskaper, både före och efter lektionernas genomförande. Som det är nu så finns det risk att alla elever faktiskt inte hann eller orkade göra alla uppgifter, fast de egentligen skulle ha kunnat fler uppgifter.

Resultatdiskussion Syftet med undervisningen i studien var att alla elever skulle förstå begreppet division och kunna utföra division med för eleverna kända produkter. I det avseendet anser jag att resultatet av studien, med avseende på elevernas förvärvade kunskaper, var lyckad. Resultat av undervisningen i det första momentet blev bra redan vid lektion ett. På eftertestet klarade alla elever av att göra en division utifrån ett multiplikationsmönster och som jag tolkar det, har de alltså lärt sig att se och använda sambandet mellan multiplikation och division, vid division. Jag tolkar detta resultat som att jag lyckades välja rätt kritiskt moment och att kraven på undervisningen uppfyllde de tre faktorer, som jag tagit tidigare upp i studien, nämligen att matematikinnehållet var lämpligt, arbetssättet var väl valt och lektionsmomentet utfördes genom variationsteorins belysning med alla relevanta krav uppfyllda. Hänsyn hade också tagits till att välja en metodik som passade alla elever även elever i behov av särskilt stöd i matematik. För att nå alla elever valde jag att använda mig av Malmers (2002) modell med olika inlärningsnivåer som bör ingå i undervisningen. De är 1) erfarenheter - tänka – tala, 2) konkret handlande – göra – pröva, 3) synliggöra - representationsformer – bilder mm., 4) abstrakt symbolspråk – förstå - formulera, 5) tillämpning – när och hur kan den nya kunskapen användas 6) kommunikation – reflektera beskriva. Vid analys av studien framgår att alla dessa stadier finns med men stadie 5 och 6 bara delvis, pga. begränsad tid. I undervisningsmoment två anser jag att vi i lektion ett, gick för snabbt fram med att uppmuntra eleverna i att gå från konkret eller representativ bildlig fas, till symbolspråk. Både Löwing (2002) och Malmer (2002) skriver också att en del elever behöver mer tid på sig för att förstå och befästa begrepp. Det är då viktigt att de får det och att flera aktiviteter införs för samma lärandeobjekt. Inför lektion två ändrades också detta moment så att eleverna uppmanades att använda bildlig eller konkret arbetsmetod men läraren visade även hur man kunde utföra räkneoperationen matematiskt symboliskt bara med hjälp av multiplikationsfakta. En förändring som visade sig ge bättre resultat. Det abstrakta arbetssättet är ändå ett nödvändigt att påvisa fast i detta fall så får det vänta till senare, för de flesta eleverna. Det är viktigt att man så småningom lyfter det konkreta arbetet

32

och kopplar det till det teoretiska innehåll det motsvarar. Många elever ”fastnar” annars i en konkret fas, fast de skulle kunna gå vidare (Löwing och Kilborn, 2002). En intressant observation var att, av de fem elever som under lektion två och moment två valde att lösa divisionsuppgifterna på en symbolisk nivå, utan konkret eller representativt arbetssätt, så har bara två av dem klarat alla 24 uppgifter av de rena divisionsuppgifterna. En elev klarade ungefär hälften av dem och två elever klarade ungefär en tredjedel av uppgifterna. De två sistnämnda har också lämnat uppgifter olösta som de tidigare klarat av att lösa på arbetsbladet under lektionen. Vi tolkar detta som att dessa två elever för tidigt gått över från konkret eller representativ fas till abstrakt fas och av någon anledning inte heller använder sig av någon av de förstnämnda lösningsstrategierna. För att få en beständig kunskap skulle dessa elever ha behövt fortsätta med konkret eller bildligt representativt arbetssätt lite längre. Utifrån ovanstående resultat och resonemang, inser jag att vi överhuvudtaget gått för fort fram och kanske skulle ha nöjt oss med att just denna lektion stannat vid konkret och representativ fas och inte tagit steget över till abstrakt fas, genom att använda oss av rena multiplikations-fakta för att lösa divisionsuppgifter.

Slutord och förslag till fortsatt forskning Slutligen och sammanfattningsvis vill jag konstatera att undervisningen i denna studie i stort uppfyllde syftet, nämligen att alla elever skulle förstå division och kunna utföra enkla divisioner. Jag anser också att man skulle kunna använda sig av planeringen och förfarandet i den här studien vid introduktion av division för andra elever. Jag anser också att huvudsyftet med studien uppfylldes och att jag fått svar på frågan om hur jag på ett bra sätt kan undervisa om division från början. Vad det beträffar oss lärare så ser jag att erfarenheten vi fått av studien har blivit en tillgång som lett till ett nytt synsätt. Med hjälp av variationsteorin och learning study kan vi nu både planera undervisningen, utvärdera och förändra den. Under studiens gång har några frågor väckts i mina tankar vilka känns intressanta att lyfta vad gäller framtida forskning inom matematikundervisningen. Division är av tradition det sista räknesättet eleverna lär sig. Många elever tycker att division är svårt och att de inte får tillräckligt med tid på sig att lära sig det. En studie av Weber& Hanson (1997) om division visar också att elever har en svag uppfattning om vad division egentligen står för, att de inte klart kan se sambandet mellan division och multiplikation samt att de saknar strategier för att lösa divisionsuppgifter. Man konstaterar också att eleverna vid problemlösning ofta väljer andra lösningsstrategier, än att dividera, oftast multiplikation, vilket de även gör senare när de formellt har undervisats om division. Flera matematikdidaktiker (Kilpatrick, Swafford, Findell, 2001: Van de Walle, 2006) anser att division bör behandlas i undervisningen samtidigt som undervisning om multiplikation sker. Alltså betydligt tidigare än som vanligtvis sker. Jag tycker att det vore intressant att få ta del av en studie som fokuserar på det här problemet och inför räknesättet division i undervisningen tidigare och i samband med

33

undervisning av multiplikation. Det skulle vara intressant att se vad en sådan undervisning skulle leda till vad det gäller elevernas kunskaper och färdigheter.

34

Litteratur Ahlberg, A (Red) (2009). Specialpedagogisk forskning – en mångfacetterad utmaning. Lund: Studentlitteratur. Bromme, D., Steinbring, H. (1994). Interactiv Development of subject matter in Mathematical classroom. Educational studies in Mathematics, 27(3), 217-248. Kilpatrik, J., Swafford, J., Findell, B. (2001). Adding it up – Helping children learn mathematics. Washington: National Academic Press. Kullberg B. (2004). Lust och undervisningsbaserat lärande– ett teoribygge. Lund: Studentlitteratur. Lytzy, A. (2008). Tillbaka till undervisningen. [Elektronisk version]. 360: Origo, nr 1,2008. Löwing, M., Fredriksson, M. (2009). Diamant. Stockholm: Skolverket. Löwing, M., Kilborn, W. (2002). Baskunskaper i matematik för skola, hem och samhälle. Lund: Studentlitteratur. Malmers, G. (2002). Bra matematik för alla: nödvändig för elever med inlärningssvårigheter. Lund: Studentlitteratur. Mc Intosh, A. (2008). Förstå och använda tal: en handbok. Göteborg: Nationellt centrum för matematikundervisning (NCM). Marton, F., Amy, B., Tsui, M. (2004). Classroom Discourse and the space of learning. Mahwah, New Jersey, London: Lawrence Earlbaum associates, publisher. Marton, F., Booth, S. (1997). Learning and awareness. Matwah, NJ: Earlbaum. Patel, R. & Davidsson, B. (2003). Forskningsmetodikens grunder. Att planera, genomföra och rapportera en undersökning. Lund: Studentlitteratur. Partanen S., Lindström, S. (2009). Att lära och undervisa om bråk med olika nämnare. En learning study i åk 4,6 och 9. Skövde: Högskolan i Skövde/Institutionen för kommunikation och information. Runesson, U. (1999). Variationens pedagogik. Göteborg: Acta Universitatis Gothoburgensis. Skolverket. (1994). Grundskoleförordningen. (1994:1 194). Stockholm: Skolverkets författningssamling. Van de Walle, J, Lovin, L. A. (2006). Teaching studentcentered mathematics. Grades K-3. USA: Pearson Education, Inc.

35

Vetenskapsrådet (2002). Forskningsetiska principer inom humanistisksamhällsvetenskaplig forskning. [elektronisk version]. Stockholm: Vetenskapsrådet. Weber. K., Hansson, A. (2007). Division i teori och praktik. En studie om elevers olika lösningsstrategier när det gäller räknesättet division. Halmstad: Högskolan i Halmstad: Instutitionen för lärarutbildning.

Bilaga 1

Till berörda målsmän till elever i åk.3 Som ni kanske vet så arbetar jag, Åsa Dolk, på skolan som resurslärare i matematik. Jag studerar också samtidigt till speciallärare vid Karlstads universitet. Under våren kommer jag att skriva mitt examensarbete som handlar om undervisning av division i matematik. Jag vill undersöka hur man kan lägga upp undervisningen om division på ett bra sätt, så att eleverna lär sig det som avses och jag har tänkt genomföra min studie i era barns klass tillsammans med XXXX. Medverkandet i studien för eleverna innebär att de under en matematiklektion deltar och blir filmade med videokamera. De genomför även ett litet test före och efter studien och jag kommer även att titta på deras arbetsblad och anteckningar som de gör under lektionen. Jag kommer att studera hur undervisningen utförs och vilka kunskaper och färdigheter eleverna får ut av den. Inget av det insamlade materialet kommer att synas i undersökningen och inte heller några namn. Det är endast jag och XXXX som kommer att ha tillgång till videoinspelningar och anteckningar från undersökningen. När arbetet är godkänt och klart kommer jag att radera allt material. Endast det sammantagna resultatet redovisas. Undersökningen kommer att utmynna i en rapport som kommer att finnas tillgänglig på Internet. Deltagandet bygger på frivillighet och det är nödvändigt att målsmän ger tillstånd till att eleverna deltar i undersökningen. Jag hoppas dock att ni vill ge ert godkännande eftersom denna undersökning är viktig för att ge kunskap om hur matematikundervisning kan bli ännu bättre. Nedan fyller ni i om ni samtycker eller inte. Lämna sedan blanketten nedan till klasslärarna senast fredag 21/1. Om ni har några frågor får ni gärna kontakta mig! Vänliga hälsningar Åsa Dolk Telefon: xxxx-xxxxx ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Godkännande för medverkan i undersökning Barnets namn: _______________________________________ □ Jag tillåter att mitt barn deltar i studien. □ Jag tillåter inte att mitt barn deltar i studien. □ Jag tillåter att mitt barn är med på videoinspelning under den aktuella lektionen. □ Jag tillåter inte att mitt barn finns med på någon videoinspelning _______________________________________________________________ Underskrift vårdnadshavare

Bilaga 2 Förtest Namn ………………………… 2 · 7 = __ 9 · 2 = __ 4 · 5 = __ 7 · 4 = __ 2 · 5 = __ 6 · 2 = __ 4 · 8 = __ 9 · 4 = __ 2 · 8 = __ 4 · 2 = __ 4 ·4 = __ 4 · 6 = __ 3 · 5 = __ 8 · 3 = __ 6 · 3 = __ 7 · 6 = __ 3 · 7 = __ 6 · 3 = __ 6 · 9 = __ 6 · 6 = __ 3 · 4 = __ 9 · 3 = __ 6 · 4 = __ 8 · 6 = __ 5 · 4 = __ 6 · 5 = __ 5 · 9 = __ 8 · 5 = __ 5 · 3 = __ 5 · 5 = __ 1. Rita ett mönster som visar multiplikationen 3 · 4! 2. Kan du göra en division från det mönstret? (Skriva ett tal med delat från mönstret?) 3. Du och en kompis ska dela lika på 6 bullar. Hur många får ni var? Rita gärna och visa hur du tänkte.

4. Du och två kompisar delar på 9 kronor. Hur många kronor får ni var? Rita gärna och visa hur du tänkte. 5. 6 / 2 = __ 6 / 3 = __ 9 / 3 = __ 8 / 2 = __ 12 / 4 = __ 12 / 3 = __ 36 / 6 = __ 27 / 9 = __ 21 / 7 = __ 27 / 3 = __ 35 / 5 = __ 24 / 6 = __ 24 / 8 = __ 18 / 6 = __ 42 / 7 = __ 36 / 9 = __ 54 / 6 = __ 48 / 8 = __ 56 / 8 = __ 45 / 9 = __

28 / 4 = __ 15 / 3 = __ 49 / 7 = __ 14 / 2 = __

Bilaga 3

Arbetsblad ett

Multiplikation och division Namn__________________________

Multiplikation Division Division

1 · 3 = 3

3 / 3 = 1

3 / 1 = 3

2 · 3 =

3 · 3 =

4 · 3 =

5 · 3 =

6 · 3 =

7 · 3 =

8 · 3 =

9 · 3 =

10 · 3 =

Bilaga 4

Arbetsblad 2 Namn______________________________________ Exempel: 24/4 Så här kan du lösa talet. Rita 24 prickar delade i 4 grupper eller rader.

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Då fick jag 6 prickar i varje rad. Alltså 24/4= 6. Gör lika med 21/7= 16/ 4= 28/4= 18/6= 27/3= 15/5= 15/3= 14/2= 24/8=

Bilaga 5 Eftertest Namn ………………………… 1. Rita ett mönster som visar multiplikationen 3 · 4! 2. Kan du göra en division från det mönstret? (Skriva ett tal med delat från mönstret?) 3. Du och en kompis ska dela lika på 6 bullar. Hur många får ni var? Rita gärna och visa hur du tänkte. 4. Du och två kompisar delar på 9 kronor. Hur många kronor får ni var? Rita gärna och visa hur du tänkte. 5. 6 / 2 = __ 6 / 3 = __ 9 / 3 = __ 8 / 2 = __ 12 / 4 = __ 12 / 3 = __ 36 / 6 = __ 27 / 9 = __ 21 / 7 = __ 27 / 3 = __ 35 / 5 = __ 24 / 6 = __ 24 / 8 = __ 18 / 6 = __ 42 / 7 = __ 36 / 9 = __ 54 / 6 = __ 48 / 8 = __ 56 / 8 = __ 45 / 9 = __ 28 / 4 = __ 15 / 3 = __ 49 / 7 = __ 14 / 2 = __ Om du hinner gör också detta:

2 · 7 = __ 9 · 2 = __ 4 · 5 = __ 7 · 4 = __ 2 · 5 = __ 6 · 2 = __ 4 · 8 = __ 9 · 4 = __ 2 · 8 = __ 4 · 2 = __ 4 ·4 = __ 4 · 6 = __ 3 · 5 = __ 8 · 3 = __ 6 · 3 = __ 7 · 6 = __ 3 · 7 = __ 6 · 3 = __ 6 · 9 = __ 6 · 6 = __ 3 · 4 = __ 9 · 3 = __ 6 · 4 = __ 8 · 6 = __ 5 · 4 = __ 6 · 5 = __ 5 · 9 = __ 8 · 5 = __ 5 · 3 = __ 5 · 5 = __ Bra jobbat!

Bilaga 6

Lektionsplaneringar Lektion 1

Eleverna delas in två och två. De har penna papper sudd, plockmaterial och sugrör. De har också ett rutat häfte som de senare ska rita och skriva i.

Läraren instruerar eleverna om att ta 12 saker av plockmaterialet och lägga det i ett mönster som visar multiplikationen 3*4

När paren kommit överens om hur det ska se ut och gjort det får de skriva ner multiplikationen på papperet.

Läraren ritar mönstret på tavlan och säger att de ska få lära sig division, som man ibland kallar för delat. Hon visar på tavlan hur man kan dela och eleverna får dela sina mönster med sugrören. Hon pekar på att när vi multiplicerade så fick vi en helhet. När vi dividerar börjar vi i helhet och delar den i många olika delar. Alla delar tillsammans är ändå lika mycket som vi hade i mönstret från början.

Läraren frågar om man kan dela på något annat sätt och eleverna får svara och sedan lägga divisionen med sugrören.

Läraren säger högt divisionerna och använder ordet dividera och eleverna får säga efter. Läraren visar på tavlan. Eleverna skriver divisionerna på sitt papper. Läraren går runt och tittar.

Eleverna får rita in mönstret i räknehäftet och skriva multiplikationerna och divisionerna. Eleverna får nu göra samma sak med andra produkter såsom 6, 8, 9, 15, 16, 18,24,25,28,30. De gör samma procedur med två eller tre tal till.

De jobbar två och två. Lägger mönstret, gör divisionerna och berättar vad de gör, ritar av mönstret och skriver multiplikationerna och divisionerna i räknehäftet. Läraren går runt och lyssnar på eleverna och tittar på deras arbete.

När man ser att de verkar förstå detta bra så pratar läraren om hur man kunde (elever får gärna fylla i) göra divisioner från multiplikationsmönstret. Läraren visar sedan hur man kan göra det utan mönster genom att bara använda en multiplikationstabell. Läraren visar med tvåans tabell. Ex: eftersom 6*2 = 12 så kan man ta 12/2=6 eller 12/6=2 . (Om mönster behövs fortsätter man att använda det.)

Läraren repeterar treans gångertabell på tavlan och visar hur man kan göra en division av talet 6 och relaterar det till tabellen.

Eleverna får nu arbeta med ett arbetsblad(arbetsblad 1) där de ska skriva divisioner utifrån multiplikationerna i treans tabell. Om man hinner får man jobba med lite blandade divisioner i läroboken.

Lektion 2

Eleverna delas in två och två. De har penna papper sudd, plockmaterial och sugrör. De har också ett rutat häfte som de senare ska rita och skriva i.

Läraren instruerar eleverna om att ta 12 saker av plockmaterialet och lägga det i ett mönster som visar multiplikationen 3*4

När paren kommit överens om hur det ska se ut och gjort det får de skriva ner multiplikationen på papperet.

Läraren ritar mönstret på tavlan och säger att de ska få lära sig division, som man ibland kallar för delat. Hon visar på tavlan hur man kan dela och eleverna får dela sina mönster med sugrören. Hon pekar på att när vi multiplicerade så fick vi en helhet. När vi dividerar börjar vi i helhet och delar den i många olika delar.

Läraren frågar om man kan dela på något annat sätt och eleverna får svara och sedan lägga divisionen med sugrören.

Läraren säger högt divisionerna och använder ordet dividera och eleverna får säga efter. Läraren visar på tavlan. Eleverna skriver divisionerna på sitt papper. Läraren går runt och tittar.

Eleverna får rita in mönstret i räknehäftet och skriva multiplikationerna och divisionerna.

Eleverna får nu göra samma sak med andra produkter såsom 6, 8, 9, 15, 16, 18,24,25,28,30,36. De gör samma procedur med två eller tre tal till.

De jobbar två och två. Lägger mönstret, gör divisionerna och berättar vad de gör, ritar av mönstret och skriver multiplikationerna och divisionerna i räknehäftet. Läraren går runt och lyssnar på eleverna och tittar på deras arbete.

När man ser att de verkar förstå detta bra så pratar läraren om hur man kunde (elever får gärna fylla i) göra divisioner från multiplikationsmönstret. Läraren visar sedan hur man kan göra det utan mönster genom att bara använda en multiplikationstabell. Läraren visar med tvåans tabell. Ex: eftersom 6*2 = 12 så kan man ta 12/2=6 eller 12/6=2 .

Läraren repeterar treans gångertabell på tavlan och visar hur man kan göra en division av talet 6 och relaterar det till tabellen. Det är bra om man fortsätter att använda multiplikationsmönstret, om man inte kan se svaret direkt ur multiplikationen. Läraren visar hur man kan göra med hjälp av multiplikationsmönstret, ett exempel från treans tabell och ett exempel från arbetsbladet med blandade divisioner.

Eleverna får nu arbeta med ett arbetsblad där de ska skriva divisioner utifrån multiplikationerna i treans tabell.

Sedan arbetar de med ett arbetsblad två där de arbetar med blandade divisioner och gör multiplikationsmönster till uppgifterna.