AS6000-Topik Komputasi

Suryadi Siregar

Teori&Komputasi

Orbit Bintang Ganda Visual

___________________________________

____________________________________________________________________________________

Program Studi Astronomi Institut Teknologi Bandung Bandung 2014

Suryadi Siregar Teori&Komputasi Orbit Bintang Ganda Visual

FMIPA-ITB Page i

Kata Pengantar

Latar belakang penulisan buku ini adalah untuk menjawab tuntutan dalam membimbing Tugas

Akhir, Thesis dan Disertasi mahasiswa Astronomi di Institut Teknologi Bandung. Pertanyaan

dan penjelasan yang rinci sering diminta mahasiswa dan memerlukan banyak waktu untuk

menerangkannya.

Buku ini diharapkan dapat memberikan informasi dan bermanfaat bagi mahasiswa /peneliti yang

ingin mempelajari dinamika bintang ganda visual. Dengan sedikit kerja keras mahasiswa/peneliti

akan dapat menghitung sendiri orbit, massa dan umur bintang ganda visual.

Kami sampaikan terima kasih kepada rekan sejawat dan mahasiswa yang telah memberikan

komentar dan koreksi atas buku ini. Selamat membaca semoga Anda semua mendapatkan

hikmah dari tulisan ini.

Bandung, 20 April 2015

Suryadi Siregar


FMIPA-ITB Page ii

Daftar Isi

Bab 1 Landasan Teori 1

1.1 Definisi 1

1.2. Metode Pengamatan 2

1.3. Penurunan Persamaan Ellips 2

1.3.1. Berdasarkan Sifat Suatu Ellips 2

1.3.2. Berdasarkan Hukum Kepler II 2

1.3.3. Konstanta Kepler C 3

1.4. Elemen yang menentukan suatu lintasan 4

1.4.1. Elemen yang Menentukan Lintasan pada Bidang Orbit yang Sebenarnya (P, T, dan e)

4

1.4.2. Elemen yang Menentukan Orientasi (a, , dan i) 5

1.5. Hubungan Antara Ellips Benar dan Ellips Semu 5

1.6. Menentukan Koordinat Titik-Titik Utama Ellips Semu 7

1.7. Menentukan Sumbu Panjang dan Sumbu Pendek Sebuah Ellips. 8

1.8. Menentukan Persamaan Dasar Thiele 9

1.9. Menentukan Periode Revolusi (P) 10

1.10. Menentukan Anomali Eksentrik (E) dan Eksentrisitas (e) 11

1.11. Pengaruh Presesi Luni-Solar Terhadap Lingkaran Jam dan Sudut arah 12

1.12. Metode Least Square untuk Menghitung Konstanta Thiele dan Innes 13

1.13. Massa dan Luminositas 14

1.14 Hubungan magnitude bolometric (magnitude untuk seluruh panjang gelombang) 15

1.15 Hubungan massa-luminositas 15


FMIPA-ITB Page iii

Bab 2. Aplikasi pada Bintang Ganda Visual ADS 1733 18

2.1. Urutan Pekerjaan 18

2.1.1. Data Yang diperlukan 18

2.1.2. Proses Dasar. 18

2.2. Pelaksanaan 21

2.2.1. Menentukan nilai = 0 25

2.2.2. Menghitung eksentrisitas (e) dan anomali eksentrik (E). 27

2.2.3 Menghitung Saat Komponen Sekunder Melalui Periastron T 28

2.2.4. Menghitung M, E, X dan Y pada tiap Epoch 29

2.2.5. Menghitung Konstanta Thiele dan Innes 30

2.2.6. Menentukan Kesalahan Konstanta Thiele dan Innes. 32

2.2.7. Menghitung elemen orientasi 35

2.2.8. Hitung massa dan jarak 36

2.2.9 Hasil Akhir 37

2.2.10 Ephemeris bintang ganda ADS 1733 37

Bab 3. Proposal Untuk Pekerjaan Selanjutnya 41

3.1 Sistem Bintang Ganda Visual ADS 8119 AB 41

3.2 Studi Sebelumnya 42

3.2 Penentuan Konstanta Kepler 43

3.5 Bintang Ganda WDS 04403-5857 47

Sumber Data 47

Tujuan Penelitian 47

Parameter Fisis 47


FMIPA-ITB Page iv

Orbit Bintang Ganda 48

Lampiran 49

Daftar Pustaka 51

Daftar Gambar

Gambar 1. 1 Gambaran pasangan bintang ganda visual lewat okuler teleskop 1

Gambar 1. 2 Lingkaran bantu Kepler untuk menurunkan parameter orbit 2

Gambar 1. 3 Luas daerah yang disapu persatuan waktu adalah tetap 3

Gambar 1. 4 Lingkaran bantu Kepler, anomali eksentrik dan anomali benar. Periastron terjadi

bila anomaly eksentrik sama dengan anomaly benar 4

Gambar 1. 5 Projeksi bidang orbit bintang ganda visual pada bidang langit 5

Gambar 1. 6 Bidang orbit nyata dan lingkaran bantu Kepler 9

Gambar 1. 7 Konstanta Thiele-Innes dan makna geometri 9

Gambar 1. 8 Orbit elip, anomali eksentrik dan anomali benar untuk dua waktu yangberbeda

10

Gambar 1. 9 Presesi Luni-Solar mengakibatkan bergesernya kutub utara langit dan titik vernal

equinox. Akibatnya sudut posisi bintang ganda harus dikoreksi 12

Gambar 1. 10 Flowchart Hitung Massa dan Paralak Bintang Ganda Visual 17

Gambar 2. 1 Panorama bintang ganda ADS 1733 (sumber http://aladin.u-starsbg.fr/) 18

Gambar 2. 2 Lintasan bintang ganda visual ADS 1733 (Horeschi, 1958) 20

Gambar 2. 3 Separasi sudut dan sudut posisi untuk tiga epoch acuan 25

Gambar 3. 1 Grafik separasi sudut (ρ) sebagai fungsi waktu bintang ganda ADS 8119 AB. 44

Gambar 3. 2 Grafik sudut posisi sebagai fungsi waktu bintang ganda ADS 8119 AB. 44

Gambar 3. 3 Orbit WDS 04403-5857 pada tahun 2002, dengan data terakhir diambil pada tahun

1999. 48

Gambar 3. 4 Orbit WDS 04403-5857 pada tahun 2007, dengan data terakhir diambil pada tahun

2002. 49

http://aladin.u-starsbg.fr/


FMIPA-ITB Page v

Daftar Tabel

Tabel 2. 1 Elemen dinamik ADS 1733 19

Tabel 2. 2 Elemen orientasi ADS 1733 20

Tabel 2. 3 Ephemeris ADS 1733 20

Tabel 2. 4 Posisi ADS 1733, menurut Worley (1975). 21

Tabel 2. 5 Harga dan yang telah dikoreksi. 23

Tabel 2. 6 Hasil perhitungan untuk menentukan nilai qp 24

Tabel 2. 7 Hasil perhitungan untuk mencari 0 25

Tabel 2. 8 Hasil perhitungan untuk menentukan saat 29

Tabel 2. 9 Hasil perhitungan dengan menggunakan (1.3.2-3), 30

Tabel 2. 10 Hasil perhitungan dengan menggunakan persamaan 31

Tabel 2. 11 Menunjukkan hasil perhitungan untuk menentukan kesalahan konstanta Thiele dan

Innes 31

Tabel 2. 12 Hasil iterasi untuk menentukan parameter fisik bintang ADS 1733 34

Tabel 2. 13 Elemen orbit bintang ganda ADS 1733 35

Tabel 2. 14 Ephemeris bintang ganda ADS 1733 menurut Siregar(1976) untuk semester II tahun

2006 36

Tabel 2. 15 Elemen orbit bintang ganda ADS 1733 36

Tabel 2. 16 Ephemeris bintang ganda ADS 1733 menurut Soderhjelm(1999) untuk semester II

tahun 2006 36

Tabel 3. 1 Informasi Sistem Bintang Ganda ADS 8119 AB 42

Tabel 3. 2 Elemen Orbit Hasil Studi Sistem Bintang Ganda ADS 8119 AB 42

Tabel 3. 3 Nilai separasi sudut (ρ) dan sudut posisi (θ) 46


FMIPA-ITB Page 1

Bab 1 Landasan Teori ____________________________________________________

1.1 Definisi

Beberapa definisi yang digunakan pada studi bintang ganda visual antara lain:

1. Komponen primer (S1), adalah bintang yang paling terang dalam sistem

bintang ganda.

2. Komponen sekunder (S2), adalah komponen bintang yang memiliki cahaya

lebih lemah dari komponen primer.

3. Jarak sudut ( ), adalah jarak yang diukur dari komponen primer ke

komponen sekunder dan dinyatakan dalam detik busur.

4. Sudut posisi/sudut arah ( ), adalah sudut yang diukur dari arah utara ke arah

komponen sekunder melalui timur. Sudut posisi dinyatakan dalam derajat.

Bayangan bintang yang dapat dilihat melalui teleskop digambarkan pada Gambar 1.1

Gambar 1. 1 Gambaran pasangan bintang ganda visual lewat okuler teleskop

Besaran x dan y menyatakan perbedaan asensiorekta ( ) dan deklinasi ( ) dari

komponen primer dan sekunder. Hubungan komponen tersebut adalah

sin cosx cosy , (1.1-1)

cosy . (1.1-2)

Beberapa nilai sudut arah yang khusus antara lain:

90o bila komponen sekunder berada di Timur

180o bila komponen sekunder berada di Selatan

270o bila komponen sekunder berada di Barat

360o atau 0

o, bila komponen sekunder berada di Utara


FMIPA-ITB Page 2

1.2. Metode Pengamatan

Bayangan yang kita lihat melalui teleskop adalah kedudukan bintang pada bidang

langit, bukan bidang orbit yang sebenarnya. Gerakan bintang ganda merupakan gerak

Keplerian yang berarti bahwa orbitnya merupakan salah satu penampang irisan

kerucut, pada umumnya adalah ellips. Komponen primer berada pada salah satu titik

fokusnya dan komponen sekunder bergerak dalam orbit yang berbentuk ellips.

1.3. Penurunan Persamaan Ellips

Gambar 1.2 menggambarkan komponen sekunder (S2) yang bergerak dalam orbit

yang berbentuk ellips, dengan komponen primer pada salah satu titik fokusnya.

Gambar 1. 2 Lingkaran bantu Kepler untuk menurunkan parameter orbit

Bentuk lingkaran pada gambar di atas merupakan lingkaran bantu Kepler dengan jejari

a. Sedangkan bentuk ellips merupakan orbit komponen sekunder. Elemen tambahan

pada sebuah lintasan antara lain, anomali benar ( ), anomali eksentrik (E), radius

vektor (r), setengah sumbu panjang ellips (a), setengah sumbu pendek ellips (b).

1.3.1. Berdasarkan Sifat Suatu Ellips

Dengan menggunakan Gambar 1.2, dan menerapkan sifat suatu ellips dapat dibuktikan

(Appendiks A) bahwa

cos cosr

X E ea

, (1.3.1-1)

2sin 1 sinr

Y e Ea

, (1.3.1-2)

dan

1tan tan

2 1 2

e E

e

. (1.3.1-3)

1.3.2. Berdasarkan Hukum Kepler II


FMIPA-ITB Page 3

Pada saat T, komponen sekunder berada pada titik A dan pada saat t kemudian pada

titik S2 (lihat Gambar 1.3), periode revolusi dari komponen sekunder dinyatakan oleh P.

Dapat diturunkan bahwa

Luas S1S2A = ( )ab

t TP

,

= 2

ab

2t T

P

,

= 2

aabM.

Dimana didefinisikan 2

( )aM t TP

. (1.3.2-1)

Ma disebut anomali menengah. Selanjutnya akan dihitung luas S1S2A sebagai jumlah

luas S1S2K dan S2KA

Luas S1S2A = luas S1S2K + S2KA,

2

aabM =

a

bKSKS 21

2

1 luas LKA,

= )cossin2

1

2

1()sin()cos(

2

1 22 EEaEaa

brr ,

= )cossin(2

)sin)((cos2

EEEab

EbeEa

,

aM = )cossin(sin)(cos EEEEeE .

Atau aM = )(sin TtEeE , (1.3.2-3)

dengan P

2 .

1.3.3. Konstanta Kepler C

Hukum Kepler II menyatakan bahwa luas daerah yang dilingkupi oleh radius

vektor yang dibentuk oleh sebuah titik yang bergerak pada orbit ellips dalam waktu

yang sama adalah konstan, C. Konstanta Kepler adalah

dt

dC

2 .

Gambar 1. 3 Luas daerah yang disapu persatuan waktu adalah tetap


FMIPA-ITB Page 4

Dari Gambar 1.3 dapat dilihat

dt

dc

22

2

luas ellips: periode revolusi

P

ab .

Jadi P

ab

dt

dC

22

2

,

atau P

ab

dt

dC

22 ,

P

ea 22 12

. (1.3.3-1)

1.4. Elemen yang menentukan suatu lintasan

Elemen yang menentukan orbit dibedakan dalam dua katagori yaitu elemen orientasi dan

elemen dinamik

1.4.1. Elemen yang Menentukan Lintasan pada Bidang Orbit

yang Sebenarnya (P, T, dan e)

Pada Bab ini didefinisikan beberapa besaran sebagai berikut:

P = Periode revolusi dalam tahun surya menengah.

T = Saat terakhir kali komponen sekunder melalui titik terdekat antara komponen

primer dan sekunder (Periastron).

e = Eksentrisitas ellips yang merupakan lintasan sebenarnya (ellips benar).

Gambar 1. 4 Lingkaran bantu Kepler, anomali eksentrik dan anomali benar. Periastron

terjadi bila anomaly eksentrik sama dengan anomaly benar 0E .


FMIPA-ITB Page 5

1.4.2. Elemen yang Menentukan Orientasi (a, , , dan i)

Elemen yang menentukan orientasi lintasan, antara lain

a = setengah sumbu panjang ellips benar.

= sudut arah yang diukur dari garis simpul ke arah utara sepanjang lintasan. Sudut

arah mempunyai harga 1800 .

= sudut posisi, diukur pada lintasan sebenarnya dari garis simpul ke periastron dalam

arah gerakan komponen sekunder. Sudut posisi mempunyai nilai 3600 .

i = inklinasi, sudut yang dibentuk oleh bidang lintasan sebenarnya dan bidang langit.

Untuk gerakan direct inklinasi mempunyai nilai 900 i , sedangkan untuk

gerakan retrogade bernilai 18090 .

1.5. Hubungan Antara Ellips Benar dan Ellips Semu

Arti geometri elemen orbital dan hubungan analitis elemen tersebut dapat kita

cari dengan menggunakan Gambar 1.5, dan menggunakan hubungan trigonometri yang

berlaku.

Gambar 1. 5 Projeksi bidang orbit bintang ganda visual pada bidang langit

Dari Gambar 1.5 dapat dilihat bahwa:

)cos()cos( r , dan

ir cos)sin()sin( .

Persamaan di atas dapat dituliskan

sinsincoscossinsincoscos r , (1.5-1)

ir cossincoscossinsincoscossin . (1.5-2)


FMIPA-ITB Page 6

Persamaan (1.5-1) dikalikan dengan cos , dan persaman (1.5-2) dikalikan dengan

sin , kemudian dijumlahkan maka diperoleh:

irir cossincoscossinsincossinsincoscoscoscos

iaa

ria

a

rcossincoscossinsincossinsincoscoscos .

Dari persamaan (1.1-1) dan (1.1-2) persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk

FYAXy cos , (1.5-3)

dengan

iaA cossinsincoscos ,

iaF cossincoscossin . (1.5-4)

Selanjutnya persamaan (1.5-1) dan (1.5-2) masing-masing dikalikan dengan sin dan

cos , kemudian dijumlahkan diperoleh:

irir coscoscossinsinsincoscossinsincoscossin

iaa

ria

a

rcoscoscossinsinsincoscossinsincoscos .

Dan dengan menggunakan persamaan (1.1-1) dan (1.1-2) persamaan di atas dapat kita

tuliskan dalambentuk:

GYBXx sin , (1.5-5)

dimana

iaB coscossinsincos ,

iaF coscoscossinsin . (1.5-6)

Dari persamaan (1.5-3), (1.5-4), (1.5-5), (1.5-6) dapat diturunkan (Appendiks B)

beberapa hubungan seperti di bawah ini:

2

coscos2 2 iaGA , (1.5-7)

2

sincos2 2 iaGA , (1.5-8)

2

cossin2 2 iaFB , (1.5-9)

2

sinsin2 2 iaFB , (1.5-10)

AG

FB

)tan( , (1.5-11)

AG

FB

)tan( . (1.5-12)

Dari persamaan (1.5-11) dan (1.5-12) terlihat bahwa sin(-) mempunyai tanda yang

sama dengan (B+F), demikian juga dengan sin(+) mempunyai tanda yang sama

dengan (B-F). Akibatnya kuadran (-) dan (+) sudah tertentu.


FMIPA-ITB Page 7

Untuk menghitung i, dapat digunakan persamaan

cos

cos

2tan2

GA

GAi. (1.5-13)

Dalam rumus-rumus di atas A, B, F, dan G disebut konstanta Thiele dan Innes.

1.6. Menentukan Koordinat Titik-Titik Utama Ellips Semu

Ditinjau persamaan (1.5-5), (1.3.1-1), (1.3.2-1)

Eea

rY

eEa

rX

sin1sin

coscos

2

Pada periastron 0E dan 0Y . Jadi

0

10cos

p

p

Y

eeX (1.6-1)

Substitutsi (1.6-1) pada (1.5-3) dan (1.5-6), sehingga diperoleh

AeFYAXy

BeGYBXx

ppp

ppp

)1(

)1(

(1.6-2)

Pada Apastron 180E dan 0Y

0

)1(180cos

A

A

Y

eeX (1.6-3)

Substitutsi (1.6-3) pada (1.5-3) dan (1.5-6) sehingga diperoleh

AeFYAXy

BeGYBXx

AAA

AAA

)1(

)1(

(1.6-4)

Koordinat pusat ellips adalah

eAAeAeyyy

eBBeBexxx

Apc

Apc

)1()1(2

1)(

2

1

)1()1(2

1)(

2

1

Jadi

eAy

eBx

c

c

(1.6-5)

Pada posisi dimana nilai 90E , diperoleh

22

90

90

190sin1

90cos

eeY

eeX

Sehingga

FeAeFYAXy

GeBeGYBXx

2

909090

2

909090

1

1

Bila titik utama tersebut dihitung dari titik pusat ellips, maka diperoleh

1. Koordinat Periastron


FMIPA-ITB Page 8

cpp xxx 0,

BeBBe )()1(

cpp yyy 0, ,

AeAAe )()1( .

Jadi Bx p 0, , dan Ay p 0, . (1.6-6)

2. Koordinat Apastron

cAA xxx 0, ,

BeBBe )()1( .

cAA yyy 0, ,

AeAAe )()1( .

Jadi BxA 0, , dan AyA 0, . (1.6-7)

3. Koordinat utuk nilai 90E

cxxx 900,90 ,

)(1 2 eBGeBe ,

Ge21 .

cyyy 900,90 ,

)(1 2 eAFeAe ,

Fe21 .

Jadi Gex 2

0,90 1 , dan Fey 2

0,90 1 . (1.6-8)

Dari persamaan di atas (1.6-6), (1.6-8) dapat dilihat bahwa konstanta Thiele Innes A, B,

F, dan G menyatakan proyeksi koordinat siku-siku ekuatorial dari titik periastron dan

titik anomali eksentrik 90E yang terletak pada bidang orbit sebenarnya ke bidang

langit.

1.7. Menentukan Sumbu Panjang dan Sumbu Pendek Sebuah

Ellips.

Untuk menentukan sumbu panjang ellips semu, dapat dilakukan langkah

berikut.


FMIPA-ITB Page 9

Gambar 1. 6 Bidang orbit nyata dan lingkaran bantu Kepler

Gambar 1.6 menggambarkan bidang orbit yang sebenarnya dengan lingkaran bantu Kepler

yang memiliki jejari=1/2 sumbu panjang ellips.

Apabila Gambar 6 diproyeksikan pada bidang langit akan diperoleh:

i. Lingkaran bantu Kepler menjadi ellips bantu Kepler. Dengan setengah sumbu

panjang, a dan setengah sumbu pendek, b. Dalam hal ini cosb a i .

ii. Lintasan benar (ellips benar) menjadi lintasan semu (ellips semu).

iii.

Gambar 1. 7 Konstanta Thiele-Innes dan makna geometri

Gambar 1.7 menunjukkan bahwa konstanta Thiele dan Innes A, B, F, dan G

menyatakan proyeksi periastron dan titik dimana E mencapai 90 . Dengan menerapkan

teorema Apollonius pada gambar tersebut, kita dapat memperoleh (Apendiks C).

2 2 2 2 2 21 cosa i A B F G 2 2 2 2 2 21 cosa i A B F G , (1.7-1)

dan

31 3 1U V E E E 2 2cosa i AG BF . (1.7-2)

1.8. Menentukan Persamaan Dasar Thiele

Misalkan qp menyatakan dua kali luas segitiga yang dibentuk oleh radius vektor pada

saat komponen sekunder bergerak dari epoch pt ke

qt .


FMIPA-ITB Page 10

Gambar 1. 8 Orbit elip, anomali eksentrik dan anomali benar untuk dua waktu yangberbeda

Dengan menggunakan Gambar 1.8 dan hasil yang sudah diperoleh dari 1.3.1, 1.3.2, dan

1.3.3, dapat dibuktikan (Apendiks D) bahwa persamaan dasar Thiele mempunyai

bentuk

sinqp

qp qp qpt E EC

, (1.8-1)

dengan

qp 2 x luas segitiga '

1 2 2S S S ,

qp q pt t t , (1.8-2)

qp q pE E E . (1.8-3)

1.9. Menentukan Periode Revolusi (P)

Periode revolusi (P) dapat ditentukan dengan langkah sebagai berikut.

Diambil tiga buah titik pengamatan saat 1t , 2t , dan 3t . Dari persamaan dasar Thiele,

dapat diturunkan

2121 21 21sinE E t

C

, (1.9-1)

3232 32 32sinE E t

C

, (1.9-2)

3131 31 31sinE E t

C

, (1.9-3)

Misalkan

21 2 1U E E E ,

32 3 2V E E E .

Jadi 31 3 1U V E E E (1.9-4)

Persamaan (1.9-1), ( 1.9-2), ( 1.9-3) dapat dituliskan menjadi


FMIPA-ITB Page 11

2121sin ( )U U t

C

, (1.9-5)

3232sin ( )V V t

C

, (1.9-6)

3131sin ( )U V U V t

C

. (1.9-7)

Karena harga 21t , 32t dan 31t diketahui, demikian juga 21

C

, 32

C

, dan 31

C

dapat

dihitung atau dengan perkataan lain, U dan V hanya bergantung pada harga yang

dipilih.

harus dipilih sehingga (U+V) yang diperoleh dari penjumlahan (1.9-5) dan (1.9-6)

sesuai dengan (U+V) yang diperoleh dari rumus (1.9-7). Nilai yang memenuhi syarat

tersebut dinyatakan dengan 0 , masing-masing dengan 0U dan 0V .

0 2 1U U E E ,

0 3 2V V E E . (1.9-8)

Periode revolusi P dihitung dari hubungan 0

2

P

atau dapat dinyatakan

0

2P

.

1.10. Menentukan Anomali Eksentrik (E) dan Eksentrisitas

(e)

Perhatikan persamaan (1.8-1) dan (1.8-3). Dengan memisalkan

sine , atau 21 cose ,

2 1U E E ,

3 2V E E ,

3 1U V E E , (1.10-1)

dengan mengubah bentuk (1.8-3) dan menggunakan (1.10-1) diperoleh hubungan

(Appendiks E)

23 122

12 23 13

sin sinsin sin

U VE

, (1.10-2)

23 12 132

12 23 13

cos cossin cos

U VE

. (1.10-3)

Penggabungan (1.10-2) dan (1.10-3) akan menghasilkan

23 122

12 23 13

sin sintan

cos cos

U VE

V U

. (1.10-4)

E2 dapat ditentukan dari persamaan di atas, bila ruas kanan bisa dihitung. Selanjutnya

E1 dan E3 dapat diperoleh karena U dan V telah diketahui dari 1.9. Eksentrisitas dapat

dihitung dengan menggunakan (1.10-2) atau (1.10-3).


FMIPA-ITB Page 12

1.11. Pengaruh Presesi Luni-Solar Terhadap Lingkaran Jam

dan Sudut arah

Van de Kamp (1969) mendefinisikan Presesi Luni-Solar sebagi bergesernya vernal

equinox sepanjang ekliptika dengan mengecilnya longitude. Peristiwa ini terjadi akibat

gaya gravitasi diferensial Bulan dan Matahari terhadap Bumi. Pengaruh Presesi Luni-

Solar dapat dilihat pada gambar 1.9.

Gambar 1. 9 Presesi Luni-Solar dalam waktu yang lama mengakibatkan bergesernya kutub

utara langit dan titik vernal equinox. Akibatnya sudut posisi bintang ganda harus dikoreksi.

P1 = kutub ekuator sebelum mengalami presesi Luni-Solar.

P2 = kutub ekuator sesudah mengalami presesi Luni-Solar.

S1 = Titik potong lingkaran jam pada bidang ekuator sebelum mengalami presesi

Luni- Solar.

S2 = Titik potong lingkaran jam pada bidang ekuator sesudah mengalami presesi Luni-

Solar.

= perubahan sudut posisi selama satu tahun.

n = Pergeseran kutub P1 ke P2 selama satu tahun.

Hubungan matematis antara , n, , dan dapat diperoleh dengan memperhatikan

segitiga bola SP1P2 :

'sin sin

sin sin 90n

,

atau

'

sin sin

sin cosn

; dapat juga dinyatakan

'

sinsin sin

cosn

.


FMIPA-ITB Page 13

Karena dan n mempunyai harga yang cukup kecil, maka persamaan di atas dapat

dinyatakan sebagai 'sin secn .

Newcomb (vide, Van de Kamp, 1969) memberikan harga 20".0495n /tahun atau

0 .00557n /tahun. Nyatakan dengan ' maka 1.11-1 dapat dituliskan menjadi

0 .00557sin sec /tahun,

pada epoch 2000. Sehingga untuk menentukan pada epoch t, persamaan (1.11-2)

ditambah dengan faktor (2000-t), menjadi

0 .00557sin sec (2000 )t .

1.12. Metode Least Square untuk Menghitung Konstanta

Thiele dan Innes

Tinjau kembali persamaan (1.5-3) dan (1.5-5)

x BX GY

y AX BY

Pernyataan ini dapat ditulis sebagai

x BXG

Y Y , (1.12-1)

y AX

FY Y . (1.12-2)

Misalkan menyatakan perbedaan nilai x

Y atau

y

Y yang diamati dan nilai

'x

Y

atau

'y

Y

yang dihitung dari persamaan (1.12-1) dapat dinyatakan:

x BXG

Y Y

,

kemudian dikuadratkan 2

2 x BXG

Y Y

,

untuk n pengamatan. 2

2

1 1

n n x BXG

Y Y

. (1.12-3)

B dan G ingin ditentukan supaya harga 2

1

n

minimum, untuk itu persamaan (1.12-3)

kita turunkan terhadap B dan G dan kemudian hasilnya kita samakan dengan nol,

diperoleh: 2

X X x XB G

Y Y Y Y

,


FMIPA-ITB Page 14

2X x

B nGY Y

.

B dan G dapat ditentukan dari determinan

2

X x X

Y Y Y

nx

YB

XX

YY

nX

Y

, dan

2

2

X x X

Y Y Y

X x

Y YG

XX

YY

nX

Y

.

Hal yang sama dapat kita lakukan pada (1.12-2) maka kita akan memperoleh nilai A

dan F.

Persamaan least square dari (1.12-2) adalah 2

2

X X y XA F

Y Y Y Y

X yA nF

Y Y

A dan F dihitung dari determinan:

2

y Y X

Y Y Y

ny

YA

XX

YY

nX

Y

, dan

2

2

Y y X

Y Y Y

X y

Y YF

XX

YY

nX

Y

.

1.13. Massa dan Luminositas

Dalam system bintang berdua visual dikenal beberapa pernyataan yang dapat digunakan

untuk menghitung jarak dan massa bintang

Paralak dinamik


FMIPA-ITB Page 15

3

21

2 MMP

ap

Dalam hal ini;

a-setengah sumbu panjang dalam detik busur

P-periode revolusi dinyatakan dalam tahun

Mi massa bintang ke- i

1.14 Hubungan magnitude bolometric (magnitude untuk seluruh panjang gelombang)

LogpmM bb 55

Mb – magnitude absolute bolometric

mb – magnitude semu bolometrik

p –paralak

1.15 Hubungan massa-luminositas

Log M = 0,1 (4,6-Mb ) bila 0 < Mb < 7,5

Log M = 0,145 (5,2 - Mb ) bila 7,5 < Mb < 11

Dalam hal ini M – massa bintang


FMIPA-ITB Page 16

Start

a, p0, P, dan

,mb(1), mb(2)

For I=1,2

Next I

1

2

tidak ya

Flowchart hitung

masa dan luminositas


FMIPA-ITB Page 17

Gambar 1. 10 Flowchart Hitung Massa dan Paralak Bintang Ganda Visual.

Data masukan:

p0 tebakan paralak dinamik awal. P – priode dalam tahun, presesi relatif . mb(1) –

magnitudo semu bolometrik bintang primary, mb(2)-magnitudo semu bolometrik secondary

dan a – setengah sumbu panjang dalam detik busur

Data keluaran

M(1)-massa bintang primary, M(2)- massa bintang secondary, paralak dinamik p, magnitudo

absolut bolometrik primary Mb(1) dan magnitudo absolut bolometrik secondary Mb(2).

Catatan : jarak d= 1/p dalam hal ini d jarak binang dalam parsek

Telaah komprehensif cara menentukan massa dapat dilihat pada paper Baize & Romani

(1946). Selain itu jika massa bintang dalam satuan massa Matahari, umur bintang dalam

satuan umur Matahari dapat juga ditentukan dari pernyataan Stacey Palen (2002)

t M dalam hal ini besaran yang bergantung pada macam bintang. Untuk bintang

normal (bintang mirip Matahari) =2,5

1

1

│p-p0│≤ p p0 = p

p, Mb(1),Mb(2),

M(1),M(2)

Stop

2


FMIPA-ITB Page 18

Bab 2. Aplikasi pada bintang ganda

visual ADS 1733 ________________________________________________________

Bintang ganda ADS 1733 sudah lama diketahui orang tentang orbitnya, bintang ini terletak

dibelahan langit selatan langit mudah diamati pada bulan September, informasi mengenai

separasi sudut, sudut posisi dan luminositas cukup tersedia di internet maupun di

perpustakaan

Gambar 2. 1 Panorama bintang ganda ADS 1733 (sumber http://aladin.u-starsbg.fr/)

2.1. Urutan Pekerjaan

Setelah diperoleh semua data yang diperlukan untuk menurunkan suatu lintasan,

barulah pekerjaan ini dapat kita selesaikan.

2.1.1. Data Yang diperlukan

i. Koordinat ekuatorial dan pada epoch yang dipilih. Untuk pekerjaan ini diambil

pada epoch 2000.

ii. Sudut arah, , yang telah dikoreksi terhadap pengaruh presesi dan dinyatakan dalam

derajat.

iii. Jarak sudut,, dinyatakan dalam detik busur.

iv. Saat pengamatan dilakukan, t.

2.1.2. Proses Dasar.

http://aladin.u-strasbg.fr/

Citra dari 2MASS filter J

http://aladin.u-starsbg.fr/


FMIPA-ITB Page 19

i. Kita buat grafik yang memberikan hubungan antara dan t. Demikian juga

terhadap t, pada masing-masing epoch.

ii. Kemudian diperiksa apakah hukum kekekalan luas (Hukum Kepler II) dipenuhi

yaitu

dt

dttt

konstan = C

Kalau belum, kita koreksi grafik sehingga hukum Kepler II dipenuhi.

iii. Harga dan yang telah memenuhi syarat dapat segera dibaca dari grafik tadi.

iv. Langkah terakhir adalah menggunakan rumus pada Bab 1 untuk menentukan

konstanta dan elemen lintasan.

A. Tujuan Penelitian

Studi ini bertujuan untuk menentukan orbit sistem bintang ganda visual,

menurunkan beberapa besaran fisis pada sistem tersebut, dan memperkirakan

bagaimana sistem bintang ganda tersebut pada masa yang akan datang (ephemeris).

Studi ini menggunakan obyek ADS 1733 dengan koordinat (epoch 2000)

2h15

m.8

-18o14’

Alasan dipilihnya objek ini adalah:

1. Lintasannya sudah dapat ditentukan

Data yang digunakan pada studi ini berasal dari data yang dikumpulkan oleh

Worley tahun 1975, dimana sebagian besar data terdiri dari data yang terdapat

pada studi oleh Horeschi (1958).

2. Kelas spektrum sudah diketahui

Studi oleh Horeschi menyatakan adanya tiga buah kelas spektrum untuk obyek ini

yang merupakan hasil dari tiga buah studi yang lain, yaitu:

a. Kelas spektrum K0 dari catalog Henry Draper.

b. Kelas spektrum dK4 dari studi oleh Wilson

c. Kelas spektrum K3 dari studi oleh Kuiper pada tahun

Informasi mengenai kelas spektrum digunakan dalam salah satu langkah dalam

penentuan massa bintang.

B. Penyelidikan Sebelumnya

Horeschi (1958) telah mempelajari sistem ADS 1733 dan memperoleh elemen orbit

sebagai berikut:

Elemen dinamik:

Tabel 2. 1 Elemen dinamik ADS 1733

Periode P 168.6 tahun

Eksentrisitas e 0.48

Inklinasi i 31o.25

Elemen Orientasi:


FMIPA-ITB Page 20

Tabel 2. 2 Elemen orientasi ADS 1733

Setengah sumbu panjang ellips benar a 1”.70

Longitude Periastron 71.72

Sudut posisi titik simpul naik 103o.13

Pergesaran sudut per tahun 2o.135

Waktu pada saat komponen sekunder melewati

Periastron

T 1987.0

Ephemeris ADS 1733

Tabel 2. 3 Ephemeris ADS 1733

t

1958.0 61o.19 1”.567

1960.0 65 o.06 1”.525

1962.0 69 o.15 1”.482

1964.0 73 o.50 1”.435

1966.0 78 o.15 1”.386

1968.0 83 o. 15 1”.334

1970.0 88 o.57 1”.278

1987.0 172 o.00 0”.770

Pada gambar 1 ditunjukkan lintasan ADS 1733 dari studi oleh Horeschi (1958).

Gambar 2. 2 Lintasan bintang ganda visual ADS 1733 (Horeschi, 1958)

2.2. Pelaksanaan


FMIPA-ITB Page 21

Diketahui : ADS 1733 = BDS 1179 = Hasting I = Lalande 4219

= 2h15

m.8 ( Epoch 2000 )

= -18o14’

Untuk bintang tersebut diperlukan koreksi sudut arah sebesar

t 2000secsin00557.0 , dengan data di atas diperoleh

t 2000003145.0 ,

dinyatakan dalam tiga desimal, menjadi

t 2000003.0 . (1.2-1)

Tabel 2. 4 Posisi ADS 1733, menurut Worley (1975).

No t c OBS

Jum.

Malam Referensi

1 1679.92 311.8 312.16 2.22 HL 2 -

2 1885.04 334.4 333.74 2.299 HL 3 -

3 1886.87 336.7 337.04 1.96 LV 3 -

4 1887.06 338.9 340.54 2.18 HL 4 -

5 1888.5 340.2 340.83 2.8 LV 7 -

6 1889.95 340.5 343.93 2.36 LV 4 -

7 1890.95 343.6 343.93 2.06 HL 3 -

8 1890.95 341.4 341.73 2.21 BU 3 Mem.R.Astron.Soc. V44, 141

9 1891.03 340.3 340.63 2.21 LV 3 -

10 1891.76 341.7 342.03 2.09 LV 2 -

11 1899.77 349.5 349.81 2.22 DOO 5 Pub. Univ. Pennsylvania V1, PT3

12 1903.63 353.9 354.19 2.42 Din 1 Pub. US. Naval Obs. V6, 117

13 1909.76 359.2 359.47 2.1 OL 2 Lick Obs. Bul. V5, 185

14 1915.4 364.2 364.45 2.06 OL 2 Astron. J. V30, 063, 157

15 1926.98 387.8 388.02 1.87 FIN 1 Union Obs. Circ No 112, 104

16 1928.65 379.3 379.51 2.04 VOU 4 Ann Bosscha Obs. Lembang V6, PT1

17 1930.04 378.6 378.81 2.19 WAL 4 Ann Bosscha Obs. Lembang V6, PT2

18 1930.54 380.1 380.31 2.07 OL 3 Pub. Univ. Pennsylvania V5, PT1, sec 1

19 1930.78 383.7 383.91 1.7 BRT 3 Pub. Univ. Pennsylvania V5, PT1, sec 2

20 1933.11 384.6 384.8 1.19 WRH 3 Pub. Univ. Pennsylvania V6, PT4, 03


22 1933.79 386.1 386.3 2.06 VBS 2 Pub. Yerkes Obs. V8, 047

23 1934.99 387 387.2 1.98 B 4 Union Obs. Circ No 94, 149

24 1936.86 388.6 388.79 1.92 SNW 4 Ann Bosscha Obs. V9, PT1

25 1936.98 389.6 389.79 1.78 FIN 1 Union Obs. Circ No 112, 104

26 1937.81 389 389.2 1.92 KUI 1 Astrophys. J. Supp. V6, 001

27 1937.87 388 388.2 2.3 VAT 1 Vatican Catalog 1930, Appendix 3


29 1942.59 394.8 395 1.89 VOU 4 Manuscript, see J. Obs. V38, 109.

30 1945.85 399 399.16 1.88 GTB 1

Mem. Commonw. Obs. Mt. Stromlo, V2,

N4,19

31 1945.89 401.2 401.36 1.93 WCY 1


N4,19

32 1945.92 401.5 401.66 1.74 GTB 1


N4,19

33 1945.97 403.1 403.26 2.03 GTB 1


N4,19

34 1946.37 404.1 404.26 1.9 BRT 4 Pub. Univ. Pennsylvania V7, PT1, sec 1

35 1946.89 401.5 401.66 1.78 WCY 1 Mem. Commonw. Obs. Mt. Stromlo, V2, N09


FMIPA-ITB Page 22

36 1948.76 403.8 404 1.66 VBS 2 Pub. Yerkes Obs. V8, 159

37 1948.96 405.5 405.65 1.71 B 4 Union Obs. Circ No 111, 013

38 1949.79 405.87 406.02 1.737 LEM Ann. Bosscha Obs. Lembang, V9, PT2




42 1955.93 418.6 418.73 3.14 MOH 1 -

43 1956.02 415.1 415.23 1.6 B 1 Union Obs. Circ No 115, 266


45 1957.73 418.8 418.93 1.66 B 3 Astrophys. J. Supp. V4, No. 36, 045

46 1958 421.5 421.63 1.56 VBS 3 Pub. Yerkes Obs. V9, PT2

47 1959.87 421.3 421.42 1.46 KNP 3 Union Obs. Circ No 119, 331

48 1961.76 426.6 426.71 1.54 B 4 Astron. J. V67, 555

49 1961.94 429.9 430.01 1.5 MRC 1 Obs. Nacional Brasil No.21, 1966

50 1962.92 427.3 427.41 1.5 KNP 1 Rep. Obs. Circ. No. 122, 025.

51 1964.29 430.8 430.91 1.55 B 3 Rep. Obs. Circ. No. 125, 093.

52 1965.98 435.5 435.6 1.48 NBG 4 Rep. Obs. Circ. No. 125, 105.

53 1965.98 433.5 433.6 1.39 KNP 1 Rep. Obs. Circ. No. 128, 177.

54 1968.79 441.4 441.49 1.44 NBG 1 Rep. Obs. Circ. No. 128, 184.

Dimana Indeks nama yang terdapat pada kolom OBS adalah

BRT = Barton, S.G.

WRH = Wilson, R.H., Jr.

VBS = Van Biesbroeck, G.

B = Van den Bos, W.H.

SMW = Simonow, G.V.

KUI = Kuiper, G.P.

VAT = Vatican

GTB = Gottlieb, K.

HL = Hall, A.

WOY = Wolley, R.U.D.

LEM = Lembang (Bosscha

Observatory)

MOH =

KNP = Knipe, G.H.G.

MRG = Morgan, H.R.

NBG = Newberg, I.L.

LV = Leavenworth, F.

BU = Burnham, S.W.

DOO = Doolittle, E.

DW = Dinwiddie, W.W.

OL = Olivier, C.P.

FW = Finsen, W.S.

VOU = Voute

WAL = Wallenquist, A.

o = harga yang diamati

c = harga setelah dikoreksi terhadap pengaruh presesi

Selanjutnya kita baca nilai dan dari grafik yang telah memenuhi Hukum Kepler II, dan

kemudian kita buat tabel 1.2-2.


FMIPA-ITB Page 23

Tabel 2. 5 Harga dan yang telah dikoreksi.

No t x y C

1 1902 351.23 2.18 -0.332 2.155

3.99 18.88

2 1906 355.22 2.17 -0.181 2.162

3.98 18.66

3 1910 359.2 2.16 -0.03 2.16

3.99 18.36

4 1914 363.19 2.13 0.119 2.127

4.12 18.43

5 1918 367.31 2.1 0.267 2.083

4.35 18.82

6 1922 371.66 2.06 0.416 2.017

4.38 18.41

7 1926 376.04 2.04 0.564 1.961

4.44 18.21

8 1930 380.48 2.01 0.703 1.883

4.64 18.37

9 1934 385.12 1.97 0.836 1.784

4.99 18.97

10 1938 390.11 1.93 0.968 1.67

4.99 18.11

11 1942 395.1 1.88 1.081 1.538

5.49 18.78

12 1946 400.59 1.82 1.184 1.382

5.98 18.83

13 1950 406.57 1.73 1.256 1.189

6.49 18.75

14 1954 413.06 1.67 1.335 1.004

6.99 18.79

15 1958 420.05 1.61 1.395 0.804

6.99 18.01

16 1962 427.04 1.6 1.473 0.624

7.96 18.89

17 1966 435 1.49 1.439 0.386

dari Tabel 2.5 terlihat bahwa :

1. Dalam pekerjaan ini pengamatan sebelum tahun 1902 tidak diikut sertakan dalam

analisa, karena:

i. Kurang lengkapnya referensi; bagaimana data tersebut diperoleh.

ii. Pengamatan sebelum tahun 1902 dianggap mempunyai bobot ketelitian

yang kecil.


FMIPA-ITB Page 24

2. Dari Tabel 2.5 dapat diperoleh bahwa, C yang dapat diturunkan adalah: C =

18.585 [derajat][detik busur]2 /4 tahun,

= 0.313 [derajat][detik busur]2 /4 tahun.

Jika dinyatakan dalam satuan [radian][detik busur]2 pertahun, diperoleh

C = 0.081 [radian][detik busur]2 /tahun,

= 0.001 [radian][detik busur]2 /tahun.

C adalah C rata-rata yang dihitung dengan n

CC

i . Sedangkan

adalah standard deviasi, ditentukan dengan menggunakan hubungan

1

2

n

CC i .

Selanjutnya akan ditentukan nilai

1331

2332

1221

EEEVU

EEEV

EEEU

oo

o

o

Dengan menggunakan tiga buah titik dari tabel 2.2-2. akan ditentukan harga qp.

Ketiga titik tersebut adalah

1. Titik ujung, epoch t= 1906

2. Titik tengah, epoch t=1936

3. Titik Akhir, epoch t = 1966

Tabel 2. 6 Hasil perhitungan untuk menentukan nilai qp

No T y x qp tqp qp

1 1906 355.22 2.171 2.163 -0.181 2.25 30 32.33

2 1936 387.55 1.937 1.717 0.896 2.129 30 47.45

3 1966 435 1.491 0.386 1.44 3.185 60 79.78

Arti notasi, yang terdapat pada tabel di atas dapat dilihat dengan memperhatikan Gambar 2.3


FMIPA-ITB Page 25

Gambar 2. 3 Separasi sudut dan sudut posisi untuk tiga epoch acuan

21 = 2 x luas segitiga s1t1t2 = 2.250 (detik busur)2,

32 = 2 x luas segitiga s1t2t3 = 2.129 (detik busur)2,

31 = 2 x luas segitiga s1t1t3 = 3.185 (detik busur)2.

Sedangkan

21 = 2 - 1 = 32o.33,

32 = 3 - 2 = 47o.45,

31 = 3 - 1 = 79o.78.

2.2.1. Menentukan nilai = 0

Untuk menentukan = 0, rumus yang akan digunakan adalah persamaan dasar

Thiele (1.8.1). Data untuk tqp dan qp diambil dari tabel 1.2-3 dan C = 0.081 [radian][detik

busur]2 /tahun.

Tabel 2. 7 Hasil perhitungan untuk mencari 0

______________________________________________________

o o o

qpNo E 2 .135 2 .137 2 .139qp

tC

1 30 E21 45.852 45.867 45.881

2 30 E32 54.685 54.703 54.721

3 60 E31 100.532 100.567 100.602

U 0o

S 180o

t1=1906

t2=1936

t3=1966

S1

1 2 3 1

2

3


FMIPA-ITB Page 26

Dari tabel di atas dapat dilihat bahwa yang memenuhi syarat agar E31=E32+E21, adalah =

2o.139/tahun. Harga E yang memenuhi adalah:

E21 = 45o.881 = U,

E32 = 54o.721 = V,

E31 = 100o.602 = (U+V).

2.2.2. Menghitung eksentrisitas (e) dan anomali eksentrik

(E).

Untuk menghitung e dan E, digunakan persamaan (1.10-2) dan (1.10-3). Sedangkan

data diambil dari tabel 2.2.1-1 kolom ketujuh.

132312

1223

2

sinsinsinsin

VUE ,

185.3129.2250.2

)721.54sin(250.2)881.45sin(129.2

,

194.1

309.0 ,

atau 259.0sinsin 2 E . (2.2.2-1)

Hal yang sama kita lakukan pada persamaan yang berikut

132312

131223

2

coscoscossin

VUE ,

akan diperoleh hasil sebagai berikut:

338.0cossin 2 E . (2.2.2-2)

Dengan menggunakan (2.2.2-1) dan (2.2.2-2) diperoleh :

338.0

259.0

cossin

sinsin

2

2

E

E

,

atau, 776.0tan 2 E ,

180462.372E k ; k=0,1,2,…

Untuk memilih harga k, E2 harus memenuhi persamaan (2.2.2-1) dan (2.2.2-2).

Dari persamaan (2.2.2-1)

2sin

259.0sin

E

atau

2

0.259

sine

E

.

Jadi 0sin 2 E atau 360180 2E . (2.2.2-3)

Dari persamaan (2.2.2-2)

2

0.338sin

cos E

atau

2

0.338

cose

E

.

Berarti 0cos 2 E , jadi 27090 2E . (2.2.2-4)

Dengan memperhatikan syarat (2.2.2-3) dan (2.2.2-4), dapat ditarik kesimpulan bahwa

270180 2E , atau dengan kata lain k yang memenuhi adalah k = 1.

1180462.372 E ,


FMIPA-ITB Page 27

= 217o.462.

Jadi dengan begitu E1 dan E3 dapat ditentukan dan diperoleh

E1 = 171o.581,

E3 = 272o.183.

Selanjutnya e dihitung dengan menggunakan hubungan

e 338.0cos 2 E ,

0.338

cos 217 .462e

,

e = 0.426.

2.2.3 Menghitung Saat Komponen Sekunder Melalui

Periastron T

Rumus yang akan digunakan adalah persamaan (1.3.2-3)

)(sin TtEeEM ,

sedangkan data diambil dari 2.1. dan 2.2. , dimana = 2o.139/tahun dan e = 0.426

Tabel 2. 8 Hasil perhitungan untuk menentukan saat terakhir kali melalui Periastron

No t E M T0

1 1906 171.481 168.007 1827.46

2 1936 217.462 232.308 1827.39

3 1966 272.183 296.379 1827.44

Dengan mengambil nilai rata-rata To dari tabel diatas, saat terakhir melalui Periastron dapat

ditentukan 0T = 1827.430, standard deviasi = 0.071. Karena periode

2P , maka P dapat

dihitung, yaitu

139.2

360

P , atau

P = 168.303 tahun.

Dengan ekstrapolasi dapat ditentukan saat berikutnya melalui Periastron, yaitu :

T = T0 + P,

= 1827.430 +168.303,

= 1995.733.

Jadi epoch Periastron T = 1995.733.

2.2.4. Menghitung M, E, X dan Y pada tiap Epoch

Rumus yang akan digunakan adalah (1.3.2-3) , (1.3.1-1) dan (1.3.1-2). Sedangkan e =

0.426 dan = 2o.139/tahun. Hasil perhitungan diperlihatkan di bawah ini.


FMIPA-ITB Page 28

Tabel 2. 9 Hasil perhitungan dengan menggunakan (1.3.2-3),

(1.3.1-1) dan (1.3.1-2)

2.2.5. Menghitung Konstanta Thiele dan Innes

Rumus yang digunakan adalah persamaan (1.12-3), (1.12-4), (1.12-5) dan (1.12-6).

Sedangkan data dari Tabel 2.10

Tabel 2. 10 Hasil perhitungan dengan menggunakan persamaan

(1.12-3), (1.12-4) dan (1.12-6)

No t X/Y (X/Y)2 x/X y/Y (x/Y)(X/Y) (y/Y)(X/Y)

1 1902 -6.2 38.44 -1.476 9.578 9.151 -59.384

2 1906 -10.72 114.918 -1.371 16.379 14.697 -175.583

3 1910 -38.514 1483.328 -0.811 58.378 31.235 -2284.37

4 1914 24.982 624.1 -2.088 -37.316 -52.162 -932.228

5 1918 9.289 86.294 -1.757 -13.704 -16.321 -127.296

6 1922 5.669 32.142 -1.698 -8.233 -9.626 -46.673

7 1926 4.033 16.263 -1.679 -5.836 -6.771 -23.537

8 1930 3.087 9.531 -1.658 -4.441 -5.118 -13.709

9 1934 2.462 6.061 -1.642 -3.505 -4.043 -8.629

10 1938 2.012 4.048 -1.643 -2.835 -3.306 -5.704

11 1942 1.666 2.776 -1.628 -2.316 -2.712 -3.858

12 1946 1.389 1.929 -1.62 -1.891 -2.25 -2.627

13 1950 1.156 1.336 -1.59 -1.505 -1.838 -1.74

14 1954 0.951 0.904 -1.589 -1.195 -1.511 -1.136

No t M E X Y

1 1902 159o.583 165

o.583 -1.395 0.225

2 1906 168.061 171.618 -1.415 0.132

3 1910 176.617 177.627 -1.425 0.037

4 1914 185.173 183.618 -1.424 -0.057

5 1918 193.729 189.642 -1.412 -0.152

6 1922 202.285 195.686 -1.389 -0.245

7 1926 210.841 201.783 -1.355 -0.336

8 1930 219.397 207.955 -1.309 -0.424

9 1934 227.953 214.226 -1.235 -0.509

10 1938 236.509 220.619 -1.185 -0.589

11 1942 245.065 227.166 -1.106 -0.664

12 1946 253.621 233.9 -1.015 -0.731

13 1950 262.177 240.859 -0.913 -0.79

14 1954 270.733 248.089 -0.799 -0.84

15 1958 279.289 255.645 -0.674 -0.877

16 1962 287.845 263.591 -0.538 -0.899

17 1966 296.401 272.009 -0.391 -0.904


FMIPA-ITB Page 29

15 1958 0.769 0.951 -1.591 -0.917 -1.223 -0.705

16 1962 0.598 0.358 -1.638 -0.694 -0.98 -0.415

17 1966 0.433 0.187 -1.592 -0.427 -0.689 -0.185

3.062 2423.566 -27.071 -0.48 -53.467 -3687.779

Dengan menggunakan rumus-rumus dari 1.12 , nilai A, B, F dan G dapat dihitung

062.3

206.2423

480.0

779.651.3

A

17

062.3

17

062.3

=126.41185

773.62078,

A = -1”.507.

B =

062.3

206.2423

071.27

467.53

17

062.3

17

062.3

= 126.41185

048.826,

B = -0”.020.

F =

062.3

206.2423

062.3

206.2423

17

062.3

480.0

779.3651

,

= 126.41185

608.10018 ,

F = 0”.243,

G =

062.3

206.2423

062.3

206.2423

17

062.3

071.27

467.53

= 126.41185

894.65434,

G = -1”.589.

2.2.6. Menentukan Kesalahan Konstanta Thiele dan Innes.

Untuk menentukan kesalahan A, B, F dan G dapat digunakan metode Worthing dan

Geffner (1943), dimana kesalahan dalam B adalah :

1

2/122

/ YBY

X

Y

Xnn

.

Kesalahan dalam G adalah


FMIPA-ITB Page 30

1

2/1222

/ YGY

X

Y

Xn

Y

X

,

1Y dapat dihitung dari :

2/12

'

)2/(1

n

Y

x

Y

xY .

Persamaan Least square-nya adalah :

GY

XB

Y

x

,

589.1020.0

Y

X

Y

x, (2.2.6-1)

'

Y

x nilai

Y

x yang dihitung dari (2.2.6-1)

Y

x = harga yang diamati, dari tabel 2.2.5-1

Hal yang sama untuk persamaan least square yang berbentuk :

FY

XA

Y

y

,

243.0507.1

Y

X

Y

y. (2.2.6-2)

Kesalahan dalam A adalah :

2

2/122

/ YAY

X

Y

Xnn

.

Kesalahan dalam F adalah

2

2/1222

/ YFY

X

Y

Xn

Y

X

.

Sedangkan 2/1

2'

)2/(2

n

Y

y

Y

yY .

'

Y

y = nilai

Y

y yang dihitung dari (2.2.6-2)

Y

y = nilai yang diamati, dari tabel 2.2.5-1.

Dengan menggunakan rumus (2.2.6-1) dan (2.2.6-2), data dari tabel 1.2.5-1 dapat diturunkan

Tabel 2.11


FMIPA-ITB Page 31

Tabel 2. 11 Menunjukkan hasil perhitungan untuk menentukan kesalahan konstanta Thiele

dan Innes

t X/Y (X/Y)2 (x/Y)' (x/Y) ( x/Y)

2 (y/Y)' (y/Y) ( y/Y)

2

1903.6 -7.57 57.303 -1.438 -1.317 0.015 11.651 12.946 1.677

1909.76 -31.756 1008.42 -0.954 -0.422 0.283 48.099 46.667 2.051

1915.4 15.889 252.457 -1.907 -1.778 0.017 -23.702 -22.822 0.774

1926.98 3.787 14.338 -1.665 -2.466 0.642 -5.464 -4.638 0.682

1928.65 3.384 11.453 -1.657 -1.733 0.006 -5.343 -4.893 0.203

1930.04 3.104 9.635 -1.651 -1.669 0 -4.435 -4.901 0.217

1933.11 2.605 6.783 -1.641 -1.023 0.382 -3.683 -2.213 2.161

1934.99 2.357 5.554 -1.636 -1.717 0.007 -3.309 -3.342 0.001

1936.98 2.132 4.547 -1.632 -1.599 0.001 -2.97 -2.725 0.06

1938.67 1.967 3.868 -1.628 -1.648 0 -2.721 -2.691 0.001

1942.59 1.636 2.678 -1.622 -1.615 0 -2.222 -2.307 0.007

1945.85 1.412 1.993 -1.617 -1.635 0 -1.885 -2.008 0.015

1948.76 1.236 1.529 -1.614 -1.497 0.014 -1.62 -1.551 0.005

1951.64 1.08 1.167 -1.611 -1.601 0 -1.385 -1.41 0.001

1953.76 0.975 0.95 -1.609 -1.506 0.011 -1.226 -1.242 0

1955.93 0.873 0.762 -1.606 -3.136 2.341 -1.073 -1.904 0.691

1957.71 0.791 0.625 -1.605 -1.491 0.013 -0.949 -0.811 0.019

1959.87 0.696 0.484 -1.603 -1.44 0.027 -0.806 -0.784 0

1961.76 0.617 0.381 -1.601 -1.576 0.001 -0.687 -0.678 0

1964.29 0.513 0.263 -1.599 -1.624 0.001 -0.53 -0.562 0.001

1965.98 0.443 0.197 -1.598 -1.478 0.014 -0.425 -0.435 0

1968.79 0.326 0.106 -1.596 -1.593 0 -0.248 -0.238 0

6.497 1385.49 -35.09 -35.564 3.775 -4.933 -2.542 8.566

1

2/122

/ YBY

X

Y

Xnn

,

1

2/1211.42488.138522/22 Y ,

1

2/1525.30438/22 Y ,

1

2/1001.0 Y ,

1

027.0 Y .

1

2/1222

/ YGY

X

Y

Xn

Y

X

,

1

2/1211.42488.138522/488.1385 Y ,


FMIPA-ITB Page 32

1

2/1525.30438/488.1385 Y ,

1

213.0 Y .

Sedangkan 1

Y adalah

2/12

'

)2/(1

n

Y

x

Y

xY ,

2/1

20

775.3

,

= 0.434.

dan 2/1

2'

)2/(2

n

Y

y

Y

yY ,

2/1

20

558.8

,

= 0.654.

Jadi

B = 0.027 x 0.434 = 0.012,

G = 0.213 x 0.434 = 0.093.

Hal yang sama untuk kesalahan A dan F

A = 0.027 x 0.654 = 0.018,

F = 0.213 x 0.654 = 0.139.

Konstanta Thiele dan Innes dapat ditulis

A = -1”.507 0”.018,

B = -0”.020 0”.012,

F = 0”.243 0”.139,

G = -1”.589 0”.093.

2.2.7. Menghitung elemen Orientasi

Rumus- rumus yang digunakan adalah persamaan (1.5-11), (1.5-12) dan (1.5-13) dan

data dari Bab 2.2.5. Dari rumus (1.5-11) dan (1.5-12)

085.0096.3

263.0tan

GA

FB ,

(+) = 4.856 + k x 180.

Sin (+) bertanda sama terhadap B-F, dan B-F 0. Jadi sin (+) 0, berada pada daerah

180 (+) 360. Dengan perkataan lain harga k yang memenuhi adalah k=1.

(+) = 4.856 + 180,

= 184.856 . (2.2.7-1)


FMIPA-ITB Page 33

720.2082.0

223.0)(tan

GA

FB ,

(-) =-69.814 + k x 180.

Sin (-) bertanda sama dengan -(B+F) dan –(B+F) 0. Jadi Sin (-) 0, terletak pada

rentang 180 (-) 360. Harga k yang memenuhi adalah k = 2. Jadi

(-) = -69.814 + 360,

= 290.186. (2.2.7-2)

Dari (1) dan (2)

= 237.521,

= -52.665 .

Jadi nilai dan yang memenuhi adalah

= 237.521- 180,

= 57.521.

= -52.665 + 180,

= 127.335 .

Untuk menghitung inklinasi, digunakan rumus

)sin(

)sin(

2tan2

BF

FBi,

)335.127521.57sin(

)335.127521.57sin(

263.0

223.0

,

939.0263.0

085.0223.0

,

247.0

019.0 ,

= 0.077,

tan (i/2) = 0.277,

i/2 = 15.486.

Karena gerakannya direct maka i = 30.972.

Selamjutnya untuk menghitung a, gunakan rumus (1.7-1)

a2 cos i = AG – BF,

Nilai A, G, B dan F dari 1.2.4 dan i = 30.972.

i

BFAGa

cos

2 ,

= 972.30cos

243.0020.0589.1507.1

,

= 857.0

05.0395.2 ,

= 2.800,

a = 1”.673.

Untuk menghitung setengah sumbu pendek (b), gunakan hubungan

21 eab ,


FMIPA-ITB Page 34

= 2)426.0(1673.1 ,

= 1.673 x 0.905,

b = 1”.514.

2.2.8. Hitung massa dan jarak

Dengan menggunakan persamaan yang telah diturunkan pada paragraf sebelumnya dan

penerapan teknik iterasi pada persamaan tersebut, diperoleh hasil perhitungan sebagai

berikut:

Tabel 2. 12 Hasil iterasi untuk menentukan parameter fisik bintang ADS 1733

Hasil iterasi r

1. Paralak dinamik dari bintang ganda tersebut adalah 0”,054;

2. Massa dari bintang ganda tersebut adalah M1 = 0,58 M0 dan M2 = 0,42 M0

3. Magnitudo absolut bolometrik bintang tersebut adalah 1Mb = 6,79 dan

2Mb = 7,79

2.2.9 Hasil Akhir

Dari perhitungan terdahulu diperoleh nilai-nilai sebagai berikut :

i. Elemen Dinamik

e = 0.426.

T = 1995.303.

P = 168.303 tahun.

ii. Elemen Orientasi

i = 30.972 .

= 57.521 .

= 127.335 .

iii. Konstanta Thiele dan Innes

A = -1”.507.

Iterasi p M1 + M2 1Mb

2Mb M1 M2

0 0,04356 2 6,305457 7,305457 0,691367 0,495118

1 0,04699 1,593243 6,470037 7,470037 0,654402 0,468646

2 0,049559 1,358145 6,585597 7,585597 0,629634 0,450909

3 0,051372 1,219344 6,66363 7,66363 0,613442 0,439313

4 0,052598 1,13605 6,714845 7,714845 0,603042 0,431865

5 0,053402 1,085478 6,747805 7,747805 0,596442 0,427138

6 0,05392 1,054529 6,768743 7,768743 0,592287 0,424163

7 0,054248 1,035489 6,781931 7,781931 0,589685 0,422299

8 0,054455 1,023737 6,790193 7,790193 0,58806 0,421136

9 0,054585 1,016466 6,795352 7,795352 0,587049 0,420411

10 0,054665 1,011963 6,798566 7,798566 0,586419 0,41996


FMIPA-ITB Page 35

B = -0”.020 .

F = 0”.243 .

G = -1”.589 .

iv. Ukuran geometris dari Ellips

a = 1”.673 .

b = 1”.514 .

v. Gerakan sudut per tahun

= 2.139

vi Jarak , massa dan luminositas

Karena paralak p = 0,054 jarak r = p

1 = 18,5 parsek

Massa bintang

bintang primer M1 = 0,58 M0 dan bintang sekunder M2 = 0,42 M0

Magnitudo absolut bolometrik

bintang primer 1Mb = 6,79 dan bintang sekunder

2Mb = 7,79

2.2.10 Ephemeris bintang ganda ADS 1733

Berikut diberikan ephemeris Bintang ADS 1733 untuk tahun 2006

Nama (designation) yang lain untuk bintang ini adalah : HD 14001, HIP 10542

Tabel 2. 13 Elemen orbit bintang ganda ADS 1733

menurut Siregar(1976)

No Elemen Siregar (1976)

1 P 168.303 tahun

2.o139

3 e 0.426

4 I 30.972

57.521

127.335

7 T 1995.733

Ephemeris untuk elemen orbit bersangkutan diragakan pada table berikut ini


FMIPA-ITB Page 36

Tabel 2. 14 Ephemeris bintang ganda ADS 1733 menurut Siregar(1976) untuk semester II

tahun 2006

No t (tahun) M (o) E (

o) (

o) (") (

o)

1 2006.25 22.496 37.282 55.998 1.017 244.26

2 2006.33 22.67 37.545 56.358 1.048 244.653

3 2006.41 22.84 37.801 56.708 1.079 245.044

4 2006.5 23.03 38.087 57.098 1.117 245.471

5 2006.58 23.2 38.343 57.496 1.149 245.845

6 2006.67 23.394 38.634 57.841 0.987 246.282

7 2006.75 23.565 38.89 58.188 0.987 246.788

8 2006.84 23.758 39.179 58.578 0.994 247.094

Sebagai pembanding berikut dilampirkan elemen orbit menurut Soderhjelm(1999). Data pada

epoch 2000.

Tabel 2. 15 Elemen orbit bintang ganda ADS 1733

menurut Soderhjelm(1999)

No Elemen Soderhjelm(1999)

1 P 225 tahun

1.o600

3 e 0.14

4 i 41.000

57.521

170.000

7 T 1803

Sedangkan ephemeris untuk elemen orbit table diatas diragakan pada Table 2. 16

Tabel 2. 16 Ephemeris bintang ganda ADS 1733 menurut Soderhjelm(1999) untuk semester

II tahun 2006

No t (tahun) M (o) E (

o) (

o) (") (

o)

1 2006.25 325.2 320.027 -45.442 1.706 149.444

2 2006.33 325.328 320.171 -45.283 1.708 149.544

3 2006.41 325.456 320.315 -45.123 1.708 149.696

4 2006.5 325.6 320.476 -45.944 1.708 149.847

5 2006.58 325.728 320.62 -45.785 1.712 149.948

6 2006.67 325.872 320.782 -44.605 1.712 150.1

7 2006.75 326 320.926 -44.445 1.71 150.252

8 2006.84 326.144 321.087 -44.265 1.71 150.404


FMIPA-ITB Page 37

Bab 3. Proposal untuk pekerjaan

selanjutnya ___________________________________________________________________________

3.1 Sistem Bintang Ganda Visual ADS 8119 AB

Bintang ganda visual ADS 8119 AB atau lebih dikenal dengan nama Xi Ursae

Majoris (ζ Uma) merupakan salah satu bintang ganda visual di rasi Ursa Mayor. Pasangan

bintang ini ditemukan oleh Sir William Herschel pada 2 Mei 1780 dan merupakan sistem

bintang ganda yang orbitnya berhasil dihitung pertama kali oleh Savary pada tahun 1828.

Oleh karena itu bintang ini mempunyai posisi historis yang sangat penting dalam studi

bintang ganda visual. Merupakan sistem bintang ganda yang pertama kali dihitung elemen

orbitnya dan juga merupakan sistem bintang ganda yang pertama kali digunakan untuk

membuktikan kebenaran kaedah hukum Kepler III.

Sistem ini terdiri dari dua buah bintang utama pada sistem ADS 8119 AB, yaitu

bintang HD 98231 (ADS 8119 A) sebagai komponen primer dan HD 98230 (ADS 8119 B)

merupakan komponen sekundernya (informasi mengenai sistem ini dapat dilihat pada tabel

3.1).

Tabel 3. 1 Informasi Sistem Bintang Ganda ADS 8119 AB

No Aspek Data

1 Posisi HD 98231

R.A. = 11h 18

m 10

s.90

(J2000.0)

Deklinasi = +310 31’ 44”.9

(J2000.0)

HD 98230

R.A. = 11h 18

m 10

s.95

(J2000.0)

Deklinasi = +310 31

’ 45’’.7

(J2000.0)

2 Magnitudo (V) HD 98231 = 4.41 magnitudo

HD 98230 = 4.87 magnitudo

3 Kelas Spektrum HD 98231 = G0V

HD 98230 = F8.5V

4 Nama WDS 11182+3132

Kedua komponen utama ini juga merupakan sistem bintang ganda spektroskopik. Bintang

HD 98231 merupakan bintang ganda spektroskopi dengan periode 1.8 tahun sedangkan

bintang HD 98230 mempunyai periode yang lebih pendek, yaitu 3.98 hari .


FMIPA-ITB Page 38

Data yang akan digunakan pada pekerjaan ini diperoleh dari katalog WDS

(Washington Double Star). Dari data yang dikumpulkan sejak tahun 1780 sampai akhir tahun

2004 diperoleh jumlah pengamatan sebanyak 1536 buah dan sudah melengkapi orbit selama

tiga periode. Pada penentuan elemen orbit sistem bintang visual ini akan dipergunakan titik-

titik data pada periode ketiga, yaitu antara tahun 1933.22 sampai dengan 1992.42 sejumlah

586 data pengamatan (data diberikan pada lampiran 1).

Kolom pertama merupakan epoch pada saat pengamatan dilakukan, kolom kedua

adalah sudut posisi dari pengamatan, sedangkan separasi sudutnya ditampilkan pada kolom

ketiga. Informasi mengenai jumlah pengamatan dan ukuran teleskop yang digunakan

diberikan pada kolom keempat dan kelima, berikutnya kolom keenam adalah informasi

mengenai referensi yang digunakan pada katalog WDS. Untuk kolom ketujuh yaitu informasi

mengenai koreksi sudut posisi karena presesi Luni-Solar, dan kolom kedelapan mengenai

sudut posisi yang sudah dikoreksi efek presesi, akan dijelaskan pada bagian III.

3.2 Studi Sebelumnya

Data pengamatan yang banyak menunjukkan juga jumlah studi yang telah dilakukan

mengenai sistem bintang ganda ADS 8119 AB. Hasil yang akan diperoleh pada ini akan

dibandingkan dengan hasil dari studi oleh Heintz (1967) dan Mason et al. (1995). Dari studi

keduanya diperoleh data menegenai elemen orbit sistem tersebut, sebagai berikut

Tabel 3. 2 Elemen Orbit Hasil Studi Sistem Bintang Ganda ADS 8119 AB

No Aspek Heintz (1967) Mason et al. (1995)

1 Periode, P [Tahun] 59.84 59.878

2 Setengah sumbu panjang, a [''] 2.53 2.536

3 Inklinasi , i [o] 122.65 122.13

4 Eksentrisitas, e 0.414 0.398

5 Longitude periastron , [o] 127.53 127.94

6 Sudut arah titik simpul naik, [o] 101.59 101.85

7 Waktu terakhir melewati Perisatron,

T [YYYY,yy] 1935.17 1935.195

3.2 Penentuan Konstanta Kepler

Metode yang digunakan pada penentuan elemen orbit sistem bintang ganda ADS

8119 AB pada studi ini adalah metode grafis, sehingga untuk menentukan konstanta Kepler

juga menggunakan grafik. Pada dasarnya tujuan menentukan konstanta Kepler adalah untuk

menentukan ellips yang tampak dari pengamatan. Langkah-langkah yang tempuh untuk

menentukan konstanta Kepler antara lain:

1. Membuat grafik separasi sudut (ρ), sudut posisi (θ) yang sudah dikoreksi terhadap efek

presesi sebagai fungsi waktu pengamatan. Kemudian digambarkan kurva garis yang

menggambarkan titik-titik data tersebut (lihat Gambar 3.1 dan Gambar 3.2). Koreksi efek


FMIPA-ITB Page 39

presesi Luni-Solar mengikuti perumusan oleh Van de Kamp tahun 1969 . Koreksi sudut

posisi tersebut sebesar,

)2000(secsin00557.0 t ,

dengan informasi mengenai posisi sitem bintang ganda ADS 8119 AB maka kita dapat

menetukan besarnya koreksi pada tiap waktu pengamatan. Hasilnya ditunjukkan pada

lampiran 1 kolom ketujuh (Δθ) dan kolom kedelapan (θc).

Berikut diperlihatkan kurva dan sebagai fungsi dari waktu. Kurva ini belum

memenuhi hukum Kepler, baru memenuhi prinsip least-square

Gambar 3. 1 Grafik separasi sudut (ρ) sebagai fungsi waktu, bintang ganda ADS 8119 AB

Gambar 3. 2 Grafik sudut posisi sebagai fungsi waktu, bintang ganda ADS 8119 AB.

Kurva Rho Sebagai Fungsi Waktu

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000

Tahun

Rh

o

Kurva Theta Sebagai Fungsi Waktu

0

50

100

150

200

250

300

350

400

1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000

Tahun

Th

eta


FMIPA-ITB Page 40

2. Memeriksa apakah pada satu waktu tertentu hukum kekekalan luas harus dipenuhi, yaitu

dt

dh

2 . (1)

Perubahan sudut posisi terhadap waktu , dt

d, dapat ditentukan dari grafik. Hasil yang

diperoleh mempunyai satuan derajat per tahun dapat diubah ke satuan radian per tahun.

Untuk memenuhi persamaan (1) maka kita akan mengubah grafik pada ordinatnya dan

akan terus diubah sampai kita memperoleh nilai h yang sama untuk setiap waktu.

3. Setelah memperoleh nilai h, maka kita akan menentukan nilai konstanta Kepler dari titik-

titik yang sudah memenuhi persamaan (1). Nilai separasi sudut (ρ) dan sudut posisi (θ)

yang sudah dikoreksi melalui grafik ditampilkan pada tabel 3.1.

4. Dengan menggunakan tabel 3.1, diperoleh nilai konstanta Kepler C untuk iterasi pertama

adalah

C = 39.073 [derajat][detik busur]2 /4 tahun,

C = 0.170 [radian][detik busur]2 / tahun.

Dengan standard deviasi-nya sebesar

σ = 6.763 [derajat][detik busur]2 /4 tahun,

= 0.029 [radian][detik busur]2 / tahun.

Hasil belum cukup memuaskan, karena bila dihitung kembal nilai C belum menunjukkan

harga yang konstan. Dalam arti standar deviasinya masih cukup besar

5. Koreksi terhadap kurva Kepler masih harus dilanjutkan

Tabel 3. 3 Nilai separasi sudut (ρ) dan sudut posisi (θ)

No Waktu C

1 1934 335 1.6

36

2 1938 290 2

36

3 1942 260 2.4

39

4 1946 235 2.7

40.625

5 1950 210 2.4

37.5

6 1954 185 2.4

31.2

7 1958 165 2.7

39


FMIPA-ITB Page 41

8 1962 145 3.1

41.625

9 1966 130 3.8

41.625

10 1970 125 3.8

56.25

11 1974 115 5.3

30

12 1978 110 5.3

45.6

13 1982 105 3.1

41.8

14 1986 85 2.7

30.8

15 1990 50 1.6

Selanjutnya akan dibicarakan kasus BGV lainnya WDS 04403-5857 berikut ini

3.5 Bintang Ganda Wds 04403-5857

WDS 04403-5857 atau HR 1504 adalah bintang ganda yang sudah diamati sejak lama,

bahkan sejak tahun 1835. Bintang ganda ini terdiri dari dua buah bintang yang hampir sama

terang. Komponen primernya memiliki magnitudo visual sekitar 7 magnitudo dan kelas

spektrumnya G5V. Bintang ini dipilih sebagai bintang ganda yang akan ditentukan parameter

orbitalnya karena perlu dilakukan tinjauan ulang pada orbitnya. Diharapkan akan diperoleh

parameter orbital yang lebih baik dengan data yang lebih baru.

Sumber Data

Data lengkap dari WDS 04403-5857 diperoleh dari http://ad.usno.navy.mil/wds/ . Data yang

diambil dari website tersebut terdiri dari waktu dilakukannya pengamatan, sudut posisi,

separasi, magnitudo primer dan sekunder, referensi untuk tiap pengamatan, serta parameter

orbital dari bintang ganda tersebut.

Data WDS 04403-5857 yang akan digunakan untuk menghitung parameter orbitnya diberikan

pada lampiran.

Tujuan Penelitian

Pekerjaan ini dilakukan untuk menghitung kembali parameter orbit bintang ganda WDS

04403-5857. Melalui pekerjaan sebelumnya ternyata diketahui bahwa orbit bintang ganda ini

perlu dihitung ulang karena parameter orbit yang lama sudah tidak sesuai dengan data-data

terbaru.


FMIPA-ITB Page 42

Parameter Fisis

1. Koordinat (epoch 2000.0):

- Asensiorekta : = 04h 40

m 17

s.72

- Deklinasi : = - 58° 56΄ 39˝.5

- Observer code : hj 3683

2. Elemen orbital (Brendley & Mason, 2006):

Parameter orbit Simbol Besar

Periode P 326.17 tahun

Setengah sumbu semi-mayor a 2˝.435

Inklinasi i 100°.9

Sudut posisi simpul naik (node) 263.6

Waktu sekunder melewati

periastron

T 1919.36

Eksentrisitas e 0.95

Longitude periastron ω 338.1

Orbit grade G 4 (preliminary)

3. Efemeris (Brendley & Mason, 2006):

t ρ

2005 89.8 3.526

2006 89.8 3.547

2007 89.8 3.568

2008 89.7 3.588

2009 89.7 3.608

Orbit Bintang Ganda

Dari studi terakhir yang dilakukan pada bintang ganda WDS 04403-5857 (2002) diketahui

bahwa orbit yang telah diturunkan sebelumnya sudah tidak cocok lagi dengan data-data

observasi terbarunya. Pada gambar 1 ditampilkan orbit bintang WDS 04403-5857 dari tahun

2002 dan 2006. Dari kedua gambar tersebut jelas terlihat bahwa parameter orbital bintang ini

harus diubah agar sesuai dengan data observasinya.


FMIPA-ITB Page 43

Gambar 3. 3 Orbit WDS 04403-5857 pada tahun 2002, dengan data terakhir diambil pada

tahun 1999.

Gambar 3. 4 Orbit WDS 04403-5857 pada tahun 2007, dengan data terakhir diambil pada

tahun 2002.

Lampiran

Data WDS 04403-5857 Observations

============

Date P.A. Sep. Mag-a Mag-b # RefCode Aperture Method Codes

1835.48 81.2 3. 7.5 7.5 2 HJ_1847a 18 B

1836.40 81.2 3.82 8.0 8.0 2 HJ_1847b 05 A

1874.38 74.4 2.23 . . 1 Gou1897A

1874.90 71.5 3.16 . . 5 Gou1897A

1879.10 79.1 3.46 7. 7. 1 R__1871a 11 A

1879.10 80.6 3.32 . . 1 Hrg1871 07 A

1891.02 77.0 1.88 7. 7. 2 Slr1893b 11 A


FMIPA-ITB Page 44

1897.06 85.1 0.92 8. 7.8 3 See1898c 24 A

1897.07 79.5 1.00 . . 2 Cog1898b 24 A

1903.16 80.6 1.54 . 0.1 1 I__1905 18 A

1913.96 77.4 1.14 . . 4 Vou1925a 07 A

1913.98 78.4 1.04 . 0.2 2 VdS1914 09 A

1914.92 83.4 0.91 8.0 7.5 1 Hu_1912c 17 A

1916.93 77.5 0.91 7.9 8.0 4 Daw1918 17 A

1920.93 72.2 0.60 7.8 8.0 4 Daw1922 17 A

1922.06 . . . . 2 I__1948 09 A S

1922.93 59. 0.15 . . 1 Daw1937 17 A

1922.94 63.9 0.12 . . 1 Daw1937 17 A

1923.10 . . . . 1 Daw1937 17 A S

1925.06 115.2 0.47 . . 1 I__1948 09 A

1925.07 83. 0.3 . . 1 I__1948 09 A

1926.02 103.4 0.36 . 0.3 4 B__1928b 26 A

1926.70 92.2 0.63 . . 5 Vou1926 07 A

1926.95 99.0 0.57 . 0.4 2 B__1928b 26 A

1928.05 97.4 0.67 . 0.3 4 B__1928b 26 A

1928.82 95.5 0.77 . . 5 Vou1932 24 A

1928.92 96.4 0.75 . 0.2 4 B__1929a 09 A

1929.06 97.5 0.71 . 0.2 4 Fin1929a 26 A

1930.04 94.5 0.88 . . 4 Wal1934 15 A

1930.10 95.6 0.80 . 0.2 3 B__1932b 26 A

1930.14 96.4 0.75 . 0.2 4 Fin1932a 26 A

1930.24 96.2 0.88 . 0.2 2 Jsp1964 27 A

1930.82 95.4 0.82 . . 4 Vou1932 24 A

1931.08 95.7 0.91 7.6 7.7 3 Daw1937 17 A

1931.64 93.6 0.95 7.5 7.7 3 B__1932b 26 A

1932.75 95.1 0.99 6.7 6.7 6 Fin1934b 26 A

1934.10 95.0 1.05 7.2 7.4 4 B__1935c 26 A

1934.17 94.7 1.08 7.6 7.7 3 Daw1937 17 A

1934.49 94.7 1.15 7.0 7.1 5 Fin1936b 26 A

1936.74 94.0 1.18 . . 4 Smw1951 15 A

1938.39 94.1 1.32 6.8 6.9 3 Fin1951a 26 A

1939.97 93.5 1.22 . . 2 Smw1951 24 A

1942.22 93.2 1.69 . . 1 Hir1943a 07 A

1942.68 93.0 1.57 . . 3 Vou1955 15 A

1943.22 93.0 1.47 . 0.0 3 Hir1946 07 A

1944.77 92.3 1.57 7.1 7.4 4 B__1950c 26 A

1945.07 93.1 1.58 . 0.1 3 Hir1950 07 A

1946.70 90.1 1.93 . 0.1 3 WoH1948 11 A

1946.94 91.7 2.02 . . 3 Woy1948a 09 A

1947.01 92.3 1.67 . . 3 Smw1948 09 A

1947.06 93.7 1.86 . . 1 Gtb1948 09 A

1951.13 92.1 1.82 7.0 7.3 4 B__1953a 26 A

1951.883 91.36 1.782 . . 1 The1970 24 H

1952.888 92.09 1.973 . . 1 The1970 24 H

1952.912 91.49 1.981 . . 1 The1970 24 H

1955.13 91.4 2.07 7.0 7.3 1 B__1956a 26 A

1956.793 91.43 2.128 . . 1 The1970 24 H

1957.713 92.45 2.134 . . 1 The1970 24 H

1957.786 91.80 2.158 . . 1 The1970 24 H

1959.03 89.6 2.08 7.0 7.3 4 B__1959d 26 A

1959.04 90.5 2.09 . . 2 Knp1960 26 A

1964.08 91.1 2.32 7.0 7.2 4 B__1965a 26 A

1965.59 91.5 2.36 7.0 7.2 4 B__1967 26 A

1975.071 89.7 2.83 . . 1 Rak1981 40 W

1975.099 91.0 2.69 . 0.0 4 Hln1975b 40 B

1975.12 91.9 2.65 . 0.0 3 Hln1976a 40 B


FMIPA-ITB Page 45

1975.727 91.0 2.85 . 0.1 2 Wor1978 60 B

1977.327 89.31 2.822 . . 2 vAd1985 24 H

1978.691 90.50 2.852 . . 2 vAd1985 24 H

1979.03 90.9 2.78 . . 3 Val1980c 26 A

1980.25 91.8 2.96 . . 4 Fra1986 04 A Q

1980.710 90.78 2.878 . . 1 Jas1995 24 H

1980.786 90.5 3.17 . . 1 Tob2005a 48 G

1981.18 92.0 3.06 . . 3 WRH1982 26 A

1982.781 91.19 2.945 . . 1 vAd1987 24 H

1983.155 91.9 3.00 . -0.1 2 Wor1989 36 B Q

1984.863 91.50 2.995 . . 1 Pan1991 24 H

1986.825 90.4 2.91 . 0.3 4 Sca1989 15 A

1986.977 91.77 3.126 . . 1 Pan1991 24 H

1987.711 88.73 3.11 . . 1 Jas1994 24 H

1991.18 90.7 3.05 . . 2 Hei1992a 24 B

1991.25 90.1 3.217 7.32 7.53 1 HIP1997a 54 T

1991.65 90.2 3.257 7.33 7.45 1 TYC2000c 07 T

1994.051 90.8 3.22 . . 4 ADP1995 40 F

1995.025 91.77 3.25 . . 5 ADP1998 40 F

1995.8527 90.2 3.351 . . 1 Hor2001b 84 S

1996.168 90.2 3.54 . . 2 Pri1997a 26 A Q

1996.1832 . . . . 1 Msn1998b 157 S S

1997.1005 90.1 3.341 . . 1 Hor1997 24 S

1999.7790 90.0 3.47 . . 1 Hor2000 24 S

1999.7844 90.1 3.44 . . 1 Hor2000 24 S R

1999.7845 90.3 3.44 . . 1 Hor2000 24 S

1999.85 89.1 2.71 . . 1 TMA2003 51 E K

2001.8624 89.5 3.501 . . 1 Hor2006 24 S

2001.8624 89.4 3.503 . . 1 Hor2006 24 S R

2001.8815 89.3 3.505 . . 1 Hor2006 24 S R

2001.8815 89.4 3.520 . . 1 Hor2006 24 S

2001.8842 89.3 3.510 . . 1 Hor2006 24 S R

2001.8842 89.5 3.508 . . 1 Hor2006 24 S

2001.8870 89.4 3.507 . . 1 Hor2006 24 S R

2001.8870 89.6 3.507 . . 1 Hor2006 24 S

2001.8897 89.4 3.494 . . 1 Hor2006 24 S

2001.8897 89.2 3.479 . . 1 Hor2006 24 S B

2002.704 89.3 3.37 . . 2 Ant2004 14 F

Keterangan:

kolom 1 = tahun pengamatan

kolom 2 = sudut posisi

kolom 3 = separasi

kolom 4 = magnitudo komponen primer

kolom 5 = magnitudo komponen sekunder

kolom 6 = katalog observasi WDS

kolom 7 = kode referensi

kolom 8 = apertur

kolom 9 = metode pengambilan data

kolom 10 = kode (catatan)

Daftar Pustaka berikut adalah beberapa buku bacaan /Journal yang penting untuk lebih

memahami kompuatsi orbit.


FMIPA-ITB Page 46

Daftar Pustaka

Argyle, B., Observing and Measuring Visual Double Stars, Springer-Verlag, London, 2004

Baize, P & Romani, L., Formulas nouvelles pour le calcul des parallaxes dynamiques des

couples orbitaux, An.Ap, 9, 13-41, 1946

Brendley, M. & Mason, B., IAUDS, 160R, 1B (6th Orbit Catalog)

Hartkopf, W.I, Mason, W.D & Wycoff, G. L., Washington: USNO, 2004. URL.

http://ad.usno.navy.mil/wds/int4.html.

Heintz, W.D., Astronomische Nachrichten, 289, 269, 1967

Horeschi, E. Astronomische Nachrichten. 284, 57, 1958

Mason, B.D. Astronomical Journal, 109, 332, 1995

Siregar,S., Menentukan orbit ADS 1733 dengan koordinat = 2h 15

m.8 dan

= -180 14’ epoch 2000 dengan cra Thiele-Innes, Tugas Akhir Departemen Astronomi

ITB, 1976

Soderhjelm, S. 1999. Astronomy & Astrophysics. 341, 121.

Stacey Palen., Schaum’s Theory and Problem Outline of Astronomy, Washington, McGraw-

Hill, pp. 125-152, 2002

Van de Kamp, P., Principle of Astrometry, San Francisco, W.H. Freeman & Company, pp.

143-149, 1969

http://ad.usno.navy.mil/wds/int4.html

Documents

AS6000-Topik Komputasi