Arboles y Arbolescencias

7/26/2019 Arboles y Arbolescencias

1/17

1

UNIVERSIDAD MAYOR REAL PONTIFICIA SAN

FRANCISCO XAVIER DE CHUQUISACA

FACULTAD DE INGENIERIACIVIL

rboles y arborescenciasMATERIA: SISTEMAS DE INGENIERIA CIVIL

DOCENTE: ING. JULIO CASTRO

UNIVERSITARIOS: CARO ESPADA JHOVANY RODRIGO

CUETO REYNAGA JOSE CHRITIANO

FLORES PORCEL JUAN PABLO

RIVERA BEJARANO DIEGO ALBERTO

TICONA OROPEZA MARCO ANTONIO

GRUPO: 7


2/17

2

SUCRE BOLIVIARBOLESY ARBORESCENCIAS

INTRODUCCIN

En este Captulo se trata el concepto de rbol y el de arborescencia. Se determinan suspropiedades y se utilizan para definir otras estructuras como son los rboles yarborescencias planas, los rboles binarios y los rboles de juego. Se discute sobreestructuras de datos para representar rboles y arborescencias en el computador, ascomo los tipos de recorridos en arborescencias planas.

rbol

Definiciones

En teora de grafos(es un conjunto de objetos llamados vrtices o nodos unidos por enlacesaristas o arcos ue permiten representar relaciones binarias entre elementos de unconjunto!, un rbol es un grafo en el ue dos vrticesestn conectados por exactamente uncamino. "n bosue es un grafo en el ue dos vrtices cualuiera estn conectados por comomximo uncamino. "na definici#n euivalente es ue un bosue es una uni#n disjuntaderboles (de au el nombre!. "n rbol a veces recibe el nombre de rbol libre.

"n rbol es un grafo simple unidireccional G ue satisface alguna de las siguientescondiciones euivalentes$

Ges cone%oy no tieneciclossimples. Gno tiene ciclos simples y, si se a&ade alguna aristase forma un ciclo simple.

Ges cone%o y si se le uita alguna arista deja de ser cone%o. Ges cone%o y el grafo completode ' vrtices K'no es unmenorde G. os vrtices cualuiera de Gestn conectados por un )nico camino simple.

Si Gtiene muc*os vrtices, n, entonces las definiciones anteriores son tambin euivalentesa cualuiera de las siguientes condiciones$

Ges cone%o y tiene n+ aristas. Gno tiene aristas simples y tiene n+ aristas. -a cantidad de *ojas de un rbol siempre es mayor o igual a la mitad de la totalidad

de los nodos

En grfico unidireccional simple Gse recible el nombre de bosquesi no tiene ciclos simples.

"n rbol direccionales ungrafo direccionalue sera un rbol si se *iciera caso omiso de lasdirecciones de las aristas. lgunos autores restringen la frase al caso en el ue todos lasaristas se dirigen a un vrtice particular, o todas sus direcciones parten de un vrticeparticular."n rbolrecibe el nombre de rbol con razsi cada vrtice *a sido designado raz, en cuyocaso las aristas tienen una orientaci#n natural haciao desdela raz. -os rboles con raz, amenudo con estructuras adicionales como orden de los vecinos de cada vrtice, son unaestructura clave en informtica/ vase rbol (programaci#n!.
http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_grafoshttp://es.wikipedia.org/wiki/V%C3%A9rtice_(Teor%C3%ADa_de_grafos)http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Uni%C3%B3n_disjunta&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Grafo_conexohttp://es.wikipedia.org/wiki/Ciclo_(teor%C3%ADa_de_grafos)http://es.wikipedia.org/wiki/Ciclo_(teor%C3%ADa_de_grafos)http://es.wikipedia.org/wiki/Aristahttp://es.wikipedia.org/wiki/Grafo_completohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Menor_(teor%C3%ADa_de_grafos)&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Menor_(teor%C3%ADa_de_grafos)&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Camino_simple&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Grafo_direccional&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Grafo_direccional&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81rbol_(programaci%C3%B3n)http://es.wikipedia.org/wiki/V%C3%A9rtice_(Teor%C3%ADa_de_grafos)http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Uni%C3%B3n_disjunta&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Grafo_conexohttp://es.wikipedia.org/wiki/Ciclo_(teor%C3%ADa_de_grafos)http://es.wikipedia.org/wiki/Aristahttp://es.wikipedia.org/wiki/Grafo_completohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Menor_(teor%C3%ADa_de_grafos)&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Camino_simple&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Grafo_direccional&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81rbol_(programaci%C3%B3n)http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_grafos


3/17Ejempl !e "# $%&l

'

"n rbol etiquetadoes un rbol en el ue cada vrtice tiene una )nica etiueta. -os vrticesde un rbol etiuetado de nvrtices reciben normalmente las etiuetas 0,1, ..., n2."n rbol regular ( homogneo! es un rbol en el ue cada vrtice tiene el mismo grado.3ase grafo regular.

Un rbol etiquet!o con " #$rtices % & rists

ada una grfica 4 ue tiene por lo menos dos vrtices, se dice ue 4 es un rbol siverifica una de las propiedades siguientes$

( 4 es cone%a y sin ciclos.

( 4 no tiene ciclos y admite (n5! aristas/ n es el n)mero de vrtices de 4.

( 4 es cone%a y tiene (n5! aristas.

( 4 no tiene ciclos y agregando una arista ue una a dos

3rtices no adyacentes de 4, se origina un ciclo y solo uno.( 4 es cone%a y suprimiendo una arista cualuiera deja de serlo.

( 6oda pareja de vrtices de 4 estn ligados por una cadena y una sola.
http://es.wikipedia.org/wiki/Grado_(teor%C3%ADa_de_grafos)http://es.wikipedia.org/wiki/Grafo_regularhttp://es.wikipedia.org/wiki/Grado_(teor%C3%ADa_de_grafos)http://es.wikipedia.org/wiki/Grafo_regular


4/17

)

RBOL COBERTOR DE COSTO '(NI'O

Sea 78(3,E! un grafo cone%o y sea c una funci#n definida sobre los lados de 7, c$ E(7!9 . "n grafo como el anterior nos permite representar diversas situaciones comopor ejemplo las ue se presentan en el estudio de redes de comunicaci#n (vial,

telfonica, elctrica, por ejemplo!.Supongamos ue los vrtices representan ciudades y los lados posibles intercone%ionesentre ellas. -a funci#n c$E9 podra representar los costos asociados a la instalaci#nde cada intercone%i#n. El problema en cuesti#n ser buscar una red ue conecte todas lasciudades al menor costo posible. Si adems suponemos todos los costos positivos, serobvio ue mientras menos lados tenga la red, menor ser su costo.

Definici)n

Sea 7 un grafo cone%o. "n grafo parcial de 7 cone%o ue es a su vez un rbol se llama unrbol Cobertor de G..

En vista de lo anterior y puesto ue debemos conservar la cone%idad del grafo, es

evidente ue necesitamos un rbol cobertor del grafo. :ero *ay a)n ms, el rbolcobertor 6 ue se busca debe ser el de menor costo, es decir, se busca un grafo parcial 6de 7 ue sea un rbol y tal ue ; c(e! sea mnima.

"n rbol ue cumpla con la propiedad anterior se llama un rbol Mnimo Cobertor de G.

*ro+osici)n

Sea 78(3,E! un grafo cone%o y c una funci#n c$ E9. Sea " un subconjunto propio de 3.Sea e80%,y2 un lado en


5/17

*

Ob/eti#o !e Al,orit-o +ri- Encontrar el rbol recubridor ms corto, la ruta mas optima

-a idea bsica de este algoritmo consiste en inicializar como vaco al conjunto ue

contendr los lados del rbol 6 y con un vrtice cualuiera u al conjunto " 0 -uego seselecciona el lado 0u1#2 en


6/17

+

El lgoritmo de MrusJal ue resuelve la misma clase de problema ue el de :rim, salvoue en esta ocasi#n no partimos desde ning)n nodo elegido al azar. :ara resolver elmismo problema lo ue *acemos es pasarle a la funci#n una lista con las aristasordenada de menor a mayor, e iremos tomando una para formar el ?.

El algoritmo de MrusJal permite *allar el rbol minimal de cualuier grafo valorado (concapacidades!. 4ay ue seguir los siguientes pasos$

! Se marca la arista con menor valor. Si *ay ms de una, se elige cualuiera de ellas.1! e las aristas restantes, se marca la ue tenga menor valor, si *ay ms de una, se elige

cualuiera de ellas.'! ?epetir el paso 1 siempre ue la arista elegida no forme un ciclo con las ya marcadas.

N! El proceso termina cuando tenemos todos los nodos del grafo en alguna de las aristasmarcadas, es decir, cuando tenemos marcados n$ arcos, siendo n el n)mero denodos del grafo

Este algoritmo resulta sumamente sencillo a simple vista, sin embargo, notaremosue es necesario revisar ciertos detalles en cuanto a la implementaci#n del mismo. -oprimero es con respecto a la forma de seleccionar los lados en orden creciente de costo.@rdenar desde un principio todos los lados resulta bastante inconveniente puesnormalmente se estar *aciendo muc*o ms trabajo del necesario, ya ue rara vez se

llegan a e%aminar todos los lados antes de encontrar los O3OP reueridos. -o ue senecesita entonces es disponer de un operador ue permita encontrar en cada iteraci#nel lado de menor costo entre los ue a)n no *an sido estudiados y ue lo e%cluya de E(7!.:ara lograr lo anterior podemos colocar los lados en un rbol parcialmente ordenado o*eap y utilizar un operador ue llamaremos -@BD. Con este operador podemose%traer el lado de menor distancia y reordenar el *eap en un tiempo % (logOEO!. Bgualmentepodemos ordenar parcialmente los lados antes de comenzar en un tiempo % (OEO!, esto lorealizar el operador @?ED?, similar al procedimiento C?E? de la secci#n 3BB.N.


7/17

,

-o segundo ue se debe revisar detalladamente es como se almacenarn los vrtices decada componente, de forma ue pueda revisarse de forma eficiente la posible formaci#nde ciclos cada vez ue se e%amina un nuevo lado. "na soluci#n es formar conjuntos conlos vrtices ue pertenecen a una misma componente y de esta manera, con unarepresentaci#n adecuada para conjuntos ( 4@ et al, QR !, se puede determinar en untiempo constante a u componente pertenecen los e%tremos de un lado, mediante un

operador EDC@D6?? aplicado a cada uno de sus e%tremos para luego verificar si esascomponentes son distintas. En caso de ser distintas se deben unir las componentes encuesti#n y agregar el lado a 6/ en caso contrario se desec*a el lado e%aminado. :ara unirlas dos componentes se reuerir de un operador "DB@D.

-as n5 uniones ue sern reueridas se pueden lograr en un tiempo % (nlogn! con lamisma representaci#n de conjuntos.

El operador BDBCB-B? crea las componentes cone%as del grafo 78(3,02!, las cualesconstan de un solo vrtice cada una y sern identificadas con un n)mero de a O3O.algoritmo.

ARBORESCENCIAS0

Es una red dirigida en la cual se debe de especificar cual es el nodo raz, en esta e%iste una

ruta del nodo raz *acia los dems nodos, una arborescencia es un caso particular de rbol.

4 Es una red dirigida en la cual se debe de especificar cual es el nodo raz, en esta e%iste

una ruta del nodo raz *acia los dems nodos, una arborescencia es un caso particular de

rbol.4 E%isten varias rutas4 6iene n5 arcos4 odelo general4 Se debe especificar la raz.

ARBORESCENCIAS COBERTORAS *TI'AS

"n problema similar al de conseguir un rbol #ptimo (mnimo o m%imo! cobertor sepresenta en grafos o redes orientados. Son muc*os los problemas ue se puedenplantear en los cuales se reuiere determinar la forma de encontrar un punto desde elcual comunicarse con todos los dems de un grafo, respetando la orientaci#n delos arcos (vas de comunicaci#n, por ejemplo! y al menor costo global posible.Duevamente se entiende por costo global de la red la suma de los costos de todos losarcos utilizados. En este caso lo ue se desea obtener es una arborescencia mnimacobertora en el grafo asociado al problema.

efiniremos un &osque %rientado como un bosue en el cual cada componente cone%a es

una arborescencia.

"n subgrafo ue cumpla estas condiciones se llama &osque %rientado de 'esoMximo de G. El problema ue planteamos al principio de esta secci#n y algunos otrosue mencionaremos, se reducen a variaciones del problema de buscar un Aosue@rientado de :eso %imo.


8/17

-

Es fcil observar ue un bosue orientado A de un grafo 7 es una arborescencia cobertorasi y s#lo si el n)mero de arcos de A es igual al n)mero de vrtices de 7 menos uno, yeste es el m%imo de arcos ue puede tener un bosue.

"n bosue orientado de peso m%imo de 7 no incluye ning)n arco e con c(e!TU , por lotanto, si c(e!>o, eE, el bosue orientado de peso m%imo tendr un conjunto vaco

de arcos. s a)n, 7 puede tener un subgrafo ue sea una arborescencia y c(e!VU,

eE, y sin embargo, el bosue orientado de peso m%imo de 7 no ser unaarborescencia, como se muestra en el ejemplo de la figura 3B.'.

Si un grafo 78(3,E! con c$E 9 tiene un subgrafo parcial ue es una arborescencia,entonces una arborescencia cobertora de peso m%imo de 7 se puede conseguirbasndonos en la siguiente propiedad y en el corolario ue le sigue.

Si A es un bosue orientado de peso m%imo para c=, entonces A es el bosue con mayorpeso con respecto a c, entre todos los bosues orientados cobertores de 7 ue poseen elmayor n)mero de arcos posible.

De-ostrci)n.


9/17

-os mtodos ue se utilizan para obtener la arborescencia de costo mnimo son$! ijJstra (Etiuetas!.1! ijJstra generalizado.

'! Wloyd5 Dota$ El mtodo de ijJstra solo te da una soluci#n inicial y el de ijsJtra generalizado te dala soluci#n optima, por lo tanto se tiene ue aplicar primero el mtodo de ijJstra yposteriormente el mtodo de ijJstra generalizado para obtener la arborescencia de costomnimo.Al,orit-o !e Di/3str 5Etiquets6

E!s,er 7%be Di/3str

Edsger Xybe ijJstra ('U P 1UU1! naci# en 'U en ?otterdam, 4olanda. Era *ijo de Xybe

ouFe ijJstra y Arec*tje Cornelia Mruyper, y tenia tres *ermanos ms. Su padre era

professor de fisica en la escuela secundaria de ?otterdam, mientras ue su madre eramatemtica.

e joven, asisti# a la escuela secundaria de ?otterdam. jiJstra uera estudiar erec*o y

asi poder representar a los :aises Aajos en las Daciones "nidas. :ero, en NY realiz# los

e%menes finales de su etapa en la escuela secundaria y sac# notas e%celentes en

matematicas, fsica, umica y biologa, y tanto sus padres como sus profesores intentaron

persuadirle para ue se decantara por una carrera de ciencias. Winalmente, decidi# estudiar

fsica te#rica en la universidad de -eyden.

6res a&os despus, en G, ijJstra vio un anuncio de la "niversidad de Cambridge sobre

un curso de tres semanas ue trataba la programaci#n en computadores. Se interes# muc*opor este curso y decidi# apuntarse, ya ue lo vea como una oportunidad esta actividad, ue

consideraba muy ligada a su campo, la fsica te#rica.

:asos$! Bniciaci#n de etiuetado. Sea d(s!8U y mruese esta etiueta como permanente. Sea

d(%!8 para todo y considrese como etiuetas temporales. Sea a(%!8% (estas etiuetasindicarn el predecesor de % en la arborescencia!. Sea p8s.

1! ctualizaci#n de etiuetas. :ara todo ue tenga etiueta temporal, actualizar las etiuetasde acuerdo a $

'! Si d(%! se modific#, *acer a(%!8p. Sea tal ue . Si terminar ya ue no *ay arborescencia deruta ms corta. En otro caso marcar la etiueta como permanente seai! Si s#lo se desea la ruta de s a t, si p8t entonces terminar/ d(p! es la longitud del caminoms corto si ir al paso 1.ii! Si se desea la arborescencia, terminar cuando todos los nodos estn marcados de formapermanente. En otro caso, ir al paso 1.G. todo de ijJstra generalizado
http://image.slidesharecdn.com/arborescnciaderutamascorta-121008235501-phpapp02/95/arborescencia-de-ruta-mas-corta-5-728.jpg?cb=1349740748http://image.slidesharecdn.com/arborescnciaderutamascorta-121008235501-phpapp02/95/arborescencia-de-ruta-mas-corta-5-728.jpg?cb=1349740748http://image.slidesharecdn.com/arborescnciaderutamascorta-121008235501-phpapp02/95/arborescencia-de-ruta-mas-corta-5-728.jpg?cb=1349740748


10/17

1/

Al,orit-o !e 8lo%!

?@AE?6 X. W-@Z (Y de juniode 'K5 1G de septiembrede1UU! fue un prominentecientficoestadounidenseeninformtica.

Dacido en Dueva ZorJ, Wloyd culmin# el bac*illerato a los N a&os. Se gradu# en

la "niversidad de C*icagoen G'a los H a&os y como Wsicoen GY.

@perador de computadoras en los a&os KU, public# sus primeros artculos los cuales fueron

de gran influencia y fue nombrado profesor asociado en la "niversidad de Carnegie ellon.

Seis a&os ms tarde fue nombrado profesor en la"niversidad de Stanford.

Entre sus contribuciones se encuentran el dise&o y anlisis de algoritmos eficientes para

encontrar el camino ms corto en un grafoy para el problema de reconocimiento de frases,

pero probablemente su logro ms importante fue el ser pionero, con su artculo

de KH[ssigning eanings to :rograms\, en el rea de verificaci#n de programas

utilizando aserciones l#gicas, donde aparece la importante noci#n de invariante, esencial

para demostrar propiedades de programas iterativos.

Wloyd recibi# el :remio 6uringde laCen HY[por tener una clara influencia en las

metodologas para la creaci#n de softFare eficiente y confiable, y por *aber contribuido a la

fundaci#n de las subreas teora del reconocimiento de frases, semntica de los lenguajesde programaci#n, verificaci#n automatizada de programas, sntesis automatizada de

programas y anlisis de algoritmos

5 En informtica, el -7@?B6@ E W-@Z5X?S4--, descrito en G por Aernard?oy, es un algoritmode anlisis sobre grafospara encontrar el camino mnimoen grafosdirigidos ponderados. El algoritmo encuentra el camino entre todos los pares de vrticesen una )nica ejecuci#n. El algoritmo de Wloyd5Xars*all es un ejemplo deprogramaci#ndinmica

5 El algoritmo de Wloyd5Xars*all compara todos los posibles caminos a travs

del grafoentre cada par de vrtices.5 El algoritmo es capaz de *acer esto con s#lo comparaciones (esto es notable

considerando ue puede *aber *asta aristas en el grafo, y ue cada combinaci#n dearistas se prueba!. -o *ace mejorando paulatinamente una estimaci#n del camino mscorto entre dos vrtices, *asta ue se sabe ue la estimaci#n es #ptima
http://image.slidesharecdn.com/arborescnciaderutamascorta-121008235501-phpapp02/95/arborescencia-de-ruta-mas-corta-6-728.jpg?cb=1349740748https://es.wikipedia.org/wiki/8_de_juniohttps://es.wikipedia.org/wiki/1936https://es.wikipedia.org/wiki/1936https://es.wikipedia.org/wiki/25_de_septiembrehttps://es.wikipedia.org/wiki/2001https://es.wikipedia.org/wiki/2001https://es.wikipedia.org/wiki/Estados_Unidoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Estados_Unidoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Inform%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Inform%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Nueva_Yorkhttps://es.wikipedia.org/wiki/Universidad_de_Chicagohttps://es.wikipedia.org/wiki/1953https://es.wikipedia.org/wiki/1953https://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicohttps://es.wikipedia.org/wiki/1958https://es.wikipedia.org/wiki/Universidad_de_Carnegie_Mellonhttps://es.wikipedia.org/wiki/Universidad_de_Stanfordhttps://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_grafoshttps://es.wikipedia.org/wiki/1967https://es.wikipedia.org/wiki/Premio_Turinghttps://es.wikipedia.org/wiki/Association_for_Computing_Machineryhttps://es.wikipedia.org/wiki/Association_for_Computing_Machineryhttps://es.wikipedia.org/wiki/1978https://es.wikipedia.org/wiki/Inform%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmohttps://es.wikipedia.org/wiki/Grafohttps://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_los_caminos_m%C3%A1s_cortoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Programaci%C3%B3n_din%C3%A1mica_(computaci%C3%B3n)https://es.wikipedia.org/wiki/Programaci%C3%B3n_din%C3%A1mica_(computaci%C3%B3n)https://es.wikipedia.org/wiki/Grafohttps://es.wikipedia.org/wiki/Grafohttps://es.wikipedia.org/wiki/Grafohttp://image.slidesharecdn.com/arborescnciaderutamascorta-121008235501-phpapp02/95/arborescencia-de-ruta-mas-corta-6-728.jpg?cb=1349740748https://es.wikipedia.org/wiki/8_de_juniohttps://es.wikipedia.org/wiki/1936https://es.wikipedia.org/wiki/25_de_septiembrehttps://es.wikipedia.org/wiki/2001https://es.wikipedia.org/wiki/Estados_Unidoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Inform%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Nueva_Yorkhttps://es.wikipedia.org/wiki/Universidad_de_Chicagohttps://es.wikipedia.org/wiki/1953https://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicohttps://es.wikipedia.org/wiki/1958https://es.wikipedia.org/wiki/Universidad_de_Carnegie_Mellonhttps://es.wikipedia.org/wiki/Universidad_de_Stanfordhttps://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_grafoshttps://es.wikipedia.org/wiki/1967https://es.wikipedia.org/wiki/Premio_Turinghttps://es.wikipedia.org/wiki/Association_for_Computing_Machineryhttps://es.wikipedia.org/wiki/1978https://es.wikipedia.org/wiki/Inform%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmohttps://es.wikipedia.org/wiki/Grafohttps://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_los_caminos_m%C3%A1s_cortoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Programaci%C3%B3n_din%C3%A1mica_(computaci%C3%B3n)https://es.wikipedia.org/wiki/Programaci%C3%B3n_din%C3%A1mica_(computaci%C3%B3n)https://es.wikipedia.org/wiki/Grafohttps://es.wikipedia.org/wiki/Grafo


11/17

11

E9UI:ALENCIA ENTRE RBOLES Y ARBORESCENCIAS0 RBOLES ENRAI;ADOS

Sea 6 un rbol no orientado y r un vrtice cualuiera de 6. :or ser 6 cone%o, e%iste unacadena simple ()nica! desde r *asta todo otro vrtice del rbol. :odemos entonces dotarde una orientaci#n a cada uno de los lados de 6 de forma ue e%ista un camino ()nico!desde r *asta todos los dems vrtices de 6. El grafo orientado as obtenido es )nico y,adems, es una arborescencia cuya raz es el vrtice r.


12/17

12

"n rbol no orientado en el cual distinguimos un vrtice r se llama a veces un rbolenraizado en r y, como vimos anteriormente, e%iste una correspondencia entre los rbolesenraizados y las arborescencias. Esta )ltima afirmaci#n permite a veces utilizarindistintamente los trminos arborescencia y rbol, como suele ocurrir cuando se trabajacon rboles en Computaci#n, siempre y cuando se especifiue cul es el vrticedistinguido o raz r.

En cuanto a la representaci#n grfica de los rboles enraizados, estos se suelendibujar con el vrtice raz r en el tope, y el resto de los vrtices pendiendo de r, con las

*ojas en la parte inferior de la figura. Este sentido de arriba *acia abajo corresponde a laorientaci#n implcita de los lados.

En base a lo dic*o en el punto anterior, a partir de este momento y mientras nose especifiue lo contrario, no *aremos distinci#n entre rboles enraizados yarborescencias, siempre ue se distinga el vrtice raz.

RBOLES ORDENADOS


13/17

1'

Si observamos a*ora los rboles ' y N de la figura 3B., y distinguimos en ellos elvrtice c como raz, podemos diferenciar uno del otro seg)n las posiciones relativas de sussub5rboles en cada una de las representaciones planares y podemos entoncesnumerarlas de izuierda a derec*a, de forma ue el ] sub5rbol de c en ' es distinto del] sub5rbol de c en N.

*ro+osici)n :I0&0


14/17

1)

Definici)n

-lamamos rbol %rdenado un rbol enraizado donde cada vrtice no terminal tieneasociada una permutaci#n de sus *ijos.

Si nos remitimos a la definici#n 3B.N. de rboles enraizados, vemos ue un rbolordenado es uno en el ue es relevante el orden en ue aparecen listados los sub5

rboles en tal definici#n.En este sentido, los rboles ' y N con las permutaciones dadas arriba son dos rbolesordenados diferentes y sin embargo, si los consideramos simplemente como rbolesenraizados, son el mismo.


15/17

1*

3emos entonces ue la representaci#n planar de rboles nos lleva de forma natural a losrboles ordenados. :ero no es s#lo esto, la utilizaci#n de rboles en computaci#n y enconsecuencia, la necesidad de representarlos en el computador impone igualmemte lanecesidad de ordenar los *ijos, debido a la organizaci#n secuencial de la memoria y a laejecuci#n secuencial de las instrucciones.

RBOLES BINARIOS

Como ya *emos mencionado antes, e%iste un tipo de rbol al ue se *a dedicadomuc*o estudio debido a su enorme utilizaci#n en computaci#n, son estos los rbolesbinarios.

Definici)n

"nrbol &inario es un rbol enraizado en el cual cada vrtice tiene a lo sumo dos*ijos, los cuales se denominan hio izquierdo e hio derecho . e igual manera, los sub5rboles de cada vrtice se denominan subrbol izquierdo y sub rbol derechorespectivamente.

Es importante notar ue un rbol binario no es lo mismo ue un rbol ordenado con alo sumo dos *ijos por vrtice, pues en este )ltimo, si un vrtice tiene un solo *ijo, ste essimplemente el primero (y )nico!/ en el caso de un rbol binario se debe especificar si este*ijo es el derec*o o el izuierdo, lo cual diferencia un rbol de otro. -os rboles , 1 y

' de la figura 3B. son iguales si los vemos como simples rboles enraizados, sinembargo, como rboles ordenados es distinto de 1 y ' ue son iguales, y comorboles binarios los tres son distintos.

-os rboles binarios *an sido utilizados como estructuras para almacenamiento,ordenamiento y recuperaci#n de informaci#n, as como para la representaci#n y soluci#nde problemas de toma de decisiones, entre otros.


16/17

1+

:S@S :? E-A@?? "D ?A@- E E^:DSB_D BDB`Seleccionar cualuier nodo de la red o indicado el problema`Colocar este nodo al ms cercano ue minimice la distancia y proseguir considerandotodos los nodos ue estn conectados, escogiendo de igual manera el ue tenga mnimadistancia, *asta poder incluir todos los nodos

:ara poder elaborar un rbol de e%pansi#n mnima *ay varios mtodosComo por ejemplo el algoritmo de :rim y MrusJal

ELE:-@-a potabilizadora de agua de sucre reuiere suministrar agua a varios corregimientos deleste de la ciudad en el siguiente grafico se presenta los diferentes puntos donde debe dar elabastecimientoSe e%plicara con este problema de forma breve y concisa de como determinar la forma msecon#mica de suministrar agua a todos los corregimientos a travs de un rbol de e%pansi#nmnima

-7@?B6@ E :?B Z M?"SM-


17/17

1,

E=ERCICIOEn el grafo de la figura, aplicar los algoritmos ijJstra para encontrar los caminos ms cortoscon origen en el nodo 4. Bndiue paso a paso las operaciones dadas mostrando lasdistancias recogidas en cada iteraci#n.

:? E- D"@ Elegimos el nudo permanente la cual va *acer el nudo 8 QU, 5R (U!. "na vez elegido el nudopermanente despus etiuetamos los nudos ms cercanos ue son la A 8 Q, R(! y el nudoC8 Q', R(!.espus elegimos nuevamente un nudo permanente con la distancia acumulada menor en

este caso va *acer el nudo C una vez elegido el nudo permanente empezamos a etiuetarlos nudos ms cercanos ue en este caso son dos W8 QK, CR(1!Z 8 Q', CR(1!.3olvemos a elegir el nudo permanente ue este caso ser el nudo y volvemos a etiuetarlos nudos ms cercanos f 8 QG, R('!como podemos ver ue en el nudo W *ay dos iteracionespor lo tanto eliminamos el valor mayor de las distancias acumuladas. 6odas las operacionesson repetitivas *asta llegar al nudo 4. por lo tanto los nudos 7 8 QY, AR (N!, E 8 QH, R('!, 4 8 QY,WR (N!, 48 QY, ER (N!como se pueden dar cuenta en el nudo 4 *as dos iteraciones eso uieredecir ue *ay dos posibles rutas cortas ue son$ 5 (4 a ! 8 Y ue son 5C55W54 o 5C55E54

Documents

Arboles y Arbolescencias