Apunts d'Estructures Algebraiques - Pep Burillo.pdf

Estructures algebraiques

Pep Burillo

2012-13

Index

1 Conjunts i estructures 7

1.1 Aplicacions injectives i exhaustives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Relacions d'equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Operacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Homomorsmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Grups 15

2.1 Denicio i primeres propietats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Subgrups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3 Homomorsmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4 El grup simetric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5 Les relacions d'equivalencia i els subgrups normals . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Grups nits i els teoremes de Sylow 29

3.1 Ordre i ndex. El teorema de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2 Accions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3 p-grups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3

4 INDEX

3.4 Els teoremes de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.5 Grups simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4 Grups innits 43

4.1 El grup lliure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.2 Presentacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5 Anells 49

5.1 Anells i ideals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.2 El teorema xines del residu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6 Divisibilitat en dominis d'integritat 59

6.1 Ideals primers, divisors de zero i dominis d'integritat . . . . . . . . . . . . 59

6.2 Elements primers i irreductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6.3 Anells factorials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.4 Anells principals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6.5 Anells euclidians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

7 L'anell de polinomis Z[X] 71

7.1 Polinomis primitius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

7.2 Factoritzacio unica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7.3 El criteri d'Eisenstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

8 Moduls 77

8.1 Denicio i propietats basiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

INDEX 5

8.2 Producte i suma directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

8.3 Moduls lliures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

9 Moduls sobre anells principals 83

9.1 El teorema de Schreier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

9.2 El teorema d'estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

9.3 Torsio i la descomposicio en moduls primaris . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

9.4 Unicitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

9.5 Forma de Jordan d'endomorsmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

10 Cossos 95

10.1 Caracterstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

10.2 Extensions algebraiques i transcendents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

10.3 Construccions amb regle i compas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

A Problemes 105

A.1 Conjunts i estructures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

A.2 Grups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

A.3 Anells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

A.4 Moduls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

A.5 Cossos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

6 INDEX

Captol 1

Conjunts i estructures

1.1 Aplicacions injectives i exhaustives

Denicio 1.1.1 Siguif : A ! B

una aplicacio.

(a) Diem que f es injectiva si per a tot x; x0 2 A es te quef(x) = f(x0)) x = x0:

Equivalentment, elements diferents tenen imatges diferents. Igualment, tambe podemdir que f1(y) te un sol element (o cap).

(b) Diem que f es exhaustiva si per a tot y 2 B existeix un x 2 A per al qual f(x) = y.Observem que aixo es el mateix que dir f(A) = B.

(c) Diem que f es bijectiva si es injectiva i exhaustiva.

Teorema 1.1.2 Tenim que f es bijectiva si i nomes si existeix la seva inversa f1.

Dem. Suposem que f es bijectiva. Aleshores per l'exhaustivitat, existeix x 2 A tal quef(x) = y. Per injectivitat, x es unic. Denim aleshores f1(y) = x.

Per a la direccio contraria, suposem que f te una inversa g. Per tant, g f = idAi f g = idB. Aleshores f es exhaustiva: si y 2 B, agafem x = g(y) i obviamentf(g(y)) = y. I f es injectiva perque si f(x) = f(y) apliquem g als dos costats i tenimx = y. tu

7

8 CAPITOL 1. CONJUNTS I ESTRUCTURES

1.2 Relacions d'equivalencia

Denicio 1.2.1 Sigui E un conjunt. Una relacio en E es un subconjunt de E E.

Tradicionalment triem un smbol com o i escrivim x y en lloc de dir que (x; y)pertany al subconjunt, i diem que es una relacio.

Denicio 1.2.2 La relacio s'anomena relacio d'equivalencia si satisfa les tres propie-tats seguents:

(a) reexiva: x x, 8x 2 E(b) simetrica: si x y, aleshores y x, 8x; y 2 E.(c) transitiva: si x y i y z, aleshores x z, 8x; y; z 2 E.

Una relacio d'equivalencia divideix un conjunt en classes d'equivalencia.

Denicio 1.2.3 Donat un conjunt E amb una relacio d'equivalencia , la classe d'equi-valencia de l'element a 2 E es el conjunt

[a] = fx 2 E jx ag

Proposicio 1.2.4 (a) Si x 2 [a], aleshores [a] = [x].(b) Si [a] \ [b] 6= ?, aleshores [a] = [b].

Dem. Les dues es dedueixen de la propietat transitiva. tu

Aleshores cada classe esta formada per una colla d'elements relacionats entre ells tots ambtots. Qualsevol d'ells fa de representant de la classe. Observem que dues classes diferentsson disjuntes, i per tant el conjunt queda subdividit en una particio. Observem que sitenim una particio, es a dir,

E =[i2I

Ai

amb Ai \ Aj = ? si i 6= j, aixo deneix una relacio d'equivalencia fent

a b, 9i 2 I tal que a; b 2 Ai

1.2. RELACIONS D'EQUIVALENCIA 9

Per tant, les relacions d'equivalencia son basicament el mateix que les particions.

El conjunt de classes d'equivalencia s'anomena conjunt quocient:

E = f[x] j x 2 Eg:

Sempre hi ha una aplicacio canonica (anomenada aplicacio quocient) que es deneix com

: E ! Ex 7! [x]

Exemple 1.2.5

Donat un espai vectorial E i un subespai F , la relacio x y , x y 2 F dona elconegut conjunt quocient E

F .

Donat un enter positiu n 2 Z, la relacio \x y si i nomes si xy es un multiple den" dona un conjunt quocient amb n classes. Cada classe esta formada pels entersque tenen el mateix reste quan dividim per n. Les classes son [0]; [1]; [2]; : : : ; [n 1].El quocient son els enters modul n i s'escriu Z

nZ .

Per denir qualsevol cosa en un conjunt quocient, si es vol denir en una classe, i estria un representant, la denicio que sigui s'ha de demostrar que es independent delrepresentant escollit. Aquest proces, anomenat veure que alguna cosa esta ben denida,es extremadament important. En veurem forca exemples al llarg del curs.

Les relacions d'equivalencia ajuden tambe a entendre les aplicacions, i donen una mesurade quant lluny estan de ser exhaustives i injectives.

Denicio 1.2.6 Sigui

f : E ! Funa aplicacio. La relacio d'equivalencia donada per

x y , f(x) = f(y)

es la relacio d'equivalencia associada a f .

Observem que el que fa aquesta relacio es identicar els elements que tenen la mateixaimatge. Per tant, hi ha una classe per cada element de la imatge de f . Aixo dona elseguent teorema, que es molt important perque despres s'aplica a totes les estructuresalgebraiques posteriors.


Teorema 1.2.7 (Primer teorema d'isomorsme per a conjunts) Sigui

f : E ! Funa aplicacio, i sigui la seva relacio d'equivalencia associada. Aleshores l'aplicaciodenida per

f : E ! f(E)

[x] 7! f(x)esta ben denida, es bijectiva, i satisfa f = i f , on:

i es la inclusio canonica de f(E) en F , que es injectiva, i es la aplicacio canonica quocient de E en E , que es exhaustiva.

E F

E f(E)

w

f

u

u

w

f

u

y

i

Dem. Per veure que esta ben denida, simplement agafem dos representants x i y de lamateixa classe. Aleshores, x y i per denicio de la relacio, f(x) = f(y). Es claramentexhaustiva, perque si agafem y 2 f(E), existeix x tal que f(x) = y, i per tant f([x]) = y.I injectiva tambe, perque hem identicat els elements que tenen la mateixa imatge: sif([x]) = f([y]), vol dir f(x) = f(y), i per tant x y i doncs [x] = [y].

La descomposicio es demostra veient que i( f((x))) = i( f([x])) = i(f(x)) = f(x). tu

1.3 Operacions

Denicio 1.3.1 Una operacio interna en un conjunt E es una aplicacio

?: E E ! EUna operacio externa en E amb coecients a K es una aplicacio

: K E ! EUna estructura (E;?) es el parell format pel conjunt amb la seva operacio. Es possi-ble tambe que una estructura com (E;?; ) tingui moltes operacions, tant internes comexternes com barrejades.

1.3. OPERACIONS 11

S'acostuma a escriure a ? b en lloc de ? (a; b) per a la imatge de (a; b) per ?. Parlaremsobre tot d'operacions internes, pero tot es pot fer igual per a les externes.

Exemple 1.3.2 Un espai vectorial es una estructura amb un conjunt i dues operacions,una interna i una externa.

Una operacio pot satisfer diverses propietats:

associativa: a ? (b ? c) = (a ? b) ? c, per a tot a; b; c 2 E. Si la satisfa, s'acostumaa escriure a ? b ? c.

commutativa: a ? b = b ? a, per a tot a; b 2 E. Si un conjunt te dues operacions internes ? i , la propietat distributiva es

a (b ? c) = (a b) ? (a c)

per a tot a; b; c 2 E.

I per a una operacio, pot haver-hi elements distingits: es diu que un element e 2 E esl'element neutre de la operacio ? si es te que a ? e = e ? a = a, per a tot a 2 E.

Observacio 1.3.3 El neutre, si existeix, es unic. Logicament, si e i e0 son dos neutres,e ? e0 = e = e0.

Si un conjunt te una relacio d'equivalencia i una estructura, es desitjable que siguincompatibles.

Denicio 1.3.4 Sigui E un conjunt amb una operacio interna ? i amb una relacio d'e-quivalencia . Diem que ? i son compatibles si es te que per a tot x; x0; y; y0 2 E, esverica

x x0y y0

) (x ? y) (x0 ? y0):

La idea es que la operacio pugui denir-se sobre el conjunt quocient. Si volem denirla operacio entre dues classes, hem d'agafar un representant de cadascuna per poder-losoperar. Pero clar, aquest resultat no pot dependre del representant escollit. Per tant, sivolem operar dues classes, el resultat ha de ser el mateix sigui quin sigui el representanttriat de cada classe. Aquest es el contingut de la denicio.


Si la operacio es externa en E amb coecients a K, i esta denida a E, la denicioes que si x x0, es te k x k x0.

Per tant, si la operacio es compatible amb una relacio d'equivalencia, la operacio es diuque descendeix o que passa al quocient.

Proposicio 1.3.5 Sigui E un conjunt amb una operacio ?, i sigui una relacio d'equi-valencia compatible amb ?. Aleshores, podem denir la operacio quocient en el conjuntquocient, i que abusant el llenguatge tambe es denota per ?:

?: E E ! E[x] ? [y] = [x ? y]

La compatibilitat es el que assegura que aquesta operacio esta ben denida. Es pot fer ladenicio analoga per a operacions externes.

1.4 Homomorsmes

L'ultim ingredient que necessitem sobre conjunts son els homomorsmes.

Denicio 1.4.1 Siguin (E;?) i (F; ) dos estructures. Una aplicaciof : E ! F

s'anomena un homomorsme si satisfa

f(x ? y) = f(x) f(y)Denim tambe termes especials en els casos seguents:

monomorsme si es injectiu, epimorsme si es exhaustiu, isomorsme si es bijectiu, endomorsme si E = F , es a dir, l'aplicacio es f : E ! E. automorsme si es un endomorsme bijectiu, i per tant es tambe un isomorsme.

Exemple 1.4.2 El grau d'un polinomi a R[X] es un homomorsme entre (R[X]; ) i(N;+). De fet, es un epimorsme.

1.4. HOMOMORFISMES 13

Clarament, les inclusions i projeccions canoniques son homomorsmes (mono- i epi-, res-pectivament). El teorema d'isomorsme continua sent cert.

Teorema 1.4.3 (Primer teorema d'isomorsme) Siguin (E;?) i (F; ) dues estruc-tures, i sigui f : E ! F un homomorsme. Aleshores, la relacio d'equivalencia associadaa f es compatible amb la operacio ?, i a la descomposicio f = i f , es te que

i es un monomorsme, f es un isomorsme, i es un epimorsme.

Dem. Es elemental. Per exemple, per veure que f es un homomorsme, fem

f([x] ? [y]) = f([x ? y]) = f(x ? y) = f(x) f(y) = f([x]) f([y]):

tu

L'enunciat del primer teorema d'isomorsme s'acostuma a escriure de vegades

E = Im f

on Im f vol dir imatge de f , i es una altra notacio per a f(E). El smbol = vol dir queexisteix un isomorsme.

Captol 2

Grups

2.1 Denicio i primeres propietats

Denicio 2.1.1 Un grup es un conjunt G amb una operacio interna (que expressaremgairebe sempre amb la multiplicacio):

GG ! G(a; b) 7! ab

i que satisfa les seguents propietats:

associativa: g(hk) = (gh)k; 8g; h; k 2 G,

element neutre: 91 2 G tal que g1 = 1g = g,

tot element te un invers: 8g 2 G; 9g1 2 G tal que gg1 = g1g = 1.

Si a mes el grup satisfa la propietat commutativa (gh = hg; 8g; h 2 G) es diu que G esun grup abelia.

Exemple 2.1.2

(Z;+) es un grup abelia.

(R;+) es un grup abelia. (R 6=0; ) es un grup abelia.

Tot espai vectorial amb la suma es un grup abelia.

15

16 CAPITOL 2. GRUPS

El conjunt de matrius

GL(n;R) = fA 2Mnn(R) j detA 6= 0g

es un grup no abelia amb el producte de matrius.

El conjunt de totes les bijeccions possibles del conjunt f1; 2; : : : ; ng en ell mateix esun grup (no abelia) amb la composicio. Aquest grup te n! elements i s'anomena Sn.

Habitualment (pero no sempre!) els grups abelians s'escriuen amb notacio additiva, es adir, la operacio es la suma. El neutre es 0 i l'invers de k es k.

L'existencia d'inversos fa que tot element es pugui cancellar:

Observacio 2.1.3 Si gh = gk, aleshores h = k.

Dem. Multiplicant per g1 tenim g1gh = g1gk i per tant h = k. tu

Com ja sabem, l'element neutre es unic. Igualment, per a cada element, l'invers es unic:Si g te dos inversos g0 i g00, aleshores g0 = g01 = g0gg00 = 1g00 = g00.

2.2 Subgrups

El primer que cal estudiar son els subconjunts del grup.

Denicio 2.2.1 Un subconjunt H d'un grup G es un subgrup si ell mateix es un grupamb la operacio induda pel grup.

Observem que aixo implica que H es tancat amb la multiplicacio i que tot element de Hte invers a H. Aixo caracteritza els subgrups:

Proposicio 2.2.2 Un subconjunt H d'un grup G es un subgrup si, i nomes si:

(a) g; h 2 H ) gh 2 H, i(b) g 2 H ) g1 2 H.

2.2. SUBGRUPS 17

Dem. Si es un subgrup, logicament es compleixen les dues propietats, perque H es ungrup. I si es compleixen les dues propietats, es te que la multiplicacio de H es associativaperque la de G ho es; el neutre hi es perque agafant qualsevol g 2 H (si H es buit aixono te sentit), es te que g1 2 H i doncs gg1 = 1 2 H; i tot element te invers per lapropietat (b). tu

Subconjunts que son sempre subgrups de G son f1g i el propi G. S'anomenen subgrupstrivials. De vegades, es diu que un subgrup es propi si no es trivial, es a dir, no es capd'aquests dos subgrups.

Exemple 2.2.3

(Z;+) es un subgrup de (R;+). El grup

SL(n;R) = fA 2Mnn(R) j detA = 1ges un subgrup de GL(n;R).

El grup dels moviments del pla que deixen x un polgon regular determinat de ncostats s'anomena Dn i es un subgrup de Sn.

Hi ha una certa tradicio d'expressar els subgrups amb el signe < en lloc de . Es reservael signe per a subconjunts que no son subgrups. Si s'escriu H < G aixo ja vol dir que esun subgrup, mentre que si s'escriu S G, aleshores S no es (necessariament) un subgrup.Aixo simplica algunes notacions, pero pot portar a confusions i no es universal. Moltesvegades no esta de mes especicar amb claredat si el subconjunt es subgrup o no.

Sigui H < Z un subgrup. Sempre conte el zero, i doncs si nomes conte el zero, el subgrupes f0g. Suposem que conte algun altre enter n, i doncs, per tant tambe conte n. Esa dir, H conte com a mnim un nombre enter positiu. Sigui k el mes petit dels enterspositius continguts a H. Aleshores H es el conjunt dels enters que son multiples de k.Efectivament: tots els multiples de k son a H, perque son sumes de k i de k. I si hi haun enter m que no es multiple de k, fem la divisio entera m = qk + r amb 0 r < k, ialeshores r 2 H (perque m i qk hi son). Aixo es una contradiccio amb la minimalitat dek. Aixo demostra el seguent resultat:

Proposicio 2.2.4 Donat un enter k, el conjunt kZ de multiples de k es un subgrup deZ. Si k = 0, el subgrup es f0g, i si k = 1, el subgrup es tot Z. Per a tot subgrup H de Z,existeix un k tal que H = kZ.

Es forca important estudiar els sistemes de generadors de subgrups i grups.

18 CAPITOL 2. GRUPS

Denicio 2.2.5 Sigui S un subconjunt d'un grup G. Aleshores, el subgrup generat perS es el subgrup mes petit de G que conte S. Aquest subgrup es denota per hSi. Equiva-lentment, hSi es la interseccio de tots els subgrups de G que contenen S.

hSi =\

SH

2.3. HOMOMORFISMES 19

Exemple 2.3.1

L'aplicacioZ ! Zn 7! 2n

es un homomorsme (injectiu).

L'aplicaciodet : GL(n;R) ! R6=0

es un homomorsme (exhaustiu). La operacio a R6=0 es el producte.

Considerem el grup R>0 dels nombres reals estrictament positius, amb l'operacioproducte. Aleshores

log : (R>0; ) ! (R;+)es un homomorsme (de fet, es un isomorsme).

Proposicio 2.3.2 Donat un homomorsme de grups

f : G1 ! G2es verica:

(a) H < G1 ) f(H) < G2.(b) K < G2 ) f1(K) < G1.

La demostracio d'aquest fet es elemental.

Aixo porta a la denicio de dos subgrups crucials per a la teoria: el nucli i la imatge.

Denicio 2.3.3 Siguif : G1 ! G2

un homomorsme.

(a) La imatge de f es deneix com Im f = f(G1).

(b) El nucli de f es deneix com ker f = f1(0).

Exemple 2.3.4 Recordem que teniem l'homomorsme

det : GL(n;R) ! R 6=0:Aleshores, SL(n;R) = ker det.

20 CAPITOL 2. GRUPS

Clarament, tenim que ker f < G1, i que Im f < G2. El seguent resultat es la rao de laseva importancia, pero la demostracio es elemental:

Proposicio 2.3.5 (a) f es un epimorsme si i nomes si Im f = G2.

(b) f es un monomorsme si i nomes si ker f = f1g.

Dem. (a) es obvia. Per veure (b), en una direccio, suposem que f es injectiva. Aleshoresal nucli nomes pot haver-hi 1, perque si hi ha un h 6= 1, aixo entra en contradiccio ambla injectivitat perque f(h) = f(1) pero h 6= 1. Recprocament, Si el nucli es 1, aleshoressi f(g) = f(h), tenim que gh1 2 ker f i per tant gh1 = 1. tu

2.4 El grup simetric

El grup simetric Sn es l'exemple mes important de grup nit, com veurem mes avall, iproporciona bona quantitat d'exemples i casos a estudiar.

Com ja hem mencionat, el grup Sn es el grup de bijeccions del conjunt f1; 2; : : : ; ng, ambl'operacio composicio. Els seus elements s'expressen amb lletres gregues, tpicament i . Una bijeccio es representa amb una matriu del tipus

=

1 2 3 4 5 63 4 6 2 5 1

que es una manera rapida d'escriure (1) = 3, (2) = 4, etc. En vista a aixo, a unelement se l'anomena permutacio, perque la segona la de la matriu es una permutaciodels elements f1; 2; : : : ; ng. Per tant, observem que Sn te n! elements. Per composar duespermutacions, nomes cal posar-les una a damunt de l'altra i re-seguir les imatges delselements. Si tenim

=

1 2 3 4 5 63 4 6 2 5 1

=

1 2 3 4 5 62 5 1 4 6 3

el seu producte es calcula fent

=

1 2 3 4 5 63 4 6 2 5 1

=

3 4 6 2 5 11 4 3 5 6 2

=

1 2 3 4 5 61 4 3 5 6 2

2.4. EL GRUP SIMETRIC 21

Observem que, en contra de les regles habituals de la composicio, aqu les escrivim d'es-querra a dreta, perque no es important quina es la imatge particular d'un numero, sinoque ens interessen les permutacions com a objectes i elements del grup.

Cada permutacio descomposa en producte de cicles disjunts. Un cicle (es mes difcilescriure-ho que entendre-ho) es una permutacio per a la qual existeix un subconjunt

I = fi1; i2; : : : ; ikg f1; 2; : : : ; ng

tal que la envia:

(i1) = i2 (i2) = i3 : : : (ik1) = ik (ik) = i1

i (j) = j si j =2 I. Aquest cicle s'escriu (i1i2 : : : ik). Per exemple, dins S6 tenim

(263) =

1 2 3 4 5 61 6 2 4 5 3

Clarament, tota permutacio descomposa en producte de cicles disjunts. A mes, dos ciclesdisjunts commuten. Per exemple:

1 2 3 4 5 63 4 6 2 5 1

= (136)(24) = (24)(136)

Els cicles de longitud 2 s'anomenen transposicions i son especialment importants. Perexemple, per la rao seguent:

Proposicio 2.4.1 Les transposicions generen Sn.

Dem. Observem(i1i2 : : : ik) = (i1i2)(i1i3) : : : (i1ik)

tu

Logicament, la descomposicio d'una permutacio en producte de trasposicions no es unica,com per exemple queda demostrat pel fet que (13) = (12)(23)(12). Ara be, el que s quees x es la paritat del nombre de transposicions de la descomposicio. Aixo es un fet forcaprofund, i que nomes podrem demostrar despres d'introduir el concepte de signatura.

Denicio 2.4.2 Sigui un element de Sn. Aleshores, la seva signatura es el producte

sign() =Yi

22 CAPITOL 2. GRUPS

El fet crucial es el seguent, que no es gens obvi pero es la clau de tot:

Proposicio 2.4.3 Per a tot , tenim que sign() es 1 o 1.

Dem. Aixo, que sembla sorprenent, es completament logic. Observem que tot parell fi; jgaparell tant en el numerador, com en el denominador, perque per forca hi han tambe dosnombres k i l tals que (k) = i i (l) = j. L'unic que pot passar es que el signe estiguicanviat:

Si k < l, aleshores en el numerador apareix j i. Si en canvi, k > l, en el numerador hi apareix i j.

Pero en qualsevol cas, llevat del signe, apareixen els mateixos nombres al numerador i aldenominador. tu

Exemple 2.4.4 La permutacio

=

1 2 3 44 1 3 2

te signatura

sign() =(1 4)(3 4)(2 4)(3 1)(2 1)(2 3)(2 1)(3 1)(4 1)(3 2)(4 2)(4 3) = 1

i els parells que contribueixen amb signe negatiu son (1; 2); (1; 3); (1; 4); (3; 4).

Observem que l'unic que fa la signatura es detectar aquells parells (i; j) amb i < j talsque (i) > (j). Aquests contribueixen amb 1 al producte de la signatura.

El fet seguent es obvi quan un se'l mira amb tot detall, pero pot ser sorprenent a primeravista:

Proposicio 2.4.5 Si considerem el grup f1;1g com un grup de dos elements amb elproducte, tenim que la signatura

sign : Sn ! f1;1g

es un homomorsme.

2.4. EL GRUP SIMETRIC 23

Dem. Observem que

sign() =Yi

24 CAPITOL 2. GRUPS

2.5 Les relacions d'equivalencia i els subgrups nor-

mals

Donat H < G, es pot denir una relacio d'equivalencia (de la mateixa manera que ambels subespais vectorials). La relacio es deneix com

g h mod H , gh1 2 H:Es elemental comprovar que es una relacio d'equivalencia. Quines son les seves classesd'equivalencia? Observem que si a 2 G, aleshores com que g a exactament si ga1 2 H,tenim que existeix h 2 H tal que g = ha. Aleshores tenim el seguent resultat:

Proposicio 2.5.1 Donat a 2 G, la classe d'equivalencia de a modul H es

Ha = fha jh 2 Hg

Per tant la relacio d'equivalencia modul H divideix G en classes del tipus Ha. Unad'aquestes classes es el propi H, que es la classe del 1. Observem que els subconjunts Hason tots bijectius entre ells, perque

H ! Hah 7! ha

es una bijeccio (encara que en general no es un homomorsme).

Aquesta relacio d'equivalencia, per aixo, te el gran inconvenient de que no es compatibleamb l'operacio de grup. Observem aquest fet. Suposem que tenim

a1 a2 b1 b2 mod H

i per tant existeixen h; k 2 H tals que

a1a12 = h b1b

12 = k;

o, el que es el mateix,a1 = ha2 b1 = kb2

Doncs, per a tenir que a1b1 a2b2, necessitariem que exists un element m 2 H tal que

a1b1 = ma2b2

Pero aixo no es dedueix de la propietat anterior, perque tenim que

a1b1 = ha2kb2

2.5. LES RELACIONS D'EQUIVALENCIA I ELS SUBGRUPS NORMALS 25

i no podem (com desitjariem) intercanviar a2 amb k per obtenir hka2b2, com fariemtranquillament en el cas abelia.

Per tant, aquesta relacio no es compatible amb la operacio de grup. Aqu es on enstrobem per primer lloc que la no abelianitat del grup comporta problemes, i s'ha d'anaramb compte amb aquestes situacions.

De fet, encara que sembli antinatural, la relacio d'equivalencia que en el cas abelia s'es-crivia x y 2 F , hem suposat que s'escrivia aqu gh1 2 H. Pero com que estem en elmon no abelia, no hi ha cap rao per la qual no es pugui agafar h1g 2 H, i aixo no donanecessariament el mateix que en el cas anterior.

Per tant, donat H < G, podem denir una altra relacio d'equivalencia

g h mod H , h1g 2 HEs tambe una relacio, igual que l'altra, i ara les classes son del tipus aH. La relacio tampoces compatible amb la operacio del grup, pero aquestes dues relacions son extremadamentimportants en la teoria de grups.

Denicio 2.5.2 Els subconjunts aH i Ha s'anomenen classes laterals modul H. Lasclasses aH son classes per l'esquerra i les Ha son per la dreta. Els conjunts de classess'expressen com:

G=H = faH j a 2 Gg HnG = fHa j a 2 Gg

Exemple 2.5.3 Considerem a S3 el subgrup H = f1; (12)g. Les classes laterals son:H = f1; (12)g (13)H = f(13); (132)g (23)H = f(23); (123)gH = f1; (12)g H(13) = f(13); (123)g H(23) = f(23); (132)g

A mes, observem que

(13)(23) = (123) (132)(123) = (123)(132) = 1

i per tant cap de les dues relacions es compatible amb la operacio.

Exemple 2.5.4 En canvi, considerem el subgrup A3 = f1; (123); (132)g. Les classes son:

A3 = f1; (123); (132)g (12)A3 = A3(12) = f(12); (13); (23)g

I per tant les dues relacions d'equivalencia son la mateixa, i a mes, es facil comprovar queaquesta relacio es compatible amb la operacio. El subgrup A3 es un exemple de subgrupnormal.

26 CAPITOL 2. GRUPS

Per tant, les dues relacions no son necessariament iguales. Aixo deneix, dintre els sub-grups d'un grup, una classe distingida de subgrups, que son aquells per als quals les duesrelacions d'equivalencia son la mateixa.

Denicio 2.5.5 Un subgrup N < G s'anomena normal, si per a tot g 2 G es te gN =Ng. Equivalentment, per a tot g 2 G, i per a tot n 2 N , es te que gng1 2 N , es a dir,gNg1 = N .

S'acostuma a escriure N C G si N es un subgrup normal de G.

Observacio 2.5.6 Si G es un grup abelia, aleshores tot subgrup es normal.

Proposicio 2.5.7 Si N C G, aleshores la relacio d'equivalencia modul N es compatibleamb la operacio de G.

Dem. Considerem els elements a1; a2; b1; b2; h; k que hem estudiat anteriorment, pero arael subgrup es N i per tant h; k 2 N . Tenim

a1 = ha2 b1 = kb2

i per tanta1b1 = ha2kb2:

En aquest punt, observem a2k, i recordem que k 2 N . Per tant, a2k 2 a2N = Na2, onaquesta ultima igualtat es certa perque N es normal. Per tant, existeix k0 2 N tal quea2k = k

0a2 i per tant, tenim quea1b1 = hk

0a2b2

i com que hk0 2 N , esta clar que a1b1 a2b2 mod N . tu

Si tenim N C G, aleshores doncs, com que la relacio d'equivalencia es compatible, tenimel seguent corollari:

Corollari 2.5.8 Si N C G, el quocient GN es un grup.Exemple 2.5.9 Si considerem el subgrup nZ de Z, que es normal, obtindrem el quocientZnZ , que es un grup amb n elements.Un resultat quasi obvi pero molt util es el seguent:

2.5. LES RELACIONS D'EQUIVALENCIA I ELS SUBGRUPS NORMALS 27

Proposicio 2.5.10 Si f : G! H es un homomorsme, es te ker f C G.

Dem. Suposem que h 2 ker f , i g 2 G qualsevol. Aleshores f(gh) = f(g)f(h) = f(g), iper tant f(ghg1) = 1. Per tant, ghg1 2 ker f . tu

Els subgrups d'un grup es comporten be quan passem al quocient.

Proposicio 2.5.11 Els subgrups de GN estan en bijeccio amb els subgrups de G que

contenen N . A mes, aquesta bijeccio envia subgrups normals a subgrups normals.

Dem. Sigui la projeccio canonica. Si tenim un subgrup K < GN , aleshores, com que

es exhaustiva, es te que K = 1(K). I si H < G, aleshores H 1(H). Tot aixoes cert en general. Suposem ara que N H, i sigui x 2 1(H). Per tant, (x) 2 (H),i doncs existeix y 2 H tal que (y) = (x). Pero aleshores xy1 2 ker = N H, i comque y 2 H, concloem que x 2 H, i per tant, H = 1(H).

Si H es normal en G, aleshores considerem (H) i [x] 2 GN . Agafem tambe [h] 2 (H).Aleshores [x1][h][x] = [x1hx] i com que H era normal, x1hx 2 H i la seva classe es de(H). Viceversa es demostra de la mateixa manera. tu

Finalment, tenim ara el primer teorema d'isomorsme per a grups. Recordem que si f esun homomorsme (en particular, una aplicacio), la relacio d'equivalencia associada a f es

x y , f(x) = f(y);pero observem que dir f(x) = f(y) es el mateix que dir xy1 2 ker f . Per tant, si f es unhomomorsme, la seva relacio d'equivalencia associada es la relacio d'equivalencia modulker f , que a mes es normal. Per tant, tenim el primer teorema d'isomorsme.

Teorema 2.5.12 (Primer teorema d'isomorsme) Sigui

f : G ! Hun homomorsme. Aleshores, l'aplicacio induda

f : G.ker f ! Im f

es un isomorsme. Es a dir,

G.ker f

= Im f

Per a la demostracio nomes cal veure que f es homomorsme, perque bijectiva ja hosabem. I aixo es trivial.

28 CAPITOL 2. GRUPS

Captol 3

Grups nits i els teoremes de Sylow

En aquest captol estudiarem els grups nits i l'estructura dels seus reticles de subgrups.

3.1 Ordre i ndex. El teorema de Lagrange

Sigui G un grup nit. Recordem que el seu ordre es simplement el numero d'elements,que escriurem jGj.

Sigui ara H < G. Les relacions d'equivalencia de H dins G tenen com a classes d'equi-valencia les classes laterals. Aixo divideix el grup en la unio disjunta de classes, de duesmaneres, en general diferents:

G = a1H [ a2H [ : : : [ anH G = Ha1 [Ha2 [ : : : [Han:

Pero observem que tant aH com Ha tenen el mateix nombre d'elements que H. Per tant,de les dues descomposicions anteriors, tenim que jGj = njHj. Aixo es el contingut delteorema de Lagrange:

Teorema 3.1.1 (Teorema de Lagrange) L'ordre d'un subgrup divideix l'ordre del grup.

El nombre de classes laterals (n en el cas anterior) s'anomena l'ndex de H en G, i s'escriu[G : H]. Per tant, tenim una formula fonamental en la teoria de grups nits:

jGj = jHj[G : H]

29

30 CAPITOL 3. GRUPS FINITS I ELS TEOREMES DE SYLOW

L'ndex es pot denir tambe per a grups i subgrups innits, i l'ndex pot ser nit o inniten aquest cas.

L'ordre d'un element g 2 G es deneix com l'ordre del subgrup hgi generat per g.Obviament, l'ordre d'un element tambe divideix l'ordre del grup.

Una consequencia interessant d'aquest fet es que podem descriure perfectament quins sontots els grups d'ordre primer. Sigui p un nombre primer. Un element a dins un grupd'ordre primer p, si no es la identitat, ha de tenir ordre p. Per tant, el subgrup generatper a, format per a; a2; : : : ; ap1; ap = 1, es tot el grup. I per tant, el grup es isomorf aZpZ .Proposicio 3.1.2 Tot grup d'ordre primer p es isomorf a Z

pZ .

El recproc del teorema de Lagrange no es cert en general. Es a dir, donat un grup nitd'ordre n, i m un divisor de n, no hi ha necessariament un subgrup de g d'ordre m. Elcontraexemple seguent ho demostra.

Exemple 3.1.3 Considerem G = A4, amb ordre 12, i imaginem que A4 te un subgrupH d'ordre 6 i ndex 2. Les seves classes laterals son H i aH, per a qualsevol a =2 H, i almateix temps H i Ha, es a dir, H C A4, perque per forca aH = Ha = A4 r H. Peroaleshores A4H es un grup de dos elements, i en aquest grup (aH)2 = a2H = H. Pertant, per a tot element de A4, el seu quadrat es a H.

Pero els cicles d'ordre 3 del tipus (abc) son tots a A4, i son quadrats tots ells, perque(abc)2 = (acb). I aquests son 8:

(123) (124) (134) (234)(132) (142) (143) (243)

on els dos elements a la mateixa columna son quadrats un de l'altre. Per tant, tots son aH, i aixo es una contradiccio agrant, perque H nomes podia tenir 6 elements.

A la vista d'aquest exemple, nomes podem aspirar a decidir quins ordres divisors de l'ordred'un grup admeten subgrups amb aquest ordre. Els teoremes de Sylow proporcionen unaresposta parcial a aquesta pregunta, i estudien el reticle de subgrups d'un grup nit. D'araen endavant, en aquest captol ens encaminarem a la demostracio dels tres teoremes deSylow.

3.2. ACCIONS 31

3.2 Accions

L'eina fonamental per a estudiar els grups nits son les accions del grup en conjunts.

Denicio 3.2.1 Una accio (per l'esquerra) d'un grup G en un conjunt C es una operacioexterna en C amb coecients a G:

G C ! C(g; x) 7! gx

que satisfa les seguents propietats:

(a) g(hx) = (gh)x; 8g; h 2 G; x 2 C.(b) 1x = x; 8x 2 C.

Equivalentment, observem que aixo vol dir que tenim un homomorsme de G en el grupS(C) de bijeccions de C:

G ! S(C)g 7! g

on g(x) = gx. Sabem que g es una bijeccio perque g1 es la seva inversa.

Es pot denir igualment una accio per la dreta, on l'accio de g en x s'escriu xg, i lapropietat (a) es ara (xg)h = x(gh). L'homomorsme en S(C) ve donat per g(x) = xg.Tot funciona exactament igual, pero aqu farem servir sempre accions per l'esquerra.

Exemple 3.2.2

Una de les accions importants es l'accio de conjugacio, de G en ell mateix. Aqu,es te que g(h) = ghg

1.

G actua per conjugacio tambe en el conjunt de subgrups de G, o ns i tot en P(G). G actua per multiplicacio en molts subconjunts de P(G), per exemple, en el conjuntde classes per l'esquerra modul H:

GG=H ! G=H(g; aH) 7! (ga)H

Si tenim una accio de G en C, aixo ens dona subgrups interessants de G.


Denicio 3.2.3 Sigui G un grup que actua en C, i sigui x 2 C. Aleshores, el subgrupd'isotropia de x o estabilitzador de x es el subgrup

Gx = fg 2 G j gx = xg

Exemple 3.2.4

Per a l'accio de conjugacio de G en ell mateix, per a h 2 G, el subgrup Gh esta for-mat per tots aquells g tals que ghg1 = h, es a dir, per tots aquells g que commutenamb h. Aquest subgrup s'anomena el centralitzador de h, i s'acostuma a escriureCG(h).

Per a l'accio de conjugacio de G en el conjunt S de subgrups de G, per a un sub-grup H, l'estabilitzador GH son tots els elements que conjuguen H en ell mateix,gHg1 = H, no necessariament element a element. Aquest subgrup s'anomena elnormalitzador de H, i s'escriu NG(H). Observem que H C NG(H), i a mes, NG(H)es el subgrup mes gran possible tal que H es normal dins seu.

Denicio 3.2.5 Suposem que G actua en un conjunt C, i sigui x 2 C. Aleshores esdeneix l'orbita o trajectoria de x com

Tx = fgx j g 2 Gg;es a dir, tots els traslladats de x pels diferents elements de g.

Observem que les orbites son les classes d'equivalencia de la relacio

x y , 9g 2 G j gx = yi per tant, C es la reunio disjunta de totes les orbites.

Exemple 3.2.6 En el cas particular de l'accio per conjugacio de G en ell mateix, l'orbitade g s'anomena la classe de conjugacio de g, i esta formada per tots els conjugats de g.

Fixem ara x 2 C, i denim l'aplicaciofx : G ! Cfx(g) = gx

observem que C es un conjunt sense estructura, per tant, fx no es un homomorsme nires. Pero s que se li pot aplicar el teorema d'isomorsme per a conjunts. Observem quefx(G) es precisament l'orbita de x, i que la relacio d'equivalencia associada

g h, fx(g) = fx(h), gx = hx, h1g 2 Gx

3.3. P -GRUPS 33

es la relacio d'equivalencia modul l'estabiitzador (per l'esquerra). Per tant, segons elprimer teorema d'isomorsme, tenim una bijeccio

fx : G=Gx ! Txque ens dona el seguent resultat:

Proposicio 3.2.7 El cardinal de l'orbita de x es l'ndex de l'estabilitzador de x.

D'aqu, i del fet de que les orbites formen una particio de C, obtenim la seguent formula:

jGj =Xx

jTxj =Xx

[G : Gx]

on s'enten que la suma s'agafa sobre totes les orbites (un cop cada orbita), i no sobre totsels x 2 G.

Exemple 3.2.8 En el cas particular de l'accio de conjugacio de G en ell mateix, aquestaformula dona una altra formula coneguda. Especial interes agafen, amb aquesta accio, elselements de G que formen orbites amb un sol element. Suposem que per a h 2 G tenimque Th = fhg. Aixo vol dir que per a tot g 2 G, es te que ghg1 = h, es a dir, quegh = hg. El conjunt d'aquests punts forma un subgrup abelia i normal de G anomenat elcentre de G:

Z(G) = fh 2 G j gh = hg; 8g 2 GgAixo dona la formula seguent, anomenada formula de les classes de conjugacio. Siguinxi, amb i = 1; 2; : : : ; k, representants de les classes de conjugacio que no son elements delneutre. Es a dir, un per a cada orbita que no esta formada per un sol element. Aleshores,

jGj = jZ(G)j+kXi=1

[G : CG(xi)]:

3.3 p-grups

Denicio 3.3.1 Sigui p un nombre primer. Un p-grup es un grup amb ordre una potenciade p.

Els p-grups tenen certes caracterstiques que els fan especials. Logicament, tot subgrupd'un p-grup es un p grup, perque divisors de pr nomes poden ser ps. Anem a veure queen els p-grups, el recproc del teorema de Lagrange es cert.


Proposicio 3.3.2 Un p-grup sempre te un subgrup d'ordre p.

Dem. Sigui x 2 G, tal que x 6= 1. Aleshores, l'ordre de x es un divisor de pr, per tant espk amb 0 < k r. Doncs, xpk = 1, i per tant,

(xpk1

)p = 1

i doncs, xpk1

genera un subgrup d'ordre p. tu

El seguent resultat es un exemple de com la formula de les classes de conjugacio ens donainformacio sobre un grup.

Teorema 3.3.3 El centre d'un p-grup sempre conte algun element diferent de 1.

Dem. Suposem que jGj = pr. De la formula de les classes de conjugacio

jGj = jZ(G)j+kXi=1

[G : CG(xi)]

nomes cal vericar que els ndexs [G : CG(xi)] son sempre multiples de p, perque xi no esal centre, i per tant l'ordre de CG(xi) es p

s amb s < r. Per tant, com que jGj tambe esmultiple de p, es dedueix que jZ(G)j es multiple de p, i per tant, es mes gran que 1. tu

Finalment, com deiem, tenim el recproc del teorema de Lagrange.

Teorema 3.3.4 En un p-grup d'ordre pr, hi ha subgrups d'ordres ps per a tot s amb0 s r.

Dem. La demostracio es per induccio sobre r. Si r = 1, el grup te ordre p i te subgrupsd'ordres 1 i p de manera trivial. Suposem que r > 1 i que el teorema es cert ns a r 1.Com que el centre es no trivial i es un p-grup, agafem x 2 Z(G) amb x 6= 1 i d'ordre p,es a dir, xp = 1, cosa que podem fer pels dos resultats anteriors. Considerem ara G

.hxi .

Aquest grup te ordre pr1 i per tant satisfa el teorema. Aleshores, te subgrups de totesles potencies des de 1 ns a pr1, i pujant aquests subgrups a G obtenim subgrups d'ordretotes les potencies p ns pr. tu

Exemple 3.3.5 El grup D4 es el grup de moviments del pla que deixen x un quadrat.Numerem els vertexs d'un quadrat:

1 2

4 3

3.4. ELS TEOREMES DE SYLOW 35

i considerem les seves permutacions (de f1; 2; 3; 4g) que preserven el quadrat. Aixo ensdona un subgrup de S4 isomorf a D4. Els vuit elements son la identitat, les rotacionsde 90, 180 i 270 graus, i les quatre simetries del quadrat. El grup esta generat pels doselements

1 2

4 3

a=(1234)!2 3

1 4

1 2

4 3

b=(24)!1 4

2 3

i els element del grup son

1 a = (1234) a2 = (13)(24) a3 = (1432)b = (24) ab = (14)(23) a2b = (13) a3b = (12)(34)

Doncs, D4 es un 2-grup, amb cardinal 23. Es comprova facilment que el seu centre es

Z(D4) = f1; a2g

i les classes de conjugacio d'elements fora del centre son

fa; a3g fb; a2bg fab; a3bg

Observem tambe que clarament, D4 te subgrups d'ordres 1,2,4 i 8, segons el teorema.

3.4 Els teoremes de Sylow

Aqu tenim el primer teorema de Sylow. Aquest teorema assegura l'existencia d'un p-subgrup d'ordre maxim, avancant aix cap a la resolucio del recproc del teorema deLagrange.

Teorema 3.4.1 (Teorema de Sylow) Sigui p un nombre primer, i sigui G un grupd'ordre n = prm, amb mcd(p;m) = 1. Aleshores G te un subgrup d'ordre pr.

Denicio 3.4.2 Un subgrup d'ordre pr, la maxima potencia de p que divideix l'ordre delgrup, s'anomena un p-subgrup de Sylow.


Dem. Considerem el conjunt C P(G) format per tots els subconjunts X G ambjXj = pr. Hem de demostrar que entre ells hi ha un subgrup. Observem que

jCj =prm

pr

Considerem l'accio de G en C per multiplicacio a l'esquerra:

G C ! C(g;X) 7! gX

Lema 3.4.3 Es te que p no divideixprmpr

. En particular, hi ha una orbita de l'accio el

cardinal de la qual no es multiple de p.

Per veure el lema observem primer el seguent conegut fet:

(a+ b)p ap + bp mod p

perque els coecients binomialspi

amb 0 < i < p son tots multiples de p. Observem que

al denominador dep!

i!(p i)!tots els factors primers son estrictament menors que p, i per tant, cap pot cancellar el pdel numerador.

Per veure el lema observem tambe la formula del binomi aplicada al polinomi (1 + x)prm,

que segons aquest fet que acabem de veure, es pot escriure (modul p) tambe com (1+xpr)m.

Si desenvolupem aquests dos polinomis tenim

(1 + x)prm =

prmXk=0

prm

k

xk (1 + xp

r

)m = 1 +mxpr

+ :::

i doncs, agafant el coecient de xpren aquestes dues expressions, tenim que

m prm

pr

mod p

i per tant aquest numero combinatori no pot ser multiple de p. Aixo acaba la demostraciodel lema.

Doncs, sabem que existeix un X subconjunt de G amb pr elements, tal que

jTX j 6= _p:

3.4. ELS TEOREMES DE SYLOW 37

Sigui S = GX l'estabilitzador. Aquest es el nostre p-subgrup de Sylow. Per veure aixonomes cal veure que jSj = pr.

Per una banda, si el cardinal de l'orbita no es multiple de p, l'ndex de l'estabilitzadortampoc:

[G : GX ] 6= _p;pero com que divideix prm, es dedueix que [G : GX ] divideix m, i per tant, jGX j pr. Perl'altra banda, agafem g 2 GX i agafem x 2 X. Clarament, gx 2 X, i per tant, g 2 Xx1,es a dir, GX Xx1. Pero Xx1 te el mateix nombre d'elements que X, es a dir, pr.Per tant, jGX j pr i per forca es te que GX te pr elements i doncs, es un p-subgrup deSylow. tu

Aquest es un resultat classic que es consequencia del teorema de Sylow.

Corollari 3.4.4 (Teorema de Cauchy) Si un nombre primer p divideix l'ordre de G,aleshores G te un subgrup d'ordre p.

Dem. Es dedueix del teorema de Sylow i del teorema semblant per a p-grups. tu

I el teorema de Cauchy es corollari d'un teorema mes general, que dona la millor solucioal recproc del teorema de Lagrange que podem donar en tota generalitat.

Corollari 3.4.5 Si p es un primer, i una potencia ps divideix l'ordre de G, aleshores Gte un subgrup d'ordre ps.

Dem. Tambe es corollari del teorema de Sylow i del mateix teorema per a p-grups. tu

Per tant, el teorema de Sylow ens garanteix l'existencia de subgrups de Sylow. Anema veure com son aquests subgrups i quants n'hi ha. Volem veure ara que tots ells sonconjugats, i que son maximals entre els p-subgrups de G. Observem tambe, que elsconjugats d'un subgrup de Sylow son tambe subgrups de Sylow, perque tenen el mateixnombre d'elements. El recproc tambe es cert. G continua sent un grup d'ordre prm comabans.

Teorema 3.4.6 (Segon teorema de Sylow) Sigui H un p-subgrup de G, i sigui S unp-subgrup de Sylow de G. Aleshores existeix g 2 G tal que H gSg1. En particular,dos subgrups de Sylow son conjugats.

Dem. Estudiem l'accioH G=S ! G=S(h; gS) 7! hgS


Considerem la descomposicio de G=S en orbites. El cardinal de G=S es m, i com que Hes un p-grup, les orbites que no son d'un unic punt tenen un nombre d'elements multiplede p. Per tant, existeix una orbita amb un sol punt. Sigui gS aquest punt. Per tant,hgS = gS per a tot h 2 H, per tant, g1hgS = S, i doncs, g1hg 2 S per a tot h 2 H.Aixo demostra el teorema. Primer, clarament, H gSg1. I segon, si tinc dos subgrupsde Sylow S i S 0, existeix un g 2 G tal que S gS 0g1, i per tant, son iguals, perque tenenel mateix nombre d'elements. tu

Ja sabem que els subgrups de Sylow son conjugats. Finalment, el tercer teorema de Sylowens diu quants subgrups de Sylow pot haver-hi.

Teorema 3.4.7 (Tercer teorema de Sylow) El nombre de p-subgrups de Sylow d'ungrup G d'ordre prm divideix m i es congruent amb 1 modul p.

Dem. Un altre cop, el teorema es demostra fent servir l'accio adequada. Primer, consi-derem l'accio per conjugacio de G en el conjunt C de tots els subgrups de G. Pel segonteorema, els p-subgrups de Sylow formen exactament una orbita d'aquesta accio. SiguiS un p-subgrup de Sylow. Com que TS es l'orbita de p-subgrups de Sylow, el nombrede p-subgrups de Sylow es igual a jTSj = [G : GS]. Pero observem que GS = NG(S) esel subgrup dels elements que conjuguen S en ell mateix, i com que tots els de S ho fan,tenim que S < NG(S). Per tant, l'ordre de NG(S) es un multiple de p

r, i doncs el seundex divideix m.

Per a l'altra armacio, considerem ara S un subgrup de Sylow determinat i el conjunt desubgrups de Sylow, anomenem-loD. Volem veure que jDj 1 mod p. Doncs, consideremque S actua en D per conjugacio. Logicament, el subgrup S forma una orbita d'un solpunt per aquesta accio. Suposem que S 0 es una altra orbita d'un sol punt. Aixo vol dirque

sS0s1 = S 0

per a tot s 2 S, i per tant, S < NG(S 0). Com que tambe S 0 < NG(S 0), tenim que tantS com S 0 son p-subgrups de Sylow de NG(S 0). Segons el segon teorema, son conjugatsdins NG(S

0), es a dir, existeix x 2 NG(S 0) tal que S = xS 0x1. Pero per denicio delnormalitzador, tenim que xS 0x1 = S 0, i per tant, S = S 0. Es a dir, en aquesta accio deS en D nomes hi ha una orbita amb un sol punt: la de S. Com que el nombre d'elementsd'una orbita multipunt es multiple de p, tenim que el cardinal de D es 1 mes un multiplede p. tu

Aquests son els tres teoremes de Sylow. Son eines molt potents, que ens permeten coneixerbe l'estructura d'un grup nit.

3.5. GRUPS SIMPLES 39

3.5 Grups simples

Agafem un grup G, i sigui N C G un subgrup normal no trivial. Aleshores, es pot conside-rar que N \trenca" G en dues peces, que son N i G

N . Aix podem anar successivament

trencant els grups obtinguts en peces cada cop mes petites. Si el grup es innit, aixo potcontinuar indenidament (a Z per exemple), pero si el grup es nit no, perque tant Ncom G

N tenen menys elements que G. Per tant, un grup nit es pot subdividir en peces

indivisibles, que seran aquells grups que no tinguin subgrups normals per poder trencarmes enlla. Aixo porta a la seguent denicio.

Denicio 3.5.1 Un grup (nit o innit) s'anomena simple si no te subgrups normalsdiferents dels trivials, es a dir, els seus unics subgrups normals son f1g i el propi grup.

Doncs, un grup nit admet una descomposicio (anomenada serie de composicio) del tipus

f1g = G0 C G1 C G2 C : : : C Gn1 C Gn = G

on tots els quocients GiGi1 ; amb i = 1; : : : ; n, son grups simples. A priori, els grups

simples que apareixen podrien ser diferents si agafessim series de composicio diferents,pero aixo no passa. Aixo es el contingut del teorema de Jordan-Holder, la demostraciodel qual es llarga i no la farem. Per tant un grup nit esta format per unes quantes pecesdeterminades, que depenen nomes del grup. Observem que les peces no determinen elgrup, com es veu simplement agafant Z

4Z i Z

2Z Z

2Z , que ambdos tenen dues

peces iguals a Z2Z .

Ja coneixem exemples de grups simples: si l'ordre d'un grup es primer (i per tant esisomorf a Z

pZ), el grup es simple, perque no pot tenir subgrups (ni normals ni de cap

mena). Una classe de grups important la formen els grups resolubles.

Denicio 3.5.2 Un grup s'anomena resoluble si admet una serie de composicio on tots

els grups Gi.Gi1 son abelians.

Els grups simples nits estan tots classicats, cosa que va ser un dels grans avencos dela matematica del segle xx. Aqu estudiarem la famlia mes senzilla de grups simples noabelians, que conte l'unic grup simple no abelia d'ordre menor que 100.

Si l'ordre no es primer, es poden fer servir els teoremes de Sylow per deduir l'existenciade subgrups normals, i per tant hi ha molts ordres (la majoria) que no admeten grupssimples. Per exemple, si el grup te ordre pn i no es abelia, el centre ja dona sempre unsubgrup normal no trivial. O be, aprotar el tercer teorema de Sylow, que diu que el


nombre de p-subgrups de Sylow es congruent amb 1 modul p. Aixo admet la possibilitatde que en un grup hi hagi un unic p-subgrup de Sylow, i si es aix, per conjugacio, es perforca normal, i el grup corresponent no es simple.

Exemple 3.5.3 Sigui un grup d'ordre pq, on p i q son primers, amb p < q. Aleshores,nomes hi ha un q-subgrup de Sylow que es normal. Pel tercer teorema, el nombre de q-subgrups de Sylow es congruent amb 1 modul q, pero al mateix temps ha de dividir p < q.Aixo nomes es possible si nomes n'hi ha un. Per tant, no hi ha grups simples d'ordre pq.

Una altra manera de veure que un determinat ordre no te grups simples es comptantelements.

Exemple 3.5.4 No hi ha grups simples d'ordre 30. Considerem els 5-subgrups de Sylow.Les uniques possibilitats que ens deixa el tercer teorema es que n'hi hagi un o be 6. I sin'hi ha 6, xem-nos que la interseccio de dos subgrups d'ordre 5 ha de ser 1 o el total, iper tant, amb 6 subgrups diferents d'ordre 5, tindriem 24 elements diferents entre ells idiferents de la identitat. Si ara mirem els 3-subgrups de Sylow, veiem que nomes podenser un o 10 (ni 2 ni 5 son congruents amb 1 modul 3), i si son 10, aixo ja dona 20elements mes, diferents dels anteriors. Aixo es impossible.

Tambe es pot fer us de les accions, de manera habitual, per veure que hi ha subgrupsnormals.

Exemple 3.5.5 No hi ha grups simples d'ordre 24. A priori, segons el tercer teorema,podriem tenir 3 2-subgrups de Sylow i 4 3-subgrups de Sylow. L'argument de comptar noserveix, perque els 3 2-subgrups de Sylow (d'ordre 8) podrien tenir una interseccio comunade 4 elements, mes 4 diferents cadascun, en total 15 elements diferents de 1. I els 4 3-subgrups de Sylow donen 8 elements diferents de la identitat, o sigui que no arribem a capcontradiccio.

Per veure doncs que no hi ha grups simples, hem de fer servir altres eines. Consideremels 2-subgrups de Sylow. Si n'hi ha 3, prenem l'accio de G per conjugacio en el conjuntdels 2-subgrups de Sylow, amb 3 elements. Aquesta accio ens dona un homomorsme

G ! S3que no pot ser injectiu perque G te 24 elements i S3 en te 6. Per tant el nucli te mesd'un element i es un subgrup normal. Nomes hem de veure que el nucli no es tot G, peroaixo voldria dir que cada 2-subgrup de Sylow seria invariant per conjugacio per tots elselements del grup, i si n'hi ha tres, aixo contradiu el segon teorema de Sylow.

En qualsevol cas, hi ha un subgrup normal i el grup no es simple.

3.5. GRUPS SIMPLES 41

D'aquesta manera, podriem pensar que els unics grups simples que hi ha son els ZpZ .

Pero no, n'hi ha mes.

Teorema 3.5.6 El grup An es simple per a tot n 5.

Dem. La demostracio es elemental, pero te molts casos. La farem en diversos passos.

(I) Observem que nomes tenim permutacions que descomposen un nombre parell detransposicions, entre elles els 3-cicles. En aquest primer pas demostrem que, aixcom les transposicions generen Sn, els 3-cicles generen An. Per veure aixo, agafemun element qualsevol de An i descomposem-lo en transposicions. Com que son unnombre parell, les podem agrupar en grups de dos en dos. Cada grup es doncs d'undels dos tipus seguents, que es posen com producte de 3-cicles:

(ab)(cd) = (acd)(acb), (ab)(ac) = (abc).

(II) Tots els 3-cicles son conjugats entre ells, es a dir, tots pertanyen a la mateixa classede conjugacio. Agafem (abc) i (xyz) i la permutacio

=

a b c : : :x y z : : :

i posem en els punts suspensius el que calgui per a que la permutacio pertanyi aAn. Completem la permutacio de la manera que sigui, i si es senar, intercanviemdues lletres de l'ultima la (a la dreta de la z). Doncs, amb aquesta , es te que(xyz) = 1(abc).

(III) Per tant, suposem que tenim un subgrup normal N C An i que conte almenysun element diferent de 1. Si aquest subgrup conte un 3-cicle, conte tots els seusconjugats (es a dir tots els 3-cicles) i per tant, com que generen, ha de ser tot An.Els passos seguents consisteixen en veure que si N conte un sol element, el que sigui,aleshores es tot An. Els seguents casos simplement estudien totes les possibilitatsde l'element. Suposem doncs que existeix un 2 N , amb 6= 1.

(IV) Suposem doncs que a la seva descomposicio, conte un cicle de longitud 4 o mes:

= (a1a2 : : : ar)(: : :) : : : (: : :)

Agafem aleshores = (a1a2a3) i observem que

(1)1 = (a1a3ar) 2 N

perque es el producte d'un conjugat de per 1, que son tots dos de N .


(V) Suposem que el cicle mes llarg es de longitud 3, i que n'hi ha com a mnim 2:

= (a1a2a3)(a4a5a6)(: : :) : : : (: : :)

Doncs agafem = (a1a2a4), i fent

(1)1 = (a1a4a2a6a3)

estem en el cas anterior.

(VI) Si conte un sol 3-cicle i moltes transposicions, aleshores 2 es un 3-cicle.

(VII) Suposem que conte quatre transposicions o mes:

= (ab)(cd)(xy)(zu) : : :

Agafant = (ay)(bc) tenim que

() = (xcb)(ady)

i tornem al cas (V).

(VIII) Finalment, suposem que = (ab)(cd), i que existeix al menys una cinquena lletrae. Agafant = (abe), tenim que

(1) = (aeb)

I aixo nalitza la demostracio. tu

El grup simple no abelia mes petit es A5. El seguent no apareix ns a l'ordre 168, i jaforma part de la famlia seguent.

Captol 4

Grups innits

Passem a estudiar els grups innits. La primera obstruccio que se'ns presenta es trobaruna manera ecient de donar el grup. Ara no podem fer una llista d'elements com en elcas nit. Per fer aixo, l'eina principal son les presentacions, que estan totes elles basadesen el grup lliure.

4.1 El grup lliure

Recordem quan estudiavem els subgrups generats per un subconjunt S. Alla veiem quedonat un conjunt S, el subgrup generat per ell es podia construir agafant tots els productesd'elements de S i llurs inversos. Aquest proces es pot fer en general, per a un conjuntarbitrari, agafant els productes de manera formal.

Sigui S un conjunt nit (es pot fer per innits, pero el cas nit es mes senzill i mesimportant)

S = fa1; a2; : : : ; argi considerem el conjunt S format per S i els seus inversos:

S = S [ S1 = fa1; a2; : : : ; ar; a11 ; a12 ; : : : ; a1r g:

Construm el seguent conjunt

Fr = fs1s2 : : : sn j si 2 S; si+1 6= s1i g [ f1g;

es a dir, agafem tots els productes d'elements de S i dels seus inversos, de totes les manerespossibles i de qualsevol longitud. Aquests elements s'anomenen paraules. Els demanem,per aixo, que siguin redudes, es a dir, que no aparegui cap parell aa1 o a1a que s'haguesde cancellar. Li afegim 1, que ens serveixi de neutre, i que s'anomena paraula buida.

43

44 CAPITOL 4. GRUPS INFINITS

Denim una operacio a Fr, que consisteix en concatenar dues paraules. Es a dir,

(s1s2 : : : sn)(t1t2 : : : tm) = s1s2 : : : snt1t2 : : : tm

amb la salvetat que si sn = t11 , aleshores aquestes dues lletres s'esborren, i aix succes-

sivament, ns que s'obte una paraula reduda o be la paraula buida. I 1 fa d'elementneutre, aix que multiplicar per ell es no fer res. Amb aquesta operacio, Fr es un grup. Lacomprovacio es senzilla pero tediosa, especialment l'associativitat. El neutre es 1, i l'inversde s1s2 : : : sn es s

1n : : : s

12 s

11 . Tambe hem de convenir en algun lloc que (a

1)1 = a,pero aixo es natural.

Denicio 4.1.1 El grup Fr s'anomena el grup lliure de rang r.

Exemple 4.1.2 L'exemple mes habitual i en el qual treballarem quasi be sempre es F2amb S = fa; bg. Alguns exemples de productes a F2 son(aba2b)(a2bab3) = aba2ba2bab3 (abab2)(b2a1b2a2) = ab3a2 (aba1)(ab1a1) = 1

El grup Fr s'anomena lliure per la rao seguent. Quan estavem dins un grup i construemel subgrup generat per S, ja agafavem un conjunt similar al FS, pero alla podia passar (ilogicament passava forca, sobre tot en grups nits) que diverses paraules representessinel mateix element. Per exemple, si agafem a i b els generadors habituals de D4 (gir de 90graus i simetria) tenim que ba = a3b. O simplement que b2 = 1. Aixo no es possible en elgrup lliure, les paraules diferentes son sempre elements diferents, es \lliure"d'igualtats.

Aixo porta al seguent resultat:

Proposicio 4.1.3 Si tenim una aplicacio f de S en un grup qualsevol G, aleshores exis-teix un homomorsme de Fr en G que esten f .

Logicament, estem considerant S 2 Fr agafant ai com una paraula amb una sola lletra.

S Fr

G

w

[

[

[

[]fu

~f

Per tant, per denit un homomorsme en Fr nomes cal denir-lo en els generadors.

La importancia del grup lliure es la seguent:

4.2. PRESENTACIONS 45

Teorema 4.1.4 Si un grup G es pot generar amb r elements, aleshores es un quocientde Fr.

Dem. Es quasi trivial. Si en un grup existeixen g1; g2; : : : ; gr que el generen, aleshoresl'homomorsme que s'obte enviant ai a gi es un epimorsme: tot element de G s'expressacom a producte dels gi (i els seus inversos), i es la imatge del corresponent producte deles ai. tu

la idea es el que deiem abans. En el grup lliure, paraules diferents representen elementsdiferents, i aixo es el que li proporciona la llibertat. En un altre grup, pot ser que duesparaules en els generadors representin el mateix element. De fet, aixo caracteritza el grup,i aquest es el contingut de la seccio seguent.

4.2 Presentacions

Sigui G un grup generat per r elements. Com hem vist abans, G es quocient de Fr. SiguiR el nucli:

FrR = G

Denicio 4.2.1 Els elements de R s'anomenen les relacions de G, i el subgrup R C Frs'anomena doncs el subgrup de relacions de G (encara que sigui un subgrup de Fr!!).

Exemple 4.2.2 Considerem G = Z2 = Z Z. Els elements son (m;n), on m;n sonenters, i doncs clarament el grup es pot generar per (1; 0) i (0; 1). Agafem el corresponentgrup lliure F2 generat per a; b, i tenim:

: F2 ! Z2a 7! (1; 0)b 7! (0; 1)

i doncs, donada una paraula en a i b, la seva imatge esta formada per (m;n) on m es lasuma dels exponents que apareixen a les a i n la suma dels exponents que apareixen a lab:

(a2b3a3ba4b3) = (3; 1)

I per tant el subgrup de relacions esta format per aquelles paraules de F2 que tenen expo-nents totals zero tant en a com en b.

Observem que R es sempre un subgrup normal. La manera mes ecient i interessant dedescriure el subgrup R es amb unes poques paraules, tals que la seva clausura normalsigui R. Aixo vol dir que R es el subgrup normal mes petit que les conte.


Denicio 4.2.3 Si tenim un subconjunt T d'un grup G, la seva clausura normal es elsubgrup normal mes petit que el conte. La clausura normal de T s'expressa hhT ii.

Proposicio 4.2.4 La clausura normal de T esta formada per tots els productes nits deconjugats (amb conjugador a G) d'elements de T .

hhT ii =(

nYi=1

xitix1i

xi 2 G; ti 2 T)

Dem. La demostracio es elemental. Aquests elements deneixen un subgrup normal, iqualsevol subgrup normal que contingui T els ha de contenir. tu

Com abans, aquest concepte agafa la seva maxima importancia si T es nit.

Denicio 4.2.5 Diem que

ha1; a2; : : : ; an j r1; r2; : : : ; rmi

es una presentacio nita del grup G si tenim

G = Fn.hhr1; r2; : : : ; rmii

Aixo es el que s'anomena una presentacio de G amb generadors i relacions. Les relacionsson paraules que son trivials quan es consideren dins G, i que son les que caracteritzen elgrup. La idea es trobar unes poques paraules que capturin l'essencia del grup.

Teorema 4.2.6 Una presentacio per Z2 es

a; b j aba1b1

Aquest resultat, que seria normalment un exemple, el presentem com a teorema per laseva importancia. Fixem-nos que la paraula aba1b1 es logica, perque el grup es abelia,pero la questio es que amb ella n'hi ha prou per generar normalment tot el nucli.

Dem. Considerem una paraula w en a i b, tal que els exponents totals son tots dos zero.Si poguessim permutar les as i bs, veuriem que al nal acabariem amb la paraula buida.Pero el cas es que permutar a i b es multiplicar la paraula per un conjugat de aba1b1.Suposem que

w = ubav

4.2. PRESENTACIONS 47

on u i v son, tambe, dues paraules en a i b. Doncs, xem-nos que si multipliquem peruaba1b1u1 tenim

(uaba1b1u1)(ubav) = uab(a1b1u1uba)v = uabv

i hem conseguit intercanviar les lletres. Per tant, si w tenia exponents totals zero, repetintaquest proces, demostrem que existeixen una colla de conjugats tals que

nYi=1

ui(aba1b1)u1i

!w = 1

i doncs, w es pot expressar com a producte de conjugats de aba1b1, i per tant, w pertanya hhaba1b1ii. tu

Les presentacions amb generadors i relacions son l'eina mes util que tenim per entendregrups innits (i tambe nits!). Es molt facil treballar amb elles, perque aixo que hemdemostrat dels conjugats de les relacions, etc, a la practica no cal. Simplement, si tenimaba1b1 com a relacio, sabem que podem canviar ba per ab. De fet, moltes vegades larelacio s'escriu aix: ab = ba.

Vejam un altre exemple.

Exemple 4.2.7 El grup D4 admet la presentacio

a; b j a4; b2; (ab)2 :

Per veure aixo, fem el seguent. Primer, la relacio b2 implica que b = b1 i doncs, aqualsevol paraula, la b nomes pot apareixer amb exponent 1: si apareix mes gran, eliminemb2 ns que quedi b, i si queda b1 doncs aixo tambe es b. Igualment, la relacio a4 fa quenomes calgui considerar a; a2; a3. I nalment, si apareix ba, de la relacio abab, es dedueixque ba = a1b1 = a3b. Per tant, les uniques paraules que queden son les vuit paraulesque formen el grup D4.

Formalment, aixo s'ha de fer de la manera seguent. Sabem que a; b generen D4. Per tant,tenim un homomorsme

: F2 ! D4que envia a i b a la rotacio i la simetria. Nomes cal veure que el nucli es la clausuranormal de T = fa4; b2; (ab)2g. Per veure aixo, observem que es facil veure que T ker,comprovant paraules una a una. Recprocament, agafem una paraula de F2. En el procesque hem descrit abans, veiem que multiplicant-la per conjugats de relacions, la podemconvertir en una de les vuit paraules 1; a; a2; a3; b; ab; a2b; a3b, que es precisament la sevaimatge per . Doncs, les del nucli poden ser multiplicades per conjugats de relacions iarriben a ser 1, per tant, elles mateixes son productes de conjugats de relacions.

Algunes presentacions interessants:


Zha ji

ZnZha j ani

Sn *a1; a2; : : : ; an1

a2i 8i = 1; : : : ; n

(aiai+1)3 8i = 1; : : : ; n 1

(aiaj)2 8i; j tals que ji jj > 1

+

A5

a; b j a2; b3; (ab)5

El grup de matrius:

H3 =8

Captol 5

Anells

5.1 Anells i ideals

Denicio 5.1.1 Un conjunt A amb dues operacions internes + i , anomenades suma iproducte, es un anell si satisfa:

(A;+) es un grup abelia; el producte es associatiu, es a dir, a(bc) = (ab)c, 8a; b; c 2 A, i el producte te unneutre anomenat 1.

les dues operacions satisfan la propietat distributiva a(b+ c) = ab+ ac, 8a; b; c 2 A.

Si a mes el producte tambe satisfa la propietat commutativa, aleshores s'anomena unanell commutatiu. Tanmateix, com que tots els anells que estudiarem aqu son commu-tatius, quan diem \anell" suposarem implcitament que es commutatiu, excepte si es diuexplcitament.

Un anell s'anomena cos si satisfa que tot element a 2 A, amb a 6= 0, te un invers a1 pera la multiplicacio. Tambe es pot parlar de cos commutatiu o no, pero sempre consideraremcossos commutatius.

Exemple 5.1.2

Z es un anell commutatiu, en canvi Q, R i C son cossos. L'anell de polinomis (com el nom ja indica) Z[X] es un anell commutatiu. Tambeho son Q[X], R[X] i C[X]; i en general, A[X] per a qualsevol anell commutatiu A.

49

50 CAPITOL 5. ANELLS

El conjunt de matrius Mnn(R) es un anell no commutatiu quan es considera lasuma i el producte de matrius.

Estudiant els anells, com a qualsevol estructura, logicament existeixen els subanells. Unsubanell de l'anell A es un subconjunt B A que es un anell ell mateix amb respecteles operacions indudes per A. Igual que amb el grups, un subconjunt es un subanell sies un subgrup abelia i es estable pel producte. Ara be, els subanells no son interessantsperque tal i com passava en els grups, la relacio d'equivalencia modul un subanell no esnecessariament compatible amb les operacions, en particular amb el producte. Anem aestudiar aixo.

Sigui B un subanell de A. Considerem la relacio d'equivalencia natural en A denida per

x y , x y 2 B:Com que amb la suma A es un grup abelia, com a subgrup, B es normal, i per tant, larelacio d'equivalencia es compatible amb la suma. Pero amb el producte no. Considerem

x1 y1 x2 y2es a dir, existeixen b1; b2 2 B tals que

x1 = y1 + b1 x2 = y2 + b2

i intentem que es comporti be amb el producte, es a dir, intentar que x1x2 y1y2. De lesrelacions anteriors tenim

x1x2 = (y1 + b1)(y2 + b2) = y1y2 + y1b2 + y2b1 + b1b2

i com que els elements y1b2; y2b1 no son necessariament a B, perque y1 i y2 no hi son,tenim que la relacio no es necessariament compatible amb el producte.

Aquest problema es el que planteja la denicio de subanell ideal, o ideal per curt. La ideaes la mateixa que amb els subgrups normals, el que passa es que aqu els subanells no sontan importants com els subgrups no normals eren en el cas dels grups.

Denicio 5.1.3 Un subconjunt I A d'un anell s'anomena ideal si satisfa:

(I;+) es un grup abelia. Per a tot a 2 A, i per a tot x 2 I, es te ax 2 I.

Es a dir, que no nomes es estable per multiplicacio, sino que tambe ho es quan multipli-quem un element de I amb un element de A.

5.1. ANELLS I IDEALS 51

Aqu estem considerant tots els anells com commutatius, per tant a la denicio d'idealax = xa. Si un anell no es commutatiu, es possible denir un ideal per l'esquerra exigintque ax 2 I (pero no necessariament xa 2 I!!) i viceversa un ideal per la dreta. Si un idealen un anell no commutatiu satisfa que ax 2 I i tambe xa 2 I, l'ideal s'anomena bilater.Si un anell es commutatiu, tots els ideals son bilaters, i aqu sempre considerarem anellscommutatius i ideals bilaters.

Mirant els elements y1b2; y2b1 estudiats anteriorment, observem doncs que ja hem demos-trat el resultat seguent.

Proposicio 5.1.4 Donat un anell A i un ideal I, la relacio d'equivalencia modul I escompatible amb la suma i el producte, i per tant, el conjunt quocient A

I es un anell.

Exemple 5.1.5 Observem que segons la denicio, dins Z, els subgrups nZ son ideals, ide fet, com que son els unics subgrups que hi ha, tambe son els unics ideals que hi ha.Observem que si un enter k es multiple de n, aleshores km tambe ho es per a qualsevolm, sigui ell multiple de n o no. Per tant, els grups cclics Z

nZ son anells, i Z

pZ es

un cos, si p es primer.

Aixo es general per a qualsevol anell. Donat a 2 A, el conjunt aA de multiples de a esun ideal, i el quocient A

aA es un anell.

Denicio 5.1.6 Un ideal I s'anomena principal si existeix un element a 2 A tal queI = aA.

Aquest es un cas particular d'ideal generat per un subconjunt, cosa que es pot denir demanera natural igual que amb els grups. Si tenim un subconjunt S A, l'ideal generatper ell (que tambe s'escriu hSi), es l'ideal mes petit que el conte, i que esta format per

fa1s1 + : : :+ ansn j ai 2 A; si 2 S; i = 1; : : : ; ng

es a dir, combinacions lineals nites d'elements de S.

Exemple 5.1.7

Dins l'anell Z[X], el subconjunt dels polinomis que tenen tots els coecients multiplesde 2 es un ideal, de fet es l'ideal 2Z[X]. El quocient es l'anell

Z[X].2Z[X]

= Z.2Z [X]:


Per altra banda, tenim l'ideal h2; Xi, que fent combinacions lineals de 2 i de X, ensdona els polinomis que tenen terme independent parell, i els altres coecients sonenters qualsevol. El quocient es el propi

Z[X].h2; Xi = Z

2Z :

Amb els ideals es poden fer sumes i interseccions.

Proposicio 5.1.8 Donats dos ideals I i J d'un anell A tenim:

la interseccio I \ J es un ideal;

la suma I + J , denida com

I + J = hI [ Ji = fi+ j j i 2 I; j 2 Jg

tambe es un ideal.

La demostracio es elemental.

Exemple 5.1.9 Dins Z, si tenim

m = mcm(a; b) d = mcd(a; b):

Aleshores,

aZ \ bZ = mZ aZ+ bZ = dZ:

Observem aquesta ultima igualtat, que diu que si d = mcd(a; b), aleshores dZ = aZ+ bZ.La demostracio es senzilla. Fixem-nos que dir que n divideix m es exactament el mateixque dir que mZ nZ, perque un multiple de m ho es automaticament de n. Aleshores,el fet que d = mcd(a; b) vol dir que dja i djb, per tant, aZ dZ i bZ dZ. I si un altrenumero k divideix a i b, tambe divideix d. Per tant, si aZ kZ i bZ kZ, tambe este dZ kZ. Aix, dZ es el mnim ideal que conte ambdos, i per tant, es la suma. Aixovol dir que els elements de dZ s'expressen com a suma d'un multiple de a i un de b. Enparticular, tenim el seguent teorema, molt celebrat, conegut, i extremadament util:

Teorema 5.1.10 (Identitat de Bezout) . Si d = mcd(a; b), aleshores existeixen numerosenters x i y tals que d = ax+ by.

5.1. ANELLS I IDEALS 53

Logicament, els anells tambe tenen homomorsmes, aplicacions que preserven les duesoperacions. S'ha d'anar amb compte per aixo perque ja no preserven els ideals tant becom ho feien amb els subgrups.

Proposicio 5.1.11 Siguif : A ! B

un homomorsme. Aleshores:

Si J B es un ideal, tenim que f1(J) es un ideal. Si I A es un ideal, aleshores f(I) no es necessariament un ideal, nomes unsubanell. Si f es exhaustiva, aleshores f(I) es un ideal.

Dem. La demostracio es elemental, pero cal estudiar atentament el cas de la imatge d'unideal. Fixem-nos que f(I) te problemes per ser ideal perque els elements que no son af(A) no tenen per que multiplicar be. Per aixo si f es exhaustiva, la imatge d'un idealho es. Si B = f(A), aleshores multiplicant un element b 2 B, amb b = f(a), a 2 A, pery 2 f(I), y = f(x), amb x 2 I, tenim que by = f(a)f(x) = f(ax), i ax 2 I perque I esun ideal. tu

Un exemple que demostra que la imatge d'un ideal no ho es es simplement la inclusio deZ en Q, perque Q no te ideals.

I aleshores, tenim tambe la caracteritzacio dels ideals del quocient.

Proposicio 5.1.12 Els ideals de AI es corresponen amb els ideals de A que contenen

I.

La demostracio es exactament igual que per a grups, tenint en compte que la projecciocanonica es exhaustiva.

El nucli i la imatge es deneixen de manera analoga al cas de grups:

Denicio 5.1.13 Si tenim un homomorsme

f : A ! Bes deneixen:

la imatge de f , que es naturalment Im f = f(A)


el nucli de f , tambe logicament ker f = f1(0).

Observem que, com deiem, la imatge no es necessariament un ideal, sino que nomes esun subanell. En canvi, segons el resultat anterior, el nucli s que es un ideal. Per tant, espot fer quocient modul el nucli, i el teorema d'isomorsme segueix sent valid.

Teorema 5.1.14 Donat un homomorsme

f : A ! Bl'aplicacio induda

f : Aker f ! Im f

es un isomorsme d'anells.

5.2 Ideals maximals i comaximals. El teorema xines

del residu

Un resultat senzill es que un anell sense ideals es un cos.

Proposicio 5.2.1 Sigui A un anell els unics ideals del qual son f0g i A. Aleshores A esun cos.

Dem. Suposem primer que A es un cos, i I un ideal que no es f0g. Aleshores existeixa 6= 0, amb a 2 I. Pero si A es un cos, com que a 6= 0, existeix a1. I doncs, com que1 = aa1, 1 2 I i per forca I = A. Recprocament, suposem que no hi ha mes ideals queels trivials. Agafem a 6= 0. Per tant, aA = A, i doncs, 1 2 aA, i aixo vol dir que existeixa0 2 A amb 1 = aa0. Aix a0 es l'invers de a. tu

Aquest resultat es rellevant quan s'estudien els ideals maximals.

Denicio 5.2.2 Un ideal m es diu que es maximal si no esta contingut en cap ideal dinsA, es a dir, si m I, o be m = I o be I = A.

Segons el resultat anterior, els ideals maximals es caracteritzen pel seguent resultat:

Proposicio 5.2.3 Un ideal I A es maximal si i nomes si AI es un cos.

5.2. EL TEOREMA XINES DEL RESIDU 55

La demostracio es precisament la del resultat anterior. A mes, com que els ideals escorresponen, queda clar que si m es maximal, tenim que a A

m no hi ha ideals.

A priori no es clar que existeixin ideals maximals. Per demostrar-ho, s'ha de fer servir ellema de Zorn.

Denicio 5.2.4 Un conjunt amb un ordre s'anomena inductiu si tota cadena (subconjunttotalment ordenat) te una cota superior.

Es a dir. Sigui A un conjunt amb un ordre . Una cadena doncs es un subconjunt B Atal que si tenim a; b 2 B, aleshores o be a b o be b a. Doncs, A es inductiu si per atota cadena B existeix un element m 2 A tal que a m per a tot a 2 B.

I doncs, l'enunciat del lema de Zorn es:

Proposicio 5.2.5 (Lema de Zorn) Tot conjunt inductiu te un element maximal.

El lema de Zorn no es pot demostrar, es independent dels axiomes habituals de la teoria deconjunts, i es equivalent a l'axioma de l'eleccio. Es pot desenvolupar una teoria consistentmatematica tant si s'assumeix com si no.

En el nostre cas, el conjunt inductiu es el conjunt d'ideals de A diferents de A.

Proposicio 5.2.6 Tot anell te un ideal maximal.

Dem. Per aplicar el lema de Zorn nomes cal veure que el conjunt d'ideals de A diferentsde A, ordenat per inclusio, es inductiu. Per tant considerem una cadena d'ideals fIigi2,amb Ii 6= A. Aleshores el conjunt

I =[i2

Ii

es una cota superior. Cal veure que I es un ideal. Pero si tenim x; y 2 I, per denicioexisteixen i0; i1 2 tals que x 2 Ii0 i y 2 Ii1 . Pero com esta totalment ordenat, aleshoreso be Ii0 Ii1 o be Ii1 Ii0 . Pero aleshores x i y estan en el gros, per exemple, en elprimer cas, x; y 2 Ii1 i doncs, la suma tambe i pertany a I. Analogament amb el producteper un element de A.

Finalment, observem que I 6= A. Com que tots els Ii 6= A, tenim que 1 =2 Ii, per a toti 2 . Per tant, 1 =2 I.

Per tant, el conjunt d'ideals es inductiu, i pel lema de Zorn te un element maximal. tu


Exemple 5.2.7 Dins Z, si p es un nombre primer, l'ideal pZ es maximal. Recordemque mZ nZ si i nomes si njm, i per tant, pZ no pot estar dins de cap ideal, perqueaixo donaria un divisor. I clarament, sabem que Z

pZ es un cos. Si n no es primer,

agafant un divisor diferent de 1 i de n tenim un ideal mes gran que nZ, i per tant nZ noes maximal.

L'objectiu d'aquest captol es demostrar el teorema xines del residu. Aquest teoremaestudia la resolubilitat d'un sistema de congruencies del tipus

x a1 mod m1x a2 mod m2: : :

x an mod mn

9>>=>>;El resultat classic diu que una condicio sucient per a que aquest sistema tingui solucio esque els mi siguin coprimers dos a dos, es a dir, que mcd(mi;mj) = 1 si i 6= j. Observemtambe que si considerem l'aplicacio producte de les projeccions canoniques

: Z !nYi=1

ZmiZel sistema te solucio sempre que

([a1]1; [a2]2; : : : ; [an]n) 2 Im;i per tant el sistema sempre te solucio (per a qualssevol a1; a2; : : : ; an) si es exhaustiva.Aqu escrivim [:]i per a la relacio d'equivalencia modul mi.

Aquesta situacio es pot generalitzar a un anell qualsevol, considerant ideals I1; I2; : : : ; Ind'un anell A i les projeccions canoniques. El fet de que mi i mj siguin coprimers vol dir(recordem l'identitat de Bezout) que 1 es combinacio lineal de mi i mj, i per tant, queZ = miZ+mjZ. Aixo porta a la seguent denicio:

Denicio 5.2.8 Dos ideals I; J de l'anell A s'anomenen comaximals si A = I + J .

Observem que els ideals I; J no son necessariament maximals. Ara be, si I es maximal iJ 6 I, aleshores clarament son comaximals, perque I ( I + J .

Teorema 5.2.9 (Teorema xines del residu) Donat un anell A i ideals I1; I2; : : : ; In.Aleshores son equivalents:

(i) L'aplicacio

: A !nYi=1

AIi

es exhaustiva.

5.2. EL TEOREMA XINES DEL RESIDU 57

(ii) Per a tot i = 1; : : : ; n, tenim

Ii +\j 6=i

Ij = A:

(iii) Els ideals Ii son comaximals dos a dos, es a dir, per a tot parell i; j amb i 6= j,tenim que Ii + Ij = A.

Dem. (i))(ii) Com que es exhaustiva, l'element

([1]1; [0]2; [0]3; : : : ; [0]n) 2nYi=1

AIi :

te una antiimatge x 2 A. Aquest element pertany a tots els ideals I2; I3; : : : ; In, i al mateixtemps, x 1 = y 2 I1, i doncs 1 = x+ y, cosa que demostra que per a tot i = 2; 3; : : : ; n

Ii +\j 6=i

Ij = A:

Agafant els elements adequats veiem les altres comaximalitats.

(ii))(iii) Es obvia perque la interseccio dels Ij esta continguda a cada Ij.

(iii))(i) Nomes cal demostrar que existeixen les antiimatges component a component(despres les sumem totes). Agafem doncs

([a]1; [0]2; [0]3; : : : ; [0]n) 2nYi=1

AIi :

Com que els ideals son comaximals dos a dos, podem escriure 1 com suma d'elements dela manera seguent:

1 = x(2)1 + x2

1 = x(3)1 + x3

1 = x(n)1 + xn

on xi 2 Ii i tots els x(j)1 2 I1. Agafem aleshores l'element ax2x3 : : : xn 2 A. Logicament,aquest element pertany a tots els ideals I2; I3; : : : ; In, i al mateix temps

ax2x3 : : : xn = a(1 x(2)1 )(1 x(3)1 ) : : : (1 x(n)1 )i per tant, la seva imatge dins A

I1 es a. tu

Observem que el nucli de esta format pels elements que s'apliquen a zero en tots elsAIi , i per tant son a tots els ideals. Aixo demostra l'isomorsme

A

,n\i=1

Ii=

nYi=1

AIi


Exemple 5.2.10 Resolemx 2 mod 3x 1 mod 5x 3 mod 7

9=;En el teorema anterior, agafem A = Z, I1 = 3Z, I2 = 5Z i I3 = 7Z. Resseguint lademostracio fem:

1 = 6 5 = 2 3 51 = 6 + 7 = 2 3 + 71 = 20 + 21 = 4 5 + 3 7

i aleshores2(5)7 = 70 7! ([2]3; [0]5; [0]7)1 6 21 = 126 7! ([0]3; [1]5; [0]7)3(6)(20) = 360 7! ([0]3; [0]5; [3]7)

Aleshores, el nombre 70+126+360 = 416 satisfa el sistema. Com que segons l'isomor-sme, aixo es pot agafar modul 3Z \ 5Z \ 7Z = 105Z, i tenim que 416 101 mod 105,la solucio nal del sistema es

x 101 mod 105:

Captol 6

Divisibilitat en dominis d'integritat

L'objectiu d'aquest captol es generalitzar les propietats de divisibilitat propies de Z aaltres anells. Les propietats interessants son, per exemple, la factoritzacio unica en pro-ducte de primers, l'existencia d'una divisio entera i l'algoritme d'Euclides, entre d'altres.La questio es que hi ha diversos anells que satisfan unes propietats i no unes altres, iper tant volem estudiar quines relacions hi ha entre les propietats i si n'hi ha alguna queobliga a que es compleixin les altres o no.

Els anells objecte d'estudi i que seran sovint font d'exemples son els subanells del cos C denumeros complexos que s'obtenen adjuntant a Z un numero complex, com per exemple,l'anell Z[i] format pels nombres complexos a+ bi amb a; b 2 Z, o mes generalment l'anellZ[] on es una arrel de la unitat. Igualment es consideren anells de polinomis com Z[X]o K[X]; on K es un cos. Aquests anells proporcionen una gran varietat d'exemples, sontots ells generalitzacions de Z, i gaudeixen d'algunes de les propietats dels enters mentreque els manquen algunes altres. Aixo ens ajudara a entendre les diverses generalitzacionsi les relacions entre elles.

6.1 Ideals primers, divisors de zero i dominis d'inte-

gritat

Segons hem vist anteriorment, a Z teniem que els ideals maximals es corresponen ambels nombres primers. Volem estudiar propietats semblants en anells en general, i donarpropietats que generalitzin les propietats de que gaudeixen els nombres primers.

La primera d'aquestes propietats es que, si p es primer, i pjab, aleshores o be pja o be pjb.Aquesta propietat dona lloc a la seguent denicio:

59

60 CAPITOL 6. DIVISIBILITAT EN DOMINIS D'INTEGRITAT

Denicio 6.1.1 Un ideal p A s'anomena ideal primer si sempre que tenim ab 2 p, este que o be a 2 p o be b 2 p.

Els ideals primers es corresponen amb els dominis d'integritat.

Denicio 6.1.2 Un anell s'anomena domini d'integritat si sempre que ab = 0, o bea = 0 o be b = 0. Es a dir, quan f0g es un ideal primer.

Exemple 6.1.3 Els anells Z i K[X]; on K es un cos, son dominis d'integritat.

Denicio 6.1.4 Dos elements a i b, tots dos diferents de zero, tals que ab = 0, s'anome-nen divisors de zero.

Per tant, un domini d'integritat es un anell sense divisors de zero. Els divisors de zeroson normalment un problema en un anell, i donen lloc a situacions molt poc intutives.La majoria dels anells interessants son dominis d'integritat. Com a exemple, observemque [2][3] = [0] dins l'anell Z

6Z .

Observem tambe que l'absencia de divisors de zero fa que sigui possible la cancellacio: siA es un domini d'integritat i tenim ab = ac, aleshores a(b c) = 0 i si a 6= 0, per forcab = c.

Proposicio 6.1.5 Un cos es un domini d'integritat.

Dem. Suposem que ab = 0 amb a 6= 0. Aleshores existeix a1, i per tant, a1ab = b = 0.tu

Com que els ideals es corresponen, aixo ens dona la seguent caracteritzacio:

Proposicio 6.1.6 Un ideal p A es primer si i nomes si Ap es un domini d'integritat.Dem. En una direccio, suposem que p es primer. Agafem [a][b] = [0] dis el quocient. Peroaixo vol dir que ab 2 p, i per tant, o be a 2 p o be b 2 p, i aleshores o be [a] = [0] o be[b] = [0]. Per a la implicacio contraria, seguir aquesta demostracio cap al darrera. tu

Com que un cos es un domini d'integritat, aleshores tenim:

6.2. ELEMENTS PRIMERS I IRREDUCTIBLES 61

Proposicio 6.1.7 Un ideal maximal sempre es primer.

A l'inreves aixo no es cert en general. Ho es a Z, i veurem mes endavant que ho es per auna certa classe d'anells.

6.2 Elements primers i irreductibles

Hem vist que el concepte natural per generalitzar els nombres primers a un anell engeneral es el d'ideal maximal i ideal primer. Logicament, tambe es poden donar denicionsd'elements primers copiant les propietats de que els primers gaudeixen a Z. El problemaes que totes aquestes denicions, en un anell en general, no donen els mateixos conceptes.Desentrallar aquesta situacio es l'objectiu d'aquesta seccio i les seguents.

Denicio 6.2.1 En un anell A, un element s'anomena primer si l'ideal pA es primer.Es a dir, aquells elements p tals que si pjab, aleshores pja o be pjb.

Fins aqu, tot es correcte, un element primer es correspon a un ideal primer, i a unapropietat (pjab ) pja o pjb) que es compleix pels primers de Z. El problema es que ladenicio habitual de nombre primer a Z, que diu que un nombre primer no te mes divisorsque ell mateix i la unitat, no es correspon exactament amb aquesta. Anem a veure totaixo. Abans, pero necessitem una denicio.

Denicio 6.2.2 Sigui A un anell. Un element a 2 A es diu que es una unitat de A sies inversible, es a dir, si existeix a1 tal que aa1 = 1. El conjunt d'unitats s'escriu A ies un grup amb la multiplicacio (abelia si l'anell es commutatiu).

Les unitats son elements especials de l'anell. No poden pertanyer a cap ideal, perquealeshores l'ideal conte 1 i es A. Per exemple, Z = f1;1g, i tambe K[X] = K 6=0. Peraquesta rao, molt cops el conjunt K 6=0 s'escriu K.

Les unitats no afecten la divisibilitat. Si a es un element d'un anell, i u es una unitat,aleshores els elements a i au tenen exactament les mateixes propietats de divisibilitat:divideixen els mateixos elements, i tenen els mateixos divisors. Aixo dona lloc a la seguentdenicio:

Denicio 6.2.3 Dos elements a; b d'un anell s'anomenen associats si existeix u 2 A talque b = au.

62 CAPITOL 6. DIVISIBILITAT EN DOMINIS D'INTEGRITAT

Dos elements associats tenen les mateixes propietats de divisibilitat.

Fixem-nos que les unitats divideixen qualsevol altre element de l'anell, en particular tambedivideixen els nombres primers. Fixem-nos que a Z, si p es primer, el 1 tambe el divideix.Tots estem acostumats a la denicio \p es un nombre primer si els seus unics divisors sonp i 1". Pero mes correctament, s'hauria de dir que els unics que el divideixen son ellmateix i les unitats. Igualment, a l'anell de polinomis, les constants divideixen qualsevolpolinomi. Aixo porta a la seguent denicio:

Denicio 6.2.4 Un element p 2 A s'anomena element irreductible si satisfa:

p 62 A

si p = ab, aleshores o be a 2 A o be b 2 A.

Es a dir, satisfa la idea que tots tenim d'element primer: els unics que el divideixen son lesunitats i ell mateix. Aquests elements s'anomenen irreductibles, perque el nom \primer"ja esta fet servir. I els dos conceptes, si be son molt semblants, no son exactament elmateix. No es cert que els elements primers siguin irreductibles ni viceversa. Per a queaixo sigui cert, s'ha de restringir la classe dels anells.

Proposicio 6.2.5 Si A es un domini d'integritat, i p es un element primer, aleshores pes un element irreductible.

Dem. Es clar que p =2 A perque aleshores tindriem pA = A. I si p = ab, aleshores ab 2 p,i per tant un dels dos a o b hi pertany. Suposem doncs que a 2 p. Pero aleshores a = pci doncs p = pbc. D'aqu, bc = 1 (cosa que es pot deduir nomes si A es domini) i aleshoresb 2 A.

Si l'anell no es un domini, aquest resultat no es cert. Nomes cal agafar dins A = Z6Z

l'ideal I = h4i. Aquest ideal esta format pels elements f0; 2; 4g, i tenim que AI = Z2Z .Per tant, l'ideal es primer (es maximal!), i per tant 4 es un element primer, pero 4 no es unelement irreductible, perque logicament 4 = 2 2. Observeu que 2 tampoc es irreductible,perque 2 = 4 2 i cap d'aquests numeros es una unitat de l'anell.

Potser es que el que es cert es a l'inreves. Potser es que si p es un element irreductible,aleshores p es primer. Pero aixo encara es dona en una classe mes restringida que l'anterior,i no passa per a tots els dominis, com es pot veure en el seguent exemple.

Exemple 6.2.6 Considerem l'anell Z[p5], que es un subanell de C,

Z[p5] = fa+ bi

p5 j a; b 2 Zg:

6.3. ANELLS FACTORIALS 63

En aquest anell comprove

Documents

Apunts d'Estructures Algebraiques - Pep Burillo.pdf