Aprendizaje de Las as

8/4/2019 Aprendizaje de Las as

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ENSEAR Y APRENDER MATEMTICASENRIQUE ZUAZUA IRIONDO ()ROBERTO RODRGUEZ DEL RIO (^)

R B S U t K $ t v . Las Matemticas rnnstituyen uno de los ms importantes bienes cultu-rales de nuestra civilizacin. Su presencia es palpable en prcticamente todos losmbitos de la actividad humana: desde la cient[fica hasta la vida cotidiana. Proba-blemente en esto estemos todos de acuerdo. Aceptada la importancia de las Ma[e-mticas, es inevitable que los profesores y los estudiantes se esfuercen, unos porensearlas y los otros por aprenderlas. Ahora bien, nuestro sistema educativo y to-dos los que estamos involucrados en l, damos una respuesta eficiente a esta ine-ludible necesidad? De entrada, no parece que haya unanimidad en cuestiones talescomo: ^qu ensear?, ^cmo ensear?, ^qu fotmacin debe tener quien ensea?,etc. En este artculo se abordan estas impottantes cuestiones recorriendo diversosmbitos de la Matemtica y su enseanza, en un momento en el que se estn pro-duciendo algvnos importantes cambios legislativos en nuestro sistema educativo.Asstnwc.T. Mathemacs is one of d^e most impoRant cultural goods of our civilization.Its pr+esenee is tangible in all the ftelds of human activity: from scientific activiry to dailylife. We are probably agreed on that. Once the importance of Mathematics is acceptedit is unavoidable tluzt teachets and students make an effort, the Fotmer to teach it, thelatter to leam it. However, do our educational systern and all the people involved in itgive an effective response to this need To begn with, there is no unanimity in questionssuch as What to teach How to teach? What traaining should those who teach have?, etc.In this atticle, different aspects of Mathematics and its teaching are dealt with, at the timein which impottant legislatlve changes are taking plaee in our educational system.

ta Nattiraleza rtada hace en eano,y rns es er: tarto cuanto a menas stn+e;pt^es la Naturaleza se contplace en la stmpltcidad,y no adopta la pompa de las cat^sas super,/luas.Isaac Newton, Frincipia.

INTRODUCCIN: ALGUNAS CLAVES otro, las Matemticas no se encuentran en-PARA UN IMPORTANTE DEBATE tre las preocupaciones ms importantesA pesar de que el deseo de muchos mate- del ciudadano. Sin embargo, son pocos losmticos y profesores de Matemticas sea que a lo largo de su vida no han tenido, en

(') Universidad Autbnoma de Madrld.() UNversidad Complutense de Madrid.

Revtsta de Fducact6n, nm. 329 (2002), PP. 239-256 23^Fecha de entrada : O1-12-2002 Ftcha de aceptacin: 28-12-2002


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algn que otro momento, contacto conellas. Y prcticamente todo el mundo estde acuerdo en que es necesario un conoci-miento bsico de las Matemticas para de-senvolverse con una cierta soltura en lavida cotidiana. Por otra parte, si hay algunamateria que en las escuelas levanta pasio-nes, y tambin grandes desafecciones, estaes precisamente la de Matemticas.

Las Matemticas son ya una Ciencia an-tigua. Existen desde mucho antes de que sele dieran nombre y sus orgenes se remontanal menos al momento en que el ser humanoempieza a contar. Cabra tambin decir,como en su momento afirm Galileo, que elUniverso est escrito en lenguaje matemti-co' y de ese modo estableceramos que lasMatemticas surgen con nuestro Universo,de manera simultanea. Sin remontarnos tanlejos en el tiempo, Albert Einstein se pmgun-taba a principios del siglo que acabamos dedejar: i Cbmo es posible que la matemca,un producto del pensamiento humano inde-pendiente de la experiencia, se adapte tanadmirablemente a los objetos de la realidad^.

El debate sobre el papel que las Mate-mticas han de desempear en nuestro sis-tema educativo y, de manera ms general,su papel en la sociedad, viene ya de muyatrs. Como era de esperar, el ao 2000,declarado por la CFNESCO Ao Internacio-nal de las Matemticas, desempolv esacuestin pendiente que ha sido objeto des-de entonces de diversas iniciativas en dife-rentes mbitos. Sin ir ms lejos, cabe citar:

- Los Reales Decretos del MECD^donde se aborda la reforma de lasenseanzas mnimas tanto de laESO como del Bachillerato.

- En la Comisin de Educacin, Cultu-ra y Deporte del Senado se constituyuna ponencia' sobre la situacin delas enseanzas cientficas en la Edu-cacin Secundaria.

- Las sociedades matemticas abor-daron este tema en procesos de de-bate de los que surgieron algunasdeclaraciones sobre la situacin delas matemticas en la enseanza nouniversitaria. Vase por ejemplo lade la Real Sociedad de MatemticaEspaola (RSME)4.

A la hora de abordar la cuestin de lasMatemticas y su enseanza conviene talvez tener en cuenta los siguientes aspertosque la sealan como disciplina singular:

^ Omnipreser:cia de !as Mnteniticas.Antes hacamos referencia a la afir-macin de Galileo de que las Mate-mticas constituyen el lengttaje delUniverso. La historia de la humani-dad y en panicular el desarrollo dela Ciencia y de la Tecnologn nohan hecho ms que subrayar loacertado de su visibn. Por otra par-te, en nuestra sociedac! es crecienteel papel cada vez ms ubicuo y po-lifactico que las Matemticas cfe-sempean: telecomunicaciones,finanzas, informtica, medicina,

(1) (.a fUosofa est esrrita en ese grandsirno Ilbro abierto ante los ojos; qulero decir, el Universo, perono se puede entender sl antes no se aprcnde a entender la lengua, a mnocer los caractercs en los que est5escrito. Est^ escrlto en lengua matemtica y sus caraicteres son tringulos, ctrculos y otcrs figuras geomEtricas,s!n las cuales es Impostble entender ni una palabra; sin ellos es como girar vanamente en un oscuro latxrinto^Gallleo Gal Uei, E! Ensayador.

(2) R.D. 3473/2000, de 29 de dlciembre, sobre enseanzzs mntmas de la Educacln Srcunchria Obliga-toria y R.D. 3474%2 000, de 29 de didembre, sobre ense^lanras mnimas del Bachlllento. L e y Orgdntcn 1 U/2UOl,de 23 de dlclembre, de Calidad de la Educacin.

(3) l.os tr^trrjos en la ponenc ^ a, as como las cancluslones provislonales de la misma se pueden consult:uen ta p3gin^ web de la Real 5octedad Atatem3Uca Espaola ( RSME), http://www.rsme.cs.

(4 ) Tambin en la web de ta RS i1F. se puede consultar un Informe sobre la educadn ma temt ica eLibo-rado por su Comtsin de Educacin.

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biotecnologa, sin mencionar lasclsicas reas de la Ingeniera. Porotra parte las Matemticas formanparte de nuestro entramado educa-tivo desde que el nio entra en laescuela hasta que concluye el ciclode la ESO. Por tanto, todos desarro-Ilamos una relacin con las Mate-mticas que dura al menos diezaos, y que frecuentemente volve-mos a vivir a travs de nuestros hi-jos cuando ya las creamos dejadasatrs definitivamente.. ^Es necesarto :^n contacto tan pro-longado con las Matetticas^ Cabrapensar que todas esas Matemticasque el sistema educativo nos presen-ta desde los primeros cursos, pudie-ran ser fruto de la perversin de losmatem ticos y de su capacidad his-trica para influir en quienes pue-den determinar las pautas de lossistemas educativos. Pero no es as,las Matemticas, junto con la Len-gua, forman las dos pilares centra-les sobre los que se asienta todo elproceso educativo del nio. Enten-der el mundo, la naturaleza de losprocesos que en l se desarrollan ysus interacciones pasa, en todas lascivilizaciones, por las Matemticas.En efecto, como dijo en su da R.Bacon, Sin Matem3ticas, las Cien-cias no pueden ser entendidas, nose pueden enserlar, no se puedenaprender. No nos queda ms re-medio entonces que aprender denmeros, operacianes, sistemasmtricos, regla de tres, resoluclnde sistemas simples de ecuaciones,geometra, y un largo etctera. Ytodo esto lleva mucho tiempo y es-fuerzo, y sobre todo, las etapas nopueden quemarse, es necesarioavanzar aumentando de manerapaulaUna el grado de complejidadde los conceptos y volver una y otravez sobre los mismos, adquiriendo

as una comprensin cada vez msprofunda y consolidada. ^Hay adgrrna razn por la qrre ten-

gamos hoy qrre hablar de todo esto.Las Matemticas son muy antiguas yse llevan enseando y aprendiendosiglos No podamos tener el proble-ma de su enseanza resuelto? Lamen-tablemente no es as. Y no solamenteeso, sino que se puede afirmar, sinlugar a dudas, que su enseanzaatraviesa una coyuntura de crisis atodos los niveles. Las crisis (mo-mento en que se produce un cam-bio muy marcado en algo... segnla acepcin del diccionario de Ma-ra Moliner) tienen tambin aspec-tos positivos puesto que sonocasiones excepcionales para pasara estadios mejores y tienen la granventaja de hacernos redoblar es-fuerzos. No cabe duda que estamosen un momento de intensos y mar-Cados cambios en el mbito de laenseanza de las Matemticas.

^En qr; nos afecta la crtsis a tvdas?La enseanza secundaria ha cam-biado mucho. Su universalizacin yextensin hasta los diecisis aosde manera obligatoria, que consti-tuyen logros sociales histricos, hamodificado necesariamente su pa-norama. Sin duda las Matemticashan sido una de las materias dondelos cambios se han dejado sentirms. Resulta cifcil, y esto ocurretambin en las universidades, man-tener los mismos programas quehace no mucho y es ayu posible-mente donde estos cambios a losque estamos haciendo referencianos afectan a todas y, de maneranotable, a todos los adolescentesque cursan estudios en la Ensean-za Secundaria Obligatoria (ESO).

fs malo qr[e se enserien tenos Ma-tetticas? M5s de uno responcera

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as a la cuestin planteada antes, ycon razn. Podra no parecer graveque los estudiantes aprendiesen me-nos Matemticas, en la medida enque ahora saben ms informtica,manejan un telfono mvil con unasoltura envidiable para muchos adul-tos, etc. Habida cuenta de que el sa-ber, a pesar de no ocupar lugar, sque exige tiempo, es lgico que lasMatemticas salgan perdiendo. Pero,en este punto los profesionales debe-rfamos reivindicar que lo esencialquedase intacto. Los conceptos y re-glas fundamentales deberan ser asi-miladas. No parece lgico resignarsea una sociedad donde los ciudadanosmanejan sofisticados attilugios tecno-lgicos, pero ênen serias dificulta-des para decidir cunto queda de unpastel despus de cortar un tercio yun cuarto del mismo.

^Los alr^mnos ms mativados y ca-paces para las Matemticas encuen-tran en n:êstro sistema educativo laformacin que merecen? En estacuestin el panorama es un tantosombro, lo cual explica, en particu-lar, los sntomas que se perciben enla universidad. Pero no es difcil en-tender lo que puede estar ocurrien-do: si las Matemticas han de llegara todos, stas necesariamente ha-brn de ser ms simples. Pero nonos confundamos, no por ello hande ser ms fciles, y es un errorpensar que se van a transmitir deuna forma mgica, sin esfuerzo.

Estas cuestiones perfilan en grandes l-neas algunos de los problemas que apare-cen cuando hablamos de Matemticas y desu enseanza.

Como decamos anteriormente, en losltimos aos ha sido frecuente hablar deEnseanza Secundaria, de las necesidadesde reforma, y las Matemticas siempre sonprotagonistas esteiares de estos debates. Aestas alturas pues, muchos, si no todos, te-

nemos opiniones a este respecto, a vecesdivergentes, y otras muy prximas unas deotras Qo cual no quita que despus sea muydifcil poner estas ideas en prctica y hacerrealidad cualquier reforma tangible o inicia-tiva de cambio o mejora). No podemos olvi-dar que nuestro sisteina educativo poseeuna gran inercia, imprescindible por otraparte para ofrecer la tan necesaria robustez yestabilidad en su funcionamiento, que absor-be gran parte de las energas invertidas enlos debates y procesos de cambio sin queeso mdunde de manera palpable en cambiossigniflcativos en las aulas.

Este debate de ideas ha puesto de ma-nifiesto la e^cistencia de al menos dos co-rrientes de pensamiento que, an a riesgode caer en una excesiva simplificacin, po-dran describirse del modo siguiente:

Una corriente ms purista constitui-da por los que piensan que, a pesarde lo complejo de la situacin, elpunto clave sigue siendo el mante-nimiento y adecuacin de los con-tenidos necesarios para garantizaruna educacin matemtica satisfac-toria a la vez que se facilita, a travsde medidas legislativas, que los esni-diantes vayan diseando unos i ^nera-rios en los que, estando garan^ raciosunos mnimos, puedan optar al gra-do de profundizacin que cieseenen Matemdcas. I ecisin en ia que,obviamente, han de incidir, en par-tlcular, su gusto por y capaciciad enel mbito de esta disciplina, y la ca-rrera profesional que en el Futurodesee desarrollar.

- Una segunda corriente que, hacien-do ms nfasis en los aspectos di-dcticos, considera que la ntayorfuente de problemas en la ensean-za de las Matemticas radca en elexceso y complejidad de los conte-nidos y que las soluciones Iân devenir de reducir estos a la ver. quese profundiza en la fortnacn di-dctica del profesorado. Ea decir,

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quienes consideran que si los estu-diantes tienen problemas con lasMatemticas porque, por una par-te, los matemticos han hecho loscontenidos innecesariamente com-plicados y, por otra, los maestros yprofesores no han adquirido la des-treza pedaggica suficiente paratransmitir con claridad el dominiode las tcnicas matemticas.

Antes de continuar y con el objeto declarificar cuanto antes nuestra posicn,que constitur el hilo conductor de esteartculo, hemos de decir que nos sentimosmucho ms cerca del primer estado opi-nin que del segundo. En efecto, si bienreconocemos que cualquier mejora en losaspectos metodolgicos ha de ser bienve-nida (comentaremos ms adelante, porejemplo, todo lo relacionado con los orde-nadores) y que es preciso evitar el barro-quismo de los contenidos (punto en el quetambin insistiremos ms adelante), eree-mos que es importante mantener unos ob-jetivos matemdcos claros en lo fundamentalno muy distintos a los tradiclonales. Opina-mos asirnismo que la manera ms eficaz dealcanzarlos es la habitual, consistente en ex-pliraciones claras por parte del profesoradoy en el trabajo personal del alumno y quepara esto las dos mejores recetas son: ga-rantizar una buena formacin matemticade los maestros y profesores, y el que elalumno ejercite los diversos temas a travs derelaciones de problemas, como ha sido liist-ricamente el caso. Por el contrario, nos cuestaaceptar que a base del empleo de nuevasmetodologtas didcticas por parte de los di-versos cuerpos docentes, la operativa delos quebrados vaya a poder ser transmitidaal alumno del mismo modo en que, porejemplo, se describen las diferentes partesde un ro, desde su nacimiento hasta su de-sembocadura, o el ciclo del agua desde que,saliendo del mar, vuelve al mismo.

En este punto cabe recordar la clebrefrase de Santiago Ramn y Cajal en la quesealaba que A1 carro de la cultura espa-

ola le falta la rueda de la Ciencia. La si-tuacin ha mejorado en este terreno peroqueda an mucho por hacer, y no slo enel plano puramente metodolgico.

El MECD en esta ltima legislatura y pa-ralelamente al desarrollo de este debate en elseno de la comunidad matemtica, ha toma-do la iniciativa de manera decidida y ha sa-cado adelante una serie de proyectos quetienen como objeto una mejora sustancial dela calidad de nuestro sistema educativo. Laltima de ellas es Ia Zey de la Calidad de taEducacin antes mencionada, aprobada ypubllcada recientemente en el BOE.

Sin embargo, es obvio que los proble-mas de la educacin en una sociedadcomo la nuestra, que cambia tan rpido yde manera tan diversa y vigorosa, no se re-suelven con meros cambios de leyes y nor-mas, y se hace inclispensable una reflexinde mucho ms calado y envergadura quevaya creando una verdadera canciencia ennuestra sociedad sobre la relevancia de laeducacln en general y de la de las Mate-mticas en particular.

Del mismo modo que las redes de carre-teras, ferrocarriles o los aeropuertos se pla-nean a 15 (o ms) aos vista, pareceevidente que la educacin necesita de unaplanificacin sosegada que exige que todosy los poltticos en particular aborden estetema con amplitud de miras, dejando delado los ntereses partidistas y anteponiendolos intereses de todos, padres e hijos, por quela educadn mejore. Debernas tambin esca-par deCinitivamente de la tentacin de proce-der de manera recurrente, de forma puntual,con prisas y sin la necesaria visin con pers-pectiva. Es evidente que, de manera excesi-vamente frecuente, estos errores y vicios nohan sido debidamente evitados.

Lo que sigue en primer lugar es unbreve esbozo de la stuacin de la Matem-tica en la actualidad, se comentan despusalgunas ideas sobre la situacin de nuestroalumnado, de nuestros profesores y nues-tro punto de vista sobre las Matemticasque deberan ensearse.

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LA REALIDAD MATEMATICA ACTUALLos avances que se han producido en el si-glo aoc en Matemticas son notables. Estehecho es ms que evidente cuando se ana-liza el estado actual del conocimiento enlas disciplinas ms importantes de las Ma-temticas o se contempla el nmero de dis-ciplinas emergentes con gran impacto. Enrealidad el avance ha sido tan sign^cadvo,que un siglo parece a todas luces una escalade medida demasado grosera para realirarun prlmer anliss comparatlvo. Tal vez ana-lizando la segunda mitad del siglo xx consl-gamos una perspectiva algo ms clara delritmo al que las Matemtit s han progresado.

Centrndonos ya en esta segunda mi-tad del siglo, detectamos que tambin enella el progreso de las Matemticas ha sidoespectacular. Uno de los referentes mspopulares es sin duda la definitiva pruebadel Teorema de Fermats debida al matem-tico britnico Andrew Wiles. Pero tal vezsea en otras reas donde el progreso hasido ms importante, aunque no dlspon-gan de una Insignia tan sobresaliente.Como genuino representante de la segun-da mitad del siglo ôc cabe mencionar elmundo del Anlisis Numrico, de la Simu-lacin Numrica y de ia Computacinb.Apenas hace 40 aos se trataba de un reaincipiente. Hoy se trata de una discipllnaclentfica tremendamente compleja y desa-rrollada y con una perspectiva de progresoan mayor para el siglo que estamos estre-

nando. A ello han contribuido no slo losprogresos realizados en el terreno del An-lisis Matemtico orientado a la aproxima-cin numrica' sino tambin, de maneradecisiva, la espectacular expansin de losordenadores, que han pasado en dos d-cadas de ser objetos raros y diflciltnentemanejables a compartir espacio con loselectrodomsticos.En la ltima dcada las Matemticashan jugado tambin un papel muy signifi-catlvo en diversos mbitos del desarrollotecnolgico y social. Cabe mencionar prejemplo la aplicacin del Anlisis de Fou-rier a la Teora de la Seal, de las Ecuacio-nes en Derivadas Parciales al Tratamientode Imgenes, o disciplinas emergentescomo la Matemtica Financiera.

Todo esto sugiere un panorama suma-mente optimista en el que los avances quese han experimentado no son ms que unaugurio de lo que est por acontecer. A pe-sar de todo ello, sera un grave error igno-rar que algunos de los problemas msclsicos e irnportantes estn an por resol-ver. Entre ellos cabe citar por ejemplo launicidad y regularidad de las soluciones delas ecuaciones bsicas de la Mecnica deFluidos, las ecuaciones de Navier-Stokes"construldas en los arôs treinta por el re-cientemente desaparecido J. Leray.Hay tambin aspectos sociolgicosque han de ser tenidos en cuenta al I ablarde las Matemticas a dIa de hoy. Por ejenr(S ) Wpes, A .: Modular elltptic cun.ês and Fermat ^ lsut 'lbeorem. Mn. of Math, 141(1995), pp. 44i-551.Este es el tnbajo en ei que aparcce la demostracln definitiva del Teorcma de Fetmat. En su introduccibn seputde encontrar un intercsante rcsumen sobre la historia dcl citado teorcma.(6) rcas de Investlgacln que en nuestro pa(s se aglutinan en tomo a la Sociedad Esparlola de hlatenw-

tlca Aplicada (SEMA) y cuyos aspectos m.4s rclevantes se discuten y presentan en su Boletn peridica. I.a p-gina web de SEMA: hap://www.uca.es/serna.(7) rea comnmente denominada de Mlisls NumErico. EI lector intercsado en una clasif7cacin sis[e-

mtlca y exltaustlva de las dlversas dlscipUnas matemtiras puedt consultar la Clasiflcacln de la American Alat-hematlcal Society (AMS) que podr encontrar en la pgina web la hap://www.ams.org/msc/.

(8) Este es uno de los siete problemas que constituyen los Mt/lenlum Prlxe Problerns, un concurso in-ternaclonal organlzado por el Mathematics Clay Institute en el que se ofrece un milln de dlares para quienresuelva alguno dt estos problemas. Aara ms Informacin se puede consultar la pgina http:l/+v++^++ .claymath.org.2 4 4


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plo, no podemos olvidar el masivo accesode una gran parte de nuestra juventud a launiversidad, un fenmeno que podemoscalificar sin duda alguna de nuevo y ca-racterstico del ltimo cuarto del siglo aoc.Estos dos factores, espectacular desarro-llo de las Matemticas y acceso masivo delos jvenes a 1a Universidad, podran parecerestar en contradiccin o al menos ser genera-dores de fuertes tensiones: ^Cmo una disci-plina compleja como las Matemticas y enpem^anente crecimiento y proceso de inno-vacin puede ser accesible a un cada veztns ampllo sector de nuestra sociedad>Hay un hecho que hace posible que losdos fenmenos arriba mencionados, especta-cular desarrollo de las Matemticas y masivoacceso de jvenes a la universidad, coexistande manera no traumdra: lo ^rcm cial, lo b^st-co, lo fundamental per^ nanece tntacto en elm undo de lasMatem cticas, tanto para aquellaminora que har de ella su profesin comodocente y/o investigador, como pard aquellosque tengan a las Matemticas como instru-mento cotidiano en el estudio o ejercicio deotras ciencias o disciplinas tcnicas.

Desde esta perspectiva y a la hora de re-alizar, por ejemplo, un listado de los conoci-mientos que el alumno habr debidoadquirir a la hora de comenzar una carreracientfica o tcnica en nuestras universida-des, conviene, en nuestra opinin, adoptarun punto de vista conservadon puesto queestas competencias o conocimientos bsicosson esencialmente los mismos de hace vein-te aos, poca en la que comenxaron a cua-jar los esfuerzos por hacer resurgir lasMatemtcas en nuestro pas. Obviamentehemos de indicar que esta persistencia en loscontenidos ha de ir acompaada de unaadaptacin en los modos de ensear las Ma-temticas que hagan que stas se mantenganatractivas para los alumnos m3s capacitadose interesados, a la vez que se hacen ms ac-cesibles a la mayora, tarea dificil de la quehablaremos en las siguientes secciones.

Cuando se habla de mtodos de cnse-anza es imposible no mencionar los orde-

nadores. En efecto, el mundo de los orde-nadores y de la computacin en general,hoy en da, irremediablernente, acompaaa las Matemticas. Es evidente que el orcie-nador personal ha de ser cada vez ms unelemento de apoyo en el aprendizaje ycomprensin de las Matemticas. Una utili-zacin audaz del ordenador como elemen-to de apoyo a la docencia debera sin dudacontribuir a una mejor comprensin delalumno de procesos como el lmite y la de-rivada o la geometra del plano y del espa-cio. Pero no conviene sustituir loscontenldos de Matemticas por el manejodel ordenador, y aqu se entra en un con-flicto difcil de resolver, vista la escasez dehoras disponibles para la docencia de estasdisciplinas. De todos modos, y ante losvertiginosos avances que veremos en losprximos aos, hemos de ser conscientesque la irrupcin de los ordenadores produ-cir tambin de manera sutl, pero sinduda perceptible a medio y largo plazo, uncambio en los contenidos docentes.

Por ejemplo, en la universidad, co-mienza a ser habitual que las clases de al-gunas de las asignaturas de Matemticasvayan acompatiadas de, y se vean cornplc:-tadas por, clases prcticas o por laboratoriosen los que se utiliza el ordenador ejercitandonociones matemticas bsicas mediante laprogramacin y, sobre todo, el uso de pa-quetes especificos de software matemti-co. Se trata de una experiencia a promovery racionalizar y tambin a trasladar a nucs-tras escuelas e institutos. Conviene sin enrbargo no bajar la guardia en el tcrrc no rleltan controvertido rignr matematico y de-jar claro en qu momento y con qu objetoel ordenador se convierte en un aliado Ic-gtimo. Con esta precaucin y salvcdadconviene fomentar y ordenar la cxplora-cin al n^fiximo de csa va, m1x1111C : 1X)rc^UC,si no se hace hoy un csfucrzo dc incorpor. -cin rigurosa del ordenacor al mundo dc: lasM^temticas en nucstros centros cducati-vos, los orccnacores pueden acabar su-plant ^ndo a las Matematica5 cn al;unc>s

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mbitas, y ms preocupante an, el alum-no puede acabar llegando a ia errneaconclusin de que las Matemticas se re-ducen a lo que meramente puede ejecutar-se y visualizarse a travs del ordenador.Antes hemos citado ese aparente con-flicto entre la universalizacin de la ense-anxa, incluso al nivel universitario, y elmantenimiento de los contenidos y su pro-fundidad. Se trata de una cuestin sobre laque se poda, y posiblemente convendria,hablar mucho y desde diversos puntos devista. En particular cabria analizar la su-puesta bajada en el nivel de las Matemd-cas que se ensean en nuestras escuelas,institutos y universidades y el impacto in-ternacional de nuestra investigacin mate-rn^ca. Un estudio reciente9 llevado a cabopor las Sociedades Matemticas espadolas,coloca a Espaa entre los diez pases msproductivos con una produccin superior al44 '0 . En este sentido, la Interna^onal Mathe-rna^cal Union10 (IMU) ha decidido reciente-mente que el prxlmo Congreso Internacionalde Matemtims, se celebre en Madrid en 2006.Los ICM (Intematiortal Congress of Mathema^ -cians), coordinados por la IMtJ, tienen una tra-dicin de ms de cien aos, se celebran cadacuatro y se trata de uno de los eventos msimportantes en el mundo de las Matemticas.En patticular, en ellos se entre,gan los premiosdenon inados Medalla Fields, que constituyeel mximo galareln intemadonal a la investi-gacin en Matemdcas. Sin duda este hechoes un claro reconocimiento de ta comuni-dad internacional al nivel que est alcan-zando la investigacin matemtica ennuestro pas. Pero conviene no bajar laguardia, pues, en gran medida, este xito

presente en el mbito de la investigacinest fundamentado en la tarea docente rea-lizada desde hace ms de dos dcadas, yconviene por tanto cuidar al mximo nues-tro sistema educativo si se quiere mantenerel nivel que estos indicadores sealan. Noes en absoulto incompatible este reconoci-miento a nuestra labor investigadora con eldeterioro de las Matemticas en los diver-sos mbitos de la enseanza.SOBRE CbMO, QU YA QUIN SE ENSEA

D1VER4IDAD DE AWbIIV^6, Y iDE PROFE40RAD0?Creemos que no es posible hablar sitnult-neamente de los alumnos que muestranms facilidad y aficin por las Matemticas,y que posteriormente estudiarn proba-blemente una carrera de Ciencias o una In-geniera, y de aquellos otros que, ya con12 arios, comenzaron a alejarse dei'ini ^ va-mente de esta materia y orientaron sus inte-reses hacia otros temas. Del mismo modo,creemos que el tratamiento de estos alum-nos ha de ser diferente. En la recin apro-bada Ley de Calidad se habla de diversositinerarios en el segundo ciclo de la Ense-artza Secundaria Obligatoria:

- Dos en tercer curso: Tecnolgico yCientlfjco-Humanistico,Tres en cuarto curso: Tecnolgico,Cientfico y Humanstico.Creemos que es en este marco, dondese puede dar un tratamiento diferenciado,que hasta ahora no se ha dado", a los alum-

(9) Andradas, C. y 2uazua, E. (Coords.): !a /nuesdgacl6n matemtica en Fsparia en elperlodo 1990-1999Madrld Real Sociedad Matemtiq Espaola, Societat Catalana de Matem3tlques, Sociedad de EstadsUca e In-vestigacin Operatlva y Sociedad Espailola de Matemtica Aplicada, 2002.

(10) Se puede encontrar Inform^cibn rclatlva a los ICM en la pgina web de la IMU: http://a^ww.mathu-nion.org.(I1) SI bkn es cierto que en algunos centros ya se habfan puesto en marcha medldas parccidas a los itiner.trlos para poder ofrccer un tratamlento diferenciado a los alumnos (en al mos r.rsos, Ilamndolos Inclusocon este mismo nombrc) con un marco legal que no lo contemplaba aun.2 4 G


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nos con diversos intereses con respecto ala s Matemticas .Veamos algn ejemplo que justifique ysustente este punto de vista. Muchos estu-diantes seran capaces de resolver el si-guiente problema: evala^ar la frsncin y=.en lospuntosxa1,2,3. Pero quiz no tantossean capaces de entender que esta frmulaalgebraica y-x2 , es una manera de codifi-car un sin fin de relaciones, que manipularesta relacin puede ser menos costoso quemanejar un gran nmero de datos, y quedicha relacin puede tener algo que vercon una trayectoria parablica en el plano.O, por usar un ejemplo ms prximo a larealidad cotidiana, muchos estudiantes sa-ben calcular cuanto supone el 15yo de unacantidad, pero quiz tengan algunas diF-cultades para saber qu tanto por cientosupone una subida de un 15% anual en elprecio de la vivienda durante cuatro aosconsecutivos.En este punto conviene no engaarse niconfundir trminos: aunque el lgebra seauna herencia de la Grecia y el Oriente anti-guos puede que no resulte de acceso fcil abuena parte de la poblacin, como posible-mente no lo seran las marcas atlticas de losgriegos en las primeras Olirnpiadas.Obviamente, a este problema de la di-versidad de los alumnos se suman otros re-lacionados con la formacin de nuestroprofesorado.En los Centros de Formacibn del Pro-fesorado de Primaria las asignaturas deMatemticas han desaparecldo prctica-mente, para ser sustituidas por las de Di-dctica de la Matemtica, que incluso enel mejor de los casos no llegan al 5^ de lacarga lectiva de dichos estudios. Es en estepunto donde con ms elaridad se perci-ben los efectos del diagnstlco que men-cIonbamos en la primera seccln, engran medida opuesto al que desgranamosen este artculo, segn el cual el problemade los maestros no es entender y conocermejor las Matemticas para as garantizaruna mejor enseanza de las mismas sino,

simplernente, adquirir las destrezas quepermitan trasmitir estos conocimientos confacilidad y, por supuesto, con un hipotti-co xito que los sistemas tradicionales nohan Ilegado a alcanzar.

Reconociendo el mrito y el esfuerzode los que defienden esta va, y estando,como hemos mencionado anteriormente, afavor de incorporar en nuestro sistemaeducativo todos los medios y elementosmetodolgicos necesarios para garan[izaruna mejor calidad de la enseanza, cree-mos sinceramente que este tipo de diag-nsticos nos alejan frecuentemente de lasolucin. Por ejemplo, el dominio de lasoperaciones bsicas con quebrados exigetrabajo personal, bien orientado, pero so-bre todo a base de prctica y ejercicios, yam no se conoce el mtodo ni la estrate-gia didctica yue permita transmitirlo delmodo que todos desearamos, como unaimagen por internet, por poner un ejemplocotidiano.

La realidad cotidiana de un profesorde Matemticas de primaria, de secundariao de universidad, a veces tiene tnuy pocoque ver con el tipo de cuestiones que ocu-pan a quienes defienden estos posiciona-mientos. Efectivamente, cualquier mtododeja de servir y resulta insuficiente al pro-fesor que ha de explicar la derivada sin ha-ber comprendido su genuino y ltimosentido.

Reconocemos la buena voluntad delos que piensan que las dificultades con lasque un profesor se encuentra a ta hora cietransmitir las conceptos matemticos sonconsecuencia de la ausencia de herramien-tas didcticas. Sln duda stas son importan-tes y tiles, pero ninguna herramientaresulta ms til que una profunda can-prensin del concepto matemtico que seensea.

En la actualidad un n^imero muy im-portante de los alumnos que acceden a losestudios de ntagisterio cursaron Matemti-cas por ltima vez en cuarto dc la ESO. Deeste modo, si en la universidad no cursan

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prcticamente ninguna asignatura de con-tenido matemtico, va a ser muy difcil quesepan qu ensear, aunque sepan cmo.Creemos que este es un problema muy se-rio, y que es necesario abordar de maneraurgente. No estamos diciendo que unmaestro de primaria deba conocer aspec-tos sofisticados del Anlisis Matemtico 0la Topologa, pero s que no dude sobre elsignificado del teorema de Pitgoras, clavepara entender toda la Geometra Euclidea.

Creemos que una buena forma deacceder a una mayor experiencia y destre-za didctlca por parte de los maestros quizsea aumentar las prcticas, correctamentetuteladas, en centros de enseanza conalumnos a los que se va a ensear. Estomismo sera vlido para los licenciados as-pirantes a profesores de Matemticas desecundaria. En este sentido, el diseo delnuevo Ttulo de Especializacin Didctica,previsto en la Ley de Caldad, deberaapuntar en esta direccin. Conviene eneste punto tener en cuenta que el vigenteCurso de Aptitud Pedaggica (CAP) quedeb^an superar los licenciados en Ciencias,para despus poder participar en las opo-siciones de profesores de Matemticas desecundaria, no ha cumplido los objetivospara los que fue diseado y se ha converti-do en muchas ocasiones en un simple tr-mite burocrtico.

tENSEAnNZA cAZ.ctn.fsncnO DE 1 .0 3 CONCE P'InBt

Si hay muchos alumnos que, por diversasrazones, no estn capacitados para accederal pensamiento formal de manera inmedia-ta, el profesor de Matemticas, tendr quelimitarse a ensear recetas y evaluar la efi-cacia del alumno en su aplicacin?

La cuestin no es simple puesto que esjercitando suficientemente los aspectosoperacionales como el ser humano es ca-

paz de entender la lgica subyacente, y deese modo adquirir una comprensin abs-tracta, ms global y duradera, que le per-mita abordar con autonoma problemasms complejos. Los aspectos mecnicos ylos abstractos van, por tanto, unidos y esdifcil establecer una lnea divisoria.^Cul es la mejor manera de que unalumno puede aprender el sentido y lastcnicas de la teora de la integracin?Probablemente resolviendo una lista decincuenta integrales bien elegidas. En algu-nos casos esto conducir a que el alumnomaneje con soltura los aspectos operati-vos. En otros, el alumno acabar descu-briendo de manera inconsciente que laintegracin es un proceso de inversin dela derivacin y comprender la motivaciny significado de frmulas a la vez tan sim-ples y enigmticas como la de integracinpor partes y su relacin con la de deriva-cin del producto de funciones.

Por tanto creemos que nada tenemosque temer de una enseanza calculstica,orientada a proporcionar al alumno la sol-tura necesaria para desenvolverse en elmundo de la aritmtica.

No es la primera vez en la historia dela educacin que esta cuestin se debate.Estamos entre los que, en los aos setenta,estudiamos la Matemtica Moderna porprimera vez en la Educacin General Bsi-ca. Fue a la vez triste e ineficaz alejarnosde las Matemticas de los nmeros paraadentrarnos prematuramente en la Teorade Conjuntos.La Matemtica Moderna se introdujoen aquella poca en nuestro sistema edu-cativo partiendo de dos principios: los dela Psicologa Evolutiva y una Cuerte co-rriente Matemtica empeada en enterrarlas Matemticas12 clsicas para sustituirlaspor un engranaje lgico/abstracto.

Esta corriente ha ido perdienco pesoen las ltimas dcadas tanto en el tnbito

(12) Cortiente simboll ada por la famosa frase dc J. Dieudonn iAbajo Eudldcs!-.

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de la investigacin como de la enseanza,y el fracaso de lo que se denomin la Ma-temtica Moderna es hoy patente. Perohoy en da existen otras tendencias, comopor ejemplo las de la Matemtica novsi-ma , fuzry , etc., que entraan los misrnosriesgos que la anterior, o incluso algunoms, puesto que ahora se pretende ademsque las Matemticas son fciles y diverti-das para hacerlas ms populares. Contoda seguridad componer canciones conpresunto contendo matemtico puederesultar ms divertldo que ensear a resol-ver ecuaciones, pero no conviene confun-dir una clase de matemticas con otra cosa.Efectvamente, las Matematicas pueden re-sultarnos divertidas a algunos y as es, peropuede que no lo sean para todo el mundo,y esto es una realidad que hay que recono-cer. En lo que respecta a ia facilidad, todoMatemtico profesional sabe que sta seacaba cuando uno se enfrenta a t ^ n proble-ma suficientemente difcil. As, la lnea di-visoria entre lo fcil y lo difcil es algopersonal que depende fuertemente ciel in-dividuo.

En este punto surge de manera naturalla sIguiente cuestin: ^Hasta donde puedenavanzar juntos los alumnos si algunos deellos nunca llegarn ms all de manipularlas cuatro reglas bsicas (suma, resta, ntul-tiplicacin y divisin) mientras que otrosrealizarn estudios universitarios de Cien-cias?

A la hora de reflexionar sobre esta^ uestin conviene tambin no perder devista que el alumno tiene derecho a escu-char del profesor una explicacin concep-tual y abstracta suficiente y motivada paraque, en caso de que est en condicionesde hacerlo, ir ms all del simple manejode la regla.

En una entrevista que se realiz a JosAntonio Marina hace ya algunos aos,cuando an no haba recibido el reconoci-

miento que hoy tiene, denunciaba que laFilosofa de nuestros institutos se estabaconvirtiendo en una mera Historia de la Fi-losofa, en un anecdotario de nombres yfechas y no en lo que realmente deberaser: el estudio de las grances ideas delpensamiento humano y su evolucin.

Lo msmo podra decirse de lo quedesde algunos mbitos se hace con las Ma-temticas. Conviene pues ser sumamenterigurosos a la hora de establecer la lneadivisoria entre diwlgacln y educacin, yesto es una tarea que compete en primerlugar a los propios profesionales de lasMatemticas y su enseanza.

ZPROGRAMAS DE MINIMOS O DE MXIQMOS?

En la actualidad, Howard Gardner", porejemplo, habla de inteligencias rnitiples ycada vez conceptos como los de inteligenciaemocional estn cada vez rns asumidos,Eso es una muestra de reconocimiento yrespeto a la diversidacl de la naturaleza hu-mana y tiene mucho de bueno en la medi-da en la que, aspectos que pertenecen msal mundo de la naturaleza, de la sensibili-dad, de las relaciones humanas, acquierenvalor frente a la Ciencia y a la Tcnica.

I'ero la nica manera de compatibili-zar estas constataciones de diversidad conuna enseanza universal es ofreciendotambin un trato individualizado y distin-guido a cada alumno garantizanclo, eso s,unos minimos comunes.

Eso justifica plenamente la necesidadde los programas de mnimos que recien-temente han sido revisados c n los RealesDecretos mencionados ms arriba, lo queha permitido algunas tnejoras, sobre todoen lo que se refiere a la I:nseanz^a Serun-daria Obligatoria.

Pero en la medida en que el trato incli-vidualizado a da de hoy es inexistente,

(13) Ver Gardner, f i: Mellipte JrtJep(gences: 7h 7heory In f'r^ctlce. Nueva York, Basictiooks, 1993.

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esto hace que, automticamente, los pro-gramas de mnimos lo sean de mximos.Surge entonces un grave problema: nose ofrece a cada estudiante la posibilidadde desarrollar al mximo sus capacidadesy, entonces, en nuestra opinin, se incurreen una grave irresponsabilidad.Las autoridades, por tanto, han de de-cidir: ^Se puede implementar la ensean-za individualizada que la normativavigente promete? y, posteriormente,iactuar en consecuencia? En caso de que la respuesta sea ne-gativa: demos una alternativa. Las

posibilidades son mltiples:- Asumir que unos programas demnimos a la baja son de mxi-mos. Estamos dispuestos?, re-nunciamos a que nuestros hijostengan cerca de casa la educa-cin que podran tener en Lisboao en Pars?- Implementar un modelo de aten-cin distinguido, aunque posi-blemente no individualizado.Esta ltima posibilidad, la ms darwi-nista de las eatistentes, es probablemente lams prxima al realismo, aunque las ideasque se inspiran en la Psicologia Evolutivasean posiblemente ms atractivas.Son muchos los profesionales compro-metidos de la Enseaza de las Matentticaslos que opinan que esa hipottica ense-anza individualizada es algo de carcterbastante retrico, como aquello de que to-dos tenemos derecho a la vivienda.... Lascuentas son muy sencillas, en una clase con20 alurnnos con tres sesiones semanales decincuenta minutos, si todo fuese individuali-zado a cada alumno le corresponden sieteminutos y medio a la semana.

SOBRE QU ENSEARDurante la puesta en marcha de la LC^ GSEy su desarrollo posterior, ha resultado muy

complicado hablar sobre lo que haba queensear. En primer lugar, en las directricesoficiales resultaba bastante difcil encontrarde una manera precisa los contenidos queun alumno deba saber en cada curso, encada nivel. Ms aun, ciertas opinionesapuntaban que lo importante no era elqu, sino el cmo. Parece que todo lo im-portante giraba en torno a los procedi-mientos y actitudes: el alumno debaapreciar la belleza, debia tener una actitudpositiva hacia las Matemticas, etc. Cree-mos que todas estas intenciones son bue-nas pero, son algo ms que intenciones?Es preciso hablar tambin de qu ensear,incluso aunque esto sea arriesgado, y deeso queremos hablar. Indicaremos por tan-to las que, a nuestro juicio deberan sercompetencias bsicas, de un alumno enMatemticas en los diferentes niveles de laEducacin Secundaria.ENSEICIANZA SECUNDARIA OBLIGATORIACreemos que un alumno, al acabar la En-seanza Secundaria Obligatoria, en Mate-mticas deberia:

Dominar las cuatro reglas: suma,resta, multiplicacin y divisin.Tener una idea bastante precisa delas fracciones y de su manipulacin.Convendra tambin que fuese ca-paz de utilizar la regla de tres. La-mentablemente, ni siquiera se hacereferencia explcita a eila en losprogramas actuales, quizs por lainercia a la que nos habiamos acos-tumbrado. Ntese que en las pro-gramaciones anteriores era difcilencontrar, por ejemplo, la palabraGeometria.Asimismo, se debera garantiiar quefuesen capaces de calcular reas yvolmenes de los objetos geomtri-cos elementales y dominar el siste-ma mtrico decimal.- Se debera incidir especialmcnte enlos aspectos del calrulo, aunque a

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veces no sea divertdo ni aprender-los ni ensearlos. En este sentido,convendra no confundir la ense-anza/estudio de las Matemticascon su divulgacin o incluso con suvulgarizacin.

B, ^TO. A i.ns rt c7rns D^te UtvtvEitsID^DAqu conviene distinguir dos tipos dealumnos: Ios aIumnos que eligen la opcintnodalIdad de Ciencias y Tecnologa, y losque eligen la modalidad de Humandadesy Ciencias Sociales.En cuanto al alumno que elge la mo-dalIdad de Clencias, y que puede accederen consecuencia a una carrera con conte-nido cientfico, creemos que, al acabar elBachillerata, deberla:

- Saber calcular con soltura lmites yderivadas elementales.Ser capaz de hacer un esbozo conlos aspectos ms representativos deuna funcin.Conocer los aspectos esenciales dela trigonometra.Saber traducir al lenguaje algebrai-co situacones reales.Haberse inicado en la GeometraAnalltlca: puntos, rectas, vectores.Prestando ms atencln a los aspec-tos intuitlvos que a las estructurasalgebraicas que subyacen a estosconceptos.Tenerunos conocimlentos bslcos deEstadsdca Descriptiva y Probabilidad.

En el caso del alumno de Humanida-des y Ciencias Sociales, se debera insistirms en las aplicaciones de los conceptos.Quiz no sea tan Importante en este casoel domno de la Geometra Analtica, peros1 quiz haya que profundizar ms en lascuestiones de Estadstica. No obstante,creemos que, a pesar de que conviene co-menzar a dar a la Matemtica Discreta laimportanca que tiene, ya que se trata dedisciplinas cada vez ms presentes en el

mundo de la Ciencia, de la Tecnologa y enel mbito empresarial que normalmentehan quedado en un segundo plano en laenseanza secundaria, conviene simplitiraral mximo los elementos que se enseen enestas disciplinas. Quizs sea excesivo el tra-tamiento actual de la Estadstica Inferencial(intervalos de confianza, contraste de hi-ptesis) para las Matemticas Aplicadas alas Ciencias Sociales, que se haca en las pro-gramaciones anterlores y que se vuelve a re-pedr en la nueva legislacin de rntnnos.

En otro orden de cosas, creemos fun-damental simpllfcar los actuales recorridosque el bachillerato ofrece y evitar que unestudlante pueda llegar a la carrera de Ma-temticas o de Qulmica sin haber cursadolas materias correspondientes en el ltimoao del bachillerato. No parece que estosproblemas se hayan corregido con la es-tructura del bachillerato a partir de la nue-va normadva.

Tambin creemos importante revisar laoferta de asignaturas optativas y simplifi-carla o reducirla a lo estrictamente necesa-rio, esto tambin es importante en la FSO.LA SELF.GTIVII.IAD Y/O U P^UEBAGENF.SAL DB BACiQI]%itA7 UTodos sabemos que, por mucho que defi-namos y redefinamos los programas de lasaslgnaturas, lo que el profesor va realmen-te a ensear y, sobre todo, aquello por loque el alumno se va a interesar, est com-pletamente determinado por los conteni-dos que se evalen.

En este sentido, y ref^ rindonos al Ba-chillerato, la Selectividad ha sido el ntui-mo referente puesto que ha determinado,en una sola prueba, en un 40'Y6, la notaque, a su vez, condicionaria el futuro uni-versitario de nuestros jvenes.

De este modo, la Selectividad ha juga-do tradlcionalmente el papel de dique decontencin, de garante de los minimos alos que nuestro sistema educativo no esta-ba dispuesto a renunciar.

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Con la Ley de Calidad, la Selectividadqueda sustituida por la llamada Prueba Ge-neral de Bachillerato. Conviene abordarcon rapidez los mecanismos por los que seregir la nueva prueba. A1 hacerlo, es im-portante tener en cuenta los defectos quela Selectividad en sus ltimos aos de an-dadura ha presentado. En este sentido te-nemos la impresin de que la Selectividady los tribunales que han venido preparan-do estas pruebas han estado inmersos enuna dinmica un tanto reiterativa que posi-blemente en ocasiones ha alejado estaprueba de lo que deberfa haber sido: unaprueba que evaluase las capacidades bsl-cas del alumno y.su preparacin paraadaptarse a un medio universitario, dondeel estudio exigir no slo de bases slidassino tambin de un buen dominio del len-guaje escrito y de una buena dosis de ca-pacidad de abstraccin y de asociacin deideas. En este sentido, la Selectividad,como la mayora de las pruebas que se es-tablecen en nuestro sistema educativo, hapecado de buscar enunciados de proble-mas artificialmente complejos, que a vecesacababan resultando confusos. Este proce-so ha estado, sin duda, relacionado con elmodo en que han venido constituyndoselas comisiones que preparaban estas prue-bas, sin que, frecuentemente, se haya garan-tizado la necesaria motivacin y renovacinde sus componentes.Las ideas matemdcas fundamentalesson simples, lo cual no significa que seanfciles de entender. Como deca AlbertEinstein, todo debera hacerse tan sencillocomo sea posible, pero no ms. Una bue-na comprensin de estas ideas matemtl-cas necesarlamente ha de ir acompaadade una capacidad de simplificacin en suabordaje. Los exmenes ya sean de selectl-vidad o de cualquier otro tipo han de tras-lucir una claridad de ideas por parte de lospreparadores en lo que respecta a los as-pectos bsicos que no siempre se da.Por otra parte, es evidente que en Ma-temticas resulta imposibie un avance real

en el aprendizaje si no se dispone de unabuena capacidad de clculo. Es por tantoevidente que es pertinente realizar unaevaluacin rigurosa de la misma.Pero nuestros exmenes, en todos losniveles, confunden frecuentemente la pro-fundidad de las ideas y la complejiclad delos clculos con un barroquismo verbalque tiene dos efectos claros: el examenacaba no sirviendo para evaluar adecuada-mente, y confunde incluso a los alumnosms aventajados.La prctica demuestra que muy raravez el alumno llega a la universidad domi-nando las materias establecidas en los pro-gramas del Bachillerato. Pero esto no esgrave siempre y cuando el alumno domineuna serie de conceptos fundamentales yhaya desarrollado una capacidad suficientede clculo. A modo de ejemplo, en el m-bito del Anlisis, cabe decir que un aluntnoque sepa hacer lmites, derivadas e integra-les, estar en perfectas condiciones de supe-rar el primer ctirso de carrera sin dificultad, apesar de que an no haya estudiado suce-siones, no maneje con soltura los teoremasde Rolle y del valor medio o no haya asi-milado la integral como instn ^ mento parael clculo de reas. La maduracin queconduzca a la comprensin de estos ele-mentos muy bien puede producirse duran-te los primeros meses en la universidad.ALGUNOS TPICOS Y USOS A RL'VISARComo filosofa general y a modo de hiloconductor de las diversas iniciativas en ma-teria educativa creemos que siempre se hade garantizar que cada alumno tenga laeducacin en Matemticas para la que estcapacitado y a la que est dispuesto a ha-cer frente. Pero se trata cn gran medida ceuna declaracin de intenriones y en laprctica es un problema de solucin com-pleja y difcil al que, a pesar de dedicarbuena parte de este artculo, somos cons-cientes que no respondemos de maneradeflnitiva.

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En cualquier caso, a la hora de abor-dar esta cuestin creemos que es impor-tante desmontar algunos de los tpicosque perturban normalmente los debates yque sin embargo suelen carecer de baseslida. En esta seccin comentamos algu-nos de ellos. La guerra de las horas. Creemos

que no conviene caer en las gue-rras de horas, 3 versus 4 horas deMatemticas. Cuatro horas puedenser demasiadas o demasiado pocas.Por lo tanto pensamos que es mejordiversificar la oferta en el nmerode horas y el grado de profundidadcon el que se van a estudiar las Ma-temticas. El volumen de informacin. Nues-tros jvenes no necesitan un excesode informacin, sin duda un pro-blema creciente en nuestra socie-dad. Pero s necesitan desarrollarsus propios criterios, su voluntadpara poder elegir en un mundocada vez ms complejo.

Los ordenadores. No es posible ha-blar de lnformacin en la sociedadactual sin mencionar los ordenado-res e Internet. Hoy en dla uno delos tpicos y lemas ms comunes esrecurrir a medidas del tipo un or-denador en cada aula. Por supues-to creemos que un ordenadorpuede resultar un elementa de tra-bajo enormemente til, que puedeincluso incidir en un futuro inme-diato en las metodologas didcticasa emplear. Pero conviene desrnitifl-car este tema y establecer un ordende prioridades riguroso y alejado delas modas. As, nos atreveramos adecir que, un ordenador en cadaaula s, pero antes tal vez un pincely un caballete, una buena obra hte-raria, un buen libro de Geometrabsica, etc. Los ordenadores soninstrumentos inseparables del serhumano en el quehacer cientl'ico-

tecnol8gico. Se trata de una mqui-na de experimentacin, de apoyo.Pero cuando enseamos a pescar aun nio, ^ponemos en sus manos lacaa el primer da? La manera deaprender la Qumica es dejar alalumno suelto en el laboratorio?Apliquemos entonces el sentido co-mn y no llevemos al terreno de lasMatemticas lo que obviamente noadoptaramos en ningn aspecto dela vida y la educacin. El ordenadorpor tanto ha de introducirse de ma-nera muy prudente en la enseanzade las Matemticas sin que acabesuplantandolas.

Los libros de texto. EI tipo de textosque hoy se edita son excelentespara el profesar. Estn Ilenos degrficos, de datos histricos, ce apli-caciones, etc. Pero es poco probableque textos de semejantes dimensio-

nes atralgan la atencin del alumno,condicionado por la diversidad dematerias, de la frecuencia de losexmenes, y la falta de tIempo queel ritmo de vida actual imprimen in-cluso a los nios y adolescentes. Talvez fuese conveniente editar juntocon estos excelentes textos, tManua-les ms breves que atrajesen ms f-cilmente el inters inmediato delalumno. Lamentablemente, en laactualidad dos o tres editoriales li-deran el mercado con unos deter-minados libros, y el resto se limita alntentar imitarlas. La originalidadbrilla por su ausencia.

Las aplicaciones de las Matemtiras.Queremos Ilamar la atencin delmodo en que algunas aplicacionesdc las Matemticas se presentan enlos textos. Por ejemplo, las aplira-ciones de la Programacin Line: ^ I alo que hoy se denorninan las Cicn-cias Sociales datan de as aos rin-cuenta y hay Matematicas muysirnples y bonitas en tarno a estos

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temas que se pueden ensear. Re-sulta sorprendente ver que a vecesestas apl'tcaciones se presentancomo si fuesen de ltima genera-cin, y lo es ms an cuando sepretende justificar a travs de ellasla necesidad de cambios en los con-tenidos de los curr^ ula, o de tipometodolgico.

Temarios de oposiciones. Hay te-mas muy interesantes en Matemtt-cas, como por ejemplo los fractales,que se pusleron de moda hace al-gunos aos en nuestro pas, hasta elpunto de figurar Incluso entre lostemas para las oposicIones de pro-fesores de secundara". Sorprendesin embargo que no haya ningunareferencia en estos temarios a lasEcuaciones Diferenciales, aun es-tando estas hlstricamente asocia-das a la invencin del Clculo. Sonmuchas las ramas de la lnvestiga-cin matemtlca contempornea in-teresantes, pero creemos que hayque tener una cierta prudencla a lahora de su lncorporacin a la ense-anza secundaria (bien sea de unamanera drecta), en los contenidosmfnimos, como indlrecta (medIancesu inclusin entre las materias delas que se examinar el futuro pro-fesor de Matemticas).

A MODO DE GONCLUSINDe todo lo anterior se desprende, y estocreemos que es compartido por todos, quela situacn de la enseanza de las Mate-mticas no es la ptittza en nuestro pas. Y,esto ya es una opinin quiz no comparti-da, la situacln se ha deterlorado por ml-tiples factores. ^Qu hacer?, aceptando quealgo ha de cambiar ^cmo hemos de arti-cular esos cambios?

La batera de posibles medidas quefrecuentemente se barajan es bastante am-plia. Ms arriba hemos hecho referencia aalgunas de ellas. Pero a menudo stas sereducen a las ms obvias e inmediatas. Laprimera a la que se recurre es siempre au-mentar el nmero de horas lecdvas de Ma-temticas. A este respecto diramos que, sibien recuperar el terreno perdido en estembito puede ser deseable, no parece quelos profesionales de las Matemticas poda-mos llquidar la cuestin exigiendo ms haras. Ia problemtica a la que nos referimoses comn a muchas otras materias y es evl-dente que el nmero de horas lectivas totales en cualquier caso lmitado. Por otra par-te, la Enseanza Secundaria no tiene comoobjetivo generar mini-lnvestigadores en to-das las reas, sino formar personas y con-viene no perder de vista este hecl^o parano reducir el prablema de la enseanza delas Matemtlcas a una guerra de horas. Porotro lado, hay quien opina que lo que faltaes personal de apoyo para hacer realidadlos planteamientos de la LOGSE, que pro-meta un tratamiento personalizado de losalumnos en funcin de sus necesidades ypotencial. Por supuesto, un refuerzo en laplantilla educativa siempre permitira unmayor margen de maniobra. Pero, tampo-co sera honesto reduclr el problema a unaguerra de cifras econmlcas.

Creemos que, con independenria deque tste tpo de iniciatlvas, basadas en elaumento de la inversin y del nmero dehoras salgan adelante, convendra r unpoco rns all en el anlisis de la cues-tin.

No conviene olvidar que lo esencial delas Matemticas se mantiene pr'cticamenteinvarlable, como hemos mencionado ante-rionnente, y que, por tanto, los cambios enla forma de ense?iar que las nuevas tecno-logas traern en las pr^clmos aos, no de-

(14) Pan ver d temario Maternticaa de las ldmas oposlclones a profesorcs de secvndarla se puede con-suitar la pgina web: http: /www.mrcd.es Inf/comoWo/a-S-2-33htm.2 5 4


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ben alterar los contenidos bsicos y habrque seguir ejercitando el clculo y la me-moria como hemos hecho nosotros ynuestros antecesores. En nuestra opinin,como decamos ms arriba, una buena en-seanza de las Matemticas en el cicloobligatorio ha de proporcionar al alumnodestreza en el clculo de las cuatro reglasy nmeros quebrados sencillos, en el usode la regla de tres, las proporciones y delsistema mtrico decimal, asI como las no-ciones bsicas de Geometra elemental.Las ltlmas estadsticas sobre fracasoescolar indican que nuestro sistema actualno garantiza esos mnimos. ^Qu porcenta-je de alumnos que no saben usar la reglade tres y el sistema mtrico decimaI estasistiendo a clases en las que el programaincluye c$lculo de derivadas?Por otra parte, conviene observar lasnuevas tecnologas, la sociedad de la infor-macin, las nuevas metodolagas de ense-anza que prometen el aprendizaje conmenos esfuerzo, etc., con disposlcin paraintegrar los aspectos positivos que puedantener, pero sin bajar la guardia, con espiri-tu crtico. El jugador de golf Gary Playerdeca en unas declaraciones: cuanto mstrabajo y practico, ms suerte parezco te-ner. No hay aprendizaje sin esfuerxo yconviene pues no olvidarlo.Asimismo, deberiamos habilitar unmodo para que, los alumnos deseosos deadquirir una formacin matemtica de altonivel, competitiva, tuviesen oportuniclad dehacerlo, tal y como ocurre en los pases ve-cinos. Pero deberta tratarse de una solucinrobusta y extensiva a todos los estudiantes,sin caer en la contradiccin de hacer compa-tible la intransigencia ante cualquier iniciati-va que tenga como objeto establecerdiversos i^nerarios en funcin de aptitudes,para despus fomentar iniciativas privadasque slo alcanzan a unos pocos.

Las posibles soluciones son diversas, yla responsabilidad de adoptarlas es tantode los polticos y quienes ostentan respon-sabilidades de gobierno y gestin introcu-ciendo los cambios necesarios en lanormas educativas, como de todos los pro-fesionales de las Matematicas en nuestrombito de accin.Trabajemos pues para combatir elanalfabetismo numrico y establezcamoslas condiciones para que en nuestras aulaslos jvenes encuentren el ambiente ade-cuado que estlmule su aficin (a veces pa-sin) por las Matemcas, y desarrollemosunos programas y mtodos serios y riguro-sos que les garanticen el acceso a los co-noclmientos que puede alcanzar encondiciones favorables su joven, vigorosay prometedora inteligencia.Para concluir nos gustara reproducirlas frases con las que la profesora SoledadRodrguez acababa su artculo El Analfa-betismo numrico y el 2000''S:

..,hemos de volver a insistir en que debe-mos hacer reflexionar a los estudiantespara que desarrollen su inteligencia, debe-mos forzar la repeticin para que desarro-Ilen su memoria y debemos imponer unadisciplina en el mtodo para fortalecer suvoluntad. Eso, sin duda alguna, contribuir:a erradicar el analfabetismo numrico y aque en el prximo siglo tengamos estu-diantes con ms autoestima y ciudadanosms cultos

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