Appunti di 03AXPNZ - Fisica II 1 · Appunti di 03AXPNZ - Fisica II1 Studente: MACI Samuele Politecnico di Torino Anno Accademico 2011/2012 [email protected] Docente:

Appunti di 03AXPNZ - Fisica II 1

Studente: MACI SamuelePolitecnico di Torino

Anno Accademico 2011/[email protected]

Docente: UMMARINO GiovanniProf. Associato [email protected]

Ultima revisione: 10 gennaio 2012

1Il presente quaderno di appunti e stato redatto completamente con l’applicativo TEXnicCenter

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Indice

I Elettromagnetismo 3

1 Campo Elettrostatico 51.1 Campo Elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Campo elettrico generato da un corpo qualunque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.2 Carica che si muove in un campo elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.3 Campo Elettrico, estensione di un campo puntiforme . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Potenziale 92.1 Energia in un sistema di cariche puntiformi fisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Potenziale di un campo macroscopico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Dipolo Elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3.1 Potenziale geneato da un dipolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3.2 Dipolo all’interno di un campo elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.3 Momento di un dipolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3.4 Dipolo in un campo elettrico non costante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3.5 Applicazioni del concetto di dipolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Teorema di Gauss 133.1 Esempi di Applicazione del teorema di Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1.1 Campo elettrico di una carica puntiforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.1.2 Campo elettrico generato da un filo carico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.1.3 Campo elettrico generato da un piano infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.1.4 Campo elettrico generato da un guscio carico omogeneo . . . . . . . . . . . . . . . 143.1.5 Campo elettrico di una sfera carica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.1.6 Calcolo del campo generato da una sfera carica, cava in un punto . . . . . . . . . . 153.1.7 Teorema di Gauss in forma differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4 Condensatori e Dielettrici 174.1 Conduttori all’interno di un campo elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2 Condensatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.2.1 Collegamento tra condensatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.3 Lavoro di carica di un condensatore e densità di energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.4 Pressione elettrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5 Dielettrici 235.1 Rigidità dielettrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.2 Dipolini all’interno di un dielettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.3 Condittori metallici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.3.1 Corrente elettrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.3.2 Legge di conservazione della carica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.3.3 Legge di Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.3.4 Effetto Joule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.3.5 Resistenze in serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.3.6 Resistenze in parallelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.3.7 Carica di un condensatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.3.8 Scarica di un condensatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.3.9 Leggi di Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

I

6 Campo magnetico 356.1 Forza di Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356.2 Seconda legge di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366.3 Momento di un dipolo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.4 Effetto Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6.4.1 Spettrometro di massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396.4.2 Selettore di velocità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396.4.3 Ciclotrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.5 Prima legge di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406.5.1 Formulazione 1−D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406.5.2 Formulazione 3−D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406.5.3 Definizione dell’unità di misura dell’Ampere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.6 Teorema di Ampere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.6.1 Applicazione del teorema di Ampere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6.7 Flusso e Controflusso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.7.1 Calcolo di coefficienti di induzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6.8 Comportamento di materiali in un campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466.8.1 Classificazione dei materiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.8.2 Ridefinizione del teorema di Ampere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.8.3 Induzione magnetica in presenza di un’interfaccia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.8.4 Comportamento di χm nei diversi materiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.9 Smagnetizzazione di un magnete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526.10 Legame tra campo elettrico e campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.10.1 Esperimenti di Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526.11 Terza e Quarta equazione di Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526.12 Legge di Felici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.13 Forza elettromotrice e correnti indotte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.13.1 Spira rettanglare che ruota attorno al suo asse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.13.2 Energia assorbita nel campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586.13.3 Densita di energia magnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.13.4 Pressione magnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.13.5 Trasformatore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6.14 Calcolo della corrente in circuiti RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.14.1 Circuito RLC con generatore non costante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6.15 Cenni di Relatività ristretta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.15.1 Invarianza di Gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.16 Fenomeni ondulatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.16.1 Intensità di un’onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.16.2 Onde sferiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.16.3 Onde cilindriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.16.4 Ona di lunghezza finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706.16.5 Somma di onde distinte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.17 Onde elettromagnetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706.17.1 Relazione tra l’onda del campo elettrico e l’onda del campo magnetico . . . . . . . 716.17.2 Energia associata all’onda elettromagnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.17.3 Vettore di Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.17.4 Riflessione di un’onda elettromagnetica in un metallo . . . . . . . . . . . . . . . . 746.17.5 Legame tra velocità di gruppo e velocità di fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.17.6 Spettro di onde elettromagnetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766.17.7 Onda elettromagnetica in un dielettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

II Ottica 79

7 Riflessione e rifrazione della luce 817.1 Principio di Huygens-Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817.2 Teorema di Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817.3 Leggi di Snell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 827.4 Intensità delle onde riflesse e rifratte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

7.4.1 Onda incidende perpendicolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Elenco delle figure

6.1 Andamento di I0(ω) in un circuito RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

III

Presentazione

L’esame è composto da una parte scritta (test al computer, con 30 domande a risposta multipla) in cuiil voto = rispesatte − risperrate3 + 3 e se il voto ≥ 18 si può passare all’esame orale. L’esame orale consisteil un’orale breve (voto massimo di 24) o si può accedere all’orale lungo se il voto è di almeno 24.

1

Parte I

Elettromagnetismo

3

Capitolo 1

Campo Elettrostatico

Il campo elettrostatico è il risultato analiico effettuato da Coulomb.In seguito a tutte le prove effettuate si è raggiunti al risultato che:

~F =1

4 · π · ε0· q1 · q2

r3· ~r = 1

4 · π · ε0· q1 · q2

r2· r̂

dove r̂ indica il versore di r, vettore con modulo unitario e direzione di r.

analisi dimensionale [ε0] =[

q2

r2 · F

]=

[C2

N ·m2

]ε0 = 8.85 · 10−12

C2

N ·m2Il Coulomb è una unità di misura derivata, in quanto le unita fondamentali sono:

• Intensità di corrente [A]

• Intensità luminosa [cd]

• Lunghezza [m]

• Massa [kg]

• Quantità di sostanza [mol]

• Temperatura termodinamica [K]

• Tempo [sec]

Poichè [A] =[Cs

]si ha che [C] = [A] · [s].

Un oggetto si dice puntiforme si le sue dimensioni sono molto trascurabili rispetto all’ambiente in cui sitrovano, pertanto la legge di coulomb vale solo se le cariche sono molto distanti.

1.1 Campo ElettricoIl campo elettrico indica la modificazione che si ha nello spazio in presenza di una carica, pertanto sipone all’interno del campo una carica che non modifichi le caratteristiche del campo.

~E = limq0→0

~F

q0

~E(x, y, z) = Ex(x, y, z) · î+ Ey(x, y, z) · ĵ + Ez(x, y, z) · k̂Supponiamo di avere q1, q2 e q3 e se volessimo determinare la forza complessiva avenge su q1 si sfrutta ilprincipio di sovrapposizione delle forze1

~F1 = ~F21 + ~F31

~Etot =

3∑i=1

qi4 · π · ε0

· r̂r

Se volessi calcolare il campo elettrico generato da un corpo esteso potrei scomporlo in infiniti corpiinfinitesimi (puntiformi).Ogni zona conterrà una carica

dq = ρ(x, y, z) · d3~x1non in tutti i campi della fisica questo principio è valido, ma in questo si

5

dove ρ(x, y, z) indica la densità di carica, dipende dalla posizione perchè non è deto che sia costante.

Quindi:

Q =

∫∫∫dx dy dz · ρ(x, y, z)

Se la densità fosse costante allora Q = ρ · V .

1.1.1 Campo elettrico generato da un corpo qualunqueLa definizione compatta è la seguente:

~E(~r) =1

4 · π · ε0·∫d~r′ · ρ(

~r′)

|~r − ~r′|3· (~r − ~r′)

Poichè |~r − ~r′| =√

(x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2, allora:

Ex(x, y, z) =1

4 · π · ε0·∫dx′ ·

∫dy′ ·

∫dz′ · ρ(x′, y′, z′) · (x− x

′)

[(x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2]32

Ey(x, y, z) =1

4 · π · ε0·∫dx′ ·

∫dy′ ·

∫dz′ · ρ(x′, y′, z′) · (y − y

′)

[(x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2]32

Ez(x, y, z) =1

4 · π · ε0·∫dx′ ·

∫dy′ ·

∫dz′ · ρ(x′, y′, z′) · (z − z

′)

[(x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2]32

1.1.2 Carica che si muove in un campo elettricoSi sfrutta la seconda legge della dinamica

m · ~a = ~F = q · ~E

Scomponendo per componenti si ottiene un sistema differenziale del secondo ordine in tre equazioni.Risolvendolo si può ottenere x(t), y(t) e z(t) (traiettoria della carica).

d2xdt2 =

qm · Ex

d2ydt2 =

qm · Ey

d2zdt2 =

qm · Ez

1.1.3 Campo Elettrico come estensione del campo elettrico puntiformePer effettuare tale passaggio dimostrativo è necessario introdurre una funzione matematica denominatadelta di dirac.

Delta di Dirac

É la formulazione della curva Guassiana in cui σ → 0

δ(x) = limσ→0

1√2 · π · σ

· e−x2

σ2 =

{0 x 6= 0+∞ x = 0

Proprietà del delta di Dirac∫ ba

δ(x− x0) dx ={

1 a < x0 < b0 x0 < a o x0 > b∫ b

a

F (x)δ(x− x0) dx ={F (x0) a < x0 < b0 x0 < a o x0 > b

δ(x) = δ(−x)

δa · x = 1|a|· δ(x)

δ(~x) = δ(x) · δ(y) · δ(z)

6

Poichè la densità di carica in un corpo puntiforme è:

limV→0

ρ = limV→0

Q

V= +∞

quindi ha un corportamento simile al delta di Dirac, pertanto:

ρ(x′, y′, z′) = q · δ(x− x′) · δ(y − y′) · δ(z − z′)

7

Capitolo 2

Potenziale

Si ha potenziale in prsenza di forze conservative, forse che compiono un lavoro nullo su un percorso chiuso(W =

∫ aaγ~F · d~s = 0).

Una carica q genera un campo elettrico:

~R =1

4 · π · ε0· qr2· r̂

e si pone q0 in a e si osserva che essa subisce uno spostamento, traslandola in b. DISEGNOWa,b =

∫ ba

~F · d~s = q0 ·∫ ba

~E · d~s

I risultati trovati valdono per tutti i tipi di campi elettrostatici, poichè vale il principio di sovrapposizione.

Wa,b = q0 ·∫ ba

~E · d~s = q0 · q4 · π · ε0

·∫ rbra

r̂ · d~sr2

=

=q0 · q

4 · π · ε0·∫ rbra

ds · cos(ϑ)r2

=q0 · q

4 · π · ε0·∫ rbra

dr

r2=

q0 · q4 · π · ε0

·[

1

ra− 1rb

]DISEGNO

W = q0 · [Va − Vb] = Ua − UbVa =

q

4 · π · ε0 · raVb =

q

4 · π · ε0 · rbIl potenziale si misura in Volt, grandezza derivata [V ] = [J ] · [C]−1.Il vantaggio di aggiungere il potenziale è che essendo una grandezza scalare, legata al campo elettrico, icalcoli sono estremamente semplificati.

2.1 Energia in un sistema di cariche puntiformi fisse

U(n) =

n∑i=1

n∑j=1

qi · qj4 · π · ε · ri,j · 2

i 6= j

2.2 Potenziale di un campo macroscopico

V (x, y, z) =1

4 · π · ε0·∫

dx′ ·∫

dy′ ·∫

dz′ρ(x′, y′, z′)√

(x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2

Una distribuzione di cariche qualunque mi genera in (x, y, z) un potenziale nel punto P . Quanto vale ilpotenziale in P ′, punto a distanza infinitesima da P?

dV = −V (x+ dx, y + dy, z + dz) + V (x, y, z) =

= −V (x, y, z)− ∂V∂x· dx− ∂V

∂y· dy − ∂V

∂z· dz + V (x, y, z)

= −∂V∂x· dx− ∂V

∂y· dy − ∂V

∂z· dz

9

dW = q0 · dV = q0 · ~E · d~s⇒ dV = ~E · d~sEx · dx = −∂V∂x · dx

Ey · dy = −∂V∂y · dy

Ez · dz = −∂V∂z · dz

Ex = −∂V∂x

Ey = −∂V∂y

Ez = −∂V∂z

~E = −~∇V

Richiamo di Analisi II La circuitazione di un vettore in un intervallo chiuso, l, è:∮l

~E · d~s =∫

Σ

~∇× ~E · ~n · dΣ

dove Σ è una superficie chiusa da l e ~n è il vettore normale a Σ. Si definisce rotore di ~E:

~∇× ~E =

∣∣∣∣∣∣∣∣î ĵ k̂∂

∂x

∂

∂y

∂

∂zEx Ey Ez

∣∣∣∣∣∣∣∣Poichè la circuitazione è una scrittura equivalente di un integrale di curva, se si ha un campo conservativoallora la circuitazione è nulla.

Dimostrazione 1 ∮l

~E · d~s = 0

Poichè ∀Σ, ~n · d~Σ 6= 0, allora~∇× ~E = 0

Dimostrazione 2 Se il campo è conservativo:

~∇× ~E = =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

î ĵ k̂

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

−∂V∂x

−∂V∂y

−∂V∂z

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= î ·

[∂

∂y·(−∂V∂z

)− ∂∂z·(−∂V∂y

)]+

−ĵ ·[∂

∂x·(−∂V∂z

)− ∂∂z·(−∂V∂x

)]+ k̂ ·

[∂

∂x·(−∂V∂y

)− ∂∂y·(−∂V∂x

)]=

= î ·[∂2V

∂y · ∂z− ∂

2V

∂z · ∂y

]− ĵ ·

[∂2V

∂x · ∂z− ∂

2V

∂z · ∂x

]+ k̂ ·

[∂2V

∂x · ∂y− ∂

2V

∂y · ∂x

]= 0

[∂2V

∂y · ∂z− ∂

2V

∂z · ∂y

]= 0, se V è una funzione continua.

2.3 Dipolo ElettricoIl dipolo elettrico è un concetto abbastanza semplice le cui applicazioni sono tantissime.

Definizione 1 Si definisce dipolo elettrico un oggetto costituito da due cariche, q, uguali e oppostedistanti a.

2.3.1 Potenziale geneato da un dipolo

É possibile calcolare il potenziale generato da un dipolo solo se il punto, P , si trova a una distanza molto

superiore di a. disegnoV (P ) =

q

4 · π · ε0 · r1− q

4 · π · ε0 · r2=

q

4 · π · ε0·[

1

r1− 1r2

]10

Se P è molto lontano, allora ϑ ' ϑ′ e r2 − r1 = a · cos(ϑ).

V (P ) =q

4 · π · ε0·(r2 − r1r2 · r1

)' q

4 · π · ε0· a · cos(ϑ)

r2=

~p · ~r4 · π · ε0

dove ~p = q · ~a indica il momento del dipolo.

Differenziazione dei sistemi coordinati

Sistema di Riferimento Cartesiano Caratterizzato dalla presenza di tre coordinate x, y e z.

~∇f = ∂f∂x· î+ ∂f

∂y· ĵ + ∂f

∂z· k̂

Sistema di Riferimento Polare o Sferico Caratterizzato dalla presenza di tre coordinate:

• ρ che indica la distanza euclidea dall’origine (r ∈ [0,+∞[)

• ϑ che indica l’angolo formato con l’asse x (ϑ ∈ [−π,+π[)

• ϕ che indica l’angolo formato con l’asse z (ϕ ∈ [0, 2 · π[)

~∇f = ∂f∂r· r̂ + 1

r· ∂f∂ϑ· ϑ̂+ 1

r · sin(ϑ)· ∂f∂ϕ

Sistema di coordinate Cilindriche Caratterizzato dalla presenza di tre coordinate:

• ρ che indica la distanza euclidea dall’origine (r ∈ [0,+∞[)

• ϑ che indica l’angolo formato con l’asse x (ϑ ∈ [−π,+π[)

• z che indica la distanza del punto dal piano xy (z ∈ [0,+∞[)

~∇f = ∂f∂r· r̂ + 1

r· ∂f∂ϑ· ϑ̂+ ∂f

∂z· k̂

In coordinate sferiche~E = −∂V

∂r· r̂ − 1

r· ∂V∂ϑ· ϑ̂− ∂V

∂z· k̂

Riprendendo il calcolo precedente:

V (P ) =q

4 · π · ε0· a · cos(ϑ)

r2

Er =2 · q · a · cos(ϑ)

4 · π · ε0 · r3=

~p · ~r4 · π · ε0 · r4

Eϑ =q · a sin(ϑ)

4 · π · ε0 · r3

Eϕ = 0

~E(r, ϑ) =p

4 · π · ε0 · r3·[2 · cos(ϑ) · r̂ + sin(ϑ) · ϑ̂

]p = q · a

2.3.2 Dipolo all’interno di un campo elettricoHo un dipolo immerso in un campo elettrostatico esterno al dipolo. DISEGNO

p1 = (x, y, z)p2 = (x+ ax, y + ay, z + az)

La sua energia elettrostatica vale:

Udipolo = −q · V (p1) + q · V (p2) = −q · V (x, y, z) + q · V (x+ ax, y + ay, z + az)

Si pone a trascurabile (si può quindi fare lo sviluppo in serie), si considera il campo conservativo e,pertanto, si ha:

Udipolo = −q · V (x, y, z) + q · V (x, y, z) + q ·(∂V

∂x· ax +

∂V

∂y· ay +

∂V

∂z· az)

= q · (−Ex · ax − Ey · ay − Ez · az) = −(Ex · px + Ey · py + Ez · pz) =

= −~P · ~E

11

2.3.3 Momento di un dipoloIn un campo elettrostatico costante un dipolo può solo ruotare, non può traslare.

~M = ~r1 × ~F1 + ~r2 × ~F2 = ~r1 × (−q · ~E) + ~r2 × (q · ~E) =

= (~r2 − ~r1)× (q · ~E) = q · (~r2 − ~r1)× ~E = q · ~a× ~E = ~p× ~E

2.3.4 Dipolo in un campo elettrico non costanteSe un dipolo è immerso in un campo elettrico non costante, nel quale quindi la risultante non è nulla~R 6= 0, il dipolo oltre a ruotare può anche traslare.

~Ftot = ~F1 + ~F2 = −q · ~E1 + q · ~E2

~E1 = ~E(x, y, z) ~E2 = ~E(x+ ax, y + ay, z + az)

Sviluppando in serie ~E2 si ha

~E2 = q ·

(~E(x, y, z) +

∂ ~E

∂x· ax +

∂ ~E

∂y· ay +

∂ ~E

∂z· az

)

~Ftot = q ·

(~E(x, y, z) +

∂ ~E

∂x· ax +

∂ ~E

∂y· ay +

∂ ~E

∂z· az − ~E(x, y, z)

)=

= Px ·∂ ~E

∂x+ Py ·

∂ ~E

∂y+ z ·

∂ ~E

∂z= ~P · ~∇ ~E

In un campo conservativo~Rtot = −~∇U = −~∇

(−~P · ~E

)2.3.5 Applicazioni del concetto di dipoloVoglio conoscere il potenziale della carica in G.

V (~r) =1

4 · π · ε0·∫d~r′ · ρ(~r′)|~r − ~r′|

=1

4 · π · ε0·∫

d~r′ · ρ(~r′)

r ·∣∣∣1− ~r′~r ∣∣∣

poichè ~r′~r è una quantita molto piccola è possibile effettuare lo sviluppo in serie1

V (~r) ∼ 14 · π · ε0

·

[1

r·∫d~r′ · ρ(~r′) + 1

r·∫ ~r′

~r· d~r′ · ρ(~r′)

]

=1

4 · π · ε0·[

1

r·∫d~r′ · ρ(~r′) + 1

r2·∫~r′ · d~r′ · ρ(~r′)

]=

q

4 · π · ε0 · r+

~P · ~r4 · π · ε0 · r3

~P = −∫~r′ · ρ(~r′) · d3~r′

Il copenziale di un corpo qualunque posto a grande distanza può essere visto come il potenziale di unacarica puntiforme a cui viene aggiunto il potenziale di un dipolo.

1 11−x ∼ 1 + x

12

Capitolo 3

Teorema di Gauss

É un teorema di valenza generale, vale in campi in cui si ha un andamento del tipo 1r2 .Se ho una superficie, Σ, e ne prendo una parte infinitesima, dΣ, il flusso di ~E attraverso Σ è:

dΦ = ~E · ~n · dΣ

con ~E = ~E(x, y, z) e ~n = ~n(x, y, z).Il teorema di Gauss afferma che il flusso attraverso una superficie chiusa è:

Φ(~E)

=

∫Σ

~E · ~n · dΣ =n∑i=1

qiε0

con qi interno alla superficie

Nel caso di un corpo macroscopico∫Σ

~E · ~n · dΣ = 1ε0

∫v

ρ(x, y, z) · dx · dy · dz v = volume racchiuso da Σ

Dimostrazione 3 (Teorema di Gauss) Dimostrando il teorema per una carica puntiforme lo si puòdimostrare anche per n cariche e quindi anche per un corpo macroscopico.Se q è una carica interna alla superficie IMAMGINE

dΦ = ~E · ~n · dΣ = q4 · π · ε0 · r2

ûr · ~n · dΣ

ûr · ~n · dΣr2

= dΩ angolo solido

dr · r2 · sin(ϑ) · dϑ · dϕ = dv = dr · dΣdΣ

r2= sin(ϑ) · dϑ · dϕ = dΩ∫

dΩ =

∫ π0

sin(ϑ) · dϑ ·∫ 2·π

0

dϕ = 4 · π

Φ =

∫dΦ =

∫q

4 · π · ε0· ûr · ~n · dΣ

r2=

q

4 · π · ε0·∫dΩ =

q

ε0

Se q fosse una carica esterna alla superficie il flusso è nullo

Φ = 0

in quanto attraversa, per entrare, la superficie in un punto con ~n in una direzione e la riattraversa lasuperficie, per uscire, con ~n in direzione opposta perciò l’angolo solido che si forma è nullo.

3.1 Esempi di Applicazione del teorema di Gauss

Il teorema di Gauss è utile nel calcolare in modo semplice, in determinate condizioni, il campo elettrico.

13

3.1.1 Campo elettrico di una carica puntiformeIMMAGINE Per definire il campo elettrico per una carica puntiforme, poichè la carica ha simmetriasferica, si sceglie come superficie una sfera1.

Φ(~E)

=

∫~E · ~n · dΣ = q

ε0

Sulla superficie della sfera il campo è costante, quindi lo si può portare fuori dall’integrale

Φ(~E)

= E ·∫ûr · ~n · dΣ = E ·

∫dΣ = E · Σ

ûr e ~n sono paralleli quindi ûr · ~n = 1In una sfera la superficie esterna è Σ = 4 · π · r2

E · Σ = 4 · π · r2 = qε0⇒ E = q

4 · π · ε0 · r2

3.1.2 Campo elettrico generato da un filo caricoPoichè un filo carico ha simmetria cilindrica, si sceglie come superficie un cilindro coassiale con il filo.IMMAGINE

Φ(~E)

=

∫Σtot

~E · ~n · dΣ = Qε0

Φ(~E)

=

∫Σlaterale

~E · ~n · dΣ =∫

Σsuperiore

~E · ~n · dΣ =∫

Σinferiore

~E · ~n · dΣ∫Σsuperiore

~E · ~n · dΣ =∫

Σinferiore~E · ~n · dΣ = 0

Φ(~E)

= E ·∫dΣlaterale = E · 2 · π · l · r =

Q

ε0⇒ ~E = q

4 · π · ε0 · l· ûr

3.1.3 Campo elettrico generato da un piano infinitoSi ha un piano infinito uniformemente carico IMMAGINE si pone un cilindro che attraversa il piano, ilcontributo sarà dato solo dalle superfici circolari del cilindo (la superficie laterale è perpendicolare a ~E,quindi prodotto scalare nullo).

Φ = 2 ·∫

Σbase_cilindro~E · ~n · dΣ = 2 · E

∫Σbase_cilindro

dΣ =Q

ε0=σ · Σbase

ε0

2 · E · Σbase = σ ·Σbaseε0

~E =σ

2 · ε0· ûr

3.1.4 Campo elettrico generato da un guscio carico omogeneoSi prendono sempre superfici concentriche al guscio. IMMAGINE Se r < R, cioè la superficie è internaal guscio

Φ( ~E) = 0⇒ ~E = 0Se r > R, cioè la superficie è esterna al guscio

Φ( ~E) =Q

ε0=

∫~E · ~n · dΣ = E ·

∫ûr · ~n · dΣ = E ·

∫dΣ

E · Σ = Qε0⇒ E · 4 · π ·R2 = Q

ε0⇒ E = Q

4 · π · ε0 · r2Il risultato ottenuto è esattamente come se ci fosse un unica carica puntiforme posta al centro del guscio.

V (r) = −∫E · dr = −

∫Q

4 · π · ε0 · r2dr =

Q

4 · π · ε0 · r

V (r) =

Q

4 · π · ε0 · rr ≥ R

Q

4 · π · ε0 ·Rr < R

1la superficie si può scegliere a piacimento, in quanto il teorema suppone solo superfici chiuse. Quindi è utile scegliere lesuperfici atte a semplificare i conti

14

3.1.5 Campo elettrico di una sfera caricaIMMAGINE Se P , punto della carica campione, è esterno alla sfera (cioè r ≥ R). Il flusso di una sferadi raggio r, concentrica alla sfera carica, è∫

~E · ~n · dΣ = E ·∫dΣ =

Q

ε0

E · Σ = Qε0

E · 4 · π · r2 = Qε0⇒ ~E = Q

4 · π · ε0 · r2· ûr

Se P è interno alla sfera (cioè r ≤ R). Il flusso di una sfera di raggio r, concentrica alla sfera carica, è∫~E · ~n · dΣ = q

′

ε0q′ carica interna alla sfera di raggio r

E · 4 · π · r2 = q′

ε0⇒ ~E = q

′

4 · π · ε0 · r2· ûr

Poichè q′ non è in funzione dei dati del problema bisogna ricondurla a tali valori. Si definisce ρ la densitàdi carica la seguente quantità

ρ =Q

v=

Q43 · πR3

Q =4

3· π ·R3 · ρ⇒ q′ = Q(r) = 4

3· π · r3 · ρ

~E =43 · π · r

3 · ρ4 · π · ε0 · r2

· ûr =ρ

3 · ε0· ~r

L’andamento del campo è completamente diverso all’interno e all’esterno del campoQ

4 · π · ε0 · r2· ûr r ≥ R

ρ

3 · ε0· ~r r ≤ R

Poichè il potenziale è una funzione continua, in quanto derivabile ho che

V (+∞)− V (r) = −∫ +∞r

E · dr ⇒ V (r) =∫ +∞r

E · dr =[− q

4 · π · ε0 · r

]+∞r

=Q

4 · π · ε0 · r

V (R) =Q

4 · π · ε0 ·R

V (R)− V (r) = −∫ Rr

E · dr = ρ3 · ε0

·∫ Rr

r · dr = ρ3 · ε0

·[R2

2− r

2

2

]V (r) =

ρ

3 · ε0·[R2

2− r

2

2

]+ V (R) =

ρ

3 · ε0·[R2

2− r

2

2

]+

Q

4 · π · ε0 ·R

V (r) =ρ

ε0·[R2

6− r

2

6+

1

4 · π

]

3.1.6 Calcolo del campo generato da una sfera carica, cava in un puntoSi utilizza il principio di sovrapposizione degli effetti, ipotizzando la cavità come una sfera carica ma concarica opposta. Definiremo quindi R1 il raggio della sfera, R2 il raggio della cavitò, Q1 la carica dellasfera, Q2 la carica della cavità, ~r1 la posizione di P rispetto al centro della sfera e ~r2 la posizione di Prispetto al centro della cavità. Se P è esterno alle sfere (r > r′)

~E =Q1

4 · π · ε0 · r13· ~r1 +

Q24 · π · ε0 · r23

· ~r2 =43 · π ·R1

3 · ρ4 · π · ε0 · r13

· ~r1 −43 · π ·R2

3 · ρ4 · π · ε0 · r23

· ~r2 =

=ρ

3 · ε0

((R1r1

)3· ~r1 −

(R2r2

)3· ~r2

)

15

Se P è interno alla cavità

~E =Q1

4 · π · ε0 · r13· ~r1 +

Q24 · π · ε0 · r23

· ~r2 =43 · π · r1

3 · ρ4 · π · ε0 · r13

· ~r1 −43 · π · r2

3 · ρ4 · π · ε0 · r23

· ~r2 =

=ρ

3 · ε0· [~r1 − ~r2] =

ρ

3 · ε0· ~R

Se il buco è concentrico alla sfera, si ha che il campo all’interno della cavità è nullo (è un guscio sferico).

3.1.7 Teorema di Gauss in forma differenzialeTeorema di Gauss, di analisi matematica

Il teorema di Gauss consente di portare un integrale di volume di un campo vettoriale generico in unintegrale di superficie (se la superficie è la superficie che racchiude il volume).∫∫∫

v

~∇ · ~E · dx · dy · dz =∫∫

Σ

~E · ~n · dx · dy

~∇ · ~E =(î · ∂∂x

+ ĵ · ∂∂y

+ k̂ · ∂∂z

)·(Ex · î+ Ey · ĵ + Ez · k̂

)T=∂Ex∂x

+∂Ey∂y

+∂Ez∂z

Forma differenziale

In fisica il teorema di Gauss è ∫~E · ~n · dΣ = Q

ε0=

1

ε0·∫ρ · dv∫∫∫

~∇ · ~E · dv = 1ε0·∫∫∫

ρ · dv ⇒∫∫∫ [

~∇ · ~E − ρε0

]· dv = 0⇒ ~∇ · ~E = ρ

ε0

16

Capitolo 4

Condensatori e Dielettrici

4.1 Conduttori all’interno di un campo elettrico

Un conduttore è un materiale che può condurre cariche elettriche. Si tratteranno, nel prosieguo del corso,solo i conduttori solidi (di tipo metallico).Un metallo può essere rappresentato mediante il metodo a nuvola di elettroni.Se si pone un metallo in un campo elettrostatico il campo resta statico (il sistema si pone immediatamentein equilibrio, in un tempo stimato di 10−13s).L’unica posizione di equilibrio possibile si ha quando nel metallo si ha un campo elettrico nullo (deveessere così altrimenti gli elettroni risentono di una forza e quindi si muovono, non è statico). Se il metalloè carico (vi è un eccesso di elettroni), le cariche aggiuntive possono stare solo sulla superficie esterna, inmodo da avere campo nullo all’interno.Se supponessimo di avere un metallo cavo IMMAGINE

I( ~E) = 0

Calcolando la circuitazione lungo l si ha ∮l

E · dr = 0

ma all’interno della cavità si ha un contributo, mentre all’interno del metallo non ci sono contributi;pertanto le cariche si dispongono solo sulla superficie esterna (gabbia di Faraday). Poiche ~E = 0 alloraall’interno del metallo ho sempre lo stesso potenziale.Definiamo ~E2 il campo elettrico fuori dal metallo, ~E1 il campo elettrico all’interno del metallo.

E2n − E1n =σ

ε0

ma E1n = 0, mentre

E2t = E1t = 0

All’esterno del metallo il campo è sempre normale al metallo (se si è vicini).

~E =σ

ε0· ~n legge di Coulomb

Poichè σ = QΣ allora si ha che nelle punte il campo è molto più intenso che sulle superfici piane.

4.2 Condensatore

Introducendo un metallo in un campo elettrico le cariche si spostano in modo che il campo all’interno delmetallo sia nullo.

Etot = E + E′ = 0⇒ E′ = −E

17

Se ho n conduttori si avrà:

V1 = a11 · q1 +a12 · q2 + . . . +a1n · qn

V2 = a21 · q1 +a22 · q2 + . . . +a2n · qn

......

......

...

Vn = an1 · q1 +an2 · q2 + . . . +ann · qn

aij sono i coefficienti di potenziale (si può dimostrare che aij = aji, aij > 0, aii > aij)

q1 = c11 · v1 +c12 · v2 + . . . +c1n · vn

q2 = c21 · v1 +c22 · v2 + . . . +c2n · vn

......

......

...

qn = cn1 · v1 +cn2 · v2 + . . . +cnn · vn

cij sono i coefficienti di capacità (si può dimostrare che cij = cji, cij < 0, cii > 0)Se si mette un metallo in un campo elettrico occorre usare l’equazione di Laplace con le giuste condizionia contorno, in quanto per pendere Emet = 0 si crea uno pseudo-dipolo.

Esercizio 1 In una zona dello spazio è presenta un campo elettrico il cui potenziale vale

V (x, y) = a · x2 + b · y a, b ∈ R

Calcolare:

• il modulo del campo elettrico nel punto di coordinate P = (x, y, z)

• la carica complessiva presente in un cubo di lato L con un vertice nell’origine, gli spigoli paralleliagli assi e giacente nel primo ottante

~E = −~∇V ⇒

Ex = −2 · a · x

Ey = −b

Ez = 0

~E(x, y, z) = −2 · a · x · î− b · ĵ∣∣∣ ~E(x, y, z)∣∣∣ = √4 · a2 · x2 + b2Occorrebbe calcolare il flusso su ogni faccia del cubo, ma si ottiene un calcolo estremamente lungo, pertantosi prova a calcolare la divergenza di E, ~∇ · ~E = ρε0 .

~∇ · ~E = ∂Ex∂x

+∂Ey∂y

+∂Ez∂z

= −2 · a+ 0 + 0 = ρε0⇒ ρ = −2 · a · ε0

Q =

∫v

ρ · dv = −2 · a · ε0 · L3

Esercizio 2 Data una sfera di raggio a entro cui esiste una densità di carica

ρ(r) =k

r2

con r pari alla distanza dal centro.Calcolare il campo elettrico e il potenziale in un generico punto P .Si utilizzano le coordinate sferiche per semplificare i conti (nel caso specifico è molto utile).

dv = r2 · dr · sin(ϑ) · dϑ · dϕ

18

• r ≥ a

Q =

∫v

dv · ρ =∫ a

0

k

r2· r2 · dr ·

∫ π0

sin(ϑ) · dϑ ·∫ 2·π

0

dϕ = k · a · [−(−1− 1)] · 2 · π = 4 · π · k · a

Φ(~E)

=Q

ε0=

4 · π · k · aε0

E · Σ = 4 · π · k · aε0

⇒ ~E = 4 · π · k · aε0 · 4 · π · r2

· ûr =k · aε0 · r2

· ûr

Φ(~E)

=q′

ε0⇒ E · Σ = q

′

ε0⇒ E = q

′

4 · π · r2 · ε0

V (r) = −∫E · dr = −

∫k · aε0 · r2

dr =k · aε0 · r

• r ≤ a

q′ =

∫ r0

k

r2· r2 · dr ·

∫ π0

sin(ϑ) · dϑ ·∫ 2·π

0

dϕ = k · r · [−(−1− 1)] · 2 · π = 4 · π · k · r

~E =4 · π · k · r

4 · π · r2 · ε0· ûr =

k

ε0 · r· ûr

V (r) = −∫E · dr + V0 = −

∫k

ε0 · rdr = − k

ε0· log(r) + V0

poichè il potenziale è continuo allora

− kε0· log(a) + V0 =

k · aε0 · a

⇒ V0 =k

ε0· (1 + log(a))

Si ha un condensatore ogni volta che si hanno due superfici con cariche opposte, sono in tale condizionepoichè la carica complessiva è sempre nulla.

Definizione 2 (Capacità) Si definisce capacità il rapporto tra la carica e il potenziale, qv , tale rapportoè dipendente solo dalla forme geometrica del conduttore. Non dipende dalla densità in quanto le densitàsaranno presenti sia in q che in v e si semplificano.

C =q

v

La capacità si misura in farad, [F ]; 1 farad indica una capacità estremamente grande.

4.2.1 Collegamento tra condensatoriDue condensatori possono essere collegati in serie o in parallelo.

Definizione 3 (Condensatore in serie) Due condensatori si dicono collegati in serie se sono attra-versati dalla stessa corrente, pertanto sono attraversati dalla stessa carica. IMMAGINE

vc − va = vc − vb + vb − va =q

C1+

q

C2= q ·

(1

C1+

1

C2

)= q · 1

Ceq

Ceq =

(1

C1+

1

C2

)−1Ovviemnte il discorso può essere estesi a n condensatori in serie

Ceq =

(n∑i=1

1

Ci

)−1Definizione 4 (Condensatore in parallelo) Due condensatori si dicono collegati in parallelo se ailoro capi è presente la stessa differenza di potenziale. IMMAGINE

Ceq = C1 + C2

Ovviemnte il discorso può essere estesi a n condensatori in serie

Ceq =

n∑i=1

Ci

19

Calcolo della capacità di un condensatore sferico

Un condensatore sferico è composto da due sfere concentriche di raggio r1 e r2, tra le due sfere vi èinduzione completa. IMMAGINE

−(V2 − V1) =q

4 · π · ε0 · r1− q

4 · π · ε0 · r2= − q(r1 − r2)

4 · π · ε0 · r1 · r2=

q(r2 − r1)4 · π · ε0 · r1 · r2

V1 − V2q

=1

C=

r2 − r14 · π · ε0 · r1 · r2

C = 4 · π · ε0 ·r1 · r2r1 − r2

Se h = r2 − r1 e h� r1, r2 allora r1 ' r2 ' r (r è la media geometrica tra r1 e r2).

C ' 4 · π · ε0 ·R2

h=ε0 · Σh

si ha quindi che l’area è proporzionale all’area dell’armatura e inversamente proporzionale alla distanza.

Calcolo della capacità di un condensatore cilindrico

Un condensatore cilindrico è composto da due cilindri coassiali di raggio r1 e r2, tra i due cilindri vi èinduzione completa. IMMAGINE

V1 − V2 =∫ r2r1

~E · d~l =∫ r2r1

λ · dr2 · π · ε0 · r

=λ

2 · π · ε0· log

(r2r1

)

q = d · λ V1 − V2q

=log(r2r1

)2 · π · ε0 · d

Se h = r2 − r1 e h� r1, r2 allora r1 ' r2 ' r (r è la media geometrica tra r1 e r2).

C ' 2 · π · ε0 · d

log(

1 + r2−r1r1

) = 2 · π · ε0 · dlog(1 + hR

)poichè hR → 0 allora

log

(1 +

h

R

)∼ hR

C =2 · π · ε0 · dlog(1 + hR

) ∼ 2 · π · ε0 · d ·Rh

=Σ

h· ε0

Si osserva che il valore di C è dipendende solo dalla superficie.

Calcolo della capacità di un condensatore piano

Un condensatore piano è composto da due piani infiniti paralleli tra loro.

V1 − V2 =∫

~E · d~l

Ma abbiamo dimostrato che E è costante tra i piani e vale E = σε0 , mentre è nullo all’esteno dei piano.

V1 − V2 =σ · hε

=σ · Σ · hε0 · Σ

=q

ε0 · Σ· h

C =q

V1 − V2=ε0 · Σh

Esempio 1 Si calcola la circuitazione di E lungu un percorso chiuso quadrato di lato l. In un campogenerato da due piani paralleli è sempre costante e parallelo alle armature.∮

~E · d~l = σε0· l + 0 + 0 + 0 = σ

ε0

Il secondo e il quarto ternine sono entrambi nulli perche paralleli ai piani, mentre il terzo termine è nulloperchè esterno al campo.Si ha una contraddizione in quanto la circuitazione non è nulla, anche se si trova in un campo elettrostati-co. La contraddizione è spiegabile dal fatto che uscendo dai piani il campo non è nullo, come considerato,inoltre vicino ai bordi E 6= σε0 . Le condizioni poste si hanno se i piani sono piani infiniti.

20

4.3 Lavoro di carica di un condensatore e densità di energiaSi hanno due lastre pooste come le armature di un condensatore piano. Tali lastre sono inizialmentescariche, se si collega un generatore di tensione alle piastre tale generatore sposte le cariche dalle piastreimponendo una differenza di potenziale di V (il condensatore si carica).Per spostare una carica bisogna compiere un lavoro

dW = dq′ · V ′

ma poiche qV = C allora V′ = q

′

C quindi

dW = dq′ · q′

C⇒W =

∫ q0

q′

C· dq′ = q

2

2 · C=C · V 2

2

poichè in un condensatore piano C = e0·Σd e q = σ · Σ allora si ha che

W =q2

2 · C=

q2 · d2 · ε0 · Σ

=σ2 · Σ2

2 · ε0 · Σ· d = ε0

2· σ

2

ε02· (Σ · d) = ε0

2· E2 · V

W = U

Si definisce densità di energia il rapporto

W

V=ε02· E2

Dimostrazione 4 Si fa un ragionamento diverso, il cui risultato può comunque essere esteso, l’energiainterna al sistema è

U =1

2·

N∑i, j = 1i 6= j

qi · qj4 · π · ε0 · rij

=1

2·N∑i=1

qi · vi vi =N∑

j = 1j 6= i

qj4 · π · ε0 · rij

In un campo carioco macroscopico si ha che

U =1

2·∫dq · V = 1

2·∫v

dV · ρ · V

bisogna sempre integrare in coordinate spaziali, dq = ρ · dV

Sfruttando la divergenza di E (teorema di Gauss in forma differenziale) si ha

~∇ · ~E = ρε0⇒ ρ = ε0 · ~∇ · ~E

1

2·∫v

dV · ρ · V = 12·∫v

dV · ε0 · ~∇ · ~E · V =ε02·∫v

~∇ · ~E · V · dV =

=ε02·∫dV ·

[~∇ ·(~E · V

)− ~∇ ·

(V · ~E

)]=ε02

∫dV · ~∇ ·

(~E · V

)+ε02·∫E2 · dV =

=ε02

∫Σ

dΣ · V · ~E · ~n+ ε02

∫v

E2 · dV

Il risultato ottenuto è più generale in quanto se prendo tutto il volume il campo sulla superficie è nullo,mentre se non èrendo tutto il volume il campo non è nullo.

4.4 Pressione elettrostaticaSi otterrà che il campo elettrico esercita una pressione, in quanto se c’è carica nelle armature le piastre siattraggono e si si attraggono c’è una forza e quindi anche una pressione. All’interno di una campo elettricfonon è intuivito pensare alla presenza di una pressione, ma questo vale anche per onde elettromagnetichecome il raggio di una luce (essendo gli effetti troppo bassi si è portati a pensare che non ci sia).

U =q2

2 · C=

q2

2 · ε0 · Σ· h

21

dU =q2

2 · ε0 · Σ· dh

dh < 0 in quanto la lastra muovendosi compie un lavoro.

dU =σ2 · Σ2

2 · ε0 · Σ· dh = ε0

2· σ

2

ε02· Σ · dh

−dUdh

= −ε02· σ

2

ε02· Σ

F = −ε02· E2 · Σ

P =F

Σ= −ε0

2· E2

Si osserva che |P | = |densità di energia|Poichè si hanno solo forze conservative allora F = −∇U

22

Capitolo 5

Dielettrici

I dielettrici sono i materiali isolanti. Gli atomi negli isolanti (a differenza dei conduttori) si tengono strettiattorino a loro la nuvola di elettroni (non essendo molto liberi di muoversi non si ha conduzione), ma sepongoun atomo isolante in un campo elettrico gli elettroni vengono spostati su un lato, quindi si generaun dipolo.

Definizione 5 (dielettrico polare) Si definisce polare un dielettrico che in un campo nullo è un dipolo

Definizione 6 (dielettrico a-polare) Si definisce a-polare un dielettrico che in un campo nullo non èun dipolo.

Se in un condensatore piano si pone un metallo, lastra (di lato s), si ha

V0 = Eh

Vm = E · (h− s) = E · h ·h− sh

= v0 ·h− sh

Se invece si pone una lastra di dielettrico (di lato s) si ha

Vk =E · kk

=V0k

Si ha sempre che Vm < Vk, ponendo un metallo all’interno di un condensatore si ha un potenziale sempreinferiore al potenziale che si ottiene mettendo un dielettrico all’interno del condensatore.Poichè nel dielettrico le cariche non possono muoversi come è possibile spiegare la riduzione del potenziale?Succede che ogni atomo diventa un dipolo, ottenendo così equilibrio interno e resta la carica solo sul bordo(le cariche interne si elidono a due a due). L’effetto è più piccolo perchè non contribuiscono tutte le carichema solo quelle esterne.

Dimostrazione 5 Sperimentalmente si ha che k ≥ 1.

k =V0Vk

Vkh

=V0k · h

Ek =E0k

E0 − Ek =σ0ε0− σ0ε0 · k

=σ0ε0·(

1− 1k

)=σ0ε0·(k − 1k

)

Ek = E0 −σ0ε0·(k − 1k

)=σ0ε0− σ0ε0·(k − 1k

)

σp = σ0 ·(k − 1k

)Ek =

σ0ε0− σpε0

23

Nella nuova modellizzazione si ha che

V0 → V0k

E0 → E0k

ε0 → ε = k · ε0

Ck =qVk

= k · qV0 = k · C0

Si osserva che la capacità dello stesso condensatore in presenza di un dielettrico aumenta di un fattore k.k è dipendente dalla temperatura (le tabelle sono spesso scritte alla temperatura di 20◦C), i k indicatisono unici per materiali isolanti isotropi, mentre sono due valori (k‖ e k⊥ ai piani).

5.1 Rigidità dielettricaDefinizione 7 (Rigidità dielettrica) Si definisce rigidità dielettrica il valore massimo di campo elet-trico che un dielettrico può sopportare

(è dell’ordine di 106 ÷ 107 Vm

).

Se il campo elettrico, nel quale è immerso il dielettrico, è maggiore della rigidità dielettrica dell’area siha che il campo distrugge la struttura atomica del dielettrico, si ha la formazione del plasma.

Esempio 2 (Fulmine) Un esempio tangibile di tale fenomeno è un fulmine. Il fulmine si ha in presenzadi una grandissima differenza di potenziale tra nuvole e terreno, pertanto si forma un campo elettrico moltoelevato che distrugge la struttura atomica dell’aria, la velocità delle particelle dissociate è estremamenteelevata quindi aumenta moltissimo anche la temperatura (temperatura ∝ velocità).

5.2 Dipolini all’interno di un dielettricoCosa succede ai dipolini elementari che fi formano ponendo un dielettrico all’interno di un campo elettrico?

Definizione 8 (Momento medio di dipolo elementare) Si definisce momento medio di dipolo ele-mentare la media del momento di un numero finito di dipoli, è valido solo se ilo numero di dipoli elementariha l’ordine di almeno un milione di lementi.

〈p〉

Definizione 9 (Vettore di polarizzazione o momento di dipolo di un volumetto infinitesimo)

~P =∆N

∆τ· 〈p〉 = n · 〈p〉

con N pari al numero di atomi presenti nel volume, τ il volume indicato e n il numero di atomi presentiper unità di volume.

Sperimentalmente si ha~P = ε0 · (k − 1) · ~E = ε0 · χ(t) · ~E

In quasi tutti i materiali ~P ∝ ~E, in generale si ha

~P = ε0 · χ(t, ~E

)· ~E

ma χ(t, ~E

)si può sviluppare in serie, quindi

~P ' ε0 ·[χ(t, 0) +

∂χ(t, E → 0)∂E

· E + . . .]· ~E

In generale ∂χ(t,E→0)∂E · E è molto piccolo (molti ordini di grandezza inferiori) pertanto lo si ignora, manei materiali ferro elettrici tale valore non è trascurabile. IMMAGINE

P =dp

dτ⇒ dp = P · dτ = P · dΣ · dh

dp = dq · dh = σp · dΣ · dh

24

Si ricava che il vettore di polarizzazione per unità di volume, ~P , è P = σp.Se i campi non hanno una struttura estremamente regolare come quella dell’immagine precedente si hache

σp = ~P · ~n

IMMAGINE ∫Σ

σp · dΣ =∫~p · ~n · dΣ = 0

La somma delle cariche deve essere nulla, poichè da un lato si ha +q e dall’altro lato c’è −q pertanto siequivalgono.Se il materiale è onogeneo la supposizione che i dipoli interni si annullano è veta, mentre se il materialenon è omogeneo vi saranno dei termini correttivi.

Analisi con materiale non omogeneo

IMMAGINE dτ è un volumetto infinitesimo Se il materiale non è omogeneo dqp − dq′p 6= 0, pertanto siavrà una carica netta

dqp − dq′p = −[P ′ − P ] · dΣ

P ′ = σ′p · dΣ

P = σp · dΣ

dΣ = dx · dy · dzP ′ ≡ P (x+ dx+ y + z)

P ≡ P (x, y, z)

P ′ − P = P (x, y, z) + ∂P∂x· dx− P (x, y, z) = ∂P

∂xdx

La carica netta che rimane è

dq = dqp − dq′p = −∂P

∂x· dx · dΣ = −∂P

∂x· dx · dy · dz = −∂P

∂x· dτ

Lo stesso procedimento andrà effettuato anche lungo y e lungo z. Si avrà quindi che

dq = −[∂P

∂x+∂P

∂y+∂P

∂z

]· dτ = −~∇ · ~P

~∇ · ~P = −ρp

Esempio 3 (applicativo) IMMAGINE Se si vol determinare il potenziale presente nel punto F , bisognaconsiderare, oltre al potenziale generato dal campo del corpo C, anche gli effettu delle cariche presentisull’isolante I.

V (F ) =1

4 · π · ε0·∫

ΣC

σc · dΣcr′︸︷︷︸

corpo C

+1

4 · π · ε0·∫

Σ

σp · dΣr︸︷︷︸

isolante I

+1

4 · π · ε0·∫τ

dτ · ρpr︸︷︷︸

se il materiale non è omogeneo

ρp = ~∇ · ~Pσp = ~P · ~n

non si usa εisolante perche F è fuori dall’isolante

Se ho un campo generato da q esterno all’isolante e nell’isolante ~E 6= 0, allora nell’isolante avrò dellecariche di polarizzazione (qp). In tale situazione comunque vale il teorema di Gauss

Φ(~E)

=

∫~E · ~n · dΣ = q + qp

ε0

~∇ · ~E = ρ− ρpε0

⇒ ε0 · ~∇ · ~E = ρ− ~∇ · ~P

~∇ ·(ε0 · ~E + ~P

)= ρ

25

Definizione 10 (Induzione elettrica) Si definisce induzione elettrica la seguente quantità

~D = ε0 · ~E + ~P

Si ha quindi che {~∇ · ~D = ρΦ(~D)

= q

É possibile quindi definire l’elettrostatica con due equazioni{~∇ · ~E = ρtotali

ε0~∇× ~E = 0

≡{

~∇ · ~D = ρlibere~∇× ~E = 0

Se si considera la ~∇ · ~E devo avere traccia di tutte le cariche interne, mentre considerando la ~∇ · ~D devoconsiderare solo le cariche libere, quelle cariche non appartenenti all’isolante. É chiaro quindi che è piùsemplice considerare ~∇ · ~D, non si usa il ~∇× ~D in quanto in genere non è nullo.

Dimostrazione 6 (Conservazione della componente normale di un campo elettrico) In un cam-po elettrico si è dimostrato che sull’interfaccia si ha la conservazione dela componente tangenziale, macosa succede se si considera l’induzione elettrica?IMMAGINE Per seemplicità di calcolo si pone ~D costante, ma i risultati trovati sono del tutto generali.

Φ(~D)

= ~D1 · ~n1 · Σ1 + ~D2 · ~n2 · Σ2 = 0

~n1 = − ~n2

Φ(~D)

= D1n · Σ1 −D2n · Σ2 = 0⇒ D1n · Σ1 = D2n · Σ2

Poichè Σ1 = Σ2 si ha cheD1n = D2n

Si ha quindi che la componente normale di ~D si conserva, in presenza di un’interfaccia.

Osservazione

~D = ε0 · ~E + ~P = ε0 · ~E + ε0 · χ · ~E = ε0 · ~E + ε0 · (k − 1) · ~E = ε0 · k · ~E = εr · ~E ⇒ ~E =~D

εr

~P = ε0 · (k − 1) · ~E = ε0 · (k − 1) · ~E = ε0 · (k − 1) ·~D

εr=ε0 · (k − 1) · ~D

ε0 · k=

(k − 1k

)· ~D

Se il materiale è omogeneo non si hanno cariche libere, quindi

~∇ · ~P = k − 1k· ~∇ · ~D = 0

mentre se il materiale non è omogeneo

~∇ · ~P = k − 1k· ~∇ · ~D + ~D · ~∇

(k − 1k

)6= 0

Il primo termine è nullo, in quanto non vi sono cariche libere; mentre il secondo termine vale ~D·~∇(k−1k

)=

−ρpolarizzazione.Nel caso di materiali non isotropi

P1 = ε0 · (χ11 · E1 + χ12 · E2 + χ13 · E3)

P2 = ε0 · (χ21 · E1 + χ22 · E2 + χ23 · E3)

P3 = ε0 · (χ31 · E1 + χ32 · E2 + χ33 · E3)

χij = −χji

Quindi χ è una mtrice quadrata di lato 3, tale matrice è caratterizzata da 6 elementi distinti.

26

Esercizio 3 In un condensatore puiano l’area totale delle armature è S = 200cm2 e la distanza tra diesse è d = 0.2cm.Se la distanza tra le armature viene dimezzata, calcolare di quanto varia l’energia del condensatore neiseguenti casi:

1. il condensatore rimane sempre collegato a una batteria di forza elettromotrice V = 300V

2. il condensatore, originariamente collegato alla batteria, viene disconnesso prima di avvicinare learmature.

Ci = ε0 ·S

d

Cf = ε0 ·Sd2

= 2 · ε0 ·S

d= 2 · Ci

Soluzione caso:

1.

Wi =1

2· Ci · V 2

Wf =1

2· Cf · V 2 =

1

2· 2 · Ci · V 2 = Ci · V 2

∆W = Wf −Wi = Ci · V 2 −1

2· Ci · V 2 =

1

2· Ci · V 2

∆W =1

2· ε0 · S · V

2

2 · d=

8.85 · 10−12 · (300)2 · 2 · 10−2

2 · 2 · 10−3=

9.95 · 92

· 10−7J ' 39.83 · 10−7J

2. il sistema viene isolato, quindi si ha la conservazione della carica

Wi =Q2

2 · C

Wf =Q′2

2 · C=

Q2

4 · C

∆W = Wf −Wi =Q2

2 · C·[

1

2− 1]

= − Q2

4 · C

Q = C · V

∆W = Wf −Wi = −C2 · V 2

4 · C= −C · V

2

4= −ε0 · S · V

2

4 · d' −2 · 10−6J

Si osserva che nel primo caso si ha un lavoro positivo, effettuato dalla batteria, mentre nel secondo casosi ha un lavoro negativo in quanto per avvicinare le armature bisogna compiere un lavoro.

Esercizio 4 Le armature di un condensatore piano sono costutuite da piastre quadrate di lato l e distantid.Il condensatore viene caricato alla tensione V , successivamente le armature vengono isolate in modo chela carica su ogni piastra rimanga costante.Si introduce, poi, fra le armature e parallelemente ad esse una lamina metallica piana molto estesa espessa h.Calcolare:

1. il lavoro che si deve effettuare per introdurre tale lamina

2. la nuova tensione V ′ tra le armature

IMMAGINE

Se interpone una lamina metallica, all’interno della lamina si ha campo nullo, quindi è come se avessidue condensatori collegati in serie.

27

Wi =1

2· Ci · V 2 =

1

2· ε0 ·

l2

d· V 2

Dopo aver posto la lamina

C1 = ε0 ·l2

d− h− x

C2 = ε0 ·l2

x

1

Cf=

1

C1+

1

C2=d− h− xε0 · l2

+x

ε0 · l2=d− hε0 · l2

⇒ Cf =ε0 · l2

d− h

Wf =1

2· Cf · V 2

∆W = Wf −Wi =Q2

2 · Cf− Q

2

2 · Ci=Q2

2·(

1

Cf− 1Ci

)=Q2

2·(d− hε0 · l2

− dε0 · l2

)= − Q

2

2 · ε0 · l2· h

Poichè Q = Ci · V =ε0 · l2

d· V , allora

∆W = − ε02 · l4 · V 2

2 · d2 · ε0 · l2· h = −ε0 · l

2 · V 2

2 · d2· h

Si ha che ∆W < 0 in quanto tutti i valori sono positivi ed è presente il segno meno.

Cf =ε0 · l2

d− h=ε0 · l2

d· dd− h

= Ci ·d

d− h

V ′ =Q

Cf=

Q

Ci · dd−h=

Q

Ci· d− h

d= V ·

(1− h

d

)Si osserva subito che V ′ < V .

Esercizio 5 Calcolare il valore della capacità se la variazione dell’energia elettrostatica di un conden-satore piano, con le armature di area S poste alla distanza d e caricato con una carica Q, quando siinserisce tra le armature un foglio di materiale dielettrico di spessore sp < d, avente le stesse dimensionidelle armature e con costante dielettrica εr. IMMAGINE

Se interpone una lamina di dielettrico, all’interno della lamina si ha campo non nullo, quindi è come seavessi tre condensatori collegati in serie, in quanto è come se all’interno del dielettrico ci fosse un altro

condensatore.

1

Cf=

1

C1+

1

C2+

1

C3=

1ε0·S

d−sp−x+

1εr·Ssp

+1ε0·Sx

=1

S·[d− sp − x

ε0+spεr

+x

ε0

]er = k · ε0

1

Cf=

1

ε0 · S·[d− sp − x+

spk

+ x]

=1

ε0 · S·[d− sp ·

(1− 1

k

)]Ci =

ε0 · Sd

Wi =1

2· Q

2

Ci

Wf =1

2· Q

2

Cf

∆W = Wf −Wi =1

2· Q

2

Cf− 1

2· Q

2

Ci=Q2

2·(

1

Cf− 1Ci

)=

=Q2

2·

[d− sp ·

(1− 1k

)ε0 · S

− dε0 · S

]=

Q2

2 · ε0 · S·[d− sp ·

(1− 1

k

)− d]

=

=Q2

2 · ε0 · S·[−sp ·

(k − 1k

)]=sp · (1− k) ·Q2

2 · ε0 · S · k< 0 poichè k > 1

28

Esercizio 6 Tra le armature di un condensatore piano di larghezza m e lunghezza l, distanti d vieneintrodotto per t < d un materiale dielettrico di permiabilità εr.Calcolare la forza con cui il materiale viene risucchiato all’interno del condensatore all’atto in cui sistabilisce tra le armature una differenza di potenziale V . IMMAGINE

In tale configurazione, si ha una parte (t) delle armature nel quale è presente il dielettrico, mentredall’altra parte (l − t) non vi è il dielettrico, poiche in entrame le parti si ha la stessa V allora è come

se vi fossero due condensatori in parallelo.εr = k · ε0

Ci =ε0 ·m · l

d

Cf (t) = C1 + C1 =εr ·m · t

d+ε0 ·m · (l − t)

d=

=k · ε0 ·m · t

d+ε0 ·m · (l − t)

d=ε0 ·md· [(k − 1) · t+ l]

Wf (t) =1

2· Cf (t) · V 2 =

ε0 ·m · V 2

2 · d· [(k − 1) · t+ 1]

L’energia prodotta dal generatore è W (t) più l’energia necessaria per tirare “dentro” il dielettrico.

dWg = V · dq = V · V · dC = V 2 · dC

Wg è l’energia prodotta complessivamente dal generatore.

dWe =V 2

2· dC

We è l’energia elettrostatica immagazinata.

dWg = dW + dWe ⇒ dW = dWg − dWe =V 2

2· dC = V

2

2· dCdt· dt

dq = F · dt⇒ F = dWdt

=V 2

2· dCfdt

=V 2

2· m · (k − 1)

d· ε0

5.3 Condittori metalliciSe ho un metallo in un campo non conservativo si ha la formazione di ua corrente (l’alettrone lasciatolibero dall’atomo si muove con una velocità di un ordine di grandezza inferiore alla velocità della luce, simuove con v ' 106ms ). Questo non è contraddittorio con cià che è stato detto precedentemente in quantoavere velocità media nulla non imploca chte tutte le velocità siano nulle.

~vitot = ~vi + ~vderiva ~vderiva velocità casuata dal campo esterno

1

N·N∑i=1

~vitot =1

N·N∑i=1

~vi + ~vderiva ⇒〈~vtot〉

= 0 + ~vderiva

vderiva ∼ 10−4m

sv ∼ 106m

s

Può sembrare strano ma per le considerazioni che faremo la grandezza fondamentale è vderiva1.

5.3.1 Corrente elettricaDefinizione 11 (Corrente elettrica) Si definisce corrente elettrica la variazione temporale della cari-ca.

i =dq

qt

[i] =[C]

[s]= [A]

[A] è una unità di misura fondamentale.

1Nel proseguo della trattazione vd = vderiva

29

Quanto vale la variazione della carica in un filo (cilindro) di oro? IMMAGINE Si prende un trattoinfinitesimo e si considera la sezione dΣ.Si considera n densità di elettroni, portatori, per unità di volume, mentre si considera e la carica di unportatore (presa in valore assoluto).

∆q = n · e ·∆τpoichè ∆τ = vd ·∆T · dΣ · cos(ϑ)

∆q = n · e · vd ·∆T · dΣ · cos(ϑ)

∆q

∆T= n · e · vd · dΣ · cos(ϑ)

i =

∫Σ

n · e · vd · dΣ · cos(ϑ) =∫

Σ

~J · ~n · dΣ

Definizione 12 (Densità di corrente elettrica) Si definisce densità di corrente elettrica la seguentequantità

~J = n · e · ~vdSi misura in [A][m]2 .

Se ho un metallo come portatori non si hanno solo gli elettroni ma possono essere presenti anche deiportatori positivi (generati da lacune), si ha che

~J = n+ · e · ~vd+ − n− · e · ~vd− = e ·[n+ · ~vd+ − n− · ~vd−

]Poichè le cariche si muovono con verso opposto allora v̂d+ = v̂d− .

~J = e · v̂d− ·[n+ · vd+ − n− · vd−

]Pertanto misurando la densità di corrente, non si può sapere se tale valore è dovuto a portatori positivio portatoni negativi.

5.3.2 Legge di conservazione della caricaIn sistemi isolati si ha la conservazione di molte caratteristiche del sistema.

Supponiamo di avere un corpo di volume τ e di superficie Σ da cui esce una carica (se la carica esce siusa il segno negativo). IMMAGINE

i = −dQdT

−dQ = i · dT =∫

Σ

~J · ~n · dΣ · dT

−dQdT

=

∫Σ

~J · ~n · dΣ

−∂[∫dτ · ρ

]∂T

= −∫dτ · ∂ρ

∂T=

∫Σ

~J · ~n · dΣ

−∫dτ · ∂ρ

∂T=

∫Σ

~J · ~n · dΣ =∫τ

~∇ · ~J · dτ

L’ultima sostituzione la si può fare mediante il teorema di Gauss di analisi.∫τ

~∇ · ~J · dτ +∫τ

∂ρ

∂T· dτ = 0⇒

∫τ

(~∇ · ~J + ∂ρ

∂T

)· dτ = 0

L’integrale è nullo se la funzione integranda è nulla

~∇ · ~J + ∂ρ∂T

= 0

Nel caso di un campo statico ~∇ · ~J = 0, quindi ~J è un vettore solenoidale e quindi ~J può essere scrittocome rotore di un altro vettore. Il flusso di ~J è nullo poichè

~∇ · ~J = 0⇒∫

~J · ~n · dΣ = 0

30

Definizione 13 (Vettore solenoidale) É un vettore con divergenza nulla e tale vettore può esserescritto come rotore di un altro vettore.

~∇ · ~J = 0⇒ ~J = ~∇× ~V

Definizione 14 (Vettore irrotazionale) É un vettore con rotore nullo e tale vettore può essere scrittocome l’opposto di una derivata.

~∇× ~E = − ~∇V

5.3.3 Legge di Ohm∆V = i ·R

Dimostrazione 7 (Legge di Ohm) Supponiamo di avere un filo di rame con ~J costante, poichè nellatrattazione si lavorerà in una sistuazione unidimenzionale, semplice, si evita l’uso dei vettori.

ρ(t) · J = Σh · ρ(t) · J · E = E · h · Σ

poichè ∆V = E · h allorah · ρ(t) · i = ∆V · Σ

∆V = i ·(ρ(t) · h

Σ

)= i ·R

[R] =[∆V ]

[i]=

[V ]

[A]= [Ω]

i calcoli precedenti sono stati effettuati su un filo omogeneo di sezione costante, in generale

R =

∫dh

Σ· ρ

Si osserva sperimentalmente che la resistività, ρ, è in funzione della temperatura. IMMAGINE

Definizione 15 (Superconduttore) Si definisce superconduttore quel conduttore che in determinatiintervalli di temperatura hanno resistività nulla, un esempio di superconduttore è il piombo al di sottodella temperatura critica di 2.22K.Vi sono superconduttori con una temperatura critica molto elevata, intorno agli 138K ma non sono usatiperche contengono elementi tossici, essi sono composti da:

• HgSrBaCaO

• TlSrCaBaCuOI conduttori (fatta eccezione dei superconduttori) hanno sempre una resistività residua ρ0.

5.3.4 Effetto JouleDefinizione 16 (Effetto Joule) L’effetto Joule in un resistore è

W =

∫ t0

i2 ·R · dt

Dimostrazione 8 (Effetto Joule) Si suppone di avere una carica dq e la si fa muovere con unadifferenza di potenziale V , quindi

dW = V · dq = V · i · dt

P =dW

dt= V · i = i2 ·R

W =

∫ t0

i2 ·R · dt

in genere R la si può portare fuori perchè la si condidera costante.

In un resistore si ha che la potenza P saràP = i2 ·R

Pertanto si ha che all’aumentare della resistenza si ha una potenza maggiore, ma potenza maggioresignifica dissipare più calore, ma poichè all’aumentare della temperatura aumenta il valore di resistività(e quindi anche la resistenza) il conduttore sarà costretto a fondere.In tutti gli esercizi si supporrà che ρ sia in regione lineare (con T ' TAMB).

31

5.3.5 Resistenze in serieSi definiscono in serie i resistori attraversati dalla stessa corrente, quindi per la conservazione della carica

∆V = i ·R1 + i ·R2

∆V = i ·R = i · (R1 +R2)⇒ R = R1 +R2

5.3.6 Resistenze in paralleloSi definiscono in parallelo i resistori a cui è applicata la stessa differenza di potenziale

i1 ·R1 + i2 ·R2 = ∆V

ii =∆V

Ri

∆V

R1+

∆V

R2= i1 + i2 = i =

∆V

R(1

R1+

1

R2

)=

1

R⇒ R =

(1

R1+

1

R2

)−1In un circuito ∮

~e · dl = ε

dove ε è la batteria e poichè la circuitazione non è nulla allora significa che il campo non è conservativo.All’interno dei calcoli delle potenze per avere il valore corretto occorrre tener presente che i generatorihanno una resistenza interna e i fili sono sempre delle resistenze, di solito li si considera nulli perchè è diordine di grandezza inferiore alla resistenza del circuito, ma ciò non è sempre vero.

Calcolo del moto di un dipolo all’interno di un campo elettrico costente Se ho un dipolo inun campo elettrico ~E costante, se sposto il dipolo dalla sua posizione di equilibrio (lo sposto di un angoloinfinitesimo), il dipolo subirà di un momento.

~M = I · ~α = −~P × ~E

I · ∂2ϑ

∂t2= −P · E · sin(ϑ)

∂2ϑ

∂t2+P · EI· sin(ϑ) = 0

ma se ϑ→ 0 allora∂2ϑ

∂t2+P · EI· ϑ = 0

si osserva che è l’equazione di un moto armonico con ω =√

P ·EI

ϑ(t) = A · sin

(√P · EI· t+ ϕ

)A e ϕ dipendono dalle condizioni iniziali, il periodo di oscillazione è

T =2 · πω

= 2 · π ·√

I

P · E

5.3.7 Carica di un condensatoreSia un circuito RC, composto da resistenza e condensatore, inizialmente aperto e con condensatore scarico.IMMAGINE Al tempo t = 0 si chiude il circuito, il condensatore si carica e passerà corrente fino a che latensione ai capi di C è esattamente ε

ε = VC + VR =q

C+ i ·R⇒ dq

dt+

q

R · C=

ε

R

pertanto è necessaria la condizione a contorno q(0) = 0

dq

dt=ε · C − qR · C

= −q − ε · CR · C

32

si osserva che è una equazione differenziale a variabile separabili si ha

dq

q − ε · C= − dt

R · Cintegrando tra t = 0 e t = t∗ allora ∫ q(t∗)

0

dq

q − ε · C= −

∫ t∗0

dt

R · C

lnq(t∗)− ε · C−ε · C

= − t∗

R · C

q(t∗)− ε · C = −ε · C · e− t∗

R·C

q(t∗) = ε · C ·(

1− e− t∗

R·C

)IMMAGINE

i =dq

dt=

d

dt·(ε · C − ε · C · e− tR·C

)=

ε

R· e− tR·C

IMMAGINE [R · C] = [sec] è necessario in quanto l’argomento dell’esponenziale deve essere un numeropuro, altrimenti se l’argomento fosse una quantità dimensionata allora sviluppando la funzione in serie sisommerebbero quantità diverse, la cui somma non è lecita.

5.3.8 Scarica di un condensatoreSia un circuito RC, composto da resistenza e condensatore, inizialmente aperto e con condensatore carico(q(0) = q0). IMMAGINE Al tempo t > 0 si ha che

Vc + VR = 0 non c’è più il generatore

q

C+dq

dt·R = 0

dq

dt= − q

R · CÉ un integrale a variabili separabili pertanto integrando tra t = 0 e t = t∗ si ha∫ q(t∗)

q0

dq

q= −

∫ t∗0

dt

R · C

lnq(t∗)

q0= − t

∗

R · C

q(t∗) = q0 · e−t∗R·C

IMMAGINEi(t) =

dq

dt= − q0

R · C· e− tR·C

IMMAGINE

5.3.9 Leggi di KirchhoffSi distinguono due leggi distinte

• la somma di tutte le correnti entranti al nodo2 è nulla (conservazione della carica)N∑k=1

ik = 0

si considerano positive le correnti entranti al nodo.

• la somma di tutte le tensioni su una maglia è nulla, bisogna considerare anche le cadute di tensionesui resistori

N∑k=1

Rk · ik =N ′∑n=1

εk

si considerano positive le tensioni con verso uguale alla percorrenza scelta.

2il ramo è il congiungimento di almeno tre ramo

33

Capitolo 6

Campo magnetico

Il campo magnetico è un campo vettoriale che in qualche modo altera lo spazio-tempo.Il campo elettrico e il campo magnetico sono distinguibili dal fatto che ci muoviamo a bassissima velocità(rispetto alla velocità della luce), ad alta velocità (comparabile alla velocità della luce) non si ha più ladistinzione tra i due campo, pertanto in tali situazioni si tratta solo di un campo elettro-magnetico.Per lo studio del campo magnetico la forma che più semplifica il problema è una bacchetta molto lunga(nel caso del campo elettrico l’oggetto più semplificativo è la sfera).In seguito a molte osservazioni, Coulomb, si è osservato che si comportavano in molto simile ai dipoli.Coulomb ricavò una formula che si è dimostrata dare una visione distorta della realtà. I passi avanti piùimportanti sono stati effettuati dopo la scoperta della pila di Volta, si osservò che una bussola passandovicino a un filo, nel quale si ha il passaggio di corrente elettrica, aveva l’ago “impazzito”.Il campo magnetico si ottiene per mezzo di cariche in modo, nel caso di conduttori anche se non collegatia batterie possono realizzare un campo magnetico grazie alla presenza di correnti a livello atomico.Coulomb osservo che la forza attrattiva/repulsiva di due macchette magnetiche è sempre uguale, cioè duebacchette si attraggono e si respingono con la stessa forza, poichè la forza è uguale allora significa che lacarica della bacchetta è complessivamente nulla, pertanto ha flusso nullo.∫

Σ

~B · ~n · dΣ = 0⇒ ~∇ · ~B = 0

Poichè ~∇ · ~B = 0 allora B = ~∇× ~A.~A′ = ~A+ ~∇F

con F una funzione scalare qualsiasi

~B′ = ~∇× ~A′ = ~∇× ~A+ ~∇×(~∇F)

= ~B

In fisica vi sono delle grandezze non misurabili ma sono solo grandezze matametiche.

6.1 Forza di LorentzQuesta forza aggiunta alle quattro equazioni di Maxwell sono sufficienti per spiegare compiutamente icampi elettrici e l’ottica.

Definizione 17 (Forza di Lorentz) Si definisce forza di Lorenz la forza

~FL = q ·(~E + ~v × ~B

)La forza può essere scomposta in due forze, forza elettrica e forza magnetica

~FL = ~FE + ~FM

~FE = q · ~E~FM = q · ~v × ~B

Si può osservare, analizzando l’espressione di ~FM , che FM = 0 se v = 0 o se ~v‖ ~B. Il lavoro compito dallaforza di Lorentz è

dWM = FM · ds = q · ~v × ~B · d~s = q ·d~s

dt× ~B · d~s

35

poichè d~s× ~B ⊥ d~s allora d~s× ~B · d~s = 0 quindi

dWM = 0

Il lavoro, della forza magnetica, è sempre nullo poichè perpendicolare allo spostamento.Supponiamo che una particella si muove in una regione di spazio con ~v perpendicolare al campo magnetico

~F = q · ~v × ~B F = |~F | = q · v ·B

Calcolo del moto di una carica con velocità perpendicolare a un campo magnetico

Supponendo ~B costante

F = m · a = m · v2

r

si suppone lo spostamento di tipo circolare, perchè sempre perpendicolare al campo

F = m · v2

r= q · v ·B ⇒ r = m · v

q ·B

q · ~v × ~B = m · ~ω × ~v

~v × (q · ~B) = −~v × (m · ~ω)⇒ q · ~B = −m · ~ω ⇒ ~ω = −q ·~B

m

|~ω| = q ·Bm

T =2 · πω

=2 · π ·mq ·B

La particella si muoverà nel campo magnetico con moto circolare uniforme di periodo T e raggio dicurvatura r.

Calcolo del moto di una carica con velocità qualsiasi a un campo magnetico

~FL = q ·((~v⊥ + ~v‖

)× ~B

)= q ·

(~v⊥ × ~B + ~v‖ × ~B

)~v‖ × ~B = 0, poichè parallela a ~B.

~FL = q ·(~v⊥ × ~B

)v⊥ = v · sin(ϑ)

FL = q · v · sin(ϑ) ·B

r =m · v · sin(ϑ)

q ·B

T =2 · πω

=2 · π ·mq ·B

La carica avrà un moto a elica e il passo dell’elica è

v‖ · T =v · cos(ϑ) · 2 · π ·m

q ·B

Questo ci fa capire che il campo magnetico terrestre in qualche modo ci “protegge”. Le particelle chearrivano verso la Terra si scontrano con il campo magnetico e le particelle iniziano a ruotare in una zonadi spazio estremamente limitata.

6.2 Seconda legge di Laplace

Laplace ha formulato due leggi che mettono in relazione il campo magnetico con la corrente che circolain un circuito.Partendo dalla forza magnetica di Lorentz, per ogni elettrone si ha

~F = −e · ~vD × ~B

36

In un filo scorreranno elettroni (scorre una corrente elettrica), pertanto si cerca la forza che subiscono glielettroni, se si prende un pezzo infinitesimo di filo (ds) si ha IMMAGINE

dF = dN ·(−e · ~vD × ~B

)N è il numero di portatori per unità di volume, quindi dN = n · dτ = n · ds · Σ

dF = −n · e · ~vD × ~B · Σ · ds = ds · ~J · Σ× ~B = J · Σ · d~s× ~B

d~s‖ ~B

dF = i · d~s× ~B

In generale la seconda legge di Laplace in forma finita è

~F =

∮i · d~s× ~B

Dall’analisi dimensionale si ha che

[F ] = [i] · [ds] · [sin(ϑ)] · [B]⇒ [B] = [F ][i] · [ds] · [sin(ϑ)]

=[N ]

[A] · [m]= [T ] [T ] = tesla

6.3 Momento di un dipolo magnetico

Prendiamo una spira rettangolare e la mettiamo in un campo magnetico costante, la spira è percorsa dacorrente, quindi sarà sottoposta a delle forze.Se il campo magnetico è costante la forza totale è nulla quindi la spira1 non trasla ma può ruotare. F1e F3 l’ungo l’asse non hanno braccio, mentre F2 e F4 sono uguali ma di verso opposto (F2 è uscente,mentre F4 è entrante al piano).

F =

∫a

i · d~s× ~B = i · a ·B · sin(ϑ)

M = F · b = i · a · b ·B · sin(ϑ) = i · Σ ·B · sin(ϑ)⇒ ~M = i · Σ · ~n× ~B

Definizione 18 (Momento magnetico) Si definisce momento magnetico la quantità

~m = i · Σ · ~n

~M = ~m× ~B

Tutte le formule per il dipolo magnetico e campo magnetico sono uguali a quelle ricavate per il bipolo ecampo elettrico sostituendo P ed E con n ed B.Se B è costante, si può ricavare il parallelismo con un campo elettrostatico, ma la stessa legge vale per Bnon uniforme infatti dividendo le spire in pezzi infinitesimi, sopravvivono solo le correnti sui bordi esternidi ogni infinitesimo di spira e le altre si annullano, quindi la formula resta la stessa.Spostendo un ago in un campo magnetico

M = −I · d2ϑ

dt2

~M = ~m× ~B ⇒ | ~M | = m ·B · sin(ϑ)

−I · d2ϑ

dt2= m ·B · sin(ϑ)⇒ d

2ϑ

dt2+m ·BI· sin(ϑ) = 0

con ϑ sufficientemente piccolo (ϑ < ϑmax = 7◦)

d2ϑ

dt2+m ·BI· ϑ = 0

1la spira è un elemento di forma indeformabile e fissata su un asse

37

Si osserva che è l’equazione di un moto armonico con ω2 =m ·BI

, l’ago quindi oscilla intorno alla posizione

di equilibrio, aggiungendo all’equazione m · dϑdt

si tiene conto anche degli attrici (che ne influenzano lavelocità).Avendo un circuito immerso in un campo magnetico, spostandolo si ha una variazione del flusso che ècausato da una variazione dell’energia interna (si è compiuto lavoro sulle spire). La formula è validasolo se la corrente è costante. Ogni volta che si varia la posizione di un circuito, il flusso genera dellecorrenti indotte quindi non è più costante, questa corrente quindi bisogna modificarla esternamente perriequilibrare il sistema.Poichè

UP = −~P · ~E ⇒ UP = −~m · ~B

In termini infinitesimi si ha

dUP = −d~m · ~B = −i · dΣ · ~n · ~B = −i · dΦ = −dW ⇒ dW = i · dΦ

Spostando il circuito si haW = i ·∆Φ = i · (Φfin − Φin)

Supponendo di essere in 1−D allora

dW = F · dx = i · dΦ = i · dΦdx· dx ⇒ F = i · dΦ

dx

Riportandoci in 3−D allora~F = i · ~∇Φ

Se la spira al posto di traslare ruota si ha

dW = M · dϑ = i · dΦ = i · dΦdϑ· ϑ ⇒ M = i · dΦ

dϑ

6.4 Effetto Hall

Tale effetto è molto utile per calcolare la densità dei portatori o l’intensite del campo magnetico (notealcune condizioni iniziali). É un effetto della forza di Lorentz (l’effetto è visibile in materiali semplici).Per semplicità di calcolo si considera il filo come un nastro, non più un cilindo. Posto il nastro in uncampo magnetico tra le due facce del nastro si instaura una differenza di potenziale. IMMAGINE

~vD‖x̂ ~B‖ŷ

~FL = e · ~vD × ~B ⇒FLe

= ~vD × ~B = EH

In base alle ipotesi fissate allora si ha che ~EH‖ẑ.Al campo sarà associata una forza elettromotrice

εH =

∫EH · dz = vd ·B · b

Si raggiunge l’equilibrio quando~EH + ~Ea = 0

εH = vD ·B · b =j

n · e·B · b = i

a · b· 1n · e

·B · b = i ·Bn · e · a

Con misure dirette di εH note i, B, e ed a allora si ricava la densità dei potratori nel metallo (n).

εH = α ·B α è una caratteristica dello strumento elettrico

Se si pone il nastro in un campo magnetico con intensità nota, B, si può ricavare α =εHB

(εH è misurata);

mentre si può calcolare l’intensità di un campo magnetico se è noto α(B =

εHα

).

38

6.4.1 Spettrometro di massa

Il funzionamento di uno spettrometo di massa è basato sulla forza di Lorentz.Mediante uno spettrometro di massa si riesce a stabilire il rapporto tra la massa e la carica di un elemento(in tali condizioni si può anche stabilire l’isotropo dell’elemento).Differenti isotopi dello stesso elemento hanno il medesimo comportamento ma ai fini della fisica nuclearehanno un comportamento completamente diverso.Lo spettrometro di massa è uso strumento molto semplice: IMMAGINE una carica che entra nel campomagnetico sottostante, per le condizioni indicate, inizia a ruotare e colpisce la lastra fotografica, calcolandoil punto in cui si ha la collisione con la lastra fotografica si può stabilire il raggio di curvatura, poichèl’energia cinetica è

1

2·m · v2 = q · V

la carica nel campo magnetico ha v = q · B · rm

, sostituendo si ha

1

2·m · q2 · B

2 · r2

m2= q · V

1

2· q · B

2 · r2

m= V ⇒ m

q=B2 · r2

2 · VSe ho due isotropi diversi ho due raggi diversi

m1q

=B2

2 · V· r12

m2q

=B2

2 · V· r22

⇒ m1m2

=

(r1r2

)2

6.4.2 Selettore di velocità

Il selettore di velocità è una modificazione introdotta in quanto utilizzando lo spettrometro di massa si haun legame di tipo quadratico (dipendono da r2) e un piccolo errore in r genera una grande imprecisionenel rapporto mq . Il selettore di velocità ha la seguente schematizzazione: IMMAGINE Le uniche particelleche riescono a passare attraverso a sono quelle che subiscono una forza di Lorentz nulla, cioè E+v ·B = 0

v = −EB

poichè r =m · vq ·B0

r = −mq· EB ·B0

⇒ mq

= −r · B ·B0E

Si osserva ora che il rapporto mq ha un legame lineare con r.

6.4.3 Ciclotrone

É un accelleratore di particelle ed è necessario nello studio del nucleo (poichè le forze nucleare sonoestremamente forti occorre far scontrare le particeelle a velocità prossime a quelle della luce, in tal modosi genera un’energia così ampia da rompere i legami nucleari).Per accellerare un fascio di particelle occorre imporle in una differenza di potenziale, ma per avere grandiaccellerazioni occorre avere grandi differenze di potenziale (non si può avere valori alti a piacere in quantovi è il vincolo imposto dalla rigidità dielettrica). Per ovviare a tale problema si realizza uno strumento ingrado di modificare la polarità di un “condensatore” in modo da far andare avanti e indietro le cariche,accellerandole di volta in volta.Il ciclotrone è realizzato da due semidischi di raggio R affacciati dal loro diametro.Si impone tra i dischi una differenza di potenziale V (t) e facendo passare attraverso l’interfase tra i duedischi si ha una accellerazione, si ha una modifica dell’energia cinetica

1

2·m · v12 = q · V0

Se sui semidischi è posto un campo magnetico perpendicolare ai dischi, pertanto per effetto della forza diLorentz si ha la modifica del verso della velocità (non si modifica il modulo), a questo punto la particella

39

si ritrova all’interfase e attraversandola subisce nuovamente un’accellerazione (occorre che la polarità siastata invertita)

1

2·m · v22 =

1

2·m · v12 + q · V0

Il tempo di percorrenza della carica sul disco è:

t1 =1

2· 2 · π · r1

v1=π ·m · v1q ·B · v1

=π ·mq ·B

Si osserva che il tempo in cui la carica ruota è indipendente dalla velocità, pertanto si pone V (t) come unafunzione che cambia periodicamente la periodicità, si pone una tensione alternata V (T ) = VMAX ·sin(ω ·t)Si osserva che a ogni attraverso il raggio di curvatura nel campo magnetico aumenta fino a quando nonesce dal ciclotrone, si può dimostrare che

vMAX =q ·Bm·R

occorre quindi scegliere ω appropriato per poter rendere possibile il corretto funzionamento:

T =2 · πω

= 2 · t⇒ ω = πt

=q ·Bm

Per ottenere valori di velocità confrontabili con la velocità della luce la trattazione non è sufficiente inquanto occorre anche considerare gli effetti relativistici.

6.5 Prima legge di LaplaceUn circuito attarversato da corrente genera un campo magnetico, per la prima legge di Laplace si hannodue formulazioni che tengono conto della trascurabilità di alcuni elementi, si ha la formulazione unidi-mensionale se si calcola il campo magnetico generato in un punto molto lontano dal filo conduttore.In generale, in forma infinitesima è

d ~B = km ·i · d~s× ~r

r3

non si può avere una forma finita in quanto è dipendente dalla forma del circuito.

6.5.1 Formulazione 1−D

dB = km ·i · ds · sin(ϑ) · r

r3= km ·

i · ds · sin(ϑ)r2

[km] =

[dB · r2

i · ds · sin(ϑ)

]=

[dB · r2

i · ds

]=

[T ] · [m]2

[A] · [m]=

[T ] · [m][A]

=[N ]

[A]2

km =µ0

4 · π

Definizione 19 (Permiabilità magnetica) Si definisce permiabilità magnetica la quantità µ0

~B =µ0

4 · π· i ·∮d~s× ~rr3

~∇ · ~B = ~∇ ·(µ0

4 · π· i ·∮d~s× ~rr3

)=

µ04 · π

· i ·∫ [

ûrr2· ~∇× d~s−

(~∇× ûr

r2

)· d~s]

Ma ~∇× d~s = 0, in quanto tutti gli incrementi sono indipendenti, mentre ~∇× ûrr2

= ~∇× ~∇ ·(−1r

)= 0

~∇ · ~B = 0

6.5.2 Formulazione 3−DSi usa tale formulazione nel caso in cui le componenti del circuito non sono trascurabili

~B =µ0

4 · π·∫

Σ

~j · ~n · dΣ ·∫d~s× ûr

r2=

µ04 · π

·∫τ

dτ ·~j × ûrr2

Le quantità dΣ è la sezione del filo, ds è la lunghezza del filo mentre dτ è il volume del filo, inoltre l’ultimauguaglianza è valida in quanto d~s‖~j.

40

Calcolo di ~B se il circuito non è posto nell’origine

IMMAGINE

~B(~r) =µ0

4 · π

∫τ

dτ ·~j(~r′)×(~r − ~r′

)∣∣∣∣∣∣~r − ~r′∣∣∣∣∣∣3

~B(x, y, z) =µ0

4 · π·∫dx′ ·

∫dy′ ·

∫dz′ ·

~j(x′, y′, z′)×[(x− x′) ·~i+ (y − y′) ·~j + (z − z′) · ~k

][(x− x′)2 + (y − y′)2 + (z − z′)2]

32

Un campo magnetico lo si può avere anche con il movimento di una sola carica (non è necessaria unacorrente elettrica).

d ~B =µ0

4 · π·~j × ~rr3· dτ = µ0

4 · π· n · e~vD × ~r

r3· dτ = µ0

4 · π· e · ~vD × ûr

r2· n · dτ

ma n è il numero di particelle e dτ è il volume infinitesimo, quindi n · dτ è il numero di cariche per unitàdi volume n · dτ = dN

d~B =µ0

4 · π· e · ~vD × ûr

r2· dN

d~B = ~B|e · dN

~B|e =µ0

4 · π· e · ~vD × ûr

r2

Si osserva che ~B si può avere anche con una sola carica (dN = 1), l’importante è che vi sia movimento.

~B|e =µ0

4 · π· ~vD × ûr · e

r2= µ0 · ε0 · ~vD ×

ûr · e4 · π · ε0 · r2

= ε0 · µ0 · ~vD × ~E|e

posto per definizione1

c2= ε0 · µ0 si ha

~B|e =~vDc2× ~E|e

Calcolo del campo generato da un filo lungo il suo asse Si considera un filo di lunghezza 2 · aIMMAGINE

dB =∣∣∣d ~B∣∣∣ = µ0

4 · π· i · ds · sin(ϑ)

r2⇒ B = µ0

4 · π·∫ds · sin(ϑ)

r2

Per poter risolvere l’integrale è necessario definire ds e r in funzione di ϑ. IMMAGINE

r · sin(π − ϑ) = r · sin(ϑ) = R⇒ 1r

=sin(ϑ)

R⇒ 1

r2=

(sin(ϑ)

R

)2s · tan(π − ϑ) = R

tan(π − ϑ) = − tan(ϑ)

s = − Rtan(ϑ)

= −R · cot(ϑ)

[cot(ϑ)]′

= − 1sin2(ϑ)

ds =R · dϑsin2(ϑ)

ds · sin(ϑ)r2

=R · dϑsin2(ϑ)

· sin(ϑ) · sin2(ϑ)

R2=dϑ · sin(ϑ)

R

B =µ0

4 · π·∫ds · sin(ϑ)

r2=

µ04 · π

·∫dϑ · sin(ϑ)

R=

µ04 · π ·R

∫sin(ϑ) · dϑ

l’integrale ha come estremi di integrazione ϑ1 e ϑ2, ma poichè ϑ1 e ϑ2 sono simmetrici allora si integratra ϑ1 e π2 e si raddoppia il valore letto

B =µ0

2 · π ·R·∫ π

2

ϑ1

sin(ϑ) · dϑ = µ02 · π ·R

· [− cos(ϑ)]π2

ϑ1=

µ02 · π ·R

· cos(ϑ1)

41

mar · cos(ϑ1) = a⇒ cos(ϑ1) =

a

r=

a√a2 +R2

B =µ0

2 · π ·R· a√

a2 +R2

~B =µ0

2 · π ·R· a√

a2 +R2· ûΦ

ûΦ è un versore perpendicolare a d~s e a ~r

Teorema 1 (Legge di Biot-Savart) Quest’ultima formulazione nota come la legge di Il campo ge-nerato da un filo rettilineo di lunghez

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Appunti di 03AXPNZ - Fisica II 1 · Appunti di 03AXPNZ - Fisica II1 Studente: MACI Samuele Politecnico di Torino Anno Accademico 2011/2012 [email protected] Docente: