Application of mathematics to easily detect lung cancer

Carlos Calvo Luque Claudia Ceña López Universidad Complutense de Madrid Ingeniería Química

Introducción

Objetivo

Proyecto Europeo LCAOS

“A nanoscale artificial nose to easily detect volatile biomarckers at early satges of

lung cancer and related genetic mutations”

- Detección de cáncer de pulmón.

- Facilitar su detección temprana

- Determinar la posibilidad potencial de padecerlo

-Utilidad de las matemáticas

-Dar a conocer el Proyecto Europeo LCAOS

Cáncer de pulmón

Responsable del 28% de las muertes a nivel mundial.

Síntomas se manifiestan cuando la enfermedad está

avanzada → sólo un 15 % se detectan en etapas iniciales.

Métodos de detección hoy en día son invasivos y

costosos:

◦ Broncoscopia

◦ Biopsia de médula ósea.

◦ Tomografía computarizada

Problemática:

-Detección tardía de la enfermedad.

-Proporcionan falsos positivos.

-No son eficientes en tiempo y coste

para revisiones generalizadas.

Proyecto LCAOS

- Desarrolla una herramienta y una metodología para la

detección del cáncer de pulmón:

• No invasiva.

• Barata.

• Precisa.

• Rápida respuesta.

- Fundamento de NaNose: localización de biomarcadores

volátiles emitidos por las paredes de las células cancerosas y que

están presentes en el aire exhalado por las personas.

Se conoce como

nariz artificial

(NaNose)

Riesgo genético de

padecer cáncer

Presencia de

cáncer

Biomarcadores

indican:

Nariz Artificial NaNose

LCAOS EN ESPAÑA

Desarrollo de algoritmos matemáticos para el

tratamiento de los datos.

Algoritmos

matemáticos

Biomarcadores en

el aire exhalado.

Sí cáncer

No cáncer

-Tipo

-Concentración

Modelo matemático

-Un modelo matemático es una descripción, en lenguaje

matemático, de un determinado sistema.

Salida= f(entrada, parámetros)

Ejemplo:

Concentración de oxígeno-Profundidad del mar

Profundidad (m) [O2] (mg/L)exp

0 9,01

1 8,4

2 8,33

3 7,79

4 7,43

5 7,02

6 6,58

7 6,3

8 5,6

9 5,2

10 5,04

[O2] = -0,406*Profundidad + 9,003

R² = 0,992

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 2 4 6 8 10

[O2]

(mg/l)

Profundidad (m)

[O2] vs profundidad

Para h= 5,5m la [O2]= 6,77 mg/l

La [O2] (mg/l) puede verse modificada además:

-Difusión del oxígeno de la atmósfera al agua.

-Temperatura.

-Presencia de organismos vivos (respiración).

-Presencia de algas (fotosíntesis).

Respuesta no lineal

Tipos de modelos no lineales

Modelos no

lineales

Redes neuronales

Caos

Lógica difusa

Autómatas celulares

Caos Determinista

Determinista

•Mecánica clásica

Sistemas complejos aleatorios

Sistemas caótico-deterministas

Predecible

Determinismo: universo se rige por un

conjunto de leyes físicas inquebrantables

Modelos no lineales.

Características

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Dinámica no lineal

Sistemas deterministas simples

Siempre pueden predecirse a muy corto

plazo

Generan comportamientos impredecibles a

largo plazo

Bajo número de variables

Fuerte interdependencia entre ellas

Sensibilidad a las condiciones iniciales

Modelos no lineales- Caos determinista

Ejemplos de sistemas

caótico-deterministas

Ecuación logística

Sistemas de ecuaciones de Lorenz y

Rösler

Dinámica del goteo de una válvula

Dinámica de fenómenos solares

Mecanismos de contagio de ciertas

enfermedades

Modelos no lineales- Caos determinista

Ecuación logística Kxxy nnn 1

nn yx 1

K es el parámetro de control

K>3.5699 el sistema se

comporta caóticamente

K=0.8 K=2.5

K=3.1 K=3.8

Modelos no lineales- Caos determinista

Parámetros caóticos

A. REPRESENTACIÓN GRÁFICA. ESPACIO DE

FASES

B. FUNCIÓN DE CORRELACIÓN

C. SECCIÓN DE POINCARÉ

D. MAPA UNIDIMENSIONAL

E. CÁLCULO DE LA TRANSFORMADA DE

FOURIER

F. DIMENSIÓN DEL ATRACTOR

G. EXPONENTE DE LIAPUNOV

H. ÍNDICE CONJUNTO DE CAOS

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Modelos no lineales- Caos determinista

Espacio de fases

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Los sistemas caóticos se estudian en el espacio de fases

Es un espacio matemático y abstracto

Las coordenadas son las variables que definen el estado del sistema

Un sistema de n grados de libertad se representa en un espacio de

fases n-dimensional.

Representación del espacio de fases y de la trayectoria para un

péndulo ideal y para un péndulo real con rozamiento

Modelos no lineales- Caos determinista

Atractores predecibles: punto, ciclo límite y toro

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Atractores extraños: atractor de Lorenz, de Rössler y de Shaw

Exponente de Liapunov

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Es la medida de la separación exponencial de dos trayectorias del espacio de fases inicialmente próximas:

Es negativo para un atractor de punto fijo, cero para un ciclo límite o un atractor toroidal y positiva para un atractor extraño

Se trata de uno de los parámetros más sensibles del nivel de caos

Se puede conocer el máximo exponente de Liapunov (M.E.L.) de un sistema, tantos como dimensiones. Cada uno mide el grado de divergencia del atractor en una dirección diferente.

mk

k k

k

m tL

tL

ttEL

1 10 )(

)(log

1

Modelos no lineales- Caos determinista

Redes neuronales Las redes neuronales se basan en modelos matemáticos que

presentan un comportamiento semejante al de las neuronas del

cerebro. Basado en su capacidad de comunicarse.

Cuerpo celular

Axón, transporta

la señal al exterior

Dentritas. Señal

al interior

Las neuronas tienen capacidad de comunicarse unas con otras.

Sinapsis

Modelos no lineales

Descripción en redes neuronales artificiales:

neurona

artificial Entradas a la

neurona

Señal de

salida

En la red neuronal se transforman varias señales de

entrada en una de salida.

El comportamiento básico consiste en sumar determinadas señales

de entrada a la célula y expresar un efecto global de salida

Modelos no lineales- Redes Neuronales

Forma matemática:

∑

x1

x2

x3

W1

W2

W3

ᶴ

F

Salida=f(entrada)

Suma ponderada de

señales las entradas:

Fa=∑Wi*xi

Wi=peso de cada entrada.

xi=cada una de las entradas

Función de activación Función de transferencia

Transforma la suma en un

nuevo valor. •Función Escalón

•Función rampa

•Sigmoidal

Modelos no lineales- Redes Neuronales

Neurona artificial

Función

escalón Función rampa

Función

sigmoide

Funciones de transferencia

Modelos no lineales- Redes Neuronales

Ejemplo:

FUNCIÓN

ACTIVACIÓN

FUNCIÓN

TRASNFERENCIA

X= 0,5

Y= 0,1

Z=0,65

Tipo sigmoide

Z(u)=1/(1+exp(-u)) U=0,5+0,1=0,6

Z(0,6)=1/(1+exp(-0,6))= 0,65

Neurona artificial

La combinación de varias neuronas da lugar a una red

neuronal formada por varias capas:

Conjunto de neuronas agrupadas en varios niveles o capas

◦ Capa que recibe la entrada: Capa de entrada.

◦ Capa que genera la salida: Capa de salida

◦ Conexión entre ambas capas: Capa oculta

Las conexiones entre cada neurona y capa vienen

determinadas por sus pesos.

Red neuronal

Combinación de varias capas

Modelos no lineales- Redes Neuronales

Funcionamiento de una red neuronal:

◦ Proceso de aprendizaje:

1) Se fijan las funciones de transferencia para cada neurona.

2) Mostrar a la red pares de valores de entrada y salida.

3) Red neuronal modifica los pesos de las entradas hasta que

sea capaz de reproducir la muestra.

4) Se consigue una red adiestrada que asocia patrones de

entrada y de salida.

Se consigue generalizar problemas , es decir, generar

salidas adecuadas ante nuevas entradas, similares a las

aprendidas pero nunca vistas antes

Modelos no lineales- Redes Neuronales

Conclusiones

Cáncer es una enfermedad que origina

miles de muertes año.

Técnicas para su determinación son

invasivas y costosas.

Es necesario invertir en I+D para

desarrollar nuevas metodologías: NaNose

Matemáticas tienen un uso importante en

este objetivo.

FIN