Application des méthodes intégrales pour l'évaluation de

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Application des méthodes intégrales pour l’évaluation dela performance des puits horizontaux dans un réservoir

stratifié à géométrie quelconqueValérie Moumas

To cite this version:Valérie Moumas. Application des méthodes intégrales pour l’évaluation de la performance des puitshorizontaux dans un réservoir stratifié à géométrie quelconque. Mathématiques [math]. Université deTechnologie de Compiègne, 2003. Français. tel-00004274v1

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UNIVERSITÉ DE TECHNOLOGIE DE COMPIÈGNELABORATOIRE DE MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES DE COMPIÈGNE

THÈSEpour obtenir le grade de

DOCTEUR DE L'UNIVERSITÉ DE TECHNOLOGIE DE COMPIÈGNEDiscipline : Technologies de l'Information et des Systèmes

présentée et soutenue publiquementpar

Valérie Moumasle 7 octobre 2003

Application des méthodes intégrales pour l'évaluation de la performance despuits horizontaux dans un réservoir stratié à géométrie quelconque.

Directeur de thèse :Jean GiroireJury :

M. G. Chavent Rapporteur.M. J.-C. Nédélec Rapporteur.M. J. Giroire Directeur de thèse.M. D.-Y. Ding Promoteur IFP.M. T. Ha-Duong Examinateur.M. T. Gallouët Président.

D1465

Remerciements

J'adresse tout d'abord toute ma reconnaissance aux trois personnes avec lesquelles j'ai eule plaisir de travailler durant ces trois années : MM. Didier-Yu Ding, Jean Giroire, et TuongHa-Duong.

Je remercie particulièrement M. Didier-Yu Ding pour avoir proposé et défendu ce sujet auprèsdu Conseil Scientique de l'Institut Français du Pétrole. C'est un sujet très intéressant qui m'apermis de découvrir à la fois le milieu pétrolier et les méthodes intégrales. J'ai été très sensible àl'÷il professionnel qu'il a porté sur mon travail, et je lui suis reconnaissante pour m'avoir apprisà mieux lier les mathématiques aux phénomènes physiques.

Je remercie vivement MM. Jean Giroire et Tuong Ha-Duong pour l'aide précieuse qu'ils ontapportée à ce travail, pour leurs conseils, leurs encouragements, leur rigueur, mais aussi pourleur conance et leur bonne humeur.

Je suis très sensible à l'honneur que m'ont fait MM. Guy Chavent et Jean-Claude Nédélec enacceptant le rôle de rapporteurs de cette thèse. Je les remercie pour leurs remarques constructivesqui m'ont permis d'améliorer ce manuscrit.

J'adresse mes sincères remerciements à M. Thierry Gallouët et Mlle Hélène Barucq pour avoiraccepté de faire partie de mon jury de thèse.

Je remercie l'Institut Français du Pétrole qui m'a permis de préparer cette thèse dans d'ex-cellentes conditions.

Je n'oublie pas les ingénieurs de l'IFP, les chefs de projet, et les membres du LMAC, qui ontparticipé plus ou moins directement au bon déroulement de cette thèse. Je tiens aussi à saluer lessecrétaires de l'IFP et de l'UTC, pour leur ecacité et tout le temps qu'elle m'ont fait économiser.

Je garde une pensée pour tous les compagnons et amis de route : les thésards de l'IFP et del'UTC, et plus particulièrement pour Céline.

Je tiens à remercier mon frère, pour sa conance, et mes parents, sans lesquels je ne seraisjamais arrivée jusque là.

Enn un grand merci à David, pour toute l'aide et le soutien qu'il m'a apportés au cours deces trois années.

5

Table des matières

Introduction 8Nomenclature 131 Du problème physique vers le modèle numérique 15

1.1 Problème physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.1.1 Caractérisation des réservoirs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.1.2 Observation du milieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.1.3 Projet de développement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.1.4 Des puits complexes vers les puits intelligents . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2 Modèles mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.2.1 Équation de diusivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.2.2 Conditions aux bords du réservoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.2.3 Conditions aux puits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.2.4 Conditions sur les fractures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.2.5 Modèle mathématique pour un réservoir homogène . . . . . . . . . . . . . 261.2.6 Modèle mathématique pour un réservoir stratié . . . . . . . . . . . . . . 271.2.7 Autre type de modèle pour modéliser le puits . . . . . . . . . . . . . . . . 281.2.8 Modèle retenu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.2.9 Cas particulier : écoulement permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.2.10 À propos des dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.3 Conclusion du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 Régime permanent 35

2.1 Problème linéaire (conductivité innie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.1.1 Pression sur le puits donnée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.1.2 Débit total du puits donné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.1.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2 Problème non-linéaire (conductivité nie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.2.1 Retour sur les dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.2.2 Estimations préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.2.3 Résolution du problème de point xe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.3 Conclusion du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553 Formulations intégrales pour le régime permanent 57

3.1 Formulations intégrales : rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.1.2 Équations intégrales de première et de seconde espèce . . . . . . . . . . . 62

6 Table des matières

3.2 Écriture des équations intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.2.1 Inconnues du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.2.2 Réservoir homogène isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.2.3 Réservoir homogène anisotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.2.4 Réservoir multi-couches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.3 Équivalence entre la représentation intégrale choisie et le modèle . . . . . . . . . 673.4 Méthodes numériques pour résoudre l'équation intégrale . . . . . . . . . . . . . . 69

3.4.1 Méthode de collocation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.4.2 Méthode de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.4.3 Méthode de Nyström . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.4.4 Méthode de Galerkin hybride . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.4.5 Méthode retenue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.5 Tests numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.5.1 Discrétisation des équations intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.5.2 Résultats numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.7 Une autre manière d'appliquer les équations intégrales pour un problème pétrolier 82

4 Approximation laire du puits 834.1 Discrétisation de la formulation intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.2 Méthode d'approximation du puits par une ligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.3 Validations pour un puits en milieu inni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.4 Conclusion du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5 Résultats numériques 935.1 Réservoir homogène avec un puits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.1.1 Discrétisation des intégrales mixtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.1.2 Tests numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.2 Réservoir stratié sans puits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.3 Réservoir stratié avec un puits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.3.1 Comparaison avec un réservoir homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.3.2 Réservoir avec pendage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.3.3 Réservoir parallélépipédique avec pendage . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.4 Conclusion du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096 Régime transitoire 111

6.1 Écriture du modèle après transformation de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.2 Problème linéaire (conductivité innie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.2.1 Cas où pwf est donnée, et Q inconnu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.2.2 Cas où pwf est inconnue, et où Q est imposé . . . . . . . . . . . . . . . . 1166.2.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

6.3 Problème non-linéaire (conductivité nie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196.3.1 Écriture du problème de point xe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196.3.2 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

6.4 Des méthodes intégrales pour résoudre l'équation de diusion : une bibliographie 1226.4.1 Formulations intégrales classiques du problème . . . . . . . . . . . . . . . 1226.4.2 Méthodes numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1236.4.3 Conclusion et méthodologie retenue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Table des matières 7

6.5 Conclusion du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131Conclusion 133

Annexes 1357 Annexe A : Calcul des intégrales discrètes sur des triangles 137

7.1 Calcul de l'intégrale Sij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1377.1.1 Calcul des termes P0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1387.1.2 Calcul des termes P1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

7.2 Calcul de l'intégrale Hij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1427.2.1 Calcul des termes P0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1437.2.2 Calcul des éléments P1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

7.3 Calcul de l'intégrale hypersingulière Dij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1467.3.1 Milieu isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1467.3.2 Milieu anisotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

8 Annexe B : Calcul des intégrales sur le puits 1518.1 Calcul de l'intégrale simple Mij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1518.2 Calcul de l'intégrale Hij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

8.2.1 Cas régulier : i < j − 2 ou i > j + 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1538.2.2 Cas singulier : j − 2 ≤ i ≤ j + 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

8.3 Calcul de l'intégrale Sij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1618.3.1 Cas régulier : i < j − 2 ou i > j + 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1618.3.2 Cas singulier : j − 2 ≤ i ≤ j + 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

8.4 Calculs d'intégrales complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1708.4.1 Calcul de I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1708.4.2 Calcul de I ′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1718.4.3 Calcul de I1 et I2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

9 Annexe C : Calcul des intégrales mixtes 1739.1 Calcul de H ′

ij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1739.2 Calcul de Dij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1779.3 Calculs d'intégrales intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

9.3.1 Intégrales en 1 + a2sin2θ : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1859.3.2 Intégrales en (1 + a2sin2θ

)2 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186Bibliographie 188

9

Introduction

Le but de cette thèse est de simuler par des méthodes intégrales l'écoulement de pétroledans et au voisinage des puits dans un réservoir stratié à géométrie quelconque. Ces simula-tions permettent aux ingénieurs pétroliers d'une part de prédire la productivité des puits, etdonc d'optimiser la rentabilité du gisement en fonction de l'emplacement ou de l'architecture dupuits, et d'autre part de faire des tests de puits.

Nous nous intéressons donc à deux modèles diérents : le premier, en régime permanent, nousdonne une évaluation de la productivité du puits, et le second, en régime transitoire, interprèteles tests de puits. Le modèle en régime transitoire est associé à une équation de diusion, quimodélise l'écoulement monophasique du pétrole dans le réservoir. Pour le modèle en régime per-manent, la dépendance en temps est levée dans l'équation de diusion.Chacun des deux modèles comporte des conditions de Dirichlet sur une partie de la frontièreextérieure, qui interprètent par exemple la présence d'un aquifère actif, et des conditions de Neu-mann homogènes sur une autre partie de la frontière, qui modélisent un ux nul, sur une barrièreimperméable.

Le réservoir stratié est décomposé en plusieurs couches homogènes mais anisotropes. Chaquecouche se distingue des autres par des caractéristiques physiques qui lui sont propres, notam-ment par une perméabilité diérente. Le modèle (permanent ou transitoire) est alors écrit danschacune des couches. Puis des conditions de continuité de pression et de ux sont imposées auxinterfaces entre les couches.

Le puits est pris en compte comme un trou dans le réservoir. Nous écrivons alors des condi-tions aux limites sur ses frontières. Dans cette thèse, nous considérons deux types de conditionsaux limites sur le puits : la première, appelée physiquement condition de conductivité innie,suppose la pression constante le long du puits, et la seconde, condition de conductivité nie,plus générale, traduit les pertes de charge dans le puits. La condition de conductivité innie estlinéaire, tandis que la condition de conductivité nie est non-linéaire et non-locale. Dans le casoù l'on travaille avec la condition de conductivité nie, on a aaire à un modèle non-linéaire. Lecaractère non-linéaire du modèle provient de la condition aux limites sur le puits, et non pas del'équation aux dérivées partielles qui le gouverne, qui, elle, est linéaire.Enn, le modèle est complété par une équation sur le débit total du puits.La productivité du puits est mesurée par son indice de productivité (IP ) qui est déni commele rapport entre le débit total du puits et la diérence entre la pression moyenne du réservoir etla pression au fond du puits.

Nous nous retrouvons donc avec quatre modèles diérents : un pour le régime permanent, unautre pour le régime transitoire, chacun des deux pouvant être linéaire (condition de conductivité

10 Introduction

innie), ou non-linéaire (condition de conductivité nie). Dans le cadre de cette thèse, nous avonsréussi à montrer que les deux modèles en régime permanent (linéaire et non-linéaire) étaient bienposés, ainsi que le modèle linéaire en régime transitoire. L'étude du modèle non-linéaire en régimetransitoire n'a pas été menée à terme, faute de temps. Du point de vue numérique, nous noussommes concentrés sur la résolution du modèle d'écoulement permanent linéaire.

La méthode de résolution que nous avons choisie est une méthode intégrale. Pourquoi uneméthode intégrale ? La diculté principale lors des simulations de réservoirs est l'importantediérence d'échelle entre la taille du réservoir, qui peut atteindre 20 à 30 km d'extension hori-zontale, et le rayon du puits, qui est toujours inférieur à 15 cm. Les méthodes classiques, commeles volumes nis, diérences nies ou éléments nis, ne sont pas susamment précises au niveaudu puits. Des maillages hybrides avec ranement autour du puits peuvent améliorer la précision,mais ces maillages sont diciles à mettre en ÷uvre, surtout pour des puits de géométrie com-plexe : le maillage doit en eet suivre la trajectoire du puits. Ce problème constitue actuellementun autre thème de recherche mené à l'Institut Français du Pétrole.Les méthodes intégrales sont alors des candidates idéales pour lever le problème d'échelle. Eneet, un de leurs gros avantages est de ramener le problème sur les frontières du réservoir. Leséquations intégrales sont écrites sur les bords du réservoir, les interfaces entre les couches, et lafrontière du puits. Ainsi seules les frontières nécessitent un maillage, et nous n'avons plus besoinde mailler le réservoir tout entier. D'autre part, les méthodes intégrales sont bien adaptées auxgéométries complexes.

Les équations intégrales ont déjà été employées dans le milieu pétrolier, mais elles étaientgénéralement limitées en deux dimensions et elles étaient seulement dénies sur les bords duréservoir ou aux interfaces entre les couches (voir [47], [67], [73]), les puits étant simplementmodélisés par des points-sources.Dans ce travail, nous considérons des réservoirs stratiés en trois dimensions, à géométrie quel-conque, avec des puits rectilignes. Nous proposons une nouvelle formulation intégrale, jamaisutilisée dans le milieu pétrolier. Nous montrons que cette formulation donne de meilleurs résul-tats que la formulation classiquement utilisée dans le milieu pétrolier. Le système d'équationsintégrales est résolu par une méthode de Galerkin, que nous avons choisie pour ses bonnes pro-priétés de régularité, et sa parfaite adaptabilité à notre nouvelle formulation intégrale.D'autre part, nous tirons parti de la diérence d'échelle entre la taille du réservoir et le rayon dupuits, pour eectuer une approximation laire du puits. La méthode que nous proposons permetde réduire les calculs des intégrales sur le puits cylindrique à un problème en une dimension. Celaimplique que les puits sont modélisés par des lignes, et sont donc discrétisés par des segments.Ainsi on évite une triangulation de la frontière cylindrique du puits.

Ce mémoire de thèse comporte six chapitres. Le premier est consacré à la présentation desdiérents modèles. Le second est dédié à l'étude théorique du modèle en régime permanent. Puisdans les chapitres 3 à 5, nous procédons à la mise en ÷uvre numérique des méthodes intégralespour le modèle linéaire en régime permanent. Enn, le chapitre 6 aborde théoriquement le modèleen régime transitoire. Les annexes sont regroupés à la n du mémoire.

Nous commencerons par présenter le problème physique et détailler les modèles dans le cha-pitre 1. Nous procèderons ensuite dans le chapitre 2 à l'étude théorique du modèle en régimepermanent, linéaire et non-linéaire.

Puis nous traiterons numériquement le problème linéaire en régime permanent. Nous discu-

Introduction 11

terons tout d'abord de manière détaillée les diérentes formulations intégrales dans le chapitre3. Cette discussion nous mènera au choix d'une nouvelle formulation intégrale. Ensuite nouspasserons en revue quelques méthodes numériques pour résoudre les équations intégrales, avantde choisir la méthode de Galerkin. Nous justierons pourquoi cette méthode est bien adap-tée à notre formulation. Enn, des tests numériques montreront que cette nouvelle formulationintégrale donne de meilleurs résultats que la formulation classiquement utilisée dans le milieupétrolier.Le chapitre 4 sera exclusivement consacré à l'approximation laire du puits. Nous présenteronsdans ce chapitre la méthode d'approximation laire que nous avons développée. Cette méthodenous permet d'obtenir une approximation analytique des intégrales sur le puits. Nous la valide-rons par des tests numériques pour un puits dans un milieu inni.Enn, le chapitre 5 regroupera tous les tests numériques. Nous validerons successivement les casd'un réservoir homogène avec un puits, puis nous testerons un réservoir stratié sans puits, etenn un réservoir stratié avec un puits. Dans un premier temps, nous comparerons les résultatsavec un réservoir homogène : nous considérerons le réservoir homogène comme s'il se composaitde trois couches, chacune ayant la même perméabilité. Cela nous permettra de valider le cas duréservoir stratié avec un puits. Ensuite, nous testerons des réservoirs avec des géométries unpeu plus compliquées : tout d'abord un réservoir comportant trois couches non-parallèles, puisun réservoir parallélépipédique avec pendage.

Le chapitre 6 est réservé au modèle d'écoulement transitoire. Le modèle d'écoulement tran-sitoire est traité par transformée de Laplace, nous justierons ce choix par une revue bibliogra-phique des méthodes intégrales pour résoudre l'équation de diusion. Dans un premier temps,nous montrerons que le problème transformé est bien posé, pour la condition linéaire de conduc-tivité innie. Pour la condition non-linéaire, nous poserons le problème de point xe, qui s'ap-parente au problème de point xe pour le modèle en régime permanent, mais nous n'avons paseu le temps de le résoudre dans le cadre de cette thèse.

Tous les calculs sont regroupés en annexe à la n du mémoire. Comme nous avons choisila méthode de Galerkin, nous avons des intégrales doubles à calculer. L'annexe A comporte lescalculs des intégrales doubles sur les frontières extérieures ou les interfaces (i.e. sur des triangles),l'annexe B les calculs des intégrales doubles sur le puits, et l'annexe C le calcul des intégralesmixtes, l'une portant sur le puits, et l'autre sur les frontières extérieures ou interfaces.Ainsi nous validons la formulation intégrale choisie et l'approximation laire du puits pour unréservoir stratié à géométrie quelconque, avec un puits horizontal. Les calculs que nous avonseectués dans le cadre de cette thèse ne sont valables que pour un puits horizontal, mais laméthode intégrale peut parfaitement s'adapter à des puits de géométrie plus complexe (multi-branches). Pour cela, il sut de généraliser les calculs des annexes B et C. Cela pourra être faitdans le prolongement de la thèse.

13

Nomenclature

Ω réservoir privé du puits∂Ω ou Γ frontière du réservoirΓD partie de la frontière extérieure du réservoir à laquelle on applique des

conditions de Dirichlet (pression imposée)ΓN partie de la frontière extérieure du réservoir à laquelle on applique des

conditions de Neumann (ux imposé)Γw frontière du puitsrw rayon du puitsl variable axiale le long du puitsΓw,l voir gure 1.4 page 23qw débit en une section donnée du puitsQ débit total du puitsIP indice de productivité du puitsΩr rème couche du réservoirΓr frontière de la couche Ωr

NR nombre de couches dans le réservoirΓrs = Γr ∩ Γs interface entre deux couches Ωr et Ωs

Γr,ext = Γr \ ∪s∈J Γrs frontière extérieure de Ωr

Γr,D = Γr ∩ ΓD partie de la frontière Γr avec des conditions de DirichletΓr,N = Γr ∩ ΓN partie de la frontière Γr avec des conditions de NeumannΓr,w = Ωr ∩ Γw partie de la frontière du puits qui appartient à la couche Ωr

K tenseur de perméabilité du réservoir, en général supposé diagonal,de coecients k1, k2, k3

k coecient de perméabilité, lorsqu'il est réel,k = (k1k2k3)1/3

φ porosité du réservoirS saturation d'un uide (eau, gaz, pétrole)ρ masse volumique du uide~V vitesse de ltration du uidecf coecient de compressibilité du uideµ viscosité dynamique du uidef coecient de friction sur le puitsCw constante intervenant dans la condition de conductivité nie sur le puits : Cw =

fρ

π2r5w.

14 Nomenclature

kf coecient de perméabilité de la fracture (supposé réel)x = (x1, x2, x3) ∈ R3 variable d'espace~n normale extérieure à la frontière du réservoirt variable de temps, t ∈ [0, T ]T temps nal d'observationG noyau de GreenL[v] = v transformée de Laplace de vΓh approximation de la frontière ΓΓh

D approximation de la frontière ΓDΓh

N approximation de la frontière ΓNΓh

rs approximation de la frontière ΓrsΓh

ext = ΓhD ∪ ΓhN

ζhi fonctions de base éléments nis P1

ψhi fonctions de base éléments nis P1 sur des triangles

ϕhi fonctions de base éléments nis P1 sur le puits

15

Chapitre 1

Du problème physique vers le modèle

numérique

1.1 Problème physique

1.1.1 Caractérisation des réservoirsUn gisement est un milieu poreux formé d'un ou plusieurs réservoirs rocheux souterrains dont

les pores contiennent des hydrocarbures liquides et/ou gazeux en général d'origine sédimentaire.La roche réservoir est poreuse et perméable, et la structure est limitée par des barrières imper-méables qui piègent les hydrocarbures.La disposition verticale des uides contenus dans la structure est régie par la pesanteur. La gure1.1 représente une coupe donnant un exemple de gisement d'hydrocarbures.

PSfrag replacementscouche imperméable

Fig. 1.1 Coupe de gisement

Le but de l'étude d'un gisement consiste tout d'abord à déterminer les caractéristiques d'unréservoir (phase d'exploration), puis à établir un projet de développement pour optimiser la récu-pération des hydrocarbures. Les spécialistes gisements continuent à étudier le gisement pendant

16 Chapitre 1. Du problème physique vers le modèle numérique

toute la durée de vie du champ an d'en tirer les informations nécessaires à son exploitationoptimale. Il faut bien souligner que l'ingénieur gisement ne dispose que d'un nombre limitéd'informations, qu'il doit interpréter au mieux an d'obtenir une représentation la plus réalistepossible du gisement.

Caractérisation des roches Les réservoirs sont souvent hétérogènes, c'est-à-dire qu'ils sontcomposés de plusieurs couches de roches diérentes, chacune caractérisée par sa hauteur, sa po-rosité, sa saturation en huile, en eau et en gaz, sa compressibilité et sa perméabilité.

- Porosité :Si on considère un échantillon de roche, son volume total Vt est constitué d'un volume solideVs, et d'un volume de pores Vp. La porosité φ (exprimée en pourcentage) est alors dénie de lamanière suivante :

φ =VpVt.

La porosité traduit la circulation des uides se trouvant dans les pores : plus la porosité estgrande, et plus le uide s'écoule facilement. Pour donner un ordre de grandeur, on parlera deporosité faible si φ < 5%, et excellente si φ > 30%.

- Saturation :On note respectivement Vo, Vw, et Vg les volumes en huile, eau et gaz. Les saturations So enhuile, Sw en eau, et Sg en gaz sont dénies par :

So =VoVp, Sw =

VwVp, Sg =

VgVp.

Elles sont exprimées en pourcentage et leur somme est égale à 1.- Compressibilité :

Le coecient de compressibilité est déni par :

cf = −(1V

∂V

∂p)T .

Il représente la variation du volume unitaire par rapport à la variation de pression, et a la di-mension de l'inverse d'une pression.

- Perméabilité :La perméabilité traduit l'aptitude de la roche à laisser circuler à travers ses pores un uide dontelle est saturée. Elle est caractérisée par la loi de Darcy.Considérons un échantillon de longueur dx et de section A, saturé d'un uide de viscosité dyna-mique µ, traversé horizontalement par un débit Q ; en régime permanent, la pression amont estp, la pression aval est p− dp.

L'étanchéité est faite sur les faces latérales. S'il n'y a pas de réaction du uide avec la roche,ce qui est en général le cas, on a :

1.1. Problème physique 17

PSfrag replacementsQ

Adx

Fig. 1.2 Echantillon considéré

Q = −A k

µ

dp

dx,

avec k le coecient de perméabilité indépendant du uide considéré.La perméabilité a la dimension d'une surface, et elle s'exprime usuellement en millidarcy

(mD) :1mD ≈ 10−15 m2 (1 darcy = 10−12 m2).

La perméabilité peut être diérente selon la direction considérée, on parle alors de milieuanisotrope.Le coecient de perméabilité k est un nombre réel dans le cas où le milieu est isotrope, ou untenseur, alors noté K, dans le cas anisotrope, le plus souvent supposé diagonal :

K =

k1 0 00 k2 00 0 k3

.

Remarque 1 La loi de Darcy découle en fait d'une loi plus générale, appelée la loi de perte decharge généralisée (cf [21]) :

dp = −µQmAkρ

(1 +

uQmµA

)dx, (1.1)

où :Qm désigne le débit massique,ρ la masse volumique du uide,u est un paramètre caractérisant la forme des pores (de l'ordre de 10−5 à 10−4 m).

La loi de perte de charge généralisée s'applique pour les gaz, ou encore les uides à vitesse élevée.Pour les liquides dont la vitesse n'est pas très élevée, le terme uQm

µA est négligeable devant 1, et on

peut supposer Qm

ρ = Q, ce qui nous ramène à la loi de Darcy. Ces hypothèses sont raisonnablesdans notre cadre d'étude et sont usuellement faites dans le milieu pétrolier.

1.1.2 Observation du milieuOn dispose de plusieurs techniques pour connaître les diérentes caractéristiques d'un réser-

voir, à savoir sa géométrie, son architecture interne, ou encore la nature des roches dont il estconstitué.La sismique permet d'obtenir dans un premier temps une visualisation globale de la morphologie


des structures souterraines et des diérentes couches qui composent le gisement.Pour connaître plus précisément les caractéristiques des roches qui le constituent et les uidesprésents dans le réservoir, on fore un puits d'exploration, à partir duquel on eectue plusieurstypes d'analyses.Les mesures sur carottes (core analysis) faites en laboratoire permettent d'obtenir une analysePVT (pression-volume-température) des uides et une caractérisation des propriétés des roches.Les diagraphies (logging), enregistrées pendant le forage à l'aide d'instruments descendus dansle trou au bout d'un câble, donnent des renseignements sur les caractéristiques des roches, no-tamment des données statiques (porosité, saturation des diérents uides...), et minéralogiques(teneur en argile, nature de la matrice poreuse...). Ces mesures s'étendent sur un rayon de l'ordrede quelques décimètres autour du puits, qui est déjà plus important que celui des carottes.

Indice de productivité du puits. Une information essentielle pour évaluer la valeur dupuits est le potentiel de production du puits. Celui-ci est obtenu grâce à des essais de puits, quiconsistent à mesurer les débits et les pressions des uides en surface ou au fond du puits. Plusexactement on dénit l'indice de productivité IP du puits comme le rapport du débit total dupuits Q par la diérence entre la pression moyenne p dans le réservoir et la pression au point desoutirage pwf :

IP =Q

(p− pwf ). (1.2)

L'IP d'un puits varie théoriquement de 0 pour un puits non producteur jusqu'à l'inni pourun puits aux caractéristiques idéalement bonnes. Pour donner un ordre de grandeur, on peutdire qu'un puits à huile très médiocre a un IP variant autour de 1 m3/j/bar, alors qu'un bonpuits aura un IP supérieur à 10, voire 100 ou 1000 m3/j/bar.

La présence de fractures améliore considérablement l'indice de productivité d'un puits. Eneet les hydrocarbures s'écoulent très facilement dans les fractures : la perméabilité peut varierde 1 mD dans les roches jusqu'à 10000 mD dans les fractures. C'est d'ailleurs pour cette raisonqu'ont été développées des techniques pour former des fractures articielles autour des puits deproduction.

1.1.3 Projet de développementGrâce au schéma du gisement ainsi obtenu, l'ingénieur est en mesure d'établir un projet de

développement qui a pour but d'optimiser la rentabilité du réservoir suivant le nombre de puits,leur emplacement, leur architecture, les procédés d'injection... Pour cela, il doit faire un certainnombre d'hypothèses en accord avec les données recueillies lors de la phase d'exploration.Pour comparer la rentabilité en termes de production des diérents types de puits envisagés, onutilise classiquement la notion d'indice de productivité (IP ) du puits, ainsi que le coût de foragedu puits, qui dépend de sa complexité, et de l'incertitude sur les données naturelles.

Jusqu'aux années 80, le choix de l'architecture des puits était moins complexe, puisque lescompagnies pétrolières ne maîtrisaient que le forage de puits verticaux ou légèrement déviés.Il fallait alors construire un nombre assez important de puits, espacés de quelques centaines de

1.1. Problème physique 19

mètres, an de couvrir l'ensemble du réservoir. Au bout d'un certain temps, la pression chute dansle réservoir jusqu'à atteindre en condition surface un équilibre avec la pression atmosphérique, età ce moment-là, la production s'arrête. Ce premier temps de production est appelé la récupérationprimaire. On construit alors d'autres puits (puits d'injection), pour injecter un uide peu coûteux,en général de l'eau, dans le but de maintenir la pression et de pousser le pétrole jusqu'aux puitsde production.On présente ici un schéma classique de projet de développement sur un réservoir :

• • •

× ×

• • •

× ×

• • •

où • désigne un puits producteur, et × un puits injecteur.L'inconvénient évident de ce type de projet est la nécessité de construire une quantité im-

portante de puits, dont le coût peut atteindre des millions de dollars par puits. C'est ce qui amotivé la réalisation de puits horizontaux, qui permettent de couvrir une partie beaucoup plusimportante du réservoir, et de réduire le nombre de puits à construire.L'intérêt des puits horizontaux est d'autant plus évident en o-shore. Par exemple, on a toutd'abord découvert un gisement, au-dessus duquel on a construit une plateforme, puis on a décou-vert un autre gisement 11 km plus loin. Il aurait été alors très coûteux de construire une deuxièmeplateforme, puis ensuite d'autres puits. Grâce aux nouvelles techniques de forage, on n'a besoinque d'un seul puits horizontal, qu'il sut de prolonger pour arriver jusqu'au deuxième gisement.Le puits est alors seulement perforé sur la longueur sur laquelle il traverse l'un ou l'autre desdeux réservoirs. C'est ainsi qu'a été construit le puits horizontal le plus long qui mesure 11 km.

1.1.4 Des puits complexes vers les puits intelligentsPour encore améliorer la production de pétrole, de nouvelles congurations de puits ont en-

suite été créées : on a construit des puits multi-branches, encore appelés puits complexes (voirgure 1.3).

Les techniques de forage de ce type de puits sont récentes, et l'implantation de puits com-plexes est une tendance dans l'avenir pour la production d'hydrocarbures.Au cours de la production, il peut arriver que l'une des branches du puits complexe produisede l'eau, et non plus du pétrole. En général, la viscosité de l'eau est beaucoup plus faible quecelle de l'huile, on risque alors de produire trop d'eau, ce qui est indésirable. Dans le cas depuits complexes, le problème qui se pose alors est de savoir de quelle branche provient l'eau.Ceci constitue tout l'objet de la recherche future : l'idée consiste à installer des capteurs danschaque branche, an de savoir ce qu'elle produit, et un système de vannes pour pouvoir fermerles branches qui produisent de l'eau. C'est ce qu'on appelle les puits intelligents.


Fig. 1.3 Exemple de puits complexe dans un réservoir hétérogène

1.2 Modèles mathématiques

Dans le cadre de ce travail, nous nous intéressons à la modélisation de l'écoulement de l'huilependant la récupération primaire, avec l'huile sous-saturée. Nous avons donc un seul uide àconsidérer, l'huile, l'écoulement est monophasique.Le modèle doit nous permettre d'obtenir une évaluation précise de l'écoulement dans et auvoisinage du puits, selon son emplacement, mais aussi à plus long terme pour les puits complexesselon leur architecture ou encore la présence éventuelle de fractures, intersectées ou non avec lepuits, dans le but nal d'optimiser l'indice de productivité du puits.

Ce type de modèle peut s'appliquer à la modélisation de la récupération mais aussi aux testsde puits qui permettent de repérer les éventuelles fractures ou barrières présentes dans le gise-ment. Ainsi on dispose grâce aux essais de puits, et cette fois sur un rayon de l'ordre de quelquescentaines de mètres autour du puits, de renseignements très importants sur le réservoir, notam-ment sur sa perméabilité.Le domaine du réservoir Ω′ est borné, et sa géométrie quelconque. On note ΓR = ∂Ω′ la frontièredu réservoir, et Ω le domaine du réservoir, auquel on a retiré le puits. On notera d'autre part Γwla frontière du puits, et Γ = ΓR ∪ Γw.Les conditions aux limites aux bords du réservoir sont des conditions de type Dirichlet ou Neu-mann, et seront précisées dans le paragraphe 1.2.2.Les conditions aux limites aux bords des puits et des fractures sont des conditions non-locales,et sont décrites par les lois d'écoulement dans les puits (voir le paragraphe 1.2.3) et dans lesfractures (l'écoulement darcéen avec la perméabilité des fractures, voir le paragraphe 1.2.4).Par ailleurs, le réservoir peut être hétérogène, et dans ce cas-là, on le modélisera par plusieurscouches Ω1, Ω2,. . . ,ΩNR

homogènes ; il faudra alors établir des conditions de raccord à chaqueinterface entre deux couches.

1.2. Modèles mathématiques 21

1.2.1 Équation de diusivitéPour l'écoulement monophasique, nous négligeons l'eet gravitaire.

Dans le cas de l'huile, le mouvement du uide est régi par la loi de Darcy valable aux faiblesvitesses (nombre de Reynolds de pores < 1), qui modélise l'écoulement du uide dans un milieuporeux à une échelle macroscopique susante pour pouvoir le considérer comme continu :

~V =~Q

A= −K

µ∇p, (1.3)

où p est la pression, ~V la vitesse de ltration, et ~Q le débit.On écrit ensuite l'équation de conservation de la masse :

∂(φρ)∂t

+ div(ρ~V ) = 0. (1.4)

On complète alors ce système par une équation d'état traduisant la compressibilité (en supposantque la roche est incompressible) :

cf = − 1V

∂V

∂p=

1ρ(∂ρ

∂p)T . (1.5)

Le coecient de compressibilité cf est supposé constant. L'équation ci-dessus peut être intégrée,et on obtient :

ρ = ρ0 exp[cf (p− p0)], (1.6)où ρ0 est la masse volumique pour la pression de référence p0.

Remarque 2 Le coecient cf a la dimension de l'inverse d'une pression, de sorte que l'exposantcf (p− p0) de l'exponentielle est adimensionnel.

On suppose que les propriétés du uide sont constantes, que le tenseur de perméabilité K estdiagonal, et on obtient en injectant (1.6) et (1.3) dans (1.4), l'équation diérentielle non linéairesuivante (voir [8]) :

∇(K. ~grad p) + cfK( ~grad p)2 − (φµcf )∂p

∂t= 0. (1.7)

Dans le cas où le uide mobile est l'huile, la compressibilité cf est en général faible et constante,et les valeurs du gradient de pression sont aussi faibles, on peut donc négliger le deuxième termede l'équation (1.7) et on obtient alors l'équation de diusion classiquement étudiée dans le milieupétrolier :

∇(K. ~grad p)− (φµcf )∂p

∂t= 0. (1.8)

On impose par ailleurs une condition initiale traduisant l'équilibre hydrostatique :

p(x, 0) = p0(x) x ∈ Ω. (1.9)


1.2.2 Conditions aux bords du réservoirOn peut avoir des conditions aux limites diérentes selon les parties de la frontière Γ du

réservoir. En général, on impose deux types de conditions aux limites du réservoir :- condition de Dirichlet : p = pD sur ΓD,la pression est constante sur une partie ΓD de la frontière Γ, et elle est égale à la pressioninitiale du réservoir : cela traduit le fait que la zone compressible atteint par exemple une zoneà gaz ou un aquifère très actif qui représente une réserve d'énergie, et qui maintient ainsi unepression constante pD au bord du réservoir.

- condition de Neumann : ∂p

∂n= 0 sur ΓN ,

avec n la normale extérieure à la frontière ΓN ;cela traduit le fait que le ux est nul à la paroi : c'est le cas lorsque la zone compressible atteintune barrière imperméable, par exemple une faille, le toit ou le mur du réservoir, ...

1.2.3 Conditions aux puitsNous considérerons dans le cadre de ce travail des puits rectilignes, cylindriques, de rayon rw

et de longueur L, et nous désignerons par Γw leur frontière (Γw = [0, L]× [0, 2π]). Pour simplier,nous supposons dans un premier temps que nous sommes en milieu isotrope : le coecient deperméabilité k est alors un scalaire. Nous verrons à la n du paragraphe (remarque 4) commentse généralisent les conditions au puits pour un milieu anisotrope.

Nous commençons par dénir les diérentes quantités physiques qui vont intervenir dans lesconditions aux limites sur le puits : la pression au fond du puits, la pression au point de soutirage,le débit total du puits, et le débit dans le puits (i.e. traversant une cross-section du puits).Deux cas physiques peuvent se présenter :

ou bien on impose la pression au point de soutirage, que l'on notera pwf , et alors on cherchele débit total du puits, noté Q,

ou alors on impose un certain débit total Q et on cherche alors la pression pwf au point desoutirage.

Dans les deux cas, on ne connaît pas non plus la distribution de débit le long du puits. Engénéral, pour un puits horizontal, le débit est plus fort aux extrémités du puits, car l'écoulementest sphérique aux extrémités.Les conditions de fonctionnement au puits peuvent être imposées en surface ou au fond. Si ellessont imposées en surface, cela nécessite de faire un calcul des pertes de charge entre le fond et lasurface. Nous supposerons donc que les pressions / débits sont imposés en condition fond.Deux diérentes lois d'écoulement peuvent être considérées dans le puits : la condition de conduc-tivité innie, ou la condition de conductivité nie.

Nous notons pw la pression au puits, et nous la supposons indépendante de la variable angu-


laire θ ∈ [0, 2π] :p(x, t) = pw(l, t) sur Γw × [0, T ], si x = (l, θ), avec l ∈ [0, L], θ ∈ [0, 2π]. (1.10)

Ainsi, la pression pwf au point de soutirage s'écrit à l'instant t :pw(0, t) = pwf (t), t ∈ [0, T ], (1.11)

et le débit total du puits Q est déni par :Q(t) =

k

µ

∫Γw

∂p(x, t)∂n

dγ(x), t ∈ [0, T ]. (1.12)Le débit total Q à l'instant t > 0 est négatif lorsque le puits est en injection, positif lorsque lepuits est en production.

Le débit dans le puits s'exprime, en négligeant l'eet de compressibilité, par la relation :qw(l, t) =

k

µ

∫Γw,l

∂p(x, t)∂n

dγ(x), t ∈ [0, T ], (1.13)où Γw,l désigne l'ensemble de la partie de la frontière du puits Γw située à droite du point axiall (voir gure 1.4). C'est le débit qui traverse à l'instant t la cross-section du puits au point l.

PSfrag replacementsΓw

Γw,lqw(l, t)

lux

Fig. 1.4 Partie Γw,l de la frontière Γw du puits pour un puits complexe.

Cette partie du puits coïncide avec l'ensemble des branches du puits par où arrive le débitjusqu'au point axial l.

La contrainte sur les ux (1.12) correspond à l'équation (1.13) prise au point de soutirage(production end) : Q(t) = qw(L, t), t ∈ [0, T ].

Nous allons maintenant donner les conditions aux limites sur le puits. Deux types de condi-tions peuvent intervenir : conductivité innie et conductivité nie. La condition de conductivitéinnie est une condition simpliée.


Conductivité innie : On suppose que la pression est constante le long du puits :

pw(l, t) := pwf (t) l ∈ [0, L], t ∈ [0, T ]. (1.14)Le modèle sur le puits est alors complété par les équations (1.10) et (1.12). Les conditions auxlimites sur le puits s'écrivent alors, dans le cas de la conductivité innie, et dans un réservoirisotrope :

p(x, t) = pwf (t) sur Γw × [0, T ],

Q(t) =k

µ

∫Γw

∂p(x, t)∂n

dγ(x), t ∈ [0, T ].(1.15)

Conductivité nie : Dans le cas de la conductivité nie, on ne suppose plus la pressionconstante le long du puits, mais on a une équation physique qui nous donne l'expression dugradient de la pression en fonction du ux dans le puits, et donc traduit les pertes de chargedans le puits.Cette équation peut s'écrire sous la forme simpliée suivante :

∂pw(l, t)∂l

= Cw q2w(l, t), t ∈ [0, T ], (1.16)

où qw a été dénie par (1.13).

Remarque 3 Dans les articles plus anciens, on prenait aussi en compte un coecient α quidépendait de la rugosité de la surface, et pouvait varier de 0 pour des surfaces très rugueuses à0.25 pour des surfaces plus lisses. L'équation alors considérée s'écrivait sous la forme :

∂pw(l, t)∂l

= Cw,α q2−αw (l, t), l ∈ [0, L], t ∈ [0, T ].

Cette formule étant obtenue par expérimentation, la valeur du coecient Cw n'est pas biendéterminée. Elle est encore discutée selon les auteurs. Elle dépend du rayon du puits, de la massevolumique, de la friction à la surface du puits (voir travaux de Govier et Aziz 1972 [36], Jain,1976 [42], Ouyang et al 1996 [68], Dikken 1990 [24], ainsi que la thèse de V. R. Penmatcha [74]).Dans le cadre de cette thèse, nous adopterons la dénition suivante pour la constante Cw :

Cw =fρ

π2r5w,

avec f le coecient de friction, ρ la masse volumique, et rw le rayon du puits.La conductivité innie est en fait un cas particulier de la conductivité nie (prendre Cw = 0dans l'équation (1.16)).

La condition de conductivité nie est une condition non-linéaire, et non-locale, puisque lasolution pw(l, .) à la position l sur le puits dépend des solutions sur Γw,l, d'après (1.16) et ladénition (1.13) de qw(l, .). Pour un puits horizontal par exemple, la solution pw(l, .) dépenddes solutions pw(l′, .), pour l′ variant de 0 à l sur l'axe du puits. Le fait que la condition soitnon-locale est une diculté supplémentaire à la non-linéarité.


Dans le cas de la conductivité nie, les conditions sur le puits s'écrivent alors, pour unréservoir isotrope :

p(x, t) = pw(l, t) sur Γw × [0, T ], si x = (l, θ), l ∈ [0, L], θ ∈ [0, 2π],pw(0, t) = pwf (t), t ∈ [0, T ],∂pw(l, t)

∂l= Cw q

2w(l, t), t ∈ [0, T ],

qw(l, t) =k

µ

∫Γw,l

∂p(x, t)∂n

dγ(x), t ∈ [0, T ],

Q(t) =k

µ

∫Γw

∂p(x, t)∂n

dγ(x), t ∈ [0, T ].

(1.17)

Remarque 4 Si on est en milieu anisotrope (la perméabilité s'exprime alors par un tenseur

diagonal K), on introduit la notation suivante :

∂p

∂(Kn)=

1kK∇p.n, avec k = (k1k2k3)1/3. (1.18)

L'équation (1.12) s'écrit alors :

Q(t) =k

µ

∫Γw

∂p(x, t)

∂(Kn)dγ(x), (1.19)

De même, l'équation (1.13) devient :

qw(l, t) =k

µ

∫Γw,l

∂p(x, t)

∂(Kn)dγ(x), t ∈ [0, T ]. (1.20)

Les deux systèmes d'équations (1.15) et (1.17) s'écrivent alors en milieu anisotrope en rempla-çant les équations (1.13) par (1.20) et (1.12) par (1.19).Les équations (1.15) pour la condition de conductivité innie deviennent alors en milieu aniso-trope :

p(x, t) = pwf (t) sur Γw × [0, T ],

Q(t) =k

µ

∫Γw

∂p(x, t)

∂(Kn)dγ(x), t ∈ [0, T ], (1.21)

et les équations (1.17) pour la condition de conductivité nie deviennent :


∂l= Cw q

2w(l, t), t ∈ [0, T ],

qw(l, t) =k

µ

∫Γw,l

∂p(x, t)

∂(Kn)dγ(x), t ∈ [0, T ],

Q(t) =k

µ

∫Γw

∂p(x, t)

∂(Kn)dγ(x), t ∈ [0, T ].

(1.22)


1.2.4 Conditions sur les fracturesL'écoulement dans les fractures est modélisé comme dans les puits par un écoulement darcéen,

en prenant la perméabilité de la fracture (voir [67, 73, 52]). On écrit donc une deuxième équationde diusion pour la fracture F , qui est assimilée à une surface en 2D si le réservoir est en 3D,ou à une ligne si le réservoir est en 2D :

∆p(x, t)−φµcfkf

∂p(x, t)∂t

= 0, x ∈ F, t ∈ [0, T ], (1.23)où kf désigne le coecient de perméabilité dans la fracture.

Les inconnues sont alors la pression et le débit au niveau de la fracture.

1.2.5 Modèle mathématique pour un réservoir homogèneOn se place pour simplier dans un premier temps dans le cadre d'un réservoir homogène et

isotrope, sans fracture, et qui ne comprend qu'un seul puits. Le coecient de perméabilité k nedépend alors pas de x ∈ Ω, et l'équation de diusion (1.8) s'écrit plus simplement :

∆p(x, t)−φµcfk

∂p(x, t)∂t

= 0, pour (x, t) ∈ Ω× [0, T ]. (1.24)On suppose que le puits est rectiligne, et on reprend les mêmes notations que précédemment.On suppose qu'on a une condition de Dirichlet sur une partie ΓD de la frontière Γ du réservoir :

p = pD sur ΓD × [0, T ], (1.25)et une condition de Neumann homogène sur ΓN = Γ\ΓD :

∂p

∂n= 0 sur ΓN × [0, T ]. (1.26)

On impose comme condition initiale :p(x, 0) = p0(x), x ∈ Ω. (1.27)

Pour les conditions au puits, on se place dans l'hypothèse générale de conductivité nie, lesystème est donc complété par le système d'équations (1.17).

Nous avons donc à résoudre le modèle mathématique formé par les équations (1.24), (1.25),(1.26), (1.27), (1.17).Cas d'un réservoir anisotrope. Dans le cas d'un réservoir anisotrope, l'équation de diusi-vité (1.24) se généralise sous la forme :

k1∂2p(x, t)∂x2

1

+ k2∂2p(x, t)∂x2

2

+ k3∂2p(x, t)∂x2

3

= φµcf∂p(x, t)∂t

, (1.28)pour x = (x1, x2, x3) ∈ Ω, t ∈ [0, T ].

On rajoute ensuite la même condition initiale (1.27), les mêmes conditions aux limites (1.25),(1.26), et les conditions aux puits en milieu anisotrope (1.22).Remarque 5 On peut se ramener par un changement de variables à l'équation (1.24) avec pourperméabilité k (voir paragraphe 3.2.3).


1.2.6 Modèle mathématique pour un réservoir stratiéPour simplier, on se place dans le cas d'un milieu isotrope, mais on peut facilement générali-

ser le modèle que nous allons établir à un milieu anisotrope, comme dans le paragraphe précédent.On divise le réservoir hétérogène Ω en plusieurs domaines Ωr, r = 1, . . . , NR, que l'on consi-

dère homogènes (d'après la référence [67]), de perméabilité kr et de porosité φr.Ces domaines peuvent par exemple correspondre aux strates dans le cas d'un réservoir stratié.

Notation 6 Pour tout r = 1, . . . , NR, on note Γr la frontière du domaine Ωr. On désigne parΓrs la frontière commune aux domaines Ωr et Ωs :

Γrs = Γr ∩ Γs, pour tout s ∈ J = s = 1, . . . , NR / Γr ∩ Γs 6= ∅.Enn, on notera Γr,ext = Γr \ ∪s∈J Γrs.

PSfrag replacementsΩ1

Ω2

Ω3

Ω4

Γ1,2

Γ2,3

Γ3,4

ΓDΓNΓw

Fig. 1.5 Application des notations pour la gure 1.3.

Pour chaque domaine Ωr, on applique le modèle du paragraphe 1.2.5, on a donc le systèmed'équations pour tout r = 1, . . . , NR :

∆pr(x, t)−φr µ cfkr

∂pr(x, t)∂t

= 0 pour (x, t) ∈ Ωr × (0, T ]

pr = pD sur Γr,D × [0, T ]∂pr∂n

= 0 sur Γr,N × [0, T ]

pr(x, 0) = p0,r(x) pour x ∈ Ωr

(1.29)

avec Γr,D = Γr,ext ∩ ΓD et Γr,N = Γr,ext ∩ ΓN .Remarque 7 Γr,D ou/et Γr,N peuvent être égaux à l'ensemble vide.

Pour simplier, on supposera par ailleurs que le réservoir ne comprend qu'un seul puits W ,contenu dans une seule couche Ωr. Pour chaque indice rp tel que la couche Ωrp contient un puits,le système ci-dessus sera complété par les conditions aux puits (1.17).


Conditions aux interfaces Γrs Pour fermer le système, il reste à établir les conditions deraccord aux interfaces Γrs entre deux domaines Ωr et Ωs.On écrit alors, pour tous r, s = 1, . . . , NR tels que Γr ∩ Γs 6= ∅, les équations de continuité sur lapression et sur le ux :

pr(x, t) = ps(x, t) pour x ∈ Γrs, t ∈ [0, T ], (1.30)kr

∂pr(x, t)∂nr

= −ks∂ps(x, t)∂ns

pour x ∈ Γrs, t ∈ [0, T ], (1.31)

avec nr la normale à l'interface Γrs orientée vers l'extérieur de Ωr, et ns la normale à l'interfaceΓrs orientée vers l'extérieur de Ωs.

Pour un milieu anisotrope, ces relations s'écrivent, en utilisant la notation (1.18) :pr(x, t) = ps(x, t) pour x ∈ Γrs, t ∈ [0, T ], (1.32)

kr∂pr(x, t)

∂(Krnr)= −ks

∂ps(x, t)

∂(Ksns)pour x ∈ Γrs, t ∈ [0, T ]. (1.33)

1.2.7 Autre type de modèle pour modéliser le puitsDans le modèle ci-dessus, le puits a été modélisé comme un trou dans le milieu poreux.

Cette représentation est très proche de la physique, mais n'est pas en général utilisée par lesingénieurs du milieu pétrolier. Ces derniers préfèrent en eet négliger le trou dans Ω′ formé parle puits, et modéliser le puits comme un terme source apparaissant dans l'équation de diusion.Cela peut se justier par la diérence d'échelle entre la taille du puits et celle du réservoir. Lepuits peut être alors considéré comme un point en 2D, ou comme une ligne en 3D.Le modèle s'écrit alors :

k

µ∆p(x, t)− φ cf

∂p(x, t)∂t

= Q(x, t) pour (x, t) ∈ Ω′ × [0, T ],

p = pD sur ΓD × [0, T ],∂p

∂n= 0 sur ΓN × [0, T ],

p(x, 0) = p0(x) pour x ∈ Ω′.

(1.34)

Le plus souvent, la fonction Q est représentée par des masses de Dirac au puits, multipliéespar un certain coecient (Mohamad et Numbere [57], Liggett et Liu [54], Pecher [73], Oguztoreliet Wong [67]), d'autres auteurs, comme par exemple Kikani et Horne [46], la dénissent par unefonction continue.

G. Chavent et J. Jaré dans [18] ont démontré l'équivalence entre les deux modèles souscertaines hypothèses de régularité an d'assurer que l'équation de diusion est vériée dans Ω′

tout entier quand on rajoute un terme source.

La résolution de ce modèle par méthodes intégrales n'est pas très intéressante, car le termesource amène une intégrale sur le domaine, ce qui enlève tout l'intérêt pour nous d'utiliser uneméthode intégrale.


1.2.8 Modèle retenu

Dans le cadre de cette thèse, nous nous limiterons à un réservoir non fracturé.

Le modèle s'écrit alors, dans sa forme la plus générale, en prenant en compte la présence deNW puits, dans un réservoir à géométrie quelconque, stratié et anisotrope :

div (Kr.∇pr(x, t)) = φµcf∂pr(x, t)

∂tpour (x, t) ∈ Ωr × [0, T ]

pr = pD sur Γr,D × [0, T ]∂pr∂nr

= 0 sur Γr,N × [0, T ]

pr(x, 0) = p0,r(x) pour x ∈ Ωr

pr = ps sur Γrs × [0, T ]

kr∂pr

∂(Krnr)= −ks

∂ps

∂(Ksns)sur Γrs × [0, T ]

pr(x, t) = pw(l, t) sur Γw × [0, T ], si x = (l, θ), l ∈ [0, L], θ ∈ [0, 2π],w = 1, . . . , NW

pw(0, t) = pwf (t), t ∈ [0, T ], w = 1, . . . , NW

∂pw(l, t)∂l

= Cw q2w(l, t), l ∈ [0, L], t ∈ [0, T ], w = 1, . . . , NW

qw(l, t) =krµ

∫Γw,l

∂pr(x, t)

∂(Krnr)dγ(x), l ∈ [0, L], t ∈ [0, T ], w = 1, . . . , NW

Qw(t) =krµ

∫Γw

∂pr(x, t)

∂(Krnr)dγ(x), t ∈ [0, T ], w = 1, . . . , NW .

(1.35)Ce modèle est non-linéaire. Notons que la non-linéarité provient de la condition aux limites

sur le puits, et non pas de l'équation aux dérivées partielles qui le gouverne, qui, elle, est linéaire.Si on choisit Cw = 0 dans le modèle ci-dessus, on travaille avec la condition de conductivitéinnie sur le puits, et on a alors un modèle linéaire.

1.2.9 Cas particulier : écoulement permanent

Le modèle précédent (écoulement transitoire) modélise les essais de puits. Il est aussi trèsimportant pour les ingénieurs pétroliers de pouvoir estimer la productivité du puits. Commeon l'a rappelé dans le paragraphe 1.1.2, la productivité du puits est traduite par l'indice deproductivité (IP ) qui se calcule pour des temps très longs. À ces instants-là, l'écoulement eststabilisé, on parle d'écoulement permanent. Cela s'exprime mathématiquement par l'annulationde la dépendance en temps dans le modèle précédent.Le modèle pour l'écoulement permanent s'écrit alors :


div (Kr.∇pr(x)) = 0 pour x ∈ Ωr

pr = pD sur Γr,D∂pr∂nr

= 0 sur Γr,N

pr = ps sur Γrs

kr∂pr

∂(Krnr)= −ks

∂ps

∂(Ksns)sur Γrs

pr(x) = pw(l) sur Γw, si x = (l, θ), l ∈ [0, L], θ ∈ [0, 2π],w = 1, . . . , NW

pw(0) = pwf , w = 1, . . . , NW

∂pw(l)∂l

= Cw q2w(l), l ∈ [0, L], w = 1, . . . , NW

qw(l) =krµ

∫Γw,l

∂pr(x)

∂(Krnr)dγ(x), l ∈ [0, L], w = 1, . . . , NW

Qw =krµ

∫Γw

∂pr(x)

∂(Krnr)dγ(x), w = 1, . . . , NW .

(1.36)

Dans le cadre de la thèse, seul le modèle d'écoulement permanent sera abordé numériquementdans les chapitres 3 à 5, mais les deux problèmes d'écoulement permanent et transitoire seronttraités théoriquement respectivement dans les chapitres 2 et 6.

1.2.10 À propos des dimensionsDans ce paragraphe, nous allons répertorier les dimensions de toutes les quantités physiques

présentes dans le modèle en système S.I., et en même temps nous donnerons une idée des gran-deurs physiques que peuvent prendre chacune de ces quantités. Cette partie complète la premièresection (1.1) de ce chapitre.

1.2.10.1 PressionCommençons par la pression. La pression a pour dimension une force par unité de surface,

soit :

Pa = N×m−2 = (kg×m× s−2)×m−2 = kg×m−1 × s−2. (1.37)Rappelons les correspondances entre diverses unités usuelles de pression :

Conversion de en multiplier paratmosphere, standard (atm) pascal (Pa) 1.01325 E+05atmosphere, standard (atm) kilopascal (kPa) 1.01325 E+02atmosphere, technical (at) pascal (Pa) 9.80665 E+04atmosphere, technical (at) kilopascal (kPa) 9.80665 E+01bar (bar) pascal (Pa) 1.0 E+05bar (bar) kilopascal (kPa) 1.0 E+02


Valeurs pour un écoulement Les valeurs de la pression pD varient en fonction de la pro-fondeur avec un rapport approximatif de 0.1 bar/m : par exemple, pour un réservoir de 2000 mde profondeur, la pression sera d'environ 200 bar, pour un réservoir de 1000 m de profondeur, lapression sera de 100 bar.

1.2.10.2 Viscosité dynamique

Viscosité dynamique = N× s×m−2 = kg×m−1 × s−1 = Pa× s. (1.38)

Conversion de en multiplier parcentipoise (cP) pascal seconde (Pa*s) 1.0 E-03poise (P) pascal seconde (Pa*s) 1.0 E-01

Valeurs de la viscosité Pour le pétrole, la viscosité peut varier de 1 cp à 10000 cp. Les huilesde viscosité 10000 cp sont des huiles très lourdes. Pour un gaz, la viscosité est de l'ordre de 10−2,voire 10−1 cp.

1.2.10.3 Nombre de Reynolds

nombre de Reynolds = Re =ρvDw

µ= adimensionnel. (1.39)

ρ = masse volumique = kg/m3,v = vitesse du uide= m/s,Dw = diamètre du puits = m,µ = viscosité dynamique = Pa × s.

Re < 2000 : écoulement laminaire,Re > 4000 : écoulement turbulent,Entre les deux : instable.

Calculons le nombre de Reynolds de l'écoulement dans le puits. Il vient

v =Q

πr2w=

10−3m3 × s−1

π × 10−2m2= 10−1m× s−1.

d'oùRe =

ρvD

µ=

(103 kg×m−3)× (10−1m× s−1)× 10−1m10−3 kg×m−1 × s−1

= 104.

Nous sommes bien dans le domaine des écoulements turbulents.

1.2.10.4 PerméabilitéNous avons vu que la perméabilité s'exprime en darcys, et que :

1mD = 10−15 m2 (1 darcy = 10−12 m2).

Conversion de en multiplier pardarcy mètre carré (m2) 9.869233 E-13


1.2.10.5 Porositéφ = Vp/Vt, quotient du volume des pores par le volume total : grandeur adimensionnelle.

1.2.10.6 Équation de diusivité

∇(k.∇p) + cfk(∇p)2 − (φµcf )∂p

∂t= 0. (1.40)

cf = − 1V

∂V

∂p=

1ρ(∂ρ

∂p)T = Pa−1.

∇(k.∇p) = m−1 ×m2 × Pa×m−1 = Pa, (1.41)cfk(∇p)2 = Pa−1 ×m2 × (Pa×m−1)2 = Pa, (1.42)(φµcf )

∂p

∂t= Pa× s× Pa−1 × Pa× s−1 = Pa. (1.43)

1.2.10.7 Équation de conductivité nieNous avons vu que l'équation de conductivité nie, qui relie la perte de charge au débit du

puits, s'écrit :∂pw∂l

(l) = Cwq2w(l), ∀0 ≤ l ≤ L. (1.44)

La constante Cw vérie :

Cw =fρ

π2r5w.

Cette constante Cw est de l'ordre de 1000 kg/m8. En eet :1. f est le coecient de friction, adimensionnel et de l'ordre de 10−4.2. ρ est la masse volumique, de l'ordre de 103 kg/m3.3. rw est le rayon du puits, de l'ordre de 0, 1 m.4. π2 est adimensionnel et de l'ordre de 10.Par ailleurs, on sait qu'une pression p a pour dimension une force par unité de surface, soit :

(masse× accélération) /surface = masse× (longueur/temps/temps) /longueur2= kg× (m× s−2)×m−2 = kg×m−1 × s−2

Donc, le membre de gauche de (1.44) a pour dimension kg×m−2 × s−2.Par ailleurs, un débit a pour dimensions m3/s, donc q2w a pour dimension m6 × s−2, mutiplié

par Cw, nous obtenons, pour la dimension du membre de droite de (1.44) :(m6 × s−2)×(kg×m−8

)= kg×m−2 × s−2.

Les dimensions des deux membres coïncident bien.

1.3. Conclusion du chapitre 33

1.2.10.8 ConclusionCe travail eectué sur les dimensions nous permet de valider que les équations de notre

modèle ont bien un sens physique, et nous sera utile pour l'analyse théorique du modèle. Nouscomplèterons cette partie au fur et à mesure de nos besoins dans la suite du manuscrit.

1.3 Conclusion du chapitre

La modélisation du problème physique nous a permis d'obtenir deux modèles, l'un en régimepermanent, l'autre en régime transitoire. Dans le cadre de cette thèse, nous nous limiterons à unréservoir sans fracture, et comprenant un seul puits.Une des dicultés que l'on voit déjà apparaître est la condition non-linéaire et non-locale surle puits (condition de conductivité nie). Nous montrerons dans le chapitre 2 que le modèleen régime permanent est bien posé, pour chacune des conditions (linéaire et non-linéaire) sur lepuits. Le modèle linéaire en régime permanent sera implémenté numériquement dans les chapitres3 à 5.Le chapitre 6 montrera que le modèle en régime transitoire admet une unique solution pour lacondition linéaire sur le puits.

35

Chapitre 2

Régime permanent

Avant d'aborder le modèle en régime transitoire, nous nous intéressons tout d'abord à l'étudethéorique du modèle plus simple d'écoulement permanent. Nous rappelons que le modèle d'écou-lement permanent est susant pour obtenir une estimation de la productivité du puits, le modèletransitoire ayant un autre champ d'applications, à savoir les tests de puits. Les modèles linéaireset non-linéaires seront traités séparément.Dans ce chapitre, nous travaillerons seulement en milieu homogène isotrope.

2.1 Problème linéaire (conductivité innie)

Nous nous attachons dans un premier temps à l'étude théorique du modèle d'écoulementpermanent linéaire, qui correspond à la condition de conductivité innie sur le puits. Le modèles'écrit :

div (k.∇p(x)) = 0 pour x ∈ Ω, (i)p = pD sur ΓD, (ii)∂p

∂n= 0 sur ΓN , (iii)

p = pwf sur Γw, (iv)

Q =k

µ

∫Γw

∂p(x)∂n

dγ(x), (v)

(2.1)

avec pwf constante.On suppose que le domaine Ω vérie toutes les hypothèses de régularité nécessaires, à savoir Ωest borné, de frontière Γ régulière, Ω étant localement d'un seul côté de Γ.Pour simplier, on suppose la perméabilité k scalaire. La première équation du modèle devientalors :

∆p(x) = 0 pour x ∈ Ω.

Deux cas peuvent alors se présenter :1. le débit total Q est donné, et la pression pwf au point de soutirage est inconnue,2. ou la pression pwf au point de soutirage est donnée, et le débit total Q est inconnu.Le second cas, classique, sera traité dans le paragraphe 2.1.1, tandis que le premier cas, moins

évident, sera étudié dans le paragraphe 2.1.2.

36 Chapitre 2. Régime permanent

2.1.1 Pression sur le puits donnéeDans le second cas, le modèle :

(I)

∆p(x) = 0 pour x ∈ Ω,p = pD sur ΓD,∂p

∂n= 0 sur ΓN ,

p = pwf sur Γw,

(2.2)

qui n'est autre que le modèle (2.1) sans la condition (v) sur le débit total Q, est un modèleclassique dont on connaît l'existence et l'unicité d'une solution p dans H1(Ω). Le débit total Qsera calculé selon l'équation (2.1)-(v) une fois le modèle (2.2) résolu.L'espace H1(Ω) est muni du produit scalaire usuel :

(u, v)H1(Ω) =∫

Ωu(x) v(x) dx+

∫Ω∇u(x)∇v(x) dx. (2.3)

Pour montrer l'existence d'une solution au modèle (2.2), on utilise le changement de variableu = p− pwf . Le modèle se réécrit alors :

∆u(x) = 0 pour x ∈ Ω,u(x) = pD(x)− pwf pour x ∈ ΓD,∂u

∂n= 0 sur ΓN ,

u = 0 sur Γw.

(2.4)

On introduit alors l'espace classiquement noté H1(∆,Ω), déni par :H1(∆,Ω) = v ∈ H1(Ω);∆v ∈ L2(Ω). (2.5)

Cet espace est muni de la norme ‖.‖H1(∆,Ω) :

‖u‖H1(∆,Ω) =(‖u‖2

H1(Ω) + ‖∆u‖2L2(Ω)

)1/2. (2.6)

On utilise le théorème de relèvement suivant :si pD ∈ H1/2(ΓD), alors il existe un relèvement (non unique) r ∈ H1(∆,Ω), et η > 0, tels que :

r(x) =pD(x)− pwf sur ΓD,0 sur Γw,

et ‖r‖H1(∆,Ω) ≤ C ‖pD − pwf‖H1/2(ΓD) .

On eectue le changement de variables : t = u− r, et on obtient le modèle suivant :∆t(x) = −∆r(x) pour x ∈ Ω,t(x) = 0 pour x ∈ ΓD,∂t(x)∂n

= −∂r(x)∂n

pour x ∈ ΓN ,

t(x) = 0 pour x ∈ Γw.

La formulation variationnelle s'écrit :a(t, v) = L(v) pour tout v ∈ V, (2.7)

2.1. Problème linéaire (conductivité innie) 37

où :V = v ∈ H1(Ω) ; v/ΓD

= 0, v/Γw = 0,

et :

a(t, v) =∫

Ω∇t(x)∇v(x) dx,

L(v) = −∫

Ω∇r(x)∇v(x) dx−

∫ΓN

∂r(x)∂n

v(x) dγ(x).

La continuité et la coercivité de la forme bilinéaire a(., .) dans l'espace V sont immédiates.D'autre part, il est évident que la forme linéaire L est continue sur V .Le théorème de Lax-Milgram nous donne alors l'existence et l'unicité d'une solution t à la for-mulation variationnelle (2.7) pour r xé. La formulation variationnelle (2.7) s'interprète en leproblème aux limites, pour r xé :

∆t(x) = −∆r(x) pour x ∈ Ω,t(x) = 0 pour x ∈ ΓD,∂t(x)∂n

= −∂r(x)∂n

pour x ∈ ΓN ,

t(x) = 0 pour x ∈ Γw,t ∈ H1(Ω).

Il en découle l'existence d'une solution u dans H1(Ω) au modèle (2.4). Reste à montrer l'uni-cité de la solution.

Unicité : Soient u1 et u2 deux solutions du modèle (2.4), on note u leur diérence : u =u1 − u2. Il sut alors de montrer que le modèle suivant :

∆u(x) = 0 pour x ∈ Ω,u(x) = 0 pour x ∈ ΓD,∂u(x)∂n

= 0 pour x ∈ ΓN ,

u(x) = 0 pour x ∈ Γw,

admet comme unique solution la solution nulle, ce qui est évident.On a donc montré l'existence et l'unicité d'une solution u dans H1(Ω) au modèle (2.4), qui

implique l'existence et l'unicité d'une solution p au modèle (2.2).Une fois le modèle (2.2) résolu, le débit total Q est calculé selon l'équation (2.1)-(v) :

Q =k

µ

∫Γw

∂p(x)∂n

dγ(x).

2.1.2 Débit total du puits donnéOn se place maintenant dans le second cas : Q est donné, et on cherche la constante pwf . On

distinguera le cas où la donnée de Dirichlet pD est constante, et le cas où pD n'est pas constante.


2.1.2.1 Cas où pD est constante :Dans un premier temps, on suppose que la donnée pD sur le bord de Dirichlet ΓD est

constante, ce qui est courant en pratique.On eectue alors le changement de variable u = p− pD pour se ramener à une condition de

Dirichlet homogène. Le modèle se réécrit alors :

∆u = 0 dans Ω,u = 0 sur ΓD,∂u

∂n= 0 sur ΓN ,

u = cte (= pwf − pD) sur Γw,

Q =k

µ

∫Γw

∂u(x)∂n

dγ(x).

(2.8)

On se place dans l'espace :V = v ∈ H1(Ω) ; v/ΓD

= 0, v/Γw = cte où cte est une constante inconnue.On munit V du produit scalaire usuel (2.3) dans H1(Ω). V est un sous-espace vectoriel fermé del'espace de Hilbert H1(Ω), c'est donc un Hilbert.La formulation variationnelle du problème (2.8) s'écrit :

a(u, v) = L(v), pour tout v ∈ V, (2.9)avec : a(u, v) =

∫Ω∇u(x)∇v(x) dx

L(v) = Q v/Γw .

La forme bilinéaire a est de toute évidence continue dans V × V , coercive sur V , et la formelinéaire L est continue dans V .

On peut donc appliquer le théorème de Lax-Milgram qui assure l'existence et l'unicité d'unesolution u dans V à la formulation variationnelle (2.9). Cette formulation variationnelle s'inter-prète en le problème aux limites :


∂n= 0 sur ΓN ,

u = cte inconnue sur Γw,

Q =k

µ

∫Γw

∂u(x)∂n

dγ(x),

u ∈ H1(Ω).

Le modèle (2.8) admet donc une solution unique u dans H1(Ω). On en déduit l'existence etl'unicité d'une solution p dans H1(Ω) pour le modèle (2.1), dans le cas où pD est constante.


2.1.2.2 Cas où pD n'est pas constante :Nous rappelons le modèle :

∆p = 0 dans Ω,p = pD sur ΓD,∂p

∂n= 0 sur ΓN ,

p = pwf sur Γw,

Q =k

µ

∫Γw

∂p(x)∂n

dγ(x).

(2.10)

Ici on suppose que pD n'est plus constante, Q est donné, et pwf ∈ R inconnue. En pratique, lecas où pD n'est pas constante correspond généralement au cas où pD sera constante par mor-ceaux sur ΓD. Physiquement, cela signie qu'on impose des conditions de pression diérentessur deux parties de la frontière ΓD. Par exemple, on peut imposer p = p1 sur ΓD,1, et p = p2

sur ΓD,2, avec p1 6= p2, ΓD,1 ∪ ΓD,2 = ΓD, et ΓD,1 ∩ ΓD,2 = ∅. Concrètement, dans le cas d'unréservoir en forme de boîte, ΓD,1 peut représenter le toit du réservoir, et ΓD,2 le mur du réservoir.

Nous proposons ici deux démonstrations diérentes, la première étant anologue à celle de lasection 2.1.1 pour la pression donnée, et la deuxième reposant sur le principe de superposition.Ce principe sera l'un des éléments clés de la démonstration d'existence et d'unicité d'une solutionau problème non-linéaire. Nous l'introduisons ici dans le cadre plus simple du modèle linéaire,an de faciliter la compréhension du lecteur.

1. Première démonstration :La première démonstration est analogue à celle eectuée dans la section précédente lorsquela pression pwf au point de soutirage est donnée. Il sut d'utiliser un théorème de relève-ment :si pD ∈ H1/2(ΓD), alors il existe un relèvement (non unique) r ∈ H1(∆,Ω), et η > 0, telsque :

r(x) =pD(x) sur ΓD,1 sur Γw,

et ‖r‖H1(∆,Ω) ≤ C(‖pD‖H1/2(ΓD) + ‖1‖H1/2(Γw)).

On eectue alors le changement de variables u = p− r. Le modèle devient alors :

∆u(x) = −∆r(x) pour x ∈ Ω,u(x) = 0 pour x ∈ ΓD,∂u(x)∂n

= −∂r(x)∂n

pour x ∈ ΓN ,

u(x) = pwf − 1 = cte inconnue sur Γw,

Q =k

µ

∫Γw

∂u(x)∂n

dγ(x) +k

µ

∫Γw

∂r(x)∂n

dγ(x).

(2.11)


= 0, v/Γw = cte où cte est une constante inconnue.Nous avons vu dans le paragraphe précédent que V , muni du produit scalaire usuel deH1(Ω), est un Hilbert. La formulation variationnelle du modèle (2.11) s'écrit alors :

a(u, v) = L(v), pour tout v ∈ V, (2.12)


avec :

a(u, v) =∫

Ω∇u(x)∇v(x) dx,

L(v) = −∫

Ω∇r(x)∇v(x) dx−

∫ΓN

∂r(x)∂n

v(x) dγ(x)

+(Q− k

µ

∫Γw

∂r(x)∂n

dγ(x))v/Γw .

On peut facilement montrer que la forme bilinéaire a(., .) est continue dans V ×V , coercivesur V , et que la forme linéaire L est continue sur V .Nous pouvons donc appliquer le théorème de Lax-Milgram qui nous assure l'existence etl'unicité d'une solution u à la formulation variationnelle (2.12) pour r xé. Cette formula-tion variationnelle s'interprète en le problème aux limites :

∆u(x) = −∆r(x) pour x ∈ Ω,u(x) = 0 pour x ∈ ΓD,∂u(x)∂n

= −∂r(x)∂n

pour x ∈ ΓN ,

u(x) = cte inconnue pour x ∈ Γw,

Q =k

µ

∫Γw

∂u(x)∂n

dγ(x) +k

µ

∫Γw

∂r(x)∂n

dγ(x),

u ∈ H1(Ω).

Nous en déduisons l'existence d'une solution p au modèle (2.10). Reste à montrer l'unicitéde la solution.Soient p1, p2 deux solutions du modèle (2.10), on note u leur diérence : u = p1 − p2. Ilsut de montrer que le modèle :

∆u(x) = 0 pour x ∈ Ω,u(x) = 0 pour x ∈ ΓD,∂u(x)∂n


u(x) = cte inconnue pour x ∈ Γw,

0 =k

µ

∫Γw

∂u(x)∂n

dγ(x),

(2.13)

admet comme unique solution la solution nulle.La formulation variationnelle du modèle (2.13) s'écrit, pour v ∈ V :

0 =∫

Ω∇u(x)∇v(x) dx−

∫Γ

∂u(x)∂n

v(x) dγ(x),

soit : ∫Ω∇u(x)∇v(x) dx = v|Γw

∫Γw

∂u(x)∂n

dγ(x),

or, d'après la dernière équation du modèle (2.13), on a :∫Γw

∂u(x)∂n

dγ(x) = 0,

d'où : ∫Ω∇u(x)∇v(x) dx = 0, pour tout v ∈ V,


ce qui entraîne u = 0.Nous avons bien démontré que le modèle (2.13) admet comme unique solution la solutionnulle.Nous en déduisons que le modèle (2.10) admet une unique solution dans H1(Ω), et donc lemodèle (2.1) admet une unique solution dans H1(Ω), quand le débit total Q est donné. 2. Deuxième démonstration :Nous proposons ici une autre démonstration de l'existence et de l'unicité d'une solution aumodèle (2.1), basée sur le principe de superposition.On remarque que la solution p du modèle (2.1) dépend linéairement de la constante pwf .On procède en deux étapes :1. on résout tout d'abord le modèle (2.2), qui n'est autre que le modèle (2.1) sans la

condition (v) sur le débit total Q, en fonction de pwf ,2. puis on calcule la constante pwf de façon à satisfaire la condition (2.1)-(v) sur le débit

total Q.Par linéarité, on peut découper le modèle (2.2) en deux morceaux :

(II ′)

Trouver F1 tel que :∆F1 = 0 dans Ω,F1 = pD sur ΓD,∂F1

∂n= 0 sur ΓN ,

F1 = 0 sur Γw.

(2.14)

(II ′′)

Trouver F2 tel que :∆F2 = 0 dans Ω,F2 = 0 sur ΓD,∂F2

∂n= 0 sur ΓN ,

F2 = 1 sur Γw.

(2.15)

Il est évident qu'alors :p = F1 + pwfF2. (2.16)

Les modèles (II ′) et (II ′′) admettent une solution unique, respectivement F1 et F2, cha-cune dans H1(Ω). L'existence et l'unicité des solutions F1 et F2 dans H1(Ω) sont obtenuespar une démonstration analogue à celle eectuée précédemment pour le modèle (2.4). PourF1, le relèvement est fait sur la fonction égale à pD sur ΓD, et pour F2, le relèvement estfait sur la fonction identiquement égale à 1 sur Γw.L'existence et l'unicité de p dépendent alors de l'existence et de l'unicité de la constantepwf , d'après (2.16). Or la constante pwf peut être déterminée de manière unique de façonà satisfaire la condition de débit (2.1)-(v) :

Q =k

µ

∫Γw

∂p(x)∂n

dγ(x),

qui s'exprime en utilisant (2.16) comme :Q =

k

µ

∫Γw

∂F1(x)∂n

dγ(x) + pwfk

µ

∫Γw

∂F2(x)∂n

dγ(x) = Q1 + pwfQ2.


On en déduit que :

pwf =Q−Q1

Q2, (2.17)

sous réserve que Q2 soit non nul, ce qui est équivalent à ce que l'intégrale :

I2 =∫

Γw

∂F2(x)∂n

dγ(x)(=µ

kQ2)

soit non nulle.Montrons que I2 est non nulle.La solution F2 admet une trace ∂F2/∂n parfaitement dénie sur Γ. Notons g cette trace.Alors F2, solution de (II ′′), est aussi l'unique solution du problème :

(II ′′V )

Trouver u ∈ V tel que :∀v ∈ V,

∫Γ∇u(x).∇v(x) dγ(x) =< g, v >Γ,

où < ., . > dénote la dualitéH−1/2(Γ)×H1/2(Γ). Pour des données susamment régulières,cette dualité s'exprime par l'intégrale ∫Γ g v dγ. Mais comme g est la dérivée de F2, solutionde (II ′′), g vérie g = 0 sur ΓN . En outre, v ∈ V vérie v/ΓD

= 0, de sorte que le secondmembre de (II ′′V ) se réduit à une dualité sur Γw. Choisissons maintenant pour v, F2

solution de (II ′′), donc de (II ′′V ), il vient :∫Γ|∇F2|2 dγ =

∫Γw

∂F2

∂nF2 dγ =

∫Γw

∂F2

∂ndγ = I2. (2.18)

Si l'intégrale du second membre était nulle, alors u ∈ V serait nul, puisque le premiermembre de (2.18) est sur V une norme équivalente à la norme de H1(Ω), mais u ne peutpas être nul, puisque cela contredirait u/Γw

= 1.Donc l'intégrale I2 est non nulle, et il s'ensuit que Q2 est non nul.On a vu que la solution p du modèle (2.2) s'exprime comme :

p = F1 + pwf F2.

L'existence et l'unicité de F1 et F2 nous donnent l'existence et l'unicité de p pour pwfxée, et la condition au puits (2.1)-(v) nous permet de déterminer la constante pwf demanière unique, puisque l'intégrale I2 est non nulle. Ainsi nous avons démontré l'existenceet l'unicité de p solution du modèle dans le cas de la conductivité innie (2.1), lorsque ledébit total Q est donné.

Cette démonstration est une alternative à la preuve que Guy Chavent et Jérôme Jaré ontfaite dans [18].

2.2. Problème non-linéaire (conductivité nie) 43

2.1.3 ConclusionNous avons démontré l'existence et l'unicité d'une solution au modèle (2.1) dans les cas où

la pression au point de soutirage pwf est donnée, et aussi dans le cas où le débit total Q estdonné. Dans chacun des cas, il est facile de voir que la solution dépend linéairement des données,le modèle est alors bien posé. La démonstration par principe de superposition que nous avonsintroduite pour le cas où le débit total Q est donné aurait aussi pu être appliquée dans le cas oùla pression pwf au point de soutirage est connue. Cette méthode sera à nouveau utilisée pour leproblème non-linéaire, qu'il nous reste à étudier dans la section suivante.

2.2 Problème non-linéaire (conductivité nie)

On considère le modèle suivant :

∆p(x) = 0 pour x ∈ Ω, (i)p(x) = pD(x) pour x ∈ ΓD, (ii)∂p(x)∂n

= 0 pour x ∈ ΓN , (iii)

p(x) = pw(l) pour x ∈ Γw, x = (l, θ), l ∈ [0, L], θ ∈ [0, 2π], (iv)pw(0) = pwf , (v)∂pw(l)∂l

= Cw q2w(l), pour l ∈ [0, L], (vi)

qw(l) =k

µ

∫Γw,l

∂p(x)∂n

dγ(x), pour l ∈ [0, L], (vii)

Q =k

µ

∫Γw

∂p(x)∂n

dγ(x) (= qw(L)), (viii)

(2.19)

où Ω désigne le réservoir privé du puits, ΓD ∪ΓN désigne la frontière extérieure du réservoir, Γwla frontière du puits, et Γw,l une partie de la frontière du puits (Γw,l a été dénie page 23).

Nous rappelons que la condition aux limites sur le puits est non-linéaire, et non-locale. Lanon-linéarité du modèle provient seulement de la condition aux limites, et non pas de l'EDP quigouverne le modèle. On trouve une littérature abondante dans ce dernier cas. Pour le cas quinous intéresse, nous disposons de l'analyse mathématique d'un modèle gouverné par le laplacienavec des conditions aux limites non-linéaires mais locales par Ruotsalainen et Wendland dans[76]. Dans notre cas, la condition aux limites non-linéaire est aussi non-locale, et nous ne pouvonspas utiliser les travaux de Ruotsalainen et Wendland.Nous nous proposons donc de démontrer que notre problème (2.19) est bien posé.

On a supposé dans (2.19)-(iv) que la pression pw sur le puits est constante par rapport à θ.On peut réécrire (2.19)-(vi) comme :

pw(l) = pwf + g(l), car pwf = pw(0) d'après (2.19)− (v),

g(l) = Cw

∫ l

0q2w(t) dt.

(2.20)

Comme pour le modèle de conductivité innie, deux cas peuvent se présenter : ou bien on im-pose le débit total Q, ou bien on impose la pression au bout du puits : pwf . Ici nous traiteronsseulement le cas où la pression pwf est donnée.


La dénition de qw(t) peut se réécrire :

qw(t) =krwµ

∫ t

0

(∫ 2π

0

∂p

∂n(t′, θ) dθ

)dt′. (2.21)

On se retrouve ainsi avec le problème :

(Ig)

Trouver p tel que :∆p = 0 dans Ω,p = pD sur ΓD,∂p/∂n = 0 sur ΓN ,p(x) = pw(l) sur Γw, (x = (l, θ), l ∈ [0, L], θ ∈ [0, 2π]),pw(0) = pwf ,pw(l) = pwf + g(l) sur Γw,

g(l) = Cw

∫ l

0q2w(t) dt sur Γw,

qw(t) =krwµ

∫ t

0

(∫ 2π

0

∂p

∂n(t′, θ) dθ

)dt′.

(2.22)

De la même manière que pour le problème linéaire, nous allons utiliser le principe de superposi-tion. Nous pouvons décomposer ce modèle en trois morceaux :

(II ′)

Trouver F1 tel que :∆F1 = 0 dans Ω,F1 = pD sur ΓD,∂F1/∂n = 0 sur ΓN ,F1 = 0 sur Γw.

Posons : h1 =∂F1

∂n |Γw

. (2.23)

(II ′′)

Trouver F2 tel que :∆F2 = 0 dans Ω,F2 = 0 sur ΓD,∂F2/∂n = 0 sur ΓN ,F2 = pwf sur Γw.

Posons : h2 =∂F2

∂n |Γw

. (2.24)

(II ′′′)

Trouver F3 tel que :∆F3 = 0 dans Ω,F3 = 0 sur ΓD,∂F3/∂n = 0 sur ΓN ,F3(l, θ) = g(l) sur Γw.

Posons : h3(l, θ) =∂F3

∂n |Γw

. (2.25)

Nous introduisons l'opérateur Λ déni par :

Λg =∂F3

∂n |Γw

. (2.26)

Avec cette notation, on peut écrire, pour le modèle (II ′′), que :

Λpwf =∂F2

∂n |Γw

. (2.27)

Les frontières extérieures ΓD ∪ ΓN et Γw étant disjointes, on peut montrer de manière clas-sique que l'opérateur Λ (comme l'opérateur Dirichlet-Neumann) est d'ordre 1. Cela nous incite


à chercher la fonction g dans H1([0, L]).Pour le modèle (II ′), nous n'avons pas aaire au même opérateur, puisque les conditions sur

les frontières ΓN et Γw sont homogènes, et la condition sur ΓD ne l'est pas. Nous dénissonsalors un nouvel opérateur Λ1 par :

Λ1pD =∂F1

∂n |Γw

. (2.28)Puisque Γw est disjoint de ΓD, et F1 est nul sur Γw, ∂F1/∂n est aussi régulier que la géométriedu puits le permet.

Posons :Λg(l) = rw

∫ 2π

0(Λg)(l, θ) dθ,

et Λ1pD(l) = rw

∫ 2π

0(Λ1pD)(l, θ) dθ.

Nous avons comme pour le modèle linéaire :p = F1 + F2 + F3, d'où ∂p

∂n |Γw

= h1 + h2 + h3 et Q = Q1 +Q2 +Q3(g),

avec :Q1 =

k

µ

∫Γw

∂F1(x)∂n

dγ(x) =k

µ

∫Γw

Λ1pD(x) dγ(x),

Q2 =k

µ

∫Γw

∂F2(x)∂n

dγ(x) =k

µ

∫Γw

Λpwf (x) dγ(x),

Q3(g) =k

µ

∫Γw

∂F3(x)∂n

dγ(x) =k

µ

∫Γw

Λg(x) dγ(x).

Il en découle de même que :

qw(t) =k

µ

q1(t) + q2(t)︸︷︷︸q0(t)

+∫ t

0Λg(t′) dt′

.

avecq1(t) =

∫ t

0Λ1(pD)(t′) dt′,

q2(t) =∫ t

0Λpwf (t′) dt′.

On notera de la même manière :q3(t) =

∫ t

0Λg(t′) dt′.

Ainsi, g est solution de l'équation non linéaire :

g(l) = Cwk2

µ2

∫ l

0

(q0(t) +

∫ t

0Λg(t′) dt′

)2

dt = (Tg)(l) (2.29)


Nous allons résoudre cette équation non linéaire par une méthode de point xe. Nous allonspour cela utiliser le théorème de Schauder, mais les estimations que nous allons écrire n'aurontde sens qu'une fois vériées les dimensions des deux membres de l'équation (2.29). Nous allonsdonc revenir sur l'étude des dimensions des grandeurs physiques de ce problème, déjà amorcéedans le chapitre 1, et nous allons la compléter an de pouvoir traiter ce problème de point xe.

2.2.1 Retour sur les dimensionsNous nous attachons donc ici à l'étude des dimensions des deux membres de l'équation (2.29) :

g(l) = Cwk2

µ2

∫ l

0

(q0(t) +

∫ t

0Λg(t′) dt′

)2

dt = (Tg)(l).

Les dimensions du premier membre sont :g = Pa = kg×m−1 × s−2.

Pour le second membre, nous avons :∫ t

0Λg(t′) dt′ = rw

∫ t

0

∫ 2π

0(Λg)(l, θ) dθdl =

∫Γw,t

(Λg)(x) dγ(x)

= (Pa×m−1)×m2

= (kg×m−1 × s−2)×m2 = kg× s−2,

et de même,q0 = kg× s−2.

Continuonsk

µ= m2 × (kg×m−1 × s−1)−1 = kg−1 ×m3 × s,

k2

µ2= kg−2 ×m6 × s2.

Cwk2

µ2

∫ l

0

(q0(t) +

∫ t

0Λg(t′) dt′

)2

dt = (kg×m−8)× (kg−2 ×m6 × s2)× (kg2 × s−4)×m,= kg×m−1 × s−2 = Pa.

On obtient bien la dimension d'une pression, et T (g) = Pa.

2.2.1.1 Choix de la normeNous devons choisir une norme qui respectera les dimensions. Nous avons déjà mentionné

notre intention de travailler dans H1([0, L]), au vu de la régularité de l'opérateur Λ. La normeusuelle dans H1([0, L]) est donnée pour une fonction g ∈ H1([0, L]), par :

‖g‖H1([0,L]) =(‖g‖2

L2([0,L]) + ‖ ddlg(l)‖2

L2([0,L])

)1/2

.

Il faut vérier que chacun des termes de droite a la même dimension pour la fonction Tg.


Commençons par regarder ‖Tg‖L2([0,L]) :

‖Tg‖2L2([0,L]) =

∫ L

0(Tg(l))2 dl

= (kg2 ×m−2 × s−4)×m= kg2 ×m−1 × s−4.

Maintenant, regardons ‖ ddl

(Tg)(l)‖L2([0,L]). On a :

d

dl(Tg)(l) = Cw

k2

µ2

(q0(l) +

∫ l

0(Λg)(t)2 dt

)2

,

= (kg×m−8)× (kg−2 ×m6 × s2)× (kg2 × s−4),= kg×m−2 × s−2.

Il s'ensuit :‖ ddl

(Tg)(l)‖2L2([0,L]) =

∫ L

0

∣∣∣∣ ddlTg(l)∣∣∣∣2 dl

= (kg2 ×m−4 × s−4)×m= kg2 ×m−3 × s−4.

On constate que les deux normes n'ont pas la même dimension :‖Tg‖2

L2([0,L]) = kg2 ×m−1 × s−4,

‖ ddl

(Tg)(l)‖2L2([0,L]) = kg2 ×m−3 × s−4,

ce qui n'est pas surprenant, à cause de la dérivation de Tg par rapport à l dans la deuxième norme.Pour homogénéiser les dimensions, nous allons alors travailler avec la norme notée ‖.‖1 dénie

par :‖u‖1 =

(‖u‖2

L2([0,L]) + L2 ‖ ddlu(l)‖2

L2([0,L])

)1/2

. (2.30)Cette norme est équivalente à la norme classique dans H1([0, L]), et le problème des dimensionsest résolu.L'espace H1([0, L]), muni du produit scalaire associé à cette norme, est un Hilbert.

2.2.2 Estimations préliminairesAvant de résoudre le problème de point xe (2.29), nous allons faire quelques estimations

préliminaires qui nous seront utiles par la suite.

Dans un premier temps, nous nous proposons d'estimer∣∣∣∣∫ t

0Λg(t′) dt′

∣∣∣∣.D'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz, on a :∣∣∣∣∫ t

0Λg(t′) dt′

∣∣∣∣2 ≤ (∫ t

012 dt′

)(∫ t

0

∣∣(Λg)(t′)∣∣2 dt′) = t

∫ t

0

∣∣(Λg)(t′)∣∣2 dt′.


Or ∣∣(Λg) (t′)∣∣2 = r2w

∣∣∣∣∫ 2π

0(Λg)(t′, θ) dθ

∣∣∣∣2 ≤ r2w

(∫ 2π

012 dθ

)(∫ 2π

0

∣∣(Λg)(t′, θ)∣∣2 dθ) ,soit ∣∣(Λg) (t′)

∣∣2 ≤ 2πr2w

(∫ 2π

0

∣∣(Λg)(t′, θ)∣∣2 dθ)et ∣∣∣∣∫ t

0Λg(t′) dt′

∣∣∣∣2 ≤ 2πr2wt∫ t

0

(∫ 2π

0

∣∣(Λg)(t′, θ)∣∣2 dθ) dt′

soit encore∣∣∣∣∫ t

0Λg(t′) dt′

∣∣∣∣ ≤ (2πrw)1/2√t

(∫Γw,t

|(Λg)(x)|2 dγ(x)

)1/2

. (2.31)ou : ∣∣∣∣∫ t

0Λg(t′) dt′

∣∣∣∣ ≤ (2πrw)1/2√t‖Λg‖L2(Γw).

Or comme l'opérateur Λ est d'ordre 1, et d'après l'équivalence entre les normes ‖.‖1 et‖.‖H1([0,L]) dans H1([0, L]), on sait qu'il existe une constante C > 0 telle que :

‖Λg‖L2(Γw) ≤ (2πrw)1/2C‖g‖1. (2.32)

Donc : ∣∣∣∣∫ t

0Λg(t′) dt′

∣∣∣∣ ≤ (2πrw)√t C‖g‖1. (2.33)

De même, on peut montrer que :|q2(t)| =

∣∣∣∣∫ t

0Λpwf (t′) dt′

∣∣∣∣|q2(t)| ≤ (2πrw)

√t C ‖pwf‖1. (2.34)

et :|q1(t)| =

∣∣∣∣∫ t

0Λ1(pD)(t′) dt′

∣∣∣∣≤ (2πrw)1/2

√t C1 ‖pD‖L2(ΓD).

Remarque 8 Les constantes C et C1 dépendent uniquement de la géométrie du domaine Ω desmodèles (II ′), (II ′′), et (II ′′′), et non pas des paramètres physiques. On prendra le sup des deux,que l'on notera à nouveau C.

La dernière estimation sur |q1(t)| devient alors :

|q1(t)| ≤ (2πrw)1/2√t C ‖pD‖L2(ΓD). (2.35)


2.2.3 Résolution du problème de point xeMaintenant que nous avons bien vérié les dimensions, nous allons résoudre le problème de

point xe (2.29) par le théorème de point xe de Schauder.Nous pouvons énoncer le théorème suivant :

Théorème 9 Notons :

a = (2πrw)−1/2 ‖pD‖L2(ΓD) + ‖pwf‖1,

b =µ2

k2CgeoCw,

avec Cgeo =(

9215

)1/2

(πrw)2 L5/2C2,

et C la constante introduite page 48.

(i) Si a ≤ b

4, alors le problème de point xe admet une solution g ∈ H1([0, L]).

(ii) Si de plus a ≤ b

8, et a 6= 0, alors la solution est unique.

Preuve :Nous allons tout d'abord montrer (i). Pour démontrer l'existence d'une solution, nous utilisonsle théorème de Schauder :Théorème de SchauderSoit K un sous-ensemble fermé convexe d'un espace de Banach B. Soit T une application conti-nue de K dans lui-même, telle que l'image TK soit précompacte. Alors, T admet un point xe,autrement dit il existe x ∈ K tel que Tx = x.

Nous allons travailler dans l'espace de Hilbert B = H1([0, L]), et nous prendrons pour Kune boule fermée B(0,M) de centre 0 et de rayon M , avec M réel à déterminer, qui est bien unsous-ensemble fermé convexe de l'espace de Hilbert B = H1([0, L]).

Nous devons donc montrer que : T est continue, T (K) est précompacte, T : K → K.On va chercher g dans l'espace des fonctions H1([0, L]).

• Montrons que l'image T(K) est précompacte.Les fonctions h1, h2, h3 sont dans L2(Γw), et les fonctions q1, q2, q3 sont donc dans H1([0, L]),

et comme H1(0, L) → C0[0, L], elles sont bornées et leurs carrés sont donc encore dans H1([0, L]),et Tg est en fait une fonction de H2([0, L]).Plus précisément, on a g ∈ 0H

1([0, L]) (i.e. g ∈ H1([0, L]) et g(0) = 0), et Tg ∈ 0H1([0, L]) ∩

H2([0, L]).


Et comme l'inclusion de H2([0, L]) dans H1([0, L]) est compacte, on a bien que T est compact,et l'image T (K) est précompacte.• Montrons que T : K → K.

Autrement dit, nous voulons montrer que :si g ∈ B(0,M), alors Tg ∈ B(0,M),ou encore si ‖g‖1 ≤M , alors ‖Tg‖1 ≤M .

Commençons par estimer ‖Tg‖L2([0,L]).

Tg(l) = Cwk2

µ2

∫ l

0

(q0(t) +

∫ t

0Λg(t′) dt′

)2

dt.

D'après les estimations (2.35) et (2.34) faites précédemment, on a :|q0(t)| ≤ (2πrw)1/2

√t C(‖pD‖L2(ΓD) + (2πrw)1/2‖pwf‖1

).

En utilisant la notation a = (2πrw)−1/2 ‖pD‖L2(ΓD) + ‖pwf‖1, introduite dans le théorème 9,cette inégalité s'écrit :

|q0(t)| ≤ (2πrw)√t C a. (2.36)

Il s'ensuit d'après l'estimation (2.33), que :∣∣∣∣q0(t) +∫ t

0Λg(t′) dt′

∣∣∣∣ ≤ (2πrw)√t C (a+ ‖g‖1) , (2.37)

et :|Tg(l)| ≤ 2Cw

k2

µ2(πrw)2l2C2 (a+ ‖g‖1)

2 ,

d'où :

‖Tg‖2L2([0,L]) =

∫ L

0|Tg(l)|2 dl

≤ 4C2w

k4

µ4(πrw)4

L5

5C4 (a+ ‖g‖1)

4 .

Maintenant procédons aux estimations de ‖ ddl

(Tg)(l)‖L2([0,L]).Nous avons :

d

dl(Tg)(l) = Cw

k2

µ2

(q0(l) +

∫ l

0(Λg)(t) dt

)2

,

et d'après (2.37), il vient :∣∣∣∣ ddl (Tg)(l)∣∣∣∣ ≤ Cw

k2

µ2(2πrw)2 lC2 (a+ ‖g‖1)

2 ,

et :‖ ddl

(Tg)(l)‖2L2([0,L]) ≤ C2

w

k4

µ4(2πrw)4

L3

3C4 (a+ ‖g‖1)

4 .


On obtient alors l'estimation suivante :

‖Tg‖1 ≤ Cw Cgeok2

µ2(a+ ‖g‖1)

2 ,

avec : Cgeo =(

9215

)1/2

(πrw)2 L5/2C2.En utilisant la notation b introduite dans le théorème 9, l'inégalité s'écrit :

‖Tg‖1 ≤1b

(a+ ‖g‖1)2 , (2.38)

Nous rappelons que nous voulons montrer que l'image TK est toujours dans K, i.e. que : si‖g‖1 ≤M , alors ‖Tg‖1 ≤M , avec M ∈ R à déterminer.D'après l'estimation (2.38), il sut pour cela de trouver M tel que :

1b

(a+M)2 ≤M, (2.39)ou encore :

(a+M)2 − bM ≤ 0. (2.40)On s'intéresse alors au trinôme du second degré :

x2 + (2a− b)x+ a2 = 0. (2.41)Son discriminant est :

∆ = b2 − 4ab.

Dès que b ≥ 4a, le discriminant est positif. Les solutions du trinôme sont :

x− =b− 2a−

√b2 − 4ab

2, (2.42)

x+ =b− 2a+

√b2 − 4ab

2. (2.43)

On en déduit que : si x− ≤ ‖g‖1 ≤ x+, alors ‖Tg‖1 ≤ x+.Cela n'est pas susant pour que T conserve la boule B(0, x+). Regardons alors ce qui se passequand ‖g‖1 ≤ x− (on a bien x− ≥ 0).Si ‖g‖1 ≤ x−, alors d'après (2.38), on a :

‖Tg‖1 ≤1b(a+ x−)2.

Pour conclure, il faudrait montrer que ‖Tg‖1 ≤ x+, i.e. :(a+ x−)2 ≤ bx+.

Or, x− est racine du trinôme (2.41), et donc :(a+ x−)2 = bx−,

de sorte que :bx− ≤ bx+.


Cette inégalité est vériée, puisque x− ≤ x+, et b > 0.Conclusion : Nous avons donc montré, que dès que b ≥ 4a, ‖g‖1 ≤ x+ entraîne ‖Tg‖1 ≤ x+.L'opérateur T conserve donc la boule fermée B(0, x+). On prend donc M = x+.• Montrons que T est continue.

Pour démontrer le théorème de point xe, il nous reste à montrer la continuité de T . En fait,nous allons démontrer que T est lipschitzien (ce qui entraîne T continu).On veut montrer qu'il existe une constante γ = γ(x+) > 0 telle que :

‖Tg1 − Tg2‖1 ≤ γ‖g1 − g2‖1,

pour tous g1, g2 ∈ B(0, x+).Posons

Fg(t) =(q0(t) +

∫ t

0Λg(t′) dt′

)2

. (2.44)Alors l'opérateur T s'écrit

Tg(l) = Cwk2

µ2

∫ l

0Fg(t) dt,

et donc :Tg1(l)− Tg2(l) = Cw

k2

µ2

∫ l

0(Fg1(t)− Fg2(t)) dt,

avec :

Fg1(t)− Fg2(t) =(q0(t) +

∫ t

0Λg1(t′) dt′

)2

−(q0(t) +

∫ t

0Λg2(t′) dt′

)2

=(∫ t

0Λ(g1 − g2)(t′) dt′

)(2q0(t) +

∫ t

0Λ(g1 + g2)(t′) dt′

).

(2.45)D'après (2.33) : ∣∣∣∣∫ t

0Λ(g1 − g2)(t′) dt′

∣∣∣∣ ≤ (2πrw)C√t‖g1 − g2‖1,

et : ∣∣∣∣∫ t

0Λ(g1 + g2)(t′) dt′

∣∣∣∣ ≤ (2πrw)C√t‖g1 + g2‖1,

≤ (2πrw)C√t (‖g1‖1 + ‖g2‖1) .

D'après ce qui précède et d'après l'estimation (2.36), la fonction intégrante dans Tg admetl'estimation :

|Fg1(t)− Fg2(t)| ≤ (2πrw)2C2 t‖g1 − g2‖1 × (2 a+ ‖g1‖1 + ‖g2‖1) . (2.46)Il s'ensuit :

|Tg1(l)− Tg2(l)| ≤ 2Cwk2

µ2l2 (πrw)2C2 (2 a+ ‖g1‖1 + ‖g2‖1) ‖g1 − g2‖1,


et :‖Tg1 − Tg2‖2

L2([0,L]) =∫ L

0(Tg1(l)− Tg2(l))2 dl

≤ 4C2w

k4

µ4

L5

5(πrw)4C4 (2 a+ ‖g1‖1 + ‖g2‖1)

2 ‖g1 − g2‖21.

Et comme g1, g2 ∈ B(0, x+), on a :‖Tg1 − Tg2‖2

L2([0,L]) ≤ γ20‖g1 − g2‖2

1, (2.47)avec :

γ20 = C2

w

k4

µ4

L5

5(2πrw)4C4 (a+ x+)2 . (2.48)

Il nous reste maintenant à démontrer qu'il existe une constante γ1 > 0 telle que :‖ ddl

(Tg1)(l)−d

dl(Tg2)(l)‖L2([0,L]) ≤ γ1 ‖g1 − g2‖1.

Nous avons :d

dl(Tg)(l) = Cw

k2

µ2

(q0(l) +

∫ l

0(Λg)(t) dt

)2

.

Donc :d

dl(Tg1)(l)−

d

dl(Tg2)(l)

= Cwk2

µ2

(∫ t

0Λ(g1 − g2)(t′) dt′

)(2q0(t) +

∫ t

0Λ(g1 + g2)(t′) dt′

)= Cw

k2

µ2(Fg1(l)− Fg2(l)) .

D'après (2.46), il est immédiat que :∣∣∣∣ ddl (Tg1)(l)− d

dl(Tg2)(l)

∣∣∣∣ ≤ Cwk2

µ2(2πrw)2C2 l‖g1 − g2‖1 × (2 a+ ‖g1‖1 + ‖g2‖1) ,

et :‖ ddl

(Tg1)(l)−d

dl(Tg2)(l)‖2

L2([0,L]) ≤ γ21‖g1 − g2‖2

1, (2.49)avec :

γ21 =

43C2w

k4

µ4(2πrw)4 L3C4 (a+ x+)2 . (2.50)

Les relations (2.47) et (2.49) impliquent alors que :‖Tg1 − Tg2‖2

1 ≤ (γ20 + L2γ2

1)‖g1 − g2‖21.

Or :γ2

0 + L2γ21 =

36815

C2w

k4

µ4L5 (πrw)4C4 (a+ x+)2.

Notons C ′geo =

(36815

)1/2

L5/2 (πrw)2C2 = 2Cgeo, on a alors :

‖Tg1 − Tg2‖1 ≤ γ‖g1 − g2‖1, (2.51)


avec :γ = 2Cw Cgeo

k2

µ2(a+ x+). (2.52)

Ainsi on a montré que l'opérateur T est lipschitzien, et donc continu.Conclusion : L'opérateur T est compact, continu et conserve la boule fermée B(0, x+), dès

que 4 a ≤ b. Le théorème de Schauder nous donne alors l'existence d'un point xe g = Tg, dansla boule B(0, x+). Ainsi nous avons montré (i).

Unicité : Une condition susante pour avoir l'unicité de la solution est que l'opérateur Tsoit lipschitzien contractant. Pour cela, il faudrait que la constante de continuité γ soit stricte-ment inférieure à 1. Essayons donc d'estimer cette constante.

En utilisant l'expression (2.43) de x+, on peut réécrire la constante γ comme :γ = 2

1b

(a+ x+) = 1 +

√1− 4a

b.

Il est alors évident que la constante γ est supérieure ou égale à 1. L'opérateur T n'est donc pascontractant, et on ne peut obtenir l'unicité sous l'hypothèse 4a ≤ b.

Nous allons montrer que nous pouvons obtenir l'unicité en élargissant l'hypothèse sur 4a ≤ b.Si au lieu de demander (2.39), on demande un peu plus, c'est-à-dire :

1b

(a+M)2 ≤ M

2,

alors en notant b∗ =b

2, on obtient l'inégalité :

(a+M)2 ≤ b∗M,

qui donne lieu à la résolution du trinôme du second degré :x2 + (2a− b∗)x+ a2 = 0.

On peut alors reprendre les calculs faits précédemment en remplaçant b par b∗. Le discriminantdu polynôme est positif dès que b∗ ≥ 4a, i.e. dès que b ≥ 8a. La plus grande racine devient alors :

x∗+ =b∗ − 2a+

√b∗2 − 4ab∗

2. (2.53)

On peut démontrer en suivant la même démarche que précédemment que T conserve la boulefermée B(0, x∗+).

Maintenant revenons à la constante de continuité. Elle s'écrit alors en fonction de x∗+, de a,et de b∗ :γ∗ =

1b∗

(a+ x∗+)

=12

(1 +

√1− 4a

b∗

).


Regardons si la constante γ∗ est strictement inférieure à 1 :

γ∗ < 1 ⇐⇒ 1 +

√1− 4a

b∗< 2,

⇐⇒ −1 < 1− 4ab∗

< 1,

⇐⇒ −2 < −4ab∗

< 0.

Par dénition, a est positif ou nul, et b∗ > 0 (car µ 6= 0). L'inégalité de droite est donc vériéedès que a 6= 0. L'inégalité de gauche est équivalente à b∗ > 2a. Cette inégalité est satisfaite àcondition que a soit diérent de 0, puisque nous avons supposé b∗ ≥ 4a.La constante γ∗ est strictement inférieure à 1, si a 6= 0, et b ≥ 8a.

L'opérateur T est donc lipschitzien contractant, si a 6= 0, et si b ≥ 8 a. Ceci nous donnel'unicité, et clôt la démonstration de (ii).

Remarque 10 L'hypothèse que 4a ≤ b sut pour avoir l'existence d'une solution au problèmede point xe, mais pas l'unicité. Pour avoir l'unicité, il faut supposer que 8a ≤ b, et que a 6= 0,i.e. pD 6= 0 ou pwf 6= 0.

Remarque 11 La condition que b est susamment grand par rapport à a peut être donnée parl'hypothèse que le coecient de friction f apparaissant dans la constante Cw est susammentpetit :

Cw =fρ

π2r5w.

Soulignons que pour le problème linéaire (problème de conductivité innie), le coecient defriction est supposé nul. L'hypothèse que ce coecient soit petit est alors tout à fait plausiblephysiquement.

Remarque 12 La solution g dépend continûment des données pD et pwf (d'après le théorèmede Banach), donc le problème (2.19) est bien posé, dans le cas où pwf est donnée.

Remarque 13 Nous aimerions pouvoir lever ou améliorer la condition sur le coecient defriction f et les données pwf et pD en utilisant pour la démonstration un autre théorème depoint xe, par exemple le théorème de Schaefer. Pour le moment, nous n'avons pas réussi àconclure.


Nous avons réussi à démontrer dans ce chapitre l'existence et l'unicité d'une solution au mo-dèle d'écoulement permanent, dans le cas linéaire pour chacun des cas où soit la pression surle puits est donnée, soit le débit total du puits est donné, et dans le cas non-linéaire pour unepression donnée au bout du puits.

Nous n'avons pas traité le cas où le débit total du puits est donné pour le non-linéaire. Ledébit étant directement lié à la pression au puits, il y a de fortes raisons de penser que le mo-dèle (2.19) avec Q donné admet lui-aussi une solution unique. La démonstration mathématique


constitue une des perspectives de la thèse.Dans le chapitre 6, nous adapterons les démarches utilisées ici pour le cas plus général d'un

écoulement transitoire (i.e. dépendant du temps).Mais auparavant, comme nous savons maintenant que le modèle d'écoulement permanent

admet une unique solution, nous allons mettre en ÷uvre une nouvelle méthode d'équationsintégrales pour résoudre le modèle linéaire d'écoulement permanent.

57

Chapitre 3

Formulations intégrales pour le régime

permanent

Ce chapitre a pour but d'écrire la formulation intégrale du modèle d'écoulement permanentlinéaire (condition de conductivité innie). Il sera organisé de la façon suivante : tout d'abord nousdiscuterons diérentes formulations intégrales, puis une fois une représentation intégrale choisie,nous l'appliquerons successivement : à un réservoir homogène isotrope, à un réservoir homogèneanisotrope, et enn à un réservoir multi-couches. Nous montrerons que la représentation intégralechoisie est bien équivalente au modèle EDP d'écoulement permanent. Ensuite, nous discuteronsles méthodes numériques pour résoudre les équations intégrales formulées. Enn, la dernièrepartie de ce chapitre sera consacrée à des tests numériques validant la formulation choisie et lacomparant avec d'autres formulations intégrales.

3.1 Formulations intégrales : rappels

Pour simplier, la discussion des formulations intégrales se fera dans le cadre d'un milieuhomogène, isotrope, et comprenant un seul puits. Les constantes physiques (perméabilité etviscosité) sont supposées égales à 1. On travaille donc avec le modèle suivant :

∆p(x) = 0 pour x ∈ Ωp = pD sur ΓD∂p

∂n= 0 sur ΓN

p = pw sur Γw

Q =∫

Γw

∂p(x)∂n

dγ(x).

(3.1)

On suppose que l'ensemble des points irréguliers (coins, arêtes) des frontières ΓD, ΓN , et Γw,est de mesure nulle.

3.1.1 GénéralitésOn se réfère à Nédélec ([63], [64]), Kress [48], Bonnet [12], pour toutes les notions rappelées ici.On considère ici un ouvert Ωi de Rn, de frontière ∂Ωi = Γ. On dénit la normale n extérieure

à Ωi. On cherche à résoudre l'équation de Laplace :∆u = 0 x ∈ Ωi,

58 Chapitre 3. Formulations intégrales pour le régime permanent

par des équations intégrales.Pour cela, il nous faut choisir une formulation intégrale. Choisir une formulation intégrale, c'estchoisir un prolongement de la solution cherchée dans le domaine complémentaire, ici Ωe = Rn\Ωi.

On note G la fonction de Green (ou noyau de Green) associée à l'équation de Laplace :G(x− y) =

14π

1|x− y|

en 3D.Sa dérivée normale vérie, pourvu que la frontière Γ soit susamment régulière, la relation

de l'angle solide : ∫Γ

∂G(x− y)∂ny

dγ(y) =

−1, x ∈ Ωi,

−12, x ∈ Γ,

0, x ∈ Ωe.

(3.2)

Avant de passer aux repérsentations intégrales, nous allons tout d'abord rappeler quelquespropriétés des potentiels de simple couche et de double couche.

Potentiel de simple couche :On sait que le potentiel de simple couche déni par :

Lψ(x) =∫

Γψ(y)G(x− y) dγ(y), x /∈ Γ,

est continu à la traversée de Γ. Par contre, sa trace normale γ1 vérie les relations de saut :γ−1 (Lψ)(x) =

ψ(x)2

+∫

Γψ(y)

∂G(x− y)∂nx

dγ(y), (3.3)

γ+1 (Lψ)(x) = −ψ(x)

2+∫

Γψ(y)

∂G(x− y)∂nx

dγ(y), (3.4)avec γ−1 la trace normale intérieure et γ+

1 la trace normale extérieure.Potentiel de double couche :Le potentiel de double couche est déni par :

Mϕ(x) =∫

Γϕ(y)

∂G(x− y)∂ny

dγ(y), x /∈ Γ.

Il vérie les relations de saut à la traversée de Γ :γ−0 (Mϕ)(x) = −ϕ(x)

2+∫

Γϕ(y)

∂G(x− y)∂ny

dγ(y), (3.5)

γ+0 (Mϕ)(x) =

ϕ(x)2

+∫

Γϕ(y)

∂G(x− y)∂ny

dγ(y), (3.6)avec γ−0 la trace intérieure, et γ+

0 la trace extérieure.Sa dérivée normale est continue à la traversée de Γ.

Maintenant nous allons rappeler les représentations intégrales pour un domaine intérieur, puisun domaine extérieur, et enn pour la réunion des deux, avant d'appliquer ces représentations ànotre modèle.

3.1. Formulations intégrales : rappels 59

Problème intérieur :On cherche à résoudre :

∆u(x) = 0 x ∈ Ωi.

• On sait que la solution générale susamment régulière du problème de Laplace dans undomaine Ωi de frontière Γ régulière peut s'écrire en fonction de ses traces selon la formule dereprésentation, pour x ∈ Ωi :

u(x) = L∂u

∂n(x)−Mu(x),

avec L et M les potentiels de simple et double couche dénis plus haut.• Dans le domaine extérieur, on a :

0 = L∂u

∂n(x)−Mu(x), x ∈ Ωe.

• De plus, par passage à la limite quand x tend vers un point sur la frontière Γ, on a :u(x) =

∫Γ

∂u(y)∂ny

G(x− y) dγ(y) + (1− c(x))u(x)−∫

Γu(y)

∂G(x− y)∂ny

dγ(y),

i.e.c(x)u(x) =

∫Γ

∂u(y)∂ny

G(x− y) dγ(y)−∫

Γu(y)

∂G(x− y)∂ny

dγ(y), (3.7)où c(x) est déni selon l'appartenance de x à la frontière Γ ou non, et selon la régularité de Γ :

c(x) =θ(x)4π

, avec θ(x) =

4π si x ∈ Ω,2π si x ∈ Γ et Γ régulière au point x,θ sinon.

L'angle θ représente l'angle solide sous lequel x voit la frontière Γ.Dans cette thèse, nous allons appliquer une méthode de Galerkin, qui va amener une intégrationsupplémentaire. Comme nous avons supposé que l'ensemble des points irréguliers est de mesurenulle, nous pouvons prendre c(x) égal à 1/2 pour tout x ∈ Γ.La formule de représentation pour x ∈ Γ devient alors :

12u(x) =

∫Γ

∂u(y)∂ny


Γu(y)

∂G(x− y)∂ny

dγ(y). (3.8)

Nous avons donc établi les formules de représentation intégrale pour la solution du problème deLaplace dans un domaine intérieur Ωi.

Problème extérieur :Regardons maintenant ce qui se passe dans un domaine extérieur Ωe. On s'intéresse cette fois

à la résolution du modèle : ∆u = 0 dans Ωe,u = 0 à l'inni.

• On sait alors que la solution de ce problème admet la représentation intégrale suivante,pour x ∈ Ωe :

u(x) = −L∂u∂n

(x) +Mu(x),


avec L et M les potentiels de simple couche et de double couche dénis plus haut.• On a alors :

0 = −L∂u∂n

(x) +Mu(x), pour x ∈ Ωi.

• Par passage à la limite quand x tend vers un point sur Γ, on obtient la formule de repré-sentation, pour x ∈ Γ :

12u(x) = −

∫Γ

∂u(y)∂ny

G(x− y) dγ(y) +∫

Γu(y)

∂G(x− y)∂ny

dγ(y). (3.9)

Réunion des deux domaines :Maintenant considérons la solution du problème de Laplace ∆u = 0 dans Ωe ∪Ωi. Si elle est

susamment régulière, elle peut être représentée en fonction de ses traces par :

u(x) =∫

Γ

[∂u(y)∂ny

]G(x− y) dγ(y)−

∫Γ

[u(y)]∂G(x− y)

∂nydγ(y), pour x ∈ Ωi ∪ Ωe.

On rappelle la dénition du saut [.] :[u] = u/int Γ − u/ext Γ.

Pour x ∈ Γ, on obtient :u(x)/int Γ + u(x)/ext Γ

2=∫

Γ

[∂u(y)∂n

]G(x− y) dγ(y)−

∫Γ

[u(y)]∂G(x− y)

∂ndγ(y).

Application à notre modèle :Dans le cadre de notre modèle, la frontière Γ du réservoir Ω se décompose en la frontière

extérieure du réservoir ΓD ∪ ΓN , et la frontière du puits Γw.Pour trouver une formulation intégrale, nous rappelons que nous devons choisir un prolon-

gement de la solution dans le domaine complémentaire, donc dans notre cas dans le domaineextérieur. Nous choisissons de prolonger le problème à l'extérieur du réservoir et à l'intérieur dupuits par la solution nulle.La représentation intégrale s'écrit alors :

p(x) =∫

Γ

∂p(y)∂ny


Γp(y)

∂G(x− y)∂ny

dγ(y), x ∈ Ω, (3.10)12p(x) =

∫Γ

∂p(y)∂ny


Γp(y)

∂G(x− y)∂ny

dγ(y), x ∈ Γ. (3.11)

A partir de l'équation (3.11), on peut établir une deuxième représentation intégrale (cf Bonnet[12], Nédélec [64]), pour x ∈ Γ :

12∂p(x)∂nx

=∫

Γ

∂p(y)∂ny

∂G(x− y)∂nx

dγ(y)− ∂

∂nx

∫Γp(y)

∂G(x− y)∂ny

dγ(y). (3.12)

3.1. Formulations intégrales : rappels 61

Pour simplier l'écriture, nous noterons désormais les diérents opérateurs intégraux de lamanière suivante, pour x ∈ Γ :

Sq(x) =∫

ΓG(x− y)q(y) dγ(y), (3.13)

Hp(x) =∫

Γ

∂G(x− y)∂ny

p(y) dγ(y), (3.14)

H ′q(x) =∫

Γ

∂G(x− y)∂nx

q(y) dγ(y), (3.15)

Dp(x) =∂

∂nx

∫Γ

∂G(x− y)∂ny

p(y) dγ(y), (3.16)

où q désigne la dérivée normale de la pression, soit ∂p/∂n. Les opérateurs sont dénis dans lesespaces suivants :

S : H−1/2(Γ) → H1/2(Γ),H : H1/2(Γ) → H1/2(Γ),H ′ : H−1/2(Γ) → H−1/2(Γ),D : H1/2(Γ) → H−1/2(Γ).

L'opérateur H ′ est l'adjoint de l'opérateur H pour la norme L2(Γ).Singularités des noyaux :Ces opérateurs intégraux présentent des singularités pour x voisin de y, x et y sur Γ :

S :1

|x− y|= O(|x− y|−1),

H :∂

∂ny

(1

|x− y|

)=

(y − x, ny)|y − x|3

= O(|y − x|−1),

H ′ :∂

∂nx

(1

|x− y|

)=

(y − x, nx)|y − x|3

= O(|y − x|−1),

D :∂2

∂nx∂ny

(1

|x− y|

)=

(nx, ny)|x− y|3

− 3(x− y, nx)(x− y, ny)

|x− y|5

= O(|x− y|−3).

Ainsi les noyaux de S, H et H ′ sont intégrables.Le noyau de D ne l'est pas.Les trois premiers noyaux sont faiblement singuliers, ces noyaux donnent lieu à des opérateurscompacts sur les espaces dénis précédemment, et le dernier est hypersingulier.

Nous verrons dans la suite comment traiter ces diérentes singularités.Revenons maintenant aux diérentes formulations intégrales.

Les formulations (3.11) et (3.12) s'écrivent respectivement :12p = S q − H p x ∈ Γ, (3.17)

12q = H ′ q − Dp x ∈ Γ. (3.18)


Dans le milieu pétrolier, seule la première formulation (3.17) a été employée à ce jour. Pour-tant, la deuxième formulation (3.18) est très populaire dans les autres domaines, par exemple enélectromagnétisme, en mécanique, en élasticité, en élastodynamique (voir Bonnet [12]).

Pour mieux comprendre dans quel cas employer l'une ou l'autre formulation, nous intro-duisons la notion d'équations intégrales de première espèce et de seconde espèce (voir Nédélec[64]).

3.1.2 Équations intégrales de première et de seconde espèceDénition 14 Une équation intégrale est dite de première espèce par rapport à une inconnue sil'inconnue n'apparaît pas en dehors du signe intégral.Sinon, l'équation intégrale est dite de seconde espèce.

Les équations intégrales de seconde espèce sont plus stables, du fait de l'apparition de l'in-connue en dehors du signe intégral. De plus, l'analyse fonctionnelle est plus simple pour les équa-tions de seconde espèce. Néanmoins pour les équations intégrales liées à l'équation de Laplace,on dispose de l'analyse des équations intégrales de première espèce depuis l'article de Nédélecet Planchard [65] : ils montrent via la coercivité de la forme bilinéaire associée à l'opérateur deLaplace e via les théorèmes de trace, que la forme bilinéaire associée à l'équation intégrale defrontière est coercive sur H−1/2(Γ).

L'équation (3.17) est donc de première espèce si l'inconnue est la dérivée normale ∂p/∂n = q,et de seconde espèce si l'inconnue est la pression p. Inversement, l'équation (3.18) est de secondeespèce si l'inconnue est la dérivée normale ∂p/∂n = q, et de première espèce si l'inconnue est lapression p.

Ainsi le fait qu'une équation intégrale soit de première ou de seconde espèce dépend del'inconnue considérée, et donc de la frontière sur laquelle on écrit cette équation intégrale. Nousavons alors à choisir une équation intégrale pour chaque frontière, en tenant compte de l'inconnuesur la frontière.

3.2 Écriture des équations intégrales

Nous avons vu que les équations intégrales de seconde espèce étaient plus stables que leséquations intégrales de première espèce. Nous préférerons donc utiliser des équations intégralesde seconde espèce, dans la mesure du possible. Pour cela, il nous faut récapituler les inconnuesde notre modèle sur chacune des frontières. C'est ce que nous nous proposons de faire dans leparagraphe suivant. Une fois cela fait, nous aurons tous les éléments nécessaires pour écrire laformulation intégrale de notre modèle.

3.2.1 Inconnues du modèleDans un premier temps, nous considérons le modèle en milieu homogène (3.1).• Sur la frontière de Dirichlet ΓD, l'inconnue est la dérivée normale de la pression : nous lanotons :

α :=∂p

∂nsur ΓD.

3.2. Écriture des équations intégrales 63

• Sur la frontière de Neumann ΓN , l'inconnue est la pression, nous la notons :β := p sur ΓN .

• Sur la frontière du puits Γw, hormis le cas où on connaît la valeur de la pression pw, et oùon cherche le débit total Q, nous avons deux inconnues, la pression, et sa dérivée normale :

ϕ := p sur Γw,

ψ :=∂p

∂nsur Γw.

De façon à recouvrer tous les cas (y compris le cas non-linéaire), nous considérerons deuxinconnues sur le puits : ϕ et ψ dénies ci-dessus.

3.2.2 Réservoir homogène isotropeMaintenant que nous avons bien distingué toutes les inconnues du problème, nous pouvons

choisir l'équation intégrale qui nous semble la mieux adaptée pour chaque frontière.

3.2.2.1 Sur les frontières extérieures :Pour les frontières extérieures, le choix de l'équation intégrale est naturel :• sur la frontière de Dirichlet ΓD, nous choisissons la deuxième équation (3.18),• sur la frontière de Neumann ΓN , nous optons pour la première équation (3.17).Ainsi nous avons bien des équations intégrales de seconde espèce sur les frontières extérieures

du réservoir.

3.2.2.2 Sur le puits :Il nous reste à décider quelle équation intégrale nous allons employer sur la frontière du puits

Γw. Le choix n'est pas si immédiat que pour les frontières extérieures, puisque sur Γw nous avonsdeux inconnues : la pression ϕ et le ux ψ. Alors, chacune des deux équations intégrales (3.17)et (3.18) sera mixte, c'est-à-dire à la fois de première espèce pour l'une des deux inconnues, etde seconde espèce pour l'autre.Considérons alors le cas particulier d'un puits dans un milieu inni Ω :

∆p = 0 dans CΩ,p = 0 à l'inni,p = 1 sur Γw,

où CΩ est le complémentaire du puits dans R3 et Γw = ∂Ω. Si nous choisissons comme représen-tation intégrale la deuxième équation (3.18) :

(12I −H ′)

∂p

∂n= −Dp,

alors le second membre s'exprime, pour x ∈ Γw :

Dp(x) =∂

∂nx

∫Γw

p(y)∂G(x− y)

∂nydγ(y)

=∂

∂nx

∫Γw

∂G(x− y)∂ny

dγ(y).


Or la relation de l'angle solide (3.2) indique que :∫Γw

∂G(x− y)∂ny

dγ(y) = 0,

et ce, pour tout x ∈C Ω.On en déduit alors que le second membre est nul si on impose une condition de Dirichlet constantesur Γw, et sinon, le second membre est déni à une constante près.La solution de l'équation intégrale est alors aussi dénie à une constante près, et la solution nulleest solution évidente de la deuxième représentation intégrale. Mais la solution nulle n'est passolution du modèle EDP considéré (contradiction avec p = 1 sur Γw). Ceci montre que l'équationintégrale considérée n'est pas équivalente au modèle EDP, et donc ne constitue pas une bonnereprésentation intégrale du problème.C'est pourquoi nous choisissons d'écrire plutôt la première équation intégrale (3.17) sur le puits.

3.2.2.3 ConclusionLe système d'équations intégrales qui traduit notre modèle est donc :

12α(x) = H ′q(x) −Dp(x) x ∈ ΓD,

12β(x) = Sq(x) −Hp(x) x ∈ ΓN ,

12ϕ(x) = Sq(x) −Hp(x) x ∈ Γw.

(3.19)

3.2.3 Réservoir homogène anisotropeMaintenant que nous avons traité un réservoir homogène isotrope, modélisé par une équation

de Laplace, nous allons étendre les équations intégrales développées dans la section précédente àun milieu anisotrope. On rappelle que l'écoulement permanent en milieu anisotrope est régi parl'équation :

div (K∇p) = 0 dans Ω, (3.20)avec K le tenseur de perméabilité supposé diagonal :

K =

k1 0 00 k2 00 0 k3

.

L'équation (3.20) s'écrit de manière équivalente :

k1∂2p(x)∂x2

1

+ k2∂2p(x)∂x2

2

+ k3∂2p(x)∂x2

3

= 0 pour x ∈ Ω.

On se ramène à l'équation de Laplace (au coecient k = (k1k2k3)1/3 près) par le changement

3.2. Écriture des équations intégrales 65

de variables suivant (cf Chalus [16], Ding [25] et Besson [11]) :

x′ = T x, avec T = k1/2

1

k1/21

0 0

01

k1/22

0

0 01

k1/23

:= k1/2K

−1/2.

La fonction de Green associée à l'équation (3.20) est alors donnée par :

G(x− y) =1

4π|T |1/21r,

où r2 = (x − y)T T (x − y) et |T | = det(T ). On remarque que |T | = det(T ) = 1, ce qui nousamène :

G(x− y) =14π

1r. (3.21)

On remarque que le noyau de Green dépend du tenseur de perméabilité K à travers la matrice T .Ainsi, pour un milieu stratié, chaque couche Ωr aura une fonction de Green diérente dépendantdu tenseur de perméabilité Kr qui lui est propre.Rappelons la notation suivante introduite dans le chapitre 1 :

∂p

∂(Kn)=

1kK∇p.n. (3.22)

Les formules de représentation (3.11) et (3.12) deviennent alors, pour x ∈ Γ :12p(x) =

∫Γ

∂p(y)

∂(Kny)G(x− y) dγ(y)−

∫Γp(y)

∂G(x− y)

∂(Kny)dγ(y) (3.23)

12

∂p(x)

∂(Knx)=

∫Γ

∂p(y)

∂(Kny)

∂G(x− y)

∂(Knx)dγ(y)− ∂

∂(Knx)

∫Γp(y)

∂G(x− y)

∂(Kny)dγ(y) (3.24)

Pour un réservoir anisotrope, nous écrirons donc l'équation (3.23) sur ΓN et Γw, et l'équation(3.24) sur ΓD.

3.2.4 Réservoir multi-couchesDans le cas d'un réservoir multi-couches, nous résoudrons le problème en écrivant les équa-

tions intégrales dans chacune des couches Ωr de frontière Γr, puis nous couplerons les équationsintégrales grâce aux conditions de continuité de pression et de ux aux interfaces Γrs entre lescouches :

pr = ps sur Γrs,

kr∂pr

∂(Krnr)= −ks

∂ps

∂(Ksns)sur Γrs.

Nous noterons désormais :qr :=

1kr

∂pr

∂(Krnr), pour r = 1, . . . , NR.


Par rapport au modèle pour un réservoir homogène, nous avons alors des inconnues supplé-mentaires sur chaque interface Γrs, à savoir la pression et le ux :

prs := pr = ps sur Γrs,

qrs :=∂pr

∂(Krnr)= qr = − kr

ks

∂ps

∂(Ksns)= − kr

ksqs sur Γrs, pour r < s.

L'inconnue qrs est choisie arbitrairement par commodité.La fonction de Green est diérente dans chaque couche Ωr, puisqu'elle dépend de la perméa-

bilité Kr. Elle sera indexée par r :

Gr(x− y) =14π

1(x− y)T Tr (x− y)

,

avec Tr la matrice de changement de variable dénie dans le paragraphe précédent par :

Tr = k1/2r K

−1/2

r .

Ainsi en indexant les opérateurs intégraux :

Srq(x) =∫

Γr

Gr(x− y)q(y) dγ(y), (3.25)

Hrp(x) =∫

Γr

∂Gr(x− y)

∂(Krny)p(y) dγ(y), (3.26)

H ′rq(x) =

∫Γr

∂Gr(x− y)

∂(Krnx)q(y) dγ(y), (3.27)

Drp(x) =∂

∂(Krnx)

∫Γr

∂Gr(x− y)

∂(Krny)p(y) dγ(y), (3.28)

on peut écrire, dans chaque couche Ωr :

12qr(x) = H ′

rpr(x) −Drqr(x), x ∈ Γr,D,

12pr(x) = Srpr(x) −Hrqr(x), x ∈ Γr,N ,

12pr(x) = Srpr(x) −Hrqr(x), x ∈ Γr,w.

Il nous reste maintenant à écrire une équation intégrale pour trouver prs, et une deuxièmeéquation intégrale pour trouver qrs. Nous avons plusieurs possibilités, et nous choisissons d'écrirel'équation (3.23) pour prs dans le domaine Ωs, si s > r, et l'équation (3.24) pour qrs dans ledomaine Ωr, si s < r :

12prs(x) = Ss qs(x) − Hs ps(x), pour x ∈ Γrs,

12qrs(x) = H ′

r qr(x) − Dr pr(x), pour x ∈ Γrs.

3.3. Équivalence entre la représentation intégrale choisie et le modèle 67

Ainsi nous obtenons le système d'équations intégrales suivant, pour r = 1, . . . , Nr, et s =1, . . . , Nr :

12qr(x) = H ′

r qr(x) −Dr pr(x), x ∈ Γr,D,

12pr(x) = Sr qr(x) −Hr pr(x), x ∈ Γr,N ,

12pr(x) = Sr qr(x) −Hr pr(x), x ∈ Γr,w,

12prs(x) = Ss qs(x) −Hs ps(x) x ∈ Γrs, s > r,

12qrs(x) = H ′

r qr(x) −Dr pr(x) x ∈ Γrs, s < r.

3.3 Équivalence entre la représentation intégrale choisie et le mo-dèle

Nous avons vu que nous avions le choix entre plusieurs formulations intégrales. Suivant leproblème EDP considéré, elles peuvent être correctes ou non. Par exemple, pour le cas particulierd'un puits en milieu inni, nous avons montré qu'une des deux représentations ne convenait pas.Il nous faut donc vérier que le formulation intégrale que nous avons choisie est bien équivalenteau problème EDP considéré.

Pour simplier, nous considérons le modèle (3.1), homogène, isotrope, et dont les constantesphysiques sont supposées égales à 1. Le système d'équations intégrales que nous avons choisipour représenter ce modèle est le système (3.19). Rappelons-le :

(3.19)

12α(x) = H ′q(x) −Dp(x) x ∈ ΓD,

12β(x) = Sq(x) −Hp(x) x ∈ ΓN ,

12ϕ(x) = Sq(x) −Hp(x) x ∈ Γw.

Dans un premier temps, nous allons supposer que la pression le long du puits est donnée dansle modèle (3.1). On a alors dans (3.19) ϕ = pw connue.

Il est facile de montrer que la solution du modèle EDP (on a déjà montré dans le chapitre 2qu'elle existe et est unique), est aussi solution du système d'équations intégrales ci-dessus.

Nous allons donc montrer la réciproque, i.e. que la solution du système d'équations intégralesci-dessus est bien solution du modèle EDP. Pour cela, nous allons montrer que le système d'équa-tions intégrales admet une unique solution. Alors cette solution ne pourra qu'être la solution dumodèle EDP.


Pour y voir plus clair, nous allons développer le système en indexant deux fois les opérateursintégraux suivant cet exemple :

SD,Nq(x) =∫

ΓD

G(x− y)q(y) dγ(y), x ∈ ΓN ,

et nous noterons respectivement ID, IN , Iw, l'identité sur ΓD, ΓN , et Γw.Le système (3.19) s'écrit alors :

(12ID −H ′

D,D

)α+DN,D β −H ′

w,D ψ = −DD,D pD −Dw,D pw,

−SD,N α+(

12IN +HN,N

)β − Sw,N ψ = −HD,N pD −Hw,N pw,

−SD,w α+HN,w β − Sw,w ψ = −HD,w pD −(

12Iw +Hw,w

)pw.

L'opérateur matriciel associé à ce système est donc :

A =

12ID −H ′

D,D DN,D −H ′w,D

−SD,N12IN +HN,N −Sw,N

−SD,w HN,w −Sw,w

.

On va utiliser la théorie de Fredholm (l'opérateur diagonal de A jouant le rôle de l'identité).Etudions donc le noyau de l'adjoint de cet opérateur matriciel. L'opérateur adjoint s'écrit :

A∗ =

12ID −HD,D −SN,D −Sw,D

DD,N12IN +H ′

N,N H ′w,N

−HD,w −SN,w −Sw,w

.

Résolvons A∗x = 0, avec x = (α, β, ψ).Soit u déni dans Ω par :

u(x) = −MD(α)(x) − LN (β)(x) − Lw(ψ)(x)

= −∫

ΓD

α(y)∂G(x− y)

∂nydγ(y) −

∫ΓN

β(y)G(x− y) dγ(y) −∫

Γw

ψ(y)G(x− y) dγ(y).

Les opérateurs de simple et double couche ont été indexés par la lettre qui correspond à lafrontière sur laquelle ils portent.On sait d'après les relations de saut des potentiels de simple et double couche rappelés dans lasection 3.1.1 que :

γ−0 (−MD(α)) =(

12ID − HD,D

)α sur ΓD,

γ−1 (−LN (β)) = −(

12IN + H ′

N,N

)β sur ΓN .

3.4. Méthodes numériques pour résoudre l'équation intégrale 69

En multipliant la seconde équation par −1, et en remarquant que les autres opérateurs intégrauxsont continus à la traversée de la frontière sur laquelle ils sont dénis, nous pouvons réécrire lesystème A∗x = 0 en fonction des traces de u :

γ−0 (u) = 0 sur ΓD,γ−1 (u) = 0 sur ΓN ,γ−0 (u) = 0 sur Γw.

De plus, u vérie ∆u = 0 dans Ω, puisque u est une combinaison linéaire des potentiels de simpleet double couche avec le noyau de Green associé au laplacien. On peut interpréter le systèmeA∗x = 0 comme le problème aux limites suivant :


∂n= 0 sur ΓN ,

u = 0 sur Γw.

Il est alors évident que ce système admet pour unique solution la solution nulle dans H1(Ω).Donc u est nul dans Ω, et ses traces sont nulles, en particulier α, β et ψ.On en déduit alors que le noyau de A∗ se réduit au vecteur nul. Donc, d'après l'alternative deFredholm, le système d'équations intégrales admet une unique solution.

D'autre part, nous avons vu que le problème EDP admet une unique solution, et le systèmed'équations intégrales découle du problème EDP et admet lui aussi une unique solution. On endéduit alors l'équivalence du problème EDP et du système d'équations intégrales que nous avonschoisi.

3.4 Méthodes numériques pour résoudre l'équation intégrale

Il existe plusieurs méthodes numériques pour discrétiser une équation intégrale (cf Atkinson[7], Kress [48]). Les méthodes de collocation, de Galerkin et de Nyström sont les plus connues etles plus utilisées. Citons aussi la méthode de Galerkin hybride (cf Graham, Hackbusch, Sauter[37], [38]), qui est une amélioration de la méthode de Galerkin.Nous allons présenter chaque méthode de manière générale pour la résolution de l'équationintégrale de seconde espèce suivante :

(λI + K)u(x) = f(x), x ∈ Γ (3.29)où Ku(x) :=

∫Γk(x, y)u(y) dy, et k(x, y) désigne le noyau.

3.4.1 Méthode de collocationLa méthode de collocation (cf Bonnet [12], Kress [48], Atkinson [7]) est la plus simple à mettre

en ÷uvre : on se donne un ensemble de N n÷uds d'interpolation x1, . . . , xN , et un ensemble Thd'éléments triangulaires qui approche la frontière Γ. A chaque n÷ud xj , on associe une fonctiond'interpolation φj , j = 1, . . . , N . Une approximation de la variable u est alors donnée par :

uh(x) =N∑j=1

φj(x)uj , où uj := u(xj). (3.30)


On demande que l'équation intégrale (3.29) soit vériée exactement aux points de collocationx′i, i = 1, . . . , N ′.On remplace u dans l'équation intégrale (3.29) par son approximation uh, cela nous amène à larésolution d'un système linéaire avec pour inconnue le vecteur U = (uj), j = 1, . . . , N .Cette méthode est fréquemment utilisée dans le milieu pétrolier.

3.4.2 Méthode de GalerkinOn se donne comme pour la méthode de collocation un ensemble de fonctions de base φj , j =

1, . . . , N , et un maillage triangulaire Th.La méthode de Galerkin consiste à chercher une approximation de la solution

uh ∈ vectφj , j = 1, . . . , N,

telle que :((λI + K)uh, φj) = (f, φj), j = 1, . . . , N. (3.31)

On aboutit au système d'équations linéaires suivant :(λM +K) U = F, (3.32)

où, pour i, j = 1, . . . , N :

Mij :=∫

Γφi(x)φj(x) dγ(x),

Kij :=∫

Γ

∫Γk(x, y)φi(x)φj(y) dγ(x) dγ(y),

Fj :=∫

Γφj(x) f(x) dγ(x).

On décompose alors la frontière Γ en somme sur les triangles T ⊂ Th :

Mij :=∑

T⊂(supp φi∩supp φj)

∫Tφi(x)φj(x) dγ(x),

Kij :=∑

T⊂supp φi

∑T ′⊂supp φj

∫T

∫T ′k(x, y)φi(x)φj(y) dγ(x) dγ(y),

Fj :=∑

T ′⊂supp φj

φj(x) f(x) dγ(x).

Les calculs de la matrice M et du vecteur F ne posent pas de problème a priori. Par contre,lorsque le noyau k n'est pas continu (ce qui est notre cas : le noyau est en 1/ |x− y|), l'évalua-tion de la matrice K est assez délicate pour les éléments situés sur la diagonale et autour de ladiagonale : en eet, les points x et y sont alors proches, et l'intégrale présente des singularitésen ces points-là. Des méthodes de régularisation existent pour lever cette diculté.La méthode de Galerkin est plus coûteuse que la méthode de collocation, puisqu'elle amèneune intégrale de plus à calculer, mais elle est plus stable.

3.4. Méthodes numériques pour résoudre l'équation intégrale 71

3.4.3 Méthode de NyströmOn suppose que le noyau k est continu. On applique à l'équation intégrale (3.29) la règle de

quadrature suivante : ∫Γg(x) dγ(x) ≈

N∑j=1

wjg(xj), g ∈ C(Γ),

et on oapproche alors u par :

λun(x) +N∑j=1

wjk(x, xj)un(xj) = f(x), x ∈ Γ.

Pour trouver les quantités un(xj), désormais notées uj , on fait parcourir à x les valeurs xi, i =1, . . . , n dans l'équation précédente. Les uj sont alors solution du système linéaire suivant :

λui +N∑j=1

wjk(xi, xj)uj = fi, i = 1, . . . , n,

avec fi := f(xi).On peut alors calculer un(x) en tout point x ∈ Ω par la formule :

un(x) =1λ

f(x) −N∑j=1

wjk(x, xj)uj

.Cette formule est appelée formule d'interpolation de Nyström.Cette méthode est aussi très stable, et peu coûteuse, mais ne permet pas de traiter les noyauxnon continus en 3D (voir Atkinson [7]).

3.4.4 Méthode de Galerkin hybrideLa méthode de Galerkin hybride est une nouvelle méthode de quadrature pour calculer la

matrice de Galerkin, développée par I.G. Graham, W. Hackbusch et S.A. Sauter [37]. L'intérêtde cette méthode est qu'on doit eectuer beaucoup moins d'évaluations du noyau k(x, y) quepour la méthode de Galerkin, ce qui réduit le coût de calcul. D'autre part, les auteurs ont montréque la méthode de Galerkin hybride est stable et possède les mêmes propriétés de convergenceque la méthode de Galerkin, et le même coût que la méthode de Nyström (cf [37]).L'idée de la méthode consiste à calculer une partie de la matrice K par les règles conventionnellesde quadrature comme on le fait habituellement pour la méthode de Galerkin, et à appliquer denouvelles règles de quadrature beaucoup moins coûteuses pour une autre partie de la matrice,qui nécessitent en général de 10 à 100 fois moins d'estimations du noyau.On observe que, dès que suppφi ∩ suppφj = ∅ (ce qui représente la plupart des cas), le noyauk est continu, et cette information n'est pas exploitée par la méthode de Galerkin classique.Ce sera donc dans ce cas-là que s'appliquera la nouvelle règle de quadrature, c'est-à-dire quand|xi − xj | > ζ, avec ζ > 0.On considère les fonctions de base comme des poids :∫

ΓF (x)φi(x) dγ(x) ≈

∑j∈Ji

wjF (xj), (3.33)


avec F une fonction régulière sur supp(φi).Les points xj,j∈Ji sont sélectionnés parmi les n÷uds situés près de xi, et les poids wj dépendentdu choix de ces points. L'ensemble Ji des voisins de xi et les poids wi associés sont calculés desorte que (3.33) soit vériée avec la précision souhaitée, ce qui revient à résoudre le systèmelinéaire suivant : ∑

j∈Ji

Πi(xj)wj =∫

ΓΠi(x)φp(x) dγ(x), i = 1, . . . ,D(d),

où Πi : i = 1, . . . ,D(d) est une base de l'espace des polynômes de degré d, et D(d) =(d+ 1)(d+ 2)/2.

D'autre part, les points xj,j∈Ji et les poids associés wi, doivent vérier des conditions supplé-mentaires de façon à assurer la stabilité.Pour plus de précisions ou pour l'algorithme détaillé, on en réfère à [37].

3.4.5 Méthode retenueLes méthodes de collocation et de Galerkin sont les plus utilisées et ont largement fait leurs

preuves. La méthode de Nyström, performante en 2D, ne s'adapte pas à notre modèle, puisqu'ellene permet pas de traiter les singularités en 3D (voir Atkinson [7]). Par contre, la méthode deGalerkin, grâce à l'intégration supplémentaire, permet de lever toutes les singularités. De plus,elle est plus stable que la méthode de collocation, mais au prix d'un coût plus elevé.I.G. Graham, W. Hackbusch et S.A. Sauter [37] arment que la méthode de Galerkin hybrideréduit le coût de calcul de la matrice de Galerkin, tout en conservant les propriétés de stabilitéet de convergence.Notre choix va donc se porter sur la méthode de Galerkin. La méthode de Galerkin hybridedérivant de la méthode de Galerkin, nous pourrons envisager de faire quelques tests avec laméthode de Galerkin hybride.

3.5 Tests numériques

La première partie de ce chapitre nous a permis d'écrire la formulation intégrale de notremodèle, et la deuxième partie de discuter la méthode de discrétisation.Nous avons donc choisi une nouvelle formulation intégrale, jamais utilisée dans le milieu pétro-lier. La discrétisation des équations intégrales sera opérée par une méthode de Galerkin. Nousverrons pourquoi la méthode de Galerkin est particulièrement bien adaptée à notre problème.

Cette partie est destinée aux premières validations de la formulation intégrale que nous avonschoisie. Ces validations seront faites sur des cas très simples, limités à un réservoir borné sanspuits, pour des modèles dont on connaît une solution analytique. Les autres tests numériquesseront présentés dans les chapitres 4 et 5.Mais tout d'abord, il nous faut discrétiser les équations intégrales.

3.5.1 Discrétisation des équations intégralesRappelons tout d'abord la formulation adoptée pour un réservoir borné Ω de frontière ∂Ω =

ΓD ∪ ΓN .

3.5. Tests numériques 73

Nous avons choisi d'écrire les équations intégrales suivantes :12q = H ′ q − Dp sur ΓD, (3.34)

12p = S q − H p sur ΓN . (3.35)

Chacune des quantités p et q est décomposée dans la base des fonctions éléments nis P1 surdes triangles (ψhi )i :

p(x) =∑j

pj ψhj (x), q(x) =

∑j

qj ψhj (x).

La frontière Γ qui se compose ici uniquement de ΓD et ΓN pour un réservoir homogène, etéventuellement des interfaces Γrs pour un réservoir stratié, est approchée par :Γh = ΓhD ∪ ΓhN ∪r<s Γhrs, où Γh est discrétisée par des triangles.Les équations intégrales (3.34) et (3.35) sont multipliées par la fonction test ψhi et sont ensuiteintégrées sur Γh.On note :

Mij =∫

Γh

ψhi (x)ψhj (x) dγh(x),

Sij =∫

Γh

∫Γh

ψhi (x)ψhj (y)G(x− y) dγh(y) dγh(x),

Hij =∫

Γh

∫Γh

ψhi (x)ψhj (y)

∂G(x− y)∂ny

dγh(y) dγh(x),

Dij =∫

Γh

ψhi (x)∂

∂nx

∫Γh

ψhj (y)∂G(x− y)

∂nydγh(y) dγh(x),

H ′ij =

∫Γh

∫Γh

ψhi (x)ψhj (y)

∂G(x− y)∂nx

dγh(y) dγh(x).

On obtient alors le système discrétisé suivant :12

∑j

qjMij −∑j

qj H′ij +

∑j

pj Dij = 0 sur ΓD,

12

∑j

pjMij −∑j

qj Sij +∑j

pj Hij = 0 sur ΓN .

Il nous reste maintenant à calculer les diérentes intégrales discrètes. Nous avons déjà vuque ces intégrales présentent des singularités quand x → y. Les intégrales Sij , Hij , et H ′

ij sontfaiblement singulières, et l'intégrale Dij est hypersingulière.Ici nous nous limitons au calcul de ces intégrales sur des triangles, ce qui est bien connu dansle milieu des méthodes intégrales. Des méthodes classiques, telles que la méthode de De Hoop(voir [6], [10]) sont utilisées pour lever les singularités pour les intégrales Sij , Hij , et H ′

ij . Pourl'intégrale Dij , J.-C. Nédélec dans [64] a démontré que l'on pouvait reformuler l'intégrale Dij parla formule analytique suivante :

Dij = − 14π

∫Γh

∫Γh

~rotΓh(ψhi (x)). ~rotΓh

(ψhj (y))|x− y|

dγh(y) dγh(x), (3.36)

où le rotationnel tangentiel ~rotΓhs'écrit :

~rotΓhu = ~rotu× n.


Cette formule est très peu coûteuse en temps de calcul : en eet, les fonctions de base ψhi et ψhjétant des polynômes de degré 1, les termes ~rotΓh

(ψhi (.)) et ~rotΓh(ψhj (.)) sont des constantes. Lecalcul de Dij revient alors au calcul de Sij à une constante près.

On obtient cette formule en transformant par dualité la dérivée normale ∂/∂nx portant sur lenoyau en une dérivée tangentielle portant sur la fonction de base ψhi . Ainsi la singularité est levéegrâce à l'intégration supplémentaire amenée par la méthode de Galerkin : c'est là tout l'intérêtd'utiliser une méthode de Galerkin.

Tous les calculs sont développés en annexe A.Cas d'un réservoir anisotropeDans le cas d'un réservoir anisotrope, les intégrales discrètes s'écrivent en remplaçant la dérivéenormale ∂/∂n par ∂/∂(Kn). Pour les intégrales faiblement singulières Sij ,Hij , etH ′

ij , la méthodede calcul est la même. Pour l'intégrale Dij , nous avons obtenu une formule analytique en utilisantles mêmes techniques que Nédélec ([64]) pour le calcul de l'intégrale Dij en milieu isotrope (voirannexe A, paragraphe 7.3.2) :

Dij = − 14π

∫Γh

∫Γh

˜rotΓh(ψhi (x)). ˜rotΓh

(ψhj (y))G(x− y) dγh(y) dγh(x),

avec :˜rotΓh

[u] =(K

1/2∇u)∧(K

1/2n

),

et :K

1/2=

k1/21 0 0

0 k1/22 0

0 0 k1/23

. (3.37)

3.5.2 Résultats numériquesNous sommes maintenant prêts à procéder à des tests sur un réservoir borné sans puits. Ainsi

nous validerons les calculs eectués en annexe A. Les systèmes linéaires sont résolus grâce à lalibrairie Sparse Lib, par une méthode de gradient conjugué stabilisé (préconditionné).

3.5.2.1 Premier test : écoulement linéaireNous résolvons ici le modèle :

∆p = 0 dans Ω,p = 1 sur ΓD,1,p = 2 sur ΓD,2,∂p

∂n= 0 sur ΓN ,

où le domaine Ω est représenté par la gure 3.1.Le domaine Ω est donc un cube dont les arêtes mesurent 500 m. Le bord ΓD,1 est représenté surla gure 3.1 par la face verte (à gauche), et le bord ΓD,2 est représenté par la face opposée enrouge. La frontière ΓN , sur laquelle nous avons appliqué une condition de Neumann homogène,désigne l'ensemble des quatre autres faces du réservoir.La solution de ce problème est évidente : on doit obtenir un écoulement linéaire entre les faces


Fig. 3.1 Problème d'écoulement linéaire.

ΓD,1 et ΓD,2.Nous avons eectué ce test avec diérents maillages : le premier (voir Figure 3.3) est assez

grossier, et le deuxième (Figure 3.4) un peu plus n. Ces maillages ont été obtenus grâce aulogiciel SIMAIL.

La gure 3.2 représente les résultats que nous avons obtenu pour la face du haut. Commela solution est linéaire et que la géométrie est plane, la solution approchée est exacte. Seules leserreurs d'arrondi interviennent, et le maillage n donne un résultat sensiblement meilleur.

Fig. 3.2 Pression le long de l'axe des x pour la face 2.


Fig. 3.3 Maillage 1.

Fig. 3.4 Maillage 2.


3.5.2.2 Deuxième testPour le second test, nous nous proposons de résoudre le modèle :

∆p = 0 dans Ω,p = u sur ΓD,∂p

∂n=∂u

∂nsur ΓN .

où la fonction u est dénie par : u(x, y, z) = sin(x) cosh(y).

Fig. 3.5 Problème traité pour le deuxième test.Nous travaillons ici dans le cube unité Ω = [0, 1]× [0, 1]× [0, 1] (voir gure 3.5). Nous choisis-

sons pour ΓN l'union des deux faces z = 0 et z = 1, ainsi nous pouvons récupérer une conditionhomogène sur ΓN : ∂p/∂n = ∂u/∂n = 0. La frontière ΓD est alors constituée des quatre autresfaces du cube unité.La fonction u vérie ∆u = 0 dans Ω, donc u est (l'unique) solution du modèle précédent. Sur lesdeux faces constituant ΓN , nous devons retrouver p = u, et sur les faces constituant ΓD, nousdevons retrouver ∂p/∂n = ∂u/∂n.

Nous présentons sur la gure 3.6(a) la solution exacte pex = u sur la face z = 1, et sur lagure 3.6(b) l'erreur entre la pression calculée ph et la solution exacte pex. Nous constatons queles résultats sont très satisfaisants. Les résultats ont exactement la même allure sur la face z = 0.

Maintenant penchons-nous sur les faces composant ΓD, où nous cherchions le ux. La solutionexacte dépend de chaque face. Regardons par exemple la gure 3.7(a) : cette gure représente lasolution exacte qex = ∂u/∂n sur la face x = 1. La gure 3.7(b) représente l'erreur entre le uxcalculé qh et le ux exact qex.

Nous remarquons que l'erreur est plus importante aux coins et aux arêtes : ceci est un pro-blème bien connu des méthodes intégrales. En eet, aux coins et aux arêtes, la normale n'est pasbien dénie, ce qui cause des erreurs d'approximation plus importantes qu'à l'intérieur des faces.Il existe certaines méthodes pour remédier à ce problème, comme par exemple le ranement


(a) Solution exacte : pex = u

(b) Erreur : pex − ph

Fig. 3.6 Résultats pour la pression.


(a) Solution exacte : qex =∂u

∂n

(b) Erreur : qex − qh

Fig. 3.7 Résultats pour le ux.


de maillage dans les coins et aux arêtes, ou encore l'utilisation de fonctions de base prenant encompte les singularités aux coins ou aux arêtes, mais cette dernière solution est plus dicile àmettre en ÷uvre.Toutefois, les résultats à l'intérieur des faces restent très satisfaisants.

D'autres tests ont été eectués pour prendre en compte l'eet du maillage sur la précision del'approximation de la solution. Le tableau 3.1 donne quelques caractéristiques des trois maillagesutilisés. Les résultats obtenus sont reportés dans le tableau 3.2.

Maillage 1 Maillage 2 Maillage 3Nombre de n÷uds 162 556 2244Nombre de mailles 320 1108 4484

Tab. 3.1 Caractéristiques des trois maillages.

Inconnue Equation de la face Maillage 1 Maillage 2 Maillage 3Face 1 q z = 0 1.2294 0.545146 0.193371Face 2 q z = 1 1.56532 0.555443 0.180762Face 3 p x = 1 8.71629 5.49797 3.84947Face 4 p y = 1 13.6128 10.6227 7.20709Face 5 p x = 0 11.1993 7.28276 5.03085Face 6 p x = 1 13.4936 16.3035 22.4072

Tab. 3.2 Erreurs relatives (en %) en norme L2 selon le maillage utilisé.

Nous constatons que l'approximation de la solution devient plus précise en ranant lemaillage, excepté pour la face 6. Nous ne savons pas expliquer pourquoi l'erreur augmente surcette face.

3.5.2.3 Comparaison des formulations intégralesNous rappelons que les modèles présentés dans les sections précédentes ont été résolus par la

représentation intégrale mixte :12p = S q − H p sur ΓN ,

12q = H ′ q − Dp sur ΓD.

(3.38)

Lorsque nous avons formulé cette représentation intégrale, nous pensions qu'elle serait plus stable,et plus précise que la formulation habituellement utilisée dans le milieu pétrolier :

12p = S q − H p sur ΓN ∪ ΓD. (3.39)

D'autre part, nous aurions pu aussi appliquer la deuxième formulation :12q = H ′ q − Dp sur ΓN ∪ ΓD, (3.40)

3.6. Conclusion 81

excepté dans le cas d'un problème de Dirichlet (i.e. si ΓN = ∅), car dans ce cas-là comme pourle puits en milieu inni, la solution serait dénie à une constante près, et donc cette formulationintégrale ne représente pas de manière équivalente le modèle EDP.

Des tests numériques (voir tableau 3.3) ont été consacrés à la comparaison des trois formu-lations pour le deuxième cas-test, et il s'avère que la formulation mixte est eectivement plusprécise que la formulation (3.39) ci-dessus.

Formulation mixte Formulation classique pétrolière Formulation(3.38) (3.39) (3.40)

Face 1 0.545146 0.607804 0.474172Face 2 0.555443 0.593708 0.481075Face 3 5.49797 7.82536 5.553705Face 4 10.6227 13.6228 10.6013Face 5 7.28276 9.73262 7.34073Face 6 16.3035 23.2279 16.2668Tab. 3.3 Erreurs relatives (en %) en norme L2 selon la formulation utilisée.

Ceci s'explique par le fait que la formulation mixte est une équation intégrale de 2ème espèceà la fois sur ΓD et ΓN , tandis que la formulation (3.39) est de 2ème espèce sur ΓN , mais seulementde 1ère espèce sur ΓD, et les équations intégrales de 2ème espèce sont plus stables.

Peut-être aurions-nous pu nous attendre à une plus importante diérence entre l'erreur ob-tenue avec la formulation mixte et l'erreur obtenue avec la formulation (3.40). Nous pensons quecette diérence est réduite par le fait que pour les deux diérentes représentations, une méthodede Galerkin a été employée. L'erreur donnée par la formulation (3.39) aurait probablement étéplus grande si nous avions employé une méthode de collocation.

Ces résultats confortent donc notre choix de représentation intégrale.

3.6 Conclusion

Après avoir discuté diérentes représentations intégrales, nous avons choisi une nouvelle for-mulation intégrale pour notre modèle, jamais utilisée dans le milieu pétrolier. Les équationsintégrales ont été discrétisées par une méthode de Galerkin, bien adaptée à notre problème et àla formulation que nous avons choisie, puisqu'elle permet de lever facilement l'hypersingularitédu noyau dans l'intégrale D. La formulation intégrale a pu être étendue sans grande diculté àun milieu anisotrope et à un milieu stratié.Les premiers tests numériques montrent que notre nouvelle formulation intégrale s'avère plusprécise que la formulation intégrale classiquement employée dans le milieu pétrolier.Il nous reste bien sûr à tester la formulation intégrale pour un réservoir avec un puits. Pour cela,il nous faudra calculer les intégrales sur le puits, et nous verrons que nous pouvons employerune méthode d'approximation laire. Cette méthode sera développée dans le chapitre suivant, etpour la valider, nous considérerons le cas particulier d'un puits dans un milieu inni. Un réservoircomplet (stratié et anisotrope) sera traité dans le chapitre 5.


3.7 Une autre manière d'appliquer les équations intégrales pourun problème pétrolier

Les méthodes intégrales peuvent être appliquées non plus seules, mais couplées avec desméthodes de volumes nis ou d'éléments nis, an de tirer les avantages de chacune des méthodes.Les méthodes intégrales sont parfaitement adaptées à des géométries complexes mais sont limitéesà des milieux homogènes, tandis que les méthodes de volumes nis ou d'éléments nis traitentbien les hétérogénéités. Ainsi, les méthodes intégrales peuvent être appliquées autour des objetsde géométrie complexe (puits, fractures, interfaces ou frontières extérieures), et les méthodesde volumes nis ou d'éléments nis dans le reste du réservoir. Ce couplage de volumes nis ouéléments nis avec les méthodes intégrales a été traité en deux dimensions dans ([43], [44]) etdonne des résultats prometteurs. Il reste à le généraliser en trois dimensions.

83

Chapitre 4

Approximation laire du puits

Ce chapitre est consacré au traitement du puits, et notamment au calcul des intégrales surle puits. Nous avons mentionné notre intention de faire une approximation laire sur le puits.Pourquoi une approximation laire sur le puits ? Nous savons qu'il existe une importante dié-rence d'échelle entre le rayon du puits et la taille du réservoir, et cela implique une importantediérence d'échelle entre le rayon du puits rw et sa longueur L (le puits est en général creusé surtoute la longueur du réservoir). Etant donnée cette diérence d'échelle, il est naturel de repré-senter la surface du puits non plus par un cylindre, mais par une ligne.Le problème qui se pose alors est l'expression des intégrales sur le puits : il faudrait passer d'uneintégrale 2D sur un cylindre ([0, L] × [0, 2π rw]) à une intégrale 1D sur une ligne ([0, L]). Nousverrons dans ce chapitre comment eectuer ce passage d'une intégrale 2D à une intégrale 1D, etnous montrerons qu'ainsi nous pouvons obtenir une formule analytique pour chacune des inté-grales sur le puits, que nous validerons par des tests numériques, mais tout d'abord, nous allonsdiscrétiser la formulation intégrale sur le puits.

4.1 Discrétisation de la formulation intégrale

L'équation intégrale que nous devons discrétiser sur le puits est donc la suivante :12p = S q − H p.

Nous avons choisi comme méthode de discrétisation la méthode de Galerkin. Nous considé-rons la famille (ϕhi )i de fonctions de base éléments nis P1.

Nous faisons l'hypothèse que la pression et le ux sont constants sur une section du puits.Ceci implique que les fonctions de base sont choisies constantes par rapport à l'angle θ considéré,θ ∈ [0, 2π]. Les fonctions de base dépendent alors seulement de la variable axiale l le long dupuits :

ϕhi (l, θ) = ϕhi (l), ∀θ ∈ [0, 2π].

Le puits est donc discrétisé en segments de longueur ∆li tels que :

∆li = li+1 − li, i = 1, . . . , NW avec L =NW−1∑i=1

∆li.

84 Chapitre 4. Approximation laire du puits

Les fonctions de base sont alors dénies comme suit :Pour i = 1 :

ϕhi (l) =

l − li+1

li − li+1si l ∈ [li, li+1],

0 ailleurs.Pour i = 2, . . . , NW − 1 :

ϕhi (l) =

l − li−1

li − li−1si l ∈ [li−1, li],

l − li+1

li − li+1si l ∈ [li, li+1],

0 ailleurs.Pour i = NW :

ϕhi (l) =

l − li−1

li − li−1si l ∈ [li−1, li],

0 ailleurs .Dans notre cas particulier, la pression est connue le long du puits, mais dans le cas général,

la pression, aussi bien que le débit, seront tous les deux inconnus. En vue du cas général, nousécrirons les équations intégrales comme si la pression était inconnue, et nous rajouterons ensuiteNW équations pour compléter le système, écrites sous la forme :

p(li) = pw, i = 1, . . . , NW ,

ou bien :p(l1) = pw, et p(li+1) = p(li), i = 1, . . . , NW − 1.

Les deux inconnues p et q seront désormais notées dans ce chapitre conformément aux nota-tions adoptées dans le chapitre 2, respectivement ϕ et ψ. On exprime les deux inconnues dans labase (ϕhi )i=1,NW

:

ϕ(x) =NW∑j=1

ϕj ϕhj (x),

ψ(x) =NW∑j=1

ψj ϕhj (x).

On reporte ces expressions dans l'équation intégrale, que l'on multiplie ensuite par une fonctionde base ϕhi , et on intègre à nouveau sur Γw. On obtient alors le système discrétisé suivant :

(12Mij +Hij) pj − Sij qj = 0,

avec la convention de sommation d'Einstein, et avec :

Mij =∫

Γw

ϕhi (x)ϕhj (x) dγ(x),

Sij =14π

∫Γw

∫Γw

ϕhi (x)ϕhj (y)

1|x− y|

dγ(y) dγ(x),

Hij =14π

∫Γw

∫Γw

ϕhi (x)ϕhj (y)

∂

∂ny

(1

|x− y|

)dγ(y) dγ(x).

4.2. Méthode d'approximation du puits par une ligne 85

L'intégrale Mij est facile à calculer, mais les intégrales Sij et Hij sont faiblement singulières.Dans la section suivante, nous verrons parmi les principales étapes du calcul, comment s'eectuele passage de l'intégrale sur le cylindre Γw à une intégrale sur une ligne. Ce n'est pas la frontièreΓw qui est approchée par un segment (c'est pourquoi nous notons toujours Γw, et non pas Γhw),mais l'intégrale sur la frontière cylindrique Γw qui est approchée analytiquement. Les calculscomplets de ces trois intégrales gurent en annexe B.

4.2 Méthode d'approximation du puits par une ligne

Le puits de rayon rw et de longueur L va être discrétisé en morceaux cylindriques de rayonrw et de longueur ∆lk = lk+1 − lk, pour k = 1, . . . , NW − 1, tels que ∑NW−1

k=1 ∆lk = L.Nous allons approcher ces morceaux cylindriques par des segments.La principale diculté pour passer d'un cylindre à une ligne est que la normale n'est pas dénieen 1D.La méthode d'approximation repose d'une part sur l'hypothèse que les fonctions de base ϕhi ,i = 1, . . . , NW , sont indépendantes de l'angle θ, θ ∈ [0, 2π], et d'autre part sur l'hypothèsesuivante :

(H1) rw << ∆lk, pour tout k = 1, . . . , NW − 1.

L'hypothèse (H1) est physiquement justiée par l'importante diérence d'échelle entre le rayondu puits rw et la longueur du puits L (on rappelle que le rayon du puits est de l'ordre de quelquescentimètres alors que la longueur du puits se mesure en kilomètres). Cette diérence d'échelle esttellement importante que le rayon rw du puits est aussi négligeable par rapport aux éléments delongueur ∆lk, k = 1, . . . , NW−1, pourvu que la discrétisation le long du puits ne soit pas trop ne.

Nous allons voir comment appliquer l'hypothèse (H1) dans les principales étapes du calcul.La méthode étant exactement la même pour les deux intégrales Sij et Hij , nous l'exposerons iciuniquement pour le calcul de Hij . Le lecteur trouvera en annexe B tous les détails des calculsdes deux intégrales. Nous présentons aussi cette méthode dans [29] et [58].Dans un premier temps, nous nous limitons au cas d'un puits horizontal. Les calculs peuvents'adapter aux puits complexes.

Nous nous proposons donc de calculer :Hij =

14π

∫Γw

∫Γw

ϕhi (x)ϕhj (y)

∂

∂ny

(1

|x− y|

)dγ(y) dγ(x).

On a : ∂

∂ny

(1

|x− y|

)= −ny.(x− y)

|x− y|3.

Après être passés en coordonnées polaires, et après quelques simplications (voir annexe B),l'intégrale Hij s'écrit :

Hij = 2 rw∫ L

0ϕhi (l

′) dl′∫ L

0ϕhj (l) dl

∫ π/2

0

2 r2w sin2θ dθ[4 r2w sin2θ + (l − l′)2

]3/2 .Pour des raisons purement techniques, il est plus aisé d'intégrer tout d'abord par rapport auxvariables l et l′, et ensuite par rapport à θ.


Commençons donc par calculer :IHij (θ) =

∫ L

0ϕhi (l

′) dl′∫ L

0ϕhj (l) dl

2 r2w sin2θ[4 r2w sin2θ + (l − l′)2

]3/2 .Si i < j − 2 ou i > j + 2, cette intégrale ne présente aucune singularité.Nous traiterons tout d'abord le cas où i < j − 2 ou i > j + 2, puis dans un second temps le casoù j − 2 ≤ i ≤ j + 2.

4.2.0.4 1er cas : i < j− 2 ou i > j + 2

Intégration par rapport à l et l′ : On commence par intégrer par rapport à l et l′, et onnote : a2 = 2 r2w sin2θ.D'après l'hypothèse (H1), et comme i < j−2 ou i > j+2, le terme 2 a2 est ici négligeable devant(l − l′)2. On peut donc approcher l'intégrale IHij par :

IHij (a) ≈∫ L

0ϕhi (l

′) dl′∫ L

0ϕhj (l) dl

a2∣∣l − l′∣∣3

=NW−1∑k=1

∫ lk+1

lk

ϕhi (l′) dl′

NW−1∑m=1

∫ lm+1

lm

ϕhj (l) dla2∣∣l − l′∣∣3 .

Comme la matrice Hij est symétrique, on se place par exemple dans le cas où i < j − 2. Cecinous permet de lever la valeur absolue de l − l′.Notre intégrale devient alors :

IHij (a) =∑k∈I

∑m∈J

Iikjm(a) =∑k∈I

∫ lk+1

lk

ϕhi (l′) dl′

∑m∈J

∫ lm+1

lm

ϕhj (l) dla2(

l − l′)3 ,

avec :I =

i− 1, i, si 2 ≤ i ≤ NW − 2,i, si i ∈ 1, NW − 1, , J =

j − 1, j, si 2 ≤ j ≤ NW − 2,j, si j ∈ 1, NW − 1.

Il est facile de voir que chacune des intégrales Iikjm peut se réécrire (au signe près) par unchangement de variables sous la forme :

Iikjm(a) =1

|bik bjm|

∫ bik

0

∫ bjm

0

a2 s s′ ds ds′

(s− s′ + cikjm)3

avec bik = li − (δiklk+1 + δik+1lk) , bjm = lj − (δjmlm+1 + δjm+1lm) ,cikjm = (δjmlm+1 + δjm+1lm)− (δiklk+1 + δik+1lk) ,

et δ la fonction de Kronecker.On remarque que cikjm 6= 0 pour i < j − 2 et i > j + 2, et bik 6= 0, bjm 6= 0.

On obtient alors après calculs :Iikjm(a) =

1|bik bjm|

(a2 cikjm2

ln |bjm + cikjm − bik| − ln |cikjm − bik|

+ ln |cikjm| − ln |bjm + cikjm|− a2 bik bjm

2 (bjm − bik + cikjm)

).

4.2. Méthode d'approximation du puits par une ligne 87

Intégration par rapport à θ : Maintenant il nous reste à intégrer par rapport à θ :∫a2

2=∫ π/2

0r2w sin2(θ) dθ =

[r2w

(θ

2− sin (2 θ)

4

)]π/20

= r2wπ

4.

On obtient nalement, pour i < j − 2 ou i > j + 2, au signe près :

Hij = r2wπ

4

∑k∈I

∑m∈J

1|bik bjm|

cikjm ln

∣∣∣∣ (bjm + cikjm − bik)cikjm(cikjm − bik) (bjm + cikjm)

∣∣∣∣ − bik bjm(bjm − bik + cikjm)

.

4.2.0.5 2ème cas : j− 2 ≤ i ≤ j + 2

Le cas où j − 2 ≤ i ≤ j + 2 est un cas singulier : nous ne pouvons plus négliger le terme2 a2 devant (l − l′), car ici (l − l′) peut être très petit, ou même nul. De la même manière queprécédemment, on peut se placer dans le cas j − 2 ≤ i, et écrire :

IHij (a) =∑k∈I

∑m∈J

Iikjm(a),

où Iikjm(a) =1

|bik bjm|

∫ bik

0

∫ bjm

0

a2 s s′ ds ds′[2 a2 + (s− s′ + cikjm)2

]3/2 .La fonction Iikjm est calculée en annexe A, elle vaut :

Iikjm(a) =1

|bik bjm|(ζ(a) + ζ1(a) + ζ2(a) + ζ3(a) + ζ4(a))

avec :ζ(a) = −f(a, bjm + cikjm)− f(a, cikjm − bik)

+f(a, bjm − bik + cikjm) + f(a, cikjm)ζ1(a) = f1(2 a2 + (bjm − bik + cikjm)2)ζ2(a) = f2(2 a2 + (bjm + cikjm)2)ζ3(a) = f3(2 a2 + (−bik + cikjm)2)ζ4(a) = f4(2 a2 + c2ikjm)

et les fonctions f , f1, f2, f3, et f4 sont dénies dans l'annexe A.

Intégration par rapport à θ Nous devons maintenant intégrer chacun des termes ζ, ζ1, ζ2,ζ3, et ζ4, par rapport à θ.Pour eectuer cette intégration, nous allons utiliser l'hypothèse (H1).On va employer la même méthode pour chacun des termes ζ1, ζ2, ζ3, et ζ4. Le terme ζ sera traitéà part.On peut montrer que chacune des quantités bjm − bik + cikjm, bjm + cikjm, −bik + cikjm, cikjmest soit nulle, soit supérieure en valeur absolue au minimum des ∆k, pour k = 1, . . . , NW .Alors, dans le cas où l'une des quantités est non nulle, on peut négliger le terme 2 a2 = 4 r2wsin2(θ)


devant la quantité concernée, d'après l'hypothèse (H1). Alors chacune des fonctions peut êtreapprochée par :

Si bjm − bik + cikjm 6= 0, ζ1(a) ≈ f1((bjm − bik + cikjm)2) = ζ1(0),si bjm + cikjm 6= 0, ζ2(a) ≈ f2((bjm + cikjm)2) = ζ2(0),si − bik + cikjm 6= 0, ζ3(a) ≈ f3((−bik + cikjm)2) = ζ3(0),si cikjm 6= 0, ζ4(a) ≈ f4(c2ikjm) = ζ4(0).

Maintenant, si l'une des quantités bjm − bik + cikjm, bjm + cikjm, −bik + cikjm, cikjm est nulle,alors il est facile d'intégrer directement par rapport à θ (voir annexe B).Il nous reste à intégrer la fonction ζ par rapport à θ.Pour cela, regardons comment s'écrit la fonction f :

f(a, s) =cikjm

2a2 ln

(s+

√2 a2 + s2

).

Notons que s peut prendre les valeurs bjm − bik + cikjm, bjm + cikjm, −bik + cikjm, ou cikjm.Ici nous devons distinguer trois diérents cas selon le signe de la quantité s : on considère les casoù s > 0, s < 0, et s = 0.

• Si s > 0, nous pouvons négliger 2 a2 dans l'expression(s+

√2 a2 + s2

)d'après (H1), et

donc :f(a, s) ≈

cikjm2

a2 ln (2 s) .

• Si s = 0, on intègre par parties.• Si s < 0, on ne peut pas directement négliger 2 a2 dans l'expression

(s+

√2 a2 + s2

),

alors on multiplie par l'expression conjuguée :

f(a, s) =cikjm

2a2 ln

(2 a2

−s +√

2 a2 + s2

)= 2 f(a, 0)− f(a,−s),

et comme −s est positif, on peut maintenant approcher f(a,−s) de la même manière queprécédemment, et on obtient :

f(a, s) ≈ 2 f(a, 0)−cikjm

2a2 ln (−2 s) .

Conclusion :L'hypothèse (H1) est utilisée de manière diérente selon qu'on se situe dans le cas régulier(i < j − 2 ou i > j + 2), ou dans le cas singulier (j − 2 ≤ i ≤ j + 2). Le cas régulier estévidemment le plus simple : la quantité (l − l′) est toujours assez grande pour que l'on puisseappliquer l'hypothèse (H1) directement et avant toute intégration.Dans le second cas, la quantité (l− l′) peut s'annuler, ce qui ne nous permet pas de négliger toutde suite le rayon rw devant (l − l′). Nous sommes obligés d'intégrer tout d'abord par rapportaux deux variables de longueur l et l′, et c'est ensuite qu'on pourra terme à terme regarder si onpeut appliquer l'hypothèse (H1) ou non.Finalement, grâce à l'hypothèse (H1) et grâce au fait qu'on suppose les fonctions de baseconstantes par rapport à θ, on obtient une approximation analytique de toutes les intégralessur le puits. Ainsi nous pouvons réduire le puits à une ligne.

4.3. Validations pour un puits en milieu inni 89

Cas d'un puits en milieu anisotrope.Dans le cas d'un puits en milieu anisotrope, il faudrait prendre en compte dans tous les calculsfaits précédemment (et en annexe B) le tenseur de perméabilité. Une autre possibilité serait detransformer le milieu anisotrope en milieu isotrope, mais le puits cylindrique deviendrait alorsune ellipsoïde, et tous les calculs seraient à reprendre. J. Besson dans [11], simplie le problèmeen passant eectivement à un milieu isotrope, et en modélisant l'ellipsoïde représentant le puitspar un cylindre de rayon équivalent. Le choix de ce rayon équivalent a été discuté dans la littéra-ture, notamment par Brigham dans [15] : ses conclusions sont valides quelle que soit la géométriedu puits, le rayon équivalent est obtenu comme la moyenne arithmétique entre les longueurs duplus grand et du plus petit axe de la section elliptique. Pour plus de détails, nous renvoyons lelecteur à [11].Dans notre cas, pour traiter les intégrales portant sur le puits en milieu anisotrope, nous appli-querons donc les calculs eectués précédemment à un cylindre en choisissant pour rw non plusle rayon réel du puits, mais son rayon équivalent déni dans [11].

4.3 Validations pour un puits en milieu inni

Dans cette section, nous présentons les résultats numériques obtenus pour le cas d'un puitshorizontal seul en milieu inni. Le puits est choisi de rayon 10.8 cm et de longueur 1000 m. Leréservoir est homogène, isotrope de perméabilité k = 1 mD.Nous imposons une condition de conductivité innie sur le puits, à savoir la pression le long dupuits est supposée constante et égale à 1 bar.Nous résolvons donc le modèle suivant :

∆p = 0 dans CΩ,p = 0 à l'inni,p = 1 sur Γw.

Nous ne disposons pas de solution analytique pour résoudre ce système, alors nous comparonsnos résultats à ceux obtenus par Y. Ding en appliquant la même formulation intégrale mais endiscrétisant par une méthode de collocation.Le puits est discrétisé en NW −1 = 8 segments, et en ranant le maillage à ses extrémités, selonla formule :

li =12

(1− cos

((i− 1)πNW − 1

))L, pour i = 1, . . . , NW . (4.1)

La gure 4.1 montre donc le ux le long de l'axe du puits obtenu avec les deux méthodes.Nous pouvons constater sur ce graphe que les résultats semblent concorder, notre approxi-

mation est donc satisfaisante.Maintenant nous nous proposons de tester la convergence de notre modèle. Nous eectuons doncexactement le même test, mis à part que cette fois-ci, le maillage le long du puits est régulier :le puits est tour à tour discrétisé en 8 segments de même longueur, puis 10, puis 20 et enn 50.Nous pouvons observer sur la gure 4.2 que la méthode converge bien. Les quelques irrégularitésaux extrémités du puits sont dues au fait que la discrétisation du puits est uniforme, si nousranons le maillage aux extrémités du puits par la formule (4.1), nous obtenons des courbesplus régulières comme dans le premier test.

Ces résultats gurent dans [58] et [29].


Fig. 4.1 - : méthode de Galerkin - o : méthode de collocation

Fig. 4.2 + : N=8 - o : N=10 - ∗ : N=20 - × : N=50



Nous avons mis en ÷uvre une approximation laire du puits, et nous avons montré qu'elledonne des résultats numériques tout à fait satisfaisants.La question de l'approximation laire dans le contexte des méthodes intégrales se pose dansde nombreux problèmes physiques, comme en électromagnétisme avec les antennes ou les lsélectriques. L'approximation laire intéresse de nombreux chercheurs, et tout un travail théoriquesur les approximations laires reste à faire, y compris pour notre problème.

93

Chapitre 5

Résultats numériques

Ce chapitre est consacré à tous les tests numériques eectués pour valider la formulationintégrale choisie, et pour montrer la convergence de la méthode. Certains de ces tests ont étépubliés dans [29]. Nous avons déjà validé l'approximation laire du puits, ainsi que la formulationintégrale dans le cas particulier d'un réservoir sans puits. Nous allons ici compléter ces résultatspar des tests numériques pour un réservoir homogène avec un puits, ensuite pour un réservoirstratié sans puits, et enn pour un réservoir stratié avec un puits.

5.1 Réservoir homogène avec un puits

Nous allons dans un premier temps traiter le cas d'un réservoir homogène avec un puits. Nousrappelons la formulation choisie pour traduire le modèle (3.1) :

12q = H ′ q − Dp sur ΓD,

12p = S q − H p sur ΓN ,

12p = S q − H p sur Γw.

5.1.1 Discrétisation des intégrales mixtesEn discrétisant ce système d'équations intégrales par une méthode de Galerkin, on obtient

alors le système discrétisé suivant :

(12Mij − H ′

ij) qj = −Dij pj sur ΓD,

(12Mij + Hij) pj = Sij qj sur ΓN ,

(12Mij + Hij) pj = Sij qj sur Γw,

94 Chapitre 5. Résultats numériques

avec :

Mij =∫

Γh

ζhi (x) ζhj (x) dγh(x),

Sij =14π

∫Γh

∫Γh

ζhi (x) ζhj (y)1

|x− y|dγh(y) dγh(x),

Hij =14π

∫Γh

∫Γh

ζhi (x) ζhj (y)∂

∂ny

(1

|x− y|

)dγh(y) dγh(x),

H ′ij =

14π

∫Γh

∫Γh


∂nx

(1

|x− y|

)dγh(y) dγh(x),

Dij =14π

∫Γh

∂

∂nx

(∫Γh


∂ny

(1

|x− y|

)dγh(y)

)dγh(x),

où ζhi désigne la fonction de base associée au sommet numéro i, c'est-à-dire soit ϕhi si le sommet iappartient au puits, soit ψhi si le sommet i appartient à une frontière extérieure du réservoir (ouà une interface pour le cas plus général d'un réservoir multi-couches). La normale est orientéevers l'extérieur du réservoir, elle est donc orientée en particulier pour le puits vers l'intérieur dupuits.Nous allons décomposer les quantités Mij , Sij , Hij , H ′

ij et Dij en décomposant la frontière Γh.On notera Γhext = ΓhD ∪ ΓhN , les frontières extérieures ΓhD et ΓhN étant de même nature (appro-chées par une triangulation contrairement au puits qui est discrétisé par des segments). Noussoulignons toutefois que ce n'est pas la frontière cylindrique du puits que nous approchons parune ligne, mais nous faisons une approximation analytique de l'intégrale sur le puits cylindriqueen utilisant l'hypothèse (H1), et en supposant la pression et le ux indépendants de θ. C'estpourquoi nous notons toujours Γw, et non pas Γhw.

Pour l'intégrale Mij , il est facile de voir que :

Mij =

∫Γh

ext

ψhi (x)ψhj (x) dγh(x) si les sommets i et j appartiennent

à des frontières extérieures,∫Γw

ϕhi (x)ϕhj (x) dγ(x) si les sommets i et j appartiennent

au puits,0 sinon.

On considère ici que le puits ne rencontre pas les frontières extérieures (ni les interfaces pourle cas d'un réservoir multi-couches), l'intersection des supports des fonctions de base ψhi et ϕhjest donc nulle.On suppose par ailleurs que le puits est susamment éloigné des interfaces et des bords extérieurs.

Le calcul des intégrales puits / puits et bords / bords est le même que précédemment, il ne

5.1. Réservoir homogène avec un puits 95

nous reste donc qu'à calculer les intégrales mixtes puits / bords et bords / puits :

Sij =14π

∫Γw

∫Γh

ext

ϕhi (x)ψhj (y)

(1

|x− y|

)dγh(y) dγ(x),

Hij =14π

∫Γw

∫Γh

ext

ϕhi (x)ψhj (y)

∂

∂ny

(1

|x− y|

)dγh(y) dγ(x),

H ′ij =

14π

∫Γw

∫Γh

ext

ϕhi (x)ψhj (y)

∂

∂nx

(1

|x− y|

)dγh(y) dγ(x),

Dij =14π

∫Γw

ϕhi (x)∂

∂nx

(∫Γh

ext

ψhj (y)∂

∂ny

(1

|x− y|

)dγh(y)

)dγ(x).

Comme nous avons supposé que le puits était susamment éloigné des autres frontières, lesnoyaux respectifs de chacune de ces intégrales ne seront pas singuliers, et en particulier, on peutfaire rentrer le ∂/∂ny à l'intérieur de l'intégrale sur Γhext pour l'intégrale Dij .Nous pouvons donc, sous cette hypothèse, calculer les deux premières intégrales doubles Sij etHij par intégration numérique. Pour le calcul des intégrales H ′

ij et Dij , un calcul numériqueest plus délicat, puisqu'intervient la normale au puits. Le calcul numérique ne sera précis quesi l'on considère susamment de directions de la normale pour chacune des sections du puits.Or cela risque de devenir très coûteux numériquement. Nous calculerons donc ces intégrales parune approximation analytique, toujours en appliquant l'hypothèse (H1) que le rayon du puitsest très petit devant la longueur du puits et la taille du réservoir, et que les fonctions de basesur le puits sont indépendantes de l'angle θ, θ ∈ [0, 2π].L'approximation analytique de ces diverses intégrales est détaillée en annexe C.

Une fois ces calculs faits, nous sommes en mesure de tester un réservoir homogène avec unpuits, et ensuite un réservoir stratié avec un puits.

5.1.2 Tests numériques5.1.2.1 Premier test

Nous considérons ici un réservoir homogène, anisotrope, de dimensions 1500 m × 500 m ×100 m (voir gure 5.1). On place au centre du réservoir un puits de longueur 1000 m et de rayon0.108 m. Le tenseur de perméabilité K est donné par :

K =

100 mD 0 00 100 mD 00 0 10 mD

.

On impose une pression de 200 bar sur chacune des faces x = 0 m et x = 1500 m, et unecondition de Neumann homogène (ux nul) sur les quatre autres faces. Le débit total du puitsest xé à 100 m3/j.

Le puits est discrétisé en 20 segments, et les frontières extérieures en 4400 mailles (30 maillesdans la direction x, 10 mailles dans la direction y, et 20 dans la direction z - voir gure 5.2) .

Les résultats sont comparés avec les résultats obtenus par une méthode semi-analytique,développée par Rémy Basquet ([9]). La gure 5.3 montre la répartition des ux selon le long del'axe du puits.


Fig. 5.1 Réservoir homogène en forme de boîte.

Fig. 5.2 Maillage du réservoir.


Fig. 5.3 Flux le long de l'axe du puits.

Calcul de l'indice de productivité du puits : Le but de ce test numérique est le calcul del'indice de productivité du puits, dont on rappelle la dénition :

IP =Q

p− pw.

Ici, nous trouvons : pw = 199, 1745 bars. L'IP du puits vaut alors :

IP =100

200− 199, 1745= 121, 14m3/j/bar.

Avec la méthode semi-analytique, on obtient un IP de 120,77 m3/j/bar.On obtient donc une erreur de 0,3 % sur l'IP du puits.

5.1.2.2 Second testNous reprenons exactement le même cas que précédemment, mais en changeant la hauteur

du réservoir : on considère maintenant un réservoir de hauteur 300 m et non plus un réservoirde hauteur 100 m.Nous allons maintenant étudier l'inuence du maillage sur les bords extérieurs sur l'IP .La solution semi-analytique est de 180.180 m3/j/bar.

Inuence du maillage des bords extérieurs : Examinons tout d'abord l'inuence dumaillage extérieur sur l'indice de productivité trouvé.Les diérents maillages utilisés sont représentés par les gures 5.4 à 5.7 à la n de la section.

On observe bien la convergence de la méthode lorsque l'on rane le maillage, et on obtientà partir de 2700 mailles, une erreur inférieure à 1%.


Nombre de mailles Figure Nombre de segments IP Erreur (en %)300 5.4 20 184,54 2,41200 5.5 20 182,27 1,22700 5.6 20 181,935 0,912400 5.7 20 181,54 0,7

Tab. 5.1 Inuence du maillage des bords extérieurs sur le calcul de l'IP .

Maillages utilisés : Nous avons construit le maillage de telle sorte que chaque coin soit lesommet d'un seul triangle, et non pas de deux triangles. Ainsi on amoindrit les erreurs bienconnues des méthodes intégrales aux coins.

Fig. 5.4 Maillage 1 : 300 mailles.






5.2 Réservoir stratié sans puits

Avant de valider le cas d'un réservoir stratié avec un puits, nous allons tout d'abord validerle cas d'un réservoir stratié sans puits. Pour cela, nous allons considérer un réservoir bicouche(voir gure 5.8), avec une perméabilité diérente par couche, et nous allons simuler un écoulementlinéaire vertical. Nous imposons une pression de 1 bar sur le mur du réservoir (face z = 0 m), et

Fig. 5.8 Réservoir bicouche sans puits.une pression de 2 bar sur le toit du réservoir (face z = 500 m).Nous observons les résultats sur la face x = 0 m : l'écoulement est bien linéaire par couche (voirgure 5.9). Les gures 5.10 montrent que l'erreur relative reste toujours en dessous de 2%.Ces tests ont été eectués avec un maillage comprenant 550 mailles (représenté par la gure

5.2. Réservoir stratié sans puits 101

Fig. 5.9 Ecoulement sur la face x = 0 m.

5.11(b)), ce qui nous donne une erreur relative en norme L2 de 0,61%. Avec un maillage plusgrossier (198 mailles - voir gure 5.11(a)), nous obtenons une erreur relative en norme L2 de1,38%.


(a) Vue en 3D

(b) Vue plane

Fig. 5.10 Erreur relative (en %).

5.2. Réservoir stratié sans puits 103

(a) Maillage 1 : 198 mailles.

(b) Maillage 2 : 550 mailles.

Fig. 5.11 Maillages utilisés.


5.3 Réservoir stratié avec un puits

Maintenant que nous savons traiter un réservoir stratié sans puits, et un réservoir homogèneavec un puits, il ne nous reste plus qu'à traiter un réservoir stratié avec un puits.Dans un premier temps, nous allons considérer un réservoir homogène auquel nous allons ajouterdes couches articielles. Ainsi nous pourrons comparer la précision des résultats suivant si l'onconsidère le réservoir comme étant homogène, ou multi-couches.Ensuite, nous eectuerons des tests pour un réservoir stratié avec des perméabilités diérentespar couche.

5.3.1 Comparaison avec un réservoir homogèneNous reprenons le second cas test du paragraphe 5.1.2. Introduisons des couches articielles,

horizontales, d'équations z = 100 m, et z = 200 m, comme sur la gure 5.12.

Fig. 5.12 Réservoir homogène considéré comme un réservoir comprenant trois couches.Le réservoir homogène est maillé par 2700 triangles, soit 15 dans la direction x, 5 dans la

direction y, et 30 dans la direction z. Pour le réservoir stratié, le maillage est le même : lesinterfaces z = 100 m et z = 200 m sont maillées exactement de la même façon que les facesz = 0 m et z = 300 m ; on obtient ainsi 3000 triangles. Si nous traçons les courbes représentantla répartition des ux obtenues dans un réservoir homogène et dans un réservoir stratié, ellessont confondues (voir gure 5.13).On peut donc remarquer que les couches articielles dans un réservoir homogène n'altèrent pasla précision des résultats.Maintenant regardons ce qu'il en est pour l'IP dans le tableau 5.2.

Nombre de mailles Nombre de segments IP Erreur (en %)800 20 183,98 2,13000 20 181,81 0,97200 20 181,52 0,7416400 20 181,46 0,71Tab. 5.2 Inuence du maillage sur le calcul de l'IP .

On remarque tout d'abord que pour 3000 mailles, on obtient la même erreur relative que pourle cas homogène avec 2700 mailles. Cela signie que le fait d'ajouter deux interfaces articiellesne modie pas la précision du résultat. Seule la taille des mailles inue, et l'on peut voir à traversle tableau que plus le nombre de mailles augmente, plus l'erreur sur l'IP diminue.

5.3. Réservoir stratié avec un puits 105

Fig. 5.13 Flux le long de l'axe du puits.

5.3.2 Réservoir avec pendageDans cette section, nous nous intéressons à un réservoir comprenant trois couches, et dont

les interfaces ne sont pas horizontales (voir gure 5.14).

Fig. 5.14 Réservoir avec pendage.Les dimensions du réservoir sont 1500 m × 500 m × 300 m, et les tenseurs de perméabilité

sont donnés par : K1 : k1,1 = k1,2 = 50 mD, k1,3 = 5 mD, K2 : k2,1 = k2,2 = 100 mD, k2,3 = 10 mD, K3 : k3,1 = k3,2 = 1000 mD, k3,3 = 100 mD.Un puits est placé au centre du réservoir, de longueur 1000 m et de rayon 0.108 m. Le puits

est discrétisé en 20 segments, avec un ranage aux extrémités du puits. Un débit de 100 m3/j


est imposé pour le puits. Les maillages du réservoir ont été construits de la même manière quepour les tests précédents.Par ailleurs, on suppose la pression pD = 200 bar sur les faces x = 0 m, et x = 1500 m. Sur lesautres faces, une condition de ux nul est appliquée.Pour ce cas-test, nous n'avons aucune solution de référence, car les codes dont nous disposonsjusqu'à présent ne peuvent traiter le pendage des couches. Alors nous avons eectué un test deconvergence, tout d'abord pour la répartition des débits le long du puits, sur la gure 5.15.

Fig. 5.15 Flux le long de l'axe du puits.Nous pouvons constater qu'avec un maillage de 800 mailles, ou bien un maillage de 3000

mailles, les courbes donnant la répartition des ux sont quasiment confondues.D'autre part, pour l'IP , le premier test avec 800 mailles nous donne un IP de 219,71 m3/j/bar,et le deuxième un IP de 218,67 m3/j/bar.Ces résultats, très similaires, démontrent l'ecacité de notre méthode pour le cas d'un réservoirstratié avec une géométrie quelconque.

5.3.3 Réservoir parallélépipédique avec pendageNous considérons ici un réservoir parallélépipédique avec pendage, comprenant trois couches

de hauteur 30 m, et de dimensions 1500 m × 500 m × 90 m (voir gure 5.16).Les tenseurs de perméabilité sont donnés par :

K1 : k1,1 = k1,2 = 50 mD, k1,3 = 5 mD, K2 : k2,1 = k2,2 = 100 mD, k2,3 = 10 mD, K3 : k3,1 = k3,2 = 1000 mD, k3,3 = 100 mD.Ici la méthode semi-analytique ne peut pas s'appliquer : cette méthode est limitée à des ré-

servoirs en forme de boîte. Alors nous utilisons pour la validation un code de volumes nis de

5.3. Réservoir stratié avec un puits 107

Fig. 5.16 Réservoir parallélipédique avec pendage.

l'Institut Français du Pétrole, qui nous donne pour ce cas-là un IP de 200,5 m3/j/bar.Le tableau suivant montre les résultats obtenus en ranant le maillage :

Nombre de mailles Nombre de segments Figure IP Erreur (en %)800 20 5.17 205,93 2,713000 20 5.18 201,40 0,457200 20 5.19 201,23 0,36

Tab. 5.3 Inuence du maillage sur le calcul de l'IP .

En général, il est dicile de modéliser les puits, surtout les puits complexes, par la méthodede volumes nis. La diculté provient du fait que le maillage de volumes nis ne suit pas toujoursla trajectoire du puits et il faut un traitement particulier pour modéliser l'écoulement singulierau voisinage du puits. Dans cet exemple, le puits est parallèle aux axes principaux de maillagedu réservoir parallélépipédique. Par ailleurs, un traitement particulier basé sur une approcheintégrale dans un milieu inni, est considéré pour la modélisation d'écoulement singulier auvoisinage du puits dans le code volumes nis de l'IFP. Pour ces raisons, la méthode de volumesnis donne une bonne précision pour cet exemple, ce qui n'est pas le cas en général.

Ce code de volumes nis nous sert uniquement pour valider la précision de notre méthodeintégrale. Les temps de calcul ne sont pas comparés. En eet, le code de l'IFP est un code indus-triel optimisé, contrairement au nôtre qui est à l'état académique. Les conditions de comparaisondes performances ne sont pas remplies.

Les diérents maillages sont représentés par les gures ci-après :







Nous avons montré dans ce chapitre que notre méthode intégrale permet de calculer l'IPdu puits à 1% près, pour des réservoirs parallélépipédiques avec ou sans pendage, multicouches,anisotropes, et exploités par des puits rectilignes (horizontaux ou déviés).

Il est bien connu que la méthode des équations intégrales permet de réduire la taille desmatrices, mais leur donne en contre-partie une structure pleine. De plus, il faut compter lecoût de calcul des coecients. A l'état actuel, notre code n'est pas optimisé, ni sur le planpurement informatique, ni sur le plan de la méthodologie pour les calculs des intégrales (pour cedernier point, on peut signaler la méthode multipôles [23] qui permettrait sans doute une sensibleamélioration du temps de calcul). Nous n'avons donc pas d'élément comptable pour pousser plusloin la comparaison avec d'autres méthodes.

111

Chapitre 6

Régime transitoire

Ce chapitre est consacré à l'étude de l'existence et de l'unicité d'une solution au modèled'écoulement transitoire. Le modèle en temps sera traité par une transformation de Laplace.Nous motiverons ce choix dans le paragraphe 6.4, consacré à une étude bibliographique desdiérentes méthodes intégrales pour traiter l'équation de diusion.Après cette transformation, nous obtenons à la place de l'équation de diusion un systèmed'équations de Helmholtz avec des fréquences complexes. Nous présentons dans le paragraphe6.1 l'écriture du modèle obtenu avec transormation des conditions aux limites. Dans le secondparagraphe, nous donnons les démonstrations d'existence et d'unicité d'une solution pour leproblème linéaire (conductivité innie). Le modèle non-linéaire n'a pas été traité, néanmoinsnous présentons dans le paragraphe 6.3 son écriture sous forme d'un problème de point xe.

6.1 Écriture du modèle après transformation de Laplace

Pour simplier, nous travaillerons dans un milieu homogène, isotrope, et nous xerons toutesles constantes physiques (perméabilité, porosité, viscosité, et coecient de compressibilité) à 1.Rappelons le modèle transitoire dans le cas le plus général de la conductivité nie :

∆p(x, t) =∂p(x, t)∂t

pour x ∈ Ω, t ∈ [0, T ],

p(x, 0) = p0(x) pour x ∈ Ω,p = pD sur ΓD × [0, T ],∂p

∂n= 0 sur ΓN × [0, T ],


∂l= Cw q

2w(l, t), t ∈ [0, T ],

qw(l, t) =k

µ

∫Γw,l

∂p(x, t)∂n

dγ(x), t ∈ [0, T ],

Q(t) =k

µ

∫Γw

∂p(x, t)∂n

dγ(x), t ∈ [0, T ].

(6.1)

Gardons à l'esprit que le modèle linéaire s'écrit de la même façon, avec Cw = 0.

Commençons par rappeler la dénition de la transformée de Laplace.

112 Chapitre 6. Régime transitoire

La transformée de Laplace d'une fonction v, L[v], si elle existe, est dénie par :

v(x, s) := L[v](x, s) =∫ +∞

0e−st v(x, t) dt s ∈ C. (6.2)

Désormais, nous désignerons la transformée de Laplace d'une fonction v par v.Dans le problème initial, la pression p n'est dénie que jusqu'à un certain temps T > 0, on

la prolonge alors par 0 pour t > T , an de pouvoir dénir sa transformée de Laplace.D'autre part, on sait que la transformée de Laplace n'est dénie que dans un demi-plan de

C : il existe une constante α ∈ R telle que p(x, s) est dénie pour s ∈ C avec <e(s) > α. Onpeut supposer α > 0.

Si l'on applique la transformée de Laplace à l'équation de diusion, on obtient alors unsystème d'équations de Helmholtz, pour s ∈ C tel que <e(s) > α :

∆p(x, s)− sp(x, s) = 0 pour x ∈ Ω. (6.3)• Modèle linéaire :

Le modèle linéaire s'écrit donc dans l'espace de Laplace comme un système de modèles de Helm-holtz, pour un ensemble de s ∈ C tels que <e(s) > α :

∆p(x, s)− sp(x, s) = 0 pour x ∈ Ω,p(x, s) = pD(x, s) pour x ∈ ΓD,∂p(x, s)∂n


p(x, s) = pw(s) sur Γw,

Q(s) =∫

Γw

∂p(x, s)∂n

dγ(x).

(6.4)

•Modèle non-linéaire :De la même manière, le modèle non-linéaire s'écrit dans l'espace de Laplace comme un systèmede modèles de Helmholtz, pour un ensemble de s ∈ C tels que <e(s) > α :



p(x, s) = pw(l, s) pour x ∈ Γw, x = (l, θ), l ∈ [0, L], θ ∈ [0, 2π],pw(0, s) = pwf (s),∂pw(l, s)

∂l= Cw qw(l, .)∗s qw(l, .) sur [0, L],

qw(l, s) =∫

Γw,l

∂p(x, s)∂n

dγ(x), sur [0, L],

Q(s) =∫

Γw

∂p(x, s)∂n

dγ(x).

(6.5)

On suppose que le domaine Ω vérie toutes les hypothèses de régularité nécessaires, à savoirΩ est borné, de frontière Γ régulière, Ω étant localement d'un seul côté de Γ.Dans ce chapitre, tous les espaces fonctionnels seront à valeurs dans C.


6.2 Problème linéaire (conductivité innie)

On considère ici le modèle (6.4) pour s xé. Les démonstrations reposent sur les mêmesraisonnements que pour le problème de régime permanent. On considère tout d'abord le cas oùpwf est donnée, et Q inconnu, puis le cas où Q est donné, et où on cherche pwf .

6.2.1 Cas où pwf est donnée, et Q inconnuEtudions tout d'abord le cas le plus simple où la pression pwf est donnée et où on cherche le

débit total Q.La pression pwf étant donnée, on connaît sa transformée de Laplace pwf pour tout s convenable.Considérons le modèle sans la condition sur Q :



p(l, θ, s) = pw(s) sur Γw.

(6.6)

Le nombre complexe s étant xé, pwf (s) est une constante. Nous pouvons donc procéder auchangement de variable : u = p− pwf . Le modèle s'écrit alors :

∆u(x, s)− su(x, s) = s pwf (s) pour x ∈ Ω,u(x, s) = pD(x, s)− pwf (s) pour x ∈ ΓD,∂u(x, s)∂n


u(l, θ, s) = 0 sur Γw.

(6.7)

Existence : On utilise le théorème de relèvement :si pD(., s) ∈ H1/2(ΓD), alors il existe un relèvement (non unique) r(., s) ∈ H1(∆,Ω) (où l'espaceH1(∆,Ω) a été déni par (2.5), mais est cette fois à valeurs complexes), et η > 0, tels que :

r(x, s) =pD(x, s)− pwf (s) sur ΓD0 sur Γw

et ‖r(., s)‖H1(∆,Ω) ≤ C ‖pD(., s)− pwf (., s)‖H1/2(ΓD) .

On procède alors au changement de variables : U = u− r, et on obtient le modèle suivant :∆U(x, s)− s U(x, s) = −∆r(x, s) + s r(x, s) pour x ∈ Ω,U(x, s) = 0 pour x ∈ ΓD,∂U(x, s)∂n

= −∂r(x, s)∂n

pour x ∈ ΓN ,

U(x, s) = 0 sur Γw.

(6.8)

On se place dans l'espace V :V = v ∈ H1(Ω), v/ΓD

= 0, v/Γw = 0,

muni du produit scalaire usuel dans H1(Ω) (complexe) :

(u, v)H1(Ω) =∫

Ωu(x) v(x) dx+

∫Ω∇u(x)∇v(x) dx. (6.9)


V est un sous-espace vectoriel fermé de l'espace de Hilbert H1(Ω), c'est donc un Hilbert.La formulation variationnelle du modèle (6.8) s'écrit :

a(U , v) = L(v) pour tout v ∈ V,où :

a(U , v) =∫

Ω∇U(x, s)∇v(x) dx+ s

∫ΩU(x, s)v(x) dx,

L(v) = −∫

Ω∇r(x, s)∇v(x) dx− s

∫Ωr(x, s)v(x) dx−

∫ΓN

∂r(x, s)∂n

v(x) dγ(x).

Il nous faut maintenant montrer que la forme sesquilinéaire a(., .) est continue dans V × V ,et coercive dans V , puis que la forme antilinéaire L est continue dans V .

- La forme sesquilinéaire a(., .) est continue dans V × V :pour tout (u, v) ∈ V × V , on a :

|a(u, v)| ≤ max(1, |s|) ‖u‖H1(Ω) ‖v‖H1(Ω).

- a(., .) est coercive sur V : on veut montrer qu'il existe une constante C > 0, telle que, pourtout v ∈ V , l'on ait :

|a(v, v)| ≥ C ‖v‖2H1(Ω).

6.2.1.1 Cas où =m(s) 6= 0

Par l'absurde, on suppose que :

∀n ∈ N∗,∃vn ∈ V, |a(vn, vn)| <1n‖vn‖2

H1(Ω). (6.10)On peut choisir vn telle que ‖vn‖H1(Ω) = 1. La suite (vn)n∈N∗ étant bornée dans l'espace deHilbert V , on peut en extraire une sous-suite, encore notée (vn), telle que :

vn v faible dans H1(Ω),

et, comme Ω est borné, l'injection de H1(Ω) dans L2(Ω) est compacte, donc cette même suiteconverge fortement dans L2(Ω), i.e. :

vn −→ v fort dans L2(Ω).

D'autre part, on a, d'après (6.10) :|a(vn, vn)| −→ 0, quand n −→ +∞, (6.11)

or :|a(v, v)| ≥ 1

2(|<e a(v, v)|+ |=m a(v, v)|) pour tout v ∈ V,

d'où :<e a(vn, vn) −→ 0, (6.12)


=m a(vn, vn) −→ 0, (6.13)avec :

<e a(vn, vn) =∫

Ω|∇vn(x)|2 dx+ <e(s)

∫Ω|vn(x)|2 dx (6.14)

=m a(vn, vn) = =m(s)∫

Ω|vn(x)|2 dx. (6.15)

On déduit alors de (6.13) et (6.15) que :‖vn‖L2(Ω) −→ 0,

puisqu'on a supposé que =m(s) 6= 0.Il s'ensuit, d'après (6.12) et (6.14), que :

‖∇vn‖L2(Ω) −→ 0

et nalement, ‖vn‖H1(Ω) −→ 0, donc vn −→ 0 fort dans H1(Ω), ce qui implique que v = 0.Mais d'autre part, l'hypothèse ‖vn‖H1(Ω) = 1 entraîne que ‖v‖H1(Ω) = 1, ce qui est contradictoireavec v = 0.

6.2.1.2 Cas où =m(s) = 0

Le cas où =m(s) = 0 correspond en fait au cas où s ∈ R+,∗, puisqu'on a supposé que<e(s) > 0. La coercivité de a(., .) est alors immédiate : on a, pour tout v dans V :

a(v, v) =∫

Ω|∇v(x)|2 dx+ s

∫Ω|v(x)|2 dx avec s > 0

≥ min(1, s)‖v‖2H1(Ω).

La forme sesquilinéaire a(., .) est donc continue et coercive sur V × V .• Montrons maintenant que L est une forme antilinéaire continue sur V :

L(v) = −∫

Ω∇r(x, s)∇v(x) dx− s

∫Ωr(x, s)v(x) dx−

∫ΓN

∂r(x, s)∂n

v(x) dγ(x), pour v ∈ V.

L'antilinéarité de L est évidente, reste à montrer la continuité. Pour tout v ∈ V , on a :|L(v)| ≤ |mes(Ω)|1/2 ‖∇r‖L2(Ω) ‖∇v‖L2(Ω) + |s| |mes(Ω)|1/2 ‖r‖L2(Ω) ‖v‖L2(Ω)

+ ‖∂r(x, s)∂n

‖L2(ΓN ) ‖v‖L2(ΓN )

≤(1 + (1 + |s|) |mes(Ω)|1/2

)‖r‖H1(∆,Ω)‖v‖H1(Ω)

≤ C(1 + (1 + |s|) |mes(Ω)|1/2

)‖pD − pwf‖H1/2(ΓD) ‖v‖H1(Ω)

Conclusion : Le théorème de Lax-Milgram nous donne alors l'existence et l'unicité d'unesolution U dans V au modèle (6.8) pour r xé, donc l'existence d'une solution u au modèle (6.7),


sous l'hypothèse que pD ∈ H1/2(ΓD). Reste à montrer l'unicité de la solution u.Unicité : Soient u1 et u2 deux solutions du modèle, on note u leur diérence : u = u1 − u2.

Il sut alors de montrer que le modèle suivant :∆u(x, s)− su(x, s) = 0 pour x ∈ Ω,u(x, s) = 0 pour x ∈ ΓD,∂u(x, s)∂n


u(x, s) = 0 sur Γw,

admet comme unique solution la solution nulle, ce qui est évident.Ceci clôt la démonstration d'existence et d'unicité d'une solution U dans H1(Ω) au modèle

(6.8), et donc d'une solution p dans H1(Ω) au modèle (6.6), pourvu que pD ∈ H1/2(ΓD).

6.2.2 Cas où pwf est inconnue, et où Q est imposéNous allons maintenant considérer deux cas diérents selon que la pression pD imposée sur

ΓD est constante ou non.

6.2.2.1 1er cas : pD constante.On fait le changement de variables u = p−pD pour avoir une condition de Dirichlet homogène.

Le modèle se réécrit alors, pour s convenable :

∆u− su = s pD dans Ω,u = 0 sur ΓD,∂u

∂n= 0 sur ΓN ,

u = cte (= ˜pwf − pD), sur Γw,

Q(s) =∫

Γw

∂u(x, s)∂n

dγ(x).

(6.16)


= 0, v/Γw = cte où cte est une constante inconnue.On munit V du produit scalaire usuel dans H1(Ω) :

(u, v)H1(Ω) =∫

Ωu(x) v(x) dx+

∫Ω∇u(x)∇v(x) dx. (6.17)

V est un sous-espace vectoriel fermé de l'espace de Hilbert H1(Ω), c'est donc un Hilbert.La formulation variationnelle du problème ci-dessus s'écrit :

a(u, v) = L(v), pour tout v ∈ V, (6.18)avec :

a(u, v) =∫

Ω∇u(x)∇v(x) dx+ s

∫Ωu(x) v(x) dx, u, v ∈ V,

L(v) = −s pD∫

Ωv(x) dx+ Q v/Γw , v ∈ V.


On va montrer par le théorème de Lax-Milgram que ce problème admet une unique solution.• Nous avons déjà vu dans le paragraphe précédent que la forme sesquilinéaire a(., .) est

continue sur V × V et coercive sur V .• Montrons maintenant que la forme antilinéaire L est continue sur V :

L(v) = s pD

∫Ωv(x) dx+ Q v/Γw pour v ∈ V.

Pour tout v ∈ V , on a :|L(v)| ≤ |s| |pD| |mes(Ω)|1/2 ‖v‖L2(Ω) + |Q| |v/Γw |

≤ |s| |pD| |mes(Ω)|1/2 ‖v‖L2(Ω) + |Q| ‖v‖L2(Ω)

≤(|s| |pD| |mes(Ω)|1/2 + |Q|

)‖v‖H1(Ω).

Conclusion : La formulation variationnelle (6.18) admet une solution unique u dans l'espaceV , et s'interprète comme le problème aux limites :

∆u− su = s pD dans Ω,u = 0 sur ΓD,∂u

∂n= 0 sur ΓN ,

u = cte inconnue sur Γw,

Q(s) =∫

Γw

∂u(x, s)∂n

dγ(x),

u ∈ H1(Ω).

On a donc montré l'existence et l'unicité d'une solution u dans H1(Ω) au modèle (6.16), cequi entraîne l'existence et l'unicité d'une solution p au modèle (6.4), si pD est constante (i.e. sipD est constante).

6.2.2.2 2ème cas : pD n'est pas constanteTout comme pour le problème d'écoulement permanent dans le chapitre 2, si pD n'est plus

constante, nous pouvons montrer l'existence et l'unicité d'une solution au modèle (6.5), soit parun théorème de relèvement, soit par principe de superposition. Le principe de superposition au-rait aussi bien pu être appliqué pour les démonstrations précédentes, et nous sera utile pourdémontrer l'existence et l'unicité d'une solution au modèle non-linéaire. Nous nous proposonsdonc de l'introduire ici.

La démonstration par principe de superposition sera analogue à celle eectuée pour le mo-dèle d'écoulement permanent dans le cas où pD n'est pas constante. La solution p du modèle(6.4) dépendant linéairement de la constante pwf , on découpe le modèle (6.6) par linéarité endeux morceaux, pour montrer l'existence et l'unicité d'une solution à ces deux modèles, puis ondétermine la constante pwf de manière unique pour satisfaire la condition sur le débit total Q.


On décompose par linéarité le modèle (6.6) (qui n'est autre que le modèle (6.5) sans lacondition sur le débit total Q), en deux modèles de la manière suivante :

∆F1(x, s)− s F1(x, s) = 0 pour x ∈ Ω,F1(x, s) = pD(x, s) pour x ∈ ΓD,∂F1(x, s)

∂n= 0 pour x ∈ ΓN ,

F1(x, s) = 0 sur Γw.

∆F2(x, s)− s F2(x, s) = 0 pour x ∈ Ω,F2(x, s) = 0 pour x ∈ ΓD,∂F2(x, s)

∂n= 0 pour x ∈ ΓN ,

F2(x, s) = 1 sur Γw.

Il est évident qu'alors : p = F1 + pwf F2.

On peut facilement démontrer en suivant la même démarche que pour le modèle (6.7) queles deux modèles ci-dessus admettent une solution unique F1 et F2 dans H1(Ω). Pour obtenirl'existence et l'unicité de p, il nous reste à déterminer pwf de façon à satisfaire la condition dedébit total imposé :

Q(s) =∫

Γw

∂p(x, s)∂n

dγ(x).

On obtient alors :

pwf =Q(s)−

∫Γw

∂F1(x, s)∂n

dγ(x)∫Γw

∂F2(x, s)∂n

dγ(x), (6.19)

sous réserve que l'intégrale :I2 =

∫Γw

∂F2(x, s)∂n

dγ(x)

soit non nulle.La non-nullité de l'intégrale I2 s'obtient par une démonstration analogue à celle de la non-nullitéde l'intégrale I2 dans le chapitre précédent, en travaillant dans le nouvel espace V = H1(Ω).

6.2.3 ConclusionNous avons réussi à étendre les résultats d'existence et d'unicité du cas permanent au cas

transitoire. De plus, il est évident que la solution dépend continûment des données, le modèlelinéaire en régime transitoire est donc bien posé dans l'espace de Laplace. Nous aurions pu aussiappliquer les mêmes démonstrations directement dans l'espace en temps. Il nous reste maintenantà étudier le cas transitoire avec la condition de conductivité nie.


6.3 Problème non-linéaire (conductivité nie)

Nous considérons le modèle (6.5) dans l'espace de Laplace :

∆p(x, s)− sp(x, s) = 0 pour x ∈ Ωp(x, s) = pD(x, s) pour x ∈ ΓD∂p(x, s)∂n

= 0 pour x ∈ ΓNp(x, s) = pw(l, s) pour x ∈ Γw, x = (l, θ), l ∈ [0, L], θ ∈ [0, 2π],pw(0, s) = pwf (s),∂pw(l, s)

∂l= Cw qw(l, .) ∗s qw(l, .) sur Γw

qw(l, s) =∫

Γw,l

∂p(x, s)∂n

dγ(x), sur Γw

Q(s) =∫

Γw

∂p(x, s)∂n

dγ(x).

L'étude de l'existence et de l'unicité d'une solution à ce modèle n'a pas encore été traitée,mais nous pensons que nous pouvons l'obtenir par une méthode analogue que pour le cas per-manent, par le théorème de Schauder.La diculté supplémentaire est l'apparition d'un produit de convolution dans l'équation de pertede charge.

6.3.1 Écriture du problème de point xeNous allons poser le problème de point xe dans le cas où la pression au bout du puits pwf

est donnée. Cela correspond donc au cas où on cherche le débit total Q.

L'équation de perte de charge peut s'écrire :pw(l, s) = pwf (s) + g(l, s),

g(l, s) = Cw

∫ l

0

(qw(t, .) ∗

sqw(t, .)

)dt,

(6.20)

avec pwf (s) = pw(0, s) indépendante de θ.Le modèle devient alors :



p(x, s) = pw(l, s) pour x ∈ Γw, x = (l, θ), l ∈ [0, L], θ ∈ [0, 2π],pw(0, s) = pwf (s),pw(l, s) = pwf (s) + g(l, s) sur Γw,

g(l, s) = Cw

∫ l

0

(qw(t, .) ∗

sqw(t, .)

)dt sur Γw.

(6.21)De la même manière que pour le problème linéaire (et que pour le problème d'écoulement


permanent non-linéaire), on peut décomposer ce modèle en trois morceaux :

(II ′)

Trouver F1 tel que :∆F1 − sF1 = 0 dans Ω,F1 = pD sur ΓD,∂F1/∂n = 0 sur ΓN ,F1(x, s) = 0 sur Γw.

(6.22)

Posons : h1 =∂F1

∂n |Γw

.

(II ′′)

Trouver F2 tel que :∆F2 = 0 dans Ω,F2 = 0 sur ΓD,∂F2/∂n = 0 sur ΓN ,F2(x, s) = pwf (s) sur Γw.

(6.23)

Posons : h2 =∂F2(s)∂n |Γw

.

(III ′′)

Trouver F3 tel que :∆F3 = 0 dans Ω,F3 = 0 sur ΓD,∂F3/∂n = 0 sur ΓN ,F3(l, θ, s) = g(l, s) sur Γw.

(6.24)

Posons : h3(l, θ, s) =∂F3(s)∂n |Γw

. Nous introduisons l'opérateur Υ déni par :

Υg =∂F3

∂n |Γw

. (6.25)

Cette notation peut aussi s'appliquer pour le modèle (II ′′) :

Υpwf =∂F2

∂n |Γw

.

Comme les frontières ΓD ∪ ΓN et Γw sont disjointes, on peut montrer de manière classique quel'opérateur Υ est d'ordre 1.

Pour le modèle (II ′), l'opérateur est diérent, nous le noterons Υ1 :

Υ1pD =∂F1

∂n |Γw

. (6.26)Les frontières Γw et ΓD étant disjointes, et F1 étant nul sur Γw, l'opérateur Υ1 est aussi régulierque le permet la géométrie du puits.

Posons :Υg(l, s) = rw

∫ 2π

0(Υg)(l, θ, s) dθ,

Υ1pD(l, s) = rw

∫ 2π

0(Υ1pD)(l, θ, s) dθ.


Nous avons comme pour le modèle linéaire :p = F1 + F2 + F3, d'où ∂p

∂n |Γw

= h1 + h2 + h3 et Q = Q1 +Q2 +Q3(g),

avec :Q1 =

k

µ

∫Γw

∂F1(x)∂n

dγ(x) =k

µ

∫Γw

Υ1pD(x) dγ(x),

Q2 =k

µ

∫Γw

∂F2(x)∂n

dγ(x) =k

µ

∫Γw

Υpwf (x) dγ(x),

Q3(g) =k

µ

∫Γw

∂F3(x)∂n

dγ(x) =k

µ

∫Γw

Υg(x) dγ(x).

Il en découle de même que :

qw(t, s) = q1(t, s) + q2(t, s)︸︷︷︸q0(t,s)

+∫ t

0Υg(t′, s) dt′.

avecq1(t, s) =

∫ t

0Υ1pD(t′, s) dt′,

q2(t, s) =∫ t

0Υpwf (t′, s) dt′.

Ainsi, g est solution de l'équation non linéaire :

g(l, s) = Cw

∫ l

0F (g)(t, s) dt = (Ug)(l)

F (g)(t, s) =(q0(t, .) +

∫ t

0Υg(t′, .) dt′

)∗s

(q0(t, .) +

∫ t

0Υg(t′, .) dt′

) (6.27)

Nous espérons pouvoir obtenir à partir de cette équation non-linéaire, le même genre d'esti-mations que pour le problème non-linéaire dans le cas de l'écoulement permanent. Les estima-tions restent à écrire, la principale diculté provient des estimations des produits de convolution.

6.3.2 ConclusionUne généralisation possible du théorème 9 page 49 démontré dans le cas du régime perma-

nent est d'essayer d'appliquer le théorème de Schauder pour démontrer l'existence et si possiblel'unicité d'une solution au modèle (6.21), en utilisant une démarche similaire à celle adoptée dansle cas de l'écoulement permanent.

Nous clôturons ici la partie théorique pour le problème transitoire. La dernière section dece chapitre sera consacrée à une revue bibliographique des diérentes méthodes intégrales pourrésoudre l'équation de diusion, y compris bien sûr la transformation de Laplace. Ainsi nous justi-erons dans cette section les raisons qui nous ont conduits à choisir la méthode de la transforméede Laplace.


6.4 Des méthodes intégrales pour résoudre l'équation de diu-sion : une bibliographie

Ce chapitre a pour but de passer en revue les méthodes intégrales existantes pouvant s'appli-quer à notre type de problème. Pour simplier, ces méthodes seront présentées dans le cadre d'unmilieu homogène et isotrope. On s'intéresse donc à la résolution de l'équation de diusion pardiérentes méthodes intégrales, avec des conditions aux limites de type Dirichlet ou Neumann :

1k

∂u

∂t= ∆u dans Ω× [0, T ]. (6.28)

6.4.1 Formulations intégrales classiques du problèmeOn utilise classiquement la méthode des solutions fondamentales pour résoudre l'équation

de diusion. On peut utiliser ou bien la solution fondamentale de l'équation de Laplace, indé-pendante du temps, ou bien la solution fondamentale de l'équation de diusion, qui dépend dutemps. On présentera ici la deuxième approche, qui est la plus utilisée dans le milieu pétrolier.Dénition 15 On appelle solution fondamentale de l'équation de la chaleur, ou encore fonctionde Green, la solution notée G obtenue pour un terme source unitaire, soit une masse de Dirac,sans imposer de condition aux limites ni de condition initiale :

∂G(x− y, t− τ)∂t

−∆G(x− y, t− τ) = δ(x− y)δ(t− τ). (6.29)L'expression de G est alors donnée en dimension d par :

G(x− y, t− τ) =1√

4π(t− τ)dexp(− |x− y|2

4(t− τ)), t > τ.

On rencontre deux diérents types de formulation : le premier, qui est le plus utilisé dans lalittérature (cf Kikani et Horne [46], Koh et Tiab [47], Brebbia et al., Partridge [71], Nowak [66],Pasquetti et al. [72], Pecher et Stanislav [73]), est obtenu en intégrant l'équation de diusion(6.28) après l'avoir multipliée par la solution fondamentale de l'équation de diusion G, puis enappliquant deux fois le théorème de divergence de Green, et enn en intégrant en temps :

c(x)u(x, t) = −∫ t

0

∫Γ

(∂u(y, τ)∂n

G(x− y, t− τ)− u(y, τ)∂G(x− y, t− τ)

∂n

)dγ(y) dτ

+1k

∫Ωu0(y) G(x− y, t) dy. (6.30)

avec n la normale extérieure à la frontière.Rappelons que le coecient c(x) dépend de la géométrie du domaine considéré et de l'apparte-nance de x à la frontière Γ ou non (voir Pecher et Stanislav [73]) :

c(x) =θ(x)4π

, avec θ(x) =

4π si x ∈ Ω,2π si x ∈ Γ et Γ régulière au point x,θ sinon,

où θ représente l'angle solide sous lequel x voit la frontière Γ. Si la condition initiale est nulle,l'intégrale sur le domaine ne pose aucun problème, puisqu'elle s'annule. Dans le cas où u0 est

6.4. Des méthodes intégrales pour résoudre l'équation de diusion : unebibliographie 123constante, il sut de faire un changement d'inconnue en posant u = u − u0 pour se ramener àune condition initiale homogène.

Le second type de formulation s'exprime sous la forme de potentiels (cf Kress [48] et Nédélec[63, 64]), et cette fois-ci pour tout x ∈ Ω. On note ϕ la fonction de densité du problème (cf Kress[48]). Les potentiels de simple couche et double couche s'écrivent de manière analogue que pourle problème permanent. Si on suppose u continue à la traversée de la frontière Γ, on dénit le potentiel de simplecouche :

u(x, t) =∫ t

0

∫ΓG(x− y; t− τ)ϕ(y, τ) dγ(y) dτ, x ∈ Ω. (6.31)

Si par contre on suppose la dérivée normale ∂u/∂n continue à la traversée de Γ, on dénit lepotentiel de double couche :

u(x, t) =∫ t

0

∫Γ

∂G(x− y; t− τ)∂ny

ϕ(y, τ) dγ(y) dτ, x ∈ Ω. (6.32)

La principale diculté rencontrée est le terme de convolution en temps. On dispose de dié-rentes méthodes numériques pour traiter ce problème.

6.4.2 Méthodes numériques6.4.2.1 La méthode directe

La méthode la plus naturelle pour traiter l'intégrale en temps consiste à la discrétiser en dé-coupant l'intervalle [0, T ] enN instants (tm)m=0,...,N−1, de sorte que∑N−1

m=0 tm = T et tm−tm−1 =∆tm. C'est une méthode directe.

Par exemple pour le potentiel de simple couche, on obtient une équation discrétisée de laforme :

u(x, t) =n−1∑m=0

∫ tm+1

tm

∫ΓG(x− y; t− τ)ϕ(y, τ) dγ(y) dτ, pour tn ≤ t < tn+1.

Pour calculer la solution à un instant tn, on a donc besoin de stocker tout l'historique, c'est-à-diretoutes les valeurs des fonctions ϕ à chaque instant précédent. Pour éviter d'avoir à conserver tousces termes, on peut avoir l'idée de reformuler le problème à chaque instant tn en prenant commecondition initiale la solution à l'instant précédent tn−1, mais on introduit alors une intégrale surle domaine, et on perd ainsi tout l'intérêt de la méthode intégrale.Les méthodes directes présentent un inconvénient supplémentaire : les erreurs s'accumulent aucours du temps (Kikani [46]).

6.4.2.2 La transformée de LaplaceUne solution pour éviter le terme de convolution en temps est d'utiliser la transformée de

Laplace L[u](s) de la fonction u(x, t) :

L[u](x, s) = u(x, s) =∫ +∞

0e−st u(x, t) dt. (6.33)


On élimine ainsi la dépendance en temps du problème.Cependant, une fois le problème résolu dans l'espace de Laplace, il reste encore à l'inverser,

ce qui peut aussi coûter cher du point de vue numérique mais on dispose aujourd'hui d'algo-rithmes qui ont largement prouvé leur ecacité, en particulier l'algorithme de Stehfest, qui esthabituellement utilisé dans le milieu pétrolier. Par contre, aucun auteur n'indique quelles valeursde la variable de Laplace s on doit employer, ni combien. Liggett et Liu, 1983, [54] donnentquelques indications sur ces choix, mais pour la méthode de Schapery. Davies et Martin, 1979,dans [22] ont comparé plusieurs méthodes pour inverser la transformée de Laplace, ils concluentqu'en fait les résultats dépendent aussi de la fonction considérée, ils conrment que la méthodede Stehfest donne de bons résultats, donc si nous choisissons la méthode de la transformée deLaplace, nous opterons probablement pour l'algorithme de Stehfest, conformément à ce qui estfait dans le milieu pétrolier jusqu'à présent.

6.4.2.3 Approximation directe de la dérivée en temps par diérences niesUne autre solution consiste à discrétiser directement en temps l'équation de diusion (6.28)

par des diérences nies, et de se ramener ainsi à l'équation de Helmholtz (6.34) non homogène.Le caractère non homogène de l'équation de Helmholtz entraîne la présence d'une intégrale surle domaine, lourde à calculer. Ce type de méthodes, employées par Chapko et Kress [17], puispar S. Langdon [51, 49, 50], est développé ce paragraphe.

Les deux méthodes présentées dans ce paragraphe (méthode de Rothe et "domain embeddingmethod") consistent à approcher directement la dérivée en temps par des diérences nies :

1k

un+1 − un∆t

= ∆un+1.

L'erreur commise sur l'approximation de la dérivée en temps est en O(∆t), ce qui impliqueque le pas de temps devra être choisi susamment petit pour obtenir une bonne précision.

On se ramène alors à un système d'équations de Helmholtz non homogènes :pour n = 0, ..., N , on a :

−∆un+1 + α2un+1 = α2un, (6.34)avec α2 =

1k∆t

.

1. Méthode de Rothe : Elle consiste à utiliser un schéma linéaire multi-pas pour approcherla dérivée en temps (cf Lubich et Schneider [55], qui l'appliquent au terme de convolution entemps). Chapko et Kress [17] l'ont appliquée dans le cas particulier du schéma d'Euler explicite,ce qui les conduit au système d'équations d'Helmholtz (6.34) ci-dessus.La condition initiale est supposée homogène, et pour simplier, on se place dans le cadre deconditions de Dirichlet. On peut écrire le problème sous forme matricielle :

Au = 0 dans Ω (6.35)u = g sur γ (6.36)

6.4. Des méthodes intégrales pour résoudre l'équation de diusion : unebibliographie 125

avec u = (u0, . . . , uN−1)T , g = (g0, . . . , gN−1)T ,

et A =

−∆ + α2

0 0 0 . 0−α2

1 −∆ + α21 0 . 0

0 −α22 −∆ + α2

2 . 0. . . . 00 0 0 −α2

N−1 −∆ + α2N−1

.

On construit tout d'abord une solution fondamentale de ce système :Ψ(x, y) = (Ψ0, . . . ,ΨN−1)T . (6.37)

On sait que la fonction Ψ0(x, y) = cK0(α0|x − y|), avec c > 0 et K0 la fonction de Besselmodiée d'ordre 0, vérie l'équation de Helmholtz pour n = 0, x 6= y. Les propriétés des dérivéesdes fonctions de Bessel modiées d'ordre 0 nous amènent alors à chercher les solutions Ψn,n = 1, . . . N − 1, sous la forme :

Ψn(x, y) = K0(α0|x− y|)vn(|x− y|) +K1(α0|x− y|)wn(|x− y|), x 6= y (6.38)où vn et wn sont des polynômes à déterminer.

En substituant l'expression de Ψn dans (6.35), on est alors ramené à un système d'équationsdiérentielles ordinaires du second ordre :

−v′′n −1rv′n + 2α0w

′n + (α2

n − α20)vn = α2

nvn−1

2α0v′n − w

′′n +

1rw

′n −

1r2wn + (α2

n − α20)wn = α2

nwn−1

où r = |x− y|.Dans l'article de Chapko et Kress [17], ce système n'est résolu que dans le cas où le pas de

temps reste constant. On note alors α := α0 := . . . := αN−1. La solution est donnée par :

vn(r) =[n2]∑

k=0

an,2kr2k, wn(r) =

[n−12

]∑k=0

an,2k+1r2k+1, (6.39)

où [.] désigne la partie entière d'un nombre et les coecients an,k vérient :an,n =

α

2nan−1,n−1, n = 1, . . . , N, (6.40)

an,k =1

2αk

4[k + 1

2]2an,k+1 + α2an−1,k−1

, k = n− 1, . . . , 1. (6.41)

On peut choisir arbitrairement les coecients an,0, par exemple Chapko et Kress les prennentégaux à 1. Pour chaque n, on doit d'abord calculer tous les coecients an,k, ce qui peut devenirtrès coûteux.

Pour remédier à cela, S. Langdon fait remarquer dans sa thèse que si l'on choisit de fairevarier le pas de temps, les expressions de vn et wn se simplient énormément, et par là-mêmecelle de Ψ.On considère par exemple le cas où αn 6= α0, pour tout n = 1, . . . , N − 1. Dans ce cas, il est clair


que wn = 0 satisfait le système pour tout n = 1, . . . , N − 1 et vn est une fonction constante pourchaque n dénie de la manière suivante :

vn = v0

n∏j=1

α2j

α2j − α2

0

, n = 1, . . . , N − 1.

Pour résoudre le système (6.35)-(6.36), S. Langdon préfère utiliser le potentiel de doublecoucheWn déni ci-dessous, plutôt que le potentiel de simple couche, car l'analyse mathématiquede l'erreur est plus développée pour le potentiel de double couche.

Wn(x) =1π

n∑m=0

∫Γqm(y)

∂Ψn−m(x, y)∂n(y)

dγ(y), x ∈ R2\Γ. (6.42)

La suite Wn satisfait la condition aux limites (6.36) si et seulement si les fonctions de densitéqn vérient la relation suivante :

qn(x) +1π

∫Γqn(y)

∂Ψ0(x, y)∂n(y)

ds(y) =

gn(x)−n∑

m=0

qm(x)− 1π

n∑m=0

∫Γqm(y)

∂Ψn−m(x, y)∂n(y)

dγ(y), x ∈ Γ.

Il faut souligner qu'à chaque pas de temps, l'opérateur intégral à inverser reste le même, etseul le second membre change.Si on utilise un pas de temps variable, chaque Ψn devient tout simplement un multiple de Ψ0, eton n'a besoin de calculer qu'une seule intégrale sur tout le domaine, ainsi cette méthode pourraitconsidérablement réduire le coût du schéma. Malheureusement, aucun test numérique n'a étéréalisé à ce jour à notre connaissance pour conrmer ce point.

Remarque 16 Il est prouvé dans la thèse de S. Langdon que cette méthode mène en fait à lamême solution que la méthode de Lubich et Schneider. Leur approche est pourtant diérente : ilsapprochent l'intégrale de convolution en temps par une méthode de quadrature, puis ils utilisentun schéma linéaire multi-pas et la transformée de Laplace.

2. Domain embedding method : C'est la méthode utilisée par S. Langdon dans sa thèse.Pour résoudre l'équation de Helmholtz, il procède en trois étapes : la première consiste à trouverune solution particulière, puis à résoudre le problème homogène correspondant sur les frontières,et enn à résoudre le problème dans tout le domaine.

• Première étape : trouver une solution particulière uP :Il utilise ce qu'il appelle the domain embedding method, c'est-à-dire qu'il étend le pro-blème sur un domaine rectangulaire ctif R tel que Ω ⊂ R. Le terme un est prolongépar 0 sur R\Ω. Alors il peut facilement appliquer des méthodes de diérences nies et detransformées de Fourier (Fast Fourier Transforms). La seule diculté rencontrée est l'ap-proximation de la solution aux points qui se situent autour de la frontière γ = ∂R. Elle estlevée en apportant au membre de droite un terme de correction.


• Deuxième étape : résoudre le problème homogène correspondant :On pose v = u− uP , on doit alors résoudre le système suivant :

−∆v + α2v = 0 dans Ω (6.43)v = f − uP sur γ. (6.44)

Les méthodes de collocation classiquement employées pour résoudre l'équation de Helm-holtz (voir par exemple Kress [48]) sont limitées aux cas où α n'est pas trop grand, i.e.elles ne convergent pas si le pas de temps ∆t est choisi trop proche de zéro.S. Langdon propose dans sa thèse une nouvelle méthode de collocation qui converge quandα → ∞ (i.e. ∆t → 0). Elle consiste à transformer les intégrales par un changement devariables puis à les approcher par une variante de la formule du trapèze sur un maillageadapté. Il obtient ainsi une convergence qui ne dépend plus de α.

• Troisième étape : évaluer la solution dans tout le domaine :On peut utiliser directement la formule suivante :

v(x) =∫

Γ

∂v∂n

(y)G(x, y)− v(y)∂G(x, y)∂ny

dγ(y) pour x ∈ Ω, (6.45)

mais le coût numérique de calcul de cette intégrale est très cher, vu que cette intégraledoit être évaluée à chaque point du domaine, d'autant plus que dans notre cas, la taille dudomaine est très importante.S. Langdon remédie à ce problème en utilisant une méthode basée sur celle de Mayo : l'idéeconsiste à évaluer la solution directement pour un petit nombre de points bien choisis prèsde la frontière, puis d'étendre la solution au reste du domaine par un fast solver. Pourtraiter les singularités des intégrales aux points x situés près de la frontière γ, il emploieune méthode d'extraction (Schulz, Schwab et Wendland [77]) basée sur une représentationen série de Taylor à partir des dérivées normales.

Conclusion : Ce type de méthodes consistant à approcher directement la dérivée en tempspar diérences nies pour obtenir l'équation de Helmholtz nécessite le calcul d'une intégralesur le domaine, qu'il faut alors mailler. Ceci présente un inconvénient majeur dans notre cadred'application : il faudrait raner le maillage autour du puits comme pour les méthodes d'élémentsnis, de volumes nis et de diérences nies, an de respecter au mieux les singularités de lapression au voisinage du puits. On perd alors les avantages de la méthode intégrale, en particulierla précision au niveau du puits. On perd aussi du temps CPU pour calculer l'intégrale sur ledomaine.

6.4.2.4 Méthodes de Réciprocité Duale et de Multi-RéciprocitéCes méthodes ont pour but d'exprimer les intégrales sur le domaine comme des intégrales sur

les frontières.

1. Méthode de Réciprocité Duale : Cette méthode a tout d'abord été introduite en 1985par Nardini et Brebbia (voir [60, 61, 62]) puis développée par Brebbia et Wrobel [14]. Son butest d'éliminer l'intégrale sur le domaine.On rappelle la formulation intégrale de l'équation de la chaleur :

ciui +∫

Γuq∗ dγ =

∫Γqu∗ dγ +

1k×∫

Ω

∂u

∂tu∗ dΩ, (6.46)


où u∗ est la solution fondamentale de l'équation de Laplace et q∗ le ux associé : q∗ =∂u∗

∂n.

Nouvelle formulation du problème :

La présence de l'intégrale (notée D) sur le domaine Ω n'est pas conforme à la formulation inté-grale du problème, et aecte sa précision. L'idée consiste donc à exprimer cette intégrale commeune intégrale aux frontières.

Pour cela, on écrit la dérivée en temps sous la forme suivante :∂u(x, t)∂t

=N+P∑j=1

f j(x)∂αj(t)∂t

:=N+P∑j=1

f j(x)αj(t), (6.47)

avec N le nombre de n÷uds sur la frontière et P le nombre de n÷uds à l'intérieur du domaine(P peut être nul).Les fonctions f j sont à préciser ultérieurement.

L'intégrale D devient alors :

D = c×N+P∑j=1

∂αj(t)∂t

∫Ωf j(x)u∗(x, t)dΩ, (6.48)

où c est un coecient réel.L'astuce consiste alors à trouver des fonctions uj telles que :

f j(x) = ∆uj(x). (6.49)En appliquant la formule de Green, on obtient :

D = c×N+P∑j=1

∂αj(t)∂t

ciu

ji +

∫Γ

∂uj(t)∂n

u∗ dγ −∫

Γuj∂u∗

∂ndγ. (6.50)

Il vient alors la nouvelle formulation intégrale de l'équation de diusion :

ciui +∫

Γ(uq∗ − u∗q) dγ = c×

N+P∑j=1

∂αj(t)∂t

ciu

ji +

∫Γ

∂uj

∂nu∗ dγ −

∫Γuj∂u∗

∂ndγ. (6.51)

Discrétisation de l'équation :

Il reste maintenant à discrétiser cette équation : pour cela, on procède de manière classique ensubdivisant la frontière γ en plusieurs éléments γk, et sur chacun de ces éléments, on exprime lesfonctions u et q dans une base de fonctions de forme donnée.On peut alors écrire le système sous forme matricielle :

HU −GQ = c[HU −GQ]α, (6.52)or, d'après (6.47), on peut écrire :

U = Fα d'où α = F−1U , (6.53)


en supposant F inversible.On obtient alors :

HU −GQ = CU. (6.54)avec C = c×[HU−GQ]F−1. La dérivée en temps est alors approchée par un schéma de diérencesnies :

∂u(x, tm+1)∂t

=u(x, tm+1)− u(x, tm)

∆tm, (6.55)

et on aboutit enn au système suivant :

(1

∆tmC +H −G)Um+1 −GQm+1 =

1∆tm

CUm. (6.56)Si on choisit un pas de temps constant, la matrice à inverser reste la même, et seul le secondmembre doit être recalculé à chaque itération de temps.Choix des fonctions f j :Les fonctions f j doivent être choisies de telle sorte que l'approximation (6.47) soit la plus précisepossible, qu'on puisse trouver analytiquement les fonctions uj qui vérient (6.49), et telles quela matrice F soit inversible.

Il existe plusieurs ensembles de fonctions qui satisfont toutes ces conditions. On utilisait dansles premiers papiers des fonctions de la distance géométrique du point considéré xj à tout autrepoint du domaine x, puis ce choix a été discuté par M.A. Golberg, C.S. Chen, et H. Power,notamment dans les articles [34, 33].Remarque 17 D'après la formule (6.47), il est naturel d'écrire :

u(x, t) =N+P∑j=1

f j(x)αj(t), (6.57)

et en utilisant (6.47) et (6.28), on obtient :

N+P∑j=1

(∆f j(x)αj(t)− 1

kf j(x)αj(t)

)= 0, (6.58)

et ceci pour tout x et pour tout t, d'où :

∆f j(x)αj(t)− 1kf j(x)αj(t) = 0 pour tout j = 1, . . . , N + P. (6.59)

On a alors :∆f j(x)f j(x)

=1k

αj(t)αj(t)

:= −µ2 pour tout j = 1, . . . , N + P. (6.60)On aboutit alors à l'équation de Helmholtz :

∆f j(x) + µ2f j(x) = 0. (6.61)Le choix des fonctions f j pour le cas particulier de l'équation de Helmholtz est discuté dansl'article de Aral et Tang [5].


La méthode de Réciprocité Duale est aussi utilisée pour résoudre l'équation de diusion,mais après un passage dans l'espace de Laplace, par S. Zhu, H.W. Liu, X.P. Lu et P. Satravaha[84, 86, 85, 83].D'autre part, cette méthode a déjà été appliquée aux problèmes pétroliers dans les travaux deR. Archer et R. Horne [4, 1, 2], qui la comparent en temps de calcul et en précision à la méthodeappelée Green Element Method proposée dans les années 90 par Taigbenu [78] (voir aussiArcher [3]). Il s'agit d'une implémentation élément par élément de la méthode intégrale, un peudans l'esprit des méthodes d'éléments nis.

2. Méthode de Multi-Réciprocité : A la n des années 80, une extension de la méthode deRéciprocité Duale a été proposée par Nowak et Brebbia. Le but est toujours d'exprimer l'intégralesur le domaine Ω comme une intégrale sur la frontière. On a :

D := D0 =∫

Ωu u∗0dΩ, (6.62)

où u∗0 désigne la solution fondamentale. On introduit alors la fonction u∗1 et sa dérivée normaleq∗1 qui vérient :

∆u∗1 = u∗0 (6.63)q∗1 = −k∂u

∗0

∂n. (6.64)

En appliquant le théorème de Green, on trouve :

D0 = c×∫

Γ(u∗1

∂q

∂t− q∗1

∂u

∂t) dγ +D1, (6.65)

où :D1 = c×

∫Ωu∗1∆u dΩ.

On inverse alors les dérivées en temps et en espace, D1 peut alors s'écrire :

D1 = c×∫

Ωu∗1u dΩ.

On peut alors réitérer le procédé jusqu'à l'inni :∆u∗j+1 = u∗j (6.66)q∗j+1 = −k

∂u∗j∂n

, (6.67)et on obtient :

D0 =∞∑j=1

1kj

∫Γ(u∗j

∂jq

∂tj− q∗j

∂ju

∂tj) dγ. (6.68)

En reportant cette expression dans l'équation (6.46), on obtient alors la formulation intégraleexacte du problème :

ciui +∞∑j=1

1kj

∫Γq∗j∂ju

∂tjdγ =

∞∑j=1

1kj

∫Γu∗j∂jq

∂tjdγ. (6.69)


Les discrétisations en temps et en espace sont analogues à celles eectuées dans le cadre de laméthode de Réciprocité Duale, bien entendu la série est tronquée. La précision de la méthodedépend essentiellement de la convergence de la série. Pour des temps longs, la convergence estrapide, et pour des temps courts, on n'obtient pas de résultats satisfaisants pour des pas detemps ∆t trop petits.Cette méthode est plus précise que la méthode de Réciprocité Duale, mais son coût numériqueest plus élevé.

Conclusion sur ces deux méthodes : Les méthodes de Réciprocité Duale ou de Multi-Réciprocité semblent très attractives pour notre problème, du fait qu'elles permettent une écrituredu problème exclusivement grâce à des intégrales sur les frontières.Cependant, nous émettons quelques réserves quant à l'utilisation de ces méthodes, car bienqu'elles soient apparues dans les années 80, leur analyse mathématique est très peu développéeà ce jour.

6.4.3 Conclusion et méthodologie retenueChacune des méthodes présentées dans ce chapitre a été appliquée dans le milieu pétrolier,

exceptée la méthode de S. Langdon.Cette dernière méthode, désignée sous le nom de domain embedding method, semble théo-

riquement intéressante du point de vue temps CPU, mais lourde à implémenter. Par ailleurs,l'application numérique à l'équation de la chaleur n'a pas été poursuivie, ce qui ne nous garantitpas de bons résultats.

D'autre part, nous avons déjà exposé les raisons qui nous poussent à écarter les méthodes deRéciprocité Duale et de Multi-Réciprocité, pourtant attrayantes au premier abord.

La méthode de la transformée de Laplace, quant à elle, est aujourd'hui devenue une approcheclassique et ecace du problème de la diusion dans le domaine pétrolier. Elle se détache lar-gement de la méthode directe au niveau temps de calcul, et fournit une bonne précision. C'estpourquoi notre choix s'est orienté vers cette méthode.


Nous venons donc de justier par une revue bibliographique des méthodes intégrales exis-tantes pour traiter le problème de diusion notre choix de la méthode de la transformée deLaplace.

Nous avons par ailleurs démontré que le modèle en régime transitoire était bien posé pour lacondition de conductivité innie sur le puits (condition linéaire). Nous avons posé le problèmede point xe pour montrer l'existence et l'unicité d'une solution au modèle non-linéaire, mais cetravail n'a pas pu être réalisé pendant la thèse, faute de temps. Ceci gure parmi les perspectivesde la thèse.

133

Conclusion

L'objectif de la thèse a donc majoritairement été rempli : nous avons développé et implémentéune nouvelle méthode intégrale pour simuler l'écoulement dans les puits horizontaux dans desréservoirs stratiés de géométrie quelconque.Au niveau théorique, nous avons réussi à démontrer que les modèles linéaires (en régime perma-nent ou transitoire) sont bien posés. Pour les modèles non-linéaires, nous avons montré que lemodèle en régime permanent admet une unique solution, si le coecient de friction est susam-ment petit.Du point de vue mise en ÷uvre numérique, la discussion des diérentes formulations intégralesnous a conduits au choix d'une nouvelle formulation, jamais utilisée dans le milieu pétrolier.Nous avons par ailleurs montré que cette nouvelle formulation donne de meilleurs résultats quecelle classiquement utilisée dans le milieu pétrolier. D'autre part, nous avons mis en évidencel'ecacité de la méthode de Galerkin, notamment pour le traitement des intégrales hypersin-gulières, et nous avons généralisé pour le cas anisotrope la formule analytique pour l'intégralehypersingulière développée par Nédélec.La diérence d'échelle entre la taille du réservoir et le rayon du puits nous a permis de faire uneapproximation laire du puits. La méthode non-usuelle d'approximation laire du puits donnede très bons résultats, et présente un double avantage. Elle permet d'une part de réduire lescalculs des intégrales sur le puits à un problème en une dimension, et d'autre part de discrétisertout simplement les puits par des segments, ce qui évite de trianguler la surface cylindrique dupuits.Les tests numériques ont été concluants pour un puits dans un milieu inni, pour un réservoirhomogène anisotrope, ou encore pour un réservoir stratié. Pour chacun des tests, on obtient unebonne évaluation de l'IP , ce qui est très important pour les ingénieurs pétroliers, et les résultatsrestent tout à fait satisfaisants, même avec des maillages grossiers.

Cependant, les tests eectués dans le cadre de cette thèse ne concernent pas des réservoirs àgéométrie trop compliquée, par défaut de mailleur. Le mailleur utilisé a été développé par nous-mêmes, et nous nous sommes limités à des cas assez simples (couches non-parallèles ou réservoirsparallélépipédiques avec ou sans pendage). Il serait intéressant de disposer d'un mailleur pluspuissant an de pouvoir prendre en compte des géométries de réservoirs plus complexes, et plusproches de la réalité.D'autre part, le cas pratique des puits complexes n'a pas été traité dans le cadre de cette thèse,faute de temps. La méthode intégrale, comme nous l'avons déjà mentionné dans l'introduction,est bien adaptée à des géométries complexes, et la méthode d'approximation laire reste aussivalable dans ce cas-là. La généralisation aux puits multi-branches reste un problème techniquede calculs. Une des dicultés que l'on pourrait rencontrer est le puits qui traverse une couche.Dans cette situation, la méthode intégrale reste applicable, mais la régularité géométrique poseproblème, tant au niveau théorique qu'au niveau numérique. Son traitement pourrait constituer

134 Conclusion

un prolongement de cette thèse.D'autre part, pour perfectionner notre méthode, il est envisageable d'appliquer une méthode

multipôles ([23]), qui permet de réduire les temps de calculs des coecients et des produitsmatrice-vecteur. Ensuite, nous pourrons implémenter le problème non-linéaire. Du point de vuepétrolier, l'hypothèse de conductivité nie permet de prendre en compte les pertes de charge surle puits, et est donc plus réaliste que l'hypothèse de conductivité innie (pression constante lelong du puits) du modèle linéaire. Enn, tous ces résultats pourront être généralisés au modèletransitoire par transformation de Laplace et résolution d'un système d'équations de Helmholtz,puis par retour dans l'espace réel par transformation inverse. Une méthode directe reste envisa-geable, mais il faudra alors stocker tout l'historique.

Du point de vue théorique, plusieurs questions se posent encore. Tout d'abord, pour la dé-monstration d'existence et d'unicité d'une solution au problème non-linéaire d'écoulement per-manent, il serait intéressant de pouvoir lever la condition sur le coecient de friction et lesdonnées, ou du moins l'aaiblir. Il reste aussi à montrer l'existence et l'unicité d'une solution auproblème non-linéaire transitoire. Nous avons posé le problème de point xe, et nous pensonsqu'il peut être résolu suivant le même schéma que pour le problème permanent, en adaptant lesestimations avec les produits de convolution. Une autre solution consisterait à faire la démons-tration directement dans l'espace temps.Enn, nous envisageons de mettre à jour une justication mathématique de l'approximation -laire du puits. Il serait vraiment intéressant de le faire, car ce problème d'approximation laireest souvent rencontré dans d'autres problèmes physiques, notamment en électromagnétisme, parles chercheurs qui travaillent sur des méthodes intégrales, et reste un problème ouvert.

Annexes

137

Chapitre 7

Annexe A : Calcul des intégrales

discrètes sur des triangles

Cet annexe est consacré au calcul des intégrales discrètes faiblement singulières et hypersin-gulières, portant sur des triangles.

7.1 Calcul de l'intégrale Sij

Il s'agit dans cette section de calculer :Sij =

∫Γh

ψhi (x)∫

Γh

G(x− y)ψhj (y) dγh(y) dγh(x)

=∫

Γh

∫Γh

ψhi (x)ψhj (y)

4π |x− y|dγh(y) dγh(x).

Cette intégrale est faiblement singulière. Plusieurs méthodes existent pour lever la singularité(pour une revue de ces méthodes, voir [23]). Nous choisissons d'appliquer la méthode de Hooputilisée dans [10], [6].Ici nous rappellerons les principales étapes du calcul sans en développer tous les détails.

Comme nous l'avons mentionné précédemment, la frontière Γh se compose de triangles :Γh =

∑k

Tk.On est donc ramenés au calcul des termes :∫

Tk

∫Tm

ψhi (x)ψhj (y)

|x− y|dTm(y) dTk(x).

L'intégrale intérieure est calculée analytiquement par la méthode de De Hoop quand lestriangles Tk et Tm sont proches, et numériquement quand les triangles Tk et Tm sont susammentéloignés.

L'intégration numérique est faite par une quadrature de Gauss, avec en pratique 7 points deGauss par triangle.

Remarque 18 Il faut établir un critère pour décider si les triangles sont susamment éloignésou non. Le critère que nous avons adopté est le suivant : les triangles sont déclarés proches s'ilsont au moins un sommet commun.

138 Chapitre 7. Annexe A : Calcul des intégrales discrètes sur des triangles

Dans ce qui suit, nous allons calculer analytiquement l'intégrale intérieure. Nous verrons ainsicomment est levée la singularité. Les fonctions de base ψhi étant des polynômes de degré 1, nousaurons deux types d'intégrales à calculer, le premier correspondant aux termes P0 de la fonctionde base, l'autre correspondant aux termes P1.

7.1.1 Calcul des termes P0

On doit donc calculer, à un coecient près :∫Tk

∫Tm

1|x− y|

dTm(y) dTk(x).

On inverse les notations entre x et y pour respecter les notations du cours de J. Giroire [32].Les calculs déjà faits dans ce cours ne seront pas redétaillés ici.

On calcule analytiquement l'intégrale intérieure :

I(y) =∫Tm

1|x− y|

dTm(x).

Première étape : on projette y dans le plan de Tm. Soit P le projeté de y dans le plandu triangle Tm. On obtient les coordonnées de P par la relation :

~yP = λ~n

λ = ~yS1.~n,

avec ~n la normale extérieure au triangle Tm :

~n =~S1S2 ∧ ~S1S3

‖ ~S1S2 ∧ ~S1S3‖,

et S1, S2, S3 les sommets du triangle Tm.On pose : h =

∣∣∣ ~yP ∣∣∣. On doit alors calculer :

I(y) =∫T

1√h2 + |x− P |2

dT (y).

On va décomposer cette intégrale en une somme algébrique d'intégrales du même intégrande surdes triangles issus de P . On verra dans la prochaine section comment calculer l'intégrale issuede P .

Plusieurs cas particuliers se présentent alors :1. le point P est à l'extérieur du triangle,2. le point P est à l'intérieur du triangle,3. le point P appartient à l'une des droites engendrées par les arêtes,4. le point P est un des sommets.

7.1. Calcul de l'intégrale Sij 139

Si le point P est l'un des sommets, on a une seule intégrale à calculer.Si le point P est à l'extérieur du triangle (g. 7.1), on a trois intégrales à calculer. Deux cas

de gure se présentent alors selon qu'un des sommets, par exemple S1, est intérieur ou non autriangle (PS2S3). Si aucun sommet n'est intérieur au triangle issu de P (g. 7.1(a)), alors onaura une intégrale à soustraire des deux autres. Sinon (voir g. 7.1(b)), on aura deux intégralesà soustraire à une autre.

(a) Cas 1 (b) Cas 2

Fig. 7.1 Cas où P est extérieur au triangle

Si le point P est à l'intérieur du triangle (g. 7.2), on a encore trois intégrales à calculer, etici les trois contributions s'ajoutent.

Fig. 7.2 Cas où P est intérieur au triangle

Si le point P appartient à l'une des droites engendrées par les arêtes du triangle (g. 7.3),on a deux intégrales à calculer. On les somme si P appartient à l'arête (g. 7.3(a)), mais on en


soustrait une si P est extérieur à l'arête (g. 7.3(b) et 7.3(c)).

(a) Cas 1

(b) Cas 2 (c) Cas 3

Fig. 7.3 Cas où P appartient à la droite engendrée par une arête du triangle.

Comment déterminer chacun de ces cas particuliers ?Si l'on souhaite déterminer chacun de ces cas particuliers, on devra procéder à une série de testsassez coûteuse numériquement. Une solution consiste à chercher les coordonnées barycentriquesαi(P ), i = 1, 2, 3 du point P dans le triangle (S1S2S3). Le signe des coordonnées barycentriquespar rapport à chacun des sommets donne alors le signe de l'intégrale correspondante :

I(y) = sgn(α1(P ))I(PS2S3) + sgn(α2(P )) I(PS3S1) + sgn(α3(P )) I(PS1S2),

où la fonction sgn est dénie par :

sgn(s) =

+1 si s > 0−1 si s < 00 si s = 0

et l'intégrale I(PSiSi+1) désigne l'intégrale sur le triangle de sommets P, Si, Si+1, i = 1, 2, 3.

2ème étape : calcul de l'intégrale de sommet P. On note T le triangle de sommet P . Onsuppose par exemple que T est le triangle de sommets P, S1, S2.


On projette P sur la droite (S1S2). Soit H cette projection. On obtient le point H par lesrelations :

~S1H = µ ~S1S2,

µ =~S1S2. ~S1P∣∣∣ ~S1S2

∣∣∣2 .

Le point H peut se situer entre les points S1 et S2, ou bien à l'extérieur du segment [S1S2],ou encore coïncider avec l'un des sommets S1 ou S2.Sa position va déterminer les signes des contributions des deux intégrales (l'une portant sur letriangle (PS1H), l'autre sur le triangle (PS2H)). Pour obtenir les signes des contributions desintégrales, on utilise de la même manière que pour les intégrales de sommet P le signe des coor-données barycentriques de H par rapport à S1 et S2.

On exprime alors en coordonnées polaires de centre P l'intégrale à calculer :

Ji =∫ θi

0

∫ ρ

cosθ0

r dr dθ√h2 + r2

où ρ =∣∣∣ ~PH∣∣∣.

Le calcul de cette intégrale est détaillé dans [32], on obtient :

Ji = Ki − h θi

avec Ki =

[ρ ln

(√h2 + ρ2 + ρ2 tan2θ + ρ tanθ

)+ hArc sin

(h sin θ√h2 + ρ2

)]θi

0

.


On ne calcule que l'intégrale intérieure :∫Tm

xα1

|x− y|dTm(x).

On décompose cette intégrale en somme de deux intégrales :∫Tm

(xα − yα)1

|x− y|dTm(x) + yα

∫Tm

1|x− y|

dTm(x).

La deuxième intégrale a déjà été calculée dans la précédente section.Reste maintenant à calculer : ∫

Tm

(xα − yα)1

|x− y|dTm(x).

Pour cela, on écrit que :x− y

|x− y|= ∇ (|x− y|) = ∇T (|x− y|) +

∂

∂nx(|x− y|) .nx.


On est alors ramenés au calcul de deux intégrales, que l'on peut trouver dans [32].Calcul de l'intégrale en ∂

∂nx:

∂

∂nx(|x− y|) =

(x− y, nx)|x− y|

.

Or (x− y, nx) = (x− P, nx) + (P − y, nx) = (P − y, nx) = d avec d constante, donc :∫Tm

∂

∂nx(|x− y|) dTm(x).nx = d

∫Tm

1|x− y|

dTm(y).nx.

Calcul du gradient tangentiel :

∫Tm

∂ι (|x− y|) dTm(x) =2∑i=0

∫ Si+1

Si

|x− y| νi+2ι d(SiSi+1).

7.2 Calcul de l'intégrale Hij

On veut calculer : ∫Γh

ψhi (x)∫

Γh

∂G(x− y)∂ny

ψhj (y) dγh(y) dγh(x).

Pour rester en accord avec les notations de [32], on exprime l'intégrale intérieure en x et l'intégraleextérieure en y : ∫

Γh

ψhi (y)∫

Γh

∂G(x− y)∂nx

ψhj (x) dγh(x) dγh(y).

Et comme on a :∂G(x− y)

∂nx=

14π

∂

∂nx

(1

|x− y|

)= − 1

4π(x− y, nx)|x− y|3

,

on doit calculer :−∫

Γh

∫Γh

ψhi (y)ψhj (x)

(x− y, nx)4π |x− y|3

dγh(x) dγh(y).

On est donc ramenés au calcul des termes :

−∫Tk

∫Tm

ψhi (x)ψhj (y)

(x− y, nx)|x− y|3

dTm(x) dTk(y).

Cette intégrale est comme l'intégrale Sij faiblement singulière, on va procéder de la mêmemanière que pour le calcul de l'intégrale Sij . On utilise la méthode de De Hoop, avec les mêmesprojections, et donc les mêmes cas particuliers.On reprend donc seulement les calculs, et les cas particuliers supplémentaires.

7.2. Calcul de l'intégrale Hij 143


On doit calculer : ∫Tk

∫Tm

−(x− y, nx)|x− y|3

dTm(x) dTk(y).

On va calculer analytiquement l'intégrale intérieure :

IDN0 (y) =∫Tm

−(x− y, nx)|x− y|3

dTm(x).

Première étape : on projette y dans le plan de Tm. Soit P le projeté de y dans le plandu triangle Tm. On a alors :

(x− y, nx) = (x− P, nx) + (P − y, nx) = (P − y, nx).

Ici on peut noter un cas particulier que l'on n'avait pas besoin de considérer pour l'intégraleSij : si y = P (i.e. h = 0), alors l'intégrande est nulle car (x− y, nx) = 0.

On suppose donc dans la suite que h 6= 0.

Deuxième étape : calcul dans chacun des triangles issus de P. On remarque que(P − y, nx) = h. On doit donc calculer :

Ji = −∫ θi

0

∫ ρ

cos θ0

h r dr dθ(h2 + r2

)3/2 .On intègre tout d'abord par rapport à r :

∫ ρ

cos θ0

r dr(h2 + r2

)3/2 =[− 1√

h2 + r2

] ρ

cos θ0

=−1√

h2 +ρ2

cos 2(θ)

+1h,

d'où :

Ji = −

∫ θi

0

−h√h2 +

ρ2

cos2(θ)dθ + θi

= − (hKi + θi) .


Calcul de Ki

Ki = −∫ θi

0

(h2 +

ρ2

cos2(θ))−1/2

dθ

= −∫ θi

0

(h2 + ρ2 + ρ2 tan2(θ)

)−1/2dθ

= −(h2 + ρ2

)−1/2∫ θi

0

(1 +

ρ2

ρ2 + h2tan2θ

)−1/2

dθ.

On fait le même changement de variable que dans [32] :

tan u =ρ√

h2 + ρ2d(tan θ),

et on obtient :Ki = −1

ρ

∫ ui

0

du

cos u(

1 +h2 + ρ2

ρ2tan2u

) .

Posons a =

√h2 + ρ2

ρ. Ki s'exprime alors :

Ki = −1ρ

∫ ui

0

du

cos u (1 + a2 tan2u)

= −1ρ

∫ ui

0

cos u ducos2u+ a2sin2u

= −1ρ

∫ ui

0

cos u du1 + (a2 − 1) sin2u

.

Posons v = sin u. On a alors :

Ki = −1ρ

∫ vi

0

dv

1 + (a2 − 1)v2= − ρ

h2

∫ vi

0

dv

ρ2

h2+ v2

= −1h

[Arctan

(h

ρv

)]vi

0

.

On revient aux variables initiales de la même manière que cela a été fait dans [32] :

Ki = −1h

[Arctan

(h tan θ√

h2 + ρ2 + ρ2 tan2(θ)

)]θi

0

.

On peut alors remplacer le Arctan par un Arcsin :

Ki = −1h

[Arcsin

(h sin θ√h2 + ρ2

)]θi

0

.


7.2.2 Calcul des éléments P1

On ne calcule que l'intégrale intérieure :∫Tm

xα−(x− y, nx)|x− y|3

dTm(x).

On remarque pour tout x parcourant la facette Tm, on a :(x− y, nx) = (P − y, nx) = d constante.

On va donc calculer :−d

∫Tm

xα

|x− y|3dTm(x) = −d

∫Tm

(xα − yα)|x− y|3

dTm(x) + yα

∫Tm

−(x− y, nx)|x− y|3

dTm(x).

On a déjà calculé la deuxième intégrale (IDN0 ).Il nous reste donc à calculer : ∫

Tm

(xα − yα)|x− y|3

dTm(x).

Pour cela, écrivons que :x− y

|x− y|3= ~∇x

(− 1|x− y|

)= ~∇T

(− 1|x− y|

)+

∂

∂nx

(− 1|x− y|

)~nx.

Or∂

∂nx

(− 1|x− y|

)~nx =

(x− y, nx)|x− y|3

~nx,

on obtient alors :~nx

∫Tm

∂

∂nx

(− 1|x− y|

)dTm(x) = − ~nx I

DN0 .

Calcul du gradient tangentiel :∫Tm

∂ι

(− 1|x− y|

)dTm(x) =

2∑i=0

∫ Si+1

Si

−1|x− y|

νi+2ι d(SiSi+1).

D'après ce qui a été fait pour l'intégrale de noyau G, on obtient tout de suite l'expression dugradient tangentiel pour y n'appartenant pas à (SiSi+1) :

∫Tm

∂ι

(− 1|x− y|

)dTm(x) =

2∑i=0

− log(Ri+1 + ~Ri+1.~τ

Ri + ~Ri.~τ

)νi+2ι

et pour y appartenant à (SiSi+1), le log devient :log

(M

m

), où M =max(Ri+1, Ri), m =min(Ri+1, Ri).

Remarque 19 (Calcul de l'intégrale H ′ij) Comme les opérateurs H et H ′ sont adjoints l'un

de l'autre, on déduit facilement H ′ij de Hij :

Hij =< Hψhi , ψhj >=< ψhi ,H

′ψhj >= H ′ji = tH ′

ij .


7.3 Calcul de l'intégrale hypersingulière Dij

L'intégrale Dij est la plus dicile à calculer. Nédélec dans [64] a établi une formule simpliéede cette intégrale pour la cas d'un milieu isotrope. Nous avons généralisé cette formule pour unmilieu anisotrope.

7.3.1 Milieu isotropeL'intégrale Dij s'exprime par :

Dij =14π

∫Γh

ψhi (x)∂

∂nx

(∫Γh

∂G(x− y)∂ny

ψhj (y) dγh(y))dγh(x).

Le fait est que cette intégrale est hypersingulière. En eet, on a :∂2

∂nx∂ny

(1

|x− y|

)=

(nx, ny)|x− y|3

− 3(x− y, nx) (x− y, ny)

|x− y|5.

Le second terme du noyau est bien intégrable car (x − y, nx) = O(|x− y|2), mais par contre,le premier terme du second membre n'est pas intégrable. C'est pour cette raison que nous nepouvons pas faire passer le ∂/∂nx à l'intérieur de l'intégrale, sinon cette intégrale ne serait pasdénie. Alors il nous faut trouver un moyen de lever l'hypersingularité an de pouvoir trouverune expression de cette intégrale. Ce moyen a été trouvé par Nédélec dans [64] qui a établi laformule suivante :

Dij = − 14π

∫Γh

∫Γh

~rotΓh(ψhi (x)). ~rotΓh

(ψhj (y))|x− y|

dγh(y) dγh(x)

où l'opérateur ~rotΓhest déni par :

~rotΓhu = ∇u ∧ n

avec n la normale extérieure à Γh.La démonstration de cette relation gure dans [64], [32].Soulignons que cette formule est très simpliée : les fonctions de base ψhi , i = 1, . . . , N étantdes polynômes de degré 1, les termes ~rotΓh

(ψhi (x)) et ~rotΓh(ψhj (y)) sont constants sur chaque

triangle. Nous sommes donc réduits au calcul de Sij à un coecient près, et ce calcul a déjà étéeectué.

7.3.2 Milieu anisotropeCependant, dans le cas d'un milieu anisotrope, les choses se compliquent, du fait qu'il faut

prendre en compte le tenseur K. Nous rappelons que l'intégrale Dij s'exprime pour un milieuanisotrope (voir chapitre 2) par :

Daij =

14π

∫Γh

ψhi (x)∂

∂(Knx)

(∫Γh

∂

∂(Kny)Ga(x− y)ψhj (y) dγh(y)

)dγh(x),

7.3. Calcul de l'intégrale hypersingulière Dij 147

avec :Ga(x− y) = − 1(

a2(x1 − y1)2 + b2(x2 − y2)2 + c2(x3 − y3)2)1/2 ,

et a =(k1k2k3)1/6

k1/21

, b =(k1k2k3)1/6

k1/22

, c =(k1k2k3)1/6

k1/23

.

Nous avons réussi à généraliser la démonstration de Nédélec à un milieu anisotrope et nousavons obtenu la relation suivante :

Daij = − 1

4π

∫Γh

∫Γh

˜rotΓh(ψhi (x)). ˜rotΓh

(ψhj (y))Ga(x− y) dγh(y) dγh(x)

avec :

˜rotΓh[u] =

(K

1/2∇u)∧(K

1/2n

)

et :K

1/2=

k1/21 0 0

0 k1/22 0

0 0 k1/23

. (7.1)

Preuve :La preuve se décompose en plusieurs étapes. Nous revenons dans un premier temps en continu.Tout d'abord, nous introduisons la notation suivante :

b(u, v) = < u,∂v

∂(Kn)>

=14π

∫Γu(x)

∂

∂(Knx)

(∫Γ

∂

∂(Kny)Ga(x− y) v(y) dγ(y)

)dγ(x).

Soit Ω le domaine dans lequel nous résolvons notre système d'EDP, et Ω′ le complémentaire deΩ dans R3.• Première étape :Nous pouvons écrire :

b(u, v) =∫

Ω∪Ω′(k1/2i ∂iu).(k

1/2i ∂iv) dx.

Introduisons u déni par : ∂iu ∈ L2(R3)∂iu = ∂iu dans Ω et Ω′,

ce qui permet d'écrire :b(u, v) =

∫R3

(k1/2i ∂iu).(k

1/2i ∂iv) dx.

Nous notons désormais ∂i = k1/2i ∂i.


• Deuxième étape :Calculons ∂i(∂iu) dans R3. Il vient :

∀φ ∈ D(R3), < ∂i(∂iu), φ >= −∫

R3

∂iu.∂iφdx = −∫

Ω∪Ω′∂iu.∂iφdx.

Or : −∫

Ω∂iu.∂iφdx =

∫Ωdiv(K.∇u)φdx− < K∇u.n, φ >

−∫

Ω′∂iu.∂iφdx =

∫Ω′div(K.∇u)φdx− < K∇u.n, φ >

d'où :∂i(∂iu) = 0 dans R3

i.e.div(∇u) = 0 dans R3.

avec divu = ∂iu, et (∇u)i = ∂iu.Donc il existe un ~φ tel que :

div(∇u) = ˜rotφ dans R3,

div(~φ) = ~0 dans R3.

avec ˜rotu = εijk∂ju∂ku,d'où il découle que :

b(u, v) =∫

R3

˜rotφ. ˜rotΨ dx.

• Troisième étape :Calculons maintenant la diérence entre ∂iu et ∂iu. C'est évidemment un terme de bord. Il vient :

∀φ ∈ D(R3), < ∂iu, φ >=∫

R3

∂iuφ dx =∫

Ω∪Ω′∂iuφ dx

mais ∫

Ω∂iuφ dx = −

∫Ωu∂iφdx+ < uk

1/2i ni, φ >∫

Ω′∂iuφ dx = −

∫Ω′u∂iφdx− < uk

1/2i ni, φ >

d'où : ∫Ω∪Ω′

∂iuφ dx = −∫

R3

u∂iφdx+ < [u]k1/2i ni, φ >

et :∂iu = ∂iu+ [u]k1/2

i niδΓ dans R3.

• Quatrième étape : Les relations de compatibilité de ∂iu sont bien connues :∂12u = ∂21u, ∂23u = ∂32u, ∂31u = ∂13u dans R3,

d'où :∂12u = ∂21u, ∂23u = ∂32u, ∂31u = ∂13u dans R3,

donc on a :˜rot(∇u) = 0

7.3. Calcul de l'intégrale hypersingulière Dij 149

en eet : ˜rot(∇u) = εijk∂j ∂ku = 0..Il s'ensuit que :

˜rot(∇u− [u]K1/2nδΓ) = ~0.

On en déduit alors que :˜rot(∇u) = ˜rot([u]K1/2

nδΓ)

et ˜rot( ˜rot~φ) = ˜rot([u]K1/2nδΓ).

Or on peut montrer la relation suivante :div(∇~φ) = ∇(div~φ)− ˜rot ˜rot~φ.

en eet : ˜rot( ˜rot~ψ)i = εijk ∂jUk avec Uk = εklm ∂l ψm

= εijk εklm ∂j ∂l ψm

= εkij εklm ∂j ∂l ψm

= δil δjm ∂j ∂l ψm − δim δjl ∂j ∂l ψm

= ∂j ∂i ψj − ∂j ∂j ψi

= ∂i ∂j ψj − ∂j ∂j ψi

= ∇(div ~ψ)i − div(∇ ~ψ)i,

et comme div~φ = 0, on a :

div(∇~φ) = − ˜rot([u]K1/2nδΓ) dans R3,

et donc :~φ =

14π r

˜rot([u]K1/2nδΓ) dans R3.

• Cinquième étape :Exprimons maintenant la forme bilinéaire b :

b(u, v) =∫

R3

˜rot~φ. ˜rot~Ψ dx

=∫

R3

˜rot ˜rot~φ.~Ψ dx

=∫

R3

˜rot([u]K1/2nδΓ)

14π r

˜rot([v]K1/2nδΓ) dx

Posons :˜rotΓ[u] = ˜rot([u]K1/2

nδΓ).

On obtient nalement :

b(u, v) =14π

∫Γ

∫Γ

˜rotΓu(x). ˜rotΓv(y)(a2(x1 − y1)2 + b2(x2 − y2)2 + c2(x3 − y3)2

)1/2 dγ(y) dγ(x). (7.2)


• Sixième étape :Il nous faut maintenant expliciter ˜rotΓu. On a :

∀~φ ∈ (D(R3))3,

< ˜rotΓ[u], ~φ > = < ˜rot([u]K1/2nδΓ), ~φ >

= < [u]K1/2nδΓ, ˜rot~φ >

= < [u]δΓ, k1/2i niεijk∂jφk > .

Or : ∫Ω∪Ω′

εijk∂i∂jφku dx

= −∫

Ω∪Ω′εijk∂jφk∂iu dx+ < εijk∂jφk, k

1/2i ni[u] >Γ

=∫

Ω∪Ω′εijkφk∂j ∂iu dx− < εijkφk, [∂iu]k

1/2j nj >Γ .

or : εijk∂i∂jφk = 0, et :εijkφk∂j ∂iu = ∂1∂2uφ3 − ∂1∂3uφ2

+ ∂2∂3uφ1 − ∂2∂1uφ3

+ ∂3∂1uφ2 − ∂3∂2uφ1

= 0.

Il s'ensuit :0 = 0− < εijkφk, [∂iu]k

1/2j nj >Γ + < εijk∂jφk, k

1/2i ni[u] >Γ,

soit :< εijk[∂iu]k

1/2j nj , φk >Γ = < k

1/2i ni[u], εjk∂jφk >

i.e. < [∇u] ∧K1/2n, ~φ >Γ = < K

1/2n[u], ˜rot~φ >Γ

= < ˜rotΓ[u], ~φ > .

Donc :˜rotΓ[u] = ∇u ∧K

1/2n =

(K

1/2∇u)∧(K

1/2n

). (7.3)

Ainsi nous savons expliciter l'intégrale hypersingulière pour un milieu anisotrope.

151

Chapitre 8

Annexe B : Calcul des intégrales sur le

puits

8.1 Calcul de l'intégrale simple Mij

Calcul de∫

Γw

ϕhi (x) ϕh

j (x)dγ(x)

On fait un changement de variable pour passer en coordonnées cylindriques :∫Γw

ϕhi (x)ϕhj (x) dγ(x) =

∫ 2π

0

∫ L

0ϕhi (l)ϕ

hj (l) dl rw dθ.

Cette intégrale s'annule si supp ϕhi ∩ supp ϕhj = ∅, c'est-à-dire si i < j − 1 ou si i > j + 1.D'autre part, la symétrie de la matrice M est évidente. Nous calculerons donc seulement lestermes Mij pour i = j et i = j − 1.

• Si i = j :∫Γw

ϕhi (x)ϕhj (x) dγ(x) = 2π rw

∫ li

li−1

(l − li−1)2

(li − li−1)2dl +

∫ li+1

li

(l − li+1)2

(li − li+1)2dl

= 2π rw

[(l − li−1)3

3(li − li−1)2

]l=lil=li−1

+ 2π rw

[(l − li+1)3

3(li − li+1)2

]l=li+1

l=li

=2π rw

3(li − li−1)− (li − li+1) .

• Si i = j − 1 :∫Γw

ϕhi (x)ϕhj (x) dγ(x) = 2π rw

∫ li+1

li

ϕhi (l)ϕhi+1(l) dl

= 2π rw∫ li+1

li

(l − li+1)(li − li+1)

(l − li)(li+1 − li)

dl

=2π rw

6(li+1 − li).

152 Chapitre 8. Annexe B : Calcul des intégrales sur le puits

On obtient nalement :

Mij =

2π rw3

(li − li−1)− (li − li+1) si i = j,

2π rw6

(li+1 − li) si i = j − 1,

2π rw6

(li − li−1) si i = j + 1,

0 sinon.

8.2 Calcul de l'intégrale Hij

Hij =14π

∫Tϕhj (y)

∫Γw

ϕhi (x)∂

∂ny

(1

|x− y|

)dγ(x) dT (y)

On a : ∂

∂ny

(1

|x− y|

)= −ny.(x− y)

|x− y|3

On fait un changement de variable selon la gure 8.1.La normale est orientée vers l'intérieur du puits (car elle est orientée vers l'extérieur du réservoir

PSfrag replacementse1y

xx′

l′

l

Fig. 8.1 Section du puits

Ω), donc :

ny = −e1 =

−100


D'autre part, x− y = (x− x′) + (x′ − y), avec x′ = projeté de x dans le plan de y, et :

y =

rw0l

, x =

rwcos θrwsin θl′

, x′ =

rwcos θrwsin θ

l

,

x− y =

rw(cos θ − 1)rwsin θl′ − l

, ny.(x− y) = rw(cos θ − 1),

1|x− y|3

=1[

2 r2w (1− cos θ) + (l − l′)2]3/2 .

On rappelle qu'on suppose que ψ(l, θ) = ψ(l), ∀θ ∈ [0, 2π],∀l ∈ [0, L]. On doit donc calculer :

Hij =r2w4π

∫ 2π

0

∫ L

0

∫ 2π

0

∫ L

0ϕhi (l

′)ϕhj (l)rw(1− cos θ) dl dl′ dθ dθ′[

2 r2w(1− cos θ) + (l − l′)2]3/2 .

L'intégrande ne dépendant pas de θ′, et après réduction par symétrie et formules trigonométriquessur l'intégrale sur 2π par rapport à θ, puis changement de variable, l'intégraleHij peut se réécrire :

Hij = 2 rw∫ L

0ϕhi (l

′) dl′∫ L

0ϕhj (l) dl

∫ π/2

0

2 r2w sin2θ dθ[4 r2w sin2θ + (l − l′)2

]3/2 .Pour de simples raisons techniques, on va commencer par intégrer par rapport à l et l′. On

écrit donc :

Hij = 2 rw∫ π/2

0IHij (θ) dθ (8.1)

avec :IHij (θ) =

∫ L

0ϕhi (l

′) dl′∫ L

0ϕhj (l) dl

2 r2w sin2θ[4 r2w sin2θ + (l − l′)2

]3/2 .Notons :

a2 = 2 r2w sin2θ.

Si i < j − 2 ou i > j + 2, l'intégrale IHij ne présente aucune singularité.Nous traiterons tout d'abord le cas où i < j − 2 ou i > j + 2, et dans un second temps le cas oùj − 2 ≤ i ≤ j + 2.

8.2.1 Cas régulier : i < j − 2 ou i > j + 2

Intégration par rapport à l et l′ : calcul de IHij(a). On reprend les notations du chapitre

4 :

IHij (a) =∑k∈I

∑m∈J

Iikjm(a) =∑k∈I

∫ lk+1

lk

ϕhi (l′) dl′

∑m∈J

∫ lm+1

lm

ϕhj (l) dla2∣∣l − l′∣∣3 (8.2)


avec :

I =i− 1, i, si 2 ≤ i ≤ NW − 2,i, si i ∈ 1, NW − 1, J =

j − 1, j, si 2 ≤ j ≤ NW − 2,j, si j ∈ 1, NW − 1.

On peut écrire d'une manière générale les fonctions de base ϕhi , i = 1, . . . , NW sur un intervallequelconque [lk, lk+1], k = 1, . . . , NW − 1, par :

ϕhi (l) =l − bikli − bik

,

avec bik = li − (δiklk+1 + δik+1lk), et δ la fonction de Kronecker.On eectue le changement de variable suivant :

s = l − bik, s′ = l′ − bjm,

où bjm est déni de la même façon que bik : bjm = lj − (δjmlm+1 + δjm+1lm). Nous devons alorscalculer :

Iikjm(a) =1

|bik bjm|

∫ bik

0

∫ bjm

0

a2 s s′ ds ds′

(s− s′ + cikjm)3

avec cikjm = (δjmlm+1 + δjm+1lm) − (δiklk+1 + δik+1lk) . Nous remarquons que cikjm 6= 0 pouri < j − 2 et i > j + 2, bik 6= 0, bjm 6= 0.

• Première étape : intégration par rapport à s.Par changement de variable, on peut écrire :∫ bjm

0

a2 s s′ ds

(s− s′ + cikjm)3=∫ bjm−s′+cikjm

−s′+cikjm

a2 s′(t+ s′ − cikjm) dtt3

.

Puis, en décomposant l'intégrande en deux parties, l'une fonction de 1/t2, et l'autre fonctionde 1/t3, et en intégrant, on obtient :∫ bjm

0

a2 s s′ ds

(s− s′ + cikjm)3= λ1(a, s′) + λ2(a, s′) + λ3(a, s′) + λ4(a, s′)

avec :λ1(a, s′) =

a2 s′

(bjm − s′ + cikjm), λ3(a, s′) =

a2 s′

(−s′ + cikjm),

λ2(a, s′) =a2 s′(s′ − cikjm)

2 (bjm − s′ + cikjm)2, λ4(a, s′) =

a2 s′(s′ − cikjm)2 (−s′ + cikjm)2

.

• Deuxième étape : intégration par rapport à s′.Les fonctions λ1 et λ3, ainsi que λ2 et λ4, sont identiques, à la constante bjm près audénominateur. Une fois calculées les intégrales des fonctions λ1 et λ2, nous pourrons endéduire facilement les valeurs des intégrales des fonctions λ3 et λ4.Pour le calcul des intégrales des fonctions λ1 et λ3, nous allons procéder de la mêmemanière que pour l'intégrale par rapport à s′. Nous eectuons un changement de variable,


et nous décomposons la fraction à intégrer en plusieurs morceaux de même ordre, puis nousintégrons. Nous obtenons alors :∫ bik

0λ1(a, s′) ds′ =

∫ bjm+cikjm

bjm+cikjm−bik

a2 (bjm + cikjm − t) dtt

= −a2(bjm + cikjm)ln |bjm + cikjm − bik|+a2(bjm + cikjm) ln |bjm + cikjm| − a2 bik.

Les fonctions λ1 et λ3 étant identiques à la constante bjm près au dénominateur, on endéduit que :∫ bik

0λ3(a, s′) ds′ = −a2 cikjmln |cikjm − bik| + a2 cikjm ln |cikjm| − a2 bik.

Pour l'intégrale de λ2, on obtient :∫ bik

0λ2(a, s′) ds′ = −

∫ bjm+cikjm−bik

bjm+cikjm

a2 (bjm + cikjm − t) (bjm − t) dt2 t2

=a2 (bjm + cikjm) bjm2 (bjm − bik + cikjm)

+a2 (2 bjm + cikjm)

2ln |bjm − bik + cikjm|

−a2 (bjm + cikjm) bjm

2 (bjm + cikjm)−a2 (2 bjm + cikjm)

2ln |bjm + cikjm|

+a2

2bik.

L'intégrale de λ4 se déduit alors de l'intégrale de λ2, de la même manière que l'intégralede λ3 se déduit de celle de λ1 :∫ bik

0λ4(a, s′) ds′ =

a2

2bik +

a2 cikjm2

ln |bik − cikjm| −a2 cikjm

2ln |cikjm| .

Maintenant que nous avons intégré l'intégrande de Iikjm(a) par rapport à s et à s′, nouspouvons en déduire, après simplications, que :

Iikjm(a) =1

|bik bjm|

a2 cikjm2

(ln |bjm + cikjm − bik| − ln |cikjm − bik|

+ ln |cikjm| − ln |bjm + cikjm|)− a2 bik bjm

2 (bjm − bik + cikjm)

.

La valeur de Iikjm(a) nous donne alors la valeur de l'intégrale IHij (θ) selon l'équation (8.2). Pourobtenir la valeur de l'intégrale Hij , il ne nous reste plus qu'à intégrer IHij (θ), et donc Iikjm, parrapport à θ.

Intégration par rapport à θ : D'après l'expression de l'intégrale Iikjm, nous avons seulementbesoin de calculer :∫

a2

2=∫ π/2

0r2w sin2(θ) dθ =

[r2w

(θ

2− sin (2 θ)

4

)]π/20

= r2wπ

4.


On en déduit nalement d'après les relations (8.1) et (8.2), que, pour i < j − 2 ou i > j + 2,au signe près :

Hij = r3wπ

2

∑k∈I

∑m∈J

1|bik bjm|

cikjm ln

∣∣∣∣ (bjm + cikjm − bik)cikjm(cikjm − bik) (bjm + cikjm)

∣∣∣∣ − bik bjm(bjm − bik + cikjm)

.

8.2.2 Cas singulier : j − 2 ≤ i ≤ j + 2

Ce cas est singulier. Ici on ne peut plus négliger le terme 2 a2 devant (l − l′), car ici (l − l′)peut être très petit, ou même nul. Pour le cas singulier, l'approximation ne se fait donc pasdirectement au début du calcul avant toute intégration comme pour le cas régulier, mais elle sefera au niveau de l'intégration par rapport à θ. Dans un premier temps, il nous faut donc intégrerde manière exacte par rapport à l et l′.

De la même manière que pour le cas régulier, on peut se placer dans le cas j − 2 ≤ i, etécrire :

Hij = 2 rw∫ π/2

0IHij (θ) dθ, avec IHij (θ) =

∑k∈I

∑m∈J

Iikjm(a), (8.3)

et :

Iikjm(a) =1

|bik bjm|

∫ bik

0

∫ bjm

0


]3/2 .Nous allons commencer par calculer l'intégrale Iikjm, puis nous intégrerons Iikjm par rapport àθ pour obtenir la valeur de Hij .

• Première étape : intégration par rapport à s.Les méthodes de calcul sont les mêmes que pour le cas régulier : on fait un changementde variable, puis on décompose l'intégrale en plusieurs morceaux de même nature, et onintègre. On obtient :∫ bjm

0

a2 s s′ ds[2 a2 + (s− s′ + cikjm)2

]3/2 =∫ bjm−s′+cikjm

−s′+cikjm

a2 (t+ s′ − cikjm) s′ dt[2 a2 + t2

]3/2= λ1(a, s′) + λ2(a, s′) + λ3(a, s′) + λ4(a, s′)

avec :

λ1(a, s′) = − a2 s′√2 a2 + (bjm − s′ + cikjm)2

, λ3(a, s′) =a2 s′√

2 a2 + (−s′ + cikjm)2,

λ2(a, s′) = −(bjm − s′ + cikjm) s′ (−s′ + cikjm)

2√

2 a2 + (bjm − s′ + cikjm)2, λ4(a, s′) =

s′ (−s′ + cikjm)2

2√

2 a2 + (−s′ + cikjm)2.

• Deuxième étape : on intègre chacune des fonctions λ1, λ2, λ3, et λ4, par rapport à s′.Comme pour le cas régulier, on remarque que les fonctions λ1 et λ3, ainsi que λ2 et λ4,


sont identiques à la constante bjm près sous la racine carrée du dénominateur. Ainsi onpeut déduire facilement les valeurs des intégrales de λ3 et λ4 à partir de celles des intégralesde λ1 et λ2. Le calcul des intégrales de λ1 et λ3 se fait par changement de variable, puispar décomposition de l'intégrande en morceaux de même ordre, et enn par intégration.On obtient alors les résultats suivants :∫ bik

0λ1(a, s′) ds′

= − a2 (bjm + cikjm) ln(

(bjm + cikjm) +√

2 a2 + (bjm + cikjm)2)

+ a2√

2 a2 + (bjm + cikjm)2

+ a2 (bjm + cikjm) ln(

(bjm + cikjm − bik) +√

2 a2 + (bjm + cikjm − bik)2)

− a2√

2 a2 + (bjm + cikjm − bik)2.

On en déduit alors que :∫ bik

0λ2(a, s′) ds′

= a2 cikjm ln(cikjm +

√2 a2 + c2ikjm

)− a2

√2 a2 + c2ikjm

− a2 cikjm ln(

(cikjm − bik) +√

2 a2 + (cikjm − bik)2)

+ a2√

2 a2 + (cikjm − bik)2.

D'autre part :∫ bik

0λ3(a, s′) ds′

=16

(2 a2 + (bjm − bik + cikjm)2)3/2 − a2√

2 a2 + (bjm − bik + cikjm)2

−16

(2 a2 + (bjm + cikjm)2)3/2 + a2√

2 a2 + (bjm + cikjm)2

−(bjm +cikjm

2)(bjm − bik + cikjm)

2

√2 a2 + (bjm − bik + cikjm)2

+(bjm +cikjm

2) a2 ln

((bjm − bik + cikjm) +

√2 a2 + (bjm − bik + cikjm)2

)+(bjm +

cikjm2

)(bjm + cikjm)

2

√2 a2 + (bjm + cikjm)2

−(bjm +cikjm

2) a2 ln

((bjm + cikjm) +


)

+bjm2

(bjm + cikjm)√


−bjm2

(bjm + cikjm)√

2 a2 + (bjm + cikjm)2.


Il s'ensuit :∫ bik

0λ4(a, s′) ds′ =

16

(2 a2 + (−bik + cikjm)2)3/2 − a2√

2 a2 + (−bik + cikjm)2

−16

(2 a2 + c2ikjm)3/2 + a2√

2 a2 + c2ikjm

−cikjm

2(−bik + cikjm)

2

√2 a2 + (−bik + cikjm)2

+cikjm

2a2 ln

((−bik + cikjm) +

√2 a2 + (−bik + cikjm)2

)+cikjm

2cikjm

2

√2 a2 + c2ikjm

−cikjm

2a2 ln

(cikjm +

√2 a2 + c2ikjm

).

Après simplications, on aboutit nalement à :Iikjm(a) =

1|bikbjm|

∫ bik

0

∫ bjm

0


]3/2=

1|bikbjm|

∫ bik

0

(λ1(a, s′) + λ2(a, s′) + λ3(a, s′) + λ4(a, s′)

)ds′

Iikjm(a) =1

|bikbjm|(ζ(a) + ζ1(a) + ζ2(a) + ζ3(a) + ζ4(a))

avec :

ζ(a) = −f(a, bjm + cikjm)− f(a, cikjm − bik)+f(a, bjm + cikjm − bik) + f(a, cikjm)

ζ1(a) = f1(2 a2 + (bjm − bik + cikjm)2)ζ2(a) = f2(2 a2 + (bjm + cikjm)2)ζ3(a) = f3(2 a2 + (−bik + cikjm)2)ζ4(a) = f4(2 a2 + c2ikjm)

et :

f(a, s) =cikjm

2a2 ln

(s+

√2 a2 + s2

)

f1(s) = −16

(s2)3/2 +

(c2ikjm

4+cikjm

4(bjm − bik) −

bik bjm2

)√s2

f2(s) =16

(s2)3/2 −cikjm

2bjm + cikjm

2

√s2

f3(s) =16

(s2)3/2 −cikjm

2−bik + cikjm

2

√s2

f4(s) = −16

(s2)3/2 +c2ikjm

4

√s2.


Intégration par rapport à θ. Maintenant que nous connaissons la valeur de Iikjm, il ne nousreste plus qu'à intégrer Iikjm par rapport à θ pour trouver l'expression de Hij d'après l'équation(8.3).On note respectivement It1, It2, It3, It4, It les intégrales par rapport à θ de ζ1, ζ2, ζ3, ζ4, ζ, desorte que : ∫ π/2

0Iikjm(θ) dθ =

1|bik bjm|

(It1 + It2 + It3 + It4) . (8.4)

Jusqu'ici, nous n'avons pas encore fait d'approximation : les calculs que nous avons eectué jus-qu'à présent sont exacts. C'est maintenant, lors de l'intégration par rapport à θ, que nous allonspouvoir approcher certains termes en utilisant la méthode d'approximation que nous avons pro-posée.

En appliquant l'hypothèse (H1) (page 85) et la méthode décrite dans le chapitre 4, on obtient :1. Intégration de ζ1 :• Si (bjm − bik + cikjm) 6= 0 : on applique (H1) :

It1 ≈ −π2

16|bjm − bik + cikjm|3

+π

2

(c2ikjm

4+cikjm

4(bjm − bik) −

bik bjm2

)|bjm − bik + cikjm| .

• Si (bjm − bik + cikjm) = 0 : on intègre tel quel par rapport à θ. On obtient :

It1 = −16I1 +

(c2ikjm

4+cikjm

4(bjm − bik) −

bik bjm2

)I2,

avec :I1 =

∫(2 a2)3/2 =

163r3w,

I2 =∫

(2 a2)1/2 = 2 rw,

les intégrales I1 et I2 étant calculées dans le paragraphe 8.4.3.2. Intégration de ζ2 :• Si (bjm + cikjm) 6= 0 : on applique (H1) :

It2 ≈π

2

(16|bjm + cikjm|3 −

cikjm(bjm + cikjm)4

|bjm + cikjm|).

• Si (bjm + cikjm) = 0 : on intègre directement par rapport à θ :

It2 =16I1.

3. Intégration de ζ3 :• Si (−bik + cikjm) 6= 0 : on applique (H1) :

It3 ≈π

2

(16|−bik + cikjm|3 −

cikjm(−bik + cikjm)4

|−bik + cikjm|).


• Si (−bik + cikjm) = 0 : on intègre directement par rapport à θ :

It3 =16I1.

4. Intégration de ζ4 :• Si cikjm 6= 0 : on applique (H1) :

It4 ≈π

2

(−1

6|cikjm|3 +

c2ikjm4

|cikjm|

)=π

2112

|cikjm|3 .

• Si cikjm = 0 : on intègre directement par rapport à θ :

It4 = −16I1.

5. Intégration de ζ :

It =cikjm

2

(I(bjm + cikjm) + I(cikjm − bik)− I(bjm + cikjm − bik)− I(cikjm)

),

avec :I(s) = −

∫a2 ln

(s+

√2 a2 + s2

)=

∫ π/2

0−2 r2wsin2θ ln

(s +

√4 r2w sin2θ + s2

)dθ.

Le calcul de l'intégrale I est détaillé dans la section 8.4.1. Nous reportons ici le résultat :• Si s > 0 :

I(s) = −2 r2w ln(2 s)π

4.

• Si s < 0 :I(s) = 2 r2w ln(−2 s)

π

4+ 2

(− r2w ln (2 rw)

π

2− r2w

π

4+ r2w

π

2ln(2)

).

• Si s = 0 :I(s) = − r2w ln (2 rw)

π

2− r2w

π

4+ r2w

π

2ln(2).

Les valeurs approchées des intégrales It1 à It4, et It ci-dessus, les équations (8.2) et (8.4) nousdonnent alors une approximation analytique de l'intégrale Hij dans le cas singulier.


8.3 Calcul de l'intégrale Sij

Calcul de Sij =1

4π

∫Γw

∫Γw

ϕhi (x) ϕhj (y)1

|x− y|dγ(y) dγ(x).

La méthodologie est exactement la même que pour le calcul de Hij , on adoptera les mêmesnotations.On eectue le même changement de variable que pour l'intégrale Hij , ce qui donne :

Sij =14π

∫Γw

∫Γw

ϕhi (x)ϕhj (y)

1|x− y|

dγ(y) dγ(x)

=2π r2w4π

∫ L

0

∫ 2π

0

∫ L

0

ϕhi (l′)ϕhj (l) dl dl

′ dθ[2 r2w(1− cos θ) + (l − l′)2

]1/2 ,et après réduction par symétrie, formules trigonométriques puis changement de variable dansl'intégrale sur θ, on peut écrire :

Sij = 2 r2w

∫ L

0

∫ π/2

0

∫ L

0


′ dθ[4 r2w sin2θ + (l − l′)2

]1/2 .Le cas où l'intégrale Sij est singulière est le même que pourHij : c'est le cas où j−2 ≤ i ≤ j+2.

Nous commencerons donc par traiter le cas où i < j − 2 ou i > j + 2.La méthode d'approximation laire va se mettre en place exactement de la même manière

que pour l'intégrale Hij : pour les termes réguliers, l'approximation peut se faire d'emblée, etpour les termes singuliers, l'approximation se fera lors de l'intégration en θ, une fois que lesintégrations par rapport à l et l′ seront calculées de manière exacte.

8.3.1 Cas régulier : i < j − 2 ou i > j + 2

D'après l'hypothèse (H1) (page 85), on peut négliger le terme 2 a2 = 4 r2w sin 2θ au déno-minateur de l'intégrande de Sij . On remarque alors que l'intégrale Sij , dans le cas régulier, nedépend plus de θ, puisque θ n'intervenait que dans le terme négligé. Nous devrons donc seulementintégrer par rapport à l et l′.On doit donc évaluer :

Sij ≈ π r2w

∫ L

0

∫ L

0


′∣∣l − l′∣∣

= π r2w∑k∈I

∫ lk+1

lk

ϕhi (l′)∑m∈J

∫ lm+1

lm

ϕhj (l)1∣∣l − l′∣∣ dl dl′.

La matrice Sij étant symétrique, on peut se placer dans le cas où i < j − 2. Par le mêmechangement de variable que pour l'intégrale Hij , il vient :

Sij = π r2w∑k∈I

∑m∈J

Iikjm


avec :

Iikjm =1

|bik bjm|

∫ bik

0

∫ bjm

0

s s′ ds ds′

(s− s′ + cikjm).

8.3.1.1 Calcul de Iikjm

• Première étape : intégration par rapport à s .Par changement de variable, on peut écrire :∫ bjm

0

s s′ ds∣∣s− s′ + cikjm∣∣ =

∫ bjm−s′+cikjm

−s′+cikjm

s′(t+ s′ − cikjm) dtt

.

Après décomposition de l'intégrande en deux morceaux puis intégration, on obtient :∫ bjm

0

s s′ ds∣∣s− s′ + cikjm∣∣ = λ1(s′) + λ2(s′) + λ3(s′),

avec :λ1(s′) = s′ bjm,

λ2(s′) = s′ (s′ − cikjm) ln ∣∣bjm − s′ + cikjm∣∣ ,

λ3(s′) = − s′ (s′ − cikjm) ln ∣∣−s′ + cikjm∣∣ .

Pour trouver la valeur de Iikjm, et donc de Sij , il ne nous reste donc plus qu'à intégrerλ1, λ2, λ3 par rapport à s′.

• Deuxième étape : intégration par rapport à s′ .Il est immédiat que : ∫ bik

0λ1(s′) ds′ =

b2ik bjm2

.

Les fonctions λ2 et λ3 dièrent par la présence pour λ2 du coecient bjm à l'intérieur dela valeur absolue du logarithme népérien. Si nous savons calculer l'intégrale de λ2, nouspourrons alors en déduire la valeur de l'intégrale de λ3.Commençons donc par calculer l'intégrale de λ2. Par changement de variable, nous pouvonsnous ramener à :∫ bik

0λ2(s′) ds′ = −

∫ bjm−bik+cikjm

bjm+cikjm

(bjm + cikjm − t) (bjm − t) ln |t| dt,

et en développant l'intégrale, on obtient :∫ bik

0λ2(s′) ds′ = −

∫ bjm−bik+cikjm

bjm+cikjm

t2 ln |t| dt +∫ bjm−bik+cikjm

bjm+cikjm

(2 bjm + cikjm) t ln |t| dt

−∫ bjm−bik+cikjm

bjm+cikjm

bjm (bjm + cikjm) ln |t| dt.


Notons :

H0 =∫ bjm−bik+cikjm

bjm+cikjm

ln |t| dt,


bjm+cikjm

t ln |t| dt,


bjm+cikjm

t2 ln |t| dt.

Les intégrales H0, H1 et H2 s'intègrent par parties, et valent :

H0 = (bjm − bik + cikjm) ln |bjm − bik + cikjm|+ bik − (bjm + cikjm) ln |bjm + cikjm| ,

H1 = −(bjm − bik + cikjm)2

4+

(bjm − bik + cikjm)2


+(bjm + cikjm)2

4−

(bjm + cikjm)2

2ln |bjm + cikjm| ,

H2 = −(bjm − bik + cikjm)3

9+



+(bjm + cikjm)3

9−

(bjm + cikjm)3

3ln |bjm + cikjm| .

On a alors :∫ bik

0λ2(s′) ds′ = −H2 + (2bjm + cikjm)H1 − bjm(bjm + cikjm)H0

=(bjm − bik + cikjm)3

9−



−(bjm + cikjm)3

9+

(bjm + cikjm)3

3ln |bjm + cikjm|

− (2bjm + cikjm)(bjm − bik + cikjm)2

4

+ (2bjm + cikjm)(bjm − bik + cikjm)2


+ (2bjm + cikjm)(bjm + cikjm)2

4

− (2bjm + cikjm)(bjm + cikjm)2

2ln |bjm + cikjm|

− bjm(bjm + cikjm) (bjm − bik + cikjm) ln |bjm − bik + cikjm|− bik bjm(bjm + cikjm) + bjm(bjm + cikjm)2 ln |bjm + cikjm| .


De même,

∫ bik

0λ3(s′) ds′ =

∫ −bik+cikjm

cikjm

(cikjm − t) t ln |t| dt

= −∫ −bik+cikjm

cikjm

t2 ln |t| dt +∫ −bik+cikjm

cikjm

cikjm t ln |t| dt

=(−bik + cikjm)3

9−

(−bik + cikjm)3

3ln |−bik + cikjm|

−c3ikjm

9+c3ikjm

3ln |cikjm|

−cikjm(−bik + cikjm)2

4+ cikjm

(−bik + cikjm)2

2ln |−bik + cikjm|

+cikjmc2ikjm

4− cikjm

c2ikjm2

ln |cikjm| .

On en déduit alors, après simplications, que :

Iikjm =1

|bik bjm|×(bjm − bik + cikjm)3 − (bjm + cikjm)3 − (−bik + cikjm)3 + c3ikjm

9+bik bjm cikjm

2

+(−


3+ (2bjm + cikjm)


2−bjm(bjm + cikjm) (bjm − bik + cikjm)

)× ln |bjm − bik + cikjm|

+(

(bjm + cikjm)3

3− (2bjm + cikjm)

(bjm + cikjm)2

2+ bjm(bjm + cikjm)2

)× ln |bjm + cikjm|

+(

(−bik + cikjm)3

3− cikjm

(−bik + cikjm)2

2

)ln |−bik + cikjm|

+c3ikjm

6ln |cikjm|

et par la relation :

Sij = π r2w∑k∈I

∑m∈J

Iikjm (8.5)

nous obtenons nalement une valeur approchée de Sij pour le cas régulier.


8.3.2 Cas singulier : j − 2 ≤ i ≤ j + 2

Traitons maintenant le cas singulier. On ne peut plus négliger le terme 2 a2 au dénominateurde l'intégrande de Sij . On se place dans le cas où j − 2 ≤ i. On peut écrire :

Sij = 2 r2w

∫ π/2

0ISij (θ) dθ, avec ISij (θ) =

∑k∈I

∑m∈J

Iikjm(a) (8.6)

et :

Iikjm(a) =1

|bik bjm|

∫ bik

0

∫ bjm

0

s s′ ds ds′[2 a2 + (s− s′ + cikjm)2

]1/2 .Cette fois-ci, Iikjm dépend de a, et donc de θ. Nous allons calculer de manière exacte l'intégrale

Iikjm(a), puis nous utiliserons la méthode d'approximation laire pour intégrer Iikjm(a) parrapport à a (ou à θ), et ainsi obtenir une évaluation de l'intégrale Sij dans le cas singulier.

8.3.2.1 Calcul de Iikjm(a)

• Première étape : intégration par rapport à s.Après changement de variable, on peut écrire :∫ bjm

0

s s′ ds[2 a2 + (s− s′ + cikjm)2

]1/2 =∫ bjm−s′+cikjm

−s′+cikjm

s′ (t+ s′ − cikjm) dt[2 a2 + t2

]1/2 ,

puis en décomposant l'intégrande en deux morceaux, et en intégrant, on a :∫ bjm

0

s s′ ds[2 a2 + (s− s′ + cikjm)2

]1/2 = λ1(a, s′) + λ2(a, s′) + λ3(a, s′) + λ4(a, s′),

avec :λ1(a, s′) = s′

√2 a2 + (bjm − s′ + cikjm)2,

λ2(a, s′) = s′ (s′ − cikjm) ln(

(bjm − s′ + cikjm) +√

2 a2 + (bjm − s′ + cikjm)2),

λ3(a, s′) = − s′√

2 a2 + (−s′ + cikjm)2,

λ4(a, s′) = − s′ (s′ − cikjm) ln(

(−s′ + cikjm) +√

2 a2 + (−s′ + cikjm)2).

• Deuxième étape : intégration par rapport à s′.Nous remarquons ici encore la similitude entre les fonctions λ1 et λ3 d'une part, et entre lesfonctions λ2 et λ4 d'autre part. Le calcul des intégrales de λ1 et λ3 paraît plus simple que celuides intégrales de λ2 et λ4. Commençons donc par le calcul de l'intégrale de λ1. Par changementde variable, on peut écrire :∫ bik

0λ1(a, s′) ds′ = −

∫ bjm−bik+cikjm

bjm+cikjm

(bjm + cikjm − t)√

2 a2 + t2 dt.


En développant l'intégrande, et en intégrant, on obtient :∫ bik

0λ1(a, s′) ds′ =

−(bjm + cikjm)2

(bjm − bik + cikjm)√


− a2 (bjm + cikjm) ln(

(bjm − bik + cikjm) +√

2 a2 + (bjm − bik + cikjm)2)

+13(2 a2 + (bjm − bik + cikjm)2

)3/2 +(bjm + cikjm)2

2


+ a2 (bjm + cikjm) ln(

(bjm + cikjm) +√

2 a2 + (bjm + cikjm)2)

− 13(2 a2 + (bjm + cikjm)2

)3/2.

On procède de la même manière pour λ3 :∫ bik

0λ3(a, s′) ds′

= −∫ −bik+cikjm

cikjm

(−t+ cikjm)√

2 a2 + t2 dt

=13(2 a2 + (−bik + cikjm)2

)3/2 − cikjm2

(−bik + cikjm)√

2 a2 + (−bik + cikjm)2

− a2 cikjm ln(

(−bik + cikjm) +√

2 a2 + (−bik + cikjm)2)

− 13(2 a2 + c2ikjm

)3/2 +c2ikjm

2

√2 a2 + c2ikjm + a2 cikjm ln

(cikjm +

√2 a2 + c2ikjm

).

Pour le calcul de l'intégrale de λ2, on commence par un changement de variable :∫ bik

0λ2(a, s′) ds′ = −

∫ bjm−bik+cikjm

bjm+cikjm

(bjm + cikjm − t) (bjm − t) ln(t+√

2 a2 + t2)dt.

On développe ensuite l'intégrande :∫ bik

0λ2(a, s′) ds′ = −bjm (bjm + cikjm)

∫ bjm−bik+cikjm

bjm+cikjm

ln(t+√

2 a2 + t2)dt

+ (2 bjm + cikjm)∫ bjm−bik+cikjm

bjm+cikjm

t ln(t+√

2 a2 + t2)dt

−∫ bjm−bik+cikjm

bjm+cikjm

t2 ln(t+√

2 a2 + t2)dt.

Finalement, les trois primitives suivantes :∫ln(t+√

2 a2 + t2)dt = t ln

(t+√

2 a2 + t2)−√

2 a2 + t2,∫t ln

(t+√

2 a2 + t2)dt =

(t2

2+

2 a2

4

)ln(t+√

2 a2 + t2)− t

√2 a2 + t2

4,∫

t2 ln(t+√

2 a2 + t2)dt =

t3

3ln(t+√

2 a2 + t2)− 1

9(2 a2 + t2

)3/2 +2 a2

3

√2 a2 + t2,


nous permettent de trouver la valeur de l'intégrale de λ2.

De même, la valeur de l'intégrale de λ4 s'obtient après changement de variable et développe-ment de l'intégrande, en fonction des trois primitives ci-dessus par la formule :

∫ bik

0λ4(a, s′) ds′

= cikjm

∫ −bik+cikjm

cikjm

t ln(t+√

2 a2 + t2)dt −

∫ −bik+cikjm

cikjm

t2 ln(t+√

2 a2 + t2)dt.

Après simplications, on obtient nalement :

Iikjm(a) =1

|bikbjm|

∫ bik

0

∫ bjm

0

s s′ ds ds′[2 a2 + (s− s′ + cikjm)2

]1/2 ,=

1|bikbjm|

∫ bik

0

(λ1(a, s′) + λ2(a, s′) + λ3(a, s′) + λ4(a, s′)

)ds′,

Iikjm(a) =1

|bikbjm|(ζ(a) + ζ1(a) + ζ2(a) + ζ3(a) + ζ4(a))

avec :

ζ(a) = −f(a, bjm + cikjm)− f(a, cikjm − bik)+f(a, bjm + cikjm − bik) + f(a, cikjm)

ζ1(a) = f1(a, 2 a2 + (bjm − bik + cikjm)2)ζ2(a) = f2(a, 2 a2 + (bjm + cikjm)2)ζ3(a) = f3(a, 2 a2 + (−bik + cikjm)2)ζ4(a) = f4(a, 2 a2 + c2ikjm)

et :

f1(a, s) =49(s2)3/2 +

(−

3 cikjm4

(bjm − bik + cikjm) + bik bjm −2 a2

3

) √s2

+ (bjm − bik + cikjm)(−bik bjm +

cikjm2

(bjm − bik + cikjm)−(bjm − bik + cikjm)2

3

)× ln

((bjm − bik + cikjm) +

√s2)

f2(a, s) = − 49(s2)3/2 +

((bjm + cikjm)

3 cikjm4

+2 a2

3

) √s2

+ (bjm + cikjm)2(−cikjm

2+

(bjm + cikjm)3

)ln((bjm + cikjm) +

√s2)


f3(a, s) = −49(s2)3/2 +

(3 cikjm

4(−bik + cikjm) +

2 a2

3

) √s2

+ (−bik + cikjm)2(−cikjm

2+

(−bik + cikjm)3

)ln((−bik + cikjm) +

√s2)

f4(a, s) =49(s2)3/2 +

(−

3 c2ikjm4

− 2 a2

3

)√s2 +

c3ikjm6

ln(cikjm +

√s2)

f(a, s) =cikjm

2a2 ln

(s+

√2 a2 + s2

).

On remarque qu'ici la fonction f correspond exactement à la fonction f pour le calcul de Hij etque le terme ζ est identiquement égal au terme ζ de Hij .

Comme pour le calcul des termes singuliers de l'intégraleHij , nous allons faire l'approximationlaire lors de l'intégration par rapport à θ.

8.3.2.2 Intégration par rapport à θ :On introduit les intégrales suivantes :

I1 =∫

(2 a2)3/2 da =163r3w,

I2 =∫

(2 a2)1/2 da = 2 rw,

I3 =∫

(a2) da = r2wπ

2,

I(s) =∫−a2 ln

(s+

√2 a2 + s2

)da,

I ′(s) =∫

ln(s+

√2 a2 + s2

)da.

L'intégration par rapport à θ se fait exactement sur le même principe que pour l'intégraleSij , à savoir : on applique l'hypothèse (H1) et on néglige la quantité 2 a2 devant s, avec s ∈bjm − bik + cikjm, bjm + cikjm,−bik + cikjm, cikjm, à condition que s 6= 0, et si s = 0, alors onintègre directement par rapport à θ.Par ailleurs, on reprend les mêmes notations que pour l'intégrale Hij , à savoir :

∫ π/2

0Iikjm(θ) dθ =

1|bik bjm|

(It1 + It2 + It3 + It4) . (8.7)


1. Intégration de ζ1 :• Si (bjm − bik + cikjm) 6= 0 : on applique (H1) :It1 ≈ π

249|bjm − bik + cikjm|3

+π

2

(−

3 cikjm4

(bjm − bik + cikjm) + bik bjm

)|bjm − bik + cikjm|

− 23I3 |bjm − bik + cikjm|

+ (bjm − bik + cikjm)(−bik bjm +

cikjm2

(bjm − bik + cikjm)−(bjm − bik + cikjm)2

3

)×I ′(bjm − bik + cikjm).

• Si (bjm − bik + cikjm) = 0 : on intègre tel quel par rapport à θ. On obtient :It1 =

49I1 + bik bjm I2 −

13I1 =

19I1 + bik bjm I2.

2. Intégration de ζ2 :• Si (bjm + cikjm) 6= 0 : on applique (H1) :

It2 ≈ −π2

49|bjm + cikjm|3 +

π

2

((bjm + cikjm)

3 cikjm4

)|bjm + cikjm|+

23I3 |bjm + cikjm|

+ (bjm + cikjm)2(−cikjm

2+

(bjm + cikjm)3

)I ′(bjm + cikjm).

• Si (bjm + cikjm) = 0 : on intègre directement par rapport à θ :It2 = −4

9I1 +

13I1 = −1

9I1.

3. Intégration de ζ3 :• Si (−bik + cikjm) 6= 0 : on applique (H1) :

It3 ≈ −π2

49|−bik + cikjm|3 +

π

2

((−bik + cikjm)

3 cikjm4

)|−bik + cikjm|

+23I3 |−bik + cikjm|

+ (−bik + cikjm)2(−cikjm

2+

(−bik + cikjm)3

)I ′(−bik + cikjm).

• Si (−bik + cikjm) = 0 : on intègre directement par rapport à θ :It3 = −4

9I1 +

13I1 = −1

9I1.

4. Intégration de ζ4 :• Si cikjm 6= 0 : on applique (H1) :

It4 ≈ π

249|cikjm|3 −

π

23 c2ikjm

4|cikjm| −

23I3 |cikjm|

+c3ikjm

6I ′ (cikjm) .


• Si cikjm = 0 : on intègre directement par rapport à θ :It4 =

49I1 −

13I1 =

19I1.

Maintenant nous avons obtenu une approximation de l'intégrale Sij pour les termes singuliersd'après les équations (8.6) et (8.7), et les valeurs des intégrales ci-dessus, et pour les termesréguliers selon l'équation (8.5).

8.4 Calculs d'intégrales complémentaires

8.4.1 Calcul de I

I(s) =∫ π/2

0−2 r2wsin2θ ln

(s +


)dθ.

• Si s > 0 : on néglige 4 r2w sin2θ. On calcule :

I(s) =∫ π/2

0−2 r2wsin2θ ln (2 s) dθ.

Et comme l'intégrale de sin2θ pour θ compris entre 0 et π/2 vaut π/4, on obtient :I(s) = −r2w ln (2 s)

π

2.

• Si s = 0 : on doit calculer :I(0) =

∫ π/2

0−2 r2wsin2θ ln

(√4 r2w sin2θ

)dθ

=∫ π/2

0−2 r2wsin2θ ln (2 rw sinθ) dθ.

Après intégration par parties, on obtient :I(0) = − r2w ln (2 rw)

π

2− r2w

π

4+ r2w

π

2ln(2).

• Si s < 0 : on ne peut pas négliger directement le terme 4 r2w sin2θ. On multiplie parl'expression conjuguée :

I(s) =∫ π/2

0−2 r2wsin2θ ln

(4 r2w sin2θ

−s +√

4 r2w sin2θ + s2

)dθ

=∫ π/2

0−2 r2wsin2θ ln (4 r2w sin2θ

)dθ

+∫ π/2

02 r2wsin2θ ln

(−s +


)dθ.

On remarque que le premier terme vaut 2 I(0), et le deuxième terme est en fait −I(−s).Comme −s > 0, on a déjà calculé I(−s), et on en déduit que :

I(s) = 2 I(0) − I(−s)

≈ 2(− r2w ln (2 rw)

π

2− r2w

π

4+ r2w

π

2ln(2)

)+ 2 r2w ln (−2 s)

π

4

8.4. Calculs d'intégrales complémentaires 171

8.4.2 Calcul de I ′

On note :I ′(s) =

∫ln(s+

√2 a2 + s2

)da

=∫ π/2

0ln(s+

√4 r2w sin2(θ) + s2

)dθ.

On adopte le même raisonnement que pour le calcul de l'intégrale I.• Si s > 0 :

I ′(s) ≈ π

2ln(2 s).

• Si s < 0 :

I ′(s) =∫ π/2

0ln(

4 r2w sin2θ

−s +√

4 r2w sin2θ + s2

)dθ

=∫ π/2

0ln (4 r2w sin2θ

)dθ −

∫ π/2

0ln(−s +


)dθ

≈ π ln(rw)− π

2ln(−2 s).

car en utilisant les propriétés du logarithme népérien :∫ π/2

0ln (4 r2w sin2θ

)dθ = 2

∫ π/2

0ln (2 rw) dθ + 2

∫ π/2

0ln ( sinθ) dθ

= π ln (2 rw) − π ln (2)= π ln (rw) .

Remarque 20 Le cas s = 0 ne se présente pas.

8.4.3 Calcul de I1 et I2

Les calculs de I1 et I2 s'obtiennent facilement en intégrant sin3(θ) et sin(θ).

I1 =∫

(2 a2)3/2 da =∫ π/2

08 r3w sin3(θ) dθ =

163r3w.

I2 =∫

(2 a2)1/2 da =∫ π/2

02 rw sin(θ) dθ = 2 rw.

173

Chapitre 9

Annexe C : Calcul des intégrales mixtes

Les intégrales Sij et Hij étant calculées numériquement, nous nous intéresserons ici seulementà l'approximation analytique des intégrales H ′

ij et Dij , l'intégrale H ′ij étant celle associée à la

dérivée normale du noyau de Green sur la frontière du puits Γw.

9.1 Calcul de H ′ij

H ′ij =

14π

∑T∈ supp ψh

j

∫Tψhj (y)

∫Γw

ϕhi (x)∂

∂nx

(1

|x− y|

)dγ(x) dT (y).

L'intégrale extérieure sera calculée numériquement par une quadrature de Gauss. On s'intéressedonc au calcul de l'intégrale intérieure, que l'on note H′

ij(y) :

H′ij(y) =

∫Γw

ϕhi (x)∂

∂nx

(1

|x− y|

)dγ(x) =

∫Γw

ϕhi (x)−(x− y, nx)|x− y|3

dγ(x),

avec y xé dans un triangle T . On a alors :

H ′ij =

14π

∑T∈ supp ψh

j

∫TH′ij(y) dT (y). (9.1)

La normale au puits nx est orientée vers l'intérieur du puits, car elle doit être orientée versl'extérieur du domaine.On passe en coordonnées cylindriques. On choisit le repère ayant pour origine le point O′ originede la branche du puits sur laquelle se situe x, les vecteurs ~e1 et ~e2 déterminent le plan d'unesection du puits x et ~e3 est dirigé suivant l'axe du puits, selon la gure 9.1.y′ est le projeté de y dans le plan de x.On a alors :

x =

rw cos θrw sin θ

l

, ~nx =

− cos θ− sin θ

0

, y =

r cos θyr sin θyly

, y′ =

r cos θyr sin θy

l

.

174 Chapitre 9. Annexe C : Calcul des intégrales mixtes

PSfrag replacementsO′

xyy′

r

Fig. 9.1 Section du puits

On a : (x− y) = (x− y′) + (y′ − y), donc :

x− y =

rw cos θ − r cos θyrw sin θ − r sin θy

l − ly

et (x− y, ~nx) = −rw + r cos θy cos θ + r sin θy sin θ

= −rw + r cos (θ − θy).

Par ailleurs,|x− y| =

√(l − ly)2 + (rw cos θ − r cos θy)2 + (rw sin θ − r sin θy)2

=√

(l − ly)2 + r2w + r2 − 2 rw r cos (θ − θy).

On doit donc calculer :H′ij(y) = −

∫ L

0

∫ 2π

0ϕhi (l)

rw − r cos (θ − θy)[(l − ly)2 + r2w + r2 − 2 rw r cos (θ − θy)

]3/2 rw dθ dl,

qui peut s'écrire, après réduction par symétrie, relations trigonométriques puis changement devariable sur l'intégrale sur 2π, comme :

−4∫ L

0

∫ (π−θy)/2

−θy/2ϕhi (l)

rw (rw − r) + 2 r rw sin2(θ)[(l − ly)2 + (rw − r)2 + 4 rw r sin 2(θ)

]3/2 dθ dl.On peut choisir θy = 0. L'intégrale devient alors :

H′ij(y) = −4

∫ L

0

∫ π/2

0ϕhi (l)

rw (rw − r) + 2 r rw sin2(θ)[(l − ly)2 + (rw − r)2 + 4 rw r sin 2(θ)

]3/2 dθ dl.

9.1. Calcul de H ′ij 175

Cette intégrale est bien dénie. On introduit les notations suivantes :

N(θ) = rw (rw − r) + 2 r rw sin2(θ),D2(θ) = (rw − r)2 + 4 rw r sin 2(θ)

= r2 − 2 r rw + r2w + 4 rw r sin 2(θ).

• Première étape : intégration par rapport à l.On va commencer par intégrer par rapport à l, et on terminera par l'intégration par rapport àθ. Soit :

I(θ) =∫ L

0ϕhi (l)

N(θ)[(l − ly)2 + D2(θ)

]3/2 dl.On découpe l'intervalle [0, L] en Nw segments :

I(θ) =Nw−1∑k=1

∫ lk+1

lk

ϕhi (l)N(θ)[

(l − ly)2 + D2(θ)]3/2 dl =

Nw−1∑k=1

Ik(θ).

Notons lik = δiklk+1 + δi,k+1lk. Rappelons que la fonction de base ϕhi s'exprime de manièregénérale sur un intervalle [lk, lk+1] pour k = 1, . . . , NW − 1 par :

ϕhi (l) =l − likli − lik

.

On s'intéresse donc au calcul de Ik(θ) :

Ik(θ) =∫ lk+1

lk

ϕhi (l)N(θ)[

(l − ly)2 + D2(θ)]3/2 dl.

Par changement de variable, puis décomposition de l'intégrale en morceaux de même ordre etintégration, on obtient :

Ik(θ) =N(θ)li − lik

1√(lk − ly)2 + D2(θ)

− 1√(lk+1 − ly)2 + D2(θ)

+(ly − lik) (lk+1 − ly)

D2(θ)√

(lk+1 − ly)2 + D2(θ)− (ly − lik) (lk − ly)

D2(θ)√

(lk − ly)2 + D2(θ)

.

Maintenant que nous avons intégré par rapport à l, il nous reste à intégrer par rapport à θ.

• Deuxième étape : intégration par rapport à θ.


On rencontre alors deux types d'intégrales par rapport à θ à calculer :

H1(s) =∫ π/2

0λ1(s, θ) dθ,

H2(s) =∫ π/2

0λ2(s, θ) dθ,

avec λ1(s, θ) =rw (rw − r) + 2 r rw sin2(θ)√s2 + (rw − r)2 + 4 rw r sin2(θ)

,

et λ2(s, θ) = s × rw (rw − r) + 2 r rw sin2(θ)((rw − r)2 + 4 rw r sin2(θ)

) √s2 + (rw − r)2 + 4 rw r sin2(θ)

.

L'intégrale intérieure H′ij(y) s'écrit alors en fonction des intégrales H1 et H2 de la manière

suivante :

H′ij(y) = −4

Nw−1∑k=1

1(li − lik)

(H1(lk − ly) − H1(lk+1 − ly)

+(ly − lik) H2(lk+1 − ly)−H2(lk − ly)).

Le calcul des intégrales H1 et H2 va dépendre de la position du puits par rapport au bord,i.e. par rapport au triangle considéré. Ici nous nous limiterons au cas où le puits est susammentéloigné du bord.

Regardons maintenant de plus près les fonctions λ1 et λ2 que nous devons intégrer par rapportà θ, pour voir s'il est possible de faire une approximation de leur intégrale. La racine carrée dudénominateur de λ1 et λ2 peut s'écrire, en utilisant la notation D2(θ) et en développant le carré :

√s2 +D2(θ) =

√s2 + r2 + 2 rw r + r2w + 4 rw r sin2(θ).

Si le puits est susamment éloigné du bord, alors la quantité s2 + r2 est grande devant rw. Onpeut donc approcher la quantité s2 +D2(θ) par s2 + r2.

Remarque 21 On ne peut pas approcher directement D2(θ) par r2, car r2 peut devenir très petitdans le cas où le point y se trouve sur un triangle qui rencontre le prolongement du puits, maisen ce cas-là s2 (qui représente la distance l'une des extrémités du segment [lk, lk+1] sur lequel onintègre, et la coordonnée ly du point y sur l'axe du puits) est grand par rapport à r2 : c'est doncla quantité s2 +D2(θ) qui peut être approchée par s2 + r2, et non pas directement D2(θ) par r2.

Ainsi, nous pouvons approcher les intégrales H1 et H2 par :

H1(s) ≈∫ π/2

0

rw (rw − r) + 2 r rw sin2(θ)√s2 + r2

dθ,

H2(s) ≈ s

∫ π/2

0

rw (rw − r) + 2 r rw sin2(θ)D2(θ)

√s2 + r2

dθ.

9.2. Calcul de Dij 177

Le calcul de l'approximation de l'intégrale H1 ne pose alors aucune diculté, et on trouvenalement :

H1(s) ≈π

2r2w√

s2 + r2.

Le calcul de l'approximation de H2 pose un peu plus de dicultés, à cause du D2(θ) quiintervient au dénominateur. Si on remplace D2(θ) par sa valeur, on voit que l'on doit intégrer :

H2(s) ≈ ss√

s2 + r2

∫ π/2

0

rw (rw − r) + 2 r rw sin2(θ)((rw − r)2 + 4 rw r sin2(θ)

) dθ.On décompose cette intégrale en deux intégrales de la manière suivante :

H2(s) ≈s√

s2 + r2

(rw

(rw − r)I1 +

2 r rw(rw − r)2

I2

)

avec :

I1 =∫ π/2

0

1(1 + a2 sin2(θ)

) dθ,I2 =

∫ π/2

0

sin2(θ)(1 + a2 sin2(θ)

) dθ,et toujours a2 =

4 r rw(r − rw)2

.Les valeurs des deux intégrales I1 et I2 sont données dans la section 9.3.Ainsi nous obtenons une approximation de l'intégrale intérieure H′

ij(y) en fonction de H1,H2 etI1 et I2. L'intégrale H ′

ij est nalement obtenue par intégration numérique sur l'équation (9.1).

9.2 Calcul de Dij

Comme nous ne considérons que le cas où le puits est susamment loin du bord ou desinterfaces, le noyau de Green n'est pas singulier, et on peut faire rentrer la dérivée normale∂/∂nx dans l'intégrale intérieure :

Dij =14π

∫Γw

ϕhi (x)∂

∂nx

∑T∈ supp ψh

j

∫Tψhj (y)

∂

∂ny

(1

|x− y|

)dT (y)

dγ(x)

=14π

∑T∈ supp ψh

j

∫Tψhj (y)

∫Γw

ϕhi (x)∂2

∂nx∂ny

(1

|x− y|

)dγ(x) dT (y).

De la même manière que pour l'intégrale H ′ij , on note Dij(y) l'intégrale intérieure :

Dij(y) =∫

Γw

ϕhi (x)∂2

∂nx∂ny

(1

|x− y|

)dγ(x),


de sorte que :

Dij =14π

∑T∈ supp ψh

j

∫TDij(y) dT (y). (9.2)

L'intégrale intérieure Dij(y) est calculée analytiquement, tandis que l'intégrale extérieure seraensuite calculée numériquement.

Le noyau de l'intégrale Dij(y) s'écrit :∂2

∂nx∂ny

(1

|x− y|

)=

(nx, ny)|x− y|3

− 3(x− y, nx) (x− y, ny)

|x− y|5.

On peut alors décomposer Dij(y) de la façon suivante :

Dij(y) = D1(y) − 3D2(y)

avec :D1(y) =

∫Γw

ϕhi (x)(nx, ny)|x− y|3

dγ(x),

D2(y) =∫

Γw

ϕhi (x)(x− y, nx) (x− y, ny)

|x− y|5dγ(x).

• Calcul de D1(y) :Nous pouvons écrire :

D1(y) =(∫

Γw

ϕhi (x)nx

|x− y|3dγ(x)

).ny.

L'intégrale sur le puits ci-dessus est alors un vecteur de R3, et on note ses composantes :(D1,1(y), D1,2(y), D1,3(y)).Or nous avons vu précédemment que la normale au puits nx s'écrit :

nx =

− cos θ− sin θ

0

,

et |x− y| =√

(l − ly)2 + r2w + r2 − 2 rw r cos (θ).La dernière coordonnée de nx valant 0, l'intégrale D1,3(y) est nulle. Pour obtenir D1, il nous fautdonc calculer les deux intégrales :

D1,1(y) = −∫ 2π

0

∫ L

0ϕhi (l)

cos θ[(l − ly)2 + r2w + r2 − 2 rw r cos (θ)

]3/2 rw dl dθ,

D1,2(y) = −∫ 2π

0

∫ L

0ϕhi (l)

sin θ[(l − ly)2 + r2w + r2 − 2 rw r cos (θ)

]3/2 rw dl dθ.


Calcul de D1,1(y) :Après réduction par symétrie, formules trigonométriques et changement de variable pour

l'intégrale sur 2π, on remarque que le calcul D1,1(y) revient au calcul de H′ij(y) à quelques coef-cients près :

D1,1(y) = − 4 rw∫ π/2

0

∫ L

0ϕhi (l)

1− 2 sin2θ[(l − ly)2 + (rw − r)2 + 4 rw r sin2(θ)

]3/2 dl dθ.On reprend les mêmes approximations que pour le calcul de H′

ij(y), et on trouve :

D1,1(y) ≈ − 4 rwNw−1∑k=1

1(li − lik)

(H ′

1(lk − ly) − H ′1(lk+1 − ly)

+ (ly − lik)H ′

2(lk+1 − ly) − H ′2(lk − ly)

)avec :

H ′1(s) =

∫ π/2

0

1− 2 sin2 θ√s2 + r2

dθ =1√

s2 + r2

(π2− 2

π

4

)= 0, ∀s ∈ R,

et d'autre part :

H ′2(s) = s

∫ π/2

0

1− 2 sin2 θ((rw − r)2 + 4 rw r sin2(θ)

) √s2 + r2

dθ

=s√

s2 + r21

(rw − r)2(I1 − 2 I2) ,

la valeur des intégrales I1 et I2 gurant dans le paragraphe 9.3.On obtient nalement l'approximation suivante de D1,1(y) :

D1,1(y) ≈ − 4 rw∑k∈I

(ly − lik)(li − lik)

1(rw − r)2

(I1 − 2 I2)

((lk+1 − ly)√

(lk+1 − ly)2 + r2− (lk − ly)√

(lk − ly)2 + r2

)

Calcul de D1,2(y) :L'intégrale D1,2(y) est nulle. En eet, en divisant l'intervalle [0, 2π] en 2, on peut écrire, pour

toute fonction f de sin(θ) et cos(θ) :∫ 2π

0f(cos(θ), sin(θ)) dθ =

∫ π

0f(cos(θ), sin(θ)) dθ +

∫ 2π

πf(cos(θ), sin(θ)) dθ.

On eectue ensuite le changement de variable : t = 2π − θ dans le seconde intégrale, et parrelation trigonométrique, on obtient alors :∫ 2π

πf(cos(θ), sin(θ)) dθ =

∫ π

0f(cos(2π − t), sin(2π − t)) dt =

∫ π

0f(cos(t),− sin(t)) dt,


d'où, en sommant les intégrales sur [0, π] et sur [π, 2π] :∫ 2π

0f(cos(θ), sin(θ)) dθ =

∫ π

0(f(cos(θ), sin(θ)) + f(cos(θ),− sin(θ))) dθ. (9.3)

Or la fonction f qui nous intéresse est :f(cos(θ), sin(θ)) dθ = −ϕhi (l) rw

sin θ[(l − ly)2 + r2w + r2 − 2 rw r cos (θ)

]3/2 ,et cette fonction est impaire par rapport à sin(θ). On en déduit donc d'après (9.3) que :

D1,2(y) = 0.

Ainsi on obtient nalement que :D1(y) = D1,1(y) n1

y,

où n1y désigne la première composante de la normale ny.

• Calcul de D2(y) :Rappelons l'expression de D2(y) :

D2(y) =∫

Γw

ϕhi (x)(x− y, nx) (x− y, ny)

|x− y|5dγ(x).

Comme pour l'intégrale D1(y), on écrit :D2(y) =

(∫Γw

ϕhi (x)(x− y, nx)x− y

|x− y|5dγ(x)

).ny.

On rappelle que :x− y =

rw cos θ − rrw sin θl − ly

,

et (x− y, nx) = −(rw − r cos θ), et D2(θ) = r2w + r2 − 2 r rw cos θ.On pose alors :

N1(l, θ) = N1(θ) = (rw − r cos θ) (rw cos θ − r) = (r2w + r2) cos θ − r rw(1 + cos2 θ),N2(l, θ) = N2(θ) = (rw − r cos θ) rw sin θ,N3(l, θ) = (rw − r cos θ) (l − ly).

On note :

D2,p(y) = − rw∫ 2π

0

∫ L

0ϕhi (l)

Np(l, θ)[(l − ly)2 + D2

]5/2 dl dθ, pour p = 1, 2, 3.

On voit tout de suite que D2,2(y) = 0, pour les mêmes raisons que D1,2(y) = 0.Il nous reste donc D2,1(y), puis D2,3(y) à calculer.


Calcul de D2,1(y) :Le numérateur N1 est indépendant de l, on va tout d'abord intégrer par rapport à l :∫ L

0ϕhi (l)

1[(l − ly)2 + D2(θ)

]5/2 dl.Après découpage de l'intervalle [0, L] en Nw segments, changement de variable, puis intégration,on obtient :

D2,1(y) = − rw∑Nw−1

k=1

1(li − lik)

(D2,1,1(lk+1 − ly)−D2,1,1(lk − ly)

+(ly − lik) (D2,1,2(lk+1 − ly)−D2,1,2(lk − ly) +D2,1,3(lk+1 − ly)−D2,1,3(lk − ly)))

avec :

D2,1,1(s) =∫ 2π

0

−N1(θ)

3[s2 +D2(θ)

]3/2 dθ,D2,1,2(s) =

∫ 2π

0

sN1(θ)

3D2(θ)[s2 +D2(θ)

]3/2 dθ,D2,1,3(s) =

∫ 2π

0

2 sN1(θ)3D4(θ)

√s2 +D2(θ)

dθ.

Calcul de D2,1,1(s)

Comme le puits est supposé ici loin du bord, on adopte le même raisonnement que pourl'intégrale Hij , et on approche s2 +D2(θ) par s2 + r2, d'où :

D2,1,1(s) ≈∫ 2π

0

−N1(θ)

3[s2 + r2

]3/2 dθ.Après intégration, on trouve :

D2,1,1(s) ≈π r rw[

s2 + r2]3/2 .

Calcul de D2,1,2(s)

De la même manière que précédemment, on peut approcher s2 +D2(θ) par s2 + r2, d'où :

D2,1,2(s) ≈∫ 2π

0

sN1(θ)

3D2(θ)[s2 + r2

]3/2 dθ.


Après réduction par symétrie de l'intégrale sur 2π, développement du numérateur N1(θ), etremplacement de D2(θ) par sa valeur, on a :

D2,1,2(s) ≈ 2 s

3[s2 + r2

]3/2 ×

((r2w + r2)

∫ π

0

cos θ dθ(r2w + r2 − 2 r rw cos θ)

− r rw

∫ π

0

(1 + cos2 θ) dθ(r2w + r2 − 2 r rw cos θ)

).

La première intégrale se réécrit après réduction par symétrie de l'intégrale sur π :∫ π

0


= 2∫ π/2

0

(1− 2 sin2 θ) dθ((rw − r)2 + 4r rw sin2 θ

) ,puis se calcule en fonction des intégrales I1 et I2 gurant dans le paragraphe 9.3 :∫ π

0


=2

(rw − r)2(I1 − 2I2).

Quant à la seconde intégrale, sa première partie s'exprime aussi en fonction de I1 après réductionpar symétrie, de telle sorte que :

−r rw∫ π

0

(2− sin2 θ) dθ(r2w + r2 − 2 r rw cos θ)

= − 4 r rw(rw − r)2

I1 + r rw

∫ π

0

sin2 θ dθ

(r2w + r2 − 2 r rw cos θ).

Il nous reste donc à calculer : ∫ π

0

sin2 θ dθ

(r2w + r2 − 2 r rw cos θ).

Par relation trigonométrique, et changement de variable, on a :∫ π

0

sin2 θ dθ

(r2w + r2 − 2 r rw cos θ)= 8

∫ π/2

0

sin2 θ cos2 θ dθ((rw − r)2 + 4 r rw sin2 θ

) =8

(rw − r)2I3,

avec :I3 =

∫ π/2

0

sin2 θ cos2 θ dθ(1 + a2 sin2 θ

) , et a2 =4 r rw

(rw − r)2.

Le calcul de l'intégrale I3 gure dans le paragraphe 9.3.On en déduit D2,1,2(s), après regroupement de tous les termes, et simplications :

D2,1,2(s) ≈4 s

3[s2 + r2

]3/2 (I1 −2 (r2w + r2)(rw − r)2

I2 +4 r rw

(rw − r)2I3

).

Calcul de D2,1,3(s)

On fait les mêmes approximations que précédemment, à savoir : s2 +D2(θ) est approché pars2 + r2, donc :

D2,1,3(s) ≈2 s

3√s2 + r2

∫ 2π

0

N1(θ)D4(θ)

dθ.


Après développement de N1(θ), remplacement de D2(θ) par sa valeur, puis réduction par symé-trie, on peut écrire :

D2,1,3(s) ≈4 s

3√s2 + r2

(r2w + r2)

∫ π

0

cos θD4(θ)

dθ − r rw

∫ π

0

(1 + cos2 θ)D4(θ)

dθ

.

Arrivés à ce stade, nous devons calculer les deux intégrales :

I3,1 =∫ π

0

cos θ(r2w + r2 − 2 r rw cos θ

)2 dθ,I3,2 =

∫ π

0

(1 + cos2 θ)(r2w + r2 − 2 r rw cos θ

)2 dθ.Par formules trigonométriques, puis changement de variable, l'intégrale I3,1 peut se réécrire :

I3,1 = 2∫ π/2

0

(1− 2 sin2(θ)) dθ[(rw − r)2 + 4 r rw sin2(θ)

]2 =2

(rw − r)4I5,

avec :I5 =

∫ π/2

0

(1− 2 sin2 θ) dθ[1 + a2 sin2(θ)

]2 .De même, l'intégrale I3,2 se réécrit :

I3,2 =2

(rw − r)4(I4 + I6) ,

avec :

I4 =∫ π/2

0

dθ[1 + a2 sin2(θ)

]2 ,I6 =

∫ π/2

0

(1− 2 sin2(θ))2 dθ[1 + a2 sin2(θ)

]2 .Les intégrales I4, I5, I6 sont données dans le paragraphe 9.3.Finalement on a :

D2,1,3(s) ≈8 s

3√s2 + r2 (rw − r)4

((r2w + r2)I5 − r rw(I4 + I6)

).

Calcul de D2,3(y) :On rappelle l'expression de D2,3(y) :

D2,3(y) = − rw∫ 2π

0

∫ L

0ϕhi (l)

(rw − r cos θ) (l − ly)[(l − ly)2 + D2

]5/2 dl dθ.


Pour calculer cette intégrale, on intègre tout d'abord par rapport à l. On discrétise l'intervalle[0, L], puis par changement de variable, et intégration, on trouve :

D2,3(y) = − rw∑k

1(li − lik)

J3,1(lk+1 − ly) − J3,1(lk − ly)

− (ly − lik) (J3,2(lk+1 − ly) − J3,2(lk − ly)) (9.3)

avec :J3,1(s) =

∫ 2π

0

s3 (rw − r cos θ) dθ3D2(θ) (s2 +D2(θ))3/2

,

J3,2(s) =∫ 2π

0

(rw − r cos θ) dθ3(s2 +D2(θ))3/2

.

Calcul de J3,1

On peut approcher s2 +D2(θ) par s2 + r2, et donc :J3,1(s) ≈ s3

3 (s2 + r2)3/2

∫ 2π

0

(rw − r cos θ) dθD2(θ)

.

Après relations trigonométriques et changement de variable, l'intégrale J3,1 s'exprime en fonctionde I1 et de I2 :

J3,1(s) ≈4 s3

3 (s2 + r2)3/2

(1

(rw − r)I1 +

2 r(rw − r)2

I2

).

Calcul de J3,2

L'intégrale J3,2 est approchée par :J3,2(s) ≈

13(s2 + r2)3/2

∫ 2π

0(rw − r cos θ) dθ,

et son approximation se calcule très facilement :

J3,2(s) ≈2π rw

3 (s2 + r2)3/2.

Donc l'intégrale D2(y) s'écrit :D2(y) = D2,1(y).n1

y +D2,3(y).n3y,

avec n3y la troisième composante de la normale ny.

Il s'ensuit pour l'intégrale intérieure Dij :

Dij(y) = (D1,1(y) − 3D2,1(y)) .n1y − 3D2,3(y).n3

y.

L'intégrale Dij est nalement obtenue par intégration numérique sur l'équation (9.2).

9.3. Calculs d'intégrales intermédiaires 185

9.3 Calculs d'intégrales intermédiaires

9.3.1 Intégrales en 1 + a2sin2θ :9.3.1.1 Calcul de I1 :

I1 =∫ π/2

0

1(1 + a2 sin2(θ)

) dθ.On factorise le dénominateur par cos2(θ) :

I1 =∫ π/2

0

1

cos2 θ(

1cos2 θ

+ a2 sin2 θ

cos2 θ

) dθ,

puis par relations trigonométriques, on exprime l'intégrande en fonction de tan(θ) :

I1 =∫ π/2

0

(1 + tan2 θ

)dθ

(1 + tan2 θ + a2 tan2 θ).

On eectue alors le changement de variable :u = tan θ du = (1 + tan2 θ) dθ,

et on obtient :I1 =

∫ +∞

0

du

1 + (1 + a2)u2.

Après intégration, on trouve :I1 =

1√1 + a2

π

2.

La méthode de calcul est la même pour toutes les intégrales suivantes : on factorise le déno-minateur par cos2(θ) pour faire apparaître par relations trigonométriques tan2(θ), on fait ensuitele changement de variable u = tan θ, puis une décomposition en éléments simples, et on intègre.Pour les calculs de I2 et I3, nous ne montrerons que ces étapes du calcul, puis le résultat nal.

9.3.1.2 Calcul de I2 :

I2 =∫ π/2

0

sin2 θ dθ(1 + a2 sin2 θ

)=

∫ +∞

0

u2 du

(1 + u2) (1 + (1 + a2)u2)

=∫ +∞

0

(u2 + (1 + a2)) dua4 (1 + u2)

−∫ +∞

0

(1 + a2) (1 + u2) dua4(1 + (1 + a2)u2

)=

π

2 a2−√

1 + a2

a4

π

2+

1a4√

1 + a2

π

2.



I3 =∫ π/2

0

sin2 θ cos2 θ dθ(1 + a2 sin2 θ

)=

∫ +∞

0

u2 du

(1 + u2)2 (1 + (1 + a2)u2)

=∫ +∞

0

u2 + (1 + a2)a4 (1 + u2)2

du −∫ +∞

0

(1 + a2)a4 (1 + (1 + a2)u2)

du

=(2 + a2)π

4 a4−√

1 + a2

a4

π

2.

9.3.2 Intégrales en (1 + a2sin2θ)2 :

9.3.2.1 Calcul de I4 :On adopte la même méthode que précédemment : on cherche à faire apparaître tan2 θ par

relations trigonométriques, mais en factorisant cette fois par cos4 θ, puis on fait le changementde variable u = tan θ. On aboutit ainsi à :

I4 =∫ π/2

0

dθ[1 + a2 sin2(θ)

]2=

∫ π/2

0

(1 + tan2 θ)2 dθ[1 + (1 + a2) tan2 θ

]2=

∫ ∞

0

(1 + u2) du[1 + (1 + a2)u2

]2 .A ce stade, on peut faire apparaître 1 + (1 + a2)u2 au numérateur, et on trouve :

I4 =∫ ∞

0

1 + (1 + a2)u2 − a2u2[1 + (1 + a2)u2

]2 du

=∫ ∞

0

du

1 + (1 + a2)u2−∫ ∞

0

a2u2[1 + (1 + a2)u2

]2 du.Après intégration, on obtient :

I4 =π

2√

1 + a2− a2 π

4 (1 + a2)3/2.


I7 =∫ π/2

0

sin2 θ dθ[1 + a2 sin2(θ)

]2 .Pour cette intégrale, on adopte la même méthode, et après le changement de variable u = tan θ,on arrive à :

I7 =∫ +∞

0

u2 du

(1 + (1 + a2)u2)2.

9.3. Calculs d'intégrales intermédiaires 187

On peut alors écrire :I7 =

1(1 + a2)

∫ +∞

0

(1 + a2)u2

(1 + (1 + a2)u2)2du.

On fait alors le changement de variable :v =

√1 + a2 u,

et on doit calculer :I7 =

1(1 + a2

)3/2 ∫ +∞

0

v2 dv

(1 + v2)2.

On trouve après intégration :I7 =

π

4(1 + a2

)3/2 .9.3.2.3 Calcul de I8 :

I8 =∫ π/2

0

sin4 θ dθ[1 + a2 sin2(θ)

]2 .Après avoir exprimé l'intégrande en fonction de tan θ, puis avoir fait le changement de variableu = tan θ, on obtient :

I8 =∫ +∞

0

u4 du

(1 + u2)(1 + (1 + a2)u2

)2 .On fait alors une décomposition en éléments simples :

I8 =∫ +∞

0

du

a4 (1 + u2)+∫ +∞

0

(a4 − (1 + a2)2)u2 − 1

a4(1 + (1 + a2)u2

)2 du.

La première intégrale s'intégre sans diculté, et pour la deuxième, on développe le numérateur,et on fait le changement de variable v =

((1 + a2)u

)1/2, puis on intégre. On trouve nalement :I8 =

π

2 a4+

π

4 (1 + a2)3/2−√

1 + a2 π

4 a4− π

4 a4√

1 + a2.

Les intégrales I5 et I6 peuvent s'exprimer facielment en développant leur intégrande parrapport aux intégrales déjà calculées.9.3.2.4 Calcul de I5 :

I5 =∫ π/2

0

(1− 2 sin2 θ) dθ[1 + a2 sin2(θ)

]2= I4 − 2 I7.


I6 =∫ π/2

0

(1− 2 sin2 θ)2 dθ[1 + a2 sin2(θ)

]2= I4 − 4 I7 + 4 I8.

189

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RésuméL'utilisation des méthodes intégrales dans le milieu pétrolier est récente et reste limitée à desproblèmes 2D, le puits étant modélisé comme un terme source. Dans ce travail, nous proposonsune nouvelle méthode intégrale pour évaluer la performance des puits dans un réservoir stratiéà géométrie quelconque en 3D. Ici, l'écoulement dans le puits est pris en compte par deux typesde conditions aux limites, la première linéaire, la seconde non-linéaire et non-locale.Nous avons démontré que chacun des deux modèles (linéaire et non-linéaire) est bien posé. Dupoint de vue numérique, nous avons développé une nouvelle formulation intégrale, équivalenteau modèle linéaire. Les équations intégrales ont été discrétisées par une méthode de Galerkin.D'autre part, nous avons pu tirer prot du problème d'échelle pour faire une approximationlaire du puits. Les tests numériques montrent que cette nouvelle méthode intégrale permet decalculer l'indice de productivité du puits à 1% près.Mots-clés : réservoir pétrolier stratié 3D, performance des puits, équations intégrales, approxi-mation laire, condition aux limites non-linéaire et non-locale.

AbstractBoundary integral methods make it possible to overcome the scale dierence between the

size of the reservoir (several kilometers) and the radius of the well (less than 15 cm). They haverecently been used in petroleum engineering, but they were limited to 2D problems, and the wellwas modelled like a source term. Here we propose a new boundary integral method to evaluatewell performance in a 3D stratied reservoir with arbitrary geometry. The ow in the well ismodelled using one of two boundary conditions, the rst one linear, the second one non-linearand non-local. We have proved that both models are well-posed, and we have developed a newboundary integral formulation to treat the linear model. Boundary integral equations have beendiscretized by a Galerkin method, and integrals on the well have been reduced to 1D integrals,thanks to the scale dierence. Well productivity index can be calculated by our new method witha precision of 1%.Key words : 3D petroleum stratied reservoir, well productivity, boundary integral equations,thin well approximation, non-linear and non-local boundary condition.

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Application des méthodes intégrales pour l'évaluation de