Méthodes d’Analyses Factorielles

8/16/2019 Méthodes d’Analyses Factorielles

http://slidepdf.com/reader/full/methodes-danalyses-factorielles 1/28

1

Méthodes d’Analyses FactoriellesACP et AFCM

Séminaire « Tahiti » - IRISA - Île de Houat - 26-27 Avril 2004

Emmanuel ROUX, Alfredo HERNANDEZ et Guy CARRAULT

LTSI - INSERM U642

LTSI



2

Introduction

• Contexte– Nombre important de variables et d’individus statistiques– Pas ou peu de connaissances préalables sur les données

• Objectifs des méthodes– Réduction des données

• Identifier les variables discriminantes les plus informatives• Identifier des relations entre variables

– Juger de la capacité de caractérisation des variables

– Identifier des groupes d’individus et/ou des types de comportement



3

Plan de l’Exposé

• Principes communs aux méthodes factorielles

• Analyse en Composantes Principales (ACP)→ Exemple

• Analyse des Correspondances– Simple (AFC)– Multiple (AFCM)→

Exemple

• Étude en cours



Principes Communs

• Tableau de donnéesn individus statistiques × p variables

• ObjectifReprésenter les données de manière « optimale »

• Méthode– Transformation D→ X adaptée à l’analyse souhaitée– Définition d’une distance– Critère d’optimisation

Analyse en Composantes PrincipalesPrincipes Communs Analyse des Correspondances Étude en Cours



Espace des Individus / des Variables

Individus

Statistiques

Variables

dnp In

…

I2

d12d11 I1

Vp…V2V1D

Individus

Statistiques

Variables

xnp In

…

I2

x12x11 I1

Vp…V2V1X

V1Rn

V2

Vp

I1

Rp

I2Ip

I3

Mise en forme


v

u

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅∑

=

n

i

iu

OHid p1

)(maxr

H2



Propriétés de Base

• Dans l’espace des variables Rp

uα

= vecteurs propres de X tX associés aux valeurs propres λα

• Dans l’espace des individus Rn

vα

= idem avec XX t


Les valeurs propres de X tX est de XX t sont égales !!

Rechercher la meilleure représentation des individusrevient à chercher la meilleure représentation des variables



Analyse en Composantes Principales(ACP)

• Type de données

– Variables continues– ACP normée : données centrées réduites (X )

• Distance euclidienne• Critère

• Recherche des valeurs propres de X t

X

j

jij

ij

d d

x pn ji σ

−

=×∈ ],,1[],1[),(

⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ ∑=

n

iu

GHid 1

)(maxr

Principes Communs Analyse des Correspondances Étude en CoursAnalyse en Composantes Principales



Exemple ACP - Données


75841082845,0Suisse

602534712544,2Suède

211515774194,0Slovaquie

871817454849,0RoyaumeUni

61880752410,3Roumanie

212261048427,6RépTchèque

301834653118,7Portugal2022401167223,9Pologne

991869642735,7Pays-Bas

442344771962,8Norvège

41850053473,9Lettonie

3820255514410,5Italie

271760760338,3Israël672155791631,6Irlande

222525959325,6Hongrie

2218254375910,9Grèce

6821310464436,4France

43221010484226,9Finlande

22070626680,6Russie

471627514217,1Espagne 772518573549,5Danemark

632149712036,1Belgique

4820212731542,3Autriche

7516310474336,6Allemagne

LectCD(Nb / 100 Hab)

TxImp(%)

TxEnrPirates(%)

MusClas(%)

MusPopInt(%)

MusPopNat(%)

Vente($ US / Hab)

Activités et Tendances Culturelles : Musique Enregistrée (1998)

http://www.unesco.org/culture/worldreport/html_fr/stat2/table5f.pdf



Valeurs Propres

Critères de choix des axes principaux• % inertie expliquée > 80%

• Valeurs propres > 1• Différence significative entre 2 valeurs propres successives


InterprétationRésultats ACP

% d’inertie expliquée par l’axe αλα/Σαλα

Variances suivant l’axe αValeurs propres λα

Dépend du nombre de variables



Variables

0,82



CorrélationCosinus angle entre variables

Qualité de la représentation dans le planPosition absolue de la variable

Axe : 1

VENTE$/HAB 0,83LECTCD/100 0,81

MUSPOPINT 0,73

MUSCLAS 0,38

TXIMP -0,04

MUSPOPNAT -0,78

TXENRPIRAT -0,81

Axe : 2

MUSPOPINT 0,65

TXENRPIRAT 0,33

MUSCLAS -0,13

VENTE$/HAB -0,35

TXIMP -0,37

LECTCD/100 -0,42

MUSPOPNAT -0,60

C o o r d o n n é e s v a r i a b l e s

-0,98-0,74



Individus



Contribution à l’inertie suivant l’axe αContribution d’un individu à l’axe α

SimilitudesProximités entre individus

OUEST et NORD ?

EST et SUD ?



Individus / Variables Supplémentaires(Illustratives)

• Individus : Projection dans Rp

• Variables continues : Projection dans Rn

• Variables nominales : Projection dans Rp !!

xi+4p…xi+

4j…xi+41

xi+3p…xi+

3j…xi+31

nominalecontinue

mod 1

…

mod 2

…mod 1

Individus

supplémentaires

Individus

actifs

Variables supplémentairesVariables actives

………………

xv+i1xip…xij…xi1

…

……

…

…

xi+2p

xi+1p

xnp

…

x1p

…

……

…

…

………

xi+2jxi+

21

xi+1jxi+

11

xv+n1xnjxn1

xv

+

11x1jx11

moyenne


d d l



Individus Supplémentaires


ACP B f



14

ACP en Bref

• Variables continues

• Relations linéaires entre variables

• Pas de représentation simultanée individus –variables(en fait si)

• Possibilité de projeter individus et variables(continues et nominales) supplémentaires


A l F ll d C d



15

Analyse Factorielle des Correspondances(AFC) - Données

• Tableau croisant deux variables nominales• Transformations des données brutes

– Calcul des fréquences relatives– Calcul des profils lignes– ________________colonnes

Principes Communs Étude en CoursAnalyse en Composantes Principales Analyse des Correspondances

Cheveux

Yeux

59212771286108Total

21594178420Bleu

641614295Vert

9310145415Noisette

22072611968Marron

TotalBlondRouxChâtainBrun

10,220,120,480,18Profil moyen

10,440,80,390,9Bleu

10,250,220,450,8Vert

10,110,150,580,16Noisette

10,30,120,540,31Marron

TotalBlondRouxChâtainBrun

11111Total

0,360,740,240,290,19Bleu

0,110,130,20,10,5Vert

0,160,80,20,190,14Noisette

0,370,60,370,420,63Marron

Profil moyenBlondRouxChâtainBrun

Profils colonnesProfils lignes

AFC Méth d



16

AFC - Méthode

• Distance entre profils : distance du χ²

• Critère

• Recherche des valeurs propres de F tD-1nFD-1 p

2

'

'

1

² 1)',(² ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=∑= i

ji

i

ij

p

j j f

f

f

f

f iid χ

⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ ⋅∑

=

n

i

iu

iOd f 1

² ),(²max χ r


S é ifi ité d l’AFC



17

Spécificités de l’AFC

• Lignes et Colonnes jouent le même rôle

• On s’intéresse aux distances entre profils

• L’inertie totale du nuage de points (Σαλα) reflète

l’indépendance statistique entre les deux variables(test du χ²)

• Représentation simultanée des deux nuages de points


A l F t i ll d C d



18

Analyse Factorielle des CorrespondancesMultiples (AFCM) - Données

• Tableau croisant n individus statistiques et s « questions »

ayant ms modalités

• Application privilégiée : enquêtes


Satisfaction

MoyenTrès SatisfaitFIndividu n

…………

PetitPas SatisfaitHIndividu 3

GrandMoyennement SatisfaitFIndividu 2

GrandTrès SatisfaitHIndividu 1

TailleSexe

AFCM Méth d



19

AFCM - Méthode

0…

0

1

0

Petit

1…

0

0

0

Moyen

0…

1

0

0

PasSatisfait

Satisfaction

Grand

00110Individu n………………

00001Individu 3

11010Individu 2

10101Individu 1

Taille

MoyennementSatisfait

TrèsSatisfait

FH

Sexe

Satisfaction

MoyenTrès SatisfaitFIndividu n

…………

PetitPas SatisfaitHIndividu 3

GrandMoyennement SatisfaitFIndividu 2GrandTrès SatisfaitHIndividu 1

TailleSexe

Tableau DisjonctifComplet

AFCM = AFC d’un tableau disjonctif complet


Exemple AFCM



20

Exemple AFCM

Réponses au questionnaire ASESÉvaluation fonctionnelle du membre supérieur

…71 individus


GERBERFacileFacileFacileFacileFacileImpossibleFacileFacilePat11_6M

GERBERFacileFacileAssez DifficileFacileFacileImpossibleFacileTrès DifficilePat11_3M

GERBERAssez DifficileFacileFacileFacileFacileImpossibleFacileFacilePat11_1A

Totale AnatomiqueImpossibleImpossibleImpossibleImpossibleImpossibleImpossibleImpossibleImpossiblePat10_PO

Totale AnatomiqueAssez DifficileFacileAssez DifficileFacileFacileImpossibleTrès DifficileAssez DifficilePat10_3M

Totale AnatomiqueImpossibleFacileImpossibleImpossibleTrès DifficileImpossibleImpossibleImpossiblePat1_PO

Totale AnatomiqueAssez DifficileFacileAssez DifficileFacileFacileAssez DifficileFacileAssez DifficilePat1_6M

Totale AnatomiqueAssez DifficileAssez DifficileImpossibleAssez DifficileFacileImpossibleTrès DifficileTrès DifficilePat1_3M

Totale AnatomiqueFacileFacileFacileAssez DifficileFacileFacileFacileFacilePat1_1A

ProthèseLancer

Une BalleLever

Une ChargeAtteindre uneEtagère Haute

Se PeignerFaire

Sa ToiletteSe

Laver le DosDormir

Sur l’EpauleMettre

Un ManteauIndividus

AFCM Valeurs Propres



21

AFCM – Valeurs Propres


0.57463697

0.67789221

0.73949778

0.7866822

0.82479575

% cumulé

% : indice pessimiste de l’information extraite

Autre critère d’appréciation de l’inertie : (Valeurs Propres) ²

AFCM Individus et Variables



22

Ressemblance (mêmes profils)Distance entre individusModalités choisies par les mêmes

individus ou des ind. semblables

Proximités entre modalités

de variables différentes

Ressemblance des ind. ayant

choisi ces modalités

Proximités entre modalités

d’une même variableContribution à l’inertie des axesContributionQualité de la représentationCorrélation (cos²)

cos²

AFCM – Individus et Variables


2

1

InterprétationRésultats

AFCM Variables Supplémentaires



23

AFCM –Variables Supplémentaires


1

2

Types de prothèses

Recul

AFCM En Bref



24

AFCM En Bref


• Variables nominales et/ou continues avec codage (flou)

• Relations non linéaires entre variables

• Représentation simultanée individus –variables

• Possibilité de projeter individus, modalités et variables(nominales et continues) supplémentaires

Étude en Cours – Projet CEPICA



25

Étude en Cours – Projet CEPICA

• Population d’étudePatients avec pacemaker bi-ventriculaire

• ObjectifLes données « physiologiques » recueillies permettent-elles

– Le suivi de l’état de santé des patients ?

– De différentier les répondeurs des non-répondeurs à la stimulation ?

• Données disponibles

– Données « physiologiques » journalières sur 1 ou 3 mois, tous les 3mois– 37 variables– Trop peu d’individus (8)

Principes Communs Analyse en Composantes Principales Analyse des Correspondances Étude en Cours

ACP – Codage des Données



26

ACP – Codage des Données


30 60 90 120 150 180 (jours)

(s)

Patient n°1

Durée Totale En Exercice

………

…2,6 . 10e4Pat1_60

…2,2 . 10e4Pat1_30

…Durée Totale En ExerciceIndividus

2,6 . 10e4ACP

AFCM – Codage des Données



27

Début 30j 60j

AFCM Codage des Données


30 60 90 120 150 180 (jours)

(s)

Patient n°1

Durée Totale En Exercice

F a i b l e

M o y e n n e

I m p o r t a n t e

(Loslever et Bouilland, Fuzzy sets and systems, 1999)

AFCM0.2

0.1

Importante

0.5

0.5

Moyenne

Durée Totale En ExerciceIndividus

…………0.3Pat1_30j

…0.4Pat1_Début

…Faible

ACP et AFCM en Bref



28

ACP et AFCM en Bref

—Peu adaptées à la prise de décision mais étapepréalable pour⇒ Tests d’hypothèses

⇒ Classification non-supervisée / supervisée …

+ Méthodes descriptives, exploratoires

+ Pas d’hypothèse préalable sur les données

(non Paramétriques)

+ Synthèse rapide de l’information

Documents

Méthodes d’Analyses Factorielles