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2. MECNICA DOS FLUIDOS
2.1. DEFINIES e PROPRIEDADES DOS FLUIDOS
2.1.1. DEFINIO DE FLUIDO
Fluido uma substncia que no possui forma prpria ( assume o formato do recipiente ) e que, se emrepouso, no resiste a tenses de cizalhamento ( deforma-se continuamente ).Tenso de Cizalhamento a razo entre a o mdulo da componente tangencialda fora a rea da superfcie sobre a qual a fora est sendo aplicada.
A F t = presso :
A F P n=
A Experincia das Placas
Consideremos um fluido em repouso entre duas placas planas. Suponhamos que a placa superior em umdado instante passe a se movimentar sob a ao de uma fora tangencial
A fora Ft , tangencial ao ao fluido, gera uma tenso de cizalhamento. O fluido adjacentes placa superior adquirem a mesma velocidade da placa ( princpio da aderncia ) As camadas inferiores do fluido adquirem velocidades tanto menores quanto maior for a distncia da placa
superior ( surge um perfil de velocidades no fluido ). Tambm pelo princpio da aderncia, a velocidade dofluido adjacente placa inferior zero. Como existe uma diferena de velocidade entre as camadas do fluido, ocorrer ento uma deformao
contnua do fludo sob a ao da tenso de cizalhamento.
2.1.2. VISCOSIDADE ABSOLUTA OU DINMICA
A definio de viscosidade est relacionada com a Lei de Newton :
A tenso de cisalhamento diretamente proporcional variao da velocidade ao longo da direo normal s placas
dydv
A relao de prporcionalidade pode ser transformada em igualdade mediante uma constante, dando origem equao 2.1 ( Lei de Newton ).
dydv. = ( eq 2.1 )
A viscosidade dinmica ( ) o coeficiente de proporcionalidade entre a tenso de cizalhamento e o gradientede velocidade. O seu significado fsico a propriedade do fluido atravs da qual ele oferece resistncia stenses de cizalhamento. Os fluidos que apresentam esta relao linear entre a tenso de cizalhamento e a taxade deformao so denominados newtonianos e representam a maioria dos fluidos.O valor da viscosidade dinmica varia de fluido para fluido e, para um fluido em particular, esta vicosidade
depende muito da temperatura. Os gases e lquidos tem comportamento diferente com relao dependncia datemperatura, conforme mostra a tabela 2.1 :
F
Ft
Fn
A
Ft Ft
v = 0
v = 0 v = 0
v = v0
x
y
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Tabela 2.1. Comportamento dos fluidos com relao viscosidadeFluido Comportamento Fenmeno
Lquidos A viscosidadediminui com atemperatura
Tem espaamento entre molculas pequeno e ocorre a reduoda atrao molecular com o aumento da temperatura.
Gases A viscosidadeaumenta com atemperatura
Tem espaamento entre molculas grande e ocorre o aumentodo choque entre molculas com o aumento da temperatura.
Anlise dimensional da viscosidade ( sistema [F][L][T] ):2
2 .=== L F
L F
A F
11
== T L
LT dydv
21
2 ... L
T F T L F
dydvdy
dv ====
Portanto, as unidades de viscosidade nos sistemas de unidades mais comuns so :
CGS :[ ] poisecm
sdina == 2 { poise = 100 cetipoise (cp) }
Mtrico Gravitacional ( MK*S ) :[ ] 2m skgf
= Sistema Internacional ( SI ) :[ ] s Pa
m s N == 2 )(11{ 2 Pascal Pam
N = Simplificao Prtica : a velocidade varia linearmente com y ( para distncias entre placas pequenas )
ev
ev
dydv 00
00 =
=
Neste caso, a equao 2.1 fica assim :
ev0. = ( eq.2.2 )
2.1.3. MASSA ESPECFICA e PESO ESPECFICO
Massa Especfica ( ) a massa de fluido contida em uma unidade de volume do mesmo :
V m=
=
=
=
=
3*
3
3
3
][:
][:
][:
][
m
utmS MK
mkg SI
cm g CGS
LM
( eq 2.3 )
Peso Especfico ( ) o peso ( G ) de uma unidade de volume de um fluido
V g m
V G .== . =
=
=
=
==
3*
3
3
33
2
][:
][:
][:
][
m Kgf S MK
m N SI
cmdinaCGS
L F
LT LM
( eq 2.4 )
Densidade a relao entre o peso especfico de uma substncia e o peso especfico da gua a uma determinadatemperatura. A densidade no depende do sistema de unidades
O H r
2
= ( eq 2.5 )
Ft
v = 0
v = v0
x
y e < 4 mm
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2.1.4. VISCOSIDADE CINEMTICA
frequente, nos problemas de mecnica dos fluidos, a viscosidade dinmica aparecer combinada com a massaespecfica, dando origem viscosidade cinemtica.
=
=
=
=
= =
smS MK
smSI
st stoke s
cmCGS
T L LM T LM 2
*
2
2
2
3
11
][:
][:
)(][:
][
( eq 2.6 )
EXERCCIOS RESOLVIDOS
Exerccio R.2.1.1.A massa especfica de um combustvel leve 805 kg/m3. Determinar o peso especfico e adensidade deste combustvel. ( considerar g=9,8 m/s2 )
).(78898,9805. 2323 smkg N
m N
sm
mkg g ====
A massa especfica da gua aproximadamente 1000 kg/m3
. Portanto, o peso especfico ser :323 98008,91000.2 m
N sm
mkg g O H ===
A densidade calculada a partir da relao :
805,098007889
2
===O H
r
Exerccio R.2.1.2Um reservatrio graduado contm 500 ml de um lquido que pesa 6 N. Determine o pesoespecfico, a massa especfica e a densidade do lquido ( considerar g=9,8 m/s2 )
33
105,05,0500 ml ml V
=== 333 00012105,0
6m N
m N
V G =
==
32
32
2
3
5,12248,9
/).(6
/8,9/12000.
m Kg
sm
m smkg
smm N
g g =====
22,1/9800/12000
3
3
2
===m N m N
O H r
Exerccio R.2.1.3Os tanques da figura esto totalmente preenchidos com um leo leve cuja densidade 0,82.Calcule a presso sobre a base em cada um dos casos.
32 80369800.82,0.82,0 m N O H r r ====
32
31 246228222 mV mV ====
N V G N V GV GV G 19286424.8036.642888.8036.. 2211 ========
2 m
2 m
2 m6 m
2 m
2 m1 2
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21 /160722.2
642881 m N A
G P Tanquebase
===
21 /160726.2
1928641 m N A
G P Tanquebase
===
As presses exercidas na base so iguais. Pelo teorema de Stevim tambm podemos comprovar, pois os doistanques tem a mesma altura :
222
211
/160722.8036./160722.8036.
m N h P m N h P
======
Exerccio R.2.1.4.A viscosidade cinemtica de um leo leve 0,033 m2/s e a sua densidade 0,86. Determinar a sua viscosidade dinmica em unidades dos sistemas Mtrico.
A peso especfico da gua aproximadamente 1000 kgf/m3.
33 860100086,022
mkgf
mkgf
O H r O H
r ====
==== 342
2
3 .75,87/8,9
/860. m
utmm
s Kgf sm
mkgf g g
24
22 .86,2.75,87033,0.m
skgf m
skgf sm ====
Exerccio R.2.1.4.Duas placas planas paralelas esto situadas a 3 mm de distncia. A placa superior move-secom velocidade de 4m/s, equanto que a inferior est imvel. Considerando que um leo ( = 0,15 stokes e =905 kg/m3 ) ocupa o espao entre elas, determinar a tenso de cizalhamento que agir sobre o leo.
sm
cmm
scm scm stokes
25
2
24
22 105,11015,0/15,015,0 ====
25 0136,0905105,1 m s N ===
Pam N
m sm
m s N
ev 1,181,18
003,0/40136,0. 22
0 ====
Exerccio R.2.1.5.Uma placa retangular de 4 m por 5 m escorrega sobre o plano inclinado da figura, comvelocidade constante, e se apoia sobre uma pelcula de leo de 1 mm de espessura e de = 0,01 N.s/m2. Se o peso da placa 100 N, quanto tempo levar para que a sua parte dianteira alcance o fim do plano inclinado.
mS S
o 205,0
101030sen ==
= 22045 m A ==
N G F o
T 505,010060cos. ===
ev0. = e
A F T = , ento :
A F
ev T o =.
sm A
e F v T o /25,001,020001,050
.. =
==
st sm
mvS t
t S v
oo 80/25,0
20 ====
EXERCCIOS PROPOSTOS
Exerccio P.2.1.1.A massa especfica de um fluido 610 kg/m3. Determinar o peso especfico e a densidade.Respostas :5978 N/m3 e 0,610
10 m
30o
FT
S
60o
G
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Exerccio P.2.1.2.A viscosidade cinemtica de um leo 0,028 m2/s e sua densidade 0,9. Determinar aviscosidade dinmica no sistema mtrico.Resposta :2,58 Kgf.s/m
Exerccio P.2.1.3.Um tanque de ar comprimido contm 6 kg de ar a 80oC, com peso especfico de 38,68 N/m3. Determine o volume do tanque.Resposta :1,52 m3
Exerccio P.2.1.4.O peso de 3 dm3 de uma substncia 2,7 Kgf. A viscosidade cinemtica 10-5 m2/s. Se g 10 m/s2, determine a viscosidade dinmica no sistema mtrico.Resposta :9 x 10-4 Kgf.s/m2
Exerccio P.2.1.5.Uma placa quadrada de 1 m de lado e 20 N de peso, desliza sobre uma pelcula de leo em plano inclinado de 300. A velocidade da placa constante e igual a 2 m/s. Qual a viscosidade dinmica doleo se a espessura da pelcula 2 mm ?Resposta : 0,01 N.s/m2
Exerccio P.2.1.6.Um tanque cilndrico, de massa 50 kg, tem dimetro igual a 0,5 m e altura igual a 2,5 m.Este tanque totalmente preenchido com um lquido de peso especfico 8600 N/m3. Determine a foranecessria para imprimir uma acelerao de 2,5 m/s2 ao conjunto tanque+lquido.Resposta : 1201,9 N
Exerccio P.2.1.7.Um recipiente contm 30 kg de gua ( = 9800 N/m3 ) e est completamente cheio. Apsalgum tempo 2/3 ( dois teros ) da gua do recipiente consumida e o recipiente novamente completadodesta vez com um leo leve ( = 7742 N/m3 ) que, evidentemente, sobrenada sobre a gua. Para estas novascondies, determine a massa total de fluido ( leo + gua ) presente no recipiente.Resposta : 25,8 Kg
Exerccio P.2.1.8. Uma placa quadrada de 1 m de lado e 20 N de peso, desliza sobre uma pelcula de leo em plano inclinado de 30. A partir da posio indicada na figura, necessrio um intervalo de tempo de 20segundos para que a placa atinja o final do plano. Considerando que a espessura da pelcula de leo 2 mmdetermine a viscosidade dinmica do leo.
Resposta : 0,02 N.s/m2
Exerccio P.2.1.9.Duas placas de grandes dimenses so paralelas. Considerando que a distncia entre as placas de 5 mm e que este espao est preenchido com um leo de viscosidade dinmica 0,02 N.s/m2,
determine a fora necessria para arrastar uma chapa quadrada de 1 m de lado, de espessura 3 mm, posicionada igual distncia das duas placas, a uma velocidade constante de 0,15 m/s
Resposta: 6 N
5 mm Fleo 3 mm
1 m
10 m
30o
FT
G
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2.2.ESTTICA DOS FLUIDOS
2.2.1. CONCEITO DE PRESSO
planodo rea planoaolar perpendicuaplicada Fora P =
== Pa
m N
cm Kgf
A F P N 22 ;
2.2.2. TEOREMA DE STEVIN
Consideremos uma coluna de fluido de peso especfico e altura h
V G= V G =
basebase AV
AG
P
==
como h AV base = , temos :
base
base
Ah A P = h P =
A presso em um ponto do fluido diretamente proporcional profundidade deste ponto e ao pesoespecfico do fluido
Com base neste teorema, temos duas consideraes importantes a fazer :1) O fluido deve estar em repouso. Se o fluido estiver em movimento o teorema no vlido;2) Devemos notar que a presso em um ponto de um fluido em repouso depende a apenas da profundidade
do ponto e independe do formato do recipiente, conform mostra a figura abaixo.
P1 = P2 = P3
Pelo teorema de Stevin, podemos concluir que a presso a mesma em qualquer ponto situado em ummesmo nvel em um fluido em equilbrio.Para o caso de dois lquidos imissveis, como leo e gua em um tubo U de seo uniforme, consideremos presso sobre as reas S1 e S2, situadas no plano AB, que passa pela interface entre os fluidos. Se o fluido estequilbrio, temos que F1 = F2. Como S1 = S2, temos que :
2122
11 P P
S F
S F ==
F
A
fluido
A base.Ph
P2 P3P1
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Exemplo: Determine a distncia x na figura,considerando que o peso especfico da gua e 9800 N/m3 e que o peso especfico do leo 7350 N/m3.
cm X X X h
temos P P Comomcmh
leoO H
404,073503,09800
,21:3,030
2
====
===
2.2.3. LEI DE PASCAL
A presso aplicada em um ponto de um fluido incompressvel ( lquidos ) em repouso transmitidaintegralmente a todos os pontos do fluido.
2
2
1
1
A F P
A F P ==
==1
212
2
2
1
1
A A F F
A F
A F
A Fora F2 ser tantas vezes maior que a Fora F1 quantas vezes for a rea A2 maior que a rea A1. Por exemplo, em uma prensa hidrulica cuja rea do cilindro maior for 10 vezes maior que a rea do menor cilindro, consegue-se multiplicar a fora aplicada por 10.
2.2.3. ESCALAS DE PRESSO
Patm = ar . har Har : altura da camada atmosfrica
Experincia de Torricelli
A carga de presso ( h =760 mm ) da coluna de mercrio, multiplicada pelo peso especfico do mercrio (Hg ),equilibra a presso atmosfrica.
Patm = Hg . hHg Como Hg= 13600 Kgf/m3 e hHg = 760 mm = 0,76 mPatm = 13600 . 0,76 = 10330 Kgf/m2 = 1,033 Kgf/cm2
Patm = 1 atm = 760 mmHg = 101234 N/m2 = 1,033 Kgf/cm2 = 10,33 m.c.a. ( m de coluna dgua ) Escala de presso absoluta aquela que adota como referncia a presso do vcuo ( Pv = 0 ) Escala de presso efetiva aquela que adota como referncia a presso atmosfrica ( Patm = 0 )
Pabs = Pef + Patm
A1
F1
A2
F2
. .P P
TERRA
h
mercrio
760 mmPatm
2
1
P1 ef
P2 abs
P2 ef P1 abs
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2.2.5. APARELHOS MEDIDORES DE PRESSO
a) Piezmetro
PA = . h ( Patm = 0 )
Desvantagens : No serve para depresses No serve para gases No serve para presses elevadas
b) Manmetro com tubo em U
PA = 2 . h2 - 1 . h1
Se o fluido for gs : PA = 2 . h2
d) Manmetro Metlico ( Tubo de Bourdon )
Pm = Pi - Pe
Pi : presso internaPe : presso atmosfricaPm : presso do manmetro
Geralmente : Pe = 0 ( escala efetiva ), ento :
Pm = PiA figura abaixo ilustra alguns aspectos internos de um manmetro metlico.
EXERCCIOS RESOLVIDOS
Exerccio R.2.2.1.A figura mostra um tanque de gasolina com infiltrao de gua. Se a densidade da gasolina 0,68 determine a presso no fundo do tanque (H2O= 9800 N/m3 ).
P = H2O. h1 + g . h2 P = H2O. h1 + d g . H2O. h2 P = 9800 x 1 + 0,68 x 9800 x 5
P = 43120 N/m2
= 43,12 KPa = 4,4 m.c.a.
PA
h
PA
h2
h1
Pi
Pe
Gasolina
gua
h2=5 m
h1 = 1m
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Exerccio R.2.2.2.O Edifcio Empire State tem altura de 381 m. Calcule a relao entre a presso no topo ena base ( nvel do mar ), considerando o ar como fluido incompressvel (Ar = 12,01 N/m3 ).
P 2 = P atm = 101234 N/m2 P 2 P 1 = Ar .( h2 h1 ) P 1 = P 2 - Ar .( h2 h1 )
( )955,0101234
38101,121
.1 2
12
2
1
=
=
= P hh
P P Ar
Exerccio R.2.2.3.A gua de um lago localizado em uma regio montanhosa apresenta uma profundidademxima de 40 m. Se a presso baromtrica local 598 mmHg, determine a presso absoluta na regio mais profunda (Hg = 133 KN/m3 ). P fundo= P o + H2O. hlago onde, P o = Hg .h Hg a presso na superfcie do lago P fundo= Hg .h Hg + H2O. hlago = 133 (KN/m2 ) x 0,598 (m) + 9,8 (KN/m2 ) x 40 (m) P fundo= 472 KN/m2 = 472 KPa ( abs )Exerccio R.2.2.4.Um tanque fechado contm ar comprimido e um leo que apresenta densidade 0,9. O fluidoutilizado no manmetro em U conectado ao tanque mercrio ( densidade 13,6 ). Se h1 = 914 mm, h2 = 152mm e h3 = 229 mm, determine a leitura do manmetro localizado no topo do tanque.
P 1 = P arcomp + Oleo . (h1 + h2 ) P 2 = Hg . h3 P 1 = P 2 P arcomp + Oleo . (h1 + h2 ) = Hg . h3 P arcomp = Hg . h3 - Oleo . (h1 + h2 ) P arcomp = d Hg . H2O.. h3 - d Oleo . H2O . (h1 + h2 ) P arcomp = 13,6 x 9800 x 0,229 - 0,9 x 9800 x (0,914 + 0,152 ) P arcomp = 21119 N/m2 = 21,119 KPa
Exerccio R.2.2.5. No piezmetro inclinado da figura, temos1 = 800 Kgf/m2
e 2 = 1700 Kgf/m2
, L1 = 20 cme L2 = 15 cm , = 30oC. Qual a presso em P1 ?
h1 = L1.sem h2 = L2.sem P 1 = h1. 1 + h2. 2 = L1.sem . 1 + L2.sem . 2 P 1 = 0,20 x sen 30o x 800 + 0,15 x sen 30o x 1700 P 1 = 207,5 Kgf/m2
Exerccio R.2.2.6. Dois tanques de combustvel pressurizados esto interconectados por uma tubulaoconforme mostra a figura abaixo. Dado que o manmetro metlico M1 indica uma presso de 40 KPa e que o peso especfico do combustvel 7000 N/m3, determine :a) a presso indicada pelo manmetro M2; b) a presso indicada pelo manmetro M3.
P1
P2
h3
h2
Ar
leo
h1
L1L2
P1
h2h1
AA
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P M1= 40 kPa = 40000 N/m2 comb = 7000 N/m3
a) A presso ao longo do plano AA constante, portanto podemos fazer : P M1 + comb . 10 = P M2 + comb . 6 40000 + 7000 . 10 = P m2 + 7000 . 6 P M2= 68000 N/m2 = 68 kPa
b) O manmetro M3 mede a presso no plano AA, ento :
P M3 = P M1 + comb . 10 = 40000 + 7000 . 10 P M3= 110000 N/m2 = 110 kPaExerccio R.2.2.6. Na figura abaixo so conhecidas as seguintes medidas : h1 = 180 cm e h2 = 250 cm..Considerando que o peso especfico do mercrio 133280 N/m3 e que o sistema est em equilbrio, determine:a) a presso doGs A b) a indicao do manmetro (1), considerando que o manmetro (2) indica uma presso de 115000 N/m2 parao Gs B
Considerando o manmetro em U com mercrio do lado esquerdo, temos :2
221221 2154045,298008,1133280.... m N hh P h P h O H Hg GasAO H GasA Hg ===+= O manmetro metlico(2) indica a presso do Gs B : 22 115000 m N P P M GasB == O manmetro Metlico(1) indica a diferena de presso entre os Gases ( A B ):
kPam N P P P GasBGasAM 4,100100404115000215404 21 ====
Exerccio R.2.2.7.O sistema da figura est em equilbrio e a massa m sobre o pisto de 10 kg. Sabendo que aaltura h 100 cm, determinar a presso do Gs 2.Dados/Informaes Adicionais:
H2O= 9800 N/m3 Desprezar o peso do pisto
A presso do gs 1 pode ser calculada pelo delocamento da gua ( h ) :
Gs A Gs B
h1
(1)
(2)gua
Hg
h2
Gs 2
Gs 1
h
A= 400cm2m
H2O
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48
2321 980019800.
1100
m N m
m N h P
mcmh
O H Gas ===
==
A fora exercida pelo gs 1 no pisto :
N mm N A P F
A
F P
mcm A
GsGs
Gs
Gas392104009800.
1040040024
211
1
1
242
====
==
A fora peso da massa sobre o pisto :
N sm xkg g mG 988,910. 2 ===
O balano de foras do sistema o seguinte : a fora exercida pelo gs 1 mais o peso da massa sobre o pisto quilibrado pela fora exercida pelo gs 2.
N F G F F
Gs
GsGs
49098392212
=+=+=
A presso do gs 2 ento :
kPam
N P A
F P GsGsGas 25,121225010400
4902
24
22 ==
==
EXERCCIOS PROPOSTOS
Exerccio P.2.2.1.A presso sangunea das pessoas usualmente especificada pela relao entre a pressomxima ( presso sistlica ) e a presso mnima ( presso diastlica ). Por exemplo, um valor tpico de um serhumano adulto 12 x 7, ou seja mxima de 12 cm de Hg e mnima de 7 cm de Hg. Determine o valor destas presses em Pascal. Dado :Hg = 133280 N/m3 Resposta : 15993,6 Pa e 9329,6 Pa
Exerccio P.2.2.1.A presso do ar preso no tanque da figura 41,4 kPa. Sabendo eu a massa especfica da
glicerina 1260 kg/m3
, calcule a presso no fundo do tanque.
Resposta : 79 kPa
Exerccio P.2.2.2.A figura mostra um tanque fechado que contm gua. O manmetro indica que a presso doar 48,3 kPa. Determine :a) a altura h da coluna aberta;
b) a presso no fundo do tanque;c) a presso absoluta do ar no topo do tanque se a presso atmosfrica for 101,13 kPa
Respostas: 5,53 m ; 60 kPa ; 149,4 kPa
Ar
Glicerina
Ar h
0,6 m
0,6 mgua
3,05 m
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49
Exerccio P.2.2.3. No manmetro da figura, o fluido A gua ( peso especfico de 1000 Kgf/m3 ) e o fluido Be mercurio (peso especfico de 13600 Kgf/m3 ). As alturas so h1 = 5 cm, h2 = 7,5 cm e h3 = 15 cm. Qual a presso P1
Resposta: 1335 kgf/m3
Exerccio P.2.2.4.Dado o dispositivo da figura, onde h1 = 25 cm, h2 = 10 cm e h3 = 25 cm, h4 = 25 cm,calcular :a) A presso doGs 2 b) A presso doGs 1, sabendo que o manmetro metlico indica uma presso de 15000 N/m2 c) A presso absoluta doGs 1, considerando que a presso atmosfrica local 730 mmHg
Dados : oleo = 8000 N/m3 Hg = 133280 N/m3 agua = 9800 N/m3
Resposta: 32970 N/m2 17970 N/m2 115265 N/m2
Exerccio P.2.2.5. No dispositivo da figura o manmetro indica 61600 N/m2 para a diferena de presso entre o Gs 2 e o Gs 1. Dadosgua = 9800 N/m3 eHg = 133000 N/m3 , determinar :a) A presso do Gs 2 b) A distncia x na figura.
Resposta: 1233200 N/m2 ; 0,5 m
P1h3
h2h1
h4h
Gs 2
leo
hGs 1
Hg
H2O
h3
Gs 2
Gs 1 Hg
guaguaHg
1,0 m
x
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51
2.3. CINEMTICA DOS FLUIDOS
2.3.1. VAZO EM VOLUME
Vazo em Volume o volume de fluido que escoa atravs de uma certa seo em um intervalo de tempo
== scm
hm
sl
sm
t V
tempo seo pela passouquevolume
Q
333
,,,
v At x A
t x AQ s AV ....como ====
AvQ .=
onde, v a velocidade mdia do fluidoA a rea da seo
2.3.2. VAZO EM MASSA
Vazo em Massa a massa de fluido que escoa atravs de uma certa seo em um intervalo de tempo
=
sutm
hutm
hkg
skg
t mQm ,,,
V mV m .como == , portanto : Q
t V
t V Qm ...
===
QQm . = e como AvQ .= , temos : AvQm .. =
2.3.3. VAZO EM PESO
Vazo em peso o peso de fluido que escoa atravs de uma certa seo em um intervalo de tempo
=
s Kgf
h Kgf
h st GQG ,,,
AvQQ g g Q g Qt g mQ g mG mG ..........como ======= , portanto :
AvQG .. =
2.3.4. EQUAO DA CONTINUIDADE PARA REGIME PERMANENTE
Consideremos um fluido escoando por uma tubulao no regime permanente. O regime permanente secaracteriza por no haver variaes das propriedades do fluido em cada ponto, ou seja, as propriedades na seo[1] ( v1 , 1 , etc. ) so constante e as propriedades na seo [2] ( v2 , 2 , etc. ) tambm so constantes.
(1)(2)
Fluido
A
x
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53
( ) sutm
cmmcm
sm
mutm AvQm 32
242
3111 10.4,210.20.10.12,0.. =
==
c) As vazes em volume em (1) e (2) so so diferentes ( fluido compressvel ):
( ) sl Q smm sm AvQ 2010201020.10. 13324111 ==
==
( ) sl Q smm sm AvQ 7,26107,261010.7,26. 133242221 == ==
Exerccio R.2.3.3. No tanque misturador da figura 20 l/s de gua ( = 1000 Kg/m3 ) so misturadoscom 10 l/s de um leo ( = 800 Kg/m3 ) formando uma emulso. Determinar a massa especfica e avelocidade da emulso formada.
sl QQQ oae /301020 =+=+=
ooaaeeom
am
em QQQQQQ +=+= ..
=
+
=
333 33,93310.80020.100030. m
kg sl
mkg
sl
mkg
sl
ee
( )
=
= 22
423
3 10.30.10.30.cmmcmv
l m
sl AvQ eee
smve /10=
Exerccio R.2.3.4.Os dois tanques cbicos com gua so esvaziados ao mesmo tempo, pela tubulaoindicada na figura, em 500 s. Determinar a velocidade da gua na seo A, supondo desprezvel avariao de vazo com a altura.
Qt1 + Qt2 = Qtubo
( ) smv
mv sm
sm
Avt
V t
V
/32
10.45.500
4.4.4500
2.2.2
.
2433
21
=
=
+
=+
EXERCCIOS PROPOSTOS:
Exerccio P.2.3.1.gua descarregada de um tanque cbico de 5 m de aresta por um tubo de 5 cm de
dimetro localizado na base. A vazo de gua no tubo 10 l/s. Determinar a velocidade de descida dasuperfcie livre da gua do tanque e, supondo desprezvel a variao de vazo, determinar o tempo queo nvel da gua levar para descer 20 cm.
A=30 cm2
gua leo
4 m2 m
45 cm2
A
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55/66
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56/66
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Energia Total ( E )
A energia total do fluido a soma das parcelas.
E = EPPo + EPPr + Ec
2.4.2. PRINCPIO DE CONSERVAO DA ENERGIA
No escoamento de um fluido ideal, sua energia total permanece constante
E1 = E2 ouEPPo1 + EPPr 1 + Ec1 = EPPo2 + EPPr 2 + Ec2 ou
22
22
21
11 ..2
1.....21... vm P G z g mvm P G z g m ++=++
2.4.3. EQUAO DE BERNOULLI PARA FLUIDO IDEAL
Pelo princpio de conservao da energia, temos :
2....
2....
2222
2111
vm P G z g mvm P G z g m ++=++
Como, G = m.g , temos :
g vG P G zG
g vG P G zG
.2...
.2...
222
2
211
1 ++=++
Dividindo ambos membros por G, temos :
g v P z
g v P z
.2.2
222
2
211
1 ++=++ ou H1 = H2
onde,
(m)velocidadedecarga2.gv
(m) pressodecarga
P(m) posiodecargaz
2
E1
E2FluidoIdeal
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Exerccio R.2.4.1.O tanque da figura tem grandes dimenses e descarrega gua pelo tubo indicado.Considerando o fluido ideal, determinar a vazo em volume de gua descarregada, se a seo do tubo 10 cm2.
Para aplicar a equao de Bernoulli adotamos como seo (1) a superfcie livre da gua e (2) a sadado tubo. Portanto, temos que :
H1 =H2
g v P z
g v P z
.2.2
222
2
211
1 ++=++
Como adotamos a escala efetiva de presso, as presses P1 e P2 so nulas pois so iguais pressoatmosfrica. Em relao ao plano de referncia, temos que :
z1 = 10 e z2 = 2
Como o tanque tem grandes dimenses, a velocidade da superfcie livre da gua pode ser consideradadesprezvel. Portanto :
v1 = 0
Logo, a equao de Bernoulli fica reduzida :
g v z z.2
22
21 += ( ) ( )( )m sm z z g v 2108,92..2 2212
== smv 5,122 =
A vazo em volume ser :
( ) smm sm AvQ 32422 0125,010105,12. =
== sl Q 5,12=
2.4.4. O TUBO VENTURI
O venturi consiste de uma tubulao cuja seo varia at um minmo e, novamente, volta a ter amesma seo inicial. Este tipo de estrangulamento denominado de garganta. A equao de Bernoulliaplicada entre as sees (1) e (2) na figura abaixo fornece :
10 m
2 m
(1)
(2)
(1)(2)
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58
21
21
22
222
2
211
1 222 P P
g vv
g .v P z
g .v P z =++=++
Como v2 > v1 , temos que P1 > P2 , pode-se avaliar a velocidade medindo-se a diferena de pressoentre as sees (1) e (2). Portanto, medindo-se a diferena de presso e conhecendo-se as reas dasees, pode-se calcular a vazo com este dispositivo, pois pela equao da continuidade, temos :
2211 A.v A.vQ ==
Exerccio R.2.4.2.No Venturi da figura gua escoa como fluido ideal. A rea na seo (1) 20 cm2 enquanto que a da seo (2) 10 cm2. Um manmetro cujo fluido manomtrico mercrio (Hg =13600 kgf/m3 ) ligado entre as sees (1) e (2) e indica um desnvel h de 10 cm. Pede-se a vazoem volume de gua (H2O= 1000 kgf/m3 )
H1 = H2 ou g v P z
g v P z
.2.2
222
2
211
1 ++=++
Como os centros geomtricos das sees (1) e (2) esto na mesma altura : z1 = z2 , portanto :
g
vv P P
g
v
g
v P P
g
v P
g
v P
.2.2.2.2.2
21
2221
21
2221
222
211 ==+=+
Como A2 < A1 v2 > v1 ( energia cintica aumenta ) energia de presso diminui ( P2 < P1 )
A presso em (a) igual a presso em (b) : Pa = P b , ou :
P1 + H2O . x + H2O . h = P2 + H2O . x + Hg . h
P1 P2 = (Hg - H2O) . h = ( 13600 1000 ) . 0,10 = 1260 kgf/m2
Substitundo em , temos :
2
221
22
21
22
21
2221 7,24
8,9210001260
.2 smvvvv
g vv P P =
==
Pela equao da continuidade, temos :( )( ) 220
10.... 2122
21
221221121
vvcmcmv
A Avv Av AvQQ =====
Substitundo em , temos :
smvv
v /7,57,242 22
222 ==
h
(1) (2)
Hg
x
(a) (b)
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59
Portanto, a vazo em volume ser :34
22 107,510107,5. === AvQ
sl Q /7,5=
2.4.5. EQUAO DE BERNOULLI PARA FLUIDO IDEAL COM MQUINA NO ESCOAMENTO
Mquina qualquer elemento, que introduzido no escoamento, capaz de fornecer ou retirar energiado fluido na forma de trabalho. Podemos ter dois casos :- Bomba: qualquer mquina que fornece energia ao fluido- Turbina : qualquer mquina que retira energia do fluido
Consideremos um escoamento de um fluido. Se no houver mquina no escoamento, sabemos que :
g v P z
g v P z
.2.2
222
2
211
1 ++=++ ou H1 = H2
Caso haja uma mquina no escoamento, teremos o seguinte
a) Se for bomba : H1 + HB = H2 ( H1 < H2 )
onde , HB = carga manomtrica da bomba ( m )
a) Se for turbina : H1 - HT = H2 ( H1 > H2 )
onde , HT = carga manomtrica da turbina ( m )Portanto, a equao de Bernoulli ficar assim :
H1 + HM = H2 ou g .v P
z H g .v P
z M 22
222
2
211
1 ++=+++
onde HM = +HB ( se bomba ) ou HM = -HT ( se turbina )
Potncia Retirada ou Fornecida e Rendimento
Da definio de trabalho, temos :
Trabalho = Fora x Deslocamento
M H GW = como : V GV G == , ento :
(1) (2)
(1) (2)M
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60
M H V W =
dividindo pelo tempo, obtemos :
t H V
t W M = como :
t V Qe ) potncia(
t W == , obtemos :
M H Q =
Unidades de Potncia :
Sistema Internacional [ ] W s J
sm N m
sm
m N ====
3
3
Sistema Mtrico [ ] ) s
kgmCV ( s
kgm s
mkgf m sm
mkgf 751
3
3 ====
O Rendimento( ) definido como : fornecidarealmente potncia
til potncia=
No caso da bomba a potncia til fornecida ao fluido menor que a potncia da mquina, assim :
NaBomba : B
B B
B
=
=
onde B o rendimento da bomba.
No caso da turbina a potncia til da mquina menor que a potncia fornecida pelo fluido, assim :
NaTurbina : T T T T =
=
onde T o rendimento da turbina.
Exerccio R.2.4.3.O reservatrio de grandes dimenses da figura descarrega gua pelo tubo a umavazo de 10 l/s. Considerando o fluido ideal, determinar se a mquina instalada bomba ou turbina edeterminar sua potncia se o rendimento for de 75%. A rea da seo do tubo 10 cm2.
A velocidade na sada do tubo pode ser obtida atravs da vazo( )( ) smm
sm AQv AvQ /10
1010/1010. 24
33
22 ====
Na equao de Bernoulli adotamos como seo (1) a superfcie da gua (v1=0 ) e (2) a sada do tubo.
H 1 + H M = H2 g v P z H g v P z M .2.2
2222
2111 ++=+++
Como as presses P1 e P2 so nulas pois so iguais presso atmosfrica, temos que :
20 m
5 m
(1)(2)
M
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61
20 + 0 + 0 + H M = 5 + 0 + 8,92102
Hm = - 9.9 m
Como no sentido do escoamento o HM ficou negativo, ento a mquina uma turbina. A potncia :
M H Q = ( ) W s J
sm N m
sm
m N 2,9702,9702,9709,910109800
33
3 ====
Nem toda potncia posta em jogo pelo fluido aproveitada pela turbina, assim :
W T T T T 6,72775,02,970 ===
=
Exerccio R.2.4.4.Uma empresa de energia utiliza um sistema de armazenamento de energiaconforme mostra a figura. A noite, quando sobra energia, feito um bombeamento de gua de umlago para um reservatrio elevado e, durante o dia esta gua utilizada para gerar energia em umaturbina. Considerando que a vazo de gua sempre 500 litros/s e que os rendimentos da bomba e daturbina so 70%, calcule:a) a potncia ( em kW ) necessria na bomba; b) a potncia ( em kW ) recuperada na turbina
a) Tomando a seo (1) como a superfcie livre do lago e a seo (2) como a superfcie livre doreservatrio e aplicando Bernoulli para mquina no escoamento, temos:
)dim(0)dim(0)(0)(0
80)(0
:.2.2
21
21
21
222
2
211
1
enses grandesdeioreservatr venses grandesdelagovefetivaaatmosfric presso P efetivaaatmosfric presso P
m zrefernciadenvel z
onde g
v P z H g
v P z M
======
++=+++
m H H H
Bombaumam H H B BM
M M
80
)(800080000
=+=
=++=+++
B T
80 m 80 m
lago lago
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62/66
62
A vazo de 500 litros/s, correspode a 0,5 m3/s. Portanto, a potncia requerida para o bombeamento :
B H Q = ( ) W s J
sm N m
sm
m N 392000392000392000805,09800
3
3 ====
A potncia requerida na bomba deve levar em conta o rendimento, assim : KW W B
B B
B B 56056000070,0
392000 ====
=
b) Tomando a seo (2) como a superfcie livre do reservatrio e a seo (3) como a superfcie livredo lago e aplicando Bernoulli para mquina no escoamento, temos:
)dim(0)dim(0)(0)(0
)(080
:.2.2
32
32
32
233
3
222
2
enses grandesdelagovenses grandesdeioreservatr vefetivaaatmosfric presso P efetivaaatmosfric presso P
refernciadenvel zm z
onde g
v P z H g
v P z M
====
==
++=+++
m H H H Turbinaumam H H
T T M
M M
80)(800000080
===++=+++
A potncia fornecida pelo fluido :
T H Q = ( ) W s J
sm N m
sm
m N 392000392000392000805,09800
3
3 ====
A potncia aproveitada na turbina deve levar em conta o rendimento, assim : KW W T T T T T 4,27427440070,039200 ====
=
Portanto, levando em conta as perdas nas mquinas, a energia aproveitada bem menor que a energiautilizada para o armazenamento.
2.4.6. EQUAO DE BERNOULLI PARA FLUIDO REAL COM MQUINA NO ESCOAMENTO
Se o fluido no for ideal, devido ao efeito doatrito, ocorrer uma dissipao da energia do fluidoentre as sees (1) e (2).
Neste caso, temos que :H1 > H2
Para restabelecer a igualdade, deve ser computado em (2) a energia dissipada entre (1) e (2). Portantoa equao de Bernoulli ficar assim :H1 = H2 + HPonde, HP = energia dissipada entre (1) e (2) ou perda de carga
Levando em conta a presena de uma mquina no escoamento, teremos :
H1 + HM = H2 + HP ou P M H g .v P z H
g .v P z +++=+++
22
222
2
211
1
(1) (2)
Energia dissipada
8/6/2019 Apostila de FT
63/66
63
Exerccio R.2.4.5.Na instalao da figura a mquina uma bomba e o fluido gua. A bomba tem potncia de 3600 W e seu rendimento 80%. A gua descarregada na atmosfera a uma velocidadede 5 m/s pelo tubo, cuja rea da seo 10 cm2. Determinar a perda de carga entre as sees (1) e (2).
A vazo de gua pelo tubo :( ) sm AvQ /005,010105. 34 ===
A altura manomtrica da bomba obtida considerando que :
B H Q = e Q H ou B B B B B
B B
==
=
m H B 8,58005,09800
80,03600 =
=
Na equao de Bernoulli adotamos como seo (1) a superfcie da gua (v1=0 ) e (2) a sada do tubo.
H1 + HM = H2 + HP ou ( ) P B H g v P z H
g v P z +++=+++
.2.2
222
2
211
1
m H H P P 5,628,925008,58005
2
=+
++=+++
EXERCCIOS PROPOSTOS
Exerccio P.2.4.1.Uma caixa dgua de 1,0 m de altura est apoiada sobre uma lage de 4,0 m dealtura e alimenta a tubulao de um chuveiro. Considerando que o dimetro da tubulao prximo aochuveiro na seo (2) polegada e que esta seo est a 2,0 m do solo, determinar para fluido ideal:a) A vazo em volume de gua; b) A vazo em volume de gua considerando que a altura da lage 10 m.
Respostas :0,97 l/s ; 1,7 l/s
1 m
4 m
2 m
(1)
(2)
5 m
(1)
(2)B
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64/66
64
Exerccio P.2.4.2.Em uma indstria de engarrafamento de gua mineral, a gua de um reservatrio degrandes dimenses situado no piso inferior, deve ser recalcada, conforme mostra a figura, paralimentar a linha de engarrafamento. O dimetro da tubulao de recalque 1,6 cm. Considerando quea altura manomtrica ( HB ) da bomba 13 m e que a gua se comporta como um fluido ideal,determine :a) a vazo de gua recalcada b) o nmero de garrafes de 20 litros que podem ser enchidos por hora.
Respostas :12,52 m/s ; 454 garrafes
Exerccio P.2.4.3. No Venturi da figura querosene ( densidade:r = 0,85 ) escoa como fluido ideal.A rea na seo (1) 24 cm2 enquanto que a da seo (2) 12 cm2. As velocidades mdias doquerosene nas sees (1) e (2) so 4,5 m/s e 9 m/s, respectivamente. Um manmetro cujo fluidomanomtrico mercrio ( = 133280 N/m3 ) ligado entre as sees (1) e (2) e indica um desnvelh. Pede-se desnvel h indicado.
Resposta :0,206 m
Exerccio P.2.4.4.A gua contida em um reservatrio elevado, de grandes dimenses, alimenta por gravidade a linha de engarrafamento, em uma fbrica de gua mineral gasosa, conforme mostra afigura. O reservatrio pressurizado e o manmetro no topo indica uma presso de 50 kPa. Odimetro da tubulao de descarga 1,6 cm. Considerando a gua um fluido ideal, determine :a) a velocidade da gua mineral na sada da tubulao de descarga b) o nmero de garrafes de 20 litros que podem ser enchidos por hora.
,
5 m
B
Patm
15 m
h
(1)(2)
Hg
x
(a) (b)
querosene
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66/66
Exerccio P.2.4.7.Em um pequeno edifcio, uma bomba utilizada para recalcar gua de umreservatrio subterrneo para uma caixa dagua situada no topo do edifcio. A tubulao de recalque,conforme mostra a figura, tem dimetro de ( 0,5 polegadas ) e a vazo de gua 3 litros/s.Considerando a gua um fluido ideal, determine :a) a altura manomtrica da bomba b) a potncia da bomba ( em HP ), considerando que o seu rendimento 65%
Dados/Informaes Adicionais reservatrio subterrneo tem grandes dimenses e est aberto para a atmosfera g= 9,8 m/s 1=2,54 cm 1 HP =745,7 W
Resposta : 46,7 m ; 2,8 HP
B
23 m
5 m