UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍAFACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

MATEMÁTICA II

APLICACIONES DE LA MATEMÁTICA II A LA INGENIERÍA CIVIL

SOTO HUAMAN, Keny Waldir

Facultad Ingeniería Civil

Universidad Nacional de Ingeniería

Introducción:En los últimos años hemos visto como los contos en la industria de la construcción han ido incrementándose constantemente, lo que nos conlleva a la necesidad de desarrollar y proponer soluciones: de bajo costo, buen comportamiento estructural, y los factores de seguridad. Que son factores necesarios durante la vida útil de las infraestructuras.

Objetivo:El presente trabajo busca proponer soluciones a los problemas que afronta actualmente la construcción en el país, buscando brindar soluciones haciendo uso de las matemáticas como: el problema de optimización estructural, diseño de vigas.

MÉTODO DE LA OPTIMIZACIÓN MATEMÁTICAFundamento matemático:El problema es tomado como un problema en función al máximo y mínimo con varias variables; en este medio existe el problema con y sin restricciones.

Problema unidimensional.Para un espacio real, la búsqueda del valor mínimo de F(X) es definido como:

Min F(x) / x ϵ R

Pero es conocido que la función podría aproximarse usando la extensión de la serie de Taylor como:

F(x+d) = F(x) + F’(x)*d + 0(d) Ec. 1

En donde 0(d) de conoce como un error de aproximación de primer orden.

Si x* es la solución del problema, es posible aproximar el valor de la función usando la Ec.1, entonces:

F(x+d) = F(x) + F’(x)*d + 0(d) Ec. 1

Pero 0(d) es un valor pequeño cuendo d se aproxima a 0 entonces:

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F’(x)* ¿0 Ec. 2

Es llamado la condición de primer orden

Dentro de un camino similar, es posible tomar una segunda extensión de la serie de Taylor para aproximar la función como:

F(x+d) = F(x) + F’(x*)*d + 0.5F’’(x)*d2 + 0(d2)¿0 Ec. 3

Donde para un pequeño valor de d, 0(d2) es 0. Entonces en el punto de solución x* y considerando la Ec. 2 es reducida a la ecuación 3a que es una condición de segundo orden para un punto óptimo.

F(x*+d) - F(x*) - F’(x*)*d = 0.5F’’(x*)*d2 + 0(d2)¿0

Lugo F’’(x*)¿0 Ec. 3ª

Problema multidimensional sin restricciones:Para un problema multidimensional consideramos X= X1 X2 X3 X4…..Xn como un vector de variables para el punto de solución de la estructura de diseño; si tomamos X* como el vector solución optimo y D como un incremento vectorial del punto minio, se conoce que si la función es evaluada en las proximidades del vector optimo X* la siguiente ecuación debería de ser verdadera.

F(X*+ D)≥ F(X*)

Luego F(X*+ D) – F(x*)≥0 Ec. 4

Definamos la gradiente de la función como:

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∇F(X*) = [δFδF 1

(X¿ )

δFδF 2

(X¿ )

δFδF 3

(X¿ )

.

.

.

.

.

.

.δFδFn

(X¿ )

]Si usamos una aproximación de Taylor de primer orden, en el punto óptimo de conocer que:

F(X* + D) = F(X*) + ∇Ft(x)D + O(d)

Luego usando la Ec. 4 para un pequeño incremento D, la ecuación se reduce a:

F(X* + D) - F(X*) = ∇Ft(x)D + O(d) ¿0

∇Ft(x)D ¿0

Pero D podría ser cualquier valor, tomemos un incremento vectorial ∇F(x*), entonces:

∇Ft(x) ∇F(x*) ¿0

Luego ∇F(x*) Ec. 5

Que es tomado como una solución de primer orden para la solución vectorial.

Si usamos la aproximación de segundo orden de la serie de Taylor para encontrar el valor de la función definimos el Hessiano como:

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∇2F(X*) = [∇t( δFδF 1

( X¿))

∇t( δFδF 2

( X¿))

∇t( δFδF 3

(X¿))

.

.

.

.

.

.

.

∇t ( δFδFn

(X ¿))

]Luego la aproximación de la función es definida como:

F(X + D) = F(X) + ∇ tF(x)D + 0.5Dt∇2F(X)D + O(D) ¿0

Simplificando para un D pequeño en el punto de solución X*, tenemos la condición de segundo orden:

Dt∇2F(X*)D ¿0 EC. 6

Finalmente para el punto de solución de las ecuaciones 5 y 6 debería satisfacer un problema sin restricciones.

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DISEÑO DE VIGASVigas: Elemento estructural que trabaja a flexión.

Ilustración 1 Vigas.

Flexión: La flexión es el tipo de deformación que presenta un elemento estructural alargado en una dirección perpendicular al eje longitudinal.

Esfuerzo y deformación: La ley de Hooke para casos unidimensionales

σx=E¿εx

Estudio de vigas

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Ilustración 2 Falla por flexión.

Fuerzas internas:

Deducción de la fórmula para flexión de vigas:

Por semejanza de triángulos:

εx ∆ x− y

=∆ xδ

−Eδ

∬A

❑

y2dA=Mz (x)

1. Luego: εx=− yδ

−EδIz=M z (x)

Para mantener el equilibrio:

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2. ∬A

❑

y σ xdA=Mz(x ) Eδ =−Mz(X )

Iz

Juntando ambas expresiones.

∬A

❑

y (− yEδ

)dA=Mz (x) σ x=−Mz ( x ) y

Iz

Ejemplo de aplicación:El momento máximo considerando una distribución de carga uniforme.

Mzmax=Mz(x=L2)=qL

2

8

Calculo del segundo momento del área

Iz=∫∫A

❑

y2dA

Utilizando un cambio de coordenadas polares.

y=r∗sen(θ)

x=r∗cos (θ)

Iz=∫0

2 π

∫r

R

(rsenθ)2 rdrdθ

Iz=∫0

2 π

∫r

R

¿¿¿¿

Iz=∫0

2 π

sin2θdθ∫r

R

r3dr

Iz=π (R4−r 4)

4

El mayor esfuerzo será en:

y=±R

El esfuerzo se remplaza por el esfuerzo admisible del material

σ x=σ xadm

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σ xadm=

qL2

8R

π (R4−r4)4

= q L2R2π (R4−r4)

L=√ 2π σ xadm(R4−r4)qR ; R>r

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