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“AÑO DE LA DIVERSIFICACION PRODUCTIVA Y DEL FORTALECIMIENTO
DE LA EDUCACION”
TRABAJO FORMATIVO DE MATEMATICA 1
INTEGRANTES
SANCHEZ MOYO, JUANITA ELIZABETH
SANCHEZ SOUZA, TERESA DE JESUS
SIMON BERROSPI, EINER FABIO
SUAREZ LAVERIANO, JIMMY
TORRES ABANTO, HILLARY MARSHA
UGAZ CORDOVA, LUIS ALBERTO
VALENCIA MOSCOSO, MIGUEL ANGEL
ZAPLANA LUNA VICTORIA, CARLOS ALONSO
BLOQUE M2-PRELMCIND01A1
PROFESOR MAG. ENRIQUE HUAPAYA GOMEZ
FECHA LIMA 25 DE JULIO DEL 2015
RESUMEN
El siguiente informe tiene como objetivo principal demostrar la aplicación de los
conocimientos adquiridos en las clases de matemática llevadas acabó en la
Universidad San Ignacio de Loyola, el cual se resume de la siguiente manera:
- Identificamos la simbología de comparación en un problema de contexto real
a partir de listas de ejercicios presentados en este informe.
- Modelamos inecuaciones lineales con una incógnita sobre situaciones de
contexto real presentadas en este informe.
- Resolvimos situaciones con problemáticas contextualizadas que involucran
las inecuaciones lineales en nuestra vida laboral.
- Modelamos inecuaciones cuadráticas con una incógnita en el informe.
- Representamos la gráfica asociada a una ecuación lineal con dos variables,
en un plano cartesiano utilizando Geogebra.
- Identificamos las variables dependientes e independientes a partir de una lista
de ejercicios presentados en el informe.
- Tabulamos funciones, a partir de reglas de correspondencias de problemas
y/o gráficas de funciones, presentados en el informe.
- Reconocimos gráficamente una función creciente, decreciente o constante
función a partir de gráficas de funciones dados en el informe.
- Determinamos analíticamente el dominio y el rango de una función a partir de
gráficas de funciones dados por el docente.
- Determinamos los intervalos que definan si una función es positiva o negativa.
- Determinamos de manera individual la solución de lista de ejercicios
asignados a cada integrante del grupo.
- Creamos un espacio de trabajo virtual para alojar nuestros ejércitos y
contenidos multimedia y participamos en reuniones de trabajo para desarrollar
TFM.
SUMMARY
The following report's main objective is to demonstrate the application of the
knowledge acquired in math classes carried over into the Universidad San
Ignacio de Loyola, which is summarized as follows:
- Identify the symbolism of a problem compared actual context from lists of
exercises presented in this report.
- Modeled linear inequalities in one unknown about real context situations
presented in this report.
- We met with contextualized problem situations involving linear inequalities in
our work life.
- Modeled quadratic inequalities in one unknown in the report.
- We represent the graph of a linear equation with two variables in a Cartesian
plane using Geogebra.
- We identify the dependent and independent variables from a list of exercises
presented in the report.
- Tabulated functions from correlation rules of problems and / or function graphs
presented in the report.
- We recognized an increasing function graphically, decreasing or constant
function from graphs of functions given in the report.
- Analytically determined the domain and range of a function from graphs of
functions given by the teacher.
- We determine the intervals that define whether a function is positive or
negative.
- We determined individually solving exercises list assigned to each group
member.
- Create a virtual workspace to accommodate our armies and multimedia
content and participate in meetings to develop FWM.
GLOSARIO
Dom (r) = Dominio de la relación R
Dom (f) = Dominio de la función F
Ran ( r) = Rango de la relación R
Ran ( f) = Rango de la relación F
[ ] = Intervalo Cerrado
] [ = Intervalo Abierto
R2 = Plano Cartesiano
f: a – b = f es una función de A en B
∴ = Por lo tanto
< = Menor que
= Mayor que
≤ = Menor o igual que
≥ = Mayor o igual que
{┤} = Conjunto
∈ = Pertenece es elemento de
∅ = Conjunto Vacío o nulo
∃ = Existe
∪ = Unión
∩ = Intersección
A nuestro profesor Mag. Enrique Huapaya Gómez por su tiempo compartido y
por impulsar el desarrollo de nuestra formación.
INTRODUCCION
Las matemáticas constituyen un conjunto amplio de conocimientos basados en
el estudio de patrones y relaciones inherentes a estructuras abstractas. Nacen
de la necesidad de resolver problemas prácticos y se sustentan por su
capacidad para tratar, explicar, predecir y modelar situaciones reales de la vida
cotidiana y dar rigor a los conocimientos científicos.
Tener conocimiento y saber hacer matemáticas es un proceso laborioso que
comienza por plantearse problemas y buscar el modelamiento más adecuado
para resolver los mismos, con el objeto de crear intuiciones previas necesarias
para nuestra formalización.
Estos contenidos proporcionan técnicas básicas, tanto para estudios
posteriores como para la actividad profesional. No se trata de que los
estudiantes posean muchas herramientas matemáticas, sino las estrictamente
necesarias y que las manejen con destreza y oportunidad, facilitándose las
nuevas fórmulas e entidades para su elección y uso.
Las herramientas tecnológicas, en particular el uso de calculadoras y
aplicaciones informáticas como sistemas de álgebra computacional o de
geometría dinámica, pueden servir de ayuda tanto para la mejor comprensión
de conceptos y la resolución de problemas complejos como para el
procesamiento de cálculos pesados, sin dejar de trabajar la fluidez y la
precisión en el cálculo manual simple.
ÍNDICE
- RESUMEN / SUMMARY
- GLOSARIO
- DEDICATORIA
INTRODUCCIÓN
DESARROLLO DEL TRABAJO FORMATIVO DE MATEMÁTICA (TFM)
3. Resultados…………………….…………………………………………..……….08
4. Discusión / Discussion Group…………..………………………..………………28
5. Conclusiones………………………………………………………………..……..30
6. Agradecimiento……………………………………………………………………31
7. Referencias Bibliográficas………………………………..………………………32
8. Anexos……………………………………………………………..…………….…33
9. Cronograma…..…………………………………………………..…………….…34
RESULTADOS
Ejercicio 1.
Resuelve las siguientes inecuaciones lineales con una incógnita.
a)
Solución:
( )
C.S.:
b) Justifique por qué es falsa la proposición
a,b; [ab>0 (a>0 y b>0)]
ab>0 a>0 b<0
Tenemos:
a.b>0
Entonces vemos que el producto de dos números negativos también me
da un producto positivo.
c) ( )
( )( )
( )
1.5
C.S: ] 1.5; + [
d) Si , determine el intervalo a que pertenece
-5 < x < 5
(x – 1) 5 > -x > -5
(x4) 20 > -4x > -20
(+3) 23 > 3 – 4x > -17
C.S: ] -17; 23[
Ejercicio 2. Resuelve las siguientes inecuaciones cuadráticas con una
incógnita
a) ( )
( )
x +a
x -b
(x + a) (x – b) < 0
( )
C.S: ] b; -a[
b) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( )
C.S: ] -5; 3[
b -a
+ - +
-5 3
+ - +
c) ( )
(x – 3) (x + 1) > 0
C.S: ] - ; -1[ U ] 3; + [
d) Halle el conjunto solución del sistema:
{ ( )
( )( )
x (x + 5) < 0 (2x - 1) (x + 3) ≥ 0
x = 0 x = -5 x = -3 x = ⁄
C.S: ] - ; -1[ U ] 3;+ [
C.S: ] -5; -3[
Ejercicio 3. Responda según el caso
a) Considere que es la cantidad de armarios de lámparas que un comerciante
compra. Se sabe que el pago total fue de $1 000. Si se vende a $55 cada uno
perdería dinero, en cambio si los vende a $62 resultaría ganando.
Modele las inecuaciones que permita calcular la cantidad de armarios que
compró.
+ - +
-1 3
-5 0
+ - + + - +
-3 ⁄
-5 -3 0 ⁄
Modele el mínimo precio que deberá tener cada armario para obtener
utilidades no menores de $200 dólares.
= 1000
Pierde dinero p = 55
I < C
p.q < 1000
55q < 1000 q < 18.18
Gana dinero p = 62
I < C
p.q < 1000
62q < 1000 q < 16.12
q puede ser 17 ó 18
Utilidad 200
I – C 200
pq – 1000 200
pq 1200
Si q = 17:
17p 1200
p 70.588
Si q = 18:
18p 1200
p 66.666
El mínimo precio será 66.66
b) En el plano del Boulevar de Asia, se indica las coordenadas ( ) de tres
plazas, medidas en metros.
Plaza La Cachina con coordenadas (20; 80);
Plaza Boulevard con coordenadas (30; 70), y
Plaza Visa con coordenadas (25; 40)
Modele la ecuación de la recta que une las coordenadas de la plaza La
Cachina con las de la plaza Boulevard.
La recta que une los puntos de la Plaza Visa con el de la Plaza Boulevard y la
recta que une los puntos de la Plaza Cachina con la Plaza Visa. Justifique.
Cachina (30,80)
Boulevard (30, 70)
VISA ( 25, 40)
i) Recta cachina con boulevard
C (20,80) B (30,70)
m =
=
= -1
y – 70 = -1(x – 30)
y = -x + 30 + 70
y = -x + 100
ii) Recta Visa – Boulevard (L )
m =
=
= 6
y – 70 = 6(x – 30)
y = 6x – 180 + 70
y = 6x -110
Cachina - Visa (L )
m =
=
= -8
∴ Vemos que L y L no son paralelas porque m m
∴ Vemos que L y L no son perpendiculares porque m .
m -1
Ejercicio 4. Resuelva las siguientes inecuaciones lineales con una incógnita:
a) Maximiza la función
Sujeta a las siguientes restricciones:
{
Tabulando:
2x + 3y = 30 x – 3y =2
x y x y
0 10 0 -0.6
15 0 2 0
Punto Prueba ( 0, 0) Punto Prueba ( 0, 0)
2(0) + 3(0) 30 0 – 3(0) 2
0 30 (verdadero) 0 2 (Falso)
(2, 0) (15,0)
(10.6; 2.8)
( ) = 10.6 + 5(2.8) = 24.6 (max)
( ) = 2 + 5(0) = 2
( ) = 15 + 5(0) = 15
b) Grafique en el plano cartesiano la región definida por el sistema de
ecuaciones:
Indicando los vértices.
Tabulando:
x y
0 6
6 0
Punto Prueba ( 0, 0) Punto Prueba ( 0, 0)
3(0) + 0 20 0 + 0 6
0 20 (v) 0 6 (F)
x y
0 20
6 2
A {
=> A(3, 4)
C {
=> C(3, 3)
B {
=> B(5,3; 4)
D {
=> D(6, 2)
E {
=> E(6, 1)
F {
=> F(5,1)
Ejercicio 5. Calcule los valores de e para que la expresión
sea máxima, sujeta a las siguientes restricciones:
Max Z = 30x +20y
3x + y = 18 x + y = 12
Punto prueba (0,0) Punto prueba (0,0)
3(0) + 0 18 0 + 0 12
0 18 (verdadero) 0 12 (verdadero)
C
A B
D
E
F
4
1
3 6
20
C
x y
0 18
x y
0 12
( ) = 30(2) +20(5) = 160
( ) = 30(2) + 20(10) = 260
( ) = 30(3) + 20(9) = 270 Máximo
( ) = 30(4,33) + 20(5) = 230
Ejercicio 6. Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde
van a trabajar electricistas y mecánicos. Por necesidades de mercado, es
necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que de electricistas y
que el número de mecánicos no supere al doble que el de electricistas. En total
hay disponibles 30 electricistas y 20 mecánicos. El beneficio de la empresa por
jornada es de 250 euros por electricista y 200 euros por mecánico. ¿Cuántos
(3, 9)
(2, 10)
(2, 5) (4,33; 5) y 5
𝑥 2
y 𝑥 18
x+y 12
trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el máximo beneficio y
cual es este?
Electricistas x Max Z = 250x + 200y
Mecánicos y
Restricciones: Tabulando:
y x y –x 0
y 2x y – 2x 0 y – x = 0
x 30
y 20
x, y 0 y – 2x = 0
Max:
( ) = 250(0) + 200(0) = 0
( ) = 250(10) + 200(20) = 6500
( ) = 250(20) +200(20) = 9000
El máximo beneficio de 9000 soles
se obtendrá cuando hayan 20
mecánicos y 20 electricistas.
x y
0 0
x y
0 0
(10, 20) (20, 20)
(0, 0) 10 20
20
Ejercicio 7:
Justifique la verdad o falsedad de las proposiciones siguientes:
a) Sea la función: ( ) √ √ , luego el dominio de la función dada es
∈
x 0 25 - 0
x 0 (5 – x)(5 + x) 0
(5 – x)(5 + x) 0
Dom [0; 5] Falso
b) La función ( ) , la función es decreciente en ∈
Sol:
Decreciente => < 0
= -8x
-8x < 0
8x > 0
x > 0
Es Creciente en ] 0_; + [ Falso}
c) Dada la función ( ) , luego el rango de la función ∈
Vértice (h; k)
h =
=
( ) = 0
-5 0 5
+ - +
V
k = ( ) = ( ) = 6
Rango ] - ; 6] Falso
d) La función ( ) siempre es positiva.
Sol:
Vértice =
=
( ) =
h = ⁄
k = ( ) = ( ⁄ )
( ⁄ ) = 3 (
)
- (
) + 5
( ⁄ ) = 4.91
Siempre es positiva Verdadero
⁄ x
y
Ejercicio 8:
Relaciona las reglas de correspondencia de las funciones con sus respectivos
dominios:
REGLAS DE
CORRESPONDENCIA
RESULTADO DE LA
RELACIÓN
DOMINIO DE LA FUNCIÓN
1. ( )
A.
2. ( )
( )√
B.
3. ( )
C.
4. ( ) √
D.
1) – 4 0
( − 2)(x + 2) 0
– 2 0 x + 2 0
2 x -2
=> C
2) – 2 0 x + 1 > 0
2 x > -1
= { ⁄ > -1, 2} => A
3) -3x + 2 0
(x – 2)(x – 1) 0
x – 2 0 x - 1 0
2 x 1
IR – {1; 2} => B
4) -x - 12 0
( − 4) (x + 3) 0
] - ; -3] U [ 4; + [ => D
Ejercicio 9.
En la figura se muestra la gráfica de una función polinómica f
a) Determine los intervalos donde la función es positiva
Función positiva ] -5; -3 [ U ] -2; 7 [
b) Determine los intervalos donde la función es decreciente Función negativa ] -5; -2 [ U ] 5; 8 [
+ - +
-3 4
Ejercicio 10.
Para la gráfica de la función f mostrada
a) Determina el dominio y rango de la función
Dom [ -4; 9 [ Rango [ -4; 5]
b) Determine los intervalos de crecimiento y constante.
Creciente ] -3; 0[
Constante ] 6; 9 [
Ejercicio 11.
TIC SAC presenta costos fijos de $1000 y costos variables de $30 por unidad. El
Gerente reporta que la ecuación de demanda para su producto es
qqp
2400001,040
a) Modelar la función de costo total en función de la cantidad de artículos producidos.
= 1000
= 30q
= 30q + 1000
b) Modelar la función ingreso y utilidad. I = p.q
I(q) = ( 40 – 0.01q +
).q
I(q) = 40q – 0.01 + 24000
I(q) = -0.01 + 40q + 24000
U(q) = -0.01 + 10q + 23000
Ejercicio 12.
El gerente de NOVA TEC PERU SAC define los costos mediante 202,03300)( qqqC . Si la empresa vende todo lo que produce a $8:
a) Cuántas unidades debe producir y vender a fin de tener alguna utilidad.
C(q) = 300 +3q -0.02q
P = 8
U > 0
I – C > 0
p.q – C > 0
8q – (300 + 3q – 0.02 ) > 0
0.02 + 5q – 300 > 0
q = 50 q = -300
Debe producir más de 50
b) Cuántas unidades debe producir y vender a fin de tener al menos $1500 de utilidad
U 1500
0.02 + 5q – 300 1500
0.02 + 5q – 1800 0
q = 200 q = -450
Debe producer 200
Ejercicio 13.
En una tienda de regalos el supervisor ha observado que cuando el precio de un
producto es de $20, los clientes compran 200 productos, pero cuando el precio se
duplica compran sólo 120 productos.
a) Modelar la ecuación de demanda para este producto.
m =
=
= -
y – 40 = -
(x -120)
y = -
x +30 +40
p = -
q +70
b) Modelar la función de ingreso.
I = p.q
I = (-
q + 70)q
I = -
+ 70q
c) Sabiendo que su costo total está definido por 100010)( xxC , Determine el
punto de equilibrio.
q p
200 20
Equilibrio => I = C
-
+ 70q = 10q + 1000
-
+ 60q – 1000 = 0
- 60q + 1000 = 0
q = 221.98 y q = 18.01
puntos de equilibrio
d) Determine la función de utilidad de esta tienda.
U = I – C
U = (-
+ 70q) – (10q + 1000)
U(q) = -
+ 60q -1000
Ejercicio 14.
La gerencia de Acrosonic SAC planea comercializar el ElectroStar, un sistema
electrostático de altavoces. El departamento de publicidad ha determinado que
la demanda de estos altavoces es
P= -0,04x+800 (0 ≤ x ≤20000) donde p denota el precio unitario de los altavoces (en
dólares) y x denota la cantidad demandada.
Por otro lado el departamento de producción de Acrosonic SAC estimó que el costo
total en (dólares) en que incurre en la fabricación de x sistemas de altavoces.
ElectroStar en el primer año de producción será de: C(x)=200x+300000
a) Determine la función de ingresos R
( ) = -0.04x +800
( ) = 200x + 300000
Sol: I = p.q
( ) = ( ) . x
( ) = (-0.04x + 800) x
( ) = -0.04 + 800x
b) Determine la función de utilidad P
U = I – C
( ) = (-0.04 + 800x) – (200x + 300000)
( ) = -0.04 + 600x - 300000
c) Graficar en un mismo sistema de coordenadas la función de ingreso R y costo
C.
( ) = -0.04 + 800x
Vertices (h; k)
h =
( ) = 10000
( ) = -0.04( ) + 800( )
( ) = 4000000
v(10000; 4000000)
Tabulando Costo
Ejercicio 15.
Un fabricante ha vendido 100 aparatos de televisión por semana a $450 cada
uno. Una investigación de mercado indica que por cada $10 de descuento que
ofrezca, el número de aparatos vendidos se incrementará en 100 por semana.
a) Encuentre la función de demanda.
m =
=
= -0.1
x C(x)
0 300000
0 10000 20000 x
y 4000000
𝐶𝑥 𝑅𝑥
q p
100 450
y - = m(x - )
y – 450 = -0.1(x-100)
y = -0.1x + 460
p = -0.1q + 460
b) ¿Cuán grande debe ser el descuento que ofrezca la compañía para maximizar
su ingreso?
Ingreso máximo se da en el vértice de la función Ingreso
( ) = p.q
( ) = (-0.1q + 460)q
( ) = -0.1 + 460q
V(h; k) h =
( )
h = 2300
k = ( ) = -0.1( ) + 460(2300)
k = 529000
El ingreso máximo será cuando q = 2300
P = -0.1(2300) + 460 = 230
Habrá que descontar: 450 -230 = 220 soles
c) Si la función de costo semanal es xxC 15068000)( , ¿cuál tiene que ser la
magnitud del descuento para maximizar la utilidad?
C(q) = 68000 + 150q
U = I - C
U = -0.1 + 460q – (68000+ 150q)
= -0.1 + 310q – 68000
Vértice de función utilidad
h =
( ) = 1550
k = ( ) = 172250
La utilidad máxima de 172250 va a suceder cuando q = 1550
p = -0.1(15509 +460
p = 305
Habrá q descontar 450 – 305 = 145 soles
DISCUSIÓN
Durante el desarrollo del TFM no enfocamos principalmente en el análisis y
modelamiento de las ecuaciones e inecuaciones recordando conceptos,
estructuras y formulas importantes, situación que nos llevó a desarrollar
nuestras capacidades de trabajo en equipo.
Usando las inecuaciones y las funciones lineales, cuadráticas, podemos
resolver problemas de la vida cotidiana ya sea el ámbito profesional, laboral,
empleando para este conocimiento básicos las matemáticas en nuestro primer
ciclo de la Universidad, como para resolver problemas de costo, compras,
ventas, beneficios etc. Puede ser en forma algebraica, como a través de
graficas ya sean lineales crecientes o decreciente,
Por otro la también las matemáticas, es una ciencia impredecible en la vida
diaria y por supuesto para el desarrollo de muchas otras asignaturas de
nuestra profesión.
El estudio de los temas que se han podido resolver en este trabajo no solo
resulta de interés en las matemáticas, sino también en la física, química,
economía, salud y en otras áreas del conocimiento.
DISCUSSION
During the development of TFM we not focus mainly on the analysis and
modeling of the equations and inequalities remembering concepts, structures
and important formulas, a situation that led us to develop our capacity for
teamwork.
Using the inequalities and linear, quadratic, we can solve problems of everyday
life whether professional, workplace, using this basic knowledge of mathematics
in our first cycle of the University, to solve problems of cost, purchases, sales ,
benefits etc. It can be algebraically, and through graphs either increasing or
decreasing linear,
Furthermore the mathematics also is an unpredictable science in everyday life
and of course for the development of many other subjects of our profession.
The study of the issues that have been resolved in this work is of interest not
only in mathematics, but also in physics, chemistry, economics, health and
other areas of knowledge.
CONCLUSIONES
A lo largo del trabajo formativo de matemáticas hemos puesto en práctica los
conocimientos adquiridos y estrategias tanto teórico y práctico, por ello va
favoreciendo a cada miembro del grupo y superando nuestras expectativas en
la asignatura.
Así mismo el trabajar en equipo, es una parte fundamental, ya que nos permite
desempeñarnos profesionalmente como en lo personal y llevarlo en nuestra
vida diaria y universitaria.
El llevar a cabo el trabajo en conjunto nos permitió crear metas y objetivos y a
la vez demostrar nuestras destrezas y habilidades en la solución de los
problemas.
Se puede apreciar que a lo largo del trabajo en conjunto se realizó las
diferentes técnicas, formulas y opiniones, ya que es un modelo que lo
podemos aplicar frente a cierta problemática que se nos presenta en la vida
diaria de cada uno de nosotros.
Creemos que el resultado obtenido en el trabajo fue positivo ya que se cumple
con la consigna en cuanto a la información teórica y práctica.
AGRADECIMIENTO
Al Profesor que nos trazó la meta que fue trabajar en equipo ya que pusimos
en práctica la información y la enseñanza brindada en este periodo.
A los compañeros a su tiempo y dedicación ya que nos permitió alcanzar las
metas y objetivos trazadas.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS:
Arya, Jagdish C. (2009) Matemática aplicada a la Administración. Ed 5. México,
D.F. Pearson.
Haeussler, Ernest F. (2008). Matemática para Administración y Economía. Ed
12. Pearson Educación.
Lial Hunderford (2000). Matemática para Administración y Economía. Prentice
Hall.
Figueroa García, R. (1989). Matemática Básica I. América.
Sullivan, Michael. Pre Cálculo. Prentice, May 4° Ed.
CRONGRAMA TRABAJO FORMATIVO DE MATEMATICA
2015-2
ITEM ACTIVIDADES
SEMANA 2 SEMANA 3 SEMANA 4 SEMANA 5
SEMANA 06 SEMANA
07
JUNIO JULIO
L M M J V S D L M M J V S D L M M J V S D L M M J V S D L M M J V S D L M M
29/06 06/07
13/07 20/07 D E S C A N SO 03/08
10/8
1
DEFINIR
RESPONSABILIDADES
DE X X X
LOS INTEGRANTES
DEL GRUPO
2
RESOLUCION DE
EJERCICIOS
SEMANALES X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X
DEL GRUPO DE
PROYECTO
3
REVISION DE
PORATFOLIO
VIRTUAL 1
X X X
REVISION DE
PORATFOLIO
VIRTUAL 2
X X X X X X
4
PRESENTACIÓN DEL
TRABAJO
FORMATIVO. X
5
ENTREGA DEL
INFORME FINAL Y X X X X X X X X X X X X X
SUSTENTACION
