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Contexte robotique : Classification de robotsAnalyse par intervalles
Cadre mathematiqueImplementation
Conclusions – Perspectives
Analyse par Intervalles pour la Detection Garantiede Points Singuliers Specifiques de Robots
Romain BENOIT
23 juin 2014
Encadrement de ma these et co-auteurs :
Directeur de these : Philippe WENGER
Co-encadrants : Nicolas DELANOUE, Sebastien LAGRANGE
Romain BENOIT I. A. pour la Detection Garantie de Points Singuliers Specifiques
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Conclusions – Perspectives
Classification de Robots par leurs fonctions cinematiquesEquivalence et InvariantsL’importance des points singuliersModeles robotiques etudies
1 Contexte robotique : Classification de robots
Classification de Robots par leurs fonctions cinematiques
Equivalence et Invariants
L’importance des points singuliers
Modeles robotiques etudies
2 Analyse par intervalles
3 Cadre mathematique
4 Implementation
5 Conclusions – Perspectives
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Conclusions – Perspectives
Classification de Robots par leurs fonctions cinematiquesEquivalence et InvariantsL’importance des points singuliersModeles robotiques etudies
Robot serie ↔ fonction cinematique
Definition (Robot serie)
Robot avec une seule chaine cinematique : S0 ↔ · · · ↔ Sn
S0
S1
Sn−1
Sn
Figure: Chaine cinematique d’un robot serie
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Conclusions – Perspectives
Classification de Robots par leurs fonctions cinematiquesEquivalence et InvariantsL’importance des points singuliersModeles robotiques etudies
Definition (fonction cinematique d’un robot)
Une application f telle que f : A 3 ρ 7→ p ∈ T ou :
A est l’espace articulaire du robot
T est l’espace de travail du robot
f (ρ) = coordonnees induites de l’organe terminal
⇒ fonction cinematique ↔ comportement du robot
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Classification de Robots par leurs fonctions cinematiquesEquivalence et InvariantsL’importance des points singuliersModeles robotiques etudies
Invariants d’applications equivalentes
Definition (Equivalence consideree)
f ∈ C∞(X ,Y ) et g ∈ C∞(V ,W ) sont equivalentes (note f ∼ g)si ∃(h : V → X , k : Y →W ), diffeomorphismes tels queg = k ◦ f ◦ h
Remarque
Les comportements cinematiques de deux robots serie, dont lesfonctions cinematiques associees sont equivalentes pour ∼, sontrelies par des changements de variables diffeomorphes.
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Classification de Robots par leurs fonctions cinematiquesEquivalence et InvariantsL’importance des points singuliersModeles robotiques etudies
Definition (invariant)
I (f ) est invariant pour l’equivalence ∼ si f ∼ g ⇒ I (f ) = I (g)
Definition (Lieu singulier)
Soit f : X → Y Alors Sf = {x ∈ X |det(Jf (x)) = 0}
Proposition
f ∼ g ⇒– Sg et Sf sont homeomorphes ⇒ Topologie invariante
– g(Sg ) et f (Sf ) sont homeomorphes ⇒ Topologie invariante
– Ces homeomorphismes sont compatibles avec f et g
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Notion de posture
Soit un robot R de fonction cinematique f : A→ T
Definition (Posture)
L’ensemble des postures possibles, de p ∈ T est {ρ ∈ A|f (ρ) = p}.
Definition (Trajectoire)
Tr : R ⊃ [a, b] 3 t 7→ (ρt , pt), continue, ∀t ∈ [a, b], pt = f (ρt)
Definition (Changement de posture)
A lieu lorsqu’une trajectoire (ρt , pt)t∈[a,b] verifie :∃(t1, t2) ∈ [a, b]2 tel que t1 6= t2, pt1 = pt2 et ρt1 6= ρt2
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Inversion de fonction cinematique
Proposition
Isoler A′ ⊆ A tel que ∀p ∈ T ,#{ρ ∈ A′|f (ρ) = p} ≤ 1 estnecessaire pour definir, localement, sur A′ un inverse a f etconcevoir directement des trajectoires de R dans T .
Assertion fausse
Un changement de posture ne peut se produire que si la trajectoiretraverse le lieu singulier du robot.
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Classification de Robots par leurs fonctions cinematiquesEquivalence et InvariantsL’importance des points singuliersModeles robotiques etudies
Modeles robotiques etudies : Robots 3R
P
z3
β2
β3
z
z2
O
xy
r2
r3
d2
d4θ3
θ2θ1
d3
Figure: Schema cinematique d’un robot 3R general avec θ1 = 0.
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Classification de Robots par leurs fonctions cinematiquesEquivalence et InvariantsL’importance des points singuliersModeles robotiques etudies
Une 1ere Classification de robots 3R orthogonaux
– Manipulateurs 3R orthogonaux avec r3 = 0 (β2 = β3 = 0)
– Expression de la fonction cinematique du robot,f : (θ1, θ2, θ3) 7→ (x(θ1, θ2, θ3), y(θ1, θ2, θ3), z(θ1, θ2, θ3))
– Calcul de la matrice jacobienne de f , Jf : independante de θ1
⇒ les singularites de f sont independantes de θ1
– On convertit f en F = (ρ(θ2, θ3), z(θ2, θ3)) en posant :ρ(θ2, θ3) = x(0, θ2, θ3)2 + y(0, θ2, θ3)2; z(θ2, θ3) = z(0, θ2, θ3)
– x cusp ⇔ x racine triple de F (⇒ det(JF (x)) = 0)
– {x , y} node ⇔ det(JF (x)) = det(JF (y)) = 0 et F (x) = F (y)
– Robots classifies selon leur nombre de cusps et de nodes.Presence d’un Cusp ⇒ possible changement de posture durobot sans traverser de singularite.
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Conclusions – Perspectives
Classification de Robots par leurs fonctions cinematiquesEquivalence et InvariantsL’importance des points singuliersModeles robotiques etudies
Une 1ere Classification de robots 3R orthogonaux
– Manipulateurs 3R orthogonaux avec r3 = 0 (β2 = β3 = 0)
– Expression de la fonction cinematique du robot,f : (θ1, θ2, θ3) 7→ (x(θ1, θ2, θ3), y(θ1, θ2, θ3), z(θ1, θ2, θ3))
– Calcul de la matrice jacobienne de f , Jf : independante de θ1
⇒ les singularites de f sont independantes de θ1
– On convertit f en F = (ρ(θ2, θ3), z(θ2, θ3)) en posant :ρ(θ2, θ3) = x(0, θ2, θ3)2 + y(0, θ2, θ3)2; z(θ2, θ3) = z(0, θ2, θ3)
– x cusp ⇔ x racine triple de F (⇒ det(JF (x)) = 0)
– {x , y} node ⇔ det(JF (x)) = det(JF (y)) = 0 et F (x) = F (y)
– Robots classifies selon leur nombre de cusps et de nodes.Presence d’un Cusp ⇒ possible changement de posture durobot sans traverser de singularite.
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Classification de Robots par leurs fonctions cinematiquesEquivalence et InvariantsL’importance des points singuliersModeles robotiques etudies
Une 1ere Classification de robots 3R orthogonaux
– Manipulateurs 3R orthogonaux avec r3 = 0 (β2 = β3 = 0)
– Expression de la fonction cinematique du robot,f : (θ1, θ2, θ3) 7→ (x(θ1, θ2, θ3), y(θ1, θ2, θ3), z(θ1, θ2, θ3))
– Calcul de la matrice jacobienne de f , Jf : independante de θ1
⇒ les singularites de f sont independantes de θ1
– On convertit f en F = (ρ(θ2, θ3), z(θ2, θ3)) en posant :ρ(θ2, θ3) = x(0, θ2, θ3)2 + y(0, θ2, θ3)2; z(θ2, θ3) = z(0, θ2, θ3)
– x cusp ⇔ x racine triple de F (⇒ det(JF (x)) = 0)
– {x , y} node ⇔ det(JF (x)) = det(JF (y)) = 0 et F (x) = F (y)
– Robots classifies selon leur nombre de cusps et de nodes.Presence d’un Cusp ⇒ possible changement de posture durobot sans traverser de singularite.
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Classification de Robots par leurs fonctions cinematiquesEquivalence et InvariantsL’importance des points singuliersModeles robotiques etudies
Une 1ere Classification de robots 3R orthogonaux
– Manipulateurs 3R orthogonaux avec r3 = 0 (β2 = β3 = 0)
– Expression de la fonction cinematique du robot,f : (θ1, θ2, θ3) 7→ (x(θ1, θ2, θ3), y(θ1, θ2, θ3), z(θ1, θ2, θ3))
– Calcul de la matrice jacobienne de f , Jf : independante de θ1
⇒ les singularites de f sont independantes de θ1
– On convertit f en F = (ρ(θ2, θ3), z(θ2, θ3)) en posant :ρ(θ2, θ3) = x(0, θ2, θ3)2 + y(0, θ2, θ3)2; z(θ2, θ3) = z(0, θ2, θ3)
– x cusp ⇔ x racine triple de F (⇒ det(JF (x)) = 0)
– {x , y} node ⇔ det(JF (x)) = det(JF (y)) = 0 et F (x) = F (y)
– Robots classifies selon leur nombre de cusps et de nodes.Presence d’un Cusp ⇒ possible changement de posture durobot sans traverser de singularite.
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Classification de Robots par leurs fonctions cinematiquesEquivalence et InvariantsL’importance des points singuliersModeles robotiques etudies
Une 1ere Classification de robots 3R orthogonaux
– Manipulateurs 3R orthogonaux avec r3 = 0 (β2 = β3 = 0)
– Expression de la fonction cinematique du robot,f : (θ1, θ2, θ3) 7→ (x(θ1, θ2, θ3), y(θ1, θ2, θ3), z(θ1, θ2, θ3))
– Calcul de la matrice jacobienne de f , Jf : independante de θ1
⇒ les singularites de f sont independantes de θ1
– On convertit f en F = (ρ(θ2, θ3), z(θ2, θ3)) en posant :ρ(θ2, θ3) = x(0, θ2, θ3)2 + y(0, θ2, θ3)2; z(θ2, θ3) = z(0, θ2, θ3)
– x cusp ⇔ x racine triple de F (⇒ det(JF (x)) = 0)
– {x , y} node ⇔ det(JF (x)) = det(JF (y)) = 0 et F (x) = F (y)
– Robots classifies selon leur nombre de cusps et de nodes.Presence d’un Cusp ⇒ possible changement de posture durobot sans traverser de singularite.
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Conclusions – Perspectives
DefinitionsAlgorithme d’inversion SIVIAAlgorithme de Newton par intervalles
1 Contexte robotique : Classification de robots
2 Analyse par intervalles
Definitions
Algorithme d’inversion SIVIA
Algorithme de Newton par intervalles
3 Cadre mathematique
4 Implementation
5 Conclusions – Perspectives
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Conclusions – Perspectives
DefinitionsAlgorithme d’inversion SIVIAAlgorithme de Newton par intervalles
Definition
Boite : vecteur d’intervallesIE : Ensemble des boites dans E
B
a b
d
c
Figure: Une boite B = ([a, b], [c , d ]) dans R2
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DefinitionsAlgorithme d’inversion SIVIAAlgorithme de Newton par intervalles
Definition
[f ] : IE → IF est une fonction d’inclusion pour f : E → F si :
∀B ∈ IE , f (B) ⊆ [f ](B)
f
B1 B2
[f ](B2)
[f ](B1)
Figure: Fonction f : R→ R et [f ] minimale
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DefinitionsAlgorithme d’inversion SIVIAAlgorithme de Newton par intervalles
Principe
Analyse par intervalles substitue :
- Des boites les encadrant aux vecteurs de valeurs
- Des fonctions d’inclusion aux fonctions
Utilite : Garantir des encadrements de valeurs, meme pour desvaleurs non representables. Exemple : Calcul par ordinateur.
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DefinitionsAlgorithme d’inversion SIVIAAlgorithme de Newton par intervalles
SIVIA : inversion, par intervalles, d’applications
Entree : une fonction f : D → E , une boite T ⊆ E
Sortie : 3 listes de boites : I , O et U, telles que∪{B ∈ I} ⊆ f −1(T ) ⊆ ∪{B ∈ (I ∪ U)}Algorithme :
Diviser D, en boites B, jusqu’a precision ε
Construire listes :
I = {B construits|[f ](B) ⊆ T}O = {B construits|[f ](B) ∩ T = ∅}U = {B construits|[f ](B) ∩ T 6= ∅ et [f ](B) * T}
SIVIA avec T = {0} : I ∪ U encadre les racines de f .
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DefinitionsAlgorithme d’inversion SIVIAAlgorithme de Newton par intervalles
Algorithme de Newton par intervalles
Objectif : Extraire (Bi )i∈I ⊃ {x |f (x) = 0} ou f : U ⊂ Rn → Rn.Si les racines sont isolees, chaque boite Bi en encadre une seule.
Definition (Operateur de Newton Intervalle Nf )
Nf : IRn 3 B 7→ x − [(Jf )−1(B)]× f (x) ou x ∈ B est un elementquelconque de B et [(Jf )−1(B)] encadre {(Jf )−1(x)|x ∈ B}
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DefinitionsAlgorithme d’inversion SIVIAAlgorithme de Newton par intervalles
Proposition
1 (x ∈ B et f (x) = 0)⇒ x ∈ Nf (B)
2 Nf (B) ⊆ B ⇒ (∃!x ∈ B|f (x) = 0)
Corollaire
1 Nf (B) ∩ B = ∅ ⇒ (@x ∈ B|f (x) = 0)
2 Nf (B) ∩ B 6= ∅ ⇒ (Si ∃x ∈ B|f (x) = 0 Alors x ∈ Nf (B) ∩ B)
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DefinitionsAlgorithme d’inversion SIVIAAlgorithme de Newton par intervalles
Plan : Algorithme de Newton par intervalles
† Entrees : Liste de boites L = (Bj)j∈J ; une precision ε > 0
† Sorties : 2 listes de boites R et U
† Algorithme : Tant que L 6= ∅ :
· Calcul de Nf (B),B ∈ L et retrait de B a L· Si Nf (B) ⊂ B ajout de Nf (B) a R· Sinon, si Nf (B) ∩ B 6= ∅
- Si (taille de B < ε) ajouter B a U- Sinon :
Construire B ′ = Nf (B) ∩ B et diviser B ′ en B1,B2
Ajouter B1 et B2 a L
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Conclusions – Perspectives
DefinitionsAlgorithme d’inversion SIVIAAlgorithme de Newton par intervalles
Plan : Algorithme de Newton par intervalles
† Entrees : Liste de boites L = (Bj)j∈J ; une precision ε > 0
† Sorties : 2 listes de boites R et U
† Algorithme : Tant que L 6= ∅ :
· Calcul de Nf (B),B ∈ L et retrait de B a L· Si Nf (B) ⊂ B ajout de Nf (B) a R· Sinon, si Nf (B) ∩ B 6= ∅
- Si (taille de B < ε) ajouter B a U- Sinon :
Construire B ′ = Nf (B) ∩ B et diviser B ′ en B1,B2
Ajouter B1 et B2 a L
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Conclusions – Perspectives
DefinitionsAlgorithme d’inversion SIVIAAlgorithme de Newton par intervalles
Plan : Algorithme de Newton par intervalles
† Entrees : Liste de boites L = (Bj)j∈J ; une precision ε > 0
† Sorties : 2 listes de boites R et U
† Algorithme : Tant que L 6= ∅ :
· Calcul de Nf (B),B ∈ L et retrait de B a L
· Si Nf (B) ⊂ B ajout de Nf (B) a R· Sinon, si Nf (B) ∩ B 6= ∅
- Si (taille de B < ε) ajouter B a U- Sinon :
Construire B ′ = Nf (B) ∩ B et diviser B ′ en B1,B2
Ajouter B1 et B2 a L
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Conclusions – Perspectives
DefinitionsAlgorithme d’inversion SIVIAAlgorithme de Newton par intervalles
Plan : Algorithme de Newton par intervalles
† Entrees : Liste de boites L = (Bj)j∈J ; une precision ε > 0
† Sorties : 2 listes de boites R et U
† Algorithme : Tant que L 6= ∅ :
· Calcul de Nf (B),B ∈ L et retrait de B a L· Si Nf (B) ⊂ B ajout de Nf (B) a R
· Sinon, si Nf (B) ∩ B 6= ∅- Si (taille de B < ε) ajouter B a U- Sinon :
Construire B ′ = Nf (B) ∩ B et diviser B ′ en B1,B2
Ajouter B1 et B2 a L
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Conclusions – Perspectives
DefinitionsAlgorithme d’inversion SIVIAAlgorithme de Newton par intervalles
Plan : Algorithme de Newton par intervalles
† Entrees : Liste de boites L = (Bj)j∈J ; une precision ε > 0
† Sorties : 2 listes de boites R et U
† Algorithme : Tant que L 6= ∅ :
· Calcul de Nf (B),B ∈ L et retrait de B a L· Si Nf (B) ⊂ B ajout de Nf (B) a R· Sinon, si Nf (B) ∩ B 6= ∅
- Si (taille de B < ε) ajouter B a U- Sinon :
Construire B ′ = Nf (B) ∩ B et diviser B ′ en B1,B2
Ajouter B1 et B2 a L
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Conclusions – Perspectives
Applications et points singuliers generiquesApplications generiques de X ⊆ R2 dans R2
Caracteriser les cusps et les nodes
1 Contexte robotique : Classification de robots
2 Analyse par intervalles
3 Cadre mathematique
Applications et points singuliers generiques
Applications generiques de X ⊆ R2 dans R2
Caracteriser les cusps et les nodes
4 Implementation
5 Conclusions – Perspectives
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Conclusions – Perspectives
Applications et points singuliers generiquesApplications generiques de X ⊆ R2 dans R2
Caracteriser les cusps et les nodes
Applications et points singuliers generiques
Objectif : Definir une classe d’applications et de points singuliers arechercher qui soit assez generale, dans l’espace des fonctions C∞.
Definition
Soit G ⊆ C∞(X ,Y ). G est un ensemble d’applications generiquesi G contient un sous ensemble, intersection denombrabled’ouverts denses (=residuel), dans C∞(X ,Y ), pour la topologieC∞ de Whitney.
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Conclusions – Perspectives
Applications et points singuliers generiquesApplications generiques de X ⊆ R2 dans R2
Caracteriser les cusps et les nodes
Applications generiques de C∞(X ⊆ R2,R2) considerees
· S = {p ∈ X | det(Jfp) = 0}, est une courbe
· S contient seulement des points plis (de multiplicite 2 pour f )et un nombre discret de points cusps (de multiplicite 3) isoles.
· 3 points singuliers differents n’ont pas la meme image par f .
· 2 points singuliers differents ayant la meme image par f sontdes points plis et leurs images s’intersectent sans tangence.
· le bord de X , δX doit verifier, par f :
† 3 points differents de S ∪ δX n’ont pas la meme image.† les images egales, par f , de 2 points differents de δX
s’intersectent sans tangence.† S n’intersecte pas tangentiellement δX et S intersecteδX uniquement en des point plis de S .
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Conclusions – Perspectives
Applications et points singuliers generiquesApplications generiques de X ⊆ R2 dans R2
Caracteriser les cusps et les nodes
Applications generiques de C∞(X ⊆ R2,R2) considerees
· S = {p ∈ X | det(Jfp) = 0}, est une courbe
· S contient seulement des points plis (de multiplicite 2 pour f )et un nombre discret de points cusps (de multiplicite 3) isoles.
· 3 points singuliers differents n’ont pas la meme image par f .
· 2 points singuliers differents ayant la meme image par f sontdes points plis et leurs images s’intersectent sans tangence.
· le bord de X , δX doit verifier, par f :
† 3 points differents de S ∪ δX n’ont pas la meme image.† les images egales, par f , de 2 points differents de δX
s’intersectent sans tangence.† S n’intersecte pas tangentiellement δX et S intersecteδX uniquement en des point plis de S .
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Conclusions – Perspectives
Applications et points singuliers generiquesApplications generiques de X ⊆ R2 dans R2
Caracteriser les cusps et les nodes
Applications generiques de X ∈ R2 dans R2
f differentiable et δX differentiable(s)⇒ Les topologies de S ∪ δX et de f (S) ∪ f (δX ) sont invariantespar diffeomorphismes sur l’espace source et/ou image.
f
δX
X
Figure: Exemple de topologies de S ∪ δXf−→ f (S) ∪ f (δX )
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Conclusions – Perspectives
Applications et points singuliers generiquesApplications generiques de X ⊆ R2 dans R2
Caracteriser les cusps et les nodes
Fonctions cinematiques generiques
Les points singuliers d’une fonction cinematique generique(R2 → R2) sont, exhaustivement, dans l’espace articulaire :
- des points cusps (isoles)
- des points plis simples
- des paires de points plis avec la meme image (des nodes)
Remarque (Cas des robots 3R orthogonaux etudies)
f : T 2 → R2 ↔ fR2 : R2 → R2, 2π-periodique
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Conclusions – Perspectives
Applications et points singuliers generiquesApplications generiques de X ⊆ R2 dans R2
Caracteriser les cusps et les nodes
Soit la fonction cinematique f = (ρ1, ρ2) 7→ (f1(ρ1, ρ2), f2(ρ1, ρ2))
Theoreme
Les points cusp et les paires de points nodes sont racines desystemes carres d’equations.
Proposition
C = (ρ1, ρ2) est un point cusp ⇔∂f1
∂ρ1(C ) ·
(−∂ det(Jf )
∂ρ2(C )
)+∂f1
∂ρ2(C ) · ∂ det(Jf )
∂ρ1(C ) = 0
∂f2
∂ρ1(C ) ·
(−∂ det(Jf )
∂ρ2(P)
)+∂f2
∂ρ2(C ) · ∂ det(Jf )
∂ρ1(C ) = 0
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Conclusions – Perspectives
Applications et points singuliers generiquesApplications generiques de X ⊆ R2 dans R2
Caracteriser les cusps et les nodes
Proposition
{ρ, ρ′} est un node⇔ ρ 6= ρ′ et
f1(ρ) = f1(ρ′)
f2(ρ) = f2(ρ′)
det(Jf (ρ)) = 0
det(Jf (ρ′)) = 0
Remarque
Sur la diagonale (ρ = ρ′) le systeme precedent devient l’equation :
det(Jf (ρ)) = 0
Trouver les nodes ⇔ trouver les racines en dehors de la diagonale.
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Conclusions – Perspectives
Algorithme implemente
Algorithme de Recherche garantie des cusps et nodes
Recherche des cusp et nodes : methode de Newton par intervalles
- Entree : une boite de recherche (dans l’espace articulaire)
- Sortie : 4 listes de boites : (C ,UC ,N,UN) :
C : encadrements de points cuspsUC : boites contenant peut etre un cuspN : encadrements de nodes (paires de points)UN : paires de boites contenant peut etre un node
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Contexte robotique : Classification de robotsAnalyse par intervalles
Cadre mathematiqueImplementation
Conclusions – Perspectives
Algorithme implemente
L’algorithme se decompose en 3 phases :
1 Recherche des points cusps (espace articulaire)
2 Construction d’un recouvrement R de la courbe singuliere(espace articulaire) tel que f injective sur boites engendres pardeux boites non disjointes de R.
3 Recherche des nodes, en parcourant R.
La 2eme etape permet de pre-gerer le voisinage de la diagonalepour simplifier la 3eme etape.
La 2eme etape utilise un test specifique d’injectivite pres des cusps.
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Conclusions – Perspectives
Algorithme implemente
Performances :
† Cusps rapidement isoles.
† Construction relativement rapide d’un recouvrement, injectif,de la courbe singuliere (dans l’espace articulaire)
† Detection rapide des nodes
† Verification longue de l’absence de node pres des cusps
Figure: Presence incertaine de node pres d’un cusp (espace image)
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Conclusions – Perspectives
ConclusionsPerspectives
Analyse par intervalles et robotique :
Usuellement : Utilisee pour isoler lieux singuliers des robots :permet de definir des sous espaces sans singularites
Approche complementaire : Determiner la topologie des lieuxsinguliers des robots, caracteristiques de leurs comportements.
Proprietes de l’approche :
Legere incertitude autorisee sur les parametres geometriques.
Applicable a des robots generaux complexes : le temps decalcul et la precision peuvent augmenter toutefois.
L’aspect garanti des resultats
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Conclusions – Perspectives
ConclusionsPerspectives
Utiliser les methodes propagation de contraintes
Verifier l’absence de node necessite beaucoup de calculs et dedecoupages, pour les boites pres des cusps.
La propagation de contrainte pourrait permettre de :
- Compenser le pessimisme sur l’evaluation de l’operateur deNewton.
- Verifier l’injectivite de la courbe singuliere sur un plus grandvoisinage des cusps.
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Conclusions – Perspectives
ConclusionsPerspectives
Pistes de recherche
Travaux envisages
- Prise en compte limites sur l’espace articulaire ⇒Classification utilisant les ”bords” de l’espace articulaire.
- Gerer des robots paralleles en rendant l’algorithme capable detraiter les relations sur R2 × R2 (en considerant les memesdiffeomorphismes pour definir l’equivalence)
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ConclusionsPerspectives
Espace articulaire accessible
Encadrer postures sans auto collisions (modele volumique simple)
Modele volumique
Figure: Modele volumique simple utilise
Modele : Segment 7→ Points distant, au plus, de r ≥ 0 du segment
Distance entre 2 segment ≤ somme des 2 rayons ⇔ Collision entreles 2 pieces du robot.
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Procedure detectant les auto-collisions deja implementee pourrobots 3R orthogonaux.
Figure: vue isometrique du modele applique a un robot 3R orthogonal
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Conclusions – Perspectives
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Extension aux relations sur R2 × R2
On souhaite etendre l’etude realisee aux robots paralleles decritspar des equations F (ρ, p) = 0 en plus des equations p = f (ρ).
⇒ Etude de systemes F1(ρ, p) = 0 = F2(ρ, p)
θ1 θ2
(x , y)
Figure: Robot 5 barres : exemple de robot plan parallele
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ConclusionsPerspectives
Procedure similaire aux robots serie
On pose JFA =
(∂F1∂ρ1
∂F1∂ρ2
∂F2∂ρ1
∂F2∂ρ2
)et JFT =
(∂F1∂p1
∂F1∂p2
∂F2∂p1
∂F2∂p2
)Les diffeomorphismes sur A ou T sont compatibles avec F (ce sontles composantes sur A et T d’un diffeomorphisme sur A× T )
Definition de genericite sur les relations⇒ Definition et recherche des points singuliers specifiques parmi{(ρ, p)|det(JFA(ρ, p)) = 0} et {(ρ, p)|det(JFT (ρ, p)) = 0}.
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