Análisis Geo-Estadístico y Exposición Solar - ILWIS

T H E I N T E G R A T E D L A N D A N D W A T E R I N F O R M A T I O N S Y S T E M

INTERPRETACION DIGITAL Y SENSORES REMOTOS for W I N D O W S

Análisis Geo-Estadísticoy de Exposición Solar

Xander Bakker

Septiembre de 2000Santafé de Bogotá, D.C., Colombia



Advertencia:

El presente documento fue elaborado como un curso de análisis geo-estadístico utilizandoel sistema de información geográfica ILWIS versión 2.23 para Windows. Para el buendesarrollo de este curso los participantes deben tener conceptos básicos de sistemas deinformación geográfica, haber recibido el curso de introducción a ILWIS o tenerexperiencia con el sistema de información geográfica ILWIS versión para Windowsobtenido por medio de métodos autodidactas.

HeRindser Ltda ni el autor de este documento asumen responsabilidad por resultadoserróneos obtenido en el análisis geo-estadístico efectuado con base en este documento.



Contenido :

1. INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Definición de Interpolación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Interpolación de puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2.1 Interpolación de vecinos más cercanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.2 Interpolación de promedio móvil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.3 Interpolación de tendencia de superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.4 Interpolación de superficie móvil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Historia del Kriging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Aplicaciones del Kriging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2. TEORÍA DE GEO-ESTADÍSTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1 Distribución espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 (Auto-)Correlación espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.1 Interpretación de “Moran's I” y “Geary's c”: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3 Semivariogramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4 Variograma representado como superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.5 Variograma de cruces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.6 Métodos de Kriging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.6.1 Simple Kriging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.6.2 Ordinary Kriging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.6.3 Anisotropic Kriging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.6.4 CoKriging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.6.5 Universal Kriging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.7 Diagrama de flujo del Kriging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3. EJERCICIO DE KRIGING . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.1 Reconocer la información . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1.1 Despliegue y consulta de la información . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.1.2 Análisis de distribución espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2 Generación de variogramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2.1 Variograma representado como superficie (Anisotropía) . . . . . . . . . . . 233.2.2 Correlación espacial bi-direccional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24



3.3 Modelar el semivariograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3.1 Adicionar modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3.2 Anisotropía zonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3.3 Correlación espacial omnidireccional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3.4 Adicionar modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3.5 Verificación y selección de los modelos (Goodness of Fitt R2) . . . . . . . 28

3.4 Interpolación por medio del Kriging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.5 Verificación del resultado (Confidence interval) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4. EXPOSICIÓN SOLAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.1 La trayectoria solar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.1.1 Declinación solar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.1.2 Latitud geográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.1.3 Ángulo horario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2 Ocultamiento topográfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.2.1 Definición de exposición solar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.2.2 Ángulo de incidencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2.3 Irradiación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.3 Ejercicio práctico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.3.1 Operaciones de conectividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.3.2 Intervisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.3.3 Conectividad en ILWIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.3.4 Iniciar el proceso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5. RESPUESTAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Anexo: Declinación solar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54



�� Introducción1

Figura 1: Polígonos de Thiessen

1. INTRODUCCIÓNLa geo-estadística se aplica a un conjunto de puntos con sus atributos con el fin decomprender su distribución y comportamiento espacial y determinar el tipo de análisis quese puede aplicar. Tema central de este curso es el proceso de Kriging, entendido comouna interpolación de atributos puntuales por medio de una función estadística. Dentro deeste curso se explicarán los fundamentos de la geo-estadística y se pondrán en prácticadichos conocimientos. Además se ha incluido una sección teórico-práctica que trata delanálisis de exposición solar.

1.1 Definición de InterpolaciónEs el procedimiento de estimar las propiedades en sitios no muestreados dentro de unárea cubierta por valores conocidos en localidades vecinas. El estimar los valores depropiedades en lugares fuera del área cubierta por observaciones se llama extrapolación.La calidad de la interpolación depende de la confiabilidad, certeza, número y distribuciónde los puntos conocidos usados en el cálculo y en la precisión del modelamiento de lafunción utilizada. Los valores desconocidos son calculados con esta función. El escogerel modelo apropiado, es esencial para obtener buenos resultados. (Valenzuela 1989,Aronoff 1989)

1.2 Interpolación de puntosLa interpolación de puntos sirve para generar un superficie continua de valores a partirde valores registrados en ubicaciones puntuales. Existen en la literatura muchasdiferentes formas para efectuar este tipo de interpolación y cada una de estos tipos tienesu aplicación específica. ILWIS soporta varios de estas interpolaciones: vecino máscercano, promedio móvil, tendencia de superficie y superficie móvil. (ILWIS 1999)

1.2.1 Interpolación de vecinos más cercanosLa interpolación de vecinos más cercanos crea los denominados polígonos de Thiessen(o "polígonos Voronoi") los cuales definen áreas de influencia individual por cada puntode un conjunto de puntos. Es una manera de extender la información puntual asumiendoque la mejor información, para ubicaciones sin observaciones, es el valor del punto máscercano. (Aronoff 1989).

A A B C B C

D D E F E F

G G H H




Figura 2: Polígonos de Thiessen sobre superficie compleja

La funcionalidad es la siguiente: para cada pixel las distancias euclidianas son calculadashacia todos los puntos. A cada pixel se le asigna el valor del punto con la menor distancia.

Este tipo de interpolación no se aplica para generar mapas de superficie continua, peromás bien para determinar áreas de influencia de, por ejemplo; escuelas con base endistancias o tiempos de viaje. (Ver gráfico abajo) (Bakker y Perez 2000)

En la figura 2 se muestra un mapa de polígonos de Thiessen calculado sobre unasuperficie compleja mediante una operación de esparcimiento. (Datos: CVC, CuencaTulua-Morales, Proyecto SIGPAFC, asesorado por X. Bakker, HeRindser LTDA)

condiciones deesparcimiento

Una función de esparcimiento evalúa fenómenos que se acumulan con la distancia. Seutiliza para evaluar tiempo o costo de transporte sobre una superficie compleja. Losmovimientos pueden ser limitados por barreras parciales que reducen la velocidad demovimiento o por barreras absolutas que impiden completamente el movimiento.(Valenzuela 1989, Aronoff 1989). ILWIS permite por medio del programa “Distance”generar estos tipos de mapa, especificando un mapa de pesos (valor dificultad, tiempo ocosto para atravesar un pixel). Dentro de esta operación se puede opcionalmente crearun mapa de polígonos de Thiessen.




1.2.2 Interpolación de promedio móvilUna de los tipos de interpolación más aplicada para determinar un valor en ubicaciones“no-visitadas” es la del promedio móvil. Funciona por medio de una ventana circulardonde el valor resultante es determinado por la influencia de puntos conocidos dentro deesta ventana. La influencia es ponderada con base en la distancia inversa o decrecimientolineal (En las figuras 3 y 4: i es la influencia y d es una función de distancia). (Burrough1985, ILWIS 1999).

En ILWIS se pueden usar dos funciones para ponderar la influencia como función dedistancia. La primera es la “Distancia Inversa” (ver figura 3) y la segunda es el“Decrecimiento Lineal” (ver figura 4).

La figura 3 muestra gráficamentela influencia de cada punto comofunción de distancia (DistanciaInversa). Los puntos más cercanostendrán la mayor influencia en elvalor resultante. Al incrementar lavariable n los puntos a mayordistancia casi no tienen influenciaen el resultado.

La figura 4 muestra gráficamentela influencia de cada punto comof u n c i ó n d e d i s t a n c i a(Decrecimiento Lineal). Lospuntos más cercanos tendrán lamayor influencia en el valorresultant. Al incrementar lavariable n los puntos a mayordistancia ejercen influencia en elresultado. Con el valor 1 para lavariable n el decrecimiento seráuna linea recta.

Figura 3: Influencia como función de distancia (distancia inversa)

Figura 4: Influencia como función de distancia (decrecimiento lineal)




Figura 5: Interpolación por medio del promedio móvil

En la figura 5 se muestra el resultado de una interpolación de puntos, usando el métodode promedio móvil con una función de Distancia Inversa con n=2.5. Información deprecipitación en el área de estudio de la Bioreserva Amboseli, Kenia.

Los puntos incluidos para la interpolación también están ubicados fuera del área deestudio, para evitar que los errores de interpolación ocurran dentro del área de interés.Posteriormente se recortó el área útil.




Figura 6: Regresión lineal Figura 7: Regresión polynomial

1.2.3 Interpolación de tendencia de superficieUna forma relativamente sencilla para describir variaciones graduales sobre grandesdistancias es por medio del modelamiento con una regresión “polynomial”. La idea esajustar una superficie polynomial, usando “least squares fit” mediante los puntosconocidos. Las funciones que se pueden usar varían desde la más sencilla “plano” paraáreas de poca variación hasta la más compleja “6o orden superficie polynomial” parasuperficies con un alto grado de variación. La superficie que resulta trata de ajustarse ala máxima cantidad de puntos. (Burrough 1985, ILWIS 1999).

En ILWIS la interpolación de tendencia de superficie únicamente puede ser desarrolladacon mapa de puntos con dominio de tipo valor o con base en un atributo numérico.

Las figuras muestran dos funciones para ajustar la superficie a los puntos conocidos. Lafigura 6 muestra una función lineal, y la figura 7 muestra una función polynomial.Horizontalmente está graficada la distancia y verticalmente la varianza. En el análisis detendencias la linea de regresión se ajusta de tal forma que la suma de los cuadrados dediferencia sea la mínima (b) y no la distancia mínima entre el punto y la linea (a) nitampoco la desviación estándar en distancia (c). (Burrough 1985)

1.2.4 Interpolación de superficie móvilLa interpolación de superficie móvil es una combinación de la interpolación de tendenciasde superficie y el promedio móvil. Usa las mismas funciones que la anterior interpolación,pero adicionalmente utiliza un método de distancia como el empleado en la interpolaciónde promedio móvil. Se pueden usar las dos funciones de distancias (Distancia Inversa yDecrecimiento Lineal). Tanto en la interpolación de superficie móvil como en la detendencias de superficie se recomienda determinar la distribución espacial con elprograma “Pattern Analysis” y la correlación espacial por medio del programa “SpatialCorrelation”.




1.3 Historia del KrigingEn la mayoría de los casos la interpolación de puntos (ej. promedio móvil) genera unresultado satisfactorio, sin embargo deja unas preguntas sin responder:

a) Que tan grande debería ser la distancia de los puntos que ejercen influencia en elvalor del resultado?

b) Existen mejores maneras para determinar el resultado?c) Cual es el error asociado con el resultado de la interpolación?

En 1971 estas preguntas motivaron al geo-matemático Francés Georges Matheron y elingeniero de minería de Sud-África D.G. Krige a desarrollar un método para lainterpolación de puntos con el objeto de ser aplicado en la industria minera. El método deinterpolación es óptimo en el sentido que la función de ponderación se seleccionaperfeccionando la función de interpolación con el fin de proveer el mejor estimado linealimparcial (Best Linear Unbiased Estimate). La aplicabilidad del método se determina conla aceptación de que la distribución espacial de cualquier propiedad geológica, hidrológicao de suelos, conocida como variable regionalizada, es demasiado irregular para sermodelada usando una función matemática que promedie y que además puede serrepresentada con mejores resultados con una superficie empíricamente determinada.Antes de efectuar la interpolación se tiene que explorar y modelar estos aspectos pormedio de funciones estadísticas que determinen las variables que van a ser utilizadas enel proceso. Por medio de la correlación espacial se selecciona la función estadística quemejor se adapte a los datos disponibles. (Burrough 1985, ILWIS 1999)

1.4 Aplicaciones del KrigingEn documentos existentes el proceso del Kriging tiene muchas aplicaciones en camposde exploración y explotación, modelar aspectos hidrológicos hasta la generación demapas de caracterización de suelos. Es importante notar que el proceso del Kriging dentrode ILWIS únicamente se puede efectuar con base en atributos numéricos.



�� Teoría de geo-estadísticas7

Figura 8: Distribución aleatoria

Figura 10: Distribución agrupada Figura 11: Distancia versus probabilidad (agrupada)

Figura 9: Distancia versus probabilidad (aleatoria)

2. TEORÍA DE GEO-ESTADÍSTICAILWIS cuenta con las herramientas para determinar la distribución espacial y lacorrelación de atributos. Todos estos procesos son pre-requisito para la operación delKriging. En este capítulo se explica la utilidad de cada una de estas operaciones.

2.1 Distribución espacialLa distribución espacial (Pattern Analysis) es una técnica que ofrece al usuario másinformación acerca la distribución del fenómeno a examinar. Se pueden distinguir 4 tiposde distribución espacial; Complete Spatial Randomness CSR (aleatorio), Cluster(agrupado), Regular (regular) y Paired (en parejas). Ver figuras 8 a 15. Es posibleidentificar visualmente la distribución espacial, sin embargo se recomienda graficar ladistancia contra la probabilidad para encontrar 1 punto (columna Prob1Pnt graficado enrojo) y para encontrar todos los puntos (columna ProbAllPnt graficado en verde).




Figura 12: Distribución regular Figura 13: Distancia versus Probabilidad (regular)

Figura 14: Distribución en pareja Figura 15: Distancia versus probabilidad (en pareja)

Notese la diferencia en el comportamiento de las curvas de probabilidad tanto en el casode encontrar un punto como en el de encontrarlos todos. En la distribución aleatoria y enla distribución regular la certeza (probabilidad igual a 1) de encontrar 1 punto ocurre amenor distancia que en las otras distribuciones. La diferencia entre la distribuciónaleatoria y la distribución regular se puede notar en la inclinación de la linea roja: ladistribución aleatoria tiene un incremento gradual, mientras que la distribución regularcausa una linea casi vertical.

La curva roja (probabilidad de encontrar 1 punto) es muy similar para las distribucionesagrupadas y en pareja. Sin embargo, se pueden distinguir fácilmente por la curva verde(probabilidad de encontrar todos los puntos): para la distribución en pareja esta aumentagradualmente, mientras para la distribución agrupada se incrementa con uncomportamiento escalar. Una operación de Kriging requiere de una distribución aleatoriade los puntos.




Figura 16: Tabla de distribución espacial (NND)

Figura 17: Información adicional acerca RNN

En ILWIS existen dos técnicas para determinar la distribución espacial con base en unmapa de puntos:

� Nearest Neighbour Distance NND (Distancia de vecino más cercano)Este método consiste en analizar la distribución espacial, utilizando característicasde la distancia entre pares de puntos. La distribución se analiza calculando lasdistancias entre cada punto y su primer, segundo, tercer, cuarto, quinto y sextovecino más cercano. El resultado se puede comprobar contra las distanciasesperadas en una CSR (distribución completamente aleatoria). En el caso de quelos pares de puntos sean más cercanos se evidenciará una distribución agrupada.En caso de que estén mas distanciados, se tomará como una distribución regular.

� Reflexive Nearest Neighbour (RNN)En este método dos puntos son considerados RRN cuando dentro de un par depuntos cada uno es el vecino mas cercano del otro. Este cálculo se hace para elprimer vecino más cercano hasta el sexto vecino más cercano (ILWIS 1997).




Reflexive Nearest Neighbours

Order Obs. values Assumed CSR==================================1 2.00 61.532 16.00 32.583 0.00 24.074 2.00 19.955 30.00 17.426 2.00 15.66

Distance to Nearest Neighbours


Cuadro 3: RNN y NND para distribución regular





Cuadro 4: RNN y NND para distribución en pareja





Cuadro 1: RNN y NND para distribución aleatoria





Cuadro 2: RNN y NND para distribución agrupada

A continuación se presenta información adicional acerca de RNN y NND que ILWISgenera para cuatro mapas de puntos con las cuatro diferentes distribuciones: aleatoria (1),agrupada (2), regular (3) y en pareja (4):




Figura 18: Correlación espacial bi-direccional

Figura 19: tabla que resulta de la correlación espacial bi-direccional

2.2 (Auto-) Correlación espacialMuchas variables tienen diversos valores en diferentes ubicaciones, estas pueden serconsideradas como ubicaciones geográficas aleatorias y ser analizadas usando una(auto-)correlación espacial. Ejemplos de este tipo de fenómeno son datos pluviométricos,concentración de elementos tóxicos, elevación en puntos de triangulación, etc. Por mediode la autocorrelación espacial se puede determinar la variación espacial del fenómeno aestudiar. Normalmente, parejas de puntos con menor distancia intermedia presentan unamayor correlación en la variable, mientras que puntos con mayor distancia intermediapresentan más variación. El “autocorrelogram“ cuantifica esta relación entre distancia yvarianza y permite obtener una mejor comprensión del fenómeno a estudiar. ILWISpermite el cálculo de correlación espacial omnidireccional (en todas las direcciones) y bi-direccional (en una dirección especificada con su dirección perpendicular). Requiere laespecificación del “Lagspacing” (intervalo de distancia). En caso de seleccionar la opciónbi-direccional se debe indicar la dirección, tolerancia y opcionalmente el ancho de banda.(Ver figura 18).

En caso de que exista un punto en elorigen de la figura 18, se evalúan todosaquellos puntos que se encuentren entrela dirección (linea azul) menos latolerancia (lineas rojas) y la dirección másla tolerancia. Cuando se encuentre unpunto su varianza y otros atributos seránregistrados en su correspondiente clasede “Lag spacing” (columna Distance de lafigura 19).

El resultado de esta operación produce una tabla con las siguientes columnas:




Distance Indica el centro de cada clase de distancia (“Lag spacing”)NrPairs El número de pares de puntos encontrados en las clases de distancia.I ”Moran's I” representa la correlación espacial de los puntos dentro de cada

clase de distancia. (La relación entre el producto de la diferencia de losvalores entre puntos con la diferencia global).

c “Geary's c” representa la varianza espacial de los puntos dentro de cadaclase de distancia (compara las diferencias en cuadrado con la media detodos los valores).

AvgLag1 Para cada clase de distancia se determina la distancia promedio entre lospares de puntos (1 es para la dirección principal de la operación bi-direccional).

NrPairs1 Números de pares encontrados en cada clase de distancia (direcciónprincipal)

SemiVar1 Semivarianza experimental para cada clase de distancia (dirección principal)AvgLag2 Para cada clase de distancia se determina la distancia promedio entre los

pares de puntos (2 es para la dirección perpendicular a la dirección principalde la operación bi-direccional).

NrPairs2 Números de pares encontrados en cada clase de distancia (direcciónperpendicular)

SemiVar2 Semivarianza experimental para cada clase de distancia (direcciónperpendicular)

En caso de efectuar la operación omnidireccional, únicamente se genera una columnapara el número de pares (NrPairs), distancia promedio (AvgLag) y semivarianzaexperimental (SemiVar).

La operación bi-direccional únicamente se hace cuando se supone un comportamiento deAnisotropía en los datos. El ángulo de Anisotropía puede ser determinado por medio deuna operación de “Variograma representado como superficie” (ver 2.4).

Es importante que el “Lag spacing” sea seleccionado de tal forma que las clases dedistancia tengan mínimo 30 puntos en cada clase.

2.2.1 Interpretación de “Moran's I” y “Geary's c”Los valores de “Moran’s I” y “Geary’s c” pueden interpretarse así:

0 < c < 1 Autocorrelación positiva I > 0 c > 1 Autocorrelación negativa I < 0 c = 1 Distribución aleatorio de los valores I = 0




Figura 20: Modelos disponibles en ILWIS para modelar el semivariograma

2.3 SemivariogramasEl modelamiento de las semivariogramas es un aspecto muy importante en la preparaciónde la operación de Kriging. En este proceso se determina que modelo estadístico seajusta mejor al comportamiento (correlación espacial) de los datos y cuales son lasvariables a ser usadas durante el Kriging.

A partir de la tabla generada en la operación de correlación espacial se despliega lacolumna “Distance” o la columna “AvgLag” horizontalmente contra la columna “SemiVar”verticalmente. Al seleccionar el rango de distancia, no debe especificarse más que lamitad de la distancia máxima, puesto que se asume que después de una determinadadistancia no existe correlación espacial entre los puntos. En caso que se use la opción bi-direccional en la correlación espacial, se debe hacer este proceso para ambasdirecciones. ILWIS soporta los siguientes variogramas teóricos para modelar elcomportamiento de la correlación espacial (ver figura 20):

En el ejemplo anterior se utilizaron las siguientes variables:

� Power model: Nugget = 215, Slope = 0.000015 y Power = 1.6� Gaussian model: Nugget = 350, Sill = 800, Range = 35km� Spherical model: Nugget = 215, Sill = 750, Range = 39km� Circular model: Nugget = 150, Sill = 650, Range = 40km� Exponential model: Nugget = 300, Sill = 700, Range = 35km� Rational Quadratic model: Nugget = 260, Sill = 550, Range = 35km� Wave model: Nugget = 0, Sill = 350, Range = 4km




Figura 21: semivariograma esférico

∆∆

Sem iva r

D istanc ia= ≈

80065000

0 012.

Notése que todos los modelos utilizan las tres variables “Nugget”, “Sill” y “Range”, menosel Power model. El siguiente gráfico contiene la explicación de cada variable:

Nugget Es el valor inicial de la semivarianza (a la distancia cero) donde empieza elsemivariogram (corte con el eje vertical). En teoría este valor debería sercero, puesto que a distancia cero no debería existir varianza en el atributo.Sin embargo, en la práctica existen casos donde se requiere especificar unvalor diferente a cero.

Sill Es el valor de semivarianza donde la curva se deja de incrementar.Range Corresponde a la distancia donde la curva se deja de incrementar.Slope Para el “Power model” representa la pendiente de la curva (ver figura 20).

En caso de usar un “Power” de 1 se obtiene una linea recta. Si en elejemplo de la figura 20 se hubiera usado un Power igual a 1, la pendientehubiera sido la siguiente:

Power Para el “Power model” representa la curvatura de la linea (ver figura 20).




Figura 22: Generación de un variograma representado como superficie

Figura 23: “variogram surface”

2.4 Variograma representado como superficieLa operación “variogram surface” utilice un mapa de puntos (o mapa raster) y calcula unasuperficie de valores de semivarianza, donde cada pixel en la superficie representa unaclase de distancia direccional. Esta superficie permite determinar visualmente la direcciónde una posible anisotropía.

En caso de establecerse la anisotropía en los datos, debe medirse el ángulo principal;luego realizar la correlación espacial usando este ángulo y modelar el semivariograma,estableciendo los parámetros necesarios para el proceso de Anisotropic Kriging.

La figura 22 contiene 4 gráficos: el primero representa un mapa de puntos donde todoslos pares de puntos han sido identificados mediante lineas de color (son 6). El segundorepresenta estas lineas (separation vectors) dibujadas desde el orígen en ambasdirecciones (es decir dirección CB y también dirección BC) con su correspondientelongitud (distancia entre puntos). El tercer gráfico muestra las clases de distancias (Lagspacing) como un mapa raster con las lineas sobrepuestas. El cuarto muestra el resultadodel variograma: un mapa raster con valores de semivarianza en los pixelescorrespondientes a las clases de distancia direccional. Para obtener buenos resultadosse recomienda tener unos 30 pares de puntos por cada pixel.

Normalmente el semivariograma representado comosuperficie debe ser circular (baja varianza cerca del orígen{color azul} y alta varianza {color rojo} hacia afuera).

En caso que el comportamiento sea más similar a una elipsese puede concluir que los datos tienen anisotropía y se debeusar el proceso “Anisotropic Kriging”. En este caso debemedirse el ángulo de poca varianza y su tolerancia.




Figura 25: modelamiento de los tres semivariogramas

Figura 24: tabla que resulta de la operación “Cross variogram”

2.5 Variograma de crucesEl variograma de cruces calcula valores de semivarianza experimental para dos variablesde entrada y un variograma de cruces para la combinación de estas dos variables. Estaaplicación es útil cuando se tiene un conjunto de puntos donde la variable de interés tienepocas observaciones (debido al costo o dificultad para medir la variable), y otra variableque si tiene observaciones. En caso que exista entre estas dos variables una correlacióndeterminante (positiva o negativa), se puede usar el comportamiento de esta co-variablepara interpolar la variable de interés. Este método de interpolación es llamado CoKriging.

En este caso se debe modelar el semivariograma de la semivarianza de la variable deinterés (columna SemiVarA), la co-variable (columna SemiVarB) y la semivarianza decruce entre las dos. (columna CrossVarAB). (ver figura 25).




Los valores del semivariograma de cruce pueden incrementarse o reducirse con ladistancia dependiendo de la correlación entre las variables A y B. Los valores de lossemivariogramas de las variables A y B son positivos. Cuando se modelan estos tresvariogramas la relación definida por Cauchy-Schwartz debe cumplirse con el fin degarantizar resultados confiables de la operación CoKriging.

Para todos los valores de distancia entre cero y la distancia limitante en la operación deCoKriging.

donde:es la variable del variograma de cruce,es el valor del semivariograma para la variable A,es el valor del semivariograma para la co-variable B.

La distancia limitante es la máxima (de un pixel) con respecto a un punto donde estepunto todavía ejerza influencia en el resultado (del pixel).

2.6 Métodos de KrigingILWIS soporta diferentes tipos de procesos de Kriging: Simple Kriging, Ordinary Kriging,Anisotropic Kriging, CoKriging y Universal Kriging. Cada uno de ellos tiene aplicabilidadespecifica así:

2.6.1 Simple KrigingEl Simple Kriging como su nombre lo indica es la forma más sencilla de Kriging. Se debeespecificar el modelo del semivariograma y sus variables (Nugget, Sill y Range o Nugget,Slope y Power). Todos los puntos serán incluidos en este proceso, no puede especificarseel número de puntos a ser usado para determinar los valores de salida. Opcionalmente(como en todos los procesos de Kriging) puede generarse un mapa de errores.

2.6.2 Ordinary KrigingEl Ordinary Kriging es muy similar a Simple Kriging, con la diferencia que en este caso sipuede especificarse el número de puntos que serán usados para determinar los valoresen el mapa raster de salida. Este se puede hacer indicando la distancia limitante, elnúmero mínimo y máximo de puntos que se requieren para determinar los valores en elmapa de salida. Este método es más verosímil, puesto que normalmente después de unacierta distancia no existe ninguna correlación entre los atributos de los puntos.




Figura 26: Anisotropía zonal

2.6.3 Anisotropic KrigingComo fue explicado en el numeral 2.4 (variograma representado como superficie) en casoque exista anisotropía en los datos (comportamiento distinto en diferentes ángulos), sedebe usar el Anisotropic Kriging. Para este proceso se debe modelar el semivariogramapara ambas direcciones (resultado de la correlación espacial bi-direccional). Además, delángulo de anisotropía, Anisotropic Kriging tal como Ordinary Kriging permite al usuariodefinir la distancia limitante y el mínimo y máximo número de puntos.

En caso de obtener dos diferentes tipos de semivariogramas (ej: esférico y gausiano) sehabla de Anisotropía zonal (no soportada por ILWIS, ver figura 26).

Es importante destacar que en el modelamiento de los semivariogramas, no se trata deajustar todos los puntos. Los puntos más importantes están a menor distancia. Ladistancia en donde no se puede ajustar el semivariograma corresponde a la distancialimitante. En la figura 26 la distancia limitante es de 30 a 35 km.

2.6.4 CoKrigingEl proceso de CoKriging, como fue explicado en el numeral 2.5 (variograma de cruces),es útil en caso de contar con un conjunto de puntos donde la variable de interés tienepocas observaciones, pero existe otra variable que si tiene observaciones (debido al costoo dificultad para medir la variable).




En caso de que exista entre estas dos variables una correlación fuerte (positiva onegativa), se puede usar el comportamiento de la variable observada para interpolar lavariable de interés. Este método de interpolación es llamado CoKriging.

2.6.5 Universal KrigingEl Universal Kriging es una variación del Ordinary Kriging. La diferencia es que este usauna tendencia local. El Universal Kriging consiste en una superficie de tendencias quecambian gradualmente sobre la cual se superpone la variación a ser interpolada. Cuandola media de una variable regionalizada no es constante para toda la superficie sedenomina “no estacionaria”. Este tipo de variables es muy frecuente y tiene doscomponentes:

� el promedio o valor esperado de la variable regionalizada� un residual determinado por la diferencia entre el valor medido y el valor esperado

Puede usarse el proceso de Universal Kriging en vez de quitar este tipo de variacióndebido a la tendencia local.




2.7 Diagrama de flujo de KrigingEl siguiente es un diagrama de flujo para determinar el proceso de Kriging que debeusarse y para verificar si el conjunto de datos es apto para su aplicación:

Los rombos representan la toma de una decisión y los cuadros representan operacionesdentro de ILWIS. En varios casos no debe usarse Kriging:

� Cuando no se tiene una buena distribución� Si se tienen pocas observaciones y no se cuenta con una co-variable� Cuando el resultado del “Cross variogram” no cumple la relación Cauchy-Schwartz.

Si se detecta una “Anisotropía zonal” es posible efectuar Simple o Ordinary Kriging.

Luego de efectuar un proceso de Kriging se recomienda hacer una verificación de losresultados por medio de un proceso llamado “intervalo de confiabilidad” (ver numeral 3.4).



�� Ejercicio de Kriging21

3. EJERCICIO DE KRIGINGPara este ejercicio se tomaron como base los datos existentes en la versión 2.2 de ILWISelaborados por A. Gieske de la Universidad de Botswana y la Universidad Libre deAmsterdam. Dichos datos fueron editados para mejorar el nivel de aprehensión delejercicio y del mismo proceso de Kriging.

� Cambie al sub-directorio “C14" del directorio “C:\ILWIS22\DATA\” . Se asume queILWIS esta instalado en el directorio “C:\ILWIS22\” y los datos para este cursofueron copiados en dicho directorio.

3.1 Reconozca la informaciónEl primer paso es conocer los datos y visualmente. Determine su distribución espacial yatributos. Establezca si cuenta con observaciones suficientes. Estos pasos definen si elconjunto de datos es apto para ser utilizado en el proceso de Kriging.

3.1.1 Despliegue y consulte la informaciónDespliegue los puntos para evaluar de manera visual su distribución espacial.

� Haga doble clic sobre el mapa de puntos “C14". En la ventana del diálogo oprimael botón “Symbol ” y en la ventana de la definición del símbolo seleccione el “Fillcolor” rojo, luego oprima dos veces el botón “OK”.

Los puntos se despliegan dentro de una ventana con círculos rojos. Los puntos están biendistribuidos dentro de la ventana. Que tipo de distribución es, según su opinión?� Aleatoria� Agrupada� Regular� En pareja

Cambie el despliegue de los símbolos con el fin de poder medir una distancia entre lospuntos:

� Seleccione el menú “Layers ” en la ventana del mapa, luego seleccione la opción“Display Options ” y “1 pnt C14 ". En la ventana de las opciones del despliegueoprima el botón “Symbol ” y cambie el símbolo a “+ Plus ”, luego oprima dos vecesel botón “OK”.

Con el botón mida las distancias mínima y máxima existente entre los puntos:

Distancia mínima:............. Distancia máxima:................




Que tipo de dominio tiene el mapa (ver propiedades del mapa)? . . . . . . . . . . . . . . .

Cuantos puntos tiene el mapa (ver propiedades del mapa)? . . . . . . . . . . . . . . .

Cuantos pares de puntos se pueden crear con estos puntos? . . . . . . . . . . . . . . .

Despliegue la tabla de atributos del mapa:

� Haga doble clic sobre la tabla “C14". La tabla se abre y se puede observarse quetiene además de los códigos del dominio un atributo (columna “C14").

Los valores que aparecen el la columna “C14" representan porcentajes de contenido deC14 (p.m.c. = porcentaje de “carbono 14”).

Cuales son los valores mínimos y máximos de la columna “C14"?Valor mínimo:............. Valor máximo:................

Se debe establecer cual es la varianza de los datos de atributos. Esto se hace dentro dela tabla de atributos:

� Entre al menú “Column ” y seleccione la opción “Statistics ”. Seleccione la función“Variance” y asegure que la columna “C14" este seleccionada como columna.Oprima el botón “OK”.

Anote el valor de varianza:................

La varianza es un indicador para la variable “Sill” cuando el semivariograma no tiene“Nugget”.

� Cierre la tabla de atributos y cierre el mapa de puntos.

3.1.2 Análisis de distribución espacialEn este proceso se determina la distribución espacial del mapa de puntos:

� En el menú “sensitivo al contexto” del mapa de puntos “C14" seleccione la opción“Statistics ” y luego “Pattern Analysis ”. Por defecto el sistema tiene seleccionadoen mapa de puntos “C14" como mapa de entrada. Escriba “distrib” como nombrede la tabla de salida, active la opción “Show ” y oprima el botón “OK”.




Con el fin de interpretar los valores generados en esta tabla, se debe graficar la distancia(abscisa) y la probabilidad de encontrar 1 punto y todos los puntos (ordenada):

� En el menú “Options ” de la tabla seleccione la opción “Show Graph ”. En la cajade diálogo seleccione la columna “Distance” como eje X (izquierda) y la columna“Prob1Pnt” como eje Y (derecha). Oprima el botón “OK”. Acepte los valores pordefecto de la ventana “Edit Graph ” y oprime el botón “OK”.

La curva de distancia versus la probabilidad se despliega en color rojo. En laventana del gráfico, entre al menú “Graph ” y seleccione la opción “Add Graphform Columns ”. Seleccione “Distance” como eje X, “ProbAllPnt” como eje Y yoprima el botón “OK”. Acepte los valores por defecto de la ventana “Edit Graph ”y oprime el botón “OK”.

Se actualiza el despliegue asignando a la curva de distancia versus probabilidad deencontrar todos los puntos el color verde. Compare este gráfico con los figuras de laspáginas 7 y 8 de este manual.

Con que distribución corresponde el comportamiento del gráfico?� Aleatoria� Agrupada� Regular� En pareja

Este corresponde con lo que usted visualmente había concluido?

3.2 Generación de variogramasSiguiendo el diagrama de flujo de la página 20, el proceso anterior determinó que elconjunto de puntos tiene una distribución espacial adecuada con buenas observaciones(todos los puntos tiene información acerca el atributo de interés C14). En este seccióngeneramos el variograma representado como superficie para determinar si el conjunto dedatos presenta anisotropía. En este momento queda descartado el proceso de “CoKriging”por no tener otra (co-)variable y además se cuenta con buenas observaciones.

3.2.1 Variograma representado como superficie (Anisotropía)El proceso de la generación de un variograma representado como superficie nos permiteverificar la existencia de anisotropía en los datos:

� En el menú “sensitivo al contexto” del mapa de puntos “C14" seleccione la opción“Statistics ” y luego “Variogram Surface ”. Asegure que el mapa “C14" y la columna“C14" están seleccionados.




Figura 29: mapa supvario

Especifique un ‘Lag spacing ” (intervalo de distancia) de 5000 metros y mantengael número de “Lags ” en 10. Especifique el nombre “supvario” como mapa de salida,acepta los valores por defecto de rango y precisión, prenda la opción “Show ” yoprima el botón “OK”. En la caja del diálogo de opciones de despliegue oprima elbotón “OK” para visualizar el mapa.

Se crea un mapa de 19 por 19 pixeles. Para una mejor comprensión se debe adicionaruna grilla para indicar el origen:

� En el menú “Layers ” seleccione la opción “Add Annotation ” y luego la opción“Grid Lines ”. Desactive la opción “Coordinates ”, cambie la distancia (“Griddistance ”) a 50000 y oprima el botón “OK”.

La grilla muestra el origen del mapa (el centro). Esto permite al usuario medir el ángulode posible anisotropía. La georeferenciación es interna y no está disponible para elusuario. En caso de no tener anisotropía el mapa tendrá un comportamiento circular, conlos colores azules (baja varianza) en el centro y colores rojo en las partes afuera (altavarianza).

Es evidente que el comportamiento no es circular, pero másbien de tipo elíptico indicando la presencia de anisotropía enlos datos. Para mediar el ángulo de la anisotropía se debeusar la herramienta de medición y medir la línea central de laelipse por los pixeles de baja varianza (color azul).

Anote el ángulo principal de la anisotropía: ............°

Anote también un ángulo de tolerancia: ............°

Este valor del ángulo principal de anisotropía se debe usar enla correlación espacial bi-direccional.

3.2.2 Correlación espacial bi-direccionalAhora debe determinar la correlación espacial bi-direccional:

� En el menú “sensitivo al contexto” del mapa de puntos “C14" seleccione la opción“Statistics ” y luego “Spatial Correlation ”. Seleccione la opción “Bidirectional ” yespecifique un “Lag spacing ” de 5000 metros. Especifique la dirección y toleranciadeterminada en el ejercicio anterior, mantenga la opción “Band width ” desactivada.Escriba “cebi5" como nombre de la tabla de salida, active la opción ”Show ” yoprima el botón “OK”.




El la tabla se debe visualizar el comportamiento de la semivarianza contra los clases dedistancia para ambas direcciones:

� En el menú “Options ” de la tabla seleccione la opción “Show Graph ”. En la cajadel diálogo seleccione la columna “Distance” como eje X (izquierda) y la columna“SemiVar1” como eje Y (derecha). Oprima el botón “OK”. En la caja del diálogo“Edit Graph ” seleccione “Point ” como tipo de gráfico, cambie el tamaño delsímbolo de “3" a “5", seleccione el color rojo como “Color ”. El rango del eje X nodebe ser mayor a la mitad de la distancia máxima: especifique 45000 metros comomáxima X y oprima el botón “OK”.

Es posible desplegar los modelos en ventanas separadas pero por comodidad use lamisma ventana:

� En el menú “Graph ” de la ventana del gráfico, seleccione la opción “Add Graphfrom Columns ”. Seleccione las columnas “Distance” contra “SemiVar2". Para eldespliegue use símbolo de puntos, tamaño 5 y color verde con la misma definicióndel eje X.

No cierre las ventanas de gráfico y tabla.

3.3 Modelar el semivariogramaEl modelamiento del semivariograma es fundamental para el proceso del Kriging. Se basaen ajustar una función estadística al comportamiento calculado en la correlación espacial.

3.3.1 Adicionar modelosUse el gráfico de la página 13 para definir cual o cuales modelos pueden ajustarse a losdos semivariogramas experimentales.

� En el menú “Graph ” de la ventana del gráfico, seleccione la opción “AddSemivariogram Model ”. Seleccione el semivariograma que más se ajuste yespecifique las tres variables para definir el modelo. Oprima “OK” para adicionarel modelo a la ventana del gráfico.

En caso que el modelo no se ajuste y se requiere edición de las variables, entre almenú “Graph ” y seleccione la opción “Graph Management ”. Seleccione el gráficoa editar y oprima el botón “Edit Graph ”. Haga los ajustes necesarios y oprima elbotón “OK” para regresar a la ventana de “Graph Management ”.

Seleccione el siguiente gráfico a editar o oprima “OK” para cerrar la ventana.




Figura 30: Modelamiento de semivariogramas

Anote los modelos para la semivarianza de la dirección perpendicular (SemiVar2, colorverde):

Modelo 1: ...................... Modelo2: ......................Nugget: ...................... Nugget: ......................Sill: ...................... Sill: ......................Range: ...................... Range: ......................

Es más complejo definir el modelo para la dirección principal (SemiVar1). Observe lafigura abajo:

Como puede verse en la figura 30, la semivarianza correspondiente a las distancias 0, 5y 15 km no se ajustan al modelo.

3.3.2 Anisotropía zonalSe puede notar que el comportamiento del modelo de semivariograma es distinto para ladirección principal y la dirección perpendicular. Esto significaría que se presentaanisotropía zonal en los datos y ILWIS no soporta el procesamiento de anisotropía zonal.De todas formas, el cálculo no ha sido muy exacto, puesto que para asegurar un resultadoconfidencial se requiere tener al menos 30 puntos por clases de distancia (por pixel) ysolamente un rango pequeño cumple con esta condición (ver columnas “NrPairs1" y“NrPairs2"). Es posible que la diferencia en el número de puntos por pixel en elvariograma representado como superficie cause la aparente anisotropía.




3.3.3 Correlación espacial omnidireccionalSe recomienda en este caso hacer una correlación espacial omnidireccional y continuarcon un proceso de Kriging descartando el “Anisotropic Kriging”.

� En el menú “sensitivo al contexto” del mapa de puntos “C14" seleccione la opción“Statistics ” y luego “Spatial Correlation ”. Seleccione la opción “Omnidirectional ”y especifique un “Lag spacing ” de 5000 metros. Escriba el nombre “ceom5" comonombre de la tabla de salida, active la opción “Show ” y oprima “OK”.

Visualice el comportamiento de la semivarianza contra las clases de distancia:

� En el menú “Options ” de la tabla seleccione la opción “Show Graph ”. En la cajade diálogo seleccione la columna “Distance” como eje X (izquierda) y la columna“SemiVar” como eje Y (derecha). Oprima el botón “OK”. En la caja de diálogo “EditGraph ” seleccione “Point ” como tipo de gráfico, cambie el tamaño del símbolo de“3" a “5" y seleccione el color rojo como “Color ”. Especifique 45000 metros comomáximo X y oprima el botón “OK”.

3.3.4 Adicional modelosSe tiene que volver a modelar el semivariograma, puesto que su comportamiento esdistinto al comportamiento calculado bi-direccionalmente:

� En el menú “Graph ” de la ventana del gráfico, seleccione la opción “AddSemivariogram Model ”. Seleccione el semivariograma que más se ajuste yespecifique las tres variables para definir el modelo. Oprima “OK” para adicionarel modelo a la ventana del gráfico.

Hay 4 modelos que se ajusten a la semivariograma experimental:

Modelo 1: ...................... Modelo 2: ......................Nugget: ...................... Nugget: ......................Sill/Slope: ...................... Sill/Slope: ......................Range/Power: ...................... Range/Power: ......................

Modelo 3: ...................... Modelo 4: ......................Nugget: ...................... Nugget: ......................Sill/Slope: ...................... Sill/Slope: ......................Range/Power: ...................... Range/Power: ......................




3.3.5 Verificación y selección de los modelos (Goodness of Fit R2)Es posible que existan varios modelos que se ajusten satisfactoriamente alsemivariograma experimental. En este caso se puede hacer un cálculo de “Goodness ofFit R2”. Los valores que resultan de esta operación permiten seleccionar el modelo másapropiada para el proceso.

El “Goodness of Fit R2” se determina con la siguiente fórmula:

donde:�̂ valor experimental de semivarianza generado durante la operación de correlación

espacial o variograma de cruces.� valor de semivarianza determinado por medio del modelamiento del

semivariograma.N el número total de clases de distancias (Lags).

Observe el resultado de analizar el “Goodness of Fit R2"Se modeló 3 funciones estadísticas: Power model (azul), Exponential model (magenta) y




Spherical model (verde). Es necesario entender que no se debe calcular el R2 para todala columna, puesto que esto únicamente tiene sentido para el intervalo de distancia quese utilizará como distancia limitante. En este caso se hizo 2 cálculos para dos intervalosde distancia: La de abajo (de 2.5km hasta 37.5km) y la de arriba (de 2.5km hasta 12.5kmy 17.5km hasta 37.5km).

El último excluyó el valor correspondiente a la distancia 15km y así incrementa el valor deR2 (ejemplo: el Power model para el primer intervalo tuve un valor 0.63 y excluyendo ladistancia 15km se incrementó a 0.92).

Haciendo este cálculo se puede determinar la distancia limitante necesaria en la mayoríade los procesos de Kriging, y evaluar cual modelo se ajuste mejor. Este proceso se haceen la tabla de la correlación espacial o la tabla de la variograma de cruces:

Es necesario anotar para que rango de distancia los modelos se están ajustando:

Modelo 1: ...................... Modelo 2: ......................Distancia mínima: ...................... Distancia mínima: ......................Distancia máxima: ...................... Distancia máxima: ......................

Modelo 3: ...................... Modelo 4: ......................Distancia mínima: ...................... Distancia mínima: ......................Distancia máxima: ...................... Distancia máxima: ......................

Cual modelo, según su criterio, se ajuste mejor a los valores experimentales?

Cierre la ventana de los gráficos

� Entre al menú “Columns ” de la tabla y selecciona la opción “Semivariogram ”. Enla caja del diálogo seleccione el primer modelo (Power model), especifique 250como “Nugget ”, el valor 0.0001 como “Slope ” y el valor 1.5 como “Power ”. Escriba“semipow como nombre de la columna y oprime “OK”. Acepta los valores que salenpor defecto y oprime “OK”.

Repite este proceso para los otros tres modelos (ver capítulo 5. RESPUESTAS,punto 3.3.4), creando las columnas “semigau” para el “Gaussian model”, “semirat”para el “Rational Quadratic model” y “semiwav” para el “Wave model”.

No es útil determinar el R2 para toda la columna, como se indica en el manual de ILWIS,pues solamente estamos interesados en el comportamiento hasta la distancia limitante(entre 25 y 45km).




Por tanto debemos crear una columna con dominio de tipo clase, e indicar en ella las filasde la tabla a incluir en el cálculo:

� Entre al menú “Columns ” y seleccione la opción “Add Column ”. Especifique elnombre “usar” como nombre de la columna y oprima el botón para crear el dominio.En la caja de diálogo “Create domain ” especifique el nombre “usar” como nombredel dominio, asegurese que el tipo “Class ” está seleccionado y oprima “OK”. Luegoen la ventana de dominio adicione el elemento “usar”: entre al menú “Edit ” yseleccione la opción “Add item ”, luego especifique “usar” como nombre delelemento, no especifique ningún código y oprima “OK”. Cierre el dominio y oprima“OK” en la caja de diálogo “Add Column ”.

La columna se adiciona a la tabla y está llena de interrogantes “?”. Es necesario editar lacolumna:

� Haga clic en el primer campo de la columna “usar”. Haga clic sobre el botón queaparece en la parte derecha del campo y seleccione el elemento “usar”. Repita esteproceso para la segunda y hasta la sexta fila. Confirme el último campo con la tecla<Enter> y asegurese que los campos tienen un color blanco de fondo y no azul.

Con este proceso se ha indicado que el intervalo de 0 a 25km de distancia será incluidoen el cálculo. Más adelante, después de efectuar los cálculos para determinar el R2,editará esta columna para cambiar este intervalo y actualizará los R2 para determinarlospara diferentes intervalos de distancia.

Por medio de los siguientes cálculos obtendrá el R2. En la línea de comando escriba lassiguientes formulas y acepte los valores de rango y precisión por defecto (se estaráutilizando “pow” para los cálculos relacionadas con el ”Power model ”, “gau” para el“Gaussian model ”, “rat” para el “Rational Quadratic model ” y “wav” para el “Wavemodel ”):

pow1=sq(semivar-semipow)gau1=sq(semivar-semigau)rat1=sq(semivar-semirat)wav1=sq(semivar-semiwav)

Con estas formulas se generan 4 columnas con la diferencia entre la semivarianzaexperimental y la semivarianza de cada modelo en el cuadrado.

Luego se calculará el promedio de la semivarianza experimental (columna “SemiVar”)usando la columna “usar”:




� Entre al menú “Columns ” y seleccione la opción “Aggregation ”. Seleccione lacolumna “SemiVar”, asegurese de que la función “Average ” está seleccionada,active la opción “Group By ” y asegurese de que la columna “usar” estáseleccionada. Escriba el nombre “AvgSV” como nombre de salida y oprima el botón“OK”.

El la nueva columna aparecen 2 valores: tanto para los elementos “usar” como para losinterrogantes “?” de la columna “usar” se determinó el promedio de la semivarianzaexperimental.

Por medio del siguiente cálculo se determina la diferencia en el cuadrado entre lasemivarianza experimental y el promedio de la semivarianza experimental:

sqdif=sq(semivar-avgsv)

Luego sumamos esta diferencia en el cuadrado usando nuevamente la columna “usar”:

� Entre al menú “Columns ” y seleccione la opción “Aggregation ”. Seleccione lacolumna “sqdif”, cambie la función a “Sum ”, prenda la opción “Group By ” yasegurese de que la columna “usar” está seleccionada. Escriba el nombre“SumSqDif” como nombre de salida y oprima el botón “OK”.

Ahora se sumarán la primera columna que se generó en los cuatro modelos (“pow1",“gau1", “rat1" y “wav1") usando en esta operación la columna “usar”:

� Entre al menú “Columns ” y seleccione la opción “Aggregation ”. Seleccione lacolumna “pow1”, cambie la función a “Sum ”, active la opción “Group By ” yasegurese de que la columna “usar” está seleccionada. Escriba el nombre “pow2”como nombre de salida y oprima el botón “OK”.Repita este proceso para las columnas “gau1", “rat1" y “wav1" generando lascolumnas “gau2", “rat2" y “wav2".

Ya se puede determinar el R2 para los cuatro modelos para el intervalo 0 a 25km:

PowR2 = 1 - (pow2 / sumsqdif)GauR2 = 1 - (gau2 / sumsqdif)RatR2 = 1 - (rat2 / sumsqdif)WavR2 = 1 - (wav2 / sumsqdif)

Se puede observar que los valores de los primeros 6 registros fluctúan entre 0.5 y 0.6. Losvalores mas cercanos a 1 representan un mejor modelo. También se puede notar queúnicamente el “Wave model” tiene valores positivo en los otros registros.




Aunque el “Power model” se ajusta mejor en este intervalo, el “Wave model” representael mejor modelo globalmente.

Anote el R2 para el intervalo de 0 a 25km de los 4 modelos en la siguiente tabla:

Distancia Modelo 1 (pow) Modelo 2 (gau) Modelo 3 (rat) Modelo 4 (wav)

0-25 km

0-35 km

0-40 km

0-45 km

Promedio

Es posible editar la columna “usar” e incluir las distancia para obtener el segundointervalo de 0-35km:

� Edite las filas 7 y 8 de la columna “usar” cambiando la interrogación “?” por elelemento “usar”. Asegurese de confirmar el último cambio con la tecla <Enter> .

� Para actualizar una columna se debe hacer doble clic sobre el nombre de lacolumna (empiece con la columna “PowR2") y en la caja del diálogo de laspropiedades de la columna cambie el rango de valores de la columna a -1000hasta 1 y oprima el botón “Make Up to Date ”. Los valores en la columna seactualizan.

Repite este proceso para las columnas “GauR2", “RatR2" y “WavR2".

Es necesario hacer este proceso para los otros intervalos: 0-40km y 0-45km:

� Edite la fila 9 (intervalo 0-40km) de la columna “usar” cambiando la interrogación“?” por el elemento “usar”. Asegurese de confirmar el último cambio con la tecla<Enter> . Luego actualice las columnas y anote los R2 en el intervalo de distanciacorrespondiente.

� Edite la fila 10 (intervalo 0-45km) de la columna “usar” cambiando la interrogación“?” por el elemento “usar”. Asegurese de confirmar el último cambio con la tecla<Enter> . Luego actualice las columnas y anote los R2 en el intervalo de distanciacorrespondiente.




Calcule también el promedio de los intervalos para cada modelo y anote los valores.

Cual de los cuatro modelos se ajusta mejor al semivariograma experimental?

Al incrementar el intervalo de distancia, el valor R2 incrementa a 0.7667 para el intervalo0-50km, luego se reduce. Así se puede concluir que la distancia limitante es de 50km.

Cierre la tabla.

3.4 Interpolación por medio de KrigingYa que se ha establecido el modelo mas adecuado, se puede efectuar el proceso deKriging. En este momento todavía se pueden usar tres tipos de Kriging:

� Simple Kriging� Ordinary Kriging� Universal Kriging

Se puede descartar el “Simple Kriging”, puesto que el óptimo modelo debe usar ladistancia limitante de 50 km y esto no es posible en “Simple Kriging”. El “Universal Kriging”también se puede excluir puesto que no se ha detectado ningún tipo de tendencia en losdatos. De esta manera se puede concluir que se debe usar el “Ordinary Kriging”:

� En el menú “sensitivo al contexto” del mapa de puntos “C14" seleccione la opción“Interpolation ” y luego “Kriging ”. Asegurese de que el mapa “C14" y la columna“C14" están seleccionados y que el método es “Ordinary Kriging ”. Especifique el“Wave model ” con el valor 250 como “Nugget ”, el valor 650 como “Sill ” y el valor7500 como “Range ”. Especifique la distancia limitante de 50000, coloque el mínimonúmero de puntos en 3 y deje el máximo en 16. Escriba el nombre “OKwa50" comonombre, seleccione la georeferenciación “c14" y active la opción “Show”. Activeademás la opción “Error Map ” y escriba como nombre para este mapa “OKwa50e”,oprima el botón “OK”.

Este proceso es un poco demorado. Cuando aparezca la caja de diálogo de lasopciones de despliegue haga clic en “OK” para desplegar el mapa.

Despliegue también el mapa de errores “OKwa50e”. Hagalo sobre el mapa depuntos “C14" usando el símbolo “+”. Determine el error mínimo y máximo del mapa:

Error mínimo: ................. Error máximo: .................




3.5 Verificación del resultado (Confidence interval) El mapa resultado del proceso de Kriging contiene los estimativos del fenómeno a estudiary el mapa de errores contiene una aproximación del error para el valor estimado. Esposible crear un mapa donde se indique con cierta certeza el rango en que se encuentranlos valores del fenómeno estudiado.

El rango se define de la siguiente manera:mínimo: estimativo Kriging - (Error * c)máximo: estimativo Kriging + (Error * c)

“c” representa el valor crítico y depende del intervalo de confiabilidad:

intervalo de confiabilidad 90% 95% 97.5% 98% 99% 99.5%

valor crítico “ c” 1.282 1.645 1.960 2.000 2.326 2.576

En la línea de comando del menú principal de ILWIS se pueden ejecutar las siguientesformulas para generar los mapas de nivel inferior y nivel superior para cada pixel de C14.Es necesario corregir los valores en nuestro ejemplo para que queden entre 0 y 100%:

Kinf:=iff(OKwa50-1.96*OKwa50e<0,0,OKwa50-1.96*OKwa50e)Ksup:=iff(OKwa50+1.96*OKwa50e>100,100,OKwa50+1.96*OKwa50e)

En este ejemplo se está usando un valor crítico de 1.96 correspondiente al intervalo deconfiabilidad de 97.5%. Cambie los valores a 0 hasta 100 con precisión 0.01 y oprima“OK”.

Por medio de la siguiente formula se puede crear un mapa donde se combinen los nivelessuperiores e inferiores:

conf975 := iff((%L mod 8) - (%C mod 8) <= 0,Ksup,Kinf)

en donde:%L valor de número de fila en el mapa de salida%C valor de número de columna en el mapa de salidamod valor residual de la división entera (ej: 10 mod 3 = 1)

El mapa que resulta tiene cuadros de 8x8 pixeles, donde la parte inferior izquierda decada cuadro representa el nivel inferior (mapa “Kinf”) y la parte superior derecharepresenta el nivel superior (mapa “Ksup”). (Ver figura 32)




Figura 32: mapa de intervalo de confiabilidad

En el caso de que se cuente con un conjunto de datos relativamente grande serecomienda subdividirlo en dos partes con el fin de usar una parte para la verificación delos resultados del proceso de Kriging.

Esto se puede hacer usando el operador de ILWIS “MAPVALUE”. Se debe abrir el mapade puntos como tabla y escribir en la linea de comando de la tabla la siguiente formula:

KRIG=MAPVALUE(OKWA50.MPR,COORD(X,Y))

para obtener el valor del resultado de Kriging en la tabla y:

KERR=MAPVALUE(OKWA50E.MPR,COORD(X,Y))

para obtener el valor del mapa de errores en la tabla.

Luego se puede adelantar el análisis del intervalo de confiabilidad en la tabla usandodiferentes valores del valor crítico “c” y así evaluar si cada punto queda dentro del rangode confiabilidad.



�� Exposición solar36

sen (sen sen ) (cos cos cos )α = ⋅ + ⋅ ⋅D L D L H

cos(cos sen ) (cos sen cos )

cosϕ

α=

⋅ − ⋅ ⋅L D D L H

[ ]D d= ⋅ ⋅ +23 5 0 986 284. sen . ( )

4. EXPOSICIÓN SOLAREn esta capítulo se impartirán los fundamentos que se requieren para adelantar unestudio de exposición solar. Un proceso de modelamiento de radiación solar incidenterequiere datos auxiliares sobre la trayectoria solar, por lo que se presentarán lasecuaciones básicas que la definen.

4.1 La trayectoria solarLos parámetros que definen la trayectoria del sol constituyen datos externosimprescindibles para llevar a cabo el modelamiento de la radiación solar. La localizaciónaparente del sol depende de una serie de parámetros de los cuales los más importantesson:

� La latitud del punto a estudiar, que puede variar en un rango de -90° (polo Sur)hasta 90° (polo Norte).

� La declinación solar , variable según la época del año en un rango de -23½°(invierno) y 23½° (verano) en el Hemisferio Norte.

� El ángulo horario , dependiente de la hora del día y variable en un círculo de 360°centrado en el punto a analizar.

La localización del sol se suele expresar en coordenadas esféricas: acimut � y elevaciónangular sobre el horizonte �, cuyas expresiones de cálculo son las siguientes:

en donde:D es la Declinación solarL es la Latitud geográficaH es el ángulo Horario(Felicísimo, 1994)

4.1.1 Declinación solarLa declinación solar para una determinada época del año puede determinarse a partir detablas o, aproximarse mediante expresiones empíricas. Una de las más simples es:




Figura 33: Declinación solar en función del día del año

La siguiente figura muestra la relación entre el día del año y la declinación solar:

En ILWIS para determinar D, se puede efectuar el siguiente cálculo en la línea decomando (se debe cambiar d por el día de interés):

? 23.5*SIN(DEGRAD(0.986*(284+d)))

Anexo se encuentra una tabla con la declinación solar para cada día del año.

4.1.2 Latitud geográficaLa latitud influye en gran medida en la trayectoria del sol. Las influencias de las épocasdel año no se notan cerca a la linea ecuatorial como es el caso de Colombia. Colombiaestá ubicada entre latitudes ± 4°15' Sur y ± 12°30' Norte.

4.1.3 Ángulo horarioEn el hemisferio Norte (donde está ubicado la mayor parte de Colombia), el ángulo horariosuele tomarse como cero en el mediodía, cuando el acimut solar � es de 180° y, por tanto,el sol está situado al Sur. Los ángulos son negativos hacia el Oeste y positivos hacia elEste, con intervalos de 15° por hora. Observe la siguiente tabla donde se relaciona elángulo para cada hora entre las 6:00 am y las 6:00 pm.




Hora Ángulo horario (H) Hora Ángulo horario (H)

6:00 a.m. 90° 1:00 p.m. - 15°

7:00 a.m. 75° 2:00 p.m. - 30°

8:00 a.m. 60° 3:00 p.m. - 45°

9:00 a.m. 45° 4:00 p.m. - 60°

10:00 a.m. 30° 5:00 p.m. - 75°

11:00 a.m. 15° 6:00 p.m. - 90°

mediodía 0°

4.2 Ocultamiento topográficoLa existencia de zonas de sombra es una variable de gran interés en regionesmontañosas, donde el relieve puede ser factor determinante del clima local. La sombraen un punto puede deberse a dos circunstancias:

� Autoocultamiento , Se produce cuando el vector normal a la superficie forma unángulo superior a los 90° con el vector solar, como sería el caso, por ejemplo, deuna ladera orientada al Norte, con pendiente de 45°, cuando el sol ilumina desdeel Sur, elevado solamente 30° sobre el horizonte.

� Ocultamiento por el relieve circundante , Se produce cuando la topografíainterrumpe la linea visual desde el sol hasta el punto analizado.

(Felicísimo, 1994)

4.2.1 Definición de exposición solarSe define la exposición solar en un punto como el tiempo máximo que ese lugar puedeestar sometido a la radiación solar directa en ausencia de nubosidad. (Felicísimo, 1994)

En la mayoría de los estudios se asume este concepto como el tiempo teórico deincidencia solar directa sobre la superficie terrestre.

Para crear un mapa de exposición solar, se deben usar diferentes intervalos de tiempo,empezando en el amanecer (6:00 am) y terminando en el ocaso (6:00 pm). En caso deusar intervalos de media hora, se puede generar un mapa de exposición solar donde lamáxima exposición es de 12 horas con precisión de media hora.




Figura 34: ángulo de incidencia (�)

Figura 35: vector normal al terreno (�)

Figura 36: vector solar (�)

cos(ϕ ) =n s

n s

⋅⋅

s =

cos sen

cos cos

sen

β αβ β

β

N N rsalid a en trad a= ⋅ ⋅ cos( )ϕ

4.2.2 Ángulo de incidenciaTanto para el cálculo de la exposición como para laradiación solar se requiere usar información acerca elterreno. El ángulo de incidencia es el ángulo entre elvector normal al terreno (�) y el vector solar (�). Verformula abajo.

La determinación del vector normal alterreno (�) se hace a partir del modelodigital de elevación. (Ver figura 35 yformula abajo):

n

X

Z

Y

Z

Z Y

Z X

X Yx y

x

y=

⋅

=−−

∆

∆∆∆

∆ ∆∆ ∆∆ ∆

0

0

La determinación del vector solar (�) sehace tomando en cuenta el ángulo de laelevación del sol (�) y el azimut del sol (�).(Ver formula abajo y la figura 36):

4.2.3 IrradiaciónDe esta manera se puede calcular la irradiación potencial (Meijerink et al., 1994):




I I pn om= ⋅

I I p n s dHn om

H

H

= ⋅ ∠ ⋅∫ cos1

2

En los anteriores gráficos y formulas se utilizaron las siguientes convenciones:

N flujo de fotónr reflectancia� ángulo de incidencia� vector normal al terreno� vector solar� ángulo de azimut del sol desde el Norte� ángulo de elevación del sol tomado desde la horizontal

Felicísimo (1994), utiliza la siguiente formula para determinar la irradiación (energíaincidente) sobre una superficie perpendicular a la radiación solar In :

en donde:In irradiación incidenteIo constante solar (1367 W m-2)p la transmisividad media cenitalm la masa óptica de aire

En circunstancias reales, el valor teórico de In se ve modificado por la pendiente y laorientación del terreno, lo cual obliga a considerar los ángulos de incidencia del vectorsolar sobre el mismo. La extensión del cálculo para periodos más largos obliga aconsiderar el cambio de valor de los parámetros que intervienen en la expresión anterior(ej.: el ángulo horario mínimo H1 y máximo H2). (Felicísimo, 1994)

4.3 Ejercicio prácticoPor la complejidad de los cálculos, la exigencia de variables involucradas para determinarla irradiación, restringiremos el ejercicio práctico a la generación de un mapa deexposición solar.

4.3.1 Operaciones de conectividadEn cierta forma la exposición solar puede ser comparada con funciones de intervisibilidad,tomando como punto de observación el sol. Las funciones de intervisibilidad hacen partede las operaciones de conectividad. Las operaciones de conectividad son funciones queacumulan valores sobre el área que se atraviesa. Se requiere que uno o más atributossean evaluados y un recorrido acumulado esté incluido en el próximo paso. El recorridoacumulado puede ser cuantitativo, como la distancia acumulada viajando, o el tiempoacumulado viajando.




Figura 37: Influencia de pixeles vecinos

También puede ser cualitativo, como por ejemplo si un punto todavía es visible. (Bakker2000)

4.3.2 IntervisibilidadIntervisibilidad ("viewshed modelling") es una operación acumulativa. Un "viewshed" esel área que se puede ver desde uno o más puntos de origen. Funciones de intervisibilidadson aplicadas para determinar la ubicación de torres de transmisión (aplicaciones encomunicaciones), determinar el impacto visual de la construcción de torres de transmisióneléctrica (aplicaciones ambientales), determinar el área que el enemigo puede ver desdesus puntos de observación (aplicaciones militares). Las funciones de intervisibilidad usanlos modelos digitales de elevación para definir la topografía de los alrededores. Tambiénse debería incluir elementos individuales (edificios, vegetación, etc). (Aronoff 1989)

4.3.3 Conectividad en ILWISILWIS soporta el procesamiento de pixeles en relación con su vecindad directa en unambiente de 3x3 pixeles. Dado que las operaciones de conectividad exigen ambientesmás grandes, ILWIS ofrece estos cálculos con iteraciones. Iteraciones son cálculosrepetitivos donde el resultado de un paso es el mapa de entrada para el siguiente paso.

El ambiente de 3x3 pixeles se maneja de la siguiente manera:

1 2 3

4 5 6

7 8 9

El pixel central (indicado con el número 5), obtiene el resultado de la operación deconectividad. En el cálculo de la exposición solar se debe tener en cuenta no solo elángulo de elevación del sol, sino además su ángulo de azimut, puesto que éste ángulodefine cuales pixeles vecinos potencialmente pueden generar sombra al pixel central (verfigura abajo):




Figura 38: ángulos en función de la trayectoria solar

Figura 39: propagación de sombra

La exposición solar del pixel central está directamente influenciada por los pixeles 4 y 7.En el ejemplo anterior (figura 37), el ángulo de azimut solar (�) es de -60°. Este ángulose determina a partir del Sur según se muestra en la siguiente figura (Meijerink et al.1994):

Como fue expresado anteriormente, no solamente se debe verificar los pixeles vecinosdel pixel central, sino además los vecinos de sus vecinos y más alla. La siguiente figuramuestra este efecto:

El pixel indicado con h4 causa a los pixelesh5 y h6 sombra con el ángulo de elevación �.Puesto que esto no puede ser evaluado enun ambiente de 3x3 se asigna al pixel h5 unanueva altura (h4-dz45). En el siguiente pasoesta nueva altura causa que el pixel h6 seráidentificado como sombra.

Este proceso se debe repetir hasta queninguna altura sea modificada. Luego sepuede comparar el nuevo Modelo Digital deElevación (MDE) con el MDE modificado ydonde se encuentre diferencia se asigna“ocultamiento” y al resto “incidencia”.

También es posible asignar un valor expresado en horas según el intervalo de horario (ej:intervalo de ½hora se asigna el valor 0.5), y así sumar los mapas correspondientes adiferentes horas del día, obteniendo el mapa numérico de exposición solar.




M D E p M D E p M D E p dxm n521 1< ⋅ + − ⋅ − + ⋅ ⋅( ) tanα

La siguiente tabla relacione cuales pixeles tienen influencia sobre el pixel centraldependiendo de diferentes ángulos de azimut solar y como calcular el valor p:

� p m n

0 �� < 45 | tan(�) | 9 8

45 �� < 90 | tan(90 - �) | 9 6

90 �� < 135 | tan(90 - �) | 3 6

135 �� < 180 | tan(�) | 3 2

180 �� < 225 | tan(�) | 1 2

225 �� < 270 | tan(90 - �) | 1 4

270 �� < 315 | tan(90 - �) | 7 4

315 �� < 360 | tan(�) | 7 8

Estos valores se usan para evaluar si el pixel central recibe luz solar directa o estáocultado por medio de la siguiente expresión:

en donde:MDE5 La altura del pixel centralp La fracción según el ángulo de azimut solarMDEm La altura del pixel vecino mMDEn La altura del pixel vecino ndx El tamaño del pixel� El ángulo de elevación solar

En caso que el pixel central obtenga luz directa, se mantiene el valor del pixel, en casocontrario se debe asignar el nuevo valor de pixel. Puesto que el proceso iterativo es unproceso demorado, se recomienda dejar el proceso por la noche, o usar una reducciónde la precisión original.

4.3.4 Iniciar el procesoEn este paso se reconocerá el modelo digital de elevación con que se realizará el cálculo.Se trabajará con un MDE de gran parte de Cundinamarca (jurisdicción de la CAR, Bogotá)remuestreado a un tamaño de pixel de 1000 metros (conjunto original tiene 30metros/pixel).




� Cambie al sub-directorio “exposol” del directorio “C:\ILWIS22\DATA\”. Haga dobleclic sobre el icono del mapa raster “mde”. En las opciones del despliegue,asegurase que la representación “fincur” está seleccionada y haga clic en el botón“OK”.

Determine los valores mínimos y máximos del MDE. Luego cierre la ventana del mapa.

Como se puede observar el área es bastante montañosa y esto tiene como efecto quehabrá gran influencia de ocultamiento topográfico.

Para este ejercicio se calculará la exposición solar durante el transcurso de la mañana(6:00 a.m. hasta 8:30 a.m.), cuando más se aprecian las diferencias en ocultamientotopográfico. Observe la siguiente tabla con los valores de los ángulos de elevación (�) yazimut (�) solar:

Hora �� elevación ( �) �� azimut ( �) p m n

6:00 a.m. 0.4° 90.0° 0.0000 3 6

6:30 a.m. 4.1° 83.9° 0.1069 9 6

7:00 a.m. 14.3° 74.2° 0.2830 9 6

7:30 a.m. 25.0° 64.5° 0.4770 9 6

8:00 a.m. 35.8° 54.3° 0.7186 9 6

8:30 a.m. 46.5° 42.2° 0.9067 9 8

La formula que se debe ingresar al proceso de iteraciones es la siguiente:

max(mde,p*mde#[m]+(1-p)*mde#[n]-sqrt(1+p^2)*tpix*tan( �))

donde se determina el máximo valor entre el MDE y los valores de los vecinos ajustadospor el ángulo de elevación solar. A las 6:00 de la mañana (según la tabla en la página 43)p es igual a |tan(90-90.0)| �0.0000, m=3 y n=6. El tamaño del pixel (tpix) es de 1000metros. Con estos valores se puede simplificar la formula de la siguiente manera:

max(mde,mde#[6]-9.8732)




� Haga doble clic sobre el icono del programa “Iteration ” en el listado deoperaciones. Seleccione el mapa “mde” como “Start Map ” y escriba la formulaarriba en la caja de “Expression ”. Asegurese de que para el “Stop Criterium ” estáseleccionada la opción “Until No changes ” y desactive la opción “Propagation ”.Escriba el nombre “mde60am” como mapa de salida, seleccione el domino “value”,active la opción “Show ” y oprima el botón “OK”.

El proceso es demorado y puede realizar al rededor de de 200 iteraciones, en caso deencontrar un elemento ubicado en el oriente del área de estudio que cause un sombra(ocultamiento) a elementos en el extremo occidente. En este proceso iterativo se re-calcula la formula infinitamente, por ello el usuario debe observar el número de cambiosdel paso anterior y detectar cuando este valor sea constante (por unos 5 pasos). Cuandoesto suceda se puede oprimir 1 vez el botón stop con el fin de que el sistema almaceneel resultado (“Store Result”).

Es importante notar que no se debe usar el dominio (“fincur”) que corresponde al MDE.Aunque los valores que resultan estarán dentro el rango de este dominio, ILWISinternamente trabaja con valores de mayor precisión de la que este dominio puedemanejar y usarlo daría como resultado un mapa con todos los valores indefinidos!

� Al terminar el proceso de iteración acepte las definiciones por defecto paradesplegar el mapa. Despliegue el resultado al lado el mapa original “mde” conrepresentación “pseudo”. Explique las diferencias.

Por medio de la siguiente formula se puede crear un mapa de exposición solar para las6:00 de la mañana:

sol60am:=iff(mde<mde60am,”ocultamiento”,”incidencia”)

� Escriba esta formula en la linea de comando de la ventana principal de ILWIS yoprima <Enter> . En la caja del diálogo cree un nuevo dominio con nombre “sol”, alcual NO se adiciona ningún elemento. Al oprimir el botón “OK” en la caja dediálogo “Raster Map Definition ” el sistema preguntará si desea adicionar loselementos “ocultamiento” y “incidencia” al dominio. En ambas casos elija “Si”.

Para crear un mapa que pueda ser usado de manera más eficiente en la generación delmapa de exposición solar para todo el día, se debe asignar el valor (en horas)correspondiente al intervalo que se utilizará:

exp60am:=iff(mde<mde60am,0,0.5)




Repita este proceso para los otros momentos de la mañana.

Para el mapa “mde65am” (6:30 a.m.):max(mde,0.1069*mde#[9]+(0.8931)*mde#[6]-72.0893)





Cree también los mapas de exposición expresados en horas y nombrelos “exp65am”,“exp70am”, “exp75am”, “exp80am” y “exp85am”.

Despliegue los 6 mapas de exposición solar simultáneamente en la pantalla y comparelos resultados. En que momento la diferencia entre dos cálculos es más grande?

La suma de estos mapas generará un mapa de exposición solar para un intervalo de 3horas. El máximo valor es 3 (correspondiente a 3 horas) y el mínimo es de 0 horas:

exp60a85 := exp60am+exp65am+exp70am+exp75am+exp80am+exp85am

� Escribe esta formula en la linea de comando de la ventana principal de ILWIS yoprima <Enter> . Asegurese de que el rango de valores es de 0.0 a 3.0 conprecisión de 0.1 y oprima el botón “OK”.

Despliegue el mapa usando la representación “Gray” e interprete el resultado.

Para su mejor interpretación se puede clasificar el resultado, asignar colores definido porel usuario y desplegarlo en una vista tridimensional (ver figura 40):




Figura 40: Exposición solar en 3D

Figura 41: Corte transversal del terreno, trayectoria solar

La figura 40 muestra el resultado de estaoperación, los colores más clarosrepresentan las zonas de mayorexposición solar. La posición relativa delsol es el la esquina superior derecha de laventana.

Los mapas “exp75am”, “exp80am” y “exp85am” revelaron que casi todo el terreno obtienesol a partir de las 8:00 de la mañana. Al observar el terreno (ver figura 41) se puede notarque el mayor ocultamiento topográfico se presenta por la mañana cuando el sol estáubicado al Oriente del área de estudio.

De esta manera se puede asumir que todo el área obtiene sol entre las 8:00 de la mañanay las 4:00 de la tarde. Se pueden hacer cálculos para exclusivamente este intervalo ysumarlos con el resultado “exp60a85" adicionando 7 horas para complementar el cálculopara todo el intervalo.




Hora �� elevación ( �) �� azimut ( �) p m n

4:00 p.m. 38.6° 305.7° 0.7186 7 4

4:30 p.m. 26.2° 295.5° 0.4770 7 4

5:00 p.m. 14.7° 285.8° 0.2830 7 4

5:30 p.m. 4.3° 276.1° 0.1069 7 4

6:00 p.m. 0.5° 270.0° 0.0000 7 4

Para el mapa “mde40pm” (4:00 p.m.):max(mde,0.7186*mde#[7]+(0.2814)*mde#[4]-983.0267)




Para el mapa “mde60pm” (6:00 p.m.):max(mde,mde#[4]-8.7269)

� Cree los anteriores mapas. Después cree también los mapas de exposición solarpara cada momento del día (“exp40pm”, “exp45pm”, “exp50pm”, “exp55pm”,“exp60pm”).

Sume los mapas para crear el mapa de exposición solar para todo el día:

expdia := exp60a85+exp40pm+exp45pm+exp50pm+exp55pm+exp60pm+7

Puesto que estamos asignando ½hora a cada momento el intervalo real es de las 5:45a.m. hasta las 6:15 p.m.. De esta manera el máximo valor de exposición solar será de 12½horas. Observe las siguientes figuras (42 y 43) donde se muestra el resultado de estaoperación.




Figura 42: Exposición solar en Cundinamarca

Figura 43: Vista tridimensional de la exposición solar en Cundinamarca

Los colores claros corresponden a las zonas conmayor incidencia solar, mientras las más oscurascorresponden a las zonas de mayor ocultamientotopográfico.

Las lineas en la parte cerca de los límites deCundinamarca son debido a errores generadosdurante la interpolación de las curvas de nivel,por falta de información.

Se puede notar que los picos, crestas y planicies tienen mayor exposición solar, mientraslas laderas, pozos y canales reciben menor cantidad de horas de sol.

-- . --



�� Respuestas50

5. RESPUESTASEn este capitulo se consignan las respuestas a los ejercicios expuestos

3.1.1 Despliegue y consulta de la información

� La distribución de los puntos en el mapa “C14" es:� Aleatoria

� Medición de las distancias en los puntos:Distancia mínima: ± 150 metrosDistancia máxima: ± 85000 metros

� Que tipo de dominio tiene el mapa (ver propiedades del mapa)?Dominio identificador

� Cuantos puntos tiene el mapa (ver propiedades del mapa)?60 puntos

� Cuantos pares de puntos se pueden crear con estos puntos?n*(n-1)/2 = 60*59/2=1770

� Cuales son los valores mínimos y máximos de la columna “C14"?Valor mínima: 0.35Valor máxima: 81.00

� La varianza de la columna “C14" es:581.901

3.1.2 Análisis de distribución espacial

� Con que distribución corresponde el comportamiento del gráfico?� Aleatoria

� Este corresponde con lo que usted visualmente había concluido?Si

3.2.1 Variograma representado como superficie (Anisotropía)

� El ángulo principal de anisotropía es:± 20°



�� Respuestas51

� El ángulo de tolerancia es:± 15°

3.3.1 Adicionar modelosLos modelos que se ajustan al comportamiento del semivarianza de la direcciónperpendicular son:

Modelo 1: Spherical model Modelo2: Circular modelNugget: 50 Nugget: 50Sill: 710 Sill: 690Range: 20000 Range: 19000

3.3.4 Adicionar modelosLos modelos que se ajustan al comportamiento del semivarianza omnidireccional son:

Modelo 1: Power model Modelo 2: Gaussian modelNugget: 250 Nugget: 250Slope: 0.0001 Sill: 750Power: 1.5 Range: 22000

Modelo 3: Rational Quadratic Modelo 4: Wave modelNugget: 250 Nugget: 250Sill: 800 Sill: 650Range: 17500 Range: 7500



�� Respuestas52

3.3.5 Verificación y selección de los modelos (Goodness of Fit R2)Intervalo de distancia donde se ajusten los modelos:

Modelo 1: Power model Modelo 2: Gaussian modelDistancia mínima: 0 Distancia mínima: 0Distancia máxima: 25km Distancia máxima: 35km

Modelo 3: Rational Quadratic Modelo 4: Wave modelDistancia mínima: 0 Distancia mínima: 0Distancia máxima: 40km Distancia máxima: >45km

� Cual modelo, según su criterio, se ajusta mejor a los valores experimentales?Wave model (0-45km)

Anote el R2 para los 4 modelos para las 4 distancias (25, 35, 40 y 45 km):

Distancia Modelo 1 (pow) Modelo 2 (gau) Modelo 3 (rat) Modelo 4 (wav)

0-25 km 0.5637 0.5318 0.502 0.5549

0-35 km 0.5747 0.7282 0.7131 0.7436

0-40 km 0.1388 0.7465 0.7348 0.749

0-45 km -0.7671 0.74 0.7362 0.7647

Promedio 0.1275 0.6866 0.6715 0.7031

� Cual de los cuatro modelos se ajusta mejor al semivariograma experimental?Wave model (tanto valor más alto y promedio más alto)

3.4 Interpolación por medio de KrigingLos errores mínimos y máximos leídos en el mapa “OKwa50e” son:

Error mínimo: 16.704 Error máximo: 24.176Cerca de: pnt 38 Cerca de: pnt 60a distancia: ½km a distancia: 9km



�� Respuestas53

Bibliografía

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Meijerink, A.M.J., H.A.M. de Brouwer, C.M. Mannaerts y C.R. Valenzuela, 1994.Introductionto the use of Geographic Information Systems for practical Hydrology.ITC Publication number 23, Enschede, The Netherlands. 243p.

Valenzuela, C, 1989, Análisis y modelamiento de datos, notas de clase.10p.



�� Anexo - Declinación solar54

[ ]D d= ⋅ ⋅ +23 5 0 986 284. sen . ( )

Anexo: Declinación solar

Fecha d D1-Ene 1 -23.072-Ene 2 -22.993-Ene 3 -22.904-Ene 4 -22.815-Ene 5 -22.706-Ene 6 -22.607-Ene 7 -22.488-Ene 8 -22.369-Ene 9 -22.2310-Ene 10 -22.1011-Ene 11 -21.9612-Ene 12 -21.8113-Ene 13 -21.6614-Ene 14 -21.5015-Ene 15 -21.3316-Ene 16 -21.1617-Ene 17 -20.9818-Ene 18 -20.7919-Ene 19 -20.6020-Ene 20 -20.4021-Ene 21 -20.2022-Ene 22 -19.9923-Ene 23 -19.7824-Ene 24 -19.5525-Ene 25 -19.3326-Ene 26 -19.0927-Ene 27 -18.8528-Ene 28 -18.6129-Ene 29 -18.3630-Ene 30 -18.1131-Ene 31 -17.851-Feb 32 -17.582-Feb 33 -17.313-Feb 34 -17.034-Feb 35 -16.755-Feb 36 -16.476-Feb 37 -16.177-Feb 38 -15.888-Feb 39 -15.58

9-Feb 40 -15.2710-Feb 41 -14.9611-Feb 42 -14.6512-Feb 43 -14.3313-Feb 44 -14.0114-Feb 45 -13.6815-Feb 46 -13.3516-Feb 47 -13.0217-Feb 48 -12.6818-Feb 49 -12.3419-Feb 50 -11.9920-Feb 51 -11.6421-Feb 52 -11.2922-Feb 53 -10.9323-Feb 54 -10.5724-Feb 55 -10.2125-Feb 56 -9.8426-Feb 57 -9.4727-Feb 58 -9.1028-Feb 59 -8.731-Mar 60 -8.352-Mar 61 -7.973-Mar 62 -7.594-Mar 63 -7.215-Mar 64 -6.826-Mar 65 -6.437-Mar 66 -6.048-Mar 67 -5.659-Mar 68 -5.2610-Mar 69 -4.8611-Mar 70 -4.4712-Mar 71 -4.0713-Mar 72 -3.6714-Mar 73 -3.2715-Mar 74 -2.8716-Mar 75 -2.4717-Mar 76 -2.0618-Mar 77 -1.6619-Mar 78 -1.2620-Mar 79 -0.85

21-Mar 80 -0.4522-Mar 81 -0.0523-Mar 82 0.3624-Mar 83 0.7625-Mar 84 1.1726-Mar 85 1.5727-Mar 86 1.9728-Mar 87 2.3829-Mar 88 2.7830-Mar 89 3.1831-Mar 90 3.581-Abr 91 3.982-Abr 92 4.383-Abr 93 4.774-Abr 94 5.175-Abr 95 5.566-Abr 96 5.967-Abr 97 6.358-Abr 98 6.739-Abr 99 7.1210-Abr 100 7.5011-Abr 101 7.8912-Abr 102 8.2713-Abr 103 8.6414-Abr 104 9.0215-Abr 105 9.3916-Abr 106 9.7617-Abr 107 10.1318-Abr 108 10.4919-Abr 109 10.8520-Abr 110 11.2121-Abr 111 11.5622-Abr 112 11.9123-Abr 113 12.2624-Abr 114 12.6025-Abr 115 12.9426-Abr 116 13.2827-Abr 117 13.6128-Abr 118 13.9429-Abr 119 14.26


INTERPRETACION DIGITAL Y SENSORES REMOTOS for W I N D O W SFecha d D


30-Abr 120 14.581-May 121 14.892-May 122 15.203-May 123 15.514-May 124 15.815-May 125 16.116-May 126 16.407-May 127 16.698-May 128 16.979-May 129 17.2510-May 130 17.5211-May 131 17.7912-May 132 18.0513-May 133 18.3014-May 134 18.5615-May 135 18.8016-May 136 19.0417-May 137 19.2718-May 138 19.5019-May 139 19.7320-May 140 19.9421-May 141 20.1522-May 142 20.3623-May 143 20.5624-May 144 20.7525-May 145 20.9426-May 146 21.1227-May 147 21.2928-May 148 21.4629-May 149 21.6230-May 150 21.7831-May 151 21.931-Jun 152 22.072-Jun 153 22.203-Jun 154 22.334-Jun 155 22.465-Jun 156 22.576-Jun 157 22.687-Jun 158 22.788-Jun 159 22.889-Jun 160 22.9710-Jun 161 23.05

11-Jun 162 23.1312-Jun 163 23.1913-Jun 164 23.2614-Jun 165 23.3115-Jun 166 23.3616-Jun 167 23.4017-Jun 168 23.4318-Jun 169 23.4619-Jun 170 23.4820-Jun 171 23.4921-Jun 172 23.5022-Jun 173 23.5023-Jun 174 23.4924-Jun 175 23.4825-Jun 176 23.4526-Jun 177 23.4327-Jun 178 23.3928-Jun 179 23.3529-Jun 180 23.3030-Jun 181 23.241-Jul 182 23.182-Jul 183 23.113-Jul 184 23.034-Jul 185 22.955-Jul 186 22.866-Jul 187 22.767-Jul 188 22.668-Jul 189 22.559-Jul 190 22.4310-Jul 191 22.3111-Jul 192 22.1712-Jul 193 22.0413-Jul 194 21.8914-Jul 195 21.7415-Jul 196 21.5916-Jul 197 21.4217-Jul 198 21.2518-Jul 199 21.0819-Jul 200 20.9020-Jul 201 20.7121-Jul 202 20.5122-Jul 203 20.31

23-Jul 204 20.1124-Jul 205 19.9025-Jul 206 19.6826-Jul 207 19.4527-Jul 208 19.2228-Jul 209 18.9929-Jul 210 18.7530-Jul 211 18.5031-Jul 212 18.251-Ago 213 17.992-Ago 214 17.733-Ago 215 17.464-Ago 216 17.195-Ago 217 16.916-Ago 218 16.637-Ago 219 16.348-Ago 220 16.049-Ago 221 15.7510-Ago 222 15.4411-Ago 223 15.1412-Ago 224 14.8213-Ago 225 14.5114-Ago 226 14.1915-Ago 227 13.8616-Ago 228 13.5417-Ago 229 13.2018-Ago 230 12.8719-Ago 231 12.5320-Ago 232 12.1821-Ago 233 11.8322-Ago 234 11.4823-Ago 235 11.1324-Ago 236 10.7725-Ago 237 10.4126-Ago 238 10.0527-Ago 239 9.6828-Ago 240 9.3129-Ago 241 8.9430-Ago 242 8.5631-Ago 243 8.181-Sep 244 7.802-Sep 245 7.42


INTERPRETACION DIGITAL Y SENSORES REMOTOS for W I N D O W SFecha d D


3-Sep 246 7.044-Sep 247 6.655-Sep 248 6.266-Sep 249 5.877-Sep 250 5.488-Sep 251 5.089-Sep 252 4.6910-Sep 253 4.2911-Sep 254 3.8912-Sep 255 3.4913-Sep 256 3.0914-Sep 257 2.6915-Sep 258 2.2916-Sep 259 1.8917-Sep 260 1.4818-Sep 261 1.0819-Sep 262 0.6720-Sep 263 0.2721-Sep 264 -0.1322-Sep 265 -0.5423-Sep 266 -0.9424-Sep 267 -1.3525-Sep 268 -1.7526-Sep 269 -2.1527-Sep 270 -2.5628-Sep 271 -2.9629-Sep 272 -3.3630-Sep 273 -3.761-Oct 274 -4.162-Oct 275 -4.553-Oct 276 -4.954-Oct 277 -5.345-Oct 278 -5.746-Oct 279 -6.137-Oct 280 -6.528-Oct 281 -6.919-Oct 282 -7.2910-Oct 283 -7.6711-Oct 284 -8.0612-Oct 285 -8.4313-Oct 286 -8.8114-Oct 287 -9.18

15-Oct 288 -9.5616-Oct 289 -9.9217-Oct 290 -10.2918-Oct 291 -10.6519-Oct 292 -11.0120-Oct 293 -11.3721-Oct 294 -11.7222-Oct 295 -12.0723-Oct 296 -12.4124-Oct 297 -12.7525-Oct 298 -13.0926-Oct 299 -13.4227-Oct 300 -13.7528-Oct 301 -14.0829-Oct 302 -14.4030-Oct 303 -14.7231-Oct 304 -15.031-Nov 305 -15.342-Nov 306 -15.653-Nov 307 -15.944-Nov 308 -16.245-Nov 309 -16.536-Nov 310 -16.817-Nov 311 -17.098-Nov 312 -17.379-Nov 313 -17.6410-Nov 314 -17.9011-Nov 315 -18.1612-Nov 316 -18.4213-Nov 317 -18.6714-Nov 318 -18.9115-Nov 319 -19.1516-Nov 320 -19.3817-Nov 321 -19.6018-Nov 322 -19.8219-Nov 323 -20.0420-Nov 324 -20.2521-Nov 325 -20.4522-Nov 326 -20.6423-Nov 327 -20.8324-Nov 328 -21.0225-Nov 329 -21.20

26-Nov 330 -21.3727-Nov 331 -21.5328-Nov 332 -21.6929-Nov 333 -21.8430-Nov 334 -21.991-Dic 335 -22.132-Dic 336 -22.263-Dic 337 -22.394-Dic 338 -22.515-Dic 339 -22.626-Dic 340 -22.737-Dic 341 -22.838-Dic 342 -22.929-Dic 343 -23.0110-Dic 344 -23.0811-Dic 345 -23.1612-Dic 346 -23.2213-Dic 347 -23.2814-Dic 348 -23.3315-Dic 349 -23.3816-Dic 350 -23.4117-Dic 351 -23.4518-Dic 352 -23.4719-Dic 353 -23.4920-Dic 354 -23.5021-Dic 355 -23.5022-Dic 356 -23.5023-Dic 357 -23.4924-Dic 358 -23.4725-Dic 359 -23.4426-Dic 360 -23.4127-Dic 361 -23.3728-Dic 362 -23.3329-Dic 363 -23.2730-Dic 364 -23.2231-Dic 365 -23.15




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Análisis Geo-Estadístico y Exposición Solar - ILWIS