Analise

Matemática 1

Aula 12

Funções Contínuas

Ano académico 2017

Bibliografia Básica

Autor Título Editorial Data

Stewart, James Cálculo, Volume 1

5ta. Edição,

Pioneira

Thompson

Learning

2006

Zuma Medeiros ,

Valéria

Pré-Cálculo

2ª edição revista actualizada

CENGAGE

Learning 2012

Demana,

Franklin... (et al.) Pré-Cálculo

Pearson

Education do

Brasil

2011

Larson, Ron Cálculo Aplicado

1 Edição,

Pioneira

Thomson

Learning

2011

Tema 1. Cálculo Diferencial

A ideia da continuidade.

Definição de função contínua.

Propriedades da continuidade.

Propriedades fundamentais das Funções

Contínuas.

A ideia de Continuidade

• Ao definir Lim f(x), x→a, analisamos o

comportamento da função f(x) para valores de x

próximos de a, porem diferentes de a.

• Vimos que Lim f(x) pode existir, mesmo que f(x)

não esteja definida no ponto a.

• Se f está definida em x=a e Lim f(x) existe, ainda

pode ocorrer que este limite seja diferente de

f(a).

A idea de Continuidade

Uma ideia muito simple de como saber se

uma função real é contínua, é se pode

ser traçada a função numa folha sem

retirar a caneta do papel. Caso se

interrompa o gráfico da função e se

comece em outro local do papel, ocorre

uma "descontinuidade“.

A ideia de Continuidade

A função f contínua (sem interrupção)

A função g descontínua

1. Não existe Lim g(x), se x→b, pois os limites laterais de g=g(x) são diferentes

2. Não existe Lim g(x) quando x→c

3. Em x=d, temos que f(d)=s e se x→d e os limites laterais são iguais a s

4. Em x=e, o valor que se obtém não é o esperado, pois g(e)=z e os limites laterais são iguais a k

A idéia de Continuidade

A análise dos quatro casos nos leva a uma caracterização do que significa uma função não ser contínua num intervalo (a,b). A partir desses exemplos, parece que as descontinuidades surgem quando:

• o limite da função não existe, • existe mas não coincide com o

valor da função naquele ponto.

A idéia de Continuidade

Para que uma função f seja contínua em um ponto x = a é necessário que: •a função esteja definida em a; •e que os valores de f(x), para x próximos de a, estejam próximos de f(a).

Definição de função contínua

Definição: Uma função f é contínua no ponto a se:

Se uma o mais de uma dessas condicões não forem verificadas em a, a função f será descontínua no ponto a.

Definição de função contínua. Exemplos

Verifique a continuidade das funções, nos pontos indicados:

Definição de função contínua. Exemplos

Verifique a continuidade das funções, nos pontos indicados:

Definição de função contínua. Exemplos

Verifique a continuidade das funções, nos pontos indicados:

Definição de função contínua. Exemplos

Verifique a continuidade das funções, nos pontos indicados:

Definição de função contínua. Exemplos

Verifique a continuidade das funções, nos pontos indicados:

Definição de função contínua. Exemplos

Verifique a continuidade das funções, nos pontos indicados:

Observação: Se uma função não é contínua em um ponto a, dizemos que ela é descontínua neste ponto.

Tipos de descontinuidades

Se f é uma função descontínua em um ponto x=c do seu domínio, dizemos que: i) f tem descontinuidade de salto finito (1a. espécie) em x=c, se os limites laterais de f em c existem (são finitos) e são distintos. ii) f tem descontinuidade infinita (2a. espécie) em x=c, se a função toma valores arbitrariamente grandes ou arbitrariamente pequenos próximos de c. iii) f tem descontinuidade evitável ou removível em x=c, se existe o limite da função no ponto x=c (a função pode ou não pode ser definida no ponto).

Continuidade

Vimos que a definição de continuidade de uma

função no ponto x=c, exige o conceito de limite

lateral à esquerda e à direita, portanto só pode

ser aplicada a pontos c de um intervalo aberto.

Podemos mesmo estender esta definição a

intervalos fechados, semi-abertos ou infinitos.

Uma função f é contínua em um intervalo aberto

se for contínua em todos os pontos desse intervalo.

f é contínua em um intervalo fechado se for

contínua no aberto, e além disso, e

Continuidade de uma função em um intervalo

Continuidade

ba,

ba,

Continuidade

Como verificar se uma função é contínua em um intervalo, se ele contém infinitos elementos?

Existem duas maneiras:

1. Tomar um ponto genérico do intervalo, por exemplo,

x0 , e verificar, usando a definição, se f é contínua

neste ponto. Se for, será em todo o intervalo, uma

vez que x0 representa um ponto qualquer do

intervalo em questão.

2. Utilizar as propriedades válidas para continuidade.

Propriedades da Continuidade

Exemplos

Exemplos

Exemplos

Propriedades fundamentais das Funções Contínuas

Propriedades fundamentais das Funções Contínuas

Propriedades fundamentais das Funções Contínuas

Propriedades fundamentais das Funções Contínuas

Propriedades fundamentais das Funções Contínuas

Propriedades fundamentais das Funções Contínuas

Propriedades fundamentais das Funções Contínuas

Propriedades fundamentais das Funções Contínuas

Propriedades fundamentais das Funções Contínuas